‫לוגיקה ותורת הקבוצות ־ תרגול ‪2‬‬ ‫יחסים‬ ‫הגדרה ‪ :1‬המכפלה הקרטזית של שתי קבוצות ‪ A, B‬הינה קבוצת כל הזוגות הסדורים בהם האיבר השמאלי בזוג שייך‬ ‫ל־‪ A‬והאיבר הימני בזוג שייך ל־‪ .B‬סימון‪A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B} :‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫}‪A = {0, 1, 2‬‬ ‫}‪B = {x, y‬‬ ‫})‪A × B = {(0, x), (0, y), (1, x), (1, y), (2, x), (2, y‬‬ ‫∈ ‪ 0‬־ הסדר בזוג הסדור משנה!‬ ‫∈ ‪ x‬ו־‪/ B‬‬ ‫∈ )‪ (x, 0‬כי ‪/ A‬‬ ‫נשים לב כי ‪/ A × B‬‬ ‫באופן כללי עבור ‪ n‬קבוצות ‪ A1 , A2 , . . . , An‬נסמן‬ ‫} ‪A1 × A2 × . . . × An = {(a1 , a2 , . . . , an ) | a1 ∈ A1 , a2 ∈ A2 , . . . , an ∈ An‬‬ ‫במקרה הפרטי בו כל הקבוצות זהות נסמן‬ ‫‪A2 = A × A‬‬ ‫‪A3 = A × A × A‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ :2‬יהיו ‪ A, B‬שתי קבוצות‪ .‬קבוצה ‪ R‬המוכלת במכפלה הקרטזית ‪) A × B‬כלומר ‪ (R ⊆ A × B‬נקראת יחס‬ ‫בינארי בין ‪ A‬ל־‪.B‬‬ ‫במקרה הפרטי ‪ ,R ⊆ A × A‬נאמר כי ‪ R‬יחס בינארי מעל ‪.A‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪ .1‬לכל שתי קבוצות ‪ A, B‬מתקיים כי ‪ A × B‬ו־∅ הם יחסים בינאריים בין ‪ A‬ל־‪.B‬‬ ‫‪ .2‬עבור הקבוצות ‪ A, B‬מהדוגמה הקודמת נגדיר את היחס ‪ R ⊆ A×B‬באופן הבא })‪.R = {(0, x) , (0, y) , (2, x‬‬ ‫‪ .3‬נגדיר יחס בינארי ‪ R‬מעל ‪) N‬כלומר ‪ (R ⊆ N × N‬באופן הבא }‪.R = {(x, y) ∈ N × N | x < y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫הגדרה ‪ :3‬יהיו ‪ A1 , A2 , . . . , An‬קבוצות‪ .‬קבוצה ‪ R‬המוכלת במכפלה הקרטזית ‪) A1 × A2 × . . . × An‬כלומר‬ ‫‪ (R ⊆ A1 × A2 × . . . × An‬נקראת יחס ‪n‬־מקומי‪.‬‬ ‫• ‪ R ⊆ A1‬־ יחס חד־מקומי )רלציה אונארית(‬ ‫• ‪ R ⊆ A1 × A2‬־ יחס דו־מקומי )רלציה בינארית(‬ ‫• ‪ R ⊆ A1 × A2 × A3‬־ יחס תלת־מקומי )רלציה טרינארית(‬ ‫יחסים בינאריים מעל קבוצה ‪R ⊆ A × A = A2‬‬ ‫תכונות בסיסיות של יחסים בינאריים‬ ‫תהי ‪ A‬קבוצה ויהי ‪ R‬יחס בינארי מעל ‪) A‬כלומר ‪(R ⊆ A × A‬‬ ‫• ‪ R‬נקרא רפלקסיבי אם לכל ‪ a ∈ A‬מתקיים ‪.