‫תורת הקבוצות‬ ‫מבוסס על הרצאות פרופ' עזריאל לוי‬ ‫בקורס "תורת הקבוצות" )‪(80200‬‬ ‫האוניברסיטה העברית‪ ,‬סמסטר א' ‪2014‬‬ ‫להערות‪[email protected] :‬‬ ‫נחי‬ ‫תודה לכל מי ששלח הערות ותיקונים‬ ‫‪1‬‬ ‫תוכן עניינים‬ ‫‪I‬‬ ‫‪6‬‬ ‫עובדות בסיסיות‬ ‫‪ II‬מושגי־יסוד‬ ‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫אקסיומות תורת הקבוצות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1.1‬‬ ‫אקסיומת ההיקפיות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫אקסיומות הקיום הבסיסיות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1.3‬‬ ‫האנטינומיה של ראסל ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1.4‬‬ ‫דוקטרינת הגבלת הגודל ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מחלקות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫השפה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3.1‬‬ ‫רשימת הגדרות ומושגים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3.2‬‬ ‫הזוג הסדור ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪3.3‬‬ ‫מושג היחס )הדו־מקומי( ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪3.4‬‬ ‫מושג הפונקציה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪14‬‬ ‫סיכום והרחבת הדיון ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ III‬קבוצות סופיות ובנות מניה‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪18‬‬ ‫עוצמות סופיות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪5.1‬‬ ‫עקרון האינדוקציה לקבוצות סופיות ‪. . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪5.2‬‬ ‫קבוצות חסומות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪21‬‬ ‫קבוצות בנות־מניה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪6.1‬‬ ‫עוצמת קבוצת השלמים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪6.2‬‬ ‫עוצמת הקבוצה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N × N‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪6.3‬‬ ‫עוצמת קבוצות חלקיות ל‪. . . . . . . . . . . . . . . . . N-‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪6.4‬‬ ‫עוצמת קבוצת הרציונליים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . Q‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪6.5‬‬ ‫‪n‬־יות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6.6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫עוצמת קבוצת המספרים האלגבריים ‪. . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫סיכום והרחבת הדיון ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ IV‬השוואת קבוצות‬ ‫‪28‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪8‬‬ ‫עוצמת המספרים הממשיים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪9‬‬ ‫השוואת קבוצות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪9.1‬‬ ‫משפט קנטור ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪9.2‬‬ ‫משפט קנטור־ברנשטיין ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪9.3‬‬ ‫למת הסנדוויץ' ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪9.4‬‬ ‫‪10‬‬ ‫הקבוצה‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫סיכום והרחבת הדיון ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ V‬העוצמות‬ ‫‪39‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪43‬‬ ‫‪11‬‬ ‫יחס סדר חלקי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪43‬‬ ‫‪12‬‬ ‫עוצמה‪/‬מונה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪44‬‬ ‫‪13‬‬ ‫הסדר החלקי של העוצמות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪14‬‬ ‫חשבון עוצמות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪14.1‬‬ ‫חיבור ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪47‬‬ ‫‪14.2‬‬ ‫כפל ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪14.3‬‬ ‫חזקה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪14.4‬‬ ‫פעולות החשבון ויחס הסדר על המספרים הטבעיים ‪. . . . .‬‬ ‫‪54‬‬ ‫‪ VI‬אקסיומת הבחירה‬ ‫‪56‬‬ ‫‪15‬‬ ‫מבוא ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪56‬‬ ‫‪16‬‬ ‫אקסיומת הבחירה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪58‬‬ ‫‪17‬‬ ‫שימושים של אקסיומת הבחירה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪58‬‬ ‫‪17.1‬‬ ‫‪18‬‬ ‫סכום וכפל אינסופיים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫סיכום והרחבת הדיון ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪59‬‬ ‫‪61‬‬ ‫‪ VII‬סדר טוב‬ ‫‪62‬‬ ‫‪19‬‬ ‫מבוא ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪62‬‬ ‫‪20‬‬ ‫סדר טוב ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪63‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪20.1‬‬ ‫אינדוקציה שלמה )או טרנספיניטית( ‪. . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪20.2‬‬ ‫הגדרה רקורסיבית של פונקציה ‪. . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪65‬‬ ‫‪20.3‬‬ ‫איזומורפיזם )או העתקת דמיון( ‪. . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪65‬‬ ‫‪20.4‬‬ ‫משפט הסידור הטוב )אה"ב( ‪. . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪69‬‬ ‫‪20.5‬‬ ‫סדר מילוני )או לקסיקוגרפי( ‪. . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪70‬‬ ‫סיכום והרחבת הדיון ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ VIII‬המספרים הסודרים‬ ‫‪70‬‬ ‫‪77‬‬ ‫‪22‬‬ ‫מבוא ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪77‬‬ ‫‪23‬‬ ‫סודר ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪78‬‬ ‫‪23.1‬‬ ‫תכונות יסודיות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪79‬‬ ‫‪23.2‬‬ ‫מיון כל הסודרים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪81‬‬ ‫‪23.3‬‬ ‫מיון כל הקבוצות הסדורות היטב ‪. . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪82‬‬ ‫‪23.4‬‬ ‫משפט הרטוגס ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪83‬‬ ‫‪ IX‬צורות שקולות של אקסיומת הבחירה‬ ‫‪84‬‬ ‫‪24‬‬ ‫משפט הסידור הטוב )אה"ב( ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪84‬‬ ‫‪25‬‬ ‫משפט השוואת העוצמות‪/‬הקבוצות )אה"ב( ‪. . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪85‬‬ ‫‪26‬‬ ‫הלמה של צורן )אה"ב( ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪85‬‬ ‫‪26.1‬‬ ‫קיום בסיס למרחב ווקטורי )שימוש בלמה של צורן( ‪. . . . .‬‬ ‫‪ X‬הסודרים כעוצמות‬ ‫‪27‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪88‬‬ ‫מונים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪27.1‬‬ ‫‪87‬‬ ‫מושג העוצמה )גישה מחודשת( ‪. . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫הפונקציה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ℵ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪88‬‬ ‫‪88‬‬ ‫‪89‬‬ ‫‪28.1‬‬ ‫חיבור אלפים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪28.2‬‬ ‫כפל אלפים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪92‬‬ ‫‪28.3‬‬ ‫חזקת אלפים )או‪ :‬השערת הרצף( ‪. . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪93‬‬ ‫‪28.4‬‬ ‫חיבור וכפל אינסופיים )או‪ :‬אי־שוויון צרמלו־קניג; אה"ב( ‪. . .‬‬ ‫‪93‬‬ ‫‪5‬‬ ‫חלק‬ ‫‪I‬‬ ‫עובדות בסיסיות‬ ‫מחלקת העצמים בעלי התכונה ‪ Φ‬מסומנת })‪.{x|Φ (x‬‬ ‫לא כל מחלקה היא קבוצה‪ ,‬ולכן המחלקות מתחלקות לשני סוגים‪:‬‬ ‫‪ .1‬מחלקות שהן קבוצות‪ ,‬ומתוקף כך הן עצמן עצמים מתמטיים‪.‬‬ ‫‪ .2‬מחלקות ממש‪ ,‬שהן המחלקות שאינן קבוצות‪ .‬מחלקות אלו אינן עצמים מתמטיים‬ ‫ואינן יכולות להיות איברים של מחלקות‪.‬‬ ‫אקסיומות הקיום הבאות לקוחות מאקסיומות הקיום הבסיסיות‪ ,‬והן קובעות שמחלקות‬ ‫מסוימות הן גם קבוצות‪:‬‬ ‫אקסיומת הזוג‪ :‬המחלקה }‪ {x, y‬היא קבוצה‪.‬‬ ‫אקסיומת האיחוד‪ :‬אם ‪ A‬קבוצה אז גם מחלקת האיחוד שלה ‪A‬‬ ‫‪S‬‬ ‫היא‬ ‫קבוצה‪1 .‬‬ ‫אקסיומת האינסוף‪ :‬מחלקת המספרים הטבעיים ‪ N‬היא קבוצה‪.‬‬ ‫אקסיומת ההפרדה‪ :‬מחלקה חלקית לקבוצה‪ ,‬היא‬ ‫קבוצה‪2 .‬‬ ‫אקסיומת ההחלפה‪ :‬אם ‪ F‬פונקציה ו‪ A-‬קבוצה חלקית לתחום ‪ ,F‬אז גם ]‪ F [A‬היא‬ ‫קבוצה‪3 .‬‬ ‫אקסיומת קבוצת החזקה‪ :‬אם ‪ A‬קבוצה אז גם קבוצת החזקה )‪ P (A‬קבוצה‪.‬‬ ‫‪1‬ראו להלן בפרק ‪ 2.3.1‬את הגדרת המושג "מחלקת איחוד"‪.‬‬ ‫‪2‬ראו להלן בפרק ‪ 2.3.1‬את ההגדרה למושג "חלקיות"‪.‬‬ ‫‪3‬ראו להלן בפרק ‪ 2.3.4‬את הגדרת המושגים "פונקציה"‪" ,‬תחום" ו"טווח"‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫חלק‬ ‫‪II‬‬ ‫מושגי־יסוד‬ ‫• המושג האינטואיטיבי של הקבוצה‪ :‬אוסף כלשהו של עצמים היכול לשמש בעצמו‬ ‫עצם מתמטי‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1.1‬‬ ‫אקסיומות תורת הקבוצות‬ ‫אקסיומת ההיקפיות‬ ‫אם לקבוצות ‪ A, B‬אותם האיברים‪ ,‬כלומר אם לכל ‪ x‬מתקיים ‪ x ∈ A‬אמ"מ ‪,x ∈ B‬‬ ‫אז ‪ ,A = B‬כאשר השיוויון מסמן זהות‪.‬‬ ‫אקסיומה זאת אומרת שקבוצה נקבעת לגמרי ע"י זהות איבריה ולא ע"י אף גורם אחר‪,‬‬ ‫כגון הגדרת הקבוצה‪ .‬כך למשל קבוצת כל המשולשים שווי השוקיים שווה )זהה( לקבוצת‬ ‫המשולשים בעלי שתי זוויות שוות‪ ,‬למרות שמדובר כאן בשתי הגדרות שונות של הקבוצה‪.‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫אקסיומות הקיום הבסיסיות‬ ‫בהינתן תכונה ‪ Φ‬קיימת קבוצה המכילה בדיוק את כל העצמים בעלי התכונה ‪.Φ‬‬ ‫ההבדלים בין תכונה לקבוצה הם שתכונה היא יצור של השפה בעוד שקבוצה היא עצם‬ ‫מתמטי‪ ,‬וגם שקבוצה "יודעת" רק מי נמצא בה ומי אינו נמצא בה‪ ,‬בעוד שתכונה "יודעת"‬ ‫משהו נוסף על עצמים המקיימים אותה‪.‬‬ ‫בשפה המתמטית איננו יכולים לדבר במרוכז על כל התכונות‪ ,‬כפי שנראה בהמשך‪ ,‬ולכן‬ ‫אנו זקוקים לאקסיומת קיום נפרדת לכל תכונה ‪ , Φ‬ולכן קיימות אקסיומות רבות של‬ ‫קיום קבוצות‪.‬‬ ‫משפט‪ :‬לתכונה ‪ Φ‬קיימת‪ ,‬לפי אקסיומת ההיקפיות‪ ,‬לכל היותר קבוצה אחת המכילה‬ ‫בדיוק את כל העצמים שהם בעלי התכונה ‪ ,Φ‬ולכן‪ ,‬לאור אקסיומות הקיום‬ ‫הבסיסיות קיימת בדיוק קבוצה אחת המכילה בדיוק את כל העצמים ‪ x‬שהם‬ ‫בעלי התכונה ‪ .Φ‬קבוצה זאת מסומנת ב‪ ,{x | Φ (x)}-‬כאשר )‪ Φ (x‬היא הטענה‬ ‫ש‪ x-‬הוא בעל התכונה ‪.Φ‬‬ ‫‪1.3‬‬ ‫האנטינומיה של ראסל‬ ‫∈ ‪ .x‬כלומר‪ ,‬הקבוצה‬ ‫לא קיימת קבוצה ‪ Y‬המכילה בדיוק את הקבוצות ‪ x‬המקיימות ‪/ x‬‬ ‫∈ ‪ {x|x‬אינה קיימת‪.‬‬ ‫}‪/ x‬‬ ‫‪7‬‬ ‫∈ ‪ ,Y‬וזאת‬ ‫הוכחה‪ :‬אם ‪ Y‬היא כזאת‪ ,‬אז מהגדרתה נובע שמתקיים ‪ Y ∈ Y‬אמ"מ ‪/ Y‬‬ ‫סתירה‪ .‬‬ ‫‪1.4‬‬ ‫דוקטרינת הגבלת הגודל‬ ‫האנטינומיה של ראסל סותרת את אקסיומות הקיום הבסיסיות עבור התכונה ‪ Φ‬המוגדרת‬ ‫∈ ‪ .x‬לכן נשתמש בהן רק היכן שלא נראה שתיגרמנה בעיות‪ .‬זאת נעשה על־ידי כך‬ ‫‪/x‬‬ ‫שנשתמש רק במספר אקסיומות מתוכן‪.‬‬ ‫קו־מנחה בבחירת אקסיומות אלו יהיה דוקטרינה של הגבלת גודל‪ ,‬האומרת שאפשר‬ ‫להשתמש באקסיומת קיום כל עוד היא נותנת קבוצה שאינה "גדולה מדי" בהשוואה‬ ‫לקבוצות קיימות‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מחלקות‬ ‫∈ ‪ (x‬נוכל לדון על‬ ‫גם היכן שתכונה ‪ Φ‬אינה קובעת קבוצה )כמו במקרה ש‪ Φ-‬היא ‪/ x‬‬ ‫מחלקת כל העצמים שהם בעלי התכונה ‪.Φ‬‬ ‫בניגוד לקבוצה‪ ,‬מחלקה אינה בהכרח עצם מתמטי‪ .‬הדיבור על מחלקה הוא בעצם דיבור‬ ‫על תכונה שמוגדרת באמצעות השפה‪ ,‬אולם אנו מעדיפים להשתמש במחלקות במקום‬ ‫בתכונות היכן שאנו מעוניינים לא בניסוח של התכונה אלא בעצמים המקיימים אותה‪.‬‬ ‫את מחלקת העצמים בעלי התכונה ‪ Φ‬נסמן ב‪.{x | Φ (x)}-‬‬ ‫חלק מן המחלקות הן קבוצות‪ ,‬ולמחלקות שאינן קבוצות נקרא מחלקות ממש‪.‬‬ ‫נראה בהמשך מספר אקסיומות האומרות שלתכונות ‪ Φ‬מסויימות אמנם מתאימות‬ ‫קבוצות‪ ,‬כלומר המחלקות })‪ {x | Φ (x‬המתאימות לתכונות מסויימות ‪ Φ‬הן קבוצות‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫השפה‬ ‫מכיוון שהתכונות אותן אנו יכולים להביע תלויות בשפה בה אנו משתמשים‪ ,‬חשוב לומר‬ ‫משהו על השפה‪ .‬אם לא נבהיר במה מותר ובמה אסור להשתמש בשפת תורת הקבוצות‪,‬‬ ‫אנו עלולים להיתקל לא רק בביטויים חסרי משמעות‪ ,‬כמו "קבוצת כל הקבוצות הירוקות"‬ ‫אלא אף להגיע לסתירה בדרך הבאה‪ :‬נתבונן בביטוי "המספר הטבעי הקטן ביותר שאי־‬ ‫אפשר להגדירו בפחות מעשרים מילים בשפה העברית"‪ .‬מכיוון שיש אינסוף מספרים‬ ‫טבעיים ואילו מספר הביטויים בעלי פחות מעשרים מילים בשפה העברית הוא סופי‪,‬‬ ‫בהכרח קיימים מספרים טבעיים שאי אפשר להגדירם בפחות מעשרים מילים בשפה‬ ‫העברית‪ .‬בקבוצה לא ריקה של מספרים טבעיים קיים מספר מינימלי‪.‬‬ ‫כעת נשים לב להגדרה הבאה‪" :‬המספר המינימלי של קבוצת המספרים הטבעיים שאי־‬ ‫אפשר להגדירם בפחות מעשרים מילים‪ ".‬מתקבלת סתירה‪ ,‬שכן הגדרנו בפחות מעשרים‬ ‫‪8‬‬ ‫מילים מספר ששייך לקבוצת המספרים שאי־אפשר להגדירם בפחות מ‪ 20-‬מילים‪.‬‬ ‫סתירה זאת נובעת מכך שהשפה לא הוגדרה היטב‪ ,‬במובן שזה לא חד משמעי מה בדיוק‬ ‫אפשר להביע בשפה העברית‪ .‬כדי למנוע סתירות כאלו נגדיר כאן היטב את השפה‪.‬‬ ‫השפה בה נשתמש מכילה את המושגים הבאים‪:‬‬ ‫• משתנים‪A, B, . . . , x, y, . . . :‬‬ ‫• סימני יחס‪∈, =, ⊆ :‬‬ ‫• קשרים לוגיים‪" :‬או" ∨‪" ,‬וגם" ∧‪" ,‬אם ‪ -‬אז" →‪" ,‬אם ורק אם" )"אמ"מ"( ↔‪,‬‬ ‫ו‪"-‬לא" ¬‬ ‫• כמתים‪" :‬לכל" ∀ ו‪"-‬קיים" ∃‬ ‫• התכונה "קבוצה"‬ ‫לשפה זאת נקרא "שפת תורת הקבוצות" ונעשיר אותה ע"י הגדרות של מושגים חדשים‬ ‫שנכניס לשפה‪.‬‬ ‫השפה תכיל בנוסף את המילים "מספר ‪ -‬טבעי‪ ,‬שלם‪ ,‬רציונלי‪ ,‬אלגברי‪ ,‬ממשי‪ ,‬מרוכב"‪,‬‬ ‫ואת הסימנים עבור יחס הסדר ופעולות החשבון במספרים אלו‪.‬‬ ‫את כל הרכיבים הנוספים הללו אפשר להגדיר בשפת תורת הקבוצות ולכן אין צורך בהם‬ ‫בשפה הבסיסית‪ .‬בהמשך נביא לפחות חלק מהגדרות אלו‪.‬‬ ‫‪3.1‬‬ ‫רשימת הגדרות ומושגים‬ ‫שוויון‪ :‬אנו אומרים שהמחלקות ‪ A, B‬שוות‪ ,‬וכותבים ‪ ,A = B‬אם יש להן בדיוק את‬ ‫אותם האיברים‪.‬‬ ‫הכלה‪ :‬אנו אומרים שמחלקה ‪ A‬היא מחלקה חלקית של מחלקה ‪ ,B‬או תת מחלקה של‬ ‫‪ ,B‬אם כל איבר של ‪ A‬הוא איבר של ‪ ,B‬ומסמנים זאת ב־ ‪ .A ⊆ B‬אם ‪ A‬היא‬ ‫קבוצה אנו אומרים שהיא קבוצה חלקית של ‪ ,B‬או תת־קבוצה של ‪B‬‬ ‫חלקיות‪ :‬אנו אומרים שמחלקה ‪ A‬היא מחלקה חלקית ממש של מחלקה ‪ ,B‬אם ‪A‬‬ ‫חלקית ל‪ B-‬אבל אינה שווה לה‪ ,‬ומסמנים זאת ב‪.A $ B-‬‬ ‫אקסיומות ההפרדה‪ :‬בהינתן תכונה ‪ Φ‬קיימת לכל קבוצה ‪ A‬קבוצה ‪ B‬המכילה בדיוק‬ ‫את אותם איברי ‪ A‬שהם בעלי התכונה ‪ .Φ‬נוסח אחר של אקסיומות אלו הוא‬ ‫שכל מחלקה חלקית לקבוצה גם היא קבוצה‪.‬‬ ‫אקסיומות אלו הן אקסיומות קיום הלקוחות מתוך קבוצת אקסיומות הקיום‪ .‬הן‬ ‫מהוות את השימוש המיידי ביותר של דוקטרינת הגבלת הגודל‪ :‬אם ‪ A‬אינה גדולה‬ ‫מדי אז כל מחלקה ‪ B‬החלקית לה בוודאי אינה גדולה מדי‪.‬‬ ‫‪9‬‬ ‫משפט‪ :‬המחלקה המכילה את כל הקבוצות היא מחלקה ממש‪ .‬במילים אחרות‪ ,‬לא‬ ‫קיימת קבוצה שהיא קבוצת כל הקבוצות‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬אילו היתה מחלקה זו קבוצה‪ ,‬אז מטענה קודמת נובע שגם המחלקה החלקית‬ ‫∈ ‪ {x | x‬של אנטינומיית ראסל היתה קבוצה‪ .‬‬ ‫לה }‪/ x‬‬ ‫• נגדיר כעת מספר מחלקות‪ .‬בהמשך נראה שחלקן הן גם קבוצות‪.‬‬ ‫המחלקה הריקה‪∅ = {x | x 6= x} :‬‬ ‫מחלקת יחידה‪{a} = {x | x = a} :‬‬ ‫זוג )לא סדור(‪ x = b} :‬או ‪{a, b} = {x | x = a‬‬ ‫איחוד מחלקות‪ x ∈ B} :‬או ‪A ∪ B = {x|x ∈ A‬‬ ‫חיתוך מחלקות‪ x ∈ B} :‬וגם ‪A ∩ B = {x|x ∈ A‬‬ ‫∈ ‪ x‬וגם ‪A \ B = {x|x ∈ A‬‬ ‫הפרש מחלקות‪/ B} :‬‬ ‫מחלקת האיחוד‪ x} :‬הוא איבר של איבר כלשהו של ‪A = {x | A‬‬ ‫‪T‬‬ ‫מחלקת החיתוך‪ x} :‬הוא איבר של כל איבר של ‪A = {x | A‬‬ ‫‪S‬‬ ‫משפט‪ :‬לכל המחלקות ‪ A, B, C‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪∅ ⊆ A .1‬‬ ‫‪A ⊆ A .2‬‬ ‫‪ .A, B ⊆ A ∪ B .3‬אם ‪ A ⊆ C‬ו‪ B ⊆ C -‬אז ‪A ∪ B ⊆ C‬‬ ‫‪ .A ∩ B ⊆ A, B .4‬אם ‪ C ⊆ A‬ו‪ C ⊆ B -‬אז ‪C ⊆ A ∩ B‬‬ ‫)ההוכחה מושארת כתרגיל(‪.‬‬ ‫‪T‬‬ ‫משפט‪ :‬אם ‪ A‬מחלקה לא ריקה של קבוצות אז ‪A‬‬ ‫‪T‬‬ ‫הוכחה‪ :‬אם ‪ u‬היא איבר של ‪ A‬אז ‪ , A ⊆ u‬ולפי אקסיומת ההפרדה ‪ A‬היא קבוצה‪,‬‬ ‫כי היא קבוצת כל איברי ‪ u‬הנמצאים גם בכל האיברים האחרים של ‪ .A‬‬ ‫קבוצה‪.‬‬ ‫‪T‬‬ ‫אקסיומות קיום‪ :‬האקסיומות הבאות הן אקסיומות קיום‪ ,‬שהן אקסיומות מתוך קבוצת‬ ‫אקסיומות הקיום‪.‬‬ ‫‪ .1‬אקסיומת הזוג‪ :‬לכל העצמים ‪ a, b‬קיימת קבוצה המכילה בדיוק את ‪ a‬ואת‬ ‫‪ .b‬במילים אחרות‪ :‬לכל העצמים ‪ a, b‬המחלקה }‪ {a, b‬היא קבוצה‪.‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪ .2‬אקסיומת האיחוד‪ :‬אם ‪ A‬היא קבוצה אז גם ‪ A‬היא קבוצה‪.‬‬ ‫‪ .3‬אקסיומת האינסוף‪ :‬מחלקת המספרים הטבעיים ‪ N‬היא קבוצה‪.‬‬ ‫‪10‬‬ ‫משפט‪:‬‬ ‫‪ .1‬המחלקה הריקה ∅ היא קבוצה‪.‬‬ ‫]נובע מאקסיומות ההפרדה‪ ,‬עם התכונה ‪ ,x 6= x‬כאשר קיום קבוצה כלשהי‬ ‫נובע‪ ,‬למשל‪ ,‬מאקסיומת האינסוף[‪.‬‬ ‫‪ .2‬אם ‪ A, B‬קבוצות אז ‪ A ∪ B‬קבוצה‪.‬‬ ‫]לפי אקסיומות הזוג והאיחוד‪ ,‬כי }‪{A, B‬‬ ‫‪S‬‬ ‫= ‪[.A ∪ B‬‬ ‫‪ .3‬אם ‪ A‬קבוצה ו‪ B-‬מחלקה‪ ,‬אז ‪ A ∩ B‬קבוצה‪.‬‬ ‫]לפי סעיף ד' במשפט שלפני האחרון‪ ,‬ואקסיומות ההפרדה‪[.‬‬ ‫בהמשך ייעשה שימוש באקסיומות קיום נוספות‪ ,‬אבל לא נזכיר זאת במפורש‪.‬‬ ‫‪3.2‬‬ ‫הזוג הסדור‬ ‫פעולת הזוג הסדור היא פעולה היוצרת מעצמים ‪ x, y‬כלשהם עצם ‪ ,hx, yi‬המצביע על ‪x‬‬ ‫כעצם הנמצא במקום הראשון ועל ‪ y‬כעצם הנמצא במקום השני‪.‬‬ ‫כלומר בניגוד לקבוצות שבהן }‪ ,{x, y} = {y, x‬עבור זוג סדור מתקיים ‪.hx, yi6=hy, xi‬‬ ‫תכונת הזוג הסדור‪ :‬אם ‪ x, y, u, v‬הם עצמים המקיימים ‪ hx, yi = hu, vi‬אזי מתקיים‬ ‫‪ x = u‬וגם ‪.y = v‬‬ ‫מבחינתנו זוג סדור הוא זוג המקיים את תכונת הזוג הסדור‪ .‬לכן ניתן להגדיר את‬ ‫פעולת הזוג הסדור מן הפעולות שכבר יש בידינו‪:‬‬ ‫הגדרה‪hx, yi = {{x} , {x, y}} :‬‬ ‫משפט‪ :‬אם ‪ x, y, u, v‬הם עצמים כך ש‪ hx, yi = hu, vi-‬אז ‪ x = u‬וגם ‪ .y = v‬כלומר‬ ‫הגדרה זו מקיימת את תכונת הזוג הסדור‪.‬‬ ‫מבחינת התכלית שמעניינת אותנו‪ ,‬אפשר להחליף את ההגדרה הזו בכל הגדרה אחרת‬ ‫של הפעולה ‪ hx, yi‬המקיימת את תכונת הזוג הסדור‪.‬‬ ‫‪3.3‬‬ ‫מושג היחס )הדו־מקומי(‬ ‫יחס הוא מחלקה של זוגות איברים‪ .‬אם ‪ R‬הוא יחס כלשהו‪ ,‬אז שני עצמים ‪ x, y‬יכולים‬ ‫להיות או לא להיות ביחס ‪.R‬‬ ‫נכתוב ‪ xRy‬כשנרצה לומר כי ‪ x‬נמצא ביחס ‪ R‬ל‪ .y-‬כלומר הזוג ‪.hx, yi ∈ R‬‬ ‫נגדיר את מושג היחס באמצעות הכלים שברשותנו כך‪:‬‬ ‫‪11‬‬ ‫הגדרות‪:‬‬ ‫‪ .1‬יחס הוא מחלקה שכל איבריה זוגות סדורים‪ .‬מחלקה זאת יכולה להיות‬ ‫קבוצה‪ ,‬ואז היחס הוא עצם מתמטי‪.‬‬ ‫‪ .2‬נסמן ‪ xRy‬כאשר ‪.hx, yi ∈ R‬‬ ‫‪ .3‬תחום היחס ‪ ,R‬המסומן ב‪ Dom (R)-‬הוא המחלקה }קיים ‪ y‬כך ש‪{x | -‬‬ ‫‪.xRy‬‬ ‫‪ R‬הוא המחלקה }קיים ‪ x‬כך ש‪{y | -‬‬ ‫‪ .4‬טווח היחס ‪ ,R‬המסומן ב‪ּ ange (R)-‬‬ ‫‪.xRy‬‬ ‫ההגדרה התיקנית של יחס‪ :‬תהי )‪ Φ (x, y‬תבנית פסוק האומרת משהו על ‪ x‬ו‪ ,y-‬אז‬ ‫המחלקה }קיימים ‪ x, y‬כך ש‪ {hx, yi |Φ (x, y)-‬היא היחס ‪ R‬כך שלכל ‪ x, y‬קיים‬ ‫‪ xRy‬אמ"מ מתקיים )‪.Φ (x, y‬‬ ‫את היחס הזה נכתוב כ‪ {hx, yi | Φ (x, y)}-‬ולהגדרה כזאת של ‪ R‬נקרא ההגדרה‬ ‫התיקנית של היחס‪.‬‬ ‫הגדרה‪ A × B :‬הוא היחס }‪.{hx, yi | x ∈ A , y ∈ B‬‬ ‫טענה‪ :‬אם ‪ A, B‬קבוצות אז גם ‪ A × B‬היא קבוצה‪.‬‬ ‫מזה נובע שאם ‪ A, B‬קבוצות ו‪ R-‬הוא יחס כך ש‪ Dom (R) ⊆ A-‬ו‪Range (R) ⊆ -‬‬ ‫‪ ,B‬אז גם ‪ R‬הוא קבוצה‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬באופן כללי‪ ,‬יהיו ‪ x, y ∈ C‬ל‪ C-‬קבוצה‪ .‬נסיק‪:‬‬ ‫‪{x} , {x, y} ⊆ C‬‬ ‫⇓‬ ‫)‪{x} , {x, y} ∈ P (C‬‬ ‫⇓‬ ‫)‪hx, yi = {{x} , {x, y}} ⊆ P (C‬‬ ‫⇓‬ ‫))‪hx, yi ∈ P (P (C‬‬ ‫לכן לכל ‪ hx, yi ∈ A × B‬מתקיים ‪ x, y ∈ A ∪ B‬ולכן ))‪,hx, yi ∈ P (P (A ∪ B‬‬ ‫ולכן‪:‬‬ ‫))‪A × B ⊆ P (P (A ∪ B‬‬ ‫מכיוון ש‪ A, B-‬קבוצות אז אגף ימין הוא קבוצה‪ ,‬ולכן ‪ A × B‬שהיא מחלקה‬ ‫חלקית לה‪ ,‬גם היא קבוצה‪ .‬‬ ‫הגדרה‪ :‬יחס ‪ R‬נקרא יחס על מחלקה ‪ ,A‬אם הוא קיים רק בין איברים של ‪ ,A‬כלומר‬ ‫אם ‪.R ⊆ A × A‬‬ ‫‪12‬‬ ‫הגדרה‪ :‬יחס ‪ R‬נקרא יחס שקילות על מחלקה ‪ A‬אם הוא מקיים את התנאים הבאים‪:‬‬ ‫‪ .1‬רפלקסיביות‪ :‬לכל ‪ x ∈ A‬מתקיים ‪.xRx‬‬ ‫‪ .2‬סימטריות‪ :‬לכל ‪ ,x, y ∈ A‬אם ‪ xRy‬אז גם ‪.yRx‬‬ ‫‪ .3‬טרנזיטיביות‪ :‬לכל ‪ ,x, y, z ∈ A‬אם ‪ xRy‬ו‪ yRz-‬אז גם ‪.xRz‬‬ ‫הגדרה‪ :‬מחלקה ‪ P‬של קבוצות חלקיות למחלקה ‪ A‬נקראת חלוקה של ‪ A‬אם היא‬ ‫מקיימת את התנאים הבאים‪:‬‬ ‫∈ ∅‪ ,‬כלומר כל קבוצה ב‪ P -‬אינה ריקה‪.‬‬ ‫‪/ P .1‬‬ ‫‪ .2‬כל איבר של ‪ A‬נמצא בקבוצה יחידה של ‪.P‬‬ ‫את דרישת היחידות אפשר לנסח גם כך‪ :‬לכל שני איברים ‪ B, C‬שונים של‬ ‫‪ P‬הם זרים‪ ,‬כלומר ∅ = ‪.B ∩ C‬‬ ‫הגדרה‪ :‬אם ‪ R‬יחס שקילות על מחלקה ‪ ,A‬אז לכל ‪ z ∈ A‬המחלקה }‪D = {x ∈ A | zRx‬‬ ‫נקראת מחלקת השקילות של ‪ z‬ביחס ‪.R‬‬ ‫משפט‪:‬‬ ‫‪ .1‬אם ּ‪ R‬יחס שקילות על קבוצה ‪ ,A‬אז קבוצת מחלקות השקילות של ‪R‬‬ ‫)כלומר מחלקות השקילות של איברי ‪ A‬ביחס ‪ (R‬היא חלוקה של ‪.A‬‬ ‫‪ .2‬אם ‪ P‬היא חלוקה של מחלקה ‪ ,A‬אז היחס ‪ R‬המוגדר ע"י ‪ xRy‬אם ‪ x‬ו‪y-‬‬ ‫נמצאים באותה קבוצה של ‪ ,P‬הוא יחס שקילות על ‪.A‬‬ ‫ובניסוח סימבולי‪ :‬היחס })‪ R = {hx, yi | (∃D ∈ P ) (x, y ∈ D‬הוא יחס‬ ‫שקילות‪.‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪ .1‬מחלקת שקילות אינה ריקה‪ ,‬כי מחלקת השקילות של ‪ z‬מכילה את ‪ z‬כי‬ ‫היחס ‪ R‬הוא רפלקסיבי‪.‬‬ ‫אם ‪ z‬נמצא במחלקת השקילות של ‪ u‬אז קיים ‪ zRu‬וכתוצאה מן הסימטריה‬ ‫והטרנזיטיביות של ‪ ,R‬העצמים ‪ x‬המקיימים ‪ xRz‬הם בדיוק העצמים‬ ‫המקיימים ‪ xRu‬ולכן מחלקת השקילות של ‪ u‬שווה למחלקת השקילות‬ ‫של ‪ ,x‬ולכן מחלקת השקילות של ‪ z‬היא מחלקת השקילות היחידה המכילה‬ ‫את ‪.z‬‬ ‫‪ .2‬אם ‪ x ∈ A‬אז ‪ x‬נמצא בקבוצה ‪ D‬שהיא אחת מקבוצות החלוקה ‪ ,P‬ולכן‬ ‫קיים ‪.xRx‬‬ ‫אם ‪ xRy‬אז קיימת ‪ D ∈ P‬כך ש‪ ,x, y ∈ D-‬ולכן גם ‪.yRx‬‬ ‫אם ‪ xRy‬ו‪ yRz-‬אז גם ‪ x‬וגם ‪ z‬נמצאים בקבוצת החלוקה ‪ D‬המכילה את‬ ‫‪) y‬מכיוון ש‪ P -‬חלוקה יש רק אחת כזאת(‪ ,‬ולכן ‪ .xRz‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪3.4‬‬ ‫מושג הפונקציה‬ ‫פונקציה היא משהו המתאים לעצמים ‪ x‬מסויימים עצמים ‪ ,y‬כך שלכל עצם ‪ x‬מותאם‬ ‫לכל היותר עצם ‪ y‬אחד‪.‬‬ ‫אם הפונקציה ‪ F‬מתאימה עצם ל‪ ,x-‬אז עצם זה מסומן ב‪ .F (x)-‬אם הפונקציה ‪F‬‬ ‫אינה מתאימה עצם ל‪ ,x-‬אז אנו אומרים שהביטוי )‪ F (x‬אינו מוגדר‪.‬‬ ‫לאור הכוונה שלנו לנסח מושגים בשפה בכלי תורת הקבוצות הנמצאים כבר ברשותנו‪,‬‬ ‫נגדיר את מושג הפונקציה כדלקמן‪.‬‬ ‫הגדרות‪:‬‬ ‫‪ .1‬פונקציה היא יחס חד ערכי‪ .