1. No category

Optimizacija 2
zapiski s predavanj
1
Konveksne množice v Rn
Definicija 1.1. Naj bosta x, y ∈ Rn . Element z ∈ Rn je linearna kombinacija elementov x in y, cˇ e
ga lahko predstavimo kot z = α x + β y, kjer sta α, β ∈ R poljubni števili. Element z ∈ Rn je afina
kombinacija elementov x in y, cˇ e ga lahko predstavimo kot z = α x + β y, kjer sta α, β ∈ R poljubni
števili z lastnostjo α + β = 1. Element z ∈ Rn je konveksna kombinacija elementov x in y, cˇ e ga
lahko predstavimo kot z = α x + β y, kjer sta α, β ∈ R+ ∪ {0} poljubni nenegativni števili z lastnostjo
α + β = 1.
Definicija 1.2. Množica X ⊆ Rn je linearna (afina, konveksna), cˇ e vsebuje vse linearne (afine,
konveksne) kombinacije elementov iz X .
Trditev 1.3. Za vsako afino množico A ⊆ Rn obstaja enoliˇcno doloˇcena linearna množica V ⊆ Rn
in tak vektor a ∈ Rn , da velja A = a + V .
Trditev 1.4. Naj bo { X λ ; λ ∈ Λ} družina linearnih (afinih, konveksnih) množic. Tedaj je tudi
⋂λ∈Λ X λ linearna (afina, konveksna) množica.
1.1
ˇ
Ogrinjace
Definicija 1.5. Naj bo X ⊆ Rn množica. Linearna ogrinjaˇca Lin( X ) je najmanjša linearna
množica, ki vsebuje X . Afina ogrinjaˇca Aff ( X ) je najmanjša afina množica, ki vsebuje X . Konveksna ogrinjaˇca Conv( X ) je najmanjša konveksna množica, ki vsebuje X .
Trditev 1.6. Naj bo X ⊆ Rn množica. Tedaj velja
Conv( X ) = ⋃ {α1 x1 + ⋯ + αk xk ; x1 , . . . , xk ∈ X , α1 , . . . , αk ≥ 0, ∑ α i = 1}.
k∈N
Posledica 1.7. Množica X ⊆ Rn je konveksna, cˇ e velja X = Conv( X ).
ˇ je množica X
Trditev 1.8. Ce
odp⊆ R n ,
potem je tudi Conv( X ) odp⊆ Rn .
Konveksna ogrinjaˇca zaprte množice ni nujno zaprta.
ˇ je množica X konveksna, potem sta tudi množici int( X ) in X konveksni.
Trditev 1.9. Ce
Primeri konveksnih množic so
1
T HIS
A
DRAFT,
PLEASE DO NOT DISTRIBUTE .
• hiperravnina oziroma ( n − 1)-razsežen afin podprostor: { x ∈ Rn ; ⟨a, x⟩ = d }, kjer je d ∈ R,
• zaprt polprostor: { x ∈ Rn ; ⟨a, x⟩ ≤ d }, kjer je d ∈ R,
• odprt polprostor
• polieder oziroma presek konˇcne družine zaprtih polprostorov: { x ∈ Rn ; Ax ≤ b}, kjer je A ∈
Rm,n , b ∈ Rm in relacija ≤ definirana po komponentah.
Izrek 1.10 (Carathéodory). Naj bo X ⊆ Rn množica in x ∈ Conv( X ). Potem lahko x zapišemo kot
konveksno kombinacijo n + 1 elementov iz X .
ˇ je množica X
Posledica 1.11. Ce
1.2
komp⊆ R n ,
potem je tudi Conv( X ) komp⊆ Rn .
ˇ
Locitev
množic
Definicija 1.12. Naj bosta X , Y ⊆ Rn neprazni množici. Razdalja med množicama X in Y je
definirana kot
d ( X , Y ) = inf d ( x, y),
x∈ X
y∈Y
kjer je d ( x, y) razdalja med elementoma x in y.
Ponavadi za d ( x, y) vzamemo ∣∣ x − y∣∣2 .
Trditev 1.13. Naj bo X zap ⊆ Rn neprazna množica in x0 ∈ Rn . Potem obstaja tak x ∈ X , da velja
ˇ je množica X konveksna, je tak x enoliˇcno doloˇcen.
d ( X , { x0 }) = d ( x, x0 ). Ce
Definicija 1.14. Hiperravnina H krepko loˇci množici X , Y ⊆ Rn , cˇ e ležita množici X in Y v razliˇcnih zaprtih podprostorih, ki ju loˇci H , in obstaja ε > 0, da velja d ( H, X ∪ Y ) > ε.
