תורת המספרים ־ הרצאה 3

‫תורת המספרים ־ הרצאה ‪3‬‬
‫‪ 14‬בנובמבר ‪2011‬‬
‫תזכורת‬
‫‪1‬‬
‫בשיעורים שעברו דיברנו על על חוגים ותכונותיהם‪ .‬בפרט דיברנו על‪:‬‬
‫‪ .1‬תחום שלמות‪ :‬אם מכפלה של ‪ 2‬איברים שווה ל‪ ,0‬אז אחד מהם הוא ‪.0‬‬
‫‪ .2‬תחום ראשי‪ :‬כל אידיאל נוצר ע"י איבר יחיד‪.‬‬
‫‪ .3‬תחום אוקלידי‪ :‬אם קיימת לו פונקצית "דרגה" שדרכה מגדירים חלוקה עם שארית‪.‬‬
‫והוכחנו מספר משפטים ותכונות מעניינים‪:‬‬
‫‪ .1‬תחום אוקלידי הוא תחום ראשי‪.‬‬
‫‪ .2‬בתחום ראשי איבר הוא אי־פריק אמ"מ הוא ראשוני‪.‬‬
‫‪ .3‬בתחום ראשי ‪ a 6= 0‬הוא מכפלה של א"פ‪ ,‬ולכן גם מכפלה של ראשוניים‪.‬‬
‫‪ .4‬מהנ"ל הסקנו בעזרת מספר למות שתחום ראשי הוא תחום פח"ע ־ פריקות חד ערכית‪ .‬כלומר כל איבר‬
‫ניתן להציג כמכפלה של ראשוניים ־ ולייתר דיוק‪ ,‬מכפלה של מחלקות שקילות של ראשוניים לפי יחס‬
‫ידידות ־ באופן יחיד‪.‬‬
‫‪1.1‬‬
‫עוד דוגמאות לתחומים אוקלידיים ותחומים לא אוקלידיים‬
‫סיימנו את השיעור כשהראינו ש ]‪ Z[i‬הוא תחום אוקלידי ולכן ראשי ולכן יש בו פח"ע‪.‬‬
‫‪ Z[ω] 1.1.1‬הוא תחום אוקלידי‬
‫√‬
‫נסתכל על המשוואה ‪ ,x3 = 1‬וניקח את שורש היחידה שפותר אותה‪ .ω = −1+2 −3 ,‬קל לראות ש ]‪ Z[ω‬סגור‬
‫לחיבור‪ .‬נשים לב ש־ ‪ ,1 + ω + ω 2 = 0‬וגם ‪ ω = ω 2 , ω = ω 2‬ולכן סגור להצמדה‪ .‬הוא גם סגור לכפל‪:‬‬
‫‪(a + bω)(c + dω) = ac + (ad + bc)ω + bdω 2 = (ac − bd) + (ad + bc − bd)ω‬‬
‫‪1‬‬
‫כאשר השוויון האחרון נובע מהמשוואה הראשונה הנ"ל‪ .‬לכן הוא סגור גם לכפל‪ .‬מאידך הוא תת־קבוצה של ‪C‬‬
‫ולכן תחום שלמות‪ .‬נוכיח שהוא תחום אוקלידי‪ .‬נגדיר‬
‫‪λ(x) := xx = a2 − ab + b2‬‬
‫‪∀x = a + bω‬‬
‫וכעת יהיו ]‪ .y 6= 0, x ∈ Z[ω‬נשים לב ש‬
‫‪x‬‬
‫‪xy‬‬
‫=‬
‫‪= r + sω‬‬
‫‪y‬‬
‫‪yy‬‬
‫כאשר ‪ r, s‬רציונליים‪ .‬זאת כוון ש )‪ yy = λ(y‬ולכן הוא רציונלי כלשהו ע"פ הדרך שהגדרנו את ‪ .λ‬כעת נפעל‬
‫בדרך שכבר ראינו בשיעור שעבר ונבחר ‪ m, n ∈ Z‬כך שיתקיים ‪ .|r − m| ≤ 21 , |s − n| ≤ 21‬ואז נגדיר‬
‫‪ .z = m + nω‬נקבל‬
