1. No category

‫ﺛﺎﻧﻮﻳﺔ ﺃﺑﻮ ﺣﻴﺎﻥ ﺍﻟﺘﻮﺣﻴـﺪﻱ‬
‫ﺍﻟﻨﻬﺎﻳــﺎﺕ ﻭ ﺍﻻﺗﺼـــﺎﻝ‬
‫ﺍﻻﺳﺘﺎﺫ‪ :‬ﻣﺤﻤــﺪ ﺣﻤـــﺪﺍﻥ‬
‫ﺳﻠﺴﻠـﺔ ﺍﻟﺘﻤـﺎﺭﻳـــﻦ‬
‫ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﻴﺔ ‪:‬‬
‫‪2012-2011‬‬
‫ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﺎﻙ ﻋﻠﻮﻡ ﺭﻳﺎﺿﻴــﺔ‬
‫ﺍ( ﺃدﺭﺱ ﺍﺗﺼﺎﻝ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪.xo = 2‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪. 1‬‬
‫√‬
‫‪2‬‬
‫ﺏ( ﺃدﺭﺱ ﺍﺗﺼﺎﻝ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ‬
‫❶ ﺃدﺭﺱ ﺍﺗﺼﺎﻝ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺪ ‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬
‫‪o‬‬
‫‪‬‬
‫√‬
‫‪1 + sin x − 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪; x 6= 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ f (x) = x − 2x − 1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x+2‬‬
‫ﻭ‬
‫‪f (0) = 1/2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪xo = −3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x =0‬‬
‫‪o‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪sin(x − 1‬‬
‫‪x2 − 3x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫√ = )‪f (x‬‬
‫‪; x 6= 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x−1‬‬
‫‪x+1−2‬‬
‫‪ f (1) = 1‬ﻭ‬
‫ﻭ‬
‫‪f‬‬
‫)‪(3‬‬
‫=‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x =1‬‬
‫‪ x =3‬‬
‫‪o‬‬
‫‪o‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪(cos x) − 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫= )‪ f (x‬‬
‫‪; x 6= 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ f (x) = |x − 2| + 1‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪x2 + 1‬‬
‫ﻭ‬
‫ﻭ‬
‫‪ f (0) = −3/2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪o‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x =0‬‬
‫ﺝ( ﺃدﺭﺱ ﺍﺗﺼﺎﻝ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪.R‬‬
‫‪ed‬‬
‫‪m‬‬
‫ﺍ( ﺑﻴﻦ ﺃﻥ‪:‬‬
‫‪m‬‬
‫‪x>1‬‬
‫ﺝ( ﺃدﺭﺱ ﺍﺗﺼﺎﻝ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﻓﻲ ‪.0‬‬
‫د( ﺃﺣﺴﺐ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺘﻴﻦ‪:‬‬
‫‪x 6= 1‬‬
‫‪1−x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ f (1) = a‬‬
‫ﺃﻥ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ ‪ .1‬ﺛﻢ ﺑﻴﻦ‬
‫‪.‬‬
‫ﻭ( ﺑﻴﻦ ﺃﻥ‪:‬‬
‫‪x+2−2‬‬
‫√‬
‫‪2x − 2‬‬
‫ﻭ‬
‫‪x+2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫= )‪ f (x‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫)‪1 + cos(πx‬‬
‫ﺃﻥ‪:‬‬
‫‪1 − cos x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ f (0) = a‬‬
‫❻ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬
‫‪‬‬
‫√‬
‫‪‬‬
‫‪x2 + 1 − 1‬‬
‫‪‬‬
‫= )‪ f (x‬‬
‫;‬
‫‪x‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ f (0) = m‬‬
‫ﺃدﺭﺱ ﺍﺗﺼﺎﻝ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﻛﻞ ﻣﻦ [‪ ] − ∞; 0‬ﻭ [∞‪.]0; +‬‬
‫ﺛﻢ ﺣﺪد ‪ m‬ﻟﻜﻲ ﺗﻜﻮﻥ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ‪.R‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪. 2‬‬
‫❶ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬
‫‪hamdane [email protected]‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫= )‪ f (x‬‬
‫‪x2 − 5x + 4‬‬
‫‪‬ﻭ‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ xo = 4‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪. 4‬‬
‫❶ ﺃدﺭﺱ ﺍﺗﺼﺎﻝ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻔﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬
‫√‬
‫‪) f (x) = x x − 1‬‬
‫‬
‫؛‬
‫‪π‬‬
‫‬
‫‪) f (x) = tan‬‬
‫‪2x − 1‬‬
‫√‬
‫‪2‬‬
‫‪x − 2−x‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫؛‬
‫‪|x + 1| − 2‬‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6‬‬
‫؛‬
‫‪3x2 − 1‬‬
‫= )‪) f (x‬‬
‫‪x−1‬‬
‫√‬
‫؛‪f (x) = cos x‬‬
‫‪x2 − 3x‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫؛‬
‫√‬
‫‪x‬‬
