ספר לימוד בגיאומטריה לכתה ז לפי התוכנית מ-2004
עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז תרשים-היסקים מלבן הוא מרובע שצלעותיו הנגדיות שוות וזוויותיו ישרות. שני מצולעים נקראים חופפים אם צלעות האחד וזוויותיו שוות ,על פי הסדר ,לשל חברו. מרובע שצלעותיו הנגדיות שוות ויש לו זווית ישרה ,הוא מלבן. ניתן להזיז משולש ממקום למקום ,לסובבו ולהפכו ,בלי לשנות את צלעותיו וזוויותיו. אם למרובע שלוש זוויות ישרות אז הוא מלבן. משולש ישר זווית ניתן להשלמה למלבן עם היתר כאלכסון, והמשולש המשלים חופף לו. ניצבים לשוקי זווית ישרה החותכים אותם במרחקים שווים יוצרים רשת מלבנים חופפים. אם אחד מהם ריבוע אז כולם ריבועים. סכום הזוויות במשולש ישר זווית הוא .1800 שטח מלבן שווה למכפלת אורכו ברוחבו. שטח משולש ישר זווית שווה למחצית המכפלה של הניצבים. שטח משולש שווה למחצית המכפלה של בסיס בגובה. סכום הזוויות במשולש הוא .1800 משפט פיתגורס האנך הוא הקצר שבקטעים מנקודה לישר אם תיכון אל צלע במשולש שוה לחצי הצלע אז הזוית שמולה ישרה. ברשת המלבנים החופפים ,המשך האלכסון של מלבן הוא אלכסון של חברו. . 48 דרך שתי נקודות שונות עובר קו ישר אחד בלבד. משפט החפיפה הראשון :שני משולשים השווים בשתי צלעות ובזווית שביניהן – חופפים. חוצה זוית הראש במשולש שוה שוקיים מחלק אותו למשולשים חופפים. במשולש שוה שוקיים שוות זויות הבסיס. במשולש שוה שוקיים ,חוצה זוית הראש הוא גם גובה אל הבסיס וגם תיכון לבסיס. עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז ב .מ-א נובע ש Bˆ 2 -שווה ל , Cˆ 2 -לכן Bˆ1שווה ל. Cˆ1 - כן נובע מ-א ש Dˆ -שווה ל ˆ. Eונוסף לזה נתון ש.CE= BD - משויונות אלה וממשפט החפיפה זצ"ז נובע שהמשולש BDFחופף ל. CEF- ג .כעת נקבל שהמשולש ADFחופף ל AEFעל-פי משפט החפיפה צז"צ ועל-פי השויון DF=FEהנובע מ-ב ,והשוויונות ˆ Eˆ = Dו AD=AE -שקיבלנו לפני-כן. ˆ ˆ ומחפיפה זאת נובע ש■ A1 = A2 - ∆ CADעל פי שת צלעות וזוית )ישרה( שביניהם. ∆ BAD .4 לכן Aˆ1 = Dˆ1 לכן ,לפי המשפט שהוכחנו בתרגיל ,2המשולש AMCהוא שווה- שוקיים. ההוכחות בשביל שלושת המשולשים הנוספים דומות. 47 B C M D 1 1 A עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז התיכון שוה לחצי הצלע שהוא חוצה לכן הזוית Cישרה. .4א) .ציור א( Cˆ1ישרה לכן ב) .ציור ב( ˆ Cישרה לכן ציור ב ציור א C S 12 Cˆ 2ישרה לכן ˆ Sחדה. C B Tˆ2חדה לכן Tˆ1קהה. 2 T 1 B A A .5לפי תרגיל ,3כל אחת מארבע זויות המרובע היא ישרה. A .6זויות הבסיס של משולשים שוי שוקיים שוות ,לכן Cˆ1 = Bˆ1 , Aˆ 2 = Bˆ2 , Aˆ1 = Dˆ1ו. Cˆ 2 = Dˆ 2 - סכום שמונה הזויות האלה הוא .3600 לכן . Aˆ1 + Aˆ2 + Cˆ 1 +Cˆ 2 = 180o 2 1 2 M 1 D 2 2 B 1 1 C פתרונות לסעיף ,14משפט החפיפה השני A 12 Aˆ1 = Aˆ2 .1כי ADחוצה זוית . Dˆ1 = Dˆ 2כי שתיהן ישרות כי ADגובה. ADשוה לעצמו. על-פי משפט החפיפה זצ"ז נובע מכאן שהמשולשים ADBוADC - חופפים .לכן . AC=AB 12 D C B .2 נתון שBˆ = Cˆ - A מטרתנו להוכיח ש. AB=AC - 12 0 נוריד אנך ADונסמן כבציור ,ואז יהיה Dˆ1 = Dˆ 2כי שתיהן בנות . 90 לכן ˆ Aˆ = Aכי אם שתי זויות של משולש שוות לשל חברו גם 2 1 ( השלישית שווה )כי סכום זוות משולש הוא 1800 ועל-פי משפט החפיפה השני )ושוויון ADלעצמה( יהיה ∆ ADC ∆ ADBלכן ■ AB=AC 2 C 1 D B D .3 א .המשולש ADCחופף ל ABE -על-פי משפט החפיפה זצ"ז והשוויונות AC+CE=AB+BD ,AB=AC ו. BAC = BAC - 46 B 1 2 F 1 E C 1 2 A עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז .2 2 ME =13.75-2.25=11.5 ME = 3.391 .3אם צלע הבסיס בן 4ס"מ והמקצוע הצדדי בן 3ס"מ אז 2 NE = 32 − 2 2 = 9 − 4 = 5 2 ME = 5-4 =1 ME = 1 (AB = BC = 2.MN , AE = BE ) .4 2 NE = 102 + 52 = 125 NE = 125 = 11.180 2 BE = 25+125 = 150 BE = 12.247 .5 AB = x = 162 = 12.728 MC =9 .6נסמן ב h-את הגובה של פיאה צדדית ) ENבציור שלעיל וגם בציורים שכאן(. חצי צלע הבסיס הוא .115 בעזרת משפט פיתגורס נקבל ש) . h=185.852 -ראה ציור א( ציור ב מתאר פיאה צדדית אחת .שטחה הוא כ 21373 -מ"ר ,לכן שטח כל ארבע הפיאות הצדדיות הוא כ 85492 -מ"ר . E E ציור א h=185.852 N 115 ציור ב h=185.852 146 M C N 230 B פתרונות לסעיף ,12תיכונים במשולש .1חוצה זוית הראש מחלק את הבסיס לשני חלקים .בגלל החפיפה שוים שני החלקים זה לזה. .2 DC=BDכי ADתיכון. 0 Dˆ1 = Dˆ 2כי שתיהן בנות . 90 ADשוה לעצמו. לפי משפט החפיפה צז"צ נובע מכאן שהמשולשים ACDוABD - חופפים ,ומכאן נובעים שני הדברים שהיה להוכיח. .3נסמן כבציור. CMהוא רדיוס AB ,הוא קוטר ו M-אמצעו .מכאן שבמשולש ABC A 12 C 12 D C A M 45 B B עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז לכן y=7.810.. .12נסמן כבציור ,ואז h2+d2=k2 לכן h2<k2 לכן , h < k וזה נכון בשביל כל kשהוא אורך קטע מ A-אל הישר aואינו hעצמו. A h k 90o d B C a פתרונות לסעיף ,10שטחי משולשים .2מהחפיפה נובע ש 1ˆ = 2ˆ -ומכיוון שסכומן 1800כל אחת מהן היא בת . 900 .3 א .למשולש בעל זוית גדולה מ 90o -יש שני גבהים חיצוניים וגובה פנימי אחד .נכון ב .גובה פנימי מחלק את המשולש לשני משולשים ישרי-זוית .נכון ג .אם קטע מחלק משולש לשני משולשים ישרי זוית אז הוא גובה .נכון ד .במשולש ישר-זוית ,כל ניצב הוא גובה ,והבסיס בשבילו הוא הניצב השני .נכון ה .גובה של משולש קצר מכל צלע .לא נכון )ראה למשל בציור של השאלה הקודמת( .4נסמן את הניצב השני hכבציור ,ואז a2+52=132וחישוב יתן שמזה נובע ש. a=12 - 1 2 13 מזה יתקבל שהשטח הוא 5 ⋅12 = 30סמ"ר. 5 a 2 .5נסמן את הגובה ב .h-כבתרגילים הקודמים נקבל . h = 102 − 32 = 91 = 9.539 השטח שוה 6 ⋅ h = 28.618סמ"ר. 2 .6נסמן את חצי הבסיס ב b -ואז b = 102 − 62 = 64 = 8והשטח 48סמ"ר. .7שטח המשולש הוא 24סמ"ר 10 .ס"מ = .cלכן , h ⋅10 = 24לכן 4.8=hס"מ. 2 E פתרונות לסעיף ,11חישובים בפירמידה. .1 2 NE = 42 − 1.52 = 16 − 2.25 = 13.75 NE = 13.75 = 3.708 D C M N B 44 A עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז פתרונות לסעיף ,9משפט פיתגורס 7 + 13 = 2.645…+ 3.605.. = 6.250 .1 7 + 13 = 20 = 4.472 ... 1 y .5ו z -ככתוב בציור. אחרי עוד חמישה צעדים נגיע אל 9השוה ל. 3- 1 1.732 1 2 1.414 1 .6 101 = 10.0498.. 1 10 .7 לכן לכן לכן וזהו הגובה ,במטרים ,אליו יגיע הסולם. 12+h2=32 1+h2=9 h2=8 h = 2.824 .8נסמן כבציור ואז a2+82=102 a = 36 = 6 ומכאן יתקבל ש- 10 a 8 .9גם בתרגיל זה ,כמו בשני קודמיו ,נתונים ניצב ויתר ויש למצוא את הניצב הנוסף. 2 2 ניצב זה ,שהוא מרחק יתד מן התורן ,שווה 7 − 4 = 33 = 5.744מטר. .10א52=25 . 3.52+3.52= 12.25+12.25=24.5 < 25 לכן השוקיים גדולות )במקצת( מ 3.5 -ס"מ. ב .אורכן האמיתי הוא 12.5 = 3.535 ...ס"מ. x2= 62+ 42=36+16=52 .11 y2= x2+32= 52+9=61 5 ? 3.5 ? 3.5 y 3 4 x 43 6 עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז ג .לריבוע שצלעו 70אמה שטח בן 4900אמות רבועות. )לריבוע ששטחו 5000אמות רבועות צלע בת כ 70.71 -אמות( 6 .3ס"מ. .4שטח החצר 22.24=528מ"ר שטח הבית 9.11-3.3=99-9=90מ"ר שטח השביל 10מ"ר. השטח שירוצף )לסוכה ולכדור-סל( 60מ"ר לכן השטח הנותר בשביל העצים הוא 428-90-10-60= 368מ"ר. מספר העצים יהיה . 46 = 368/8 .5א .הציור על ניר-משבצות משמאל .הוא כולל 25ריבועים ששטח כל אחד רבע סמ"ר לכן השטח הכללי הוא 61/4סמ"ר. אותה תוצאה תתקבל מהמשפט ,שהרי . 2.5.2.5=6.25 ב .ערך מדויק של אינץ' רבוע הוא 2.54.2.54 = 6.4516סמ"ר . .6מכיוון שהשאלה מנוסחת בשברים פשוטים נפתור אותה בשברים פשוטים 5 2 ⋅ 7 1 = 15 + 2 ⋅ 28 + 1 = 17 ⋅ 29 = 17 ⋅ 29 = 493 = 41 1סמ"ר. 12 12 3⋅ 4 4 4 3 4 3 3 ) בשברים עשרוניים תקבל משהו קרוב ל , 41.083333333 -תלוי במספר ה-6-ים שתכתוב בשבר העשרוני בשביל (. 52/3 5.11=55וזה גדול מ 49-אך קטן מ. 64 - .7 7.1.7.1=50.41 7.2.7.2=51.84 7.3.7.3=53.29 7.4.7.4=54.76 7.5.7.5=56.25 לכן שטח המלבן שלנו נמצא בין שטח הריבוע שצלעו 7.4ס"מ ובין שטח הריבוע שצלעו 7.5ס"מ. )יותר קרוב לשטח הריבוע שצלעו 7.4ס"מ( .8כן .ריבוע הוא מין מלבן לכן המשפט על שטח מלבנים תקף גם בשביל ריבועים. .9 72>7 2 , )( 1> 1 3 3 , >5 4 2 )( 5 4 .10א .שטחי הפיאות הם 200סמ"ר 140 ,סמ"ר ו70 - סמ"ר לכן שטח פני התיבה הוא 2.200+2.140+2.70=820סמ"ר . ב .תחתית התיבה תכוסה על-ידי 200קוביות שאורכן, רוחבן וגובהן הוא ס"מ אחד ,והתיבה כולה תתמלא על-ידי 1400קוביות כאלה. 42 10ס"מ 7ס"מ 20ס"מ עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז פתרונות לסעיף , 6משולש שווה שוקיים Pˆ .1היא זוית הראש. . Qˆ = Rˆ = 800 400 .2 .3כי אז תהיה גם זוית הבסיס השניה בת 900ויחד עם זוית הראש יהיו יותר מ. 1800 - C .4 0 B 450 90 0 45 A .5כשמסתכלים על המשולש כעל משולש שוה שוקיים עם הצלע ABכבסיס מקבלים שAˆ = Bˆ - וכשלוקחים את BCלתפקיד הבסיס מקבלים ש . Bˆ = Cˆ -מכיוון ששלושת הזוויות שוות וסכומן ,1200כל אחת מהן היא בת . 600 פתרונות לסעיף ,7רשת מלבנים .1הם מלבנים אך אינם חופפים. החלק שבהוכחת משפט רשת המלבנים ,המראה שהזויות ישרות ושהמרובעים אשר שם הם מלבנים, הוא בתוקף גם כאן .החלק הנותן שם את השוויונות של הצלעות יוצא מהנחה המתמלאת שם אך לא כאן. .2ל 99-מלבנים חופפים. .3א .מספר המלבנים המתקבלים שווה למספר חלקי הצלע האחת כפול במספר חלקי הצלע השניה. המספר 6ניתן להכתב כמכפלה של שני מספרים טבעיים רק בצורות הבאות1 6 , 2.3 , 3.3 , : , 6.1לכן רק ארבע צורות החלוקה שבציור נותנות 6מלבנים. ב 9 = 1.9 = 3.3 = 9.1 .