Izrek 1.15 (Izrek o loˇcitvi). Naj bo X ⊆ Rn konveksna in zaprta množica in x ∈ Rn ∖ X . Potem
obstaja hiperravnina, ki krepko loˇci X in { x}.
Zaprtih konveksnih množic v splošnem ne moremo loˇciti.
Posledica 1.16. Vsaka zaprta in konveksna množica je presek zaprtih polprostorov, ki jo vsebujejo.
Definicija 1.17. Naj bo X ⊆ Rn konveksna množica. Toˇcka x ∈ X je skrajna, tudi ekstremna, toˇcka
množice X , cˇ e je množica X ∖ { x} konveksna. Množico vseh skrajnih toˇck množice X oznaˇcimo z
ext X .
Ekvivalentno definicijo zapišemo v obliki trditve.
Trditev 1.18. Toˇcka je skrajna toˇcka natanko tedaj, ko je ne moremo zapisati v obliki prave
konveksne kombinacije dveh drugih razliˇcnih elementov iz X .
Definicija 1.19. Toˇcka x ∈ Rn je izpostavljena (angl. exposed), kadar obstaja hiperravnina H ,
tako da X leži v celoti v enem od zaprtih polprostorov glede na H in velja H ∪ X = { x}.
HG revision 30 - date: 2012-03-02 00:59 +0100
2
T HIS
A
DRAFT,
PLEASE DO NOT DISTRIBUTE .
Iz definicije neposredno sledi, da je vsaka izpostavljena toˇcka tudi skrajna toˇcka. Obrat pa ne
velja.
Trditev 1.20. Naj bo X ⊆ Rn konveksna in kompaktna množica. Potem velja
X = cl(Conv(ext( X ))).
Posledica 1.21. Naj bo X ⊆ Rn konveksna in kompaktna množica ter f ∶ X → R afina funkcija.
Potem sta minimum in maksimum funkcije f dosežena v ekstremnih toˇckah množice X .
1.3
Stožci
Definicija 1.22. Neprazno množico X ⊆ Rn , kjer za vsaka para x1 , x2 ∈ X in λ1 , λ2 ≥ 0 velja λ1 x1 +
λ2 x2 ∈ X , poimenujemo stožec (angl. cone).
Hitro se lahko prepriˇcamo, da je vsak stožec konveksna množica, ki vsebuje izhodišˇce, t. j. element 0.
Trditev 1.23. Presek poljubne družine stožcev je stožec.
Definicija 1.24. Naj bo X ⊆ Rn množica. Cone X je najmanjši stožec, ki vsebuje X , kjer upoštevamo Cone ∅ = {0}.
Trditev 1.25. Naj bo X ⊆ Rn množica. Tedaj velja
Cone X = ⋃ {α1 x1 + ⋯ + αk xk ; x1 , . . . , xk ∈ X , α1 , . . . , αk ≥ 0}.
k∈N
Definicija 1.26. Stožec C je konˇcno generiran, cˇ e obstaja taka konˇcna množica X ⊆ Rn , da velja
Cone X = C .
Definicija 1.27. Osnovni stožec je definiran z linearno neodvisnimi vektorji.
Lema 1.28. Vsak osnovni stožec je zaprta množica.
Lema 1.29. Vsak konˇcno generiran stožec je unija konˇcno mnogo osnovnih stožcev.
Posledica 1.30. Vsak konˇcno generiran stožec je zaprta množica.
Izrek 1.31 (geometrijska Farkaseva lema). Naj bo C = Cone {a 1 , a 2 , . . . , a m } ⊆ Rn konˇcno generiran stožec in b ∈ Rn . Potem velja natanko ena od naslednjih trditev:
• b∈C
• Obstaja takšen c ∈ Rn , da za vsak i = 1, 2, . . . , m velja ⟨ c, a i ⟩ ≤ 0 in ⟨ c, b⟩ > 0.
Druga toˇcka izreka 1.31 pomeni, da obstaja hiperravnina skozi izhodišˇce, ki ima za c za normalo
in loˇci b in c.
Posledica 1.32. Naj bo A ∈ Rm,n realna matrika in b ∈ Rm vektor. Tedaj velja natanko ena od
naslednjih možnosti:
• Obstaja x ∈ Rn , ki zadošˇca Ax = b in x ≥ 0.
