חשיבה כמותית - הסברים ודוגמאות

‫חוברת הדרכה‬
‫בחינת הכניסה הפסיכומטרית לאוניברסיטאות‬
‫חשיבה כמותית‬
‫בתחום זה נבדקות היכולת להשתמש במספרים ובמונחים מתמטיים כדי לפתור בעיות כמותיות‪ ,‬והיכולת לנתח נתונים‬
‫המוצגים בצורות שונות‪ ,‬כמו תרשימים וטבלאות‪ .‬הידע המתמטי הנדרש הוא ברמה בסיסית (החומר הנלמד עד כיתות‬
‫ט'‪-‬י' ברוב בתי הספר בארץ)‪.‬‬
‫כל השאלות בתחום הן במבנה של שאלות בֵררה‪ :‬לאחר כל שאלה מוצעות ארבע תשובות‪ ,‬ורק אחת מהן היא תשובה‬
‫נכונה לשאלה‪.‬‬
‫בפרק חשיבה כמותית מופיעות שאלות משני סוגים‪ :‬שאלות ובעיות‪ ,‬ושאלות הסקה מתרשים או מטבלה‪.‬‬
‫שאלות ובעיות עוסקות במגוון נושאים מתחומי האלגברה והגאומטריה‪ .‬כמה מהשאלות מוצגות במונחים מתמטיים‪,‬‬
‫וכמה הן שאלות מילוליות ובהן יש לתרגם תחילה את הבעיה למונחים מתמטיים‪.‬‬
‫שאלות הסקה מתרשים או מטבלה נוגעות למידע המוצג בתרשים או בטבלה‪ .‬בתרשים מוצגים נתונים בצורה‬
‫גרפית‪ :‬בדיאגרמת עמודות‪ ,‬בגרף‪ ,‬בדיאגרמת פיזור וכדומה‪ .‬בטבלה מוצגים נתונים המסודרים בעמודות ובשורות‪.‬‬
‫בדרך כלל השאלות מכל אחד מהסוגים מסודרות בסדר קושי עולה‪ :‬בתחילה השאלות קלות והזמן הדרוש לפתרונן קצר‬
‫יחסית‪ ,‬ובהדרגה הן נעשות קשות יותר ומצריכות זמן רב יותר‪.‬‬
‫הסרטוטים הנלווים לכמה מהשאלות אינם מסורטטים בהכרח על פי קנה מידה‪ :‬אין להסיק ממראה הסרטוט בלבד על‬
‫אורך קטע‪ ,‬על גודל זווית וכו'‪ .‬עם זאת‪ ,‬קו הנראה ישר‪ ,‬אפשר להניח שהוא אכן ישר‪.‬‬
‫בתחילת הפרק ניתן "דף נוסחאות" ובו הוראות‪ ,‬הערות ונוסחאות שונות‪ .‬אפשר להיעזר בו במהלך הבחינה‪.‬‬
‫דף הנוסחאות ניתן גם בחוברת זו (בעמוד הבא) ובפרקי החשיבה הכמותית שבבחינה להתנסות‪.‬‬
‫רצוי להכיר את תוכנו ולהתמצא בו לפני הבחינה‪.‬‬
‫בעמ' ‪ 62-41‬יש חזרה על מושגים בסיסיים במתמטיקה המשקפים במידה רבה את החומר שעליו מתבססות השאלות‬
‫בתחום החשיבה הכמותית‪ .‬עם זאת‪ ,‬בבחינה עצמה עשויות להיות שאלות שכדי לפתור אותן יש צורך במושגים‬
‫ובמשפטים מתמטיים נוספים‪ ,‬שאינם מופיעים בעמודים האלה‪.‬‬
‫בעמ' ‪ 77-63‬יש דוגמאות לשאלות מסוגים שונים‪ ,‬ולכל שאלה מצורפים פתרון והסבר מפורט‪.‬‬
‫‪39‬‬
‫חשיבה כמותית‬
‫דף נוסחאות‬
‫בפרק זה ‪ 20‬שאלות‪.‬‬
‫הזמן המוקצב הוא ‪ 20‬דקות‪.‬‬
‫בפרק זה מופיעות שאלות ובעיות של חשיבה כמותית‪ .‬לכל שאלה מוצעות ארבע תשובות‪.‬‬
‫עליכם לבחור את התשובה הנכונה ולסמן את מספרה במקום המתאים בגיליון התשובות‪.‬‬
‫הערות כלליות‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫הסרטוטים המצורפים לכמה מהשאלות נועדו לסייע בפתרונן‪ ,‬אך הם אינם מסורטטים בהכרח על פי קנה מידה‪.‬‬
‫אין להסיק מסרטוט בלבד על אורך קטעים‪ ,‬על גודל זוויות‪ ,‬ועל כיוצא בהם‪.‬‬
‫קו הנראה ישר בסרטוט‪ ,‬אפשר להניח שהוא אכן ישר‪.‬‬
‫כאשר מופיע בשאלה מונח גאומטרי (צלע‪ ,‬רדיוס‪ ,‬שטח‪ ,‬נפח וכו') כנתון‪ ,‬הכוונה היא למונח שערכו גדול מאפס‪ ,‬אלא אם כן מצוין אחרת‪.‬‬
‫כאשר בשאלה כתוב ‪ ,(0 < a) a‬הכוונה היא לשורש החיובי של ‪.a‬‬
‫‪ 0‬אינו מספר חיובי ואינו מספר שלילי‪.‬‬
‫‪ 0‬הוא מספר זוגי‪.‬‬
‫‪ 1‬אינו מספר ראשוני‪.‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪bb‬‬
‫נוסחאות‬
‫‪a‬‬
‫‪ .1‬אחוזים‪ a% :‬מ‪ x-‬הם ‪100 $ x‬‬
‫א‪a-n = 1n .‬‬
‫‪a‬‬
‫‪m‬‬
‫‪n‬‬
‫‪=a ·a‬‬
‫‪m+n‬‬
‫‬
‫‬
‫ג‪a m = ^m a hn .‬‬
‫‬
‫‪n‬‬
‫ד‪.‬‬
‫)‪(0 < a , 0 < m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .3‬כפל מקוצר‪(a ± b) = a ± 2ab + b :‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪(a + b)(a – b) = a – b‬‬
‫‬
‫‬
‫דרך‬
‫‪ .4‬בעיות דרך‪ :‬זמן = מהירות‬
‫‬
‫‬
‫כמות עבודה‬
‫= הספק‬
‫הספק‪:‬‬
‫‪ .5‬בעיות‬
‫זמן‬
‫‬
‫‪ .7‬פרופורציה‪ :‬אם ‪AD || BE || CF‬‬
‫‬
‫אז ‪ AB = BC‬וגם ‪ AB = DE‬‬
‫‪DE EF‬‬
‫‪AC DF‬‬
‫‪ .8‬משולש‪:‬‬
‫א‪ .‬שטח משולש שאורך בסיסו ‪a‬‬
‫‬
‫ ואורך הגובה לבסיס זה ‪ ,h‬הוא ‪ a $ h‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬משפט פיתגורס‪:‬‬
‫‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫כבסרטוט‬
‫‪ABC‬‬
‫זווית‬
‫ישר‬
‫במשולש‬
‫‬
‫‪AA‬‬
‫وﺗﺮ‬
‫‪ AC‬ﻗﺎﺋﻢ‬
‫ מתקיים ‪2 = AB2 + BC2‬وﺗﺗوﺮﺮﺗﺮ‬
‫ﻗﺎﺋﻢ‬
‫ﻗﺎﺋﻢ‬
‫‪ CC‬و ﻗﺎﺋﻢ ‪BB‬ﻗﺎﺋﻢ‬
‫‬
‫‪BB‬‬
‫‪CC‬‬
‫ﻗﺎﺋﻢ‬
‫שזוויותיו‬
‫ג‪ .‬במשולש ישר זווית‬
‫ﻗﺎﺋﻢ‬
‫ﻗﺎﺋﻢ‬
‫ ‪ ,30°, 60°, 90°‬אורך הניצב שמול‬
‫ הזווית ‪ 30°‬שווה לחצי אורך היתר‬
‫‪ .9‬שטח מלבן שאורכו ‪ a‬ורוחבו ‪ b‬הוא ‪a · b‬‬
‫‪40‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪aa‬‬
‫‪r‬‬
‫‪x°‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪rr‬‬
‫‪r‬‬
‫‬
‫‬
‫א‪ .‬נפח תיבה שאורכה ‪ ,a‬רוחבה ‪b‬‬
‫וגובהה ‪ c‬הוא ‪a · b · c‬‬
‫‬
‫ב‪ .‬שטח הפנים של התיבה הוא ‪2ab + 2bc + 2ac‬‬
‫‬
‫ג‪ .‬בקובייה מתקיים ‪a = b = c‬‬
‫‪A‬‬
‫‪cb‬‬
‫‪r‬‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪r‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A hy 2‬‬
‫‪AA hyppote‬‬
‫‪h‬‬
‫‪leg yhpyo otennus‬‬
‫‪ptoe u e‬‬
‫‪leg‬‬
‫‪tneun se‬‬
‫‪leg‬‬
‫‪sue‬‬
‫‪leg‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪leg se C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪leg‬‬
‫‪BB‬‬
‫‪CC‬‬
‫‪leg‬‬
‫‪leg‬‬
‫‬
‫‪h‬‬
‫‪r‬‬
‫רוסית‬
‫רוסית‬
‫רוסית‬
‫רוסית‬
‫‪C‬‬
‫‪h‬‬
‫‪r‬‬
‫وﺗ‬
‫ﻗﺎﺋﻢ‬
‫ﻗﺎﺋﻢ‬
‫‪r‬‬
‫‪B‬‬
‫‪h‬‬
‫‪A‬‬
‫‪hi A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪hipot‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪p‬‬
‫‪e‬‬
‫‪h ih B‬‬
‫‪E rfntnA‬‬
‫‪piop o t e nn u s‬‬
‫‪toetn u s a r‬‬
‫‪rfntn‬‬
‫‪eu a‬‬
‫‪rfntn‬‬
‫‪C nsua‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C F rfntn‬‬
‫‪catetoA s a C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪cateto‬‬
‫‪BB‬‬
‫‪C‬ר‪h C‬‬
‫‪cateto‬‬
‫‪cateto‬‬
‫ית ‪h‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬ניצב ‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪h‬‬
‫‪C‬‬
‫‪F‬‬
‫‪ .16‬נפח פירמידה ששטח בסיסה ‪ S‬וגובהה ‪ ,h‬הוא ‪S $ h‬‬
‫‪3‬‬
‫‬
‫‪D‬‬
‫وﺗﺮ‬
‫‪C‬‬
‫ספרדית‬
‫ספרדית‬
‫ספרדית‬
‫ספרדית‬
‫‪h‬‬
‫‪ub‬‬
‫‪u gj‬‬
‫‪ububgjnnty‬‬
‫‪gbjg tyep‬‬
‫‪njtn epf‬‬
‫‪ytey f‬‬
‫‪pefp C‬‬
‫‪rfntn‬‬
‫‪A f C‬‬
‫‪rfntn‬‬
‫‪CC‬‬
‫‪rfntn‬‬
‫ﺮ‬
‫‪rfntn‬‬
‫‪C‬‬
‫‪h‬‬
‫‪F‬‬
‫‪ .15‬נפח חרוט שרדיוס בסיסו ‪ r‬וגובהו ‪,h‬‬
‫הוא ‪πr2 $ h‬‬
‫‪3‬‬
‫‪cr‬‬
‫‪h‬‬
‫‪A hy‬‬
‫נפח הגליל הוא ‪πr · h‬‬
‫‪ppoté‬ג‪AA h h.y‬‬
‫‬
‫‪yhpy oténu‬‬
‫‪optoé nuse‬‬
‫‪tnéun se‬‬
‫‪sue‬‬
‫‪C‬‬
‫‪côté se C‬‬
‫‪côté‬‬
‫‪CC‬‬
‫‪côté‬‬
‫‪côté‬‬
‫‬
‫‪r‬‬
‫‪x°‬‬
‫‪a‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ .14‬גליל‪:‬‬
‫‪côté‬‬
‫‪côté‬‬
‫‪côté‬‬
‫‪côté‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪BB‬‬
‫‪a‬‬
‫‪h‬‬
‫‪r‬‬
‫‪x° r‬‬
‫‪x‬‬
‫‪r °c‬‬
‫‪r‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪hh‬‬
‫‪b‬‬
‫‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪bb‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪r‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b x°‬‬
‫‪r‬‬
‫‪b‬‬
‫משולב‬
‫הוא‬
‫צרפתיתשטח הפנים של הגליל‬
‫ב‪.‬‬
‫‬
‫משולב‬
‫צרפתית‬
‫משולב‬
‫צרפתית‬
‫‪2‬‬
‫משולב‬
‫צרפתית‬
‫ )‪2πr + 2πr · h = 2πr(r + h‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪c‬‬
‫‪h‬‬
‫א‪ .‬שטח המעטפת של גליל שרדיוס‬
‫‬
‫ בסיסו ‪ r‬וגובהו ‪ ,h‬הוא ‪2πr · h‬‬
‫תר‬
‫‪A‬‬
‫יתר ‪A‬ניצב‬
‫י יתרתר ניצב‬
‫ניצב‬
‫י‬
‫ניצב‬
‫‪B‬‬
‫ניצב‬
‫‪B‬‬
‫ניצב‬
‫‪BB‬‬
‫ניצב‬
‫ניצב‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪ .13‬תיבה‪ ,‬קובייה‪:‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪ah‬‬
‫‪a‬‬
‫‪aa‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪aa‬‬
‫‪b‬‬
‫ג‪ .‬שטח גזרת מעגל בעלת זווית ראש ‪x°‬‬
‫‬
‫‬
‫‪2 x‬‬
‫ הוא‬
‫‪πr $‬‬
‫‪360‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪BA‬‬
‫‪BB‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪CC‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪DD‬‬
‫‪E‬‬
‫‪E‬‬
‫‪EE‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪FF‬‬
‫‪h‬‬
‫‪a‬‬
‫ב‪ .‬היקף המעגל הוא ‪2πr‬‬
‫‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪rr‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪CC‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ .12‬מעגל‪ ,‬עיגול‪:‬‬
‫א‪ .‬שטח מעגל שרדיוסו ‪r‬‬
‫‬
‫ הוא ‪(π = 3.14...) πr2‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪hh‬‬
‫‪ .6‬עצרת‪n! = n(n – 1)(n – 2) · ... · 2 · 1 :‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪hh‬‬
‫‪h‬‬
‫ הוא ‪180n − 360 k‬‬
‫‪ a180 − 360‬מעלות‬
‫‪n k=a‬‬
‫‪n‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c b‬‬
‫‪cc b‬‬
‫‪bb‬‬
‫‪an $ m = ^anh‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ .11‬זוויות פנימיות במצולע בעל ‪ n‬צלעות‪:‬‬
‫א‪ .‬סכום הזוויות הוא )‪ (180n – 360‬מעלות‪,‬‬
‫‬
‫ב‪ .‬אם המצולע משוכלל‪ ,‬גודל כל זווית פנימית‬
‫‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪x°r r‬‬
‫‪rxx° °‬‬
‫‪r x°‬‬
‫‪rr‬‬
‫‪a‬‬
‫‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ .10‬שטח טרפז שאורך בסיסו האחד ‪,a‬‬
‫אורך בסיסו האחר ‪ b‬וגובהו ‪,h‬‬
‫‬
‫הוא ‪ (a + b) $ h‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪aa‬‬
‫‪ .2‬חזקות‪ :‬לכל מספר ‪ a‬שונה מאפס‬
‫ולכל ‪ n‬ו‪ m-‬שלמים ‪-‬‬
‫‬
‫‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪hh‬‬
‫ﻗﺎﺋﻢ‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫ניצב‬
‫‪A‬‬
‫‪BB‬‬
‫‪se‬‬
‫‪C‬‬
‫‪nu‬‬
‫‪oté‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫צרפת‬
‫‪a‬‬
‫ניצב‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B b‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬ניצב‬
‫‪B‬‬
‫‪A h‬‬
‫‪yp‬‬
‫‪côté‬‬
‫‪a‬‬
‫‪h aF‬תר‬
‫‪ F‬י‬
‫ﻗﺎﺋﻢ‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪AA‬‬
‫‪cateto‬‬
‫‪cateto‬‬
‫‪cateto‬‬
‫‪cateto‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪BB‬‬
‫צרפתית‬
‫‪e‬‬
‫‪C‬‬
‫‪us‬‬
‫‪tén‬‬
‫‪po‬‬
‫‪hy‬‬
‫צרפת‬
‫‪côté‬‬
‫חוברת הדרכה‬
‫בחינת הכניסה הפסיכומטרית לאוניברסיטאות‬
‫חזרה על מושגים בסיסיים במתמטיקה‬
‫סימנים‬
‫הסימן‬
‫משמעותו‬
‫‪a || b‬‬
‫הישרים ‪ a‬ו‪ b-‬מקבילים זה לזה‬
‫‪a⊥b‬‬
‫הישרים ‪ a‬ו‪ b-‬מאונכים זה לזה‬
‫זווית של ‪ ,90°‬זווית ישרה‬
‫הזווית הכלואה בין הקטע ‪ AB‬לקטע ‪BC‬‬
‫‪«ABC‬‬
‫‪ x‬שווה ל‪y-‬‬
‫‪x=y‬‬
‫‪≠y‬‬
‫‪ x‬שונה מ‪y-‬‬
‫‪bx‬‬
‫‪x<y‬‬
‫‪x≤y‬‬
‫‪ x‬קטן מ‪y-‬‬
‫‪h‬‬
‫‪ x‬קטן מ‪ y-‬או שווה לו‬
‫‪a‬‬
‫‪a<x,y‬‬
‫גם ‪ x‬וגם ‪ y‬גדולים מ‪a-‬‬
‫‪x=+a‬‬
‫‪ x‬שווה ל‪ a-‬או ‪ x‬שווה ל‪)-a(-‬‬
‫| ‪| xr‬‬
‫‪:y‬‬
‫הערך המוחלט של ‪x‬‬
‫‪x°‬‬
‫היחס בין ‪ x‬ל‪y-‬‬
‫‪rx‬‬
‫סוגי ‪c‬מספרים‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫מספר שלם‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫מספר המורכב מיחידות שלמות‪ .‬מספר שלם יכול להיות שלילי‪ ,‬חיובי או ‪.0‬‬
‫למשל‪... , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... :‬‬
‫שימו לב‪ 0 :‬הוא מספר שלם שאינו חיובי ואינו שלילי‪.‬‬
‫מספר לא שלם‪:‬‬
‫מספר שאי‪-‬אפשר לבטאו ביחידות שלמות‪.‬‬
‫למשל‪2 , -1 12 , 2 12 , 1.37 :‬‬
‫מספרים עוקבים‪:‬‬
‫‪h‬‬
‫‬
‫‬
‫‪r‬‬
‫‬
‫מספרים שלמים הבאים זה אחר זה בהפרשים של ‪ .1‬למשל‪ 4 ,‬ו‪ 5-‬הם מספרים עוקבים‪,‬‬
‫‪ 3 ,2‬ו‪ 4-‬הם מספרים עוקבים‪ ,‬וגם )‪ (-3‬ו‪ (-2)-‬הם מספרים עוקבים‪.‬‬
‫באופן כללי‪ ,‬אם ‪ n‬הוא מספר שלם‪ ,‬אז ‪ n‬ו‪ )n + 1(-‬הם מספרים עוקבים‪.‬‬
‫לעתים נוהגים לומר‪ (n + 1) :‬הוא העוקב של ‪.n‬‬
‫‪h‬‬
‫‪r‬‬
‫‬
‫‪D‬‬
‫מספר זוגי‪:‬‬
‫‪E‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫وﺗﺮ‬
‫‪C‬‬
‫ﻗﺎﺋﻢ‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪F‬‬
‫אי‪-‬זוגי‪:‬‬
‫מספר‬
‫‪h‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫תר‬
‫י‬
‫ראשוני‪:‬ניצב‬
‫ﻗﺎﺋﻢ מספר‬
‫‪ B‬‬
‫‪C‬‬
‫ניצב‬
‫‬
‫‪B‬‬
‫‪b‬‬
‫מספר שלם שאם מחלקים אותו ב‪ 2-‬מקבלים מספר שלם (כלומר‪ ,‬הוא מתחלק ב‪ 2-‬ללא שארית)‪.‬‬
‫באופן כללי‪ ,‬אם ‪ n‬הוא מספר שלם‪ ,‬אז ‪ 2n‬הוא מספר זוגי‪.‬‬
‫שימו לב‪ 0 :‬הוא מספר זוגי‪.‬‬
‫מספר שלם שאם מחלקים אותו ב‪ 2-‬מקבלים מספר לא שלם (כלומר‪ ,‬כשמחלקים אותו ב‪ 2-‬‬
‫שארית ‪.)1‬‬
‫מקבלים‬
‫ספרדית‬
‫רוסית‬
‫משולב‬
‫צרפתית‬
‫באופן כללי‪ ,‬אם ‪ n‬הוא מספר שלם‪ ,‬אז ‪ 2n + 1‬הוא מספר אי‪-‬זוגי‪.‬‬
‫‪po‬‬
‫‪A h‬‬
‫‪y‬‬
‫‪p‬‬
‫‪hy‬‬
‫‪A‬‬
‫‪gj‬‬
‫‪A u‬‬
‫‪b‬‬
‫‪po‬‬
‫‪hi‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ote‬‬
‫‪nt‬‬
‫‪te‬‬
‫‪té‬‬
‫שארית בשני ‪ye‬‬
‫וחיובי המתחלק‪nu‬‬
‫בלבד‪:‬‬
‫ללא‬
‫בעצמו‪ n‬וב‪cateto .1-‬‬
‫מספר‪nu‬שלם ‪côté‬‬
‫‪leg‬‬
‫מספרים‪rfntn‬‬
‫‪us‬‬
‫‪pf‬‬
‫‪se‬‬
‫‪se‬‬
‫‪a‬‬
‫וב‪.1-‬‬
‫ב‪13-‬‬
‫רק‬
‫שארית‬
‫ללא‬
‫מתחלק‬
‫שהוא‬
‫מכיוון‬
‫ראשוני‪,‬‬
‫מספר‬
‫הוא‬
‫‪13‬‬
‫למשל‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪cateto‬‬
‫‪rfntn‬‬
‫‪côté‬‬
‫‪leg‬‬
‫שימו לב‪ 1 :‬אינו מוגדר מספר ראשוני‪.‬‬
‫‪41‬‬
‫חשיבה כמותית‬
‫מספרים נגדיים‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫זוג מספרים שסכומם שווה לאפס‪.‬‬
‫למשל‪ 4 :‬ו‪ (-4) -‬הם מספרים נגדיים‪.‬‬
‫ובאופן כללי‪ a ,‬ו‪ (-a)-‬הם מספרים נגדיים )‪ ,(a + (-a) = 0‬או במילים אחרות‪ (-a) ,‬הוא המספר‬
‫הנגדי ל‪.a-‬‬
‫מספרים הופכיים‪:‬‬
‫זוג מספרים שמכפלתם שווה ל‪.1-‬‬
‫‬
‫למשל‪ 3 :‬ו‪ 13 -‬הם מספרים הופכיים‪ ,‬וכך גם ‪ 27‬ו‪. 27 -‬‬
‫‬
‫ובאופן כללי‪ ,‬עבור ‪: a , b ≠ 0‬‬
‫‬
‫‪ a‬ו‪ 1 -‬הם מספרים הופכיים ‪ , aa $ 1 = 1k‬או במילים אחרות‪1 ,‬‬
‫‪ a‬הוא ההופכי של ‪.a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‬
‫‪a b‬‬
‫‪b a‬‬
‫‪ b‬הוא ההופכי של ‪. a‬‬
‫‪ b‬ו‪ a -‬הם מספרים הופכיים ‪ , b b $ a = 1l‬או במילים אחרות‪a ,‬‬
‫‪b‬‬
‫ערך מוחלט‪:‬‬
‫‬
‫אם ‪ 0 < x‬אז ‪, | x | = x‬‬
‫‬
‫אם ‪ x < 0‬אז ‪, | x | = -x‬‬
‫‪. |0| = 0‬‬
‫‬
‫פעולות חשבוניות במספרים זוגיים‬
‫ואי‪-‬זוגיים (קראו מימין לשמאל)‬
‫זוגי‬
‫‪+‬‬
‫זוגי‬
‫=‬
‫זוגי‬
‫אי‪-‬זוגי‬
‫‪+‬‬
‫אי‪-‬זוגי‬
‫=‬
‫זוגי‬
‫אי‪-‬זוגי‬
‫‪+‬‬
‫זוגי‬
‫=‬
‫אי‪-‬זוגי‬
‫זוגי‬
‫–‬
‫זוגי‬
‫=‬
‫זוגי‬
‫אי‪-‬זוגי‬
‫–‬
‫אי‪-‬זוגי‬
‫=‬
‫זוגי‬
‫זוגי‬
‫–‬
‫אי‪-‬זוגי‬
‫=‬
‫אי‪-‬זוגי‬
‫אי‪-‬זוגי‬
‫–‬
‫זוגי‬
‫=‬
‫אי‪-‬זוגי‬
‫זוגי‬
‫×‬
‫זוגי‬
‫=‬
‫זוגי‬
‫אי‪-‬זוגי‬
‫×‬
‫אי‪-‬זוגי‬
‫=‬
‫אי‪-‬זוגי‬
‫אי‪-‬זוגי‬
‫×‬
‫זוגי‬
‫=‬
‫זוגי‬
‫אין כללים דומים עבור פעולות חילוק‪ .‬למשל‪ ,‬מנה של שני מספרים זוגיים יכולה להיות אי‪-‬זוגית ‪, a 62 = 3k‬‬
‫זוגית ‪ a 24 = 2 k‬או מספר לא שלם ‪. a 64 = 1 12 k‬‬
‫‪42‬‬
‫חוברת הדרכה‬
‫בחינת הכניסה הפסיכומטרית לאוניברסיטאות‬
‫גורמים (מחלקים) וכפולות‬
‫גורם (מחלק) של מספר שלם וחיובי ‪ x‬הוא כל מספר שלם וחיובי ש‪ x-‬מתחלק בו ללא שארית‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬הגורמים של ‪ 24‬הם‪ 12 ,8 ,6 ,4 ,3 ,2 ,1 :‬ו‪.24-‬‬
‫גורם משותף של ‪ x‬ו‪ y-‬הוא מספר שהוא גם גורם של ‪ x‬וגם גורם של ‪.y‬‬
‫למשל‪ 6 ,‬הוא גורם משותף של ‪ 24‬ושל ‪.30‬‬
‫גורם ראשוני הוא גורם שהוא גם מספר ראשוני‪ .‬למשל‪ ,‬הגורמים הראשוניים של ‪ 24‬הם ‪ 2‬ו‪.3-‬‬
‫‪3‬‬
‫כל מספר שלם וחיובי (הגדול מ‪ )1-‬אפשר לכתוב כמכפלה של גורמים ראשוניים‪ .‬למשל‪.24 = 3 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 ,‬‬
‫כפולה של מספר שלם ‪ x‬היא כל מספר שלם המתחלק ב‪ x-‬ללא שארית‪ .‬למשל‪ 32 ,16 ,‬ו‪ 88-‬הם כפולות של ‪.8‬‬
‫כאשר כתוב בשאלה “מתחלק" הכוונה היא ל"מתחלק ללא שארית"‪.‬‬
‫פעולות חשבוניות בשברים‬
‫צמצום‬
‫כאשר למונה ולמכנה של שבר יש גורם משותף‪ ,‬אפשר לחלק כל אחד מהם בגורם המשותף ולקבל שבר השווה‬
‫‪16‬‬
‫לשבר המקורי‪ ,‬עם מונה ומכנה קטנים יותר‪ .‬למשל‪ ,‬אם נחלק את המונה והמכנה של ‪16‬‬
‫‪ 12‬ב‪ 4-‬נקבל ‪. a 12 = 43 k 43‬‬
‫כפל‬
‫כדי לכפול שני שברים יש לכפול את המונים זה בזה ואת המכנים זה בזה‪.‬‬
‫‬
‫‪. 23 $ 57 = 32 $ 75 = 10‬‬
‫למשל‪21 :‬‬
‫‪$‬‬
‫חילוק‬
‫כדי לחלק מספר בשבר‪ ,‬יש לכפול את המספר בשבר ההופכי לשבר המחלק‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫למשל‪. 35 = 2 $ 83 = 2 $ 8 = 16 :‬‬
‫‪5 $ 3 15‬‬
‫‪5‬‬
‫‪8‬‬
‫‬
‫‬
‫כדי לכפול או לחלק מספר שלם בשבר‪ ,‬אפשר להתייחס למספר השלם כאל שבר שהמכנה שלו הוא ‪ .1‬למשל‪.2 = 12 ,‬‬
‫חיבור וחיסור‬
‫כדי לחבר או לחסר שברים יש להפוך אותם לשברים בעלי מכנה משותף‪ .‬מכנה משותף הוא מספר שאפשר לחלקו‬
‫במכנה של כל אחד מהשברים ללא שארית‪ .‬לאחר שמוצאים מספר המתאים לשמש מכנה משותף‪ ,‬יש "לתרגם" כל אחד‬
‫מהשברים לשבר בעל מכנה השווה למכנה המשותף‪ .‬לשם כך יש לכפול בכל שבר את המונה ואת המכנה באותו מספר‬
‫שלם‪ ,‬וכך במכנה יתקבל המספר שנבחר לשמש מכנה משותף‪ .‬מכיוון שהמונה והמכנה מוכפלים באותו מספר‪ ,‬למעשה‬
‫השבר מוכפל ב‪ ,1-‬וערכו לא משתנה‪ .‬לאחר "תרגום" השברים לשברים בעלי מכנה משותף‪ ,‬יש לחבר או לחסר את המונים‬
‫החדשים שהתקבלו‪ ,‬ואם אפשר ‪ -‬לצמצם את התוצאה‪.‬‬
‫‪43‬‬
‫חשיבה כמותית‬
‫דוגמה‬
‫‪3 1 5‬‬
‫?=‪4+6+8‬‬
‫מכנה משותף אפשרי הוא ‪ ,24‬שכן הוא מתחלק במכנה של כל אחד מהשברים ללא שארית‪:‬‬
‫‪, 24‬‬
‫‪8 =3‬‬
‫‪24 = 4‬‬
‫‪6‬‬
‫‪24 = 6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪,‬‬
‫"נתרגם" כל אחד מהשברים לשבר בעל מכנה משותף זה‪:‬‬
‫‪5 15‬‬
‫‪8 = 24‬‬
‫‪,‬‬
‫‪1= 4‬‬
‫‪6 24‬‬
‫‪,‬‬
‫‪3 18‬‬
‫‪4 = 24‬‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫‪3 1 5 18 4 15 18 + 4 + 15 = 37‬‬
‫= ‪4 + 6 + 8 = 24 + 24 + 24‬‬
‫‪24‬‬
‫‪24‬‬
‫‬
‫אחוזים‬
‫אחוזים הם דרך לסמן מאיות‪ a% :‬מ‪ x-‬הם ‪ a‬מאיות מ‪ ,x-‬כלומר ‪a $ x‬‬
‫‪. 100‬‬
‫בשאלות שבהן מופיעים אחוזים‪ ,‬יש לתרגם אותם למאיות ולפתור כמו בתרגילי שברים רגילים‪.‬‬
‫דוגמה‬
‫כמה הם ‪ 60‬אחוזים מ‪?80-‬‬
‫במקום ‪ 60‬אחוזים נציב ‪ 60‬מאיות‪ ,‬ונפתור כמו מכפלה רגילה של שברים‪60 $ 80 = 60 $ 80 = 6 $ 8 = 48 :‬‬
‫‪, 100‬‬
‫‪100‬‬
‫כלומר‪ 60% ,‬מ‪ 80-‬הם ‪.48‬‬
‫בשאלות הנוגעות לשינוי באחוזים מדובר באחוז מתוך הערך ההתחלתי‪ ,‬אלא אם כן נאמר במפורש אחרת‪.‬‬
‫דוגמה‬
‫מחירו של פריט שעלה ‪ 80‬שקלים הועלה ב‪ .25%-‬מה מחירו החדש?‬
‫מכיוון שהוסיפו ‪ 25%‬על המחיר הישן‪ ,‬המחיר החדש הוא ‪ 125%‬מהמחיר הישן )‪ ,(100% + 25%‬ולכן יש למצוא כמה‬
‫הם ‪ 125%‬מ‪.80-‬‬
‫‪125‬‬
‫נציב מאיות במקום אחוזים‪ ,‬ונפתור‪, 100 $ 80 = 100 :‬‬
‫כלומר‪ ,‬המחיר החדש הוא ‪ 100‬שקלים‪.‬‬
‫דוגמה‬
‫מחירו של פריט ירד מ‪ 15-‬ל‪ 12-‬שקלים‪ .‬בכמה אחוזים ירד המחיר?‬
‫בדוגמה זו נתון השינוי במחירו של פריט‪ ,‬ויש לחשב את אחוז השינוי‪.‬‬
‫השינוי במחיר הוא ‪ 3‬שקלים מתוך ‪ 15‬שקלים‪ .‬יש לחשב כמה אחוזים מ‪ 15-‬הם ‪. 3‬‬
‫נתרגם את השאלה לביטוי מתמטי‪a $ 15 = 3 :‬‬
‫‪ , 100‬ונפתור את המשוואה‪,a = 3 $ 100 = 20 :‬‬
‫‪15‬‬
‫כלומר‪ ,‬המחיר ירד ב‪.20%-‬‬
‫‪44‬‬
‫חוברת הדרכה‬
‫בחינת הכניסה הפסיכומטרית לאוניברסיטאות‬
‫יחס‬
‫היחס בין ‪ x‬ל‪ y-‬נרשם כך‪.x : y :‬‬
‫שימו לב‪ :‬בניסוח מילולי יחס נרשם מימין לשמאל‪ ,‬ובניסוח מתמטי (במספרים) ‪ -‬משמאל לימין‪.‬‬
‫דוגמה‬
‫היחס בין מספר זוגות הגרביים של איתי ובין מספר החולצות שלו הוא ‪ .3 : 2‬כלומר‪ ,‬על כל ‪ 3‬זוגות גרביים יש לאיתי‬
‫‪ 2‬חולצות‪ .‬בניסוח אחר‪ ,‬מספר זוגות הגרביים של איתי גדול פי ‪ 23‬ממספר החולצות שלו‪.‬‬
