חשיבה כמותית - הסברים ודוגמאות
חוברת הדרכה בחינת הכניסה הפסיכומטרית לאוניברסיטאות חשיבה כמותית בתחום זה נבדקות היכולת להשתמש במספרים ובמונחים מתמטיים כדי לפתור בעיות כמותיות ,והיכולת לנתח נתונים המוצגים בצורות שונות ,כמו תרשימים וטבלאות .הידע המתמטי הנדרש הוא ברמה בסיסית (החומר הנלמד עד כיתות ט'-י' ברוב בתי הספר בארץ). כל השאלות בתחום הן במבנה של שאלות בֵררה :לאחר כל שאלה מוצעות ארבע תשובות ,ורק אחת מהן היא תשובה נכונה לשאלה. בפרק חשיבה כמותית מופיעות שאלות משני סוגים :שאלות ובעיות ,ושאלות הסקה מתרשים או מטבלה. שאלות ובעיות עוסקות במגוון נושאים מתחומי האלגברה והגאומטריה .כמה מהשאלות מוצגות במונחים מתמטיים, וכמה הן שאלות מילוליות ובהן יש לתרגם תחילה את הבעיה למונחים מתמטיים. שאלות הסקה מתרשים או מטבלה נוגעות למידע המוצג בתרשים או בטבלה .בתרשים מוצגים נתונים בצורה גרפית :בדיאגרמת עמודות ,בגרף ,בדיאגרמת פיזור וכדומה .בטבלה מוצגים נתונים המסודרים בעמודות ובשורות. בדרך כלל השאלות מכל אחד מהסוגים מסודרות בסדר קושי עולה :בתחילה השאלות קלות והזמן הדרוש לפתרונן קצר יחסית ,ובהדרגה הן נעשות קשות יותר ומצריכות זמן רב יותר. הסרטוטים הנלווים לכמה מהשאלות אינם מסורטטים בהכרח על פי קנה מידה :אין להסיק ממראה הסרטוט בלבד על אורך קטע ,על גודל זווית וכו' .עם זאת ,קו הנראה ישר ,אפשר להניח שהוא אכן ישר. בתחילת הפרק ניתן "דף נוסחאות" ובו הוראות ,הערות ונוסחאות שונות .אפשר להיעזר בו במהלך הבחינה. דף הנוסחאות ניתן גם בחוברת זו (בעמוד הבא) ובפרקי החשיבה הכמותית שבבחינה להתנסות. רצוי להכיר את תוכנו ולהתמצא בו לפני הבחינה. בעמ' 62-41יש חזרה על מושגים בסיסיים במתמטיקה המשקפים במידה רבה את החומר שעליו מתבססות השאלות בתחום החשיבה הכמותית .עם זאת ,בבחינה עצמה עשויות להיות שאלות שכדי לפתור אותן יש צורך במושגים ובמשפטים מתמטיים נוספים ,שאינם מופיעים בעמודים האלה. בעמ' 77-63יש דוגמאות לשאלות מסוגים שונים ,ולכל שאלה מצורפים פתרון והסבר מפורט. 39 חשיבה כמותית דף נוסחאות בפרק זה 20שאלות. הזמן המוקצב הוא 20דקות. בפרק זה מופיעות שאלות ובעיות של חשיבה כמותית .לכל שאלה מוצעות ארבע תשובות. עליכם לבחור את התשובה הנכונה ולסמן את מספרה במקום המתאים בגיליון התשובות. הערות כלליות הסרטוטים המצורפים לכמה מהשאלות נועדו לסייע בפתרונן ,אך הם אינם מסורטטים בהכרח על פי קנה מידה. אין להסיק מסרטוט בלבד על אורך קטעים ,על גודל זוויות ,ועל כיוצא בהם. קו הנראה ישר בסרטוט ,אפשר להניח שהוא אכן ישר. כאשר מופיע בשאלה מונח גאומטרי (צלע ,רדיוס ,שטח ,נפח וכו') כנתון ,הכוונה היא למונח שערכו גדול מאפס ,אלא אם כן מצוין אחרת. כאשר בשאלה כתוב ,(0 < a) aהכוונה היא לשורש החיובי של .a 0אינו מספר חיובי ואינו מספר שלילי. 0הוא מספר זוגי. 1אינו מספר ראשוני. b b bb נוסחאות a .1אחוזים a% :מ x-הם 100 $ x אa-n = 1n . a m n =a ·a m+n גa m = ^m a hn . n ד. )(0 < a , 0 < m m 2 2 2 .3כפל מקוצר(a ± b) = a ± 2ab + b : 2 2 (a + b)(a – b) = a – b דרך .4בעיות דרך :זמן = מהירות כמות עבודה = הספק הספק: .5בעיות זמן .7פרופורציה :אם AD || BE || CF אז AB = BCוגם  AB = DE DE EF AC DF .8משולש: א .שטח משולש שאורך בסיסו a ואורך הגובה לבסיס זה ,hהוא  a $ h 2 ב .משפט פיתגורס: A A כבסרטוט ABC זווית ישר במשולש AA وﺗﺮ ACﻗﺎﺋﻢ מתקיים 2 = AB2 + BC2وﺗﺗوﺮﺮﺗﺮ ﻗﺎﺋﻢ ﻗﺎﺋﻢ CCو ﻗﺎﺋﻢ BBﻗﺎﺋﻢ BB CC ﻗﺎﺋﻢ שזוויותיו ג .במשולש ישר זווית ﻗﺎﺋﻢ ﻗﺎﺋﻢ ,30°, 60°, 90°אורך הניצב שמול הזווית 30°שווה לחצי אורך היתר .9שטח מלבן שאורכו aורוחבו bהוא a · b 40 a a aa r x° r r rr r א .נפח תיבה שאורכה ,aרוחבה b וגובהה cהוא a · b · c ב .שטח הפנים של התיבה הוא 2ab + 2bc + 2ac ג .בקובייה מתקיים a = b = c A cb r a c a a A r B D E A A hy 2 AA hyppote h leg yhpyo otennus ptoe u e leg tneun se leg sue leg B C leg se C B leg BB CC leg leg h r רוסית רוסית רוסית רוסית C h r وﺗ ﻗﺎﺋﻢ ﻗﺎﺋﻢ r B h A hi A D A hipot a A p e h ih B E rfntnA piop o t e nn u s toetn u s a r rfntn eu a rfntn C nsua B C F rfntn catetoA s a C B cateto BB Cרh C cateto cateto ית h D Eניצב r r h C F .16נפח פירמידה ששטח בסיסה Sוגובהה ,hהוא S $ h 3 D وﺗﺮ C ספרדית ספרדית ספרדית ספרדית h ub u gj ububgjnnty gbjg tyep njtn epf ytey f pefp C rfntn A f C rfntn CC rfntn ﺮ rfntn C h F .15נפח חרוט שרדיוס בסיסו rוגובהו ,h הוא πr2 $ h 3 cr h A hy נפח הגליל הוא πr · h ppotéגAA h h.y yhpy oténu optoé nuse tnéun se sue C côté se C côté CC côté côté r x° a r r .14גליל: côté côté côté côté B B BB a h r x° r x r °c r b a hh b b b bb a a r b b x° r b משולב הוא צרפתיתשטח הפנים של הגליל ב. משולב צרפתית משולב צרפתית 2 משולב צרפתית )2πr + 2πr · h = 2πr(r + h A A c h א .שטח המעטפת של גליל שרדיוס בסיסו rוגובהו ,hהוא 2πr · h תר A יתר Aניצב י יתרתר ניצב ניצב י ניצב B ניצב B ניצב BB ניצב ניצב h h .13תיבה ,קובייה: h h h ah a aa a a aa b ג .שטח גזרת מעגל בעלת זווית ראש x° 2 x הוא πr $ 360 A A A B BA BB C C CC D D DD E E EE F F FF h a ב .היקף המעגל הוא 2πr r r rr C C CC b .12מעגל ,עיגול: א .שטח מעגל שרדיוסו r הוא (π = 3.14...) πr2 h h hh .6עצרתn! = n(n – 1)(n – 2) · ... · 2 · 1 : a b h h hh h הוא 180n − 360 k a180 − 360מעלות n k=a n c c b cc b bb an $ m = ^anh b .11זוויות פנימיות במצולע בעל nצלעות: א .סכום הזוויות הוא ) (180n – 360מעלות, ב .אם המצולע משוכלל ,גודל כל זווית פנימית r r x°r r rxx° ° r x° rr a ב. .10שטח טרפז שאורך בסיסו האחד ,a אורך בסיסו האחר bוגובהו ,h הוא (a + b) $ h 2 a a aa .2חזקות :לכל מספר aשונה מאפס ולכל nו m-שלמים - h h hh ﻗﺎﺋﻢ A E B C ניצב A BB se C nu oté D E C צרפת a ניצב A A B b A B C Cניצב B A h yp côté a h aFתר Fי ﻗﺎﺋﻢ A A AA cateto cateto cateto cateto B B BB צרפתית e C us tén po hy צרפת côté חוברת הדרכה בחינת הכניסה הפסיכומטרית לאוניברסיטאות חזרה על מושגים בסיסיים במתמטיקה סימנים הסימן משמעותו a || b הישרים aו b-מקבילים זה לזה a⊥b הישרים aו b-מאונכים זה לזה זווית של ,90°זווית ישרה הזווית הכלואה בין הקטע ABלקטע BC «ABC xשווה לy- x=y ≠y xשונה מy- bx x<y x≤y xקטן מy- h xקטן מ y-או שווה לו a a<x,y גם xוגם yגדולים מa- x=+a xשווה ל a-או xשווה ל)-a(- | | xr :y הערך המוחלט של x x° היחס בין xלy- rx סוגי cמספרים b a מספר שלם: מספר המורכב מיחידות שלמות .מספר שלם יכול להיות שלילי ,חיובי או .0 למשל... , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... : שימו לב 0 :הוא מספר שלם שאינו חיובי ואינו שלילי. מספר לא שלם: מספר שאי-אפשר לבטאו ביחידות שלמות. למשל2 , -1 12 , 2 12 , 1.37 : מספרים עוקבים: h r מספרים שלמים הבאים זה אחר זה בהפרשים של .1למשל 4 ,ו 5-הם מספרים עוקבים, 3 ,2ו 4-הם מספרים עוקבים ,וגם ) (-3ו (-2)-הם מספרים עוקבים. באופן כללי ,אם nהוא מספר שלם ,אז nו )n + 1(-הם מספרים עוקבים. לעתים נוהגים לומר (n + 1) :הוא העוקב של .n h r D מספר זוגי: E وﺗﺮ C ﻗﺎﺋﻢ A B C F אי-זוגי: מספר h a A A תר י ראשוני:ניצב ﻗﺎﺋﻢ מספר B C ניצב B b מספר שלם שאם מחלקים אותו ב 2-מקבלים מספר שלם (כלומר ,הוא מתחלק ב 2-ללא שארית). באופן כללי ,אם nהוא מספר שלם ,אז 2nהוא מספר זוגי. שימו לב 0 :הוא מספר זוגי. מספר שלם שאם מחלקים אותו ב 2-מקבלים מספר לא שלם (כלומר ,כשמחלקים אותו ב 2- שארית .)1 מקבלים ספרדית רוסית משולב צרפתית באופן כללי ,אם nהוא מספר שלם ,אז 2n + 1הוא מספר אי-זוגי. po A h y p hy A gj A u b po hi A ote nt te té שארית בשני ye וחיובי המתחלקnu בלבד: ללא בעצמו nובcateto .1- מספרnuשלם côté leg מספריםrfntn us pf se se a וב.1- ב13- רק שארית ללא מתחלק שהוא מכיוון ראשוני, מספר הוא 13 למשל: B B B B C C C C cateto rfntn côté leg שימו לב 1 :אינו מוגדר מספר ראשוני. 41 חשיבה כמותית מספרים נגדיים: זוג מספרים שסכומם שווה לאפס. למשל 4 :ו (-4) -הם מספרים נגדיים. ובאופן כללי a ,ו (-a)-הם מספרים נגדיים ) ,(a + (-a) = 0או במילים אחרות (-a) ,הוא המספר הנגדי ל.a- מספרים הופכיים: זוג מספרים שמכפלתם שווה ל.1- למשל 3 :ו 13 -הם מספרים הופכיים ,וכך גם 27ו. 27 - ובאופן כללי ,עבור : a , b ≠ 0 aו 1 -הם מספרים הופכיים , aa $ 1 = 1kאו במילים אחרות1 , aהוא ההופכי של .a a a a b b a bהוא ההופכי של . a bו a -הם מספרים הופכיים , b b $ a = 1lאו במילים אחרותa , b ערך מוחלט: אם 0 < xאז , | x | = x אם x < 0אז , | x | = -x . |0| = 0 פעולות חשבוניות במספרים זוגיים ואי-זוגיים (קראו מימין לשמאל) זוגי + זוגי = זוגי אי-זוגי + אי-זוגי = זוגי אי-זוגי + זוגי = אי-זוגי זוגי – זוגי = זוגי אי-זוגי – אי-זוגי = זוגי זוגי – אי-זוגי = אי-זוגי אי-זוגי – זוגי = אי-זוגי זוגי × זוגי = זוגי אי-זוגי × אי-זוגי = אי-זוגי אי-זוגי × זוגי = זוגי אין כללים דומים עבור פעולות חילוק .