• Obstaja y ∈ Rm , ki zadošˇca A ⊺ y ≥ 0⊺ in ⟨ b, y⟩ < 0.
Posledica 1.33. Naj bo A ∈ Rm,n realna matrika in b ∈ Rm vektor. Sistem neenaˇcb Ax ≤ b, kjer je
x ≥ 0, nima rešitve natanko tedaj, ko obstaja takšen y ∈ Rm , da A ⊺ y ≥ 0, y ≥ 0 in ⟨ b, y⟩ < 0.
HG revision 30 - date: 2012-03-02 00:59 +0100
3
T HIS
2
A
DRAFT,
PLEASE DO NOT DISTRIBUTE .
Linearno programiranje
Linearni program v standardni obliki.
Trditev 2.1. Dual dualnega linearnega programa je zopet zaˇcetni linearni program.
Izrek 2.2 (Šibka dualnost). Naj bo x dopustna rešitev zaˇcetne naloge in y dopustna rešitev dualne
naloge. Potem velja ⟨ c, x⟩ ≤ ⟨ b, y⟩.
Izrek 2.3 (Krepka dualnost). Naj bo x∗ optimalna rešitev zaˇcetne naloge. Potem ima tudi dualna
naloga optimalno rešitev in za vsako optimalno rešitev y∗ dualne naloge velja ⟨ c, x∗ ⟩ = ⟨ b, y∗ ⟩.
Izrek 2.4. Naj bo linearni program max{⟨ c, x, ⟩; Ax ≤ b, x ≥ 0} dopusten in navzgor omejen. Potem
obstaja dopustna rešitev x∗ zaˇcetne naloge in dopustna rešitev y∗ dualne naloge, tako da velja
⟨ c, x∗ ⟩ = ⟨b, y∗ ⟩.
2.1
Dualno dopolnjevanje
Izrek 2.5. Naj bo x dopustna rešitev zaˇcetne naloge in y dopustna rešitev dualne naloge. Potem
sta rešitvi x in y optimalni natanko tedaj, ko zadošˇcata pogoju parov, t. j. za vsak j = 1, . . . , n velja
x j = 0 ∨ ⟨ e j , A ⊺ y⟩ = 0 in y j = 0 ∨ ⟨ e j , Ax⟩ = 0.
Posledica 2.6. Naj bo x dopustna rešitev zaˇcetne naloge. Potem je x optimalna rešitev natanko
tedaj, ko obstaja dopustna rešitev dualne naloge, ki skupaj z x ustreza pogoju parov.
ˇ je x neizrojena bazna dopustna rešitev, potem je sistem enaˇcb za y, ki ga dobimo iz
Izrek 2.7. Ce
dualnega dopolnjevanja enoliˇcno rešljiv.
Trditev 2.8. Naj bo x dopustna rešitev spremenjene naloge, x∗ optimalna rešitev prvotne naloge,
y∗ optimalna rešitev prvotne dualne naloge in z∗ optimalna vrednost prvotne naloge. Potem je
⟨ c, x⟩ ≤ z∗ + ⟨d, y∗ ⟩.
Izrek 2.9. Naj ima zaˇcetna naloga vsaj eno neizrojeno bazno rešitev. Potem obstaja tak ε > 0, da
ima za vsak d , za katerega velja ∣∣ d ∣∣∞ < ε, spremenjena naloga optimalno vrednost z∗ + ⟨ d, y∗ ⟩.
Izrek 2.10. Vsak konveksen polieder K = { x ; Ax ≤ b} lahko zapišemo v standardni obliki K =
k
{∑ki=0 λ i v i + ∑li=0 µ i s i + ∑m
i =0 ν i t i ; ∑ i =0 λ i = 1, λ i , µ i ≥ 0, ν i ∈ R}.
Polieder ima ekstremno toˇcko natanko tedaj, ko ne vsebuje premice.
Izrek 2.11 (O obstoju strogo komplementarnih optimalnih rešitev). Naj bosta linearni program
in njegov dualni program dopustna. Potem obstajata takšni optimalni rešitvi x∗ in y∗ , da velja
x∗ + A ⊺ y∗ − c > 0 in y∗ + b − Ax∗ > 0.
Izrek pravi, da vedno obstajata optimalni rešitvi, pri katerih je pri pogoju parov v vsakem navpiˇcnem
paru natanko ena niˇcla.
HG revision 30 - date: 2012-03-02 00:59 +0100
4
T HIS
3
A
DRAFT,
PLEASE DO NOT DISTRIBUTE .