‫‪x‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪λ( − z) = (r − m)2 − (r − m)(s − n) + (s − n)2 ≤ + + < 1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪4 4 4‬‬
‫וכעת השארית שלנו היא ‪ ρ = x − yz‬ואז או ש ‪ ρ = 0‬או‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪λ(ρ) = λ(y( − z)) = λ(y)λ( − z) < λ(y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫כאשר אנחנו משתמשים בכיפליות ‪ , λ‬כתוצאה ישרה מאיך שהגדרנו אותה‪ .‬לכן ]‪ Z[ω‬תחום אוקלידי‪ ,‬ולכן‬
‫ראשי‪ ,‬ולכן פח"ע‪.‬‬
‫√‬
‫‪ Z[ −5] 1.1.2‬אינו תחום אוקלידי‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫נשים לב ש ‪ (1 + −5)(1 − −5) = 6‬ולכן ‪ 2‬למשל מחלק אותו‪ .‬אבל ‪ 2‬לא מחלק את ‪ 1 + −5‬ולא את‬
‫√‬
‫√‬
‫‪ ,1 − −5‬ולכן איננו ראשוני‪ .‬מאידך ‪ 2‬הוא א"פ‪ :‬נשים לב ש ‪ Z[ −5] ⊂ C‬ונסתכל על הנורמה המושרית על‬
‫√‬
‫]‪ .Z[ −5‬נניח בשלילה ש‪ 2‬פריק‪ .‬אזי ‪ xy = 2‬ולכן ‪ .|xy| = |x||y| = 2‬נקבל ש ‪ 1 < |x|, |y| < 2‬כי אחרת הם‬
‫√‬
‫הפיכים‪ .‬אבל יש מספר סופי של איברים המקיימים תכונה זו ב]‪ ,Z[ −5‬ואחרי בדיקה קצרה ניתן לראות שאין‬
‫√‬
‫כאלה אשר מכפלתם ‪ .2‬וברור ש‪ 2‬לא הפיך‪ ,‬ולכן א"פ‪ .‬אבל אם ]‪ Z[ −5‬היה אוקלידי‪ ,‬אז הוא היה ראשי ואז‬
‫√‬
‫כל א"פ היה ראשוני‪ ,‬ולכן ]‪ Z[ −5‬איננו אוקלידי‪.‬‬
‫‪1.1.3‬‬
‫אינסופיות ראשוניים ב‪ Z‬וב]‪F[x‬‬
‫משפט ‪ 1.1‬בחוג ‪ Z‬יש אינסוף ראשוניים‬
‫הוכחה‪ :‬ההפיכים היחידים שלנו הם ‪ 1, −1‬ולכן מספיק להסתכל רק על הראשוניים החיוביים‪ .‬נניח בשלילה‬
‫שיש מספר סופי מהם ונסמן אותם בסדר עולה ‪ .p1 , ..., pn‬יהי ‪ .N = p1 · ... · pn + 1‬לכל ]‪ i ∈ [n‬מתקיים‬
‫‪ pi - N‬כי אחרת עבור ‪ t‬כלשהו ‪ pi (t − p1 · · · pi−1 pi · · · pn ) = 1‬בסתירה לכך ש ‪ pi‬לא הפיך‪ .‬אבל ‪ Z‬חוג‬
‫אוקלידי ולכן ל ‪ N‬יש פירוק לראשוניים‪ ,‬ובפרט קיים ראשוני ‪ p 6= pi , p|N‬לכל ]‪ ,i ∈ [n‬בסתירה להנחה‪.‬‬
‫הערה ‪ 1.2‬באותו אופן בדיוק ניתן להוכיח את המשפט עבור חוג הפולינומים מעל שדה כלשהו ]‪ .F[x‬נשים לב‬
‫שלחוג הזה קל להגדיר פונקציית ‪ λ‬בעזרת דרגת הפולינום ולכן הוא אוקלידי וראשי‪ .‬אם ‪ F‬אינסופי‪ ,‬אזי יש‬
