מסכם: בועז מתן. מרצה: ד;quot&ר אסף רינות. תורת הקבוצות, 202־88. 19.03
מרצה :ד"ר אסף רינות.
תורת הקבוצות202 ,־.88
מסכם :בועז מתן.
19.03.14־ הרצאה שלישית
תזכורת:
• אם )< (A,סדורה היטב ו־ f : A → Aהעתקה שומרת סדר ,אז f (a) ≥ aלכל .A 3 a
• אם } B = b ↓= {a ∈ A | a < bרישא של Aאז )< .(B, <) (A,
• סדרים טובים הם צפידים :אם f : A → Aאיזומורפיזם שומר סדר של סדר טוב )< ,(A,אז fהעתקת הזהות.
• אם ) (B, <Bסדר־איזומורפי ל־ )< (A,סדורה היטב ,אזי קיים איזומורפיזם יחיד המעיד על כך.
טענה 0.1אם β ∈ αסודרים ,אז βריישא של )∈ ,(α,ולכן )∈ .(β, ∈) (α,
הוכחה :נתבונן בתחילית של )∈ :(α,
}β ↓= {a ∈ α | a < β} = {a ∈ α | a ∈ β
כיוון ש־ β ∈ αו־ αטרנזיטיבית ,β ⊆ αאז:
= {a ∈ β | a ∈ β} = β
∼ )∈ ,(α,אזי .α = β
מסקנה 0.2אם α, βסודרים המקיימים )∈ = (β,
הוכחה :מחלקת הסודרים סדורה היטב.
אם α 6= βאז בלי הגבלת הכלליות .β ∈ α
במקרה זה )∈ (β,היא ריישא של )∈ .(α,
ואז מההנחה אודות האיזומורפיזם בין הסדרים ,נקבל כי )∈ (α,איזומורפיזי לרישא של עצמו ,וזאת סתירה.
משפט 0.3נניח ) (B, <B ) (A, <Aסדרים טובים .אז בדיוק אחד מהבאים מתקיים:
∼ ) .(A, <A
= (B, <B ) .1
(B, <B ) .2איזומורפיזי לרישא של ) .(A, <A
(A, <A ) .3איזומורפיזי לרישא של ) .(B, <B
והאיזומורפיזם תמיד יחיד )מהצפידות של סדרים טובים(.
הוכחה :נסמן
∼ ) f = {(a, b) ∈ A × B | (a ↓, <A
}) = (b ↓, <B
תת־טענה f :1פונקציה.
הוכחה:
אחרת ,קיימים a ∈ Aו־ b1 6= b2ב־ Bכך ש־
∼ ) (a ↓, <A
) = (b1 ↓, <B
∼ ) (a ↓, <A
) = (b2 ↓, <B
∼ ) .(b1 ↓, <B
בפרט= (b2 ↓, <B ) :
בלי הגבלת הכלליות ,b1 <B b2 :אז קיבלנו כי ) (b2 ↓, <Bאיזומורפית לרישא של עצמה.
סתירה! מש"ל תת־טענה .1
תת־טענה f :2חד־חד־ערכית.
1
גרסא 8 :במאי 2014
תורת הקבוצות202 ,־.88
מסכם :בועז מתן.
מרצה :ד"ר אסף רינות.
הוכחה:
∼
אחרת ,באופן דומה לתת־טענה ,1ניתן יהיה למצוא a1 <A a2ב־ Aכך ש־ ) .(a2 ↓, <A ) = (a1 ↓, <Aסתירה!
מש"ל תת־טענה .2
תת־טענה f :3שומרת סדר.
הוכחה:
נניח (a1 , b1 ) , (a2 , b2 ) ∈ fו־ .a1 <A a2נבקש להראות כי .b1 <B b2
כיוון ש־ ↓ a1רישא של ↓ ,a2והאחרון איזומורפי ל־ ↓ ,b2הרי ש־ ↓ a1איזומורפי לרישא של ↓ .b2
כיוון ש־ ↓ a1איזומורפי ל־ ↓ ,b1נסיק סך־הכל כי ↓ b1איזומורפי לרישא של ↓ .b2
∼↓ .b
תהי לכן ↓ b ∈ b2כך ש־ ↓ = b1
אם b1 < bהרי ש־ ↓ bאיזומורפי לרישא של עצמה )היא ↓ .(b1
אם b < b1הרי ש־ ↓ b1איזומורפי לרישא של עצמה )היא ↓ .(b
לכן ,האפשרות היחידה היא כי ,b = b1כלומר ↓ ,b1 ∈ b2ואזי b1 <B b2כמבוקש .מש"ל תת־טענה .3
תת־טענה :4אם ,a <A a ,dom (f ) 3 aאז גם ) .a ∈ dom (f
0
0
הוכחה:
נניח .(a, b) ∈ f
ויהי ↓ π : a ↓↔ bאיזומורפיזם שומר סדר.
