לוגיקה ותורת הקבוצות ־ תרגול 2

‫לוגיקה ותורת הקבוצות ־ תרגול ‪2‬‬
‫יחסים‬
‫הגדרה ‪ :1‬המכפלה הקרטזית של שתי קבוצות ‪ A, B‬הינה קבוצת כל הזוגות הסדורים בהם האיבר השמאלי בזוג שייך‬
‫ל־‪ A‬והאיבר הימני בזוג שייך ל־‪ .B‬סימון‪A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B} :‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫}‪A = {0, 1, 2‬‬
‫}‪B = {x, y‬‬
‫})‪A × B = {(0, x), (0, y), (1, x), (1, y), (2, x), (2, y‬‬
‫∈ ‪ 0‬־ הסדר בזוג הסדור משנה!‬
‫∈ ‪ x‬ו־‪/ B‬‬
‫∈ )‪ (x, 0‬כי ‪/ A‬‬
‫נשים לב כי ‪/ A × B‬‬
‫באופן כללי עבור ‪ n‬קבוצות ‪ A1 , A2 , . . . , An‬נסמן‬
‫} ‪A1 × A2 × . . . × An = {(a1 , a2 , . . . , an ) | a1 ∈ A1 , a2 ∈ A2 , . . . , an ∈ An‬‬
‫במקרה הפרטי בו כל הקבוצות זהות נסמן‬
‫‪A2 = A × A‬‬
‫‪A3 = A × A × A‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫הגדרה ‪ :2‬יהיו ‪ A, B‬שתי קבוצות‪ .‬קבוצה ‪ R‬המוכלת במכפלה הקרטזית ‪) A × B‬כלומר ‪ (R ⊆ A × B‬נקראת יחס‬
‫בינארי בין ‪ A‬ל־‪.B‬‬
‫במקרה הפרטי ‪ ,R ⊆ A × A‬נאמר כי ‪ R‬יחס בינארי מעל ‪.A‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪ .1‬לכל שתי קבוצות ‪ A, B‬מתקיים כי ‪ A × B‬ו־∅ הם יחסים בינאריים בין ‪ A‬ל־‪.B‬‬
‫‪ .2‬עבור הקבוצות ‪ A, B‬מהדוגמה הקודמת נגדיר את היחס ‪ R ⊆ A×B‬באופן הבא })‪.R = {(0, x) , (0, y) , (2, x‬‬
‫‪ .3‬נגדיר יחס בינארי ‪ R‬מעל ‪) N‬כלומר ‪ (R ⊆ N × N‬באופן הבא }‪.R = {(x, y) ∈ N × N | x < y‬‬
‫‪1‬‬
‫הגדרה ‪ :3‬יהיו ‪ A1 , A2 , . . . , An‬קבוצות‪ .‬קבוצה ‪ R‬המוכלת במכפלה הקרטזית ‪) A1 × A2 × . . . × An‬כלומר‬
‫‪ (R ⊆ A1 × A2 × . . . × An‬נקראת יחס ‪n‬־מקומי‪.‬‬
‫• ‪ R ⊆ A1‬־ יחס חד־מקומי )רלציה אונארית(‬
‫• ‪ R ⊆ A1 × A2‬־ יחס דו־מקומי )רלציה בינארית(‬
‫• ‪ R ⊆ A1 × A2 × A3‬־ יחס תלת־מקומי )רלציה טרינארית(‬
‫יחסים בינאריים מעל קבוצה ‪R ⊆ A × A = A2‬‬
‫תכונות בסיסיות של יחסים בינאריים‬
‫תהי ‪ A‬קבוצה ויהי ‪ R‬יחס בינארי מעל ‪) A‬כלומר ‪(R ⊆ A × A‬‬