ואי אפשר לכתוב את 9כמכפלה אחרת של שני מספרים טבעיים .לכן ניתן לחלק את המלבן ל 9-מלבנים חופפים ב 3-אופנים בלבד. ג .בשני אופנים בלבד) .זה נכון לכל מספר ראשוני(. ד .המכפלות השוות ל 15-הן . 1.15 , 3.5 , 5.3 , 15.1 ה .המכפלות השוות ל 12-הן 1.12 , 2.6 , 3.4 , 4.3 , 6.2 , 12.1לכן יש 6אופנים. . פתרונות לסעיף ,8שטח מלבן .1א20.20=400 . ב100.100=10000 . ג .שטח מלבן שצלעותיו 7ו 9-ס"מ הוא 63סמ"ר ואילו שטח ריבוע שצלעו 8ס"מ הוא 64סמ"ר . .2א .באמה רבועה 2308סמ"ר )פחות מ 6-מרצפות רגילות(. ב .שטחה של חצר המשכן היה 5000אמות רבועות. 41 עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז D א Hˆ 3 = 1800- Hˆ 1 = 1800-800= 1000 0 0 0 0 Hˆ = 180 - Hˆ = 180 -80 = 100 1 ד B 4 o 0 0 0 0 Hˆ 2 = 180 - Hˆ 3 = 180 -100 = 80 ב ב HA=HB .כי Hאמצע האלכסון . AB HD=HCכי Hאמצע האלכסון .DC Hˆ 2 = Hˆ 1כי שתיהן בנות .800 לכן ,לפי משפט החפיפה הראשון ,המשולשים א ו-ב חופפים ,לכן . AD=BC ההוכחה ש AC=BD -דומה ולא נפרט אותה כאן. 100 4 80o 2 H 1 80o 3 100o א ג A C ג .כן 80 .היה מוחלף ב 65 -ו 100 -היה מוחלף ב 115 -אך כל השיקולים היו נשארים בתוקפם. פתרונות לסעיף , 5שימוש במשפט החפיפה צז"צ .1ממשפט החפיפה זצ"ז ומהמשפט על סכום הזויות במשולש. 400 0 50 .2הזויות מפורטות בציור שמשמאל. 400 0 0 אם קיבלת תוצאות שונות עבור של השיקולים המפורטים להלן. לנוחיות ההסבר סומנו משולשים באותיות כבציור הנוסף שלהלן. מהחפיפה של ב+א ל -ג+א נקבל ש. 1ˆ = 40o - סכום הזויות של א הוא 1800לכן . 2ˆ = 100o לכן 4ˆ = 80oלכן 5ˆ = 100oלכן . 6ˆ = 80o 1ˆ + 3ˆ = 90oלכן . 3ˆ = 50o סכום הזויות של ג הוא 1800לכן . 7ˆ = 50o 7ˆ + 8ˆ = 90oלכן 8ˆ = 40o סכום הזויות של ד הוא 1800לכן 9ˆ = 40o 10לכן ˆ = 50o ˆ + 9ˆ = 90o 10 סכום הזויות של ב הוא 1800לכן ˆ = 50o . 11 500 0 7 o 40 8 5 4 2 3 1 לכן ˆ. 1ˆ = 2 40 6 10 ב 11 א 40o B 6 3 4 D 40 G C H 500 9 ד ג .3א .ארבעת המשולשים שבפינות חופפים זה לזה על-פי צז"צ. ב .מהחפיפות נובע ש. 3ˆ = 4ˆ = 5ˆ = 6ˆ - ˆ1ˆ = 180 0 − 3ˆ − 4 ˆ2ˆ =1800 − 5ˆ − 6 100 0 800 80 1000 50 2 1 5 E F A עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז פתרונות פתרונות לסעיף ,1מבוא למלבנים 1ו.2- N M D פתרונות לסעיף , 3זויות במשולש .1 ˆ3 ˆ2 ˆ4 1 ו 6ˆ -קטנות מ450 - ו 5ˆ -בין 450ו900 - גדולה מ900 - C 2 3 6 5 4 B Cˆ =900 .2לכן ) Bˆ + Aˆ = 900כי סכום שלושתן ( 1800 עוד ידוע ש Aˆ -גדולה כפליים מ Bˆ -לכן Aˆ = 600ו. Bˆ = 300 - .3א 180-104-47=43 .לכן הזוית השלישית היא בת . 430 ב .אי אפשר .אין משולש כזה. פתרונות לסעיף ,4חפיפת משולשים פתרון החידה פתרון התרגיל: 39 A עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז תרגיל 3 על שוקי ˆ Aשרטטו שני קטעים שוים ABו ,AC -ובהמשכיהם D שני קטעים שוים אחרים BDו . CE -אחר כך שרטטו את CD B 1 ואת , BEסימנו את נקודת פגישתם Fוחיברו אותה ל,A- 2 F כבציור .כמוכן סומנו זויות כבציור. 1 1 2 בכוונתנו להוכיח ש. Aˆ1 = Aˆ 2 - E C להוכחה שלושה שלבים שבכל אחד מהם מוכחת חפיפה של שני משולשים .השלם פרטים חסרים בכל שלב. א .המשולש ADCחופף ל_____________ על-פי משפט החפיפה ________ והשוויונות ______=______ _______=______ ,ו. _______=_______ - ב .מ-א נובע ש Bˆ 2 -שווה ל , _____-לכן Bˆ1שווה ל._____ - כן נובע מ-א ש Dˆ -שווה ל._____- נוסף לזה נתון ש.______= BD - משויונות אלה וממשפט החפיפה _______ נובע שהמשולש BDFחופף ל_______ . ג .כעת נקבל שהמשולש ADFחופף ל_________ על-פי משפט החפיפה _______ ועל-פי השויון ______=______ הנובע מ-ב ,והשוויונות ______=_______ ו _______=_______ -שקיבלנו לפני-כן. ומחפיפה זאת נובע שˆ = Aˆ - ■ A 1 2 A תרגיל 4 הוכח שאלכסוני מלבן מחלקים אותו לארבעה משולשים שוי-שוקיים. )הנחיה :לקבלת שוויונות זויות השתמש במשפט החפיפה הראשון .אחר-כך השתמש במה שהוכחנו בתרגיל (. 2 תרגיל 5 .א .נתון שהאלכסון ACשבמרובע ABCDחוצה את שתי הזויות של המרובע )כלומר Aˆ1 = Aˆ 2 ,ו- ˆ , Cˆ = Cכבציור א ( .הסבר כיצד נובע מכאן ש AD=AB -ו. CD=CB - 2 1 ב .באותו מרובע העבירו גם את האלכסון השני ,BDוסימנו את מפגש האלכסונים באות E )כבציור ב( .נמק את הטענה ש DE=BE -ואת הטענה שהזויות ב E-ישרות. A A 2 B ציור א 2 C B 1 E ציור ב 1 C D 38 D עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז ניתן להזיז משולש ממקום למקום ,לסובבו ולהפכו ,בלי לשנות את צלעותיו וזוויותיו. דרך שתי נקודות שונות עובר קו ישר אחד בלבד. לשני ישרים שונים לכל היותר נקודה משותפת אחת משפט החפיפה השני: שני משולשים השוים בצלע ובשתי הזויות שעל ידה – חופפים על פי הוכחה ב הוא מצטרף כך: ניתן להזיז משולש ממקום למקום ,לסובבו ולהפכו ,בלי לשנות את צלעותיו וזוויותיו. דרך שתי נקודות שונות עובר קו ישר אחד בלבד. משפט החפיפה הראשון: שני משולשים השווים בשתי צלעות ובזווית שביניהן – חופפים. משפט החפיפה השני: שני משולשים השוים בצלע ובשתי הזויות שעל-ידה – חופפים תרגיל 1 הוכח שאם ADהוא חוצה-זוית במשולש ABCוהוא גם גובה ,אז המשולש הוא שוה-שוקיים. תרגיל 2 להלן הוכחה שאם במשולש שתי זוויות שוות אז המשולש שוה-שוקיים )כלומר ,רק במשולש שוה שוקיים יש שתי זויות שוות( .העתק והשלם את הנימוקים החסרים. נתון שBˆ = Cˆ - A מטרתנו להוכיח ש. AB=AC - נוריד אנך ADונסמן כבציור ,ואז יהיה Dˆ1 = Dˆ 2כי ___________________________________ לכן Aˆ1 = Aˆ2כי ___________________________________ ועל-פי _________________________יהיה ∆ ADB ADC לכן ■ AB=AC 37 12 C 1 D B עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז הוכחה אחת מספיקה בהחלט ,אך אנו מעדיפים להשאיר בידי הקורא את ההחלטה איזו הוכחה נראית לו יותר יפה. להוכחה א נקדים משפט עזר :לשני ישרים שונים יש לכל היותר נקודה משותפת אחת. הוכחת משפט העזר :אם לא כן היו לנו שתי נקודות שדרכן עוברים שני ישרים שונים ,בניגוד להנחת יסוד האומרת שדרך שתי נקודות עובר ישר אחד בלבד. והרי הוכחה א עצמה: )לנוחיות ההסבר ישורטט הצלעות ACו BC -של המשולש ABCבקו מרוסק עבה(. על-ידי הזזה וסיבוב נעתיק את המשולש ABCבאופן שהצלע ABתונח על . DE כך תתקבל האפשרות שבציור א או האפשרות שבציור ב .אם התקבלה אפשרות א נהפוך את המשולש ABCוכך נגיע בכל מקרה לאפשרות שבציור ב. C B=E B=E ציור ב ציור א A=D A=D C=F F הזוית ˆ Aתהיה אפוא מונחת בדיוק על הזוית ˆ Dהשווה לה ,והזוית ˆ Bתהיה על ˆ Eהשווה לה לכן השוקים היוצרות את הזויות הן על אותם שני ישרים ולפי משפט העזר נובעת המסקנה ש C -ו F-הן אותה נקודה ■ הוכחה ב נתון שויון צלע ושתי זויות כמסומן בציור שמשמאל. כצעד ראשון בבנית ההוכחה נשרטט על הישר EF קטע EGהשוה ל ,BC -ונחבר את Gעם .D B E D C בכוונתנו להוכיח ש ,EF=BC -אך כל עוד לא הוכחנו זאת עלינו להביא בחשבון שלוש אפשרויות, EF=BC ,EF>BCו .EF< BC-לפי האפשרות הראשונה י ֵראה השרטוט כבציור א ,לפי האפשרות השניה הוא יראה כבציור ב ולפי האפשרות השלישית הוא יראה כבציור ג) .אבל רק ציור אחד נכון( F A E ציור א E E D G F D ציור ב D ציור ג F=G F G לפי משפט החפיפה צז"צ חייב המשולש DEGלהיות חופף למשולש ,ABCלכן חייבת הזוית EDG להיות שוה ל Aˆ -לכן גם ל) Dˆ -של המשולש DEFהנתון(. זה פוסל הן את האפשרות שבציור א והן את האפשרות שבציור ג ומותיר רק את האפשרות שבציור ב. לכן המשולש DEGוהמשולש DEFהם אותו משולש ,לכן המשולש ABCחופף גם ל■ DEF - על-פי הוכחה א מצטרף משפט החפיפה השני לתרשים ההיסקים שלנו כך: 36 עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז ) (13עוד על מלבנים משפט האלכסונים ברשת משפט :ברשת המלבנים החופפים ,המשך האלכסון של מלבן הוא אלכסון של חברו. הוכחה :יהיו נתונים שני מלבנים מן הרשת ,שהם בעלי קדקוד משותף אחד .נסמנם ABCDוCEFG- כבציור ,נשרטט את האלכסונים ACו CF -וניגש G F להראות ששניהם על ישר אחד. . כבציור ב ו א ומשולשים נסמן זויות 4 ,3 ,2 ,1ו5- ב C 5 E D א ו-ב ישרי זוית AB=CE ,ו , BC=EF -לכן א ו-ב 3 4 חופפים )לפי צז"צ( לכן . 5$ = 1$ 2א 1 A 2$ = 4$כי שתיהן ישרות. B לכן 3$ + 4$ + 5$ = 3$ + 2$ + 1$ = 180oלכן C ,Aו F -על ישר אחד ■ בעית-הוכחה נתון מלבן ABCDונתון ש E-ו F-הם אמצעי צלעות נגדיות שלו .צריך להוכיח ש EF -ניצב לצלעות אלה. מהלך ההוכחה יכלול "מחיקת" קטע ,בנית קטע אחר במקומו ואחר-כך הוכחה שהקטע החדש והקטע הישן הם אותו קטע. ובכן ,נתעלם זמנית מהנקודה Fומהקטע , EFודרך Eנעלה אנך לצלע ABונסמן את נקודת פגישתו עם הצלע הנגדית ב.G- לנוחיות הדיון נסמן קטעים a,b,c,dוזויות 1,2,3,4כבציור. הקטע aיהיה אפוא שוה ל ,b-והזויות 1$ו 2$ -ישרות. D G c 4 3 A 2 1 a E d b C B על-סמך המשפט האומר שאם למרובע שלוש זוויות ישרות אז הוא מלבן, נקבל שהמרובעים EFDAו EFCB -הם מלבנים לכן 3$ו 4$ -ישרות ו. c=a=b=d - מזה ש c=d -נובע ש G -היא , Fומכיוון שדרך שתי נקודות עובר ישר אחד בלבד EG ,הוא , EFלכן EFניצב לצלעות המלבן ■ ) (14משפט החפיפה השני משפט החפיפה השני ,שיפורט ויוכח להלן ,דומה למשפט החפיפה הראשון וקשור בו באופנים שונים. הוא אינו מופיע בתרשים ההיסקים שלנו ,אך יש לו מקום במערכת היסקים גיאומטרית יותר נרחבת, ולהלן נראה כיצד הוא יכול להשתלב בתרשים. המשפט. :שני משולשים השוים בצלע ובשתי הזויות שעל-ידה הם חופפים. ובפירוט: B אם במשולשים ABCו DEF -מתמלאים השוויונות E Aˆ = Dˆ , AB=DEוBˆ = Eˆ - אז , ∆ DEF ∆ ABCכלומר ,גם , BC=EFגם D AC=DFוגם ˆ. Cˆ = F C A F המשפט נקרא בקצרה משפט החפיפה זצ"ז. להלן שתי הוכחות למשפט .