‫תורת המספרים ־ הרצאה ‪3‬‬ ‫‪ 14‬בנובמבר ‪2011‬‬ ‫תזכורת‬ ‫‪1‬‬ ‫בשיעורים שעברו דיברנו על על חוגים ותכונותיהם‪ .‬בפרט דיברנו על‪:‬‬ ‫‪ .1‬תחום שלמות‪ :‬אם מכפלה של ‪ 2‬איברים שווה ל‪ ,0‬אז אחד מהם הוא ‪.0‬‬ ‫‪ .2‬תחום ראשי‪ :‬כל אידיאל נוצר ע"י איבר יחיד‪.‬‬ ‫‪ .3‬תחום אוקלידי‪ :‬אם קיימת לו פונקצית "דרגה" שדרכה מגדירים חלוקה עם שארית‪.‬‬ ‫והוכחנו מספר משפטים ותכונות מעניינים‪:‬‬ ‫‪ .1‬תחום אוקלידי הוא תחום ראשי‪.‬‬ ‫‪ .2‬בתחום ראשי איבר הוא אי־פריק אמ"מ הוא ראשוני‪.‬‬ ‫‪ .3‬בתחום ראשי ‪ a 6= 0‬הוא מכפלה של א"פ‪ ,‬ולכן גם מכפלה של ראשוניים‪.‬‬ ‫‪ .4‬מהנ"ל הסקנו בעזרת מספר למות שתחום ראשי הוא תחום פח"ע ־ פריקות חד ערכית‪ .‬כלומר כל איבר‬ ‫ניתן להציג כמכפלה של ראשוניים ־ ולייתר דיוק‪ ,‬מכפלה של מחלקות שקילות של ראשוניים לפי יחס‬ ‫ידידות ־ באופן יחיד‪.‬‬ ‫‪1.1‬‬ ‫עוד דוגמאות לתחומים אוקלידיים ותחומים לא אוקלידיים‬ ‫סיימנו את השיעור כשהראינו ש ]‪ Z[i‬הוא תחום אוקלידי ולכן ראשי ולכן יש בו פח"ע‪.‬‬ ‫‪ Z[ω] 1.1.1‬הוא תחום אוקלידי‬ ‫√‬ ‫נסתכל על המשוואה ‪ ,x3 = 1‬וניקח את שורש היחידה שפותר אותה‪ .ω = −1+2 −3 ,‬קל לראות ש ]‪ Z[ω‬סגור‬ ‫לחיבור‪ .‬נשים לב ש־ ‪ ,1 + ω + ω 2 = 0‬וגם ‪ ω = ω 2 , ω = ω 2‬ולכן סגור להצמדה‪ .‬הוא גם סגור לכפל‪:‬‬ ‫‪(a + bω)(c + dω) = ac + (ad + bc)ω + bdω 2 = (ac − bd) + (ad + bc − bd)ω‬‬ ‫‪1‬‬ ‫כאשר השוויון האחרון נובע מהמשוואה הראשונה הנ"ל‪ .‬לכן הוא סגור גם לכפל‪ .‬מאידך הוא תת־קבוצה של ‪C‬‬ ‫ולכן תחום שלמות‪ .‬נוכיח שהוא תחום אוקלידי‪ .‬נגדיר‬ ‫‪λ(x) := xx = a2 − ab + b2‬‬ ‫‪∀x = a + bω‬‬ ‫וכעת יהיו ]‪ .y 6= 0, x ∈ Z[ω‬נשים לב ש‬ ‫‪x‬‬ ‫‪xy‬‬ ‫=‬ ‫‪= r + sω‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪yy‬‬ ‫כאשר ‪ r, s‬רציונליים‪ .‬זאת כוון ש )‪ yy = λ(y‬ולכן הוא רציונלי כלשהו ע"פ הדרך שהגדרנו את ‪ .λ‬כעת נפעל‬ ‫בדרך שכבר ראינו בשיעור שעבר ונבחר ‪ m, n ∈ Z‬כך שיתקיים ‪ .|r − m| ≤ 21 , |s − n| ≤ 21‬ואז נגדיר‬ ‫‪ .z = m + nω‬נקבל‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫‪λ( − z) = (r − m)2 − (r − m)(s − n) + (s − n)2 ≤ + + < 1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪4 4 4‬‬ ‫וכעת השארית שלנו היא ‪ ρ = x − yz‬ואז או ש ‪ ρ = 0‬או‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪λ(ρ) = λ(y( − z)) = λ(y)λ( − z) < λ(y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫כאשר אנחנו משתמשים בכיפליות ‪ , λ‬כתוצאה ישרה מאיך שהגדרנו אותה‪ .