‫מכללת אורט בראודה‪ ,‬המחלקה להנדסת תכנה‬ ‫א אביב תש"ע‪ ,‬מועד א'‬ ‫‪ - 61145‬מבנה נתונים מ'‬ ‫הערה מקדימה ‪:‬‬ ‫הבחינות נבדקו בקפדנות וגם ברחמנות‪.‬‬ ‫מי שמערער שייקח בחשבון שהבחינה כולה תיבדק שוב‪ ,‬והפעם בקפדנות יתרה‪ ,‬שמשמעותה שנקודות יכולות‬ ‫גם לרדת‪.‬‬ ‫לכן‪ ,‬השתדלו להגיש ערעור רק אם אתם בטוחים בנכונות פיתרונכם‪.‬‬ ‫שאלה ‪ 62 [ 1‬נקודות]‬ ‫‪ .1‬תהי ‪ H‬ערמת מקסימום עם ‪ n‬מפתחות שונים זה מזה‪ .‬תהי ‪ A‬סדרת המפתחות שמתקבלת בסריקת ‪ preorder‬של‬ ‫‪ . H‬רשום מספר מקסימלי עבורו הטענה הבאה עדיין נכונה‪:‬‬ ‫המפתח המינימלי בודאי לא נמצא בין __‪ _log n ‬המפתחות הראשונים ב‪. A -‬‬ ‫כיוון שבסריקה הזו נדפיס לפי הסדר את השורש ונרד שמאלה – בטוח שהמפתח המינימלי הוא עלה‪ .‬כיוון שגובה העץ הוא ‪log‬‬ ‫‪ n‬בדיוק אזי אילו יהיו ערכים שלא נמצאים בעלים עד העלה הראשון שנפגוש‬ ‫‪ .2‬העץ הבא הוא עץ ‪ AVL‬אחרי שהורידו ממנו צומת ולפני הגילגולים‪ .‬יש לתקן את העץ‪ ,‬אם ישנם כמה שלבים יש‬ ‫לשרטט כל שלב בנפרד‪ ,‬ולנמק מדוע התבצע גלגול מסוים‪ ,‬ולהראות את התוצאה‪:‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫צריך לעשות גלגול ‪ RL‬על ‪17‬‬ ‫צריך לעשות גלגול ‪ RL‬על ‪17‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫עמוד ‪ 1‬מתוך ‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ - 61145‬מבנה נתונים מ'‬ ‫מכללת אורט בראודה‪ ,‬המחלקה להנדסת תכנה‬ ‫[עמוד זה הושאר ריק במתכוון]‬ ‫צריך לעשות גלגול ‪ LL‬על ‪11‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫עמוד ‪ 2‬מתוך ‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫א אביב תש"ע‪ ,‬מועד א'‬ ‫מכללת אורט בראודה‪ ,‬המחלקה להנדסת תכנה‬ ‫‪ - 61145‬מבנה נתונים מ'‬ ‫א אביב תש"ע‪ ,‬מועד א'‬ ‫שאלה ‪ 43 [ 6‬נקודות]‬ ‫נגדיר מרחק בין שני צמתים בגרף לא מכוון כמספר הקשתות במסלול הקצר ביותר בין שני הצמתים‪ .‬נגדיר קוטר של גרף לא‬ ‫מכוון להיות המקסימום‪ ,‬על כל זוגות הצמתים בגרף‪ ,‬של המרחק בין שני הצמתים‪.‬‬ ‫בסעיפים הבאים אנו דנים בעצים בינאריים‪ .‬בכל צומת יש שני מצביעים לשני הבנים של הצומת‪ ,‬מצביע לאב של הצומת ושדה‬ ‫אחד נוסף‪.‬‬ ‫א‪ .‬תארו אלגוריתם אשר בהינתן עץ בינארי שלם מוצא את קוטר העץ‪ .