ˇ
Parametricno
linearno programiranje
Standardna oblika parametriˇcnega linearnega programa:
min{⟨ c, x⟩ ; Ax = b, x ≥ 0}
(1)
max{⟨ b, y⟩ ; A ⊺ y + s = c, s ≥ 0}
(2)
Standardna oblika njegovega duala:
Množico vseh dopustnih rešitev parametriˇcnega linearnega programa oznaˇcimo z P . Množico
optimalnih rešitev oznaˇcimo z P ∗ .
Z z A ( b, c) oznaˇcimo optimalno vrednost, ki ni definirana, cˇ e sta (1) in (2) protislovna; ∞, cˇ e je (2)
neomejen; in −∞, cˇ e je (1) neomejen.
3.1
Dualno dopolnjevanje
Izrek 3.1. Naj bo x ∈ P in ( y, s) ∈ D, potem x ∈ P ∗ in ( y, s) ∈ D∗ natanko tedaj, ko ⟨ x, s⟩ = 0.
Naj bo B, N ⊆ Nn , B = { i ; ∃ x ∈ P ∗ , x i > 0} in N = { i ; ∃( y, s) ∈ D∗ , s i > 0}. Tedaj B in N tvorita
BN -razbitje.
Lema 3.2. Naj bo x∗ ∈ P ∗ in ( y∗ , s∗ ) ∈ D∗ , potem je P ∗ = { x ∈ P ; ⟨ x, s∗ ⟩ = 0} in D∗ = {( y, s) ∈
D ; ⟨ x, s∗ ⟩ = 0}.
Lema 3.3. Naj bo B, N BN -razbitje, potem je P ∗ = { x ∈ P ; x N = 0} in D∗ = {( y, s) ∈ D ; s B = 0}.
Lema 3.4. Naj bo B, N BN -razbitje. Tedaj velja
dim(P ∗ ) = ∣B∣ − rank( A B )
dim(D∗ ) = m − rank( A B )
Posledica 3.5. (1) ima enoliˇcno rešitev natanko tedaj, ko je ∣B∣ = rank( A B ) in (2) ima enoliˇcno
rešitev natanko tedaj, ko je m = rank( A B ).
...
Definicija 3.6. ...
Lema 3.7. dom(F ) in dom(G ) sta konveksni množici.
Lema 3.8. dom(F ) in dom(G ) sta zaprti množici v Rn .
Izrek 3.9. Funkcija F je zvezna, konveksna in odsekoma linearna. Funkcija G je zvezna, konkavna
in odsekoma linearna.
HG revision 30 - date: 2012-03-02 00:59 +0100
5
T HIS
A
DRAFT,
PLEASE DO NOT DISTRIBUTE .
Izrek 3.10. Naj bo F linearna na intervalu [β1 , β2 ], kjer je β1 < β2 . Potem so množice Dβ∗ enake
za vse β ∈ (β1 , β2 ).
Izrek 3.11.
Lema 3.12.
Izrek 3.13.
Izrek 3.14.
3.1.1
ˇ
Izracun
F (β) pri predpostavki O ∈ dom(F )
Vhodni podatki so A, b, c, ∆ b, ( y∗ , s∗ ) ∈ D∗ . Izhodni podatek je zaporedje prelomnih toˇck β1 , . . . , βk .
4
Celoštevilsko linearno programirane
Celoštevilski linearni programi so linearni programi, pri katerih dodamo zahtevo, da je rešitev
rešitev x celoštevilska, torej x i ∈ Z za vsak i .
Trditev 4.1. Obstajajo celoštevilski programi, ki so dopustni in omejeni, vendar nimajo optimalnih rešitev.
Definicija 4.2. Naj bo P polieder.
P I = Conv(Zn ∩ P )
je celoštevilska konveksna ogrinjaˇca poliedra P .
Opazimo, da velja P I ⊆ P , vendar se lahko zgodi, da je P I = ∅, cˇ eprav je P ≠ ∅. Prav tako ni nujno,
ˇ je P politop, t. j. omejen polieder, potem je tudi P I politop.
da je P I spet polieder. Ce
Trditev 4.3. Velja
sup{⟨ c, x⟩ ; x ∈ Zn ∩ P } = sup{⟨ c, x⟩ ; x ∈ P I }.