‬כלומר יחס ‪ F‬כך שלכל ‪ ,x, y, z‬אם ‪xF y‬‬ ‫ו‪ xF z-‬אז ‪.y = z‬‬ ‫‪ .2‬בהתאם למושג הפונקציה‪ ,‬אם ) ‪ x ∈ Dom (F‬אנו מסמנים ב‪ F (x)-‬את‬ ‫ה‪ y-‬היחיד המקיים ‪.xF y‬‬ ‫∈ ‪ x‬אז אנו אומרים ש‪ F (x)-‬אינו מוגדר‪.‬‬ ‫אם ) ‪/ Dom (F‬‬ ‫‪ .3‬אנו כותבים ‪ ,F : A → B‬ואומרים גם ש‪ F -‬היא העתקה מ‪ A-‬ל‪ ,B-‬אם ‪F‬‬ ‫היא פונקציה שתחומה ‪ A‬וטווחה חלקי ל‪) B-‬כלומר לכל ‪ x ∈ A‬מתקיים‬ ‫‪.(F (x) ∈ B‬‬ ‫‪ .4‬אנו אומרים שהפונקציה ‪ F‬היא על מחלקה ‪ ,B‬אם ‪.Range (F ) = B‬‬ ‫כלומר אם לכל ‪ y ∈ B‬מתקיים ) ‪ x ∈ Dom (F‬כך ש‪.F (x) = y-‬‬ ‫‪ .5‬פונקציה ‪ F‬נקראת חד־חד ערכית )חח"ע(‪ ,‬אם לכל ) ‪ ,x, y ∈ Dom (F‬אם‬ ‫= )‪ ,F (x‬ובאופן שקול‪ :‬אם )‪ F (x) = F (y‬אז ‪.x = y‬‬ ‫‪ x 6= y‬אז )‪6 F (y‬‬ ‫‪ .6‬עבור ) ‪ A ⊆ Dom (F‬אנו מסמנים ב‪ F [A]-‬את }‪ ,{F (x) | x ∈ A‬שהיא‬ ‫מחלקת הערכים ש‪ F -‬מקבלת עבור איברי ‪.A‬‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ F‬פונקציה ו‪ .A ⊆ Dom (F )-‬נסמן ב‪ F A-‬את הפונקציה ‪ G‬המוגדרת‬ ‫ע"י ‪ ,Dom (G) = A‬ולכל ‪ x ∈ A‬מתקיים )‪.G (x) = F (x‬‬ ‫‪ G = F A‬נקראת ההגבלה של ‪ F‬ל‪ .A-‬לפי הגדרה זו מתקיים = ]‪F [A‬‬ ‫)‪Range (F A‬‬ ‫ההגדרה התיקנית של פונקציה‪ :‬תהי ‪ A‬מחלקה ותהי )‪ Φ (x, y‬תבנית פסוק‪ ,‬כך שלכל‬ ‫‪ x ∈ A‬ישנו בדיוק ‪ y‬אחד המקיים )‪.Φ (x, y‬‬ ‫אז היחס })‪ F = {hx, yi | x ∈ A ∧ Φ (x, y‬הוא פונקציה המקיימת = ) ‪Dom (F‬‬ ‫‪ ,A‬ולכל ‪ ,x ∈ A‬האיבר )‪ F (x‬הוא ה‪ y-‬המקיים את התכונה )‪ ,Φ (x, y‬והוא‬ ‫הפונקציה היחידה המקיימת תנאים אלו‪.‬‬ ‫בשם הגדרה תיקנית של פונקציה ‪ F‬נקרא להגדרה מהצורה‪,Dom(F ) = A :‬‬ ‫ולכל ‪ x ∈ A‬מתקיים כי )‪ F (x‬הוא ה‪ y-‬המקיים )‪.Φ (x, y‬‬ ‫‪14‬‬ ‫טענה‪ :‬תהי ‪ F‬פונקציה חד־חד ערכית‪ ,‬אז לכל מחלקה ) ‪ ,A ⊆ Dom (F‬גם ‪ F A‬היא‬ ‫חד־חד ערכית‪) .‬ההוכחה מושארת כתרגיל(‪.‬‬ ‫הגדרות‪:‬‬ ‫‪ .1‬לכל מחלקה ‪ ,A‬פונקצית הזהות ‪ 1A‬על ‪ A‬היא הפונקציה הנתונה ע"י‬ ‫‪ ,Dom (1A ) = A‬ולכל ‪ x ∈ A‬מתקיים ‪.1A (x) = x‬‬ ‫‪ .2‬אם ‪ F : A → B‬על ו‪ G : B → C-‬על‪ ,‬אז ההרכבה של פונקציות אלו היא‬ ‫הפונקציה ‪ ,GF : A → C‬גם היא על‪ ,‬הנתונה ע"י ‪ ,Dom (GF ) = A‬ולכל‬ ‫‪ x ∈ A‬מתקיים ))‪.(GF ) (x) =: G (F (x‬‬ ‫ההפוכה ‪,F −1 : B → A‬‬ ‫‪ .3‬אם ‪ F : A → B‬חד חד ערכית ועל‪ ,‬אז הפונקציה‬ ‫‬ ‫גם היא חח"ע ועל‪ ,‬היא הפוקציה הנתונה ע"י ‪ Dom F −1 = B‬ולכל‬ ‫‪ y ∈ B‬מתקיים כי )‪ F −1 (y‬הוא ה‪ x-‬כך ש‪.F (x) = y-‬‬ ‫משפט‪:‬‬ ‫‪ 1A .1‬היא העתקה חד חד ערכית של ‪ A‬על ‪.A‬‬ ‫‪ .2‬אם ‪ F : A → B‬על ‪ B‬ו‪ G : B → C -‬על ‪ ,C‬אז ‪ GF : A → C‬היא‬ ‫העתקה על ‪.C‬‬ ‫‪ .3‬אם ‪ F : A → B‬ו‪ G : B → C-‬הן חד חד ערכיות‪ ,‬אז גם ‪ GF‬חד חד‬ ‫ערכית‪.‬‬ ‫‪ .4‬אם ‪ F‬היא העתקה חד חד ערכית של ‪ A‬על ‪ ,B‬אז ‪ F −1‬היא העתקה חד‬ ‫חד ערכית של ‪ B‬על ‪ ,A‬ומתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫‪F −1 −1 = F‬‬ ‫‪F F −1 = 1B‬‬ ‫‪F −1 F = 1A‬‬ ‫הגדרה‪ :‬אנו אומרים שהפונקציות ‪ F, G‬מתיישבות אם לכל )‪x ∈ Dom (F ) ∩ Dom (G‬‬ ‫מתקיים )‪.F (x) = G (x‬‬ ‫למה‪:‬‬ ‫‪ .1‬הפונקציות ‪ F, G‬מתיישבות אמ"מ ‪ F ∪ G‬היא פונקציה‪.‬‬ ‫‪ .2‬אם ‪ F, G‬פונקציות שתחומיהן זרים )כלומר ∅ = )‪(Dom (F ) ∩ Dom (G‬‬ ‫אז הן מתיישבות ו‪ F ∪ G-‬היא פונקציה‪.‬‬ ‫‪ F ∪ G .3‬היא חד־חד ערכית אמ"מ גם ‪ F‬וגם ‪ G‬הן חד־חד ערכיות והטווחים‬ ‫של ‪ F‬ו‪ G-‬זרים‪ .‬כלומר ∅ = )‪.Range (F ) ∩ Range (G‬‬ ‫‪S‬‬ ‫היא פונקציה אמ"מ כל שתי‬ ‫‪ .4‬תהי ‪ W‬מחלקה של פונקציות‪ .‬אז ‪W‬‬ ‫פונקציות ב‪ W -‬מתיישבות‪.‬‬ ‫‪15‬‬ ‫הגדרה‪ :‬לפונקציה ‪ a‬שתחומה הוא קבוצת המספרים הטבעיים נקרא גם בשם סדרה‪,‬‬ ‫ואת הערך שלה עבור ‪ n‬נסמן גם ב‪.an -‬‬ ‫את הסדרה נכתוב גם כ‪ ,han | n ∈ Ni-‬ובאופן לא פורמלי גם כ‪.ha0 , a1 , a2 , . . . i-‬‬ ‫את טווח הסדרה נכתוב כ‪ ,{an | n ∈ N}-‬ובאופן לא פורמלי כ‪.{a0 , a1 , a2 , . . . }-‬‬ ‫לפי טענה קודמת כל סדרה‪ ,‬וגם הטווח שלה‪ ,‬היא קבוצה‪.‬‬ ‫אקסיומת ההחלפה‪ :‬אם ‪ F‬פונקציה ו‪ ,A ⊆ Dom (F )-‬אז אם ‪ A‬קבוצה גם ]‪F [A‬‬ ‫קבוצה‪.‬‬ ‫באופן שקול‪ :‬אם )‪ A = Dom (F A‬קבוצה‪ ,‬אז )‪F [A] = Range (F A‬‬ ‫קבוצה‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫סיכום והרחבת הדיון‬ ‫נאלצנו לוותר על הרעיון הגלום באקסיומות הקיום הבסיסיות‪ ,‬שכל תכונה קובעת קבוצה‪.‬‬ ‫כאן אנו נאלצים להיכנע לעליונותה של הלוגיקה ולהסכים לכך שלא כל תכונה קובעת‬ ‫קבוצה‪ .‬כך גם אלו המאמינים שאלוהים הוא כל יכול נאלצים להיכנע לכך שאלוהים לא‬ ‫יכול לברוא אבן שהיא כל כך כבדה שהוא אינו יכול להרים אותה‪ .‬הוויתור שנאלצנו‬ ‫לעשות הוא שמתוך אקסיומות הקיום הבסיסיות אנו מקבלים רק את אלו המתיישבות‬ ‫עם דוקטרינת הגבלת הגודל‪ .‬מה שמצדיק את הבחירה הזאת אינו בהכרח שיקול רעיוני‬ ‫כלשהו אלא העובדה שבחירה זאת מאפשרת לנו לפתח בלי מגבלות את המתמטיקה‬ ‫המוכרת לנו‪.‬‬ ‫כדי להתמודד עם העובדה שלא כל תכונה קובעת קבוצה הבאנו לעולם את מושג‬ ‫המחלקה‪ ,‬כך שכל תכונה של העצמים המתמטיים קובעת מחלקה‪ .‬מחלקה אמורה להיות‬ ‫כמו קבוצה‪ ,‬פרט לכך שאם היא מחלקה ממש היא אינה עצם מתמטי‪ ,‬ולכן היא אינה‬ ‫יכולה להיות איבר של מחלקה כלשהי‪ ,‬כי רק עצם מתמטי יכול להיות איבר של מחלקה‪.‬‬ ‫כך יצרנו עולם עם שני סוגי עצמים בעלי זכויות שונות‪ .‬מכיוון שהדמוקרטיה עדיין לא‬ ‫השתלטה על המתמטיקה מצב כזה יתכן‪ ,‬אבל הוא איננו אסתטי והוא גם מכביד על‬ ‫חקר תורת הקבוצות‪ .‬לכן הדרך הטובה להתבונן במחלקות היא זאת שהזכרנו בקצרה‬ ‫כשעסקנו במחלקות‪ ,‬והיא שהמחלקות אינן עצמים כלל אלא הן המצאה שלנו לנוחיות‬ ‫הדיבור‪ .‬כאשר אנו מדברים על מחלקה ‪ A‬אנו מתכוונים למחלקה })‪ {x|Φ(x‬כלשהי‪,‬‬ ‫ואז את מה שאנו אומרים על המחלקה })‪ {x | Φ (x‬אנו יכולים להגיד מבלי להזכיר‬ ‫מחלקות כלל‪.‬‬ ‫לא ניתן כאן את הדרך המלאה כיצד לפרש כל פסוק המדבר על מחלקות כפסוק המדבר‬ ‫רק על עצמים מתמטיים‪ ,‬ונסתפק בשתי דוגמאות‪ .‬הדוגמה הראשונה היא הפסוק ‪.A ∈ z‬‬ ‫‪ A‬מייצגת את המחלקות })‪ {x | Φ (x‬ולכן עלינו לפרש את הפסוק ‪.{x | Φ (x)} ∈ z‬‬ ‫הפירוש של פסוק זה הוא הפסוק "קיים איבר ‪ y‬של הקבוצה ‪ z‬כך ש‪ y-‬הוא קבוצה‬ ‫‪16‬‬ ‫שאיבריה הם בדיוק כל העצמים שהם בעלי התכונה ‪ ."Φ‬פירוש זה אינו מדבר כלל על‬ ‫מחלקות‪.‬‬ ‫הדוגמה השניה היא משפט שהזכרנו האומר שאם המחלקות ‪ A‬ו‪ B-‬הן קבוצות אז גם‬ ‫‪ A ∪ B‬היא קבוצה‪ A .‬מייצגת מחלקה })‪ {x | Φ (x‬ו‪ B-‬מייצגת מחלקה })‪.{x | Ψ (x‬‬ ‫בהתייחס למחלקות אלו‪ ,‬המשפט אומר שאם })‪ {x | Φ (x‬ו‪ {x | Ψ (x)}-‬הן קבוצות‪ ,‬אז‬ ‫גם })‪ {x | Φ (x)}∪{x | Ψ (x‬היא קבוצה‪ .‬הפירוש של פסוק זה הוא "אם קיימת קבוצה‬ ‫‪ u‬שאיבריה הם בדיוק כל העצמים בעלי התכונה ‪ Φ‬ואם קיימת קבוצה ‪ v‬שאיבריה הם‬ ‫בדיוק כל העצמים בעלי התכונה ‪ ,Ψ‬אז קיימת קבוצה ‪ w‬שאיבריה הם בדיוק העצמים‬ ‫שהם בעלי התכונה ‪ Φ‬או בעלי התכונה ‪".Ψ‬‬ ‫‪17‬‬ ‫חלק‬ ‫‪III‬‬ ‫קבוצות סופיות ובנות מניה‬ ‫‪5‬‬ ‫עוצמות סופיות‬ ‫הגדרות‪:‬‬ ‫‪ .1‬אנו אומרים שהקבוצה ‪ A‬שוות עוצמה לקבוצה ‪ ,B‬ואנו כותבים ‪,A ≈ B‬‬ ‫אם קיימת פונקציה ‪ F : A → B‬שהיא חד־חד ערכית ועל ‪.B‬‬ ‫יחס זה מאפשר לקבוע מתי שתי קבוצות הן באותו הגודל גם אם הן קבוצות‬ ‫אינסופיות‪.‬‬ ‫‪ .2‬אם ‪ F‬פונקציה חד־חד ערכית ו‪ A-‬קבוצה חלקית ל‪ DomF -‬אז ‪.F [A] ≈ A‬‬ ‫משפט‪ :‬יחס שוויון העוצמה ≈ הוא יחס שקילות‪ ,‬כלומר רפלקסיבי )‪ 4 ,(A ≈ A‬סימטרי‬ ‫)אם ‪ 5 (B ≈ A ⇔ A ≈ B‬וטרנזיטיבי )אם ‪ A ≈ B,B ≈ C‬אז ‪6 .(A ≈ C‬‬ ‫המספרים הטבעיים‪ :‬נתייחס למספרים הטבעיים כידועים לנו‪ ,‬כולל‪ :‬יחס הסדר הסטנדרטי‬ ‫שלהם‪ ,‬הוכחה באינדוקציה‪ ,‬פעולות החשבון בהם‪ ,‬והגדרת פונקציות עליהם‬ ‫ברקורסיה‪ .‬בדרך־כךך האותיות ‪ k, l, m, n‬יסמנו מספרים טבעיים‪.‬‬ ‫מאוחר יותר נגדיר את המספרים הטבעיים ונטפל לפחות בחלק מן הדברים בהם‬ ‫אנו משתמשים עתה‪.‬‬ ‫הגדרות‪:‬‬ ‫‪.Nn = {m | m ∈ N, m < n} .1‬‬ ‫‪ .2‬לכל ‪ ,n ∈ N‬אומרים כי קבוצה ‪ A‬היא בת ‪ n‬איברים אם ‪.A ≈ Nn‬‬ ‫‪ .3‬קבוצה ‪ A‬נקראת סופית אם היא בת ‪ n‬איברים ל‪ n ∈ N-‬כלשהו‪.‬‬ ‫‪ .4‬קבוצה שאינה סופית‪ ,‬כלומר קבוצה ‪ A‬כך שלא קיים ‪ n‬המקיים ‪,A ≈ Nn‬‬ ‫נקראת אינסופית‪.‬‬ ‫מסקנות‪:‬‬ ‫‪ .1‬אם ‪ A‬קבוצה בת ‪ n‬איברים אז קבוצה ‪ B‬גם היא בת ‪ n‬איברים אמ"מ‬ ‫‪.B ≈ A‬‬ ‫‪4‬נשתמש בפונקציית הזהות‪.‬‬ ‫‪5‬נשתמש בפונקציה ההפוכה‪.‬‬ ‫‪6‬נשתמש בהרכבת הפונקציות‪.‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪ .2‬קבוצה שוות עוצמה לקבוצה סופית‪ ,‬היא סופית‪.‬‬ ‫‪ .3‬קבוצה שוות עוצמה לקבוצה אינסופית גם היא אינסופית‪.‬‬ ‫משפט‪:‬‬ ‫‪ .1‬הקבוצה הריקה ∅ היא סופית‪.‬‬ ‫]נשתמש בפונקציה הריקה כדי להגדיר יחס חח"ע ועל בין ∅ לבין ‪ ,N0‬שכן‬ ‫∅ = }‪[.N0 = {m|m ∈ N, m < 0‬‬ ‫‪ .2‬אם ‪ A‬היא קבוצה בת ‪ n‬איברים ו‪ ,x 6∈ A-‬אז }‪ A ∪ {x‬היא קבוצה סופית‬ ‫בת ‪ n + 1‬איברים‪.‬‬ ‫]כי אם ‪ F : A → Nn‬חח"ע ועל‪ ,‬נגדיר פונקציה‪:‬‬ ‫‪F ∪ {hy, ni} : A ∪ {y} → Nn ∪ {n} = Nn+1‬‬ ‫וגם היא חח"ע ועל‪[.‬‬ ‫‪ .3‬אם ‪ A‬היא קבוצה סופית אז לכל ‪ ,x‬הקבוצה }‪ A ∪ {x‬היא סופית‪.‬‬ ‫‪ .4‬קבוצה ‪ A‬חלקית ל‪ Nn -‬היא קבוצה בת ‪ m‬איברים ל‪ m ≤ n-‬כלשהו‪.‬‬ ‫]באינדוקציה על ‪ .n‬ל‪ n + 1-‬תהי ‪ ,B = A ∩ Nn‬ואז ‪ A = B‬או‬ ‫}‪ ,A = B ∪ {n‬ואז משתמשים בהנחת האינדוקציה על ‪ B‬ובסעיף ‪[.2‬‬ ‫‪ .5‬קבוצה חלקית לקבוצה סופית היא סופית‪ .‬קבוצה המקיפה קבוצה אינסופית‬ ‫היא אינסופית‪.‬‬ ‫‪5.1‬‬ ‫עקרון האינדוקציה לקבוצות סופיות‬ ‫תהי ‪ Φ‬תכונה‪ ,‬כך ש‪:‬‬ ‫בסיס האינדוקציה‪ :‬הקבוצה הריקה ∅ היא בעלת התכונה ‪.Φ‬‬ ‫∈ ‪ ,x‬אם ‪ A‬היא בעלת התכונה ‪ Φ‬אז גם‬ ‫וצעד האינדוקציה‪ :‬לכל קבוצה ‪ A‬ועצם ‪/ A‬‬ ‫}‪ A ∪ {x‬היא בעלת התכונה ‪Φ‬‬ ‫אז מסקנת האינדוקציה‪ :‬כל קבוצה סופית היא בעלת התכונה ‪.Φ‬‬ ‫∈ ‪ ,x‬כי אם ‪ x ∈ A‬אז ‪A ∪ {x} = A‬‬ ‫הערה‪ :‬די להוכיח את צעד האינדוקציה עבור ‪/ A‬‬ ‫ולכן ברור שאם ‪ A‬בעלת התכונה ‪ Φ‬אז גם ‪ A ∪ {x} = A‬בעלת התכונה ‪.Φ‬‬ ‫משפט‪ :‬אם ‪ A, B‬קבוצות סופיות )לאו דווקא זרות( אז ‪ A ∪ B‬גם היא סופית‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נוכיח באינדוקציה על ‪.A‬‬ ‫התכונה ‪ Φ‬של ‪ A‬שאנו עוסקים בה היא‪" :‬לכל קבוצה סופית ‪ ,B‬הקבוצה ‪A ∪ B‬‬ ‫סופית"‪.‬‬ ‫‪19‬‬ ‫בסיס האינדוקציה‪ :‬ל‪ A = ∅-‬תכונה זאת מתקיימת כי ‪ ,∅ ∪ B = B‬וזאת קבוצה‬ ‫סופית מהגדרתה‪.‬‬ ‫הנחת האינדוקציה‪ :‬נניח כי ‪ A ∪ B‬סופית‪.‬‬ ‫צעד האינדוקציה‪ (A ∪ {x}) ∪ B = (A ∪ B) ∪ {x} :‬סופית‪ ,‬לפי טענה קודמת‪.‬‬ ‫לכן מסקנת האינדוקציה‪ :‬לכל קבוצות ‪ A, B‬סופיות ‪ A ∪ B‬סופית‪ .‬‬ ‫משפט‪ :‬תהי ‪ F‬פונקציה‪ .‬אם ‪ DomF‬קבוצה סופית אז גם ) ‪ Range (F‬קבוצה סופית‪.‬‬ ‫)ההוכחה מושארת כתרגיל‪ .‬יש להשתמש באינדוקציה על ‪.(A‬‬ ‫משפט‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה סופית ו‪ B-‬מחלקה כלשהי‪ ,‬אז קיימת פונקציה חח"ע ‪F : A → B‬‬ ‫או שקיימת פונקציה חח"ע ‪.G : B → A‬‬ ‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על ‪.A‬‬ ‫עבור ∅ = ‪ A‬קיימת הפונקציה הריקה ‪ ,F : ∅ → B‬שהיא חח"ע‪.‬‬ ‫נניח את הטענה עבור ‪ A‬ונוכיח עבור }‪ .A ∪ {x‬נדון בשני מקרים‪:‬‬ ‫ אם קיימת ‪ G : B → A‬חח"ׂע‪ ,‬אז }‪ G : B → A ∪ {x‬מקיימת את הנדרש‪.‬‬‫ אם קיימת ‪ F : A → B‬חח"ע‪ ,‬אז ייתכנו שתי אפשרויות ‪ F -‬על ‪ B‬או ‪ F‬אינה‬‫כזאת‪.‬‬ ‫אם ‪ F‬חח"ע ועל‪ ,‬אז קיימת ‪ F −1 : B → A‬שהיא חח"ע ועל ‪ ,A‬ומכיוון ש‪-‬‬ ‫}‪ A ⊆ A ∪ {x‬הפונקציה מקיימת את הנדרש‪.‬‬ ‫∈ ‪ .z‬במקרה זה‬ ‫אם ‪ F‬חח"ׂע ואינה על ‪ ,B‬אז קיימת ‪ z ∈ B‬כך ש‪/ Range (F )-‬‬ ‫נגדיר‪:‬‬ ‫‪F ∪ {hx, zi} : A ∪ {x} → B‬‬ ‫וקיבלנו פונקציה חח"ע‪ .‬‬ ‫משפט‪ :‬לכל ‪ n‬טבעי‪ ,‬אם ‪ A ⊆ Nn‬אז ‪ A ≈ Nm‬עבור ‪ m‬טבעי כלשהו המקיים ‪.m ≤ n‬‬ ‫∈ ‪ u‬מתקיים }‪A ∪ {u} ≈ B ∪ {v‬‬ ‫∈ ‪/ A, v‬‬ ‫למה‪ :‬אם ‪ A ≈ B‬אז עבור ‪/ B‬‬ ‫הוכחת הלמה‪ :‬נניח כי ‪ F : A → B‬חח"ע ועל‪ .‬נגדיר את הפונקציה‪:‬‬ ‫}‪F ∪ {hu, vi} : A ∪ {u} → B ∪ {v‬‬ ‫וניתן לראות שגם היא חח"ע ועל‪ .‬‬ ‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על ‪.n‬‬ ‫אם ‪ ,n = 0‬לכל ‪ A ⊆ N0‬מתקיים ∅ = ‪ ,A‬ולכן ‪.A ≈ N0‬‬ ‫נניח את הטענה עבור ‪ ,n‬ותהי ‪.A ⊆ Nn+1‬‬ ‫‪20‬‬ ‫∈ ‪ n‬אז ‪ A ⊆ Nn‬ומהנחת האינדוקציה קיים ‪ m ≤ n‬ובפרט ‪,m < n + 1‬‬ ‫אם ‪/ A‬‬ ‫המקיים ‪.A ≈ Nm‬‬ ‫אם ‪ n ∈ A‬אז ‪ A\ {n} ⊆ Nn‬ומהנחת האינדוקציה קיים ‪ m ≤ n‬המקיים‬ ‫‪.A\ {n} ≈ Nm‬‬ ‫נוסיף לאגף שמאל את ‪ n‬ולאגף ימין את ‪ ,m‬ונקבל כי ‪ .A ≈ Nm+1‬‬ ‫מסקנה‪ :‬קבוצה חלקית לקבוצה סופית היא קבוצה סופית‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה סופית בת ‪ n‬איברים‪ .‬משמע ‪ ,A ≈ Nn‬וקיימת ‪F : A → Nn‬‬ ‫חח"ע ועל‪.‬‬ ‫תהי ‪ ,B ⊆ A‬אזי מתקיים כי ‪ ,F [B] ⊆ Nn‬ומהמשפט האחרון נסיק כי ≈ ]‪F [B‬‬ ‫‪ Nm‬עבור ‪ m ≤ n‬כלשהו‪.‬‬ ‫לכן קיימת הפונקציה ‪ g : F [B] → Nm‬שהיא חח"ע ועל‪.‬‬ ‫לכן קיימות הפונקציות הבאות‪:‬‬ ‫]‪F B : B → F [B‬‬ ‫שהיא חח"ע ועל‪ ,‬מכך ש‪.A ≈ Nn -‬‬ ‫‪G : F [B] → Nm‬‬ ‫שהיא חח"ע ועל‪ ,‬מכך ש‪.F [B] ≈ Nm -‬‬ ‫נרכיב את הפונקציות ונקבל‪:‬‬ ‫‪G ◦ F B : B → Nm‬‬ ‫שהיא פונקציה חח"ע ועל‪ .‬‬ ‫הארה‪ :‬ניזכר במשפט קודם שהוכחנו כי עבור ‪ A‬קבוצה סופית ו‪ B-‬מחלקה כלשהי‪ ,‬אזי‬ ‫‪ F : A → B‬חח"ׂע או ‪ G : B → A‬חח"ע‪.‬‬ ‫נניח שמתקיימת האפשרות השנייה‪ .‬נשים לב כי )‪ G : B → Range (G‬היא‬ ‫פונקציה חח"ׂע ועל‪ .‬ולכן מכך ש‪ A-‬סופית נובע כי ‪ Range (G) ⊆ A‬סופית‪.‬‬ ‫לכן אפשרות זו קיימת רק כאשר ‪ B‬קבוצה סופית‪ .‬אולם אם ‪ B‬קבוצה אינסופית‬ ‫או מחלקה ממש‪ ,‬בהכרח מתקיימת האפשרות הראשונה‪.‬‬ ‫‪5.2‬‬ ‫קבוצות חסומות‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה של מספרים טבעיים‪ A .‬נקראת חסומה ע"י המספר הטבעי ‪,m‬‬ ‫ו‪ m-‬נקרא חסם של ‪ ,A‬אם לכל ‪ n ∈ A‬מתקיים ‪.n ≤ m‬‬ ‫‪ A‬נקראת חסומה אם היא חסומה ע"י מספר טבעי כלשהו‪.‬‬ ‫‪21‬‬ ‫משפט‪:‬‬ ‫‪ .1‬כל קבוצה של מספרים טבעיים החסומה ע"י מספר טבעי ‪ n‬היא בת ‪m‬‬ ‫איברים עבור ‪ m ≤ n + 1‬כלשהו‪.‬‬ ‫‪ .2‬כל קבוצה סופית של מספרים טבעיים היא חסומה‪.‬‬ ‫‪ .3‬כל קבוצה לא חסומה של מספרים טבעיים‪ ,‬ובמיוחד ‪ N‬עצמה‪ ,‬היא אינסופית‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬את הטענה הראשונה הוכחנו לעיל‪ .‬נוכיח את הטענה השנייה באינדוקציה על‬ ‫הקבוצה‪.‬‬ ‫ברור כי ∅ חסומה‪ ,‬כי לכל ∅ ∈ ‪ a‬מתקיים ‪ a ≤ 0‬באופן ריק‪.‬‬ ‫נניח כי ‪ A‬חסומה‪ .‬נראה כי }‪ A ∪ {k‬חסומה‪.‬‬ ‫מהנתון כי ‪ A‬חסומה נובע ‪ .A ⊆ Nn‬אם ‪ k ≤ n‬סיימנו‪ ,‬ואם ‪ k > n‬אזי‬ ‫‪ A ∪ {k} ⊆ Nk+1‬וסיימנו‪ .‬‬ ‫למה‪ :‬תהי ‪ F : A → B‬חח"ׂע ועל‪ ,‬ויהיו ‪ ,u ∈ A, v ∈ B‬אזי קיימת ‪ G : A → B‬חח"ע‬ ‫ועל כך ש‪.G (u) = v-‬‬ ‫הוכחה‪ :‬אם ‪ ,F (u) = v‬אז נגדיר ‪ G = F‬וסיימנו‪.‬‬ ‫לכן נניח ‪ .F (u) 6= v‬נגדיר את הפונקציה‪:‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫)‪G = F A\ u, F −1 (u‬‬ ‫)‪∪ hu, vi , F −1 (v) , F (u‬‬ ‫מסקנה‪ :‬לכל זוג קבוצות ‪) A, B‬סופיות או לא( אם ‪ z ∈ B ,y ∈ A‬ו‪ ,A ≈ B-‬אז‬ ‫}‪.A\ {y} ≈ B\ {z‬‬ ‫הוכחה‪ :‬לפי למה קודמת קיימת העתקה ‪ F‬חח"ע של ‪ A‬על ‪ B‬כך ש‪ .F (y) = z-‬ברור‬ ‫כי }‪ F A \ {y‬היא העתקה חח"ע של }‪ A \ {y‬על }‪ ,B \ {z‬כנדרש‪ .‬‬ ‫מסקנה‪ :‬קבוצה סופית ‪ A‬אינה שוות־עוצמה לקבוצה חלקית ממש שלה‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על הקבוצה הסופית ‪.A‬‬ ‫אם ∅ = ‪ A‬הטענה נכונה באופן ריק כי לקבוצה הריקה אין קבוצות חלקית ממש‪.‬‬ ‫∈ ‪.y‬‬ ‫נניח עתה כי המשפט מתקיים ל‪ A-‬ונוכיח אותו ל‪ A ∪ {y}-‬עבור ‪/ A‬‬ ‫תהי ‪ F : A ∪ {y} → B‬חח"ע כאשר }‪ .B $ A ∪ {y‬נדון בשני מקרים‪.‬‬ ‫ אם ‪ y ∈ B‬אז לפי למה קודמת מתקיים ‪.A = (A ∪ {y})\{y} ≈ B\{y} ⊆ A‬‬‫}‪ B \ {y‬חלקית ממש ל‪ ,A-‬כי אילו ‪ B \ {y} = A‬אז }‪ B = A ∪ {y‬בניגוד לכך‬ ‫ש‪.B & A ∪ {y}-‬‬ ‫‪22‬‬ ‫אם כך מצאנו כי }‪ A ≈ B \ {y‬בסתירה להנחת האינדוקציה‪.‬‬ ‫∈ ‪ y‬אז ‪ .B ⊆ A‬לפי למה קודמת })‪.A = (A ∪ {y})\{y} ≈ B\{F (y‬‬ ‫ אם ‪/ B‬‬‫נשים לב כי })‪ B \{F (y‬קבוצה חלקית ממש ל‪ A-‬כי היא אינה מכילה את )‪,F (y‬‬ ‫בסתירה להנחת האינדוקציה‪ .‬‬ ‫מסקנות‪:‬‬ ‫‪ .1‬אם קבוצה היא שוות־עוצמה לקבוצה חלקית ממש שלה‪ ,‬אז היא אינסופית‪.‬‬ ‫‪ .2‬לכל ‪ ,m 6= n‬מתקיים כי ‪ Nn‬ו‪ Nm -‬אינן שוות עוצמה‪) .‬כי אם ‪ m < n‬אז‬ ‫‪.(Nm & Nn‬‬ ‫‪ .3‬כל קבוצה סופית היא בת ‪ n‬איברים ל‪ n-‬טבעי יחיד‪.‬‬ ‫משפט‪ :‬אם ‪ A, B‬קבוצות סופיות‪ ,‬אז גם ‪ A × B‬סופית‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על ‪ .B‬כלומר ‪ A‬קבוצה סופית קבועה‪ ,‬והתכונה שנבחן היא תכונה‬ ‫של ‪.B‬‬ ‫אם ∅ = ‪ B‬אז ∅ = ‪ ,A × B‬והיא סופית‪.‬‬ ‫∈ ‪ ,y‬יש להוכיח כי × ‪A‬‬ ‫הנחת האינדוקציה היא כי ‪ A × B‬סופית‪ .‬יהי ‪/ B‬‬ ‫)}‪ (B ∪ {y‬סופית‪ .‬נשים לב שמתקיים‪:‬‬ ‫)}‪A × (B ∪ {y}) = (A × B) ∪ (A × {y‬‬ ‫} ‪| {z‬‬ ‫‪nite‬‬ ‫נשאר להראות כי }‪ A × {y‬סופית וממשפט קודם ינבע שהאיחוד סופי‪.‬‬ ‫נגדיר פונקציה }‪ F : A → A × {y‬המוגדרת ‪ .F (x) = hx, yi‬ניתן לבדוק שזו‬ ‫פונקציה חח"ע ועל‪ .‬‬ ‫‪6‬‬ ‫קבוצות בנות־מניה‬ ‫הגדרה‪ :‬קבוצה ‪ A‬נקראת בת־מניה אם היא שוות עוצמה ל‪.N-‬‬ ‫בסימון שהזכרנו אפשר לכתוב כל קבוצה בת מניה כ‪ ,{an | n ∈ N}-‬ובאופן לא‬ ‫פורמלי כ‪.{a0 , a1 , a3, . . . }-‬‬ ‫במובן שנראה מאוחר יותר‪ ,‬הקבוצות בנות המניה הן הקבוצות האינסופיות‬ ‫הקטנות ביותר‪.‬‬ ‫משפט‪:‬‬ ‫‪ N .1‬היא בת־מניה‪.‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫‪.8‬‬ ‫כל קבוצה בת־מניה היא אינסופית‪.‬‬ ‫אם ‪ A‬קבוצה בת־מניה‪ ,‬אז קבוצה ‪ B‬היא בת־מניה אמ"מ היא שוות עוצמה‬ ‫ל‪.A-‬‬ ‫לכל ‪ n ∈ N‬הקבוצה ‪ {m | n ≤ m} = N \ Nn‬היא בת־מנייה‪.‬‬ ‫אם ‪ A‬קבוצה בת־מניה אז }‪ A ∪ {x‬בת מניה‪.‬‬ ‫איחוד של קבוצה בת־מניה ‪ A‬וקבוצה סופית ‪ B‬הוא קבוצה בת־מניה‪.‬‬ ‫קבוצת הטבעיים הזוגיים וקבוצת הטבעיים האי־זוגיים הן בנות־מניה‪.‬‬ ‫איחוד של שתי קבוצות בנות־מניה זרות הוא קבוצה בת־מניה‪) .‬יותר מאוחר‬ ‫נראה שתנאי הזרות מיותר(‪.‬‬ ‫הוכחה‪ (6) :‬נניח כי ∅ = ‪ ,A ∩ B‬וכן ‪ b : Nk → B‬חח"ע ועל וגם ‪ a : N → A‬חח"ע ועל‪.‬‬ ‫נגדיר את הפונקציה ‪ c : N → A ∪ B‬באופן הבא‪:‬‬ ‫(‬ ‫‪bn‬‬ ‫‪n≤k‬‬ ‫= ‪cn‬‬ ‫‪an+k n > k‬‬ ‫ניתן לראות כי ‪ c‬פונקציה חח"ע ועל‪ .‬‬ ‫‪6.1‬‬ ‫עוצמת קבוצת השלמים ‪Z‬‬ ‫קבוצת המספרים השלמים ‪ Z‬היא בת מניה‪.‬‬ ‫הוכחה‪ Z :‬היא איחוד של שתי הקבוצות בנות המנייה ‪ N -‬וקבוצת השלמים השליליים‪.‬‬ ‫‬ ‫‪6.2‬‬ ‫עוצמת הקבוצה ‪N × N‬‬ ‫‪ N × N‬היא קבוצה בת מניה‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נציג את כל איברי ‪ N × N‬באופן הבא‪:‬‬ ‫‪h0, 0i h1, 0i h2, 0i . . .‬‬ ‫‪h0, 1i h1, 1i h2, 1i . . .‬‬ ‫‪h0, 2i h1, 2i h2, 2i . . .‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ספירת איברי ‪ N × N‬לאורך האלכסונים בשריג הנקודות שהצגנו במישור הקרטזי‪,‬‬ ‫)‪. (k+l+1)(k+l‬‬ ‫נותנת לנקודה בעלת הקואורדינטות ‪ k, l‬את המספר‬ ‫‪2‬‬ ‫בדיקה ישירה מראה שהפונקציה‬ ‫‪ N × N‬על ‪ .N‬‬ ‫)‪(k+l+1)(k+l‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪24‬‬ ‫= )‪ F (k, l‬היא העתקה חח"ע של‬ ‫משפט‪:‬‬ ‫‪ .1‬אם ‪ A ≈ C‬ו‪ B ≈ D-‬אז ‪.A × B ≈ C × D‬‬ ‫‪ .2‬אם ‪ A‬ו‪ B-‬הן בנות מניה אז ‪ A × B‬בת מניה‪.‬‬ ‫הוכחה‪ (2) :‬תהי ‪ F : N × N → N‬חח"ע ועל‪ ,‬ויהיו ‪ G : A → N, H : B → N‬חח"ע‬ ‫ועל‪.‬‬ ‫נגדיר פונקציה ‪ J : A × B → N‬שתהיה חח"ע ועל‪ ,‬באופן הבא‪:‬‬ ‫‪J (a, b) = F (G (a) , H (b)) ∈ N‬‬ ‫ניתן לוודא שזו פונקציה חח"ע ועל‪ .‬‬ ‫‪6.3‬‬ ‫עוצמת קבוצות חלקיות ל‪N-‬‬ ‫כל ‪ B ⊆ N‬היא סופית או בת־מניה‪.‬‬ ‫למעשה נסיק יותר מכך‪ ,‬שכל ‪ B ⊆ N‬היא סופית אמ"מ היא חסומה‪ ,‬והיא בת־מניה‬ ‫אמ"מ היא אינה חסומה‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬אם ‪ B‬חסומה אז היא סופית לפי טענה קודמת‪ .‬נניח כי ‪ B‬לא חסומה ונוכיח‬ ‫כי היא בת־מניה‪.‬‬ ‫נגדיר ברקורסיה פונקציה ‪ F‬על ‪ N‬באופן הבא‪:‬‬ ‫)‪ F (0‬הוא האיבר המזערי של ‪) B‬יש כזה כי ‪ B‬אינה ריקה‪ ,‬וזאת כי ‪ B‬לא‬ ‫חסומה(‪.‬‬ ‫)‪ F (n + 1‬הוא האיבר המזערי של ‪ B‬הגדול מ‪) F (n)-‬יש כזה כי ‪ B‬אינה‬ ‫חסומה(‪.‬‬ ‫קל לראות כי ‪ F : N → B‬וכן שמתקיים )‪ F (n) < F (n + 1‬לפי בחירת‬ ‫הערכים‪ .‬נותר להוכיח כי ‪ F‬חח"ע ועל ‪.B‬‬ ‫נראה כי היא חח"ע‪ :‬קל לראות כי ‪ F‬פונקציה עולה ממש ולכן ודאי חח"ע‪.‬‬ ‫נראה כי היא על‪ :‬כדי להוכיח כי ‪ F‬על ‪ ,B‬ראשית מוכיחים באינדוקציה על ‪ n‬כי‬ ‫)‪ n ≤ F (n‬לכל ‪ n‬טבעי‪ .‬הדבר נובע מכך שלכל ‪ n‬מתקיים )‪.F (n) < F (n + 1‬‬ ‫יהי ‪ k ∈ B‬כלשהו‪ ,‬וככלל מתקיים )‪ .k ≤ F (k‬יהי ‪ m‬המספר המזערי המקיים‬ ‫)‪ .k ≤ F (m‬נוכיח כי ‪ F (m) = k‬ומכך ינבע כי )‪ ,k ∈ range (B‬כלומר ‪ F‬על‬ ‫‪.B‬‬ ‫אם ‪ m = 0‬אז מהגדרת ‪ F‬נובע כי )‪ F (m‬המספר המינימלי ב‪ ,B-‬ומכך ש‪-‬‬ ‫)‪ B 3 k ≤ F (m‬נובע כי )‪ k = F (m‬וסיימנו‪.‬‬ ‫‪25‬‬ ‫אם ‪ 0 < m‬אז מתקיים )‪ F (m − 1) < k ≤ F (m‬לפי בחירת ‪ m‬כאיבר‬ ‫המינימלי המקיים את התכונה הנ"ל‪.‬‬ ‫אבל נשים לב שמהגדרת ‪ F‬נובע כי )‪ F (m‬הוא המספר המזערי ב‪ B-‬שמקיים‬ ‫)‪ F (m − 1) < F (m‬ולכן בהכרח ‪ .F (m) = k‬‬ ‫מסקנות‪:‬‬ ‫‪ .1‬כל קבוצה חלקית ל‪ N-‬היא סופית אמ"מ חסומה‪ ,‬ובת־מניה אמ"מ אינה חסומה‪.‬‬ ‫‪ .2‬קבוצה חלקית של קבוצה בת־מניה היא סופית או בת־מניה‪.‬‬ ‫‪ .3‬אם ‪ A‬ו‪ B-‬בנות מניה אז ‪ A ∪ B‬בת־מניה )גם אם אינן זרות(‪.‬‬ ‫‪ .4‬אם ‪ A, B‬סופיות או בנות־מניה שתיהן‪ ,‬אז גם ‪ A ∪ B‬סופית או בת־מניה‬ ‫בהתאמה‪ .‬אם אחת מהן בת־מניה והאחרת סופית‪ ,‬אז איחודן בן־מניה‪.‬‬ ‫הוכחה‪ A ∪ B (3) :‬היא האיחוד של הקבוצות הזרות ‪ A‬ו‪ .B \ A-‬מתקיים כי ‪B \ A‬‬ ‫סופית או בת־מניה כי היא חלקית ל‪ .B-‬מטענה שהוכחנו לעיל נובע כי איחוד של‬ ‫שתי קבוצות זרות ובנות־מניה הוא קבוצה בת־מניה‪.‬‬ ‫משפט‪ :‬אם ‪ F : N → A‬פונקציה על‪ ,‬אז ‪ A‬סופית או בת־מניה‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נתבונן ביחס ‪ R‬המוגדר באמצעות ‪ F‬כך ‪ .F (k) = F (l) ⇔ kRl‬ניתן לראות‬ ‫שזה יחס שקילות המחלק את ‪ N‬למחלקות שקילות‪.‬‬ ‫נחפש קבוצה ‪) D ⊆ N‬מטענה קודמת ‪ D‬סופית או בת־מניה( כך ש‪F D :-‬‬ ‫‪ D → A‬תהיה חח"ע ועל‪ ,‬ומכך נקבל מיד כי ‪ A‬סופית או בת־מניה‪.‬‬ ‫נרצה כי ‪ D‬תכיל לא יותר מאיבר אחד מכל מחלקה כדי שתהיה חח"ע‪ ,‬וכן נרצה‬ ‫כי ‪ D‬תכיל לפחות איבר אחד מכל מחלקה כדי שתהיה על‪.‬‬ ‫לכן נגדיר את ‪ D‬להיות קבוצת האיברים המינימליים במחלקות השקילות של ‪.R‬‬ ‫‬ ‫טענה‪ :‬אם ‪ F : A → B‬פונקציה על‪ ,‬ו‪ A-‬בת־מניה‪ ,‬אז ‪ B‬סופית או בת־מניה‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נניח כי ‪ G : N → A‬חח"ע ועל‪ .