‫כיצד בונים מערכת אכסיומות‬ ‫עמוס ארליך‬ ‫תקציר‬ ‫בתוכנית הלימודים לחט"ב שהוגשה בסוף ‪ 2008‬נכללה הצעה שמטרתה להנגיש למספר רחב ככל‬ ‫האפשר של תלמידים את עניינן של בנית תורה אכסיומטית ושל מערכת דדוקטיבית מסודרת‪ .‬עיקרה של‬ ‫ההצעה מפורט כאן והוא כולל רקע עיוני‪ ,‬סקירה חלקית של ההכנות הנדרשות‪ ,‬תיאור המהלך אחורנית‬ ‫ממשפט פיתגורס אל מערכת האכסיומות שלנו‪ ,‬וצעדים ראשונים קדימה‪ .‬ההצעה הוסרת מהתוכנית על ידי‬ ‫ועדה "מתקנת"‪ .‬היא מועלית כאן הן כדי לשמרה לצורך תיקון התיקון והן כדי לאפשר למורים בעלי‬ ‫שליחות ללמד את התרומה העיקרית של המתמטיקה לחשיבה האנושית‪.‬‬ ‫מבוא‬ ‫לאוקלידס היה חשוב לעקוף את האיום הספקני של זנון‪ ,‬ואולי גם לקוות שיצליח להפוך את אכסיומת המקבילים למשפט‬ ‫מוכח‪ .‬להילברט היה חשוב לבנות מערכת הנעזרת‪ ,‬אמנם‪ ,‬באינטואיציה הסתכלותית אך אינה כבולה אליה‪ .‬לנו חשוב‬ ‫לבנות מערכת נוחה שתדגים את התועלת שבהיסקים מסודרים ואת היופי שבזיהוי הבסיס של שיקולינו‪ .‬ל‪30-‬‬ ‫המתמטיקאים שחתמו על המכתב הגלוי לשר ב"הארץ" )יא בחשון תשע"א( היה חשוב‪ ,‬כנראה‪ ,‬לפסול רעיונות שהעלו‬ ‫אנשי חינוך‪.‬‬ ‫אין בכוונתי להיכנס לניתוח משוער של מניעי החותמים הנ"ל‪ ,‬ואתרכז בתיאור התוכנית שעלה בידם לבטל זמנית )כך אני‬ ‫מקוה(‪ ,‬עם זאת אציין שהאוניברסיטה שבה למדתי והאוניברסיטה שבה אני מלמד‪ ,‬ירושלים ותל אביב‪ ,‬תרמו את מספרי‬ ‫החותמים הקטנים ביותר למכתב ההוא‪ .‬אולי הבחינו בשקריותה של הטענה המתמטית על מושג השטח‪ ,‬שעלתה שם‪.‬‬ ‫על מה נוותר לטובת המטרות שלנו‬ ‫א‪ .‬נוותר על "תורת הגדרות"‪ .‬נסתמך במפורש על מושגים המוכרים מלימודי גיאומטריה בשלבים מוקדמים‪.‬‬ ‫הוא מרובע )כי לא נעסוק‬ ‫לא נגדיר משולש‪ .‬לא נגדיר מרובע למרות שהדבר משאיר אי בהירות בשאלה האם‬ ‫בצורה כזאת(‪ .‬לעומת זאת נגדיר מלבן כדי שההוכחות הקשורות במושג זה תהיינה בהירות ומלאות‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נותר על מינימליות של האכסיומות‪.‬‬ ‫את אכסיומת המקבילים נחליף בטענה "אם במרובע שלוש זויות ישרות אז הוא מלבן"‪ ,‬כאשר מלבן מתואר מראש‬ ‫כמרובע שזויותיו ישרות וצלעותיו הנגדיות שוות‪ .‬ההגדרה הלא‪-‬מינימלית תואמת את התמונה ההיסתכלותית‪ ,‬והאכסיומה‬ ‫הלא‪-‬מינימלית מקצרת ומפשטת הוכחות‪.