‫ממוצע‬
‫ממוצע חשבוני של קבוצת ערכים הוא מספר המתקבל מחלוקת סכום הערכים במספר הערכים‪.‬‬
‫כאשר כתוב בשאלות “ממוצע" בלבד הכוונה היא לממוצע חשבוני‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬הממוצע של קבוצת הערכים ‪ 10 ,5 ,3 ,1‬ו‪ 21-‬הוא ‪. 1 + 3 + 5 + 10 + 21 = 40 = 8 :8‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫אם נתון הממוצע של קבוצת ערכים‪ ,‬אפשר לחשב את סכומם על ידי הכפלת הממוצע במספר הערכים‪.‬‬
‫דוגמה‬
‫דני קנה ‪ 5‬פריטים שמחירם הממוצע ‪ 10‬שקלים‪ .‬כמה שילם דני תמורת כל הפריטים?‬
‫בשאלה זו יש למצוא את הסכום על סמך הממוצע‪ ,‬לכן נכפיל את הממוצע במספר הפריטים‪,10 · 5 = 50 :‬‬
‫כלומר‪ ,‬דני שילם סך הכול ‪ 50‬שקלים תמורת כל הפריטים שקנה‪.‬‬
‫ממוצע משוקלל הוא ממוצע שבו מובא בחשבון משקלו היחסי של כל אחד מהערכים בקבוצה‪.‬‬
‫דוגמה‬
‫בבחינת אמצע הקורס היה ציונו של יוסי ‪ ,75‬ובבחינת הגמר היה ציונו ‪ .90‬אם משקלה של בחינת הגמר גדול פי ‪2‬‬
‫ממשקלה של בחינת אמצע הקורס‪ ,‬מה יהיה ציונו הסופי של יוסי בקורס?‬
‫קבוצת הערכים היוצרים את ציונו הסופי של יוסי בקורס היא ‪ 75‬ו‪ ,90-‬אך לכל אחד מהם משקל אחר‪.‬‬
‫לציון ‪ 75‬יש משקל ‪ ,1‬ולציון ‪ 90‬יש משקל ‪ .2‬כדי לחשב את הממוצע המשוקלל יש להכפיל כל ציון במשקל שניתן לו‪,‬‬
‫ולחלק בסכום המשקלים‪+ 2 $ 90 = 85 :‬‬
‫‪ , 1 $ 751 +‬כלומר הציון של יוסי בקורס הוא ‪.85‬‬
‫‪2‬‬
‫חישוב זה זהה לחישוב ממוצע חשבוני רגיל של שלושה מספרים‪ 90 ,75 :‬ו‪.90-‬‬
‫חזקות ושורשים‬
‫העלאה של מספר בחזקת ‪ n) n‬שלם וחיובי) היא הכפלתו בעצמו ‪ n‬פעמים‪. an = a $ ... $ a $ a :‬‬
‫‪1 44 2 44 3‬‬
‫‪ n‬פעמים‬
‫למשל‪. (-3)3 = (-3)(-3)(-3) = -27 ,‬‬
‫‪ an‬נקראת "חזקה"‪ n ,‬נקרא "מעריך החזקה"‪ ,‬ו‪ a-‬נקרא "בסיס החזקה"‪.‬‬
‫כל מספר שונה מאפס המועלה בחזקת ‪ 0‬שווה ל‪ a0 = 1 :1-‬לכל ‪. a ≠ 0‬‬
‫חזקה בעלת מעריך שלילי מוגדרת כחזקה המתקבלת מהעלאת המספר ההופכי לבסיס‪ ,‬בחזקת המספר הנגדי למעריך‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1 kn‬‬
‫‪ .a-n = a a‬למשל‪.2-3 = a 12 k = 12 $ 12 $ 12 = 18 ,‬‬
‫שורש מסדר ‪ n‬של מספר חיובי ‪ ,a‬המסומן ‪ , n a‬הוא מספר חיובי ‪ b‬שאם נעלה אותו בחזקת ‪ ,n‬נקבל את ‪:a‬‬
‫אם ‪ bn = a‬אז ‪a = b‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ .‬למשל‪81 = 3 ,‬‬
‫‪4‬‬
‫כי ‪. 34 = 81‬‬
‫‪45‬‬
‫חשיבה כמותית‬
‫כאשר לא מצוין סדר השורש‪ ,‬הכוונה היא לשורש מסדר ‪ ,2‬למשל‪ . 81 = 2 81 = 9 :‬שורש מסדר ‪ 2‬נקרא גם שורש ריבועי‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫אפשר גם לבטא שורש כחזקה שבה המעריך הוא שבר‪ .‬שבר זה הוא ההופכי לסדר השורש‪a = a n :‬‬
‫שימו לב‪ :‬כאשר בשאלה כתוב ‪a‬‬
‫‪n‬‬
‫)‪. (0 < a‬‬
‫(‪ )0 < a‬הכוונה היא לשורש החיובי של ‪.a‬‬
‫חוקים בסיסיים לפעולות בחזקות (עבור כל ‪ n‬ו‪:)m-‬‬
‫כפל‪:‬‬
‫כדי לכפול חזקות בעלות אותו בסיס‪ ,‬יש לחבר את מעריכי החזקות‪. am · an = a(m + n) :‬‬
‫חילוק‪:‬‬
‫כדי לחלק חזקות בעלות אותו בסיס‪ ,‬יש לחסר את מעריך החזקה שבמכנה ממעריך החזקה שבמונה‪:‬‬
‫‪. a n = a^m – nh‬‬
‫‬
‫‪a‬‬
‫שימו לב‪ :‬כאשר בסיסי החזקות אינם זהים‪ ,‬אי‪-‬אפשר לחבר או לחסר את המעריכים‪.‬‬
‫‪m‬‬
‫העלאה בחזקה ‪ :‬כדי להעלות חזקה בחזקה יש להכפיל את המעריכים זה בזה‪. ^amh = a(m $ n) :‬‬
‫‪n‬‬
‫העלאה בחזקה של מכפלה או של מנה‪:‬‬
‫‪(a · b)m = am · bm‬‬
‫‪,‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‬
‫‪. a a k = am‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫מכיוון שאפשר לבטא שורשים גם כחזקות‪ ,‬אפשר להפעיל את חוקי החזקות גם על שורשים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫למשל‪ ,‬כדי לחשב את המכפלה ‪ ,(0 < a) m a $ n a‬יש לבטא תחילה את השורשים כחזקות‪a $ n a = a m $ a n :‬‬
‫ואחר כך לפעול כמו במכפלה של חזקות‪ ,‬כלומר‪ ,‬לחבר את המעריכים‪:‬‬
‫‪1 + 1k‬‬
‫‪am‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.am $ an = a‬‬
‫אי‪-‬שוויונות בחזקות‪:‬‬
‫א‬
‫ם‬
‫אם‬
‫אם‬
‫אם‬
‫‪0<b<a‬‬
‫‪0<b<a‬‬
‫‪ 1<a‬‬
‫‪0<a<1‬‬
‫ וג ‬
‫ם‬
‫ וגם‬
‫וגם‬
‫ וגם‬
‫‪0 < n‬‬
‫‪n < 0‬‬
‫‪m < n‬‬
‫‪m < n‬‬
‫א ז‬
‫אז‬
‫אז‬
‫אז‬
‫‪. bn < an‬‬
‫‪. an < bn‬‬
‫‪. am < an‬‬
‫‪. an < am‬‬
‫נוסחאות כפל מקוצר‬
‫כדי לכפול שני ביטויים הנתונים בסוגריים‪ ,‬שכל אחד מהם הוא סכום של מחוברים‪ ,‬יש לכפול כל אחד מאיברי הביטוי‬
‫הראשון בכל אחד מאיברי הביטוי השני ואחר‪-‬כך לחבר את המכפלות‪.‬‬
‫למשל‪.(a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd ,‬‬
‫לפי נוסחה כללית זו אפשר לחשב כל מכפלה של שני ביטויים‪ ,‬אך כדי לחסוך זמן ייתכן שתרצו לזכור בעל‪-‬פה כמה‬
‫נוסחאות נפוצות‪:‬‬
‫‬
‫‪(a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a2 + 2ab + b2‬‬
‫‬
‫‪(a – b)2 = (a – b) · (a – b) = a2 – 2ab + b2‬‬
‫‬
‫‪46‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(a – b) · (a + b) = a – b‬‬
‫‪m‬‬
‫חוברת הדרכה‬
‫בחינת הכניסה הפסיכומטרית לאוניברסיטאות‬
‫קומבינטוריקה‬
‫ניסוי רב‪-‬שלבי‬
‫דוגמה‬
‫מטילים קובייה ולאחר מכן מטילים מטבע‪ .‬מה מספר התוצאות האפשריות בניסוי זה?‬
‫בניסוי זה שני שלבים‪ :‬שלב הטלת הקובייה ושלב הטלת המטבע‪.‬‬
‫מספר התוצאות האפשריות בהטלת קובייה הוא ‪ 6‬ומספר התוצאות האפשריות בהטלת מטבע הוא ‪.2‬‬
‫מספר התוצאות האפשריות בניסוי כולו הוא ‪.6 · 2 = 12‬‬
‫אחת מ‪ 12-‬התוצאות האפשריות היא‪ :‬המספר ‪ 3‬בקובייה והצד "עץ" במטבע‪.‬‬
‫למעשה‪ ,‬אין זה משנה אם מטילים את הקובייה ורק אחר כך מטילים את המטבע‪ ,‬או אם מטילים את המטבע ואחר כך‬
‫את הקובייה‪ ,‬או שמטילים את שניהם יחד‪ .‬בכל מקרה‪ ,‬יש ‪ 12‬תוצאות אפשריות‪.‬‬
‫להלן נתייחס לניסוי רב‪-‬שלבי שבו נתונה קבוצה של ‪ n‬עצמים‪ ,‬ויש לבחור ממנה עצם באקראי ‪ r‬פעמים‪ .‬כל בחירה של‬
‫עצם מהקבוצה היא שלב בניסוי‪ ,‬וסך הכול יש בניסוי זה ‪ r‬שלבים‪ .‬מספר התוצאות האפשריות בכל אחד מ‪ r-‬השלבים‬
‫תלוי באופן בחירת העצמים‪ .‬מספר התוצאות האפשריות בניסוי כולו הוא מכפלה של מספר התוצאות האפשריות‬
‫שמתקבלות ב‪ r-‬השלבים‪ .‬כל תוצאה אפשרית בניסוי נקראת מדגם‪.‬‬
‫ָרה‬
‫מדגמים סדורים עם ַה ְחז ָ‬
‫אופן בחירת העצמים‪ :‬עצם שנבחר מוחזר לקבוצה מיד לאחר שנבחר‪ ,‬ויש חשיבות לסדר שבו נבחרו העצמים‪.‬‬
‫מספר התוצאות האפשריות‪ :‬בכל שלב מספר התוצאות האפשריות הוא ‪ ,n‬לכן מספר התוצאות האפשריות בכל‬
‫‪ r‬השלבים‪ ,‬כלומר בניסוי כולו‪ ,‬הוא ‪.n · n · ... · n = nr‬‬
‫שימו לב‪ :‬באופן בחירה זה‪ ,‬עצם יכול להיבחר יותר מפעם אחת‪.‬‬
‫מספר המדגמים הסדורים עם החזרה הוא ‪nr‬‬
‫דוגמה‬
‫בקופסה תשעה כדורים הממוספרים מ‪ 1-‬עד ‪ .9‬מוציאים באקראי כדור מהקופסה‪ ,‬מחזירים אותו‪ ,‬וחוזרים על פעולה‬
‫זו עוד פעמיים‪ .‬רושמים (משמאל לימין) את מספרי הכדורים שהוצאו‪ ,‬לפי סדר הוצאתם‪ ,‬כך שמתקבל מספר תלת‪-‬‬
‫ספרתי‪ .‬כמה מספרים תלת‪-‬ספרתיים שונים יכולים להתקבל באופן זה?‬
‫בניסוי זה יש חשיבות לסדר‪ :‬למשל‪ ,‬אם מספרי הכדורים שהוצאו הם ‪ 8 ,3‬ו‪ 3-‬בסדר זה‪ ,‬מתקבל המספר ‪ ,383‬אך אם‬
‫הם הוצאו בסדר ‪ 3 ,3‬ו‪ ,8-‬מתקבל המספר ‪ ,338‬ואלה שני מספרים שונים‪.‬‬
‫מספר השלבים בניסוי הוא ‪ 3‬ובכל שלב מספר התוצאות האפשריות הוא ‪ ,9‬ולכן מספר התוצאות האפשריות בניסוי‬
‫כולו הוא ‪ , 93 = 729‬כלומר יכולים להתקבל ‪ 729‬מספרים תלת‪-‬ספרתיים שונים‪.‬‬
‫מדגמים סדורים ללא החזרה‬
‫אופן בחירת העצמים‪ :‬עצם שנבחר אינו מוחזר לקבוצה לאחר שנבחר‪ ,‬ויש חשיבות לסדר שבו נבחרו העצמים‪.‬‬
‫מספר התוצאות האפשריות‪ :‬מספר התוצאות האפשריות בשלב הראשון הוא ‪ ,n‬מספר התוצאות האפשריות בשלב‬
‫השני הוא ‪( n – 1‬שכן העצם שנבחר בשלב הראשון לא הוחזר‪ ,‬ונותרו רק ‪ n – 1‬עצמים לבחור מתוכם) וכך הלאה עד‬
‫השלב האחרון‪ ,‬שלב מספר ‪ ,r‬שבו מספר התוצאות האפשריות הוא ‪ . n – r + 1‬לכן מספר התוצאות האפשריות בניסוי כולו‬
‫הוא )‪.n · (n – 1) · ... · (n – r + 1‬‬
‫מספר המדגמים הסדורים ללא החזרה הוא )‪n · (n – 1) · ... · (n – r + 1‬‬
‫דוגמה‬
‫בקופסה תשעה כדורים הממוספרים מ‪ 1-‬עד ‪ .9‬מוציאים מהקופסה באקראי ‪ 3‬כדורים בזה אחר זה‪ ,‬מבלי להחזיר‬
‫כדור שכבר הוצא‪ .‬רושמים (משמאל לימין) את מספרי הכדורים שהוצאו‪ ,‬לפי סדר הוצאתם‪ ,‬כך שמתקבל מספר‬
‫תלת‪-‬ספרתי‪ .‬כמה מספרים תלת‪-‬ספרתיים שונים יכולים להתקבל באופן זה?‬
‫גם בניסוי זה יש חשיבות לסדר שבו הוצאו הכדורים‪ ,‬אך שלא כמו בדוגמה הקודמת‪ ,‬בניסוי זה אין מחזירים לקופסה‬
‫כדור שהוצא‪ ,‬ולכן מספר התוצאות האפשריות בשלב הראשון הוא ‪ ,9‬בשלב השני ‪ ,8 -‬ובשלב השלישי ‪ .7 -‬מספר‬
‫התוצאות האפשריות בניסוי כולו הוא ‪ ,9 · 8 · 7 = 504‬כלומר יכולים להתקבל ‪ 504‬מספרים תלת‪-‬ספרתיים שונים‪.‬‬
‫‪47‬‬
‫חשיבה כמותית‬
‫סידורים פנימיים‬
‫כאשר יוצרים מדגם סדור ללא החזרה מכל ‪ n‬העצמים שבקבוצה (כלומר‪ ,‬אם ‪ )r = n‬כל תוצאה אפשרית מתארת‬
‫סידור פנימי של העצמים‪ :‬איזה עצם הוא הראשון‪ ,‬איזה עצם הוא השני וכן הלאה‪ .‬השאלה היא כמה סידורים פנימיים‬
‫אפשריים?‬
‫נציב ‪ r = n‬בנוסחה למציאת מספר המדגמים הסדורים ללא החזרה ונקבל‪. n · (n – 1) · ... · 2 · 1 :‬‬
‫מספר זה מכונה “‪ n‬עצרת" ומסומן !‪.n‬‬
‫מספר הסידורים הפנימיים האפשריים של ‪ n‬עצמים הוא !‪n‬‬
‫דוגמה‬
‫סבתא‪ ,‬אימא ובת רוצות להסתדר בשורה לצורך צילום‪ .‬בכמה דרכים שונות הן יכולות לעשות זאת?‬
‫ניתן לחשוב על העומדת מימין כראשונה‪ ,‬על האמצעית ‪ -‬כשנייה ועל העומדת משמאל ‪ -‬כשלישית‪ ,‬ואז השאלה‬
‫היא כמה סידורים פנימיים של הסבתא‪ ,‬האימא והבת אפשריים‪ .‬הסבתא‪ ,‬האימא והבת מהוות קבוצה של‬
‫‪ 3‬עצמים‪ ,‬ולכן מספר הסידורים הפנימיים שלהן הוא ‪ .3! = 3 · 2 · 1 = 6‬נפרט את הסידורים האפשריים‪:‬‬
‫סבתא‪-‬אימא‪-‬בת‪ ,‬סבתא‪-‬בת‪-‬אימא‪ ,‬אימא‪-‬סבתא‪-‬בת‪ ,‬אימא‪-‬בת‪-‬סבתא‪ ,‬בת‪-‬סבתא‪-‬אימא‪ ,‬בת‪-‬אימא‪-‬סבתא‪.‬‬
‫מדגמים לא סדורים‬
‫אופן בחירת העצמים‪ :‬עצם שנבחר אינו מוחזר לקבוצה לאחר שנבחר‪ ,‬ואין חשיבות לסדר שבו נבחרו העצמים‪.‬‬
‫כשאין חשיבות לסדר‪ ,‬כל המדגמים שיש בהם אותם ‪ r‬עצמים (רק סדר הבחירה שלהם שונה בכל מדגם) נחשבים לאותה‬
‫תוצאה‪ .‬למעשה‪ ,‬מספר המדגמים האלה הוא מספר הסידורים הפנימיים של ‪ r‬העצמים‪ ,‬כלומר !‪.r‬‬
‫כדי לחשב את מספר התוצאות האפשריות במדגמים לא סדורים‪ ,‬מחשבים את מספר התוצאות האפשריות כאילו יש‬
‫חשיבות לסדר ומחלקים אותו במספר הסידורים הפנימיים של ‪ r‬העצמים‪.‬‬
‫)‪n $ (n − 1) $ ... $ (n − r + 1‬‬
‫המדגמים‬
‫ = מספר‬
‫הסדורים ללא החזרה =‬
‫‬
‫‬
‫מספר המדגמים הלא סדורים‬
‫ מספר הסידורים הפנימיים במדגם‬
‫!‪r‬‬
‫דוגמה‬
‫בקופסה תשעה כדורים הממוספרים מ‪ 1-‬עד ‪ .9‬מוציאים מהקופסה באקראי ‪ 3‬כדורים בזה אחר זה‪ ,‬מבלי להחזיר‬
‫כדור שכבר הוצא‪ ,‬ומכניסים את הכדורים שהוצאו לכובע‪ .‬כמה אפשרויות שונות יש להרכב הכדורים בכובע?‬
‫‬
‫בשאלה זו חשוב הרכב הכדורים בכובע ולא הסדר שבו הוצאו מהקופסה‪ .‬למשל‪ ,‬אם הכדורים הוצאו בסדר ‪ 1 ,5‬ו‪,4-‬‬
‫ההרכב בכובע הוא הכדורים ‪ 4 ,1‬ו‪ ,5-‬וזה יהיה הרכב הכדורים בכובע גם אם הם הוצאו בסדר ‪ 5 ,4‬ו‪ 1-‬או בכל אחד‬
‫מ‪ 3!-‬הסדרים האפשריים‪ 5-1-4 ,4-5-1 ,4-1-5 ,1-5-4 ,1-4-5 :‬ו‪( 5-4-1-‬למעשה‪ ,‬אין כל חשיבות להוצאת הכדורים‬
‫בזה אחר זה‪ ,‬והיה אפשר להוציאם בבת אחת מבלי שהדבר ישפיע על התוצאה)‪.‬‬
‫לכן‪ ,‬מספר ההרכבים האפשריים הוא ‪ , 9 $ 38!$ 7‬כלומר יש ‪ 84‬אפשרויות שונות להרכב הכדורים בכובע‪.‬‬
‫‪48‬‬
‫חוברת הדרכה‬
‫בחינת הכניסה הפסיכומטרית לאוניברסיטאות‬
‫הסתברות‬
‫תורת ההסתברות היא מודל מתמטי לתופעות שהתרחשותן אינה ודאית‪ ,‬או לניסויים שתוצאותיהם אינן ודאיות‪.‬‬
‫כל תוצאה אפשרית בניסוי נקראת "מאורע פשוט"‪ ,‬ואוסף של תוצאות נקרא "מאורע"‪ .‬לשם קיצור‪ ,‬נשתמש בהמשך‬
‫במונח "מאורע" גם לציון "מאורע פשוט"‪ .‬משייכים לכל מאורע מספר בין ‪ 0‬ל‪ ,1-‬שמשקף את ההסתברות (הסיכוי‪,‬‬
‫מידת הסבירות) שהמאורע יתרחש‪ .‬ככל שההסתברות גדולה יותר‪ ,‬כך גדלים סיכויי ההתרחשות של המאורע‪.‬‬
‫כאשר התרחשותו של מאורע היא ודאית‪ ,‬ההסתברות להתרחשותו היא ‪ ,1‬וכאשר המאורע לא ייתכן בשום מקרה‪,‬‬
‫ההסתברות להתרחשותו היא ‪.0‬‬
‫סכום ההסתברויות של כל המאורעות הפשוטים בניסוי הוא ‪.1‬‬
‫כאשר לכל אחת מ‪ n-‬התוצאות האפשריות של ניסוי יש אותו סיכוי להתרחש‪ ,‬נאמר שהתוצאות הן שוות‪-‬הסתברות‪.‬‬
‫במקרה זה ההסתברות של כל תוצאה היא ‪1‬‬
‫‪.n‬‬
‫דוגמה‬
‫הניסוי‪ :‬הטלת מטבע‪.‬‬
‫התוצאות האפשריות‪ :‬שני צדי המטבע‪ .‬מסמנים אותם‪ 1 :‬או ‪( 0‬או‪ :‬עץ או פלי‪ ,‬עץ או מספר)‪.‬‬
‫אם המטבע הוגן‪ ,‬שתי התוצאות הן שוות‪-‬הסתברות‪ :‬ההסתברות שהמטבע ייפול על "‪ "1‬שווה להסתברות שייפול‬
‫על "‪ ,"0‬ולכן ההסתברות של כל תוצאה אפשרית היא ‪. 12‬‬
‫דוגמה‬
‫הניסוי‪ :‬הטלת קובייה‪.‬‬
‫התוצאות האפשריות‪ :‬המספרים ‪ 5 ,4 ,3 ,2 ,1‬ו‪ ,6-‬הרשומים על פאות הקובייה‪.‬‬
‫אם הקובייה הוגנת‪ ,‬ההסתברות של כל אחת מהתוצאות האפשריות היא ‪. 16‬‬
‫כאשר כל התוצאות האפשריות הן שוות הסתברות‪,‬‬
‫הסתברות התרחשותו של מאורע היא‪ :‬מספר התוצאות במאורע (המסוים הזה)‬
‫סך כל התוצאות האפשריות בניסוי‬
‫‬
‫דוגמה‬
‫הניסוי‪ :‬הטלת קובייה הוגנת‪.‬‬
‫המאורע‪ :‬התוצאה קטנה מ‪.4-‬‬
‫התוצאות במאורע זה‪ :‬המספרים ‪ 2 ,1‬ו‪.3-‬‬
‫ההסתברות למאורע‪. 63 = 12 :‬‬
‫דוגמה‬
‫הניסוי‪ :‬הוצאת כדור מכד שיש בו ‪ 5‬כדורים לבנים ו‪ 5-‬כדורים שחורים‪.‬‬
‫המאורע‪ :‬הוצאת כדור שחור‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫השחורים‬
‫הכדורים‬
‫מספר‬
‫‪.‬‬
‫ההסתברות למאורע‪= 10 = 12 :‬‬
‫סך כל הכדורים בכד‬
‫‬
‫‪49‬‬
‫חשיבה כמותית‬
‫הסתברות התרחשותם של שני מאורעות‬
‫כאשר שני מאורעות מתרחשים בעת ובעונה אחת או בזה אחר זה ייתכנו שני מצבים‪:‬‬
‫א‪ .‬המאורעות בלתי תלויים‪ ,‬כלומר ההסתברות של המאורע האחד אינה מושפעת מהתרחשותו של המאורע האחר‪.‬‬
‫ב‪ .‬המאורעות תלויים‪ ,‬כלומר ההסתברות של מאורע אחד מושפעת מהתרחשותו של מאורע אחֵר‪ .‬במילים אחרות‪,‬‬
‫אחַר (או בתנאי) התרחשותו של מאורע אחֵר שונ ָה מההסתברות של המאורע (ללא‬
‫ההסתברות של מאורע מסוים ל ְ ַ‬
‫התנאי)‪.‬‬
‫דוגמה‬
‫בכד יש ‪ 10‬כדורים‪ 5 :‬לבנים ו‪ 5-‬שחורים‪ .‬מוציאים ‪ 2‬כדורים מהכד‪ ,‬בזה אחר זה‪.‬‬
‫ידוע שהכדור הראשון שהוצא הוא שחור‪.‬‬
‫מה ההסתברות שהכדור השני שהוצא גם הוא שחור?‬
‫ייתכנו שני מצבים ‪-‬‬
‫מצב א‪ :‬מחזירים את הכדור הראשון לכד‪.‬‬
‫מכיוון שהחזרנו את הכדור לכד‪ ,‬לא חל שינוי במספר הכדורים בכד‪ ,‬ובפרט לא חל שינוי במספר הכדורים‬
‫‬
‫השחורים‪.‬‬
‫‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫ההסתברות להוציא כדור שני שחור היא ‪ 10 = 2‬והיא שווה להסתברות להוציא כדור ראשון שחור‪.‬‬
‫‬
‫מכאן‪ ,‬שאין חשיבות לכך שהכדור הוצא שני‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫כלומר‪ ,‬המאורע "הוצאת כדור ראשון שחור" והמאורע "הוצאת כדור שני שחור" הם מאורעות בלתי תלויים‪.‬‬
‫מצב ב‪ :‬לא מחזירים את הכדור הראשון לכד‪.‬‬
‫לאחר שהוצאנו מהכד כדור שחור נשארו בכד ‪ 9‬כדורים סך הכול‪ ,‬מתוכם ‪ 4‬כדורים שחורים‪.‬‬
‫‬
‫‪4‬‬
‫לכן‪ ,‬ההסתברות להוציא כדור שני שחור היא ‪. 9‬‬
‫‬
‫הסתברות זו שונה מההסתברות להוציא כדור ראשון שחור‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫כלומר‪ ,‬המאורע "הוצאת כדור ראשון שחור" והמאורע "הוצאת כדור שני שחור" הם מאורעות תלויים‪.‬‬
‫ההסתברות להתרחשותם של שני מאורעות בלתי תלויים (בעת ובעונה אחת או זה לאחר זה)‬
‫היא מכפלת ההסתברויות של כל מאורע בנפרד‪.‬‬
‫דוגמה‬
‫הניסוי‪ :‬הטלת שתי קוביות הוגנות ‪ -‬אחת אדומה והאחרת צהובה‪.‬‬
‫נסמן את המאורע "קבלת מספר קטן מ‪ 3-‬בקובייה האדומה" ב‪ .A-‬ההסתברות למאורע ‪ A‬היא ‪. 26 = 13‬‬
‫נסמן את המאורע "קבלת מספר זוגי בקובייה הצהובה" ב‪ .B-‬ההסתברות למאורע ‪ B‬היא ‪. 63 = 12‬‬
‫מכיוון שתוצאת הטלתה של קובייה אחת אינה משפיעה על הסתברות התוצאה המתקבלת בהטלת הקובייה‬
‫האחרת‪ ,‬המאורע ‪ A‬והמאורע ‪ B‬הם מאורעות בלתי תלויים‪.‬‬
‫הסתברות הסתברות‬
‫ההסתברות להתרחשות המאורע ‪ A‬והמאורע ‪ B‬יחד היא מאורע ‪ ×A‬מאורע ‪ , B‬כלומר ‪. 13 $ 12 = 16‬‬
‫‪50‬‬
‫חוברת הדרכה‬
‫בחינת הכניסה הפסיכומטרית לאוניברסיטאות‬
‫נגדיר שני מאורעות תלויים ‪ A‬ו‪( B-‬בניסוי כלשהו)‪.‬‬
‫המאורע ‪ B‬בתנאי שהתרחש המאורע ‪ A‬היא‪:‬‬
‫ההסתברות של‬
‫‬
‫מספר התוצאות המשותפות ל‪ B-‬ול‪A-‬‬
‫מספר התוצאות ב‪A-‬‬
‫דוגמה‬
‫הניסוי‪ :‬הטלת קובייה‪.‬‬
‫מה ההסתברות לקבל תוצאה קטנה מ‪ 4-‬אם ידוע שהתקבלה תוצאה זוגית?‬
‫נסמן את המאורע "התקבלה תוצאה זוגית" ב‪ ,A-‬ואת המאורע "התקבלה תוצאה קטנה מ‪ "4-‬ב‪.B-‬‬
‫ננסח את השאלה מחדש באמצעות המאורעות‪ :‬מה ההסתברות של ‪ B‬אם ידוע (בתנאי) שהתרחש ‪?A‬‬
‫‬
‫יש ‪ 3‬תוצאות במאורע ‪ 4 ,2 :A‬ו‪.6-‬‬
‫יש ‪ 3‬תוצאות במאורע ‪ 2 ,1 :B‬ו‪.3-‬‬
‫אבל אם ידוע שהמאורע ‪ A‬התרחש יש רק תוצאה אפשרית אחת ל‪.2 :B-‬‬
‫או במילים אחרות‪ ,‬התוצאה "‪ "2‬היא התוצאה היחידה המשותפת ל‪ A-‬ול‪.B-‬‬
‫לכן ההסתברות של ‪ B‬אם ידוע ש‪ A-‬התרחש היא‪. 13 :‬‬
‫הסתברות זו שונה מההסתברות של ‪( B‬ללא התנאי) השווה ל‪. 12 -‬‬
‫‬
‫דרך‪ ,‬מהירות‪ ,‬זמן‬
‫מהירותו של גוף היא המרחק שהגוף עובר ביחידת זמן‪.‬‬
‫הנוסחה המקשרת בין המהירות‪ ,‬למרחק שעבר הגוף ולזמן שנדרש לו לעבור את המרחק היא‪. v = st :‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ = v‬מהירות‬
‫‪ = s‬מרחק‬
‫‪=t‬זמן‬
‫מנוסחה זו אפשר לגזור את כל הקשרים האפשריים בין מרחק‪ ,‬מהירות וזמן‪.s = v · t ,t = vs :‬‬
‫דוגמה‬
‫רכבת נסעה ‪ 240‬ק"מ במהירות של ‪ 80‬קמ"ש‪ .‬כמה זמן ארכה הנסיעה?‬
‫נתונים ‪ 80) v‬קמ"ש) ו‪ 240) s -‬ק"מ)‪ ,‬ויש לחשב את ‪.t‬‬
‫מכיוון שהמהירות נתונה בקילומטרים לשעה‪ ,‬זמן הנסיעה יחושב בשעות‪.‬‬
‫‪s‬‬
‫‪. t = 240‬‬
‫נציב את הנתונים בנוסחה ‪80 = 3 : t = v‬‬
‫כלומר‪ ,‬הנסיעה ארכה ‪ 3‬שעות‪.‬‬
‫יחידות המדידה של שניים מהגדלים קובעות את יחידות המדידה של הגודל השלישי‪.‬‬
‫למשל‪ :‬אם המרחק מצוין בקילומטרים (ק"מ)‪ ,‬והזמן ‪ -‬בשעות‪ ,‬תצוין המהירות בקילומטרים לשעה (קמ"ש)‪.‬‬
‫אם המרחק מצוין במטרים‪ ,‬והזמן ‪ -‬בשניות‪ ,‬תצוין המהירות במטרים לשנייה‪.‬‬
‫אפשר להמיר מטרים לק"מ‪ ,‬ושניות ‪ -‬לשעות‪ ,‬ולהפך‪.‬‬
‫בכל ק"מ יש ‪ 1, 000‬מטרים (‪ 1‬מטר = ‪1‬‬
‫‪ 1, 000‬ק"מ)‪.‬‬
‫בכל שעה יש ‪ 3,600‬שניות‪ ,‬שהן ‪ 60‬דקות (‪ 1‬שנייה = ‪1‬‬
‫‪ 3, 600‬שעה)‪.‬‬
‫‪1, 000‬‬
‫מהירות של ‪ 1‬קמ"ש שווה למהירות של ‪ 5‬מטרים לשנייה ‪5 m‬‬
‫‪. c 3, 600 = 18‬‬
‫‪18‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1, 000‬‬
‫‪3, 600‬‬
‫מהירות של ‪ 1‬מטרים לשנייה שווה למהירות של ‪ 3.6‬קמ"ש ‪= 1, 000 = 3.6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3, 600‬‬
‫‪.‬‬
‫‪51‬‬
‫חשיבה כמותית‬
‫הספק‪ ,‬עבודה‪ ,‬זמן‬
‫הספק הוא כמות עבודה ביחידת זמן‪.‬‬
‫הנוסחה המקשרת בין ההספק‪ ,‬לכמות העבודה ולזמן הנדרש לביצוע העבודה היא‪. p = wt :‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ = p‬הספק‬
‫‪ = w‬כמות עבודה‬
‫‪ = t‬זמן‬
‫‪.w = p · t ,t = w‬‬
‫מנוסחה זו אפשר לגזור את כל הקשרים האפשריים בין הספק‪ ,‬כמות עבודה וזמן‪p :‬‬
‫דוגמה‬
‫בנאי מסיים לבנות קיר אחד ב‪ 3-‬שעות‪ .‬כמה שעות יידרשו לשני בנאים העובדים באותו הקצב לסיים את בנייתם‬
‫של ‪ 5‬קירות?‬
‫בשאלה נתונה כמות העבודה של בנאי אחד (קיר אחד) וזמן עבודתו (‪ 3‬שעות)‪ .‬לכן ההספק שלו הוא ‪ 13‬קיר בשעה‪.‬‬
‫מכיוון שהשאלה היא על שני בנאים‪ ,‬ההספק של שניהם יחד הוא ‪ 2 $ 13 = 23‬קירות בשעה‪.‬‬