‫אינסוף פולינומים אי פריקים מהצורה ‪ x − a‬עבור ‪ a ∈ F‬כלשהו‪ ,‬והם כולם ראשוניים מכך שהחוג ראשי‪ .‬אחרת‬
‫השדה סופי‪ ,‬ואז מוכיחים שיש אינסוף פולינומים מתוקנים ראשוניים‪ ,‬בדיוק באופן שעשינו לעיל‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1.1.4‬‬
‫קיים תחום שלמות עם מספר סופי של ראשוניים‬
‫ובפרט‪ ,‬ניתן לבנות תחום שלמות עם ראשוני יחיד )עד כדי ידידות(‪ .‬ניקח ‪ p ∈ Z‬ראשוני ונגדיר‬
‫}‪p - b‬‬
‫‪a, b ∈ Z,‬‬
‫‪a‬‬
‫‪Zp = { :‬‬
‫‪b‬‬
‫אזי ‪ Zp‬הוא חוג כי בחיבור וכפל איברים‪ ,‬למשל ‪ ab , dc‬ממנו המכנה הוא מכפלה של המכנים ‪ .cd‬ואז אם ‪p|cd‬‬
‫אז לפי הגדרה ‪ p|c‬או ‪ p|d‬בסתירה לכך שהם איברים קבוצה שלנו‪ .‬לכן קל לראות ש־ ‪ Zp‬הוא חוג‪ ,‬ובפרט הוא‬
‫תחום שלמות‪ ab .‬הוא הפיך אם קיים ‪ dc‬כך ש־ ‪ . ab · dc = 1 ⇒ ac = bd‬כוון ש־‪ p - b, p - d‬ו־‪ a|bd‬בהכרח‬
‫‪ p - a‬כי אחרת ‪ .p|bd‬מאידך קל לראות שאם ‪ p - a, p - b‬אז ‪ ab‬הפיך בתחום הנ"ל‪.‬‬
‫כעת נשים לב שניתן לכתוב כל ‪ a ∈ Z‬כ־ ‪ a = pt a0‬כך ש ‪ .p - a0‬לכן בהכרח כל מספר ראשוני בחוג הוא‬
‫מהצורה‬
‫‪ pa‬כאשר ‪ ab‬הוא הפיך‪ ,‬ולכן יש רק ראשוני יחיד‪.‬‬
‫‪b‬‬
‫שימושים לפח"ע בתורת המספרים‪ ,‬ופונקציות אריתמטיות‬
‫‪2‬‬
‫הגדרה ‪ 2.1‬מספר ‪ n ∈ Z‬נקרא חופשי מריבועים )‪ (square free‬אם לא קיים ‪ m 6= 1, −1‬כך ש־ ‪.m2 |n‬‬
‫למה ‪ 2.2‬לכל ‪ n ∈ Z‬קיימים ‪ a, b ∈ Z‬כך ש־ ‪ n = ab2‬ו־‪ a‬חופשי מריבועים‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬מפח"ע יהי ‪ .n = pa11 · · · pakk‬נסמן }‪ ai = 2bi + ri , ri ∈ {0, 1‬ואז ניקח = ‪b‬‬
‫‪.pb11 · · · pbkk‬‬
‫‪a = pr11 · · · prkk ,‬‬
‫מכאן נקבל הוכחה נוספת לכך שיש אינסוף ראשוניים ב‪ .Z‬נניח שיש מספר סופי שלהם ‪ .p1 , ..., pk‬ניקח ‪N‬‬
‫כלשהו ונסתכל על כל הטבעיים הקטנים ממנו‪ .‬אם ‪ n ≤ N‬אז לפי הלמה נוכל לכתוב אותו ‪ n = ab2‬כאשר ‪a‬‬
‫√‬