(a, a) ∈ R‬‬ ‫דוגמה‪ .A = {1, 2, 3} :‬האם היחס ‪ R = {(1, 1) , (2, 2)} ⊆ A2‬הוא רפלקסיבי?‬ ‫– לא‪ .‬אבל ‪ R‬גם יחס מעל }‪ A0 = {1, 2‬ורפלקסיבי כיחס מעל ‪.A0‬‬ ‫• ‪ R‬נקרא סימטרי אם לכל ‪ (a, b) ∈ R‬מתקיים ‪.(b, a) ∈ R‬‬ ‫דוגמאות ליחסים סימטריים מעל }‪.∅, {(1, 1)} , {(1, 2) , (2, 1)} :A = {1, 2, 3‬‬ ‫• ‪ R‬נקרא אנטי סימטרי אם לכל ‪ (a, b) , (b, a) ∈ R‬מתקיים ‪.a = b‬‬ ‫∈ )‪(b, a‬‬ ‫באופן שקול‪ ,‬אם לכל ‪ (a, b) ∈ R‬כך ש־‪ a 6= b‬מתקיים ‪/ R‬‬ ‫דוגמאות ליחסים אנטי־סימטריים מעל }‪.∅, {(1, 1)} , {(1, 1) , (1, 2)} :A = {1, 2, 3‬‬ ‫דוגמה ליחס שאינו סימטרי ואינו אנטי סימטרי‪R = {(1, 2), (2, 1), (2, 3)} :‬‬ ‫• ‪ R‬נקרא טרנזיטיבי אם לכל ‪ (a, b) , (b, c) ∈ R‬מתקיים ‪.(a, c) ∈ R‬‬ ‫דוגמה ליחס טרנזטיבי מעל }‪.φ, {(1, 1) , (1, 2)} :A = {1, 2, 3‬‬ ‫ייצוג של יחס ‪ R ⊆ A × A‬כגרף מכוון‪:‬‬ ‫נוח להסתכל על יחס כעל גרף מכוון שצמתיו הם כל איברי התחום ‪ ,A‬וקיימת קשת מ־‪ u‬ל־‪ v‬אמ"מ הזוג ‪.(u, v) ∈ R‬‬ ‫כלומר‪ ,G = (V, E) :‬כאשר ‪.E = R ,V = A‬‬ ‫משמעות התכונות בגרף‪:‬‬ ‫‪ .1‬רפלקסיביות ־ כל הלולאות העצמיות קיימות‪.‬‬ ‫‪ .2‬סימטריות ־ לכל קשת יש גם את הקשת בכיוון המנוגד‪.‬‬ ‫‪ .3‬אנטיסימטריות ־ לא קיימות קשתות המנוגדות זו לזו‪.‬‬ ‫‪ .4‬טרנזיטיביות ־ אם קיים מסלול באורך ‪ ,a → b → c ,2‬אזי קיימת קשת מ־‪ a‬ל־‪ .c‬למעשה זה גורר שאם קיים‬ ‫מסלול באורך כלשהו מ־‪ a‬ל־‪ ,c‬אז קיימת קשת מ־‪ a‬ל־‪) c‬הוכחה באינדוקציה(‪.‬‬ ‫תרגיל ‪ :1‬נתונות הקבוצות ‪ A, B, C‬עבורן מתקיים‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫• ∅ =‪B 6= ∅ ,A 6‬‬ ‫• ∅= ‪A∩B‬‬ ‫• ‪B ⊆ C ,A ⊆ C‬‬ ‫‪ .1‬נגדיר יחס בינארי ‪ R‬מעל ‪) C‬כלומר ‪ (R ⊆ C × C‬באופן הבא‪.R = A × B ,‬‬ ‫)א( האם ‪ R‬רפלקסיבי?‬ ‫)ב( האם ‪ R‬סימטרי?‬ ‫)ג( האם ‪ R‬אנטיסימטרי?‬ ‫)ד( האם ‪ R‬טרנזיטיבי?