‬‬ ‫במקום להניח מראש רק את האפשרות להעתיק קטעים וזויות ממקום למקום )כמו הילברט( נניח אפשרות להעתקת‬ ‫משולשים שלמים בלי לשנות אל צלעותיהם‪ ,‬זויותיהם ושטחם‪ .‬גם זה מקצר הוכחות‪.‬‬ ‫ג‪ .‬נותר על פירוט הנחות נסתרות מסוימות הנראות ברורות מאליהן‪.‬‬ ‫נתיחס אל העצמים הגיאומטריים כאל בעלי קיום עצמאי‪ ,‬ובני אדם יכולים ליצור לעצמם תמונות סבירות שלהם‪ .‬כך נוכל‬ ‫להניח‪ ,‬למשל‪ ,‬שלכל קטע יש נקודת אמצע יחידה בלי לכתוב זאת כהנחה ובלי להסיק זאת מהנחות היסוד שפירטנו‪ .‬כן‬ ‫נניח ללא הוכחה הנחה נסתרת יותר מרחיקת‪-‬לכת‪ ,‬ולפיה יש לכל מצולע מידת‪-‬שטח‪ ,‬ואם קטע מחלק מצולע לשני‬ ‫מצולעים אז סכום שטחיהם שווה לשטחו‪ .‬איננו רוצים להפוך את הגיאומטריה מדגם לחשיבה מסודרת לדוגמה של דיבור‬ ‫טרדני ומסורבל שאין מן הראוי לחקותו‪.‬‬ ‫ד‪ .‬לרוב נדחה את ההתנסות במציאת הוכחות לכתה ט‪ .‬כן נדחה לאותה כתה את הבניות בסרגל ובמחוגה )"למה לא הבאת‬ ‫כלי שרטוט?"‪" ,‬המורה הוא דוקר אותי!"(‪.‬‬ ‫הכנה לפרק הדדוקטיבי‬ ‫תוכניתנו לכתה ז ולחצי הראשון של ח כוללת הן תכנים שנזדקק להם בפרק הדדוקטיבי הראשון והן היכרות ראשונה עם‬ ‫שיקולי הוכחה‪ .‬להלן פירוט של השלב הפותח ושל השלב המסיים את ההכנות הנדרשות‪.‬‬ ‫המלבן‬ ‫אם נתון ששלוש מזויותיו של מרובע הן ישרות מובטח שגם הרביעית‬ ‫ישרה‪ .‬לבדיקה נייצר זוית ישרה על‪-‬ידי קיפול‪-‬נייר כפול כבציור‪,‬‬ ‫ונשתמש בה הן לבנית מרובעים בעלי שלוש זויות ישרות והן לבדיקה שגם‬ ‫הזוית הרביעית ישרה‪.‬‬ ‫כשיעמדו לרשותנו מספר מרובעים כאלה נוכל לבדוק ולראות שצלעותיהם הנגדיות שוות זו לזו‪.‬‬ ‫נסכם כלל א‪ :‬אם במרובע שלוש זויות ישרות אז גם זויתו הרביעית ישרה וכל שתי צלעות נגדיות שלו שוות זו לזו‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫מרובע כזה יקרא מלבן‪.‬‬ ‫דוגמה של הוכחה‬ ‫קח דף נייר מלבני‪ ,‬קפל אותו באופן ששתי הפינות העליונות ת ַמצאנה בדיוק על שתי הפינות‬ ‫התחתונות‪ ,‬שרטט באחת הפינות קו אלכסוני וגזור באופן שיתקבלו שני משולשים ישרי‪-‬זוית‬ ‫החופפים זה לזה כבציור ‪.‬‬ ‫התוכל להצמיד את שני המשולשים זה לזה באופן שיתקבל מלבן?‬ ‫תרגיל זה מדגים את כלל ב ‪:‬כל משולש ישר זווית ניתן להשלמה למלבן עם היתר כאלכסון‪ ,‬והמשולש המשלים חופף לו‪.‬‬ ‫את כלל א בדקנו בדיקות רבות ואילו בשביל כלל ב הסתפקנו בהסתכלות אחת‪ .