‬סיבוכיות הזמן הנדרשת היא )‪ O(log n‬במקרה‬ ‫הגרוע ביותר‪ ,‬כאשר ‪ n‬הוא מספר הצמתים בעץ (אפשר לכתוב ‪ .)pseudo-code‬נמקו מדוע האלגוריתם עומד‬ ‫בסיבוכיות הנדרשת‪.‬‬ ‫תשובה לא מנומקת לא תתקבל‪ .‬אין לחרוג מהמקום המוקצה לפתרון‪.‬‬ ‫בעץ בינארי שלם המרחק הכי רחוק משורש העץ הינו עלה והוא במרחק לוגרתימי בגודל הנתונים‪ .‬לכן‪ ,‬בכדי למצוא את‬ ‫הקוטר יש לרדת עד לעלה‪ .‬עבור כל רמה יש לעלות ב – ‪ 1‬ואז להכפיל את התוצאה בשתיים – מרחק בן שני עלים‬ ‫שמחוברים רק על ידי השורש‪.‬‬ ‫הערות‪ :‬מי שכתב שעושים סריקה (תחילית‪ ,‬תוכית או סופית) לא עומדים כמובן בתנאי השאלה כי זה לינארי‬ ‫מי שכתב שעושים סריקה כו ויוצאים בעלה הראשון זה בסדר – מי שלא כתב את זה‪ ,‬כמו בהערה למעלה – לא קיבל‬ ‫נקודות‪.‬‬ ‫ב‪ .‬תארו אלגוריתם אשר בהינתן עץ בינארי כלשהו מוצא את קוטר העץ‪ .‬סיבוכיות הזמן הנדרשת היא )‪ O(n‬במקרה‬ ‫הגרוע ביותר‪ ,‬כאשר ‪ n‬הוא מספר הצמתים בעץ וסיבוכיות המקום הנוסף היא )‪( O(1‬אפשר לכתוב ‪.)pseudo-code‬‬ ‫נמקו מדוע האלגוריתם עומד בסיבוכיות הנדרשת‪.‬‬ ‫משתמשים במשתנה הנוסף – פעם "הולכים" לימין ומוצאים את העלה הכי רחוק‪ .‬פעם לשמאל ומוצאים את העלה הכי רחוק‪.‬‬ ‫מסכמים את התוצאה של שני הערכים וזה יהיה קוטר העץ‪ .‬כיוון שגרף התשתית של העץ הוא חסר מעגלים יש מסלול אחד‬ ‫בלבד בין שני העלים הרחוקים‪ .‬מכיוון שתוספת המקום היא קבועה לא ניתן להשתמש ברקורסיה‪.‬‬ ‫לכן מודדים את גובה העץ באופן הבא – בכל מקום עושים את המקסימום בין שני הילדים (בשדה הנוסף) ומוסיפים ‪.1‬‬ ‫בשורש תת העץ מסכמים את שני השדות הנוספים של הילדים וזהו הקוטר ‪.‬‬ ‫המרחק יהיה לינארי במקרה הגרוע גובה העץ – כיוון שזהו המקרה הגרוע ביותר‪.‬‬ ‫לגבי הסריקה של עץ האלגוריתם הוא כזה – יש משתנה שנקרא לו ‪ max‬שהוא משתנה שיחזיר את הקוטר ‪ ,‬מאותחל ב‪.1-‬‬ ‫כיוון אי אפשר לעשות רקורסיה – הבעייה השניה היא סריקת העץ – משתמשים במשתנה הנוסף בשביל לדעת מאין באנו‪.‬‬ ‫בכל צומת בה עוברים בפעם הראשונה מסמנים ‪ -1‬בשדה הנוסף‪ ,‬ואז נדע שירדנו שמאלה‪.‬‬ ‫כשמגיעים לצומת שהילד השמאלי שלה ריק מסמנים אותו ב – ‪ ,1‬אם הילד הימני ריק משאירים את התוצאה בצומת‪.‬‬ ‫כשחוזרים מצד שמאל וכתוב ‪ -1‬מחליפים בגובה עד כה שהוא (גובה הבן השמאלי ‪ )1 +‬ועוברים ימינה‪.‬‬ ‫כשחוזרים מצד ימין‪ ,‬רואים שכתוב מספר>‪ ,1‬אז יודעים שחזרנו מימין‪ .