למשל ,מנה של שני מספרים זוגיים יכולה להיות אי-זוגית , a 62 = 3k זוגית a 24 = 2 kאו מספר לא שלם . a 64 = 1 12 k 42 חוברת הדרכה בחינת הכניסה הפסיכומטרית לאוניברסיטאות גורמים (מחלקים) וכפולות גורם (מחלק) של מספר שלם וחיובי xהוא כל מספר שלם וחיובי ש x-מתחלק בו ללא שארית. למשל ,הגורמים של 24הם 12 ,8 ,6 ,4 ,3 ,2 ,1 :ו.24- גורם משותף של xו y-הוא מספר שהוא גם גורם של xוגם גורם של .y למשל 6 ,הוא גורם משותף של 24ושל .30 גורם ראשוני הוא גורם שהוא גם מספר ראשוני .למשל ,הגורמים הראשוניים של 24הם 2ו.3- 3 כל מספר שלם וחיובי (הגדול מ )1-אפשר לכתוב כמכפלה של גורמים ראשוניים .למשל.24 = 3 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 , כפולה של מספר שלם xהיא כל מספר שלם המתחלק ב x-ללא שארית .למשל 32 ,16 ,ו 88-הם כפולות של .8 כאשר כתוב בשאלה “מתחלק" הכוונה היא ל"מתחלק ללא שארית". פעולות חשבוניות בשברים צמצום כאשר למונה ולמכנה של שבר יש גורם משותף ,אפשר לחלק כל אחד מהם בגורם המשותף ולקבל שבר השווה 16 לשבר המקורי ,עם מונה ומכנה קטנים יותר .למשל ,אם נחלק את המונה והמכנה של 16 12ב 4-נקבל . a 12 = 43 k 43 כפל כדי לכפול שני שברים יש לכפול את המונים זה בזה ואת המכנים זה בזה. . 23 $ 57 = 32 $ 75 = 10 למשל21 : $ חילוק כדי לחלק מספר בשבר ,יש לכפול את המספר בשבר ההופכי לשבר המחלק. 2 למשל. 35 = 2 $ 83 = 2 $ 8 = 16 : 5 $ 3 15 5 8 כדי לכפול או לחלק מספר שלם בשבר ,אפשר להתייחס למספר השלם כאל שבר שהמכנה שלו הוא .1למשל.2 = 12 , חיבור וחיסור כדי לחבר או לחסר שברים יש להפוך אותם לשברים בעלי מכנה משותף .מכנה משותף הוא מספר שאפשר לחלקו במכנה של כל אחד מהשברים ללא שארית .לאחר שמוצאים מספר המתאים לשמש מכנה משותף ,יש "לתרגם" כל אחד מהשברים לשבר בעל מכנה השווה למכנה המשותף .לשם כך יש לכפול בכל שבר את המונה ואת המכנה באותו מספר שלם ,וכך במכנה יתקבל המספר שנבחר לשמש מכנה משותף .מכיוון שהמונה והמכנה מוכפלים באותו מספר ,למעשה השבר מוכפל ב ,1-וערכו לא משתנה .לאחר "תרגום" השברים לשברים בעלי מכנה משותף ,יש לחבר או לחסר את המונים החדשים שהתקבלו ,ואם אפשר -לצמצם את התוצאה. 43 חשיבה כמותית דוגמה 3 1 5 ?=4+6+8 מכנה משותף אפשרי הוא ,24שכן הוא מתחלק במכנה של כל אחד מהשברים ללא שארית: , 24 8 =3 24 = 4 6 24 = 6 4 , "נתרגם" כל אחד מהשברים לשבר בעל מכנה משותף זה: 5 15 8 = 24 , 1= 4 6 24 , 3 18 4 = 24 ונקבל: 3 1 5 18 4 15 18 + 4 + 15 = 37 = 4 + 6 + 8 = 24 + 24 + 24 24 24 אחוזים אחוזים הם דרך לסמן מאיות a% :מ x-הם aמאיות מ ,x-כלומר a $ x . 100 בשאלות שבהן מופיעים אחוזים ,יש לתרגם אותם למאיות ולפתור כמו בתרגילי שברים רגילים. דוגמה כמה הם 60אחוזים מ?80- במקום 60אחוזים נציב 60מאיות ,ונפתור כמו מכפלה רגילה של שברים60 $ 80 = 60 $ 80 = 6 $ 8 = 48 : , 100 100 כלומר 60% ,מ 80-הם .48 בשאלות הנוגעות לשינוי באחוזים מדובר באחוז מתוך הערך ההתחלתי ,אלא אם כן נאמר במפורש אחרת. דוגמה מחירו של פריט שעלה 80שקלים הועלה ב .25%-מה מחירו החדש? מכיוון שהוסיפו 25%על המחיר הישן ,המחיר החדש הוא 125%מהמחיר הישן ) ,(100% + 25%ולכן יש למצוא כמה הם 125%מ.80- 125 נציב מאיות במקום אחוזים ,ונפתור, 100 $ 80 = 100 : כלומר ,המחיר החדש הוא 100שקלים. דוגמה מחירו של פריט ירד מ 15-ל 12-שקלים .בכמה אחוזים ירד המחיר? בדוגמה זו נתון השינוי במחירו של פריט ,ויש לחשב את אחוז השינוי. השינוי במחיר הוא 3שקלים מתוך 15שקלים .יש לחשב כמה אחוזים מ 15-הם . 3 נתרגם את השאלה לביטוי מתמטיa $ 15 = 3 : , 100ונפתור את המשוואה,a = 3 $ 100 = 20 : 15 כלומר ,המחיר ירד ב.20%- 44 חוברת הדרכה בחינת הכניסה הפסיכומטרית לאוניברסיטאות יחס היחס בין xל y-נרשם כך.x : y : שימו לב :בניסוח מילולי יחס נרשם מימין לשמאל ,ובניסוח מתמטי (במספרים) -משמאל לימין. דוגמה היחס בין מספר זוגות הגרביים של איתי ובין מספר החולצות שלו הוא .3 : 2כלומר ,על כל 3זוגות גרביים יש לאיתי 2חולצות .בניסוח אחר ,מספר זוגות הגרביים של איתי גדול פי 23ממספר החולצות שלו. ממוצע ממוצע חשבוני של קבוצת ערכים הוא מספר המתקבל מחלוקת סכום הערכים במספר הערכים. כאשר כתוב בשאלות “ממוצע" בלבד הכוונה היא לממוצע חשבוני. למשל ,הממוצע של קבוצת הערכים 10 ,5 ,3 ,1ו 21-הוא . 1 + 3 + 5 + 10 + 21 = 40 = 8 :8 5 5 אם נתון הממוצע של קבוצת ערכים ,אפשר לחשב את סכומם על ידי הכפלת הממוצע במספר הערכים. דוגמה דני קנה 5פריטים שמחירם הממוצע 10שקלים .כמה שילם דני תמורת כל הפריטים? בשאלה זו יש למצוא את הסכום על סמך הממוצע ,לכן נכפיל את הממוצע במספר הפריטים,10 · 5 = 50 : כלומר ,דני שילם סך הכול 50שקלים תמורת כל הפריטים שקנה. ממוצע משוקלל הוא ממוצע שבו מובא בחשבון משקלו היחסי של כל אחד מהערכים בקבוצה. דוגמה בבחינת אמצע הקורס היה ציונו של יוסי ,75ובבחינת הגמר היה ציונו .90אם משקלה של בחינת הגמר גדול פי 2 ממשקלה של בחינת אמצע הקורס ,מה יהיה ציונו הסופי של יוסי בקורס? קבוצת הערכים היוצרים את ציונו הסופי של יוסי בקורס היא 75ו ,90-אך לכל אחד מהם משקל אחר. לציון 75יש משקל ,1ולציון 90יש משקל .2כדי לחשב את הממוצע המשוקלל יש להכפיל כל ציון במשקל שניתן לו, ולחלק בסכום המשקלים+ 2 $ 90 = 85 : , 1 $ 751 +כלומר הציון של יוסי בקורס הוא .85 2 חישוב זה זהה לחישוב ממוצע חשבוני רגיל של שלושה מספרים 90 ,75 :ו.90- חזקות ושורשים העלאה של מספר בחזקת n) nשלם וחיובי) היא הכפלתו בעצמו nפעמים. an = a $ ... $ a $ a : 1 44 2 44 3 nפעמים למשל. (-3)3 = (-3)(-3)(-3) = -27 , anנקראת "חזקה" n ,נקרא "מעריך החזקה" ,ו a-נקרא "בסיס החזקה". כל מספר שונה מאפס המועלה בחזקת 0שווה ל a0 = 1 :1-לכל . a ≠ 0 חזקה בעלת מעריך שלילי מוגדרת כחזקה המתקבלת מהעלאת המספר ההופכי לבסיס ,בחזקת המספר הנגדי למעריך: 3 1 kn .a-n = a aלמשל.2-3 = a 12 k = 12 $ 12 $ 12 = 18 , שורש מסדר nשל מספר חיובי ,aהמסומן , n aהוא מספר חיובי bשאם נעלה אותו בחזקת ,nנקבל את :a אם bn = aאז a = b n .למשל81 = 3 , 4 כי . 34 = 81 45 חשיבה כמותית כאשר לא מצוין סדר השורש ,הכוונה היא לשורש מסדר ,2למשל . 81 = 2 81 = 9 :שורש מסדר 2נקרא גם שורש ריבועי. 1 אפשר גם לבטא שורש כחזקה שבה המעריך הוא שבר .שבר זה הוא ההופכי לסדר השורשa = a n : שימו לב :כאשר בשאלה כתוב a n ). (0 < a ( )0 < aהכוונה היא לשורש החיובי של .a חוקים בסיסיים לפעולות בחזקות (עבור כל nו:)m- כפל: כדי לכפול חזקות בעלות אותו בסיס ,יש לחבר את מעריכי החזקות. am · an = a(m + n) : חילוק: כדי לחלק חזקות בעלות אותו בסיס ,יש לחסר את מעריך החזקה שבמכנה ממעריך החזקה שבמונה: . a n = a^m – nh a שימו לב :כאשר בסיסי החזקות אינם זהים ,אי-אפשר לחבר או לחסר את המעריכים. m העלאה בחזקה :כדי להעלות חזקה בחזקה יש להכפיל את המעריכים זה בזה. ^amh = a(m $ n) : n העלאה בחזקה של מכפלה או של מנה: (a · b)m = am · bm , m m . a a k = am b b מכיוון שאפשר לבטא שורשים גם כחזקות ,אפשר להפעיל את חוקי החזקות גם על שורשים. 1 1 למשל ,כדי לחשב את המכפלה ,(0 < a) m a $ n aיש לבטא תחילה את השורשים כחזקותa $ n a = a m $ a n : ואחר כך לפעול כמו במכפלה של חזקות ,כלומר ,לחבר את המעריכים: 1 + 1k am n 1 1 .am $ an = a אי-שוויונות בחזקות: א ם אם אם אם 0<b<a 0<b<a 1<a 0<a<1 וג ם וגם וגם וגם 0 < n n < 0 m < n m < n א ז אז אז אז . bn < an . an < bn . am < an . an < am נוסחאות כפל מקוצר כדי לכפול שני ביטויים הנתונים בסוגריים ,שכל אחד מהם הוא סכום של מחוברים ,יש לכפול כל אחד מאיברי הביטוי הראשון בכל אחד מאיברי הביטוי השני ואחר-כך לחבר את המכפלות. למשל.(a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd , לפי נוסחה כללית זו אפשר לחשב כל מכפלה של שני ביטויים ,אך כדי לחסוך זמן ייתכן שתרצו לזכור בעל-פה כמה נוסחאות נפוצות: (a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = (a – b) · (a – b) = a2 – 2ab + b2 46 2 2 (a – b) · (a + b) = a – b m חוברת הדרכה בחינת הכניסה הפסיכומטרית לאוניברסיטאות קומבינטוריקה ניסוי רב-שלבי דוגמה מטילים קובייה ולאחר מכן מטילים מטבע .