ההוכחה הראשונה תהיה דומה להוכחה של משפט החפיפה הראשון )צז"צ( ואילו ההוכחה השניה תסתמך על משפט החפיפה הראשון. 35 עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז תרגיל ) 4המשך של תרגיל (3 א .בחרו נקודה Sמחוץ למעגל וחיברו אותה אל Aו B-שהן קצותיו של קוטר ,כבציור א שמימין. הוכח ש Sˆ -היא חדה )כלומר ,קטנה מ.(90o- ב .בחרו נקודה Tבפנים מעגל וחיברו אותה אל Aו B-כמקודם ,כבציור ב שמשמאל .הוכח שTˆ1 - היא קהה )כלומר ,גדולה מ . 90o-קהה הוא לא-חד .כהה הוא לא-בהיר(. S 2 ציור א C C 1 2 ציור ב T 1 B B A A הנחיות :מכיוון ש Cˆ1 -של א ו Cˆ -של ב הן ישרות ,כל מה שצריך לנמק בשביל א הוא שSˆ < Cˆ1 - וכל מה שצריך לנמק בשביל ב הוא ש . Tˆ > Cˆ -בשני המקרים נוכל להשתמש בזה שסכום שתי זויות של משולש קטן מ. 180o - 1 תרגיל ) 5שימוש בתרגיל (3 הוכח שאם מחברים על-פי הסדר את הקצוות של שני קטרים של מעגל, מתקבל מלבן. תרגיל 6 )תרגיל זה אינו קשור בתיכונים והוא נזקק רק למשפטים על זויות הבסיס במשולש שוה-שוקיים ועל סכום הזויות במשולש .הוא מופיע כאן בגלל הקשרים שלו עם תרגיל (5 A א .אם עדיין לא הוכחת זאת הוכח שסכום זויותיו של מרובע הוא . 360o ב .מרובע שארבעת קדקודיו על מעגל נקרא חסום במעגל .הוכח שאם מרובע חסום במעגל ומרכז המעגל בפנים המרובע אז סכום שתי זויות נגדיות של המרובע הוא . 180o ) ( Aˆ1 + Aˆ2 + Cˆ1 + Cˆ 2 = 180o 2 1 2 M 1 D 2 2 1 C נושא לדיון :גם בתרגיל 5חסום המרובע במעגל .מה ההבדל ומה הקשר שבין הטענות שבשני התרגילים? 34 B 1 עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז ) (12תיכונים במשולש המילה "תיכון" מופיעה במקרא לראשונה בספר שמות ,פרק כ"ו פסוק כ"ח ,בתיאור בנית המישכן: יכן בתוך הקרשים" .פירוש המילה הוא "עובר באמצע" .בגיאומטריה אנו משתמשים "ו ַהבְּריח הַתִּ ֹ במילה "תיכון" בשביל קטע מקדקוד של משולש אל אמצע הצלע שמולו. תרגיל 1 הטענה שחוצה זוית הראש במשולש שוה-שוקיים הוא גם תיכון ,נובעת ממשפטנו הראשון על משולש שוה-שוקיים .הסבר כיצד היא נובעת וסמן vבמקום המתאים בתרשים ההיסקים. תרגיל 2 הוכח שאם ADהוא תיכון במשולש ABCוהוא גם גובה ,אז המשולש הוא שוה-שוקיים ו AD-הוא גם חוצה-זוית-הראש. את סיפורו של המשפט הבא נפתח במעשה שהיה .חקלאי תכנן בנית חדר מלבני )על-יד הרפת ,בשביל מכונת-חליבה שעמד לקנות( .מקומו של קיר aכבר היה מסומן על הקרקע באמצעות חבל מתוח )בציור א שלהלן הוא מסומן בקו עבה( .קיר bצריך היה להיות ניצב ל a-בנקודת קצהו . A למציאת נקודה Cשתהיה על bקשר לולאות b קטנות בקצות שלושה חבלים שוים וקשר את A C 2 שלושתם בקשר אחד )כבציור ב( .אחר-כך 1 תקע יתדות ב A-ובנקודה Bכלשהי על ,a a M הרכיב עליהן שתים מן הלולאות ,מתח 2 הלולאה כבציור א ותקע יתד Cבמקומה של B ציור ב ציור א השלישית. הבה נוכיח שבדרך זו התקבלה ב A-זוית ישרה. ובכן ,המשולשים AMBו AMC -הם שוי שוקיים לכן ˆ Aˆ = BוˆA = Cˆ - 2 1 1 לכן ˆ. Aˆ1 + Aˆ2 = Bˆ1 + C ומצד שני Aˆ1 + Aˆ2 + Bˆ1 + Cˆ = 180o ,כי הן מרכיבות את זוויותיו של המשולש . ABC מכאן שAˆ1 + Aˆ 2 = 90o - ■ בעצם הוכחנו כאן משפט כללי. משפט :אם תיכון אל אחת הצלעות במשולש שוה לחציה של אותה צלע אז המשולש הוא ישר זוית. תרגיל 3 אם בוחרים נקודה על מעגל ומחברים אותה אל שני קצותיו של קוטר של המעגל ,מתקבלת זוית ישרה. הסבר כיצד זה נובע ממשפטנו. לצורך ההסבר העזר בעותק של הציור שמשמאל ,סמן נקודות באותיות ושרטט רדיוס במקום המתאים .ההסבר צריך להיות טוב בשביל כל נקודה שתיבחר על המעגל ,כבציור שמימין. 33 עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז נוכל לחשב את . ME תרגיל : 2השלם את החישוב. תרגיל :3מה יהיה גובהה של הפירמידה אם צלע הבסיס יהיה 4ס"מ והמקצוע הצדדי )כך קוראים לקטעים מקדקדי הבסיס אל הקדקוד העליון( יהיה בן 3ס"מ? חישוב נוספים בפירמידה ריבועית ישרה ציור א שלעיל טוב גם בשביל התרגילים הבאים. תרגיל :4מה צריך להיות אורך מקצוע צדדי ) AEבציור א שלעיל( אם צלע הבסיס היא 10ס"מ = ABוהגובה גם הוא 10ס"מ = . ME הצעה :חשב תחילה את . NE תרגיל :5 הפעם נתון שהמקצועות הצדדיים )כגון (AEהם בני 15ס"מ והגובה בן 12ס"מ ומבוקש אורכו של צלע הבסיס. כצעד ראשון נתבונן במשולש AECהמצויר בציור ג יחד עם הגובה EM E של הפירמידה. ציור ג מכיוון שהמשולש הוא שוה שוקיים ו M-באמצע הבסיס EM ,הוא חוצה 15 זוית הראש וניצב לבסיס ,לכן EMCהוא משולש ישר-זוית ,לכן ניתן 12 לחשב את MCבעזרת משפט פיתגורס .עשה זאת! בצעד השני נתבונן במשולש ABCשהוא חצי הבסיס של הפירמידהMC . A C M הוא חצי היתר שלו לכן היתר כבר ידוע. ABו BC -הם ניצבים שוים .נסמנם . xנקבל שx 2 +x 2 =(2 ⋅ MC)2 - ומכאן נוכל לקבל את ,xשהוא צלע הבסיס .עשה זאת! תרגיל 6 גובהה של הפירמידה הגדולה שבגיזה )במצרים( הוא 146מטר וצלע הבסיס 230מטר בקירוב .בעבר היו פיאותיה הצדדיות מצופות אבן חלקה .מה היה שטחו הכולל של הציפוי? הערה :הפירמידה לא נבנתה על-ידי בני ישראל ולא בהשתתפותם .היא נבנתה עוד לפני זמנו של אברהם אבינו. 32 עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז )(11חישובים בפירמידה חישוב הגובה בציור ב ריבוע ABCDשצלעו 3ס"מ ,ועל ארבע צלעותיו ארבעה משולשים שוי-שוקיים .אורך כל שוק 4ס"מ .העתק על ניר ,גזור ,קפל לאורך הצלעות של הריבוע והדבק )בעזרת נייר-דבק כגון סלוטייפ( באופן שהקדקודים E1, E2, E3, E4יפגשו בנקודה אחת .בציור א מסומנת נקודה זאת . E ציור א הוא מבט מן הצד על הפירמידה שהתקבלה מציור ב) .לכן ריבוע הבסיס מצויר שם כמקבילית, והפאות הצדדיות מצוירות כמשולשים שאינם שוי-שוקיים ,אך בדיון שלנו נתייחס לצורה האמיתית ולא למה שמצויר(. מרכז הבסיס ,שהוא נקודת הפגישה של האלכסונים ,מסומן ב . M-הקטע MEהוא הגובה של הפירמידה, ומטרתנו היא לחשב את אורכו. E3 E ציור א D C M N ציור ב A B C D E2 E4 4ס"מ 3ס"מ A B E1 לצורך החישוב סימנו ב N-את אמצע , BCלכן 1.5ס"מ = .BN אפשר להוכיח שגם 1.5ס"מ = ,MNושהמשולש ENBהוא ישר זוית עם זוית ישרה ב N-ושגם המשולש EMNישר זוית עם זוית ישרה ב . M-לא נפרט כאן את ההוכחות ,אך נשתמש בדברים האלה כדי לחשב את גובה הפירמידה. שלב א: 2 2 2 2 לפי משפט פיתגורס BN + NE = BEכלומר1.52 + NE = 42 , תרגיל :1השלם את חישוב . NE שלב ב: 2 2 2 לפי משפט פיתגורס , NM + ME = NEובעזרת זה ש MN = 1.5 -ו NE -ידוע מן השלב הקודם, 31 עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז הנחיה :הגובה מצויר במקווקו והוא צלע במשולש ישר-זוית ושוה-שוקיים .תרגיל 10בסעיף 9התייחס למשולש דומה. .9צלע אחת של מלבן היא בת 7ס"מ .את הצלע הסמוכה ,שהיא בת 12ס"מ ,חילקו לשלושה חלקים שוים ,ואת קצות החלק האמצעי חיברו אל קצות הצלע הנגדית ,כבציור .מה שטח המרובע שהתקבל )המרובע הנקוד שבציור(? 7ס"מ 12ס"מ .10הציור שמשמאל הוא בקנה-מידה של ,1:2כלומר ,כל משבצת שבציור מיצגת משבצת שצלעה האמיתית היא בת סנטימטר אחד. מצא את שטחו של המרובע הנקוד בשני אופנים .פעם על-ידי חלוקתו למשולשים ישרי-זוית ,ופעם בעזרת חישוב השטחים "שנשארו בחוץ". 30 עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז בעזרת משפטנו זה נוכיח משפט על שטחו של כל משולש ,לאו דווקא ישר-זוית. משפט :שטח משולש שווה למחצית המכפלה של גובה והבסיס המתאים. ובאותיות :אם aו h -הם בסיס וגובה של משולש ישר-זוית אז שטחו הוא . ah 2 ההוכחה תתחלק לשני חלקים .בחלק הראשון נוכיח את המשפט בשביל גובה פנימי ובחלק השני נוכיחו בשביל גובה חיצוני. כאשר הגובה הוא פנימי הוא מחלק את הבסיס aלשני חלקים שנסמנם pו.q - המשולש כולו מתחלק על-ידי הגובה לשני משולשים ישרי-זוית ,ועל-פי h qh ph ו- המשפט הקודם שטחיהם 2 2 ph qh ph+qh (p+q)h ah מכאן ששטח המשולש כולו הוא . = + = = 2 2 2 2 2 q . נעבור למקרה שבו הגובה הוא חיצוני למשולש. במקרה זה יהיה המשולש הנתון חלק ממשולש ישר זוית גדול, שהגובה hהוא ניצב שלו והניצב האחר יסומן . pחלקו האחר של המשולש הגדול אף הוא משולש ישר-זוית ו h-הוא ניצב אחד שלו. הניצב השני יסומן . qהפעם יהיה , a = p-qושטח המשולש הנתון הוא ph qh ph-qh (p-q)h ah = - = = 2 2 2 2 2 p a h q a p ■ תרגיל 4 מה שטחו של משולש ישר-זוית שהיתר שלו בן 13ס"מ ואחד הניצבים בן 5ס"מ? הנחייה :מצא את אורך הניצב השני בעזרת משפט פיתגורס. תרגיל 5 מה שטחו של משולש שוה-שוקיים ששוקיו בני 10ס"מ ובסיסו בן 6ס"מ? )עגל מספרים לא שלמים לדיוק של שתי ספרות שאחרי הנקודה העשרונית(. הנחייה :חוצה זוית הראש מחלק אותו לשני משולשים ישרי-זוית חופפים ,ושני חלקי הבסים הם בני 3ס"מ. 10 10 3 3 6 תרגיל 6 מה שטחו של משולש שוה-שוקיים ששוקיו בני 10ס"מ וגבהו בן 6ס"מ? תרגיל 7 מה אורך הגובה-אל-היתר במשולש ישר זוית שניצביו בני 6ו 8-ס"מ? )הגובה המבוקש מסומן בציור ב.(h- שלבי החישוב: חשב את שטח המשולש ,אחר-כך חשב את אורך היתר )מסומן בציור ב,(c- c 8 h ובהמשך השתמש בזה שהשטח שמצאת שווה ל. c ⋅ h - 2 6 תרגילים נוספים 10ס"מ .8מה שטח המשולש שנתוניו מפורטים בציור? 