‫נתונה גם כמות העבודה ששני הבנאים יידרשו לעשות ‪ 5 -‬קירות‪ ,‬ולכן אפשר לחשב את הזמן שיידרש להם‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ . t = 25 = 5 $ 23 = 15‬כלומר‪ ,‬יידרשו להם ‪ 7 12‬שעות‪.‬‬
‫‪2 = 72‬‬
‫‪3‬‬
‫‪52‬‬
‫בחינת הכניסה הפסיכומטרית לאוניברסיטאות‬
‫חוברת הדרכה‬
‫ישרים מקבילים (קווים מקבילים)‬
‫‪A‬‬
‫קווים מקבילים החותכים שני ישרים כלשהם‪ ,‬מחלקים את הישרים‬
‫‪b‬‬
‫‪80°‬‬
‫‪A‬‬
‫לקטעים פרופורציונליים באורכם‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪B 40° a‬‬
‫‪2 +b‬‬
‫‪= 60°c‬‬
‫‪.‬‬
‫למשל‪a,‬בסרטוט‪ a = c , a = b a‬וגם‬
‫‪a + b c + dC‬‬
‫‪b d c d‬‬
‫‪D‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫‪d‬‬
‫‪b‬‬
‫סמך היחסים הנתונים‪.‬‬
‫יחסים נוספים בין הקטעים על ‪D‬‬
‫אפשר למצוא ‪B‬‬
‫‪b‬‬
‫‪C‬‬
‫‪80°‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫זוויות‬
‫‪D‬‬
‫‪b‬‬
‫‪80°‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫מסומנת‬
‫‪ D‬זווית ‪b‬‬
‫זווית של ‪ ,90°‬בסרטוטים היא‪80° 60°‬‬
‫ישרה היא ‪A‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪2‬‬
‫חדה ‪2‬היא זווית הקטנה מ‪.90°-‬‬
‫זווית‬
‫‪+b22‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪22 +b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫זווית קהה ‪a‬היא זווית הגדולה מ‪.90°-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫זווית ‪a‬שטוחה היא זווית של ‪.180°‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪a‬‬
‫‪C‬‬
‫‪40°‬‬
‫‪40°‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫זוויות צמודות‬
‫‪40°‬‬
‫צמודות‪.‬‬
‫נקראות‪E‬זוויות‬
‫שתי זוויות הנוצרות בין ישר ובין קרן היוצאת מנקודה על הישר‬
‫‪a‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪E 40°‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪.180°‬‬
‫‪ D‬הן‬
‫זווית שטוחה‪ ,‬ולכן סכומן הוא ‪F‬‬
‫‪a‬‬
‫יוצרות יחד ‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪a‬‬
‫למשל‪,‬‬
‫‪D‬‬
‫בסרטוט ‪ x‬ו‪ y-‬הן זוויות צמודות‪C,‬לכן ‪B. x + y = 180°‬‬
‫‪A‬‬
‫‪h‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ha‬‬
‫‪z‬‬
‫‪r‬‬
‫‪β C‬‬
‫‪CC‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪BA‬‬
‫‪A‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪D60° C γ‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B 60°β‬‬
‫‪BB‬‬
‫‪80°‬‬
‫‪f‬‬
‫‪g h‬‬
‫‪h‬‬
‫כאשר ישר חותך שני ישרים מקבילים‪ ,‬נוצרות שמונה זוויות‪.‬‬
‫‪h‬‬
‫‪β‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ g ,f ,e ,d ,c ,b‬ו‪. h-‬‬
‫‪40°‬‬
‫למשל‪ ,‬בסרטוט ‪B ,a‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ab‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪P‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪c‬‬
‫‪e‬‬
‫‪a‬‬
‫המקבילים‪a .‬‬
‫‪a‬‬
‫בגודלן‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫זוויות מתאימות שוות זו לזויתר‬
‫‪A‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪γ .d‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ D‬לכן‬
‫‪A‬‬
‫בסרטוט ‪ c = g ,b = f ,a = e‬ו‪C = h-‬‬
‫‪C‬‬
‫ניצב ‪β‬‬
‫‪β‬‬
‫‪p‬‬
‫דוגמה‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪b‬‬
‫נתון‪ :‬הישרים ‪ p‬ו‪ q-‬מקבילים‪.‬‬
‫‪e f‬‬
‫‪e f‬‬
‫‪g h‬‬
‫‪g h‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a 3A‬‬
‫‪B‬‬
‫ניצב‬
‫‪B‬‬
‫ניצב‬
‫?=‪d+f‬‬
‫זוויות צמודות‪ ,‬ולכן ‪.daγ + c = 180°‬‬
‫‪ac‬ו‪ d-‬הן ‪A‬‬
‫‪A A a‬‬
‫הן זוויות מתחלפות‪ ,‬ולכן ‪C.c = f‬‬
‫‪ cA‬ו‪f-‬‬
‫‪b hα‬‬
‫‪a‬‬
‫והתשובה היא ‪.180°‬‬
‫‪,d + f = d + b‬‬
‫‪180°‬תי=סור‪c‬‬
‫‪h‬‬
‫בלושמ‬
‫לכן‪h‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪A‬‬
‫‪otetac‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪h‬‬
‫‪pi‬‬
‫‪eto‬‬
‫‪P aa‬‬
‫‪a‬‬
‫‪un‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪a a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪C‬‬
‫‪DD‬‬
‫‪P‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ntnfr‬‬
‫‪as‬‬
‫‪otetac‬‬
‫‪Bβ‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪a a‬‬
‫‪Ba h‬‬
‫‪Bh‬‬
‫‪u‬‬
‫‪A‬‬
‫‪gb‬‬
‫‪j‬‬
‫‪tn‬‬
‫‪ey‬‬
‫‪ntnfr‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪gel‬‬
‫‪fp‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪45°‬‬
‫‪yh‬‬
‫‪atop2‬‬
‫‪ne‬‬
‫‪gel‬‬
‫‪45°‬‬
‫‪C‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a A33A‬‬
‫‪h‬‬
‫‪u‬‬
‫‪60°es‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪C‬‬
‫יתר ‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫ניצב‬
‫‪a‬‬
‫‪f‬‬
‫‪B‬‬
‫‪g h‬‬
‫‪étôc‬‬
‫‪B‬‬
‫ניצב‬
‫‪B‬‬
‫‪y‬‬
‫‪F‬‬
‫‪a b y‬‬
‫‪a b‬‬
‫‪c d‬‬
‫‪c d‬‬
‫‪A‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪α e ff‬‬
‫‪e‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪g h‬‬
‫‪g h‬‬
‫‪δ β‬‬
‫‪x y‬‬
‫‪B‬‬
‫‪w z‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪A‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪CC‬‬
‫‪C p‬‬
‫‪e‬‬
‫‪A g h‬‬
‫‪A‬‬
‫‪h‬‬
‫‪un‬‬
‫‪étôc‬‬
‫‪es‬‬
‫בצינ‬
‫‪CC‬‬
‫‪B‬‬
‫‪b‬‬
‫‪A‬‬
‫‪h‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫רתי‬
‫בצינ‬
‫‪BC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫ﻢﺋﺎﻗ‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫ﺮﺗو ‪D‬‬
‫‪C‬ﺎﻗ‬
‫ﻢﺋ‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪δ β‬‬
‫‪δ β‬‬
‫‪a Bb‬‬
‫‪B‬‬
‫‪Bc d‬‬
‫‪D‬‬
‫‪f‬‬
‫‪q‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪Aa‬‬
‫‪A‬‬
‫‪p‬‬
‫‪éto‬‬
‫‪b‬‬
‫‪e‬‬
‫‪x‬‬
‫‪D‬‬
‫‪e‬‬
‫תיתפרצ‬
‫‪30°‬‬
‫‪30°‬‬
‫‪f‬‬
‫‪g h‬‬
‫‪E‬‬
‫‪a b‬‬
‫‪c d‬‬
‫‪C‬‬
‫‪β‬‬
‫‪d‬‬
‫‪qb‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α C‬‬
‫‪B α‬‬
‫‪a‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫מתחלפות נמצאות בצדדים‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪β‬‬
‫‪β‬‬
‫של ‪60°‬‬
‫הישרים‬
‫של‬
‫נגדיים‬
‫ובצדדים‬
‫החותך‪,‬‬
‫הישר‬
‫נגדיים‬
‫זוויות‬
‫ניצב‬
‫‪C‬‬
‫‪β‬‬
‫‪β‬‬
‫‪B‬‬
‫‪P‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ P‬זוויות‪B‬מתחלפות שוות זו לזו בגודלן‪.‬‬
‫‪ Q‬המקבילים‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪h‬‬
‫‪A‬‬
‫‪a‬לכן‪A a‬‬
‫‪D‬‬
‫בסרטוט ‪ c = f ,b = g ,a = h‬ו‪60° . d = e-‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪r‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫יתר‬
‫‪b h‬‬
‫‪b‬‬
‫ניצב‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫יתר‬
‫‪h D‬‬
‫ניצב‬
‫‪A‬‬
‫‪30°‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪x y‬‬
‫‪x a y bz‬‬
‫‪w‬‬
‫‪w c zd‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a b‬‬
‫‪a hb‬‬
‫הקווים‬
‫זוויות מתאימות הן זוויות הנמצאות באותו צד של הישר החותך ובאותו צד של ‪c d‬‬
‫‪c dr‬‬
‫‪2‬‬
‫‪D‬‬
‫‪DD‬‬
‫‪α‬‬
‫‪abb‬‬
‫תידרפס‬
‫‪β D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪CQ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪w‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪Aab‬‬
‫‪α‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪A‬‬
‫זוויות קדקודיות‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪80°‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ab‬‬
‫‪C D‬‬
‫ארבע זוויות‪ .‬כל שתיים מהן ‪r‬‬
‫‪A‬ישרים החותכים זה את זה‪ ,‬נוצרות ‪A‬‬
‫‪ C‬במפגש‪ a‬של שני‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪b‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪2‬‬
‫לזו ‪40°‬‬
‫שאינן צמודות נקראות זוויות קדקודיות‪ ,‬והן‬
‫בגודלן‪B.‬‬
‫‪a b‬‬
‫שוות זו ‪60°‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪2 +b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫וכך גם ‪ y‬ו‪ .w-‬לכן ‪ x = z‬וגם ‪c d .w = y‬‬
‫למשל‪ ,‬בסרטוט ‪ x‬ו‪ z-‬הן זוויות קדקודיות ‪C‬‬
‫‪CD‬‬
‫‪α‬‬
‫‪C‬‬
‫‪y‬‬
‫‪°x‬‬
‫‪C‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪80°‬‬
‫‪80° A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫‪E‬‬
‫‪.‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪60° C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪40°‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪α‬‬
‫‪B‬‬
‫‪α‬‬
‫‪δ β‬‬
‫‪B‬‬
‫‪h‬‬
‫‪A‬‬
‫‪53‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪h‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪b‬‬
‫‪α a‬‬
‫‪Bb‬‬
‫חשיבה‪b‬‬
‫כמותית‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪α‬‬
‫‪β‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪β‬‬
‫‪e f‬‬
‫‪A Aγ C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ap b a g b h‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪A60°‬‬
‫‪c d c d a b‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪p‬‬
‫‪c d‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪β‬‬
‫‪β‬‬
‫‪e f e f‬‬
‫‪q‬‬
‫‪C C γ‬‬
‫‪BA‬‬
‫‪g h g h e Bf‬‬
‫‪β‬‬
‫‪q‬‬
‫‪B‬‬
‫‪g h‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫‪z‬‬
‫‪w‬‬
‫‪e f‬‬
‫‪q‬‬
‫‪a b a g bh‬‬
‫‪p‬‬
‫‪c d c d a b‬‬
‫‪c d‬‬
‫‪e f e f‬‬
‫‪q‬‬
‫‪g h g h e f‬‬
‫‪g h‬‬
‫‪β‬‬
‫‪h‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪αA α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪α‬‬
‫‪αb‬‬
‫‪a b‬‬
‫‪a b‬‬
‫‪A‬‬
‫‪β‬משולשים‪β‬‬
‫‪β‬‬
‫‪β‬‬
‫‪p‬‬
‫יתר‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫‪B‬‬
‫‪P β Q‬‬
‫‪QC C β‬‬
‫‪B‬‬
‫‪P‬‬
‫ניצב‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪α‬‬
‫‪A A‬‬
‫זוויות המשולש‬
‫‪B‬‬
‫‪P‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪f‬‬
‫‪f‬‬
‫‪.‬‬
‫‪α‬‬
‫‪+‬‬
‫‪β‬‬
‫‪+‬‬
‫‪γ‬‬
‫=‬
‫‪180°‬‬
‫בסרטוט‬
‫למשל‪,‬‬
‫‪.180°‬‬
‫הוא‬
‫משולש‬
‫בכל‬
‫הפנימיות‬
‫הזוויות‬
‫סכום‬
‫‪β‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫‪D‬‬
‫‪q‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪γ g h‬‬
‫‪g h‬‬
‫‪Aδ βA‬‬
‫‪α‬‬
‫לסכום שתי‬
‫והיא שווה‬
‫זווית ‪α‬הצמודה לאחת מזוויות המשולש נקראת‪C‬זווית‬
‫חיצונית‪B ,‬‬
‫יתר ניצב‬
‫יתר‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫ניצב ניצב‬
‫‪A A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫בסרטוט ‪ δ‬היא זווית הצמודה ל‪ β-‬ולכן ‪.δ = α + γ‬‬
‫הזוויות‬
‫האחרות במשולש‪ .‬למשל‪ ,‬יתר‬
‫‪β‬‬
‫‪βD‬‬
‫ניצב‬
‫‪A‬‬
‫‪α‬‬
‫משולש‪B ,‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬בכל ‪a P‬‬
‫‪A‬‬
‫יותר‪.‬‬
‫ארוכה‬
‫צלע‬
‫נמצאת‬
‫יותר‬
‫גדולה‬
‫זווית‬
‫מול‬
‫‪A‬‬
‫‪B B‬‬
‫‪C C‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪δ βδ β‬‬
‫למשל‪B,‬בסרטוט אם ‪ ,γ < α < β‬אז ‪C‬‬
‫הצלע ‪C‬‬
‫‪AC‬ניצב ניצב‬
‫(שנמצאת‪B‬מול ‪B‬הזווית ‪ )β‬ארוכה מהצלע‬
‫‪C‬‬
‫‪C Cγ‬‬
‫‪δ β‬‬
‫‪B AB‬‬
‫‪b h‬‬
‫‪b‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫ניצב‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪( BC‬שנמצאת מול הזווית ‪ ,)α‬והצלע ‪ BC‬ארוכה מהצלע‪( AB30°‬שנמצאת מול הזווית ‪.)γ‬‬
‫‪A‬‬
‫יתר‬
‫ניצב‬
‫‪a Aa‬‬
‫‪α‬‬
‫‪C D DD‬‬
‫‪B A Aa‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a 3‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪AD A C‬‬
‫‪B‬‬
‫הוא קטע המחבר קדקוד במשולש עם אמצע הצלע שמולו‪.‬‬
‫במשולש‬
‫תיכון‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪δ β‬‬
‫‪A‬‬
‫‪30°‬‬
‫‪30° B‬‬
‫‪ b‬במשולש שבסרטוט ‪C AD‬‬
‫‪b‬‬
‫‪h‬‬
‫הוא תיכוןניצב‬
‫)‪.(BD = DC‬‬
‫‪BC‬‬
‫למשל‪,‬‬
‫לצלע ‪60°‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪30°‬‬
‫‪B B‬‬
‫‪aC C‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a 2a 2a‬‬
‫‪a 3 a 3‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪A A‬‬
‫‪B B D DC C‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a 3‬‬
‫‪D‬‬
‫במשולש‬
‫גובה‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪h‬‬
‫‪A‬‬
‫‪60° 60°‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫במשולש לצלע‬
‫לצלע במשולש הוא‪B‬קטע היוצא מקדקוד‬
‫‪D‬גובה‪b h‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪60°‬‬
‫הצלע‪30° .‬‬
‫לאותה‬
‫ומאונך‬
‫להמשכה)‬
‫(או‬
‫שמולו‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A aA‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪45°‬‬
‫למשל‪B ,‬‬
‫‪a‬‬
‫‪C‬‬
‫לצלע ‪.BCa‬‬
‫הגובה‬
‫הוא‬
‫‪h‬‬
‫שבסרטוט‬
‫במשולשים‬
‫‪2a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪aA C‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a 3 2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪A A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪a‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪DB‬‬
‫שטח המשולש ‪B B‬‬
‫‪Da‬‬
‫‪CA‬‬
‫‪h D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪aB‬‬
‫‪a‬‬
‫משולש ‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫שווה למחצית המכפלה‪60°‬‬
‫של אורך‪45°‬צלע‬
‫שטח‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪A‬‬
‫במשולש באורך הגובה לצלע זו‪h.‬‬
‫‪h‬‬
‫‪A‬‬
‫‪45° a 45°‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪C aC a‬‬
‫המשולשים‪a 2 a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪hα‬‬
‫בסרטוט‪a‬הוא ‪h . BC $ h‬‬
‫למשל‪ ,‬שטחו של‪ a‬כל אחד משני‬
‫‪a ABC‬‬
‫‪45°‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪a 2‬‬
‫‪C C‬‬
‫‪B B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a‬‬
‫‪B B‬‬
‫‪C C‬‬
‫‪a D‬‬
‫‪a‬‬
‫אי‪-‬שוויון ‪P‬‬
‫המשולש‬
‫‪45° 45°‬‬
‫‪C‬‬
‫‪h‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪γ B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪β‬‬
‫בכל‪A A‬‬
‫משולש‪B,‬סכום האורכים של‪45°‬כל שתיים ‪a‬‬
‫‪D‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A A C‬‬
‫מצלעותיו גדול מאורך הצלע השלישית‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ba‬‬
‫‪a ba‬‬
‫‪a A‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪a‬‬
‫למשל‪a,‬במשולשים שבסרטוטים ‪.(AB + BC) > AC‬‬
‫‪h‬‬
‫‪aD D a‬‬
‫‪h‬‬
‫‪45°‬‬
‫‪α‬‬
‫‪B B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪C‬‬
‫‪a 2‬‬
‫‪E‬‬
‫‪a‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫משולשים חופפים‬
‫‪γ‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪β‬‬
‫‪β‬‬
‫‪P‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B B‬‬
‫‪Bβ F‬‬
‫‪Cγ‬‬
‫‪b‬שתי‪b b‬‬
‫צורות ‪b‬‬
‫חופפות אם אפשר להניח אחת מהן על גבי האחרת‬
‫גאומטריות הן צורות‬
‫‪45°‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B ε‬‬
‫‪bA‬‬
‫‪b‬‬
‫באופן ששתיהן מכסות בדיוק זו את זו‪a .‬‬
‫‪A‬‬
‫דוגמה של חפיפת צורות גאומטריות היא חפיפת‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪E E δ‬‬
‫‪α‬‬
‫‪ C‬משולשים‪ .‬במשולשים חופפים הצלעות והזוויות שוות בהתאמה‪.‬‬
‫‪τ Dτ E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪P‬‬
‫למשל‪ ,‬בסרטוט אם משולש ‪ ABC‬חופף למשולש ‪ DEF‬אז צלעותיהם שוות בהתאמה‪:‬‬
‫‪τε Fε F‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪β‬‬
‫‪ BC = EF ,AB = DE‬ו‪ AC = DF-‬וגם זוויותיהם שוות בהתאמה‪ β = τ , α = δ :‬ו‪.γ = e-‬‬
‫‪εC F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪δ δ‬‬
‫‪PA‬‬
‫‪B‬‬
‫‪α‬‬
‫‪B‬‬
‫כל אחד מארבעת המשפטים הבאים מאפשר לנו להסיק ששני משולשים חופפים‪:‬‬
‫‪δ‬‬
‫(א) שני משולשים חופפים אם שתיים מצלעות המשולש האחד שוות בהתאמה לשתיים‬
‫מצלעות המשולש האחר‪ ,‬והזווית שבין צלעות אלו במשולש האחד שווה לזווית‬
‫המתאימה במשולש האחר (צ‪ ,‬ז‪ ,‬צ)‪.‬‬
‫ למשל‪ ,‬בסרטוט אם ‪ AC = DF ,AB = DE‬ו‪ ,α = δ-‬אז המשולשים חופפים‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫(ב ) שני משולשים חופפים אם שתיים מזוויות המשולש האחד שוות בהתאמה לשתיים‬
‫מזוויות המשולש האחר‪ ,‬והצלע שבין זוויות אלו במשולש האחד שווה לצלע המתאימה‬
‫במשולש האחר (ז‪ ,‬צ‪ ,‬ז)‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬בסרטוט אם ‪ β = τ ,α = δ‬ו‪ ,AB = DE-‬אז המשולשים חופפים‪.‬‬
‫‬
‫(ג) שני משולשים חופפים אם שלוש הצלעות במשולש האחד שוות לשלוש הצלעות‬
‫במשולש האחר (צ‪ ,‬צ‪ ,‬צ)‪.‬‬
‫‪54‬‬
‫(ד ) שני משולשים חופפים אם שתיים מצלעות המשולש האחד שוות בהתאמה לשתיים‬
‫מצלעות המשולש האחר‪ ,‬והזווית שמול הצלע הגדולה מתוך השתיים במשולש האחד‬
‫שווה לזווית המתאימה במשולש האחר (צ‪ ,‬צ‪ ,‬ז)‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬בסרטוט אם ‪ AB > AC‬ו‪ DE > DF-‬ומתקיים ‪ AC = DF, AB = DE‬ו‪,γ = ε-‬‬
‫‬
‫אז המשולשים חופפים‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪δ‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫בחינת הכניסה הפסיכומטרית לאוניברסיטאות‬
‫חוברת הדרכה‬
‫משולשים דומים‬
‫‪A‬‬
‫המשולשים ‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫הזוויות ‪b‬‬
‫באחד ‪A b‬‬
‫שוות‬
‫שני משולשים הם משולשים דומים אם שלוש‪D‬‬
‫‪b‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪2‬‬
‫לשלוש הזוויות במשולש האחר‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b D2 +b a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫האחד ‪a a22 + b2‬‬
‫‪a‬‬
‫במשולש‬
‫במשולשים דומים היחס בין כל שתי צלעות‬
‫‪a‬‬
‫‪A a b2 ba +‬‬
‫‪D D‬‬
‫‪2 +b‬‬
‫‪a‬‬
‫שווה ליחס בין שתי הצלעות המתאימות במשולש האחר‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪B‬‬
‫‪2 b b‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ba C‬‬
‫דומים‪a B 2 +ab2B+ ,‬‬
‫למשל‪ ,‬בסרטוט המשולשים ‪ ABC‬ו‪ DEF-‬הם‬
‫‪C‬‬
‫משולשים ‪b a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪C‬‬
‫‪b‬‬
‫‪AB DE‬‬
‫ולכן‬
‫=‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪.‬‬
‫‪80°‬‬
‫‪80°‬‬
‫‪A 80°‬‬
‫‪40°‬‬
‫‪80°‬‬
‫‪B 40°‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪40° A A 60°‬‬
‫‪60° C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪80°‬‬
‫‪80°‬‬
‫‪C‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪a‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪60° D‬‬
‫‪80°C C80°‬‬
‫‪D‬‬
‫‪a‬‬
‫‪B‬‬
‫‪AC DF‬‬
‫‪C C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪aD‬‬
‫‪Aa‬‬
‫‪D‬‬
‫מכך נובע גם‪. AB = AC = BC :‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪DE DF EF‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪aa‬‬
‫משולשים חופפים הם בהכרח גם משולשים ‪a‬‬
‫דומים‪a a .‬‬
‫‪A A aa a a 2D D‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a‬‬
‫סוגי משולשים‬
‫‪B‬‬
‫‪aC‬‬
‫‪C‬‬
‫‪a a Ba 2a‬‬
‫‪aa a C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a‬‬
‫משולש שווה‪-‬צלעות הוא משולש שכל צלעותיו שוות זו ‪C‬‬
‫באורכן‪.‬‬
‫לזו‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪C‬‬
‫‪h‬‬
‫‪D h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A A B h D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪b‬‬