מה מספר התוצאות האפשריות בניסוי זה? בניסוי זה שני שלבים :שלב הטלת הקובייה ושלב הטלת המטבע. מספר התוצאות האפשריות בהטלת קובייה הוא 6ומספר התוצאות האפשריות בהטלת מטבע הוא .2 מספר התוצאות האפשריות בניסוי כולו הוא .6 · 2 = 12 אחת מ 12-התוצאות האפשריות היא :המספר 3בקובייה והצד "עץ" במטבע. למעשה ,אין זה משנה אם מטילים את הקובייה ורק אחר כך מטילים את המטבע ,או אם מטילים את המטבע ואחר כך את הקובייה ,או שמטילים את שניהם יחד .בכל מקרה ,יש 12תוצאות אפשריות. להלן נתייחס לניסוי רב-שלבי שבו נתונה קבוצה של nעצמים ,ויש לבחור ממנה עצם באקראי rפעמים .כל בחירה של עצם מהקבוצה היא שלב בניסוי ,וסך הכול יש בניסוי זה rשלבים .מספר התוצאות האפשריות בכל אחד מ r-השלבים תלוי באופן בחירת העצמים .מספר התוצאות האפשריות בניסוי כולו הוא מכפלה של מספר התוצאות האפשריות שמתקבלות ב r-השלבים .כל תוצאה אפשרית בניסוי נקראת מדגם. ָרה מדגמים סדורים עם ַה ְחז ָ אופן בחירת העצמים :עצם שנבחר מוחזר לקבוצה מיד לאחר שנבחר ,ויש חשיבות לסדר שבו נבחרו העצמים. מספר התוצאות האפשריות :בכל שלב מספר התוצאות האפשריות הוא ,nלכן מספר התוצאות האפשריות בכל rהשלבים ,כלומר בניסוי כולו ,הוא .n · n · ... · n = nr שימו לב :באופן בחירה זה ,עצם יכול להיבחר יותר מפעם אחת. מספר המדגמים הסדורים עם החזרה הוא nr דוגמה בקופסה תשעה כדורים הממוספרים מ 1-עד .9מוציאים באקראי כדור מהקופסה ,מחזירים אותו ,וחוזרים על פעולה זו עוד פעמיים .רושמים (משמאל לימין) את מספרי הכדורים שהוצאו ,לפי סדר הוצאתם ,כך שמתקבל מספר תלת- ספרתי .כמה מספרים תלת-ספרתיים שונים יכולים להתקבל באופן זה? בניסוי זה יש חשיבות לסדר :למשל ,אם מספרי הכדורים שהוצאו הם 8 ,3ו 3-בסדר זה ,מתקבל המספר ,383אך אם הם הוצאו בסדר 3 ,3ו ,8-מתקבל המספר ,338ואלה שני מספרים שונים. מספר השלבים בניסוי הוא 3ובכל שלב מספר התוצאות האפשריות הוא ,9ולכן מספר התוצאות האפשריות בניסוי כולו הוא , 93 = 729כלומר יכולים להתקבל 729מספרים תלת-ספרתיים שונים. מדגמים סדורים ללא החזרה אופן בחירת העצמים :עצם שנבחר אינו מוחזר לקבוצה לאחר שנבחר ,ויש חשיבות לסדר שבו נבחרו העצמים. מספר התוצאות האפשריות :מספר התוצאות האפשריות בשלב הראשון הוא ,nמספר התוצאות האפשריות בשלב השני הוא ( n – 1שכן העצם שנבחר בשלב הראשון לא הוחזר ,ונותרו רק n – 1עצמים לבחור מתוכם) וכך הלאה עד השלב האחרון ,שלב מספר ,rשבו מספר התוצאות האפשריות הוא . n – r + 1לכן מספר התוצאות האפשריות בניסוי כולו הוא ).n · (n – 1) · ... · (n – r + 1 מספר המדגמים הסדורים ללא החזרה הוא )n · (n – 1) · ... · (n – r + 1 דוגמה בקופסה תשעה כדורים הממוספרים מ 1-עד .9מוציאים מהקופסה באקראי 3כדורים בזה אחר זה ,מבלי להחזיר כדור שכבר הוצא .רושמים (משמאל לימין) את מספרי הכדורים שהוצאו ,לפי סדר הוצאתם ,כך שמתקבל מספר תלת-ספרתי .כמה מספרים תלת-ספרתיים שונים יכולים להתקבל באופן זה? גם בניסוי זה יש חשיבות לסדר שבו הוצאו הכדורים ,אך שלא כמו בדוגמה הקודמת ,בניסוי זה אין מחזירים לקופסה כדור שהוצא ,ולכן מספר התוצאות האפשריות בשלב הראשון הוא ,9בשלב השני ,8 -ובשלב השלישי .7 -מספר התוצאות האפשריות בניסוי כולו הוא ,9 · 8 · 7 = 504כלומר יכולים להתקבל 504מספרים תלת-ספרתיים שונים. 47 חשיבה כמותית סידורים פנימיים כאשר יוצרים מדגם סדור ללא החזרה מכל nהעצמים שבקבוצה (כלומר ,אם )r = nכל תוצאה אפשרית מתארת סידור פנימי של העצמים :איזה עצם הוא הראשון ,איזה עצם הוא השני וכן הלאה .השאלה היא כמה סידורים פנימיים אפשריים? נציב r = nבנוסחה למציאת מספר המדגמים הסדורים ללא החזרה ונקבל. n · (n – 1) · ... · 2 · 1 : מספר זה מכונה “ nעצרת" ומסומן !.n מספר הסידורים הפנימיים האפשריים של nעצמים הוא !n דוגמה סבתא ,אימא ובת רוצות להסתדר בשורה לצורך צילום .בכמה דרכים שונות הן יכולות לעשות זאת? ניתן לחשוב על העומדת מימין כראשונה ,על האמצעית -כשנייה ועל העומדת משמאל -כשלישית ,ואז השאלה היא כמה סידורים פנימיים של הסבתא ,האימא והבת אפשריים .הסבתא ,האימא והבת מהוות קבוצה של 3עצמים ,ולכן מספר הסידורים הפנימיים שלהן הוא .3! = 3 · 2 · 1 = 6נפרט את הסידורים האפשריים: סבתא-אימא-בת ,סבתא-בת-אימא ,אימא-סבתא-בת ,אימא-בת-סבתא ,בת-סבתא-אימא ,בת-אימא-סבתא. מדגמים לא סדורים אופן בחירת העצמים :עצם שנבחר אינו מוחזר לקבוצה לאחר שנבחר ,ואין חשיבות לסדר שבו נבחרו העצמים. כשאין חשיבות לסדר ,כל המדגמים שיש בהם אותם rעצמים (רק סדר הבחירה שלהם שונה בכל מדגם) נחשבים לאותה תוצאה .למעשה ,מספר המדגמים האלה הוא מספר הסידורים הפנימיים של rהעצמים ,כלומר !.r כדי לחשב את מספר התוצאות האפשריות במדגמים לא סדורים ,מחשבים את מספר התוצאות האפשריות כאילו יש חשיבות לסדר ומחלקים אותו במספר הסידורים הפנימיים של rהעצמים. )n $ (n − 1) $ ... $ (n − r + 1 המדגמים = מספר הסדורים ללא החזרה = מספר המדגמים הלא סדורים מספר הסידורים הפנימיים במדגם !r דוגמה בקופסה תשעה כדורים הממוספרים מ 1-עד .9מוציאים מהקופסה באקראי 3כדורים בזה אחר זה ,מבלי להחזיר כדור שכבר הוצא ,ומכניסים את הכדורים שהוצאו לכובע .כמה אפשרויות שונות יש להרכב הכדורים בכובע? בשאלה זו חשוב הרכב הכדורים בכובע ולא הסדר שבו הוצאו מהקופסה .למשל ,אם הכדורים הוצאו בסדר 1 ,5ו,4- ההרכב בכובע הוא הכדורים 4 ,1ו ,5-וזה יהיה הרכב הכדורים בכובע גם אם הם הוצאו בסדר 5 ,4ו 1-או בכל אחד מ 3!-הסדרים האפשריים 5-1-4 ,4-5-1 ,4-1-5 ,1-5-4 ,1-4-5 :ו( 5-4-1-למעשה ,אין כל חשיבות להוצאת הכדורים בזה אחר זה ,והיה אפשר להוציאם בבת אחת מבלי שהדבר ישפיע על התוצאה). לכן ,מספר ההרכבים האפשריים הוא , 9 $ 38!$ 7כלומר יש 84אפשרויות שונות להרכב הכדורים בכובע. 48 חוברת הדרכה בחינת הכניסה הפסיכומטרית לאוניברסיטאות הסתברות תורת ההסתברות היא מודל מתמטי לתופעות שהתרחשותן אינה ודאית ,או לניסויים שתוצאותיהם אינן ודאיות. כל תוצאה אפשרית בניסוי נקראת "מאורע פשוט" ,ואוסף של תוצאות נקרא "מאורע" .לשם קיצור ,נשתמש בהמשך במונח "מאורע" גם לציון "מאורע פשוט" .משייכים לכל מאורע מספר בין 0ל ,1-שמשקף את ההסתברות (הסיכוי, מידת הסבירות) שהמאורע יתרחש .ככל שההסתברות גדולה יותר ,כך גדלים סיכויי ההתרחשות של המאורע. כאשר התרחשותו של מאורע היא ודאית ,ההסתברות להתרחשותו היא ,1וכאשר המאורע לא ייתכן בשום מקרה, ההסתברות להתרחשותו היא .0 סכום ההסתברויות של כל המאורעות הפשוטים בניסוי הוא .1 כאשר לכל אחת מ n-התוצאות האפשריות של ניסוי יש אותו סיכוי להתרחש ,נאמר שהתוצאות הן שוות-הסתברות. במקרה זה ההסתברות של כל תוצאה היא 1 .n דוגמה הניסוי :הטלת מטבע. התוצאות האפשריות :שני צדי המטבע .מסמנים אותם 1 :או ( 0או :עץ או פלי ,עץ או מספר). אם המטבע הוגן ,שתי התוצאות הן שוות-הסתברות :ההסתברות שהמטבע ייפול על " "1שווה להסתברות שייפול על " ,"0ולכן ההסתברות של כל תוצאה אפשרית היא . 12 דוגמה הניסוי :הטלת קובייה. התוצאות האפשריות :המספרים 5 ,4 ,3 ,2 ,1ו ,6-הרשומים על פאות הקובייה. אם הקובייה הוגנת ,ההסתברות של כל אחת מהתוצאות האפשריות היא . 16 כאשר כל התוצאות האפשריות הן שוות הסתברות, הסתברות התרחשותו של מאורע היא :מספר התוצאות במאורע (המסוים הזה) סך כל התוצאות האפשריות בניסוי דוגמה הניסוי :הטלת קובייה הוגנת. המאורע :התוצאה קטנה מ.4- התוצאות במאורע זה :המספרים 2 ,1ו.3- ההסתברות למאורע. 63 = 12 : דוגמה הניסוי :הוצאת כדור מכד שיש בו 5כדורים לבנים ו 5-כדורים שחורים. המאורע :הוצאת כדור שחור. 5 השחורים הכדורים מספר . ההסתברות למאורע= 10 = 12 : סך כל הכדורים בכד 49 חשיבה כמותית הסתברות התרחשותם של שני מאורעות כאשר שני מאורעות מתרחשים בעת ובעונה אחת או בזה אחר זה ייתכנו שני מצבים: א .המאורעות בלתי תלויים ,כלומר ההסתברות של המאורע האחד אינה מושפעת מהתרחשותו של המאורע האחר. ב .המאורעות תלויים ,כלומר ההסתברות של מאורע אחד מושפעת מהתרחשותו של מאורע אחֵר .במילים אחרות, אחַר (או בתנאי) התרחשותו של מאורע אחֵר שונ ָה מההסתברות של המאורע (ללא ההסתברות של מאורע מסוים ל ְ ַ התנאי). דוגמה בכד יש 10כדורים 5 :לבנים ו 5-שחורים .מוציאים 2כדורים מהכד ,בזה אחר זה. ידוע שהכדור הראשון שהוצא הוא שחור. מה ההסתברות שהכדור השני שהוצא גם הוא שחור? ייתכנו שני מצבים - מצב א :מחזירים את הכדור הראשון לכד. מכיוון שהחזרנו את הכדור לכד ,לא חל שינוי במספר הכדורים בכד ,ובפרט לא חל שינוי במספר הכדורים השחורים. 5 1 ההסתברות להוציא כדור שני שחור היא 10 = 2והיא שווה להסתברות להוציא כדור ראשון שחור. מכאן ,שאין חשיבות לכך שהכדור הוצא שני. כלומר ,המאורע "הוצאת כדור ראשון שחור" והמאורע "הוצאת כדור שני שחור" הם מאורעות בלתי תלויים. מצב ב :לא מחזירים את הכדור הראשון לכד. לאחר שהוצאנו מהכד כדור שחור נשארו בכד 9כדורים סך הכול ,מתוכם 4כדורים שחורים. 