‬ניתן לראות שההרכבה מהצורה הבאה נותנת‬ ‫פונקציה על‪:‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪N −→ A −→ B‬‬ ‫ממשפט קודם נסיק את הנדרש‪ .‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪6.4‬‬ ‫עוצמת קבוצת הרציונליים ‪Q‬‬ ‫משפט‪ :‬קבוצת המספרים הרציונליים ‪ Q‬היא בת מניה‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ F : Q → Z × N‬הפונקציה המקיימת שלכל מספר רציונלי‬ ‫‪ ,F (z) = hk, li‬כאשר ‪ ,l 6= 0 ,k ∈ Z, l ∈ N‬וכן ‪ k, l‬זרים‪.‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪l‬‬ ‫= ‪ z‬מתקיים‬ ‫‪ F‬חח"ע כי ‪ k, l‬זרים ולכן נקבעים ביחידות‪ ,‬ולכן ‪ Q‬שוות עוצמה ל‪.Range (F )-‬‬ ‫נשים לב כי ‪ Range (F ) ⊆ Z × N‬ולכן היא סופית או בת מניה לפי טענות‬ ‫קודמות‪ .‬מכאן שגם ‪ Q‬כזאת‪.‬‬ ‫ברור ש‪ Q-‬אינה סופית‪ ,‬למשל כי ‪ ,N ⊆ Q‬ולכן ‪ Q‬בת־מניה‪ .‬‬ ‫‪n 6.5‬־יות‬ ‫הגדרה‪ :‬בשם ‪n‬־יה או ‪n‬־יה סדורה‪ ,‬נקרא לפונקציה שתחומה הוא‬ ‫‪7 .N‬‬ ‫‪n‬‬ ‫עבור ‪n‬־יה ‪ ,a‬נקרא בשם רכיבי ה‪n-‬־יה לערכים )‪.a (0) , a (1) , ..., a (n − 1‬‬ ‫נסמן אותם גם ‪.a0 , a1 , ..., an−1‬‬ ‫‪n‬־יה שכל הרכיבים שלה הם איברים של ‪ ,A‬נקראת ‪n‬־יה של איברי ‪.A‬‬ ‫לקבוצה ‪ A‬נסמן ב‪ An -‬את קבוצת ה־‪n‬־יות של איבריה‪.‬‬ ‫הערות‪:‬‬ ‫‪ .1‬מושג ה‪2-‬־יה אינו זהה למושג הזוג הסדור‪ ,‬כי ה‪2-‬־יה שרכיביה הם ‪ x‬ו‪y-‬‬ ‫היא }‪ {h0, xi , h1, yi‬והזוג הסדור עם אותם רכיבים הוא ‪.hx, yi‬‬ ‫עם זאת ה‪2-‬־יה ממלאת אחר תכונת הזוג הסדור ולכן היא יכולה לשמש‬ ‫במקום הזוג הסדור‪ ,‬ומכאן ואילך לא נבחין בין הזוג הסדור ‪ hx, yi‬לבין‬ ‫ה‪2-‬־יה }‪.{h0, xi , h1, yi‬‬ ‫‪ .2‬נשים לב שישנה בדיוק ‪0‬־יה אחת ‪ ,hi‬והיא הקבוצה הריקה‪.‬‬ ‫‪ .3‬פעמים רבות לא נבחין בין העצם ‪ x‬לבין ה‪1-‬־יה ‪ ,hxi‬למרות שמדובר‬ ‫בעצמים שונים‪.‬‬ ‫הגדרה‪ :‬סדרה סופית היא ‪n‬־יה עבור ‪ n ∈ N‬כלשהו‪ .‬אורך הסדרה הוא ה‪ n-‬המתאים‪.‬‬ ‫סדרה סופית של איברי ‪ A‬היא סדרה סופית שכל רכיביה הם איברי ‪.A‬‬ ‫הגדרה‪ :‬לכל פונקציה ‪ F‬ו‪n-‬־יה ‪ ha0 , ..., an−1 i‬נסמן ) ‪ F (a0 , ..., an−1‬עבור )‪.F (ha0 , ..., an−1 i‬‬ ‫הגדרה‪ :‬נסמן ב‪ A∗ -‬את מחלקת כל הסדרות הסופיות של איברי ‪.A‬‬ ‫‪7‬נזכיר‪.Nn =: {0, 1, ..., n − 1} :‬‬ ‫‪27‬‬ ‫למה‪ :‬אם ‪ A ≈ B‬אז לכל ‪ n ∈ N‬מתקיים ‪.An ≈ B n‬‬ ‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ F : A → B‬פונקציה חח"ע ועל‪ .‬נגדיר פונקציה ‪ G : An → B n‬להיות‪:‬‬ ‫‪G (ha0 , ..., an−1 i) = hF (a0 ) , ..., F (an−1 )i‬‬ ‫ניכר מיד שזו פונקציה חח"ע ועל‪ .‬‬ ‫משפט‪ :‬אם ‪ A‬בת־מניה‪ ,‬אז ‪ An‬בת־מניה לכל ‪ n‬טבעי חיובי‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬לצורך הפשטות נדון ב‪ .N-‬תהי ‪ F : N × N → N‬פונקציה חח"ע ועל‪ .‬נגדיר‬ ‫ברקורסיה פונקציה ‪ Fn : Nn → N‬להיות‪:‬‬ ‫‪F1 (hki) = k‬‬ ‫) ‪Fn+1 (a0 , ..., an ) = F (Fn (a0 , ..., an−1 ) , an‬‬ ‫ניתן להוכיח באינדוקציה שזו פונקציה חח"ע ועל‪ .‬‬ ‫משפט‪ :‬אם ‪ A‬בת־מניה‪ ,‬אז ∗‪ A‬בת־מניה‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬לצורך הפשטות נדון ב‪ .N-‬נתעלם מה‪0-‬־יה‪ ,‬שכן איחוד של קבוצה בת־מניה‬ ‫עם איבר אחד‪ ,‬היא קבוצה בת־מניה‪.‬‬ ‫נגדיר העתקה חח"ע ‪ F ∗ : N∗ → N‬ומכך ינבע לפי טענה קודמת כי ∗‪ N‬סופית‬ ‫או בת־מניה‪ .‬ברור כי ∗‪ N‬אינה סופית ולכן היא תהיה בת־מניה‪.‬‬ ‫כל ∗‪ a ∈ N‬הוא ‪n‬־יה של איבר ‪ N‬עבור ‪ 1 ≤ n‬כלשהו )מתעלמים מה‪0-‬־יה(‪.‬‬ ‫נגדיר עבורו‪:‬‬ ‫))‪F ∗ (a) = F (n − 1, Fn (a‬‬ ‫כאשר ‪ F, Fn‬הן הפונקציות שהגדרנו בהוכחה האחרונה‪ .‬נשים לב כי ‪,F ∗ ∈ N‬‬ ‫ומכך ש‪ F, Fn -‬חח"עׂ נובע כי גם ∗ ‪ F‬חח"ע‪ .‬‬ ‫טענה‪ :‬אם ‪ A ≈ B‬אז ∗ ‪.A∗ ≈ B‬‬ ‫מכאן שאם ‪ A‬בת־מניה אז ∗‪ A‬בת־מניה‪.‬‬ ‫‪6.6‬‬ ‫עוצמת קבוצת המספרים האלגבריים‬ ‫קבוצת המספרים האלגבריים היא בת מניה‪.‬‬ ‫‪28‬‬ ‫הוכחה‪ :‬מספר אלגברי הוא שורש של פולינום ‪ p‬עם מקדמים שלמים ממעלה ‪n > 0‬‬ ‫כלשהי‪ .‬ל‪ p-‬יש לכל היותר ‪ n‬שורשים‪ ,‬נסמן את מספרם ב‪.mp -‬‬ ‫נסדר אותם בסדר שיטתי כלשהו )למשל‪ ,‬לפי הסדר של הרכיב הממשי שלהם‪,‬‬ ‫ואת השורשים עם אותו רכיב ממשי נסדר לפי הרכיב הדמיוני( ותהי ‪ fp‬הפונקציה‬ ‫המעתיקה את קבוצת המספרים }‪ {0, . . . , mp − 1‬על קבוצת שורשי ‪ p‬לפי הסדר‬ ‫שלהם‪.‬‬ ‫תהי ‪ W‬קבוצת הזוגות ‪ ha, ki‬היכן ש‪ a-‬היא סדרה באורך גדול מ‪ 1-‬של מספרים‬ ‫שלמים‪ ,‬שרכיבה הראשון אינו ‪ 0‬ו‪ k-‬מספר טבעי קטן ממספר השורשים של‬ ‫הפולינום שסדרת מקדמיו היא ‪.a‬‬ ‫תהי ‪ F‬הפונקציה שתחומה ‪ W‬ושלכל ‪ ha, ki ∈ W‬מתקיים כי )‪ F (a, k‬הוא‬ ‫השורש ה‪k-‬־י של הפולינום ‪ p‬שסידרת מקדמיו היא ‪ .a‬כלומר )‪.F (a, k) = fp (k‬‬ ‫נשים לב כי ‪ F‬היא העתקה של ‪ W‬על קבוצת המספרים האלגבריים‪W ⊆ .‬‬ ‫‪ ,Z∗ × N‬היכן ש‪ Z∗ -‬היא קבוצת כל הסדרות של המספרים השלמים‪Z∗ × N .‬‬ ‫היא בת מניה‪ ,‬לפי טענות קודמות‪.‬‬ ‫ברור ש‪ W -‬אינה סופית ולכן ‪ W‬היא בת מניה‪ .‬לפי טענה קודמת קבוצת‬ ‫המספרים האלגבריים היא סופית או בת מניה‪ ,‬אולם היא אינה סופית כי היא‬ ‫מקיפה את ‪ .N‬‬ ‫‪7‬‬ ‫סיכום והרחבת הדיון‬ ‫הגדרנו שקבוצה היא סופית אם היא בת ‪ n‬איברים למספר טבעי ‪ n‬כלשהו‪ ,‬כלומר אם‬ ‫היא שוות עוצמה לקבוצת המספרים הטבעיים הקטנים מ־‪ .n‬ישנה גם אפשרות פשוטה‬ ‫להגדרת מושג הקבוצה הסופית ללא תלות במושג המספר הטבעי‪ ,‬ונראה עתה כיצד‬ ‫לעשות זאת‪.‬‬ ‫מטרתנו היא להגדיר שקבוצה ‪ A‬היא סופית אם היא מתקבלת מן הקבוצה הריקה ע"י‬ ‫הוספת איבר כל פעם )כולל ‪ 0‬הוספות(‪ .‬הבעיה היא איך לנסח באופן מתמטי את‬ ‫התכונה האינטואיטיבית "מתקבלת מן הקבוצה הריקה ע"י הוספת איבר כל פעם"‪.‬‬ ‫תהי ‪ B‬קבוצה כלשהי של קבוצות חלקיות ל‪ .A-‬נאמר ש‪ B-‬היא קבוצה אינדוקטיבית‬ ‫אם הקבוצה הריקה נמצאת ב‪ ,B-‬ולכל קבוצה ‪ P‬ב‪ B-‬ולכל איבר ‪ x‬של ‪ ,A‬גם }‪P ∪ {x‬‬ ‫נמצאת ב־‪.B‬‬ ‫קבוצה אינדוקטיבית ‪ B‬של קבוצות חלקיות ל‪ A-‬מכילה‪ ,‬כמובן‪ ,‬את כל הקבוצות שאליהן‬ ‫ניתן להגיע מן הקבוצה הריקה ע"י הוספת איבר של ‪ A‬כל פעם‪ .‬לכן אם ל‪ A-‬עצמה‬ ‫אפשר להגיע ע"י הוספת איבר כל פעם‪ ,‬אז גם ‪ A‬עצמה נמצאת ב־‪.B‬‬ ‫מצד שני‪ ,‬נסמן ב‪ C-‬את קבוצת הקבוצות החלקיות ל‪ A-‬אליהן ניתן להגיע מן הקבוצה‬ ‫הריקה ע"י הוספת איבר כל פעם‪ .‬ברור ש‪ C-‬עצמה היא אינדוקטיבית‪ ,‬ואם ‪ A‬אינה‬ ‫‪29‬‬ ‫מתקבלת מן הקבוצה הריקה ע"י הוספת איבר כל פעם אז ‪ A‬אינה ב־‪ .C‬כך קיבלנו ש‪A-‬‬ ‫מתקבלת מן הקבוצה הריקה ע"י הוספת איבר כל פעם אמ"מ ‪ A‬נמצאת בכל קבוצה‬ ‫אינדוקטיבית של קבוצות חלקיות ל‪.A-‬‬ ‫התכונה ש‪ A-‬נמצאת בכל קבוצה אינדוקטיבית של קבוצות חלקיות לה היא תכונה‬ ‫מתמטית מנוסחת היטב‪ ,‬ונשתמש בה להגדרת הסופיות‪.‬‬ ‫הגדרה‪ :‬קבוצה ‪ B‬נקראת קבוצה אינדוקטיבית ב‪ A-‬אם היא קבוצה של קבוצות חלקיות‬ ‫ל‪ ,A-‬כך ש‪ ,∅ ∈ B-‬ולכל קבוצה ‪ P ∈ B‬ו‪ P ∪ {x} x ∈ A-‬נמצאת ב־‪.B‬‬ ‫קבוצה ‪ A‬נקראת סופית אם היא נמצאת בכל קבוצה אינדוקטיבית ב‪.A-‬‬ ‫דוגמה לקבוצה שאינה סופית‪ :‬קבוצת כל הקבוצות החסומות של המספרים הטבעיים‬ ‫היא אינדוקטיבית בקבוצת המספרים הטבעיים ‪ ,‬אבל היא אינה מכילה את ‪.N‬‬ ‫משפט‪:‬‬ ‫‪ .1‬הקבוצה הריקה ∅ היא סופית‪.‬‬ ‫‪ .2‬אם הקבוצה ‪ A‬סופית ו‪ y-‬עצם כלשהו‪ ,‬אז גם }‪ A ∪ {y‬סופית‪.‬‬ ‫]רמז‪ :‬תהי ‪ B‬קבוצה אינדוקטיבית ב‪ .A ∪ {y}-‬נסמן ב‪ C-‬את הקבוצה של‬ ‫אותן קבוצות ב‪ B-‬שהן חלקיות ל־‪ .A‬מתקיים ‪ C‬אינדוקטיבית ב‪ A-‬ולכן‬ ‫‪[.A ∈ C ⊆ B‬‬ ‫עקרון האינדוקציה לקבוצות סופיות‬ ‫אם ‪ Φ‬היא תכונה אינדוקטיבית‪ ,‬כלומר אם ∅ היא בעלת התכונה ‪ ,Φ‬ולכל קבוצה ‪A‬‬ ‫ולכל עצם ‪ x‬אם ‪ A‬היא בעלת התכונה ‪ Φ‬אז גם }‪ A ∪ {x‬היא בעלת התכונה ‪ ,Φ‬אז כל‬ ‫קבוצה סופית היא בעלת התכונה ‪.Φ‬‬ ‫]רמז‪ :‬לכל קבוצה ‪ A‬קבוצת כל הקבוצות החלקיות ל‪ A-‬שהן בעלות התכונה ‪ Φ‬היא‬ ‫קבוצה אינדוקטיבית ב‪[.A-‬‬ ‫כעת נוכיח כי מושג הסופיות שהוגדר כאן זהה למושג הסופיות שהוגדר לעיל באמצעות‬ ‫המספרים הטבעיים‪.‬‬ ‫ראשית‪ ,‬נראה כי כל קבוצה סופית‪ ,‬כפי שהוגדר כאן היא קבוצה בת ‪ n‬איברים עבור‬ ‫מספר טבעי כלשהו‪ ,‬ע"י שנראה שהתכונה להיות קבוצה בת ‪ n‬איברים עבור מספר טבעי‬ ‫‪ n‬כלשהו היא תכונה אינדוקטיבית‪.‬‬ ‫הקבוצה הריקה ∅ היא בת ‪ 0‬איברים‪ .‬אם קבוצה ‪ A‬היא בת ‪ n‬איברים‪ ,‬למספר טבעי‬ ‫‪ n‬אז }‪ A ∪ {x‬היא בת ‪ n + 1‬איברים‪.‬‬ ‫בכוון ההפוך‪ ,‬נראה כי כל קבוצה בת ‪ n‬איברים היא סופית לפי ההגדרה כאן‪ ,‬ונעשה‬ ‫זאת באינדוקציה על ‪.n‬‬ ‫‪30‬‬ ‫קבוצה בת ‪ 0‬איברים היא ∅ ולכן היא סופית‪ .‬תהי ‪ A‬קבוצה בת ‪ n + 1‬איברים‪ ,‬ויהי ‪x‬‬ ‫איבר כלשהו של ‪ .A‬אז }‪ A ∪ {x‬היא קבוצה בת ‪ n‬איברים ולכן היא סופית לפי הנחת‬ ‫האינדוקציה‪.‬‬ ‫לפי חלק ב' של המשפט דלעיל גם }‪ A = (A \ {x}) ∪ {x‬סופית‪.‬‬ ‫תרגיל‪ :‬להוכיח בשיטות של הדיון כאן שכל קבוצה חלקית של קבוצה סופית היא סופית‪,‬‬ ‫בשתי דרכים‪ :‬האחת היא ע"י שימוש ישיר בהגדרת הסופיות והשניה באינדוקציה‪.‬‬ ‫תכונה של קבוצות אינסופיות‬ ‫מטענה קודמת נובע שאם לקבוצה ‪ A‬ישנה העתקה חד־חד ערכית לקבוצה חלקית ממש‬ ‫שלה‪ ,‬אז ‪ A‬היא אינסופית‪.‬‬ ‫האם לכל קבוצה אינסופית ‪ A‬קיימת העתקה חד־חד ערכית על תת־קבוצה חלקית שלה?‬ ‫בשלב זה איננו יכולים לענות על שאלה זאת‪ ,‬ומה שאנו יכולים כבר לומר זהו המשפט‬ ‫הבא‪.‬‬ ‫משפט‪ :‬לקבוצה ‪A‬ישנה העתקה חד־חד ערכית על קבוצה חלקית ממש שלה אמ"מ יש‬ ‫ל‪ A-‬תת קבוצה בת מניה‪.‬‬ ‫]רמז‪ :‬תהי ‪ F‬העתקה חד־חד ערכית של ‪ A‬על קבוצה חלקית ממש שלה‪ .‬יהי‬ ‫‪ .w ∈ A \ RangeF‬נגדיר ברקורסיה ‪ ,w0 = w‬ולכל ‪ n‬נגדיר אותה להיות‬ ‫) ‪.wn+1 = F (wn‬‬ ‫‪31‬‬ ‫חלק‬ ‫‪IV‬‬ ‫השוואת קבוצות‬ ‫• בפרק זה נראה קבוצות אינסופיות שהן גדולות יותר בעוצמתן מן הקבוצות בנות‬ ‫המנייה‪ .‬הפופולרית ביותר מבין קבוצות אלו היא קבוצת המספרים הממשיים‪,‬‬ ‫ונתחיל בהתבוננות בקבוצה זאת‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫עוצמת המספרים הממשיים‬ ‫משפט‪ :‬הקבוצות הבאות של מספרים ממשיים שוות עוצמה זו לזו‪.‬‬ ‫‪ .1‬קבוצת המספרים הממשיים ‪.R‬‬ ‫‪ .2‬כל הקטעים הפתוחים מהצורה‪:‬‬ ‫}‪(a, b) =: {x ∈ R | a < x < b‬‬ ‫‪ .3‬כל הקרניים הפתוחות מהצורה‪:‬‬ ‫}‪(a, ∞) =: {x ∈ R | a < x‬‬ ‫}‪(−∞, a) =: {x ∈ R | x < a‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ .4‬כל הקטעים הסגורים מהצורה‪:‬‬ ‫}‪[a, b] =: {x ∈ R | a ≤ x ≤ b‬‬ ‫כאשר ‪ a < b‬ממש‪.‬‬ ‫‪ .5‬כל הקרניים הסגורות מהצורה‪:‬‬ ‫}‪[a, ∞) =: {x ∈ R | a ≤ x‬‬ ‫}‪(−∞, a] =: {x ∈ R | x ≤ a‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪ .6‬כל הקטעים החצי־פתוחים מהצורה‪:‬‬ ‫}‪[a, b) =: {x ∈ R | a ≤ x < b‬‬ ‫}‪(a, b] =: {x ∈ R | a < x ≤ b‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נוכיח חלק משוויונות העוצמות הללו‪.‬‬ ‫‪ f (x) = c + x−a‬המוגבלת ל‪ (a, b)-‬מעתיקה את )‪ (a, b‬על‬ ‫הפונקציה )‪b−a (d − c‬‬ ‫)‪ .(c, d‬לכן כל הקטעים מהצורה של ‪ 2‬שווי־עוצמה זה לזה‪.‬‬ ‫הפונקציה ‪ g (x) = x1 − 1‬מוגבלת ל‪ (0, 1)-‬מעתיקה את )‪ (0, 1‬על הקרן )∞ ‪.(0,‬‬ ‫לכן ‪ 2‬שוות־עוצמה ל‪.3-‬‬ ‫נבנה משתי פונקציות הדומות ל‪ g-‬הנ"ל פונקציה המעתיקה את )‪ (−1, 1‬על ‪.R‬‬ ‫לכן ‪ 2‬שוות עוצמה ל‪.1-‬‬ ‫הפונקציה ‪ h‬הבאה‪ ,‬שתחומה ]‪ [−1, 1‬מעתיקה את ]‪ [−1, 1‬על )‪:(−1, 1‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫}‪−n |n ∈ N‬‬ ‫‪2 |x| ∈ {2‬‬ ‫= )‪h (x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪otherwise‬‬ ‫לכן ‪ 2‬שוות־עוצמה ל‪ .4-‬‬ ‫משפט‪ :‬קבוצת המספרים הממשיים ‪ R‬אינה בת־מניה‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬מהמשפט הקודם נובע שמספיק להוכיח שהקטע )‪ (0, 1‬אינו קבוצה בת מניה‪.‬‬ ‫לשם־כך נוכיח שכל העתקה )‪ F : N → (0, 1‬איננה על )‪ .(0, 1‬נעשה זאת בכך‬ ‫שנבנה לכל העתקה ‪ F‬כזאת מספר ממשי ‪ 0 < b < 1‬כלשהו‪ ,‬שאינו בטווח ‪.F‬‬ ‫תהי )‪ F : N → (0, 1‬העתקה כנ"ל‪ .‬לכל ‪ n‬תהי ‪ 0.an,0 an,1 ...‬ההצגה של‬ ‫)‪ F (n) ∈ (0, 1‬כשבר עשרוני אינסופי‪.‬‬ ‫נבנה מספר )‪ b ∈ (0, 1‬באמצעות הצגה העשרונית ‪ 0.b1 b2 ...‬כך שנבטיח שהוא‬ ‫יהיה שונה מכל המספרים ‪ .F (0) , F (1) , ...‬נעשה זאת באופן הבא‪:‬‬ ‫כדי ש‪ b-‬יהיה שונה מ‪ F (n)-‬נבחר את הסיפרה ‪ bn‬כך שהיא תהיה שונה מן‬ ‫הסיפרה ‪ an,n‬הנמצאת באותו מקום בהצגת )‪.F (n‬‬ ‫את הסיפרה ‪ bn‬נבחר כסיפרה בין ‪ 1‬ל‪ 8-‬שהיא ‪ an,n + 1‬או ‪ .an,n − 1‬כך ההצגה‬ ‫העשרונית של ‪ b‬שונה מכל ההצגות העשרוניות של ‪.F (0) , F (1) , . . .‬‬ ‫‪33‬‬ ‫הטבלה הבאה ממחישה את בחירת הספרות בייצוג העשרוני של ‪ .b‬נניח שנתון‬ ‫כל טווח הפונקציה באופן הבא‪:‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪a0,4‬‬ ‫‪a1,4‬‬ ‫‪a2,4‬‬ ‫‪a3,4‬‬ ‫‪a4,4‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪a0,3‬‬ ‫‪a1,3‬‬ ‫‪a2,3‬‬ ‫‪a3,3‬‬ ‫‪a4,3‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪a0,2‬‬ ‫‪a1,2‬‬ ‫‪a2,2‬‬ ‫‪a3,2‬‬ ‫‪a4,2‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪a0,1‬‬ ‫‪a1,1‬‬ ‫‪a2,1‬‬ ‫‪a3,1‬‬ ‫‪a4,1‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪a0,0‬‬ ‫‪a1,0‬‬ ‫‪a2,0‬‬ ‫‪a3,0‬‬ ‫‪a4,0‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪0.‬‬ ‫‪0.‬‬ ‫‪0.‬‬ ‫‪0.‬‬ ‫‪0.‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫= )‪(0‬‬ ‫= )‪(1‬‬ ‫= )‪(2‬‬ ‫= )‪(3‬‬ ‫= )‪(4‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪ b‬יהיה המספר שבייצוג העשרוני שלו ‪ b = 0.b0 b1 b2 ...‬מתקיים ‪ bn 6= ann‬לכל‬ ‫‪ n‬טבעי‪ .‬כלומר הספרות שמופיעות באלכסון המרכזי נפסלות מלהופיע בייצוג‬ ‫העשרוני של ‪.b‬‬ ‫מכיוון שהספרות ‪ 0, 9‬אינן מופיעות בהצגה של ‪ ,b‬הרי ש‪ b-‬מקיים ‪ 0 < b < 1‬ול‪b-‬‬ ‫ישנה הצגה יחידה כשבר עשרוני אינסופי )למספרים שיש להם שתי הצגות כשבר‬ ‫עשרוני אינסופי מופיעה בהצגה אחת הסיפרה ‪ 9‬בכל מקום ממקום מסויים ואילך‪,‬‬ ‫ובשניה מופיעה הסיפרה ‪ 0‬ממקום מסויים ואילך(‪ .‬לכן המצב של‪ b-‬ול‪ F (n)-‬יש‬ ‫ספרות שונות במקום המתאים ל‪ n-‬מבטיח ש‪ b 6= F (n)-‬לכל ‪ .n ∈ N‬‬ ‫שיטת הבניה של ‪ b‬נקראת שיטת האלכסון כי אנו בונים את ‪ b‬ע"י שאנו הולכים לאורך‬ ‫האלכסון בהצגה שלעיל ובוחרים בכל מקום סיפרה השונה מן הסיפרה שהאלכסון עובר‬ ‫דרכה‪.‬‬ ‫• ראינו זה עתה שקבוצת המספרים הממשיים גדולה בעוצמתה מן הקבוצות בנות‬ ‫המניה‪ .‬נראה עתה דרך לקבל מכל קבוצה ‪ A‬קבוצה הגדולה בעוצמתה מ‪.A-‬‬ ‫‪9‬‬ ‫השוואת קבוצות‬ ‫הגדרות‪ :‬יהיו ‪ A, B‬קבוצות‪.‬‬ ‫‪ .1‬נסמן ‪ A B‬אם קיימת ‪ F : A → B‬חד־חד ערכית‪ .‬במקרה זה אומרים‬ ‫ש‪ A-‬קטנה או שווה בעוצמתה מ‪ ,B-‬וש‪ B-‬גדולה או שווה בעוצמתה מ‪.A-‬‬ ‫‪ .2‬נסמן ‪ A ≺ B‬אם ‪ A B‬וגם ‪ .A 6≈ B‬במקרה זה אומרים ש‪ A-‬קטנה‬ ‫בעוצמתה מ‪ ,B-‬וש‪ B-‬גדולה בעוצמתה מ‪.A-‬‬ ‫הערה‪ :‬מכיוון ש‪ N ⊆ R-‬וגם ‪ ,N 6≈ R‬אז ‪.N ≺ R‬‬ ‫טענה‪:‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪ A B .1‬אמ"מ ישנה ‪ C ⊆ B‬כך ש‪.A ≈ C-‬‬ ‫]הוכחה‪ :‬אם ‪ A B‬אז יש ‪ F : A → B‬חח"ע‪ .‬מתקיים כי הקבוצה‬ ‫‪ Range (F ) ⊆ B‬מקיימת )‪.A ≈ range (G‬‬ ‫אם יש ‪ C ⊆ B‬כך ש‪ ,A ≈ C-‬אז קיימת ‪ F : A → C‬חח"ע ועל‪ ,‬ובפרט‬ ‫‪ F : A → B‬חח"ע‪[.‬‬ ‫‪ .2‬אם ‪ A ⊆ B‬אז ‪) A B‬על־ידי פונקציית הזהות‪ ,‬למשל(‪ ,‬ולכן תמיד‬ ‫‪ .A A‬מכאן שהיחס רפלקסיבי‪.‬‬ ‫‪ .3‬אם ‪ A ≈ B‬אז ‪ ,A 6≺ B‬ולכן תמיד ‪ .A 6≺ A‬מכאן שהיחס ≺ אי־רפלקסיבי‪.‬‬ ‫‪ .4‬היחס הוא טרנזיטיבי‪ :‬אם ‪ A B‬ו‪ B C-‬אז ‪.A C‬‬ ‫]כי הרכבת פונקציות חח"ע נותנת פונקציה חח"ע‪[.‬‬ ‫‪ .5‬נניח כי ‪ A0 ≈ A‬ו‪ .B 0 ≈ B-‬אם ‪ A B‬אז ‪ ,A0 B 0‬ואם ‪ A ≺ B‬אז‬ ‫‪.A0 ≺ B 0‬‬ ‫טענה‪:‬‬ ‫‪ .1‬אם ‪ B‬סופית ו‪ ,A B-‬אז גם ‪ A‬סופית‪.‬‬ ‫]לפי מה שהראינו כי ‪ A B‬אמ"מ קיימת ‪ C ⊆ B‬כך ש‪[.A ≈ C-‬‬ ‫‪ .2‬אם ‪ A‬אינסופית ו‪ A B-‬אז גם ‪ B‬אינסופית‪.‬‬ ‫‪ .3‬לכל ‪ m, n ∈ N‬מתקיים ‪ Nm Nn‬אמ"מ ‪.m ≤ n‬‬ ‫‪ .4‬לכל ‪ n ∈ N‬מתקיים ‪.Nn ≺ N‬‬ ‫אקסיומת קבוצת החזקה‪ :‬לכל קבוצה ‪ A‬קיימת קבוצה המכילה את כל הקבוצות‬ ‫החלקיות ל‪) A-‬במילים אחרות‪ :‬מחלקת הקבוצות החלקיות ל‪ A-‬היא קבוצה(‪.‬‬ ‫הגדרה‪ :‬קבוצת כל הקבוצות החלקיות ל‪ A-‬נקראת קבוצת החזקה של ‪) A‬נראה מאוחר‬ ‫יותר מהיכן בא שם זה( ואנו מסמנים אותה ב‪.P (A)-‬‬ ‫הערה‪ :‬אקסיומת קבוצת החזקה שייכת לקבוצת אקסיומות הקיום הבסיסיות )‪ .(2‬היא‬ ‫נכנסת תחת המטריה של דוקטרינת הגבלת הגודל‪ ,‬כי במובן מסויים אפשר לומר‬ ‫שהקבוצה )‪ P (A‬אינה גדולה "מדי" בהשוואה ל‪.A-‬‬ ‫עם זאת כדאי לשים לב שכאן אנחנו מתחככים בגבול של דוקטרינה זאת‪ ,‬וכדי להבין‬ ‫את זה די לנו להתבונן בקבוצות הסופיות‪ .‬קל להוכיח כי אם ‪ A‬קבוצה סופית בת ‪n‬‬ ‫איברים אז )‪ P (A‬היא קבוצה בת ‪ 2n‬איברים‪.‬‬ ‫בעובדה ש‪ 2n -‬הוא הרבה יותר גדול מ‪ ,n-‬נוכח השח הפרסי כאשר ממציא משחק‬ ‫השחמט ביקש ממנו‪ ,‬כשכר המצאתו‪ ,‬לשים במשבצת הראשונה של לוח השחמט גרגיר‬ ‫חיטה אחד‪ ,‬ובכל משבצת שאחריה גרגירים במספר כפול ממספר הגרגירים במשבצת‬ ‫שלפניה‪.‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪9.1‬‬ ‫משפט קנטור‬ ‫לכל קבוצה ‪ A‬מתקיים )‪ A ≺ P (A‬ממש‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬ברור כי הפונקציה )‪ G : A → P (A‬המוגדרת על־ידי }‪ G (x) = {x‬היא‬ ‫העתקה חד־חד ערכית של ‪ A‬לתוך )‪ .P (A‬נראה שלא קיימת העתקה כנ"ל‬ ‫שתהיה על )‪.P (A‬‬ ‫כמו בטכניקה הלכסון ששימשה להוכחה שקבוצת המספרים הממשיים ‪ R‬אינה‬ ‫בת־מניה‪ ,‬גם כאן נצביע על פעולה היוצרת מכל העתקה )‪ F : A → P (A‬איבר‬ ‫)‪ u ∈ P (A‬שאינו בטווח ‪.F‬‬ ‫∈ ‪B =: {x ∈ A | x‬‬ ‫בהינתן )‪ ,F : A → P (A‬נגדיר תת־קבוצה של ‪ A‬להיות ∈ })‪/ F (x‬‬ ‫∈ ‪ B‬ולכן ‪ F‬אינה על )‪.P (A‬‬ ‫)‪ .P (A‬נוכיח כי ) ‪/ Range (F‬‬ ‫נניח בשלילה כי קיים ‪ w ∈ A‬כך ש‪ .B = F (w)-‬נבדוק האם )‪.w ∈ F (w‬‬ ‫∈ ‪.w‬‬ ‫∈ ‪ ,w‬ולכן )‪/ F (w‬‬ ‫אם )‪ ,w ∈ F (w‬אז לפי הגדרת ‪ B‬מתקיים )‪/ B = F (w‬‬ ‫∈ ‪ w‬אז לפי הגדרת ‪ B‬מתקיים )‪ ,w ∈ B = F (w‬ולכן )‪.w ∈ F (w‬‬ ‫אם )‪/ F (w‬‬ ‫∈ ‪ ,w‬וזו סתירה‪ .‬‬ ‫קיבלנו כי )‪ w ∈ F (w‬אמ"מ )‪/ F (w‬‬ ‫מסקנה‪ :‬לכל ‪ m‬טבעי מתקיים‪:‬‬ ‫[‬ ‫≺ ‪N ≺ P (N) ≺ P 2 (N) ≺ ... ≺ pm (N) ≺ ...‬‬ ‫)‪P k (N‬‬ ‫‪k∈N‬‬ ‫‪9.2‬‬ ‫משפט קנטור־ברנשטיין‬ ‫אנו עוסקים עתה בהשוואת קבוצות‪ ,‬ולעיל אמרנו שאם ‪ A ≺ B‬אומרים ש‪ A-‬קטנה‬ ‫מ‪ .B-‬השאלה בה עוסק המשפט שלפנינו היא האם יתכן שבאותו זמן גם ‪B ≺ A‬‬ ‫וגם ‪ ,A ≺ B‬כלומר גם ‪ A‬קטנה מ‪ B-‬וגם ‪ B‬קטנה מ־‪ .A‬זה כמובן איננו מה שאנו‬ ‫מתכוונים לו במונח "השוואה"‪ .‬המשפט הבא מבטיח לנו שמצב זה אינו אפשרי‪.‬‬ ‫משפט‪ :‬אם ‪ A B‬וגם ‪ ,B A‬אז ‪.A ≈ B‬‬ ‫הוכחה‪ :‬תהיינה ‪ F : A → B‬ו‪ G : B → A-‬פונקציות חד־חד ערכיות‪ .‬מצב המתואר‬ ‫בציור הבא‪:‬‬ ‫‪36‬‬ ‫מכיוון ש‪ F -‬ו‪ G-‬חד־חד ערכיות‪ ,‬גם ההרכבה שלהן ‪ GF‬חד־חד ערכית‪ ,‬ולכן‪:‬‬ ‫]) ‪A ≈ Range (F ) ≈ Range (GF ) = G [Range (F‬‬ ‫כמו־כן נשים לב כי מכיוון ש‪ Range (F ) ⊆ B-‬אז מתקיים ⊆ )‪G [Range (F )] ⊆ Range (G‬‬ ‫‪.A‬‬ ‫נשים לב כי משתי תובנות אלה נובע כי בשלשה זאת‪ ,‬הקבוצות הקיצוניות ]) ‪G [Range (F‬‬ ‫ו‪ A-‬שוות־עוצמה‪.‬‬ ‫אם נוכיח שקבוצת הביניים )‪ Range (G‬שוות־עוצמה לשתי קבוצות אלו )ובפרט ל‪(A-‬‬ ‫נסיים‪ ,‬כי ‪) Range (G) ≈ B‬כי ‪ G‬חד־חד ערכית( ונוכל להסיק כי ‪ .A ≈ B‬‬ ‫נוכיח טענה זו באופן כללי במשפט הבא‪.‬‬ ‫‪9.3‬‬ ‫למת הסנדוויץ'‬ ‫תהיינה ‪ A, B, C‬קבוצות כך ש‪ C ⊆ B ⊆ A-‬וכן ‪ ,C ≈ A‬אז גם ‪.B ≈ A‬‬ ‫הוכחה ראשונה‪ :‬תהי ‪ F : A → C ⊆ B‬העתקה חד־חד ערכית ועל‪ .‬נגדיר עתה‬ ‫העתקה ‪ G : A → B‬חד־חד ערכית ועל‪.‬‬ ‫הרעיון של בניית ‪ G‬הוא שנצא מפונקצית הזהות ‪ ,B : B → B‬ונגדיל את תחומה‬ ‫ל‪ A-‬ע"י הוספת הקבוצה ‪ A \ B‬לתחום מבלי לשנות את הטווח ‪.B‬‬ ‫נתבונן על ‪ B‬כעל מלון בו כל דייר גר בחדרו‪ .‬כלומר כל דייר ‪ x ∈ B‬משוכן‬ ‫בחדר ‪) x‬פונקציית הזהות(‪.‬‬ ‫כעת מגיעה למלון קבוצת האורחים ‪ A \ B‬שנסמנה ב‪ .P0 -‬למען האורחים האלו‬ ‫אנו מוכנים להוציא דיירים מחדריהם אם צריך‪ ,‬ומשכנים את האורחים במלון לפי‬ ‫הפונקציה ‪ .F‬כלומר כל אורח חדש ‪ x ∈ A\B‬משוכן במקום ה‪.F (x)-‬‬ ‫‪37‬‬ ‫קבוצת החדרים שאליהם נכנסו אורחים אלו היא ] ‪ ,F [A \ B] = F [P0‬ונסמנה‬ ‫ב‪.P1 -‬‬ ‫הדיירים שהיו קודם בחדרים אלו נשארו ללא מחסה‪ ,‬ולכן נשתמש בפונקציה ‪F‬‬ ‫כדי לשכנם והם יעברו לקבוצת החדרים ] ‪ F [P1‬שנסמנה ב‪.P2 -‬‬ ‫וכך לכל מספר טבעי ‪ n‬מגדירים ] ‪.Pn+1 = F [Pn‬‬ ‫לכל דייר נמצא מקום כי לכל ‪ ,n‬הדיירים הקודמים של ‪ Pn‬שוכנו כולם ב‪.Pn+1 -‬‬ ‫תהי ‪ P‬הקבוצה שהיא האיחוד של כל הקבוצות ‪ .Pn‬כך כל אורח ודייר ‪ x‬בקבוצה‬ ‫‪ P‬שוכן בחדר )‪ ,F (x‬וכל יתר הדיירים נשארו במקומם‪ .‬הפונקציה ‪ G‬המבוקשת‬ ‫מתוארת בשרטוט הבא‪:‬‬ ‫נבטא באופן פורמלי את ההתאמה שתיארנו‪.‬‬ ‫נתון שקיימת ‪ F : A → C‬חח"ע ועל‪ .‬מגדירים באופן רקורסיבי‪:‬‬ ‫[‬ ‫= ‪P0 = A\B Pn+1 = F [Pn ] P‬‬ ‫‪Pj‬‬ ‫‪j∈N‬‬ ‫מייצרים את ההתאמה מהצורה ‪ G : A → B‬המוגדרת להיות‪:‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x ∈ A\P‬‬ ‫= )‪G (x‬‬ ‫)‪F (x‬‬ ‫‪x∈P‬‬ ‫נותר להוכיח כי ‪ G‬חח"ע ועל ‪.B‬‬ ‫‪38‬‬ ‫• נוכיח כי ‪ G‬חד־חד ערכית‪ :‬יהיו ‪.x 6= y ,x, y ∈ A‬‬ ‫ אם ‪ x, y ∈ P‬אז )‪ G (x) = F (x) 6= F (y) = G (y‬כי ‪ F‬חד־חד‬‫ערכית‪.‬‬ ‫ אם ‪ x, y ∈ A \ P‬אז )‪.G (x) = x 6= y = G (y‬‬‫ אם‪ ,‬ללא הגבלת הכלליות‪ x ∈ P ,‬ו‪ ,y ∈ A \ P -‬אז ‪G (x) = F (x) ∈ P‬‬‫ו‪ ,G (y) = y ∈ A \ P -‬ולכן )‪.G (x) 6= G (y‬‬ ‫• נוכיח כי ‪ G‬על ‪ :B‬יהי ‪.y ∈ B ⊆ A‬‬ ‫ אם ‪ y ∈ P‬אז ] ‪ y ∈ Pn = F [Pn−1‬עבור ‪ 0 < n‬כלשהו‪ ,‬ומכאן כי‬‫)‪ y = F (x‬עבור ‪ x ∈ Pn−1‬מסויים כי ‪ F‬על‪ ,‬ולכן )‪.y = G (x‬‬ ‫∈ ‪ y‬אז ‪ y ∈ A \ P‬ומתקיים )‪ .y = G (y‬‬ ‫ אם ‪/ P‬‬‫הוכחה שנייה‪ :‬הוכחה זאת דומה להוכחה הראשונה אבל היא אינה משתמשת במספרים‬ ‫הטבעיים‪.‬‬ ‫נשים לב שהקבוצה ‪ P‬שהוגדרה בהוכחה הראשונה מקיפה את ‪ ,A\B‬והיא סגורה‬ ‫תחת ‪ .F‬כלומר אם ‪ x ∈ P‬אז גם ‪.F (x) ∈ P‬‬ ‫ברור גם כי כל קבוצה ‪ Q ⊆ A‬המקיפה את ‪ A \ B‬וסגורה תחת ‪ F‬מקיפה את כל‬ ‫ה‪Pn‘ -‬־ים‪ ,‬ולכן גם את ‪ .P‬לכן בהוכחה הנוכחית נגדיר ישירות את ַ ‪ P‬כקבוצה‬ ‫החלקית ל‪ A-‬ה"מזערית" המקיפה את ‪ A \ B‬והסגורה תחת ‪.F‬‬ ‫תהי ‪ W‬קבוצת כל הקבוצות ‪ Q‬המקיימות ‪ Q ⊇ A \ B‬והסגורות תחת ‪.F‬‬ ‫מתקיים כי ‪ W‬אינה ריקה כי ‪.A ∈ W‬‬ ‫‪T‬‬ ‫תהי ‪ .P = W‬ברור כי ‪ P ⊇ A \ B‬וכי ‪ P‬סגורה תחת ‪ .F‬נגדיר את ‪ G‬כמו‬ ‫בהגדרה הראשונה‪.‬‬ ‫ההוכחה ש‪ G-‬היא העתקה חד־חד ערכית של ‪ A‬על ‪ B‬שונה ממה שנעשה בהוכחה‬ ‫הראשונה רק בפרט הבא‪:‬‬ ‫יהי ‪ y ∈ B‬ו‪ y ∈ P -‬ועלינו להראות ש‪ y = F (x)-‬עבור ‪ x ∈ P‬מסויים‪ .