‬הגובה מצד ימין יהיה (הגובה של הבן הימני ‪.)1 +‬‬ ‫עכשיו מסכמים את הגובה שחושב מימין ‪ +‬הגובה שרשום משמאל – אם התוצאה גבוהה ממה שרשום ב – ‪ max‬אזי מחליפים‬ ‫אותה עם ‪.max‬‬ ‫בצומת ההיא שמים את המקסימום בין שני הצדדים (זה שרשום וזה שחושב) וממשיכים למעלה‪.‬‬ ‫עוצרים כשבאים מצד ימין וההורה הוא ‪ NULL‬ואז יודעים שסיימנו‪.‬‬ ‫עמוד ‪ 3‬מתוך ‪6‬‬ ‫מכללת אורט בראודה‪ ,‬המחלקה להנדסת תכנה‬ ‫‪ - 61145‬מבנה נתונים מ'‬ ‫א אביב תש"ע‪ ,‬מועד א'‬ ‫שאלה ‪ 34 [ 4‬נקודות]‬ ‫בסעיפים הבאים יש להחליט האם הטענה המופיעה בסעיף היא נכונה או לא‪ ,‬או לכתוב תשובה‪ .‬יש גם להסביר בקצרה את‬ ‫הפתרון‪ .‬פיתרון ללא הסבר נכון לא יתקבל!!‬ ‫‪.1‬נתון ‪ TRIE‬דחוס עבור רשימת מחרוזות‪ .‬המסלול הימני ביותר עבור ה ‪ TRIE‬משורטט בהמשך‪ ,‬כאשר המספר משמאל‬ ‫לצומת מייצג את אורך המסלול מהשורש עד לאותו צומת‪ .‬נניח ש ‪ v‬היא המחרוזת הכי גדולה לקסיקוגרפית מכל המחרוזות‬ ‫בעץ‪ .‬אנחנו מכניסים מחרוזת ‪ w‬שגדולה מ ‪ ,v‬ושאורך הפרפיקס המשותף שלה ושל ‪ v‬הוא ‪ .31‬אחרי הכנסת ‪ w‬ודחיסת העץ‪,‬‬ ‫מה יהיו מספר הקשתות במסלול הימני ביותר בעץ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪63‬‬ ‫‪4‬‬ ‫נימוק‪ :‬כיוון שהמחרוזות האחרות משותפות במסלול קודם צריך לעשות הפרדה בין ‪ 22‬ל ‪ 41‬ושם יהפוך לשתי קשתות ‪ 22‬עד‬ ‫‪ 31‬ואז מ‪ 32‬ועד הסוף‪ .‬אם נסתכל על המסלול הימני נראה שיש שם ‪ 4‬קשתות‬ ‫‪ .6‬נניח שבנינו ‪ Btree‬כאשר ‪ .m = 63‬מה יהיה מספר העלים של העץ המינימלי כאשר עומקו הוא ‪?4‬‬ ‫‪216‬‬ ‫נימוק‪:‬כיוון שהעץ הוא מינימלי אזי מספר הילדים של השורש יהיה ‪ .2‬כל היתר יהיו ‪ 32‬ילדים שזה ‪ .m/2 ‬יש עוד ‪ 3‬פעמים ‪32‬‬ ‫ילדים‪ .‬סה"כ ‪ 2  25  25  25 :‬שזה יוצא ‪. 216‬‬ ‫עמוד ‪ 4‬מתוך ‪6‬‬ ‫מכללת אורט בראודה‪ ,‬המחלקה להנדסת תכנה‬ ‫א אביב תש"ע‪ ,‬מועד א'‬ ‫‪ - 61145‬מבנה נתונים מ'‬ ‫‪ .3‬נניח שאנחנו מבצעים ערבול כפול‪ .‬ונניח שגודל הטבלה שלנו היא ‪ . m = 2401‬הפונקציה ‪ r‬תהיה פונקצית הצעד‪ .‬מה‬ ‫תהיה פונקצית צעד שתבטיח מציאת מקום בטבלה אם יש מקום ריק?‬ ‫א‪12 .‬‬ ‫ג‪49 .‬‬ ‫ב‪35 .‬‬ ‫ה‪98 .‬‬ ‫ד‪63 .‬‬ ‫נימוק‪ :‬כיוון של ‪ 2411‬ו ‪ 12-‬אין מחלק משותף גדול מ ‪.1‬‬ ‫‪ .4‬ע"פ ההגדרה הפורמלית של ‪ O, , ‬נמקו מי מהתשובות הבאות נכונה‪:‬‬ ‫א‪n + 3  O(n2) .