‫)‬
‫)‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫❷ ﺑﻴﻦ ﺃﻥ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﺛﻢ ﺣﺪد )‪ f (I‬ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬
‫√‬
‫‪x−4‬‬
‫= )‪ f (x‬ﻭ ]‪f (x) = x x + 1; I = [0, 1‬‬
‫]‪; I = [3, 6‬‬
‫‪x−2‬‬
‫‪‬‬
‫ﻭ‬
‫‪.f (x) = E(x) + (x − E(x))2‬‬
‫|‪|x + 1| − |x − 1‬‬
‫‪‬ﻭ‬
‫‪‬‬
‫‪ xo = 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪|x2 − 2x| − 8‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫= )‪ f (x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ xo = 1‬‬
‫ﺣﺪد ‪ a‬ﻟﻜﻲ ﺗﻜﻮﻥ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ ‪ .0‬ﺛﻢ ﺑﻴﻦ ﺃﻥ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ‬
‫ﻋﻠﻰ [‪.]0; 2π‬‬
‫ﻫﻞ ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺘﻤﺪﻳﺪ ﺑﺎﻻﺗﺼﺎﻝ ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎﺭ ‪.2π‬‬
‫‪x 6= 0‬‬
‫‪‬ﻭ‬
‫‪‬‬
‫‪3 + cos x − 2‬‬
‫‪‬‬
‫= )‪ f (x‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ xo = 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪−2x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫= )‪ f (x‬‬
‫‪H‬‬
‫‪am‬‬
‫❺ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬
‫‪x 6= 0‬‬
‫;‬
‫‪‬ﻭ‬
‫‪‬‬
‫‪ x =2‬‬
‫‪o‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪sin(πx‬‬
‫‪.‬‬
‫)]‪(∀x ∈ [0; 1‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪. 3‬‬
‫ﻫﻞ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺗﻘﺒﻞ ﺗﻤﺪﻳﺪﺍ ﺑﺎﻻﺗﺼﺎﻝ ﻋﻨﺪ ‪ xo‬ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ‬
‫ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫√‬
‫√‬
‫∞‪.x→+‬‬
‫‪lim f (x) = 0‬‬
‫‪x sin x‬‬
‫∞‪x→+‬‬
‫)‪f (f (x)) = f (x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ xo = −2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫= )‪ f (x‬‬
‫∞‪.x→−‬‬
‫)‪ lim f (x‬ﻭ )‪lim f (x‬‬
‫ﻩ( ﺃدﺭﺱ ﺍﺗﺼﺎﻝ ‪ f‬ﻓﻲ ‪.1‬‬
‫‪x3 + 8‬‬
‫‪‬‬
‫‪sin πx‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫= )‪ f (x‬‬
‫;‬
‫‬
‫‬
‫‪. ∀x ∈ R∗+‬‬
‫‪da‬‬
‫ﺣﺪد ‪ a‬ﻋﻠﻤﺎ‬
‫‪x−1‬‬
‫‪‬‬
‫‪x+b‬‬
‫‪‬‬
‫= )‪ f (x‬‬
‫‪; x61‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ f (0) = 1‬‬
‫‪1 − x < f (x) 6 1‬‬
‫‪ne‬‬
‫❹ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬
‫‪‬‬
‫‪x2 + x + a‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫= )‪ f (x‬‬
‫;‬
‫‪x‬‬
‫‪.‬‬
‫ﺏ( ﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ ‪ 0‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻦ‪.‬‬
‫‪M‬‬
‫‪oh‬‬
‫‪a‬‬
‫❸ ﺣﺪد ﺍﻟﻌﺪدﻳﻦ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻟﻜﻲ ﺗﻜﻮﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ ‪:1‬‬
‫ ‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ f (x) = xE‬‬
‫;‬
‫‪x 6= 0‬‬
‫❷ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬
‫‪o‬‬
‫❷ ﺃدﺭﺱ ﺍﺗﺼﺎﻝ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎﺭ ﻭ ﻳﻤﻴﻦ ‪ xo‬ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫√‬
‫‪‬‬
‫‪x− x‬‬
‫‪‬‬
‫‪|x| + 2x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪f‬‬
‫)‪(x‬‬
‫=‬
‫;‬
‫‪x‬‬
‫<‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪f (x) = 2‬‬
‫‪; x 6= 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫|‪x − |x‬‬
‫‪ f (0) = −3‬ﻭ‬
‫‪ xo = 1‬ﻭ ‪f (1) = 1/2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫√‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x =0‬‬
‫= )‪ f (x‬‬
‫‪;x > 1‬‬
‫‪o‬‬
‫‪x−1‬‬
‫= ‪.xo‬‬
‫‪‬‬
‫‪ f (x) = x + 2; x 6 1‬‬
‫‪.‬‬
‫]‪ f (x) = 3x2 ; x > 1; I = [−3, 2‬‬
‫ﺍﻟﺼﻔﺤﺔ ‪ 1‬ﻣﻦ‬
‫‪5‬‬
‫‪www.attossi.webs.com‬‬
‫‪.‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪. 5‬‬
‫❶ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪ ،‬ﺑﻴﻦ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﺗﻘﺒﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ‬