‬נניח‬ ‫שלא ואז גם הקבוצה }‪ P \ {y‬מקיפה את ‪ A \ B‬והיא סגורה תחת ‪ ,F‬בסתירה‬ ‫לכך שכל קבוצה בעלת תכונות אלו מקיפה את ‪ .P‬‬ ‫מסקנה‪ :‬אם ‪ A B ≺ C‬או ‪ ,A ≺ B C‬אז ‪.A ≺ C‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נניח בשלילה ‪ .A ≈ C‬נקבל כי ‪ A B ≺ C ≈ A‬ולפי משפט קנטור־ברנשטיין‬ ‫מתקיים ‪ ,B ≈ A ≈ C‬וזו סתירה לנתון‪ .‬‬ ‫‪9.4‬‬ ‫הקבוצה ‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫הגדרה‪ :‬נסמן ב־ ‪ A B‬את קבוצת כל הפונקציות מ‪ A-‬ל‪.B-‬‬ ‫תרגיל‪:‬‬ ‫‪39‬‬ ‫‪ .1‬אם ‪ A B‬אז )‪ .P (A) P (B‬אם ‪ A ≈ B‬אז )‪.P (A) ≈ P (B‬‬ ‫‪ .2‬אם ‪ A C‬ו‪ B D-‬אז ‪ .A B C D‬אם ‪ A ≈ C‬ו‪ B ≈ D-‬אז‬ ‫‪.A B ≈C D‬‬ ‫הגדרה‪ :‬הפונקציה האופיינית של ‪ B ⊆ A‬ביחס ל‪ ,A-‬היא פונקציה מהצורה → ‪†B : A‬‬ ‫} ‪ {T, F‬עבור שני עצמים שונים ‪ T, F‬כלשהם‪ ,‬המוגדרת להיות‪:‬‬ ‫(‬ ‫‪T x∈B‬‬ ‫= )‪†B (x‬‬ ‫∈‪F x‬‬ ‫‪/B‬‬ ‫משפט‪ :‬לכל קבוצה ‪ A‬ולכל שני עצמים שונים ‪ T, F‬מתקיים } ‪.P (A) ≈ A {T, F‬‬ ‫הוכחה‪ :‬עבור כל )‪ B ∈ P (A‬נתונה הפונקציה האופיינית ‪.†B‬‬ ‫נגדיר פונקציה } ‪ H : P (A) → A {T, F‬להיות ‪ ,H (B) = †B‬ונראה כי היא‬ ‫העתקה חד־חד ערכית של )‪ P (A‬על } ‪.A {T, F‬‬ ‫‪ H‬חח"ע‪ :‬לכל ‪ B, C ⊆ A‬כאשר ‪ ,B 6= C‬קיים ללא הגבלת הכלליות ‪.y ∈ B \ C‬‬ ‫לכן מתקיים )‪ †B (y) = T 6= F = †C (y‬ולכן )‪.H (B) = †B 6= †C = H (C‬‬ ‫‪ H‬על } ‪ :A {T, F‬תהי } ‪ g ∈ A {T, F‬נגדיר ‪.B = {x ∈ A | g (x) = T } ⊆ A‬‬ ‫עבור כל ‪ ,x ∈ A‬אם ‪ g (x) = T‬אז ‪ ,x ∈ B‬ולכן )‪ ,†B (x) = T = g (x‬ואם‬ ‫‪ g (x) = F‬אז ‪ x 6∈ B‬ולכן )‪.†B (x) = F = g (x‬‬ ‫מכאן נסיק כי )‪ ,g = †B = H (B‬כלומר ‪ g‬בטווח של ‪ .H‬‬ ‫משפט‪R ≈ P (N) :‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נשתמש במשפט קנטור־ברנשטיין‪.‬‬ ‫• הכיוון )‪ :R P (N‬נוכיח כי )‪ R P (Q‬כאשר ‪ Q‬היא קבוצת הרציונליים‪.‬‬ ‫הוכחנו כי ‪ ,N ≈ Q‬וכן ניתן כתרגיל להוכיח כי שוויון העוצמות הנ"ל גורר‬ ‫)‪ ,P (Q) ≈ P (N‬ולכן הטענה הנ"ל תספיק‪.‬‬ ‫נגדיר )‪ F : R → P (Q‬על־ידי )‪.F (x) = {r ∈ Q | r < x} ∈ P (Q‬‬ ‫מכיוון שבין כל שני ממשיים שונים יש מספר רציונלי‪ F ,‬היא חד־חד ערכית‪,‬‬ ‫ולכן נקבל )‪.R P (Q) ≈ P (N‬‬ ‫• הכיוון ‪ :P (N) R‬תהיינה ‪ k, l‬שתי ספרות שונות מבין הספרות ‪.1, ..., 8‬‬ ‫לפי טענה קודמת }‪ P (Q) ≈ Q {k, l} ≈ N {k, l‬ולכן די להוכיח }‪N {k, l‬‬ ‫‪.R‬‬ ‫‪N‬‬ ‫נגדיר פונקציה ‪ G : {k, l} → [0, 1] ≈ R‬באמצעות התאמת כל פונקציה‬ ‫}‪ g ∈ N {k, l‬למספר הממשי שמיוצג עשרונית על־ידי ‪.0.g (0) g (1) g (2) ...‬‬ ‫‪40‬‬ ‫נשים לב שהצגת מספר ממשי כשבר עשרוני אינסופי היא יחידה‪ ,‬פרט למקרה‬ ‫בו יש למספר ממשי שתי הצגות כאלו‪ :‬באחת מופיע ‪ 0‬ממקום מסויים ואילך‬ ‫= }‪{k, l‬‬ ‫ובשניה מופיע ‪ 9‬ממקום מסויים ואילך‪ .‬מכיוון שכאן בחרנו }‪6 {0, 9‬‬ ‫זה לא יכול לקרות עבור ערכי ‪ ,G‬ולכן ‪ G‬חח"ע‪ .‬‬ ‫‪10‬‬ ‫סיכום והרחבת הדיון‬ ‫עסקנו עד כה בדי הרבה קבוצות והסתפקנו באמירה שאלו הן קבוצות‪ .‬אמנם לא נעשה‬ ‫נזק והלכנו בדרך סלולה‪ ,‬אבל כדאי לראות כיצד מוכיחים שאלו הן באמת קבוצות‪.‬‬ ‫לשם כך נשתמש‪ ,‬בנוסף על האקסיומות שראינו בפרק א' באקסיומת קבוצת החזקה‬ ‫ובקבוצת האקסיומות הבאה‪:‬‬ ‫אקסיומת ההחלפה‪ :‬תהי ‪ F‬פונקציה‪ .‬אם ‪ DomF‬קבוצה אז גם ‪ RangeF‬קבוצה‪.‬‬ ‫מדובר כאן על אקסיומות ולא על אקסיומה אחת‪ ,‬כי ישנה כאן אקסיומה נפרדת לכל‬ ‫מחלקה ‪ F‬הנתונה כ‪.{x | Φ (x)}-‬‬ ‫אקסיומות אלו תואמות לגמרי את דוקטרינת הגבלת הגודל כי אינטואיטיבית‪ ,‬המחלקה‬ ‫‪ RangeF‬איננה גדולה יותר מ־ ‪.DomF‬‬ ‫אקסיומות אלו נקראות אקסיומות ההחלפה כי הן אומרות שאם אנחנו יוצאים מקבוצה‬ ‫‪ ,A‬שהיא התחום של פונקציה ‪ ,F‬ומחליפים כל איבר ‪ x‬שלה בעצם )‪ F (x‬המחלקה‬ ‫‪ RangeF‬המתקבלת היא קבוצה‪.‬‬ ‫תחילה נראה מה אנו יכולים להוכיח בעזרת אקסיומת קבוצת החזקה‪ .‬נזכור שהגדרנו את‬ ‫הזוג הסדור ‪ hu, vi‬כקבוצה }}‪ ,{{u} , {u, v‬לכן אם ‪ A‬היא קבוצה אז המחלקה ‪,A × A‬‬ ‫שהיא מחלקת כל הזוגות הסדורים של איברי ‪ ,A‬היא מחלקה חלקית ל‪ ,P (P (A))-‬ולכן‪,‬‬ ‫לפי אקסיומת ההפרדה‪ ,‬היא קבוצה‪.‬‬ ‫כל יחס ‪ R‬על ‪ ,A‬כלומר יחס ‪ R‬שהתחום והטווח שלו חלקיים ל‪ ,Aְֵ-‬הוא מחלקה חלקית‬ ‫ל‪ A × A-‬ולכן גם הוא קבוצה‪ .‬הוכחנו כי אם ‪ A‬ו‪ B-‬הן קבוצות אז גם ‪ A ∪ B‬קבוצה‪,‬‬ ‫ולכן גם ‪ A × B‬החלקית ל‪ (A ∪ B) × (A ∪ B)-‬היא קבוצה‪.‬‬ ‫כל פונקציה מ‪ A-‬ל‪ B-‬היא קבוצה חלקית ל‪ ,A × B-‬ולכן היא קבוצה‪ .‬המחלקה‬ ‫המוגדרת לעיל היא לכן חלקית ל‪ P (A × B)-‬והיא קבוצה‪.‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫בהגדרות המקובלות של המספרים השלמים‪ ,‬הרציונליים והממשיים בתורת הקבוצות‪,‬‬ ‫אפשר להוכיח‪ ,‬ע"י שימוש באקסיומות של פרק א' ובאקסיומת קבוצת החזקה‪ ,‬כי קבוצות‬ ‫אלו הן אמנם קבוצות‪.‬‬ ‫למה שעשינו כאן עד כה ישנם שני חסרונות‪ .‬הראשון הוא שהשתמשנו בקלות דעת‬ ‫באקסיומת קבוצת החזקה‪ ,‬שהיא נשק יום הדין‪ ,‬לקבלת מסקנות די צמחוניות‪.‬‬ ‫‪41‬‬ ‫החסרון השני שהסתמכנו ללא צורך על הדרך בה הגדרנו את המושגים השונים‪ .‬כבר‬ ‫עבור הזוג הסדור השתמשנו בכך שהוא הוגדר כ‪ ,{{u} , {u, v}}-‬למרות שאפשר להגדיר‬ ‫מושג זה גם בכל דרך שתקיים את תכונת הזוג הסדור‪.‬‬ ‫לקבוצות של המספרים השלמים‪ ,‬הרציונליים והממשיים בוודאי היינו צריכים להסתמך‬ ‫על הגדרות מסויימות שלהם בתורת הקבוצות‪.‬‬ ‫נסקור עתה כיצד אפשר לעשות את כל מה שעשינו לעיל מבלי להסתמך על ההגדרות‬ ‫המסויימות של הזוג הסדור וקבוצות המספרים השונות‪ ,‬תוך שימוש באקסומות ההחלפה‪,‬‬ ‫ושימוש באקסיומת קבוצת החזקה רק היכן שהדבר חיוני‪.‬‬ ‫תהי ‪ A‬קבוצה‪ ,‬ויהי ‪ .y ∈ A‬תהי ‪ Fy‬הפונקציה על ‪ A‬המוגדרת ע"י ‪Fy (x) = hx, yi‬‬ ‫לכל ‪.x ∈ A‬‬ ‫לפי אקסיומת ההחלפה המחלקה ‪ Ay = {hx, yi | x ∈ A} = RangeFy‬היא קבוצה‪.‬‬ ‫על־ידי ‪ .G (y) = Ay‬לפי אקסיומת ההחלפה‬ ‫תהי ‪ G‬הפונקציה על ‪ A‬המוגדרת ‪S‬‬ ‫‪ RangeG‬היא קבוצה‪ ,‬ולכן ‪ A × A = RangeG‬היא קבוצה‪ .‬לכן גם ⊆ ‪A × B‬‬ ‫)‪ (A ∪ B) × (A ∪ B‬היא קבוצה‪.‬‬ ‫טווח הפונקציה ‪ F‬על ‪ N‬הנתונה ע"י ‪ F (n) = −n‬לכל ‪ ,n ∈ N‬היא מחלקת המספרים‬ ‫האי־חיוביים‪ ,‬ולכן לפי אקסיומת ההחלפה היא קבוצה‪ ,‬והאיחוד שלה עם ‪ ,N‬שהוא‬ ‫מחלקת המספרים השלמים‪ ,‬הוא קבוצה‪.‬‬ ‫כדי לקבל שמחלקת המספרים הרציונליים היא קבוצה‪ ,‬מראים תחילה שלכל ‪n ∈ N‬‬ ‫‪ S‬הוא ‪ ,n‬היא‬ ‫המחלקה ‪ Qn‬של המספרים הרציונליים שהמכנה שלהם בהצגה המצומצמת‬ ‫קבוצה‪ .‬אז מראים שמחלקת המספרים הרציונליים היא }‪ ,Q = {Qn | n ∈ N‬ולכן‬ ‫היא קבוצה‪.‬‬ ‫לפי אקסיומת קבוצת החזקה המחלקה )‪ P (Q‬היא קבוצה‪ .‬תהי )‪ W ⊆ P (Q‬קבוצת‬ ‫הקבוצות ‪ B ⊆ Q‬שהן לא ריקות וחסומות‪ .‬תהי ‪ H‬הפונקציה שתחומה ‪ W‬ולכל‬ ‫‪ B ∈ W‬מתקיים ׁ‪ .H (B) = sup B‬לכן מחלקת המספרים הממשיים ‪R = RangeH‬‬ ‫היא קבוצה‪.‬‬ ‫‪42‬‬ ‫חלק‬ ‫‪V‬‬ ‫העוצמות‬ ‫‪11‬‬ ‫יחס סדר חלקי‬ ‫נגדיר עתה שני מושגים שונים זה מזה של יחס סדר חלקי‪ ,‬האחד במובן של "קטן או‬ ‫שווה" והשני במובן של "קטן"‪ ,‬ולשני מושגים אלו נקרא "סדר חלקי"‪.‬‬ ‫זה לא יוצר בעיה כי שני המושגים הללו קשורים מאוד אחד בחברו‪ ,‬ובכל פעם שנשתמש‬ ‫בהם יהיה ברור לגמרי לאיזה מושג אנו מתכוונים‪.‬‬ ‫הגדרה‪ :‬יחס ≤ על מחלקה ‪ ,A‬כלומר יחס חלקי ל‪ ,A × A-‬נקרא יחס סדר חלקי )במובן‬ ‫"קטן או שווה"( על ‪ A‬אם הוא מקיים את התנאים הבאים‪:‬‬ ‫‪ .1‬רפלקסיביות‪ :‬לכל ‪ x ∈ A‬מתקיים ‪x ≤ x‬‬ ‫‪ .2‬אנטי־סימטריה‪ :‬לכל ‪ x, y ∈ A‬אם ‪ x ≤ y‬וגם ‪ y ≤ x‬אז ‪.x = y‬‬ ‫‪ .3‬טרנזיטיביות‪ :‬לכל ‪ x, y, z ∈ A‬אם ‪ x ≤ y‬וגם ‪ y ≤ z‬אז ‪.x ≤ z‬‬ ‫הגדרה‪ :‬יחס < על מחלקה ‪ A‬כלומר יחס חלקי ל‪ ,A × A-‬נקרא יחס סדר חלקי )במובן‬ ‫"קטן"( על ‪ A‬אם הוא מקיים את התנאים הבאים‪:‬‬ ‫‪ .1‬אי־רפלקסיביות‪ :‬לכל ‪ x ∈ A‬מתקיים ‪.x 6< x‬‬ ‫‪ .2‬טרנזיטיביות‪ :‬לכל ‪ x, y, z ∈ A‬אם ‪ x < y‬וגם ‪ y < z‬אז ‪.x < z‬‬ ‫ומשני תנאים אלו נובע כי קיים גם‪:‬‬ ‫‪ .3‬א־סימטריה‪ :‬לכל ‪ x, y ∈ A‬לא יתכן שקיים גם ‪ x < y‬וגם ‪] .y < x‬כי אם‬ ‫‪ x < y < x‬אז לפי ב' ‪ ,x < x‬בסתירה ל‪-‬א'‪[.‬‬ ‫למה‪:‬‬ ‫‪ .1‬אם ≤ יחס סדר חלקי על ‪ ,A‬אז היחס < על ‪ A‬המוגדר ע"י ‪ x < y‬אם‬ ‫= ‪ x‬הוא יחס סדר חלקי על ‪.A‬‬ ‫‪ x ≤ y‬וגם ‪6 y‬‬ ‫‪ .2‬אם < יחס סדר חלקי על ‪ A‬אז היחס ≤ על ‪ A‬המוגדר ע"י ‪ x ≤ y‬אם‬ ‫‪ x < y‬או ‪ x = y‬הוא יחס סדר חלקי על ‪.A‬‬ ‫דוגמאות‪ :‬היחס ⊆ בין קבוצות‪ .‬היחס "‪ m‬מחלק את ‪ "n‬בין המספרים הטבעיים‪.‬‬ ‫‪43‬‬ ‫‪12‬‬ ‫עוצמה‪/‬מונה‬ ‫הרעיון הבסיסי הוא למצוא "מספר" לכל קבוצה‪ ,‬ולא רק לקבוצות הסופיות שעבורן כבר‬ ‫יש לנו מספרים טבעיים‪ .‬כמובן נרצה שלשתי קבוצות שוות עוצמה יהיה אותו מספר‪,‬‬ ‫ולקבוצות שאינן שוות עוצמה צריכים להיות מספרים שונים‪.‬‬ ‫אקסיומה ‪ :1‬נסמן את המספר של קבוצה ‪ ,A‬שנקרא לו העוצמה של ‪ A‬ב‪ ,|A|-‬ואת‬ ‫הדרישות שהזכרנו זה עתה נבטא‪:‬‬ ‫‪|A| = |B| ⇐⇒ A ≈ B‬‬ ‫בהינתן קבוצה ‪ ,A‬נסמן ב‪ ΦA (x)-‬את התכונה שהקבוצה ‪ x‬שוות עוצמה ל‪.A-‬‬ ‫לתכונה זאת מתאימה כמובן המחלקה }‪.{x | x ≈ A‬‬ ‫לפני שהיה ידוע על האנטינומיה של ראסל‪ ,‬מחלקה זו נחשבה לקבוצה ולכן היה‬ ‫אפשר להגדיר את |‪ |A‬כקבוצה זאת‪ ,‬והגדרה זאת בוודאי מקיימת את הדרישה‬ ‫שהזכרנו‪ .‬כך אכן עשה ‪ Frege‬בשנת ‪ .1884‬אולם כעת שאנו יודעים שלפי הגדרה‬ ‫זאת |‪ |A‬היא מחלקה‪ ,‬וקל להוכיח שזאת מחלקה ממש‪ ,‬היא אינה עונה על מטרתנו‬ ‫שהעוצמה של קבוצה תהיה עצם מתמטי‪.‬‬ ‫לכן בשלב זה נוותר על הגדרת העוצמה‪ .‬נתייחס לפעולה הנותנת לכל קבוצה‬ ‫את העוצמה שלה כאל מושג יסודי חדש ונקבע את הדרישה שהזכרנו כאקסיומה‪.‬‬ ‫פירושו של דבר הוא שלקבוצה ‪ A‬איננו יודעים דבר על העצם |‪ ,|A‬פרט לכך‬ ‫שהוא העוצמה של ‪ .A‬בכך ניתן להסתפק בשלב זה‪.‬‬ ‫הגדרה‪ :‬עצם כלשהו נקרא עוצמה או מספר מונה‪ ,‬או בקיצור מונה‪ ,‬אם הוא עוצמה של‬ ‫קבוצה כלשהי‪ .‬בדרך־כלל האותיות ‪ a, b, c, d, e‬יסמנו עוצמות‪.‬‬ ‫אקסיומה ‪ :2‬בניגוד לסתם קבוצה ‪ ,A‬שבשלב זה אין לנו סיבה מיוחדת לבחור בעצם‬ ‫מסוים כעוצמה שלה )וליתר דיוק‪ ,‬היתה לנו סיבה כזאת אבל היא הביאה אותנו‬ ‫למחלקה שאינה קבוצה( הרי לקבוצה ‪ A‬סופית‪ ,‬ובמיוחד לקבוצה ‪ ,Nn‬יש מועמד‬ ‫מתאים למספר האיברים הידוע לנו עוד מכיתה א'‪ ,‬והוא המספר ‪ .n‬לכן נוסיף‬ ‫את האקסיומה ‪.|Nn | = n‬‬ ‫אקסיומה זו אינה מתנגשת עם האקסיומה הראשונה שהזכרנו‪ ,‬כי הוכחנו ש‪-‬‬ ‫‪ m 6= n‬אמ"מ ‪.Nm 6≈ Nn‬‬ ‫בהמשך נוכל‪ ,‬בהנחות מסויימות‪ ,‬להגדיר את מושג העוצמה כך שנוכל להוכיח את שתי‬ ‫האקסיומות שהזכרנו‪ ,‬ואז הן כמובן ייהפכו מאקסיומות למשפטים‪.‬‬ ‫משפט‪:‬‬ ‫‪44‬‬ ‫‪ .1‬לכל קבוצה ‪ A‬מתקיים כי ‪ A‬סופית אמ"מ ‪|A| ∈ N‬‬ ‫‪ .2‬לכל קבוצה ‪ A‬מתקיים כי ‪ |A| = 0‬אמ"מ ∅ = ‪A‬‬ ‫סימון‪:‬‬ ‫‪|N| = ℵ0 .1‬‬ ‫‪|R| = 2ℵ0 .2‬‬ ‫בשלב זה יש לראות ב‪ 2ℵ0 -‬סימון בלבד ולא חזקה‪.‬‬ ‫‪13‬‬ ‫הסדר החלקי של העוצמות‬ ‫הגדרה‪ :‬למונים ‪ a, b‬מתקיים ‪ a ≤ b‬אם קיימות קבוצות ‪ A, B‬כך ש‪|B| = b ,|A| = a-‬‬ ‫ו‪.A B-‬‬ ‫למונים ‪ a, b‬מתקיים ‪ a < b‬אם ‪ a ≤ b‬וגם ‪.a 6= b‬‬ ‫למה‪:‬‬ ‫ארבעת התנאים הבאים הם איפיונים שקולים להגדרת הסדר החלקי של העוצמות‪:‬‬ ‫‪) a ≤ b .1‬במובן שהגדרנו(‬ ‫‪ .2‬קיימות קבוצות ‪ A, B‬כך ש‪ |B| = b ,|A| = a-‬וכן ‪A ⊆ B‬‬ ‫‪ .3‬לכל קבוצה ‪ B‬כך ש‪ |B| = b-‬קיימת קבוצה ‪ A ⊆ B‬כך ש‪|A| = a-‬‬ ‫‪ .4‬לכל הקבוצות ‪ A, B‬המקיימות ‪ |B| = b ,|A| = a‬מתקיים ‪A B‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫)‪ (2 ⇐ 1‬נתון שקיימות קבוצות ‪ A, B‬וקיימת העתקה ‪ f : A → B‬חח"ע‪ .‬נבחר‬ ‫את ‪ Range (f ) ⊆ B‬ונקבל את הנדרש‪.‬‬ ‫)‪ (3 ⇐ 2‬תהי ‪ .|B| = b‬מהנחת ‪ 2‬נובע שיש ‪ A0 , B 0‬כך ש‪|A0 | = a, |B 0 | = b-‬‬ ‫המקיימות ‪ .A0 ⊆ B 0‬צ"ל שקיימת ‪ A ⊆ B‬המקיימת ‪.|A| = a‬‬ ‫מההנחה נובע ‪ B 0 ≈ B‬ולכן יש העתקה ‪ g : B 0 → B‬חח"ׂע ועל‪ .‬נתבונן בהעתקה‬ ‫‪ ,g A0 : A0 → g [A0 ] ⊆ B‬ונשים לב שהיא חח"ע ועל ולכן ] ‪ ,A0 ≈ g [A0‬ומכאן‬ ‫שקיימת פונקציה כנדרש‪ ,‬שכן ‪.|A0 | = a‬‬ ‫)‪ (4 ⇐ 3‬יהיו ‪) |A| = a , |B| = b‬קיימות מהנחת ‪ .(3‬מהנחת ‪ 3‬נובע שיש‬ ‫‪ A0 ⊆ B‬כך ש‪ ,|A0 | = a-‬ולכן יש העתקה ‪ h : A → A0‬חח"ע ועל‪ .‬אבל מהנתון‬ ‫‪ A0 ⊆ B‬נסיק כי ‪ A B‬כנדרש‪.‬‬ ‫)‪ (1 ⇐ 4‬אם התנאי מתקיים לכל ‪ A, B‬כנ"ל‪ ,‬אז ברור שבפרט קיימות ‪A, B‬‬ ‫כנ"ל‪ .‬‬ ‫‪45‬‬ ‫למה‪ :‬התנאים הבאים שקולים‪:‬‬ ‫‪a < b .1‬‬ ‫‪ .2‬קיימות קבוצות ‪ A, B‬כך ש‪ |B| = b ,|A| = a-‬וכן ‪A ≺ B‬‬ ‫‪ .3‬לכל הקבוצות ‪ A, B‬המקיימות ‪ |B| = b ,|A| = a‬מתקיים ‪A ≺ B‬‬ ‫הוכחה‪ :‬באופן דומה להוכחה הקודמת‪.‬‬ ‫משפט‪ :‬היחסים ≤ ו‪ <-‬בין העוצמות הם יחסי סדר חלקיים‪.‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫רפלקסיביות‪ :‬לכל ‪ |A| = a‬מתקיים ‪ A ≈ A‬וכמובן ‪ A A‬ולכן ‪.a ≤ a‬‬ ‫טרנזיטיביות‪ :‬נניח כי ‪ a ≤ b‬וגם ‪ .b ≤ c‬אזי קיימות ‪ A B‬וגם ‪ B C‬כך‬ ‫ש‪.|A| = a, |B| = b, |C| = c-‬‬ ‫מכך ש‪ a ≤ b-‬נסיק כי ‪ A B‬ומכך ש‪ b ≤ c-‬נסיק כי ‪ .B C‬מטרנזיטיביות‬ ‫יחס הסדר על קבוצות נסיק כי ‪ A C‬ולכן ‪.a ≤ c‬‬ ‫אנטיסימטריות‪ :‬נניח כי ‪ a ≤ b‬וגם ‪ .b ≤ a‬כלומר קיימות ‪ |A| = a, |B| = b‬כך‬ ‫ש‪ A B-‬וגם ‪ B A‬ולכן ממשפט קנטור־ברנשטיין ‪ ,A ≈ B‬ומכאן כי ‪.a = b‬‬ ‫‬ ‫משפט‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪14‬‬ ‫לכל ‪ n‬סופי‪ ,‬אם ‪ a ≤ n‬אז גם ‪ a‬עוצמה סופית ו‪.a ∈ Nn+1 -‬‬ ‫]כי אם ‪ a ≤ n‬אז יש ‪ A ⊆ Nn‬כך ש‪ ,|A| = a-‬וקבוצה חלקית לקבוצה‬ ‫סופית היא סופית‪[.‬‬ ‫לכל ‪ n‬סופי ולכל עוצמה אינסופית ‪ a‬מתקיים ‪.n < a‬‬ ‫]כי אם ‪ a‬אינסופית אז יש ‪ |A| = a‬כך ש‪ A-‬אינסופית‪ ,‬וכן לכל ‪ n‬מתקיים‬ ‫‪ Nn A‬ומכאן ‪[.n < a‬‬ ‫לכל עוצמה ‪ ,a‬אם ‪ a < ℵ0‬אז ‪ a‬עוצמה סופית‪.‬‬ ‫‪] ℵ0 < 2ℵ0‬כי הוכחנו ש‪[.N ≺ R-‬‬ ‫חשבון עוצמות‬ ‫למה‪:‬‬ ‫‪ .1‬תהי ‪ F‬העתקה חח"ע של ‪ A‬על ‪ C‬ו‪ G-‬העתקה חח"ע של ‪ B‬על ‪ .D‬נניח‬ ‫גם ∅ = ‪ A ∩ B‬ו‪ ,C ∩ D = ∅-‬אז ‪ F ∪ G‬היא העתקה חח"ע של ‪A ∪ B‬‬ ‫על ‪.C ∪ D‬‬ ‫‪ .2‬אם ‪ A ∩ B = ∅ ,B ≈ D ,A ≈ C‬וכן ∅ = ‪ ,C ∩ D‬אז ‪.A ∪ B ≈ C ∪ D‬‬ ‫‪46‬‬ ‫חיבור‬ ‫‪14.1‬‬ ‫הגדרה‪ :‬נניח כי ‪ |B| = b ,|A| = a‬וכן ∅ = ‪ .A ∩ B‬נגדיר |‪.a + b = |A ∪ B‬‬ ‫כדי לראות שהחיבור מוגדר לכל זוג עוצמות והוא מוגדר היטב עלינו להוכיח את הדברים‬ ‫הבאים‪:‬‬ ‫‪ .1‬כדי שהחיבור יהיה מוגדר לכל ‪ a, b‬עלינו לראות כי לכל ‪ a, b‬יש קבוצות ‪A, B‬‬ ‫כמו בהגדרה‪.‬‬ ‫אכן לפי הגדרת מושג העוצמה קיימות קבוצות ‪ A, B‬כך ש‪.|B| = b ,|A| = a-‬‬ ‫אם הן אינן זרות נחליף אותן ב‪ {0} × A-‬וב‪ {1} × B-‬שהן זרות ושוות עוצמה‬ ‫ל‪ A-‬ול‪ ,B-‬בהתאמה‪.‬‬ ‫‪ .2‬צריך להראות שהסכום שהוגדר כאן אינו תלוי בבחירת הקבוצות ‪.A, B‬‬ ‫| ‪,|B 0‬‬ ‫תהיינה גם ‪ A0 , B 0‬קבוצות כאלו‪ ,‬כלומר |‪= b = |B| ,|A0 | = a = |A‬‬ ‫ולכן ‪ .B 0 ≈ B ,A0 ≈ A‬מכיוון ש‪ A ∩ B = ∅-‬ו‪ A0 ∩ B 0 = ∅-‬נסיק שמתקיים‬ ‫‪ ,A0 ∪B 0 ≈ A∪B‬ומכאן ‪ ,|A0 ∪B 0 | = |A∪B| = a+b‬והחלפת ‪ A, B‬ב‪A0 , B 0 -‬‬ ‫אינה משנה את ‪.a + b‬‬ ‫משפט‪:‬‬ ‫‪ .1‬חוק החילוף‪] a + b = b + a :‬כי איחוד קבוצות אינו תלוי בסדר‪[.‬‬ ‫‪ .2‬חוק הקיבוץ‪] a+(b+c) = (a+b)+c :‬כי איחוד קבוצות הוא אסוציאטיבי‪[.‬‬ ‫‪] a + 0 = a .3‬כי לכל קבוצה ‪ A‬מתקיים ‪[.A ∪ ∅ = A‬‬ ‫משפט‪:‬‬ ‫‪a + b ≥ a .1‬‬ ‫]כי עבור ‪ A, B‬זרות מתקיים ‪ ,A ⊆ A ∪ B‬ולפי האיפיון השני לסדר של‬ ‫העוצמות נקבל את המבוקש‪[.‬‬ ‫‪ .2‬אם ‪ a ≤ b‬אז קיים מונה ‪ c‬כך ש‪a + c = b-‬‬ ‫]לפי האיפיון השני לסדר של העוצמות קיימות זוג קבוצות מתאימות המקיימות‬ ‫‪ ,A ⊆ B‬ולכן |‪[.|A| + |B \ A| = |B‬‬ ‫‪ .3‬מונוטוניות‪ :‬אם ‪ a ≤ b‬אז ‪c + a ≤ c + b‬‬ ‫]לפי ‪ 2‬קיים ‪ d‬כך ש‪ ,a + d = b-‬ולפי ‪ 1‬נסיק = ‪c + a ≤ (c + a) + d‬‬ ‫‪.[c + (a + d) = c + b‬‬ ‫משפט‪:‬‬ ‫‪47‬‬ ‫‪ .1‬לכל ‪ n ∈ N‬מתקיים ‪ℵ0 + n = ℵ0‬‬ ‫]כי מתקיים ‪[.{m ∈ N|n ≤ m} ∪ Nn = N‬‬ ‫‪ℵ0 + ℵ0 = ℵ0 .2‬‬ ‫]למשל כי גם עוצמת הזוגיים היא וגם עוצמת האי־זוגיים היא ‪[.ℵ0‬‬ ‫משפט‪:‬‬ ‫‪ .1‬אם ‪ ℵ0 ≤ a‬אז ‪ ,a + ℵ0 = a‬וכן לכל ‪ n ∈ N‬מתקיים ‪.a + n = a‬‬ ‫]כי קיימת עוצמה ‪ b‬כך ש‪ ,ℵ0 + b = a-‬ולכן‪:‬‬ ‫‪a+ℵ0 = (ℵ0 + b)+ℵ0 = ℵ0 +(ℵ0 + b) = (ℵ0 + ℵ0 )+b = ℵ0 +b = a‬‬ ‫כנדרש‪[.‬‬ ‫‪ .2‬אם ‪ ℵ0 ≤ a‬אז לכל ‪ n‬טבעי מתקיים ‪.a + n = a‬‬ ‫]כי ‪[a ≤ a + n ≤ a + ℵ0 = a‬‬ ‫‪ .3‬אם ‪ b ≤ a‬וכן ‪ ,b + b = b‬אז ‪.a + b = a‬‬ ‫]באופן דומה להוכחת ‪[.1‬‬ ‫משפט‪ ,2ℵ0 + 2ℵ0 = 2ℵ0 + ℵ0 = 2ℵ0 + n = 2ℵ0 :‬לכל ‪.n ∈ N‬‬ ‫הוכחה‪ :‬קל לראות שמתקיים האי־שוויון ‪ .2ℵ0 + 2ℵ0 ≥ 2ℵ0 + ℵ0 ≥ 2ℵ0 + n ≥ 2ℵ0‬לכן‬ ‫מספיק להראות שמתקיים השוויון ‪ ,2ℵ0 + 2ℵ0 = 2ℵ0‬וממשפט קנטור ברנשטיין‬ ‫נקבל את המבוקש‪.‬‬ ‫כזכור הראינו שכל קטע ממשי שווה בעוצמתו לכל הממשיים‪ ,‬ולכן נקבל כי‬ ‫‪ (−∞, 0] ∪ (0, ∞) = R‬ומכאן כי ‪ .2ℵ0 + 2ℵ0 = 2ℵ0‬‬ ‫הערות‪:‬‬ ‫‪ .1‬לא קיים חילוץ בחיבור מונים‪ ,‬ולכן אי אפשר להגדיר חיסור של מונים‬ ‫הדומה לחיסור של מספרים טבעיים‪.‬‬ ‫]למשל כי ‪ ℵ0 + 0 = ℵ0 + 1‬אולם ‪[.0 6= 1‬‬ ‫‪ .2‬הכוון ההפוך של מונוטוניות החיבור לא קיים‪.‬‬ ‫]למשל כי ‪ ,ℵ0 + 1 ≤ ℵ0 + 0‬אולם ‪[.1 6≤ 0‬‬ ‫‪ .3‬לא קיימת המונוטוניות החזקה של החיבור‪.‬‬ ‫]למשל כי ‪ 0 < 1‬בעוד ‪[.ℵ0 + 0 = ℵ0 + 1‬‬ ‫‪ .4‬על השאלה אם ‪ c + a < c + b‬גורר כי ‪ a < b‬אין תשובה בשלב זה‪.‬‬ ‫‪48‬‬ ‫כפל‬ ‫‪14.2‬‬ ‫למה‪ :‬אם ‪ A ≈ A0‬ו‪ B ≈ B 0 -‬אז ‪.A × B ≈ A0 × B 0‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נניח כי ‪ F : A → A0‬חח"ע ועל וכי ‪ G : B → B 0‬חח"ע ועל‪ ,‬אזי ההעתקה‬ ‫‪ H : A × B → A0 × B 0‬המוגדרת להיות ‪ ,H (x, y) = hF (x) , G (y)i‬היא‬ ‫העתקה חח"ע ועל‪ .‬‬ ‫הגדרה‪ :‬תהיינה ‪ A, B‬קבוצות כך ש‪ .|B| = b ,|A| = a-‬המכפלה ‪ a · b‬מוגדרת להיות‬ ‫|‪.|A × B‬‬ ‫כדי לראות שהכפל מוגדר היטב עלינו להוכיח שהמכפלה שהוגדרה כאן אינה‬ ‫תלויה בבחירת הקבוצות ‪.A, B‬‬ ‫תהיינה גם ‪ A0 , B 0‬קבוצות כאלו‪ ,‬משמע |‪ |A0 | = a = |A‬וכן |‪|B 0 | = b = |B‬‬ ‫ולכן ‪ A0 ≈ A‬ו‪ .B 0 ≈ B-‬מהלמה נובע כי ‪ A0 × B 0 ≈ A × B‬ומכאן = | ‪|A0 × B 0‬‬ ‫‪ ,|A × B| = a · b‬ומכאן שהחלפת ‪ A, B‬ב־ ‪ A0 , B 0‬אינה משנה את ‪.a · b‬‬ ‫משפט‪:‬‬ ‫‪ .1‬חוק החילוף‪a · b = b · a :‬‬ ‫]הוכחה‪ :‬צ"ל כי עבור ‪ |A| = a, |B| = b‬מתקיים ‪ .A × B ≈ B × A‬נגדיר‬ ‫העתקה ‪ F : A × B → B × A‬להיות )‪ .F (x, y) = (y, x‬קל לראות שזו‬ ‫העתקה חח"ע ועל‪[.‬‬ ‫‪ .2‬חוק הקיבוץ‪a · (b · c) = (a · b) · c :‬‬ ‫]הוכחה‪ :‬צ"ל כי עבור ‪ |A| = a, |B| = b, |C| = c‬מתקיים × )‪(A × B‬‬ ‫)‪ .C ≈ A × (B × C‬נגדיר העתקה )‪F : (A × B) × C → A × (B × C‬‬ ‫להיות ))‪ .F (((x, y) , z)) = (x, (y, z‬קל לראות שזו העתקה חח"ע ועל‪[.‬‬ ‫‪a · 1 = a ,a · 0 = 0 .3‬‬ ‫]כי ∅ = ∅ × ‪ A‬וכן ‪[.A × {x} ≈ A‬‬ ‫‪ .4‬חוק הפילוג‪a · (b + c) = a · b + a · c :‬‬ ‫]הוכחה‪ :‬נשאיר כתרגיל להוכיח שעבור ‪|A| = a, |B| = b, |C| = c‬‬ ‫מתקיים )‪[8 .A × (B ∪ C) ≈ (A × B) ∪ (A × C‬‬ ‫‪ a · b = 0 .5‬אמ"מ ‪ a = 0‬או ‪.b = 0‬‬ ‫‪ .6‬מונוטוניות הכפל‪ :‬אם ‪ a ≤ b‬אז ‪.c · a ≤ c · b‬‬ ‫]הוכחה‪ a ≤ b :‬ולכן יש ‪ d‬כך ש‪ .a + d = b-‬מכאן נסיק לפי חוק הפילוג‪:‬‬ ‫‪ca ≤ ca + cd = c (a + d) = cb‬‬ ‫‪8‬נשים לב שלמעשה מדובר בשוויון ממש במקרה זה‪ ,‬ולא רק בשקילות עוצמה‪.‬‬ ‫‪49‬‬ ‫משפט‪:‬‬ ‫‪ .1‬לכל ‪ 0 6= n ∈ N‬מתקיים ‪.ℵ0 · ℵ0 = ℵ0 · n = ℵ0‬‬ ‫]הוכחה‪ :‬קל לראות שמתקיים אי השוויון ‪ .ℵ0 · ℵ0 ≥ ℵ0 · n ≥ ℵ0‬נותר‬ ‫אם־כן להראות את השוויון ‪ .ℵ0 · ℵ0 = ℵ0‬שוויון זה נובע למשל מכך‬ ‫שמתקיים ‪[.N × N ≈ N‬‬ ‫‪ .2‬לכל ‪ 0 6= n ∈ N‬מתקיים ‪.2ℵ0 · ℵ0 = 2ℵ0 · n = 2ℵ0‬‬ ‫]הוכחה‪ :‬קל לראות שמתקיים אי השוויון ‪ .2ℵ0 · ℵ0 ≥ 2ℵ0 · n ≥ 2ℵ0‬נותר‬ ‫אם־כן להראות את השוויון ‪.2ℵ0 · ℵ0 = 2ℵ0‬‬ ‫נגדיר פונקציה מהצורה ‪ F : (0, 1) × N → R‬להיות ‪.F (t, m) = t + m‬‬ ‫זו פונקציה חח"ע‪ ,‬ולכן ‪ .2ℵ0 · ℵ0 ≤ 2ℵ0‬קל לייצר פונקציה חח"ע בכיוון‬ ‫ההפוך‪ ,‬ולכן ממשפט קנטור ברנשטיין נסיק את השוויון‪[.‬‬ ‫הערות‪:‬‬ ‫‪ .1‬לא קיים חילוץ בכפל מונים‪ ,‬ולכן אי אפשר להגדיר פעולה הדומה לחילוק‬ ‫עם שארית של מספרים טבעיים‪.‬‬ ‫]למשל כי ‪ ℵ0 · 1 = ℵ0 · 2‬אולם ‪[.1 6= 2‬‬ ‫‪ .2‬הכיוון ההפוך של מונוטוניות הכפל לא קיים‪.‬‬ ‫]למשל כי ‪ ,ℵ0 · 2 ≤ ℵ0 · 1‬אולם ‪[.2 6≤ 1‬‬ ‫‪ .3‬לא קיימת המונוטוניות החזקה של הכפל‪.‬‬ ‫]למשל כי ‪ 1 < 2‬בעוד ‪[.ℵ0 · 1 = ℵ0 · 2‬‬ ‫‪ .4‬על השאלה אם ‪ c · a < c · b‬גורר כי ‪ a < b‬אין תשובה בשלב זה‪.‬‬ ‫‪14.3‬‬ ‫חזקה‬ ‫הגדרה‪ :‬בהינתן ‪ A, B‬קבוצות כלשהן‪ ,‬נגדיר את‬ ‫מהצורה ‪.f : B → A‬‬ ‫‪BA‬‬ ‫למה‪:‬‬ ‫‪ .1‬אם ‪ A ≈ C‬ו‪ B ≈ D-‬אז ‪≈ D C‬‬ ‫‪= {∅} .2‬‬ ‫‪BA‬‬ ‫‪∅A‬‬ ‫∅‪B‬‬ ‫‪ .3‬אם ∅ =‪ B 6‬אז ∅ =‬ ‫חשוב לב לשים להבדל בין }∅{ לבין ∅‪.‬‬ ‫‪ .4‬אם ∅ = ‪ B ∩ C‬אז ‪≈ B A ×C A‬‬ ‫‪× B) ≈ C A ×C B .5‬‬ ‫‪C (A‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪B∪C A‬‬ ‫להיות קבוצת כל הפונקציות‬ ‫‪≈ C×B A .6‬‬ ‫‬ ‫‪C BA‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪ .1‬תהי ‪ F : A → C‬חח"ע ועל וכן ‪ G : B → D‬חח"ע ועל‪.‬‬ ‫∈ ‪,j‬‬ ‫נגדיר את ההעתקה ‪ H : B A →D C‬להיות כך שעבור פונקציה‬ ‫המוגדרת ע"י ‪.H (j) = F ◦j ◦G−1‬‬ ‫הפונקציה ‪ H (j) ∈ D C‬היא הפונקציה‬ ‫‪−1‬‬ ‫כלומר )‪ H (j‬מעתיקה כל ‪ x ∈ D‬ל‪.F j G (x) -‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ H‬חח"ע כי היא הרכבה של פונקציות חח"ע‪ :‬עבור ‪ j ∈ A‬מתקיים‬ ‫‪.j = F −1 H (j) G‬‬ ‫היא על ‪ ,D C‬כי עבור ‪ k ∈ D C‬נבחר את ‪ F −1 ◦ k ◦ G ∈ B A‬ונקבל כי‬ ‫‪ H‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪.H F ◦ k ◦ G = k‬‬ ‫‪BA‬‬ ‫‪ .2‬ההוכחה מושארת כתרגיל‪.‬‬ ‫‪ .3‬ההוכחה מושארת כתרגיל‪.‬‬ ‫‪ .4‬נגדיר העתקה ‪ H : B∪C A →B A × C A‬המוגדרת עבור ‪ j ∈B∪C A‬להיות‬ ‫‪.H (j) = hj B, j Ci‬‬ ‫‪B∪C‬‬ ‫∈ ‪ j‬מתקיים ‪.j = j B ∪ j C‬‬ ‫‪ H‬חח"ע כי עבור פונקציה ‪A‬‬ ‫‪B∪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫∈ ‪f ∪g‬‬ ‫כמו־כן ‪ H‬על ‪ ,B A ×C A‬כי אם ‪ f ∈ A‬ו‪ ,g ∈ A-‬אז ‪A‬‬ ‫ו‪.H (f ∪ g) = hf, gi-‬‬ ‫‪ .5‬נסמן ב‪ 1st -‬את הפונקציה שתחומה הוא מחלקת כל הזוגות הסדורים מ‪-‬‬ ‫)‪ ,(A × B‬שנותנת כערך את הרכיב הראשון של הזוג‪ .‬כלומר = )‪1st (x, y‬‬ ‫‪.x‬‬ ‫‪nd‬‬ ‫נסמן ב‪ 2 -‬את הפונקציה שתחומה הוא מחלקת כל הזוגות הסדורים מ‪-‬‬ ‫)‪ ,(A × B‬שנותנת כערך את הרכיב השני של הזוג‪ .‬כלומר ‪.2nd (x, y) = y‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ H : C (A‬להיות כך שאת ∈ ‪j‬‬ ‫נגדיר‬ ‫→ ‪ st× B)nd‬‬ ‫העתקה ‪ A × B‬‬ ‫‪st‬‬ ‫)‪ C (A × B‬היא מעתיקה ל‪) H (j) = 1 j, 2 j -‬נשים לב כי ‪ 1 j‬ו‪-‬‬ ‫‪ 2nd j‬הכתובות כאן הן הרכבות של פונקציות(‪.