‫משולש שווה‪-‬שוקיים הוא משולש ששתיים ‪b C‬‬
‫מצלעותיו ‪h‬‬
‫שוות ‪h‬זו לזו באורכן‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪b‬‬
‫"בסיס"‪.‬‬
‫שווה‪-‬שוקיים נקראת‬
‫למשל‪ ,‬בסרטוט ‪ .AB = AC‬הצלע השלישית‪C‬במשולש‬
‫‪b‬‬
‫‪B B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪60° B‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪C‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪C C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪B B‬‬
‫‪a b a b‬‬
‫‪a cpb d c d‬‬
‫‪c d‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪α αD α‬‬
‫משולש חד‪-‬זווית הוא משולש שכל זוויותיו חדות‪α .‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α β‬‬
‫‪β‬‬
‫‪β‬‬
‫‪β‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D DQ β C‬‬
‫‪BA βα BP‬‬
‫‪α‬‬
‫‪P‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪C‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫קהה‪.‬‬
‫מזוויותיו‬
‫‪P‬‬
‫‪β B‬‬
‫‪β Q‬‬
‫משולש קהה‪-‬זווית הוא משולש שאחת ‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪P‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪C‬‬
‫‪β β‬‬
‫‪β β‬‬
‫‪C‬‬
‫)‪.(90°‬‬
‫משולש ישר‪-‬זווית הוא משולש שאחת‬
‫‪B B P P‬‬
‫ישרה‪Q Q‬‬
‫מזוויותיו ‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫ושתי הצלעות האחרות‬
‫הצלע שמול הזווית הישרה נקראת יתר (בסרטוט‪D:‬הצלע ‪A )AC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫נקראות ניצבים (בסרטוט‪ AB :‬ו‪.)BC-‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫ריבועי הניצבים‪.‬‬
‫לפי משפט פיתגורס‪ :‬במשולש ישר‪-‬זווית ריבוע ‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫שווה לסכום ‪ABA‬‬
‫היתר‪D D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫למשל‪ ,‬בסרטוט ‪. AC2 = AB2 + BC2‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪C‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪β‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪C‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪C C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪βA‬‬
‫‪β B‬‬
‫‪e f e f‬‬
‫‪egfh g h B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪g h‬‬
‫‪β‬‬
‫‪B‬‬
‫‪β‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪β‬‬
‫‪B B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪d‬‬
‫‪ab b q‬‬
‫‪cd d‬‬
‫‪e f‬‬
‫‪g h‬‬
‫‪e f‬‬
‫‪e f‬‬
‫‪g h‬‬
‫‪g h‬‬
‫‪A‬‬
‫יתר‬
‫יתר‬
‫יתר‬
‫ניצב‬
‫יתר‬
‫‪A‬‬
‫ניצב ‪A‬‬
‫ניצב‬
‫ניצב‬
‫יתר‬
‫‪C‬ניצב ניצב‪B‬יתר ‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫ניצב‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫ניצב‬
‫‪C‬‬
‫‪ C‬ניצבניצב ‪B B‬‬
‫ניצבניצב‬
‫‪C‬‬
‫של שתי‬
‫אם‪ a‬נתונים‪A‬אורכיהן‬
‫צלע‪,‬‬
‫בעזרת נוסחה זו אפשר למצוא את‬
‫‪B B‬‬
‫כל ‪a‬‬
‫אורכה של ‪D‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪D‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫הצלעות האחרות‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪hb h D‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪h‬‬
‫‪D‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b Ah‬‬
‫‪bD‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b bh h‬‬
‫‪b b‬‬
‫במשולש ישר‪-‬זווית שבו גודלי הזוויות הם ‪ 60° ,30°‬ו‪C,90°-‬אורך ‪a‬‬
‫הניצב שמול‪B‬הזווית ‪30°‬‬
‫‪A‬‬
‫שווה למחצית אורך היתר‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬בסרטוט אורך היתר הוא ‪ 2a‬ולכן אורך הניצב שמול הזווית שגודלה ‪ 30°‬הוא ‪.a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ 60°‬הוא ‪.a 3‬‬
‫כמו כן‪ ,‬לפי משפט פיתגורס‪ ,‬אורך הניצב שמול‪ a‬הזווית‬
‫‪Aa‬‬
‫שגודלה ‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪40°‬‬
‫‪E E 40°‬‬
‫‪60°60° 60° 60°‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪60° B‬‬
‫‪60°‬‬
‫שתי הזוויות שמול הצלעות השוות‪ ,‬שוות זו לזו בגודלן‪ .‬למשל‪b,‬בסרטוט ‪.β = γ‬‬
‫‪a a C C‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B B‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪E‬‬
‫‪E‬‬
‫‪40°‬‬
‫‪F F‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪Ab‬‬
‫‪40°‬‬
‫‪E‬‬
‫‪40°‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪60°‬‬
‫אם אורך הצלע של משולש כזה הוא ‪ ,a‬אז גובהו‪D‬הוא ‪3a‬‬
‫‪Aaa $ 2D‬ושטחו‪A‬הוא ‪.a2 $ 43‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪b‬‬
‫‪A‬‬
‫‪Aα‬‬
‫‪α‬‬
‫‪40°‬‬
‫‪B B 40°‬‬
‫‪80° D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪40°‬‬
‫‪80°‬‬
‫‪80°‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪60° F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫בגודלן ‪.(60°)B‬‬
‫שוות‬
‫הזוויות ‪a a‬‬
‫למשל‪ ,‬בסרטוט ‪ .AB = BC = AC‬במשולש כזה גם כל‪C C‬‬
‫‪a‬‬
‫‪40°‬‬
‫‪B‬‬
‫‪80°‬‬
‫‪B B‬‬
‫‪b b‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪30°‬‬
‫‪30°‬‬
‫‪30°‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪a‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪C‬‬
‫‪30°‬‬
‫‪a‬‬
‫‪3 a 3‬‬
‫‪a 3‬‬
‫‪30° 2a‬‬
‫‪30°‬‬
‫‪2a 2a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪60° a‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪a 3‬‬
‫‪a 3a 3‬‬
‫‪a‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪Aa h‬‬
‫‪h a‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B h a‬‬
‫‪D‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪Bh A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a a ha‬‬
‫‪a a D‬‬
‫‪45°‬‬
‫‪a‬‬
‫‪45°‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪h‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪D‬‬
‫‪a 45° a a 2 a 2‬‬
‫‪C 45°‬‬
‫‪ a‬ו‪ ,90°-‬שני‪B B a‬‬
‫הם ‪D‬‬
‫הניצבים שווים‬
‫‪45°,‬‬
‫במשולש ישר‪-‬זווית ושווה‪-‬שוקיים גודלי הזוויות‬
‫‪45° a‬‬
‫‪C‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a 2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫זה לזה באורכם‪ ,‬ואורך היתר גדול פי ‪2‬‬
‫פיתגורס)‪.‬‬
‫משפט‬
‫(לפי‬
‫הניצבים‬
‫מאורך‬
‫‪a‬‬
‫‪45°‬‬
‫‪45°‬‬
‫‪45°‬‬
‫‪C A‬‬
‫‪45°‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪45°‬‬
‫‪A‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a 2a‬‬
‫היתר הוא ‪. a 2‬‬
‫למשל‪ ,‬בסרטוט אורך כל אחד מהניצבים הוא ‪ a‬ולכן‬
‫אורך‪Aa‬‬
‫‪a a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪45°a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪Aa‬‬
‫‪a‬‬
‫‪D‬‬
‫‪45°‬‬
‫‪D‬‬
‫‪Ba‬‬
‫‪a B‬‬
‫‪45°‬‬
‫‪P D‬‬
‫‪B A AP‬‬
‫‪P‬‬
‫‪a a‬‬
‫‪aD‬‬
‫‪B a a‬‬
‫‪P b a b b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪h‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C55‬‬
‫‪h‬‬
‫‪C‬‬
‫חשיבה כמותית‬
‫‪a‬‬
‫‪D‬‬
‫מרובעים‬
‫‪A‬‬
‫‪a 2‬‬
‫‪45°‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪B‬‬
‫‪P‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪b‬‬
‫מרובע הוא כל מצולע בעל ‪C 4‬‬
‫צלעות‪ .‬לדוגמה‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪a‬‬
‫‪B‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a2 +b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪b‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A‬‬
‫‪α‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪a‬‬
‫מלבן הוא מרובע שכל זוויותיו ישרות‪ .‬במלבן כל זוג צלעות נגדיות שוות זו לזו באורכן‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫היקף המלבן שבסרטוט הוא )‪.2a + 2b = 2(a + b‬‬
‫(לפי משפט פיתגורס)‪.‬‬
‫שטח המלבן שווה למכפלת האורכים של שתי צלעות סמוכות‪.‬‬
‫שטח המלבן שבסרטוט הוא ‪.a · b‬‬
‫‪C‬‬
‫ריבוע הוא מלבן שכל צלעותיו שוות זו לזו באורכן‪.‬‬
‫היקף הריבוע שבסרטוט הוא ‪.4a‬‬
‫‪C‬‬
‫אורך אלכסון הריבוע שבסרטוט הוא ‪. a2 + a2 = a 2‬‬
‫שטח הריבוע שווה לריבוע אורך הצלע‪ .‬שטח הריבוע שבסרטוט הוא‬
‫‪.a2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a b2 2‬‬
‫‪a D‬‬
‫‪2 +b‬‬
‫‪a 2 b2‬‬
‫‪a+ h‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a A‬‬
‫‪a‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a‬‬
‫‪DD‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A A‬‬
‫‪DD‬‬
‫‪a‬‬
‫‪AA‬‬
‫‪hα‬‬
‫‪α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a 2‬‬
‫‪B‬‬
‫‪aβ‬‬
‫‪βa‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b Q‬‬
‫‪B‬‬
‫‪P‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪Dα‬‬
‫‪A‬‬
‫‪α‬‬
‫גובה במקבילית הוא קטע המחבר שתי צלעות נגדיות (או המשכן) ומאונך להן‪.‬‬
‫שטח מקבילית שווה למכפלת צלע בגובה לאותה הצלע‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬במקבילית שבסרטוט השטח הוא ‪.a · h‬‬
‫מעוין הוא מרובע שכל ארבע צלעותיו שוות זו לזו באורכן‪.‬‬
‫במעוין כל זוג של צלעות נגדיות מקבילות זו לזו‪ ,‬ולכן הוא למעשה מקבילית שכל‬
‫צלעותיה שוות‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫אלכסונים במעוין‬
‫מכיוון שמעוין הוא סוג של מקבילית‪ ,‬גם בו האלכסונים חוצים זה את זה‪.‬‬
‫במעוין האלכסונים גם מאונכים זה לזה‪.‬‬
‫היקף המעוין שבסרטוט הוא ‪.4a‬‬
‫שטח מעוין‬
‫מכיוון שמעוין הוא סוג של מקבילית‪ ,‬גם את שטחו אפשר לחשב כמכפלת צלע בגובה‬
‫(לאותה הצלע)‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬שטח המעוין שבסרטוט הוא ‪. a · h‬‬
‫‪B A‬‬
‫‪DC‬‬
‫‪C‬‬
‫‪a‬‬
‫‪αD‬‬
‫‪A‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪β‬‬
‫‪β‬‬
‫‪a‬‬
‫‪B β AP‬‬
‫‪Q β DC‬‬
‫‪B‬‬
‫‪P‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪C‬‬
‫‪b hA‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪h‬‬
‫‪CD‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪Aa A a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪aA h aa‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪b‬‬
‫‪D‬‬
‫‪a b‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪a‬‬
‫‪B‬‬
‫‪Bb h‬‬
‫‪b ahP‬‬
‫‪Ca‬‬
‫‪B‬‬
‫‪b‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ab‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪P‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪C‬‬
‫‪a‬‬
‫מקבילית ומעוין‬
‫‪A‬‬
‫‪a D‬‬
‫‪β‬‬
‫‪β‬‬
‫‪B A‬‬
‫‪DC‬‬
‫מקבילית היא מרובע שבו כל זוג צלעות נגדיות מקבילות זו לזו ושוות באורכן‪.‬‬
‫‪h‬‬
‫‪B‬‬
‫‪P‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪C‬‬
‫‪h‬‬
‫‬
‫למשל‪ ,‬במקבילית שבסרטוט‪AB || DC ,AD || BC‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‬
‫‪AB = DC ,AD = BC‬‬
‫‪ab‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪b‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫האלכסונים במקבילית חוצים זה את זה‪.‬‬
‫‪b h‬‬
‫‪b‬‬
‫היקף המקבילית שבסרטוט הוא ‪.2a + 2b‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪aB‬‬
‫‪F‬‬
‫מלבן וריבוע‬
‫‪56‬‬
‫‪a‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪b‬‬
‫אורך האלכסון במלבן שבסרטוט הוא ‪a2 + b2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪2‬‬
‫‪45°‬‬
‫‪a‬‬
‫‪D‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a hAC $ BD a‬‬
‫‪. bh‬‬
‫שטח המעוין הוא גם מחצית המכפלה של אורכי האלכסונים‪ .‬למשל‪ ,‬שטח המעוין‬
‫‪D‬‬
‫שבסרטוט הוא‪b‬‬
‫‪2‬‬
‫‪D‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a CC‬‬
‫‪a‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪a‬‬
‫‪D‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫לאוניברסיטאות‬
‫הפסיכומטרית‬
‫בחינת הכניסה‬
‫חוברת הדרכה‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a 2‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D a‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪+b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A a‬‬
‫‪α‬‬
‫‪B α 2a‬‬
‫‪C‬‬
‫‪a C‬‬
‫‪a b‬‬
‫‪Ba‬‬
‫‪β‬‬
‫‪β‬‬
‫טרפז‬
‫‪B‬‬
‫‪P‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a‬‬
‫‪C‬‬
‫טרפז הוא מרובע שבו רק זוג אחד של צלעות מקבילות זו לזו‪ .‬הצלעות המקבילות‬
‫‪a‬‬
‫זה‬
‫שווים‬
‫נקראות בסיסים‪ .‬שתי הצלעות האחרות נקראות שוקיים‪ .‬בסיסי הטרפז אינם‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫לזה‪ ,‬ולכן מכנים אותם לעתים "בסיס גדול" ו"בסיס קטן"‪.‬‬
‫‪h D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪B aA‬‬
‫‪C‬‬
‫גובה בטרפז הוא קטע המחבר בין שני בסיסי הטרפז ומאונך להם‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪D a‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪b‬‬
‫שטח הטרפז שווה למחצית המכפלה של סכום אורכי הבסיסים בגובה‪.‬‬
‫‪h‬‬
‫‪(a + b) $ h‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬שטח הטרפז שבסרטוט הוא‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪DD‬‬
‫‪A b‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫טרפז שווה‪-‬שוקיים הוא טרפז שבו השוקיים שוות זו לזו באורכן‪.‬‬
‫‪b h‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫למשל בסרטוט‪.AB = DC :‬‬
‫‪D‬‬
‫‪βA‬‬
‫‪β‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪P a h CQ‬‬
‫בטרפז שווה‪-‬שוקיים זוויות הבסיס הגדול שוות זו לזו‪ ,‬וזוויות הבסיס הקטן שוות זו לזו‪C .‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪b‬‬
‫למשל‪ ,‬בסרטוט ‪.«ABC = «DCB = β , «BAD = «CDA = α‬‬
‫בטרפז שווה‪-‬שוקיים‪ ,‬כשמורידים שני גבהים מקצות הבסיס הקטן לבסיס הגדול‪,‬‬
‫מתקבלים מלבן ושני משולשים ישרי‪-‬זווית חופפים )‪ ABP‬ו‪.(DCQ-‬‬
‫‪C‬‬
‫‪β‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪α D‬‬
‫טרפז ישר‪-‬זווית הוא טרפז שבו אחת מזוויות הבסיס הגדול ישרה (וכמובן‪ ,‬גם אחת‬
‫מזוויות הבסיס הקטן)‪.‬‬
‫‪C βD‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪C‬‬
‫דלתון‬
‫היקף הדלתון שבסרטוט הוא ‪.2a + 2b‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪a‬‬
‫‪h‬‬
‫‪A‬‬
‫‪α‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪b‬‬
‫מצולע משוכלל‬
‫‪a‬‬
‫לזו בגודלן‪.‬‬
‫מצולע משוכלל הוא מצולע שכל צלעותיו שוות זו לזו באורכן וכל זוויותיו הפנימיות שוות זו ‪D‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ab‬‬
‫‪D‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫אפשר לחשב את גודל הזווית הפנימית ‪ a‬במצולע משוכלל בעל ‪ n‬צלעות בעזרת הנוסחה‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫הפנימיות ‪α‬‬
‫הוא ‪:120°‬‬
‫למשל‪ ,‬במשושה משוכלל כבסרטוט‪ ,‬גודל כל אחת מהזוויות‬
‫‪δ‬‬
‫‪c‬‬
‫‪. α = 180c − 360‬‬
‫‪6 = 120c‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪β‬‬
‫‪C‬‬
‫‪a C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪P‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪2a‬ית‬
‫‪D‬‬
‫‪b‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a 2‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪B‬‬
‫‪45°‬‬
‫‪45°‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a bh‬‬
‫‪a‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a 2‬‬
‫‪b‬‬
‫‪45°‬‬
‫‪a‬‬
‫‪Bα‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪0°‬‬
‫‪b‬‬
‫‪r‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪P‬‬
‫י‬
‫‪45°‬‬
‫‪a‬‬
‫‪P‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪aa60°2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪a‬‬
‫‪C‬‬
‫‪2C‬‬
‫‪a‬‬
‫‪CA‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪CC‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪Aa h a‬‬
‫‪a‬‬
‫‬
‫‪c‬‬
‫‪180cn − 360c k‬‬
‫‪. α = a180c − 360‬‬
‫‪n k=a‬‬
‫‪n‬‬
‫‪C‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫למשל‪ ,‬מתומן משוכלל הוא מצולע משוכלל בעל ‪ 8‬צלעות‪.‬‬
‫מחומש משוכלל הוא מצולע משוכלל בעל ‪ 5‬צלעות‪.‬‬
‫‬
‫ריבוע הוא מצולע משוכלל בעל ‪ 4‬צלעות‪.‬‬
‫‬
‫משולש שווה‪-‬צלעות הוא מצולע משוכלל בעל ‪ 3‬צלעות‪.‬‬
‫‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪h‬‬
‫‪Aa‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪Ba‬‬
‫‪aa C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪Db‬‬
‫‪Bb h‬‬
‫‪P‬‬
‫‪B‬‬
‫‪CC‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪F‬‬
‫ית‬
‫‪Ba‬‬
‫‪b ah A‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪C‬‬
‫‪h‬‬
‫‪C D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a‬‬
‫שטח דלתון שווה למחצית המכפלה של אורכי האלכסונים‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬שטח הדלתון שבסרטוט הוא ‪. AC $ BD‬‬
‫‪2‬‬
‫‪CC‬‬
‫‪°‬‬
‫‪a‬‬
‫‪B β A C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪P‬‬
‫‪a‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪β‬‬
‫‪P‬‬
‫‪A‬‬
‫‪b‬‬
‫דלתון הוא מרובע המורכב משני משולשים שווי שוקיים המחוברים בבסיסם‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬בסרטוט הדלתון ‪ ABCD‬מורכב מהמשולשים ‪ ABD‬ו‪, BCD-‬‬
‫)‪.(CB = CD ,AB = AD‬‬
‫האלכסון המחבר בין הקדקודים של שני המשולשים שווי‪-‬השוקיים‬
‫חוצה את האלכסון שהוא בסיסם של שני המשולשים האלה‪ ,‬ומאונך לו‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬בסרטוט ‪ AC‬חוצה את ‪ (BP = PD) BD‬וגם ‪.AC ⊥ BD‬‬
‫‪b‬‬
‫‪BB‬‬
‫‪r‬‬
‫‪57‬‬
‫‪a‬‬
‫חשיבה כמותית‬
‫‪α‬‬
‫‪δ‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪γδ‬‬
‫מעגל‪ ,‬עיגול‬
‫‪β‬‬
‫‪γ‬‬
‫היקפו‪.‬‬
‫רדיוס הוא קטע המחבר את מרכז המעגל עם נקודה כלשהי על‬
‫‪β‬‬
‫‪α‬‬
‫הנמצאות על היקפו‪.‬‬
‫שונות‬
‫נקודות‬
‫מיתר במעגל הוא קטע העובר בתוך המעגל ומחבר שתי‬
‫‪δ‬‬
‫‪α‬‬
‫‪δ‬‬
‫‪a‬‬
‫קוטר הוא מיתר במעגל העובר דרך מרכז המעגל‪.‬‬
‫‪α‬‬
‫‪δ‬‬
‫אורך הקוטר במעגל שווה לפעמיים אורך הרדיוס‪ .‬אם נסמן את אורך ‪γ‬רדיוס המעגל ב‪,r-‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪d‬‬
‫‪βa b‬‬
‫אז אורך הקוטר במעגל הוא ‪.2r‬‬
‫‪β‬‬
‫‪γ‬‬
‫בקירוב)‪.‬‬
‫‪3.14‬‬
‫הוא‬
‫‪π‬‬
‫של‬
‫(ערכו‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪r‬‬
‫הוא‬
‫היקף מעגל שאורך רדיוסו ‪r‬‬
‫‪cβ‬‬
‫‪d‬‬
‫‪b‬‬
‫‪2‬‬
‫שטח מעגל שאורך רדיוסו ‪ r‬הוא ‪( . πr‬לעתים משתמשים במונח "שטח עיגול"‬
‫במקום "שטח מעגל"‪).‬‬
‫‪ca‬‬
‫‪a‬‬
‫נקרא קשת‪.‬‬
‫חלק מהיקף המעגל התחום בין שתי נקודות ‪h‬‬
‫‪a‬‬
‫‪d‬‬
‫‪b‬‬
‫זרה‪.‬‬
‫ג‬
‫ִ‬
‫נקרא‬
‫וקשת‬
‫חלק משטח המעגל התחום בין שני רדיוסים‬
‫‪d‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪h‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫ולכן ‪.α = β‬‬
‫‪r‬‬
‫‪B‬‬
‫‪I‬‬
‫‪y‬‬
‫‪4‬‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2 4‬‬
‫‪1 3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪E‬‬
‫‪E‬‬
‫‪x‬‬
‫‪E‬‬
‫‪E4‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪F3‬‬
‫‪2‬‬
‫ושתיהן נשענות על אותה ‪A‬‬
‫‪2‬‬
‫הקשת ‪ ,ABI‬ולכן‪1y‬‬
‫‪II .α =-1 2β‬‬
‫‪y1‬‬
‫‪-4 -3 -2 -1‬‬
