עמוס ארליך

‫מוצאי ט באב תשע"א‬
‫עמוס ארליך‬
‫דוא"ל ‪[email protected]‬‬
‫אתר ‪MathematicAmos.co.il‬‬
‫הערות לתוכנית ‪ 3122‬מתמטיקה ל‪ -‬ז ח‬
‫כותרות והגדרות לא מוצלחות‬
‫‪" -2‬פעולת החיבור מוגדרת כפעולה בין שני מחוברים" היא מקרה של אמירת לא כלום‪ .‬אני יכול‬‫לנחש שורה של כוונות אפשריות‪ ,‬אך בשלב זה אין אף אחת מהן תורמת לתלמידים מאומה פרט לשדר‬
‫"תתרגלו לאמירות ריקות"‪.‬‬
‫‪" -3‬שטח הוא מדד לגודלם של משטחים" מה זה מדד? מה זה משטח?‬‫‪" -4‬נפח של גוף הוא מדד למקום שהוא תופס במרחב" אם הוא עשוי משהו שלא מאפשר‬‫למשהו אחר להיות שם‪;-( .‬‬
‫בשני המקרים נראה לי שהתנסות בחישוב שטחים או נפחים היא המבהירה את משמעותם‪.‬‬
‫‪ " -5‬שורש ריבועי פעולה הופכית לחזקה שניה" מה מוסבר בעזרת מה?‬‫‪ -6‬לא מתלהב מהגדרה שלפיה זוית בת ‪ 3211‬קטנה מזוית בת ‪ , 3111‬ושום זוית אינה ניתנת להשוואה‬‫עם זוית שטוחה‪ .‬מעדיף מידת‪-‬סיבוב למרות שזנון כופר בקיומן של תנועות‪.‬‬
‫‪" -7‬פונקציה היא כלל התאמה שמתאים מספר יחיד לכל מספר שנבחר" – ומה אם אין בידינו לנסח‬‫כלל? בחינוך התיכון שבארצנו הייתי הראשון לזהות פונקציה עם ההתאמה עצמה‪ .‬לא נראה לי‬
‫שהתלמידים הרויחו משהו מזיהוי זה‪ .‬וודאי לא בהירות‪( .‬היה לי נסיון יותר טוב עם קבוצת זוגות‪ ,‬שהיא‬
‫משהו די קרוב‪ ,‬אך בזמן ההוא היתה תורת הקבוצות תורה מזדקנת בהשוואה לתורת הקטגוריות הצעירה‪).‬‬
‫כיום אעדיף את "משתנה חפשי ומשתנה תלוי" הישנים‪ ,‬כולל כתיבת המשתנה התלוי גם בצורה )‪.f(x‬‬
‫‪" -8‬פונקציה קווית היא פונקציה שבה קצב ההשתנות הוא קבוע" ‪ -‬הרבה פחות ברור מהגדרה‬‫המתייחסת לגרף (או לנוסחה ‪)y=ax+b‬‬
‫‪ -9‬הגדרת היחס המוצעת שוללת את האפשרות לדבר על קבוצה המתחלקת ל‪ 4-‬תת קבוצות ביחס‬‫‪ ,4;3;8‬וכן אינה מאפשרת לקבוצה "הימנית" להתרוקן‪ .‬מצד שני היא מתירה לכתוב שהיחס בין מספרי‬
‫הבנים והבנות בכתה הוא ‪ 5/7‬ואפילו …‪ . 0.714285714‬בתוכניתנו לא "הגדרנו" את היחס עצמו אלא‬
‫הבהרנו את משמעות טענות המשתמשות ביחסים‪.‬‬
‫‪ -:‬האם האקדמיה ללשון אישרה את "מנעד" (אני מנחש‪ ,‬מן ‪ a‬עד ‪ )b‬בשביל משרעת? עד כמה שאני‬‫מכיר חלק מחבריה הם לא יתלהבו ממלה מודבקת שנשמעת כשייכת למשקל אחר‪.‬‬
‫‪" -21‬תורת ההסתברות היא תורה אכסיומטית" האם כוונתם לטאוטולוגיה "תורת הסתברות אכסיומטית‬‫היא תורה אכסיומטית" או לטענה הלא נכונה שכל תורת הסתברות היא תורה אכסיומטית‪ .‬מה גם שהקשר‬
‫בין מה שנעשה בבית הספר ובין התורה האכסיומטית הוא חלש למדי‪ ( .‬בשנות הששים‪ ,‬כשהיתה נטיה‬