‬לכן ]‪ Z[ω‬תחום אוקלידי‪ ,‬ולכן‬ ‫ראשי‪ ,‬ולכן פח"ע‪.‬‬ ‫√‬ ‫‪ Z[ −5] 1.1.2‬אינו תחום אוקלידי‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫נשים לב ש ‪ (1 + −5)(1 − −5) = 6‬ולכן ‪ 2‬למשל מחלק אותו‪ .‬אבל ‪ 2‬לא מחלק את ‪ 1 + −5‬ולא את‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪ ,1 − −5‬ולכן איננו ראשוני‪ .‬מאידך ‪ 2‬הוא א"פ‪ :‬נשים לב ש ‪ Z[ −5] ⊂ C‬ונסתכל על הנורמה המושרית על‬ ‫√‬ ‫]‪ .Z[ −5‬נניח בשלילה ש‪ 2‬פריק‪ .‬אזי ‪ xy = 2‬ולכן ‪ .|xy| = |x||y| = 2‬נקבל ש ‪ 1 < |x|, |y| < 2‬כי אחרת הם‬ ‫√‬ ‫הפיכים‪ .‬אבל יש מספר סופי של איברים המקיימים תכונה זו ב]‪ ,Z[ −5‬ואחרי בדיקה קצרה ניתן לראות שאין‬ ‫√‬ ‫כאלה אשר מכפלתם ‪ .2‬וברור ש‪ 2‬לא הפיך‪ ,‬ולכן א"פ‪ .‬אבל אם ]‪ Z[ −5‬היה אוקלידי‪ ,‬אז הוא היה ראשי ואז‬ ‫√‬ ‫כל א"פ היה ראשוני‪ ,‬ולכן ]‪ Z[ −5‬איננו אוקלידי‪.‬‬ ‫‪1.1.3‬‬ ‫אינסופיות ראשוניים ב‪ Z‬וב]‪F[x‬‬ ‫משפט ‪ 1.1‬בחוג ‪ Z‬יש אינסוף ראשוניים‬ ‫הוכחה‪ :‬ההפיכים היחידים שלנו הם ‪ 1, −1‬ולכן מספיק להסתכל רק על הראשוניים החיוביים‪ .‬נניח בשלילה‬ ‫שיש מספר סופי מהם ונסמן אותם בסדר עולה ‪ .p1 , ..., pn‬יהי ‪ .N = p1 · ... · pn + 1‬לכל ]‪ i ∈ [n‬מתקיים‬ ‫‪ pi - N‬כי אחרת עבור ‪ t‬כלשהו ‪ pi (t − p1 · · · pi−1 pi · · · pn ) = 1‬בסתירה לכך ש ‪ pi‬לא הפיך‪ .‬אבל ‪ Z‬חוג‬ ‫אוקלידי ולכן ל ‪ N‬יש פירוק לראשוניים‪ ,‬ובפרט קיים ראשוני ‪ p 6= pi , p|N‬לכל ]‪ ,i ∈ [n‬בסתירה להנחה‪.‬‬ ‫הערה ‪ 1.2‬באותו אופן בדיוק ניתן להוכיח את המשפט עבור חוג הפולינומים מעל שדה כלשהו ]‪ .F[x‬נשים לב‬ ‫שלחוג הזה קל להגדיר פונקציית ‪ λ‬בעזרת דרגת הפולינום ולכן הוא אוקלידי וראשי‪ .‬אם ‪ F‬אינסופי‪ ,‬אזי יש‬ ‫אינסוף פולינומים אי פריקים מהצורה ‪ x − a‬עבור ‪ a ∈ F‬כלשהו‪ ,‬והם כולם ראשוניים מכך שהחוג ראשי‪ .‬אחרת‬ ‫השדה סופי‪ ,‬ואז מוכיחים שיש אינסוף פולינומים מתוקנים ראשוניים‪ ,‬בדיוק באופן שעשינו לעיל‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1.1.4‬‬ ‫קיים תחום שלמות עם מספר סופי של ראשוניים‬ ‫ובפרט‪ ,‬ניתן לבנות תחום שלמות עם ראשוני יחיד )עד כדי ידידות(‪ .‬ניקח ‪ p ∈ Z‬ראשוני ונגדיר‬ ‫}‪p - b‬‬ ‫‪a, b ∈ Z,‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪Zp = { :‬‬ ‫‪b‬‬ ‫אזי ‪ Zp‬הוא חוג כי בחיבור וכפל איברים‪ ,‬למשל ‪ ab , dc‬ממנו המכנה הוא מכפלה של המכנים ‪ .cd‬ואז אם ‪p|cd‬‬ ‫אז לפי הגדרה ‪ p|c‬או ‪ p|d‬בסתירה לכך שהם איברים קבוצה שלנו‪ .