‬‬ ‫‪ H‬היא חח"ע ועל ‪ ,C A × C B‬כי אם ‪ hf, gi ∈ C A × C B‬אז הפונקציה‬ ‫)‪ j ∈ C (A × B‬היחידה המקיימת ‪ H (j) = hf, gi‬היא ‪ j‬הנתונה ע"י‬ ‫‪ j(x) = hf (x) , g (x)i‬לכל ‪.x ∈ C‬‬ ‫‬ ‫‪ .6‬נגדיר העתקה ‪ H : C B A → C×B A‬להיות כך שאת הפונקציה ∈ ‪j‬‬ ‫‪ C B A‬היא תעתיק לפונקציה )‪ H (j‬שתחומה ‪ C × B‬והמקיימת לכל‬ ‫‪ ,y ∈ B ,x ∈ C‬כי )‪.H (j) (x, y) = j (x) (y‬‬ ‫‪ H‬היא חח"ע כי אם ) ‪ H (j1 ) = H (j2‬אז לכל ‪ y ∈ B ,x ∈ C‬מתקיים כי‬ ‫)‪.j1 (x) (y) = H (j1 ) (x, y) = H (j2 ) (x, y) = j2 (x) (y‬‬ ‫מכיוון שהתחום של )‪ j1 (x‬ו‪ j2 (x)-‬הוא ‪ B‬לכן )‪ j1 (x) = j2 (x‬לכל‬ ‫‪ ,x ∈ C‬ולכן ‪.j1 = j2‬‬ ‫‪51‬‬ ‫‬ ‫‪ H‬היא על ‪ ,C×B A‬כי עבור כל ‪ w ∈ C×B A‬תהי ‪ j ∈ C B A‬הפונקציה‬ ‫שתחומה ‪ C‬ולכל ‪ x ∈ C‬הפונקציה )‪ j(x‬היא הפונקציה שתחומה ‪ B‬כך‬ ‫שלכל ‪ y ∈ B‬מתקיים כי ‪.j (x) (y) = w (x, y) ∈ A‬‬ ‫לכל ‪ x ∈ C‬ולכל ‪ y ∈ B‬מתקיים כי )‪,H (j) (x, y) = j (x) (y) = w (x, y‬‬ ‫ולכן ‪ H (j) = w‬ו‪ H-‬היא על ‪.C×B A‬‬ ‫תהיינה ‪ A, B‬קבוצות כך ש‪ .|B| = b ,|A| = a-‬החזקה ‪ ab‬מוגדרת להיות‬ ‫הגדרה‪ :‬‬ ‫‪.B A‬‬ ‫כדי לראות שהחזקה מוגדרת היטב עלינו להוכיח שהחזקה שהוגדרה כאן אינה‬ ‫תלויה בבחירת הקבוצות ‪.A, B‬‬ ‫תהיינה גם ‪ C, D‬קבוצות כאלו ואז |‪ |C| = a = |A‬ו‪ .|D| = b = |B|-‬לכן‬ ‫‪ C ≈ A‬וכן ‪.D ≈ B‬‬ ‫מהלמה שהוכחנו נובע שמתקיים ‪ ,D C ≈ B A‬ומכאן כי ‪ ,|D C| = |B A| = ab‬ולכן‬ ‫החלפת ‪ A, B‬ב‪ C, D-‬אינה משנה את ‪.ab‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪c‬‬ ‫הערה‪ :‬היכן שכתוב ‪ ab‬ללא סוגריים הכוונה היא ל‪.a(b ) -‬‬ ‫משפט‪:‬‬ ‫‪] a0 = 1 .1‬כי }∅{ = ‪[.∅ A‬‬ ‫‪ ab = 0 .2‬אמ"מ ‪ b 6= 0‬וגם ‪.a = 0‬‬ ‫]בכיוון ראשון זה נובע מכך שאם ∅ ≈ ‪ B A‬אז בהכרח ∅ =‪ ,B 6‬כי אחרת‬ ‫היה }∅{ ≈ ‪ ,B A‬ומכאן שהאפשרות היחידה היא ∅ = ‪ .A‬בכיוון שני ראינו‬ ‫שאם ∅ =‪ B 6‬אז ∅ = ∅ ‪[.B‬‬ ‫‪1a = 1 ,a1 = a .3‬‬ ‫]כי ‪ ,{t} A ≈ {f = a}a∈A ≈ A‬כלומר אוסף הפונקציות הקבועות = )‪f (t‬‬ ‫‪ a‬עבור כל ‪ a ∈ A‬שווה־עוצמה ל‪.A-‬‬ ‫השוויון השני הוא מכך ש‪ ,A {t} ≈ {f = 1} ≈ {t}-‬כלומר אוסף הפונקציות‬ ‫הקבועות ‪ f (a) = t‬עבור כל ‪ a ∈ A‬מכיל בדיוק פונקציה אחת‪[.‬‬ ‫‪ .4‬לכל ‪ n ≥ 1‬מתקיים ‪ℵn0 = ℵ0‬‬ ‫]הוכחה‪ :‬נוכיח באינדוקציה על ‪ .n‬מהטענה האחרונה נובע בפרט כי = ‪ℵ10‬‬ ‫‪ .ℵ0‬נניח כי עבור ‪ n‬מתקיים ‪ ,ℵn0 = ℵ0‬ונסיק‪:‬‬ ‫‪ℵn+1‬‬ ‫‪= ℵn0 · ℵ10 = ℵ0 · ℵ0 = ℵ0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫נוכיח מיד את כלל החזקה בו השתמשנו בהוכחה זו‪[.‬‬ ‫כללי החזקה‬ ‫‪52‬‬ ‫‪ab+c = ab · ac .1‬‬ ‫]כי הוכחנו שמתקיים ‪[.B∪C A ≈ B A ×C A‬‬ ‫‪(a · b) c = ac · bc .2‬‬ ‫]כי הוכחנו שמתקיים ‪[.C (A × B) ≈ C A ×C B‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪ab = ab·c .3‬‬ ‫‬ ‫]כי הוכחנו שמתקיים ‪[.C B A ≈ C×B A‬‬ ‫טענה‪ :‬מונוטוניות החזקה‪:‬‬ ‫‪ .1‬אם ‪ a ≤ b‬וכן ‪ ,c 6= 0‬אז ‪.ca ≤ cb‬‬ ‫]כי אם ‪ a ≤ b‬אז יש ‪ d‬כך ש‪ .a + d = b-‬מכאן נובע =‬ ‫‪[.ca · cd ≥ ca‬‬ ‫‪cb = ca+d‬‬ ‫‪ .2‬אם ‪ a ≤ b‬אז ‪.ac ≤ bc‬‬ ‫]לפי האיפיון השני לסדר על עוצמות נסיק כי ‪ ,A ⊆ B‬ולכן ‪[.C A ⊆ C B‬‬ ‫משפט‪ :‬לכל קבוצה ‪ A‬מתקיים |‪ .|P (A)| = 2|A‬זהו ההסבר לכך מדוע )‪ P (A‬נקראת‬ ‫"קבוצת החזקה" של ‪.A‬‬ ‫הוכחה‪ :‬ראינו שמתקיים |‪ .P (A) ≈ A{T,F } ≈ 2|A‬‬ ‫הערה‪ :‬הוכחנו כי ‪ ,|R| = |P (N)| = 2ℵ0‬ומכאן ההצדקה לסימון ‪.|R| = 2ℵ0‬‬ ‫משפט‪ :‬לכל מונה ‪ a‬מתקיים ‪ ,a < 2a‬ולכן לכל מונה ‪ 2 ≤ b‬מתקיים ‪] .a < ba‬ממשפט‬ ‫קנטור ומונוטוניות החזקה‪[.‬‬ ‫תרגיל‪ :‬להוכיח זאת ישירות ללא שימוש במשפט קנטור‪.‬‬ ‫משפט‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪= 2 ℵ0‬‬ ‫‪ℵ 0‬‬ ‫‪ , 2ℵ0‬ובפרט ‪.2ℵ0 · 2ℵ0 = 2ℵ0‬‬ ‫‪ .1‬לכל ‪ 0 < n‬מתקיים ‪= 2ℵ0‬‬ ‫‪ℵ‬‬ ‫]כי ‪ , 2ℵ0 0 = 2ℵ0 ·ℵ0 = 2ℵ0‬לפי כללי החזקה ומכך ש‪[.N × N ≈ N-‬‬ ‫‪ .2‬אם ‪ a+a = a‬אז לכל ‪ 1 ≤ b ≤ 2a‬מתקיים ‪ ,b·2a = 2a‬ובפרט ‪.a·2a = 2a‬‬ ‫]כי ‪ ,2a = 1 · 2a ≤ b · 2a ≤ 2a · 2a = 2a+a = 2a‬לפי מונוטוניות הכפל‬ ‫וכללי החזקה‪[.‬‬ ‫‪ .3‬אם ‪ a · a = a‬אז לכל ‪ 2 ≤ b ≤ 2a‬מתקיים ‪.ba = 2a‬‬ ‫]כי ‪ ,2a = ba ≤ (2a )a = 2a·a = 2a‬לפי מונוטוניות הכפל וכללי החזקה‪[.‬‬ ‫‪2ℵ0‬‬ ‫‪ℵ‬‬ ‫‪ℵ‬‬ ‫‪. 2 ℵ0‬‬ ‫‪= ℵ20 0 = 22 0 .4‬‬ ‫]מכיוון ש‪ ,2ℵ0 · 2ℵ0 = 2ℵ0 -‬זהו מקרה פרטי של ‪ ,3‬עבור ‪[.a = b = 2ℵ0‬‬ ‫‪53‬‬ ‫משפט‪:‬‬ ‫‪ .1‬עוצמת קבוצת כל הפונקציות הממשיות ‪ R R‬היא‬ ‫‪ℵ0‬‬ ‫‪] .22‬מהמשפט הקודם‪[.‬‬ ‫‪ .2‬עוצמת קבוצת כל הפונקציות הממשיות הרציפות היא ‪.2ℵ0‬‬ ‫הוכחה‪) :‬של ‪ (2‬תהי ‪ W‬קבוצת כל הפונקציות הממשיות הרציפות‪ .‬נשתמש במשפט‬ ‫קנטור־ברנשטיין‪.‬‬ ‫תהי ‪ F : R → W‬כך שלכל ‪ z ∈ R‬נגדיר את )‪ F (z‬להיות הפונקציה הקבועה‬ ‫‪ .z‬כלומר ‪ F (z) (x) = z‬לכל ‪ .x ∈ R‬קל לראות ש‪ F -‬חח"ע ולכן | ‪.2ℵ0 ≤ |W‬‬ ‫כעת תהי ‪ G : W → Q R‬הפונקציה הנתונה ע"י ‪ ,G (f ) = f Q‬כאשר ‪ Q‬קבוצת‬ ‫הרציונליים‪ G .‬היא חח"ע כי כל הערכים של פונקציה ממשית רציפה נקבעים ע"י‬ ‫ערכיה על הרציונליים‪ .‬לכן נסיק מהמשפט הקודם כי‪:‬‬ ‫‪ ℵ0‬‬ ‫ ‬ ‫‪|W | ≤ Q R = 2ℵ0‬‬ ‫‪= 2ℵ0‬‬ ‫‬ ‫‪14.4‬‬ ‫פעולות החשבון ויחס הסדר על המספרים הטבעיים‬ ‫הגדרנו את פעולות החשבון ויחס הסדר החלקי לכל העוצמות‪ ,‬כולל המספרים הטבעיים‬ ‫שמהווים עוצמות סופיות‪ ,‬אבל על המספרים הטבעיים יש לנו כבר פעולות חשבון ויחס‬ ‫סדר מוכרות‪ ,‬ועלינו לבדוק אם בתחום המספרים הטבעיים הפעולות והיחס שהגדרנו‬ ‫עתה זהות לאלו המוכרות לנו מכבר‪.‬‬ ‫פעולת החיבור‪ :‬כאשר למדנו את פעולת החיבור בכיתה א' למדנו אותה באמצעות איחוד‬ ‫קבוצות זרות‪ ,‬בדיוק כפי שהגדרנו אותה כעת לעוצמות‪ ,‬אבל ההגדרה המתמטית‬ ‫המקובלת אינה באמצעות קבוצות‪ .‬לכן נסמן‪ ,‬לצורכי הוכחה זאת בלבד‪ ,‬את‬ ‫פעולת החיבור המוכרת לנו של המספרים הטבעיים ב‪.⊕-‬‬ ‫תחילה נראה שלכל ‪ k‬טבעי ‪ .k ⊕ 1 = k + 1‬לפי האקסיומה ‪ |Nn | = n‬ומכיוון‬ ‫שהקבוצות ‪ Nk‬ו‪ {k}-‬זרות‪ ,‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪k ⊕ 1 = |Nk⊕1 | = |Nk ∪ {k}| = |Nk | + |{k}| = k + 1‬‬ ‫כעת נוכיח באינדוקציה על ‪ n‬שלכל ‪ n‬טבעי ‪.m ⊕ n = m + n‬‬ ‫ל‪ n = 0-‬מתקיים ‪ .m ⊕ 0 = m = m + 0‬בשלב האינדוקציה אנו יוצאים מהנחת‬ ‫האינדוקציה ‪ m ⊕ n = m + n‬ועלינו להוכיח זאת ל‪ ,n ⊕ 1-‬כלומר עלינו להוכיח‬ ‫‪54‬‬ ‫)‪ .m⊕(n⊕1) = m+(n⊕1‬לפי הנחת האינדוקציה‪ ,‬לפי השיוויון ‪,k ⊕1 = k +1‬‬ ‫ולפי אסוציאטיביות ⊕ ו‪ +-‬מתקיים‪:‬‬ ‫)‪m⊕(n ⊕ 1) = (m ⊕ n)⊕1 = (m + n)⊕1 = (m + n)+1 = m+(n + 1) = m+(n ⊕ 1‬‬ ‫פעולת הכפל‪ :‬פעולת הכפל במספרים הטבעיים מוגדרת כחיבור חוזר ברקורסיה‪.‬‬ ‫כפל העוצמות ממלא אחר הגדרה זאת כי לפי כללי הכפל שהוכחנו‪ ,‬לכל ‪m‬‬ ‫מתקיים ‪ m · 0 = 0‬ולכל ‪ n‬מתקיים ‪.m · (n + 1) = m · n + m‬‬ ‫פעולת החזקה‪ :‬פעולת החזקה במספרים הטבעיים מוגדרת ככפל חוזר ברקורסיה‪.‬‬ ‫חזקת העוצמות ממלאת אחר הגדרה זאת כי לפי כללי החזקה שהוכחנו‪ ,‬לכל ‪m‬‬ ‫מתקיים ‪ m0 = 1‬ולכל ‪ n‬מתקיים ‪.mn+1 = mn · m‬‬ ‫יחס הסדר‪ ≤ :‬מסמן את יחס הסדר החלקי של העוצמות שהגדרנו‪ .‬נסמן ב‪ 5-‬את יחס‬ ‫הסדר הרגיל על המספרים הטבעיים‪.‬‬ ‫אם ‪ m 5 n‬אז לפי תכונת הסדר של המספרים הטבעיים קיים מספר טבעי ‪k‬‬ ‫כך ש‪ ,m ⊕ k = n-‬ולכן ‪ ,m + k = n‬ולפי תכונות יחס הסדר לעוצמות מתקיים‬ ‫‪.m ≤ n‬‬ ‫בכיוון ההפוך‪ ,‬אם ‪ m ≤ n‬אז‪ ,‬לפי טענה שהוכחנו קיימת עוצמה ‪ c‬כך ש‪-‬‬ ‫‪ ,m + c = n‬לכן לפי תכונות יחס הסדר לעוצמות מתקיים ‪ c ≤ n‬וכן גם ‪ c‬הוא‬ ‫מספר טבעי‪ .‬מכאן כי ‪ ,m ⊕ c = n‬ולפי תכונות יחס הסדר לטבעיים מתקיים‬ ‫‪.m 5 n‬‬ ‫‪55‬‬ ‫חלק‬ ‫‪VI‬‬ ‫אקסיומת הבחירה‬ ‫‪15‬‬ ‫מבוא‬ ‫הוכחנו כי ‪ ℵ0‬היא עוצמה אינסופית מינימלית במובן שכל עוצמה הקטנה ממנה היא‬ ‫סופית‪ .‬האם היא גם העוצמה האינסופית המינימלית במובן שלכל עוצמה אינסופית ‪a‬‬ ‫קיים ‪?ℵ0 ≤ a‬‬ ‫כדי להוכיח זאת עלינו להוכיח כי לכל קבוצה אינסופית ‪ A‬מתקיים ‪ .N A‬כלומר‬ ‫שקיימת סדרה ‪ a : N → A‬חח"ע‪.‬‬ ‫נגדיר ברקורסיה סדרה ‪ a‬כזאת כדלקמן‪ :‬מכיוון ש־־‪ A‬אינסופית היא אינה ריקה‪ ,‬ולכן‬ ‫יש בה איבר ‪ .w‬נגדיר ‪ .a0 = w‬עבור ‪ 0 < n‬הקבוצה ‪An = {a0 , . . . , an−1 } ⊆ A‬‬ ‫אינה כל ‪ ,A‬כי היא סופית בעוד ‪ A‬אינסופית‪ .‬לכן נקח ל‪ an -‬איבר כלשהו של ‪ .A\An‬קל‬ ‫לראות כי סדרה ‪ a‬זאת היא חח"ע ולכן היא העתקה חח"ע של ‪ N‬על ‪,{an | n ∈ N} ⊆ A‬‬ ‫כלומר ‪.N A‬‬ ‫בהוכחה שהבאנו השתמשנו בסדרה ‪ a‬שהגדרנו ברקורסיה‪ ,‬אולם כדי להגדיר סדרה‪,‬‬ ‫שהיא פונקציה‪ ,‬עלינו להראות שאפשר לתת לה הגדרה תיקנית כיחס )‪ .Φ (x, y‬איננו‬ ‫אומרים בזאת שפונקציות שאינן באות מהגדרה תיקנית אינן קיימות‪ ,‬אלא שאנחנו‬ ‫יכולים לטעון שפונקציות אלו קיימות רק אם הוכחנו את קיומן מן האקסיומות הקיימות‬ ‫או שאנחנו מוסיפים אקסיומות שמהן אפשר להוכיח את קיומן‪ .‬כאן הגדרנו את הסדרה‬ ‫‪ a‬ברקורסיה‪ ,‬ונראה אם אנו יכולים להוכיח את קיומה באמצעות אקסיומות הקיום‬ ‫הבסיסיות‪.‬‬ ‫לא נתעמק כאן בדיון מהן הפונקציות המוגדרות ברקורסיה שאפשר להוכיח את קיומן‬ ‫מאקסיומות הקיום הבסיסיות‪ ,‬אלא נסתפק בדוגמה בודדת‪ :‬נגדיר סדרה ‪b : N → N‬‬ ‫ברקורסיה כך‪ ,b0 = 3 :‬ולכל ‪ n ∈ N‬נגדיר )‪.bn+1 = bn · (bn − 1‬‬ ‫כדי לקבל ש‪ b-‬היא אמנם סדרה עלינו להראות שאפשר לתת לה הגדרה תיקנית‪ ,‬כלומר‬ ‫להציג יחס )‪ Φ (x, y‬כך שהזוג ‪ hx, yi‬מקיים את היחס אמ"מ ‪ x ∈ N‬ו‪.y = bx -‬‬ ‫לפונקציה ‪ b‬זאת נבחר את )‪ Φ (x, y‬כיחס הבא‪ ,‬שתחילה נתאר אותו בצורה לא פורמלית‪:‬‬ ‫"נאמר ש‪ y-‬הוא המספר המתקבל בשלב האחרון של חישוב בן ‪ x + 1‬צעדים‪ ,‬בו בצעד‬ ‫הראשון אנו מקבלים את המספר ‪ ,3‬ובכל צעד אם קיבלנו באותו צעד את המספר ‪ u‬אז‬ ‫אנו מקבלים בצעד הבא את המספר )‪."u · (u − 1‬‬ ‫ברור שיש כאן תיאור של היחס ‪ ,Φ‬וזה אפילו מתכון לחישוב ‪ y‬כאשר נתון ‪.x‬‬ ‫‪56‬‬ ‫ההגדרה הפורמלית של )‪ Φ(x, y‬היא‪:‬‬ ‫∧‪x ∈ N ∧ ∃g[g : Nx+1 → N ∧ g (0) = 3‬‬ ‫]‪(∀n < x) (g (n + 1) = g (n) · (g (n) − 1)) ∧ g (x) = y‬‬ ‫זה אומר‪ x" :‬הוא מספר טבעי‪ ,‬וקיימת פונקציה ‪ g‬מקבוצת המספרים הטבעיים הקטנים‬ ‫או שווים ל‪ x-‬לתוך קבוצת המספרים הטבעיים כך ש‪ g (0) = 3-‬ולכל מספר ‪ n‬הקטן‬ ‫מ‪ x-‬קיים )‪ g (n + 1) = g (n) · (g (n) − 1‬ו‪".g (x) = y-‬‬ ‫כעת יש להוכיח ש‪ Φ(x, y)-‬אמנם מגדיר פונקציה שתחומה ‪ ,N‬ולשם כך עלינו להוכיח‬ ‫שעבור כל ‪ x ∈ N‬קיים ‪ y‬יחיד המקיים את )‪ .Φ (x, y‬נוסף על כך יש להוכיח שהסדרה‬ ‫‪ b‬אמנם מקיימת את ההגדרה הרקורסיבית שלה‪ .‬לא נעשה זאת כאן‪.‬‬ ‫אם ננסה לנסח יחס )‪ Φ (x, y‬עבור הסדרה ‪ a‬הדומה ליחס שהגדרנו לעיל‪ ,‬נאמר ש‪y-‬‬ ‫הוא המספר המתקבל בשלב האחרון של תהליך בן ‪ x+1‬צעדים‪ ,‬בו בצעד הראשון אנחנו‬ ‫בוחרים איבר כלשהו של ‪ A‬ובכל צעד אנחנו בוחרים איבר כלשהו של ‪ A‬השונה מכל‬ ‫איברי ‪ A‬שבחרנו בצעדים הקודמים‪ .‬ברור שיחס זה לא יהיה פונקציה‪ ,‬כי כדי שהיחס‬ ‫יהיה פונקציה צריך שיהיה איבר ‪ y‬יחיד של ‪ A‬המתקבל בסופם של כל התהליכים שהם‬ ‫כנדרש ב‪ ,Φ(x, y)-‬וברור שבניגוד לדוגמה הקודמת בה כל חישוב המקיים את הדרישות‬ ‫מן החישוב יוביל לאותו מספר‪ ,‬כלומר עבור ‪ x‬הנתון יש ‪ y‬יחיד המקיים את )‪,Φ(x, y‬‬ ‫בדוגמה הנוכחית כל איבר ‪ y‬של ‪ A‬יכול להתקבל בסוף תהליך כפי שתואר‪ .‬ולכן אם‬ ‫ננסח יחס )‪ Φ (x, y‬כפי שתואר כאן יחס זה לא יהיה פונקציה‪.‬‬ ‫נראה עתה דוגמה ציורית של פונקציה שאיננו יכולים להוכיח את קיומה כי איננו יכולים‬ ‫∞) ‪ (Hn‬סדרה של זוגות נעליים‪ ,‬כלומר לכל ‪ n‬האיבר ‪Hn‬‬ ‫לנסח יחס מתאים‪ .‬תהי ‪n=1‬‬ ‫∞‬ ‫הוא זוג נעליים‪ .‬אנו רוצים סדרה ‪ a‬הבוחרת נעל מכל זוג נעליים שבתחום ‪ .(Hn )n=1‬קל‬ ‫מאוד להגיע לסדרה כזאת‪ ,‬כי לכל ‪ n ∈ N‬נוכל להגדיר ‪.an = the right shoe of Hn‬‬ ‫זו הגדרה תקנית כמו בדוגמה הנ"ל‪ ,‬וכמובן שקיימת סדרה ‪ a‬כזאת‪.‬‬ ‫∞) ‪ (Hn‬סדרה אינסופית של זוגות גרביים‪ ,‬ואנו מעוניינים בסדרה ‪ a‬הבוחרת‬ ‫כעת תהי ׁ ‪n=1‬‬ ‫∞) ‪ .(Hn‬הדרישה שלכל ‪ n ∈ N‬יתקיים ‪ an ∈ Hn‬היא‬ ‫שבטווח‬ ‫גרביים‬ ‫גרב מכל זוג‬ ‫‪n=1‬‬ ‫תנאי שאנו רוצים שהסדרה ‪ a‬תקיים‪ ,‬אבל היא עדיין אינה הגדרה של ‪ ,a‬ולא נראית‬ ‫לעין כל הגדרה לסדרה כזאת‪.‬‬ ‫לכן אם אנו רוצים‪ ,‬למשל‪ ,‬לקבל סדרה ‪ a‬כך שלכל ‪ n ∈ N‬האיבר ‪ an‬יהיה גרב‬ ‫אחת מתוך זוג הגרביים ‪ ,Hn‬עלינו להוסיף במפורש אקסיומה האומרת שקיימת פונקציה‬ ‫כזאת‪.‬‬ ‫‪57‬‬ ‫‪16‬‬ ‫אקסיומת הבחירה‬ ‫הגדרה‪ :‬לקבוצה ‪ ,A‬פונקציה ‪ C‬שתחומה ‪ A‬נקראת פונקצית בחירה על ‪ ,A‬אם לכל‬ ‫‪ X ∈ A‬שהיא קבוצה לא ריקה מתקיים ‪.C (X) ∈ X‬‬ ‫אקסיומת הבחירה‪ :‬לכל קבוצה ‪ A‬קיימת פונקציה בחירה ‪ C‬שתחומה ‪.A‬‬ ‫הערה‪ :‬במשפטים ומסקנות בהם נשתמש באקסיומת הבחירה נציין ")אה"ב("‪.‬‬ ‫משפט‪ :‬ניסוח שקול של אקסיומת הבחירה הוא‪ :‬לכל קבוצה ‪ A‬ופונקציה ‪ F‬שתחומה‬ ‫‪ A‬קיימת פונקציה ‪ G‬שתחומה ‪ ,A‬כך שלכל ‪ x ∈ A‬שעבורו )‪ F (x‬היא קבוצה‬ ‫לא ריקה מתקיים )‪.G (x) ∈ F (x‬‬ ‫הוכחה‪ :‬בכיוון ראשון‪ :‬נניח את אקסיומת הבחירה‪ .‬בהינתן ‪ A‬ו‪ F -‬כנ"ל‪ ,‬תהי ‪ C‬פונקצית‬ ‫בחירה על הטווח של ‪ .F‬נבחר ‪ G = CF‬ונקבל כי )‪.G (x) = C (F (x)) ∈ F (x‬‬ ‫בכיוון שני‪ :‬נניח את הנוסח שבמשפט‪ .‬בהינתן קבוצה ‪ ,A‬תהי ‪ F‬פונקצית הזהות‬ ‫‪ 1A‬על ‪ .A‬מההנחה קיימת פונקציה ‪ C‬שתחומה ‪ A‬כך שלכל ‪ x ∈ A‬קיים‬ ‫‪ .C (x) ∈ 1A (x) = x‬‬ ‫‪17‬‬ ‫שימושים של אקסיומת הבחירה‬ ‫משפט )אה"ב(‪ :‬לכל קבוצה אינסופית ‪ A‬יש תת־קבוצה בת מניה‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ C‬פונקצית בחירה שתחומה )‪ .P (A‬נגדיר ברקורסיה ‪ a : N → A‬כדלקמן‪:‬‬ ‫)} ‪) .an = C (A \ {a0 , a1 , ..., an−1‬עבור ‪ n = 0‬זה אומר )‪ .(a0 = C (A‬לכן‬ ‫‪ an‬הוא איבר של ‪ A‬השונה מכל ‪ a0 , a1 , ..., an−1‬והסדרה ‪ a‬היא חח"ע‪ .‬הקבוצה‬ ‫}‪ {an | n ∈ N‬היא כמובן בת־מניה והיא חלקית ל‪.A-‬‬ ‫מסקנה )אה"ב(‪ ℵ0 :‬הוא המונה האינסופי המזערי‪ ,‬במובן זה שלכל מונה אינסופי ‪a‬‬ ‫מתקיים ‪.ℵ0 ≤ a‬‬ ‫מסקנה )אה"ב(‪ :‬קבוצה ‪ A‬היא סופית אמ"מ לא קיימת העתקה חח"ע שלה על תת־‬ ‫קבוצה ממש שלה‪.‬‬ ‫משפט )אה"ב(‪ :‬אם ‪ F : A → B‬על ‪ ,B‬אז קיימת תת־קבוצה ‪ D ⊂ A‬כך ש‪F D-‬‬ ‫היא העתקה חח"ע של ‪ D‬על ‪ ,B‬ולכן |‪.|B| ≤ |A‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נתבונן ביחס ‪ xRy‬על ‪ A‬הנתון ע"י ‪ .F (x) = F (y) ⇐⇒ x ∼ y‬ברור‬ ‫ש‪ R-‬הוא יחס שקילות על ‪ ,A‬ומחלקת השקילות שלו המכילה את ‪ y‬היא‬ ‫})‪.{x ∈ A | F (x) = F (y‬‬ ‫הקבוצה ‪ D‬בה אנו מעוניינים אינה יכולה להכיל שני איברים שונים של אותה‬ ‫מחלקת שקילות‪ ,‬כי ‪ F‬נותנת לשני האיברים את אותו הערך ועל ‪ F D‬להיות‬ ‫‪58‬‬ ‫חח"ע‪ .‬מצד שני‪ ,‬מכיוון ש‪ F D-‬אמורה להיות על ‪ ,B‬ועבור ‪ y ∈ A‬מתקיים‬ ‫‪ ,F (y) ∈ B‬אז ‪ D‬אמורה להכיל איבר ‪ x‬המקיים )‪ ,F (x) = F (y‬כלומר איבר‬ ‫הנמצא במחלקת השקילות })‪ .{x ∈ A | F (x) = F (y‬אם כך ‪ D‬אמורה להכיל‬ ‫בדיוק איבר אחד מכל מחלקת שקילות‪ ,‬ואם היא כזאת אז היא כנדרש במשפט‪.‬‬ ‫למטרה זאת מתאימה בדיוק אקסיומת הבחירה‪ :‬תהי ‪ C‬פונקצית בחירה על‬ ‫קבוצת מחלקות השקילות של ‪ ,R‬אז נבחר‪:‬‬ ‫})})‪D = {y ∈ A | y = C ({x ∈ A | F (x) = F (y‬‬ ‫ברור ש‪ D-‬היא כנדרש במשפט‪ .‬‬ ‫‪17.1‬‬ ‫סכום וכפל אינסופיים‬ ‫דוגמה נוספת לשימוש ישיר באקסיומת הבחירה היא ההגדרה של פעולות החיבור והכפל‬ ‫האינסופיות של העוצמות‪.‬‬ ‫הגדרנו את החיבור והכפל של שתי עוצמות‪ ,‬ואפשר להגדיר באותה הדרך את החיבור‬ ‫והכפל של מספר סופי כלשהו של עוצמות‪ .‬למשל‪ ,‬אפשר להגדיר את הסכום ‪a + b + c‬‬ ‫של שלוש העוצמות ‪ a, b, c‬להיות |‪ |A ∪ B ∪ C‬עבור ‪ A, B, C‬קבוצות זרות הדדית‬ ‫המקיימות ‪.|C| = c ,|B| = b ,|A| = a‬‬ ‫עם זאת‪ ,‬אין צורך בהגדרה מיוחדת של החיבור והכפל של מספר סופי של עוצמות‪ ,‬כי‬ ‫לאור האסוציאטיביות של פעולות החיבור והכפל של שתי עוצמות אפשר להגדיר את‬ ‫החיבור והכפל של מספר סופי של עוצמות כחזרה על אותן פעולות בשתי עוצמות‪ .‬למשל‪,‬‬ ‫את הסכום ‪ a + b + c‬של שלוש עוצמות אפשר להגדיר להיות ‪ (a + b) + c‬השווה גם‬ ‫ל‪.a + (b + c)-‬‬ ‫לעומת זאת‪ ,‬החיבור והכפל של מספר אינסופי של עוצמות זקוקים להגדרות ישירות‪,‬‬ ‫שיהיו הכללות של הגדרות החיבור והכפל של שתי עוצמות‪.‬‬ ‫סכום אינסופי‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ I‬קבוצה כלשהי ותהי ‪ a‬פונקציה מ‪ I-‬לתוך מחלקת העוצמות‪ .‬כלומר לכל‬ ‫‪ i ∈ I‬הערך ‪ ai‬היא עוצמה כלשהי‪.‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‬ ‫נגדיר את הסכום של אוסף העוצמות ‪ {ai }i∈I‬להיות ‪,Σi∈I ai =: i∈I Ai‬‬ ‫כאשר ‪ A‬היא פונקציה שתחומה ‪ I‬ולכל ‪ i ∈ I‬מתקיים ‪) |Ai | = ai‬מסמנים‬ ‫בקיצור ‪ ,(A (i) = Ai‬וכל הקבוצות ‪ Ai‬זרות בזוגות‪.‬‬ ‫‪S‬‬ ‫כלומר סכום העוצמות הללו הוא העוצמה |)‪.| Range (A‬‬ ‫כדי שהגדרה זאת תהיה תקפה עלינו להוכיח שני דברים‪ :‬ראשית שתמיד קיימת פונקציה‬ ‫‪ A‬כנדרש‪ ,‬ושנית שהסכום מוגדר היטב‪ ,‬כלומר שהוא אינו תלוי בבחירת הפונקציה ‪.A‬‬ ‫‪59‬‬ ‫‪ .1‬לצורך הוכחת קיום פונקציה ‪ A‬כנדרש‪ ,‬אנו צריכים להניח את קיומה של עוצמה‬ ‫‪ b‬הגדולה או שווה מכל העוצמות ‪ ai‬לכל ‪ .i ∈ I‬קיום עוצמה כזאת מוכח ע"י‬ ‫שימוש לא ישיר באקסיומת הבחירה שנראה אותו מאוחר יותר‪.‬‬ ‫תהי ‪ B‬קבוצה שעוצמתה ‪ b‬כנ"ל‪ .‬הוכחנו שבמקרה כזה לכל ‪ i ∈ I‬קיימת קבוצה‬ ‫חלקית ל‪ B-‬שעוצמתה ‪ ,ai‬ולכן הקבוצה } ‪ {D ⊆ B | |D| = ai‬אינה ריקה‪.‬‬ ‫תהי ‪ C‬פונקצית בחירה על ))‪ .P (P (B‬נגדיר את הקבוצה )} ‪Di = C ({D ⊆ B | |D| = ai‬‬ ‫שעוצמתה ‪ .ai‬נבחר באופן כזה את כל ‪.{Di }i∈I‬‬ ‫נגדיר עתה את הפונקציה ‪ A‬שתחומה ‪ I‬ע"י ‪ Ai = {i} × Di‬לכל ‪.i ∈ I‬‬ ‫ברור כי לכל ‪ i ∈ I‬מתקיים ‪ |Ai | = |Di | = ai‬ועבור כל ‪ ,i, j ∈ A‬אם ‪i 6= j‬‬ ‫אז ∅ = ‪ Ai ∩ Aj‬כי הגדרנו את הטווח ע"י ‪ {i} × Di‬ולא ע"י ‪ .Di‬לכן ‪ A‬היא‬ ‫פונקציה כנדרש‪.‬‬ ‫‪ .2‬כדי להראות שהחיבור מוגדר היטב‪ ,‬יש להראות כי אם ‪ A, B‬פונקציות כנדרש‬ ‫אז שתיהן נותנות את אותו הסכום‪.‬‬ ‫יהיו ‪ A, B‬פונקציות כנדרש‪ .‬מהגדרתן נובע שלכל ‪ i ∈ I‬מתקיים = ‪|Ai | = ai‬‬ ‫| ‪ ,|Bi‬ולכן ‪ ,Ai ≈ Bi‬משמע הקבוצה ‪ Hi‬של כל הפונקציות החח"ע מ‪ Ai -‬על ‪Bi‬‬ ‫אינה ריקה‪.‬‬ ‫לפי נוסח שקול של אקסיומת הבחירה קיימת פונקציה ‪ G‬שתחומה ‪ I‬כך שלכל‬ ‫‪ i ∈ I‬קיים ‪ ,Gi ∈ Hi‬כלומר‪ Gi ,‬היא העתקה חח"ע של ‪ Ai‬על ‪.Bi‬‬ ‫‪S‬‬ ‫מכיוון שהקבוצות ‪ Ai‬זרות הדדית האיחוד ‪ F = i∈I Gi‬הוא פונקציה‪ ,‬ומכיוון‬ ‫שכל פונקציה ‪ Hi‬היא חח"ע והקבוצות ‪ Bi‬זרות הדדית ‪ F‬חח"ע‪.‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫לכן ‪ F‬היא העתקה חח"ע של ‪ i∈I Ai‬על ‪ i∈I Bi‬והפוקציות ‪ A‬ו‪ B-‬נותנות‬ ‫את אותו הסכום של העוצמות‪.‬‬ ‫למה‪ :‬תהי ‪ b‬עוצמה ו‪ I-‬קבוצה‪ ,‬אזי |‪) .Σi∈I b = b · |I‬ההוכחה מושארת כתרגיל(‪.‬‬ ‫כפל אינסופי‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ I‬קבוצה ו‪ A-‬פונקציה שתחומה ‪ ,I‬כך שלכל ‪ i ∈ I‬מתקיים כי ‪ Ai‬היא‬ ‫קבוצה‪.‬‬ ‫המכפלה הקרטזית שמסומנת ‪ ×i∈I Ai‬מוגדרת להיות קבוצת הפונקציות ‪ s‬שתחומן‬ ‫‪ ,I‬כך שלכל ‪ i ∈ I‬מתקיים ‪.si ∈ Ai‬‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ I‬קבוצה כלשהי ותהי ‪ a‬פונקציה מ‪ I-‬לתוך מחלקת העוצמות‪ .‬כלומר לכל‬ ‫‪ i ∈ I‬הערך ‪ ai‬היא עוצמה כלשהי‪.‬‬ ‫נגדיר את המכפלה של אוסף העוצמות ‪ {ai }i∈I‬להיות | ‪, Πi∈I ai =: |×i∈I Ai‬‬ ‫כאשר ‪ A‬היא פונקציה שתחומה ‪ I‬ולכל ‪ i ∈ I‬מתקיים ‪.|A (i)| = ai‬‬ ‫‪60‬‬ ‫נראה שזו אכן הגדרה תקפה‪ .‬כשהגדרנו סכום אינסופי הוכחנו שתמיד קיימת פונקציה‬ ‫‪ A‬כנדרש‪ .‬לכן נותר להוכיח שהמכפלה אינו תלויה בבחירת הפונקציה ‪ .A‬כלומר יש‬ ‫להראות שאם ‪ A, B‬פונקציות כנדרש אז שתיהן נותנות את אותה המכפלה‪.‬‬ ‫לשם כך נגדיר פונקציה חח"ע ועל מהצורה ‪ .F : ×i∈I Ai → ×i∈I Bi‬מכך ינבע כי‬ ‫| ‪ ,| ×i∈I Ai | = | ×i∈I Bi‬משמע המכפלה אינה משתנה כאשר אנחנו מחליפים את ‪A‬‬ ‫ב‪.B-‬‬ ‫לכל ‪ i ∈ I‬נגדיר את ‪ Gi‬להיות העתקה חח"ע של ‪ Ai‬על ‪ Bi‬כפי שהגדרנו לסכום‬ ‫אינסופי‪ .‬כעת נגדיר את ‪ :F‬לכל ‪ s ∈ ×i∈I Ai‬נקבע ‪.F (s) = hGi (si ) | i ∈ Ii‬‬ ‫נוכיח כי ‪ F‬היא חח"ע‪ .‬יהיו ‪ .s 6= t ,s, t ∈ ×i∈I Ai‬קיים ‪ j ∈ I‬כך ש‪ .sj 6= tj -‬מכיוון‬ ‫ש‪ Gj -‬חח"ע אז ) ‪ ,F (sj ) = Gj (sj ) 6= Gj (tj ) = F (tj‬ולכן )‪.F (s) 6= F (t‬‬ ‫‪ −1‬‬ ‫‬ ‫נוכיח כי ‪ F‬על ‪ .×i∈I Bi‬יהי ‪ .w ∈ ×i∈I Bi‬אז יהי ‪.s = Gi (wi ) | i ∈ I ∈ ×i∈I Ai‬‬ ‫קל לראות כי ‪.F (s) = w‬‬ ‫למה‪ :‬יהיו ‪ a, b‬עוצמות ו‪ B-‬קבוצה שעוצמתה ‪ ,b‬אזי ‪ Σi∈B a = a · b‬וכן ‪.Πi∈B a = ab‬‬ ‫)ההוכחה מושארת כתרגיל(‪.‬‬ ‫‪18‬‬ ‫סיכום והרחבת הדיון‬ ‫נחזור לדוגמה של זוגות הגרביים‪ .‬מה קורה אם במקום סדרה אינסופית של זוגות גרביים‬ ‫יש לנו סדרה בת שלושה זוגות גרביים‪ ,‬כלומר ‪ H‬היא פונקציה שתחומה ‪?N3‬‬ ‫במקרה זה אנו יכולים להוכיח קיום פונקציה ‪ F‬כנדרש גם אם איננו יכולים להצביע‬ ‫על פונקציה מסויימת כזאת‪ ,‬באופן הבא‪ :‬נניח כי )‪,a ∈ H (0) , b ∈ H (1) , c ∈ H (2‬‬ ‫נגדיר באופן מפורש‪:‬‬ ‫‪F (0) = a F (1) = b F (2) = c‬‬ ‫כך הוכחנו שלכל ‪ a, b, c‬כנ"ל קיימת פונקציה ‪ F‬המקיימת )‪ F (n) ∈ H (n‬לכל ‪.n ∈ N2‬‬ ‫מכיוון שכל אחת מהקבוצות )‪ H (0) , H (1) , H (2‬היא בת שתי גרביים היא לא ריקה‪,‬‬ ‫לכן קיימים ‪ a, b, c‬כנ"ל כך שיש פונקציה ‪ F‬המקיימת )‪ F (n) ∈ H (n‬לכל ‪.n ∈ N2‬‬ ‫פונקציה זאת מוגדרת באמצעות יחס )‪ Φ (x, y‬שהמשתנים ‪ a, b, c‬מופיעים בו כפרמטרים‪.‬‬ ‫תרגיל‪ :‬נסחו ולהוכיח לפעולות החיבור והכפל המוכללות חוקי חילוף וחוקי קיבוץ‪.‬‬ ‫‪61‬‬ ‫חלק‬ ‫‪VII‬‬ ‫סדר טוב‬ ‫‪19‬‬ ‫מבוא‬ ‫תזכורת‪:‬‬ ‫‪ .1‬הגדרנו כי יחס < הוא יחס סדר חלקי על מחלקה ‪ ,A‬אם הוא יחס על ‪A‬‬ ‫שמקיים את התנאים הבאים‪:‬‬ ‫אי־רפלקסיביות‪ :‬לכל ‪ x ∈ A‬מתקיים ‪ ,x ≮ x‬טרנזיטיביות‪ :‬אם ‪ x < y‬וגם‬ ‫‪ y < z‬אז ‪.x < z‬‬ ‫‪ .2‬היחס < נקרא יחס סדר )או יחס סדר קווי או יחס סדר מלא( על מחלקה‬ ‫‪ ,A‬אם הוא יחס סדר חלקי על ‪ A‬המקיים גם את תנאי ההשוואה‪ ,‬שאומר‪:‬‬ ‫לכל ‪ ,x 6= y ,x, y ∈ A‬אז ‪ x < y‬או ‪) .y < x‬אם נדבר על יחס סדר ≤‬ ‫על ‪ ,A‬אז תנאי ההשוואה הוא שלכל ‪ x, y ∈ A‬יתקיים ‪ x ≤ y‬או ‪.(y ≤ x‬‬ ‫דוגמאות‪ N, Z, Q, R :‬עם יחס הסדר הסטנדרטי עליהן‪ .‬דוגמה נוספת היא קבוצת‬ ‫המילים שאפשר לכתוב באותיות עבריות‪ ,‬עם הסדר כמו שהן מסודרות במילון‪.‬‬ ‫תרגיל‪ :‬אם ‪ A‬קבוצה סופית לא ריקה ו‪ <-‬יחס סדר חלקי על ‪ ,A‬אז קיים ‪y ∈ A‬‬ ‫מינימלי ביחס ל‪ ,<-‬וקיים ‪ z ∈ A‬מקסימלי ביחס ל‪ .