‫חופשי מריבועים ולכן הוא אחד מתוך ‪ 2k‬המספרים שחזקת הראשוניים בהם היא ‪ 1‬או ‪ .0‬נשים לב ש־ ‪.b ≤ N‬‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫יש לכל היותר ‪ 2k N‬מספרים טבעיים ‪ n‬כנ"ל שמספקים את ‪ 2‬התנאים הללו‪ .‬לכן ‪N ≤ 2k N ⇒ N ≤ 2k‬‬
‫וזה כמובן לא נכון עבור ‪ N‬מספיק גדול כלשהו‪ .‬סתירה‪.‬‬
‫כעת נגדיר מספר פונקציות טבעיות על המספרים השלמים‪.‬‬
‫‪2.0.5‬‬
‫פונקציות ‪ν, σ‬‬
‫הגדרה ‪ 2.3‬יהי ‪ n‬טבעי‪ .‬נגדיר‪:‬‬
‫‪ν(n) .1‬־ מספר המחלקים החיוביים של ‪ .n‬למשל ‪.ν(12) = 6‬‬
‫‪σ(n) .2‬־ סכום המחלקים החיוביים של ‪ .n‬למשל ‪.σ(3) = 4‬‬
‫כעת נשתמש בכך ש־‪ Z‬הוא תחום פח"ע‪ ,‬ונוכיח‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫משפט ‪ 2.4‬יהי ‪ n = pa11 · · · pakk‬הפירוק של ‪ n‬טבעי‪ .‬אזי‬
‫)‪ν(n) = (a1 + 1) · · · (ak + 1‬‬
‫‪pa11 +1 − 1‬‬
‫‪pak +1 − 1‬‬
‫‪··· k‬‬
‫‪p1 − 1‬‬
‫‪pk − 1‬‬
‫= )‪σ(n‬‬
‫הוכחה‪ :‬עבור הנוסחא הראשונה נשים לב ש ‪ m|n‬אמ"מ ‪ m = pb11 · · · pbkk‬כך ש ‪ .0 ≤ bi ≤ ai‬כמות המספרים‬
‫הללו שווה בדיוק למספר ה‪n‬־יות ) ‪ (b1 , ..., bk‬המקיימות את התנאי הנ"ל‪ ,‬וזה שווה בדיוק ל־)‪ .v(n‬עבור ‪,σ‬‬
‫נשתמש בנוסחא לסכום של סדרה הנדסית‬
‫‪pa11 +1 − 1‬‬
‫‪pkak +1 − 1‬‬
‫=‬
‫···‬
‫‪p1 − 1‬‬
‫‪pk − 1‬‬
‫‪ak‬‬
‫‪X‬‬
‫‪b1‬‬
‫) ‪pbkk‬‬
‫(‬
‫( · · · ) ‪p1‬‬
‫‪bk =0‬‬
‫‪b1 =0‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪X‬‬
‫=‬
‫‪· · · pbkk‬‬
‫‪pb11‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪σ(n‬‬
‫‪0≤bi ≤ai‬‬
‫הערה ‪ 2.5‬נשים לב ש־‪ σ, ν‬הן כפליות עבור מספרים זרים‪ .‬כלומר אם ‪ gcd(a, b) = 1‬אז )‪.σ(ab) = σ(a)σ(b‬‬
‫‪2.0.6‬‬
‫מספרים מושלמים ומספרי מרסן‬
‫ישנה בעייה פתוחה ומעניינת שקשורה לפונקציה ‪:σ‬‬
‫הגדרה ‪ 2.6‬מספר טבעי ‪ n‬נקרא מושלם )‪ (perfect‬אם ‪.σ(n) = 2n‬‬
‫למשל‪ 6 ,‬ו־‪ 28‬הם מספרים מושלמים‪ .‬זו הגדרה "מתבקשת" שכן במקרה זה סכום כל המחלקים מלבד המספר‬
‫עצמו‪ ,‬שווה למספר‪ .‬נשים לב שמהחלק השני של המשפט לעיל‪ ,‬נובע שאם ‪ 2m+1 − 1‬הוא ראשוני‪ ,‬אזי‬
‫)‪ n = 2m (2m+1 − 1‬הוא מושלם‪:‬‬
‫‪2m+1 − 1 (2m+1 − 1)2 − 1‬‬
‫‪· m+1‬‬
‫‪2−1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−1−1‬‬