‬לכן קל לראות ש־ ‪ Zp‬הוא חוג‪ ,‬ובפרט הוא‬ ‫תחום שלמות‪ ab .‬הוא הפיך אם קיים ‪ dc‬כך ש־ ‪ . ab · dc = 1 ⇒ ac = bd‬כוון ש־‪ p - b, p - d‬ו־‪ a|bd‬בהכרח‬ ‫‪ p - a‬כי אחרת ‪ .p|bd‬מאידך קל לראות שאם ‪ p - a, p - b‬אז ‪ ab‬הפיך בתחום הנ"ל‪.‬‬ ‫כעת נשים לב שניתן לכתוב כל ‪ a ∈ Z‬כ־ ‪ a = pt a0‬כך ש ‪ .p - a0‬לכן בהכרח כל מספר ראשוני בחוג הוא‬ ‫מהצורה‬ ‫‪ pa‬כאשר ‪ ab‬הוא הפיך‪ ,‬ולכן יש רק ראשוני יחיד‪.‬‬ ‫‪b‬‬ ‫שימושים לפח"ע בתורת המספרים‪ ,‬ופונקציות אריתמטיות‬ ‫‪2‬‬ ‫הגדרה ‪ 2.1‬מספר ‪ n ∈ Z‬נקרא חופשי מריבועים )‪ (square free‬אם לא קיים ‪ m 6= 1, −1‬כך ש־ ‪.m2 |n‬‬ ‫למה ‪ 2.2‬לכל ‪ n ∈ Z‬קיימים ‪ a, b ∈ Z‬כך ש־ ‪ n = ab2‬ו־‪ a‬חופשי מריבועים‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬מפח"ע יהי ‪ .n = pa11 · · · pakk‬נסמן }‪ ai = 2bi + ri , ri ∈ {0, 1‬ואז ניקח = ‪b‬‬ ‫‪.pb11 · · · pbkk‬‬ ‫‪a = pr11 · · · prkk ,‬‬ ‫מכאן נקבל הוכחה נוספת לכך שיש אינסוף ראשוניים ב‪ .Z‬נניח שיש מספר סופי שלהם ‪ .p1 , ..., pk‬ניקח ‪N‬‬ ‫כלשהו ונסתכל על כל הטבעיים הקטנים ממנו‪ .‬אם ‪ n ≤ N‬אז לפי הלמה נוכל לכתוב אותו ‪ n = ab2‬כאשר ‪a‬‬ ‫√‬ ‫חופשי מריבועים ולכן הוא אחד מתוך ‪ 2k‬המספרים שחזקת הראשוניים בהם היא ‪ 1‬או ‪ .0‬נשים לב ש־ ‪.b ≤ N‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫יש לכל היותר ‪ 2k N‬מספרים טבעיים ‪ n‬כנ"ל שמספקים את ‪ 2‬התנאים הללו‪ .‬לכן ‪N ≤ 2k N ⇒ N ≤ 2k‬‬ ‫וזה כמובן לא נכון עבור ‪ N‬מספיק גדול כלשהו‪ .‬סתירה‪.‬‬ ‫כעת נגדיר מספר פונקציות טבעיות על המספרים השלמים‪.‬‬ ‫‪2.0.5‬‬ ‫פונקציות ‪ν, σ‬‬ ‫הגדרה ‪ 2.3‬יהי ‪ n‬טבעי‪ .‬נגדיר‪:‬‬ ‫‪ν(n) .1‬־ מספר המחלקים החיוביים של ‪ .n‬למשל ‪.ν(12) = 6‬‬ ‫‪σ(n) .2‬־ סכום המחלקים החיוביים של ‪ .n‬למשל ‪.σ(3) = 4‬‬ ‫כעת נשתמש בכך ש־‪ Z‬הוא תחום פח"ע‪ ,‬ונוכיח‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫משפט ‪ 2.4‬יהי ‪ n = pa11 · · · pakk‬הפירוק של ‪ n‬טבעי‪ .‬אזי‬ ‫)‪ν(n) = (a1 + 1) · · · (ak + 1‬‬ ‫‪pa11 +1 − 1‬‬ ‫‪pak +1 − 1‬‬ ‫‪··· k‬‬ ‫‪p1 − 1‬‬ ‫‪pk − 1‬‬ ‫= )‪σ(n‬‬ ‫הוכחה‪ :‬עבור הנוסחא הראשונה נשים לב ש ‪ m|n‬אמ"מ ‪ m = pb11 · · · pbkk‬כך ש ‪ .0 ≤ bi ≤ ai‬כמות המספרים‬ ‫הללו שווה בדיוק למספר ה‪n‬־יות ) ‪ (b1 , ..., bk‬המקיימות את התנאי הנ"ל‪ ,‬וזה שווה בדיוק ל־)‪ .v(n‬עבור ‪,σ‬‬ ‫נשתמש בנוסחא לסכום של סדרה הנדסית‬ ‫‪pa11 +1 − 1‬‬ ‫‪pkak +1 − 1‬‬ ‫=‬ ‫···‬ ‫‪p1 − 1‬‬ ‫‪pk − 1‬‬ ‫‪ak‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪b1‬‬ ‫) ‪pbkk‬‬ ‫(‬ ‫( · · · ) ‪p1‬‬ ‫‪bk =0‬‬ ‫‪b1 =0‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫=‬ ‫‪· · · pbkk‬‬ ‫‪pb11‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= )‪σ(n‬‬ ‫‪0≤bi ≤ai‬‬ ‫הערה ‪ 2.5‬נשים לב ש־‪ σ, ν‬הן כפליות עבור מספרים זרים‪ .