Izrek 4.4. Za vsako matriko A ∈ Zm,n obstaja taka celoštevilska matrika M , katere elementi so po
absolutni vrednosti pod n2n ∆ ( A ), da za vsak b ∈ Qn obstaja d ∈ Zm , da je Conv({ x ∈ Zn ; Ax ≤
b}) = { x ∈ Rn ; Mx ≤ d }, kjer je ∆ ( A ) najveˇcja absolutna vrednost poddeterminant matrike A .
ˇ je P racionalen polieder, potem je tudi P I racionalen polieder.
Posledica 4.5. Ce
Definicija 4.6. Polieder P je celoštevilski, cˇ e velja P = P I .
Izrek 4.7. Naj bo P racionalen polieder, potem so naslednje tri trditve enakovredne:
1. P je celoštevilski,
2. max{⟨ c, x⟩ ; x ∈ P } je dosežen pri celoštevilskem vektorju x za vsak c, pri katerem maksimum
obstaja, in
3. max{⟨ c, x⟩ ; x ∈ P } je celo število za vsak celoštevilski c, pri katerem maksimum obstaja.
Lema 4.8. Naj bo P tak racionalen polieder, da je P I ≠ ∅. Tedaj za vsak c ∈ Rn velja, da je
sup{⟨ c, x⟩ ; x ∈ P } < ∞ natanko tedaj, ko je sup{⟨ c, x⟩ ; x ∈ P I } < ∞.
HG revision 30 - date: 2012-03-02 00:59 +0100
6
T HIS
4.1
A
DRAFT,
PLEASE DO NOT DISTRIBUTE .
Popolnoma unimodularne matrike
Definicija 4.9. Matrika A ∈ Rm,n je popolnoma unimodularna, krajše pum, cˇ e za vsako njeno
kvadratno podmatriko B velja det B ∈ {−1, 0, 1}.
Iz definicije sledi, da so edini možni elementi matrike le −1, 0 in 1. Enostavno se vidi, da je A
pum natanko tedaj, ko je A ⊺ pum.
Izrek 4.10. Celoštevilska matrika A je pum natanko tedaj, ko je za vsak celoštevilski vektor b
polieder { x ∈ Rn ; Ax ≤ b, x ≥ 0} celoštevilski.
Izrek 4.11. Matrika A ∈ Zm,n je pum, cˇ e in samo cˇ e za vsak R ⊆ Nm obstaja tako razbitje R =
R 1 ∪ R 2 , da za vsak j velja ∑ i∈R1 a i j − ∑ i∈R2 a i j ∈ {−1, 0, 1}.
Posledica 4.12. Incidenˇcna matrika neusmerjenega grafa je pum natanko tedaj, ko je graf dvodelen.
Posledica 4.13. Incidenˇcna matrika usmerjenega grafa je vedno pum.
Posledica 4.14. Za vsak dvodelen graf je moˇc najveˇcjega prirejanja enaka moˇci najmanjšega
pokritja.
Definicija 4.15. Naj bo X ⊂ Rn konveksna in zaprta množica. F ⊆ X je k-lice, cˇ e je dim F = k in za
vsak par a, b ∈ X , pri cˇ emer (a, b) ∩ F ≠ ∅, velja [a, b] ⊆ F .
Trditev 4.16. Naj bo P polieder in ∅ ≠ F ⊆ P . Tedaj so naslednje tri trditve enakovredne:
1. F je lice P .
2. Obstaja c ∈ Rn , da velja δ = max{⟨ c, x⟩ ; x ∈ P } < ∞ in F = { x ∈ P ; ⟨ c, x⟩ = δ}.
3. F = { x ∈ Rn ; A ′ x = b′ }, kjer je A ′ x ≤ b′ podsistem sistema Ax ≤ b.
Trditev 4.17. Naj bo P = { x ∈ Rn ; Ax ≤ b} polieder in ∅ ≠ F ⊆ P . Potem je F minimalno lice
poliedra P natanko tedaj, ko je F = { x ∈ Rn ; A ′ x = b′ } za kak podsistem A ′ x ≤ b′ sistema Ax ≤ b.
5
Karush-Kuhn-Tuckerjevi pogoji
Naj bo Ω odp⊆ Rn , f ∶ Ω → R m ∈ N in g i ∈ C 1 (Ω) za vsak i = 1, . . . , m. Naša naloga je rešiti nalogo
min f ( x),
x∈ D
kjer je D = { x ∈ Ω ; g i ( x) ≤ 0 ∀ i }.