‫להרוג את הגיאומטריה‪ ,‬בדקתי את האפשרות להשתמש בתורת ההסתברות כדוגמה לתורה אכסיומטית‪.‬‬
‫ירדתי מרעיון זה‪ .‬את המערכת ‪ E‬יצרתי כחלופה‪).‬‬
‫השמטות תמוהות‬
‫‪ -2‬הושמטה ההבהרה שגם כתיבת הנוסחה מחדש עם "‪ "5‬במקום "‪ ,"a‬וגם קביעה "יהי ‪ "a=4‬הופכות‬‫את הנוסחה לביטוי בעל ערך מספרי מסויים‪( .‬אם אינכם רוצים לקרוא לשתיהן "הצבה" אז תציעו משהו‬
‫אחר)‪.‬‬
‫‪ -3‬בתוכנית ‪( 3119‬וכנראה גם בתוכנית ‪ )3115‬היצענו שאת פעולת הכפל במספרים מכוונים אפשר‬‫ללמד במספר דרכים‪ ,‬ואחת מהן היא המסלול הבא; תחילה נראה כיצד כופלים (ללא הנמקה‪ ,‬ואולי עם‬
‫הדגמה במחשבון) ואחרי תרגול נראה בדוגמאות מעטות שזה תואם את הכללים המוכרים‪.‬‬
‫במקום זה נתתם בלעדיות לגישה הגוזרת את הגדרת הכפל מהדרישה שיתמלאו חוקי השדה או מההנחה‬
‫שהם מתמלאים (לא ברור)‪ .‬הנסיון מורה שהדרישה מתקבלת אצל התלמידים‪ ,‬וגם אצל אי אילו מורים‪,‬‬
‫כמידע שממנו מוכיחים את דרכי הכפל‪ .‬א‪.‬ה‪ .‬פרנקל הרבה להתריע על ערבוב זה‪.‬‬
‫‪ -4‬מתוכנית ‪ 3119‬הושמטה השאלה הבאה על השוואת חציון וממוצע;‬‫"בשוליו של כפר‪-‬דייגים ניצב בית‪-‬מידות של עשיר מופלג‪ .‬ברוב ימי השבוע הוא נמצא בעיר‬
‫ומנהל את עסקיו הנרחבים‪ ,‬אך בכל יום א הוא מפליג לדוג דגים בסיוע שני בחורים מן הכפר‪.‬‬
‫השכר שהוא משלם להם ביום אחד זה עולה על כל הכנסתם בשאר ימי השבוע‪ .‬במרשם‬
‫התושבים רשום העשיר כתושב כפר‪-‬הדייגים‪ .‬כששואלים אותו למקצועו ולתחביביו‪ ,‬הוא אומר‪:‬‬
‫"תחביבי הוא לצבור כסף‪ .‬המקצוע האמיתי שלי הוא דיג‪".‬‬
‫א‪ .‬מה משקף‪ ,‬לדעתך‪ ,‬בצורה טובה יותר את מצבו הכלכלי של ציבור הדייגים‪ ,‬ממוצע‬
‫ההכנסות של תושבי הכפר או החציון? נמק!‬
‫ב‪ .‬מה משקף בצורה טובה יותר את מצבם הכלכלי של שני הבחורים הנ"ל‪ ,‬ממוצע הכנסתם‬
‫היומית או החציון? נמק!"‬
‫‪ -5‬וההשמטה החמורה ביותר; היא שסילקתם את המהלך היוצא ממשפט פיתגורס‪ ,‬הולך אחורנית אל‬‫מערכת האכסיומות‪ ,‬ומשם קדימה אל משפטים נוספים (גם זה מפורט באתר הנ"ל‪ .‬בפרט רואים שם‬
‫שמבנה המערכת מציב את משפט פיתגורס קרוב לנקודת ההתחלה ומאפשר מהלך‪-‬אחורנית קצר במדה‬
‫מפתיעה)‪ .‬כתוצאה מזה סילקתם גם את דיאגרמות ההיסקים‪ .‬כך ימנע מתלמידים רבים להכיר את‬
‫תרומתה החשובה ביותר של המתמטיקה לתרבות האנושית; הן את הרעיון של זיהוי ההנחות שעליהן‬
‫מתבססים שיקולים ובדיקת תוקפן‪ ,‬והן את עניינם של היסקים חד משמעיים המתבססים על‬