‫• ‪ R‬נקרא רפלקסיבי אם לכל ‪ a ∈ A‬מתקיים ‪.(a, a) ∈ R‬‬
‫דוגמה‪ .A = {1, 2, 3} :‬האם היחס ‪ R = {(1, 1) , (2, 2)} ⊆ A2‬הוא רפלקסיבי?‬
‫– לא‪ .‬אבל ‪ R‬גם יחס מעל }‪ A0 = {1, 2‬ורפלקסיבי כיחס מעל ‪.A0‬‬
‫• ‪ R‬נקרא סימטרי אם לכל ‪ (a, b) ∈ R‬מתקיים ‪.(b, a) ∈ R‬‬
‫דוגמאות ליחסים סימטריים מעל }‪.∅, {(1, 1)} , {(1, 2) , (2, 1)} :A = {1, 2, 3‬‬
‫• ‪ R‬נקרא אנטי סימטרי אם לכל ‪ (a, b) , (b, a) ∈ R‬מתקיים ‪.a = b‬‬
‫∈ )‪(b, a‬‬
‫באופן שקול‪ ,‬אם לכל ‪ (a, b) ∈ R‬כך ש־‪ a 6= b‬מתקיים ‪/ R‬‬
‫דוגמאות ליחסים אנטי־סימטריים מעל }‪.∅, {(1, 1)} , {(1, 1) , (1, 2)} :A = {1, 2, 3‬‬
‫דוגמה ליחס שאינו סימטרי ואינו אנטי סימטרי‪R = {(1, 2), (2, 1), (2, 3)} :‬‬
‫• ‪ R‬נקרא טרנזיטיבי אם לכל ‪ (a, b) , (b, c) ∈ R‬מתקיים ‪.(a, c) ∈ R‬‬
‫דוגמה ליחס טרנזטיבי מעל }‪.φ, {(1, 1) , (1, 2)} :A = {1, 2, 3‬‬
‫ייצוג של יחס ‪ R ⊆ A × A‬כגרף מכוון‪:‬‬
‫נוח להסתכל על יחס כעל גרף מכוון שצמתיו הם כל איברי התחום ‪ ,A‬וקיימת קשת מ־‪ u‬ל־‪ v‬אמ"מ הזוג ‪.(u, v) ∈ R‬‬
‫כלומר‪ ,G = (V, E) :‬כאשר ‪.E = R ,V = A‬‬
‫משמעות התכונות בגרף‪:‬‬
‫‪ .1‬רפלקסיביות ־ כל הלולאות העצמיות קיימות‪.‬‬
‫‪ .2‬סימטריות ־ לכל קשת יש גם את הקשת בכיוון המנוגד‪.‬‬
‫‪ .3‬אנטיסימטריות ־ לא קיימות קשתות המנוגדות זו לזו‪.‬‬
‫‪ .4‬טרנזיטיביות ־ אם קיים מסלול באורך ‪ ,a → b → c ,2‬אזי קיימת קשת מ־‪ a‬ל־‪ .c‬למעשה זה גורר שאם קיים‬
‫מסלול באורך כלשהו מ־‪ a‬ל־‪ ,c‬אז קיימת קשת מ־‪ a‬ל־‪) c‬הוכחה באינדוקציה(‪.‬‬
‫תרגיל ‪ :1‬נתונות הקבוצות ‪ A, B, C‬עבורן מתקיים‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫• ∅ =‪B 6= ∅ ,A 6‬‬
‫• ∅= ‪A∩B‬‬
‫• ‪B ⊆ C ,A ⊆ C‬‬
‫‪ .1‬נגדיר יחס בינארי ‪ R‬מעל ‪) C‬כלומר ‪ (R ⊆ C × C‬באופן הבא‪.R = A × B ,‬‬
‫)א( האם ‪ R‬רפלקסיבי?‬
‫)ב( האם ‪ R‬סימטרי?‬
‫)ג( האם ‪ R‬אנטיסימטרי?‬
‫)ד( האם ‪ R‬טרנזיטיבי?‬
‫‪ .2‬חזרו על הסעיף הקודם עבור היחס‪.R = (A × B) ∪ (B × A) :‬‬