‫‪II‬‬
‫‪I‬‬
‫‪4‬‬
‫‪y‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪III‬‬
‫‪IV‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪1y‬‬
‫‪d‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪-4 -3‬‬
‫‪d‬‬
‫‪II -2 -3-1 -13 1 2 I 3 4‬‬
‫‪A -2 4 y‬‬
‫‪B‬‬
‫אורך ‪-4‬קשת‬
‫‪34‬‬
‫‪-3 A‬‬
‫‪-2 -1 4‬‬
‫‪d ddh‬‬
‫‪2‬‬
‫‪B‬‬
‫‪d‬‬
‫‪III -4 -223‬‬
‫‪IV‬‬
‫‪B A -3 -1334‬‬
‫שתי‬
‫תוחמות‬
‫מעגל‬
‫היקף‬
‫על‬
‫נקודות‬
‫שתי‬
‫‪d‬‬
‫‪A‬‬
‫‪d‬‬
‫קשתות‪B .‬‬
‫‪-4 -22‬‬
‫‪-312‬‬
‫‪A‬‬
‫‪23‬‬
‫‪1‬‬
‫מתאימה לזווית‪rd‬המרכזית ‪,α‬‬
‫שתי קשתות‪ :‬האחת‬
‫למשל‪ ,‬בסרטוט הנקודות‪ A x‬ו‪ B-‬תוחמות‬
‫‪h‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B -312‬‬
‫‪-4 -3 -2 -1 -41‬‬
‫‪1 2 3 4 Ax‬‬
‫‪-4 -3 -2‬‬
‫הקשת ‪1‬‬
‫‪2 3 .β‬‬
‫והאחרת ‪ -‬לזווית המרכזית ‪4‬‬
‫מתאימה לזווית הקטנה מן השתיים ‪.α -‬‬
‫הקצרה‪AB-1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-4 -3 -2 -1 -41‬‬
‫‪r‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪-4 -3 -2 -1 -1‬‬
‫‪-4 III‬‬
‫‪-3 α-2 -1 -2‬‬
‫‪1 2 IV3 4‬‬
‫‪. 2πrIII‬‬
‫הוא‬
‫זו‬
‫קשת‬
‫של‬
‫אורכה‬
‫‪,r‬‬
‫הוא‬
‫המעגל‬
‫רדיוס‬
‫‪ y -1‬אם‬
‫‪$ 360 -2-1 y IV‬‬
‫‪-4 -3 -2 -1 -2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪k‬‬
‫‪III‬‬
‫‪IV‬‬
‫‪-2-1‬‬
‫‪-3-2‬‬
‫‪h‬‬
‫‪-4 4‬‬
‫‪B4 -3y-3-2‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪B 3 -4‬שטח ִגזרה‬
‫‪y‬‬
‫‪h‬‬
‫‪3‬‬
‫‪k‬‬
‫‪r‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪m‬‬
‫ראש‪.‬‬
‫‪ B2 4-4‬הזווית המרכזית הנוצרת בין שני הרדיוסים התוחמים גִזרה נקראת גם זווית ‪r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪c‬‬
‫זווית מרכזית‬
‫‪y‬‬
‫‪c‬‬
‫‪3‬‬
‫‪A‬‬
‫‪d‬‬
‫‪II -5‬‬
‫במעגל‪.‬‬
‫ושוקיה‬
‫המעגל‬
‫זווית‬
‫‪ B‬הם רדיוסים‪b‬‬
‫במרכז ‪-4‬‬
‫שקדקודה ‪-3 -2 I‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫מרכזית‪3‬היא‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫זווית‪5‬‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪-5 2 -44 -3 -2 -1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪d aa d‬‬
‫הקשת‪.‬‬
‫הנשענת על אותה‬
‫זווית מרכזית גדולה פי ‪ 2‬מכל‪A‬זווית היקפית‬
‫‪b‬‬
‫‪3‬‬
‫‪-51 -4‬‬
‫‪-3 -2 -1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪A‬‬
‫‪d‬‬
‫‪a‬‬
‫למשל‪ ,‬בסרטוט ‪ α‬היא זווית מרכזית ו‪ β-‬היא זווית ‪B‬‬
‫היקפית‪,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪d‬‬
‫‪y1 2 3 4‬‬
‫‪-4 -3 -2 -1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 4‬‬
‫‪-4‬‬
‫גִזרת ‪1‬מעגל בעלת זווית ראש ‪.x°‬‬
‫‪ 1 3‬למשל‪ ,‬החלק הכהה בסרטוט הוא‬
‫‪3‬‬
‫‪m‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 x‬‬
‫גִזרת‪-4‬המעגל ‪x‬‬
‫‪y1‬‬
‫שטח ‪-3‬‬
‫‪-2 -1‬‬
‫‪2 . πr $‬‬
‫הוא ‪y1 2 33604‬‬
‫‪-4 -3 -2 -1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪1y‬‬
‫‪k‬‬
‫‪-1 1 y‬‬
‫‪k‬‬
‫‪-2 4 y‬‬
‫‪-2 4 y‬‬
‫למעגל ‪x‬‬
‫משיק ‪-4‬‬
‫‪-3 -2 -1 4‬‬
‫‪-4 -3 -2 -1 4‬‬
‫‪1 k2 3 4‬‬
‫‪-3 -13‬‬
‫‪-3 -13‬‬
‫‪34‬‬
‫‪m‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ -4 -22‬משיק למעגל הוא ישר הנוגע בהיקף ‪2‬המעגל בנקודה‪m‬אחת בלבד‪ ,‬הנקראת‬
‫‪23‬‬
‫‪-4 -2‬‬
‫‪23‬‬
‫‪m‬‬
‫"נקודת ההשקה"‪.‬‬
‫‪-312‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-32‬‬
‫‪1‬‬
‫ההשקה) היא זווית ישרה‪.‬‬
‫בין המשיק‪x‬לרדיוס (בנקודת‬
‫הזווית ‪-4‬‬
‫‪-3 -2 -1 -41‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-4 -3 -2 -1 1‬‬
‫‪1 2 3 4 x‬‬
‫‪-4 -3 -2 -1 -1‬‬
‫‪-4 .r‬‬
‫שרדיוסו‪-3‬‬
‫‪-2 -1 -1‬‬
‫משיק ‪1‬‬
‫למשל‪ ,‬בסרטוט הישר ‪2 3 a4‬‬
‫‪-1‬‬
‫למעגל‪y-1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪-4 -3 -2 -1 -2‬‬
‫‪-4 -3 -2 -1‬‬
‫‪1 2 3 4‬‬
‫‪-2-1‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-3-2‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-4-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪58‬‬
‫‪1‬‬
‫‪αα‬‬
‫‪α‬‬
‫‪β‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪β‬‬
‫‪β‬‬
‫‪A‬‬
‫‪αB‬‬
‫‪B‬‬
‫‪β α‬‬
‫‪B‬‬
‫‪α‬‬
‫‪A α‬‬
‫‪B B‬‬
‫‪β‬‬
‫‪α‬‬
‫‪β‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪β‬‬
‫‪βα‬‬
‫‪r‬‬
‫‪xº β‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪xº‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪xºr‬‬
‫‪xº‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪r xº‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫לזה‪-4‬באורכם‪.‬‬
‫מנקודה ‪y1‬‬
‫זה ‪-3‬‬
‫שווים ‪-2‬‬
‫אחת ‪-1‬‬
‫משיקים למעגל היוצאים‪2 3 4‬‬
‫‪-1 1 y‬‬
‫למשל‪ ,‬בסרטוט ‪ A‬היא נקודת החיתוך‪ B ,‬ו‪ C-‬הן נקודות ההשקה‪ ,‬ולכן ‪.AB = AC‬‬
‫‪-2 4 y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪-4 -3 -2 -1 4‬‬
‫‪1 2 3 4‬‬
‫‪C‬‬
‫‪-3D-13‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D 34‬‬
‫‪-4D-22‬‬
‫‪C‬‬
‫‪23‬‬
‫‪β‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪h‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪4 -2‬‬
‫‪-3‬‬
‫לאותו מעגל ‪-2 y‬‬
‫‪ D‬בנקודה אחת נקראים גם שני משיקים למעגל‬
‫ונחתכים‬
‫שני ישרים המשיקים ‪C‬‬
‫‪3 -3‬‬
‫‪-4‬‬
‫מהמשיקים הוא אורך הקטע המחבר את נקודת החיתוך‬
‫היוצאים מנקודה אחת‪ .‬אורך כל אחד‪2 -4-34‬‬
‫‪-43‬‬
‫של המשיקים עם ‪C‬‬
‫שלו‪1D.‬‬
‫נקודת ההשקה‬
‫‪β‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪αA‬‬
‫‪A‬‬
‫‪β AA‬‬
‫‪β‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪a‬‬
‫‪r‬‬
‫‪Ar‬‬
‫‪r‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪β‬‬
‫‪r B B‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪B‬‬
‫‪r OA‬‬
‫‪O r‬‬
‫‪BB‬‬
‫‪r β‬‬
‫‪α O‬‬
‫‪y‬‬
‫‪d‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪O‬‬
‫קשת שאורכה מחצית ‪b‬‬
‫היקף המעגל) היא זווית ישרה‪B .‬‬
‫(כלומר‪-3,‬על‪-5 -4‬‬
‫‪-2 -1‬‬
‫‪2‬‬
‫היקפית ‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫זווית ‪5‬‬
‫הנשענת‪ 1‬על ‪0‬קוטר‬
‫‪a‬‬
‫‪II‬‬
‫‪r‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪O‬‬
‫‪d‬‬
‫זווית היקפית‬
‫זווית היקפית היא זווית שקדקודה נמצא על היקף המעגל ושוקיה הם מיתרים במעגל‪.‬‬
‫‪c‬‬
‫שוות בגודלן‪.‬‬
‫זוויות היקפיות הנשענות על אותה הקשת ‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫הקשת ‪,AB‬‬
‫הזוויות ‪- 1α‬ו ‪ β0‬הן‪-1‬זוויות‬
‫הנשענות שתיהן על ‪b‬‬
‫היקפיות ‪-5‬‬
‫‪-4 -3 -2‬‬
‫‪2‬‬
‫בסרטוט ‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫למשל‪5 ,‬‬
‫‪h‬‬
‫‪α‬‬
‫בחינת הכניסה הפסיכומטרית לאוניברסיטאות‬
‫חוברת הדרכה‬
‫מצולע החוסם מעגל‬
‫מצולע החוסם מעגל הוא מצולע שכל אחת מצלעותיו משיקה למעגל‪.‬‬
‫מצולע החסום במעגל‬
‫מצולע החסום במעגל הוא מצולע שכל קדקודיו נמצאים על היקף המעגל‪.‬‬
‫משולש החסום במעגל‬
‫כל משולש אפשר לחסום במעגל‪.‬‬
‫לכל משולש יש מעגל אחד בלבד החוסם אותו‪.‬‬
‫אם המשולש החסום הוא ישר‪-‬זווית‪ ,‬מרכז המעגל החוסם אותו הוא אמצע היתר של המשולש‪.‬‬
‫‪α‬‬
‫‪δ‬‬
‫מרובע החסום במעגל‬
‫לא כל מרובע אפשר לחסום במעגל‪.‬‬
‫במרובע החסום במעגל סכום זוויות נגדיות שווה תמיד ל‪.180°-‬‬
‫למשל‪ ,‬במרובע שבסרטוט ‪α + γ = 180°‬‬
‫‪β + δ = 180°‬‬
‫‬
‫‪γ‬‬
‫‪α‬‬
‫‪δ‬‬
‫‪δ‬‬
‫‪β‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a‬‬
‫מרובע החוסם מעגל‬
‫לא כל מרובע יכול לחסום מעגל‪.‬‬
‫במרובע החוסם מעגל‪ ,‬סכום האורכים של כל זוג צלעות נגדיות שווה‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬במרובע שבסרטוט ‪.a + c = b + d‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪C‬‬
‫‪β‬‬
‫‪β‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪O‬‬
‫‪b‬‬
‫‪A‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪d‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫‪dA‬‬
‫‪d‬‬
‫‪Bc‬‬
‫‪c‬‬
‫כאשר המרובע הוא ריבוע‪ ,‬אורך צלע הריבוע שווה לאורך קוטר במעגל‪.‬‬
‫‪h‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪β‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪α‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪A‬‬
‫‪β‬‬
‫‪c‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2y 3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪I‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-3 -2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪I‬‬
‫‪I‬‬
‫‪B‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-3 -2‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-3 -2‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪II‬‬
‫‪II‬‬
‫‪d‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪43‬‬
‫‪32‬‬
‫‪-3A -2‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪d‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪Ax‬‬
‫‪4III‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪21‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪IV‬‬
‫‪IV‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2 h‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-3 -2‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-3 -2‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪r‬‬
‫‪III‬‬
‫‪III‬‬
‫‪E‬‬
‫‪E‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-3 -2‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪43‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4 21‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k m‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-3 -2‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-3 -2‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-3 -2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪mr‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪m‬‬
‫‪21‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪α‬‬
‫‪β‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪xº‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ºr‬‬
‫‪º‬‬
‫‪r‬‬
‫‪h‬‬
‫‪32‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪A‬‬
‫‪h‬‬
‫‪43‬‬
‫‪1‬‬
‫‪32‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪r‬‬
‫‪y‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪k‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪IV‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪F‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪E‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪d4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪21‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪AA‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪32‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪II‬‬
‫‪3‬‬
‫‪43‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪b‬‬
‫‪α‬‬
‫‪B c‬‬
‫‪c b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-3 -2‬‬
‫‪-3 -2‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪h‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪59‬‬
‫‪r‬‬
‫‪γ b‬‬
‫‪β‬‬
‫‪α‬‬
‫‪a c δ‬‬
‫‪α‬‬
‫‪δ‬‬
‫‪d α‬‬
‫‪δbγ‬‬
‫‪βa‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪βc‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪d‬‬
‫חשיבה כמותית‬
‫‪h‬‬
‫‪b‬‬
‫צורות תלת‪-‬ממדיות (גופים)‬
‫תיבה וקובייה‬
‫שטח הפנים של תיבה הוא סכום שטחי פאותיה‪ .‬שטח הפנים של התיבה בסרטוט הוא‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫‪.ab + ac + bc + ab + ac + bc = 2ab + 2ac + 2bc‬‬
‫‪II -5 -4h -3 -2 -1I 0 1 2 3 4 5‬‬
‫‪y‬‬
‫נפח של תיבה הוא מכפלה של האורך‪ ,‬הרוחב והגובה‪ .‬נפח התיבה בסרטוט ‪4‬הוא ‪.a · b · ch‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B h‬‬
‫קובייה היא תיבה שבה ‪3‬‬
‫בגודלם‪.‬‬
‫לזה‬
‫זה‬
‫שווים‬
‫והגובה‬
‫הרוחב‬
‫האורך‪,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-5 -4 y -3 -2 -1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪A‬‬
‫‪1‬‬
‫ריבועים חופפים‪.‬‬
‫‪II‬‬
‫‪I‬‬
‫בקובייה כל הפאות הן ‪y 2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫הקובייה הוא ‪-4 -3 -2.6d3-1‬‬
‫שבסרטוט הוא ‪ ,d‬ולכן שטח הפנים‪4‬של‪1 2 3‬‬
‫שטח כל פאה בקובייה‬
‫‪4‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪B‬‬
‫‪-4 -3 -23 3-1‬‬
‫‪1 2 3 4‬‬
‫‪2‬‬
‫הוא ‪.d‬‬
‫‪II III -5 -4‬‬
‫‪IV 0 1 2 3 4 5‬‬
‫‪-2 -3 -2I -1‬‬
‫נפח הקובייה שבסרטוט ‪y -1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪41‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-5 -4 -3‬‬
‫‪-3 -2 -1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪A‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪B -2 -1 -4 1 2 3 4 x‬‬
‫‪-4 -3‬‬
‫‪B‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-5 -1‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-3 -2 -1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫גליל ‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪-4 1 2 3 4‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪III‬‬
‫‪IV‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪II‬‬
‫‪I‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪4‬‬
‫הנמצאים‬
‫חופפים זה לזה‬
‫גליל הוא גוף תלת‪-‬ממדי ‪1‬‬
‫בעל שני בסיסים שהם מעגלים ‪x‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-4 II‬‬
‫‪-3 -2 -1 -3‬‬
‫‪1 2I 3 4‬‬
‫‪y4‬‬
‫ומעטפת ‪A‬‬
‫‪4 3y‬‬
‫מאונך‬
‫המעגלים‬
‫שמחברת ביניהם‪ .‬הקו המחבר את מרכזי‬
‫במישורים מקבילים‪,‬‬
‫‪x‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪-4 -3 -2‬‬
‫‪-1 -3‬‬
‫‪1 2 3 4‬‬
‫‪II‬‬
‫‪I‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪III‬‬
‫‪IV‬‬
‫‪-24‬‬
‫‪A‬‬
‫לכל אחד מהבסיסים‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪B‬‬
‫‪kA‬‬
‫‪3 24‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪21‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫מכפלת‪4‬היקף‬
‫המעטפת של גליל‬
‫שטח‬
‫הבסיס ‪B‬‬
‫הוא ‪A‬‬
‫‪2 13‬‬
‫‪-3‬‬
‫שאורך‪B‬רדיוס בסיסו ‪ r‬וגובהו ‪x h‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪-4 -3 -2 -1-42‬‬
‫‪1 23 3 4‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪r‬‬
‫·‬
‫‪h‬‬
‫כלומר‬
‫הגליל‪,‬‬
‫בגובה‬
‫‪m‬‬
‫‪x‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Ax‬‬
‫‪-4 -3 -2 -1-4‬‬
‫‪-4 -3 -2 -1 1‬‬
‫‪1 22 3 4‬‬
‫‪y22 1 2F 3 4‬‬
‫‪y IV‬‬
‫‪-1‬‬
‫הוא ‪III ,πr2‬‬
‫‪x‬‬
‫בסיס ‪-1-2‬‬
‫‪k‬‬
‫שטח כל‬
‫והמעטפת‪.‬‬
‫הבסיסים‬
‫‪x‬‬
‫שטחי ‪-4‬‬
‫סכום ‪-3 -2‬‬
‫הוא‪-1 11‬‬
‫גליל ‪1‬‬
‫של ‪2‬‬
‫שטח הפנים‪3 4‬‬
‫‪-4 III‬‬
‫‪-3 -2 -1 -3‬‬
‫‪1 21IV3 4‬‬
‫‪4-1-2‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫ושטח ‪xx‬‬
‫‪E‬‬
‫‪. 2-1‬‬
‫הפנים הוא‪πr · h + 2πr = 2πr · (h + r)x‬‬
‫הוא ‪πr · 1h1‬‬
‫שטח ‪-4-4‬‬
‫לכן‪-3-3 -2-2‬‬
‫‪-13-1,2‬‬
‫המעטפת ‪22‬‬
‫‪33 44‬‬
‫‪-2-3‬‬
‫‪-4 -3‬‬
‫‪-3-4 -2 3-1‬‬
‫‪1 2 3 4‬‬
‫‪B‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪III‬‬
‫‪IV‬‬
‫‪y-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪m‬‬
‫‪2 y -1‬‬
‫נפח הגליל הוא מכפלת ‪2-3-4‬‬
‫כלומר ‪-4-3. πr 2· h‬‬
‫שטחו של‪B‬אחד הבסיסים בגובה הגליל‪k ,‬‬
‫‪-2-2‬‬
‫‪F‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪41‬‬
‫‪-4-3-3‬‬
‫‪41‬‬
‫‪E‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪B 3‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪m -4 -3 -2 -1 -4 1 2 3 4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪2‬‬
‫חרוט‬
‫‪y‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪F‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪k‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪y4‬‬
‫‪y4‬‬
‫מעגל עם נקודה‬
‫תלת‪-‬ממדי שנוצר מחיבור‬
‫חרוט ישר‪x‬הוא גוף‬
‫הנקודות שעל היקף‪k‬‬
‫‪x‬‬
‫‪-4 -3 -2 -1 -3‬‬
‫‪1 2 3 4E‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪4‬‬
‫‪-1‬‬
‫נמצאת על ישר‬
‫המעגל‪ .‬הנקודה נקראת "קדקוד החרוט" והיא‬
‫הנמצאת מחוץ למישור‬
‫‪-4‬‬
‫‪4 3y‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪E‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪m‬‬
‫‪k‬‬
‫‪2‬‬
‫ועובר‪3‬‬
‫‪-2‬‬
‫סרטוט)‪.‬‬
‫(ראו‬
‫המעגל‬
‫במרכז‬
‫המעגל‬
‫המאונך למישור‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪F‬‬
‫‪4‬‬
‫‪m‬‬
‫ ‪E‬‬
‫‪21‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2 1D 3‬‬
‫‪C‬‬
‫‪-3‬‬
‫וגובהו ‪ h‬הוא ‪πr2 $ h‬‬
‫חרוט שרדיוס ‪F‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.‬‬
‫‪r‬‬
‫בסיסו‬
‫נפח‬
‫‪x‬‬
‫‪m‬‬
‫‪3 -4 -3 -2 -1-412‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1 2 3 4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-4 -3 -2 -1-42 y 1 2 3 4‬‬
‫‪F‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪-1 1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪-4 -3 -2 -1 1‬‬
‫‪1 2 3 4‬‬
‫‪-4 -3 -2 -1 1‬‬
‫‪1 2 3 4‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪-1-2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪-4 -3 -2 -1 -3‬‬
‫מנסרה ‪1 2 3 4‬‬
‫‪34 4x‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪D-2-33-1 -1 1 12 23 C‬‬
‫‪-4 -4‬‬
‫‪-3 -3‬‬
‫‪-2 -2‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-1 y‬‬
‫‪-3-4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3-4‬‬
‫זה לזה ונמצאים‬
‫החופפים‬
‫מצולעים‬
‫הם‬
‫בסיסיו‬
‫ששני‬
‫תלת‪-‬ממדי‬
‫מנסרה ישרה היא גוף‬
‫‪-2‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪41‬‬
‫‪-4-3‬‬
‫על ‪-4-3‬‬
‫במישורים מקבילים‪ ,‬ופאותיו הצדדיות הן מלבנים‪ .‬כל מנסרה מכּונ ָה ‪-3‬‬
‫פי‪D‬מספר‬
‫‪C x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪-4‬‬
‫מרובעת‪-4‬‬
‫מנסרה ‪-3 -2‬‬
‫משולשים‪-1 -4 -4,‬‬
‫בסיסים ‪1 2 3‬‬
‫‪4‬‬
‫משולשת היא בעלת‬
‫הצלעות של בסיסה‪ :‬מנסרה‬
‫‪2‬‬
‫‪-1 y‬‬
‫היא בעלת בסיסים מרובעים וכו' (ראו סרטוטים)‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪y4‬‬
‫גובה המנסרה הוא אורך קטע המחבר בין הבסיסים ‪x‬‬
‫‪-4 -3 -2 -1 -3‬‬
‫להם‪1 .‬‬
‫ומאונך ‪2 3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D-1‬‬
‫‪3y‬‬
‫‪4‬‬
‫‪-4‬‬
‫זה המרחק בין בסיסי המנסרה‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D -2342‬‬
‫‪ D‬לחשב את‬
‫אפשר‬
‫‪ C‬הצדדיות‪.‬‬
‫שטח המעטפת של מנסרה הוא סכום שטחי כל הפאות‬
‫‪21‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫שטח המעטפת גם כמכפלה של היקף בסיס‬
‫המנסרה בגובה המנסרה‪1 .‬‬
‫‪-4 -3 -2 -1-42‬‬
‫‪1 2 3 4‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫של ‪-4 -3 -2‬‬
‫הבסיסים ‪-1‬‬
‫שני ‪1 2‬‬
‫ושטחי ‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫המנסרה‪.‬‬
‫שטח הפנים של מנסרה הוא סכום שטח המעטפת‬
‫‪-1-2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪-4 -3 -2 -1 -3‬‬