‬ ‫‪ .2‬חזרו על הסעיף הקודם עבור היחס‪.R = (A × B) ∪ (B × A) :‬‬ ‫‪ .3‬חזרו על הסעיף הקודם עבור היחס‪.R = (A × B) ∪ (B × A) ∪ (A × A) ∪ (B × B) :‬‬ ‫הרכבת יחסים‬ ‫הגדרה ‪ :4‬יהיו ‪ R1 ⊆ A × B‬ו־‪ .R2 ⊆ B × C‬היחס ‪ R1 ◦ R2 ⊆ A × C‬מוגדר באופן הבא‬ ‫‪} .‬קיים ‪ b ∈ B‬כך ש־ ‪ (b, c) ∈ R2‬ו־ ‪R1 ◦ R2 = {(a, c) ∈ A × C | (a, b) ∈ R1‬‬ ‫היחס ‪ R1 ◦ R2‬נקרא ההרכבה של היחסים ‪ R1‬ו־ ‪.R2‬‬ ‫הערות‪:‬‬ ‫• שימו לב לדרישה ‪ R1 ⊆ A × B‬ו־‪ :R2 ⊆ B × C‬כדי שההרכבה תהיה מוגדרת הקבוצה הימנית במכפלה‬ ‫הקרטזית שמעליה מוגדר ‪ R1‬צריכה להיות שווה לקבוצה השמאלית במכפלה הקרטזית של ‪.R2‬‬ ‫• אם ‪ R‬יחס בינארי מעל ‪ ,A‬נסמן ‪. R ◦ R = R2‬‬ ‫משמעות ‪ Rn‬בגרף‪ :‬קשת במקום כל מסלול באורך ‪ n‬בגרף המתאים ל־‪.R‬‬ ‫משפט ‪ :1‬יהי יחס ‪ R .R ⊆ A × A‬טרנזיטיבי אמ"מ ‪.R2 ⊆ R‬‬ ‫סגור של יחס ביחס לתכונה‬ ‫הגדרה ‪ ,5‬סגור של יחס עבור תכונה‪:‬‬ ‫תהי ‪ A‬קבוצה‪ R ⊆ A × A ,‬יחס ו־‪ α‬תכונה כלשהי )רפלקסיביות‪ ,‬סימטריות‪.(... ,‬‬ ‫יחס ‪ S ⊆ A × A‬נקרא סגור־‪ α‬של ‪ R‬אם מתקיימים התנאים הבאים‪:‬‬ ‫‪ S .1‬מקיים את ‪.α‬‬ ‫‪.R ⊆ S .2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ .3‬לכל יחס ‪ T ⊆ A × A‬שמקיים את ‪ α‬ו־ ‪ ,R ⊆ T‬מתקיים ‪.S ⊆ T‬‬ ‫הערה‪:‬‬ ‫• לא תמיד קיים סגור‪ .‬לדוגמה נקח את התכונה "היחס אינו ריק" את הקבוצה }‪ A = {1, 2‬והיחס ∅ = ‪ .R‬יש‬ ‫‪ 15‬יחסים המקיימים את ‪ 1,2‬אבל אף אחד מהם לא מקיים את ‪.3‬‬ ‫משפט ‪ ,2‬יחידות הסגור‪ :‬לכל יחס ‪ R‬ותכונה ‪ α‬יש לכל היותר סגור־‪ α‬אחד )יתכן שאין בכלל(‪.‬‬ ‫טענה‪ :‬בהינתן יחס ‪:R ⊆ A × A‬‬ ‫• הסגור הרפלקסיבי של ‪ R‬הוא ‪ ,R ∪ IA‬כאשר }‪IA = {(a, a) |a ∈ A‬‬ ‫• הסגור הסימטרי של ‪ R‬הוא ‪ ,R ∪ R−1‬כאשר }‪.R−1 = {(y, x) | (x, y) ∈ R‬‬ ‫הגדרה ‪ :6‬בהינתן יחס ‪ R ⊆ A × A‬נגדיר את היחס ‪ R∗ ⊆ A × A‬באופן הבא‪Ri :‬‬ ‫‪i∈N+‬‬ ‫‪S‬‬ ‫= ∗‪.R‬‬ ‫משפט ‪ :3‬הסגור הטרנזיטיבי של יחס ‪ R ⊆ A × A‬הוא ∗‪.R‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫תרגיל ‪ :2‬יהי }‪ R = {(n, n + 1) | n ∈ N‬יחס בינארי‪ .‬הוכיחו כי ∗‪ R‬שווה ל־ ‪.R< = (x, y) ∈ N2 | x < y‬‬ ‫‪4‬‬