0
0
0
בהנתן a <A aנתבונן ב־ ,b = π aאז ↓ π a0איזומורפיזם סדר מ־ ↓ aל־ ↓ .bמש"ל תת־טענה .4
0
0
תת־טענה :5אם ) b ∈ Im (fו־ b <B bאז ) .b ∈ Im (f
0
0
הוכחה:
דומה להוכחת תת־טענה .4מש"ל תת־טענה .5
נובע כי יש שלוש אפשרויות:
.1
.2
אם dom (f ) = Aו־ Im (f ) = B
אם dom (f ) = Aו־ ,Im (f ) 6= Bאז יהי bהאיבר הראשון ב־ ) ,B\Im (fאזי מתת־טענה ,Im (f ) = b ↓ ,5
∼ ) .(A, <A
אז ) = (B, <B
ואז fמעידה כי ) (A, <Aאיזומורפיזית לרישא של ) (B, <Bשהיא ↓ .b
.3אם dom (f ) 6= Aו־ ,Im (f ) = Bאז מתת־טענה ,4קיים a ∈ Aכך ש־ ↓ ,dom (f ) = aואז f −1מעידה
כי ) (B, <Bאיזומורפיזית לרישא של ) ,(A, <Aהיא ↓ .a
• נשים לב :לא ייתכן מצב בו dom (f ) 6= Aוגם ,Im (f ) 6= Bשכן אחרת קיימים b ∈ B ,a ∈ Aכך ש־
∈ ).(a, b
∼ ) (a ↓, <Aבסתירה לכך ש־ / f
↓ .Im (f ) = b ↓ ,dom (f ) = aאבל אז fמעידה כי ) = (b ↓, <B
הגדרה 0.4סודר αנקרא סודר עוקב ⇒⇐ קיים βכך ש־ .α = β + 1אחרת αנקרא סודר גבולי.
הגשמת המספרים הטבעיים
נגדיר:
∅ = 0
}n + 1 = n ∪ {n
אלו הם סודרים.
ההוכחה היא באינדוקציה:
• 0מספר טבעי לכן סודר.
• אם נניח כי nסודר אז גם n + 1סודר.
2
גרסא 8 :במאי 2014
תורת הקבוצות202 ,־.88
נסמן:
מרצה :ד"ר אסף רינות.
}is a natural number
מסכם :בועז מתן.
.ω = {n | n
זאת קבוצה טרנזיטיבית של סודרים ,ולכן היא בעצמה סודר.
∈ αאז היות וכל שני סודרים ברי השוואה ,נקבל .ω ≤ α
אם αסודר כאשר / ω
אבל אז ,ω ⊆ αכלומר αמכיל את הקבוצה האינסופית .ω
מסקנה :סודר הוא סופי ⇒⇐ שייך לקבוצה .ω
נראה דוגמא לבנית המספרים הטבעיים הראשונים:
}∅{ = }∅{ ∪ ∅ = 1
}}∅{ 2 = {∅ ∪ {∅}} ∪ ∅ ∪ {∅} = {∅,
}}}∅{ 3 = {∅, {∅}} ∪ {{∅, {∅}}} = {∅, {∅} , {∅,
A set of 1element
A set of 2elements
A set of 3elements
במקרה הסופי ,העוצמה של הסודר שווה לסודר עצמו.
3סודר עוקב.
דוגמאות:
0סודר גבולי.
=) ωאוסף כל המספרים הטבעיים( סודר גבולי.
} ω + 1 = ω ∪ {ωסודר עוקב.