‫ﺣﻼ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ‪:I‬‬
‫‪+ cos πx = 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x4 − 4x = 1‬‬
‫‪‬‬
‫]‪ I = [−1, 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫√ ‪‬‬
‫‪1 + x2‬‬
‫‪‬‬
‫]‪ I = [0, 1‬‬
‫ﻭ‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 sin x = x‬‬
‫‬
‫‬
‫‪π‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪ I‬‬
‫‪,π‬‬
‫ﻭ‬
‫‪3‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪. 7‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬
‫‪ed‬‬
‫ﻓﻲ ‪:I‬‬
‫‪6 3‬‬
‫‪x−1‬‬
‫= )‪.f (x‬‬
‫‬
‫‪;2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‬
‫ﺑﺤﻴﺚ‬
‫❷ ﻟﻴﻜﻦ ‪ g‬ﻗﺼﻮﺭ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ [∞‪.I =]1; +‬‬
‫ﺍ( ﺑﻴﻦ ﺃﻥ ‪ g‬ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ ‪ I‬ﻧﺤﻮ ﻣﺠﺎﻝ ‪ J‬ﻳﻨﺒﻐﻲ ﺗﺤﺪﻳﺪﻩ‪.‬‬
‫ﺏ( ﺣﺪد )‪ . lim+ g−1 (x‬ﺛﻢ ﺃﺣﺴﺐ )‪ g−1 (x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ‬
‫‪x→0‬‬
‫‪.J‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x + sin x = 1‬‬
‫‬
‫‬
‫‪π‬‬
‫‪‬‬
‫‪ I = 0,‬‬
‫ﻭ‬
‫‪6‬‬
‫‪m‬‬
‫‪‬‬
‫]‪ I = [−2, −1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ cos πx = x‬‬
‫‪3‬‬
‫‬
‫‪π π‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪,‬‬
‫= ‪ I‬‬
‫ﻭ‬
‫√‬
‫‪x‬‬
‫❶ ﺑﻴﻦ ﺃﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ‪ α‬ﻣﻦ‬
‫‪.f (α) = α‬‬
‫❷ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪ ،‬ﺑﻴﻦ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ ﻭﺣﻴﺪﺍ‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x5 + x2 + 2 = 0‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪. 8‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ]‪ [0; π‬ﺑـ‪.f (x) = 2 cos(x)−cos(2x) :‬‬
‫ﺗﻐﻴﺮﺍﺕ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ‪ ،f‬ﺛﻢ ﺃﻧﺸﺊ ﻣﻨﺤﻨﺎﻫﺎ ﻓﻲ ﻡ‪.‬ﻢ‪.‬ﻢ‬
‫❶ ﺃدﺭﺱ‬
‫‬
‫»‪#» #‬‬
‫‪. O, i , j‬‬
‫‪m‬‬
‫❸ ]‪ f : [a, b] → [a, b‬دﺍﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ]‪ .[a, b‬ﺑﻴﻦ ﺃﻥ ‪ f‬ﺗﻘﺒﻞ‬
‫ﻧﻘﻄﺔ ﺻﺎﻣﺪﺓ‪) .‬ﺃﻱ ﺃﻥ ‪((∃α ∈ [a, b]) f (α) = α‬‬
‫‬
‫‬
‫ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ]‪ [a, b‬ﺑﺤﻴﺚ )‪ .f (a) = f (b‬ﺑﻴﻦ‬
‫❹ ‪ f‬دﺍﻟﺔ‬
‫‪π‬‬
‫‬
‫❷ ﻟﻴﻜﻦ ‪ g‬ﻗﺼﻮﺭ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ‪.I = ; π‬‬
‫‪b−a‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ f (x) = f x +‬ﺗﻘﺒﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ﺣﻼ‬
‫ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬
‫‪2‬‬
‫ﺍ( ﺣﺪد ‪ J‬ﺻﻮﺭﺓ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ‪ I‬ﺑﺎﻟﺪﺍﻟﺔ ‪.g‬‬
‫ﻳﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ]‪.[a, b‬‬
‫❺ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺪدﺍﻥ ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﺑﺤﻴﺚ ‪ a < b‬ﻭ ‪ f‬دﺍﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ‬
‫ﺏ( ﻟﻴﻜﻦ ‪ λ‬ﻣﻦ ‪ .J‬ﺑﻴﻦ ﺃﻥ ‪ g(x) = λ‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ ﻭﺣﻴﺪﺍ‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ‪.I‬‬
‫= )‪.(∃c ∈]a, b[) f (c‬‬
‫‪+‬‬
‫]‪ .[a, b‬ﺑﻴﻦ ﺃﻥ‪:‬‬
‫‪a−c‬‬
‫‪b−c‬‬
‫‪.‬‬
‫❻ ‪ f‬ﻭ ‪ g‬دﺍﻟﺘﻴﻦ ﻣﻌﺮﻓﺘﻴﻦ ﻣﻦ ]‪ [a, b‬ﻧﺤﻮ ‪ R‬ﻭ ﻣﺘﺼﻠﺘﻴﻦ ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪. 9‬‬
‫√‬
‫ﻋﻠﻰ ]‪ [a, b‬ﺑﺤﻴﺚ )‪ .(∀x ∈ [a, b]) f (x) 6 g(x‬ﻟﻴﻜﻦ ‪ λ‬ﻋﺪدﺍ‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ‪.f (x) = tan2 (x) − 2 3 tan(x) :‬‬
‫‬
‫‬
‫ﺣﻘﻴﻘﻴﺎ ﻣﻦ [‪.]0; 1‬‬
‫‪π‬‬
‫;‪.I = 0‬‬
‫❶ ﻟﻴﻜﻦ ‪ g‬ﻗﺼﻮﺭ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ‬
‫ﺑﻴﻦ ﺃﻧﻪ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ‪ f‬ﻭ ‪ g‬ﻧﻘﻄﺔ ﺻﺎﻣﺪﺓ‪ ،‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ‪h‬‬
‫‪3‬‬
‫ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ]‪ [a, b‬ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪h(x) = λf (x) + (1 − λ)g(x) :‬‬