‬‬ ‫ג‪n + 3   (n2) .‬‬ ‫ב‪n + 3  (n2) .‬‬ ‫ה‪ .‬ב ו‪-‬ג‪.‬‬ ‫ד‪ .‬א ו‪-‬ב‪.‬‬ ‫נימוק‪ :‬כיוון שההגדרה אומרת ש )‪ fO(g‬אמ"ם קיימים ‪ n0‬ו‪ c-‬כך שלכל ‪ n>n0‬תמיד ‪fcg‬‬ ‫‪ .5‬מי מהפונקציות הבאות עולה הכי מהר ל ‪-n‬ים גדולים מאוד‪:‬‬ ‫א‪n22n(log n) .‬‬ ‫ג‪n22n(log n)5 .‬‬ ‫ב‪n23n(log n) .‬‬ ‫ה‪n42n .‬‬ ‫ד‪n23n(log n)2 .‬‬ ‫נימוק‪ :‬כמובן ש ‪ 3n‬עולה הכי מהר והמכפלה הכי גדולה שלה היא ב ד‪.‬‬ ‫‪ .6‬איזה ממבני הנתונים הבאים מממשים פעולת חיפוש (כמו במילון) לוגריתמית במקרה הגרוע לחיפוש‪.‬‬ ‫א‪ .‬עץ חיפוש בינארי‬ ‫ב‪ .‬עץ ‪AVL‬‬ ‫ו‪ .‬ג‪ .‬ו‪ -‬ד‪.‬‬ ‫ז‪ .‬א ו‪ -‬ד‪.‬‬ ‫ג‪ .‬עץ ‪B+‬‬ ‫ה‪ .‬ב ו‪-‬ג‪.‬‬ ‫ד‪ .‬ערימה‬ ‫נימוק‪ :‬ה – כיוון ששני העצים הללו הם היחידים שפעולת החיפוש היא לוגריתמית‪ .‬עץ חיפוש בינארי יכול להיות באורך ‪n‬‬ ‫ובערימה החיפוש יהיה לכל גודלה‪.‬‬ ‫‪ .7‬כמה עצים שונים יש כאן בהנחה שהעצים הם עצים כלליים לא מסודרים‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫א‪1 .‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ב‪2 .‬‬ ‫ג‪3 .‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ד‪4 .‬‬ ‫‪c‬‬ ‫ה‪5 .‬‬ ‫נימוק‪ :‬בעצים לא מסודרים הסדר של הבנים לא חשוב‬ ‫עמוד ‪ 5‬מתוך ‪6‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ - 61145‬מבנה נתונים מ'‬ ‫מכללת אורט בראודה‪ ,‬המחלקה להנדסת תכנה‬ ‫א אביב תש"ע‪ ,‬מועד א'‬ ‫‪ .8‬נניח שבונים טבלת ערבול בגודל ‪ b‬עם שרשראות עבור ‪ n‬מפתחות‪ .‬נניח שפונקצית הערבול מפזרת באופן אחיד את‬ ‫המפתחות על פני הטבלה‪ .‬אזי המקרה הגרוע ביותר לחיפוש מפתח בטבלה הינו )‪.O(n/b‬‬ ‫לא נכון‬ ‫נימוק‪ :‬כיוון שהמקרה הגרוע ביותר הינו לינארי בגודל הקלט‪.‬‬ ‫‪ .9‬בפונקציה הבאה ‪ a, b‬הם קבועים חיוביים‪.‬‬ ‫‪T(n) = 2T(n/2) + bn‬‬ ‫‪T(1) = a‬‬ ‫הפונקציה מתארת את המקרה הגרוע של מיון מהיר‪.‬‬ ‫לא נכון‬ ‫נימוק‪ :‬כיוון שהמקרה הגרוע הוא כל פעם להוריד ‪ 1‬מ ‪.n‬‬ ‫‪ .11‬פתרו את הפונקציה ב – ‪ 9‬עד הסוף ע"פ שיטת ההצבה‪.‬‬ ‫= ‪T(n) = 2T(n/2) + bn‬‬ ‫=‪2[2T(n/22) + bn/2] + bn = 22T(n/22) + 2bn = 22[2T(n/23) + bn/22] + 2bn‬‬ ‫‪= 23T(n/23) + 3bn = . . = 2k(n/2k) + kbn‬‬ ‫‪n/2k = 1  n = 2k  k = log n‬‬ ‫)‪T(n) = na + log n b n = O(nlogn‬‬ ‫עמוד ‪ 6‬מתוך ‪6‬‬