תורת הקבוצות — תרגיל בית 4 פתרונות
תורת הקבוצות — תרגיל בית 4
פתרונות
חיים שרגא רוזנר
י"ג בניסן תשע"ד
תקציר
אריתמטיקה של סודרים :חיבור סודרים ,כפל סודרים וחזקות סודרים.
1
חיבור סודרים
בתרגיל זה ,כל המשתנים הרשומים ביוונית הם סודרים .אותיות לטיניות קטנות הן פונקציות.
הגדרה פונקציית סודרים תיקרא מונוטונית אם לכל ,α1 ≤ α2מתקיים ) .f (α1 ) ≤ f (α2
הגדרה פונקציית סודרים תיקרא רציפה אם לכל βגבולי מתקיים
}f (β) = sup {f (γ) : γ < β
תרגיל 1נניח כי fמונוטונית ורציפה β > 0 ,גבולי ,ו־ B ⊆ βמקיימת .sup B = βהוכיחו
).sup {f (γ) : γ ∈ B} = f (β
פתרון מכיוון ש־ fרציפה ,יש להראות כי }.sup {f (γ) : γ ∈ B} = sup {f (γ) : γ < β
מכיוון שהקבוצה משמאל מוכלת בקבוצה מימין ,הסופרמום שלה איננו גדול משל
הקבוצה מימין .נראה כי הוא איננו קטן ממנו ,ולכן שווה לו.
נראה ,אפוא ,כעת כי } .sup {f (γ) : γ ∈ B} ≥ sup {f (γ) : γ < βיהי γ < β
נתון .עלינו למצוא γ 0 ∈ Bכך ש־) .f (γ 0 ) ≥ f (γמכיוון ש־ ,sup B = βקיים
B 3 γ 0כך ש־ ,γ 0 ≥ γומכיוון ש־ fמונוטונית ,מתקיים ) .f (γ 0 ) ≥ f (γאם כן ,אגף
שמאל איננו קטן מאגף ימין ,ולפי ההאמור לעיל גם איננו גדול ממנו ,ולכן שווה לו .
תרגיל 2נניח כי α, β, γסודרים .הפריכו ,על ידי דוגמאות נגדיות,את הטענות הבאות:
.1אם ,β < γאז .β + α < γ + α
.2אם βגבולי ,אז }.β + α = sup {γ + α : γ < β
.3אם βגבולי ,אז β + αגבולי.
.4הפונקציה f (α) = α + βמונוטונית ורציפה.
פתרון
1
,1 < 2 .1אבל .1 + ω = ω ≮ ω = 2 + ω
.2ניקח ) β = ω ,α = 1העיקר ש־ αעוקב ו־ βגבולי( .ואז
}ω + 1 6= ω = sup {γ + 1 : γ < ω
.3ניקח .α = 1
.4הדוגמא הנגדית בסעיף .2
הגדרה יהיו .α ≤ βנגדיר חיסור סודרים כדלהלן.β − α = otp (β \ α) :
תרגיל 3הוכיחו את הטענות הבאות:
.α + (β − α) = β .1
.β − α = 0 ⇐⇒ α = β .2
.β − α > 0 ⇐⇒ α < β .3
פתרון
U
.1נגדיר איזומורפיזם סדר מ־) α (β − αל־:β
(
γ
i=0
= )f (γ, i
α+γ i=1
ברור שזו פונקציה מוגדרת היטב שומרת סדר ,ולכן גם חח"ע .נותר להראות כי
זו פונקציה על .יהי .γ ∈ βאם γ < αאז .f (γ, 0) = γאחרת.α ≤ γ < β ,
אם כן ,γ \ α ⊆ β \ α ,ו־ γ \ αהיא רישא ב־ .β \ αנחפש ב־ β \ αאת
האיבר המתאים ל־ ,γ \ αונסמן את תמונתו על ידי otpבסימון .δאם כן,
,f (δ, 1) = α + δובאינדוקציה על γניתן להראות כי :α + δ = γ
•
•
•
•
אם γ < αזה נכון באופן ריק.
,γ = αואז .δ = 0
0
0
0
γ ,α < γ < βעוקב ) :(γ = γ + 1קיים δמתאים ל־ ,γכך שעל פי
הנחת האינדוקציה ,γ 0 = α + δ 0ואז .γ = γ 0 + 1 = α + δ 0 + 1 = α + δ
γ ,α < γ < βגבולי :בגלל רציפות מתקיים
α + δ = sup {α + δ 0 : δ 0 < δ} = sup {γ 0 : γ 0 < γ} = γ
ובכך הוכחנו את הטענה.