‫ﺍ( ﺑﻴﻦ ﺃﻥ ‪ g‬ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ ‪ I‬ﻧﺤﻮ ﻣﺠﺎﻝ ‪ J‬ﻳﻨﺒﻐﻲ ﺗﺤﺪﻳﺪﻩ‪.‬‬
‫ﺗﻘﺒﻞ ﺃﻳﻀﺎ ﻧﻘﻄﺔ ﺻﺎﻣﺪﺓ‪.‬‬
‫ﺏ( ﺣﺪد )‪ g−1 (x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪.J‬‬
‫❼ ﺃدﺭﺱ ﺗﻐﻴﺮﺍﺕ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬
‫‬
‫‬
‫‪7π‬‬
‫‪′‬‬
‫;‪.I = 2π‬‬
‫❷ ﻟﻴﻜﻦ ‪ h‬ﻗﺼﻮﺭ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ‬
‫‪ ،f (x) = x + cos x‬ﺛﻢ ﺇﺳﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ f (x) = 0‬ﺗﻘﺒﻞ‬
‫‪3‬‬
‫ﺣﻼ ﻭﺣﻴﺪﺍ ‪ α‬ﻭ ﺍﻋﻂ ﻗﻴﻤﺔ ﻣﻘﺮﺑﺔ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺪﻗﺔ ‪.r = 10−1‬‬
‫ﺍ( ﺑﻴﻦ ﺃﻥ ‪ h‬ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ ‪ I ′‬ﻧﺤﻮ ﻣﺠﺎﻝ ‪ J ′‬ﻳﻨﺒﻐﻲ‬
‫‪x‬‬
‫❽ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪.(E) : sin x − = 0‬‬
‫ﺗﺤﺪﻳﺪﻩ‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ﺏ( ﺣﺪد )‪ h−1 (x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪.J ′‬‬
‫ﺍ( ﺑﻴﻦ ﺃﻥ ﺣﻠﻮﻝ ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ )‪ (E‬ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ]‪[−2, 2‬‬
‫‪ ،‬ﺛﻢ ﺍﻋﻂ ﻋﺪد ﺣﻠﻮﻝ ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ )‪ (E‬ﻣﻌﻠﻼ ﺟﻮﺍﺑﻚ‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪. 10‬‬
‫‪M‬‬
‫‪oh‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ne‬‬
‫‪da‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪. 6‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬
‫‪+‬‬
‫‪.‬‬
‫√‬
‫‪.f (x) = x − 4 x + 3‬‬
‫❶ ﺑﻴﻦ ﺃﻥ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ‪.R+‬‬
‫❷ ﻟﻴﻜﻦ ‪ g‬ﻗﺼﻮﺭ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ [∞‪.I = [4; +‬‬
‫ﺍ( ﺑﻴﻦ ﺃﻥ ‪ g‬ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ ‪ I‬ﻧﺤﻮ ﻣﺠﺎﻝ ‪ J‬ﻳﻨﺒﻐﻲ ﺗﺤﺪﻳﺪﻩ‪.‬‬
‫ﺏ( ﺣﺪد )‪ g−1 (x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪.J‬‬
‫‪hamdane [email protected]‬‬
‫‪H‬‬
‫‪am‬‬
‫ﺏ( ﺍﻋﻂ ﻗﻴﻤﺔ ﻣﻘﺮﺑﺔ ﺑﺎﻟﺪﻗﺔ ‪ r = 10−1‬ﻷﻛﺒﺮ ﺣﻞ ﻣﻦ ﺑﻴﻦ‬
‫ﺣﻠﻮﻝ ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ )‪.(E‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪= Arctg‬‬
‫❶ ﺃﺛﺒﺖ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻳﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪π‬‬
‫‪5Arctg + 2Arctg‬‬
‫=‬
‫‪7‬‬
‫‪79‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪π‬‬
‫ﻭ = ‪.2Arctg + Arctg + 2Arctg‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫√‬
‫‪7π‬‬
‫= ‪ Arctg(x)+Arctg 3x‬ﻭ‬
‫❷ ﺣﻞ ﻓﻲ ‪ R‬ﺍﻟﻤﻌﺎدﻻﺕ ‪:‬‬
‫‪12‬‬
‫‪π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ Arctg(x) = 2Arctg‬ﻭ = )‪Arctg(2x)+Arctg(3x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪x−1‬‬
‫‪x+1‬‬
‫‪π‬‬
‫‪Arctg‬‬
‫‪+ Arctg‬‬
‫=‬
‫ﻭ‬
‫‪x−‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 2‬‬
‫ ‪x + 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x−1‬‬
‫‪π‬‬
‫‪ Arctg‬ﻭ‬
‫‪+ Arctg‬‬
‫=‬
‫ﻭ‬
‫‪x‬‬
‫‪x+1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5π‬‬
‫= )‪.Arctg(x − 3) + Arctg(x) + Arctg(x + 3‬‬
‫‪4‬‬
‫ﺍﻟﺼﻔﺤﺔ ‪ 2‬ﻣﻦ‬
‫‪2Arctg‬‬
‫‪5‬‬
‫‪www.attossi.webs.com‬‬
‫❸‬
‫ﺑﺴﻂ ﻣﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬
‫‬
‫‪1−x‬‬
‫‪1+x‬‬
‫‬
‫ﻭ‬
‫‪Arctg‬‬
‫‪1 − cos x‬‬
‫ﻭ‬
‫))‪sin (Arctg(x‬‬
‫ﻭ‬
‫‪1 + cos x‬‬
‫√‬
‫‬
‫‪p‬‬
‫‪1 + x2 − 1‬‬
‫‪Arctg‬‬
‫‪+ Arctg 1 + x2 − x‬‬
‫‪x‬‬
‫√‬
‫‪Arctg‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪. 15‬‬
‫ﻭ‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪. 11‬‬
‫ﺃﺣﺴﺐ‬
‫√‬
‫))‪cos (Arctg(x‬‬
‫√‬
‫‬
‫ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺎﺕ‬
‫ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬
‫)‪− x‬‬
‫‪Arctg(2x2‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x→0‬‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫❸ ﺭﺗﺐ ﺍﻷﻋﺪﺍد ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﺮﺗﻴﺒﺎ ﺗﺰﺍﻳﺪﻳﺎ‪. 2; 3 3; 4 4; 6 6 :‬‬