<-‬כלומר לא קיים ‪x ∈ A‬‬ ‫המקיים ‪ x < y‬או ‪.x > z‬‬ ‫הגדרה‪ :‬נניח כי < יחס סדר על ‪.A‬‬ ‫אז ‪ B‬נקראת רישא של ‪) A‬ביחס ל‪ (<-‬אם לכל ‪ ,y ∈ B‬לכל ‪ x ∈ A‬אם ‪x < y‬‬ ‫אז ‪.x ∈ B‬‬ ‫אם ‪ B‬שונה מ‪ A-‬היא נקראת רישא ממש של ‪.A‬‬ ‫כמו־כן ‪ B‬נקראת סיפא של ‪) A‬ביחס ל‪ (<-‬אם לכל ‪ ,y ∈ B‬לכל ‪ x ∈ A‬אם‬ ‫‪ x > y‬אז ‪.x ∈ B‬‬ ‫אם ‪ B‬שונה מ‪ A-‬היא נקראת סיפא ממש של ‪.A‬‬ ‫תרגיל‪ :‬אם היחס < הוא יחס סדר על ‪ ,A‬אז המחלקות היחידות שהן גם רישא וגם‬ ‫סיפא של ‪ A‬הן המחלקה הריקה ו‪ A-‬עצמה‪.‬‬ ‫יש לנו ענין ביחסי סדר על קבוצות המאפשרים לנו לטפל באיברי הקבוצות איבר איבר‬ ‫לפי הסדר‪.‬‬ ‫‪62‬‬ ‫כל יחס סדר על קבוצה סופית הוא כזה‪ .‬אם ‪ A‬קבוצה סופית לא ריקה אז הראינו שיש‬ ‫לה איבר ראשון ואנו מטפלים בו‪ .‬אם יש בקבוצה עוד איברים אז קבוצת יתר האיברים‬ ‫חלקית ל‪ A-‬ולכן סופית‪ ,‬ולכן גם לה יש איבר ראשון ואנו מטפלים בו‪ .‬נמשיך הלאה עד‬ ‫שלא ייוותרו איברים‪.‬‬ ‫דוגמה ליחס סדר על קבוצה אינסופית המאפשר טיפול באיבריה זה אחר זה‪ ,‬הוא יחס‬ ‫הסדר הרגיל של המספרים הטבעיים‪ .‬אנחנו מתחילים את הטיפול ב‪ ,0-‬ואם כבר טיפלנו‬ ‫במספרים מ‪ 0-‬עד ‪ n‬אנו מטפלים ב‪ .n + 1-‬כך מטופלים כל המספרים הטבעיים‪ .‬סדר‬ ‫זה אינו בלעדי‪ .‬כך למשל ניתן להתבונן בסדר ‪ .0, 2, 4, ..., 1, 3, 5, ...‬גם בסדר זה אנחנו‬ ‫מתחילים את הטיפול ב‪ ,0-‬אחרי כל מספר זוגי ‪ n‬אנחנו מטפלים במספר הזוגי הבא‬ ‫‪ n + 2‬וכך הלאה‪ .‬כאשר מסיימים את הטיפול בכל המספרים הזוגיים‪ ,‬המספר הראשון‬ ‫אחריהם הוא ‪ 1‬וכעת אנחנו מטפלים במספרים האי־זוגיים לפי הסדר עד שמסתיים‬ ‫הטיפול בכל המספרים הטבעיים‪.‬‬ ‫דוגמה ליחס סדר על קבוצה אינסופית שאינו מאפשר טיפול באיבריה בזה אחר זה לפי‬ ‫הסדר‪ ,‬הוא יחס הסדר הטבעי על המספרים הרציונליים‪ .‬שם גם אין מספר ראשון‬ ‫בשביל להתחיל בו את הטיפול‪ ,‬וגם אם כבר טיפלנו בכל המספרים השליליים וב‪ ,0-‬אין‬ ‫מספר חיובי ראשון שיש לטפל בו‪.‬‬ ‫נרצה להגדיר תכונה של יחסי סדר המאפשרת טיפול איבר איבר לפי הסדר‪.‬‬ ‫‪20‬‬ ‫סדר טוב‬ ‫הגדרה‪ :‬יחס < על קבוצה ‪ A‬נקרא יחס סדר טוב על ‪ ,A‬אם הוא יחס סדר קווי על ‪A‬‬ ‫= ∅ שאינה ריקה יש איבר מינימלי ביחס ל‪ .<-‬כלומר‬ ‫כך שלכל קבוצה ‪6 B ⊆ A‬‬ ‫איבר ‪ y ∈ B‬כך שלכל ‪ x ∈ B‬מתקיים ‪.y ≤ x‬‬ ‫קבוצה סדורה היטב היא הזוג ‪ hA, <i‬כך ש‪ <-‬הוא יחס המסדר היטב את‬ ‫הקבוצה ‪.A‬‬ ‫הגדרה שקולה‪ :‬קבוצה סדורה קווית ‪ A‬תיקרא מנומסת אם לכל סיפא לא ריקה שלה‬ ‫יש איבר מינימלי‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬ההגדרה השנייה היא מקרה פרטי של ההגדרה הראשונה‪ .‬נראה שהיא גם גוררת‬ ‫את הראשונה‪.‬‬ ‫תהי ‪ .∅ 6= B ⊆ A‬נגדיר את הקבוצה }‪ .D = {y ∈ A|∃x∈B x ≤ y‬קל לראות‬ ‫כי ‪ D‬סיפא של ‪ ,A‬ולכן יש לה איבר מינימלי ‪.z ∈ D‬‬ ‫נשים לב כי ‪ ,B ⊆ D‬ולכן אם נראה כי ‪ ,z ∈ B‬ממינימליות ‪ z‬ב‪ D-‬תנבע‬ ‫המינימליות שלו ב‪ ,B-‬כלומר ל‪ B-‬יש איבר מינימלי‪.‬‬ ‫מכיוון ש‪ z ∈ D-‬נובע שיש ‪ u ∈ B‬כך ש‪ .u ≤ z-‬נשים לב כי ‪,u ∈ B ⊆ D‬‬ ‫וממינימליות ‪ z‬ב‪ D-‬נובע כי ‪ ,z ≤ u‬מכאן כי ‪ ,z = u‬כלומר ‪ z ∈ B‬כנדרש‪ .‬‬ ‫‪63‬‬ ‫טענה‪:‬‬ ‫אם < יחס סדר חלקי על ‪ ,A‬אז ההגבלה ל‪ B ⊆ A-‬של היחס <‪ ,‬כלומר‬ ‫‪ ,< ∩B × B‬היא סדר חלקי על ‪.B‬‬ ‫אם < יחס סדר על ‪ A‬וכן ‪ ,B ⊆ A‬אז ‪ < ∩B × B‬יחס סדר על ‪.B‬‬ ‫אם < יחס סדר טוב על ‪ A‬ו‪ B ⊆ A-‬אז ‪ < ∩B × B‬יחס סדר טוב על ‪.B‬‬ ‫‪20.1‬‬ ‫אינדוקציה שלמה )או טרנספיניטית(‬ ‫משפט‪ :‬תהי )< ‪ (A,‬קבוצה סדורה היטב ותהי ‪ Φ‬תכונה‪.‬‬ ‫אם קיים צעד האינדוקציה‪ :‬לכל ‪ ,x ∈ A‬אם כל ‪ y ∈ A‬המקיים ‪ y < x‬הוא‬ ‫בעל התכונה ‪ Φ‬אז גם ‪ x‬הוא בעל התכונה ‪ ,Φ‬אז קיימת מסקנת האינדוקציה‪ :‬כל‬ ‫איברי ‪ A‬הם בעלי התכונה ‪.Φ‬‬ ‫הסבר‪ :‬צעד האינדוקציה על ‪ x‬מתחלק לשני חלקים‪ :‬החלק "כל ‪ y‬המקיים ‪ y < x‬הוא‬ ‫בעל התכונה ‪ "Φ‬נקרא הנחת האינדוקציה‪ ,‬והחלק "‪ x‬הוא בעל התכונה ‪ "Φ‬נקרא‬ ‫מסקנת צעד האינדוקציה‪.‬‬ ‫כאשר נתונה קבוצה )< ‪ (A,‬סדורה היטב ורוצים להוכיח שכל איברי ‪ A‬הם בעלי‬ ‫התכונה ‪ ,Φ‬משפט ההוכחה באינדוקציה מבטיח שאם נוכיח את צעד האינדוקציה‬ ‫אז נדע כבר שכל איברי ‪ A‬הם בעלי התכונה ‪ .Φ‬כדי להוכיח את צעד האינדוקציה‬ ‫אנו מניחים ל‪ x-‬כלשהו את הנחת האינדוקציה ומוכיחים ממנה את מסקנת צעד‬ ‫האינדוקציה‪.‬‬ ‫נשים לב שהאנלוג ל"הנחת האינדוקציה" באינדוקציה רגילה )המקרה הראשון‬ ‫שהוא בד"כ "‪ ,("n = 0‬חבוי כבר בצעד האינדוקציה השלמה‪ .‬שכן נניח כי ‪a ∈ A‬‬ ‫הוא האיבר המינימלי ביחס‪ ,‬אז מכיוון של‪ a-‬אין קודמים‪ ,‬נכון באופן ריק שכל‬ ‫קודמיו הם בעלי התכונה ‪ .Φ‬לכן צעד האינדוקציה אומר ישירות ש‪ a-‬הוא בעל‬ ‫התכונה ‪) Φ‬ולשם כך לא היינו זקוקים למשפט האינדוקציה(‪.‬‬ ‫כמובן שכאשר אנו מוכיחים את צעד האינדוקציה עלינו לוודא שהוכחה זאת‬ ‫תקפה לכל ‪ x‬וגם ל‪ x-‬שהוא האיבר הראשון ב־‪ .A‬אם אנו מוכיחים את צעד‬ ‫האינדוקציה רק עבור איברים ‪ x‬של ‪ A‬שיש להם קודמים ב־‪ A‬אז לא הוכחנו‬ ‫את צעד האינדוקציה לכל איברי ‪ ,A‬ואיננו יכולים להשתמש במשפט ההוכחה‬ ‫באינדוקציה‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נניח בשלילה שלא כל איברי ‪ A‬הם בעלי התכונה ‪ .Φ‬תהי ‪ B‬קבוצת איברי ‪A‬‬ ‫שאינם בעלי התכונה ‪ ,Φ‬ומההנחה בשלילה נובע כי ‪ B‬אינה ריקה‪.‬‬ ‫‪ A‬סדורה היטב ולכן קיים ‪ b ∈ B‬מינימלי‪ .‬נשים לב כי ‪ b ∈ B‬ולכן הוא אינו‬ ‫בעל התכונה ‪ ,Φ‬ומהמינימליות שלו ב‪ B-‬נובע שכל איבר ב‪ A-‬הקטן ממנו הוא‬ ‫בעל התכונה ‪.Φ‬‬ ‫‪64‬‬ ‫אם־כך קיבלנו סתירה לצעד האינדוקציה‪ ,‬האומר שאם כל הקודמים לאיבר כלשהו‬ ‫‪ x‬הם בעלי התכונה ‪ Φ‬אז גם ‪ x‬עצמו הוא בעל תכונה זאת‪ .‬‬ ‫‪20.2‬‬ ‫הגדרה רקורסיבית של פונקציה‬ ‫כאשר מגדירים ברקורסיה פונקציה ‪ F : A → B‬עבור קבוצה סדורה היטב ‪ ,A‬מגדירים‬ ‫את הערך )‪ F (y‬לכל ‪ y ∈ A‬בתלות בערכי ‪ F‬על איברי ‪ A‬הקודמים ל‪.y-‬‬ ‫כל המידע על ערכי ‪ F‬באיברי ‪ A‬הקודמים ל‪ y-‬מצוי בפונקציה }‪.F {x ∈ A | x < y‬‬ ‫נתבונן במחלקת כל הפונקציות שתחומן חלקי ל‪ A-‬וטווחן מוכל ב‪ ,B-‬ותהי ‪ H‬פונקציה‬ ‫שתחומה הוא מחלקה זו כך ש‪.Range (H) ⊆ B-‬‬ ‫לכל ‪ ,y ∈ A‬קיימת פונקציה יחידה ‪ F‬במחלקה הנ"ל שתחומה הוא }‪{x ∈ A|x < y‬‬ ‫והמקיימת )}‪ .F (y) = H (F {x ∈ A|x < y‬לכן הצורה הכללית ביותר של הגדרת‬ ‫‪ F‬ברקורסיה היא‪:‬‬ ‫)}‪∀x∈A F (x) = H (F {y ∈ A | y < x‬‬ ‫הערה‪ :‬זו אינה הגדרה מפורשת של ‪ ,F‬כי בהגדרה מפורשת של הפונקציה ‪ F‬היא עצמה‬ ‫לא יכולה להופיע בצד ימין של שוויון ההגדרה‪.‬‬ ‫כדי שזו תהיה הגדרה לגיטימית יש להוכיח שאכן קיימת פונקציה ‪ F‬המקיימת את‬ ‫השוויון וכי היא יחידה‪ ,‬ואז אנו יכולים להגדיר את ‪ F‬להיות הפונקציה היחידה‬ ‫הזו‪.‬‬ ‫אכן אין יותר מפונקציה ‪ F‬אחת המקיימת את השוויון הנ"ל‪ ,‬כי אם ‪ F1 , F2‬הן‬ ‫שתי פונקציות המקיימות את השוויון אז קל להוכיח באינדוקציה כי לכל ‪x ∈ A‬‬ ‫מתקיים )‪.F1 (x) = F2 (x‬‬ ‫ההוכחה שאמנם קיימת פונקציה ‪ F‬כנ"ל ארוכה יותר‪ .‬אנו נקבל כאן את עקרון‬ ‫ההגדרה ברקורסיה ללא הוכחה‪.‬‬ ‫‪20.3‬‬ ‫איזומורפיזם )או העתקת דמיון(‬ ‫הגדרה‪ :‬אם ‪ A, B‬קבוצות סדורות וקיימת פונקציה ‪ ,F : A → B‬אומרים ש‪ F -‬שומרת‬ ‫סדר‪ ,‬אם לכל ‪ x, y ∈ A‬אם ‪ x < y‬אז )‪.F (x) < F (y‬‬ ‫קל לראות שכל פונקציה שומרת סדר מקבוצה סדורה לקבוצה סדורה היא חד‬ ‫חד ערכית‪.‬‬ ‫הגדרה‪ :‬לפונקציה שומרת סדר מקבוצה סדורה ‪ A‬על קבוצה סדורה ‪ B‬אנו קוראים‬ ‫איזומורפיזם מ‪ A-‬ל‪ B-‬או גם העתקת דמיון מ‪ A-‬ל‪.B-‬‬ ‫‪65‬‬ ‫במקרה שקיימת איזומורפיזם כנ"ל אומרים כי ‪ A, B‬איזומורפיות או דומות‪.‬‬ ‫קל לראות כי אם ‪ F : A → B‬איזומורפיזם אז ‪ F −1 : B → A‬איזומורפיזם‪ .‬כך‬ ‫אם גם ‪ G : B → C‬איזומורפיזם אז ‪ G ◦ F : A → C‬איזומורפיזם‪.‬‬ ‫כתוצאה מכך יחס הדימיון הוא יחס שקילות‪ .‬כלומר‪ ,‬רפלקסיבי‪ ,‬סימטרי וטרנזיטיבי‪.‬‬ ‫כמובן שאם שתי קבוצות סדורות הן איזומורפיות אז הן בפרט גם שוות עוצמה‪.‬‬ ‫משפט‪ :‬אם ‪ A, B‬קבוצות סדורות ו‪ F : A → B-‬איזומורפיזם‪ ,‬אזי לכל רישא ‪C ⊆ A‬‬ ‫מתקיים כי )‪ F (C‬רישא של ‪.B‬‬ ‫הוכחה‪ :‬יהי )‪ F (x) ∈ F (C‬עבור ‪ x ∈ C‬כלשהו‪ .‬יהי )‪ ,u < F (x‬נרצה להראות כי‬ ‫)‪.u ∈ F (C‬‬ ‫מכיוון ש‪ u ∈ B-‬אז יש ‪ z ∈ A‬כך ש‪ .F (z) = u-‬אילו ‪ x ≤ z‬אז ≤ )‪F (x‬‬ ‫‪ F (z) = u‬בסתירה להנחה )‪ ,u < F (x‬לכן ‪.z < x‬‬ ‫מהיות ‪ C‬רישא נובע כי ‪ z < x ∈ C‬אז ‪ z ∈ C‬ולכן )‪ ,u = F (z) ∈ F (C‬כלומר‬ ‫)‪ F (C‬אכן רישא‪ .‬‬ ‫משפט‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה סדורה היטב ו‪ F : A → A-‬שומרת סדר‪ ,‬אז לכל ‪ x ∈ A‬מתקיים‬ ‫)‪.x ≤ F (x‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נוכיח באינדוקציה על ‪ .x‬נניח‪ .‬הנחת האינדוקציה תהיה שלכל ‪ y < x‬מתקיים‬ ‫)‪ y ≤ f (y‬ונראה שזה גורר כי )‪.x ≤ f (x‬‬ ‫נניח בשלילה כי ‪ .f (x) < x‬מכיוון ש‪ f -‬שומרת סדר יחס זה נשמר כאשר נפעיל‬ ‫את ‪ f‬על שני אגפיו‪ ,‬ולכן נקבל )‪.f (f (x)) < f (x‬‬ ‫זו סתירה‪ ,‬כי הרי ‪ f (x) < x‬ולכן צריך לפי הנחת האינדוציה צריך להתקיים‬ ‫))‪ .f (x) ≤ f (f (x‬‬ ‫מסקנה ‪ :1‬אם ‪ A, B‬קבוצות סדורות היטב‪ ,‬אז יש ל‪ A-‬איזומורפיזם לכל היותר לרישא‬ ‫אחת של ‪.B‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נניח כי ‪ C, D ⊆ B‬שתי רישות שונות‪ .‬ברור כי ללא הגבלת הכלליות ‪.C $ D‬‬ ‫יהי ‪ ,z ∈ D\C‬ונניח בשלילה שקיימים ‪ G : A → D ,F : A → C‬איזומורפיזמים‪.‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫נשים לב כי ‪ F G−1 (z) ∈ C‬ולכן בהכרח ‪ .F G−1 (z) < z‬אולם מצד‬ ‫שני ‪ F ◦ G−1 : B → B‬העתקה שומרת סדר‪ ,‬ולכן מהמשפט נובע כי < ‪z‬‬ ‫)‪ ,F G−1 (z‬וזו סתירה‪ .‬‬ ‫הערה‪ :‬ממסקנה זו נובע בפרט כי קבוצה סדורה היטב ‪ A‬אינה איזומורפית לאף רישא‬ ‫ממש שלה‪ ,‬שכן העתקת הזהות היא איזומורפיזם של ‪ A‬על עצמה‪ ,‬ו‪ A-‬היא רישא‬ ‫של עצמה‪.‬‬ ‫מסקנה ‪ :2‬אם ‪ A, B‬קבוצות סדורות היטב‪ ,‬אז יש לכל היותר איזומורפיזם אחד ביניהן‪.‬‬ ‫‪66‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נניח כי ‪ F, G : A → B‬שני איזומורפיזמים שונים‪ ,‬כך שקיים ‪ z ∈ A‬שעבורו‬ ‫)‪ G (z) < F (z‬ללא הגבלת הכלליות‪.‬‬ ‫לכן מתקיים ))‪ F −1 (G (z)) < F −1 (F (z‬ומכאן ‪ .F −1 (G (z)) < z‬אולם‬ ‫מצד שני ‪ F −1 ◦ G : B → B‬העתקה שומרת סדר‪ ,‬ולכן מהמשפט נובע כי‬ ‫))‪ ,z < F −1 (G (z‬וזו סתירה‪ .‬‬ ‫משפט‪ :‬לכל שתי קבוצות סדורות היטב ‪ ,A, B‬קיים איזומורפיזם של אחת מהן על רישא‬ ‫של השניה‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬רעיון ההוכחה הוא להעתיק את האיבר הראשון של ‪ A‬לאיבר הראשון של ‪,B‬‬ ‫את האיבר השני של ‪ A‬לאיבר השני של ‪ B‬וכן הלאה‪ ,‬עד שבאחת משתי הקבוצות‬ ‫לא נותרים איברים‪.‬‬ ‫∈ }‪ {end‬יחידון‬ ‫נגדיר ברקורסיה פונקציה }‪ ,F : A → B ∪ {end‬כאשר ‪/ B‬‬ ‫כלשהו‪.‬‬ ‫לכל ‪ ,y ∈ A‬אם ‪ F [{x ∈ A|x < y}] $ B‬ממש אז )‪ F (y‬יהיה האיבר המינימלי‬ ‫של ]}‪ ,B\F [{x ∈ A|x < y‬ואם ‪ F [{x ∈ A|x < y}] = B‬אז }‪.F (y) = {end‬‬ ‫כדי להראות שאכן פונקציה זו היא איזומורפיזם מ‪ A-‬או ‪ B‬על רישא של האחרת‪,‬‬ ‫נפריד בין שני מקרים‪:‬‬ ‫∈ ‪end‬‬ ‫• מקרה א'‪ :‬הקבוצה ‪ B‬לא נגמרה תוך כדי הגדרת ‪ ,F‬כלומר ‪/‬‬ ‫) ‪ ,Range (F‬ואז ברור כי ‪ .Range (F ) ⊆ B‬נוכיח כי היא איזומורפיזם של‬ ‫‪ A‬על רישא של ‪.B‬‬ ‫– נראה כי ‪ F‬שומרת סדר‪ .‬נניח כי ‪ z < x ,x, z ∈ A‬ונראה כי‬ ‫)‪.F (z) < F (x‬‬ ‫נשים לב כי )‪ F (x‬מהגדרתה שונה מכל )‪ F (y‬עבור ‪ ,y < x‬ובפרט‬ ‫)‪ F (x) 6= F (z‬וכן }‪ F (x) ∈ {F (y) | y < z‬ולכן }‪.F (x) ∈ {B \ F (y) | y < z‬‬ ‫נשים לב כי )‪ F (z‬מהגדרתו הוא האיבר הראשון של }‪B\{F (y) | y < z‬‬ ‫המכילה את )‪ F (x‬וכן )‪ ,F (z) 6= F (x‬לכן )‪ ,F (z) < F (x‬כלומר‬ ‫‪ F‬שומרת סדר‪.‬‬ ‫– נראה כי טווח ‪ F‬הוא רישא של ‪ .B‬נניח כי ) ‪u < v ∈ Range(F‬‬ ‫ונוכיח כי גם ) ‪.u ∈ Range(F‬‬ ‫מכיוון ש‪ v ∈ Range(F )-‬קיים ‪ x ∈ A‬כך ש‪ .v = F (x)-‬מהגדרת‬ ‫)‪ F (x‬הוא האיבר הראשון של }‪ ,B \ {F (y) | y < x‬ולכן מכיוון‬ ‫ש‪ u < F (x)-‬משמע ‪u‬אינו בקבוצה זאת‪ ,‬ומכיוון ש‪ u ∈ B-‬בהכרח‬ ‫}‪ .u ∈ {F (y) | y < x‬לכן קיים ‪ y < x‬כך ש‪ ,u = F (y)-‬ולכן‬ ‫) ‪ u ∈ Range(F‬וטווח ‪ F‬הוא רישא של ‪.B‬‬ ‫• מקרה ב'‪ .end ∈ Range(F ) :‬נראה שקיים איזומורפיזם שתחומו ‪ B‬על‬ ‫רישא של ‪.A‬‬ ‫‪67‬‬ ‫– נניח כי ‪ u‬מינימלי של ‪ A‬כך ש‪ ,F (u) = end-‬ואז לכל ‪ x < u‬מתקיים‬ ‫‪ ,F (x) ∈ B‬כלומר ‪.{F (y) | y < u} ⊆ B‬‬ ‫מהגדרת )‪ F (u‬מתקיים ∅ = }‪ B \ {F (y) ∈ B | y < u‬ולכן מתקיים‬ ‫כי ‪ ,{F (y) ∈ B | y < u} = B‬כלומר = )}‪Range(F {y | y < u‬‬ ‫‪.B‬‬ ‫נסמן }‪ .G = F {y ∈ A | y < u‬תחום ‪ G‬הוא הרישא‬ ‫}‪ {y ∈ A | y < u‬של ‪ ,A‬וטווחה הוא ‪.B‬‬ ‫– נראה כי ‪ G‬שומרת סדר‪ .‬יהיו ‪ z < x‬בתחום ‪ ,G‬כלומר ‪.z < x < u‬‬ ‫מכיוון ש‪ x < u-‬ומהגדרת )‪ F (x‬ברור כי )‪ F (x) 6= F (y‬לכל ‪,y < x‬‬ ‫ובפרט )‪ F (x) 6= F (z‬וגם }‪ .F (x) 6∈ {F (y) | y < z‬לכן ∈ )‪F (x‬‬ ‫}‪.B \ {F (y) | y < z‬‬ ‫מכיוון ש‪ z < u-‬נובע מהגדרת )‪ F (z‬כי הוא האיבר הראשון של‬ ‫הקבוצה }‪ B \ {F (y) | y < z‬המכילה את )‪ ,F (x‬וכן גם =‪F (z) 6‬‬ ‫)‪ F (x‬ולכן )‪ .F (z) < F (x‬כלומר )‪ G (z) < G (x‬ו‪ G-‬היא שומרת‬ ‫סדר‪.‬‬ ‫אם כך קבלנו במקרה זה איזומורפיזם ‪ G‬של רישא של ‪ A‬על ‪ ,B‬ולכן‬ ‫הפונקציה ‪ G−1‬היא איזומורפיזם של ‪ B‬על רישא של ‪.A‬‬ ‫‬ ‫הערה‪ :‬בהוכחת המשפט הגדרנו ברקורסיה פונקציה ‪ ,F‬ועל פניה הגדרת ‪ F‬אינה‬ ‫במתכונת של ההגדרה לפונקציה רקורסיבית‪ ,‬שהוא המשפט המתיר לנו להשתמש‬ ‫בהגדרה ברקורסיה‪ .‬נראה כיצד משתלבת ההגדרה בהוכחה ממשפט ההגדרה‬ ‫ברקורסיה‪.‬‬ ‫בהינתן קבוצה סדורה היטב ‪ B‬ועצם ‪ ,end 6∈ B‬נגדיר פונקציה ‪ H‬שתחומה היא‬ ‫מחלקת כל הפונקציות ע"י שנקבע לכל פונקציה ‪ f‬את הערך ) ‪ H (f‬כדלקמן‪ :‬אם‬ ‫∅ =‪ B \ Range (F ) 6‬אז ) ‪ H (f‬הוא האיבר הראשון של קבוצה זאת‪ ,‬ואחרת‬ ‫‪.H (f ) = end‬‬ ‫במתכונת ההגדרה ברקורסיה אנו משתמשים ב‪ .H (F {y ∈ A | y < x})-‬מכיוון‬ ‫ש–}‪ Range (F {y ∈ A | y < x}) = {F (y) | y < x‬לכן עבור ‪ H‬כפי שבחרנו‬ ‫זה עתה מתכונת ההגדרה ברקורסיה נותנת ש‪ F (x)-‬הוא האיבר הראשון של‬ ‫}‪ B \ {F (y) | y < x‬אם קבוצה זאת אינה ריקה ו‪ F (x) = end-‬אחרת‪ .‬זאת‬ ‫בדיוק ההגדרה בה השתמשנו במשפט‪.‬‬ ‫תרגיל‪ :‬להוכיח את המשפט ללא שימוש בהגדרה ברקורסיה‪ ,‬כדלקמן‪.‬‬ ‫הדרכה‪ :‬תהי ‪ W‬קבוצת כל ההעתקות שומרות הסדר מרישא של ‪ A‬על רישא של‬ ‫התחומים‬ ‫‪ B‬ותהיינה ‪ .F, G ∈ W‬באינדוקציה על ‪ x‬להראות שאם ‪ x‬בחיתוך ‪S‬‬ ‫של ‪ F, G‬אז )‪ ,F (x) = G (x‬כלומר ‪ F, G‬מתיישבות‪ .‬לכן האחוד ‪H = W‬‬ ‫של כל איברי ‪ W‬הוא פונקציה‪.‬‬ ‫‪68‬‬ ‫כעת להוכיח כי גם ‪ H‬היא פונקציה שומרת סדר מרישא של ‪ A‬לרישא של ‪,B‬‬ ‫ולאחר מכן כי תחום ‪ H‬הוא ‪ A‬או טווח ‪ H‬הוא ‪ ,B‬כי אחרת ניתן להרחיב את‬ ‫‪ H‬לפונקציה שתחומה מקיף ממש את תחום ‪ H‬וגם היא ב‪ .W -‬‬ ‫מהמשפט נובע שאם ‪ A, B‬קבוצות סדורות היטב אז ‪ A B‬או ‪ .B A‬נשים לב שלא‬ ‫יכולנו להוכיח זאת לסתם שתי קבוצות ‪ A‬ו‪ ,B-‬בניגוד לאינטואיציה הפשוטה האומרת‬ ‫שמכיוון שהעוצמות מייצגות כמויות‪ ,‬אז אם שתי כמויות אינן שוות אז אחת מהן צריכה‬ ‫להיות גדולה מחברתה‪.‬‬ ‫אם נצליח להוכיח שכל קבוצה ניתנת לסידור היטב נדע שכל שתי עוצמות ניתנות‬ ‫להשוואה‪ .‬נראה כי טענה זו אפשר להוכיח זאת תוך שימוש באקסיומת הבחירה‪.‬‬ ‫‪20.4‬‬ ‫משפט הסידור הטוב )אה"ב(‬ ‫על כל קבוצה ‪ A‬קיים יחס < המסדר את ‪ A‬היטב‪.‬‬ ‫קווים כלליים להוכחה‪ :‬באופן גס‪ ,‬הרעיון הוא לבחור איבר כלשהו של ‪ A‬בתור איבר‬ ‫ראשון‪ ,‬איבר אחר כלשהו של ‪ A‬כאיבר שני ולהמשיך כך עד שלא נותרים איברים‬ ‫ב‪ .A-‬הבעייה היא שאיננו יכולים לתאר במדוייק את התהליך הזה‪.‬‬ ‫כדי שנוכל לתאר את התהליך הזה אנו זקוקים לפונקצית בחירה ‪ C‬על קבוצת‬ ‫החזקה של ‪ .A‬בהינתן פונקציית בחירה ‪ C‬אנו יכולים לבנות סדר טוב ל‪-‬‬ ‫‪ A‬באופן שיטתי כדלקמן‪ :‬האיבר הראשון של ‪ A‬יהיה )‪ ,C (A‬השני יהיה‬ ‫)})‪ ,C (A \ {C (A‬וכן הלאה‪ .‬באופן כללי‪ ,‬כל איבר ‪ x‬של ‪ A‬יהיה האיבר‬ ‫הנבחר ע"י ‪ C‬מקבוצת האיברים שעדיין לא הוכנסו לסדר‪.‬‬ ‫גם ההוכחה הנוכחית וגם ההוכחה שנביא מאוחר יותר יוצרות את הסדר שתארנו‬ ‫כאן אינטואיטיבית‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬בשם קבוצה סדורה שיטתית נקרא לקבוצה ‪ B ⊆ A‬עם יחס סדר טוב ‪ ,R‬אשר‬ ‫בו כל ‪ x ∈ B‬הוא האיבר הנבחר מבין כל איברי ‪ A‬שלא נכנסו לפני ‪ .x‬כלומר‪,‬‬ ‫לכל ‪ x ∈ B‬מתקיים )}‪.x = C (A \ {y ∈ A | yRx‬‬ ‫כעת יש ללכת בצעדים הבאים‪:‬‬ ‫‪ .1‬לכל שתי קבוצות סדורות שיטתית‪ ,‬אחת מהן היא רישא של חברתה לפי‬ ‫משפט קודם‪.‬‬ ‫‪ .2‬איחוד כל הקבוצות הסדורות שיטתית עם איחוד יחסי הסדר שלהן הוא‬ ‫קבוצה סדורה שיטתית‪ ,‬שהיא כמובן הקבוצה הסדורה שיטתית המקסימלית‪.‬‬ ‫‪ .3‬קבוצה סדורה שיטתית זאת היא הקבוצה ‪ A‬כולה‪ ,‬כי אחרת ניתן להרחיב‬ ‫אותה לאיבר נוסף של ‪ A‬בסתירה למקסימליות שלה‪.‬‬ ‫‪69‬‬ ‫סדר מילוני )או לקסיקוגרפי(‬ ‫‪20.5‬‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה סדורה ע"י היחס ‪ <A‬ותהי ‪ B‬קבוצה סדורה ע"י היחס ‪.<B‬‬ ‫יהי < היחס המוגדר על הקבוצה ‪ A × B‬על־ידי ‪ ha, bi < ha0 , b0 i‬כאשר ‪a <A a0‬‬ ‫או כאשר ‪ a = a0‬ו‪.b <B b0 -‬‬ ‫יחס זה הוא יחס סדר על ‪ A × B‬והוא נקרא הסדר המילוני )הלקסיקוגרפי( כי‬ ‫זהו הסדר בו מסודרות המילים במילון‪.‬‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה סדורה ע"י היחס <‪.‬‬ ‫יהי < היחס המוגדר על הקבוצה ∗‪ A‬של הסדרות הסופיות של איברי ‪ ,A‬הנתון‬ ‫ע"י ‪ ha0 , . . . , ak i < hb0 , . . . , bl i‬אם קיים ‪ m ≤ k, l‬כך ש‪ ai = bi -‬לכל ‪i < m‬‬ ‫וגם ‪ ,am < bm‬או שמתקיים ‪ k < l‬ולכל ‪ i < k‬מתקיים ‪.ai = bi‬‬ ‫יחס זה הוא יחס סדר על ∗‪ A‬והוא נקרא הסדר המילוני )הלקסיקוגרפי(‪.‬‬ ‫משפט‪:‬‬ ‫‪ .1‬אם ‪ A, B‬קבוצות סדורות היטב‪ ,‬אז הסדר המילוני של ‪ A × B‬הוא סדר‬ ‫טוב שלה‪.‬‬ ‫‪ .2‬אם ‪ A‬קבוצה סדורה היטב אז לכל ‪ ,n ∈ N‬הסדר המילוני של ‪ An‬הוא‬ ‫סדר טוב שלה‪.‬‬ ‫תרגיל‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה סדורה‪ .‬מצאו תנאי הכרחי ומספיק על ‪ A‬לכך ש‪ A∗ -‬הסדורה‬ ‫בסדר המילוני תהיה סדורה היטב‪.‬‬ ‫‪21‬‬ ‫סיכום והרחבת הדיון‬ ‫תרגיל‪ :‬להוכיח את שתי הטענות הבאות‪:‬‬ ‫‪ .1‬כל קבוצה סדורה בת ‪ n‬איברים איזומורפית לקבוצה ‪ Nn‬הסדורה בסדר‬ ‫הרגיל‪.‬‬ ‫‪ .2‬אם ‪ A‬קבוצה סדורה בת ‪ n‬איברים ו‪ B-‬קבוצה סדורה בת לפחות ‪ n‬איברים‬ ‫)כלומר ‪ ( |B| ≥ n‬אז קיימת העתקה שומרת סדר של ‪ A‬לתוך ‪.B‬‬ ‫תרגיל‪ :‬בקבוצת המספרים הממשיים ‪ R‬הסדורה בסדר הרגיל של הממשיים‪ ,‬הקבוצות‬ ‫הבאות כולן איזומורפיות‪ R :‬עמה‪ ,‬כל הקטעים הפתוחים )‪ (a, b‬כאשר ‪ ,a < b‬כל‬ ‫הקרניים הפתוחות )∞ ‪ (a,‬ו‪.(−∞, a)-‬‬ ‫אותו דבר נכון גם לקבוצת המספרים הרציונליים הסדורה בסדר הרגיל‪.‬‬ ‫‪70‬‬ ‫הגדרה‪ :‬הסדר של קבוצה סדורה ‪ A‬נקרא סדר צפוף‪ ,‬והקבוצה נקראת קבוצה צפופה‪,‬‬ ‫אם יש ב‪ A-‬לפחות שני איברים ולכל ‪ x, y ∈ A‬כך ש‪ x < y-‬קיים ‪ z ∈ A‬כך‬ ‫ש‪.x < z < y-‬‬ ‫קבוצת המספרים הרציונליים וקבוצת המספרים הממשיים‪ ,‬סדורות בסדר הרגיל‪,‬‬ ‫הן צפופות‪ .‬אף קבוצה סדורה היטב איננה צפופה )מדוע?(‪.‬‬ ‫משפט‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה סדורה צפופה כך שקיימת פונקצית בחירה ‪ C‬על )‪ ,P (A‬ותהי‬ ‫‪ B‬קבוצה סדורה בת־מניה כלשהי‪ ,‬אזי קיימת העתקה שומרת סדר של ‪ B‬לתוך‬ ‫‪.A‬‬ ‫הערה‪ :‬במקרה הכללי נצטרך להשתמש באקסיומת הבחירה‪ ,‬אבל אם ‪ A‬היא קבוצה‬ ‫בת־מניה קיימת פונקצית בחירה כזאת גם בלי לאקסיומת הבחירה‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נשים לב שמספיק לטפל במקרה בו אין ל‪ A-‬איבר ראשון ואיבר אחרון‪ ,‬כי‬ ‫אחרת נחליף את ‪ A‬בקבוצה ‪ A0‬המתקבלת מ‪ A-‬ע"י הוצאת האיבר הראשון‬ ‫והאחרון‪ ,‬וההעתקה המתקבלת תהיה לתוך ‪.A0‬‬ ‫‪ .1‬תהי } ‪ ,B = {b0 , b1 , . . .‬עבור ‪ b‬סדרה חח"ע‪ .‬נגדיר ברקורסיה סדרה‬ ‫‪ hfn | n ∈ Ni‬של פונקציות כך ש‪ fn : {b0 , b1 , . . . , bn } → A-‬היא פונקציה‬ ‫שומרת סדר‪.‬‬ ‫נקבע }‪ .f0 = {hb0 , C (A)i‬פונקציה זאת שומרת סדר באופן טריוויאלי‪.‬‬ ‫בשלב הרקורסיה אנו יוצאים מ‪ fn : {b0 , . . . , bn } → A-‬שומרת סדר‪ .‬יהיו‬ ‫‪ c0 , . . . , cn‬האיברים ‪ b0 , . . . , bn‬של ‪ B‬כשהם מסודרים לפי הסדר שלהם‬ ‫ב‪.B-‬‬ ‫‪ bn+1‬שונה מ‪ c0 , . . . , cn -‬שהם ‪ ,b0, . . . , bn‬ולכן ייתכנו רק האפשרויות‬ ‫הבאות‪:‬‬ ‫)א( אם ‪ bn+1 < c0‬אז נבחר )}) ‪fn+1 (bn+1 ) = C ({y ∈ A | y < fn (c0‬‬ ‫)ב( אם קיים ‪ 0 ≤ k < n‬כך ש‪ ,ck < bn+1 < ck+1 -‬אז נבחר = ) ‪fn+1 (bn+1‬‬ ‫)}) ‪C ({y ∈ A | fn (ck ) < y < fn (ck+1‬‬ ‫)ג( אם ‪ ,cn < bn+1‬אז נבחר )}) ‪fn+1 (bn+1 ) = C ({y ∈ A | y > fn (cn‬‬ ‫כלומר נבחר את ‪ fn+1‬להיות }‪ ,fn ∪{hbn+1 , fn+1 (bn+1 )i‬כאשר ) ‪fn+1 (bn+1‬‬ ‫נקבע כך שמיקומו ביחס ל‪ fn (b0 ) , . . . , fn (bn )-‬יהיה כמו המיקום של‬ ‫‪ bn+1‬ביחס ל‪.c0 , . . . , cn -‬‬ ‫‪ .2‬נראה עתה כי ‪ fn+1‬שומרת סדר‪ .‬נעשה זאת למקרה ב'‪ ,‬כאשר בשני‬ ‫המקרים האחרים ההוכחה דומה‪.‬‬ ‫יהיו } ‪.x < y ,x, y ∈ {b0 , . . . , bn+1‬‬ ‫אם } ‪ x, y ∈ {b0 , . . . , bn‬אז מכיוון ש‪ fn -‬שומרת סדר‪fn+1 (x) = ,‬‬ ‫)‪.fn (x) < fn (y) = fn+1 (y‬‬ ‫‪71‬‬ ‫אם ‪ x = bn+1‬אז ‪ y = cm‬עבור ‪ k +1 ≤ m ≤ n‬מסויים‪ ,‬ולכן < )‪fn+1 (x‬‬ ‫)‪.fn (ck+1 ) ≤ fn (cm ) = fn (cm ) = fn (y) = fn+1 (y‬‬ ‫אם ‪ y = bn+1‬אז ‪ x = cm‬עבור ‪ 0 ≤ m ≤ k‬מסויים ואז = )‪fn+1 (x‬‬ ‫)‪.fn+1 (cm ) = fn (cm ) ≤ fn (ck ) < fn+1 (bn+1 ) = fn+1 (y‬‬ ‫‪ k S‬מתקיים ‪,fk ⊆ fl‬‬ ‫כך קבלנו שלכל ‪ n‬טבעי ‪ ,fn ⊆ fn+1‬ולכן לכל ‪< l‬‬ ‫והפונקציות ‪ fk , fl‬מתיישבות‪ .‬לכן }‪ F = {fn | n ∈ N‬היא פונקציה‬ ‫לתוך ‪ A‬שתחומה הוא איחוד התחומים של הפונקציות ‪ ,fn‬כלומר ‪.B‬‬ ‫‪ .3‬נראה כי ‪ F‬שומרת סדר‪ :‬יהיו ‪ x < y ,x, y ∈ B‬ויהיו ‪y = bl ,x = bk‬‬ ‫ויהיו ‪ .n ≥ k, l‬מתקיים )‪ .F (x) = fn (x) < fn (y) = F (y‬לכן ‪ F‬היא‬ ‫הפונקציה שקיומה נדרש במשפט‪ .‬‬ ‫משפט‪ :‬תהיינה ‪ A, B‬קבוצות סדורות‪ ,‬צפופות‪ ,‬בנות־מניה ןבלי איבר ראשון ואחרון‪,‬‬ ‫אזי הן איזומורפיות‪.‬‬ ‫דוגמה לקבוצה כזאת היא קבוצת המספרים הרציונליים בסדר הרגיל‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬הוכחת משפט זה דומה מאוד להוכחת המשפט הקודם‪ ,‬רק שכאן אנו עובדים‬ ‫בשני הכיוונים ‪.B → A ,A → B -‬‬ ‫תהיינה } ‪ ,B = {b0 , b1 , . . . } A = {a0 , a1 , . . .‬כאשר ‪ a, b‬סדרות חח"ע‪.‬‬ ‫נגדיר ברקורסיה סדרה ‪ hfn | n ∈ Ni‬של פונקציות כך ש‪ fn -‬פונקציה שומרת‬ ‫סדר עם תחום סופי המקיים ‪ {b0 , b1 , . . . , bn } ⊆ Domfn ⊆ B‬והמקיימת‬ ‫‪.{a0 , a1 , . . . , an } ⊆ Rangefn ⊆ A‬‬ ‫נקבע }‪ .f0 = {hb0 , a0 i‬בהינתן ‪ fn‬נגדיר תחילה פונקציה ‪ fn+‬כך‪ :‬אם ∈ ‪bn+1‬‬ ‫∈ ‪ bn+1‬נקבע את ‪ fn+‬כמו שקבענו את‬ ‫‪ Domfn‬נבחר ‪ .fn+ = fn‬אם ‪/ Domfn‬‬ ‫‪ fn+1‬בהוכחת המשפט הקודם‪.