תורת הקבוצות

‫מרצה‪ :‬ד"ר אסף רינות‪.‬‬
‫תורת הקבוצות‪202 ,‬־‪.88‬‬
‫מסכם‪ :‬בועז מתן‪.‬‬
‫‪26.02.14‬‬
‫מנהלות‬
‫מרצה‪:‬‬
‫אסף רינות־ ‪[email protected]‬‬
‫מתרגל‪:‬‬
‫חיים רוזנר־ ‪[email protected]‬‬
‫שעות‬
‫קבלה‪ :‬ימי ג' מ־‪ ,14:00‬בתאום מראש‪ .‬חדר ‪ 107‬בניין מתמטיקה‪.‬‬
‫אתר הקורס־ ‪settheory.assf rinot.com‬‬
‫ספר מומלץ‪.Jech − Hrbacek/introduction to set theory :‬‬
‫תורת הקבוצות‬
‫תזכורת־‬
‫)< ‪ (A,‬קבוצה סדורה חלקית )קס"ח( )‪ (Poset‬אם‪:‬‬
‫‪ < .1‬אנטי־רפלקסיבי )‪ ¬ (a < a‬לכל ‪.a ∈ A‬‬
‫‪ < .2‬טרנזיטיבי אם )‪ (a < b‬ו־ )‪ (b < c‬אז )‪ (a < c‬לכל ‪.a, b, c ∈ A‬‬
‫דוגמאות‬
‫‪ (N, <) .1‬כאשר < הוא הסדר הרגיל‪ ,‬ו־ }‪ N = {0,1,2,. . .‬המספרים הטבעיים‪.‬‬
‫‪(R, <) , (Q, <) , (Z, <) .2‬‬
‫אמנם ‪ N, Z, Q‬הם מאותו "גודל"‪ ,‬אבל קבוצות סדורות אלה מייצגות סוגים שונים של אינסוף‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬במובן של סדר‪" Z ,‬גדול" מ־ ‪.N‬‬
‫באותו האופן‪" Q ,‬גדול" מ־ ‪.Z‬‬
‫המטרה שלנו היא לפתח את המחלקה הנכונה של סדרים‪ ,‬שבה אפשר להשוות למשל סדרים בני־מניה‪.‬‬
‫‪ .3‬בהינתן קבוצה לא ריקה ‪ (P (X) , $) ,X‬קס"ח‪.‬‬
‫‪ (N, |) .4‬כאשר ‪ ⇐⇒ n | m‬קיים ‪.m = n · k ,k > 1‬‬
‫הגדרה ‪ 0.1‬קס"ח )< ‪ (A,‬היא קבוצה סדורה קווית אם לכל ‪ a, b ∈ A‬שונים מתקיים‪ (a < b) :‬או )‪.(b < a‬‬
‫שימו לב כי לא ייתכן קיום בו־זמנית של שתי האלטרנטיביות‪ ,‬שכן מטרנזיטיביות נהיה חייבים להסיק כי ‪b < b‬‬
‫בסתירה לאנטי־רפלקסיביות‪.‬‬
‫‪ .5‬תהי ‪ f : Q ↔ N‬פונקציית שקילות )חד־חד־ערכית ועל(‪.(bijection) .‬‬
‫לכל ‪ r ∈ R‬נגדיר‬
‫}‪Ar = {f (q) | Q 3 q < r‬‬
‫נשים לב כי )‪ ({Ar | r ∈ R} , $‬סדורה קווית‪.‬‬
‫זוהי תת־קבוצה של )‪ ,P (N‬וכיוון ש־ )‪ (P (N) , $‬קס"ח‪ ,‬גם )‪ ({Ar | r ∈ R} , $‬קס"ח‪.‬‬
‫נוודא את קריטריון ה"קוויות" )לינאריות(‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫נניח ‪ r 6= r‬ממשיים‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫בה"כ‪.r < r ,‬‬