‬הסיבה לכך היא כוונתנו להראות שכלל ב‬ ‫הוא מסקנה הגיונית מכלל א‪ ,‬לכן אינו נזקק לבדיקות נפרדות‪ .‬והרי ההוכחה‪:‬‬ ‫יהי נתון משולש ישר זוית כמשולש הנקוד שבציור שלהלן‪ .‬נעלה אנכים כבציור‪ ,‬וכלל‬ ‫א יתן שהמרובע המתקבל הוא מלבן‪ .‬את המשולש המקורי נזיז כבציור‪ ,‬ובגלל שויון‬ ‫הצלעות הנגדיות של המלבן נוכל "להלביש" אותו בדיוק על המשולש השני שבמלבן‬ ‫כך היגענו הן אל כלל א שיקרא בהמשך "אכסיומת המלבן"‪ ,‬הן אל ענין העתקתו של‬ ‫משולש ממקום למקום‪ ,‬שיקרא בהמשך "אכסיומת ההעתקות"‪ ,‬והן אל ענין ההוכחה‪.‬‬ ‫התוכנית שבנתה ועדתנו לכתה ז ולחצי הראשון של ח כוללת עוד נושאים‪ .‬חלקם נכנסו בגלל היותם אימון נוסף ברעיונות‬ ‫שהעלינו זה עתה וחלקם בגלל חשיבותם העצמית‪ .‬בין השאר ישולב כאן הלימוד על שטחו של מלבן‪ ,‬ובו גם הוכחות על‬ ‫סמך מה שיקרא בהמשך אכסיומת המלבן וגם חזרה על עניינם של השברים‪ .‬הבה נדלג אל שלב ההכנה האחרון‪.‬‬ ‫היכרות ראשונה עם משפט פיתגורס‬ ‫המשפט עצמו אינו ברור מאליו‪ ,‬לכן הוכחתו מראה שהוכחה נותנת משהו‪ .‬הכרה בחשיבותו של משפט תורמת גם‬ ‫היא לחשיבותה של הוכחתו בעיני התלמידים‪ .‬מצד שני‪ ,‬וכאילו בסתירה‪ ,‬כדי שהתלמידים יאמינו שהוכחה נותנת‬ ‫משהו נכון צריך שלתלמידים יהיה אמון ראשוני בנכונות המשפט המוכח )בעקבות גב' קריגובסקה מקרקוב ב‪-‬‬ ‫‪ .(ICME2‬לאור זה נקדים לתהליך האכסיומטיזציה סיבוב ראשון של טיפול במשפט פיתגורס‪.‬‬ ‫שטח מרוצף במרצפות ריבועיות שאורך צלען אמה אחת‪ .‬חלקן כהות‪ ,‬חלקן‬ ‫בהירות וחלקן נחלקות לרבע כהה ושלושה רבעים בהירים‪ ,‬או להיפך‪ ,‬כבציור‬ ‫שמימין‪ .‬הריצוף מתואר בציור שמשמאל ‪.‬‬ ‫א‬ ‫ב‬ ‫את שטח הריבוע הכהה הגדול שלעיל אפשר למצוא בדרכים הבאות‪.‬‬ ‫דרך א‪ ,‬שהיא )לטעמי( הדרך הפשוטה ביותר‪ :‬ריבוע זה מורכב ממרצפת שלמה אחת הנמצאת במרכזו ושטחה ‪1‬‬ ‫אמה‪-‬רבועה; ועוד ארבעה חלקי‪ -‬מרצפות כמו השטח הכהה במרצפת א שלעיל‪ ,‬ששטח כל חלק כזה הוא ‪ 1/4‬אמה‪-‬‬ ‫רבועה; ועוד ארבעה חלקי‪ -‬מרצפות כמו השטח הכהה במרצפת ב שלעיל‪ ,‬ששטח כל חלק כזה הוא ‪ 3/4‬אמה‪-‬‬ ‫רבועה; ובסך הכל ‪ 1+4.1/4+4.3/4=1+1+3=5‬אמות רבועות‪.‬‬ ‫דרך ב‪ ,‬שאת היתרון שלה נראה בהמשך‪ ,‬היא כך‪:‬‬ ‫נעתיק )במחשבה בלבד( את הריבוע בן ‪ 9‬המרצפות המכיל את הריבוע‬ ‫"שלנו" ונסמן בקווקוים את המשולשים שבפינותיו‪ ,‬כך שהריבוע "שלנו"‬ ‫ישאר לבן‪,‬כבציור השמאלי‪ .