4 לכן ,ההסתברות להוציא כדור שני שחור היא . 9 הסתברות זו שונה מההסתברות להוציא כדור ראשון שחור. כלומר ,המאורע "הוצאת כדור ראשון שחור" והמאורע "הוצאת כדור שני שחור" הם מאורעות תלויים. ההסתברות להתרחשותם של שני מאורעות בלתי תלויים (בעת ובעונה אחת או זה לאחר זה) היא מכפלת ההסתברויות של כל מאורע בנפרד. דוגמה הניסוי :הטלת שתי קוביות הוגנות -אחת אדומה והאחרת צהובה. נסמן את המאורע "קבלת מספר קטן מ 3-בקובייה האדומה" ב .A-ההסתברות למאורע Aהיא . 26 = 13 נסמן את המאורע "קבלת מספר זוגי בקובייה הצהובה" ב .B-ההסתברות למאורע Bהיא . 63 = 12 מכיוון שתוצאת הטלתה של קובייה אחת אינה משפיעה על הסתברות התוצאה המתקבלת בהטלת הקובייה האחרת ,המאורע Aוהמאורע Bהם מאורעות בלתי תלויים. הסתברות הסתברות ההסתברות להתרחשות המאורע Aוהמאורע Bיחד היא מאורע ×Aמאורע , Bכלומר . 13 $ 12 = 16 50 חוברת הדרכה בחינת הכניסה הפסיכומטרית לאוניברסיטאות נגדיר שני מאורעות תלויים Aו( B-בניסוי כלשהו). המאורע Bבתנאי שהתרחש המאורע Aהיא: ההסתברות של מספר התוצאות המשותפות ל B-ולA- מספר התוצאות בA- דוגמה הניסוי :הטלת קובייה. מה ההסתברות לקבל תוצאה קטנה מ 4-אם ידוע שהתקבלה תוצאה זוגית? נסמן את המאורע "התקבלה תוצאה זוגית" ב ,A-ואת המאורע "התקבלה תוצאה קטנה מ "4-ב.B- ננסח את השאלה מחדש באמצעות המאורעות :מה ההסתברות של Bאם ידוע (בתנאי) שהתרחש ?A יש 3תוצאות במאורע 4 ,2 :Aו.6- יש 3תוצאות במאורע 2 ,1 :Bו.3- אבל אם ידוע שהמאורע Aהתרחש יש רק תוצאה אפשרית אחת ל.2 :B- או במילים אחרות ,התוצאה " "2היא התוצאה היחידה המשותפת ל A-ול.B- לכן ההסתברות של Bאם ידוע ש A-התרחש היא. 13 : הסתברות זו שונה מההסתברות של ( Bללא התנאי) השווה ל. 12 - דרך ,מהירות ,זמן מהירותו של גוף היא המרחק שהגוף עובר ביחידת זמן. הנוסחה המקשרת בין המהירות ,למרחק שעבר הגוף ולזמן שנדרש לו לעבור את המרחק היא. v = st : כאשר: = vמהירות = sמרחק =tזמן מנוסחה זו אפשר לגזור את כל הקשרים האפשריים בין מרחק ,מהירות וזמן.s = v · t ,t = vs : דוגמה רכבת נסעה 240ק"מ במהירות של 80קמ"ש .כמה זמן ארכה הנסיעה? נתונים 80) vקמ"ש) ו 240) s -ק"מ) ,ויש לחשב את .t מכיוון שהמהירות נתונה בקילומטרים לשעה ,זמן הנסיעה יחושב בשעות. s . t = 240 נציב את הנתונים בנוסחה 80 = 3 : t = v כלומר ,הנסיעה ארכה 3שעות. יחידות המדידה של שניים מהגדלים קובעות את יחידות המדידה של הגודל השלישי. למשל :אם המרחק מצוין בקילומטרים (ק"מ) ,והזמן -בשעות ,תצוין המהירות בקילומטרים לשעה (קמ"ש). אם המרחק מצוין במטרים ,והזמן -בשניות ,תצוין המהירות במטרים לשנייה. אפשר להמיר מטרים לק"מ ,ושניות -לשעות ,ולהפך. בכל ק"מ יש 1, 000מטרים ( 1מטר = 1 1, 000ק"מ). בכל שעה יש 3,600שניות ,שהן 60דקות ( 1שנייה = 1 3, 600שעה). 1, 000 מהירות של 1קמ"ש שווה למהירות של 5מטרים לשנייה 5 m . c 3, 600 = 18 18 1 1, 000 3, 600 מהירות של 1מטרים לשנייה שווה למהירות של 3.6קמ"ש = 1, 000 = 3.6 1 3, 600 . 51 חשיבה כמותית הספק ,עבודה ,זמן הספק הוא כמות עבודה ביחידת זמן. הנוסחה המקשרת בין ההספק ,לכמות העבודה ולזמן הנדרש לביצוע העבודה היא. p = wt : כאשר: = pהספק = wכמות עבודה = tזמן .w = p · t ,t = w מנוסחה זו אפשר לגזור את כל הקשרים האפשריים בין הספק ,כמות עבודה וזמןp : דוגמה בנאי מסיים לבנות קיר אחד ב 3-שעות .כמה שעות יידרשו לשני בנאים העובדים באותו הקצב לסיים את בנייתם של 5קירות? בשאלה נתונה כמות העבודה של בנאי אחד (קיר אחד) וזמן עבודתו ( 3שעות) .לכן ההספק שלו הוא 13קיר בשעה. מכיוון שהשאלה היא על שני בנאים ,ההספק של שניהם יחד הוא 2 $ 13 = 23קירות בשעה. נתונה גם כמות העבודה ששני הבנאים יידרשו לעשות 5 -קירות ,ולכן אפשר לחשב את הזמן שיידרש להם: 1 . t = 25 = 5 $ 23 = 15כלומר ,יידרשו להם 7 12שעות. 2 = 72 3 52 בחינת הכניסה הפסיכומטרית לאוניברסיטאות חוברת הדרכה ישרים מקבילים (קווים מקבילים) A קווים מקבילים החותכים שני ישרים כלשהם ,מחלקים את הישרים b 80° A לקטעים פרופורציונליים באורכם. 2 B 40° a 2 +b = 60°c . למשלa,בסרטוט a = c , a = b aוגם a + b c + dC b d c d D a a c d b סמך היחסים הנתונים. יחסים נוספים בין הקטעים על D אפשר למצוא B b C 80° A A זוויות D b 80° A D מסומנת Dזווית b זווית של ,90°בסרטוטים היא80° 60° ישרה היא A a A F 2 חדה 2היא זווית הקטנה מ.90°- זווית +b22 a a a 22 +b a a זווית קהה aהיא זווית הגדולה מ.90°- 2 a a זווית aשטוחה היא זווית של .180° C C a C 40° 40° d d C D D זוויות צמודות 40° צמודות. נקראותEזוויות שתי זוויות הנוצרות בין ישר ובין קרן היוצאת מנקודה על הישר a 60° E 40° a A D 60° .180° Dהן זווית שטוחה ,ולכן סכומן הוא F a יוצרות יחד A F 60° 60° a למשל, D בסרטוט xו y-הן זוויות צמודותC,לכן B. x + y = 180° A h 60° 2 a2 a a ha z r β C CC 60° BA A 60° D60° C γ C C B 60°β BB 80° f g h h כאשר ישר חותך שני ישרים מקבילים ,נוצרות שמונה זוויות. h β B g ,f ,e ,d ,c ,bו. h- 40° למשל ,בסרטוט B ,a Q D ab B A P 60° A A c e a המקביליםa . a בגודלן. a זוויות מתאימות שוות זו לזויתר A γ D D γ .d A C Dלכן A בסרטוט c = g ,b = f ,a = eוC = h- C ניצב β β p דוגמה B C B a B C B C b נתון :הישרים pו q-מקבילים. e f e f g h g h A B a 3A B ניצב B ניצב ?=d+f זוויות צמודות ,ולכן .daγ + c = 180° acו d-הן A A A a הן זוויות מתחלפות ,ולכן C.c = f cAוf- b hα a והתשובה היא .180° ,d + f = d + b 180°תי=סורc h בלושמ לכןh 60° A otetac B D h pi eto P aa a un C C A a a a C DD P D A ntnfr as otetac Bβ B B B A B A A a a Ba h Bh u A gb j tn ey ntnfr B B gel fp C B 2a 2a 45° yh atop2 ne gel 45° C a a A33A h u 60°es 60° C יתר a a a ניצב a f B g h étôc B ניצב B y F a b y a b c d c d A p p α e ff e q q g h g h δ β x y B w z γ A γ γ CC C p e A g h A h un étôc es בצינ CC B b A h C C רתי בצינ BC A A C ﻢﺋﺎﻗ B A γ B B D ﺮﺗو D Cﺎﻗ ﻢﺋ A A δ β δ β a Bb B Bc d D f q α α Aa A p éto b e x D e תיתפרצ 30° 30° f g h E a b c d C β d qb α α α C B α a B C מתחלפות נמצאות בצדדיםC B β β של 60° הישרים של נגדיים ובצדדים החותך, הישר נגדיים זוויות ניצב C β β B P Q C PזוויותBמתחלפות שוות זו לזו בגודלן. Qהמקבילים. A C h A aלכןA a D בסרטוט c = f ,b = g ,a = hו60° . d = e- 60° r B C A D יתר b h b ניצב A D יתר h D ניצב A 30° 2a C C x y x a y bz w w c zd E B B A a c A F b a b a hb הקווים זוויות מתאימות הן זוויות הנמצאות באותו צד של הישר החותך ובאותו צד של c d c dr 2 D DD α abb תידרפס β D C C CQ a w y y a a a Aab α D D x x x A זוויות קדקודיות B A 80° B ab C D ארבע זוויות .כל שתיים מהן r Aישרים החותכים זה את זה ,נוצרות A Cבמפגש aשל שניB A b 60° 2 לזו 40° שאינן צמודות נקראות זוויות קדקודיות ,והן בגודלןB. a b שוות זו 60° 60° 2 +b a a a וכך גם yו .w-לכן x = zוגם c d .w = y למשל ,בסרטוט xו z-הן זוויות קדקודיות C CD α C y °x C b b b 80° 80° A B y x B B a a c c E . 60° 60° C B B b b 40° C A α B α δ β B h A 53 A A C C h B C D b α a Bb חשיבהb כמותית D A B A α β 60° β e f A Aγ C B ap b a g b h 60° A60° c d c d a b B C p c d γ γ β β e f e f q C C γ BA g h g h e Bf β q B g h A x z w e f q a b a g bh p c d c d a b c d e f e f q g h g h e f g h β h Q C D D A αA α α C D C α αb a b a b A βמשולשיםβ β β p יתר d d c c B P β Q QC C β B P ניצב A D α A A זוויות המשולש B P Q C A γ f f . α + β + γ = 180° בסרטוט למשל, .180° הוא משולש בכל הפנימיות הזוויות סכום β e e D q A C B B C γ g h g h Aδ βA α לסכום שתי והיא שווה זווית αהצמודה לאחת מזוויות המשולש נקראתCזווית חיצוניתB , יתר ניצב יתר C B ניצב ניצב A A D D A α α בסרטוט δהיא זווית הצמודה ל β-ולכן .δ = α + γ הזוויות האחרות במשולש .למשל ,יתר β βD ניצב A α משולשB , Q C Dבכל a P A יותר. ארוכה צלע נמצאת יותר גדולה זווית מול A B B C C γ γ δ βδ β למשלB,בסרטוט אם ,γ < α < βאז C הצלע C ACניצב ניצב (שנמצאתBמול Bהזווית )βארוכה מהצלע C C Cγ δ β B AB b h b C B ניצב C B ( BCשנמצאת מול הזווית ,)αוהצלע BCארוכה מהצלע( AB30°שנמצאת מול הזווית .)γ A יתר ניצב a Aa α C D DD B A Aa 2a a a 3 A D AD A C B הוא קטע המחבר קדקוד במשולש עם אמצע הצלע שמולו. במשולש תיכון b b b b h h B C γ δ β A 30° 30° B bבמשולש שבסרטוט C AD b h הוא תיכוןניצב ).