‫ﻭ‬
‫√‬
‫‪3‬‬
‫‪.‬‬
‫‪x+8−2‬‬
‫ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬
‫ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺎﺕ‬
‫ﺃﺣﺴﺐ‬
‫‪x→0‬‬
‫‪x‬‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x−43x‬‬
‫‪x−1‬‬
‫‪x + 25 − 3‬‬
‫‪ lim‬ﻭ‬
‫‪ lim‬ﻭ‬
‫‪ lim 2‬ﻭ‬
‫‪x→8‬‬
‫‪x→1 x − 1‬‬
‫‪x→2 x − 3x + 2‬‬
‫‪x−8‬‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫‪3‬‬
‫‪1−x−1‬‬
‫‪x2 − 1‬‬
‫‪1− 3x+1‬‬
‫‪lim‬‬
‫√ ‪ lim+‬ﻭ‬
‫‪ lim‬ﻭ‬
‫‪3‬‬
‫‪x→0‬‬
‫‪x→0‬‬
‫‪x→1‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪x −√1‬‬
‫‪x‬‬
‫√‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x+6− x+2‬‬
‫ﻭ‬
‫√ ‪lim‬‬
‫‪ lim‬ﻭ‬
‫ﻭ‬
‫‪x→+∞ 3 x − 1‬‬
‫‪x→2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪p‬‬
‫√‬
‫√‬
‫‪4‬‬
‫ﻭ‬
‫‪lim‬‬
‫ﻭ ‪x4 + 1 − x‬‬
‫‪lim 3 x − 3 x − 1‬‬
‫ﻭ‬
‫‪lim‬‬
‫‪ed‬‬
‫‬
‫√‬
‫)‪Arctg(x‬‬
‫‪Arctg‬‬
‫‪x−1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪ x→0‬ﻭ‬
‫‪lim xArctg‬‬
‫‪ lim‬ﻭ √‬
‫‪+‬‬
‫‪x→1‬‬
‫‪x→0 Arctg x‬‬
‫‪x−1‬‬
‫‪x‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Arctg x2 − 2‬‬
‫)‪Arctg(x + 2x‬‬
‫‪x→+∞ p‬‬
‫‪x→+∞ p‬‬
‫ﻭ‬
‫‪lim‬‬
‫ﻭ‬
‫‪lim‬‬
‫ﻭ‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x→0‬‬
‫‪x→0‬‬
‫√ ‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪lim‬‬
‫ﻭ ‪5 − 8x3 − 3x‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪x3 + 1 − x‬‬
‫!‬
‫∞‪x→−‬‬
‫∞‪x→+‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪1‬‬
‫√‬
‫√‬
‫‪4‬‬
‫√ ‪lim Arctg‬‬
‫√ ‪ lim xArctg‬ﻭ‬
‫‪x4 + x − 3‬‬
‫∞‪ x→−‬ﻭ ‪x2 + 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫∞‪x→+‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪1−x‬‬
‫∞‪.x→−‬‬
‫‪lim‬‬
‫∞‪ x→−‬ﻭ‬
‫√ ‪lim‬‬
‫‪3‬‬
‫‬
‫‪3x‬‬
‫‪2 − x3‬‬
‫‪π‬‬
‫‪lim x Arctg(x) −‬‬
‫∞‪. x→±‬‬
‫‪2‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪. 16‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬دﺍﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﻭ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻣﻦ ‪ R‬ﻧﺤﻮ ∗‪ R‬ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪. 12‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ]‪ [0; 1‬ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫‪M‬‬
‫‪oh‬‬
‫‪a‬‬
‫‪06x<1‬‬
‫‪x‬‬
‫;‬
‫‪1−x‬‬
‫)‪f (y‬‬
‫‪‬‬
‫‪s‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ f (x) = Arctg‬‬
‫‪‬‬
‫‪π‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫= )‪ f (1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ f (0) = 0‬‬
‫‪da‬‬
‫‪.‬‬
‫‪32‬‬
‫√‬
‫❶ ﺑﺴﻂ ﻣﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬
‫‪2 64‬‬
‫√ √‬
‫√‬
‫‪−1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪15‬‬
‫‪27 3 .49 2 .16 4‬‬
‫‪3 3 9( 3)2‬‬
‫= ‪ C‬ﻭ‬
‫‪ B = √ q√ 2‬ﻭ‬
‫‪ √ 2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪27‬‬
‫‪3‬‬
‫‪9 3‬‬
‫‪q‬‬
‫√‬
‫‪√ 5 √ 2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4 8‬‬
‫‪2‬‬
‫√‪q‬‬
‫= ‪.D‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫√ √ √‬
‫❷ ﺭﺗﺐ ﺍﻷﻋﺪﺍد ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﺮﺗﻴﺒﺎ ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺎ‪. 2; 3 7; 4 10 :‬‬
‫‪A‬‬
‫ﻭ‬
‫‪p‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8 − x3‬‬
‫‪f (x) = −2 +‬‬
‫‪H‬‬
‫‪am‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪. 14‬‬
‫‪hamdane [email protected]‬‬
‫‪q‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪. 18‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬
‫❹ ﺣﺪد ‪ ، f −1‬ﺛﻢ ﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﺗﻌﺒﻴﺮﺍ ﻣﺒﺴﻄﺎ ﻟـ )‪.f (x‬‬
‫‪12‬‬
‫‪x2 + 8‬‬
‫> ‪x+2‬‬
‫‪3‬‬