‫‪0‬‬
‫יהי ‪ q ∈ Q‬כך ש־ ‪ ,r < q < r‬אז ‪ q‬מעיד כי ‪,Ar $ Ar0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪o‬‬
‫‪1 .{q | q < r} $ q | q < r 0‬‬
‫שהרי‪,‬‬
‫‪1‬השתמשנו בידע כי )< ‪ (R,‬סדורה קווית‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫תורת הקבוצות‪202 ,‬־‪.88‬‬
‫מסכם‪ :‬בועז מתן‪.‬‬
‫מרצה‪ :‬ד"ר אסף רינות‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 0.2‬נניח )< ‪ (A,‬קס"ח‪ .‬קבוצה ‪ A ⊇ D‬נקראת "שולטת" )‪ (Dominating/conal‬אם לכל ‪ ,a ∈ A‬קיים‬
‫‪ d ∈ D‬כך ש־ ‪ a = d‬או ‪.a < d‬‬
‫למשל־‬
‫‪ N‬קבוצה שולטת ב־ ‪) R‬מה שנקרא ארכימדיות־ לכל מספר טבעי יש מספר ממשי גדול ממנו(‪.‬‬
‫}‪) {N‬סינגלטון( קופינלי ב־ )‪) .(P (N) , $‬קופינלי=שולטת(‪.‬‬
‫אבחנה־‬
‫אם )< ‪ (A,‬קס"ח‪ ,‬ו־ ‪ m‬איבר אחרון ב־ )< ‪ ,(A,‬אז }‪ {m‬שולטת ב־‬
‫)< ‪2 .(A,‬‬
‫הערה ‪ 0.3‬בקבוצה סדורה קווית‪ ,‬אנחנו מקבלים שולטת ⇒⇐ לא חסומה‪.‬‬
‫בקס"ח כללי‪ ,‬זה לא נכון‪ .‬לדוגמא‪ ,‬סכום זר של )<‪ (N,‬עם )<‪.(N,‬‬
‫למה ‪0.4‬‬
‫‪Rasiowa-Sikorski‬‬
‫אם )< ‪ (A,‬קס"ח‪ ,‬ו־ )‪ (Dn | n ∈ N‬סדרה בת־מנייה של קבוצות שולטות בקס"ח‪ ,‬אז קיימת ‪ A ⊇ G‬הסדורה קווית‬
‫על־ידי <‪ ,‬ומקיימת ∅ =‪ G ∩ Dn 6‬לכל ‪.n ∈ N‬‬
‫הוכחה‪ :‬נבנה סדרה }‪ {gn | n ∈ N‬באינדוקציה )רקורסיה‪ ,‬ליתר דיוק‪ .‬יובהר בהמשך הקורס(‪.‬‬
‫בסיס האינדוקציה‪:‬‬
‫יהי ‪ g0 ∈ D0‬כלשהו‪.‬‬
‫צעד האינדוקציה‪:‬‬
‫נניח }‪ {gi | i ≤ n‬כבר הוגדרה עבור ‪ n‬טבעי כלשהו‪.‬‬
‫כיוון ש־ ‪ Dn+1‬שולטת‪ ,‬ניתן למצוא ‪ d ∈ Dn+1‬כך ש־ ‪ gn = d‬או ‪.gn < d‬‬
‫נקח ‪ gn+1‬להיות ‪.d‬‬
‫אז קיבלנו סדרה }‪ {gn | n ∈ N‬כך שלכל ‪:n ∈ N‬‬
‫‪.gn ∈ Dn .1‬‬
‫‪ gn = gn+1 .2‬או ‪.gn < gn+1‬‬
‫מטרנזיטיביות של <‪ G ,‬סדורה קווית‪,‬‬
‫וכמובן ∅ =‪ G ∩ Dn 6‬לכל ‪.n ∈ N‬‬
‫הגדרה ‪ 0.5‬איבר ‪ a ∈ A‬נקרא איבר ראשון בקס"ח )< ‪ ⇐⇒ (A,‬לכל }‪ b ∈ A\ {a‬מתקיים ‪.a < b‬‬