‬אחר‪-‬כך נזיז את משולשי הפינות ונצרפם‬ ‫לשני מלבנים שיועמדו כבציור הימני‪ .‬השטח הלבן החדש יכיל ריבוע בן ‪4‬‬ ‫מרצפות ועוד מרצפת אחת‪ ,‬והוא שווה‪ ,‬כמובן‪ ,‬לשטח הריבוע "שלנו"‪.‬‬ ‫תפקידה של דרך א היא ליצור אמון במסקנה של דרך ב וכך גם בדרך ההסקה‪.‬‬ ‫דוגמה נוספת‪ .‬שרק דרך ב טובה בשבילה‪ .‬היא מציאת שטח הריבוע שעל היתר של משולש ישר זוית שניצביו בני‬ ‫‪ 2‬ו‪ 5-‬ס"מ‪.‬‬ ‫מכאן נעבור לניסוח כללי של משפט פיתגורס‪ ,‬נבטיח לתלמידים שבעתיד ניתן לו הוכחה כללית‪ ,‬ונעבור לתרגילי‬ ‫חישוב המשתמשים במשפט‪ ,‬כולל שימוש במקש השורש שבמחשבון‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫את החלק העיקרי של תהליך האכסיומטיזציה נתאר כאן בניסוח קצת יותר מפורט‪.‬‬ ‫מבנה היסקי לגיאומטריה לאמצע כתה ח‬ ‫א‪ .‬ממשפט פיתגורס אחורנית אל הנחות יסוד‬ ‫משפט פיתגורס הוא משפט מפתיע שאינו ברור מאליו‪ .‬כדי להיות בטוחים בנכונותו היה עלינו להוכיח אותו על סמך ידע‬ ‫קודם‪ .‬הבה נתבונן בשלבי ההוכחה של משפט פיתגורס‪ ,‬ובכל שלב נזכיר באיזה ידע קודם השתמשנו‪) .‬בהמשך נבחן גם‬ ‫את הידע הקודם וגם את המשפטים הקודמים לקודמים‪ ,‬עד שנגיע להנחות יסוד שסביר להניחן ללא פקפוק‪(.‬‬ ‫‪c‬‬ ‫ובכן‪ ,‬נתון משולש ישר זווית שניצביו ‪ a‬ו‪b-‬‬ ‫א‪ .‬נבנה )במחשבה בלבד( זוית ישרה שכל אחד משני ניצביה הוא‬ ‫)כבקוים העבים שבציור א( ובקצה כל אחד נעלה אנך )כמסומן בחיצים(‪ .‬כך‬ ‫נקבל ריבוע שכל צלע שלו שוה ‪. a+b‬‬ ‫זאת על סמך הכלל האומר שאם במרובע יש שלוש זוויות ישרות אז הוא‬ ‫מלבן‪.‬‬ ‫ריבוע זה מופיע גם בציורים ב ו‪-‬ג שלהלן‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫באורך ‪a+b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ציור א‬ ‫‪a b‬‬ ‫ב‪" .‬נרצף" ‪ 4‬משולשים החופפים למשולש הנתון סביב היקף המרובע‬ ‫)מבפנים( כמתואר בציור ב‪ .‬המרובע שנותר הוא ריבוע שצלעו ‪.c‬‬ ‫השתמשנו בזה שניתן להעתיק מצולע ממקום למקום לסובבו ולהפכו‪ ,‬בלי‬ ‫לשנות את צלעותיו‪ ,‬זויותיו ושטחו‪ ,‬וכן בזה שסכום הזוויות החדות‬ ‫במשולש ישר זווית הוא ‪) 900‬לכן כל זווית של המרובע הפנימי היא‬ ‫‪(900=1800-900‬‬ ‫ג‪ .‬נעתיק שנים ממשולשי הפינה ונצמידם לחבריהם ליצירת מלבנים‪ ,‬ונעמיד‬ ‫את המלבנים בפינות הריבוע הגדול‪ ,‬כבציור ג‪ .