‫מוצאי ט באב תשע"א‬ ‫עמוס ארליך‬ ‫דוא"ל ‪[email protected]‬‬ ‫אתר ‪MathematicAmos.co.il‬‬ ‫הערות לתוכנית ‪ 3122‬מתמטיקה ל‪ -‬ז ח‬ ‫כותרות והגדרות לא מוצלחות‬ ‫‪" -2‬פעולת החיבור מוגדרת כפעולה בין שני מחוברים" היא מקרה של אמירת לא כלום‪ .‬אני יכול‬‫לנחש שורה של כוונות אפשריות‪ ,‬אך בשלב זה אין אף אחת מהן תורמת לתלמידים מאומה פרט לשדר‬ ‫"תתרגלו לאמירות ריקות"‪.‬‬ ‫‪" -3‬שטח הוא מדד לגודלם של משטחים" מה זה מדד? מה זה משטח?‬‫‪" -4‬נפח של גוף הוא מדד למקום שהוא תופס במרחב" אם הוא עשוי משהו שלא מאפשר‬‫למשהו אחר להיות שם‪;-( .‬‬ ‫בשני המקרים נראה לי שהתנסות בחישוב שטחים או נפחים היא המבהירה את משמעותם‪.‬‬ ‫‪ " -5‬שורש ריבועי פעולה הופכית לחזקה שניה" מה מוסבר בעזרת מה?‬‫‪ -6‬לא מתלהב מהגדרה שלפיה זוית בת ‪ 3211‬קטנה מזוית בת ‪ , 3111‬ושום זוית אינה ניתנת להשוואה‬‫עם זוית שטוחה‪ .‬מעדיף מידת‪-‬סיבוב למרות שזנון כופר בקיומן של תנועות‪.‬‬ ‫‪" -7‬פונקציה היא כלל התאמה שמתאים מספר יחיד לכל מספר שנבחר" – ומה אם אין בידינו לנסח‬‫כלל? בחינוך התיכון שבארצנו הייתי הראשון לזהות פונקציה עם ההתאמה עצמה‪ .‬לא נראה לי‬ ‫שהתלמידים הרויחו משהו מזיהוי זה‪ .‬וודאי לא בהירות‪( .‬היה לי נסיון יותר טוב עם קבוצת זוגות‪ ,‬שהיא‬ ‫משהו די קרוב‪ ,‬אך בזמן ההוא היתה תורת הקבוצות תורה מזדקנת בהשוואה לתורת הקטגוריות הצעירה‪).‬‬ ‫כיום אעדיף את "משתנה חפשי ומשתנה תלוי" הישנים‪ ,‬כולל כתיבת המשתנה התלוי גם בצורה )‪.f(x‬‬ ‫‪" -8‬פונקציה קווית היא פונקציה שבה קצב ההשתנות הוא קבוע" ‪ -‬הרבה פחות ברור מהגדרה‬‫המתייחסת לגרף (או לנוסחה ‪)y=ax+b‬‬ ‫‪ -9‬הגדרת היחס המוצעת שוללת את האפשרות לדבר על קבוצה המתחלקת ל‪ 4-‬תת קבוצות ביחס‬‫‪ ,4;3;8‬וכן אינה מאפשרת לקבוצה "הימנית" להתרוקן‪ .‬מצד שני היא מתירה לכתוב שהיחס בין מספרי‬ ‫הבנים והבנות בכתה הוא ‪ 5/7‬ואפילו …‪ . 0.714285714‬בתוכניתנו לא "הגדרנו" את היחס עצמו אלא‬ ‫הבהרנו את משמעות טענות המשתמשות ביחסים‪.‬‬ ‫‪ -:‬האם האקדמיה ללשון אישרה את "מנעד" (אני מנחש‪ ,‬מן ‪ a‬עד ‪ )b‬בשביל משרעת? עד כמה שאני‬‫מכיר חלק מחבריה הם לא יתלהבו ממלה מודבקת שנשמעת כשייכת למשקל אחר‪.‬‬ ‫‪" -21‬תורת ההסתברות היא תורה אכסיומטית" האם כוונתם לטאוטולוגיה "תורת הסתברות אכסיומטית‬‫היא תורה אכסיומטית" או לטענה הלא נכונה שכל תורת הסתברות היא תורה אכסיומטית‪ .‬מה גם שהקשר‬ ‫בין מה שנעשה בבית הספר ובין התורה האכסיומטית הוא חלש למדי‪ ( .