‫הנחות ברורות‪.‬‬
‫הייתי יותר נינוח אם הייתי מזהה בתוכניתכם ל‪-‬ז ח את ההכנות הנדרשות להעברת הענין לכתה ט‪.‬‬
‫‪ -6‬מדוע ויתרתם על‬‫התרגיל הבא מדגים את כוחו של המשפט על שטח משולש‪.‬‬
‫א‪ .‬המחומש שלהלן חולק לשלושה משולשים‪ ,‬ובכל משולש נבחרה צלע‬
‫וסורטט הגובה אל צלע זאת‪ .‬מדדו את הצלעות המתאימות ואת הגבהים‪,‬‬
‫חשבו את שטחי המשולשים ומצאו את שטחו הכללי של המחומש‪.‬‬
‫ב‪ .‬חלקו את המחומש למשולשים בדרך אחרת‪ ,‬סרטטו גבהים‪ ,‬מדדו וחשבו‬
‫הציור שכאן מוקטן‬
‫שנית את השטח‪.‬‬
‫בין השאר יש כאן לקח על היכולת לדייק במדידות (כמה כן וכמה לא)‬
‫עומס יתר‬
‫מול הקיצוצים הנ"ל יש הרבה מאד דחיסת‪-‬יתר‪.‬‬
‫דוגמה קטנה – הטענה שהאלכסונים במלבן שוים זה לזה וחוצים זה את זה‪ ,‬מעניינת או כמשימת הוכחה‬
‫או במסגרת השוואה עם משפטי האלכסונים במקבילית ובמעוין‪ .‬אין טעם להכניס אותה במקום שנכנסה‪.‬‬
‫בין השאר הוכנסו דברים רבים שאינם רלבנטיים במקום שבו הוכנסו‪ ,‬כנראה בשל "ראיה למרחוק" הרבה‬
‫מעבר לאופק‪.‬‬
‫דוגמאות; הכנסת מושג האיבר הניטרלי והדגשת "קצב ההשתנות" כמשהו בעל הגדרה כמותית גם כשאינו‬
‫קבוע‪.‬‬
‫איני טוב בהערכות זמן של מורים‪ .‬בניסויי הוראה שבהם השתתפתי הייתי מפגר אחר המורים האחרים‬
‫בשלבי ההתחלה ומקדים אותם בשלבים המתקדמים‪ .‬בעבודתה של ועדת התוכנית הסתמכתי על ההערכות‬
‫של המורים האחרים שבוועדה‪ ,‬ובסך הכל דרשנו הרבה פחות הספק מן הנדרש בתוכנית ‪ . 3122‬גם‬
‫דברים משמעותיים לתלמידים ניתנים להדחות לכתה יותר גבוהה‪.‬‬
‫פגמים ספציפיים פחות חמורים‬
‫‪ -2‬הגדרתכם לנעלם ככינוי לאות ולא למספר מבוקש פוסלת את הנוסח "נסמן את הנעלם ב‪" x-‬‬‫(ומחייבת ומאפשרת את "בבעיתנו הופכים הפרמטרים לנעלמים" במקום "ערכי הפרמטרים הם עכשיו‬
‫הנעלמים")‬
‫‪ -3‬חוסר עקביות! בהמשך היה עליכם לכתוב "משוואה בנעלם אחד"‪ ,‬אמנם‪ ,‬גם "במשתנה אחד" בסדר‬‫אם זוכרים שאצלכם נעלם הוא סוג של משתנה (ולא ערך מספרי בשביל משתנה) ואם מתעלמים מזה‬
‫שגם הפרמטרים הם משתנים‪.‬‬
‫‪" -4‬המשמעות של מציאת שטח" אינה "מציאת מספר ריבועי היחידה המוכלים בצורה" (בפועל‬‫יתעלמו מזה)‪ .‬זו עוד דוגמא של הנטיה להגדיר שלא לצורך‪ .‬ע"ע "מדה כמותית של משטחים"‪.‬‬
‫‪ -5‬איך מתרגלים שטחו של משולש ישר זוית "באופן אלגברי"?‬‫‪ -6‬העלאת העיקרון של שילוב מספרים‪ ,‬אלגברה וגיאומטריה אינה מבטלת את הצורך להצביע על כך‬‫שעניינו של שטח מלבן הוא הזדמנות לחזור על שברים והחישוב בהם‪( .‬ויש להקדים נושא זה‪).‬‬