‫‪1 2 3 4‬‬
‫‪-2‬‬
‫נפח המנסרה שווה למכפלת שטח אחד הבסיסים בגובה המנסרה‪.‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪60‬‬
‫‬
‫‪-3-4‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-4-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪d‬‬
‫‪β‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ca‬‬
‫‪h‬‬
‫תיבה היא גוף תלת‪-‬ממדי בעל שש פאות מלבניות‪ .‬שלושת ממדי התיבה הם האורך‪,‬‬
‫הרוחב והגובה (בסרטוט ‪ b ,a‬ו‪ c-‬בהתאמה)‪.‬‬
‫‪h-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5‬‬
‫כל פאה בתיבה מאונכת לשכנותיה‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪AB‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪d‬‬
‫‪a‬‬
‫‪d‬‬
‫‪ac‬‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪B‬‬
‫‪d‬‬
‫‪B‬‬
‫‪c c‬‬
‫‪B‬‬
‫‪b‬‬
‫‪d‬‬
‫‪c d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪BB‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪d‬‬
‫‪dc‬‬
‫‪d‬‬
‫‪c b‬‬
‫‪a d‬‬
‫‪c b h‬‬
‫‪a‬‬
‫‪d‬‬
‫‪b‬‬
‫‪da‬‬
‫‪r‬‬
‫‪h‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪d‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ºB‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪rd d‬‬
‫‪hd h‬‬
‫‪B‬‬
‫‪d‬‬
‫‪B‬‬
‫‪d‬‬
‫‪B‬‬
‫‪d‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪rh‬‬
‫‪r‬‬
‫‪a‬‬
‫‪r‬‬
‫‪h‬‬
‫‪a‬‬
‫‪h‬‬
‫‪hr‬‬
‫‪r‬‬
‫‪a‬‬
‫‪r‬‬
‫‪C‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪Ca‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫בחינת הכניסה הפסיכומטרית לאוניברסיטאות‬
‫חוברת הדרכה‬
‫פירמידה‬
‫‪δδ‬‬
‫פירמידה ישרה היא גוף תלת‪-‬ממדי שנוצר מחיבור קדקודי מצולע משוכלל כלשהו עם‬
‫נקודה הנמצאת מחוץ למישור של המצולע‪ .‬המצולע נקרא "בסיס הפירמידה" והנקודה‬
‫נקראת "קדקוד הפירמידה"‪.‬‬
‫‪γγ‬‬
‫הפאות הצדדיות של הפירמידה הן משולשים‪.‬‬
‫‪δ‬‬
‫כל פירמידה מכונה על פי מספר הצלעות של בסיסה‪ :‬פירמידה משולשת היא בעלת בסיס‬
‫משולש‪ ,‬פירמידה מרובעת היא בעלת בסיס מרובע וכו' (ראו סרטוטים)‪γ.‬‬
‫‪β‬‬
‫‪aa‬‬
‫‪C‬‬
‫בתיבה יש ‪ 12‬מקצועות‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫ציר המספרים משמש להצגה גאומטרית של יחסים בין מספרים‪.‬‬
‫‪yy‬‬
‫‪y44‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪d‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪A‬‬
‫‪h‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪α‬‬
‫‪δ‬‬
‫‪β‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪yy‬‬
‫‪A‬‬
‫‪I‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪β b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪a‬‬
‫‪II‬‬
‫‪II‬‬
‫‪y44‬‬
‫‪β‬‬
‫‪3‬‬
‫‪II B‬‬
‫‪3‬‬
‫‪α‬‬
‫‪B‬‬
‫‪42‬‬
‫‪2‬‬
‫‪31‬‬
‫‪B‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-4 -3 -2 -1‬‬
‫‪-4 -3 -2 -11-1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪III‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-4 -3III-2 -1 -2‬‬
‫‪-1-3‬‬
‫ו‪.5-‬‬
‫‪A‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪III‬‬
‫‪-2-4‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4 x‬‬
‫‪A‬‬
‫‪4‬‬
‫‪y‬‬
‫לנקודות‪.‬‬
‫המתאימים‬
‫‪x‬‬
‫‪IV‬‬
‫‪1h 2 IV‬‬
‫‪3 4‬‬
‫למרחק‪-4‬בין הנקודות המתאימות לערכים ‪3‬‬
‫‪ -2‬שווה‬
‫‪A‬למשל‪ ,‬המרחק בין הנקודות המתאימות‪x‬לערכים (‪ )-4‬ו‪)-2(-‬‬
‫‪4‬‬
‫‪B‬‬
‫‪d -3 -2 -1 -2 1B 2 3 34‬‬
‫‪-1-3‬‬
‫‪IV‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪B‬‬
‫‪d‬‬
‫‪B -2-3‬‬
‫מערכת צירים קרטזית ‪A‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪α‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪B‬‬
‫‪1‬‬
‫במערכת צירים קרטזית ‪x‬‬
‫המאונכים זה לזה‪ .‬הציר האופקי נקרא ציר ה‪ ,x-‬והציר ‪β‬‬
‫האנכי‬
‫שני ‪1‬צירי‬
‫מספרים ‪-4 -3‬‬
‫‪-2 -1‬‬
‫יש ‪2‬‬
‫במישור ‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-1‬‬
‫נקרא ‪-4‬‬
‫‪-3 -2 -1‬‬
‫‪1 2‬‬
‫ציר ה‪ .y-‬בציר ה‪ x-‬המספרים גדלים ככל שמתקדמים ימינה‪ ,‬ובציר ה‪ y-‬המספרים גדלים ככל שמתקדמים‬
‫‪-1‬‬
‫‪III‬‬
‫‪IV‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫מעלה‪.‬‬
‫‪k-2 -1 0 1 2 3 4 5‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-5 -4 y-3 k‬‬
‫‪4‬‬
‫‪h‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪y‬‬
‫‪-4E‬‬
‫‪B -3‬‬
‫‪y4‬‬
‫‪E‬‬
‫‪3‬‬
‫‪k‬‬
‫‪3‬‬
‫הצירים מחלקים את המישור לארבעה רביעים‪ ,‬ובדרך כלל הם מסומנים‬
‫‪3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪r‬‬
‫‪m‬‬
‫‪42‬‬
‫‪m‬‬
‫‪4 2y‬‬
‫‪E‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.IV‬‬
‫‪,III‬‬
‫‪,II‬‬
‫‪,I‬‬
‫הרומיות‬
‫ָרות‬
‫פ‬
‫בס‬
‫‪F‬‬
‫‪2‬‬
‫‪31‬‬
‫‪Fy‬‬
‫‪r 31‬‬
‫‪II‬‬
‫‪I‬‬
‫‪1‬‬
‫‪m‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪xº 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪-4 -3 -2 -1‬‬
‫‪1 F2 3 4 x‬‬
‫‪y‬‬
‫המתארים‪-1‬את‪-4 -3 -2‬‬
‫‪-4 -3 r -2 -1 3‬‬
‫‪1 2 3 4 x‬‬
‫זוג ערכים‪3 x 4‬ו‪1-1A 1 4 2 y-‬‬
‫לכל נקודה במישור אפשר להתאים ‪y‬‬
‫‪-4 B‬‬
‫‪-3 -2 -11-1‬‬
‫‪1 2 3 4‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2-1‬‬
‫‪ 4‬מקומה ביחס לצירים‪.‬‬
‫‪-2 1 2 3 4 x‬‬
‫‪-4 -3 -2 -1 -2‬‬
‫‪-2 1 2 3 4 A x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪h‬‬
‫‪-4 -3 -2 -1 1-2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-1-3‬‬
‫שלה הוא ‪.1‬‬
‫ה‪y-‬‬
‫וערך‬
‫‪,4‬‬
‫הוא‬
‫‪A‬‬
‫הנקודה‬
‫של‬
‫ה‪x-‬‬
‫‪ 3‬למשל‪ ,‬בסרטוט ערך‬
‫‪-1-3‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪m‬‬
‫‪-2-4‬‬
‫‪-4 -3 -2 -1 -2-4 1 2 3 4‬‬
‫‪ 2‬ערך ה‪ x-‬של הנקודה ‪ B‬הוא )‪ ,(-3‬וערך‪2‬ה‪ y-‬שלה הוא ‪.2‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪F‬‬
‫‪x‬‬
‫‪-1-4‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪r‬‬
‫‪-4 -3 -2 -1‬‬
‫‪1 2 3 4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪III‬‬
‫‪IV‬‬
‫‪-2‬‬
‫כשערך ה‪-4 x-‬‬
‫משמאל‬
‫מקובל לסמן את ערכי הנקודה בתוך סוגריים ‪-‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪-4 -3 -2 -1‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪-2-4 -3 -2 -1‬‬
‫‪-3‬‬
‫לעתים‪1 2‬‬
‫‪ -1‬לערך ה‪ ,y-‬כך‪3 4 .)x , y( :‬‬
‫מסמנים את ערכי הנקודה בצמוד לאות‬
‫‪y‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-4 y‬‬
‫‪B -3‬‬
‫‪ -2‬המייצגת אותה‪ ,‬למשל )‪. B(-3-2, 2) , A(4 , 1‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪r‬‬
‫‪4‬‬
‫‪y4‬‬
‫‪ -3‬לעתים מכנים את ערכי הנקודה (‪-3)x , y‬בשם שיעורי הנקודה‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪C‬‬
‫‪Da 3‬‬
‫הנקודה במישור המתאימה ל‪-4 (0 , 0) -‬‬
‫היא נקודת מפגש הצירים‪,‬‬
‫‪42‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D 31‬‬
‫והיא נקראת ראשית הצירים‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪k‬‬
‫‪x‬‬
‫‪-4 -3 -2 -1‬‬
‫‪1 2 3 4 x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪y‬‬
‫‪-4 -3 -2 -11-1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪E‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪cc‬‬
‫‪-5α -4‬‬
‫‪-5 -4‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪II‬‬
‫‪-5 -4 -3 -2 -1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪42‬‬
‫‪2‬‬
‫‪31‬‬
‫ימינה‪.‬‬
‫המספרים על ציר המספרים גדלים ככל שמתקדמים‬
‫‪1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪-4 -3 -2 -1‬‬
‫‪1 2 3 4 x I‬‬
‫‪II‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫פרופורציונלי להפרש‪1-1‬בין הערכים המספריים‬
‫המרחק בין נקודות על ציר המספרים‬
‫‪4‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪d‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪hh‬‬
‫‪c‬‬
‫‪r‬‬
‫‪O‬‬
‫‪cc‬‬
‫‪b‬‬
‫‪γ‬‬
‫ציר המספרים‬
‫‪3‬‬
‫‪r‬‬
‫‪B‬‬
‫אם ‪ S‬הוא שטח בסיס הפירמידה ו‪ h-‬הוא גובה הפירמידה‪ ,‬אז נפח הפירמידה‪ a‬הוא ‪. S3$ h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪a‬‬
‫‪bb‬‬
‫גובה הפירמידה הוא אורך הקטע היורד מקדקוד הפירמידה לבסיסה ומאונך למישור‬
‫הבסיס שלה‪ .‬זה המרחק בין קדקוד הפירמידה לבסיס שלה (ראו סרטוט)‪.‬‬
‫מקצוע‬
‫‪c‬‬
‫פאות‪.‬‬
‫מקְצוע בגוף תלת‪-‬ממדי הוא הקו הישר הנוצר במקום המפגש בין שתי‬
‫ִ‬
‫בפירמידה שבסרטוט הקטע המסומן בקו מודגש הוא אחד המקצועות‪.‬‬
‫‪ββ‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪b‬‬
‫‪δ‬‬
‫‪b‬‬
‫‪dd‬‬
‫‪dd‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d c‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪h‬‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪rr‬‬
‫‪d‬‬
‫‪h‬‬
‫‪r‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪h‬‬
‫‪r‬‬
‫‪61‬‬
‫‪h‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫חשיבה כמותית‬
‫‪-1‬‬
‫‪-3 -2‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪IV‬‬
‫‪-3 -2‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪III‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪B‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪h‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-4‬‬
‫לכל הנקודות על ישר המקביל לציר ה‪ x-‬יש אותו הערך ‪ y‬ולכל הנקודות על‬
‫‪y‬‬
‫ישר המקביל לציר ה‪ y-‬יש אותו הערך ‪.x‬‬
‫למשל‪ ,‬בסרטוט‬
‫‪E‬‬
‫הישר ‪ k‬מקביל לציר ה‪ y-‬ולכן לכל הנקודות שעל הישר ‪k‬‬
‫‪F‬‬
‫יש אותו הערך ‪( x‬בסרטוט ‪.)x = 1.5‬‬
‫‪x‬‬
‫הישר‪m 1‬‬
‫שעל ‪2‬‬
‫הישר ‪ m‬מקביל לציר ה‪ x-‬ולכן לכל הנקודות‪3 4‬‬
‫יש אותו הערך ‪( y‬בסרטוט ‪.)y = 2.5‬‬
‫‬
‫‪y‬‬
‫‪k‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪m‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-3 -2‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-3 -2‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-4‬‬
‫דרך כל שתי נקודות במישור עובר ישר אחד בלבד‪.‬‬
‫החלק של אותו ישר הנמצא בין שתי הנקודות נקרא קטע‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‬
‫‪C‬‬
‫‪D3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪y‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫אם הקטע מקביל לציר ה‪ ,y-‬אורכו הוא ההפרש (בערך מוחלט)‬
‫בין ערכי ה‪ y-‬של הנקודות‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬בסרטוט הקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה‪.y-‬‬
‫ערך ה‪ y-‬של הנקודה ‪ A‬הוא ‪ 4‬וערך ה‪ y-‬של הנקודה ‪ B‬הוא )‪.(-3‬‬
‫ההפרש בין ערכי ה‪ y-‬הוא ‪ , 4 – (-3) = 7‬ולכן אורך הקטע ‪ AB‬הוא ‪.7‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3-1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫באופן דומה מחשבים אורך קטע המקביל לציר ה‪.x-‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪2-2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1-3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪A‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-3 -2 -1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B -3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A‬‬
‫‪-3 -2‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-3 -2‬‬
‫‪-1-4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪B‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪y -4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪E‬‬
‫אם הקטע אינו מקביל לאף אחד מהצירים (למשל הקטע ‪ EF‬בסרטוט)‪,‬‬
‫אפשר לחשב את אורכו בעזרת משפט פיתגורס‪ :‬מסרטטים משולש‬
‫ישר‪-‬זווית שבו היתר הוא הקטע‪ ,‬והניצבים מקבילים לציר ה‪ x-‬ולציר ה‪.y-‬‬
‫אורכו של הניצב המקביל לציר ה‪ x-‬שווה להפרש בין ערך ה‪ x-‬של הנקודה‬
‫‪ E‬לערך ה‪ x-‬של הנקודה ‪ (4 – 2 = 2) F‬ואורכו של הניצב המקביל לציר‬
‫ה‪ y-‬שווה להפרש בין ערך ה‪ y-‬של הנקודה ‪ E‬לערך ה‪ y-‬של הנקודה ‪F‬‬
‫)‪. (3 – 1 = 2‬‬
‫בעזרת משפט פיתגורס אפשר לחשב את‬
‫אורכו של היתר‪EF = 22 + 22 = 8 :‬‬
‫‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪F‬‬
‫‪Ex‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪F‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-3 -2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-1-4‬‬
‫‪-3 -2‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪C‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪62‬‬
‫‪4C‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫חוברת הדרכה‬
‫בחינת הכניסה הפסיכומטרית לאוניברסיטאות‬
‫שאלות ובעיות‬
‫שאלות מתחום האלגברה עוסקות בכמה נושאים‪ :‬משוואות‪ ,‬דרך‪ ,‬הספק‪ ,‬צירופים‪ ,‬הסתברות ועוד‪ .‬שאלות מתחום‬
‫הגאומטריה עוסקות במאפיינים של צורות גאומטריות‪ :‬שטח‪ ,‬נפח‪ ,‬זוויות ועוד‪ .‬כמה מהשאלות הן מילוליות‪ ,‬ובהן יש‬
‫לתרגם תחילה את הבעיה למונחים מתמטיים; שאלות אחרות הן לא מילוליות‪ ,‬ובהן הבעיה מוצגת מלכתחילה במונחים‬
‫מתמטיים‪ .‬לפניכם שאלות לדוגמה ובצִדן פתרונות והסברים‪.‬‬
‫שימו לב‪ :‬הדוגמאות בחוברת זו ממוינות לפי סוגים‪ ,‬אך בבחינה אין חלוקה כזו‪.‬‬
‫שאלות אלגברה מילוליות‬
‫‪ .1‬נהג נסע מחיפה לאילת בפרק זמן מסוים‪ .‬שליש מהדרך הוא עבר במהירות של ‪ 75‬קמ"ש‪ ,‬חמישית מהדרך הנותרת‬
‫הוא עבר בשעה‪ ,‬ואת יתרת הדרך הוא עבר במהירות של ‪ 80‬קמ"ש‪ .‬המרחק בין חיפה לאילת הוא ‪ 450‬ק"מ‪ .‬אילו‬
‫נסע הנהג במהירות קבועה לאורך כל הדרך‪ ,‬מה הייתה צריכה להיות מהירות זו כדי שהנסיעה מחיפה לאילת תארך‬
‫בדיוק אותו משך זמן?‬
‫(‪) 1‬‬
‫(‪)2‬‬
‫(‪)3‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪ 70‬קמ"ש‬
‫‪ 75‬קמ"ש‬
‫‪ 80‬קמ"ש‬
‫‪ 90‬קמ"ש‬
‫שאלה זו מוצגת בצורה מילולית‪ ,‬ולכן יש לתרגם אותה תחילה למונחים מתמטיים‪ .‬ראשית‪ ,‬נגדיר בבירור מה יש‬
‫למצוא‪ :‬המהירות שבה יש לנסוע כדי לעבור את המרחק בין חיפה לאילת באותו פרק הזמן שעשה זאת הנהג‪.‬‬
‫אם כן‪ ,‬זו שאלת דרך‪ ,‬ואפשר ליישם בה את הנוסחה המקשרת בין מרחק‪ ,‬מהירות‪ ,‬וזמן‪ , v = st :‬שכן המרחק )‪(s‬‬
‫נתון‪ ,‬את הזמן )‪ (t‬ניתן לחשב‪ ,‬והמהירות )‪ (v‬היא הנעלם שיש למצוא‪.‬‬
‫נתון בשאלה כי המרחק בין חיפה לאילת הוא ‪ 450‬ק"מ‪.‬‬
‫את הזמן הכולל שהיה דרוש לנהג כדי לעבור את כל המרחק מחיפה לאילת אפשר לחשב כך‪:‬‬
‫הדרך מחולקת בשאלה לשלושה קטעים‪ .‬נחשב בכמה זמן עבר הנהג כל קטע ‪-‬‬
‫א‪ .‬שליש מהדרך הוא ‪ 150‬ק"מ‪ ,‬כי ‪ 450 $ 13‬הם ‪ .150‬קטע זה מהדרך עבר הנהג בשעתיים‪ ,‬כי דרושות‬
‫שעתיים כדי לעבור ‪ 150‬ק"מ במהירות של ‪ 75‬קמ"ש ‪. b 150 = 2 l‬‬
‫‬
‫‪75‬‬
‫ב‪ .‬חמישית מהדרך הנותרת היא ‪ 60‬ק"מ‪ ,‬כי אורכה של הדרך הנותרת הוא ‪ , 450 – 150 = 300‬ו‪ 300 $ 1 -‬הם ‪.60‬‬
‫‪5‬‬
‫נתון בשאלה כי הנהג עבר קטע זה מהדרך בשעה אחת‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫יתרת הדרך היא ‪ 240‬ק"מ‪ ,‬כי ‪ .450 – 150 – 60 = 240‬קטע זה עבר הנהג בשלוש שעות‪ ,‬כי דרושות שלוש‬
‫שעות כדי לעבור ‪ 240‬ק"מ במהירות של ‪ 80‬קמ"ש‪.‬‬
‫לסיכום‪ ,‬הנסיעה מחיפה לאילת ארכה סך הכול ‪ 6‬שעות (שעתיים ועוד שעה ועוד שלוש שעות)‪.‬‬
‫כעת אפשר לחשב את המהירות הקבועה שיש לנסוע בה כדי לעבור ‪ 450‬ק"מ ב‪ 6-‬שעות‪ ,‬על ידי הצבת הנתונים‬
‫‪ . v = st = 450‬כלומר‪ ,‬המהירות היא ‪ 75‬קמ"ש והתשובה הנכונה היא (‪.)2‬‬
‫בנוסחה המתאימה‪6 = 75 :‬‬
‫‪63‬‬
‫חשיבה כמותית‬
‫‪.2‬‬
‫ביום ה‪ 10-‬לחייו אכל פילון ‪ 5‬סוכריות‪ .‬מיום זה ואילך הלך וגדל תיאבונו‪ ,‬ובכל יום הוא אכל פי ‪ 2‬סוכריות מביום‬
‫הקודם‪ .‬כמה סוכריות אכל הפילון ביום ה‪ 14-‬לחייו?‬
‫(‪40 )1‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫(‪80 )2‬‬
‫(‪120 )4‬‬
‫(‪100 )3‬‬
‫ביום ה‪ 10-‬אכל הפילון ‪ 5‬סוכריות‪ .‬מכיוון שמיום זה ואילך הוא אכל בכל יום פי ‪ 2‬סוכריות משאכל ביום הקודם‪ ,‬הרי‬
‫שביום ה‪ 11-‬הוא אכל ‪ 10‬סוכריות )‪ ,(5 · 2‬ביום ה‪ 12-‬הוא אכל ‪ 20‬סוכריות )‪ (5 · 2 · 2‬וכך הלאה‪.‬‬
‫באופן כללי‪ ,‬ביום ה‪ (10 + n)-‬אכל הפילון ‪ 5 · 2n‬סוכריות (‪ n‬הוא מספר שלם וחיובי)‪.‬‬
‫לכן‪ ,‬ביום ה‪ 14-‬הוא אכל ‪ 80‬סוכריות )‪ ,(5 · 24 = 80‬והתשובה הנכונה היא (‪.)2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‬
‫בארוחה עסקית במסעדה מסוימת אפשר לבחור אחת מתוך ‪ 3‬מנות ראשונות שונות ואחת מתוך ‪ 4‬מנות עיקריות‬
‫שונות‪ .‬נוסף על המנה הראשונה ועל המנה העיקרית אפשר לבחור בין מרק לקינוח‪.‬‬
‫כמה אפשרויות שונות של ארוחה עסקית של ‪ 3‬מנות אפשר להרכיב במסעדה זו?‬
‫(‪12 )1‬‬
‫‬
‫(‪14 )2‬‬
‫(‪24 )4‬‬
‫(‪18 )3‬‬
‫יש שלוש אפשרויות לבחור מנה ראשונה‪ .‬לכל מנה ראשונה שבוחרים אפשר לצרף אחת מארבע מנות עיקריות‬
‫שונות‪ .‬כלומר‪ ,‬יש ‪ 3 · 4‬צירופים שונים של מנה ראשונה ומנה עיקרית‪ .‬לכל אחד מ‪ 12-‬הצירופים האלה אפשר‬
‫להוסיף מרק או קינוח‪ .‬כלומר‪ ,‬סך הכול יש ‪ 12 · 2‬צירופים שונים של שלוש מנות‪ ,‬שהם ‪ 24‬אפשרויות‪.‬‬
‫לכן התשובה הנכונה היא (‪.)4‬‬
‫‪.4‬‬
‫סטודנט זכאי לתואר ראשון רק אם הוא עובר את כל הבחינות ומגיש את כל העבודות‪ .‬מתוך ‪ 300‬סטודנטים‪250 ,‬‬
‫עברו את כל הבחינות ו‪ 215-‬הגישו את כל העבודות‪ .‬כמה סטודנטים זכאים לתואר ראשון?‬
‫(‪ )1‬לכל הפחות ‪215‬‬
‫‬
‫(‪ )2‬לכל היותר ‪185‬‬
‫(‪ )4‬לכל הפחות ‪165‬‬
‫(‪ )3‬בדיוק ‪215‬‬
‫‬
‫אפשר להגדיר שתי קבוצות סטודנטים‪ :‬קבוצת הסטודנטים שעברו את כל הבחינות‬
‫וקבוצת הסטודנטים שהגישו את כל העבודות‪ .‬כל סטודנט המשתייך לשתי הקבוצות‬
‫שתי הקבוצות אינה ידועה‪ ,‬אך ייתכנו שני‬
‫זכאי לתואר ראשון‪ .‬מידת החפיפה בין ‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫מצבים קיצוניים‪ .‬נמחיש אותם בסרטוט‪:‬‬
‫)‪B(4,3‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪C(4,0‬‬
‫‪300‬‬
‫זכאים‬
‫לתואר‬
‫ במצב של חפיפה מקסימלית בין שתי הקבוצות‪ ,‬יהיה מספר הזכאים לתואר מקסימלי‪.‬‬‫‪ 215‬הסטודנטים שהגישו את כל העבודות גם עברו את‬
‫אם כל‬
‫חפיפה מקסימלית תהיה‬
‫)‪(1,4‬‬
‫)‪(x,y) (11,4‬‬
‫)‪A(0,3‬‬
‫כלומר‪ ,‬לכל‪B‬היותר‪ 215A‬סטודנטים יהיו זכאים לתואר‪.‬‬
‫כל הבחינות‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪215‬‬
‫‪250‬‬
‫ במצב של חפיפה מינימלית בין שתי הקבוצות‪ ,‬יהיה מספר הזכאים לתואר מינימלי‪.‬‬‫‬
‫‪x‬‬
‫‪ 50‬סטודנטים )‪ (300 – 250‬אינם זכאים לתואר משום שלא עברו את כל הבחינות‪,‬‬
‫ו‪ 85-‬סטודנטים )‪ (300 – 215‬אינם זכאים לתואר משום שלא הגישו את כל העבודות‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬מספר הלא‪-‬זכאים מאחת הסיבות לפחות הוא ‪.50 + 85 = 135‬‬
‫ זה מספר הלא‪-‬זכאים המקסימלי‪ .‬לכן מספר הזכאים המינימלי הוא‬
‫כלומר‪ ,‬לפחות ‪ 165‬סטודנטים זכאים לתואר‪.‬‬
‫ ‪β .300 – 135 = 165‬‬
‫‪300‬‬
‫‪165‬‬
‫‪85‬‬
‫‪50‬‬
‫זכאים‬
‫לתואר‬
‫‪215‬‬
‫‪250‬‬
‫אם כן‪ ,‬מספר הזכאים לתואר ראשון יכול להיות בין ‪ 165‬ל‪ .215-‬לכן התשובה הנכונה היא (‪.)4‬‬
‫‪1.5a‬‬
‫‪B‬‬
‫‪α‬‬
‫‪64‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ 300‬מ'‬
‫‪ 400‬מ'‬
‫‪a‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ 300‬מ'‬
‫‪ 100‬מ'‬
‫‪C‬‬
‫‪300‬‬
‫‪300‬‬
‫‪0‬‬
‫‪50‬‬
‫מ'‬
‫‪ 700‬מ'‬
‫‪A‬‬
‫‪ 400‬מ'‬
‫חוברת הדרכה‬
‫‪.5‬‬
‫מפעל העובד בקצב קבוע מייצר ‪ 20‬מכוניות ב‪ 4-‬ימים‪ .‬כמה מכוניות אפשר לייצר ב‪ 3-‬מפעלים כאלה‪ ,‬העובדים‬