‫‪m+1‬‬
‫‪(2‬‬
‫)‪− 1 − 1)(2m+1 − 1 + 1‬‬
‫)‪= (2m+1 − 1‬‬
‫‪2m+1 − 1 − 1‬‬
‫‪= 2m+1 (2m+1 − 1) = 2n‬‬
‫= )‪σ(n‬‬
‫מאידך‪ ,‬ניתן להראות שכל מושלם זוגי ‪ n‬הוא מהצורה הנ"ל‪ .‬נכתוב את ‪ n‬כך‪ n = 2k−1 m :‬כאשר ‪ k ≥ 2‬ו־‪m‬‬
‫הוא אי זוגי‪ .‬לכן מכיפליות ‪ σ‬עבור הזרים ‪:m, 2k−1‬‬
‫)‪σ(n) = σ(2k−1 m) = σ(2k−1 )σ(m‬‬
‫‪= (2k − 1)σ(m) = 2k m‬‬
‫כלומר ‪ 2k −1|2k m‬וכוון ש ‪ gcd(2k , 2k −1) = 1‬נקבל לפי משפט שהוכחנו ש־ ‪ 2k −1|m‬ונסמן ‪.m = (2k −1)M‬‬
‫נציב חזרה במשוואה לעיל ונצמצם ב־)‪(2k − 1‬‬
‫‪σ(m) = 2k M = m + M‬‬
‫‪4‬‬
‫כלומר ‪ m‬הוא ראשוני שכן כל מחלקים הם ‪ m‬ו‪ ,M = 1‬והוא מהצורה ‪ ,m = 2k − 1‬כשם שדרשנו‪.‬‬
‫מספרים ראשוניים מהצורה הנ"ל נקראים מספרי מרסן )‪.(Mersenne‬‬
‫הערה ‪ 2.7‬השאלה המקבילה עבור מספרים מושלמים כיפלית‪ ,‬היא פשוטה‪ .‬אם מכפלת המחלקים של ‪ n‬היא‬
‫‪ n2‬אז לא ייתכן שהוא ראשוני‪ ,‬או ריבוע של ראשוני‪ .‬בפרט בהכרח קיים ‪d|n‬המקיים ‪ d 6= nd‬כאשר ‪ d‬ראשוני‪.‬‬
‫לכן ‪ n‬הוא או חזקה שלישית של ראשוני או מכפלה של ‪ 2‬ראשוניים‪ .‬דוגמא למספר כזה היא ‪.10‬‬
‫‪2.0.7‬‬
‫פונקציית מוביוס )‪(Mobius‬‬
‫הגדרה ‪ 2.8‬פונקצית מוביוס )‪ µ : N → {0, 1‬מוגדרת באופן הבא על‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪µ(n) = 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪(−1)k‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪n is not square free‬‬
‫‪n = p1 · · · pk , dierent primes‬‬
‫משפט ‪ 2.9‬אם ‪ n > 1‬אז ‪µ(d) = 0‬‬
‫‪P‬‬
‫‪d|n‬‬
‫‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נרשום ‪ ,n = pa11 · · · pakk‬ואז‬
‫‪X‬‬
‫) ‪µ(pe11 · · · pekk‬‬
‫= )‪µ(d‬‬
‫‪(e1 ,...,ek )∈{0,1}k‬‬
‫‪X‬‬
‫‪d|n‬‬
‫ ‬
‫‪k‬‬
‫‪= 1−‬‬
‫‪+ ... + (−1)k = (−1 + 1)k = 0‬‬
‫‪1‬‬
‫הגדרה ‪ 2.10‬תהיינה שתי פונקציות מהטבעיים למרוכבים ‪ .f, g : N → C‬אזי מכפלת )קונבולוצית( דיריכלה‬
‫)‪ (Dirichlet product/convolution‬של שתיהן מוגדר כ־‬
‫‪n‬‬
‫) (‪f (d)g‬‬
‫‪d‬‬
‫‪X‬‬