‫הגדרה ‪ 0.6‬איבר ‪ a ∈ A‬נקרא איבר אחרון בקס"ח )< ‪ ⇐⇒ (A,‬לכל }‪ b ∈ A\ {a‬מתקיים ‪.b < a‬‬
‫סדר חלקי על פונקציות‪ :‬נניח ‪ F‬משפחה של פונקציות‪.‬‬
‫עבור פונקציות ‪ ,f, g ∈ F‬נגדיר יחס‪⇐⇒ f ≺ g :‬‬
‫‪.dom (f ) $ dom (g) .1‬‬
‫‪ f (x) = g (x) .2‬לכל ) ‪.x ∈ dom (f‬‬
‫שימו לב כי )≺ ‪ (F,‬קס"ח‪ .‬אם חושבים על פונקציה כאוסף של זוגות סדורים )כלומר מזהים אותה עם הגרף שלה(‪,‬‬
‫אז ≺מתלכד עם ⊂‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 0.7‬קס"ח )< ‪ (A,‬נקראת צפופה אם לכל ‪ a < b‬ב־ ‪ A‬קיים ‪ c ∈ A‬כך ש־ ‪.a < c < b‬‬
‫‪2‬הגדרה של "איבר אחרון" מופיעה בהמשך‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫מרצה‪ :‬ד"ר אסף רינות‪.‬‬
‫תורת הקבוצות‪202 ,‬־‪.88‬‬
‫מסכם‪ :‬בועז מתן‪.‬‬
‫דוגמא‬
‫‪ (Q, <) .1‬קבוצה סדורה קווית‪ ,‬צפופה‪ ,‬ללא איבר ראשון וללא איבר אחרון‪ ,‬ובת־מניה‪.‬‬
‫‪ (R, <) .2‬קבוצה סדורה קווית‪ ,‬צפופה‪ ,‬ללא איבר ראשון וללא איבר אחרון‪ ,‬אבל לא בת־מניה‪.‬‬
‫משפט ‪ 0.8‬משפט קנטור‬
‫אם )‪ (A, /‬סדורה קווית‪ ,‬צפופה‪ ,‬ללא איבר ראשון וללא איבר אחרון‪ ,‬ובת־מנייה‪ ,‬אז )‪ (A, /‬איזומורפית־סדר ל־‬
‫)< ‪.(Q,‬‬
‫כלומר‪ ,‬קיימת ‪ g : Q ↔ A‬חד־חד־ערכית ועל‪ ,‬ולכל ‪.g (a) < g (b) ⇐⇒ a < b :a, b ∈ Q‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ F‬אוסף כל הפונקציות ‪ f : X → Y‬כאשר‪:‬‬
‫‪ X .1‬תת־קבוצה סופית של ‪.Q‬‬
‫‪ Y .2‬תת־קבוצה סופית של ‪.A‬‬
‫‪ f .3‬איזומורפיזם‪ ,‬כלומר ‪ f‬חד־חד־ערכית‪ ,‬על ושומרת סדר‪.‬‬
‫כזכור‪ (F, ≺) ,‬קס"ח‪.‬‬
‫טענה ‪:1‬‬
‫עבור ‪ q ∈ Q‬נסמן‬
‫}) ‪Dq = {f ∈ F | q ∈ dom (f‬‬
‫‪ Dq‬שולטת‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫נניח ‪ f : X → Y‬איבר כלשהו ב־ ‪ ,F‬ונבקש למצוא ‪ d ∈ Dq‬כך ש־ ‪ d = f‬או ‪.f < d‬‬
‫כמובן‪ ,‬שאם ) ‪ ,q ∈ dom (f‬הרי ש־ ‪ f ∈ Dq‬וסיימנו‪.‬‬
‫∈ ‪.q‬‬
‫נניח כעת כי ) ‪/ dom (f‬‬
‫נסתכל על‬
‫}‪X0 = {x ∈ X | x < q‬‬
‫}‪X1 = {x ∈ X | q < x‬‬
‫כיוון ש־ ‪ Q‬סדורה קווית על־ידי היחס <‪ ,‬כך גם תת־הקבוצות הסופיות ‪ X0‬ו־ ‪,X1‬‬