‫ﺣﻴﺚ ‪ m‬ﺑﺎﺭﺍﻣﺘﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ‪.‬‬
‫❸ ﺑﻴﻦ ﺃﻥ ‪ f‬ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ ‪ R‬ﻧﺤﻮ ﻣﺠﺎﻝ ‪ J‬ﻳﺘﻢ ﺗﺤﺪﻳﺪﻩ‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1−x‬‬
‫‪p‬‬
‫‪3‬‬
‫‪> x+m‬‬
‫❷ ﺃدﺭﺱ ﺭﺗﺎﺑﺔ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ‪ ، f‬ﺛﻢ ﺿﻊ ﺟﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻐﻴﺮﺍﺕ‪.‬‬
‫√‬
‫‪5‬‬
‫ﻳﻤﻜﻨﻚ ﻭﺿﻊ‬
‫‪1+x‬‬
‫‪6‬‬
‫=‪. t‬‬
‫‪q‬‬
‫√‬
‫√‬
‫‪3‬‬
‫‪1 + (3 + x) x + 3x −‬‬
‫‪1 − (3 + x) x + 3x‬‬
‫❶ ﺃدﺭﺱ ﺍﺗﺼﺎﻝ ‪ f‬ﻓﻲ ‪ .0‬ﺛﻢ ﺑﻴﻦ ﺃﻥ ‪ f‬دﺍﻟﺔ ﻓﺮدﻳﺔ‪.‬‬
‫=‬
‫√‬
‫√‬
‫‪q‬‬
‫❶ ﺣﻞ ﻓﻲ ‪ R‬ﺍﻟﻤﻌﺎدﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪ 3 1 − x = 6 x :‬ﻭ‬
‫‪p‬‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫‪ 3 1!+ x+ 3 1 − x = 2‬ﻭ ‪. 3 1 + x+ 3 1 − x = 6 1 −sx2‬‬
‫❷ ﺣﻞ ﻓﻲ ‪ R‬ﺍﻟﻤﺘﺮﺍﺟﺤﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬
‫ﻭ‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ f (x) = Arctg‬‬
‫√ ‪q√ q‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ne‬‬
‫‪x 6= 0‬‬
‫= )‪f (x + y) + 2f (x − y‬‬
‫‪∀(x, y) ∈ R2‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪. 17‬‬
‫ﺃدﺭﺱ ﺍﺗﺼﺎﻝ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ]‪ .[0; 1‬ﺛﻢ ﺑﻴﻦ ﺃﻥ ‪ f‬ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ ]‪ [0; 1‬ﻧﺤﻮ‬
‫ﻣﺠﺎﻝ ‪ J‬ﻳﺘﻢ ﺗﺤﺪﻳﺪﻩ ﻭ ﺣﺪد )‪ f −1 (x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪.J‬‬
‫!‬
‫√‬
‫‪x2 + 1 − 1‬‬
‫;‬
‫‪x‬‬
‫‬
‫‬
‫ﺃﺣﺴﺐ )‪ ،f (0‬ﺛﻢ ﺑﻴﻦ ﺃﻥ ‪ f‬دﺍﻟﺔ ﺛﺎﺑﺘﺔ‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪. 13‬‬
‫‪ f‬دﺍﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬
‫ﻭ‬
‫‪.‬‬
‫❶ ﺣﺪد ‪ ،Df‬ﺛﻢ ﺃدﺭﺱ ﺍﺗﺼﺎﻝ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪،Df‬‬
‫❷ ﺑﻴﻦ ﺃﻥ ‪ f‬ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻗﻄﻌﺎ‪ ،‬ﺛﻢ ﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﺃﻧﻬﺎ ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ‬
‫ﻧﺤﻮ ﻣﺠﺎﻝ ‪ J‬ﻳﺘﻢ ﺗﺤﺪﻳﺪﻩ‪.‬‬
‫‪Df‬‬
‫❸ ﺣﺪد ﺻﻴﻐﺔ )‪ f −1 (x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ‪.J‬‬
‫√‬
‫❹ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ f −1 (x) = − 3 56‬ﺣﻴﺚ ‪.x ∈ J‬‬
‫❺ ﺑﻴﻦ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ (x − 1)f (x) = x − 3‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ ﻋﻠﻰ‬
‫ﺍﻷﻗﻞ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ [‪.]1; 2‬‬
‫ﺍﻟﺼﻔﺤﺔ ‪ 3‬ﻣﻦ‬
‫‪5‬‬
‫‪www.attossi.webs.com‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪. 19‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬
‫√‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪π‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪+‬‬
‫= )‪ f (x‬‬
‫‪x−1‬‬
‫√‬
‫;‬
‫‪2‬‬
‫√‪1 + 3 x‬‬
‫!‪− 1‬‬
‫‪1+ x‬‬
‫√ ‪f (x) = arctan‬‬
‫‪1−x‬‬
‫‪x>1‬‬
‫‪x<1‬‬
‫∗‪،Df = R‬‬
‫❶ ﺑﻴﻦ ﺃﻥ‪:‬‬
‫‪ed‬‬
‫❷ ﺃﺣﺴﺐ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺔ‬
‫‪ .‬ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪. 22‬‬
‫ﺃﻥ ‪f (1) =1‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬دﺍﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻣﻦ ‪ R‬ﻧﺤﻮ ‪ .R‬ﻧﻔﺘﺮﺽ ‬
‫‪1‬‬
‫)‪= 1; x 6= 0 (1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪f (x + y) = f (x) + f (y) (x, y) ∈ R2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ f (x)f‬‬
‫ﻭ ﺃﻥ‬
‫)‪(2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫❶ ﺃﺣﺴﺐ )‪ f (0‬ﺛﻢ ﺑﻴﻦ ﺃﻥ ‪ f‬دﺍﻟﺔ ﻓﺮدﻳﺔ‪.‬‬
‫)‪. lim f (x‬‬
‫∞‪x→+‬‬
‫❷ ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ‪:‬‬
‫‪f (r) = r‬‬
‫❸ ﺗﺤﻘﻖ ﺃﻥ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫ﺣﺴﺎﺏ‬
‫❸ ﺑﻴﻦ ﺃﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪.x0 = 1‬‬
‫!‬
‫)‪.(∀r ∈ Q‬‬
‫‬
‫‬
‫)‪ .(∀x ∈ R) f x2 = f (x‬ﻳﻤﻜﻨﻚ‬
‫‪1‬‬
‫‪ .f‬ﺛﻢ ﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪ f‬ﺗﺰﺍﻳﺪﻳﺔ‪.‬‬