0 45 22ס"מ 29 עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז ) (10שטחי משולשים מבוא :גובה ובסיס במשולש הגדרה :בשם גובה של משולש קוראים לאנך מקדקוד של המשולש אל הצלע שמולו ,והצלע נקראת בסיס בשביל גובה זה. גובה בסיס כל קדקוד של המשולש יכול לשמש נקודת מוצא לְגובה .למטה משמאל דוגמה לבחירה נוספת של גובה ובסיס למשולש שלעיל. מימינו שרטוט המראה דבר נוסף :לפעמים פוגש גובה את הישר של הבסיס מחוץ לבסיס עצמו .לגובה כזה נקרא גובה חיצוני. ס י ס גובה ב גובה בסיס תרגיל 1 גזור משולש-נייר שכל זוויותיו חדות )קטנות מ ,(90 -קפל אותו באופן שהקפל יהיה גובה של המשולש, ישר אותו ,קפל שנית באופן שיתקבל גובה אחר ,ישר וקפל קיפול שלישי שיתן גובה שלישי. אם תעשה זאת בדייקנות תקבל ששלושת הגבהים נפגשים בנקודה אחת) .בעתיד נוכיח זאת(. o תרגיל 2 א .מהמשפט האומר שחוצה זוית הראש במשולש שוה-שוקיים מחלק אותו לשני משולשים חופפים ,נובע שחוצה-זוית זה הוא גם גובה .הסבר איך זה נובע! ב .אם הסברת זאת כהלכה הוכחת חלק ראשון של משפט המופיע בתרשים ההיסקים .מצא שם את המשפט וסמן vעל-יד חלקו הראשון. תרגיל 3 נכון או לא-נכון? o א .למשולש בעל זוית גדולה מ 90 -יש שני גבהים חיצוניים וגובה פנימי אחד. ב .גובה פנימי מחלק את המשולש לשני משולשים ישרי-זוית. ג .אם קטע מחלק משולש לשני משולשים ישרי זוית אז הוא גובה. ד .במשולש ישר-זוית ,כל ניצב הוא גובה ,והבסיס בשבילו הוא הניצב השני. ה .גובה של משולש קצר מכל צלע. שטח משולש משפט :שטח משולש ישר זוית שווה למחצית המכפלה של הניצבים. ובאותיות :אם aו b -הם ניצביו של משולש ישר-זוית אז שטחו הוא . ab 2 משפט זה נובע מן המשפט על השלמת משולש ישר-זוית למלבן ומהמשפט על שטחו של מלבן .הבה נפרט את ההוכחה. יהי נתון משולש ישר-זוית ABCשניצביו aו) b -כבציור(. נשלים אותו למלבן על-ידי משולש ABDהחופף לו. שטח המלבן הוא abלכן שטח המשולש הוא ab 2 ■ 28 A D b B o C 90 a עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז תרגיל 7 סולם שאורכו 3מטר נשען על קיר .רגלי הסולם הם במרחק 1מטר מהקיר .לאיזה גובה מגיע הסולם? 2 הנחייה :סמן את הגובה המבוקש ב ,h-מצא בעזרת משפט פיתגורס את hולפיו מצא את . h תרגיל 8 אלכסונו של מלבן הוא בן 10ס"מ ואורך צלע אחת הוא 8ס"מ .מה אורך הצלע השניה? תרגיל 9 לפני שהעמידו תורן לדגל קשרו בו שלושה חבלים בגובה 4מטרים. באיזה מרחק מו התורן יש לתקוע את היתדות אם אורך כל חבל הוא 7.3מטר ,ו 30-ס"מ מן החבל דרושים כדי לקשור אותו ליתד?. תרגיל 10 היתר במשולש ישר-זוית ושוה-שוקיים הוא בן 5ס"מ. א .מצא ללא שימוש במקש-השורש אם השוקיים גדולות ,קטנות או שוות ל 3.5 -ס"מ ? ב .מצא את את אורך השוק )בעזרת מקש השורש(. תרגיל 11 אורכו של חדר 6מטר ,רוחבו 4מטר וגבהו 3מטר. מה אורך האלכסון שלו? )אלכסון שבאויר( הנחיה :מצא תחילה את אלכסון הריצפה. y 4 x 6 תרגיל 12 נמק את הטענה הבאה: אנך מנקודה לישר קצר מכל קטע אחר מהנקודה לישר. A טענה זאת מופיעה כמשפט בתרשים ההיסקים .מצא אותה שם וסמן . v a C 27 90o B 3 עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז a b ציור א b b2 ציור ב a c2 b a2 a c b a b b a a גם c2וגם a2+b2שווים אפוא למה שנותר משטח הריבוע שצלעו a+bאחרי סילוק ארבעה עותקים של 2 2 2 המשולש הנתון ,לכן ■ a +b =c הערה :בתרשים ההיסקים יש ארבעה חיצים המוליכים אל משפטנו .האחד יוצא מן המשפט על שטח מלבן ,והוא נותן לנו ששטח הריבוע שצלעו cהוא ,c2וכן לריבועים האחרים .חץ שני בא מהמשפט האומר שמרובע בעל שלוש זויות ישרות הוא מלבן ,וכאן הוא נותן את התחלקות ציור ב למלבנים .חץ שלישי בא ממשפט החפיפה צז"צ והוא נותן את החפיפות של שמונה המשולשים ישרי הזוית שבציורים למשולש הנתון. חץ רביעי בא מהמשפט על סכום הזויות במשולש .משפט זה הופיע יחד עם משפט החפיפה צז"צ בהוכחת המשפט על ריבוע החסום בריבוע )ציור א( .כל חשיבותו של המשפט ההוא היא בתרומתו להוכחת משפטנו הנוכחי ,לכן לא הכנסנו את המשפט ההוא לתרשים ,ואנו מסתכלים על הוכחתו כעל חלק מהוכחת משפטנו .לכן אנו מתיחסים אל המשפט על סכום הזויות במשולש כאל שותף בהוכחת משפטנו. תרגיל 5 בציור שלהלן קטעים מלאים וקטעים מקווקוים .הקטעים המלאים הם באורך 1אינץ' כל אחד .הזויות המסומנות בקשתות קטנות הן ישרות. 2 2 2 ממשפט פיתגורס נובע ש x = 1 +1 = 1+1=2 -לכן .x= 2 =1.414שימוש נוסף במשפט פיתגורס יתן ש. y2 = x2+12= 2+1=3 - א .מצא את . y ב .מצא את z2ואחר-כך את zוהשוה עם הציור. ג .עוד כמה צעדים דומים נגיע שוב ליתר שאורכו מספר שלם? 1 1 y 1 z x 1 תרגיל 6 במשולש ישר זוית ניצב אחד בן 10ס"מ וחברו בן ס"מ אחד .בכמה ארוך היתר מן הניצב הגדול? )בפחות מחצי מילימטר!( 26 עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז ) (9משפט פיתגורס מבוא ראשון – שורשים את העובדה ש 32=9 -כותבים גם בצורה 9 = 3ובמלים " :שורש 9שווה " 3 דוגמה נוספת 16 = 4 :כי . 42=4.4=16 אך יש גם מספרים שלמים שהשורש שלהם אינו מספר שלם .למשל 2< 5 <3 ,כי 22=4<5ואילו . 32=9>5 כמעט כל מחשבון מכיל מקש-שורש ,ובעזרתו אפשר לקבל ש5 = 2.2360679… - אך בחישובים שנערוך כאן נסתפק בדיוק של אלפיות בלבד ,כלומר ,נכתוב . 5 = 2.236 בהמשך ,אחרי שנלמד נושא שאצלו יש לשורשים חשיבות גדולה ,נרבה בתרגילים על שורשים .כרגע נסתפק בתרגיל אחד המחייב היכרות עם מקש-השורש במחשבון: תרגיל 1 מצא את 7 + 13ואת . 7 + 13האם הם שוים? אם לא ,מי הגדול שבשניהם? משפט פיתגורס אם aו b -הם הניצבים במשולש ישר זוית ו c -הוא היתר אז . a2+b2=c2 להלן נוכיח משפט זה ,אך לפני-כן נתרגל את השימוש בו וגם נבדוק את נכונות המסקנות מן המשפט. c b a ובכן ,אם נשרטט משולש ישר-זוית עם ניצבים באורך 3 = aס"מ ו 4= b -ס"מ ונסמן את היתר ב c-אז על פי המשפט יהיה c2 = 32+42=9+16=25לכן . c=5 תרגיל 2שרטט על ניר משובץ משולש ישר זוית עם ניצבים 3ו 4-ובדוק אם היתר אמנם שווה . 5 אם ניצביו של משולש ישר זוית הם בני 5ס"מ ו 6 -ס"מ אז חישוב היתר )נקרא לו (cיהיה כך: , c2 = 52+62=25+36=61לכן . c = 61 = 7.810 תרגיל 3שרטט על ניר משובץ ובדוק. תרגיל 4 על ניר משובץ שרטט משולש ישר זוית שניצביו 12ו) 5-סנטימטרים או חצאי-סנטימטרים ,כרצונך(. חשב את אורך היתר ובדוק בשרטוטך. הוכחת המשפט: נשרטט שני עותקים של ריבוע שאורך צלעו .a+b את צלעות האחד נחלק לחלקים a,b,a,b,a,b,a,bבסדר מעגלי כבציור א ונחבר את נקודות החלוקה .נקבל את המצב שעליו מדבר המשפט על ריבוע חסום בריבוע שהוכחנו בעבר .על-פי משפט זה יתחלק הריבוע שלנו לריבוע פנימי שצלעו cולארבעה משולשים החופפים למשולש-ישר-הזוית הנתון .שטח הריבוע הפנימי הוא . c2 בעותק השני נקצה על שתי צלעות שכנות ,על-יד הקדקוד המשותף ,קטעים באורך , aונעלה שם אנכים לצלעות ,כבציור ב .האנכים יחלקו את הריבוע שלנו למלבנים ששנים מהם הם ריבועים ששטחיהם a2ו- , b2ואלכסונים יחלקו את המלבנים האחרים למשולשים החופפים למשולש-ישר-הזוית הנתון. 25 עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז .10נתונה תיבה )כל פיאותיה הם מלבנים( ומידותיה כבציור. א .מה שטח פניה )כלומר ,שטחם הכולל של המלבנים היוצרים אותה(? ב .כמה קוביות שאורכן ,רוחבן וגובהן הוא ס"מ אחד ,יכסו את תחתית התיבה? )את המלבן הנקוד .בציור הוא נראה מקבילית אך במבט מלמעלה הוא יראה מלבן( ג .כמה קוביות כאלה ימלאו את התיבה? 10ס"מ 7ס"מ 20ס"מ תרגילים נוספים .11א .הגדילו כל צלע של מלבן פי .2פי כמה גדל שטחו? ב .הגדילו כל צלע של מלבן פי .3פי כמה גדל שטחו? .12דונם הוא שטח בן 1000מ"ר .כמה דונמים בשדה מלבני שאורכו 300מטר ורחבו 200מטר? .13שטח ריבועי שארכו ורוחבו 8.5מטר הוקדש לגן-ירקות וחולק לשבילים ולערוגות בדרך הבאה :שביל היקפי שרחבו 1מטר מקיף את תחום הערוגות מארבעת צדדיו ,שביל ברוחב 0.5מטר כל אחד חוצה את השטח הנותר מאמצע צלע אל אמצע הצלע הנגדית ,ושלושה שבילים נוספים ,גם הם ברוחב 0.5מטר ,ניצבים לשביל זה במרחקים שווים באופן שמתקבלות שמונה ערוגות. א .שרטט את השטח הכולל ואת השבילים על ניר-משבצות באופן שסנטימטר אחד שבציור מייצג מטר אחד בקרקע. ב .שרטט מחדש את השטח הכולל ואת הערוגות בלבד. ג .מהו השטח של כל הערוגות ומהו שטח השבילים? .14רצף מרצף מדרכה במרצפות ריבועיות שאורך צלען אמה אחת .חלק מן המרצפות הן כהות ,חלקן בהירות וחלקן נחצות על-ידי אלכסון למשולש כהה ומשולש בהיר כבציור זה: קטע של המדרכה כלל שני ריבועים כהים שצלעם אמה וריבוע כהה יותר גדול, כבציור התחתון. א .נמק את הטענה ששטח הריבוע הכהה הגדול שוה לסכום שטחי שני הריבועים הכהים הקטנים. 1 ב .האם צלעו של הריבוע הכהה הגדול גדולה או קטנה מ 1 /2 -אמות ? ג .האם היא גדולה או קטנה מ 12/5 -אמות? 24 1אמה עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז נחלק את הצלע הקצרה ל 2-קטעים שאורך כל אחד , 1/3נחלק את הצלע הגדולה ל 7-חלקים שאורך כל אחד 1/4ונעביר אנכים כבציור שלעיל ,ואז יתחלק המלבן ל 2-שורות בנות 7 1 1 2 7 1 1 מלבנים ששטחו של כל אחד הוא ⋅ ,לכן שטח כל המלבן הוא ⋅ = 3 4 3 4 3 4 ⋅ ⋅. 2⋅7 דוגמתנו האחרונה תהיה מלבן שצלעותיו a = 2 2ו) . b =1 1 -הדוגמה אינה מכילה שום רעיון חדש 2 5 שלא הופיע בדוגמה הקודמת( נכתוב את הצלעות בצורה a = 12ו b = 3 -ונַראה ששטח המלבן הוא . ab = 12 ⋅ 3 5 5 2 2 לשם כך נחלק את aל 12-חלקים שאורך כל אחד 1/5ס"מ ואת bנחלק ל3- חלקים בני 1/2ס"מ ונשלים רשת מלבנים .נקבל 3שורות שבכל אחת 12 מלבנים ,ושטחו של כל אחד . 1 ⋅ 1השטח הכללי הוא אפוא . 