‫ולכן ניתן להגדיר‬
‫∅ =‪X0 6‬‬
‫‪whenever‬‬
‫) ‪m0 = max (X0‬‬
‫∅ =‪X1 6‬‬
‫‪whenever‬‬
‫) ‪m1 = min (X1‬‬
‫<‬
‫<‬
‫כעת‪ ,‬כיוון ש־ )‪ (A, /‬צפופה‪ ,‬ניתן לבחור ‪ a ∈ A‬כך ש־‬
‫‪ f (m0 ) / a‬כאשר ∅ =‪ ,x0 6‬ובנוסף ) ‪ a / f (m1‬כאשר ∅ =‪.x1 6‬‬
‫נגדיר }‪ d : X ∪ {q} → Y ∪ {a‬על־ידי‬
‫(‬
‫‪f (p) , p ∈ X‬‬
‫= )‪d (p‬‬
‫‪a,‬‬
‫‪p=q‬‬
‫‪3‬‬
‫מרצה‪ :‬ד"ר אסף רינות‪.‬‬
‫תורת הקבוצות‪202 ,‬־‪.88‬‬
‫מסכם‪ :‬בועז מתן‪.‬‬
‫הבחירה של ‪ a‬מבטיחה כי הפונקציה ‪ d‬חח"ע‪ ,‬על‪ ,‬שומרת סדר‪,‬‬
‫אזי ‪ ,d ∈ Dq‬ו־ ‪ .f ≺ d‬מש"ל טענה ‪.1‬‬
‫טענה ‪:2‬‬
‫לכל ‪= {d ∈ F | a ∈ Im (d)} ,a ∈ A‬‬
‫‪Da‬‬
‫שולטת‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫נימוק דואלי המשתמש בכך ש־ )< ‪ (Q,‬סדר צפוף‪ .‬מש"ל טענה ‪.2‬‬
‫כיוון ש־ ‪ A, Q‬בנות־מנייה‪ ,‬ניתן להשתמש בלמה של ‪.Rasiowa-Sikorski‬‬
‫כלומר‪ ,‬קיימת ‪ F ⊇ G‬סדורה קווית על־ידי ≺‪,‬‬
‫ובנוסף‪:‬‬
‫∅ =‪ G ∩ Dq 6‬לכל ‪,q ∈ Q‬‬
‫∅ =‪ G ∩ Da 6‬לכל ‪.a ∈ A‬‬
‫נגדיר ‪ g : Q → A‬על־ידי‪:‬‬
‫‪ ⇐⇒ g (q) = a‬קיימת ‪ f ∈ G‬כך ש־ ‪.f (q) = a‬‬
‫טענה ‪ g :3‬מוגדרת היטב‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫בהנתן ‪ ,q ∈ Q‬כיוון ש־ ∅ =‪ ,G ∩ Dq 6‬נובע כי קיים ‪ f ∈ G‬עם ) ‪.q ∈ dom (f‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫כעת‪ ,‬אם ‪ ,f ∈ G‬ו־ ‪ ,q ∈ dom f‬יש להראות כי )‪.f (q) = f (q‬‬
‫‪0‬‬
‫נניח ‪ f, f ∈ G ∩ Dq‬שונות‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫היות ו־ ‪ G‬סדורה קווית‪ ,‬מתקיים בה"כ ש־ ‪.f ≺ f‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪0‬‬
‫ואז‪ ,‬מהגדרת ≺‪ q ∈ dom (f ) $ dom f ,‬ו־ )‪ .f (q) = f (q‬מש"ל טענה ‪.3‬‬
‫טענה ‪ g :4‬על‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫נובע מכך ש־ ∅ =‪ G ∩ Da 6‬לכל ‪ .a ∈ A‬מש"ל טענה ‪.4‬‬
‫טענה ‪ g :5‬חד־חד־ערכית‪ ,‬שומרת סדר‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫נניח ‪ q1 < q2‬ב־‪.Q‬‬