‫= ) ‪f (d1 )g(d2‬‬
‫‪d|n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪d1 d2 = n‬‬
‫‪d1 , d2 ∈ N‬‬
‫מספר תכונות קלות לבדיקה‪:‬‬
‫‪ .1‬קומוטטיביות‪f ◦ g = g ◦ f :‬‬
‫‪ .2‬אסוציאטיביות‪f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h :‬‬
‫‪5‬‬
‫= )‪f ◦ g(n‬‬
‫‪ .3‬קיימת פונקצית זהות ‪ : N → C‬המוגדרת ‪∀n > 1 (n) = 0‬‬
‫‪◦f =f‬‬
‫‪ ,(1) = 1,‬כך שמתקיים = ◦ ‪f‬‬
‫נגדיר פונקציה ‪.∀n ∈ N I(n) := 1‬‬
‫למה ‪.I ◦ µ = µ ◦ I = 2.11‬‬
‫הוכחה‪ :‬עבור ‪ n = 1‬נקבל ‪ I(1)µ(1) = µ(1)I(1) = 1‬ועבור ‪ n > 1‬נקבל = )‪µ(d‬‬
‫‪.0‬‬
‫משפט ‪) 2.12‬משפט ההיפוך של מוביוס(‪ .‬תהי )‪f (n‬‬
‫‪P‬‬
‫‪d|n‬‬
‫‪d|n‬‬
‫= )‪ ,F (n‬אזי ) ‪µ(d)F ( nd‬‬
‫‪P‬‬
‫= )‪µ◦I(n) = I ◦µ(n‬‬
‫‪P‬‬
‫‪d|n‬‬
‫= )‪.f (n‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪F = f ◦I‬‬
‫‪⇓ from associativity‬‬
‫‪F ◦ µ = f ◦ (I ◦ µ) = f ◦ = f‬‬
‫נשים לב שלא דרשנו שום דבר מיוחד מלבד קומוטטיביות עבור הטווח של ‪ ,F, f‬והטענה בעצם מתקיימת לכל‬
‫טווח שהוא חבורה אבלית )קומוטטיבית \ חיבורית(‪.‬‬
‫‪2.0.8‬‬
‫פונקציית אוילר‬
‫כעת נגדיר פונקציה אריתמטית נוספת‪ ,‬ונשפט במשפט ההיפוך של מוביוס כדי לתת לה נוסחא מפורשת‪.‬‬
‫הגדרה ‪) 2.13‬פונקציית אוילר(‪ .‬פונקצית אוילר היא ‪ φ : N → N‬המוגדרת כ‪ φ(n) :‬הוא מספר הטבעיים בין ‪1‬‬
‫ל־‪ n‬הזרים ל‪.n‬‬
‫למשל‬
‫‪φ(1) = 1 φ(5) = 4 φ(6) = 2 φ(9) = 6‬‬
‫משפט ‪φ(d) = n 2.14‬‬
‫‪d|n‬‬
‫‪P‬‬
‫הוכחה‪ :‬נתבונן ב־‪ n‬המספרים הרציונליים‬
‫‪n−1 n‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪, , ...,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪n n‬‬
‫‪n n‬‬
‫ונצמצם כל שבר עד שהמונה והמכנה זרים‪ .‬כעת‪ ,‬כל מכנה הוא מחלק של ‪ ,n‬ולכל מחלק ‪ d|n‬יש בדיוק )‪φ(d‬‬
‫שברים עם המכנה ‪ d‬כי אלו בדיוק השברים שלא ניתן לצמצם עוד‪ .‬אבל סה"כ המספרים הוא בדיוק ‪ n‬וכל‬
‫‪P‬‬
‫מספר נספר ב־)‪ φ(d‬של ‪ d|n‬כלשהו‪ .‬לכן נקבל ‪. d|n φ(d) = n‬‬
‫‪6‬‬
‫משפט ‪ 2.15‬עבור ‪ n = pa11 · · · pakk‬מתקיים‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪)(1 − ) · · · (1 −‬‬