‫‪ .3‬חזרו על הסעיף הקודם עבור היחס‪.R = (A × B) ∪ (B × A) ∪ (A × A) ∪ (B × B) :‬‬
‫הרכבת יחסים‬
‫הגדרה ‪ :4‬יהיו ‪ R1 ⊆ A × B‬ו־‪ .R2 ⊆ B × C‬היחס ‪ R1 ◦ R2 ⊆ A × C‬מוגדר באופן הבא‬
‫‪} .‬קיים ‪ b ∈ B‬כך ש־ ‪ (b, c) ∈ R2‬ו־ ‪R1 ◦ R2 = {(a, c) ∈ A × C | (a, b) ∈ R1‬‬
‫היחס ‪ R1 ◦ R2‬נקרא ההרכבה של היחסים ‪ R1‬ו־ ‪.R2‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫• שימו לב לדרישה ‪ R1 ⊆ A × B‬ו־‪ :R2 ⊆ B × C‬כדי שההרכבה תהיה מוגדרת הקבוצה הימנית במכפלה‬
‫הקרטזית שמעליה מוגדר ‪ R1‬צריכה להיות שווה לקבוצה השמאלית במכפלה הקרטזית של ‪.R2‬‬
‫• אם ‪ R‬יחס בינארי מעל ‪ ,A‬נסמן ‪. R ◦ R = R2‬‬
‫משמעות ‪ Rn‬בגרף‪ :‬קשת במקום כל מסלול באורך ‪ n‬בגרף המתאים ל־‪.R‬‬
‫משפט ‪ :1‬יהי יחס ‪ R .R ⊆ A × A‬טרנזיטיבי אמ"מ ‪.R2 ⊆ R‬‬
‫סגור של יחס ביחס לתכונה‬
‫הגדרה ‪ ,5‬סגור של יחס עבור תכונה‪:‬‬
‫תהי ‪ A‬קבוצה‪ R ⊆ A × A ,‬יחס ו־‪ α‬תכונה כלשהי )רפלקסיביות‪ ,‬סימטריות‪.(... ,‬‬
‫יחס ‪ S ⊆ A × A‬נקרא סגור־‪ α‬של ‪ R‬אם מתקיימים התנאים הבאים‪:‬‬
‫‪ S .1‬מקיים את ‪.α‬‬
‫‪.R ⊆ S .2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .3‬לכל יחס ‪ T ⊆ A × A‬שמקיים את ‪ α‬ו־ ‪ ,R ⊆ T‬מתקיים ‪.S ⊆ T‬‬
‫הערה‪:‬‬
‫• לא תמיד קיים סגור‪ .‬לדוגמה נקח את התכונה "היחס אינו ריק" את הקבוצה }‪ A = {1, 2‬והיחס ∅ = ‪ .R‬יש‬
‫‪ 15‬יחסים המקיימים את ‪ 1,2‬אבל אף אחד מהם לא מקיים את ‪.3‬‬
‫משפט ‪ ,2‬יחידות הסגור‪ :‬לכל יחס ‪ R‬ותכונה ‪ α‬יש לכל היותר סגור־‪ α‬אחד )יתכן שאין בכלל(‪.‬‬
‫טענה‪ :‬בהינתן יחס ‪:R ⊆ A × A‬‬
‫• הסגור הרפלקסיבי של ‪ R‬הוא ‪ ,R ∪ IA‬כאשר }‪IA = {(a, a) |a ∈ A‬‬
‫• הסגור הסימטרי של ‪ R‬הוא ‪ ,R ∪ R−1‬כאשר }‪.R−1 = {(y, x) | (x, y) ∈ R‬‬
‫הגדרה ‪ :6‬בהינתן יחס ‪ R ⊆ A × A‬נגדיר את היחס ‪ R∗ ⊆ A × A‬באופן הבא‪Ri :‬‬
‫‪i∈N+‬‬
‫‪S‬‬
‫= ∗‪.R‬‬
‫משפט ‪ :3‬הסגור הטרנזיטיבי של יחס ‪ R ⊆ A × A‬הוא ∗‪.R‬‬
‫‬
‫‬
‫תרגיל ‪ :2‬יהי }‪ R = {(n, n + 1) | n ∈ N‬יחס בינארי‪ .‬הוכיחו כי ∗‪ R‬שווה ל־ ‪.R< = (x, y) ∈ N2 | x < y‬‬
‫‪4‬‬