‫יהיו ‪ f1 , f2 ∈ G‬כך ש־ ) ‪.q2 ∈ dom (f2 ) ,q1 ∈ dom (f1‬‬
‫אם ‪ ,f1 ≺ f2‬הרי ש־ ) ‪ ,q1 , q2 ∈ dom (f2‬ואז‬
‫) ‪g (q1 ) = f2 (q1 ) / f2 (q2 ) = g (q2‬‬
‫‪ f2‬שומרת סדר‪ ,‬אז ‪" g‬מקבלת" את זה ממנה‪.‬‬
‫מקרה שני‪ f2 ≺ f1 ,‬או ‪:f2 = f1‬‬
‫אז‬
‫) ‪g (q1 ) = f1 (q1 ) / f1 (q2 ) = g (q2‬‬
‫‪ f1‬שומרת סדר‪ ,‬אז ‪" g‬מקבלת" את זה ממנה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ :‬שנו את ההוכחה הנ"ל והראו כי לכל קס"ח בן־מניה )‪ (A, C‬קיימת העתקה חח"ע שומרת סדר מ־)‪(A, C‬‬
‫ל־)< ‪.(Q,‬‬
‫‪4‬‬
‫תורת הקבוצות‪202 ,‬־‪.88‬‬
‫מרצה‪ :‬ד"ר אסף רינות‪.‬‬
‫מסכם‪ :‬בועז מתן‪.‬‬
‫משפט ‪ 0.9‬משפט קנטור )המפורסם(‬
‫אם ‪ A‬קבוצה בת־מניה של פונקציות מ־ ‪ N‬ל־ }‪ ,{0, 1‬אז קיימת פונקציה }‪ g : N → {0, 1‬כך ש־ ‪ g 6= f‬לכל ‪.f ∈ A‬‬
‫יתר על כן־ })‪ {n | g (n) 6= f (n‬אינסופית לכל ‪.f ∈ A‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ F‬משפחת כל הפונקציות מהצורה }‪ f : X → {0, 1‬כך ש־ ‪ X ⊆ N‬סופית‪.‬‬
‫לכל ‪ f ∈ A‬וכל ‪ n ∈ N‬נתבונן בקבוצה השולטת‪:‬‬
‫})‪D (f, n) = {d ∈ F | ∃k > n : {0, ..., k} = dom (d) , d (k) 6= f (k‬‬
‫אם ניקח ‪ G ⊆ F‬סדורה קווית לפי ≺‪ ,‬ו־ ∅ =‪ G ∩ D (f, n) 6‬לכל ‪ f ∈ A‬ו־ ‪,n ∈ N‬‬
‫אז נוכל להגדיר }‪ g : N → {0, 1‬כמו מקודם‪,‬‬
‫ומתקיים כי })‪ {n | f (n) 6= g (n‬אינסופי לכל ‪.f ∈ A‬‬
‫הגדרה ‪ 0.10‬קבוצה סדורה קווית )< ‪ (A,‬סדורה היטב ‪ well-ordered‬אם לכל תת־קבוצה לא ריקה של ‪ A‬יש איבר‬
‫ראשון‪.‬‬
‫הבחנה‬
‫אם )< ‪ (A,‬סדורה היטב ו־‪ , A ⊇ B‬אז )< ‪(B,‬סדורה היטב‪.‬‬
‫הההכלה ההפוכה איננה נכונה‪ (N, <) :‬סדורה היטב‪ ,‬אך )< ‪(Z,‬־ איננו סדר טוב‪.‬‬
‫הערה ‪ 0.11‬קבוצה סדורה קווית היא סדורה היטב ⇒⇐ איננה מכילה עותק של )‪.Z ∩ (−∞, 0‬‬
‫המטרה־ למצוא נציגים קנוניים של סדרים טובים‪.‬‬
‫נציגים של טיפוסי סדר טובים‪.‬‬
‫מה שבסוף יוביל אותנו למושג שנקרא "סודר"‪.‬‬
‫קבוצות טרנזיטיביות‬