‬כלומר אם ‪ gcd(a, b) = 1‬אז )‪.σ(ab) = σ(a)σ(b‬‬ ‫‪2.0.6‬‬ ‫מספרים מושלמים ומספרי מרסן‬ ‫ישנה בעייה פתוחה ומעניינת שקשורה לפונקציה ‪:σ‬‬ ‫הגדרה ‪ 2.6‬מספר טבעי ‪ n‬נקרא מושלם )‪ (perfect‬אם ‪.σ(n) = 2n‬‬ ‫למשל‪ 6 ,‬ו־‪ 28‬הם מספרים מושלמים‪ .‬זו הגדרה "מתבקשת" שכן במקרה זה סכום כל המחלקים מלבד המספר‬ ‫עצמו‪ ,‬שווה למספר‪ .‬נשים לב שמהחלק השני של המשפט לעיל‪ ,‬נובע שאם ‪ 2m+1 − 1‬הוא ראשוני‪ ,‬אזי‬ ‫)‪ n = 2m (2m+1 − 1‬הוא מושלם‪:‬‬ ‫‪2m+1 − 1 (2m+1 − 1)2 − 1‬‬ ‫‪· m+1‬‬ ‫‪2−1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−1−1‬‬ ‫‪m+1‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫)‪− 1 − 1)(2m+1 − 1 + 1‬‬ ‫)‪= (2m+1 − 1‬‬ ‫‪2m+1 − 1 − 1‬‬ ‫‪= 2m+1 (2m+1 − 1) = 2n‬‬ ‫= )‪σ(n‬‬ ‫מאידך‪ ,‬ניתן להראות שכל מושלם זוגי ‪ n‬הוא מהצורה הנ"ל‪ .‬נכתוב את ‪ n‬כך‪ n = 2k−1 m :‬כאשר ‪ k ≥ 2‬ו־‪m‬‬ ‫הוא אי זוגי‪ .‬לכן מכיפליות ‪ σ‬עבור הזרים ‪:m, 2k−1‬‬ ‫)‪σ(n) = σ(2k−1 m) = σ(2k−1 )σ(m‬‬ ‫‪= (2k − 1)σ(m) = 2k m‬‬ ‫כלומר ‪ 2k −1|2k m‬וכוון ש ‪ gcd(2k , 2k −1) = 1‬נקבל לפי משפט שהוכחנו ש־ ‪ 2k −1|m‬ונסמן ‪.m = (2k −1)M‬‬ ‫נציב חזרה במשוואה לעיל ונצמצם ב־)‪(2k − 1‬‬ ‫‪σ(m) = 2k M = m + M‬‬ ‫‪4‬‬ ‫כלומר ‪ m‬הוא ראשוני שכן כל מחלקים הם ‪ m‬ו‪ ,M = 1‬והוא מהצורה ‪ ,m = 2k − 1‬כשם שדרשנו‪.‬‬ ‫מספרים ראשוניים מהצורה הנ"ל נקראים מספרי מרסן )‪.(Mersenne‬‬ ‫הערה ‪ 2.7‬השאלה המקבילה עבור מספרים מושלמים כיפלית‪ ,‬היא פשוטה‪ .‬אם מכפלת המחלקים של ‪ n‬היא‬ ‫‪ n2‬אז לא ייתכן שהוא ראשוני‪ ,‬או ריבוע של ראשוני‪ .‬בפרט בהכרח קיים ‪d|n‬המקיים ‪ d 6= nd‬כאשר ‪ d‬ראשוני‪.‬‬ ‫לכן ‪ n‬הוא או חזקה שלישית של ראשוני או מכפלה של ‪ 2‬ראשוניים‪ .‬דוגמא למספר כזה היא ‪.10‬‬ ‫‪2.0.7‬‬ ‫פונקציית מוביוס )‪(Mobius‬‬ ‫הגדרה ‪ 2.8‬פונקצית מוביוס )‪ µ : N → {0, 1‬מוגדרת באופן הבא על‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪µ(n) = 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(−1)k‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪n is not square free‬‬ ‫‪n = p1 · · · pk , dierent primes‬‬ ‫משפט ‪ 2.9‬אם ‪ n > 1‬אז ‪µ(d) = 0‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪d|n‬‬ ‫‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נרשום ‪ ,n = pa11 · · · pakk‬ואז‬ ‫‪X‬‬ ‫) ‪µ(pe11 · · · pekk‬‬ ‫= )‪µ(d‬‬ ‫‪(e1 ,...,ek )∈{0,1}k‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪d|n‬‬ ‫ ‬ ‫‪k‬‬ ‫‪= 1−‬‬ ‫‪+ ... + (−1)k = (−1 + 1)k = 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫הגדרה ‪ 2.10‬תהיינה שתי פונקציות מהטבעיים למרוכבים ‪ .f, g : N → C‬אזי מכפלת )קונבולוצית( דיריכלה‬ ‫)‪ (Dirichlet product/convolution‬של שתיהן מוגדר כ־‬ ‫‪n‬‬ ‫) (‪f (d)g‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ) ‪f (d1 )g(d2‬‬ ‫‪d|n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪d1 d2 = n‬‬ ‫‪d1 , d2 ∈ N‬‬ ‫מספר תכונות קלות לבדיקה‪:‬‬ ‫‪ .1‬קומוטטיביות‪f ◦ g = g ◦ f :‬‬ ‫‪ .2‬אסוציאטיביות‪f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h :‬‬ ‫‪5‬‬ ‫= )‪f ◦ g(n‬‬ ‫‪ .3‬קיימת פונקצית זהות ‪ : N → C‬המוגדרת ‪∀n > 1 (n) = 0‬‬ ‫‪◦f =f‬‬ ‫‪ ,(1) = 1,‬כך שמתקיים = ◦ ‪f‬‬ ‫נגדיר פונקציה ‪.∀n ∈ N I(n) := 1‬‬ ‫למה ‪.I ◦ µ = µ ◦ I = 2.11‬‬ ‫הוכחה‪ :‬עבור ‪ n = 1‬נקבל ‪ I(1)µ(1) = µ(1)I(1) = 1‬ועבור ‪ n > 1‬נקבל = )‪µ(d‬‬ ‫‪.0‬‬ ‫משפט ‪) 2.12‬משפט ההיפוך של מוביוס(‪ .‬תהי )‪f (n‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪d|n‬‬ ‫‪d|n‬‬ ‫= )‪ ,F (n‬אזי ) ‪µ(d)F ( nd‬‬ ‫‪P‬‬ ‫= )‪µ◦I(n) = I ◦µ(n‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪d|n‬‬ ‫= )‪.f (n‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪F = f ◦I‬‬ ‫‪⇓ from associativity‬‬ ‫‪F ◦ µ = f ◦ (I ◦ µ) = f ◦ = f‬‬ ‫נשים לב שלא דרשנו שום דבר מיוחד מלבד קומוטטיביות עבור הטווח של ‪ ,F, f‬והטענה בעצם מתקיימת לכל‬ ‫טווח שהוא חבורה אבלית )קומוטטיבית \ חיבורית(‪.‬‬ ‫‪2.0.8‬‬ ‫פונקציית אוילר‬ ‫כעת נגדיר פונקציה אריתמטית נוספת‪ ,‬ונשפט במשפט ההיפוך של מוביוס כדי לתת לה נוסחא מפורשת‪.‬‬ ‫הגדרה ‪) 2.13‬פונקציית אוילר(‪ .‬פונקצית אוילר היא ‪ φ : N → N‬המוגדרת כ‪ φ(n) :‬הוא מספר הטבעיים בין ‪1‬‬ ‫ל־‪ n‬הזרים ל‪.n‬‬ ‫למשל‬ ‫‪φ(1) = 1 φ(5) = 4 φ(6) = 2 φ(9) = 6‬‬ ‫משפט ‪φ(d) = n 2.14‬‬ ‫‪d|n‬‬ ‫‪P‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נתבונן ב־‪ n‬המספרים הרציונליים‬ ‫‪n−1 n‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪, , ...,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪n n‬‬ ‫‪n n‬‬ ‫ונצמצם כל שבר עד שהמונה והמכנה זרים‪ .