(BD = DC BC למשל, לצלע 60° C B 30° B B aC C a a 2a 2a a 3 a 3 C B a 2a A A B B D DC C a a 3 D במשולש גובה a a B C D h A 60° 60° A A במשולש לצלע לצלע במשולש הואBקטע היוצא מקדקוד Dגובהb h b a a 60° הצלע30° . לאותה ומאונך להמשכה) (או שמולו a a A aA h h 45° למשלB , a C לצלע .BCa הגובה הוא h שבסרטוט במשולשים 2a a aA C a a a 3 2 a h h A A A A a B C DB שטח המשולש B B Da CA h D A B C D aB a משולש a a שווה למחצית המכפלה60° של אורך45°צלע שטח h h A במשולש באורך הגובה לצלע זוh. h A 45° a 45° a a C aC a המשולשיםa 2 a 2 hα בסרטוטaהוא h . BC $ h למשל ,שטחו של aכל אחד משני a ABC 45° 2 C A a 2 C C B B B a B B C C a D a אי-שוויון P המשולש 45° 45° C h A B A γ B C β בכלA A משולשB,סכום האורכים של45°כל שתיים a D a A A C מצלעותיו גדול מאורך הצלע השלישית. B ba a ba a A α α a A a למשלa,במשולשים שבסרטוטים .(AB + BC) > AC h aD D a h 45° α B B C P P C a 2 E a D B משולשים חופפים γ γ β β P τ C B C C B B Bβ F Cγ bשתיb b צורות b חופפות אם אפשר להניח אחת מהן על גבי האחרת גאומטריות הן צורות 45° C B ε bA b באופן ששתיהן מכסות בדיוק זו את זוa . A דוגמה של חפיפת צורות גאומטריות היא חפיפת C C a a E E δ α Cמשולשים .במשולשים חופפים הצלעות והזוויות שוות בהתאמה. τ Dτ E D B P למשל ,בסרטוט אם משולש ABCחופף למשולש DEFאז צלעותיהם שוות בהתאמה: τε Fε F γ β BC = EF ,AB = DEו AC = DF-וגם זוויותיהם שוות בהתאמה β = τ , α = δ :ו.γ = e- εC F B b b δ δ PA B α B כל אחד מארבעת המשפטים הבאים מאפשר לנו להסיק ששני משולשים חופפים: δ (א) שני משולשים חופפים אם שתיים מצלעות המשולש האחד שוות בהתאמה לשתיים מצלעות המשולש האחר ,והזווית שבין צלעות אלו במשולש האחד שווה לזווית המתאימה במשולש האחר (צ ,ז ,צ). למשל ,בסרטוט אם AC = DF ,AB = DEו ,α = δ-אז המשולשים חופפים. D C (ב ) שני משולשים חופפים אם שתיים מזוויות המשולש האחד שוות בהתאמה לשתיים מזוויות המשולש האחר ,והצלע שבין זוויות אלו במשולש האחד שווה לצלע המתאימה במשולש האחר (ז ,צ ,ז). למשל ,בסרטוט אם β = τ ,α = δו ,AB = DE-אז המשולשים חופפים. (ג) שני משולשים חופפים אם שלוש הצלעות במשולש האחד שוות לשלוש הצלעות במשולש האחר (צ ,צ ,צ). 54 (ד ) שני משולשים חופפים אם שתיים מצלעות המשולש האחד שוות בהתאמה לשתיים מצלעות המשולש האחר ,והזווית שמול הצלע הגדולה מתוך השתיים במשולש האחד שווה לזווית המתאימה במשולש האחר (צ ,צ ,ז). למשל ,בסרטוט אם AB > ACו DE > DF-ומתקיים AC = DF, AB = DEו,γ = ε- אז המשולשים חופפים. F D τ ε δ D D E בחינת הכניסה הפסיכומטרית לאוניברסיטאות חוברת הדרכה משולשים דומים A המשולשים A D הזוויות b באחד A b שוות שני משולשים הם משולשים דומים אם שלושD b A D 2 לשלוש הזוויות במשולש האחר. 2 b b D2 +b a a a האחד a a22 + b2 a במשולש במשולשים דומים היחס בין כל שתי צלעות a A a b2 ba + D D 2 +b a שווה ליחס בין שתי הצלעות המתאימות במשולש האחר. a 2 B 2 b b C ba C דומיםa B 2 +ab2B+ , למשל ,בסרטוט המשולשים ABCו DEF-הם C משולשים b a a C b AB DE ולכן = A A . 80° 80° A 80° 40° 80° B 40° 60° 40° A A 60° 60° C C 80° 80° C 60° A A a C D D 60° 60° D 80°C C80° D a B AC DF C C A aD Aa D מכך נובע גם. AB = AC = BC : a A D DE DF EF a A D 2 2 a aa משולשים חופפים הם בהכרח גם משולשים a דומיםa a . A A aa a a 2D D a 2 a a a 2 B a סוגי משולשים B aC C a a Ba 2a aa a C B a משולש שווה-צלעות הוא משולש שכל צלעותיו שוות זו C באורכן. לזו F F 60° C h D h h a a D B C C A A B h D B C b משולש שווה-שוקיים הוא משולש ששתיים b C מצלעותיו h שוות hזו לזו באורכן. B b "בסיס". שווה-שוקיים נקראת למשל ,בסרטוט .AB = ACהצלע השלישיתCבמשולש b B B C C C A A 60° A B 60° B 60° C 60° 60° C C A A A B 60° B B a b a b a cpb d c d c d A D D A α αD α משולש חד-זווית הוא משולש שכל זוויותיו חדותα . D A α α β β β β A D DQ β C BA βα BP α P Q C α α קהה. מזוויותיו P β B β Q משולש קהה-זווית הוא משולש שאחת C B P Q C β β β β C ).(90° משולש ישר-זווית הוא משולש שאחת B B P P ישרהQ Q מזוויותיו C A D A D ושתי הצלעות האחרות הצלע שמול הזווית הישרה נקראת יתר (בסרטוטD:הצלע A )AC A D נקראות ניצבים (בסרטוט AB :ו.)BC- B C B C ריבועי הניצבים. לפי משפט פיתגורס :במשולש ישר-זווית ריבוע C C שווה לסכום ABA היתרD D B C למשל ,בסרטוט . AC2 = AB2 + BC2 γ C γ γ C C β γ C γ C C A βA β B e f e f egfh g h B B g h β B β γ β B B A A A d ab b q cd d e f g h e f e f g h g h A יתר יתר יתר ניצב יתר A ניצב A ניצב ניצב יתר Cניצב ניצבBיתר B C B ניצב C B ניצב C Cניצבניצב B B ניצבניצב C של שתי אם aנתוניםAאורכיהן צלע, בעזרת נוסחה זו אפשר למצוא את B B כל a אורכה של D AC D a A D הצלעות האחרות. a b hb h D b b a h D a b Ah bD C B C B a a 2a C B a b bh h b b במשולש ישר-זווית שבו גודלי הזוויות הם 60° ,30°וC,90°-אורך a הניצב שמולBהזווית 30° A שווה למחצית אורך היתר. למשל ,בסרטוט אורך היתר הוא 2aולכן אורך הניצב שמול הזווית שגודלה 30°הוא .a A A 60°הוא .a 3 כמו כן ,לפי משפט פיתגורס ,אורך הניצב שמול aהזווית Aa שגודלה a a 40° E E 40° 60°60° 60° 60° 60° 60° 60° B 60° שתי הזוויות שמול הצלעות השוות ,שוות זו לזו בגודלן .למשלb,בסרטוט .β = γ a a C C 60° 60° A B B 60° E A A A 60° E E 40° F F a b Ab 40° E 40° 60° 60° אם אורך הצלע של משולש כזה הוא ,aאז גובהוDהוא 3a Aaa $ 2DושטחוAהוא .a2 $ 43 D A b A Aα α 40° B B 40° 80° D D 40° 80° 80° 60° 60° 60° F F B בגודלן .(60°)B שוות הזוויות a a למשל ,בסרטוט .AB = BC = ACבמשולש כזה גם כלC C a 40° B 80° B B b b B B 30° 30° 30° 2a 2a 60° a 60° 60° C 30° a 3 a 3 a 3 30° 2a 30° 2a 2a a 60° a 60° a 3 a 3a 3 a 60° Aa h h a B D B h a D a A Bh A D a a a a B a a ha a a D 45° a 45° C C h a 2 D a 45° a a 2 a 2 C 45° aו ,90°-שניB B a הם D הניצבים שווים 45°, במשולש ישר-זווית ושווה-שוקיים גודלי הזוויות 45° a C a a a 2 a a זה לזה באורכם ,ואורך היתר גדול פי 2 פיתגורס). משפט (לפי הניצבים מאורך a 45° 45° 45° C A 45° a 2 C 45° A a a 2a היתר הוא . a 2 למשל ,בסרטוט אורך כל אחד מהניצבים הוא aולכן אורךAa a a a a a 45°a a Aa a D 45° D Ba a B 45° P D B A AP P a a aD B a a P b a b b b a a A h C C C A A h h A B C C C55 h C חשיבה כמותית a D מרובעים A a 2 45° a a B P b a a C C b מרובע הוא כל מצולע בעל C 4 צלעות .לדוגמה: a D C a B b a2 +b a A a 2 b 2 A α C C a מלבן הוא מרובע שכל זוויותיו ישרות .במלבן כל זוג צלעות נגדיות שוות זו לזו באורכן. D D D a a a היקף המלבן שבסרטוט הוא ).2a + 2b = 2(a + b (לפי משפט פיתגורס). שטח המלבן שווה למכפלת האורכים של שתי צלעות סמוכות. שטח המלבן שבסרטוט הוא .a · b C ריבוע הוא מלבן שכל צלעותיו שוות זו לזו באורכן. היקף הריבוע שבסרטוט הוא .4a C אורך אלכסון הריבוע שבסרטוט הוא . a2 + a2 = a 2 שטח הריבוע שווה לריבוע אורך הצלע .שטח הריבוע שבסרטוט הוא .a2 C C C B a a A b a b2 2 a D 2 +b a 2 b2 a+ h a b b b A A a a A a B B B B a DD a A A DD a AA hα α 2 a a a 2 B aβ βa a b Q B P C B a C B a C D Dα A α גובה במקבילית הוא קטע המחבר שתי צלעות נגדיות (או המשכן) ומאונך להן. שטח מקבילית שווה למכפלת צלע בגובה לאותה הצלע. למשל ,במקבילית שבסרטוט השטח הוא .a · h מעוין הוא מרובע שכל ארבע צלעותיו שוות זו לזו באורכן. במעוין כל זוג של צלעות נגדיות מקבילות זו לזו ,ולכן הוא למעשה מקבילית שכל צלעותיה שוות. A אלכסונים במעוין מכיוון שמעוין הוא סוג של מקבילית ,גם בו האלכסונים חוצים זה את זה. במעוין האלכסונים גם מאונכים זה לזה. היקף המעוין שבסרטוט הוא .4a שטח מעוין מכיוון שמעוין הוא סוג של מקבילית ,גם את שטחו אפשר לחשב כמכפלת צלע בגובה (לאותה הצלע). למשל ,שטח המעוין שבסרטוט הוא . a · h B A DC C a αD A α α α β β a B β AP Q β DC B P Q C b hA b a a h CD B a A D B A D a a B C C B C B A Aa A a a aA h aa D D D b D a b C C a B Bb h b ahP Ca B b B ab A C A P A ε C a מקבילית ומעוין A a D β β B A DC מקבילית היא מרובע שבו כל זוג צלעות נגדיות מקבילות זו לזו ושוות באורכן. h B P Q C h למשל ,במקבילית שבסרטוטAB || DC ,AD || BC B C B C AB = DC ,AD = BC ab A D b A D האלכסונים במקבילית חוצים זה את זה. b h b היקף המקבילית שבסרטוט הוא .2a + 2b γ aB F מלבן וריבוע 56 a C B A D b אורך האלכסון במלבן שבסרטוט הוא a2 + b2 2 b a+ 2 C C C C 2 45° a D a a a hAC $ BD a . bh שטח המעוין הוא גם מחצית המכפלה של אורכי האלכסונים .