‬בשנות הששים‪ ,‬כשהיתה נטיה‬ ‫להרוג את הגיאומטריה‪ ,‬בדקתי את האפשרות להשתמש בתורת ההסתברות כדוגמה לתורה אכסיומטית‪.‬‬ ‫ירדתי מרעיון זה‪ .‬את המערכת ‪ E‬יצרתי כחלופה‪).‬‬ ‫השמטות תמוהות‬ ‫‪ -2‬הושמטה ההבהרה שגם כתיבת הנוסחה מחדש עם "‪ "5‬במקום "‪ ,"a‬וגם קביעה "יהי ‪ "a=4‬הופכות‬‫את הנוסחה לביטוי בעל ערך מספרי מסויים‪( .‬אם אינכם רוצים לקרוא לשתיהן "הצבה" אז תציעו משהו‬ ‫אחר)‪.‬‬ ‫‪ -3‬בתוכנית ‪( 3119‬וכנראה גם בתוכנית ‪ )3115‬היצענו שאת פעולת הכפל במספרים מכוונים אפשר‬‫ללמד במספר דרכים‪ ,‬ואחת מהן היא המסלול הבא; תחילה נראה כיצד כופלים (ללא הנמקה‪ ,‬ואולי עם‬ ‫הדגמה במחשבון) ואחרי תרגול נראה בדוגמאות מעטות שזה תואם את הכללים המוכרים‪.‬‬ ‫במקום זה נתתם בלעדיות לגישה הגוזרת את הגדרת הכפל מהדרישה שיתמלאו חוקי השדה או מההנחה‬ ‫שהם מתמלאים (לא ברור)‪ .‬הנסיון מורה שהדרישה מתקבלת אצל התלמידים‪ ,‬וגם אצל אי אילו מורים‪,‬‬ ‫כמידע שממנו מוכיחים את דרכי הכפל‪ .‬א‪.‬ה‪ .‬פרנקל הרבה להתריע על ערבוב זה‪.‬‬ ‫‪ -4‬מתוכנית ‪ 3119‬הושמטה השאלה הבאה על השוואת חציון וממוצע;‬‫"בשוליו של כפר‪-‬דייגים ניצב בית‪-‬מידות של עשיר מופלג‪ .‬ברוב ימי השבוע הוא נמצא בעיר‬ ‫ומנהל את עסקיו הנרחבים‪ ,‬אך בכל יום א הוא מפליג לדוג דגים בסיוע שני בחורים מן הכפר‪.‬‬ ‫השכר שהוא משלם להם ביום אחד זה עולה על כל הכנסתם בשאר ימי השבוע‪ .‬במרשם‬ ‫התושבים רשום העשיר כתושב כפר‪-‬הדייגים‪ .‬כששואלים אותו למקצועו ולתחביביו‪ ,‬הוא אומר‪:‬‬ ‫"תחביבי הוא לצבור כסף‪ .‬המקצוע האמיתי שלי הוא דיג‪".‬‬ ‫א‪ .‬מה משקף‪ ,‬לדעתך‪ ,‬בצורה טובה יותר את מצבו הכלכלי של ציבור הדייגים‪ ,‬ממוצע‬ ‫ההכנסות של תושבי הכפר או החציון? נמק!‬ ‫ב‪ .‬מה משקף בצורה טובה יותר את מצבם הכלכלי של שני הבחורים הנ"ל‪ ,‬ממוצע הכנסתם‬ ‫היומית או החציון? נמק!"‬ ‫‪ -5‬וההשמטה החמורה ביותר; היא שסילקתם את המהלך היוצא ממשפט פיתגורס‪ ,‬הולך אחורנית אל‬‫מערכת האכסיומות‪ ,‬ומשם קדימה אל משפטים נוספים (גם זה מפורט באתר הנ"ל‪ .‬בפרט רואים שם‬ ‫שמבנה המערכת מציב את משפט פיתגורס קרוב לנקודת ההתחלה ומאפשר מהלך‪-‬אחורנית קצר במדה‬ ‫מפתיעה)‪ .‬כתוצאה מזה סילקתם גם את דיאגרמות ההיסקים‪ .‬כך ימנע מתלמידים רבים להכיר את‬ ‫תרומתה החשובה ביותר של המתמטיקה לתרבות האנושית; הן את הרעיון של זיהוי ההנחות שעליהן‬ ‫מתבססים שיקולים ובדיקת תוקפן‪ ,‬והן את עניינם של היסקים חד משמעיים המתבססים על‬ ‫הנחות ברורות‪.