‫באותו הקצב‪ ,‬ב‪ 6-‬ימים?‬
‫(‪60 )1‬‬
‫‬
‫‬
‫בחינת הכניסה הפסיכומטרית לאוניברסיטאות‬
‫(‪80 )2‬‬
‫(‪90 )3‬‬
‫(‪120 )4‬‬
‫שאלה זו היא שאלת הספק‪ .‬אחת הדרכים לפתור שאלות מסוג זה היא למצוא את ההספק של יחידת תפוקה אחת‬
‫(במקרה זה‪ ,‬מפעל אחד) ליחידת זמן אחת (במקרה זה‪ ,‬יום אחד)‪ ,‬ואז להכפיל במספר יחידות התפוקה (‪ 3‬מפעלים)‬
‫ובמספר יחידות הזמן (‪ 6‬ימים) המבוקשות‪ .‬אם מפעל מייצר ‪ 20‬מכוניות ב‪ 4-‬ימים‪ ,‬בכל יום הוא מייצר ‪ 5‬מכוניות‬
‫‪ . a 20‬לכן‪ 3 ,‬מפעלים מייצרים ב‪ 6-‬ימים ‪ 5 · 3 · 6‬מכוניות‪ ,‬כלומר ‪ 90‬מכוניות‪ ,‬והתשובה הנכונה היא (‪.)3‬‬
‫‪4 = 5k‬‬
‫‪.6‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫בקופסה היו ‪ 20‬כובעים לבנים ו‪ 13-‬כובעים שחורים‪ .‬יעקב הוציא מהקופסה באקראי ‪ 3‬כובעים בזה אחר זה‪ ,‬בלי‬
‫להחזירם לקופסה‪ ,‬ושלושתם היו שחורים‪.‬‬
‫מה ההסתברות שגם הכובע הרביעי שיוציא באקראי יהיה שחור?‬
‫(‪)1‬‬
‫‪13‬‬
‫‪33‬‬
‫‪10‬‬
‫(‪33 )2‬‬
‫(‪13 )3‬‬
‫(‪1 )4‬‬
‫‪33‬‬
‫יש לחשב את ההסתברות שיעקב יוציא כובע שחור‪ ,‬לאחר שכבר הוציא שלושה כובעים שחורים‪ .‬ההסתברות לכך‬
‫היא מספר הכובעים השחורים שנותרו בקופסה חלקי סך כל הכובעים (שחורים ולבנים) שנותרו בקופסה‪.‬‬
‫לאחר שהוצאו שלושה כובעים שחורים‪ ,‬נותרו בקופסה ‪ 10‬כובעים שחורים ו‪ 20-‬כובעים לבנים‪ ,‬כלומר‪ :‬מתוך ‪30‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ , 10‬והתשובה הנכונה‬
‫הכובעים שבקופסה ‪ 10‬הם שחורים‪ .‬לכן‪ ,‬ההסתברות שיעקב יוציא כעת כובע שחור היא ‪30 = 3‬‬
‫היא (‪.)3‬‬
‫‪65‬‬
‫חשיבה כמותית‬
‫שאלות אלגברה לא מילוליות‬
‫‪2x · 2y = 32‬‬
‫‪ .1‬נתון‪:‬‬
‫‬
‫?=‪x+y‬‬
‫(‪) 1‬‬
‫(‪)2‬‬
‫(‪)3‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪8‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫לפי חוקי החזקות‪ ,‬במכפלה של חזקות בעלות אותו בסיס אפשר לחבר את המעריכים‪ ,‬לכן ‪ 2x · 2y = 2x + y‬ולכן‬
‫לפי הנתון ‪ .2x + y = 32‬כדי שנוכל למצוא את ערך הביטוי ‪ ,x + y‬נבטא את ‪ 32‬כחזקה שבסיסה ‪ .32 = 25 :2‬מכאן‬
‫ש‪ .2x + y = 25 -‬כאשר שתי חזקות הן שוות ובעלות אותו בסיס‪ ,‬גם המעריכים שלהן שווים‪ ,‬ולכן ‪.x + y = 5‬‬
‫התשובה הנכונה היא (‪.)3‬‬
‫‪ .2‬הממוצע של שלושת המספרים ‪ y ,x‬ו‪ z-‬הוא ‪. x · y‬‬
‫‬
‫? = ‪z‬‬
‫(‪) 1‬‬
‫(‪)2‬‬
‫(‪)3‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪3·x·y – x – y‬‬
‫‪x·y – x – y‬‬
‫‪3·x·y + x + y‬‬
‫)‪3 · x · y – (x – y‬‬
‫‪x+y+z‬‬
‫ממוצע הוא סכום האיברים חלקי מספרם‪ ,‬ולכן הממוצע של ‪ y ,x‬ו‪ z-‬הוא‬
‫‪3‬‬
‫‪x+y+z‬‬
‫; נכפיל את שני האגפים ב‪; x + y + z = 3 · x · y :3-‬‬
‫נציב במשוואה את נתוני השאלה‪= x $ y :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.‬‬
‫ונבודד את ‪. z = 3 · x · y – x – y :z‬‬
‫לכן התשובה הנכונה היא (‪.)1‬‬
‫‪ .3‬לכל שני מספרים ‪ a‬ו‪ b-‬הוגדרה הפעולה ‪ $‬כך‪:‬‬
‫)‪$(a , b) = a · (a + b‬‬
‫‬
‫‬
‫? = )‪$($(2 , 0) , 1‬‬
‫‬
‫(‪20 )1‬‬
‫(‪12 )2‬‬
‫(‪10 )3‬‬
‫בביטוי )‪ ,$($(2 , 0) , 1‬שאת ערכו יש למצוא‪. b = 1 ,a = $(2 , 0) ,‬‬
‫לפי הגדרת הפעולה‪.$($(2 , 0) , 1) = $(2 , 0) · ($(2 , 0) + 1) :‬‬
‫אם כן‪ ,‬כדי לחשב את ערך הביטוי המבוקש יש לחשב תחילה את )‪.$(2 , 0‬‬
‫לפי הגדרת הפעולה‪.$(2 , 0) = 2 · (2 + 0) = 4 :‬‬
‫נציב את הערך שקיבלנו עבור )‪ $(2 , 0‬בביטוי המבוקש ונקבל‪.$($(2 , 0) , 1) = $(4 , 1) :‬‬
‫לפי הגדרת הפעולה‪ ,$(4 , 1) = 4 · (4 + 1) = 20 :‬והתשובה הנכונה היא (‪.)1‬‬
‫‪66‬‬
‫(‪4 )4‬‬
‫חוברת הדרכה‬
‫‪ .4‬נתון‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫בחינת הכניסה הפסיכומטרית לאוניברסיטאות‬
‫‪B<C‬‬
‫‪B<D<A‬‬
‫איזו מן האפשרויות הבאות נכונה בהכרח?‬
‫(‪) 1‬‬
‫(‪)2‬‬
‫(‪)3‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪C<D‬‬
‫‪D<C‬‬
‫‪C<A‬‬
‫אף אחת מהאפשרויות הנ"ל אינה בהכרח נכונה‬
‫מהנתונים אי‪-‬אפשר להסיק דבר בנוגע ליחס הגדלים בין ‪ C‬ל‪ A-‬ול‪ .D-‬שלושה מצבים אפשריים לפי הנתונים‪:‬‬
‫א‪B < C < D < A .‬‬
‫ב‪B < D < C < A .‬‬
‫ג‪B < D < A < C .‬‬
‫אפשרות (‪ )1‬נכונה במצב א'‪ ,‬אך לא במצבים ב' ו‪-‬ג'‪ .‬אפשרות (‪ )2‬נכונה במצבים ב' ו‪-‬ג'‪ ,‬אך לא במצב א'‪.‬‬
‫אפשרות (‪ )3‬נכונה במצבים א' ו‪-‬ב'‪ ,‬אך לא במצב ג'‪ .‬אם כן‪ ,‬כל אחת מהאפשרויות עשויה להיות נכונה במצבים‬
‫מסוימים‪ ,‬ועשויה להיות שגויה במצבים אחרים‪.‬‬
‫לכן אף אחת מהאפשרויות (‪ )3(-)1‬אינה בהכרח נכונה‪ ,‬והתשובה הנכונה היא (‪.)4‬‬
‫‪ K .5‬הוא מספר זוגי‪ ,‬ו‪ P-‬הוא מספר אי‪-‬זוגי‪.‬‬
‫‬
‫איזו מן הטענות הבאות אינה נכונה?‬
‫(‪) 1‬‬
‫(‪)2‬‬
‫(‪)3‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪ P – K – 1‬הוא מספר אי‪-‬זוגי‬
‫‪ P + K + 1‬הוא מספר זוגי‬
‫‪ P · K + P‬הוא מספר אי‪-‬זוגי‬
‫‪ P2 + K2 + 1‬הוא מספר זוגי‬
‫נבדוק כל אחת מהטענות‪:‬‬
‫(‪ ) 1‬ההפרש בין מספר אי‪-‬זוגי )‪ (P‬למספר זוגי )‪ (K‬הוא מספר אי‪-‬זוגי‪ ,‬ולכן ‪ P – K‬הוא מספר אי‪-‬זוגי‪.‬‬
‫אם נפחית ‪ 1‬מהמספר האי‪-‬זוגי שהתקבל‪ ,‬נקבל מספר זוגי‪.‬‬
‫‬
‫לכן ‪ P – K – 1‬הוא מספר זוגי‪ ,‬והטענה אינה נכונה‪.‬‬
‫‬
‫(‪ )2‬סכום של מספר אי‪-‬זוגי )‪ (P‬ומספר זוגי )‪ (K‬הוא מספר אי‪-‬זוגי‪ ,‬ולכן ‪ P + K‬הוא מספר אי‪-‬זוגי‪ .‬אם נוסיף ‪1‬‬
‫למספר האי‪-‬זוגי שהתקבל‪ ,‬נקבל מספר זוגי‪ .‬לכן ‪ P + K + 1‬הוא מספר זוגי‪ ,‬והטענה נכונה‪.‬‬
‫(‪ )3‬מכפלה של מספר זוגי במספר שלם כלשהו היא זוגית‪ ,‬לכן המכפלה ‪ P · K‬היא מספר זוגי‪ .‬אם נוסיף למכפלה‬
‫הזוגית שהתקבלה את המספר האי‪-‬זוגי ‪ ,P‬נקבל מספר אי‪-‬זוגי‪ .‬לכן ‪ P · K + P‬הוא מספר אי‪-‬זוגי‪ ,‬והטענה‬
‫נכונה‪.‬‬
‫(‪ )4‬ריבוע של מספר אי‪-‬זוגי )‪ (P2‬הוא מספר אי‪-‬זוגי‪ ,‬כי הוא מכפלה של מספר אי‪-‬זוגי במספר אי‪-‬זוגי )‪,(P · P‬‬
‫וריבוע של מספר זוגי )‪ (K2‬הוא מספר זוגי‪ ,‬כי הוא מכפלה של מספר זוגי במספר זוגי )‪ .(K · K‬סכום שני‬
‫הריבועים )‪ (P2 + K2‬הוא אי‪-‬זוגי כי הוא סכום של מספר אי‪-‬זוגי ומספר זוגי‪ ,‬ולכן‪ ,‬כשנוסיף לו ‪ 1‬נקבל מספר זוגי‪.‬‬
‫‪ P2 + K2 + 1‬הוא אפוא מספר זוגי‪ ,‬והטענה נכונה‪.‬‬
‫בשאלה זו יש לסמן את הטענה שאינה נכונה‪ ,‬ולכן (‪ )1‬היא התשובה הנכונה‪.‬‬
‫‪67‬‬
‫‪a‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ 300‬מ'‬
‫)‪(x,y‬‬
‫גאומטריה‬
‫)‪ A(0,3‬שאלות‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫)‪(11,4‬‬
‫)‪(11,4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪50‬‬
‫)‪(x,y‬מ'‬
‫)‪(1,4‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫)‪(1,4‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ 12‬מ'‬
‫‪D‬‬
‫‪ 215‬מ'‬
‫‪400‬‬
‫‪300‬‬
‫‪85‬‬
‫‪ 8‬מ'‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪85‬‬
‫‪A‬‬
‫‪β‬‬
‫‪1.5a‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ 300‬מ'‬
‫‪ 400‬מ'‬
‫‪50‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ 300‬מ'‬
‫‪B‬‬
‫‪ 400‬מ'‬
‫‪C‬‬
‫‪ 100‬מ'‬
‫‪α‬‬
‫‪ 700‬מ'‬
‫‪A‬‬
‫‪ 300‬מ'‬
‫‪A‬‬
‫‪ 300‬מ'‬
‫‪ 300‬מ' ‪00‬‬
‫‪ 3‬מ'‬
‫‪ 8‬מ'‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫)‪A(0,2‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪β‬‬
‫‪ 1‬ס"מ‬
‫‪β‬‬
‫)‪B(1,0‬‬
‫‪C‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪C‬‬
‫‪2β‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪DC‬‬
‫‪60°‬‬
‫עברית‬
‫‪60°‬‬
‫‪O‬‬
‫‪x°‬‬
‫‪68‬‬
‫‪ 8‬מ'‬
‫(‪) 1‬‬
‫(‪)2‬‬
‫(‪)3‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪45°‬‬
‫‪30°‬‬
‫‪25°‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ 8‬מ'‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 1‬מ'‬
‫‬
‫‬
‫לפי נתונים אלה והנתונים שבסרטוט‪,‬‬
‫)‪(0,0‬‬
‫)‪B(1,0‬‬
‫?=‪a‬‬
‫‪ 12‬מ'‬
‫‪ 1‬מ'‬
‫‪y‬‬
‫אם כן‪ ,‬שטח הטרפז הוא ‪ 120‬מ"ר‪ ,‬והתשובה הנכונה היא (‪.)2‬‬
‫‪D‬‬
‫‪x‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ 12‬מ'‬
‫ס"מ‬
‫‪10‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪0‬‬
‫‪CD‬‬
‫‪ 12‬מ'‬
‫‪ 400‬מ'‬
‫‪x°‬‬
‫‪D‬‬
‫= ‪EC‬‬
‫שלפניכם ‪2 ABC‬‬
‫‪5‬‬
‫הוא משולש ישר‪-‬זווית‬
‫‪ .2‬בסרטוט‬
‫ו‪ ABD-‬הוא משולש שווה‪-‬שוקיים )‪.(AB = AD‬‬
‫‬
‫‪00‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ 3‬מ'‬
‫‪ 400‬מ'‬
‫‪ 1‬מ'‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫אם כן‪ ,‬אורך הבסיס הגדול הוא ‪ 18‬מ' )‪ 6‬מ' ‪ 12 +‬מ'(‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪^12 + 18h $ 8‬‬
‫=‪S‬‬
‫=‬
‫‪120‬‬
‫הטרפז‪:‬‬
‫נחשב את שטח‬
‫)‪A(0,2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪B‬‬
‫‪0‬‬
‫הנתונים‪102 − 82 = 6 :‬‬
‫נציב את‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ 1‬מ'‬
‫נבודד את ‪DC2 − DE2 :EC‬‬
‫‪B‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪00‬‬
‫‪ 400‬מ'‬
‫‪α‬‬
‫‪^a + bh $ h‬‬
‫‪a‬‬
‫‪.S‬‬
‫הנוסחה לחישוב שטח טרפז שבסיסו האחד ‪ ,a‬בסיסו האחר ‪ b‬וגובהו ‪ h‬היא‪:‬‬
‫=‬
‫‪C β‬‬
‫‪2β‬‬
‫‪2‬‬
‫הטרפז הנתון הוא ישר‪-‬זווית ולכן השוק המאונכת לבסיסים שווה לגובה הטרפז‪C .‬‬
‫הבסיס‬
‫בסרטוט נתונים‪D‬הגובה ואורך ‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪0‬‬
‫לבסיס ‪BC‬‬
‫‪D‬‬
‫מהנקודה‬
‫הקטן אך לא נתון אורך הבסיס הגדול‪ .‬כדי לחשב את אורך הבסיס הגדול נוריד אנך‬
‫‪50‬‬
‫מ'‬
‫(‪ DE‬בסרטוט להלן)‪ .‬מתקבל מלבן ‪ ABED‬שאורכו ‪ 12‬מ'‪A‬‬
‫ורוחבו ‪ 8‬מ'‪ ,‬ולכן ‪.DE = 8 ,BE = 12‬‬
‫‪0‬‬
‫‪50‬‬
‫מ'‬
‫כדי למצוא את אורך‪A‬הבסיס הגדול של הטרפז נותר רק לחשב את אורכו של ‪.EC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ 400‬מ'‬
‫‪2B‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A‬‬
‫אפשר לעשות זאת בעזרת משפט פיתגורס‪ .‬במשולש ישר‪-‬הזווית ‪O B DC = DE + EC :DEC‬‬
‫= ‪EC‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ 100‬מ'‬
‫‪A‬‬
‫‪ 300‬מ'‬
‫זכא‬
‫לת‬
‫‪250‬‬
‫‪215‬‬
‫‪250‬‬
‫‪65‬‬
‫‪A‬‬
‫זכאים‬
‫לתואר‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪1.5a‬‬
‫‪ 12‬מ'‬
‫‪165‬‬
‫‪B‬‬
‫‪α‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 8‬מ'‬
‫(‪) 1‬‬
‫(‪)2‬‬
‫(‪)3‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪150‬‬
‫‪120‬‬
‫‪108‬‬
‫‪96‬‬
‫‪β‬‬
‫‪B‬‬
‫‪300‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪C(4,0‬‬
‫‪A‬‬
‫‪250‬‬
‫‪ 1‬מ'‬
‫‬
‫‬
‫‪D‬‬
‫‪C(4,0) x‬‬
‫‪B‬‬
‫לפי נתונים אלה והנתונים שבסרטוט‪,‬‬
‫הטרפז (במ"ר)?‬
‫מה שטח‬
‫‪C‬‬
‫זכאים‬
‫לתואר‬
‫‪A‬‬
‫‪ 400‬מ'‬
‫‪ .1‬בסרטוט‪x‬שלפניכם טרפז ישר‪-‬זווית )‪.(AD || BC‬‬
‫ז‬
‫ל‬
‫‪00‬‬
‫)‪A(0,3‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ 3‬מ'‬
‫)‪BA(4,3‬‬
‫‪C‬‬
‫‪300‬‬
‫‪0‬‬
‫חשיבה כמותית‬
‫)‪B(4,3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪300‬‬
‫‪ 1‬מ'‬
‫‪α‬‬
‫‪ 400‬מ'‬
‫‪x°‬‬
‫‪ 10‬ס"מ‬
‫סכום הזוויות במשולש הוא ‪ .180°‬לכן‪ ,‬במשולש ‪ ABC‬מתקיים ‪. 90° + 2b + b = 180°‬‬
‫נפתור את המשוואה ונקבל ‪.b = 30°‬‬
‫)‪A(0,2‬‬
‫‪y‬‬
‫נתון כי המשולש ‪ ABD‬הוא שווה‪-‬שוקיים‪ .‬מכך נובע כי ‪.«ABD = «ADB‬‬
‫)‪A(0,2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ «ABD = 2b = 60°‬ולכן גם ‪.«ADB = 60°‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫במשולש ‪ ABD‬מתקיים ‪D,«BAD + «ABD + «ADB = 180°‬כלומר ‪. «BAD = 180° – «ABD – «ADB‬‬
‫)‪A(0,2‬‬
‫נציב את ערכי הזוויות שכבר חישבנו ונקבל ‪5 – 60° = 60°‬‬
‫‪. «BAD 2= 180° – 60°‬‬
‫)‪ .60° + aA(0,2‬לכן ‪,a = 30°‬‬
‫‪ .«BAD‬נציב את ערכי הזוויות הידועות ונקבל ‪= 90°‬‬
‫‪+ a = «BAC‬‬
‫לפי הסרטוט‪,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪C‬‬
‫והתשובה הנכונה היא (‪.)3‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪(0,0‬‬
‫)‪B(1,0‬‬
‫)‪B(1,0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1‬ס"מ‬
‫‪x‬‬
‫)‪(0,0‬‬
‫)‪B(1,0‬‬
‫)‪B(1,0‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪1‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ 1‬ס"מ‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪α‬‬
‫בחינת הכניסה הפסיכומטרית לאוניברסיטאות‬
‫חוברת הדרכה‬
‫‪β‬‬
‫‪2β‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ .3‬בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו ‪ O‬ורדיוסו ‪ 10‬ס"מ‪.‬‬
‫נתון‪ :‬השטח הכהה שווה ל‪ 16 -‬משטח המעגל‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫לפי נתונים אלה והנתונים שבסרטוט‪,‬‬
‫מה אורך הקשת המודגשת (בס"מ)?‬
‫‬
‫(‪30 π )1‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪O‬‬
‫‪x°‬‬
‫‪20π‬‬
‫(‪3 )3‬‬
‫‪40π‬‬
‫(‪3 )2‬‬
‫)‪A(0,2‬‬
‫‪ 10‬ס"מ‬
‫(‪20 π )4‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪(11,‬‬
‫‪C‬‬
‫)‪(x,y‬‬
‫‪B‬‬
‫אורך הקשת המודגשת שווה להיקף המעגל כולו‪ ,‬פחות אורך הקשת שאינה מודגשת‪ .‬כדי למצוא את אורכה של‬
‫‪D‬‬
‫הקשת שאינה מודגשת‪ ,‬יש למצוא את גודל הזווית המרכזית שנשענת עליה‪ .‬גודל זווית זו הוא ‪( x° + 60°‬כפי שנתון‬
‫בסרטוט)‪ x .‬היא זווית הראש של הגזרה הכהה‪ ,‬ואת גודלה אפשר למצוא בעזרת )‪A(0,2‬‬
‫הנוסחה לחישוב שטח גזרת מעגל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. πr2 $ 360‬‬
‫‪D‬‬
‫‪2 C‬‬
‫נתון ששטח הגזרה הכהה שווה ל‪ 16 -‬משטח המעגל‪ ,‬כלומר ל‪( π6r -‬שהרי שטח המעגל כולו שווה ל‪,)πr2 -‬‬
‫‪ 1‬ס"מ‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(0,0) x‬‬
‫)‪B(1,0‬‬
‫)‪B(1,0‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫ולכן נקבל את המשוואה ‪= π16r‬‬
‫‪ . πr2 $ 360‬נצמצם את שני האגפים ב‪, 360 = 6 :πr -‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ . x = 360‬אם כן‪ ,‬גודל הזווית המרכזית שעליה נשענת הקשת שאינה מודגשת הוא‬
‫ונבודד את ‪6 = 60 :x‬‬
‫‪300‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ , 2πr $ 120‬כלומר ‪ 13‬מהיקף המעגל‪.‬‬
‫‪ ,x° + 60° = 60° + 60° = 120°‬ואורך הקשת הנשענת על זווית זו הוא ‪360 = 2πr $ 3‬‬
‫לכן‪ ,‬אורך הקשת המודגשת הוא ‪ 23‬מהיקף המעגל‪.‬‬
‫עברית‬
‫זכאים‬
‫לתואר‬
‫היקף המעגל (בס"מ) הוא ‪ 2pr = 2p · 10 = 20p‬ולכן ‪ 23‬מהיקף המעגל הוא ‪. 23 $ 20π = 403π‬‬
‫)‪(1,4‬‬
‫‪215‬‬
‫‪ 40π‬ס"מ‪ ,‬והתשובה הנכונה היא (‪.)2‬‬
‫‪ A‬כלומר‪ ,‬אורך הקשת המודגשת הוא ‪3‬‬
‫‪250‬‬
‫‪300‬‬
‫‪ .4‬המרחק בין הנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬הוא ‪ 400‬מטר‪.‬‬
‫מכאן נובע שהמרחק בין הנקודות ‪ A‬ו‪ C-‬הוא בהכרח ‪-‬‬
‫‬
‫‪ 300‬מטר‪.‬‬
‫‪50‬‬
‫‪ B‬ו‪ C-‬הוא‪165‬‬
‫המרחק בין הנקודות‪85‬‬
‫‬
‫‪β‬‬
‫זכאים‬
‫לתואר‬
‫(‪ ) 4‬אי‪-‬אפשר לדעת‬
‫(‪ 700 )3‬מטר‬
‫(‪ 500 )2‬מטר‬
‫(‪ 100 )1‬מטר‬
‫לפי הנתונים‬
‫‬
‫‪215‬‬
‫הנקודות‪ ,‬וייתכנו מצבים רבים‪,‬‬
‫הנתונים בשאלה זו אינם מספקים מידע בנוגע למקומן היחסי של שלוש ‪250‬‬
‫כמו‪:‬‬
‫‪1.5a‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ 300‬מ'‬
‫‪ 400‬מ'‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ 300‬מ'‬
‫‪ 100‬מ'‬
‫‪C‬‬
‫‪ 400‬מ'‬
‫‪C‬‬
‫‪00‬‬
‫‪ 300‬מ'‬
‫‪0‬‬
‫‪50‬‬
‫מ'‬
‫‪ 3‬מ'‬
‫‪A‬‬
‫‪ 700‬מ'‬
‫‪A‬‬
‫מתאים לתשובה (‪)3‬‬
‫מתאים לתשובה (‪)1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ 400‬מ'‬
‫‪A‬‬
‫‪ 400‬מ'‬
‫מתאים לתשובה (‪)2‬‬
‫לא מתאים לאף אחת‬
‫מהתשובות (‪)3(-)1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪69‬‬
‫‪ 8‬מ'‬
‫‪ 8‬מ'‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 1‬מ'‬
‫אינו מתקיים‪ 12‬מ'‬
‫בהכרח‪.‬‬
‫ייתכנו‪ ,‬וכן מצבים‬
‫כל המצבים האלה‬
‫‪ 12‬מ'‬
‫רבים אחרים‪A,‬אך אף אחד מהם ‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫לכן התשובה הנכונה היא (‪.)4‬‬
‫‪ 1‬מ'‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫חשיבה כמותית‬
‫‪60°‬‬
‫‪x°‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 300‬מ'‬
‫‪.ABCD‬‬
‫‪ .5‬במערכת הצירים שלפניכם נתון ריבוע‬
‫)‪A(0,2‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ 400‬מ'‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫)‪A(0,2‬‬
‫‪ 8‬מ'‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫)‪(0,0‬‬
‫‪C‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ 8‬מ'‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪C‬‬
‫אי‪-‬אפשר לדעת לפי הנתונים‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫)‪B(1,0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 12‬מ'‬
‫‪ 1‬מ'‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ 12‬מ'‬
‫‪A‬‬
‫‪0‬‬
‫(‪) 1‬‬
‫(‪)2‬‬
‫(‪)3‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ 400‬מ'‬
‫‪ 1‬מ'‬
‫שטח הריבוע?‬
‫מה ‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫)‪B(1,0‬‬
‫‪α‬‬
‫)‪A(0,2‬‬
‫‪2β‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫ראשית הצירים והנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬יוצרים משולש ישר זווית ש‪ AB-‬הוא היתר בו‪ .‬אורך עברית‬
‫הניצב האחד הוא המרחק בין ראשית הצירים )‪ (0 , 0‬לנקודה )‪ ,A(0 , 2‬כלומר ‪ ,2‬ואורך‬
‫= ‪. 22 + 12‬‬
‫אם כן‪ ,‬אורך צלע הריבוע הוא ‪ , 5‬ומכאן ששטח הריבוע הוא ‪. ^ 5 h = 5‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪2‬‬
‫לכן התשובה הנכונה היא (‪.)3‬‬
‫)‪B(1,0‬‬
‫(‪3 )3‬‬
‫)‪B(1,0‬‬
‫‪1‬‬
‫(‪ 4 )4‬ס"מ‬
‫‪3‬‬
‫‪110‬ס"מ‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫(‪ 2 )2‬ס"מ‬
‫ס"מ‬
‫)‪(0,0‬‬
‫)‪A(0,2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(0,0‬‬
‫‪C‬‬
‫‪O‬‬
‫‪x°‬‬
‫)‪A(0,2‬הוא משולש ישר‪-‬זווית‪ BD .‬חוצה את הזווית ‪.«ABC‬‬
‫‪ .6‬בסרטוט שלפניכם ‪ABC‬‬
‫‪y‬‬
‫לפי נתונים אלה והנתונים שבסרטוט‪,‬‬
‫‬
‫‪D‬‬
‫? = ‪AD‬‬
‫‬
‫(‪ 1 )1‬ס"מ‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫הניצב האחר הוא המרחק בין ראשית הצירים )‪ (0 , 0‬לנקודה )‪ ,B(1 , 0‬כלומר ‪.1‬‬
‫לפי משפט פיתגורס‪ ,‬אורך היתר ‪ AB‬הוא ‪5‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪B(1,0‬‬
‫‪ 1‬ס"מ‬
‫‪60°‬‬
‫‪C‬‬
‫סכום הזוויות במשולש הוא ‪ 180°‬ולכן ‪ .«BAD = 30°‬מהנתון ש‪ BD-‬חוצה את הזווית ‪ «ABC‬נובע‬
‫ש‪ .«ABD = 30°-‬במשולש ‪ ,«BAD = «ABD ,ADB‬ולכן ‪ ADB‬הוא משולש שווה‪-‬שוקיים שבו ‪.AD = BD‬‬
‫‪ BD‬הוא גם יתר במשולש ‪ .BDC‬משולש זה הוא משולש ‪ ,30° 60° 90°‬ולכן ‪ 2‬ס"מ = ‪.BD = 2 · CD = 2 · 1‬‬
‫עברית‬
‫מכיוון ש‪ ,AD = BD-‬גם ‪ 2‬ס"מ = ‪ AD‬והתשובה הנכונה היא (‪.)2‬‬
‫‪70‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫=‪4+1‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ 1‬ס"מ‬
‫כדי לחשב את שטח הריבוע יש למצוא את אורך הצלע שלו‪ .‬אורך הצלע הוא המרחק‬
‫בין כל שני קדקודים סמוכים‪ ,‬למשל ‪ A‬ו‪ .B-‬מכיוון שהקטע ‪ AB‬אינו מקביל לאף אחד‬
‫‪β‬‬
‫מהצירים‪ ,‬נחשב את אורכו בעזרת משפט פיתגורס‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ 10‬ס"מ‬
‫‪ 3‬מ'‬
‫‪A‬‬
‫‪00‬‬
‫‪50‬‬
‫מ'‬
‫‪B‬‬
‫‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫חוברת הדרכה‬
‫בחינת הכניסה הפסיכומטרית לאוניברסיטאות‬
‫‪ .7‬נוזל הממלא תיבה שממדיה הם ‪ 2‬ס"מ ‪ 10 x‬ס"מ ‪ 20 x‬ס"מ‪ ,‬נמזג כולו לכלי בצורת גליל שרדיוס בסיסו ‪ 5‬ס"מ‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫עד איזה גובה (בס"מ) יגיעו פני הנוזל בכלי הגלילי?‬
‫(‪)1‬‬
