‫המחלקה להנדסת תכנה‬ ‫חורף ‪2102-01‬‬ ‫מכללת אורט בראודה‬ ‫אלגוריתמים ומבנה נתונים‬ ‫תרגיל בית מספר ‪2‬‬ ‫תאריך הגשה‪ :‬יום ה' ‪ ,22.00.00‬אלי לדוא"ל‬ ‫יש לכתוב פתרונות קצרים‪ ,‬מדויקים וברורים‪ .‬פתרונות בלתי ברורים יגררו הורדת נקודות‪.‬‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫נתון מערך ‪ A‬בעל ‪ n‬מספרים שלמים בטווח של ‪ 1‬עד ‪ .k‬הציעו מבנה נתונים אשר יאפשר לענות על השאילתה‬ ‫הבאה ב – )‪ .O(1‬בהינתן שני מספרים ‪ a‬ו – ‪ b‬כמה מספרים נמצאים בטווח ]‪.[a,b‬‬ ‫נתחו את סיבוכיות הזמן והמקום של מבנה הנתונים שהצעתם ונמקו את זמן השאילתה‪.‬‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫כידוע ישנם שלושה סוגי סריקות של עצים‪ :‬תחילי )‪ ,(preorder‬תוכי )‪ ,(inorder‬סופי )‪ .(postorder‬בד"כ‬ ‫כותבים ביטויים מתמטיים בכתיב תוכי‪ .‬מחשבון ‪ HP‬מקבל קלט כביטוי סופי‪ ,‬שפות כמו ‪ Lisp‬ו‪Scheme-‬‬ ‫עובדות עם ביטויים תחיליים‪ .‬פונקציות כתובות כביטוי תחילי‪ ,‬קודם שם הפונקציה ואז הארגומנטים‪ .‬הדוגמא‬ ‫הבאה היא של עץ ביטויים‪ .‬הפעולות מיוצגות בצמתים פנימיים‪ ,‬והערכים בעלים‪ .‬סריקה תוכית של העץ תיתן‬ ‫את הביטוי הבא‪:‬‬ ‫‪a * b + c – d * e – f- g + h – i / j *k * l‬‬ ‫בכדי שסדר העדיפויות יהיה ברור ניתן לשים סוגריים‪ .‬הסוגריים באים רק בכדי להראות את סדר הפעולות אבל‬ ‫אינם חלק מהעץ‪.‬‬ ‫)))‪((((a * b) + ((c – d) * e)) – f) – ((g + ((h – i) / j)) * (k * l‬‬ ‫‬‫‬‫*‬ ‫‪f‬‬ ‫*‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫*‬ ‫‪l‬‬ ‫‪k‬‬ ‫*‬ ‫‪g‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫א‪ .‬ה אם ניתן לשחזר את העץ מתוך הסריקה התוכית שנתונה למעלה (עם הסוגריים)‪ .‬אם כן‪ ,‬יש לתת‬ ‫אלגוריתם לשחזור העץ‪ .‬אם לא יש להוכיח מדוע לא ניתן (לתת דוגמא נגדית)‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫יש לתת את הסריקה התחילית והסופית של עץ הביטויים שלמעלה‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫יש לכתוב פונקציה בשם ‪ CalcTree‬המקבלת מצביע לעץ ‪ ,T‬ומחזירה את הערך שצריך להיות בראש‬ ‫העץ‪ .‬הפונקציה תהיה חלק מהתכנית המורכבת באופן הבא‪:‬‬ ‫המחלקה להנדסת תכנה‬ ‫חורף ‪2102-01‬‬ ‫מכללת אורט בראודה‬ ‫אלגוריתמים ומבנה נתונים‬ ‫‪ .0‬הגדרת צומת בעץ‪:‬‬ ‫{ ‪typedef struct node‬‬ ‫{ ‪union t‬‬ ‫;‪char oper‬‬ ‫;‪int number‬‬ ‫;}‬ ‫)‪// leaf == 1 (int in union), ==0 (oper in nonleaf‬‬ ‫;‪int leaf‬‬ ‫;‪struct node * left, right‬‬ ‫;‪} NODE‬‬ ‫‪ .2‬פונקציה שתקרא ביטוי תוכי (עם סוגריים) – ותבנה ממנו עץ‪.‬‬ ‫)‪NODE * BuildTree( char *expression‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫הפונקציה תהיה לא רקורסיבית‪ ,‬ותשתמש במחסנית בכדי לחשב את הביטוי שנמצא בעץ‪.‬‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫נתונה מטריצה ריבועית בגודל ‪ n × n‬המקיימת את הכלל‪ ,‬שבכל שורה או עמודה יש לכל היותר איבר אחד‬ ‫בלבד השונה מ‪.1 -‬‬ ‫יש להציע מבנה נתונים למטריצה‪ ,‬כך שמימוש פעולות )‪ get( i, j‬ו‪ put( i, j, x) -‬יהיה בסיבוכיות זמן )‪,O(1‬‬ ‫ובסיבוכיות מקום )‪ .O(n‬בפעולת ‪ put‬אם קיים איבר אחר באותה שורה או עמודה יש לבטל את האיבר הקודם‪,‬‬ ‫כך שהמטריצה תמשיך לקיים את הכלל שלעיל‪.‬‬ ‫הדגימו את המימוש על המטריצה הבאה‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫עבור הפעולות הבאות‪:‬‬ ‫)‪get( 1, 3‬‬ ‫)‪get( 2, 1‬‬ ‫)‪put(3, 2, 6‬‬ ‫שאלה ‪4‬‬ ‫בהינתן צומת ‪ u‬נסמן ב‪ Tree-Successor(u)-‬את העוקב בסדר ‪ in-order‬של ‪ u‬ונסמן ב‪Tree--‬‬ ‫)‪ Predecessor(u‬את הקודם ל‪( u-‬שוב ב ‪.in-order‬‬ ‫הוכח או הפרך‪.‬‬ ‫א‪ .‬יהי ‪ T‬עץ חיפוש בינארי ויהי ‪ u‬צומת בעץ שאינו עלה אז‬ ‫ב‪ .‬יהי ‪ T‬עץ חיפוש בינארי ויהי ‪ u‬צומת בעץ שאינו עלה אז‬ ‫ג‪.‬‬ ‫הוא עלה‬ ‫הוא עלה‬ ‫פעולת המחיקה מעץ חיפוש בינארי היא חילופית (כלומר העץ המתקבל ממחיקת ‪ x‬ולאחריו ‪ y‬הוא‬ ‫אותו העץ כמו למחוק את ‪ y‬ולאחריו את ‪)x‬‬ ‫מכללת אורט בראודה‬ ‫אלגוריתמים ומבנה נתונים‬ ‫ד‪.‬‬ ‫המחלקה להנדסת תכנה‬ ‫חורף ‪2102-01‬‬ ‫אם לצומת בעץ חיפוש בינארי שני בנים‪ ,‬אזי לצומת העוקב (בסדר ‪ )inorder‬אין בן שמאלי ולצומת‬ ‫הקודם (בסדר ‪ )inorder‬אין בן ימני‪.‬‬ ‫בהצלחה!!‬