‬‬ ‫הייתי יותר נינוח אם הייתי מזהה בתוכניתכם ל‪-‬ז ח את ההכנות הנדרשות להעברת הענין לכתה ט‪.‬‬ ‫‪ -6‬מדוע ויתרתם על‬‫התרגיל הבא מדגים את כוחו של המשפט על שטח משולש‪.‬‬ ‫א‪ .‬המחומש שלהלן חולק לשלושה משולשים‪ ,‬ובכל משולש נבחרה צלע‬ ‫וסורטט הגובה אל צלע זאת‪ .‬מדדו את הצלעות המתאימות ואת הגבהים‪,‬‬ ‫חשבו את שטחי המשולשים ומצאו את שטחו הכללי של המחומש‪.‬‬ ‫ב‪ .‬חלקו את המחומש למשולשים בדרך אחרת‪ ,‬סרטטו גבהים‪ ,‬מדדו וחשבו‬ ‫הציור שכאן מוקטן‬ ‫שנית את השטח‪.‬‬ ‫בין השאר יש כאן לקח על היכולת לדייק במדידות (כמה כן וכמה לא)‬ ‫עומס יתר‬ ‫מול הקיצוצים הנ"ל יש הרבה מאד דחיסת‪-‬יתר‪.‬‬ ‫דוגמה קטנה – הטענה שהאלכסונים במלבן שוים זה לזה וחוצים זה את זה‪ ,‬מעניינת או כמשימת הוכחה‬ ‫או במסגרת השוואה עם משפטי האלכסונים במקבילית ובמעוין‪ .‬אין טעם להכניס אותה במקום שנכנסה‪.‬‬ ‫בין השאר הוכנסו דברים רבים שאינם רלבנטיים במקום שבו הוכנסו‪ ,‬כנראה בשל "ראיה למרחוק" הרבה‬ ‫מעבר לאופק‪.‬‬ ‫דוגמאות; הכנסת מושג האיבר הניטרלי והדגשת "קצב ההשתנות" כמשהו בעל הגדרה כמותית גם כשאינו‬ ‫קבוע‪.‬‬ ‫איני טוב בהערכות זמן של מורים‪ .‬בניסויי הוראה שבהם השתתפתי הייתי מפגר אחר המורים האחרים‬ ‫בשלבי ההתחלה ומקדים אותם בשלבים המתקדמים‪ .‬בעבודתה של ועדת התוכנית הסתמכתי על ההערכות‬ ‫של המורים האחרים שבוועדה‪ ,‬ובסך הכל דרשנו הרבה פחות הספק מן הנדרש בתוכנית ‪ . 3122‬גם‬ ‫דברים משמעותיים לתלמידים ניתנים להדחות לכתה יותר גבוהה‪.‬‬ ‫פגמים ספציפיים פחות חמורים‬ ‫‪ -2‬הגדרתכם לנעלם ככינוי לאות ולא למספר מבוקש פוסלת את הנוסח "נסמן את הנעלם ב‪" x-‬‬‫(ומחייבת ומאפשרת את "בבעיתנו הופכים הפרמטרים לנעלמים" במקום "ערכי הפרמטרים הם עכשיו‬ ‫הנעלמים")‬ ‫‪ -3‬חוסר עקביות! בהמשך היה עליכם לכתוב "משוואה בנעלם אחד"‪ ,‬אמנם‪ ,‬גם "במשתנה אחד" בסדר‬‫אם זוכרים שאצלכם נעלם הוא סוג של משתנה (ולא ערך מספרי בשביל משתנה) ואם מתעלמים מזה‬ ‫שגם הפרמטרים הם משתנים‪.‬‬ ‫‪" -4‬המשמעות של מציאת שטח" אינה "מציאת מספר ריבועי היחידה המוכלים בצורה" (בפועל‬‫יתעלמו מזה)‪ .‬זו עוד דוגמא של הנטיה להגדיר שלא לצורך‪ .‬ע"ע "מדה כמותית של משטחים"‪.‬‬ ‫‪ -5‬איך מתרגלים שטחו של משולש ישר זוית "באופן אלגברי"?‬‫‪ -6‬העלאת העיקרון של שילוב מספרים‪ ,‬אלגברה וגיאומטריה אינה מבטלת את הצורך להצביע על כך‬‫שעניינו של שטח מלבן הוא הזדמנות לחזור על שברים והחישוב בהם‪( .‬ויש להקדים נושא זה‪).‬‬