Definicija 5.1. d ∈ Rn je dopustna smer za x ∈ D , cˇ e obstaja λ > 0, da je x + λ′ d ∈ D za vsak
λ′ ∈ [0, λ]. Množico vseh dopustnih smeri pri danem x ∈ D oznaˇcimo z Z ( x).
Opazimo, cˇ e je x ∈ int(D ) potem je Z ( x) = Rn .
HG revision 30 - date: 2012-03-02 00:59 +0100
7
T HIS
A
DRAFT,
PLEASE DO NOT DISTRIBUTE .
ˇ je x ∈ D lokalni minimum za f . Potem je ⟨ d, ∇ f ∣ x ⟩ ≥ 0 za vsak
Trditev 5.2. Naj bo f ∈ C 1 (Ω). Ce
d ∈ Z ( x ).
Trditev posplošuje obiˇcajni kriterij obstoja lokalnega minimuma, saj ni nujno, da je x ∈ int(D ).
ˇ je −∇ f ∣ x ∈ Z ( x), potem je ∇ f ∣ x = 0.
Ce
Definicija 5.3. x ∈ D je stacionarna toˇcka, cˇ e je ⟨ d, ∇ f ∣ x ⟩ ≥ 0 za vsak d ∈ Z ( x).
Trditev 5.4. Naj bo f ∈ C 1 (Ω) konveksna funkcija in D konveksna množica. Tedaj je x ∈ D globalni minimum za f na D natanko tedaj, ko je x stacionarna toˇcka.
Definicija 5.5. Omejitev g i je aktivna pri x ∈ D , cˇ e velja g i ( x) = 0. Množico vseh indeksov aktivnih
omejitev oznaˇcimo z I ( x) = { i ∈ {1, . . . , m}, g i ( x) = 0}.
ˇ je ⟨ d, ∇ g i ∣ x ⟩ < 0, potem velja g i ( x+ td ) < g i ( x) za dovolj majhne t > 0. Analogno
Naj bo d ∈ Z ( x). Ce
iz ⟨ d, ∇ g i ∣ x ⟩ > 0 sledi g i ( x + td ) > g i ( x).
Definicija 5.6. L′ ( x) = { d ∈ Rn , ⟨ d, ∇ g i ∣ x ⟩ < 0 ∀ i ∈ I ( x)} in L( x) = { d ∈ Rn , ⟨ d, ∇ g i ∣ x ⟩ ≤ 0 ∀ i ∈
I ( x)}
Trditev 5.7. Za vsak x ∈ D velja L′ ( x) ⊆ Z ( x) ⊆ L( x).
ˇ je x ∈ int(D ), potem je Rn = Z ( x) ⊆ Z ( x) ⊆ L( x) ⊆ Rn .
Velja tudi Z ( x) ⊆ L( x). Ce
Definicija 5.8. Omejitve so regularne v toˇcki x ∈ D , cˇ e velja Z ( x) = L( x).
Primer: Naj bo D = { x ∈ R ; g 1 ( x) = x2 ≤ 0} = {0}. Tedaj je Z (0) = {0}, I ( x) = {1} in L(0) = { d ∈
R , ⟨d, 0⟩ ≤ 0} = R.
ˇ so omejitve g i afine funkcije, to je oblike g i ( x) = a i x + b i za a i ≠ 0, ali cˇ e so g i
Izrek 5.9. Ce
konveksne na konveksni množici D in obstaja x∗ ∈ D , da je g i ( x∗ ) < 0 za vsak i ∈ {1, . . . , m}, potem
so omejitve regularne v vseh toˇckah x ∈ D .
ˇ je množica {∇ g i ∣ x }m linearno neodvisna, so omejitve regularne v toˇcki x ∈ D .
Izrek 5.10. Ce
i =1
Izrek 5.11 (Karush (1939), Kahn-Tucker (1951)). Naj bo f ∈ C 1 (Ω) in g i ∈ C 1 (Ω) za vsak i ∈
{1, . . . , m}. Naj bo x∗ ∈ D lokalni minimum za f na D , v kateri so omejitve g i regularne. Potem
velja
x∗ ∈ D,
λ i ≥ 0,
λ i g i ( x∗ ) = 0 za vsak i ∈ {1, . . . , m}
m
∇ f ∣ x ∗ + ∑ λ i ∇ g i ∣ x ∗ = 0.
i =1
ˇ so funkcije f , g 1 , . . . , g m ∈ C 1 (Ω) konveksne, so KKT pogoji zadostni za globalni
Izrek 5.12. Ce
minimum.
HG revision 30 - date: 2012-03-02 00:59 +0100
8