למשל ,שטח המעוין D שבסרטוט הואb 2 D a a a CC a C B B B 2 C C a D b b A D לאוניברסיטאות הפסיכומטרית בחינת הכניסה חוברת הדרכה 2 a a a 2 A D a 2a +b a D A a α B α 2a C a C a b Ba β β טרפז B P Q C B a C טרפז הוא מרובע שבו רק זוג אחד של צלעות מקבילות זו לזו .הצלעות המקבילות a זה שווים נקראות בסיסים .שתי הצלעות האחרות נקראות שוקיים .בסיסי הטרפז אינם D A a A D לזה ,ולכן מכנים אותם לעתים "בסיס גדול" ו"בסיס קטן". h D A a2 B aA C גובה בטרפז הוא קטע המחבר בין שני בסיסי הטרפז ומאונך להם. a D a B C b שטח הטרפז שווה למחצית המכפלה של סכום אורכי הבסיסים בגובה. h (a + b) $ h B a C . למשל ,שטח הטרפז שבסרטוט הוא B C 2 a A DD A b α α טרפז שווה-שוקיים הוא טרפז שבו השוקיים שוות זו לזו באורכן. b h b a למשל בסרטוט.AB = DC : D βA β D A B P a h CQ בטרפז שווה-שוקיים זוויות הבסיס הגדול שוות זו לזו ,וזוויות הבסיס הקטן שוות זו לזוC . α α b למשל ,בסרטוט .«ABC = «DCB = β , «BAD = «CDA = α בטרפז שווה-שוקיים ,כשמורידים שני גבהים מקצות הבסיס הקטן לבסיס הגדול, מתקבלים מלבן ושני משולשים ישרי-זווית חופפים ) ABPו.(DCQ- C β C D Q C D D α D טרפז ישר-זווית הוא טרפז שבו אחת מזוויות הבסיס הגדול ישרה (וכמובן ,גם אחת מזוויות הבסיס הקטן). C βD Q C דלתון היקף הדלתון שבסרטוט הוא .2a + 2b A A a h A α a A D D b מצולע משוכלל a לזו בגודלן. מצולע משוכלל הוא מצולע שכל צלעותיו שוות זו לזו באורכן וכל זוויותיו הפנימיות שוות זו D a ab D a b אפשר לחשב את גודל הזווית הפנימית aבמצולע משוכלל בעל nצלעות בעזרת הנוסחה: a הפנימיות α הוא :120° למשל ,במשושה משוכלל כבסרטוט ,גודל כל אחת מהזוויות δ c . α = 180c − 360 6 = 120c γ β C a C A P A C C C A 2aית D b B a 2 2a B 45° 45° a a bh a B B a 2 b 45° a Bα C B 2a 0° b r 60° C B P י 45° a P γ aa60°2 C a C 2C a CA γ CC B A C Aa h a a c 180cn − 360c k . α = a180c − 360 n k=a n C b a למשל ,מתומן משוכלל הוא מצולע משוכלל בעל 8צלעות. מחומש משוכלל הוא מצולע משוכלל בעל 5צלעות. ריבוע הוא מצולע משוכלל בעל 4צלעות. משולש שווה-צלעות הוא מצולע משוכלל בעל 3צלעות. C B h Aa A D Ba aa C A D Db Bb h P B CC B a b b D C F ית Ba b ah A a a a C h C D B a שטח דלתון שווה למחצית המכפלה של אורכי האלכסונים. למשל ,שטח הדלתון שבסרטוט הוא . AC $ BD 2 CC ° a B β A C B P a F B β P A b דלתון הוא מרובע המורכב משני משולשים שווי שוקיים המחוברים בבסיסם. למשל ,בסרטוט הדלתון ABCDמורכב מהמשולשים ABDו, BCD- ).(CB = CD ,AB = AD האלכסון המחבר בין הקדקודים של שני המשולשים שווי-השוקיים חוצה את האלכסון שהוא בסיסם של שני המשולשים האלה ,ומאונך לו. למשל ,בסרטוט ACחוצה את (BP = PD) BDוגם .AC ⊥ BD b BB r 57 a חשיבה כמותית α δ α α γδ מעגל ,עיגול β γ היקפו. רדיוס הוא קטע המחבר את מרכז המעגל עם נקודה כלשהי על β α הנמצאות על היקפו. שונות נקודות מיתר במעגל הוא קטע העובר בתוך המעגל ומחבר שתי δ α δ a קוטר הוא מיתר במעגל העובר דרך מרכז המעגל. α δ אורך הקוטר במעגל שווה לפעמיים אורך הרדיוס .אם נסמן את אורך γרדיוס המעגל ב,r- γ d βa b אז אורך הקוטר במעגל הוא .2r β γ בקירוב). 3.14 הוא π של (ערכו 2 π r הוא היקף מעגל שאורך רדיוסו r cβ d b 2 שטח מעגל שאורך רדיוסו rהוא ( . πrלעתים משתמשים במונח "שטח עיגול" במקום "שטח מעגל"). ca a נקרא קשת. חלק מהיקף המעגל התחום בין שתי נקודות h a d b זרה. ג ִ נקרא וקשת חלק משטח המעגל התחום בין שני רדיוסים d b b h c c c ולכן .α = β r B I y 4 y 3 2 4 1 3 x 4 2 3 4 3 2 1 4 4 3 3 2 2 1 1 4 3 2 1 E E x E E4 E F 4 3 F3 2 ושתיהן נשענות על אותה A 2 הקשת ,ABIולכן1y II .α =-1 2β y1 -4 -3 -2 -1 II I 4 y -1 III IV -2 1y d x 4 -4 -3 d II -2 -3-1 -13 1 2 I 3 4 A -2 4 y B אורך -4קשת 34 -3 A -2 -1 4 d ddh 2 B d III -4 -223 IV B A -3 -1334 שתי תוחמות מעגל היקף על נקודות שתי d A d קשתותB . -4 -22 -312 A 23 1 מתאימה לזוויתrdהמרכזית ,α שתי קשתות :האחת למשל ,בסרטוט הנקודות A xו B-תוחמות h 1 B -312 -4 -3 -2 -1 -41 1 2 3 4 Ax -4 -3 -2 הקשת 1 2 3 .β והאחרת -לזווית המרכזית 4 מתאימה לזווית הקטנה מן השתיים .α - הקצרהAB-1 -1 -4 -3 -2 -1 -41 r -1 x -4 -3 -2 -1 -1 -4 III -3 α-2 -1 -2 1 2 IV3 4 . 2πrIII הוא זו קשת של אורכה ,r הוא המעגל רדיוס y -1אם $ 360 -2-1 y IV -4 -3 -2 -1 -2 -3 k III IV -2-1 -3-2 h -4 4 B4 -3y-3-2 h h -3 -4 B 3 -4שטח ִגזרה y h 3 k r -3 -4 m ראש. B2 4-4הזווית המרכזית הנוצרת בין שני הרדיוסים התוחמים גִזרה נקראת גם זווית r 2 1 F F F 4 4 3 3 2 2 4 3 2 4 c זווית מרכזית y c 3 A d II -5 במעגל. ושוקיה המעגל זווית Bהם רדיוסיםb במרכז -4 שקדקודה -3 -2 I -1 0 1 מרכזית3היא2 4 זווית5 c b -5 2 -44 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 d aa d הקשת. הנשענת על אותה זווית מרכזית גדולה פי 2מכלAזווית היקפית b 3 -51 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 A d a למשל ,בסרטוט αהיא זווית מרכזית ו β-היא זווית B היקפית, 2 x d y1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 1 1 2 4 -4 גִזרת 1מעגל בעלת זווית ראש .x° 1 3למשל ,החלק הכהה בסרטוט הוא 3 m 2 2 x גִזרת-4המעגל x y1 שטח -3 -2 -1 2 . πr $ הוא y1 2 33604 -4 -3 -2 -1 -1 1y k -1 1 y k -2 4 y -2 4 y למעגל x משיק -4 -3 -2 -1 4 -4 -3 -2 -1 4 1 k2 3 4 -3 -13 -3 -13 34 m 4 3 -4 -22משיק למעגל הוא ישר הנוגע בהיקף 2המעגל בנקודהmאחת בלבד ,הנקראת 23 -4 -2 23 m "נקודת ההשקה". -312 1 1 -32 1 ההשקה) היא זווית ישרה. בין המשיקxלרדיוס (בנקודת הזווית -4 -3 -2 -1 -41 -4 -4 -3 -2 -1 1 1 2 3 4 x -4 -3 -2 -1 -1 -4 .r שרדיוסו-3 -2 -1 -1 משיק 1 למשל ,בסרטוט הישר 2 3 a4 -1 למעגלy-1 x -4 -3 -2 -1 -2 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -2-1 -3 -3-2 -4 -4-3 -4 58 1 αα α β α α β β A αB B β α B α A α B B β α β B B B A A A α α β βα r xº β r r xº r r xºr xº r r r xº r r h h h x 2 לזה-4באורכם. מנקודה y1 זה -3 שווים -2 אחת -1 משיקים למעגל היוצאים2 3 4 -1 1 y למשל ,בסרטוט Aהיא נקודת החיתוך B ,ו C-הן נקודות ההשקה ,ולכן .AB = AC -2 4 y x -4 -3 -2 -1 4 1 2 3 4 C -3D-13 C D 34 -4D-22 C 23 β A A A h -2 -1 4 -2 -3 לאותו מעגל -2 y Dבנקודה אחת נקראים גם שני משיקים למעגל ונחתכים שני ישרים המשיקים C 3 -3 -4 מהמשיקים הוא אורך הקטע המחבר את נקודת החיתוך היוצאים מנקודה אחת .אורך כל אחד2 -4-34 -43 של המשיקים עם C שלו1D. נקודת ההשקה β A B r r r r r A A A αA A β AA β B B B a r r a r Ar r a a a A B C C A A A B A A C C A C β r B B r r B r OA O r BB r β α O y d r r O קשת שאורכה מחצית b היקף המעגל) היא זווית ישרהB . (כלומר-3,על-5 -4 -2 -1 2 היקפית 3 4 זווית 5 הנשענת 1על 0קוטר a II r B a c α α α C C O d זווית היקפית זווית היקפית היא זווית שקדקודה נמצא על היקף המעגל ושוקיה הם מיתרים במעגל. c שוות בגודלן. זוויות היקפיות הנשענות על אותה הקשת h h הקשת ,AB הזוויות - 1αו β0הן-1זוויות הנשענות שתיהן על b היקפיות -5 -4 -3 -2 2 בסרטוט 3 4 למשל5 , h α בחינת הכניסה הפסיכומטרית לאוניברסיטאות חוברת הדרכה מצולע החוסם מעגל מצולע החוסם מעגל הוא מצולע שכל אחת מצלעותיו משיקה למעגל. מצולע החסום במעגל מצולע החסום במעגל הוא מצולע שכל קדקודיו נמצאים על היקף המעגל. משולש החסום במעגל כל משולש אפשר לחסום במעגל. לכל משולש יש מעגל אחד בלבד החוסם אותו. אם המשולש החסום הוא ישר-זווית ,מרכז המעגל החוסם אותו הוא אמצע היתר של המשולש. α δ מרובע החסום במעגל לא כל מרובע אפשר לחסום במעגל. במרובע החסום במעגל סכום זוויות נגדיות שווה תמיד ל.180°- למשל ,במרובע שבסרטוט α + γ = 180° β + δ = 180° γ α δ δ β γ γ B a מרובע החוסם מעגל לא כל מרובע יכול לחסום מעגל. במרובע החוסם מעגל ,סכום האורכים של כל זוג צלעות נגדיות שווה. למשל ,במרובע שבסרטוט .a + c = b + d α α C β β r r O b A a a d b b c dA d Bc c כאשר המרובע הוא ריבוע ,אורך צלע הריבוע שווה לאורך קוטר במעגל. h r r B B β B B α h h A β c 4 5 2 3 0 1 -2 -1 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 5 4 2y 3 1 0 -1 -2 -3 -4 I y y A 4 3 2 x 4 2 3 -1 -1 -3 -2 4 x x B -2 -3 4 3 2 4 3 2 1 1 -1 -2 -1 -4 3 x 4 3 2 I I B -1 -3 -2 -4 -3 -1 -3 -2 -4 -4 II II d B B 43 32 -3A -2 -1 d -4 Ax 4III x 4 21 3 3 IV IV 2 1 2 1 1 -1 -2 h -1 -1 -3 -2 -1 -3 -2 -4 -3 -2 B B -3 -4 r III III E E 2 1 -1 -2 -3 -1 -3 -2 -4 F F 4 3 2 1 4 3 2 1 x x y y 4 3 43 2 x 4 4 21 1 -1 -2 -1 y y k k m 3 2 1 -1 -3 -2 -4 -1 -3 -2 -4 d d -1 -2 -3 -1 -3 -2 4 mr 4 3 x x 4 3 m 21 2 2 1 1 B d d B B α β r r xº r ºr º r h 32 -4 A h 43 1 32 a a r y B B h h -4 k d d -4 -4 4 1 2 IV -3 -2 y F 3 1 -1 -2 -3 -4 E y y d4 1 21 1 4 2 AA A x 4 32 -4 II 3 43 1 -5 -5 y 1 -3 -4 b α B c c b b a A A 1 -1 -1 -1 -3 -2 -3 -2 -4 -4 h r r 59 r γ b β α a c δ α δ d α δbγ βa γ βc γ d חשיבה כמותית h b צורות תלת-ממדיות (גופים) תיבה וקובייה שטח הפנים של תיבה הוא סכום שטחי פאותיה .