‬‬ ‫יהיו ‪ c0 , . . . , cj‬האיברים של ‪ Domfn‬כשהם מסודרים לפי הסדר שלהם ב‪.B-‬‬ ‫נמצא את המקום של ‪ bn+1‬בין האיברים ‪ .c0 , . . . , cj‬נטפל כאן רק באותו‬ ‫מקרה בו טיפלנו בהוכחת המשפט הקודם‪ ,‬והוא שקיים ‪ 0 ≤ k < n‬כך ש‪-‬‬ ‫‪ .ck < bn+1 < ck+1‬במקרה זה נקבע את ‪ fn+‬להיות }‪fn ∪ {hbn+1 , fn+ (bn+1 )i‬‬ ‫כאשר ) ‪ fn+ (bn+1‬הוא ‪ ai‬עם ה‪ i-‬המזערי המקיים ) ‪.fn (ck ) < ai < fn (ck+1‬‬ ‫ההוכחה ש‪ fn+ -‬שומרת סדר היא כמו ההוכחה ש‪ fn+1 -‬שומרת סדר במשפט‬ ‫הקודם‪.‬‬ ‫כעת נקבע את ‪ fn+1‬כך‪ :‬אם ‪ an+1 ∈ Rangefn+‬נקבע ‪ ,fn+1 = fn+‬ואם‬ ‫∈ ‪ an+1‬יהיו ‪ d0 , . . . , dm‬האיברים של ‪ Rangefn+‬כשהם מסודרים‬ ‫‪/ Rangefn+‬‬ ‫לפי הסדר שלהם ב‪ .A-‬נמצא כעת את המקום של ‪ an+1‬בין האיברים הללו ונקבע‬ ‫את ‪ fn+1‬להיות ֵ}‪ fn+ ∪ {hbr , an+1 i‬כאשר ‪ r‬הוא המספר המזערי כך ש‪ br -‬נמצא‬ ‫במקום המתאים ביחס לתחום של ‪ fn+‬כמו ‪ an+1‬בין האיברים ‪.d0 , . . . , dm‬‬ ‫‪72‬‬ ‫קל לראות שהפונקציה ‪ fn+1‬שהתקבלה היא פונקציה שומרת סדר עם תחום סופי‬ ‫המקיים ‪ {b0 , b1 , . . . , bn+1 } ⊆ Domfn+1 ⊆ B‬והמקיימת ⊆ } ‪{a0 , a1 , . . . , an+1‬‬ ‫‪.Rangefn+1 ⊆ A‬‬ ‫‪S‬‬ ‫= ‪ ,F‬ופונקציה זאת היא‬ ‫כמו בהוכחת משפט קודם נקבע }‪{fn | n ∈ N‬‬ ‫העתקה שומרת סדר של ‪ B‬על ‪ .A‬‬ ‫כעת נעבור לדון במושג הסדר הטוב‪ ,‬ותחילה נרחיב אותו גם למחלקות ממש‪.‬‬ ‫הגדרה‪ :‬יחס < על מחלקה ‪ A‬נקרא יחס סדר טוב על ‪ ,A‬אם הוא יחס סדר על ‪A‬‬ ‫המקיים את שני התנאים הבאים‪:‬‬ ‫‪ .1‬לכל קבוצה ‪ w ⊆ A‬שאינה ריקה יש איבר ראשון‪ ,‬כלומר איבר ‪ y‬כך שלכל‬ ‫‪ x ∈ w‬מתקיים ‪.y ≤ x‬‬ ‫‪ .2‬לכל ‪ ,y ∈ A‬מחלקת איברי ‪ A‬הקודמים ל‪ y-‬היא קבוצה‪.‬‬ ‫תנאי ב' מתקיים אוטומטית כאשר ‪ A‬היא קבוצה‪ ,‬ולכן עבור קבוצה ‪ A‬ההגדרה הנוכחית‬ ‫שקולה להגדרה הרגילה‪.‬‬ ‫מתנאי ב' נובע שכל רישא ממש של מחלקה סדורה היטב היא קבוצה‪ .‬נרחיב עתה‬ ‫למחלקות את משפט ההוכחה באינדוקציה‪.‬‬ ‫משפט ההוכחה באינדוקציה על מחלקה סדורה היטב‪ :‬תהי ‪ A‬מחלק שהיא סדורה היטב‬ ‫ע"י היחס <‪ ,‬ותהי ‪ Φ‬תכונה‪.‬‬ ‫אם מתקיים צעד האינדוקציה‪ :‬לכל ‪ ,x ∈ A‬אם כל ‪ y ∈ A‬המקיים ‪ y < x‬הוא‬ ‫בעל התכונה ‪) Φ‬כלומר‪ ,‬אם כל הקודמים ל‪ x-‬ביחס < הם בעלי התכונה ‪ (Φ‬אז‬ ‫גם ‪ x‬הוא בעל התכונה ‪,Φ‬‬ ‫אז קיימת מסקנת האינדוקציה‪ :‬כל איברי ‪ A‬הם בעלי התכונה ‪.Φ‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נוכיח את המשפט בדרך השלילה‪ ,‬ולשם כך נניח שלא כל איברי ‪ A‬הם בעלי‬ ‫התכונה ‪.Φ‬‬ ‫יהי ‪ y ∈ A‬שאינו בעל התכונה ‪ .Φ‬נראה שקיים איבר ‪ b ∈ A‬שהוא הראשון‬ ‫מבין איברי ‪ A‬שאינו בעל התכונה ‪ .Φ‬אם ‪ y‬אינו הראשון שאינו בעל התכונה‬ ‫‪ Φ‬אז המחלקה ‪ B‬של איברי ‪ A‬הקודמים ל‪ y-‬שאינם בעלי התכונה ‪ Φ‬אינה‬ ‫ריקה‪ .‬מחלקה זאת חלקית למחלקת איברי ‪ A‬שהיא קבוצה לפי תנאי א' ולכן‬ ‫היא קבוצה ויש לה איבר ראשון ‪ .b‬לפי בחירת ‪ b‬כל איברי ‪ A‬הקודמים ל‪ b-‬הם‬ ‫בעלי התכונה ‪ ,Φ‬בניגוד ל‪ b-‬שאינו בעל התכונה ‪.Φ‬‬ ‫כך קבלנו סתירה לצעד האינדוקציה האומר שאם כל הקודמים לאיבר כלשהו ‪x‬‬ ‫הם בעלי התכונה ‪ Φ‬אז גם ‪ x‬עצמו הוא בעל תכונה זאת‪ .‬‬ ‫‪73‬‬ ‫ראינו את משפט ההגדרה של פונקציה על קבוצה סדורה היטב מבלי שהוא הוכח באופן‬ ‫מלא‪ .‬כאן נביא את המשפט הכללי יותר של הגדרה ברקורסיה על מחלקה סדורה היטב‬ ‫ונוכיח אותו‪.‬‬ ‫הגדרת פונקציה ברקורסיה על מחלקה סדורה היטב‪ :‬תהי ‪ A‬מחלקה סדורה היטב ותהי‬ ‫‪ H‬פונקציה שתחומה היא מחלקת כל הקבוצות שהן פונקציות שתחומן חלקי ל‪.A-‬‬ ‫אז קיימת פונקציה ‪ F‬יחידה שתחומה ‪ A‬המקיימת‪:‬‬ ‫)}‪∀x∈A F (x) = H (F {y ∈ A|y < x‬‬ ‫הוכחה‪ :‬לצורך הוכחה זאת נקרא בשם "פונקציה טובה" לפונקציה ‪ f‬שתחומה הוא רישא‬ ‫של ‪) A‬ולכן תחום ‪ f‬ו‪ f -‬עצמה הם קבוצות( והמקיימת לכל ‪ x‬בתחומה את תנאי‬ ‫הרקורסיה שהוא )}‪.f (x) = H (F {y ∈ A|y < x‬‬ ‫את הפונקציה ‪ F‬נגדיר ע"י היחס )‪ Φ (x, y‬הנתון ע"י "קיימת פונקציה טובה ‪f‬‬ ‫אשר ‪ x‬נמצא בתחומה והמקיימת ‪."f (x) = y‬‬ ‫כעת עלינו להוכיח כי היחס הנתון ע"י )‪ Φ (x, y‬הוא פונקציה שתחומה ‪ A‬ושפונקציה‬ ‫זאת מקיימת את תנאי הרקורסיה‪.‬‬ ‫תהיינה ‪ f, g‬פונקציות טובות‪ .‬נוכיח שאחת מהן מקיפה את חברתה ולכן הן‬ ‫בוודאי מתיישבות‪.‬‬ ‫מכיוון שהתחומים של ‪ f, g‬הם רישות של ‪ A‬אז אחד מהם מקיף את חברו‪ .‬נניח‬ ‫כי ‪ Domf ⊆ Domg‬ונוכיח כי ‪ .f ⊆ g‬לשם כך עלינו להוכיח כי לכל ‪x ∈ Domf‬‬ ‫מתקיים )‪ .f (x) = g (x‬נוכיח את זה באינדוקציה‪.‬‬ ‫הנחת האינדוקציה היא )‪ f (y) = g (y‬לכל ‪ ,y < x‬ולכן = }‪f {y ∈ A | y < x‬‬ ‫}‪ .g {y ∈ A | y < x‬מכיוון ש‪ f, g-‬מקיימות את תנאי הרקורסיה אז‪:‬‬ ‫)‪f (x) = H (f {y ∈ A | y < x}) = H (g {y ∈ A | y < x}) = g(x‬‬ ‫ובכך הוכחה מסקנת צעד האינדוקציה‪.‬‬ ‫ממה שכבר ראינו נראה כי נובע שלכל ‪ x ∈ A‬קיים לכל היותר ‪ y‬אחד המקיים‬ ‫)‪ .Φ (x, y‬לשם כך נניח שקיימים ‪ z, y‬כך ש‪ .Φ (x, z) Φ (x, y)-‬אז קיימות‬ ‫פונקציות טובות ‪ f, g‬כך ש‪ .g (x) = z ,f (x) = y-‬אבל מכיוון שכל שתי‬ ‫פונקציות טובות מתיישבות מתקיים ‪.y = f (x) = g(x) = z‬‬ ‫כדי להוכיח שלכל ‪ x ∈ A‬קיים ‪ y‬כך ש‪ ,Φ (x, y)-‬די להוכיח שלכל ‪ x ∈ A‬קיימת‬ ‫פונקציה טובה שתחומה מכיל את ‪ .x‬נעשה זאת באינדוקציה על ‪.x‬‬ ‫הנחת האינדוקציה היא שלכל ‪ u < x‬קיימת פונקציה טובה ‪ g‬שתחומה מכיל את‬ ‫‪ .u‬נגדיר את הפונקציה ‪ j‬על }‪ {u ∈ A | u < x‬על־ידי )‪ j (u) = g (u‬כאשר ‪g‬‬ ‫‪74‬‬ ‫פונקציה טובה כלשהי שתחומה מכיל את ‪ .u‬בכך נתנו ל‪ j (u)-‬ערך יחיד כי כל‬ ‫שתי פונקציות טובות מתיישבות‪.‬‬ ‫נוכיח עתה כי ‪ j‬היא פונקציה טובה‪ .‬תהי ‪ g‬פונקציה טובה שתחומה מכיל את ‪u‬‬ ‫ולכן גם את כל ‪ v‬כך ש‪.v < u-‬‬ ‫כל ‪ v ≤ u‬מקיים ‪ v < x‬ולכן‪ ,‬מכיוון ש‪ g-‬היא פונקציה טובה שתחומה מכיל את‬ ‫‪ ,v‬מתקיים )‪.j (v) = g (v‬‬ ‫לכן }‪ j {y ∈ A | y < u} = g {y ∈ A | y < u‬ומתקיים‪:‬‬ ‫)}‪j (u) = g (u) = H (g {y ∈ A | y < u}) = H (j {y ∈ A | y < u‬‬ ‫כך ראינו ש‪ j-‬פונקציה טובה‪ .‬לכן גם }‪ j ∪ {hx, H (j)i‬היא פונקציה טובה‬ ‫שתחומה מכיל את ‪ ,x‬ובזה סיימנו את הוכחת שלב האינדוקציה‪.‬‬ ‫אם כך ראינו שהיחס )‪ Φ (x, y‬מגדיר פונקציה ‪ F‬שתחומה ‪ ,A‬ונותר להוכיח כי‬ ‫‪ F‬זאת ממלאת אחר תנאי הרקורסיה‪.‬‬ ‫יהי ‪ x ∈ A‬ותהי ‪ g‬פונקציה טובה שתחומה מכיל את ‪.x‬‬ ‫))‪ ,Φ (x, g (x‬וגם לכל ‪ y < x‬מתקיים ))‪.Φ (y, g (y‬‬ ‫ברור שמתקיים‬ ‫מכיוון ש‪ F -‬היא הפונקציה המוגדרת על־ידי היחס )‪ Φ (x, y‬זה אומר ש‪F (x) =-‬‬ ‫)‪ ,g (x‬ולכל ‪ y < x‬מתקיים )‪ ,F (y) = g (y‬ולכן‪:‬‬ ‫}‪F {y ∈ A | y < x} = g {y ∈ A | y < x‬‬ ‫מכיוון ש‪ g-‬פונקציה טובה מתקיים‪:‬‬ ‫)}‪F (x) = g (x) = H (g {y ∈ A | y < x}) = H (F {y ∈ A | y < x‬‬ ‫וזהו תנאי הרקורסיה ל‪ .F -‬‬ ‫המשפט הבא הוא ההכללה למחלקות‪.‬‬ ‫משפט‪:‬‬ ‫‪ .1‬לכל שתי מחלקות סדורות היטב ‪ ,A, B‬קיים איזומורפיזם מאחת מהן על‬ ‫רישא של השניה‪.‬‬ ‫‪ .2‬אם ‪ A‬או ‪ B‬היא קבוצה והשניה מחלקה ממש אז האיזומורפיזם היא מן‬ ‫הקבוצה על רישא של המחלקה‪.‬‬ ‫‪ .3‬אם ‪ A, B‬מחלקות ממש‪ ,‬האיזומורפיזם היא מאחת מהן על השניה‪ ,‬ולכן כל‬ ‫שתי מחלקות ממש סדורות היטב איזומורפיות‪.‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪ .1‬ההוכחה זהה להוכחת המשפט לקבוצות‪.‬‬ ‫‪F −1‬‬ ‫היתה העתקה חח"ע‬ ‫‪ .2‬אילו היתה העתקת הדימיון ‪ F‬לתוך קבוצה‪ ,‬אז‬ ‫של ‪ ,RangeF‬שהיא קבוצה‪ ,‬על ‪ ,DomF‬ולפי אקסיומת ההחלפה היתה‬ ‫‪ DomF‬קבוצה ולא מחלקה ממש‪.‬‬ ‫‪ .3‬אילו העתקת הדימיון היתה מ‪ A-‬על רישא ממש של ‪ ,B‬אז מכיוון שכל‬ ‫רישא ממש של מחלקה סדורה היטב היא קבוצה‪ ,‬זאת היתה איזומורפיזם‬ ‫של מחלקה ממש לתוך קבוצה‪ ,‬וראינו ב‪-‬ב' שזה לא יתכן‪ .‬‬ ‫‪76‬‬ ‫חלק‬ ‫‪VIII‬‬ ‫המספרים הסודרים‬ ‫‪22‬‬ ‫מבוא‬ ‫הוכחנו שאנו יכולים תמיד להשוות שתי קבוצות סדורות היטב‪ .‬כאשר אנו באים להשוות‬ ‫שתי קבוצות סופיות מצבנו נוח‪ ,‬כי איננו צריכים להשוות אותן ישירות זו לזו אלא אנו‬ ‫עושים זאת באמצעות ספירת האיברים של כל אחת מהן‪.‬‬ ‫במספרים הסודרים נעשה שינוי קטן‪ ,‬והוא שנתחיל את הספירה במספר ‪ .0‬לאיבר‬ ‫הראשון נצמיד את המספר הסודר ‪ ,0‬לשני את המספר הסודר ‪ ,1‬וכן הלאה‪ .‬המספר‬ ‫הסודר של הקבוצה כולה יהיה המספר העוקב למספרים הסודרים של איברי הקבוצה‪.‬‬ ‫כך המספרים הסודרים של איברי קבוצה סדורה בת ‪ 3‬איברים הם ‪ ,0, 1, 2‬והמספר‬ ‫הסודר של הקבוצה הוא ‪ .3‬השוואת הקבוצות נעשית עתה ע"י השוואת המספרים‬ ‫הסודרים שלהן‪.‬‬ ‫ניגש עתה לעשות את אותו הדבר גם לקבוצות סדורות היטב אינסופיות‪ ,‬כלומר נגדיר‬ ‫מושג של מספר סודר גם לקבוצות כאלו‪ ,‬ואז נדע כי הקבוצה ‪ A‬איזומורפית לרישא של‬ ‫‪ B‬אמ"מ המספר הסודר של ‪ A‬קטן או שווה לזה של ‪.B‬‬ ‫ניגש עתה לספירת קבוצת כל המספרים הטבעיים לפי הסדר באותו האופן בו ספרנו את‬ ‫איברי הקבוצות הסופיות‪ .‬בספירת המספרים הטבעיים המספר הסודר של כל מספר הוא‬ ‫המספר עצמו ובתום הספירה עלינו לתת לקבוצה את המספר העוקב למספרים הסודרים‬ ‫של איבריו‪ .‬הבעיה בספירת קבוצת כל המספרים הטבעיים היא שלא קיים מספר טבעי‬ ‫העוקב לכל המספרים הטבעיים‪ ,‬למטרה זאת נמציא מספר סודר חדש ונסמנו ‪) ω‬אומגה(‪.‬‬ ‫זה יהיה המספר העוקב לכל המספרים הטבעיים והוא יהיה המספר הסודר של קבוצת‬ ‫המספרים הטבעיים‪ .‬נתבונן עתה בקבוצה הסדורה היטב )‪ (1, 2, ..., −1‬ונספור את‬ ‫איבריה‪ ,‬כאשר עברנו על כל המספרים הטבעיים נגמרו לנו מספרים אלו ועלינו להתאים‬ ‫ל‪ −1-‬הבא אחריהם את המספר הבא‪ ,‬שהוא יהיה ‪.ω‬‬ ‫לקבוצה כולה עלינו להתאים את המספר העוקב ל‪ ω-‬ומכיוון שאין לנו מספר כזה‬ ‫עלינו להמציא אותו‪ .‬נראה עתה דרך שיטתית ליצירת כל המספרים הדרושים‪ .‬לשם‬ ‫כך נתבונן בדרך בה נעשה הדבר לקבוצות סופיות‪ .‬עד עתה קיבלנו בקורס זה את‬ ‫המספרים הטבעיים כעצמים שבאו לתורת הקבוצות מבחוץ‪ .‬כעת נראה שאנו יכולים גם‬ ‫להגדיר אותם כקבוצות מסויימות‪ ,‬בהתאם לרצון לפתח את כל המתמטיקה בתוך תורת‬ ‫הקבוצות‪.‬‬ ‫ארנסט צרמלו הגדיר את המספרים הטבעיים באופן הבא‪ .∅, {∅} , {{∅}} , ... :‬כלומר‬ ‫הם מתחילים במספר ‪ 0‬שמוגדר כקבוצה הריקה ∅‪ ,‬ולכל מספר טבעי ‪ ,n‬העוקב שלו‬ ‫הוא קבוצת היחידון }‪ .{n‬קשה למצוא יחס סדר בקבוצה זו )אך זה אפשרי(‪ .‬אנו נעדיף‬ ‫‪77‬‬ ‫את ההגדרה הבאה של המספרים הטבעיים‪ ,‬שאותה נוכל להרחיב באופן טבעי לצורך‬ ‫ההגדרה של מספרים סודרים‪.‬‬ ‫ג'ון פון־נוימן הגדיר את המספרים הטבעיים באופן הבא‪ .∅, {∅} , {∅, {∅}} , ... :‬כלומר‬ ‫כל מספר טבעי ‪ n‬הוא הקבוצה }‪.{0, 1, 2, ..., n − 1‬‬ ‫הגדרה זו מאפשרת להמשיך להגדיר מספרים סודרים מעל למספרים הטבעיים באופן‬ ‫הבא‪:‬‬ ‫המספר הראשון שמעבר לכל המספרים הטבעיים יהיה קבוצת כל המספרים הטבעיים‬ ‫שנסמן }‪ .ω = {0, 1, 2, ...‬העוקב של ‪ ω‬יהיה‪ ,‬כהמשך טבעי להגדרה של פון־נוימן‪,‬‬ ‫האיבר }‪ ,ω 0 = {0, 1, 2, ..., ω‬העוקב של ‪ ω 0‬יהיה } ‪ ,ω 00 = {0, 1, 2, ..., ω, ω 0‬וכן הלאה‪.‬‬ ‫למספרים האלה שנקבל נקרא מספרים סודרים‪ ,‬או בקיצור סודרים‪.‬‬ ‫נראה כעת מהן התכונות של המספרים של פון נוימן ונלמד מהן כיצד להגדיר את מושג‬ ‫המספר הסודר‪.‬‬ ‫האיברים של מספר ‪ n‬הם כל המספרים ‪ m‬הקטנים ממנו‪ ,‬והאיברים של מספר ‪ m‬הם‬ ‫מספרים הקטנים מ‪ ,m-‬ולכן קטנים גם מ‪ n-‬ומכאן כי הם איברים של ‪ .n‬כלומר‪ ,‬איבר‬ ‫של איבר של ‪ n‬הוא איבר של ‪ .n‬נרצה לשמור על תכונה זו בהגדרת המספרים הסודרים‪.‬‬ ‫כלומר נרצה להשתמש ביחס ה"איברות"‪ ,‬כלומר היחס ∈‪.‬‬ ‫‪23‬‬ ‫סודר‬ ‫הגדרה‪ :‬מחלקה ‪ A‬נקראת טרנזיטיבית אם כל איבר של איבר של ‪ A‬הוא איבר של ‪.A‬‬ ‫כלומר אם לכל ‪ a ∈ A‬מתקיים ‪.a ⊂ A‬‬ ‫איפיון־שקול‪ :‬מחלקה ‪ A‬היא טרנזיטיבית אם מתקיימים שני התנאים הבאים‪:‬‬ ‫‪ .1‬כל איבר של ‪ A‬הוא‬ ‫קבוצה‪9 .‬‬ ‫‪ .2‬לכל ‪ ,a ∈ A‬אם ‪ x ∈ a‬אז ‪.x ∈ A‬‬ ‫‪S‬‬ ‫ו‪A-‬‬ ‫‪T‬‬ ‫טענה‪ :‬אם ‪ A‬קבוצה של קבוצות טרנזיטיביות‪ ,‬אז גם ‪A‬‬ ‫קבוצות טרנזיטיביות‪.‬‬ ‫‪S‬‬ ‫הוכחה‪ :‬אם ‪ u ∈ a ∈S A‬אז יש ‪ B ∈ A‬כך ש‪ u ∈ a ∈ B ∈ A-‬ומטרנזיטיביות ‪B‬‬ ‫נובע כי ‪.u ∈ B ⊆ A‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪ ,u ∈ a ∈ B‬ומטרנזיטיביות ‪B‬‬ ‫מתקיים‬ ‫‪B‬‬ ‫∈‬ ‫‪A‬‬ ‫לכל‬ ‫אז‬ ‫‪u‬‬ ‫∈‬ ‫‪a‬‬ ‫∈‬ ‫אם ∅ =‪A 6‬‬ ‫‪T‬‬ ‫נובע כי ‪ .u ∈ B‬זה מתקיים לכל ‪ B ∈ A‬ולכן ‪ .u ∈ A‬‬ ‫)בהנחה שאינה ריקה(‬ ‫‪9‬עקרונית כל איבר בכל קבוצה הוא קבוצה‪ ,‬אלא שבקורס זה לא ראינו זאת‪.‬‬ ‫‪78‬‬ ‫הגדרה‪ :‬נאמר כי קבוצה ‪ y‬היא מספר סודר או בקיצור סודר‪ ,‬אם מתקיים‪:‬‬ ‫‪ y .1‬קבוצה טרנזיטיבית‬ ‫‪ y .2‬קבוצה סדורה היטב על־ידי היחס ∈‬ ‫נסמן סודרים בדרך־כלל באותיות ‪.α, β, γ, δ‬‬ ‫‪23.1‬‬ ‫תכונות יסודיות‬ ‫משפט‪ :‬כל איבר של סודר הוא סודר‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ α‬סודר ויהי ‪ .b ∈ α‬מטרנזיטיביות ‪ α‬נובע כי ‪ ,b ⊆ α‬ומכאן כי היחס ∈‬ ‫מצומצם ל‪ b-‬מסדר היטב את ‪ ,b‬ולכן מתקיים התנאי השני להגדרת סודר‪.‬‬ ‫נותר להראות כי ‪ b‬קבוצה טרנזיטיבית‪ .‬נשים לב שכל איבר ב‪ b-‬הוא איבר ב‪,α-‬‬ ‫ולכן הוא קבוצה‪ .‬יהיו ‪ .u ∈ v ∈ b ∈ α‬מטרנזיטיביות ‪ α‬נובע ‪ u ∈ v ∈ α‬ולכן‬ ‫‪ ,u ∈ α‬כלומר ‪ u, v, b ∈ α‬ומטרנזיטיביות ∈ נובע ‪ .u ∈ b‬‬ ‫משפט‪ ∅ :‬הוא סודר‪) .‬כל התכונות הנדרשות מתקיימות באופן ריק(‪.‬‬ ‫משפט‪ :‬כל קבוצה טרנזיטיבית חלקית ממש לסודר ‪ ,α‬היא איבר של ‪ .α‬בפרט אם‬ ‫‪ β ⊆ α‬אז ‪ β = α‬או ‪.β ∈ α‬‬ ‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ b $ α‬טרנזיטיבית‪ ,‬ויהי ‪ β‬האיבר הראשון של ‪ .α\b‬נוכיח כי ‪b = β‬‬ ‫באמצעות הכלה הדדית‪ ,‬ומכך נסיק כי ‪.b = β ∈ α‬‬ ‫נראה את ההכלה ‪ :β ⊆ b‬מתקיים כי ‪ β ∈ α‬ולכן ‪ .β ⊂ α‬נשים לב שמכך ש‪β-‬‬ ‫∈ ‪ ,x‬מכאן כי ‪ x ∈ b‬ולכן ‪.β ⊆ b‬‬ ‫הראשון ב‪ α\b-‬אז לכל ‪ x ∈ β‬מתקיים ‪/ α\b‬‬ ‫נראה את ההכלה ‪ :b ⊆ β‬יהי ‪ .x ∈ b ⊆ α‬מתקיים כי ‪ x, β ∈ α‬ולכן הם ניתנים‬ ‫להשוואה ב‪ .∈-‬אם ‪ β ∈ x‬או ‪ β = x‬אז מטרנזיטיביות ‪ b‬נובע כי ‪β ∈ x ∈ b‬‬ ‫ולכן ‪ ,β ∈ b‬בסתירה לבחירת ‪ .β‬מכאן כי ‪ x ∈ β‬ולכן ‪ .b ⊆ β‬‬ ‫משפט‪ :‬אם ‪ α‬סודר אז }‪ α ∪ {α‬סודר‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬הקבוצה }‪ α ∪ {α‬היא קבוצה טרנזיטיבית של סודרים‪ ,‬ולכן מטענה קודמת היא‬ ‫סודר‪ .‬‬ ‫∈ ‪ α‬לכל סודר ‪.α‬‬ ‫משפט‪/ α :‬‬ ‫∈ ‪ ,β‬כי ∈ הוא יחס סדר ולכן אי־רפלקסיבי‪ .‬נניח‬ ‫הוכחה‪ :‬לכל ‪ β ∈ α‬מתקיים ‪/ β‬‬ ‫∈ ‪ ,α‬וזו‬ ‫∈ ‪ .α‬לכן ‪ α ∈ α‬גורר ‪/ α‬‬ ‫בשלילה כי ‪ ,α ∈ α‬נסיק כי בפרט ‪ α‬מקיים ‪/ α‬‬ ‫סתירה‪ .‬‬ ‫משפט‪ :‬לכל זוג סודרים ‪ α, β‬מתקיים כי ‪ β $ α‬אמ"מ ‪.β ∈ α‬‬ ‫‪79‬‬ ‫הוכחה‪) :‬כיוון ראשון( נניח ‪ ,β $ α‬מטרנזיטיביות ‪ β‬כסודר נובע מטענה קודמת כי‬ ‫‪.β ∈ α‬‬ ‫)כיוון שני( נניח כי ‪ ,β ∈ α‬אז מטרנזיטיביות ‪ α‬נובע כי ‪ ,β ⊆ α‬אבל ידוע כי‬ ‫∈ ‪ β‬ולכן בהכרח ‪ .β $ α‬‬ ‫‪/β‬‬ ‫משפט‪ :‬כל שני סודרים ניתנים להשוואה ביחס ∈‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ α, β‬שני סודרים‪ .‬מתקיים כי ‪ α ∩ β‬טרנזיטיבית וחלקית לשתיהן ולכן היא‬ ‫סודר‪.‬‬ ‫אם ‪ α ∩ β ∈ α‬וגם ‪ ,α ∩ β ∈ β‬אז נקבל כי ‪ ,α ∩ β ∈ α ∩ β‬בסתירה לכך שסודר‬ ‫אינו שייך לעצמו‪.‬‬ ‫לכן בהכרח מתקיימת אחת משתי האפשרויות הבאות‪:‬‬ ‫ ‪ α ∩ β = α‬וגם ‪ ,α ∩ β = β‬ואז ‪ α = β‬וסיימנו‪.‬‬‫ ‪ α ∩ β = α‬וגם ‪ α ∩ β ∈ β‬ואז ‪ ,α ∈ β‬או באופן סימטרי ‪ ,β ∈ α‬וסיימנו‪ .‬‬‫‪T‬‬ ‫משפט‪ :‬אם ‪ A‬מחלקה לא ריקה של סודרים‪ ,‬אז ‪ A‬היא סודר‪ ,‬והיא האיבר המינימלי‬ ‫של ‪ A‬תחת הסדר ∈‪.‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪ α =:‬הוא סודר‪ ,‬שכן הוכחנו שחיתוך כזה הוא קבוצה‬ ‫הוכחה‪ :‬מתקיים כי ‪A‬‬ ‫טרנזיטיבית והצמצום של היחס ∈ ל‪ α-‬הוא סדר טוב‪.‬‬ ‫נשים לב שלכל ‪ β ∈ A‬מתקיים ‪ ,α ⊆ β‬ולכן ממשפט קודם נובע כי ‪ α = β‬או‬ ‫‪.α ∈ β‬‬ ‫האיבר המינימלי של ‪ ,A‬אחרת מתקיים‬ ‫אם יש ‪ β ∈ A‬כך ש‪ α = β-‬אז ‪T β‬‬ ‫‪ α ∈ β ∈ A‬לכל ‪ β ∈ A‬ולכן ‪ ,α ∈ A = α‬בסתירה לכך שסודר לא שייך‬ ‫לעצמו‪ .‬‬ ‫משפט‪ :‬מחלקת כל הסודרים שנסמן ‪ On‬סדורה היטב על־ידי ∈‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬כדי להראות שקבוצה סדורה היטב יש להראות כי מוגדר עליה יחס סדר‪,‬‬ ‫כלומר אי־רפלקסיבי וטרנזיטיבי‪ ,‬וכן שהסדר הזה מלא‪ ,‬כלומר כל זוג איברים‬ ‫ניתן להשוואה‪ ,‬וכן שלכל תת־קבוצה שלה יש איבר מינימלי‪.‬‬ ‫ יחס הסדר שמוגדר על ‪ On‬באמצעות ∈ הוא אי־רפלקסיבי כי הוכחנו שתמיד‬‫∈ ‪ α‬וטרנזיטיבי מטרנזיטיביות הסודרים‪ ,‬שכן אם ‪ α ∈ β ∈ γ‬אז ‪.α ∈ γ‬‬ ‫‪/α‬‬ ‫ הוכחנו שכל זוג סודרים ניתן להשוואה ביחס ∈‪ ,‬ולכן זה סדר מלא‪.‬‬‫‪T‬‬ ‫ קיום איבר מינימלי נובע מכך שהוכחנו כי ‪ A‬מינימלי לכל קבוצה ‪ A‬לא ריקה‬‫של סודרים‪ .‬‬ ‫מסקנה‪ :‬כל קבוצה טרנזיטיבית של סודרים היא סודר‪.‬‬ ‫‪80‬‬ ‫הוכחה‪ :‬הטרנזיטיביות נתונה‪ ,‬ומכיוון שהיא חלקית למחלקת הסודרים‪ ,‬צמצום הסדר ∈‬ ‫של מחלקת הסודרים אליה מהווה סידור היטב שלה ב‪ .∈-‬‬ ‫‪S‬‬ ‫מסקנה‪ :‬אם ‪ A‬מחלקה לא ריקה של סודרים‪ ,‬אז ‪ A‬היא סודר‪ ,‬והיא החסם העליון‬ ‫של ‪ A‬תחת הסדר ∈‪ .‬כלומר הוא הסודר הראשון שגדול או שווה מכל הסודרים‬ ‫ב‪.A-‬‬ ‫‪S‬‬ ‫הוכחה‪ :‬מתקיים כי ‪ A‬הוא סודר‪ ,‬שכן הוכחנו שאיחוד של קבוצות טרנזיטיביות הוא‬ ‫קבוצה טרנזיטיבית‪ ,‬ומכיוון שכל איבריה סודרים נסיק ממשפט קודם שהיא סודר‪.‬‬ ‫קל לראות שזה חסם מלעיל‪ ,‬נראה שהוא חסם מלעיל מינימלי‪ .‬אם ‪ β‬סודר‬ ‫⊆ ‪ γ‬לכל ‪ ,γ ∈ A‬ולכן‬ ‫המקיים‪ γ ∈ βS‬לכל ‪ ,γ ∈ A‬נובע מטענה קודמת כי ‪S β‬‬ ‫‪ . A ⊆ β‬שוב לפי אותה טענה קודמת נסיק כי ‪ . A ∈ β‬‬ ‫מסקנה‪ :‬מחלקת הסודרים ‪ On‬היא מחלקה ממש‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬לו ‪ On‬הייתה קבוצה אז היא הייתה סודר‪ ,‬שכן היא טרנזיטיבית ומוגדר עליה‬ ‫יחס סדר טוב ∈‪ .‬לכן היא עצמה מוכלת בקבוצת כל הסודרים ‪ ,On‬כלומר‬ ‫‪ ,On ∈ On‬וזאת בסתירה לכך שאף סודר לא מוכל בעצמו‪ .‬‬ ‫‪23.2‬‬ ‫מיון כל הסודרים‬ ‫הסודרים כולם מתחלקים לשלושת הסוגים הבאים‪:‬‬ ‫• הסודר ∅‬ ‫‪n‬‬ ‫‪o‬‬ ‫• כל הסודרים העוקבים‪ .‬כלומר }‪α ∈ On|∃β∈On α = β ∪ {β‬‬ ‫• כל הסודרים הגבוליים‪ .‬כלומר כל הסודרים שאינם ∅ ואינם עוקבים‪.‬‬ ‫משפט‪ α :‬סודר גבולי אמ"מ ∅ =‪ α 6‬וגם לכל ‪ β ∈ α‬קיים ‪ γ‬כך שמתקיים ‪β ∈ γ ∈ α‬‬ ‫)שלושתם שונים(‪.‬‬ ‫הוכחה‪) :‬כיוון ראשון( נניח כי ‪ α‬סודר גבולי‪ .‬כלומר ∅ =‪ α 6‬והוא לא עוקב של אף סודר‬ ‫אחר‪.‬‬ ‫= }‪,β ∪ {β‬‬ ‫מאחר ו‪ α 6= ∅-‬קיים סודר ‪ .β ∈ α‬מאחר ו‪ α-‬אינו עוקב נובע כי ‪6 α‬‬ ‫ולכן בהכרח ‪ .β ∪ {β} ∈ α‬לכן תחת הסימון במשפט נקבל }‪.γ = β ∪ {β‬‬ ‫)כיוון שני( נניח שעבור סודר ‪ α‬מתקיים התנאי במשפט‪ .‬ראשית נתון כי ∅ =‪α 6‬‬ ‫ולכן נותר להראות ש‪ α-‬אינו עוקב‪.‬‬ ‫נניח בשלילה ש‪ α-‬עוקב‪ ,‬כלומר }‪ α = β ∪ {β‬ל‪ β-‬סודר כלשהו‪ .‬לכן מתקיים‬ ‫‪ ,β ∈ α‬ומהתנאי במשפט נובע שקיים סודר ‪ γ‬כך שמתקיים ‪ β ∈ γ ∈ α‬ושלושתם‬ ‫שונים‪ ,‬וזאת בסתירה לכך ש‪ α-‬העוקב של ‪ .β‬‬ ‫‪81‬‬ ‫הגדרה‪ :‬סודר נקרא מספר טבעי אם הוא ∅ או אם כל סודר קטן ממנו הוא ∅ או עוקב‪.‬‬ ‫טענה‪ :‬אם ‪ n‬מספר טבעי קל לראות כי ‪ n + 1‬גם מספר טבעי‪.‬‬ ‫אם ‪ n‬מספר טבעי קל לראות שכל ‪ m < n‬מספר טבעי‪.‬‬ ‫מיון כל הקבוצות הסדורות היטב‬ ‫‪23.3‬‬ ‫נראה כי מיון כל הקבוצות הסדורות היטב זהה למיון כל הסודרים‪.‬‬ ‫משפט‪ :‬כל קבוצה סדורה היטב איזומורפית לסודר יחיד ‪ .α‬סודר זה מכונה טיפוס‬ ‫הסדר של ‪.A‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪ .1‬תהי ‪ A‬קבוצה סדורה היטב‪ .‬נגדיר ברקורסיה פונקציה ‪F : A → On‬‬ ‫להיות }‪ .F (x) = {F (y) |y < x‬כלומר‪ ,‬האיבר המינימלי של ‪ A‬מועתק‬ ‫ל‪ ,∅-‬והאיבר )‪ F (x‬הוא אוסף כל הסודרים המתאימים לאיברים קטנים‬ ‫מ‪.x-‬‬ ‫נוכיח ש‪ F (x)-‬סודר לכל ‪ .x ∈ A‬ראשית לכל ‪ y < x‬הקבוצה )‪F (y‬‬ ‫היא סודר מהנחת האינדוקציה‪ ,‬ולכן }‪ F (x) = {F (y) |y < x‬היא קבוצת‬ ‫סודרים‪ .‬זו קבוצה טרנזיטיבית‪ ,‬כי איבר כללי של )‪ F (x‬הוא )‪ F (y‬עבור‬ ‫‪ y < x‬כלשהו‪ ,‬ולכן מההגדרה נובע‪:‬‬ ‫)‪F (y) = {F (z) |z < y} ⊂ {F (z) |z < x} = F (x‬‬ ‫הקבוצה ) ‪ Range (F‬היא קבוצה טרנזיטיבית שאיבריה סודרים‪ ,‬ולכן היא‬ ‫עצמה סודר‪.‬‬ ‫מתקיים כי ‪ F‬שומרת סדר‪ ,‬שכן אם ‪ y < x‬אז )‪ F (y) ⊂ F (x‬כפי שנובע‬ ‫מההגדרה‪ .‬לכן ‪ F‬איזומורפיזם של ‪ A‬על הסודר ) ‪ Range (F‬שנסמן ‪.α‬‬ ‫‪ .2‬נראה כי ‪ α‬יחיד‪ .‬נניח בשלילה כי ‪ A‬איזומורפית לזוג סודרים ‪α, β‬‬ ‫המקיימים ‪ .β ∈ α‬באופן כללי מתקיים כי ‪ β‬היא קבוצה סדורה היטב‬ ‫ולכן היא איזומורפית לרישא ממש של הקבוצה הסדורה היטב ‪ ,α‬ומכאן‬ ‫נקבל כי ‪ A‬איזומורפית גם ל‪ α-‬וגם לרישא ממש של ‪ ,α‬וזאת סתירה‪ .‬‬ ‫משפט‪ :‬יהיו ‪ A, B‬קבוצות סדורות היטב‪ ,‬שאיזומורפיות לסודרים ‪ α, β‬בהתאמה‪.‬‬ ‫אזי ‪ B‬איזומורפית לרישא )ממש( של ‪ A‬אמ"מ ‪) β ∈ α‬ממש‪ ,‬בהתאמה(‪.‬‬ ‫למה‪ :‬אם ‪ F : A → B‬איזומורפיזם של קבוצות סדורות היטב ונניח כי ‪A0 ⊂ A‬‬ ‫רישא ממש של ‪ ,A‬אז ] ‪ F [A0‬רישא ממש של ‪.B‬‬ ‫‪82‬‬ ‫הוכחה‪ :‬ראשית נראה כי ] ‪ F [A0‬רישא של ‪ .B‬יהיו ] ‪ ,u < v ∈ G [A0‬נרצה‬ ‫להראות ] ‪.u ∈ F [A0‬‬ ‫מהנתון ] ‪ v ∈ F [A0‬נובע שיש ‪ x ∈ A0‬כך ש‪ .v = F (x)-‬מכיוון ש‪ F -‬על‬ ‫‪ B‬נובע שיש ‪ y ∈ A‬כך ש‪.u = f (y)-‬‬ ‫נניח בשלילה כי ‪ ,x ≤ y‬אז נקבל כי ‪ ,v = F (x) ≤ F (y) = u‬בסתירה‬ ‫להנחה ‪ ,u < v‬ולכן בהכרח ‪ .y < x‬מהנתון ש‪ A0 -‬רישא נובע כי ∈ ‪y < x‬‬ ‫‪ A0‬אז ‪ y ∈ A0‬ולכן ] ‪ ,u = F (y) ∈ F [A0‬כנדרש‪ .‬‬ ‫הוכחה‪ :‬יהיו ‪ G : β → B ,F : α → A‬איזומורפיזמים‪.‬‬ ‫‪.F G−1‬‬ ‫מתקיים כי‬ ‫ראשון( אם ‪ ,β ∈ α‬נתבונן באיזומורפיזם ‪: B → A‬‬ ‫)כיוון‬ ‫‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫]‪ .F G [B] = G F [B] = G [β‬מהלמה נובע כי ]‪ G [β‬רישא של ‪ ,B‬ולכן‬ ‫‪ GF −1‬היא איזומורפיזם של ‪ B‬על רישא של ‪.A‬‬ ‫)כיוון שני( נניח כי ‪ H : B → A0‬איזומורפיזם‪ ,‬כאשר ‪ A0 ⊂ A‬רישא‪ .‬מתקיים כי‬ ‫)‪ ,Range (G) = B = Dom (H‬ולכן ההעתקה ‪ HG : β → α0‬היא איזומורפיזם‪,‬‬ ‫כאשר ‪ α0‬היא טיפוס הסדר של ‪ ,A0‬ולכן ‪ ,α0 ∈ α‬ומכאן כי ‪ β‬הוא טיפוס הסדר‬ ‫של רישא של ‪ .α‬‬ ‫‪23.4‬‬ ‫משפט הרטוגס‬ ‫הגדרה‪ :‬יהי ‪ <A‬יחס כלשהו על ‪ ,A‬ותהי ‪ F : A → B‬העתקה חח"ע ועל‪.‬‬ ‫נאמר כי היחס המושרה על ‪ B‬על־ידי ‪ <A‬באמצעות ‪ ,F‬הוא היחס המסומן ‪<B‬‬ ‫המוגדר להיות‪:‬‬ ‫}‪<B = {F (x) <B F (y) |x <A y‬‬ ‫במקרה שבו ‪ <A‬יחס סדר טוב על ‪ ,A‬אז היחס המושרה ‪ <B‬הוא יחס סדר טוב‬ ‫על ‪.B‬‬ ‫משפט‪ :‬לכל קבוצה ‪ A‬קיים סודר ‪ α‬כך ש‪ .α A-‬כלומר א"א לשכן את ‪ α‬בתוך ‪.A‬‬ ‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה‪ .‬נתבונן בקבוצה ‪ W‬המוגדרת להיות קבוצת כל הסודרים של‬ ‫הסידורים הטובים של קבוצות חלקיות ל‪.A-‬‬ ‫‪S‬‬ ‫נגדיר ‪ β = W‬וכן }‪ .