∼ )< .(A,
משפט 0.5לכל קבוצה סדורה היטב )< (A,קיים סודר )יחיד( αכך ש־ )∈ = (α,
הוכחה :נתבונן ב־
∼ )∈ f = {(a, β) | a ∈ A, β − ordinal, (β,
})< = (a ↓,
נימוקים דומים לאלו שראינו בהוכחה קודמת ,מבססים כי fהיא פונקציה חד־חד־ערכית ושומרת סדר.
שימו לב כי ) Im (fהיא קבוצה טרנזיטיבית של סודרים )כמו תת־טענה (5ולכן קיים סודר δעבורו .Im (f ) = δ
∼↓ ,aכלומר .(a, δ) ∈ f
אם dom (f ) 6= Aאז קיים a ∈ Aכך ש־ ↓ ) dom (f ) = aכמו בתת־טענה , (4אבל אז= δ :
∈ .a
בסתירה לכך ש־ / f
לכן ,dom (f ) = A ,ואז fמהווה איזומורפיזם מ־ Aכולה לסודר כלשהו ,הוא .δ
לכל קבוצה סדורה היטב )< ,(A,נסמן את טיפוס הסדר של הקבוצה בסימון )< otp (A,
הגדרה 0.6
הסדר הטוב(.
)הנציג הקנוני של
∼ )< .(A,
זהו הסודר היחיד αכך ש־ )∈ = (α,
אריתמטיקה של סודרים
חיבור סודרים
בהנתן קבוצות סדורות חלקית ) ,(B, <B ) ,(A, <Aנגדיר סדר ) (C, <Cלהיות:
def
) (C, <C ) = (A, <A ) + (B, <B
באופן הבא:
)}C = (A × {0}) ] (B × {1
}= {(a, 0) | a ∈ A} ] {(b, 1) | b ∈ B
3
גרסא 8 :במאי 2014
מרצה :ד"ר אסף רינות.
תורת הקבוצות202 ,־.88
מסכם :בועז מתן.
נגדיר את יחס הסדר על־ידי:
⇒⇐
i<j
or
)(x, i) <C (y, j
i = j = 0 ∧ x <A y
or
i = j = 1 ∧ x <B y
אם הסדרים <A , <Bסדרים קוויים אז גם <Cכזה .אם הם סדרים טובים אז גם <Cכזה.
הגדרה 0.7עבור סודרים α, βנגדיר:
))∈ α + β = otp ((α, ∈) + (β,
הערה 0.8ראינו מקודם את ההגדרה }.α + 1 = α ∪ {α
שזה αומוסיפים מעליו את }{α
α
_
α
_
בהגדרה שראינו עכשיו אז α + 1זה:
_∅
α
_
אכן ניתן לראות כי מדובר באותו טיפוס סדר ,ולכן ההגדרות האלה מתלכדות.
הערה 0.9חיבור סודרים היא לא פעולה חילופית!
עבור המקרה הסופי היא כן חילופית כי הסכום עבור הסודרים הסופיים מתלכד עם סכום רגיל של המספרים הטבעיים.
עבור המקרה האינסופי:
_•
ω
_
ω+1>ω
There is a maximal element
_
ω
1+ω =ω
_
•
There is no maximal element
ω+1>1+ω
תכונות החיבור
.0 + α = α + 0 = α .1
.2אם β1 < β2אז .α + β1 < α + β2
.3אסוציאטיביות.α + (β + γ) = (α + β) + γ :
4
גרסא 8 :במאי 2014
מרצה :ד"ר אסף רינות.
תורת הקבוצות202 ,־.88
מסכם :בועז מתן.
הוכחה :נוכיח את התכונות:
.1ברור.
.2כי α + β1איזומורפיזי לרישא של .α + β2
.3אם ניקח ) (Ai , <iקבוצות סדורות היטב כאשר מתקיים:
otp (A1 , <1 ) = α
otp (A2 , <2 ) = β
otp (A3 , <3 ) = γ
אז הסודר ) ,α + (β + γוגם (α + β) + γהם טיפוס הסדר של הקבוצה הסדורה היטב )< ,(A1 ∪ A2 ∪ A3 ,
כאשר הסדר < מסדר את הקבוצות אחת מעל השניה.