‫)‪x(1 − x‬‬
‫‪m‬‬
‫❹ ﺑﻴﻦ ﺃﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ [‪ .]0; 1‬ﻣﻌﻠﻼ ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪. 23‬‬
‫ﺟﻮﺍﺑﻚ‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬
‫‪m‬‬
‫❺ ﻟﻴﻜﻦ ‪ g‬ﻗﺼﻮﺭ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ [∞‪ .[1; +‬ﻧﻀﻊ‬
‫‪x‬‬
‫= )‪.h(x‬‬
‫‪1+x‬‬
‫ﻋﻠﻰ [∞‪.[1; +‬‬
‫ﺝ( ﺣﺪد ﺗﻌﺒﻴﺮﺍ ﻟـ )‪ g −1 (x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ‪.J‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.f (x) = (4 + sin x) − x‬‬
‫‪.‬‬
‫‪p‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪+ 2x − x2 6 2β‬‬
‫‪x+1‬‬
‫‪a−c‬‬
‫‪ne‬‬
‫‪a − 2b + c‬‬
‫∞‪x→+‬‬
‫❹ ﺑﻴﻦ ﺃﻥ‬
‫‪.R‬‬
‫‪6‬‬
‫ﺛﻢ ﺣﺪد ﺇﺷﺎﺭﺓ )‪ f (x‬ﺗﺒﻌﺎ ﻟﻘﻴﻢ ‪ x‬ﻣﻦ‬
‫‪.f (x) = Arctg(3x) + 2x − 1‬‬
‫❶ ﺑﻴﻦ ﺃﻥ ‪ f‬ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ ‪ R‬ﻧﺤﻮ ‪.R‬‬
‫❷ ﺑﻴﻦ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ f −1 (x) = x‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ ﻭﺣﻴﺪﺍ ‪ α‬ﻓﻲ ‪R‬‬
‫‪1‬‬
‫ﻭ ﺃﻥ < ‪.0 < α‬‬
‫‪3‬‬
‫‬
‫❹ ﺑﻴﻦ ﺃﻥ‬
‫‪hamdane [email protected]‬‬
‫‬
‫❺ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪(un )n>1‬‬
‫ ‬
‫‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪+Arctg‬‬
‫‪+. . .+Arctg‬‬
‫‪22‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪f −1 (x) < x‬‬
‫‪2‬‬
‫< ‪<α+β‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.−‬‬
‫‪a+b‬‬
‫‪.Arctg(a) + Arctg(b) = Arctg‬‬
‫❸ ﺑﻴﻦ ﺃﻥ‪:‬‬
‫‪1 − ab‬‬
‫√‬
‫√‬
‫❹ ﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺪد )‪Arctg(2 + 3) − Arctg(2 − 3‬‬
‫)‪ α = 1 − Arctg(3α‬ﺛﻢ ﺑﻴﻦ ﺃﻥ‪:‬‬
‫❸ ﺗﺤﻘﻖ ﺃﻥ‬
‫‪π‬‬
‫‪1‬‬
‫< ‪.1 − < α‬‬
‫‪3‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪H‬‬
‫‪am‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪. 21‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫❶ ﺑﻴﻦ ﺃﻥ‪. cos(α + β) = cos(α) cos(β)(1 − ab) :‬‬
‫❷ ﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫‪da‬‬
‫❸ ﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪ f (x) = 0‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ ﻭﺣﻴﺪﺍ ‪ α‬ﻓﻲ ‪.R‬‬
‫‪3‬‬
‫‪J‬‬
‫= )‪.(∃c ∈ [a, b]) / f (c‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪. 24‬‬
‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺪدﻳﻦ ﺣﻘﻴﻘﻴﻴﻦ ﺑﺤﻴﺚ ‪.ab < 1‬‬
‫ﻧﻀﻊ )‪ α = Arctg(a‬ﻭ )‪.β = Arctg(b‬‬
‫❷ ﺑﻴﻦ ﺃﻥ ‪ f‬ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ ‪ R‬ﻧﺤﻮ ﻣﺠﺎﻝ ‪ J‬ﻳﺘﻢ ﺗﺤﺪﻳﺪﻩ‪.‬‬
‫‪5π‬‬
‫‪2α 6‬‬
‫‬
‫❹ ﻟﻴﻜﻦ ]‪ [a, b‬ﻣﺠﺎﻻ ﺿﻤﻦ ‪ I‬ﺑﻴﻦ ﺃﻧﻪ‪:‬‬
‫∞‪ x→−‬ﻭ )‪. lim f (x‬‬
‫❶ ﺃﺣﺴﺐ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺘﻴﻦ‪lim f (x) :‬‬
‫<‪<α‬‬
‫‪s‬‬
‫‬
‫‪1 3‬‬
‫∈ ‪∀x‬‬
‫;‬
‫‪2 2‬‬
‫‬
‫❸ ﺑﻴﻦ ﺃﻥ ‪ f‬ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ]‪ I = [0; 1‬ﻧﺤﻮ ﻣﺠﺎﻝ‬
‫ﻳﻨﺒﻐﻲ ﺗﺤﺪﻳﺪﻩ‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪x+1‬‬
‫‪2‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫❷ ﺑﻴﻦ ﺃﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ )‪ (α, β‬ﻣﻦ ‪ R2‬ﺑﺤﻴﺚ‪:‬‬
‫ﺏ( ﺑﻴﻦ ﺃﻥ ‪ g‬ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ [∞‪ [1; +‬ﻧﺤﻮ ﻣﺠﺎﻝ‬
‫‪ J‬ﻳﻨﺒﻐﻲ ﺗﺤﺪﻳﺪﻩ‪.‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪. 20‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬
‫‪2x −‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪s‬‬
‫‪1‬‬
‫❶ ﺣﺪد ‪ .Df‬ﺛﻢ ﺑﻴﻦ ﺃﻥ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ‪.Df‬‬
‫‪M‬‬
‫‪oh‬‬
‫‪a‬‬
‫ﺍ(‬
‫√‬
‫‪π‬‬
‫‪3‬‬
‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﺃﻥ ‪x − 1)+‬‬
‫‪2‬‬
‫ﺛﻢ ﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪ g‬ﺗﺰﺍﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ‬
‫(‪(∀x ∈ [1; +∞[) : g(x) = h‬‬
‫!‬
‫‪x2‬‬
‫‪p‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.(∀x ∈]α; +∞[) :‬‬