‬השטח הלא מרוצף יהיה‬ ‫מורכב כעת משני ריבועים שצלע האחד ‪ a‬וצלע חברו ‪.b‬‬ ‫גם כאן השתמשנו בכלל ההעתקות שהזכרנו קודם‪ .‬קבלת המלבנים נבעה‬ ‫מזה שסכום הזוויות החדות במשולש ישר זווית הוא ‪) 900‬גם כלל זה נזכר‬ ‫כבר בשלב הקודם(‪.‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪b a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫ציור ב‬ ‫‪c‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ד‪ .‬מהשוואת השטחים הלא מרוצפים בשני הריבועים נקבל ששטח הריבוע‬ ‫הבנוי על היתר ‪ c‬שוה לסכום שטחי הריבועים הבנויים על הניצבים ‪ a‬ו‪. b-‬‬ ‫ציור ג‬ ‫כך מוכח משפט פיתגורס בנוסח המדבר על שטחי הריבועים‪ ,‬בלי להזכיר את הנוסחה ‪ a2+b2=c2‬הדרושה לצורך‬ ‫חישובים מספריים‪ .‬כדי לכלול את הנוסחה נזדקק גם למשפט על שטח מלבן )‪ ,(S=a.b‬ובזה נטפל בהמשך‪.‬‬ ‫לקראת צעדינו הבאים נשרטט תרשים המסכם את הטענות שעליהם מתבסס משפט פיתגורס ונפרט את הוכחותינו לחלק‬ ‫מטענות אלה‪ .‬והרי התרשים ‪:‬‬ ‫ניתן להעתיק מצולע ממקום למקום‪,‬‬ ‫לסובבו ולהפכו‪ ,‬בלי לשנות את‬ ‫צלעותיו‪ ,‬זוויותיו ושטחו‪.‬‬ ‫במשולש ישר זווית‪,‬‬ ‫סכום שתי הזוויות‬ ‫האחרות הוא ‪.900‬‬ ‫אם במרובע יש‬ ‫שלוש זוויות ישרות‬ ‫אז הוא מלבן‬ ‫משפט‬ ‫פיתגורס‬ ‫הטענה על דבר האפשרות להעתיק מצולע נחשבת פשוטה וברורה‪ .‬לא נהוג לבסס אותה על טענות קודמות אלא לראות בה הנחת‬ ‫יסוד‪ ,‬והיא נקראת "אכסיומת ההעתקות"‪.‬‬ ‫גם הטענה על מרובע שיש לו שלוש זוויות ישרות תיחשב הנחת יסוד‪ ,‬כלומר‪ ,‬לא נוכיח אותה על סמך משהו קודם‪ .‬טענה זאת היא‬ ‫צירוף של שתי טענות מוכרות שנוסח מאוחד שלהן הוא כך‪ :‬אם במרובע יש שלוש זוויות ישרות גם הרביעית ישרה‪ ,‬והצלעות‬ ‫הנגדיות שוות זו לזו‪ .‬נוסח זה יקרא "אכסיומת המלבן"‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫נעבור לטפל בטענה השלישית ששימשה בהוכחת משפט פיתגורס‪ ,‬ונראה שהיא יכולה להתקבל כמסקנה מאכסיומת המלבן וממשפט‬ ‫מוכר נוסף‪ ,‬כמתואר בתרשים הבא‪:‬‬ ‫משולשים ישרי זווית עם ניצבים‬ ‫שווים – חופפים‬ ‫אכסיומת המלבן‬ ‫במשולש ישר זווית‪ ,‬סכום שתי הזוויות‬ ‫האחרות הוא ‪.900‬‬ ‫ההוכחה על ידי השלמת המשולש הנתון למלבן‪ ,‬על ידי חפיפת שני חלקי המלבן שהתקבל ועל ידי חשבון זוויות‪ .