הערה 0.10אם β1 < β2זה לא בהכרח אומר כי .β1 + α < β2 + α
למשל 2 < 5 :אבל .2 + ω = 5 + ω
טענה 0.11אם βסודר גבולי ,אז }.α + β = sup {α + γ | γ < β
הוכחה :עבור γ < βמתקיים ,α + γ < α + β
כלומר.sup {α + γ | γ < β} ≤ α + β :
נניח בשלילה כי לא מתקיים שיוויון .נסמן
sup {α + γ | γ < β} = δ
אז לפי ההנחה .δ < α + β
היות ו־ 1 < βמתקיים α < δולכן.α < δ < α + β :
הסודר δאיזומורפי לרישא של ,α + βוזים קיים .α + γ = δ :β > γ
אבל δהוא הסופרמום של α + γעל פני כל β > γובפרט עבור γ = γ + 1ולכן ,δ > α + γ :וקיבלנו סתירה.
דוגמא:
עבור סודרים α, β, γכאשר ,γ > 0זה לא נכון לומר כי α + γ = β + γ :גורר .α = β
למשל:
α = 0
β = 1
γ = ω
כפל סודרים
תהיינה קבוצות סדורות חלקית ) .(B, <B ) ,(A, <A
נגדיר את הקבוצה ) (C, <Cבצורה הבאה:
def
) (C, <C ) = (A, <A ) × (B, <B
כאשר
}C = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B
5
גרסא 8 :במאי 2014
תורת הקבוצות202 ,־.88
מרצה :ד"ר אסף רינות.
i <B j
or
⇒⇐
מסכם :בועז מתן.
)(x, i) <C (y, j
(i = j) x <A y
נגדיר:
))∈ α · β = otp ((α, ∈) × (β,
הערה 0.12אם ) (A, <A ) , (B, <Bסדרים טובים אז מכפלתם סדר טוב.
הסבר:
בהינתן Z ⊆ Cלא ריקה ,יהי
}b? = min {b | ∃a ∈ A : (a, b) ∈ Z
<B
ניקח
}(a, b? ) ∈ Z
that
a? = min {a | such
<A
אז ) ? (a? , bאיבר ראשון ב־.Z
הערה 0.13תכונת דיסטריבוטיביות (α + β) · γ = α · γ + β · γלא מתקיימת!
למשל:
α = β=1
γ = ω
(1 + 1) · ω = 2 · ω = ω
1·ω+1·ω = ω+ω
אבל ,כן מתקיים:
α · (β + γ) = α · β + α · γ
הערה 0.14אם α > 0 ,β1 < β2אז .αβ1 < αβ2
הסבר:
ניתן להגדיר איזומורפיזם:
))∈ π : (α, ∈) × ((β, ∈) + (γ, ∈)) → ((α, ∈) × (β, ∈)) + ((α, ∈) × (γ,
)(a, (x, i)) 7→ ((a, x) , i
דוגמא:
זה לא נכון כי אם α · γ = β · γאז .α = βניקח למשל:
α = 1
β = 2
γ = ω
6
גרסא 8 :במאי 2014
תורת הקבוצות202 ,־.88
דוגמא:
מרצה :ד"ר אסף רינות.
מסכם :בועז מתן.
נחפש סודר הכי קטן γהמקיים .ω + γ = γ
סודר זה הוא .γ = ω · ω
ω + (ω · ω) = ω · (1 + ω) = ω · ω
למה זה הכי קטן? אם יש קטן יותר מהסודר הנ"ל ,אז יש טבעיים n, mכך ש־ ,γ = ω · n + mואז זה
לא יתקיים:
ω + (ω · n + m) = ω · (n + 1) + m
הערה 0.15איחוד ומכפלה קרטזית של קבוצות בנות מניה ישאיר אותנו עם קבוצה בת מניה .לכן חיבור וכפל סודרים
בני מניה הוא שוב סודר בן מניה.
תכונות הכפל
.α · 0 = 0 · α = 0 .1
.α · 1 = 1 · α = α .2
) α · 2 = α + α .3אבל יש αעבורם .(2 · α 6= α + α
.α · (β · γ) = (α · β) · γ .4
.α · (β + γ) = α · β + α · γ .5
.6אם β1 < β2ו־ α > 0אז.αβ1 < αβ2 :
תרגיל:
הראו .(ω + 1) + ω = ω + (1 + ω) = ω + ω
7
גרסא 8 :במאי 2014
© Copyright 2024