Stožnice – krivulje drugega reda
Za inštrukcije matematike pokliči: 041 456 238
KROŽNICA je množica točk, ki so enako oddaljene od izbrane točke – središča krožnice.
Enačba krožnice v središčni legi
Enačba krožnice v premaknjeni legi
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
(𝑥 − 𝑝)2 + (𝑦 − 𝑞)2 = 𝑟 2
𝑆 0,0 , 𝑟 … . 𝑝𝑜𝑙𝑚𝑒𝑟
𝑆(𝑝, 𝑞), 𝑟 … . 𝑝𝑜𝑙𝑚𝑒𝑟
***
Premica 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑛 je tangenta krožnice 𝑥 + 𝑦 = 𝑟 2 če velja tangentni pogoj:
𝑟 2 𝑘 2 + 1 = 𝑛2
Premica 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑛 je tangenta krožnice (𝑥 − 𝑝)2 + (𝑦 − 𝑞)2 = 𝑟 2 če velja tangentni pogoj:
𝑟 2 𝑘 2 + 1 = (𝑘𝑝 − 𝑞 + 𝑛)2
2
2
ELIPSA je množica točk v ravnini, za katere je vsota razdalj do dveh izbranih točk (gorišč)
konstantna.
Enačba elipse v središčni legi:
Enačba elipse v premaknjeni legi:
2
2
𝑥
𝑦
(𝑥 − 𝑝)2 (𝑦 − 𝑞)2
+
=
1
+
=1
𝑎2 𝑏 2
𝑎2
𝑏2
Gorišči ležita vedno na daljši polosi. Velja zveza med e, a in b:
Če je a daljša polos, a>b
𝑒 2 = 𝑎2 − 𝑏2
Če je b daljša polos, b>a
𝑒 2 = 𝑏 2 − 𝑎2
***
ELIPSA je množica točk v ravnini, za katere je vsota razdalj do dveh izbranih točk (gorišč) konstantna.
𝑑 𝑇, 𝐹1 + 𝑑 𝑇, 𝐹2 = 2𝑎
𝜀 … … … … … 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖č𝑛𝑎 𝑒𝑘𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖č𝑛𝑜𝑠𝑡, 0 < 𝜀 < 1
𝑝 … … … … … . 𝑝𝑜𝑙𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒
Premica 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑛 je tangenta elipse, če velja tangentni pogoj: 𝑎2 𝑘 2 + 𝑏 2 = 𝑛2
Ploščina elipse: 𝑆 = 𝜋𝑎𝑏
E: [email protected]
Za inštrukcije matematike pokliči: 041 456 238
Stožnice – krivulje drugega reda
Za inštrukcije matematike pokliči: 041 456 238
HIPERBOLA je množica točk v ravnini, za katere je absolutna vrednost razlike razdalj do dveh
izbranih točk (gorišč) konstantna.
𝑥2 𝑦2
−
=1
𝑎2 𝑏 2
𝑥2 𝑦2
−
= −1
𝑎2 𝑏 2
𝑎𝑙𝑖
𝑦2 𝑥2
−
=1
𝑏 2 𝑎2
𝑏
Enačbi asimptot: 𝑦 = ± 𝑎 , zveza med goriščno razdaljo in polosema: 𝑒 2 = 𝑎2 + 𝑏 2
𝑎 … . . 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑛𝑎 𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠
𝑏 … . . 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑛𝑎 𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠
𝑏 … . . 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑛𝑎 𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠
𝑎 … . . 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑛𝑎 𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠
Premaknjena
lega
(𝑥 − 𝑝)2 (𝑦 − 𝑞)2
−
=1
𝑎2
𝑏2
(𝑥−𝑝)2
(𝑦−𝑞)2
−
=
𝑎2
𝑏2
Gorišči sta na y-osi
Gorišči sta na x-osi
−1
𝑦−𝑞 =±
𝑏
𝑥−𝑝
𝑎
Enačbi asimptot
***
𝜀 … . . 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖č𝑛𝑎 𝑒𝑘𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖č𝑛𝑜𝑠𝑡
𝑝 … . . 𝑝𝑜𝑙𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟 ℎ𝑖𝑝𝑒𝑟𝑏𝑜𝑙𝑒
𝜀=
𝑒
> 1,
𝑎
𝑝=
𝑑 𝑇, 𝐹1 − 𝑑 𝑇, 𝐹2
𝑏2
𝑎
𝜀=
𝑒
> 1,
𝑏
𝑝=
𝑎2
𝑏
= 2𝑎
Premica 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑛 je tangenta hiperbole, če je izpolnjen tangentni pogoj: 𝑎2 𝑘 2 − 𝑏 2 = 𝑛2 .
PARABOLA je množica točk v ravnini, za katere je oddaljenost od izbrane točke (gorišča) enaka
oddaljenosti do izbrane premice (vodnice).
Enačbi parabole, s simetrijsko osjo vzporedno x – osi:
𝑦 2 = 2𝑝𝑥
𝐹
𝑝
𝑝
, 0 , 𝑣𝑜𝑑𝑛𝑖𝑐𝑎: 𝑥 = −
2
2
(𝑦 − 𝑏)2 = 2𝑝(𝑥 − 𝑎)
𝑝
𝑝
𝐹 𝑎 + , 𝑏 , vodnica: 𝑥 = 𝑎 −
2
2
Enačbi parabole, s simetrijsko osjo vzporedno y – osi:
Središčna lega
Premaknjena lega
𝑥 2 = 2𝑝𝑦
𝐹 0,
𝑝
𝑝
, 𝑣𝑜𝑑𝑛𝑖𝑐𝑎: 𝑦 = −
2
2
(𝑥 − 𝑎)2 = 2𝑝(𝑦 − 𝑏)
𝐹 𝑎, 𝑏 +
𝑝
𝑝
, vodnica: 𝑦 = 𝑏 −
2
2
***
Splošna enačba krivulje drugega reda
𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
lahko predstavlja krožnico, elipso, hiperbolo, parabolo, par premic, dvakrat šteto premico, točko ali prazno
množico.
E: [email protected]
Za inštrukcije matematike pokliči: 041 456 238