‬המשפט על חפיפת‬ ‫משולשים ישרי זוית יהיה מוכר משלבי ההכנה‪.‬‬ ‫כעת נלך צעד נוסף אחורנית ונוכיח את המשפט על חפיפת משולשים ישרי זווית שניצביהם שווים על סמך אכסיומת ההזזות בתוספת‬ ‫אכסיומה האומרת שדרך שתי נקודות שונות עובר ישר אחד בלבד )זו נקראת "אכסיומת הישר"(‪.‬‬ ‫פירוט‪ :‬אם נתון משולש ישר זווית ‪) ABC‬כמשולש הנקוד שבימין‬ ‫‪C‬‬ ‫הציור( ומשולש ישר זווית ‪ DEF‬עם ניצבים השוים לאלה של‬ ‫המשולש הקודם )כמשולש המצויר בקו עבה(‪ ,‬נוכל להעתיק את‬ ‫‪F‬‬ ‫‪B‬‬ ‫המשולש ‪ ABC‬באופן שהזווית הישרה והניצבים שלו יפלו בדיוק‬ ‫‪D‬‬ ‫על השוים להם במשולש ‪ . DEF‬זה יבטיח ש‪ B-‬תיפול על ‪ E‬ו‪A-‬‬ ‫על ‪ ,D‬ובגלל אכסיומת הישר יפול היתר על היתר‪.‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫נסכם בתרשים קטן שיצורף בהמשך לתרשימים הקודמים‪:‬‬ ‫אכסיומת הישר‬ ‫אכסיומת ההעתקות‬ ‫משולשים ישרי זווית בעלי ניצבים‬ ‫שווים – חופפים‬ ‫שימו לב לכך שזהי הדרך בה נהגנו )לפחות חלק מאתנו( להסביר מהי חפיפה ולנמק את קבלת משפט החפיפה הראשון כאכסיומה‪.‬‬ ‫כעת נצרף את התרשימים באופן שהנחות היסוד‪ ,‬שלושת האכסיומות‪ ,‬תעמודנה בראש‪:‬‬ ‫אכסיומת ההעתקות‬ ‫אכסיומת הישר‬ ‫אכסיומת המלבן‬ ‫משולשים ישרי זווית בעלי‬ ‫ניצבים שוים – חופפים‬ ‫במשולש ישר זווית‪,‬‬ ‫סכום שתי הזוויות‬ ‫האחרות הוא ‪.900‬‬ ‫משפט‬ ‫פיתגורס‬ ‫בזאת יסתיים השלב הראשון של האכסיומטיזציה של הגיאומטריה‪.‬‬ ‫שלב זה‪ ,‬וגם השלבים הקרובים הבאים יהיו "הצגה של המורה"‪ ,‬ללא הנחית תלמידים לגילוי עצמי ואפילו ללא‬ ‫תרגילים‪ .‬לטובת העניין מותר לסטות מן ההרגלים הטובים שלנו כמורים למתמטיקה‪.‬‬ ‫נעיר שמבקרינו מתארים את המהלך שעשינו כאן במלים "המחברים בעצם חוזרים על אותה הוכחה‪ ,‬אך נאלצים‬ ‫להוסיף לה מספר משפטי עזר שלא הוכחו כראוי"‪ .‬סילוף מכוון או עיורון?‬ ‫ב‪ .‬וממערכת האכסיומות קדימה‬ ‫‪4‬‬ ‫ב‪ .1‬קבוצה ראשונה של משפטים נוספים ‪ -‬שטחים‬ ‫הליכתנו אחורנית ממשפט פיתגורס אל הנחות היסוד נועדה למציאת בסיס לא רק למשפט פיתגורס אלא לכל‬ ‫הגיאומטריה‪ .‬בסעיף זה נַראה כיצד מצטרפים משפטים נוספים למערכת שבנינו‪ .‬תחילה נצרף משפטים מוכרים ובהמשך‬ ‫נצרף גם משפטים חדשים‪ .‬המשפט הראשון שנצרפו יהיה המשפט הטוען ששטח מלבן שווה למכפלת אורכי צלעות‬ ‫שכנות שלו‪ .(S=a.b) .