3 ⋅12 ⋅ 1 ⋅ 1 2 5 2 5 על החישובים האלה ניתן לחזור גם אצל ערכים אחרים של aו. b - בסך הכל קיבלנו ממשפט רשת המלבנים את משפט שטחי המלבנים :שטחו של מלבן שווה למכפלת האורכים של שתי צלעותיו) .ראה תרשים(. הערה :לאורך כל הדיון מדדנו קטעים בסנטימטרים ושטחים בסנטימטרים-רבועים .כל מה שעשינו ישאר בתקפו גם אם נמדוד קטעים במטרים ושטחים במטרים רבועים ,גם אם נמדוד קטעים באמות ושטחים באמות-רבועות וכדומה ,ובלבד שיחידת המידה לשטח תהיה ריבוע שצלעו כיחידת המידה לאורך. תרגילים 5א .בבריטניה ובארה"ב נהוגה גם יחידת מידה לאורך הנקראת אִ ינְץ' ) .(Inchאורכה הוא 2.5ס"מ בקירוב .שרטט אינץ'-רבוע על ניר משבצות ומצא את שטחו בסמ"ר .חשב גם לפי משפט שטחי המלבנים. 5ב .ערך מדויק של אינץ' הוא 2.54ס"מ .מהו הערך המדויק של אינץ'-רבוע? .6מה שטח מלבן שצלעותיו 7 1ו 5 2 -ס"מ? 4 3 .7נתון מלבן שצלעותיו 5ו 11 -ס"מ .הראה על-ידי חישוב ששטחו גדול משטח ריבוע שצלעו 7ס"מ אך קטן משטח ריבוע שצלעו 8ס"מ. חשב את שטחי הריבועים שצלעם 7.1ס"מ 7.2 ,ס"מ 7.3 ,ס"מ וכן הלאה ,עד שתגיע לשני ריבועים ששטח המלבן שלעיל נמצא ביניהם. .8האם נכון שאם ארבע צלעותיו של ריבוע הן בנות aס"מ אז שטחו a.aסמ"ר ? נמק! .9במקום a.aכותבים גם a2וקוראים זאת " aבַּריבוע" .לדוגמה. 52=5.5=25 , מה יותר גדול 7 ,או ? 72מה יותר גדול 1 ,או 3 2 )( 3 ? 1מה יותר גדול 5 ,או 23 4 2 )(4 ? 5 עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז רבועות? ג .האם ריבוע שצלעו 70אמות גדול בשטחו מחצר המשכן או קטן ממנו? תרגיל 3 נתון מלבן שצלעותיו 4ס"מ ו 9-ס"מ .מה אורך צלעו של ריבוע ששטחו שווה לשטח המלבן הנתון? תרגיל 4 בתרשים שמשמאל חצר ,בית ושביל-כניסה .המספרים מציינים אורכים במטרים. מה שטח החצר במטרים רבועים )מ"ר( ? מה שטח הבית ומה שטח השביל? בעל הבית מתכוון לרצף 60מ"ר משטח החצר הנותר )לסוכה בחג הסוכות ,לכדור-סל בשאר השנה( ,ובשאר השטח יטע עצי-פרי .בכוונתו להקצות לכל עץ בממוצע 8 מ"ר )זה צפוף מדי בשביל מטע כלכלי אך סביר כאשר הגיוון חשוב יותר מכמות הפרי(. כמה עצים יוכל לטעת? 24 9 10 1 11 22 33 צלעות באורכים הניתנים במספרים לא שלמים האם הנוסחה abנותנת את שטחו של מלבן שצלעותיו aו b -גם כאשר aו b-אינם מספרים שלמים? בכוונתנו להראות שהנוסחה תקפה תמיד ,אך תחילה נעסוק במקרה אחד ,שאצלו a = 1ו. b = 1 - 3 2 הבה נתבונן בריבוע שצלעותיו ס"מ אחד ,נחלק צלע אחת לשני חצאים ואת חברתה לשלושה שלישים ,ונעלה אנכים כבמשפט רשת המלבנים. נקבל ששה מלבנים חופפים ,לכן שטחו של כל אחד הוא 1/6וזה אומר שנוסחת שטח המלבן תקפה גם כשאורכי הצלעות הם 1/2ו. 1/3 - הדוגמה הבאה שונה מהדוגמה הקודמת רק בפרטים שאינם משנים את מהלך המחשבה .בדוגמה זאת נעסוק במלבן שצלעו האחת 1/7ס"מ וצלעו השניה 1/3ס"מ ,כמו המלבן הכהה שבפינת הציור הבא .בעזרת רשת-מלבנים נמצא שריבוע שצלעותיו בנות 1ס"מ מתחלק ל3- שורות שבכל אחת 7מלבנים כאלה .מספרם הכולל הוא 3.7=21וכולם חופפים ,לכן שטח כל אחד הוא . 1/21גם הפעם שווה אפוא השטח למכפלת האורכים של הצלעות. שים לב לכך שמה שעשינו כאן אינו רק שתי בדיקות שכל אחת טובה רק בשביל המלבן שעליו היא מדברת .למעשה היצגנו שיקול שהוא בתוקף לכל מקרה שבו צלע אחת היא 1/mס"מ וצלע שניה היא 1/nס"מ )עם mו n-מספרים שלמים(. הדוגמה הבאה תתן צעד נוסף לכיוון ההוכחה הכללית. 2 יהי נתון מלבן שצלעו האחת 3 7 3 וצלעו השניה 1ס"מ ,כלומר ס"מ. 4 4 ס" מ 1 1 ⋅ 3 4 )מטעמי נוחיות הוא משורטט כאן בהגדלה ,בקנה מידה של ( 4:1 7 4 22 1 4 2 3 1 3 עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז תרגיל 3 תלמידים התבקשו לחלק מלבן נתון )שאינו ריבוע( לששה מלבנים חופפים ,והם עשו זאת בארבעה אופנים שונים כמודגם בציורים הבאים. א .הסבר מדוע אין דרך נוספת לעשות זאת. ב .בכמה אופנים ניתן לחלק את המלבן ל 9-מלבנים חופפים? ג .בכמה אופנים ניתן לחלק אותו ל 7-מלבנים חופפים? ד .בכמה אופנים ניתן לחלקו ל 15-מלבנים חופפים? ה .בכמה אופנים ניתן לחלקו ל 12-מלבנים חופפים? ) (8שטח מלבן סנטימטר ,הנכתב בקצרה ס"מ ,הוא יחידת-מידה למדידת אורך של קטע .מידתה היא כך: עשירית הס"מ נקראת מילימטר ונכתבת מ"מ .מטר אחד הוא 100ס"מ. במחברות המשובצות" ,מחברות-חשבון" הנהוגות בארץ ,אורך כל משבצת הוא חצי ס"מ. מרצפת-ריצפה מן הסוג השכיח ביותר בארץ היא באורך 20ס"מ ,אך מצויות גם מרצפות באורך 30 ס"מ. שטחים נמדדים בין השאר בסנטימטרים-רבועים .סנטימטר-רבוע נכתב בקצרה סמ"ר ,והוא מידת שטחו של ריבוע שכל צלע שלו היא בת ס"מ אחד .ראה משמאל. . אם נתון מלבן שצלעו האחת בת 5ס"מ וצלעו השניה בת 4ס"מ )כמודגם למטה בקו עבה( נוכל לחלק את צלעותיו לקטעים בני ס"מ אחד ולהעביר אנכים בנקודות החלוקה ,ועל-פי משפט רשת המלבנים יחולק המלבן שלנו למלבנים שכולם ריבועים בני סמ"ר אחד. אפשר לספור אותם ולראות שמספרם .20במקום לספור את כולם נשים לב לכך שהם מסודרים ב 4-שורות בנות 5ריבועים כל אחת ,או ב 5-עמודים בני 4ריבועים כל אחד ,ולכן מספרם הכולל הוא . 4 ⋅ 5 = 20המלבן כולל אפוא 20ריבועים בני סמ"ר אחד לכן שטחו 20סמ"ר. בדרכנו אל המסקנה ששטח המלבן שלעיל הוא 20סמ"ר לא השתמשנו בשום תכונה מיוחדת של המספרים 4ו 5-אלא רק בזה שהם מספרים שלמים ומכפלתם .20באותה דרך אפשר לקבל בשביל כל aו b-שלמים ,שאם צלע אחת של מלבן היא בת aס"מ וצלעו השניה בת bס"מ אז שטחו abסמ"ר. תרגיל 1 א .מה שטחה של מרצפת ריבועית שצלעה 20ס"מ? ב .כמה סמ"ר במטר רבוע? ג .למי שטח יותר גדול ,למלבן שצלעותיו 7ו 9-ס"מ או למלבן ששתי צלעותיו 8ס"מ )ריבוע( ? תרגיל 2 א .בתנ"ך ובתלמוד משמשת אמה כיחידת מידה לאורך .גודלה הוא ממרפק ועד קצות האצבעות של אדם ממוצע ,ומקובל לחשוב אותה ל 48-ס"מ .כמה סמ"ר באמה רבועה? ב .חצר המשכן )אוהל מועד( היתה מלבן שאורכו 50אמה ורחבו 100אמה .מה היה שטחה באמות- 21 עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז ההוכחות בשביל מרובע ז ,בשביל מרובע ח וגם בשביל כל שאר המרובעים שלא סומנו באותיות, דומות להוכחה בשביל ז. בסך הכל הוכחנו אפוא שניצבים לשוקי זווית ישרה החותכים אותם במרחקים שווים יוצרים רשת מלבנים. בשלב הבא נראה שכל המלבנים האלה חופפים. בציור א סומן ב a-האורך המשותף לקטעי שוק אחת של הזוית הישרה .כל הקטעים האלה הם צלעות של מלבנים ,לכן גם הצלעות הנגדיות להם שוות ל .a-זה מיוצג בציור ג על-ידי שורת החיצים התחתונה .שורת החיצים שמעליה מראה איך נקבל עוד שורת צלעות השוות ל ,a-וכן הלאה עד למעלה. בדרך דומה ,כמודגם בציור ד ,נקבל את שוויון הצלעות האחרות ל.b- ציור ג a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b ציור ד בזאת הוכח שכל המלבנים הנ"ל חופפים זה לזה. לשלב השלישי של הדיון ברשת המלבנים נקדים הגדרה )שמן הסתם אינה חדשה(: מלבן שגם צלעותיו הסמוכות שוות ,כלומר ,כל ארבעת צלעותיו שוות זו לזו ,נקרא ריבוע. )מלבן הוא מרובע מסוג מיוחד .ריבוע הוא מלבן מסוג מיוחד(. אם אחד המלבנים שברשת שעליה דיברנו הוא ריבוע ,אז ,a=bולכן כל המלבנים שברשת הם ריבועים .נצרף זאת למה שהוכחנו לעיל ,ונכתוב משפט מאוחד. משפט רשת המלבנים :ניצבים לשוקי זווית ישרה החותכים אותם במרחקים שווים יוצרים רשת מלבנים חופפים ,ואם אחד מהם ריבוע אז כולם ריבועים. שים לב לכך שלכל אורך ההוכחה הסתמכנו רק על המשפט האומר שאם במרובע שלוש זויות ישרות אז הוא מלבן )כלומר ,גם הזוית הרביעית ישרה ,וכל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו( .לך אפוא אל תרשים ההיסקים שבסוף החוברת ,מצא שם את משפטנו ואת החץ המוליך אליו ,וסמן vעל-יד המשפט. תרגיל 1 בציור שמשמאל זוית ישרה )בקו עבה( ,וישרים הניצבים לשוק אחת שלה וישרים הניצבים לשוק השניה ,אך המרחקים שבין נקודות המפגש עם השוקיים אינם שוים. האם גם המרובעים המתקבלים כאן הם מלבנים? האם הם חופפים? תרגיל 2 צלע אחת של מלבן גדול חולקה ל 9-חלקים שווים והצלע השכנה חולקה ל 11-חלקים שווים .בנקודות החלוקה העבירו אנכים לצלעות .לכמה מלבנים חופפים קטנים חולק המלבן הגדול? 20 עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז ) (7רשת מלבנים תהי נתונה זוית ישרה .נקצה בזה אחר זה קטעים שוים על השוק האחת שלה ונקצה קטעים שוים גם על השוק האחרת .אורך כל אחד מהקטעים שעל השוק האחת יסומן ,aואורך כל קטע שעל חברתה יסומן ) bכבציור א(. בנקודות החלוקה שעל כל אחת משתי השוקיים נשרטט אנכים לאותה שוק )כבציור ב( ולצורך המשך הדיון נסמן חלק מהמרובעים שהתקבלו באותיות א עד ח. b b ח ה b ז ו ד b ג ב א b ציור א a a a a ציור ב בכונתנו להוכיח שכל המרובעים המתקבלים בדרך זו הם מלבנים חופפים )גם אלה המסומנים באותיות גם אלה שאינם מסומנים וגם אלה שהיו מתקבלים אילו המשכנו את הבניה ימינה ולמעלה( .בשלב ראשון נוכיח שהם מלבנים ורק אחר-כך נוכיח שהם חופפים. יותיו ˆ1א ˆ 2 , נתבונן תחילה במרובע א )בציור המוגדל שמשמאל( ונסמן את זוו א וכו' )כדי להבדילם במ ˆ1 -וכדומה ,שבמרובעים אחרים(. א ˆ1היא ישרה שהרי זו הזוית שהיתה נתונה בתחילה. א ˆ 2או ˆ 3 -הן ישרות כי הישרים שהוספנו )בציור ב( הם אנכים לשוקי הזוית 4 2 א a 3 b 1 הנתונה. על פי המשפט על מרובע שיש לו שלוש זויות ישרות ,המרובע א הוא מלבן. נעבור להתבונן במרובע ב. ב ˆ1בו ˆ 2 -ישרות לפי הבניה. כי ˆ 4ישרה. ב ˆ 3ישרה א לפי המשפט שהזכרנו לעיל מרובע ב הוא מלבן. 4 ב 43 א 21 2 3 1 באופן דומה נקבל ,כעת ,שגם מרובע ג הוא מלבן ,וכן לשאר המרובעים שלאורך השוק התחתונה של הזוית הנתונה בציור א. ההוכחה שמרובע ד הוא מלבן תהיה דומה להוכחה בשביל מרובע ב .