‫הגדרה ‪ 0.12‬קבוצה ‪ A‬נקראת טרנזיטיבית אם לכל ‪ x ∈ A‬ולכל ‪ y ∈ x‬מתקיים ‪.y ∈ A‬‬
‫)‪(y ∈ x ∈ A → y ∈ A‬‬
‫דוגמא‬
‫}}∅{ ‪A = {∅,‬‬
‫זוהי קבוצה עם שני אברים‪ ,‬האיבר הראשון קבוצה ריקה‪ ,‬האיבר השני קבוצה המכילה איבר אחד ־ הוא הקבוצה‬
‫ריקה‪.‬‬
‫‪ A‬קבוצה טרנזיטיבית‪ .‬הוכחה‪ :‬נניח ‪x ∈ A‬‬
‫‪ .1‬אם ∅ = ‪ x‬אז ודאי )באופן ריק( כי לכל ‪ y ∈ x‬מתקיים ‪.y ∈ A‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ ,y ∈ x ,{∅} = x‬אז אכן ‪.y ∈ A‬‬
‫‪5‬‬
‫תורת הקבוצות‪202 ,‬־‪.88‬‬
‫מסכם‪ :‬בועז מתן‪.‬‬
‫מרצה‪ :‬ד"ר אסף רינות‪.‬‬
‫טענה ‪ 0.13‬אם ‪ A‬טרנזיטיבית אז גם }‪ A ∪ {A‬טרנזיטיבית‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח }‪ x ∈ A ∪ {A‬ו־ ‪.y ∈ x‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ ,x ∈ A‬אז היות ו־ ‪ A‬טרנזיטיבית‪ ,‬ומתקיים ‪ ,y ∈ x ∈ A‬הרי ש־ }‪.y ∈ A ⊆ A ∪ {A‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ ,x = A‬אז היות ו־ ‪ ,A = x 3 y‬הרי ש־ ‪.A ∪ {A} ⊇ A 3 y‬‬
‫טענה ‪ A 0.14‬טרנזיטיבית ⇒⇐ לכל ‪.x ⊆ A ,x ∈ A‬‬
‫טענה ‪ A 0.15‬טרנזיטיבית ⇒⇐ לכל ‪.x ∈ P (A) ,x ∈ A‬‬
‫טענה ‪ A 0.16‬טרנזיטיבית ⇒⇐ )‪.A ⊆ P (A‬‬
‫טענה ‪ 0.17‬אם ‪ F‬משפחה של קבוצות טרנזיטיביות‪ ,‬אז }‪F = {x | ∀A ∈ F : x ∈ A‬‬
‫‪T‬‬
‫טרנזיטיבית‪.‬‬
‫‪T‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ ,x ∈ F‬ונניח ‪.y ∈ x‬‬
‫‪T‬‬
‫נבקש להראות כי ‪. F 3 y‬‬
‫לשם כך‪ ,‬נקבע ‪ A ∈ F‬שרירותית‪ ,‬ונבקש להראות כי ‪.y ∈ A‬‬
‫‪T‬‬
‫כיוון ש־ ‪,x ∈ A ,x ∈ F‬‬
‫כיוון ש־ ‪ A‬טרנזיטיבית ‪ ,y ∈ A‬כמבוקש‪.‬‬
‫טענה ‪ 0.18‬אם ‪ F‬משפחה של קבוצות טרנזיטיביות‪ ,‬אז }‪F = {x | ∃A ∈ F : x ∈ A‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח ‪F‬‬
‫‪S‬‬
‫∈ ‪ x‬ו־ ‪.y ∈ x‬‬
‫יהי ‪ A ∈ F‬כך ש־ ‪.x ∈ A‬‬
‫היות ו־ ‪ A‬טרנזיטיבית‪ ,‬מתקיים ‪ ,y ∈ A‬ואז ‪F‬‬
‫‪S‬‬
‫∈ ‪.y‬‬
‫‪S‬‬
‫טענה ‪ A 0.19‬טרנזיטיבית ⇒⇐ ‪. A ⊆ A‬‬
‫‪6‬‬
‫‪S‬‬
‫טרנזיטיבית‪.‬‬