‫‪p1‬‬
‫‪p2‬‬
‫‪pk‬‬
‫הוכחה‪φ(d) :‬‬
‫‪P‬‬
‫‪d|n‬‬
‫‪φ(n) = n(1 −‬‬
‫= ‪ n‬ולכן ממשפט ההיפוך של מוביוס‬
‫‪k‬‬
‫‪Xn X n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪=n−‬‬
‫‪+‬‬
‫) ‪− ... = n(1 − )(1 − ) · · · (1 −‬‬
‫‪d‬‬
‫‪p‬‬
‫‪pp‬‬
‫‪p1‬‬
‫‪p2‬‬
‫‪pk‬‬
‫‪i=1 i‬‬
‫‪i<j i j‬‬
‫‪3‬‬
‫הטור‬
‫‪P1‬‬
‫‪p‬‬
‫· )‪µ(d‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪φ(n‬‬
‫‪d|n‬‬
‫מתבדר‬
‫בתחילת ההרצאה הוכחנו שיש מספר אינסופי של ראשוניים בטבעיים‪ .‬כעת נוכיח טענה חזקה יותר‪ ,‬שאומרת‬
‫משהו על צפיפות הראשוניים‪.‬‬
‫משפט ‪ 3.1‬הטור מעל כל הראשוניים ב‪,N‬‬
‫‪1‬‬
‫‪p p‬‬
‫‪P‬‬
‫מתבדר‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהיו )‪ p1 , ..., pk(n‬כל הראשוניים הקטנים מ־‪ .n‬נגדיר‬
‫‪1‬‬
‫‪pi‬‬
‫נשים לב ש־‬
‫∞‪P‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ai =0 pai‬‬
‫‪i‬‬
‫=‬
‫‪1 −1‬‬
‫)‬
‫‪pi‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1−‬‬
‫)‪k(n‬‬
‫‪Y‬‬
‫= )‪λ(n‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪ .(1 −‬כוון שהטורים הללו מתכנסים ניתן לשנות סדר סכימה במכפלה ולקבל‬
‫‪X‬‬
‫‪(pa11 · · · pakk )−1‬‬
‫) ‪(a1 , ..., ak‬‬
‫‪non negative k-tuples‬‬
‫בפרט נקבל‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+ ... +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪λ(n) > 1 +‬‬
‫‪7‬‬
‫= )‪λ(n‬‬
‫כלומר הוא חוסם את הטור ההרמוני מלמעלה ולכן ∞ → )‪ .λ(n‬נשים לב שזה כבר מוכיח שיש אינסוף‬
‫ראשוניים‪ .‬כעת‬
‫‪log(1 − p−1‬‬
‫) ‪i‬‬
‫‪k‬‬
‫‪X‬‬
‫‪−‬‬
‫))‪log(λ(n‬‬
‫=‬
‫‪i=1‬‬
‫)‪taylor series of log(1 − x‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪(mpm‬‬
‫) ‪i‬‬
‫‪k X‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫=‬
‫‪i=1 m=1‬‬
‫∞‬
‫‪k‬‬
‫‪XX‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪+ ... +‬‬
‫‪+‬‬
‫‪(mpm‬‬
‫) ‪i‬‬
‫‪p1‬‬
‫‪pk‬‬
‫‪i=1 m=2‬‬
‫=‬
‫נשים לב‬
‫‪−1 −1‬‬
‫‪p−m‬‬