מזה נמשיך למרובע ה ,וכן הלאה לאורך השוק השמאלית של הזוית הנתונה בציור א. נעבור אל מרובע ו ,והפעם נשתמש הן במה שכבר הוכחנו על מרובע ב והן במה שכבר הוכחנו על-ד. ו ˆ1ו ו ˆ2 -ישרות בכי ˆ 3וב ˆ 4 -ישרות . כי ˆ4ישרה. ו ˆ3ישרה ד לכן ו מלבן. 19 4 4 3 ד ו 2 4 2 ב 21 3 1 3 1 עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז תרגיל 4 המשולש ABCהוא גם ישר-זוית וגם שווה-שוקיים. הצלע ABהיא היתר שלו כאשר מסתכלים עליו כעל ישר- זוית ,והיא הבסיס שלו כאשר מסתכלים עליו כעל שוה- שוקיים .מצא את מידתה של כל אחת מזוויותיו. C A B C תרגיל 5 המשולש ABCהוא משולש שוה-שוקיים "מכל צד" ,כלומר, . CA = BC = ABמשולש כזה נקרא "משולש שוה צלעות" .הסבר איך נובע מכאן שכל אחת מזויותיו היא בת . 60o A B נספח :מהאמור בתרגיל 5אפשר להסיק שהיקף מעגל גדול יותר מפי שלושה מהקוטר .דרך ההיסק :נצא מנקודה שעל המעגל ובסיוע קשתות שמחוגן כמחוג המעגל נבנה בזה אחר זה משולשים שווי צלעות כבציור .נקבל סגירה מדויקת כי הזוויות בנות .600היקף המשושה קטן מהיקף המעגל. תרגילים נוספים .6חיברו את אמצע צלעו של מלבן עם שתי הקצוות של הצלע הנגדית .צייר דוגמה על דף משובץ ,והוכח שהתקבל שם משולש שוה שוקיים. .7חידה :שלושת המשולשים א ,ב ו -ב+א הם שוי שוקיים .מה גודל כל זוית שלהם? )אין להשתמש במד-זוית כי הציור אינו מדוייק( ב א * .8להלן הוכחה שאם הצלע ABשבמשולש ABCקטנה מהצלע ACאז ˆ Bגדולה מ. Cˆ - השלם את החלקים החסרים. המשולש ABCמצויר משמאל בקו עבה .והזויות ˆ Bו Cˆ -מסומנות ב 1-ו2- A . על המשך ABנסמן נקודה Dכך ש ,AD=AC -נחבר אותה עם Cונסמן את הזויות המתקבלות ב 3-ו 4-כבציור. ˆ ˆ 3גדולה מ 2ˆ -כי הנקודה Dהיא מחוץ ל. 2 - _____ 4ˆ = 1800- Aˆ -כי______________________ B 1 3 2 4 ואילו _____ 1ˆ = 1800- Aˆ -מסיבה דומה. D C לכן ˆ _____ 1מ. 4ˆ - ˆ 3ˆ = 4כי _____________________________ ובסיכום נקבל ש. 1ˆ > 4ˆ = 3ˆ > 2ˆ - 18 עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז A .5היא מרכז מעגל C ,B .ו D-הן נקודות שעל המעגל. הרדיוס ACמחלק את הזוית BADלשני חלקים שווים. הוכח ש. BC = CD - B C A D ) (6משולש שווה שוקיים הגדרות :משולש שיש לו שתי צלעות שוות נקרא משולש-שווה-שוקיים .הצלעות השוות נקראות שוקיים .הזווית שביניהן נקראת זוית הראש .הצלע הנוספת נקראת בסיס והזויות שלידה נקראות זויות הבסיס .הקטע המחבר את קדקוד זוית הראש עם הבסיס ומחלק את זווית הראש לשני חלקים שווים נקרא חוצה-זוית-הראש. זוית הראש חוצה זוית הראש שוק זוית בסיס שוק הבסיס זוית בסיס משפט :חוצה זווית הראש במשולש שווה-שוקיים מחלק אותו לשני משולשים חופפים. A לקראת ההוכחה נסמן קדקודים וזויות כבציור שמשמאל) .למען B הגיוון לא צירנו את הבסיס מקביל לקרקע אלא נטוי .זה אינו מפריע למשולש להיות שווה-שוקיים(. D ההוכחה: נתון ש) AB = AC -המשולש הוא שווה שוקיים( C נתון ש AD) Aˆ1 = Aˆ2 -מחלק את זוית הראש לשני חצאים, כלומר ,לחלקים שווים( וכמובן. AD = AD , המשולשים ABDו ACD -שווים אפוא בשתי צלעות ובזוית הכלואה ביניהם .על-פי משפט החפיפה הראשון נובע שהם חופפים ■ 1 2 משפט :במשולש שווה-שוקיים שוות זויות הבסיס זו לזו. הוכחה :הדבר נובע מהחפיפה שבמשפט הקודם ■ בתרשים ההיסקים שבסוף החוברת מופיעים שני המשפטים שהוכחנו זה עתה ,ומסומנים חיצים המראים ממה נובע כל אחד מהם .מצא את המשפטים וסמן vעל-יד כל אחד מהם. תרגיל 1 נתון שבמשולש PQRשוות הצלעות PQו . PR -האם ˆ Pהיא זוית הראש או זוית בסיס? עוד נתון ש Pˆ = 20o -מצא את ˆ Qואת ˆ! R תרגיל 2 מה גודלה של זוית הראש במשולש שוה-שוקיים אם אחת מזויות הבסיס שלו היא בת ?70o תרגיל 3 הסבר מדוע לא יתכן משולש שוה-שוקיים שאחת מזויות הבסיס שלו היא בת . 90 o 17 עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז AE=BF=CG=DHכבציור. מכאן ש ,HA=EB=FC=DD -ומכיוון שזויות הריבוע ישרות נקבל ממשפט החפיפה צז"צ שהמשולשים שבפינות FCG ,EBF ,HAE ,ו , GDH -חופפים זה לזה .מכאן שצלעות המרובע הפנימי EFGHשוות זו לזו. Fˆ + Eˆ + Bˆ = 180oוˆ - Bישרה לכן Fˆ1 + Eˆ 2 = 90o 1 2 מהחפיפות שהוכחנו נובע ש Eˆ1 = Fˆ1 -לכן Eˆ1 + Eˆ 2 = 90oלכן . Eˆ3 = 90o בדרך דומה נקבל שגם שאר זויות המרובע הפנימי ישרות לכן הוא ריבוע ■ הערה :במקום "בדרך דומה נקבל "...שבשורה האחרונה יכולנו להסתמך על הנחת היסוד על מרובע שצלעותיו הנגדיות שוות ויש לו זוית ישרה. תרגיל 1אם רוצים לכלול את המשפט האחרון בתרשים ,מאילו משפטים קודמים יש למשוך חיצים אל משפט זה? . תרגיל 2 נתון מלבן ואלכסוניו וגודלה של זוית אחת ) ,(40oוזויות אחרות מסומנות במספרים מ 1-עד 11 כבציור .אין קשר בין גודלה של כל זוית ובין מספרה. מצא את גודלה של כל זוית. 8 הנחיות: 9 7 10 מוצע להעתיק את הציור על דף ולכתוב שם את מידת כל זוית מיד 5 כשתמצא אותה .הדבר יעזור במציאת הזויות הבאות. 6 4 מוצע למצוא את הזויות לפי סדר מספריהן. 2 את ˆ 1אפשר למצוא לפי החפיפה שהופיעה בהוכחת המשפט על 11 3 o 1 40 אלכסוני המלבן. ˆ 2תתקבל בעזרת המשפט על סכום הזוויות במשולש. ˆ 3תתקבל מזה ש. 1ˆ + 3ˆ = 90o - ˆ 4תתקבל מזה ש. 2ˆ + 4ˆ = 180o - תרגיל 3 הנקודות E,F,G,Hהן אמצעי הצלעות של המלבן . ABCD א .הסבר כיצד נובע מזה שכל צלעותיו של המרובע EFGH שוות זו לזו. ב .סמן את GHEב 1-וסמן את GFEב ,2-ונמק את הטענה ש- ˆ 1ˆ = 2בעזרת החפיפות שמצאת בשביל א ובעזרת סימון עוד זויות על-פי הצורך. G C B H F D A E תרגילים נוספים .4הקדקודים Cו D -של המלבן ABCDחוברו אל הנקודה ,Mשהיא אמצע הצלע . AB א .אילו שני משולשים שבציור נראים חופפים? ב .הוכח שהם חופפים ! ˆ ˆ ג .הסבר כיצד נובע מהחפיפה ש. 1 = 2 - 16 C B 1 2 M D A עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז ) (5שימוש במשפט החפיפה צז"צ אלכסוני מלבן אם נשרטט מלבן עם אלכסון אחד )כבציור א( ,נעתיק אותו על נייר או על פלסטיק שקוף ,נהפוך את העותק ונניח אותו על השרטוט המקורי )כבציור ב( נקבל מלבן עם שני אלכסוניו. ב א שני אלכסונים אלה שוים באורכם ,שהרי אחד מהם אינו אלא עותק של חברו. טענה :בכל מלבן שווים שני האלכסונים זה לזה. אפשר לבדוק טענה זאת על-ידי נסיונות נוספים כדלעיל .אפשר להשתכנע בנכונותה גם על-ידי התבוננות ישירה )אנשים רבים פיתחו "עין-גיאומטרית-מחשבתית" המסוגלת להבחין גם בנכונותן של טענות גיאומטריות יותר מסובכות מן הטענה הפשוטה שאנו דנים בה כעת( אך כאן נלך להראות שהטענה היא משפט .במלים אחרות ,נראה שיש לה הוכחה המתבססת על משפטים קודמים ,ולכן הטענה היא מסקנה מהנחות היסוד שלנו. והרי ההוכחה: יהיו נתונים מלבן ABCDושני אלכסוניו )כבציור האמצעי שלפנינו( ונתבונן בשני המשולשים ABC ∆ ו) ∆ DCB -בשני הציורים הצדדיים הם מצוירים פעם נוספת(. הצלע A A D D AB שווה לצלע C B C C B B DCכי הן צלעות נגדיות במלבן. הצלע BCשווה לצלע CBכי הן אותו קטע עצמו. הזוית ABCשווה לזוית DCBכי שתיהן בנות ,90oכי שתיהן זוויות של מלבן. לפי משפט החפיפה צז"צ נובע מכאן ש , ∆ DCB ∆ ABC -וזה אומר ,בין השאר ,ש AC -שוה ל .DB -זה מה שהיה להוכיח ■ לאור ההוכחה ניתן לשלב את המשפט בתרשים ההיסקים שלנו ,עם חץ היוצא ממשפט החפיפה הראשון אל משפטנו .לא יכולנו לעשות זאת מיד אחרי הבדיקות הנסיוניות שבראש הסעיף ,כי הבדיקות הנסיוניות אינן מראות שהמשפט נובע מחלקים קודמים שבתרשים. גם אחרי ההוכחה לא כללנו את המשפט בתרשים ,וזאת כדי שהתרשים לא יהיה דחוס מדי. המשפט הבא יהיה יותר חשוב מן המשפט הנוכחי ,כי הוא ישמש בעתיד בסיס להוכחת משפט מרכזי, אך גם הוא אינו מופיע בתרשים. F B ריבוע חסום בריבוע משפט :אם על ארבע צלעות ריבוע נקצה ארבעה קטעים שווים מהקדקודים ,באותה מגמה ,ונחבר את הנקודות הנוצרות על הצלעות על פי סדר הצלעות ,המרובע שיתקבל הוא ריבוע. הוכחה: נתון ריבוע ,ABCDועל צלעותיו נקודות G ,F ,Eו ,H-כך ש- 15 C 1 G 2 3 E 1 A H D עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז היסוד החדשה( וחיצים מוליכים מהן אל חמשת המשפטים שהוכחנו )המשפט החדש וארבעה משפטים קודמים( .כן מכיל התרשים גם משפטים שעדיין לא הוכחנו .מוצע אפוא לסמן שם vעל-יד כל משפט שכבר הוכחנוהו ,וכך נוכל לעקוב אחר מהלך התקדמותנו. ענין נוסף :מבט כללי על תרשים ההיסקים הגדול יראה ששלושת הנחות היסוד שהנחנו עד כה הן כל הנחות היסוד שתופענה בחוברת הנוכחית. סימון . ∆ ABC את הטענה שהמשולשים ABCו DEF -שלעיל הם חופפים כותבים בצורה ∆ DEF פירושו "חופף". במקום "משולש" כותבים ∆ ואילו סדר כתיבת הקדקודים חייב להתאים לסדר החפיפה )מי מתאים למי( לכן נכתבת החפיפה הזאת גם . ∆ ABC ∆ CABאך לא בצורה ∆ EDF בצורה ∆ FDE חידות חפיפה העתק כל אחת משלושת הצורות המצוירות כאן על ניר ונסה להוסיף לה קוים המחלקים אותה לשלושה משולשים החופפים זה לזה .אם נראה לך שהצלחת, גזור ובדוק חפיפה על-ידי הנחת המשולשים זה על זה. )הצורות צוירו באופן שאפשר לחלקן כמבוקש(. תרגיל נתון שהקטעים ABו CD -נפגשים ב H-שהיא נקודת האמצע של כל אחד מהם ,כלומר AH=BH ,ו.CH=DH - נוסף לזה נתון שהזוית Hˆ 1היא בת .800 א .חשב את הזוויות האחרות שקדקודן הוא .H ב .נמק )בעזרת חפיפות( שAD=BC - וש. AC=BD - ˆ ג .האם השוויונות האלה היו תקפים גם אם הייתה הזוית H1 בת ? 650 14 D B 4 2H 1 3 A C עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז ) (4חפיפת משולשים C שני משולשים נקראים חופפים אם צלעות האחד וזוויותיו שוות ,על פי סדרן ,לצלעות השני ולזוויותיו .