שטח הפנים של התיבה בסרטוט הוא: y .ab + ac + bc + ab + ac + bc = 2ab + 2ac + 2bc II -5 -4h -3 -2 -1I 0 1 2 3 4 5 y נפח של תיבה הוא מכפלה של האורך ,הרוחב והגובה .נפח התיבה בסרטוט 4הוא .a · b · ch 4 3 A B h קובייה היא תיבה שבה 3 בגודלם. לזה זה שווים והגובה הרוחב האורך, 2 -5 -4 y -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 A 1 ריבועים חופפים. II I בקובייה כל הפאות הן y 2 4 1 2 2 x הקובייה הוא -4 -3 -2.6d3-1 שבסרטוט הוא ,dולכן שטח הפנים4של1 2 3 שטח כל פאה בקובייה 4 A x -1 y B -4 -3 -23 3-1 1 2 3 4 2 הוא .d II III -5 -4 IV 0 1 2 3 4 5 -2 -3 -2I -1 נפח הקובייה שבסרטוט y -1 A 41 2 -2 -5 -4 -3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 4 3 A 1 -3 B -2 -1 -4 1 2 3 4 x -4 -3 B 3 2 -5 -1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 גליל x y -4 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 A 2 1 -1 III IV -2 II I y y 4 הנמצאים חופפים זה לזה גליל הוא גוף תלת-ממדי 1 בעל שני בסיסים שהם מעגלים x -2 -4 II -3 -2 -1 -3 1 2I 3 4 y4 ומעטפת A 4 3y מאונך המעגלים שמחברת ביניהם .הקו המחבר את מרכזי במישורים מקבילים, x -1 -4 B B -4 -3 -2 -1 -3 1 2 3 4 II I y y 3 2 4 -1 3 III IV -24 A לכל אחד מהבסיסים. y -4 B kA 3 24 -2 21 -3 4 3 A E מכפלת4היקף המעטפת של גליל שטח הבסיס B הוא A 2 13 -3 שאורךBרדיוס בסיסו rוגובהו x h 1 3 -4 -3 -2 -1-42 1 23 3 4 .2 π r · h כלומר הגליל, בגובה m x -1 1 Ax -4 -3 -2 -1-4 -4 -3 -2 -1 1 1 22 3 4 y22 1 2F 3 4 y IV -1 הוא III ,πr2 x בסיס -1-2 k שטח כל והמעטפת. הבסיסים x שטחי -4 סכום -3 -2 הוא-1 11 גליל 1 של 2 שטח הפנים3 4 -4 III -3 -2 -1 -3 1 21IV3 4 4-1-2 -2 2 4 ושטח xx E . 2-1 הפנים הואπr · h + 2πr = 2πr · (h + r)x הוא πr · 1h1 שטח -4-4 לכן-3-3 -2-2 -13-1,2 המעטפת 22 33 44 -2-3 -4 -3 -3-4 -2 3-1 1 2 3 4 B -1 III IV y-1 -2 m 2 y -1 נפח הגליל הוא מכפלת 2-3-4 כלומר -4-3. πr 2· h שטחו שלBאחד הבסיסים בגובה הגלילk , -2-2 F -2 41 -4-3-3 41 E -4 B 3 -3 x 3 -4 -4 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 m -4 -3 -2 -1 -4 1 2 3 4 2 -1 2 חרוט y -1 F y 1 -2 k 1 -2 y4 y4 מעגל עם נקודה תלת-ממדי שנוצר מחיבור חרוט ישרxהוא גוף הנקודות שעל היקףk x -4 -3 -2 -1 -3 1 2 3 4E -3 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 y 3 y 4 -1 נמצאת על ישר המעגל .הנקודה נקראת "קדקוד החרוט" והיא הנמצאת מחוץ למישור -4 4 3y -1 E -4 m k 2 ועובר3 -2 סרטוט). (ראו המעגל במרכז המעגל המאונך למישור 2 4 3 -2 4 F 4 m E 21 -3 3 2 1D 3 C -3 וגובהו hהוא πr2 $ h חרוט שרדיוס F 3 . r בסיסו נפח x m 3 -4 -3 -2 -1-412 x 1 2 3 4 1 2 -4 -3 -2 -1-42 y 1 2 3 4 F -1 x -1 1 x -4 -3 -2 -1 1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 1 2 3 4 -2 -1 4 x -1-2 x -4 -3 -2 -1 -3 מנסרה 1 2 3 4 34 4x -2 D-2-33-1 -1 1 12 23 C -4 -4 -3 -3 -2 -2 -1 -1 -1 y -3-4 2 -2 -3-4 זה לזה ונמצאים החופפים מצולעים הם בסיסיו ששני תלת-ממדי מנסרה ישרה היא גוף -2 -2 41 -4-3 על -4-3 במישורים מקבילים ,ופאותיו הצדדיות הן מלבנים .כל מנסרה מכּונ ָה -3 פיDמספר C x 3 -4 מרובעת-4 מנסרה -3 -2 משולשים-1 -4 -4, בסיסים 1 2 3 4 משולשת היא בעלת הצלעות של בסיסה :מנסרה 2 -1 y היא בעלת בסיסים מרובעים וכו' (ראו סרטוטים). 1 -2 y4 גובה המנסרה הוא אורך קטע המחבר בין הבסיסים x -4 -3 -2 -1 -3 להם1 . ומאונך 2 3 4 C D-1 3y 4 -4 זה המרחק בין בסיסי המנסרה. C D -2342 Dלחשב את אפשר Cהצדדיות. שטח המעטפת של מנסרה הוא סכום שטחי כל הפאות 21 -3 3 x שטח המעטפת גם כמכפלה של היקף בסיס המנסרה בגובה המנסרה1 . -4 -3 -2 -1-42 1 2 3 4 -1 x 1 של -4 -3 -2 הבסיסים -1 שני 1 2 ושטחי 3 4 המנסרה. שטח הפנים של מנסרה הוא סכום שטח המעטפת -1-2 x -4 -3 -2 -1 -3 1 2 3 4 -2 נפח המנסרה שווה למכפלת שטח אחד הבסיסים בגובה המנסרה. -1 60 -3-4 -2 -4-3 -4 B B d β B B ca h תיבה היא גוף תלת-ממדי בעל שש פאות מלבניות .שלושת ממדי התיבה הם האורך, הרוחב והגובה (בסרטוט b ,aו c-בהתאמה). h-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 כל פאה בתיבה מאונכת לשכנותיה. B AB B B a b c b b d a d ac c b B d B c c B b d c d d b a a BB B B d dc d c b a d c b h a d b da r h B B B B d r ºB d d rd d hd h B d B d B d r r h h h h r r rh r a r h a h hr r a r C a a Ca C C C C בחינת הכניסה הפסיכומטרית לאוניברסיטאות חוברת הדרכה פירמידה δδ פירמידה ישרה היא גוף תלת-ממדי שנוצר מחיבור קדקודי מצולע משוכלל כלשהו עם נקודה הנמצאת מחוץ למישור של המצולע .המצולע נקרא "בסיס הפירמידה" והנקודה נקראת "קדקוד הפירמידה". γγ הפאות הצדדיות של הפירמידה הן משולשים. δ כל פירמידה מכונה על פי מספר הצלעות של בסיסה :פירמידה משולשת היא בעלת בסיס משולש ,פירמידה מרובעת היא בעלת בסיס מרובע וכו' (ראו סרטוטים)γ. β aa C בתיבה יש 12מקצועות. 5 5 4 4 5 ציר המספרים משמש להצגה גאומטרית של יחסים בין מספרים. yy y44 A A d 4 3 A h A B 3 3 4 2 2 3 α δ β 1 1 2 0 0 1 -1 -1 0 -1 c b -2 -2 -2 a -4 -3 yy A I B A A β b b c b -5 a II II y44 β 3 II B 3 α B 42 2 31 B 1 2 -4 -3 -2 -1 -4 -3 -2 -11-1 -1 III -2 -4 -3III-2 -1 -2 -1-3 ו.5- A -3 III -2-4 -4 -3 x 4 x A 4 y לנקודות. המתאימים x IV 1h 2 IV 3 4 למרחק-4בין הנקודות המתאימות לערכים 3 -2שווה Aלמשל ,המרחק בין הנקודות המתאימותxלערכים ( )-4ו)-2(- 4 B d -3 -2 -1 -2 1B 2 3 34 -1-3 IV 3 2 B d B -2-3 מערכת צירים קרטזית A -4 2 1 α -4 -3 -4 B 1 במערכת צירים קרטזית x המאונכים זה לזה .הציר האופקי נקרא ציר ה ,x-והציר β האנכי שני 1צירי מספרים -4 -3 -2 -1 יש 2 במישור 3 4 -4 -1 נקרא -4 -3 -2 -1 1 2 ציר ה .y-בציר ה x-המספרים גדלים ככל שמתקדמים ימינה ,ובציר ה y-המספרים גדלים ככל שמתקדמים -1 III IV -2 y y y מעלה. k-2 -1 0 1 2 3 4 5 -2 -3 -5 -4 y-3 k 4 h 4 4 y -4E B -3 y4 E 3 k 3 הצירים מחלקים את המישור לארבעה רביעים ,ובדרך כלל הם מסומנים 3 -4 3 r m 42 m 4 2y E 2 .IV ,III ,II ,I הרומיות ָרות פ בס F 2 31 Fy r 31 II I 1 m 1 4 2 xº 2 x x -4 -3 -2 -1 1 F2 3 4 x y המתארים-1את-4 -3 -2 -4 -3 r -2 -1 3 1 2 3 4 x זוג ערכים3 x 4ו1-1A 1 4 2 y- לכל נקודה במישור אפשר להתאים y -4 B -3 -2 -11-1 1 2 3 4 -1 k 3 2-1 4מקומה ביחס לצירים. -2 1 2 3 4 x -4 -3 -2 -1 -2 -2 1 2 3 4 A x 4 h -4 -3 -2 -1 1-2 2 -1-3 שלה הוא .1 הy- וערך ,4 הוא A הנקודה של הx- 3למשל ,בסרטוט ערך -1-3 -3 3 -3 1 x m -2-4 -4 -3 -2 -1 -2-4 1 2 3 4 2ערך ה x-של הנקודה Bהוא ) ,(-3וערך2ה y-שלה הוא .2 -4 F x -1-4 -3 r -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 1 -3 1 -1 III IV -2 כשערך ה-4 x- משמאל מקובל לסמן את ערכי הנקודה בתוך סוגריים - -4 x -4 -3 -2 -1 1 2 -2-4 -3 -2 -1 -3 לעתים1 2 -1לערך ה ,y-כך3 4 .)x , y( : מסמנים את ערכי הנקודה בצמוד לאות y -1 -4 y B -3 -2המייצגת אותה ,למשל ). B(-3-2, 2) , A(4 , 1 -4 r 4 y4 -3לעתים מכנים את ערכי הנקודה (-3)x , yבשם שיעורי הנקודה. C D 3 -4 C Da 3 הנקודה במישור המתאימה ל-4 (0 , 0) - היא נקודת מפגש הצירים, 42 2 C D 31 והיא נקראת ראשית הצירים. y 1 y 2 k x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x 4 y -4 -3 -2 -11-1 1 2 3 4 4 E -1 3 3 x -2 4 3 3 2 2 1 1 cc -5α -4 -5 -4 -3 -3 II -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 3 3 42 2 31 ימינה. המספרים על ציר המספרים גדלים ככל שמתקדמים 1 y 2 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x I II -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 פרופורציונלי להפרש1-1בין הערכים המספריים המרחק בין נקודות על ציר המספרים 4 -1 d A E hh c r O cc b γ ציר המספרים 3 r B אם Sהוא שטח בסיס הפירמידה ו h-הוא גובה הפירמידה ,אז נפח הפירמידה aהוא . S3$ h h a bb גובה הפירמידה הוא אורך הקטע היורד מקדקוד הפירמידה לבסיסה ומאונך למישור הבסיס שלה .