‫‪= p−2‬‬
‫‪≤ 2p−2‬‬
‫‪i‬‬
‫) ‪i (1 − pi‬‬
‫‪i‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪(mpm‬‬
‫<‬
‫) ‪i‬‬
‫‪m=2‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪m=2‬‬
‫⇓‬
‫‪−1‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪log(λ(n)) < p−1‬‬
‫) ‪1 + ... + pk + 2(p1 + ... + pk‬‬
‫‪P1‬‬
‫‪P 1‬‬
‫מתכנסת ולכן בהכרח המחובר האחרון מתכנס‪ .‬לכן אם‬
‫נזכור ש‬
‫היה מתכנס‪ ,‬היה )‪ log λ(n‬חסום‬
‫‪p‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪P1‬‬
‫‪M‬‬
‫ע"י ‪ M‬כלשהו‪ ,‬אבל אז ‪ λ(n) < e‬בסתירה לכך שהוא שואף לאינסוף‪ .‬לכן‬
‫מתבדר‪.‬‬
‫‪p‬‬
‫‪3.1‬‬
‫המקרה של ]‪ F[x‬כאשר ‪ F‬שדה סופי‬
‫נניח שהשדה הוא בגודל ‪ .q‬במקרה זה‪ ,‬את תפקיד הראשוניים הטבעיים תופסים הפולינומים המתוקנים האי־‬
‫פריקים‪" .‬הגודל" של )‪ f (x‬תינתן ע"י )‪ ,q deg f (x‬כי זה מספר הפולינומים ממעלה קטנה יותר‪ ,‬בדיוק כמו ש־‪ n‬זה‬
‫מספר הטבעיים )כולל אפס( הקטנים מ־‪.n‬‬
‫משפט ‪ 3.2‬ב]‪ F[x‬הטור )‪q − deg p(x‬‬
‫‪P‬‬
‫מתבדר‪ ,‬כאשר סוכמים על )‪ p(x‬הפולינומים המתוקנים האי פריקים בחוג‪.‬‬
‫)‪P −2 deg f (x‬‬
‫)‪P − deg f (x‬‬
‫מתכנס‪ ,‬כאשר שניהם רצים על‬
‫‪q‬‬
‫מתבדר ואילו‬
‫‪q‬‬
‫הוכחה‪ :‬ראשית נראה שהטור‬
‫‪n‬‬
‫הפולינומים המתוקנים‪ .‬נשים לב שיש בדיוק ‪ q‬פולינומים מתוקנים מדרגה ‪ .n‬לכן‬
‫‪q m q −m = n + 1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫=‬
‫)‪− deg f (x‬‬
‫‪m=0‬‬
‫ולכן הטור )‪q − deg f (x‬‬
‫‪P‬‬
‫‪q‬‬
‫‪X‬‬
‫‪deg(f )≤n‬‬
‫מתבדר‪ .‬מאידך‬
‫‪q m q −2m < (1 − q −1 )−1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪m=0‬‬
‫‪8‬‬
‫=‬
‫)‪−2 deg f (x‬‬
‫‪q‬‬
‫‪X‬‬
‫‪deg(f )≤n‬‬
‫ולכן הטור )‪q −2 deg f (x‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס‪ .‬מכאן ההוכחה זהה למה שעשינו ב‪ ,N‬כלומר מגדירים‬
‫))‪k(p(x‬‬
‫‪(1 − q − deg pi (x) )−1‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪i=1‬‬
‫וממשיכים משם‪ ,‬כאשר מחליפים פשוט כל ‪ pi‬ב־ )‪.q − deg pi (x‬‬
‫‪9‬‬
‫= ))‪λ(p(x‬‬