‬כעת‪ ,‬כל מכנה הוא מחלק של ‪ ,n‬ולכל מחלק ‪ d|n‬יש בדיוק )‪φ(d‬‬ ‫שברים עם המכנה ‪ d‬כי אלו בדיוק השברים שלא ניתן לצמצם עוד‪ .‬אבל סה"כ המספרים הוא בדיוק ‪ n‬וכל‬ ‫‪P‬‬ ‫מספר נספר ב־)‪ φ(d‬של ‪ d|n‬כלשהו‪ .‬לכן נקבל ‪. d|n φ(d) = n‬‬ ‫‪6‬‬ ‫משפט ‪ 2.15‬עבור ‪ n = pa11 · · · pakk‬מתקיים‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪)(1 − ) · · · (1 −‬‬ ‫‪p1‬‬ ‫‪p2‬‬ ‫‪pk‬‬ ‫הוכחה‪φ(d) :‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪d|n‬‬ ‫‪φ(n) = n(1 −‬‬ ‫= ‪ n‬ולכן ממשפט ההיפוך של מוביוס‬ ‫‪k‬‬ ‫‪Xn X n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪=n−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫) ‪− ... = n(1 − )(1 − ) · · · (1 −‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪pp‬‬ ‫‪p1‬‬ ‫‪p2‬‬ ‫‪pk‬‬ ‫‪i=1 i‬‬ ‫‪i<j i j‬‬ ‫‪3‬‬ ‫הטור‬ ‫‪P1‬‬ ‫‪p‬‬ ‫· )‪µ(d‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= )‪φ(n‬‬ ‫‪d|n‬‬ ‫מתבדר‬ ‫בתחילת ההרצאה הוכחנו שיש מספר אינסופי של ראשוניים בטבעיים‪ .‬כעת נוכיח טענה חזקה יותר‪ ,‬שאומרת‬ ‫משהו על צפיפות הראשוניים‪.‬‬ ‫משפט ‪ 3.1‬הטור מעל כל הראשוניים ב‪,N‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪p p‬‬ ‫‪P‬‬ ‫מתבדר‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬יהיו )‪ p1 , ..., pk(n‬כל הראשוניים הקטנים מ־‪ .n‬נגדיר‬ ‫‪1‬‬ ‫‪pi‬‬ ‫נשים לב ש־‬ ‫∞‪P‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ai =0 pai‬‬ ‫‪i‬‬ ‫=‬ ‫‪1 −1‬‬ ‫)‬ ‫‪pi‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫)‪k(n‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫= )‪λ(n‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪ .(1 −‬כוון שהטורים הללו מתכנסים ניתן לשנות סדר סכימה במכפלה ולקבל‬ ‫‪X‬‬ ‫‪(pa11 · · · pakk )−1‬‬ ‫) ‪(a1 , ..., ak‬‬ ‫‪non negative k-tuples‬‬ ‫בפרט נקבל‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+ ... +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪λ(n) > 1 +‬‬ ‫‪7‬‬ ‫= )‪λ(n‬‬ ‫כלומר הוא חוסם את הטור ההרמוני מלמעלה ולכן ∞ → )‪ .λ(n‬נשים לב שזה כבר מוכיח שיש אינסוף‬ ‫ראשוניים‪ .