.2נתון כי ,α ≤ βדהיינו .α ⊆ βמתקיים
β − α = 0 ⇐⇒ otp (β \ α) = 0 ⇐⇒ β \ α = ∅ ⇐⇒ α ⊇ β
בהתחשב בהכלה בכיוון ההפוך ,מצאנו כאן שויון .α = β
.3מכיון שנתון ,α ≤ βאז סעיף זה הוא שלילת סעיף .2
2
2
כפל סודרים
תרגיל 4הפריכו ,על ידי דוגמא נגדית ,את הטענות הבאות:
.2 · α = α + α .1
.2נניח β > 0גבולי.β · α = sup {γ · α : γ < β} .
.3נניח .γ · α < β · α .γ < β, α > 0
.4נניח ,β > 0ו־ B ⊆ βהמקיימת .sup {γ · α : γ ∈ B} = β · α .sup B = β
פתרון
.2 · ω = ω 6= ω + ω .1
.ω · 3 = ω + ω + ω 6= ω = sup {γ · 3 : γ < ω} .2
.2 · ω = ω = 3 · ω .3
.4ניקח .β = B = ω ,α = 3החישוב מופיע בסעיף .2
תרגיל 5הוכיחו שלכל αולכל βגבולי α · β ,גבולי ,וגם β · αגבולי.
פתרון נניח כי βגבולי .נניח בשלילה כי α · βעוקב .אם כן ,יש בו איבר אחרוןα · β .
ניתן לתיאור כקבוצה ,α × βעם הסדר המילוני הימני ,ואנו נסמן את האיבר האחרון
המתאים על ידי ) .(γ, δאבל במקרה זה ,גם ,(γ, δ + 1) ∈ α × βוזה איבר גדול
יותר ,כי βגבולי ,ובסתירה לכך שלקבוצה הסדורה α × βיש איבר אחרון.
הדרך להראות כי β · αדומה .
משפט )חילוק סודרים( יהיו α, βסודרים .β > 0 ,אזי קיימים ויחידים γ, δכך ש:
• ,α = βγ + δ
• .δ < β
במקרה זה נסמן .δ = α mod β
תרגיל 6חשבו את .ω + ω mod ω ,ω mod 5
פתרון מתקיים ω = 5ω + 0וכן ,ω + ω = ω · 2 + 0ולכן שתי השאריות בשאלה הן .0
3
חזקות סודרים
תרגיל 7נגדיר ברקורסיה על הטבעיים את הסדרות הבאות:
• .α0 = β0 = ω
• .αn+1 = ω αn
βnω
= .βn+1
.1חשבו את }.sup {βn : n ∈ ω
.2מסמנים } . = sup {αn : n ∈ ωמי מהגבולות יותר גדול?
3
.3הוכיחו כי הוא הסודר αהראשון המקיים .ω α = α
פתרון
.1נחשב את האיברים הראשונים בסדרה:
ω
=
β0
ωω
=
β1
=
β2
2
ω
) (ω ω ) = ω ω·ω = ω (ω
ω
2
2
3
=
) ω (ω
) = ω (ω )·ω = ω (ω
β3
n
ניתן לנחש כי האיבר ה־ nבסדרה הוא ) ,βn = ω (ωואז להראות זאת
ω
באינדוקציה .אם כן ,הגבול של סדרה זו הוא ) .ω (ω
.2לפי האמור בסעיף הקודם ,הגבול של הסדרה βnהוא ,α2ולכן ברור ש־ גדול
יותר.
.3ברור ש־ הוא גבולי ,ולכן } < .ω = sup {ω γ : γמכיוון שפונקציית החזקה
)עבור בסיס גדול מ־ (1היא פונקציה מונוטונית ורציפה ,מתקיים
= }ω = sup {ω αn : n ∈ ω} = sup {αn : n ∈ ω
אם כן הראנו ש־ מקיים הדרוש .נותר להראות כי הוא הקטן ביותר המקיים
זאת.
נניח בשלילה כי קיים > ηהמקיים .ω η = ηברור ש־ .ω < ηמכיוון ש־, > η
קיים nכך ש־ .αn < η ≤ αn+1מכיוון שהחזקה היא מונוטונית במובן החזק
)עבור בסיס גדול מ־ ,(1מתקיים
αn+1 = ω αn < ω η
ביחד מצאנו ,η ≤ αn+1 < ω ηובסתירה להנחה .
4
© Copyright 2024