לדוגמה ,המשולשים ABC ו DEF -חופפים כאשר מתקיימים ששת השוויונות , CA=FD , BC=EF , AB=DE ˆ ˆ , ˆ ˆ ˆ ˆ , A=D . C=F B=E )בציור סומנו הצלעות המתאימות והזויות המתאימות בסימון דומה(. E F B D A בעזרת הנחת-היסוד על דבר העתקת משולשים ,ובעזרת הנחת יסוד נוספת האומרת שדרך שתי נקודות שונות עובר קו ישר אחד בלבד ,נוכיח שאם שתי צלעות והזוית שביניהן אשר במשולש אחד שוות לשתי צלעות ולזוית שביניהן במשולש שני ,אז המשולשים חופפים ,כלומר ,גם הצלע הנוספת ושתי הזויות הנוספות אשר במשולש האחד ,שוות על פי הסדר לחברותיהן אשר במשולש השני. B E D C F A נניח אפוא שˆ ˆ - , A=Dש AB=DE -וש) AC=DF -כמסומן בציור( ונראה איך נובע מזה שהמשולשים חופפים) .לנוחיות ההסבר ישורטט המשולש ABCבקו מרוסק עבה(. על-ידי הזזה וסיבוב נעתיק את המשולש ABCבאופן שהזוית ˆ Aתהיה מונחת על הזוית ˆ . Dכך תתקבל האפשרות שבציור א או האפשרות שבציור ב .אם התקבלה אפשרות א נהפוך את המשולש ABCוכך נגיע בכל מקרה לאפשרות שבציור ב. E B=E C ציור א ציור ב A=D F A=D C=F B הצלע ABתהיה אפוא מונחת בדיוק על הצלע DEהשווה לה ,והצלע ACתהיה על DFהשווה לה. זה אומר שהקדקוד Bיהיה על הקדקוד Eוהקדקוד Cיהיה על . F מכיוון שדרך שתי נקודות עובר ישר אחד בלבד תהיה הצלע BCבדיוק על .EFהמשולש ABD הועתק אפוא בדיוק על המשולש DEFוזה אומר שהם חופפים ■ מתוך שתי הנחות יסוד ,אחת ישנה ואחת חדשה ,הוכחנו אפוא את המשפט הבא: אם שני משולשים שווים בשתי צלעות ובזווית הכלואה ביניהם אז הם חופפים. משפט זה נקרא משפט החפיפה הראשון וגם משפט החפיפה צז"צ )ראשי תיבות של צלע-זווית-צלע(. תרשים ההיסקים הגדול את הנחת היסוד החדשה ואת המשפט החדש נוכל לצרף לתרשים-ההיסקים שבנינו בסעיף הקודם ,אך במקום להציג כאן את התרשים המורחב נפנה את הקורא לתרשים גדול המופיע בסוף החוברת .בראש התרשים הזה מופיעות במסגרות עבות שלושת הנחות היסוד שלנו )שתי הנחות היסוד הישנות והנחת 13 עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז תרגיל 3 משמאל משולש ועליו כתובים אורכי הצלעות ומידות שתים מהזוויות )מעוגלות(. א .מה מידת הזוית השלישית? o מ " ס 3 הצלעות הן הקטנה הזוית שוקי : ב .למשולש זה התכונה הבאה 104 2ס"מ הגדולות )כלומר ,הגדולה ביותר והבינונית( ושוקי הזוית ? 47o הגדולה הן הצלעות הקטנות. 4ס"מ התוכל לשרטט משולש שאין לו תכונה זאת? תרגילים נוספים .4חשב את ארבע הזויות שסביב Aעל-פי הזויות שמידותיהן כתובות בציור. )הציור אינו מדויק( A 600 0 40 .5סכום זויותיו של מלבן הוא .3600האם הוא הדין לכל מרובע? נמק! A .6נתונות זויות כמסומן בציור .חשב את האחרות. ________ = ABC ________ = ACD ________ = CAD 0 30 850 350 C D .7נתון משולש . ABC א .כיצד תשתנה ˆ Cאם נזיז את הנקודה Bאל נקודה שבהמשך השוק . ABהאם היא תגדל או תקטן? ב .כיצד תשתנה ˆ? B ג .הסבר מדוע מובטח שהסכום ˆ Bˆ + Cלא ישתנה . C B 12 A B עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז מרובע שצלעותיו הנגדיות שוות ויש לו זווית ישרה ,הוא מלבן. ניתן להזיז משולש ממקום למקום ,לסובבו ולהפכו ,בלי לשנות את צלעותיו וזוויותיו. אם למרובע שלוש זוויות ישרות אז הוא מלבן. משולש ישר זווית ניתן להשלמה למלבן עם היתר כאלכסון ,והמשולש המשלים חופף לו. סכום הזוויות במשולש ישר זווית הוא .1800 סכום הזוויות במשולש הוא .1800 הערה א :תרשים זה מבליט את העובדה שגם שני משפטינו החדשים הם ,בעצם ,מסקנות משתי הנחות היסוד שבראש התרשים. הערה ב :תוכנו של המשפט שלפני האחרון )על סכום הזויות במשולש ישר זוית( נכלל במשפט האחרון )על סכום הזויות בכל משולש( ,אך נזקקנו לו לצורך הוכחת המשפט האחרון. סכום הזויות במשולש דרך קיפולי ניר כבר הוכחנו שסכום הזויות במשולש הוא ,180לכן אין לנו ספק בנכונות המשפט .אך כדי להסתכל על המשפט מנקודת-מבט אחרת נלך לבדוק אותו על-ידי קיפולי נייר. נגזור משולש-נייר כלשהו כבציור א ,נקפל אותו כבציור ב ,ונחזור וניישר אותו כבציור ג .כעת נקפל את שני קצות הצלע שלמטה אל הנקודה שבה פוגש הקפל המאונך את הצלע הזאת )ציור ד( ונקפל את הקדקוד העליון אל אותה נקודה )ציור ה(. o א ב ג נקבל ששלושת זויות המשולש מכסות בדיוק שתי זויות ישרות ,לכן סכומן . 180o ד תרגיל 2 שני עותקים של המשולש ישר הזוית ABCהונחו עליו כבציור שמשמאל ,והתקבל ש Aˆ -מכילה את ˆ Bבדיוק פעמיים . מה תוכל להסיק מזה על גודלן )במעלות( של זוויות אלה? A B 11 ה C עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז . אם נקפל דף ניר מלבני כבציור הבא נקבל זוית בת . 45o בעזרתה תוכל לראות ש 1ˆ -שלעיל קטנה מ 90o -אבל גדולה מ45o - תרגיל ) 1חלק ב( :מי מן הזויות שסימנת קטנה מ , 45o -מי בין 450ו 90o-ומי גדולה מ? 90 - o 45o 90o סכום הזויות במשולש על סמך המשפט האומר שכל משולש ישר זוית ניתן להשלמה למלבן על-ידי משולש חופף לו ,נוכיח את המשפט הבא: משפט :סכום זויותיו של משולש ישר זווית הוא . 180o הוכחה :יהי נתון משולש ישר זוית כלשהוא )דוגמה מצויירת בקו רגיל( .נשלים אותו למלבן כאמור במשפט שהזכרנו לעיל )זה מצויר בדוגמתנו בקו מרוסק( ונסמן זויות כבציור. כל זויותיו של מלבן הן בנות 90oלכן סכומן הוא , 360oכלומר, 3 4 . 1ˆ + 2ˆ + 3ˆ + 4ˆ + 5ˆ + 6ˆ = 360o 5 2 מכיוון שהמשולשים חופפים1ˆ + 2ˆ + 3ˆ = 4ˆ + 5ˆ + 6ˆ , לכן , 1ˆ + 2ˆ + 3ˆ = 180oוזה מה שאומר המשפט 1 6 ■ שים לב לכך שהוכחה זאת טובה בשביל כל משולש ישר-זוית ולא רק למשולש שציירנו .מצד שני, הוכחה זאת טובה רק למשולשים ישרי-זוית. בעזרת המשפט שהוכחנו זה עתה על סכום הזוויות של משולש ישר-זוית נוכל להוכיח שגם סכום הזויות של כל משולש אחר הוא . 180o משפט :סכום הזוויות במשולש הוא . 180o 4 1 הוכחה :לאחת הצלעות נשרטט אנך העובר דרך הקדקוד שמולה, ומחלק את המשולש לשני משולשים ישרי זוית .נסמן זוויות כבציור. על פי המשפט הקודם 1ˆ + 2ˆ + 3ˆ = 180o ,וגם . 4ˆ + 5ˆ + 6ˆ = 180o 5 מכיוון ש 3ˆ = 90o -וגם 6ˆ = 90oנקבל ש- 1ˆ + 2ˆ = 90oוגם , 4ˆ + 5ˆ = 90o לכן , 1ˆ + 2ˆ + 4ˆ + 5ˆ = 180oוזה מה שאומר משפטנו 2 36 ■ נציין שהוכחה זאת טובה בשביל כל משולש שהוא ,כי כל משולש ניתן לחלוקה לשני משולשים ישרי זוית. את שני משפטינו החדשים נוכל לצרף לתרשים ההיסקים שבנינו בסעיף הקודם. 10 עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז מרובע שצלעותיו הנגדיות שוות ויש לו זווית ישרה ,הוא מלבן. אם למרובע שלוש זוויות ישרות אז הוא מלבן. ניתן להזיז משולש ממקום למקום ,לסובבו ולהפכו ,בלי לשנות את צלעותיו וזוויותיו. משולש ישר זווית ניתן להשלמה למלבן עם היתר כאלכסון ,והמשולש המשלים חופף לו. החיצים שבתרשים מציינים שכל אחד משני המשפטים הוא מסקנה משתי הנחות היסוד. תרגיל למחשבה החללית שלנו נחתה על כוכב-לכת מרוחק ולהפתעתנו נוכחנו שנחתנו במגרש משחקים של בית ספר .נכנסנו לכתה ונוכחנו שהם מדברים עברית ולומדים גיאומטריה ,ועל הלוח שלהם כתוב "הנחות-יסוד :סכום הזויות בכל מרובע הוא ) "3600אצלנו אין זו הנחת יסוד ,ובעתיד נראה שהיא מתקבלת כמסקנה מהנחות היסוד שלנו( .המורה מבקש מן התלמידים להוכיח שסכום הזויות במשולש הוא . 1800 תלמיד א :נצרף למשולש שלנו משולש נוסף ,צירוף הזויות של שני משולש נוסף המשולשים נותן זויות של מרובע לכן סכומן ,3600לכן לכל משולש .1800 משולש נתון תלמיד ב :ההוכחה אינה טובה .מה מבטיח לנו ש360 - המעלות מתחלקות בשווה בין שני המשולשים? אך אם נשתמש בעקרון העתקת המשולשים ,ולתפקיד המשולש הנוסף ניקח עותק של המשולש הנתון נהפוך אותו ונשים אותו כבציור שמימין ,אז ההוכחה תהיה בסדר. תלמיד א :לא צריך את זה .כמו שלכל המרובעים אותו סכום זויות כך גם לכל המשולשים. המורה :הנה באו אורחים מכדור הארץ .שלום אורחים יקרים .התוכלו לומר לני מי משני התלמידים צודק? ) (3זויות במשולש סימון זויות ומדידתן הזוית שקדקודה בנקודה Aועל שתי שוקיה נמצאות הנקודות Bו) C -כבציור( מסומנת BACונקראת "הזוית ."C ,A ,B B מסמנים אותה גם CABוגם BACוגם . CABבכל מקרה יש להקפיד על כתיבת הקדקוד Aבאמצע. כשאין חשש לטעות אפשר לקצר ולכתוב ˆA או . Aקיצורים נוספים נכיר בהמשך. A C D תרגיל ) 1חלק א(: בציור שמשמאל מצויר מרובע .ABCD לנוחיות ההעתקה למחברת הוא מצויר בקו עבה .העתק! בתוך ADCכתובה הסיפרה . 1 כתוב 2בתוך , DCAכתוב 3בתוך ,ACBכתוב 4ב- , CBAכתוב 5ב BAC -וכתוב 6בתוך הזוית .CAD 1 C A זוית ישרה מתחלקת ל 90-מעלות .כותבים זאת בצורה90o B 9 עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז שים לב לכך שהוכחה זאת מוכיחה את טענתנו בבת-אחת בשביל כל משולש ישר זוית .השיקול שבהוכחה אינו תלוי בצורת המשולש-ישר-הזוית המצויר ,והוא בתוקף גם אם הציורים נראים ,למשל, כך: הדבר החדש שראינו כאן אינו עצם העובדה שמשולש ישר זוית ניתן להשלמה למלבן ,אלא שניתן להוכיח זאת מהנחת היסוד על מרובע עם צלעות נגדיות שוות וזוית אחת ישרה. כעת ניגש להראות שגם את כלל א שלעיל ,האומר שאם למרובע שלוש זויות ישרות הוא מלבן ,ניתן להוכיח מתוך הנחת היסוד שלנו) .ההוכחה פחות פשוטה מההוכחה הקודמת ,ולפי סדר העניינים שבספר ניתן לדחותה אל אחרי סעיף (.5 יהא נתון מלבן ששלוש מזויותיו ישרות ,כמסומן בציור א .נבצע בו ,במחשבה בלבד, את הפעולות הבאות : נשרטט בתוך המלבן אלכסון המחבר קדקודים של שתי זויות ישרות ,ונמחק זמנית את שתי הצלעות שמול הזוית הישרה הנוספת .