α = β ∪ {β‬מתקיים כי ‪ α‬גדול מכל איברי ‪ ,W‬שכן ‪β‬‬ ‫הוא חסם עליון שלהם‪.‬‬ ‫נניח בשלילה כי ‪ ,α A‬כלומר יש העתקה חח"ע מהצורה ‪.F : α → B ⊂ A‬‬ ‫נתבונן ביחס הסדר הטוב המושרה על־ידי ‪ F‬בקבוצה ‪ ,B‬ותחת יחס זה מתקיים‬ ‫כי ‪ F‬היא איזומורפיזם של הסודר ‪ α‬על קבוצה ‪ B‬סדורה היטב‪ ,‬ולכן ‪ α‬הוא‬ ‫טיפוס הסדר של ‪ ,B ⊂ A‬ומכאן כי ‪ ,α ∈ W‬בסתירה לכך ש‪ α-‬גדול מכל איברי‬ ‫‪ .W‬‬ ‫‪83‬‬ ‫חלק‬ ‫‪IX‬‬ ‫צורות שקולות של אקסיומת הבחירה‬ ‫בפרק זה נראה שאקסיומת הבחירה מופיעה בצורות שונות‪ ,‬מה שמצביע על כך שזאת‬ ‫אקסיומה טבעית של תורת הקבוצות המופיעה בהקשרים רבים ושונים זה מזה‪.‬‬ ‫כפי שראינו בפרק הקודם‪ ,‬עולם הקבוצות שאפשר לסדרן בסדר טוב הוא עולם הרבה‬ ‫יותר נוח מאשר עולם כל הקבוצות‪ .‬כאשר יש סדר טוב על קבוצה הוא מאפשר לנו‬ ‫לטפל באיבריה טיפול אינדיבידואלי בזה אחר זה‪ ,‬וזה מתבטא במיוחד במשפטי ההוכחה‬ ‫באינדוקציה וההגדרה ברקורסיה‪ .‬יתר על כן‪ ,‬כאשר יש סדר טוב על שתי קבוצות אז‬ ‫הן ניתנות להשוואה במובן שקיימת העתקה חד חד ערכית של אחת מהן לתוך השניה‪,‬‬ ‫וכתוצאה מזה הסדר החלקי של העוצמות הופך להיות סדר מלא‪.‬‬ ‫‪24‬‬ ‫משפט הסידור הטוב )אה"ב(‬ ‫לכל קבוצה יש סדר טוב‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה ותהי ‪ C‬פונקציית בחירה על קבוצת החזקה )‪ ,P (A‬ויהי ‪ α‬סודר‬ ‫∈ ‪.end‬‬ ‫המקיים ‪ .α ⊀ A‬קיים כזה ממשפט הרטוגס‪ .‬יהי ‪/ A‬‬ ‫נגדיר ברקורסיה פונקציה }‪ ,F : α → A ∪ {end‬כך שלכל סודר ‪:β ∈ α‬‬ ‫(‬ ‫‪C (A\ {F (γ) |γ ∈ β}) {F (γ) |γ ∈ β} $ A‬‬ ‫= )‪F (β‬‬ ‫‪end‬‬ ‫‪otherwise‬‬ ‫לא ייתכן שלכל ‪ β ∈ α‬מתקיים ‪ ,{F (γ) |γ ∈ β} $ A‬כי אז ‪ F‬חח"ע‪ ,‬כלומר‬ ‫היא שיכון של ‪ α‬בתוך ‪ ,A‬בסתירה לבחירת ‪ .α‬לכן קיים ‪ δ ∈ α‬סודר מינימלי‬ ‫המקיים ‪.F (δ) = end‬‬ ‫לפי הגדרת )‪ F (δ‬מתקיים כי }‪ ,A ⊆ {F (γ) |γ ∈ δ‬ולכן נקבל כי ‪ F δ‬היא‬ ‫שיכון של ‪ δ‬על ‪ .A‬לכן הסדר הטוב של הסודר ‪ δ‬משרה סדר טוב על ‪ ,A‬כלומר‬ ‫‪ A‬סדורה היטב‪ .‬‬ ‫משפט‪ :‬משפט הסידור הטוב גורר את אקסיומת הבחירה‪.‬‬ ‫תהי ‪ A‬קבוצה‪ .‬ממשפט הסידור הטוב נובע שקיים יחס < שמסדר היטב את‬ ‫הוכחה‪S :‬‬ ‫‪. A‬‬ ‫לכל ‪ ∅ 6= X ∈ A‬נגדיר פונקציה ‪ ,C (X) = minimum of X‬ואם ∅ = ‪ X‬אז‬ ‫∈ ‪ a‬כלשהו‪ .‬קל לראות כי ‪ C‬פונקציית בחירה‪ ,‬כנדרש‪ .‬‬ ‫‪ C (X) = a‬עבור ‪/ A‬‬ ‫מסקנה‪ :‬משפט הסידור הטוב שקול לאקסיומת הבחירה‪.‬‬ ‫‪84‬‬ ‫‪25‬‬ ‫משפט השוואת העוצמות‪/‬הקבוצות )אה"ב(‬ ‫כל זוג קבוצות ניתנות להשוואה‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬ממשפט הסידור הטוב‪ ,‬ששקול לאקסיומת הבחירה‪ ,‬נובע כי ניתן לסדר את‬ ‫‪ A, B‬היטב‪ .‬נניח כי ‪ α, β‬הם טיפוסי הסודרים המתאימים‪ ,‬ידוע כי מחלקת כל‬ ‫הסודרים סדורה היטב‪ ,‬ולכן ‪ α, β‬ניתנים להשוואה‪ ,‬והיחס עליהם יקבע בהתאמה‬ ‫את היחס על ‪ .A, B‬‬ ‫משפט‪ :‬משפט השוואת העוצמות‪/‬הקבוצות גורר את אקסיומת הבחירה‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נוכיח שהוא גורר את משפט הסידור הטוב‪.‬‬ ‫תהי ‪ A‬קבוצה כלשהי ויהי ‪ α‬סודר המקיים ‪ .α ⊀ A‬קיים כזה ממשפט הרטוגס‪.‬‬ ‫ממשפט השוואת העוצמות‪/‬קבוצות נובע אם־כן שמתקיים ‪ ,A ≺ α‬כלומר קיים‬ ‫שיכון ‪ .F : A → α‬אם כך ‪ F −1‬משרה סדר טוב על ‪ ,A‬כנדרש‪ .‬‬ ‫מסקנה‪ :‬משפט השוואת העוצמות‪/‬קבוצות שקול לאקסיומת הבחירה‪.‬‬ ‫‪26‬‬ ‫הלמה של צורן )אה"ב(‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה סדורה חלקית‪ .‬אומרים כי קבוצה חלקית ‪ B ⊆ A‬היא שרשרת‪,‬‬ ‫אם ‪ B‬סדורה מלא ביחס הסדר המצומצם אליה‪.‬‬ ‫טענה‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה סדורה חלקית‪ ,‬ישנה שרשרת מקסימלית ‪ B ⊆ A‬סדורה היטב‪.‬‬ ‫כלומר תת־קבוצה סדורה קווית היטב‪ ,‬שאינה חסומה מלעיל ממש בתוך ‪.A‬‬ ‫הוכחה‪ :‬אם ∅ = ‪ A‬נבחר ∅ = ‪ .B‬אם ‪ A‬אינה ריקה‪ ,‬תהי ‪ C‬פונקציית בחירה על‬ ‫)‪ ,P (A‬וכן עבור כל תת־קבוצה ‪ D ⊆ A‬נגדיר את )‪ H (D‬להיות קבוצת החסמים‬ ‫מלעיל ממש של ‪.D‬‬ ‫∈ ‪ end‬ונגדיר ברקורסיה‬ ‫ממשפט הרטוגס קיים סודר ‪ γ‬המקיים ‪ .γ ⊀ A‬יהי ‪/ A‬‬ ‫פונקציה מהצורה }‪ F : γ → A ∪ {end‬להיות‪:‬‬ ‫(‬ ‫∅ =‪C (H (F [β])) for F [β] ⊆ A H (F [β]) 6‬‬ ‫= )‪F (β‬‬ ‫‪end‬‬ ‫‪otherwise‬‬ ‫נגדיר את ‪ δ‬להיות הסודר המינימלי המקיים ‪ δ ≤ γ‬וגם ‪ F [δ] = end‬אם אכן‬ ‫קיים סודר שמקיים שני תנאים אלה‪ ,‬ואחרת נגדיר ‪ .δ = γ‬נוכיח שהפונקציה‬ ‫‪ F δ‬היא שיכון של ‪ δ‬בתוך ‪.A‬‬ ‫ממינימליות ‪ δ‬נובע שקיים סודר ‪ λ < δ‬המקיים ‪ F [λ] ∈ A‬ולכן ‪.F [λ] ⊆ A‬‬ ‫מתקיים כי )‪ F (λ‬חסם מלעיל ממש של הקבוצה }‪ ,{F (α) |α < λ‬ולכן לכל‬ ‫‪85‬‬ ‫‪ β < λ‬מתקיים )‪ .F (β) < F (λ‬קל לראות כי ‪ F δ‬פונקציה שומרת סדר‪,‬‬ ‫ולכן ]‪ F [δ‬היא שרשרת סדורה היטב וכן היא חח"ע‪.‬‬ ‫כעת נשים לב שמבחירת ‪ γ‬שיקיים ‪ γ ⊀ A‬נובע שלא ייתכן ‪ δ = γ‬ולכן ‪.δ < γ‬‬ ‫אבל הראינו כי ‪ F (δ) = end‬ולכן ]‪ F [δ‬היא שרשרת לא חסומה מלעיל ממש‬ ‫ב‪ .A-‬‬ ‫טענה )הלמה של צורן(‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה סדורה חלקית שבה לכל שרשרת יש חסם מלעיל‪,‬‬ ‫אזי יש ב‪ A-‬איבר מקסימלי‪.‬‬ ‫הערה היסטורית‪" :‬הלמה של צורן" אינה "למה"‪ ,‬שכן כפי שנראה היא שקולה לאקסיומת‬ ‫הבחירה‪ ,‬והיא גם לא של המתמטיקאי מקס צורן‪ ,‬שכן מי שהבין לראשונה‬ ‫את השקילות בינה לבין אקסיומת הבחירה היה המתמטיקאי פליקס האוסדורף‪,‬‬ ‫בתחילת המאה ה־‪ .20‬עקרון זה מכונה "הלמה של צורן" מכיוון ששימש בשנות‬ ‫ה‪ 30-‬של המאה ה־‪ 20‬את מקס צורן בהוכחת טענות שונות באלגברה‪ ,‬למשל‬ ‫שלכל מרחב ווקטורי יש בסיס‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬מהטענה הקודמת נובע שקיימת ‪ B ⊆ A‬שהיא שרשרת סדורה היטב שאינה‬ ‫חסומה מלעיל ממש ב‪.A-‬‬ ‫מצד שני‪ ,‬מההנחה בלמה של צורן נובע שלכל שרשרת סדורה היטב יש חסם‬ ‫מלעיל‪ ,‬ולכן קיים ‪ x ∈ A‬חסם מלעיל של ‪ .B‬לכן בהכרח ‪ x‬הוא חסם מלעיל לא‬ ‫ממש‪ .‬כלומר הוא מקסימום של השרשרת הסדורה היטב ‪.B‬‬ ‫כעת נשים לב ש‪ x-‬הוא בהכרח מקסימלי ב‪ ,A-‬שכן לא היה ‪ x < y‬אז ‪ y‬היה‬ ‫בפרט גם חסם מלעיל ממש של ‪ .B‬‬ ‫משפט‪ :‬הלמה של צורן גוררת את אקסיומת הבחירה‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נוכיח שהלמה של צורן גוררת את משפט השוואת העוצמות‪/‬קבוצות ששקול‬ ‫לאקסיומת הבחירה‪.‬‬ ‫‪ .1‬יהיו ‪ A, B‬קבוצות‪ ,‬נרצה למצוא פונקציה חח"ע ‪ .F : A → B‬נגדיר את‬ ‫‪ D‬להיות קבוצת כל הפונקציות החח"ע שתחומן חלקי ל‪ A-‬וטווחן בתוך ‪,B‬‬ ‫ונגדיר סדר חלקי על קבוצה זו באמצעות יחס ההכלה‪.‬‬ ‫‪ .2‬נוכיח שמתקיים התנאי הנדרש בלמה של צורן‪ ,‬שבקבוצה ‪ D‬לכל שרשרת‬ ‫יש חסם מלעיל‪.‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪ S ⊆ S‬שרשרת‪ ,‬נראה כי ‪ S‬הוא חסם מלעיל של ‪ .S‬קל לראות‬ ‫תהי ‪D‬‬ ‫כי ‪ S‬מקיפה‪S‬כל פונקציה ב‪ ,S-‬לכן נותר להראות שהיא עצמה פונקציה‬ ‫משמע קיימות פונקציות ‪G1 , G2 ∈ S‬‬ ‫חח"ע‪ .‬יהיו ‪.hx, yi , hx, zi ∈ SS‬‬ ‫‪S‬‬ ‫המקיימות ‪ hx, yi ∈ G1 ∈ S‬וכן ‪ ,hx, zi ∈ G2 ∈ S‬ולכן אם נניח‬ ‫ללא הגבלת הכלליות ‪) G1 ⊆ G2‬שכן שתיהן שייכות לשרשרת סדורה קווית‬ ‫על־ידי הכלה( נסיק כי ‪ hx, yi , hx, zi ∈ G2‬ולכן מחח"ע ‪ G2‬ינבע כי ‪.y = z‬‬ ‫‪86‬‬ ‫‪ .3‬אם כך‪ ,‬מהלמה של צורן נובע שיש ב‪ D-‬איבר מקסימלי‪ .‬כלומר קיימת‬ ‫פונקציה חח"ׂע ‪ F‬המקיימת ‪ Dom (f ) ⊆ A‬וכן ‪ .Range (F ) ⊆ B‬מהמקסימליות‬ ‫של ‪ F‬נובע שבהכרח מתקיים ‪ Dom (f ) = A‬או ‪ ,Range (F ) = B‬כלומר‬ ‫‪ F‬היא הפונקציה המבוקשת‪ .‬‬ ‫מסקנה‪ :‬הלמה של צורן שקולה לאקסיומת הבחירה‪.‬‬ ‫‪26.1‬‬ ‫קיום בסיס למרחב ווקטורי )שימוש בלמה של צורן(‬ ‫הגדרות‪:‬‬ ‫‪ .1‬יהי ‪ V‬מרחב ווקטורי‪ .‬נגדיר את ‪ v‬כצירוף לינארי של קבוצה ‪ ,W ⊆ V‬אם‬ ‫הוא ניתן לביטוי כסכום סופי של ווקטורים מ‪.W -‬‬ ‫‪ .2‬קבוצה ‪ W ⊆ V‬נקראת בלתי־תלויה אם כל ‪ v ∈ W‬אינו צרוף לינארי של‬ ‫}‪.W \ {v‬‬ ‫קל לראות שתת־קבוצה ‪ W ⊆ V‬היא בלתי־תלויה אמ"מ כל תת־קבוצה‬ ‫סופית שלה היא בלתי־תלויה‪.‬‬ ‫‪ .3‬תת־קבוצה ‪ W ⊆ V‬נקראת בסיס של ‪ ,V‬היא היא בלתי תלויה‪ ,‬וכל ‪v ∈ V‬‬ ‫הוא צרוף לינארי של ‪.W‬‬ ‫משפט )אה"ב(‪ :‬לכל מרחב ווקטורי יש בסיס‪.‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪ .1‬תהי ‪ Q‬קבוצת כל תת הקבוצות הבלתי־תלויות במרחב ‪ ,V‬ונגדיר עליה יחס‬ ‫סדר חלקי על־ידי יחס ההכלה‪.‬‬ ‫‪ .2‬נוכיח שמתקיים בה התנאי הנדרש בלמה של צורן‪ ,‬שלכל שרשרת יש חסם‬ ‫מלעיל‪.‬‬ ‫‪S‬‬ ‫תהי ‪ S‬שרשרת ב‪ .Q-‬נוכיח כי ‪ S‬חסם מלעיל של ‪ .S‬ראשית קל לראות כי‬ ‫בלתי־תלויה ב‪ ,Q-‬לכן נותר להראות שהיא עצמה‬ ‫‪ S‬מקיפה כל תת־קבוצה ‪S‬‬ ‫קבוצה בלתי־תלויה‪ .‬תהי ‪ ,{s1 , s2 , ..., sn } ⊆ S‬נוכיח כי קבוצה זו בלתי־‬ ‫תלויה‪ .‬נשים לב שלכל ‪ 1 ≤ i ≤ n‬קיימת קבוצה ‪ Ti‬המקיימת ‪.si ∈ Ti ∈ S‬‬ ‫אם כך הקבוצה ‪ {T1 , T2 , ..., Tn } ⊆ S‬ולכן סדורה ויש לה איבר מקסימלי‬ ‫‪ Tj‬שמכיל את כל ‪ ,si‬כך שמתקיים ‪ ,{s1 , s2 , ..., sn } ⊆ Tj ∈ S‬ומכיוון‬ ‫ש‪ S-‬בלתי־תלויה נובע כי } ‪ {s1 , s2 , ..., sn‬בלתי־תלויה‪.‬‬ ‫‪ .3‬אם כך‪ ,‬מהלמה של צורן נובע שיש ב‪ Q-‬איבר מקסימלי שנסמן ‪ .P‬מתקיים‬ ‫כי ‪ P ∈ Q‬ולכן ‪ P‬קבוצה בלתי־תלויה‪ .‬נוכיח כי ‪ P‬היא בסיס של ‪.V‬‬ ‫יהי ‪ .v ∈ V‬נניח בשלילה כי ‪ v‬אינו צירוף לינארי של איברים ב‪ ,P -‬אזי‬ ‫הקבוצה }‪ P ∪ {v‬בלתי־תלויה‪ ,‬אבל היא מקיפה את ‪ P‬ולכן זו סתירה‬ ‫למקסימליות ‪ .P‬‬ ‫‪87‬‬ ‫חלק‬ ‫‪X‬‬ ‫הסודרים כעוצמות‬ ‫‪27‬‬ ‫מונים‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה‪ |A| .‬הוא הסודר המינימלי ששווה־עוצמה ל‪.A-‬‬ ‫קל לראות שלכל ‪ ,A‬הסודר |‪ |A‬אינו שווה־עוצמה לאף סודר קטן ממנו‪.‬‬ ‫הגדרה‪ :‬סודר מונה או בקיצור מונה‪ ,‬הוא סודר שאינו שווה־עוצמה לאף סודר קטן ממנו‪.‬‬ ‫קל לראות שהמונים הם העוצמות |‪ |A‬שהגדרנו‪.‬‬ ‫משפט‪ :‬כל סודר סופי הוא מונה‪ ,‬וכן ‪ ω‬מונה‪.‬‬ ‫משפט‪ :‬כל מונה אינסופי הוא סודר גבולי‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ α‬מונה אינסופי‪ ,‬ונניח בשלילה כי ‪ .α = β + 1‬הסודר ‪ β‬בהכרח אינסופי‬ ‫שכן ‪ α‬אינסופי‪ .‬לכן ‪ ω ∈ β‬ומכאן ‪.ω ⊆ β‬‬ ‫מכיוון ש‪ β-‬מקיף קבוצה בת־מניה נובע כי ‪ ,α = β + 1 = β ∪ {β} ≈ β‬כלומר‬ ‫‪ α‬שווה־עוצמה לסודר קטן ממנו‪ ,‬בסתירה להיות ‪ α‬מונה‪ .‬‬ ‫משפט‪ :‬לכל מונה ‪ α‬קיים מונה ‪.α < β‬‬ ‫הוכחה‪ :‬ממשפט הרטוגס נובע שקיים סודר ‪ γ‬שאינו משתכן ב‪ .α-‬נבחר |‪ .β = |γ‬לא‬ ‫ייתכן ‪ β ≤ α‬שכן קיימת העתקה חח"ע של ‪ γ‬על ‪ ,β‬ולכן היינו יכולים לשכן את‬ ‫‪ γ‬בתוך ‪ ,α‬בסתירה לבחירת ‪ .γ‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫משפט‪ :‬אם ‪ A‬קבוצה של מונים אז החסם העליון ‪ A‬מונה‪ .‬נהוג לסמן ‪. A = sup A‬‬ ‫‪S‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נסמן ‪ .α = A‬אם ‪ α ∈ A‬סיימנו‪ .‬אם לא‪ ,‬נסמן |‪ β = |α‬ונוכיח כי ‪.α = β‬‬ ‫אם לכל ‪ γ ∈ A‬מתקיים ‪ ,γ ≤ β‬אז גם ‪ α ≤ β‬ולכן בהכרח ‪ ,α = β‬כלומר ‪α‬‬ ‫מונה‪.‬‬ ‫אם לעומת זאת קיים ‪ γ ∈ A‬המקיים ‪ ,β < γ‬נקבל כי ‪ ,β < γ ≤ α‬ומכיוון‬ ‫ש‪ α ≈ β-‬נסיק כי ‪ ,γ ≈ β‬בסתירה להיות ‪ γ‬מונה‪ .‬‬ ‫‪27.1‬‬ ‫מושג העוצמה )גישה מחודשת(‬ ‫אם מניחים את אקסיומת הבחירה ששקולה למשפט הסידור הטוב‪ ,‬אז כל קבוצה ניתנת‬ ‫לסידור טוב‪ .‬מכיוון שקיים איזומורפיזם בין כל קבוצה סדורה היטב לסודר שלה‪ ,‬משמע‬ ‫כל קבוצה שוות־עוצמה לסודר שלה‪ ,‬ומכאן שהיא שוות־עוצמה למונה המתאים‪.‬‬ ‫‪88‬‬ ‫לכן אנחנו יכולים להגדיר את העוצמה של קבוצה ‪ ,A‬שנסמן |‪ ,|A‬כעוצמת המונה היחיד‬ ‫ששווה־עוצמה ל‪.A-‬‬ ‫‪28‬‬ ‫הפונקציה ‪ℵ‬‬ ‫הגדרה‪ :‬נגדיר ברקורסיה פונקציה ‪ ℵ‬ממחלקת הסודרים למחלקת המונים באופן הבא‪:‬‬ ‫‪ .ℵ0 = ω‬לכל סודר ‪ ,α‬אם ‪ α‬עוקב נסמן ‪ α = β + 1‬ונגדיר‪S‬את ‪ ℵα‬להיות‬ ‫= ‪10 .ℵ‬‬ ‫המונה המינימלי שגדול מ‪ ,ℵβ -‬ואם ‪ α‬גבולי נגדיר }‪{ℵβ |β < α‬‬ ‫‪α‬‬ ‫טענה‪:‬‬ ‫‪ .1‬תהי ‪ F : On → On‬פונקציה המקיימת )‪ F (α) < F (α + 1‬לכל סודר‬ ‫‪ ,α‬ולכל סודר גבולי ‪ β‬מקיימת )‪ F (α) ≤ F (β‬עבור כל ‪ ,α < β‬אזי ‪F‬‬ ‫פונקציה עולה )שומרת סדר(‪.‬‬ ‫‪ .2‬תהי ‪ F : On → On‬פונקציה עולה‪ ,‬אזי לכל סודר ‪ α‬מתקיים )‪α ≤ F (α‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪ .1‬נוכיח באינדוקציה על ‪ γ‬שלכל ‪ α < γ‬מתקיים )‪.F (α) < F (γ‬‬ ‫במקרה ש‪ γ-‬עוקב נסמן ‪ .γ = β + 1‬לכן לכל ‪ α < γ‬מתקיים ‪α ≤ β‬‬ ‫ומהנחת האינדוקציה ומהנתון על ‪ F‬מתקיים = )‪F (α) ≤ F (β) < F (β + 1‬‬ ‫)‪.F (γ‬‬ ‫במקרה ש‪ γ-‬גבולי אז לכל ‪ α < γ‬מתקיים ‪ α + 1 < γ‬ולכן נסיק < )‪F (α‬‬ ‫)‪.F (α + 1) ≤ F (γ‬‬ ‫‪ .2‬נוכיח באינדוקציה על ‪ .α‬עבור ‪ α = 0‬ודאי מתקיים )‪.0 ≤ F (0‬‬ ‫במקרה ש‪ α-‬עוקב נסמן ‪ .α = β + 1‬מהנחת האינדוקציה נובע ≤ ‪β‬‬ ‫)‪ F (β) < F (β + 1) = F (α‬ומכיוון ש‪ α-‬עוקב נובע ≤ ‪α = β + 1‬‬ ‫)‪.F (α‬‬ ‫במקרה ש‪ α-‬גבולי‪ ,‬מהנחת האינדוקציה לכל ‪ β < α‬מתקיים < )‪β ≤ F (β‬‬ ‫)‪ F (α‬ולכן )‪ .α ≤ F (α‬‬ ‫מסקנה‪:‬‬ ‫‪ .1‬הפונקציה ‪ ℵ‬עולה‪ ,‬שכן מתקיים ‪ ℵα < ℵα+1‬לפי ההגדרה‪.‬‬ ‫‪ .2‬לכל סודר ‪ α‬מתקיים ‪.α ≤ ℵα‬‬ ‫‪10‬ביטוי זה אכן מגדיר מונה‪ ,‬כפי שהוכחנו בטענה קודמת‪.‬‬ ‫‪89‬‬ ‫משפט‪ :‬הטווח של הפונקציה ‪ ℵ‬הוא מחלקת כל המונים האינסופיים‪ .‬כלומר כל מונה‬ ‫אינסופי הוא ‪ ℵα‬לסודר אינסופי ‪ α‬כלשהו‪.‬‬ ‫ברור שכל ‪ ℵα‬לסודר אינסופי ‪ α‬כלשהו הוא מונה אינסופי‪ ,‬ולכן נסיק ממשפט‬ ‫זה שיש זהות בין מחלקת המונים האינסופיים לבין מחלקת האלפים‪.‬‬ ‫אם מניחים את אקסיומת הבחירה‪ ,‬אז כל העוצמות הן מונים ולכן כל העוצמות‬ ‫הן בעצם האלפים‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ α‬מונה אינסופי‪ .‬מטענה קודמת מתקיים ‪ α ≤ ℵα‬ולכן הקבוצה } ‪{β|α ≤ ℵβ‬‬ ‫אינה ריקה‪ .‬יהי ‪ β‬הסודר המינימלי המקיים ‪ .α ≤ ℵβ‬נוכיח כי ‪ α = ℵβ‬וזה‬ ‫יספיק כי )‪ .α = ℵβ ∈ Range (ℵ‬נדון בשלושה מקרים‪:‬‬ ‫ אם ‪ β = 0‬אז ‪ α ≤ ℵ0 = ω‬ומאינסופיותו נובע כי ‪.α = ω = ℵ0‬‬‫ אם ‪ β‬עוקב נסמן ‪ ,β = γ + 1‬ומהגדרתו כמינימלי מתקיים ‪ ,ℵγ < α‬ולכן נסיק‬‫מההגדרה כי הסודר ‪ ℵγ+1 = ℵβ‬הוא המונה המינימלי שגדול מ‪ ℵγ -‬ומכאן כי‬ ‫‪ .ℵβ = ℵγ+1 ≤ α‬אבל מתקיים גם אי השוויון ההפוך ולכן ‪.α = ℵβ‬‬ ‫ אם ‪ β‬גבולי‪ ,‬לכל ‪ γ < β‬מתקיים ‪ ,ℵγ < α‬שכן אם היה ‪ γ < β‬המקיים‬‫‪ α ≤ ℵγ‬זו הייתה‪ S‬סתירה למינימליות ‪ β‬ביחס לתכונה הנ"ל‪ .‬לכן מתקיים‬ ‫‪ ,ℵβ = {ℵγ |γ < β} ≤ α‬ושוב מאי השוויון ההפוך נקבל כי ‪ .ℵβ = α‬‬ ‫חיבור אלפים‬ ‫‪28.1‬‬ ‫משפט‪ :‬לכל סודר ‪ α‬מתקיים ‪ ,ℵα + ℵα = ℵα‬או במילים אחרות ‪.ℵα · 2 = ℵα‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪ℵα = ℵα · 1 ≤ ℵα · 2 ≤ ℵα · ℵα = ℵα‬‬ ‫כאשר השוויון האחרון נובע מהמשפט הבא‪.‬‬ ‫מסקנה‪ :‬לכל זוג סודרים ‪ α, β‬מתקיים }‪ ,ℵα + ℵβ = ℵmax{α,β‬ולכל ‪ n‬טבעי מתקיים‬ ‫‪.ℵα + n = ℵα‬‬ ‫למה‪ :‬תהי ‪ hA, <i‬קבוצה סדורה היטב‪ .‬נגדיר יחס סדר ∗< על הקבוצה ‪ A × A‬באופן‬ ‫הבא‪:‬‬ ‫‪ hx, yi <∗ hu, vi‬אם מתקיים }‪ 11 max {x, y} < max {u, v‬או כאשר = }‪max {x, y‬‬ ‫}‪ max {u, v‬אם מתקיים ‪ hx, yi < hu, vi‬בסדר המילוני השמאלי‪.‬‬ ‫מתקיים כי ∗< שהגדרנו הוא סדר טוב על ‪.A × A‬‬ ‫הוכחה נוספת‪ :‬נראה שכל סודר גבולי הוא איחוד של שתי קבוצות סודרים זרות‪,‬‬ ‫שאיזומורפיות לסודר‪ .‬מכיוון שכל מונה הוא סודר גבולי נסיק כי ‪.ℵα = ℵα + ℵα‬‬ ‫‪11‬כאשר בוחרים את הגדול מבין השנים באמצעות הסדר <‪.‬‬ ‫‪90‬‬ ‫הגדרה‪ :‬לכל סודר ‪ α‬ו‪ n-‬טבעי‪ ,‬נגדיר את ‪ α + n‬ברקורסיה על ‪ n‬באופן הבא‪:‬‬ ‫‪ ,α+0 = α‬וכן }‪ .α+(n ∪ {n}) = (α + n)∪{α + n‬אמנם ניתן להגדיר‬ ‫באופן כללי חיבור בין סודרים‪ ,‬ולא רק חיבור של סודרים סופיים‪ ,‬אולם לא‬ ‫נצטרך יותר מזה כאן‪.‬‬ ‫למה‪:‬‬ ‫‪ .1‬לכל ‪ α‬ולכל ‪ m < n‬טבעיים מתקיים ‪.α + m < α + n‬‬ ‫]הוכחה באינדוקציה על ‪[.n‬‬ ‫‪ .2‬לכל ‪ α < β‬סודרים כאשר ‪ β‬סודר גבולי‪ ,‬לכל ‪ n‬טבעי מתקיים‬ ‫‪.α + n < β‬‬ ‫]הוכחה באינדוקציה על ‪ ,n‬ונזכור שסודר ‪ α‬הוא גבולי אמ"מ לכל‬ ‫‪ γ < α‬קיים סודר ‪ δ‬המקיים ‪[.γ < δ < α‬‬ ‫הגדרה‪ :‬נגדיר ברקורסיה פונקציה ‪ lim‬שתחומה הוא מחלקת הסודרים‪ :‬לכל‬ ‫סודר ‪ α‬שהוא ‪ 0‬או גבולי‪ ,‬נגדיר ‪ ,lim (α) = α‬ואם ‪ α‬סודר עוקב נסמן‬ ‫‪ α = β + 1‬ונגדיר )‪.lim (α) = lim (β‬‬ ‫נגדיר ברקורסיה פונקציה ‪ Fin‬שתחומה הוא מחלקת הסודרים‪ :‬לכל סודר ‪α‬‬ ‫שהוא ‪ 0‬או גבולי‪ ,‬נגדיר ‪ ,Fin (α) = 0‬ואם ‪ α‬סודר עוקב נסמן ‪α = β + 1‬‬ ‫ונגדיר ‪.Fin (α) = Fin (β) + 1‬‬ ‫הרעיון של ההגדרות הללו הוא ש‪ lim (α)-‬הוא המספר הגבולי הגדול ביותר שקטן‬ ‫או שווה ל‪ ,α-‬וכן )‪ Fin (α‬הוא השארית‪ ,‬כלומר המרחק של ‪ α‬מסודר גבולי זה‪.‬‬ ‫למה‪:‬‬ ‫‪ .1‬לכל סודר ‪ α‬מתקיים )‪.α = lim (α) + Fin (α‬‬ ‫]הוכחה באינדוקציה על ‪[.α‬‬ ‫‪ .2‬לכל ‪ α, β‬סודרים מתקיים ‪ lim (α) < lim (β)] ⇐⇒ α < β‬או אם‬ ‫)‪ lim (α) = lim (β‬וגם )‪[Fin (α) < Fin (β‬‬ ‫]נובע מהלמה הקודמת‪[.‬‬ ‫משפט‪ :‬כל סודר גבולי ‪ λ‬הוא איחוד של שתי קבוצות סודרים זרות‪ ,‬שכל אחת‬ ‫מהן היא מטיפוס הסודר ‪.λ‬‬ ‫הוכחה‪ :‬עבור }‪ i ∈ {0, 1‬נגדיר פונקציה ‪.Fi (α) = lim (α) + 2 · Fin (α) + i‬‬ ‫כל אחת משתי הפונקציות הללו שומרת סדר לפי הלמה הקודמת‪ ,‬ולכן היא‬ ‫איזומורפיזם של ‪ λ‬על ) ‪ ,Range (Fi‬ומכאן שטיפוס הסדר של ) ‪Range (Fi‬‬ ‫הוא ‪.λ‬‬ ‫נשים לב שטווחי שתי הפונקציות חלקיים ל‪ λ-‬לפי חלק ‪ 2‬של הלמה הראשונה‪,‬‬ ‫ומחלק ‪ 2‬של הלמה השנייה נובע כי אלו קבוצות זרות‪ .‬מחלק ‪ 1‬של הלמה‬ ‫השנייה נובע שאיחוד של שתיהן הוא כל ‪ .λ‬‬ ‫הערה‪ :‬למעשה כל סודר ‪ λ‬הוא איחוד של שתי קבוצות סודרים זרות שכל אחת‬ ‫מהן היא מטיפוס הסודר ‪ λ‬אמ"מ ‪ λ‬הוא ‪ 0‬או גבולי‪.‬‬ ‫‪91‬‬ ‫המשפט האחרון הראה את הכיוון ⇒‪ .‬נראה שאם ‪ λ‬הוא איחוד של שתי‬ ‫קבוצות סודרים שכל אחת מהם מטיפוס הסודר ‪ λ‬אז הן בהכרח לא זרות‪.‬‬ ‫נניח כי ‪ F0 , F1 : λ → λ‬שתי פונקציות שומרות סדר בעלות טווחים זרים‪.‬‬ ‫הראינו שמתקיים עבור פונקציות כאלה )‪ .α ≤ Fi (α‬אם ‪ λ‬הוא עוקב‬ ‫נסמן ‪ ,λ = µ + 1‬ואז מתקיים ‪ ,µ ≤ Fi (µ) < λ‬ולכן בהכרח )‪,µ = Fi (µ‬‬ ‫כלומר ‪ µ‬איבר משותף בטווחי שתי הפונקציות‪ ,‬בסתירה לכך שהם זרים‪ .‬‬ ‫‪28.2‬‬ ‫כפל אלפים‬ ‫משפט‪ℵα · ℵα = ℵα :‬‬ ‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על ‪ .α‬נרצה לסדר את כל איברי ‪ ℵα × ℵα‬בטיפוס סדר ‪ ,ℵα‬ומכך‬ ‫ינבע המשפט‪.‬‬ ‫נגדיר סדר טוב על ‪ ℵα × ℵα‬באמצעות יחס הסדר ∗< שהגדרנו‪.‬‬ ‫תהי ‪ F : ℵα × ℵα → γ‬איזומורפיזם ל‪ γ-‬סודר כלשהו‪ ,‬ויהי ‪ .δ < γ‬מתקיים‬ ‫כי )‪ δ = F (ξ, η‬עבור ‪ . (ξ, η) ∈ ℵα × ℵα‬נגדיר ‪ ζ = max {ξ, η} + 1‬ונגדיר‬ ‫את ‪ W‬להיות קבוצת איברי ‪ ℵα × ℵα‬הקטנים מהזוג )‪ (ξ, η‬בסדר ∗<‪ .‬נשים לב‬ ‫שמתקיים ‪.W ⊆ ζ × ζ‬‬ ‫אם ‪ ζ‬סופי אז גם ‪ W‬סופית‪.‬‬ ‫אם ‪ ζ‬אינסופי‪ ,‬אז מתקיים כי ‪ ζ = β + 1‬או ‪ ζ = η + 1‬ולכן ‪ .ζ < ℵα‬לכן‬ ‫עבור ‪ λ < α‬כלשהו מתקיים ‪ |ζ| = ℵλ‬ולכן נסיק כי ‪.|W | ≤ |ζ| · |ζ| = ℵλ · ℵλ‬‬ ‫מהנחת האינדוקציה נסיק כי ‪ ,ℵλ · ℵλ = ℵλ‬ולכן ‪.|W | ≤ ℵλ < ℵα‬‬ ‫מכאן שבכל מקרה מתקיים ‪ |W | < ℵα‬ולכן ‪ |δ| < ℵα‬כלומר ‪.δ < ℵα‬‬ ‫מכאן שמתקיים ‪ Range (F ) = γ ≤ ℵα‬ומכאן כי ‪ ,ℵα · ℵα ≤ ℵα‬ולכן בהכרח‬ ‫מתקיים שוויון‪ .‬‬ ‫מסקנה‪ :‬לכל זוג סודרים ‪ α, β‬מתקיים }‪.ℵα · ℵβ = ℵmax{α,β‬‬ ‫מסקנה‪:‬‬ ‫‪ .1‬לכל ‪ β ≤ α‬ולכל ‪ 2 ≤ n‬מתקיים‪:‬‬ ‫ ‪ ℵα‬‬ ‫ ‪ℵ β‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪= 2ℵβ‬‬ ‫‪= 2 ℵα‬‬ ‫‪= 2ℵα = (2n )ℵα = 2ℵα‬‬ ‫‪ℵα‬‬ ‫‪ℵα‬‬ ‫‪ .2‬לכל ‪ α‬ולכל ‪ 2 ≤ a ≤ 2ℵα‬מתקיים ) ‪.a(2 ) = 2(2‬‬ ‫‪92‬‬ ‫‪ ℵα‬‬ ‫‪2 ℵα‬‬ ‫‬ ‫‪28.3‬‬ ‫חזקת אלפים )או‪ :‬השערת הרצף(‬ ‫בניגוד לחיבור וכפל של אלפים שנתנו תוצאות ברורות‪ ,‬פעולת החזקה שונה לגמרי‪.‬‬ ‫השאלה התעוררה ביחס ל‪ 2ℵ0 -‬שהיא עוצמת המספרים הממשיים‪ .‬ממשפט קנטור נובע‬ ‫שמתקיים ‪ ,ℵ0 < 2ℵ0‬אולם לא ברור האם ‪ ,2ℵ0 = ℵ1‬כלומר שהעוצמה ‪ 2ℵ0‬היא העוקב‬ ‫של ‪ ℵ0‬ואין עוצמה ביניהן‪.‬‬ ‫השערת הרצף אומרת שמתקיים ‪ ,2ℵ0 = ℵ1‬כלומר עוצמת ‪ 2ℵo‬היא עוצמת המונה העוקב‬ ‫של ‪ ℵ0‬ולא גדולה ממנו‪ .‬השערת הרצף המוכללת אומרת שלכל ‪ α‬מתקיים ‪.2ℵα = ℵα+1‬‬ ‫מייסד תורת הקבוצות גאורג קנטור השקיע מאמצים בניסיון להוכיח את השערת הרצף‪,‬‬ ‫אך נכשל‪ .‬בשנות ה־‪ 40‬של המאה ה־‪ 20‬הוכיח קורט גדל שמאקסיומות תורת הקבוצות‬ ‫אי־אפשר לסתור את השערת הרצף המוכללת‪ ,‬ובשנות ה־‪ 60‬הוכיח פול כהן שמאקסיומות‬ ‫תורת הקבוצות אי־אפשר להוכיח את השערת הרצף המוכללת‪ .‬כלומר השערת הרצף‬ ‫המוכללת אינה תלויה באקסיומות תורת הקבוצות‪.‬‬ ‫‪28.4‬‬ ‫חיבור וכפל אינסופיים )או‪ :‬אי־שוויון צרמלו־קניג; אה"ב(‬ ‫תהי ‪ I‬קבוצת אינדקסים‪ ,‬ויהיו ‪ {bi }i∈I ,{ai }i∈I‬סודרים‪ .‬אם מתקיים ‪ ai < bi‬לכל‬ ‫‪ ,i ∈ I‬אז‪:‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫< ‪ai‬‬ ‫‪bi‬‬ ‫‪i∈I‬‬ ‫‪i∈I‬‬ ‫הערה‪ :‬זו הכללה של משפט קנטור‪ ,‬שכן בהינתן קבוצה ‪ ,A‬נבחר ‪ bj = 2 ,aj = 1‬לכל‬ ‫‪ j ∈ A‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫= |‪|A‬‬ ‫=‪1‬‬ ‫< ‪aj‬‬ ‫= ‪bj‬‬ ‫|‪2 = 2|I‬‬ ‫‪j∈A‬‬ ‫‪j∈A‬‬ ‫‪j∈A‬‬ ‫‪j∈A‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נניח שלכל ‪ i ∈ I‬הקבוצות ‪ Bi ,Ai‬זרות ומקיימות ‪.|Bi | = bi ,|Ai | = ai‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫כדי להראות ‪ i∈I ai < Si∈I bi‬יש להראות שלא קיימת העתקה על מהצורה‬ ‫‪ . i∈I Ai → ×i∈I Bi‬תהי ‪ F‬העתקה כנ"ל ונראה שהיא לא יכולה להיות על‪.‬‬ ‫לשם כך נבנה בשיטת האלכסון איבר ‪ w ∈ ×i∈I bi‬שאינו בתמונה של ‪ .F‬כלומר‬ ‫∈ ‪.w‬‬ ‫] ‪/ F [Ai‬‬ ‫לכל ‪ i ∈ I‬נגדיר את הפונקציה ‪ gi‬שמצומצמת לתחום ‪ Ai‬ושמעתיקה כל איבר‬ ‫לרכיב ה‪ i-‬של התמונה של ‪ F‬שלו‪ .‬כלומר כל ‪ x ∈ Ai‬מועתק על־ידי ‪ F‬לווקטור‬ ‫אינסופי שנסמן )‪ ,(F (x)1 , F (x)2 , ...‬אז עבור ‪ gi‬נגדיר ‪.gi (x) = F (x)i ∈ Bi‬‬ ‫אם־כך התמונה של ‪ gi‬הוא קבוצת הרכיבים ה‪i-‬־ים של ] ‪.F [Ai‬‬ ‫‪93‬‬ ‫מהנתון שמתקיים | ‪ |Ai | < |Bi‬נובע שבהכרח הפונקציה ‪ gi‬אינה על‪ ,‬ולכן‬ ‫∅ =‪ .Bi \Range (gi ) 6‬באמצעות פונקציית בחירה נקבע את ‪ w‬להיות הווקטור‬ ‫האינסופי )‪ (w1 , w2 , ...‬כך שלכל ‪ i ∈ I‬יתקיים ) ‪ .wi ∈ Bi \Range (gi‬קל לראות‬ ‫∈ ‪ w‬ולכן ‪ F‬אינה על‪ .‬‬ ‫שמתקיים כי ] ‪/ F [Ai‬‬ ‫מסקנות‪:‬‬ ‫‪ .1‬מתקיים ‪ ,ℵω < ℵℵω0‬שכן לכל ‪ n ∈ ω‬מתקיים ‪ ,ℵn < ℵω‬ולכן נסיק לפי‬ ‫א"ש צרמלו־קניג‪:‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫= ‪ℵω‬‬ ‫< ‪ℵn‬‬ ‫‪ℵω = ℵℵω0‬‬ ‫‪n∈ω‬‬ ‫‪n∈ω‬‬ ‫‪ℵ‬‬ ‫‪ .2‬מתקיים ‪ ,2ℵ0 6= ℵω‬שכן מצד אחד ‪ 2ℵ0 0 = 2ℵ0 ·ℵ0 = 2ℵ0‬כפי שהראינו‬ ‫לעיל‪ ,‬אולם מצד שני מהמסקנה האחרונה נובע ‪ ,ℵℵω0 > ℵω‬ולכן לא יכול‬ ‫להיות ‪.ℵω = 2ℵ0‬‬ ‫‪94‬‬