‫ﺍﻟﺼﻔﺤﺔ ‪ 4‬ﻣﻦ‬
‫ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ‬
‫ ‬
‫‪2‬‬
‫‪12‬‬
‫‪.un = Arctg‬‬
‫ﺍ( ﺗﺤﻘﻖ ﺃﻧﻪ ﻟﻜﻞ ‪ k‬ﻣﻦ ∗‪ N‬ﻟﺪﻳﻨﺎ‪:‬‬
‫)‪= Arctg(k + 1) − Arctg(k − 1‬‬
‫‪π‬‬
‫ﺑﻤﺎ‬
‫ﻳﻠﻲ‪:‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪k2‬‬
‫‬
‫‪.Arctg‬‬
‫ﺏ( ﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ‪.un = Arctg(n+1)+Arctg(n)− :‬‬
‫‪4‬‬
‫ﺛﻢ ﺣﺪد ‪. lim un‬‬
‫∞‪n→+‬‬
‫‪5‬‬
‫‪www.attossi.webs.com‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪. 25‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫‪1 + x2 − x‬‬
‫❶ ﺑﻴﻦ ﺃﻥ‪:‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .‬ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪. 27‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬ﻭ ‪ g‬دﺍﻟﺘﻴﻦ ﻣﺘﺼﻠﺘﻴﻦ ﻋﻠﻰ ﻗﻄﻌﺔ ]‪ [a; b‬ﺑﺤﻴﺚ‪:‬‬
‫)‪.(ℜ) : (∀x ∈ [a; b]) (∃y ∈ [a; b]) / f (x) = g(y‬‬
‫ﺑﻴﻦ ﺃﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ‪ c‬ﻣﻦ ]‪ [a; b‬ﺑﺤﻴﺚ‪:‬‬
‫)‪.f (c) = g(c‬‬
‫‪f (x) = Arctg‬‬
‫‪.(∀x ∈ R) :‬‬
‫< )‪0 < f (x‬‬
‫❷ ﺑﻴﻦ ﺃﻧﻪ ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪ R‬ﻟﺪﻳﻨﺎ‪:‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪. 28‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬دﺍﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ [‪ ]a; b‬ﺑﺤﻴﺚ‪:‬‬
‫))‪.1 − tan2 (f (x)) = 2x tan (f (x‬‬
‫‪π‬‬
‫)‪− 2f (x‬‬
‫‪2‬‬
‫❹ ﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪− Arctg(x‬‬
‫‪4 2‬‬
‫‪ed‬‬
‫❸ ﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪:‬‬
‫‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ‪:‬‬
‫!‬
‫∞‪ lim− f (x) = −‬ﻭ‬
‫‪x→b‬‬
‫= )‪.(∀x ∈ R) : f (x‬‬
‫‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫√‬
‫‪x−1‬‬
‫‪f (x) = Arctg‬‬
‫‪m‬‬
‫‪1‬‬
‫‪π‬‬
‫‪m‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪. 26‬‬
‫‬
‫‪.(∀x ∈ R) : x = tan‬‬
‫ﺍ( ﺣﺪد ‪ Df‬ﺛﻢ ﺃﺣﺴﺐ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺔ‪. lim f (x) :‬‬
‫∞‪x→+‬‬
‫ﺏ( ﺑﻴﻦ ﺃﻥ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻛﻞ ﻣﺠﺎﻝ ﺿﻤﻦ ‪.Df‬‬
‫‪.‬‬
‫∞‪lim f (x) = +‬‬
‫‪x→a+‬‬
‫ﺱ‪ 1‬ﺑﻴﻦ ﺃﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ‪ α‬ﻭ ‪ β‬ﻣﻦ [‪ ]a; b‬ﺑﺤﻴﺚ‪f (α).f (β) < 0. :‬‬
‫ﺱ‪ 2‬ﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ f (x) = 0‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ﻓﻲ‬
‫ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ [‪.]a; b‬‬
‫ﺱ‪ 3‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ g‬دﺍﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ]‪ .[a; b‬ﺑﻴﻦ ﺃﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ‬
‫ﻣﻦ [‪ ]a; b‬ﺑﺤﻴﺚ‪.f (c) = g(c) :‬‬
‫‪M‬‬
‫‪oh‬‬
‫‪a‬‬
‫ﺝ( ﻫﻞ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺗﻘﺒﻞ ﺗﻤﺪﻳﺪﺍ ﺑﺎﻻﺗﺼﺎﻝ ﻓﻲ ‪ xo = 1‬؟ ﺱ‪ 4‬ﺑﻴﻦ ﺃﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ‪ d‬ﻣﻦ [‪ ]a; b‬ﺑﺤﻴﺚ‪:‬‬
‫ﻋﻠﻞ ﺟﻮﺍﺑﻚ‬
‫‪x‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ 2‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪ Df‬ﻧﻀﻊ‪:‬‬
‫√ = )‪ .u(x‬ﺃدﺭﺱ ﺗﻐﻴﺮﺍﺕ‬
‫‪x−1‬‬
‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ‪ u‬ﻋﻠﻰ ‪ ، Df‬ﺛﻢ ﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﺗﻐﻴﺮﺍﺕ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪.Df‬‬
‫‪q‬‬
‫)‪(b − d)(d − a‬‬
‫=‬
‫‪d−a‬‬
‫‪b−d‬‬
‫‪s‬‬
‫‪−‬‬
‫‪b−d‬‬
‫‪d−a‬‬
‫‪c‬‬
‫‪s‬‬
‫‪ 3‬ﻟﻴﻜﻦ ‪ g‬ﻗﺼﻮﺭ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ [‪.I = [0; 1‬‬
‫ﺍ( ﺑﻴﻦ ﺃﻥ ‪ g‬ﺗﻘﺒﻞ دﺍﻟﺔ ﻋﻜﺴﻴﺔ ‪ g −1‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎﻝ‬
‫‪ J‬ﻳﻨﺒﻐﻲ ﺗﺤﺪﻳﺪﻩ‪.‬‬
‫‪ne‬‬
‫ﺏ( ﺃﺣﺴﺐ )‪ g −1 (x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪.J‬‬
‫‪da‬‬
‫‪H‬‬
‫‪am‬‬
‫‪hamdane [email protected]‬‬
‫ﺍﻟﺼﻔﺤﺔ ‪ 5‬ﻣﻦ‬
‫‪5‬‬
‫‪www.attossi.webs.com‬‬