‬כעת‬ ‫‪log(1 − p−1‬‬ ‫) ‪i‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪−‬‬ ‫))‪log(λ(n‬‬ ‫=‬ ‫‪i=1‬‬ ‫)‪taylor series of log(1 − x‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪(mpm‬‬ ‫) ‪i‬‬ ‫‪k X‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫=‬ ‫‪i=1 m=1‬‬ ‫∞‬ ‫‪k‬‬ ‫‪XX‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪+ ... +‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪(mpm‬‬ ‫) ‪i‬‬ ‫‪p1‬‬ ‫‪pk‬‬ ‫‪i=1 m=2‬‬ ‫=‬ ‫נשים לב‬ ‫‪−1 −1‬‬ ‫‪p−m‬‬ ‫‪= p−2‬‬ ‫‪≤ 2p−2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫) ‪i (1 − pi‬‬ ‫‪i‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪(mpm‬‬ ‫<‬ ‫) ‪i‬‬ ‫‪m=2‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪m=2‬‬ ‫⇓‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪log(λ(n)) < p−1‬‬ ‫) ‪1 + ... + pk + 2(p1 + ... + pk‬‬ ‫‪P1‬‬ ‫‪P 1‬‬ ‫מתכנסת ולכן בהכרח המחובר האחרון מתכנס‪ .‬לכן אם‬ ‫נזכור ש‬ ‫היה מתכנס‪ ,‬היה )‪ log λ(n‬חסום‬ ‫‪p‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪P1‬‬ ‫‪M‬‬ ‫ע"י ‪ M‬כלשהו‪ ,‬אבל אז ‪ λ(n) < e‬בסתירה לכך שהוא שואף לאינסוף‪ .‬לכן‬ ‫מתבדר‪.‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪3.1‬‬ ‫המקרה של ]‪ F[x‬כאשר ‪ F‬שדה סופי‬ ‫נניח שהשדה הוא בגודל ‪ .q‬במקרה זה‪ ,‬את תפקיד הראשוניים הטבעיים תופסים הפולינומים המתוקנים האי־‬ ‫פריקים‪" .‬הגודל" של )‪ f (x‬תינתן ע"י )‪ ,q deg f (x‬כי זה מספר הפולינומים ממעלה קטנה יותר‪ ,‬בדיוק כמו ש־‪ n‬זה‬ ‫מספר הטבעיים )כולל אפס( הקטנים מ־‪.n‬‬ ‫משפט ‪ 3.2‬ב]‪ F[x‬הטור )‪q − deg p(x‬‬ ‫‪P‬‬ ‫מתבדר‪ ,‬כאשר סוכמים על )‪ p(x‬הפולינומים המתוקנים האי פריקים בחוג‪.‬‬ ‫)‪P −2 deg f (x‬‬ ‫)‪P − deg f (x‬‬ ‫מתכנס‪ ,‬כאשר שניהם רצים על‬ ‫‪q‬‬ ‫מתבדר ואילו‬ ‫‪q‬‬ ‫הוכחה‪ :‬ראשית נראה שהטור‬ ‫‪n‬‬ ‫הפולינומים המתוקנים‪ .‬נשים לב שיש בדיוק ‪ q‬פולינומים מתוקנים מדרגה ‪ .n‬לכן‬ ‫‪q m q −m = n + 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫=‬ ‫)‪− deg f (x‬‬ ‫‪m=0‬‬ ‫ולכן הטור )‪q − deg f (x‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪deg(f )≤n‬‬ ‫מתבדר‪ .‬מאידך‬ ‫‪q m q −2m < (1 − q −1 )−1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪m=0‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫)‪−2 deg f (x‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪deg(f )≤n‬‬ ‫ולכן הטור )‪q −2 deg f (x‬‬ ‫‪P‬‬ ‫מתכנס‪ .‬מכאן ההוכחה זהה למה שעשינו ב‪ ,N‬כלומר מגדירים‬ ‫))‪k(p(x‬‬ ‫‪(1 − q − deg pi (x) )−1‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫וממשיכים משם‪ ,‬כאשר מחליפים פשוט כל ‪ pi‬ב־ )‪.q − deg pi (x‬‬ ‫‪9‬‬ ‫= ))‪λ(p(x‬‬