‬נסקור מחדש את ההוכחה שראינו בשלב המכין ונדגיש את זה שהחלק הראשון של אכסיומת‬ ‫המלבן מבטיח שכל ניצב לצלע אחת של המלבן יוצר זוית ישרה עם כל ניצב לצלע הסמוכה )מזה שהזויות המסומנות‬ ‫שבציורים המצורפים )למטה מימין( ישרות נובע שכל הזויות שבציורים ישרות(; והחלק השני של אכסיומה זאת מבטיח‬ ‫שמשוויון הקטעים שהקצינו על זוג הצלעות הניצבות של המלבן נובעים השוויונות האחרים הדרושים לנו‪ .‬המשפט על‬ ‫שטח המלבן נובע אפוא מאכסיומת המלבן )החזקה שלנו( לבדה‪.‬‬ ‫אכסיומת המלבן‬ ‫‪1‬‬ ‫מלבן ‪/2x /3‬‬ ‫מלבן ‪3x4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫המשפט על שטח מלבן ‪S=a b‬‬ ‫נעבור למשולש ישר זוית‪ ,‬נשלים אותו למלבן )בעזרת אכסיומת המלבן( והחפיפה של שני חלקי מלבן זה תתן ששטח‬ ‫המשולש שלנו הוא חצי שטח המלבן‪ .‬בעזרת משפטנו האחרון נקבל ששטח משולש ישר זוית שוה לחצי מכפלת הניצבים‪.‬‬ ‫מזה ינבע המשפט הכללי על שטח משולש‪ ,‬בעזרת המשולשים ישרי הזוית שיוצר הגובה‪.‬‬ ‫נצרף הכל לדיאגרמה שלנו‪ ,‬וכן נוסיף למשפט פיתגורס את הנוסחה האלגברית‪.‬‬ ‫אכסיומת ההעתקות‬ ‫אכסיומת הישר‬ ‫אכסיומת המלבן‬ ‫משולשים ישרי זווית בעלי‬ ‫ניצבים שוים – חופפים‬ ‫במשולש ישר זווית‪,‬‬ ‫סכום שתי הזוויות‬ ‫האחרות הוא ‪.900‬‬ ‫משפט‬ ‫פיתגורס‬ ‫‪a2+b2=c2‬‬ ‫המשפט על‬ ‫שטח מלבן‬ ‫שטחו של משולש ישר‬ ‫זוית שוה לחצי מכפלת‬ ‫הניצבים‬ ‫שטח של משולש‬ ‫שוה לחצי מכפלת‬ ‫צלע בגובה הניצב לה‬ ‫ב‪ .2‬וקצת עם יותר הפעלה של התלמידים‬ ‫התלמידים מכירים מן הסתם את ענין סכום הזויות בכל משולש‪ ,‬וכן כבר ראו את זה שגובה מחלק משולש למשולשים ישרי זוית )לפחות‬ ‫הגובה מקדקוד הזוית הגדולה(‪ .‬להערכתי יש בזה רקע מספיק כדי לקבל בשיתוף התלמידים את השיקול המסיק את המשפט המתאים ממה‬ ‫שכבר יש לנו על הזויות החדות במשולשים ישרי זוית‪ .‬התוספת המתאימה לדיאגרמת ההיסקים מופיעה בדיאגרמה הבאה‪.‬‬ ‫ב‪ .3‬משולשים שוי שוקים‬ ‫הערה מקדימה‪ :‬בשלב זה אין קושי עקרוני לקבל את נשפטי החפיפה צז"צ הכללי בדרך שבו קיבלנו את המקרה הפרטי שלו המצטמצם‬ ‫למשולשים ישרי זוית‪ .‬למרות זאת מוצע לפתוח את הטיפול במשולש שוה‪-‬שוקיים לא בחלוקתו ע"י חצית זוית הראש אלא בהורדת גובה‬ ‫לבסיס‪ .‬סיבה אחת לכך היא הרצון לעשות שימוש במשפט פיתגורס )המבטיח שהבסיס יתחלק לשני חלקים שוים( וסיבה אחרת היא הרצון‬ ‫להשאר יותר בעולמם של המשולשים ישרי הזוית‪) .