‫‪16‬‬
‫‪π‬‬
‫‪40‬‬
‫(‪π )2‬‬
‫(‪8 π )3‬‬
‫(‪8 )4‬‬
‫נפח תיבה הוא מכפלת שלושת ממדיה‪ ,‬ולכן נפח הנוזל בתיבה הוא ‪ 20 · 10 · 2‬סמ"ק‪ ,‬כלומר ‪ 400‬סמ"ק‪ .‬לאחר‬
‫מזיגתו לכלי שצורתו גליל‪ ,‬נפח הנוזל נשאר כשהיה‪ .‬כעת יש למצוא מה יהיה גובהו של גליל שרדיוס בסיסו ‪ 5‬ס"מ‬
‫ונפחו ‪ 400‬סמ"ק ‪ -‬גובה זה הוא הגובה שאליו יגיע הנוזל בגליל‪.‬‬
‫הנוסחה לנפח גליל היא ‪ ,V = πr2 · h‬ויש למצוא את ‪ h‬כאשר ‪ 5‬ס"מ = ‪ 400 , r‬סמ"ק = ‪.V‬‬
‫נציב את הנתונים בנוסחה לחישוב הנפח‪400 = π · 52 · h = π · 25 · h :‬‬
‫‪ ,h = 400 = 16‬והתשובה הנכונה היא (‪.)1‬‬
‫כדי לבודד את ‪ h‬נחלק את שני האגפים ב‪ 25π-‬ונקבל‬
‫‪25π π‬‬
‫‪71‬‬
‫חשיבה כמותית‬
‫שאלות הסקה מתרשים או מטבלה‬
‫השאלות האלה עוסקות במידע הניתן בתרשים או בטבלה‪ .‬בדרך כלל התרשים או הטבלה מלווים בהסבר קצר‪.‬‬
‫בטבלה מוצגים נתונים המסודרים בעמודות ובשורות‪ .‬בתרשים הנתונים מוצגים בצורה גרפית כלשהי ‪ -‬בגרף‪,‬‬
‫בדיאגרמת עמודות וכו'‪ .‬לפניכם תרשים וטבלה לדוגמה‪ ,‬ואחרי כל אחד מהם כמה שאלות המלוות בהסברים‪.‬‬
‫הסקה מתרשים‬
‫עיינו היטב בתרשים שלפניכם‪ ,‬וענו על השאלות שאחריו‪.‬‬
‫בתרשים נתונים על ארבע טכנולוגיות שונות לייצור מנוע מסוים‪.‬‬
‫כל טכנולוגיה מסומנת באות (א'‪-‬ד') ומיוצגת בתרשים על ידי מתחם סגור‪ .‬כל נקודה במתחם מייצגת את ההספק‬
‫והמחיר של מנוע שאפשר לייצר בטכנולוגיה המתאימה‪.‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬בטכנולוגיה א' אפשר לייצר מנוע שהספקו ‪ 750‬כוחות סוס במחיר של ‪ 8,500‬דולר‪ ,‬אך אי‪-‬אפשר לייצר מנוע‬
‫בעל אותו הספק במחיר של ‪ 5,000‬דולר‪.‬‬
‫הערה‪ :‬לטכנולוגיות א' ו‪-‬ב' יש תחום המשותף לשתיהן‪ ,‬וכך גם לטכנולוגיות ב' ו‪-‬ג'‪.‬‬
‫מחיר המנוע‬
‫)באלפי דולרים(‬
‫‪10‬‬
‫עברית‬
‫‪9‬‬
‫א‬
‫ערבית‬
‫‪8‬‬
‫‪7‬‬
‫ב‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫ג‬
‫ד‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000‬‬
‫‪900 1000‬‬
‫הספק המנוע )בכוחות סוס(‬
‫מחיר המנוע‬
‫)באלפי דולרים(‬
‫סרטוט ‪I‬‬
‫שימו לב‪ :‬בתשובתכם לכל שאלה‪ ,‬התעלמו מנתונים המופיעים בשאלות האחרות‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫‪9‬‬
‫א‬
‫‪8‬‬
‫‪7‬‬
‫ב‬
‫ד‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫ג‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000‬‬
‫‪72‬‬
‫הספק המנוע )בכוחות סוס(‬
‫מחיר המנוע‬
‫סרטוט ‪II‬‬
‫מחיר המנוע‬
‫)באלפי דולרים(‬
‫הפסיכומטרית לאוניברסיטאות‬
‫הכניסה‬
‫בחינת‬
‫המנוע‬
‫מחיר‬
‫חוברת הדרכה‬
‫)באלפי דולרים(‬
‫‪10‬‬
‫עברית‬
‫‪9‬‬
‫א‬
‫השאלות ופתרונן‪:‬‬
‫ערבית‬
‫‪8‬‬
‫أ‬
‫‪7‬‬
‫ב‬
‫‪6‬‬
‫‪ .1‬מה טווח ההספקים (בכוחות סוס) של המנועים שאפשר לייצר גם בטכנולוגיה א' ‪5‬‬
‫וגם בטכנולוגיה ב'?‬
‫(‪) 1‬‬
‫(‪)2‬‬
‫(‪)3‬‬
‫(‪)4‬‬
‫ג‬
‫ד‬
‫‪5 00-400‬‬
‫‪600-500‬‬
‫‪700-600‬‬
‫עבריתהנ"ל‬
‫אף לא אחת מהאפשרויות‬
‫‪4‬‬
‫د‬
‫‪3‬‬
‫מחיר המנוע‬
‫)באלפי ‪2‬‬
‫דולרים(‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪9‬‬
‫ערבית‬
‫‪100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000‬‬
‫הספק המנוע )בכוחות סוס(‬
‫א‬
‫‪8‬‬
‫כדי לפתור שאלות הסקה מתרשים יש "לתרגם" את השאלה למונחים‬
‫של התרשים‪ ,‬ולמצוא בתרשים את המידע הדרוש‪ .‬השאלה עוסקת‬
‫ב‬
‫במנועים שאפשר לייצר גם בטכנולוגיה א' וגם בטכנולוגיה ב'‪ .‬מנועים‬
‫כאלה מיוצגים בתרשים על ידי השטח המשותף למתחמים המייצגים‬
‫ג‬
‫ד‬
‫את שתי הטכנולוגיות (השטח הכהה בסרטוט ‪ .)I‬כעת יש למצוא את‬
‫טווח ההספקים של המנועים האלה‪ .‬גבולותיו של השטח הכהה ביחס‬
‫לציר האופקי מייצגים את טווח הספקי המנועים שאפשר לייצר בשתי‬
‫הטכנולוגיות‪ .‬כפי שאפשר לראות בסרטוט‪ ,‬הגבולות הם בין ‪ 600‬ל‪700-‬‬
‫לייצר גם‬
‫שאפשר‬
‫המנוע‬
‫כוחות סוס‪ ,‬כלומר טווח ההספקים של המנועיםהספק‬
‫)בכוחות סוס(‬
‫בטכנולוגיה א' וגם בטכנולוגיה ב' הוא ‪ 700-600‬כוחות סוס‪ ,‬והתשובה‬
‫הנכונה היא (‪.)3‬‬
‫‪700 800 900 1000‬‬
‫‪7‬‬
‫סרטוט ‪IV‬‬
‫סרטוט ‪I‬‬
‫‪6‬‬
‫‪10‬‬
‫‪5‬‬
‫‪9‬‬
‫‪4‬א‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫סוס‪.‬‬
‫בשאלה זו נקודת המוצא היא מנוע בעל הספק של ‪ 650‬כוחות‬
‫המנוע‬
‫מחיר‬
‫‪900 1000‬‬
‫‪100‬‬
‫בשלב‪200‬‬
‫‪300 400 IV‬‬
‫סרטוט‪500‬‬
‫‪600‬‬
‫הציר ‪700 800‬‬
‫ראשון יש‬
‫לכן‬
‫האופקי‪,‬‬
‫ההספקים מיוצגים בתרשים על‬
‫הספק המנוע )בכוחות סוס(‬
‫)באלפי דולרים(‬
‫למצוא על הציר האופקי את הספק המנוע הרצוי‪ ,‬ובשלב שני יש ‪10‬‬
‫‪9‬‬
‫למצוא את המחיר הנמוך ביותר של מנוע בעל הספק זה‪ .‬נמתח קו‬
‫‪8‬‬
‫א‬
‫אנכי מהנקודה על הציר האופקי המייצגת הספק של ‪ 650‬כוחות‪7‬סוס‬
‫עד שהוא ייגע באחד מהמתחמים (ראו סרטוטב‪ .)II‬נקודת מגע זו‪ 6‬היא‬
‫‪5‬‬
‫הנקודה המייצגת את המחיר הנמוך ביותר של מנוע בעל הספק של‬
‫‪4‬‬
‫ד‬
‫ג‬
‫המתחם של‬
‫על גבול‬
‫‪ 650‬כוחות סוס‪ .‬נקודת המגע הנמוכה ביותר היא‬
‫‪3‬‬
‫טכנולוגיה ד'‪ ,‬והיא מייצגת מחיר של ‪ 2,000‬דולר ולכן זה המחיר ‪2‬‬
‫הנמוך‬
‫‪1‬‬
‫ביותר של מנוע בעל ההספק המבוקש‪ .‬אם כן‪ ,‬התשובה הנכונה‬
‫‪100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000‬‬
‫היא (‪.)2‬‬
‫הספק המנוע )בכוחות סוס(‬
‫د‬
‫‪7‬‬
‫‪3‬‬
‫ב‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫ד‬
‫‪1‬‬
‫أ‬
‫‪5‬‬
‫ג‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0 700 800 900 1000‬‬
‫ﻗﺪرة اﶈ‬
‫מחיר המנוע‬
‫‪100 200 300 400 I 500‬‬
‫‪600 700 800 900 1000‬‬
‫סרטוט‬
‫)באלפי דולרים(‬
‫הספק המנוע )בכוחות סוס(‬
‫‪0 800 900 1000‬‬
‫ﻗﺪرة اﶈ‬
‫‪10‬‬
‫מחיר ‪9‬‬
‫המנוע‬
‫דולרים(‬
‫)באלפי ‪8‬‬
‫סרטוט ‪II‬‬
‫א‬
‫‪ .2‬מה המחיר הנמוך ביותר שבו אפשר לייצר מנוע בעל הספק של‪ 650 10‬כוחות סוס?‬
‫‪9‬‬
‫‬
‫ב‬
‫א‬
‫‪8‬‬
‫א‬
‫(‪ 1,000 )1‬דולרים‬
‫‪7‬‬
‫ד‬
‫ב‬
‫(‪ 2,000 )2‬דולרים‬
‫‪6‬‬
‫ב‬
‫(‪ 1,500 )3‬דולרים‬
‫‪5‬‬
‫ד‬
‫‪4‬‬
‫(‪ 2,500 )4‬דולרים‬
‫ד‬
‫ג‬
‫‪3‬‬
‫أ‬
‫מחיר המנוע‬
‫)באלפי דולרים(‬
‫‪100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000‬‬
‫מחיר המנוע‬
‫)באלפי דולרים(‬
‫ﻗﺪرة اﶈ‬
‫‪10‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫ג‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‬
‫‪1‬‬
‫‪100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000‬‬
‫‪9‬‬
‫أ‬
‫‪8‬‬
‫‪7‬‬
‫أ‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(650,2‬‬
‫המנוע )בכוחות סוס(‬
‫הספק‬
‫‪00 800 900 1000‬‬
‫ﻗﺪرة اﶈ‬
‫‪1‬‬
‫)‪650,2‬‬
‫‪ 100‬המנוע‬
‫מחיר‬
‫‪200 300 400 II‬‬
‫סרטוט‪500‬‬
‫‪600 700 800 900 1000‬‬
‫)באלפי דולרים(‬
‫הספק המנוע )בכוחות סוס(‬
‫‪0 800 900 1000‬‬
‫ﻗﺪرة اﶈ‬
‫‪10‬‬
‫‪9‬‬
‫מחיר המנוע‬
‫‪8‬‬
‫)באלפי דולרים(‬
‫א סרטוט ‪III‬‬
‫‪10‬‬
‫‪7‬‬
‫ב‬
‫א‬
‫ד‬
‫)‪(650,2‬‬
‫‪69‬‬
‫‪58‬‬
‫ג‬
‫ב‬
‫ד‬
‫أ‬
‫أ‬
‫‪47‬‬
‫‪36‬‬
‫‪25‬‬
‫ג‬
‫‪100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000‬‬
‫)בכוחות סוס(‬
‫הספק המנוע‬
‫)‪(500,3‬‬
‫‪14‬‬
‫)‪650,2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪00 800 900 1000‬‬
‫‪2‬‬
‫ﻗﺪرة اﶈ‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‪0 800 900 1000‬‬
‫ﻗﺪرة اﶈ‬
‫מחיר המנוע‬
‫‪100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000‬‬
‫סרטוט ‪III‬‬
‫הספק המנוע )בכוחות סוס()באלפי דולרים(‬
‫‪10‬‬
‫‪9‬‬
‫א‬
‫‪8‬‬
‫أ‬
‫‪7‬‬
‫ב‬
‫ד‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫ג‬
‫)‪(500,3‬‬
‫أ‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪73‬‬
‫‪00 800 900 1000‬‬
‫ד‬
‫ג‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫חשיבה כמותית‬
‫‪100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000‬‬
‫הספק המנוע )בכוחות סוס(‬
‫סרטוט ‪IV‬‬
‫ﻗ‬
‫מחיר המנוע‬
‫)באלפי דולרים(‬
‫סרטוט ‪II‬‬
‫מחיר המנוע‬
‫‪00 1000‬‬
‫בטכנולוגיה ג'‪.‬‬
‫‪ .3‬בחברה אחת המייצרת מנועים הוחלט להפסיק את השימוש‬
‫)באלפי דולרים(‬
‫‪10‬‬
‫‪9‬‬
‫מה יהיה ההספק הנמוך ביותר (בכוחות סוס) של מנוע שמחירו‪ 3,000 9‬דולר שהחברה תוכל לייצר לאחר יישום‬
‫‬
‫‪8‬‬
‫א‬
‫ההחלטה?‬
‫‪8‬‬
‫א‬
‫‪7‬‬
‫‪10‬‬
‫‪7‬‬
‫(‪) 1‬‬
‫(‪)2‬‬
‫(‪)3‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪500‬‬
‫‪400‬‬
‫‪300‬‬
‫‬
‫אי‪-‬אפשר לייצר מנוע כזה‬
‫‬
‫ב‬
‫ד‬
‫ב‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫ג‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫ד‬
‫‪4‬‬
‫ג‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(650,2‬‬
‫מחיר המנוע‬
‫‪1‬‬
‫)באלפי דולרים(‬
‫‪1‬‬
‫‪100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000‬‬
‫‪100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000‬‬
‫הספק המנוע )בכוחות סוס(‬
‫מכיוון שנאמר בשאלה שהחברה תפסיק להשתמש בטכנולוגיה ג'‪,‬‬
‫נתעלם מהמתחם של טכנולוגיה זו‪ ,‬ונתייחס רק למתחמים האחרים‬
‫(השטחים הכהים בסרטוט ‪ .)III‬בשאלה זו נקודת המוצא היא מנוע‬
‫שמחירו ‪ 3,000‬דולר‪ .‬מחירי המנועים מוצגים בתרשים על הציר האנכי‪,‬‬
‫ולכן יש למצוא תחילה את הנקודה על הציר האנכי המייצגת מחיר של‬
‫‪ 3,000‬דולר‪ .‬ככל שנתקדם מנקודה זו ימינה כך יעלה ההספק‪ ,‬ולכן אם‬
‫נמתח קו אופקי מנקודה זו (ראו סרטוט ‪ ,)III‬נקודת המגע הראשונה‬
‫של הקו עם אחד מהמתחמים תייצג את ההספק הנמוך ביותר של‬
‫מנוע שמחירו ‪ 3,000‬דולר‪ .‬נקודת המגע הראשונה היא עם המתחם של‬
‫טכנולוגיה ד'‪ .‬נקודה זו נמצאת על הקו האנכי המתאים ל‪ 500-‬כוחות‬
‫סוס בציר האופקי‪ ,‬וזה ההספק הנמוך ביותר של מנוע שמחירו ‪3,000‬‬
‫דולר‪ .‬לכן התשובה הנכונה היא (‪.)1‬‬
‫‪10‬‬
‫עבריתהספק המנוע )בכוחות סוס(‬
‫סרטוט ‪ III‬א‬
‫‪7‬‬
‫ב‬
‫‪9‬‬
‫‪6‬‬
‫‪8‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7‬‬
‫ד‬
‫ד‬
‫ג‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫ג‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(500,3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪00 1000‬‬
‫‪100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000‬‬
‫ﻗ‬
‫הספק‪200 300‬‬
‫‪400 500 600 700 800 900 1000‬‬
‫המנוע‬
‫‪)100‬בכוחות סוס(‬
‫הספק המנוע )בכוחות סוס(‬
‫סרט‬
‫‪ .4‬לחברה מסוימת אסור לייצר מנועים שהספקם גבוה מ‪ 550-‬או שווה ל‪ 550-‬כוחות סוס‪.‬‬
‫באילו טכנולוגיות החברה יכולה להשתמש כדי לייצר את מנועיה?‬
‫‬
‫(‪) 1‬‬
‫(‪)2‬‬
‫(‪)3‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪8‬‬
‫‪10‬‬
‫ב‬
‫ﻗﺪ‬
‫‪9‬‬
‫מחיר המנוע‬
‫)באלפי דולרים(‬
‫א‬
‫‪00 1000‬‬
‫א‬
‫ב‬
‫ג' בלבד‬
‫ב' ו‪-‬ג' בלבד‬
‫ג' ו‪-‬ד' בלבד‬
‫ב'‪ ,‬ג' ו‪-‬ד' בלבד‬
‫ד‬
‫‪00 1000‬‬
‫ﻗ‬
‫‪0 600 700 800 900 1000‬‬
‫הספק המנוע )‬
‫נקודת המוצא היא מנוע שהספקו ‪ 550‬כוחות סוס‪ .‬נמצא את הנקודה‬
‫המייצגת הספק זה על הציר האופקי‪ ,‬ונמתח ממנה קו אנכי לכל גובה‬
‫התרשים (ראו סרטוט ‪ .)IV‬כל המנועים שמימין לקו זה הם בעלי הספק‬
‫גבוה מ‪ 550-‬כוחות סוס‪ ,‬וכל המנועים שמשמאל לקו הם בעלי הספק‬
‫נמוך מ‪ 550-‬כוחות סוס‪ .‬לחברה הנזכרת בשאלה מותר לייצר רק‬
‫מנועים שהספקם נמוך מ‪ 550-‬כוחות סוס‪ ,‬לכן היא יכולה להשתמש‬
‫רק בטכנולוגיות שהמתחם שלהן או חלק ממנו נמצא משמאל לקו‬
‫(השטחים הכהים בסרטוט ‪ .)IV‬משמאל לקו נמצא כל המתחם של‬
‫טכנולוגיה ג'‪ ,‬חלק מהמתחם של טכנולוגיה ב'‪ ,‬וחלק מהמתחם של‬
‫טכנולוגיה ד'‪ .‬לכן‪ ,‬החברה יכולה להשתמש בטכנולוגיות ב'‪ ,‬ג' ו‪-‬ד' לשם‬
‫ייצור מנועים שהספקם נמוך מ‪ 550-‬כוחות סוס‪ ,‬והתשובה הנכונה‬
‫היא (‪.)4‬‬
‫סרטוט‬
‫מחיר המנוע‬
‫)באלפי דולרים(‬
‫סרטוט ‪IV‬‬
‫‪10‬‬
‫‪9‬‬
‫א‬
‫‪8‬‬
‫א‬
‫‪7‬‬
‫ב‬
‫ד‬
‫ב‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫ג‬
‫ד‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(650,2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪600 700 800 900 1000‬‬
‫‪100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000‬‬
‫הספק המנוע )בכוחות סוס(‬
‫הספק המנוע )‬
‫סרטוט‬
‫א‬
‫ב‬
‫‪74‬‬
‫ד‬
‫חוברת הדרכה‬
‫בחינת הכניסה הפסיכומטרית לאוניברסיטאות‬
‫הסקה מטבלה‬
‫עיינו היטב בטבלה שלפניכם‪ ,‬וענו על השאלות שאחריה‪.‬‬
‫בטבלה מוצגים נתונים של ‪ 10‬חברות העוסקות בענפים שונים‪ .‬החברות מסומנות באותיות ‪ A‬עד ‪.J‬‬
‫לכל חברה מצוינים‪ :‬הענף שבו היא עוסקת‪ ,‬נתונים על היקף המכירות שלה‪ ,‬נתונים על הרווחים שלה בשנה הנוכחית‪,‬‬
‫ערך נכסיה ומספר עובדיה‪.‬‬
‫לדוגמה‪ :‬חברה ‪ E‬עוסקת בענף האלקטרוניקה‪ ,‬מועסקים בה ‪ 400,000‬עובדים וערך נכסיה ‪ 90‬מיליון דולרים‪ .‬היקף‬
‫המכירות של החברה הסתכם ב‪ 70-‬מיליארד דולרים בשנה הנוכחית (שהם ‪ 9%‬יותר ממכירותיה בשנה שעברה)‪ ,‬והיא‬
‫הרוויחה ‪ 6,000‬מיליון דולרים (שהם ‪ 60%‬יותר מרווחיה בשנה שעברה)‪.‬‬
‫דוגמה לחישוב אחוז השינוי‪ :‬אם מכירות של חברה מסוימת היו ‪ 40‬מיליארד דולרים בשנה שעברה‪ ,‬והשנה הן עלו ל‪50-‬‬
‫מיליארד דולרים‪ ,‬אחוז השינוי בהשוואה לשנה שעברה הוא ‪− 40 $ 100 25%‬‬
‫‪. a 5040‬‬
‫‪k‬‬
‫רווחים‬
‫מכירות‬
‫רווחים‬
‫(במיליוני‬
‫דולרים)‬
‫אחוז השינוי‬
‫בהשוואה‬
‫לשנה שעברה‬
‫ערך נכסים‬
‫(במיליוני‬
‫דולרים)‬
‫מספר‬
‫עובדים‬
‫(באלפים)‬
‫אחוז השינוי‬
‫מכירות‬
‫בהשוואה‬
‫(במיליארדי‬
‫לשנה שעברה‬
‫דולרים)‬
‫‪-1.5%‬‬
‫‪-2,000‬‬
‫‪-150%‬‬
‫‪180‬‬
‫‪750‬‬
‫‪6,500‬‬
‫‪0%‬‬
‫‪100‬‬
‫‪150‬‬
‫‪40%‬‬
‫‪390‬‬
‫‪100‬‬
‫‪180‬‬
‫‪350‬‬
‫‪400‬‬
‫החברה‬
‫הענף‬
‫‪A‬‬
‫רכב‬
‫‪125‬‬
‫‪B‬‬
‫נפט‬
‫‪110‬‬
‫‪25%‬‬
‫‪C‬‬
‫נפט‬
‫‪105‬‬
‫‪22%‬‬
‫‪5,000‬‬
‫‪D‬‬
‫רכב‬
‫‪100‬‬
‫‪1.5%‬‬
‫‪900‬‬
‫‪-80%‬‬
‫‪E‬‬
‫אלקטרוניקה‬
‫‪70‬‬
‫‪9%‬‬
‫‪6,000‬‬
‫‪60%‬‬
‫‪90‬‬
‫‪F‬‬
‫רכב‬
‫‪65‬‬
‫‪7%‬‬
‫‪3,000‬‬
‫‪15%‬‬
‫‪55‬‬
‫‪100‬‬
‫‪G‬‬
‫מתכות‬
‫‪60‬‬
‫‪25%‬‬
‫‪1,000‬‬
‫‪-20%‬‬
‫אין נתונים‬
‫‪400‬‬
‫‪H‬‬
‫נפט‬
‫‪60‬‬
‫‪20%‬‬
‫‪3,000‬‬
‫‪-15%‬‬
‫‪60‬‬
‫‪120‬‬
‫‪I‬‬
‫נפט‬
‫‪55‬‬
‫‪15%‬‬
‫‪2,000‬‬
‫‪7%‬‬
‫‪40‬‬
‫‪70‬‬
‫‪J‬‬
‫אלקטרוניקה‬
‫‪50‬‬
‫‪6%‬‬
‫‪4,500‬‬
‫‪10%‬‬
‫‪150‬‬
‫‪300‬‬
‫שימו לב‪ :‬בתשובתכם לכל שאלה‪ ,‬התעלמו מנתונים המופיעים בשאלות האחרות‪.‬‬
‫השאלות ופתרונן‪:‬‬
‫‪ .1‬איזו מהחברות העוסקות בענף הרכב היא בעלת ערך הנכסים הנמוך ביותר?‬
‫‬
‫(‪A )1‬‬
‫(‪D )2‬‬
‫(‪F )3‬‬
‫(‪ A )4‬וגם ‪D‬‬
‫בטור השני מימין מצוין הענף שבו עוסקת כל חברה‪ .‬אפשר לראות שהחברות ‪ D ,A‬ו‪ F-‬הן החברות היחידות‬
‫העוסקות בענף הרכב‪ .‬נבדוק את ערך הנכסים (בטור השני משמאל) של כל אחת מהחברות האלה‪ :‬ערך נכסיה של‬
‫חברה ‪ A‬הוא ‪ 180‬מיליון דולרים‪ ,‬וזה גם ערך נכסיה של חברה ‪ .D‬ערך נכסיה של חברה ‪ F‬הוא ‪ 55‬מיליון דולרים‪ ,‬לכן‬
‫חברה ‪ F‬היא בעלת ערך הנכסים הנמוך ביותר בענף הרכב‪ .‬התשובה הנכונה היא (‪.)3‬‬
‫‪75‬‬
‫חשיבה כמותית‬
‫‪ .2‬בהנחה שהרווחים מתחלקים שווה בשווה בין כל העובדים בחברה‪ ,‬באיזו מהחברות הבאות הרווח לעובד יחיד הוא‬
‫הגדול ביותר?‬
‫‪H‬‬
‫(‪ )1‬‬
‫‬
‫(‪B )2‬‬
‫‪C‬‬
‫(‪ )3‬‬
‫‬
‫(‪F )4‬‬
‫הרווח לעובד יחיד אינו מצוין בטבלה במפורש‪ ,‬אך אפשר לחשב אותו מתוך הנתונים המופיעים בה‪ .‬בטבלה נתונים‬
‫הרווח של כל חברה וכן מספר העובדים בה‪ .‬הרווח לעובד יחיד בחברה מסוימת הוא הרווח של החברה מחולק‬
‫במספר העובדים בה‪.‬‬
‫בכל החברות הרווח נתון במיליוני דולרים ומספר העובדים נתון באלפים‪ ,‬ולכן כדי להשוות בין החברות אפשר‬
‫להתייחס רק לערכים המספריים המופיעים בטבלה‪ ,‬ולהציג את הרווח לעובד יחיד באופן הבא‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪H‬‬
‫‬
‫‪5, 000‬‬
‫‪6, 500‬‬
‫‪3, 000‬‬
‫‬
‫‪100‬‬
‫‪120‬‬
‫‪150‬‬
‫‪F‬‬
‫‬
‫‪3, 000‬‬
‫‪ 100‬‬
‫כמובן‪ ,‬אפשר לחשב את הרווח לעובד ולמצוא באיזו חברה מתקבל הערך הגדול ביותר‪ ,‬אבל אפשר להשוות בין‬
‫הביטויים גם בלי לחשב אותם‪:‬‬
‫לחברות ‪ F‬ו‪ H-‬אותו הרווח )‪ (3,000‬אך בחברה ‪ F‬הוא מתחלק בין פחות עובדים )‪ ,(100 < 120‬ולכן הרווח לעובד‬
‫בחברה ‪ F‬גדול יותר‪.‬‬
‫מספר העובדים בחברות ‪ C‬ו‪ F-‬שווה )‪ ,(100‬אך הרווח של חברה ‪ C‬גדול יותר )‪ ,(3,000 < 5,000‬ולכן הרווח לעובד‬
‫בחברה ‪ C‬גדול יותר‪.‬‬
‫החברות ‪ B‬ו‪ C-‬שונות זו מזו גם מבחינת מספר העובדים וגם מבחינת הרווח שלהן‪ .‬בחברה ‪ B‬מספר העובדים גדול‬
‫פי ‪ 1.5‬מבחברה ‪ 150) C‬לעומת ‪ ;(100‬אילו היה גם הרווח של חברה ‪ B‬גדול פי ‪ 1.5‬מהרווח של חברה ‪ ,C‬כלומר אילו‬
‫הרווח בחברה ‪ B‬היה ‪ , 5,000 · 1.5 = 7,500‬היה הרווח לעובד יחיד שווה בשתי החברות‪.‬‬
‫אבל הרווח של חברה ‪ B‬קטן מסכום זה )‪ ,(6,500 < 7,500‬ולכן הרווח לעובד בחברה ‪ B‬קטן מהרווח לעובד בחברה ‪.C‬‬
‫אם כן‪ ,‬הרווח הגדול ביותר לעובד יחיד הוא בחברה ‪ ,C‬והתשובה הנכונה היא (‪.)3‬‬
‫כמובן‪ ,‬אפשר לחשב את הרווח לעובד יחיד בחברות ‪ B‬ו‪:C-‬‬
‫‪6, 500‬‬
‫‪5, 000‬‬
‫הרווח לעובד יחיד בחברה ‪ C‬שווה ל‪ b 100 = 50 l 50-‬ובחברה ‪ B‬הרווח לעובד יחיד קטן מ‪b 150 < 50 l 50-‬‬
‫ולכן הרווח לעובד יחיד בחברה ‪ C‬גדול יותר‪.‬‬
‫‪ .3‬מה היה היקף המכירות של חברה ‪ G‬בשנה שעברה (במיליארדי דולרים)?‬
‫‬
‫‬
‫(‪4 8 )1‬‬
‫(‪50 )2‬‬
‫(‪64 )3‬‬
‫(‪76 )4‬‬
‫היקף המכירות בשנה שעברה אינו מצוין בטבלה‪ ,‬אך אפשר לחשב אותו בעזרת היקף המכירות בשנה הנוכחית ואחוז‬
‫השינוי בהשוואה לשנה שעברה‪ .‬אפשר לראות בטבלה כי חברה ‪ G‬מכרה השנה בסכום של ‪ 60‬מיליארד דולרים‪,‬‬
‫ומכירותיה עלו ב‪ 25%-‬לעומת השנה שעברה‪ .‬כלומר‪ ,‬היקף מכירותיה בשנה שעברה הוא ערך שאם נוסיף לו ‪25%‬‬
‫נקבל ‪ 60‬מיליארד‪ .‬נסמן ב‪ x-‬את היקף המכירות בשנה שעברה ונבטא את הנתונים במשוואה‪:‬‬
‫‪ . x + 25 $ x = 60‬נפשט את המשוואה‪125 $ x = 60 :‬‬
‫‪ , 100‬ונבודד את ‪. x = 60 $ 100 = 60 $ 4 = 48 :x‬‬
‫‪100‬‬
‫‪125‬‬
‫‪5‬‬
‫היקף המכירות של חברה ‪ G‬בשנה שעברה היה אפוא ‪ 48‬מיליארד דולרים‪ ,‬והתשובה הנכונה היא (‪.)1‬‬
‫‬
‫‪76‬‬
‫בחינת הכניסה הפסיכומטרית לאוניברסיטאות‬
‫חוברת הדרכה‬
‫‪ .4‬נגדיר את היקף ההוצאות של חברה בשנה מסוימת כך‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫היקף ההוצאות‬
‫היקף הרווחים היקף המכירות‬
‫= בשנה מסוימת‬
‫באותה שנה – באותה שנה‬
‫באיזה ענף עוסקת החברה בעלת היקף ההוצאות הגדול ביותר בשנה הנוכחית?‬
‫(‪ )1‬רכב‬
‫(‪ )2‬נפט‬
‫(‪ )3‬אלקטרוניקה‬
‫‬
‫(‪ )4‬מתכות‬
‫כדי לחשב את היקף ההוצאות של חברה בשנה הנוכחית‪ ,‬יש להפחית את היקף הרווחים מהיקף המכירות‪ .‬בטבלה‬
‫היקף המכירות נתון במיליארדי דולרים‪ ,‬ואילו היקף הרווחים נתון במיליוני דולרים‪ .‬כדי שנוכל להפחיתם זה מזה‪,‬‬
‫יש להמיר את שניהם לאותן יחידות‪ .‬אם נכפיל את היקף המכירות הרשום בטבלה ב‪ ,1,000-‬נקבל גם את היקף‬
‫המכירות במיליוני דולרים‪.‬‬
‫כך למשל‪ ,‬היקף המכירות של חברה ‪ C‬במיליוני דולרים הוא ‪ .105,000‬היקף הרווחים של חברה זו הוא ‪ 5,000‬מיליוני‬
‫דולרים‪ ,‬ולכן היקף ההוצאות שלה הוא ‪ 100,000‬מיליוני דולרים‪ .‬ניתן לחשב באופן זה את היקף ההוצאות של כל‬
‫החברות המופיעות בטבלה‪ ,‬ולמצוא את החברה בעלת היקף ההוצאות הגדול ביותר‪.‬‬
‫אולם ניתן לחסוך חישוב זה‪ :‬מהנוסחה המגדירה את היקף ההוצאות נובע כי ככל שהיקף המכירות גדול יותר‪ ,‬או‬
‫ככל שהיקף הרווחים קטן יותר‪ ,‬כך היקף ההוצאות גדול יותר‪ .‬לכן יש טעם לבחון תחילה את החברות בעלות היקפי‬
‫המכירות הגדולים ביותר או היקפי הרווחים הקטנים ביותר‪ .‬מעיון בטבלה ניתן לראות כי חברה ‪ A‬היא גם החברה‬
‫בעלת היקף המכירות הגדול ביותר וגם החברה בעלת היקף הרווחים הקטן ביותר (היא היחידה שהיקף הרווחים שלה‬
‫שלילי‪ ,‬כלומר היא בעצם הפסידה)‪ ,‬ולכן היא בוודאי בעלת היקף ההוצאות הגדול ביותר‪ .‬הענף שחברה ‪ A‬עוסקת בו‬
‫הוא ענף הרכב‪ ,‬ולכן התשובה הנכונה היא (‪.)1‬‬
‫‪77‬‬
‫חשיבה כמותית‬
‫‪78‬‬