ישאר משולש ישר-זוית כבציור ב. כעת ניצור עותק של המשולש ,נזיז ונסובב אותו ,ונצמיד אותו לאלכסון כבציור ג. ציור א ציור ב ציור ג כמו בהוכחה הקודמת נקבל מהנחת היסוד שלנו שהמרובע שהתקבל הוא מלבן .ומכיוון שזויותיו ישרות ,וגם הזויות שמחקנו אצל המרובע הראשון הן ישרות ,מונחות הצלעות החדשות של המלבן בדיוק על הצלעות שמחקנו .מכאן שהמלבן החדש הוא בדיוק המרובע המקורי ,מכאן שגם המרובע המקורי הוא מלבן .זה מה שרצינו להוכיח ■ הנחת יסוד נוספת עיון בהוכחה האחרונה וגם בהוכחה הקודמת יראה שבשתיהן הסתמכנו לא רק על הנחת היסוד בדבר מרובעים בעלי זוית ישרה וצלעותיהם הנגדיות שוות ,אלא גם על ההנחה שניתן לסובב ולהזיז משולש אל מקום רצוי בלי שהדבר ישנה את אורכי הצלעות שלו .הבה ננסח הנחת יסוד נוספת האומרת קצת יותר: ניתן להזיז משולש ממקום למקום ,לסובבו ולהפכו ,בלי לשנות את צלעותיו וזוויותיו. לטענה המוכחת מתוך הנחות-יסוד קוראים משפט. הנחות היסוד שבסעיף הנוכחי והמשפטים שהוכחו בעזרתם מסוכמים בתרשים הבא: 8 עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז דעות על התוכן אלא רק בשאלה ממה כדאי להתחיל. תרגילים נוספים .1להלן שתי רשתות שנגזרו מדף-חשבון מהסוג הרגיל )משבצות של חצי סנטימטר( על כל אחת מהן מודגשות שתי נקודות-רשת ומשורטט הקטע המחבר אותן .בציור הימני מונח קטע זה על קו- רשת ובציור השמאלי הוא אינו על קו-רשת. B N A M התוכל להשלים כל אחד מהקטעים למלבן שגם שני קדקוקיו האחרים הם בנקודות-רשת? )גם בציור השמאלי ניתן לעשות זאת ביותר מאופן אחד .ולתשומת לבך ,ריבוע הוא מין מלבן(. .2שרטט במחברתך מלבנים נוספים שקדקודיהם בנקודות-רשת אבל צלעותיהם אינן על קוי רשת. .3גם תרגיל זה יעזר בקוי-הרשת של דף חשבון ,אך בעתיד נראה שהמסקנה העולה ממנו היא בתוקף גם ללא קשר עם קוי הרשת. ובכן ,הדגש שתי נקודות-רשת הנמצאות על קו רשת אופקי ,סמן אותן באותיות Aו B -וחבר אותן בקטע כבציור. שרטט בעזרת קוי הרשת אנך לקטע בנקודה Aבאופן שקצהו יהיה גם הוא בנקודת-רשת ,וסמן קצה זה ב . C-שרטט אנך היוצא מ B-שאורכו כאורך האנך הקודם וסמן את קצהו ב D-וחבר את Cו.D- . אחרים באורכים האם קבלת מלבן? חזור על הנסיון פעם נוספת אך A B ) (2מהנחות-יסוד אל מסקנות הבה נקבל כהנחת-יסוד את הכלל האומר שאם במרובע שוות הצלעות הנגדיות )כל צלע שוה לצלע הנגדית( ואם יש לו זוית ישרה אז המרובע הוא מלבן. על סמך הנחת יסוד זאת נוכיח שכל משולש ישר זווית ניתן להשלמה למלבן עם היתר כאלכסון, והמשולש המשלים חופף לו. ההוכחה: יהי נתון משולש ישר זוית כבציור א .ניצור עותק שלו )במחשבה בלבד( נזיז ונסובב אותו ונצמיד יתר עם יתר כבציור ב. ציור ב ציור א למרובע שהתקבל )בציור ב( צלעות נגדיות שוות וזוית ישרה )אפילו שתים(, ומהנחת היסוד שלנו נובע שהוא מלבן ■ 7 עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז הציור האחרון יעניין אותנו במיוחד .בציור זה סובבנו את הצלע cבאופן שתיצור עם הצלע bזוית ישרה .בדיקה תראה שכתוצאה מזה כל הזויות שבמקבילית הן ישרות ולכן המקבילית הזאת היא מלבן. האם כל מרובע שצלעותיו הנגדיות שוות ויש לו זוית ישרה הוא מלבן? כנראה כן .ניסוי כגון זה שעשינו נערך פעמים רבות ,ובכולם התקבל מלבן. הרכבת מלבן משני חלקים בשם משולש ישר זוית קוראים למשולש שאחת מזויותיו ישרה .לצלעות הבונות את הזוית הישרה קוראים ניצבים .לצלע שמול הזוית הישרה קוראים י ֶתֶ ר. יתר ניצב ניצב קח דף נייר מלבני )ציור א( ,קפל אותו באופן ששתי הפינות העליונות תמַ צאנה בדיוק על שתי הפינות התחתונות ושרטט באחת הפינות קו אלכסוני )ציור ב( וגזור באופן שיתקבלו שני משולשים ישרי-זוית החופפים זה לזה )ציור ג( . )שני משולשים נקראים חופפים אם צלעותיהם וזויותיהם שוות על-פי הסדר ,ולכן אפשר להניח אחד מהם בדיוק על חברו(. א ב ג התוכל להצמיד את שני המשולשים זה לזה באופן שיתקבל מלבן? התוכל להצמידם באופן שיתקבל מרובע שאינו מלבן? התוכל להצמידם באופן שיתקבל משולש? צייר את התוצאות! סיכום הסעיף ומבוא לסעיף הבא בסעיף זה היגענו בדרך של שרטוטים ובדיקות אל שני כללים: כלל א :אם במרובע שלוש זויות ישרות אז המרובע הוא מלבן )כלומר ,גם זויתו הרביעית ישרה וכל שתי צלעות נגדיות שלו שוות(. כלל ב :אם במרובע שוות הצלעות הנגדיות ויש לו זוית ישרה אז המרובע הוא מלבן )כלומר ,גם שלוש זויותיו האחרות הן ישרות(. התרגיל בהצמדת משולשים מצביע על כלל נוסף: כלל ג :כל משולש ישר זווית ניתן להשלמה למלבן עם היתר כאלכסון ,והמשולש המשלים חופף לו. שלושת הכללים האלה קשורים זה בזה בקשר חזק .אפשר להראות שאם נקבל אחד מהם כהנחת יסוד יתקבלו שני הכללים האחרים כמסקנות הגיוניות ממנו ,ונוכל לותר על השרטוטים והבדיקות שבאו לצורך אימותם של שני הכללים האחרים. בספר הנוכחי ישמש כלל ב כהנחת יסוד שתשמש בסיס להסקת כלל ג ואחר-כך גם להסקת כלל א ,אך בזמן שאני כותב ספר זה כותב חבר שלי ספר שהנחת היסוד שלו היא דווקא כלל א .אין בינינו חילוקי- 6 עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז ג ב א ד ה ו גזור את המרובע שבאמצע הדף )כבציור ו( ובידך יהיה מרובע בעל שלוש זויות ישרות. בעזרת קיפול המרובע על עצמו תוכל לראות שגם הזוית הרביעית היא ישרה וכן שכל שתי צלעות נגדיות שלו שוות זו לזו. מסלול אחר אל מלבנים מגליון פלסטיק שקוף וקשיח נגזור שני זוגות של רצועות ,ונשרטט עליהם קטעים c ,b ,aו d -כך ש- a=bו .c=d -ראה ציור. c a d b ) הערה :מקובל בגיאומטריה לסמן קטעים וישרים באותיות לטיניות קטנות ,ולסמן נקודות באותיות לטיניות גדולות(. בעזרת סיכה ננקב חורים בקצות כל אחד מהקטעים ,ובעזרת ארבעה נעצים שחודיהם מופנים כלפי מעלה נרכיב מרובע כבציור הבא. מרובע כזה ,שכל זוג צלעות נגדיות שלו הן שוות, נקרא מקבילית. a המקבילית שלנו בנויה באופן המאפשר שינוי הזויות c שלה .שינוי זוית אחת גורם לשינוי הזויות האחרות, d ושינויים כאלה יכולים לתת גם את המקביליות b שבציורים הבאים: d a c a b d a b c d c b 5 עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז נמחק את הקטעים הבולטים החוצה או נתעלם מהם וניגש לוודא שקיבלנו מלבן. C לצורך הדיון נסמן את נקודות -הקדקוד באותיות C ,B ,Aו ,D -כבציור. D B A מתהליך השרטוט נובע שהזויות שליד הקדקודים B ,Aו C -הן זויות ישרות. אם נניח את הזוית הישרה שקיבלנו מקיפול-נייר כפול על הזוית שבקדקוד Dנמצא שגם היא ישרה. כדי לבדוק אם הצלע ADשווה לצלע BCנניח גליון נייר על-יד הצלע ,ADנסמן עליו שני קטעים קצרים שמרחקם כמו המרחק שבין Aו D -ואחר-כך נניח את גליון הניר על-יד הצלע . BCנקבל ששתי הצלעות אמנם שוות באורכן. בדרך דומה נקבל גם את שוויונה של הצלע ABלצלע . CD C D בסך הכל קיבלנו שכל זויותיו של המרובע ABCDהן ישרות וכל שתי צלעות נגדיות שלו שוות זו לזו .מרובע בעל תכונות אלה נקרא מלבן. B A C D B A האם כל מרובע שיש לו שלוש זויות ישרות הוא מלבן? איננו יכולים לבדוק את כל המרובעים מסוג זה ,לכן נסתפק ,בשלב זה ,בבדיקת הרבה מרובעים כאלה. בדרך דומה לזו שבה שרטטנו את המלבן הראשון נבנה עוד מרובעים בעלי שלוש זויות ישרות . בדיקה תראה שלכולם גם זוית רביעית ישרה ובכולם שוות כל שתי צלעות נגדיות זו לזו .כלומר ,כולם מלבנים. אם רצונך להוסיף בדיקות הרי לפניך דרך נוספת לקבלת מרובע בעל שלוש זויות ישרות: קפל דף נייר פעם אחת וישר אותו .מקום הקיפול ימשיך להיראות על הנייר .בציור א שלהלן מיוצג מקום הקיפול על-ידי קו מקוטע. קפל שנית באופן שחלקו האחד של הקפל הראשון יפול בדיוק על חלקו השני ,כבציור ב .ישֵ ר ותקבל קֶ פֶל ניצב לראשון ,כבציור ג. קיפול שלישי שיעשה בדרך דומה יתן קפל הניצב לקפל השני ,כבציור ד. קיפול רביעי ,גם הוא באופן ששני חלקי הקפל הקודם נופלים זה על זה ,יתן קפל ניצב לקפל השלישי, כבציור ה. 4 עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז ) (1מבוא למלבנים קו ישר וזוית ישרה על-ידי קיפולי ני ָר א ג ב קיפול שני יתן זוית ישרה כאן קיפול ראשון יתן קו ישר כאן בהמשך נשרטט במחברת כמה שרטוטים בעזרת דף בלתי מקופל )ציור א( ,בעזרת דף מקופל פעם אחת )ציור ב( ובעזרת דף מקופל פעמיים )ציור ג( ,אך מספיק להכין רק דף מקופל פעמיים כי תמיד נוכל ליישר אותו וגם לחזור ולקפל אותו. שרטוט מלבן הבה נשרטט מלבן בדרך הבאה: בשלב 1נשרטט קטע ישר בעזרת ב. דרך השרטוט התוצאה בשלב 2נשרטט ניצב לישר בעזרת ג דרך השרטוט התוצאה בשלב 3נשרטט ניצב לניצב הקודם )בעזרת ג( ונאריך אותו )בעזרת ב( התוצאה דרך השרטוט בשלב ,4שהוא השלב האחרון ,נשרטט ניצב לניצב ששרטטנו בשלב 3 התוצאה דרך השרטוט 3 עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז 2 עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז גיאומטריה לכתה ז לפי תוכנית תשס"ד תוכן העניינים ) (1מבוא למלבנים ) (2מהנחות יסוד אל מסקנות ) (3זויות במשולש ) (4חפיפת משולשים ) (5שימוש במשפט החפיפה צז"צ ) (6משולש שוה-שוקיים ) (7רשת מלבנים ) (8שטח מלבן ) (9משפט פיתגורס ) (10שטחי משולשים ) (11חישובים בפירמידה ) (12תיכונים במשולש ) (13עוד על מלבנים ) (14משפט החפיפה השני עמוס ארליך 3 7 9 13 15 17 19 21 25 28 31 33 35 35 39 פתרונות תרשים היסקים 48 © כל הזכויות שמורות מותר להעתיק ולצלם לשימוש עצמי ,ומורים ובתי ספר רשאים לעשות זאת גם לשימוש תלמידיהם בתשס"ה ובתשס"ו. הערה מאוחרת :בגלל השינויים בתוכנית הלימודים ,הן אלו שעשתה הוועדה שבראשותי והן אלו שעשתה הוועדה "המתקנת" ,אבקש שלא להעתיק קטעים לשימוש התלמידים אלא בתיאום אתי. 1
© Copyright 2024