‬מנוגד להרגלים הישנים של המורים אך טבעי לתלמידים(‪ .‬כך תתקבל תת‪-‬הדיאגרמה‬ ‫הבאה‪:‬‬ ‫משולשים ישרי זוית בעלי‬ ‫נצבים שוים ‪ -‬חופפים‬ ‫משפט פיתגורס‬ ‫במשולש שוה שוקיים‬ ‫הגובה לבסיס‬ ‫‪5‬‬ ‫מחלק אותו לשני משולשים חופפים‬ ‫נצרף זאת לדיאגרמה הקודמת ונוסיף שתי מסקנות הממשפט האחרון‪:‬‬ ‫אכסיומת ההעתקות‬ ‫אכסיומת הישר‬ ‫אכסיומת המלבן‬ ‫משולשים ישרי זווית בעלי‬ ‫ניצבים שוים – חופפים‬ ‫במשולש ישר זווית‪,‬‬ ‫סכום שתי הזוויות‬ ‫האחרות הוא ‪.900‬‬ ‫סכום הזויות‬ ‫במשולש‬ ‫הוא ‪1800‬‬ ‫משפט‬ ‫פיתגורס‬ ‫‪a2+b2=c2‬‬ ‫שטחו של משולש ישר‬ ‫זוית שוה לחצי מכפלת‬ ‫הניצבים‬ ‫שטח של משולש‬ ‫שוה לחצי מכפלת‬ ‫צלע בגובה הניצב לה‬ ‫הגובה לבסיס במשולש‬ ‫שוה שוקיים מחלק אותו‬ ‫לשני משולשים חופפים‬ ‫במשולש שוה שוקיים‬ ‫מתלכד חוצה זווית הראש‬ ‫עם הגובה והתיכון לבסיס‬ ‫המשפט על‬ ‫שטח מלבן‬ ‫במשולש שוה‬ ‫שוקיים שוות‬ ‫זוויות הבסיס‬ ‫ג‪ .‬ומה הלאה?‬ ‫לטעמי ניתן לעצור כאן את נושא האכסיומטיקה והמבנה הדדוקטיבי ולחזור לתפקיד של "מורה טוב‬ ‫למתמטיקה‪ ,‬מן הסוג הישן"‪ ,‬כלומר‪ ,‬לעבור להפעלת התלמידים במערכת של תרגילי חישוב הבנויים על‬ ‫משפט פיתגורם‪ ,‬משפטי השטח ומשפטי המשולש שווה השוקיים‪.‬‬ ‫הקשרים שבין מרכיביה השונים של פירמידה ריבועית ישרה מציעים אוסף יפה של תרגילים כאלה‪.‬‬ ‫אפשרות אחרת‪ ,‬המתאימה רק לכתות חזקות‪ ,‬היא להוסיף לתרשים את משפטי החפיפה צז"צ וזצ"ז )על‬ ‫סמך אכסיומת ההעתקות ואכסיומת הישר ואת משפט החפיפה צצ"צ )על סמך אכסיומת ההעתקות‪ ,‬המשפט על זויות הבסיס במשולש ש"ש‬ ‫ומשפט החפיפה זצ"ז(‪ ,‬ואח"כ לצרף אליה אוסף נרחב של בעיות הוכחה כמפוקט בתרשים היסקים שבאתר שלי )‬ ‫‪ ( www.MathematicAmos.co.il‬ובכתה י להראות שיכולנו להחליש את אכסיומת המלבן )גם זה באותו אתר(‪.‬‬ ‫ובכל מקרה נוכל לשלב בלימוד הגיאומטריה התבוננויות‪ ,‬העלאת השערות מתוך דוגמאות‪ ,‬שימוש בתוכנות גיאומטריה דינמית ועוד‪,‬‬ ‫כאשר המשפטים יבדלו מן ההשערות בזה שניתן עקרונית לשלבם בהמשך הדיאגרמה שלנו‪.‬‬ ‫לסיום אציין שהאמור עד כאן כולל תרומות של כל חברי וועדת התוכנית‪ ,‬במיוחד של מיכאל קורן ושל דן עמיר‪ ,‬עם זאת יש כאן פרטים‬ ‫שלא תואמו איתם והאחריות על הנוסח הנוכחי היא עלי‪.‬‬ ‫‪6‬‬