זה המרחק בין קדקוד הפירמידה לבסיס שלה (ראו סרטוט). מקצוע c פאות. מקְצוע בגוף תלת-ממדי הוא הקו הישר הנוצר במקום המפגש בין שתי ִ בפירמידה שבסרטוט הקטע המסומן בקו מודגש הוא אחד המקצועות. ββ γ α α b δ b dd dd d d d c h h r r h c b a h h rr d h r d d h r 61 h x x 4 3 2 1 חשיבה כמותית -1 -3 -2 -1 3 4 -4 1 2 -1 IV -3 -2 -1 III -2 -2 -4 -3 B -3 h -4 -4 לכל הנקודות על ישר המקביל לציר ה x-יש אותו הערך yולכל הנקודות על y ישר המקביל לציר ה y-יש אותו הערך .x למשל ,בסרטוט E הישר kמקביל לציר ה y-ולכן לכל הנקודות שעל הישר k F יש אותו הערך ( xבסרטוט .)x = 1.5 x הישרm 1 שעל 2 הישר mמקביל לציר ה x-ולכן לכל הנקודות3 4 יש אותו הערך ( yבסרטוט .)y = 2.5 y k 4 4 3 3 2 2 1 -1 m 1 -1 -3 -2 -4 x 3 4 1 2 -1 -1 -2 -4 -3 -2 -2 -3 -3 -4 -4 דרך כל שתי נקודות במישור עובר ישר אחד בלבד. החלק של אותו ישר הנמצא בין שתי הנקודות נקרא קטע. y 4 5 2 3 0 1 4 C D3 2 5 y 4 3 2 0 1 1 אם הקטע מקביל לציר ה ,y-אורכו הוא ההפרש (בערך מוחלט) בין ערכי ה y-של הנקודות. למשל ,בסרטוט הקטע ABמקביל לציר ה.y- ערך ה y-של הנקודה Aהוא 4וערך ה y-של הנקודה Bהוא ).(-3 ההפרש בין ערכי ה y-הוא , 4 – (-3) = 7ולכן אורך הקטע ABהוא .7 x 4 2 3 4 1 3-1 y x 4 2 3 באופן דומה מחשבים אורך קטע המקביל לציר ה.x- x 3 4 -1 A 2-2 x 1-3 4 A -4 -3 -2 -1 3 -1 2 -2 1 B -3 1 2 A -3 -2 -4 1 -1 -3 -2 -1-4 4 -4 A x 4 -4 -2 B -3 y -4 4 E אם הקטע אינו מקביל לאף אחד מהצירים (למשל הקטע EFבסרטוט), אפשר לחשב את אורכו בעזרת משפט פיתגורס :מסרטטים משולש ישר-זווית שבו היתר הוא הקטע ,והניצבים מקבילים לציר ה x-ולציר ה.y- אורכו של הניצב המקביל לציר ה x-שווה להפרש בין ערך ה x-של הנקודה Eלערך ה x-של הנקודה (4 – 2 = 2) Fואורכו של הניצב המקביל לציר ה y-שווה להפרש בין ערך ה y-של הנקודה Eלערך ה y-של הנקודה F ). (3 – 1 = 2 בעזרת משפט פיתגורס אפשר לחשב את אורכו של היתרEF = 22 + 22 = 8 : . 3 y F Ex 4 3 4 1 2 x 3 2 3 2 F 4 2 1 1 -1 k 1 -1 -1 -3 -2 x -4 3 4 -2 -3 -1-4 -3 -2 -4 x 4 3 2 -2 -3 -4 C x x 62 4C 4 3 3 2 2 חוברת הדרכה בחינת הכניסה הפסיכומטרית לאוניברסיטאות שאלות ובעיות שאלות מתחום האלגברה עוסקות בכמה נושאים :משוואות ,דרך ,הספק ,צירופים ,הסתברות ועוד .שאלות מתחום הגאומטריה עוסקות במאפיינים של צורות גאומטריות :שטח ,נפח ,זוויות ועוד .כמה מהשאלות הן מילוליות ,ובהן יש לתרגם תחילה את הבעיה למונחים מתמטיים; שאלות אחרות הן לא מילוליות ,ובהן הבעיה מוצגת מלכתחילה במונחים מתמטיים .לפניכם שאלות לדוגמה ובצִדן פתרונות והסברים. שימו לב :הדוגמאות בחוברת זו ממוינות לפי סוגים ,אך בבחינה אין חלוקה כזו. שאלות אלגברה מילוליות .1נהג נסע מחיפה לאילת בפרק זמן מסוים .שליש מהדרך הוא עבר במהירות של 75קמ"ש ,חמישית מהדרך הנותרת הוא עבר בשעה ,ואת יתרת הדרך הוא עבר במהירות של 80קמ"ש .המרחק בין חיפה לאילת הוא 450ק"מ .אילו נסע הנהג במהירות קבועה לאורך כל הדרך ,מה הייתה צריכה להיות מהירות זו כדי שהנסיעה מחיפה לאילת תארך בדיוק אותו משך זמן? () 1 ()2 ()3 ()4 70קמ"ש 75קמ"ש 80קמ"ש 90קמ"ש שאלה זו מוצגת בצורה מילולית ,ולכן יש לתרגם אותה תחילה למונחים מתמטיים .ראשית ,נגדיר בבירור מה יש למצוא :המהירות שבה יש לנסוע כדי לעבור את המרחק בין חיפה לאילת באותו פרק הזמן שעשה זאת הנהג. אם כן ,זו שאלת דרך ,ואפשר ליישם בה את הנוסחה המקשרת בין מרחק ,מהירות ,וזמן , v = st :שכן המרחק )(s נתון ,את הזמן ) (tניתן לחשב ,והמהירות ) (vהיא הנעלם שיש למצוא. נתון בשאלה כי המרחק בין חיפה לאילת הוא 450ק"מ. את הזמן הכולל שהיה דרוש לנהג כדי לעבור את כל המרחק מחיפה לאילת אפשר לחשב כך: הדרך מחולקת בשאלה לשלושה קטעים .נחשב בכמה זמן עבר הנהג כל קטע - א .שליש מהדרך הוא 150ק"מ ,כי 450 $ 13הם .150קטע זה מהדרך עבר הנהג בשעתיים ,כי דרושות שעתיים כדי לעבור 150ק"מ במהירות של 75קמ"ש . b 150 = 2 l 75 ב .חמישית מהדרך הנותרת היא 60ק"מ ,כי אורכה של הדרך הנותרת הוא , 450 – 150 = 300ו 300 $ 1 -הם .60 5 נתון בשאלה כי הנהג עבר קטע זה מהדרך בשעה אחת. ג. יתרת הדרך היא 240ק"מ ,כי .450 – 150 – 60 = 240קטע זה עבר הנהג בשלוש שעות ,כי דרושות שלוש שעות כדי לעבור 240ק"מ במהירות של 80קמ"ש. לסיכום ,הנסיעה מחיפה לאילת ארכה סך הכול 6שעות (שעתיים ועוד שעה ועוד שלוש שעות). כעת אפשר לחשב את המהירות הקבועה שיש לנסוע בה כדי לעבור 450ק"מ ב 6-שעות ,על ידי הצבת הנתונים . v = st = 450כלומר ,המהירות היא 75קמ"ש והתשובה הנכונה היא (.)2 בנוסחה המתאימה6 = 75 : 63 חשיבה כמותית .2 ביום ה 10-לחייו אכל פילון 5סוכריות .מיום זה ואילך הלך וגדל תיאבונו ,ובכל יום הוא אכל פי 2סוכריות מביום הקודם .כמה סוכריות אכל הפילון ביום ה 14-לחייו? (40 )1 (80 )2 (120 )4 (100 )3 ביום ה 10-אכל הפילון 5סוכריות .מכיוון שמיום זה ואילך הוא אכל בכל יום פי 2סוכריות משאכל ביום הקודם ,הרי שביום ה 11-הוא אכל 10סוכריות ) ,(5 · 2ביום ה 12-הוא אכל 20סוכריות ) (5 · 2 · 2וכך הלאה. באופן כללי ,ביום ה (10 + n)-אכל הפילון 5 · 2nסוכריות ( nהוא מספר שלם וחיובי). לכן ,ביום ה 14-הוא אכל 80סוכריות ) ,(5 · 24 = 80והתשובה הנכונה היא (.)2 .3 בארוחה עסקית במסעדה מסוימת אפשר לבחור אחת מתוך 3מנות ראשונות שונות ואחת מתוך 4מנות עיקריות שונות .נוסף על המנה הראשונה ועל המנה העיקרית אפשר לבחור בין מרק לקינוח. כמה אפשרויות שונות של ארוחה עסקית של 3מנות אפשר להרכיב במסעדה זו? (12 )1 (14 )2 (24 )4 (18 )3 יש שלוש אפשרויות לבחור מנה ראשונה .לכל מנה ראשונה שבוחרים אפשר לצרף אחת מארבע מנות עיקריות שונות .כלומר ,יש 3 · 4צירופים שונים של מנה ראשונה ומנה עיקרית .לכל אחד מ 12-הצירופים האלה אפשר להוסיף מרק או קינוח .כלומר ,סך הכול יש 12 · 2צירופים שונים של שלוש מנות ,שהם 24אפשרויות. לכן התשובה הנכונה היא (.)4 .4 סטודנט זכאי לתואר ראשון רק אם הוא עובר את כל הבחינות ומגיש את כל העבודות .מתוך 300סטודנטים250 , עברו את כל הבחינות ו 215-הגישו את כל העבודות .כמה סטודנטים זכאים לתואר ראשון? ( )1לכל הפחות 215 ( )2לכל היותר 185 ( )4לכל הפחות 165 ( )3בדיוק 215 אפשר להגדיר שתי קבוצות סטודנטים :קבוצת הסטודנטים שעברו את כל הבחינות וקבוצת הסטודנטים שהגישו את כל העבודות .כל סטודנט המשתייך לשתי הקבוצות שתי הקבוצות אינה ידועה ,אך ייתכנו שני זכאי לתואר ראשון .מידת החפיפה בין y y מצבים קיצוניים .נמחיש אותם בסרטוט: )B(4,3 x )C(4,0 300 זכאים לתואר במצב של חפיפה מקסימלית בין שתי הקבוצות ,יהיה מספר הזכאים לתואר מקסימלי. 215הסטודנטים שהגישו את כל העבודות גם עברו את אם כל חפיפה מקסימלית תהיה )(1,4 )(x,y) (11,4 )A(0,3 כלומר ,לכלBהיותר 215Aסטודנטים יהיו זכאים לתואר. כל הבחינות. C 215 250 במצב של חפיפה מינימלית בין שתי הקבוצות ,יהיה מספר הזכאים לתואר מינימלי. x 50סטודנטים ) (300 – 250אינם זכאים לתואר משום שלא עברו את כל הבחינות, ו 85-סטודנטים ) (300 – 215אינם זכאים לתואר משום שלא הגישו את כל העבודות. כלומר ,מספר הלא-זכאים מאחת הסיבות לפחות הוא .50 + 85 = 135 זה מספר הלא-זכאים המקסימלי .לכן מספר הזכאים המינימלי הוא כלומר ,לפחות 165סטודנטים זכאים לתואר. β .300 – 135 = 165 300 165 85 50 זכאים לתואר 215 250 אם כן ,מספר הזכאים לתואר ראשון יכול להיות בין 165ל .215-לכן התשובה הנכונה היא (.)4 1.5a B α 64 C 300מ' 400מ' a C A B C 300מ' 100מ' C 300 300 0 50 מ' 700מ' A 400מ' חוברת הדרכה .5 מפעל העובד בקצב קבוע מייצר 20מכוניות ב 4-ימים .כמה מכוניות אפשר לייצר ב 3-מפעלים כאלה ,העובדים באותו הקצב ,ב 6-ימים? (60 )1 בחינת הכניסה הפסיכומטרית לאוניברסיטאות (80 )2 (90 )3 (120 )4 שאלה זו היא שאלת הספק .אחת הדרכים לפתור שאלות מסוג זה היא למצוא את ההספק של יחידת תפוקה אחת (במקרה זה ,מפעל אחד) ליחידת זמן אחת (במקרה זה ,יום אחד) ,ואז להכפיל במספר יחידות התפוקה ( 3מפעלים) ובמספר יחידות הזמן ( 6ימים) המבוקשות .אם מפעל מייצר 20מכוניות ב 4-ימים ,בכל יום הוא מייצר 5מכוניות . a 20לכן 3 ,מפעלים מייצרים ב 6-ימים 5 · 3 · 6מכוניות ,כלומר 90מכוניות ,והתשובה הנכונה היא (.)3 4 = 5k .6 בקופסה היו 20כובעים לבנים ו 13-כובעים שחורים .יעקב הוציא מהקופסה באקראי 3כובעים בזה אחר זה ,בלי להחזירם לקופסה ,ושלושתם היו שחורים. מה ההסתברות שגם הכובע הרביעי שיוציא באקראי יהיה שחור? ()1 13 33 10 (33 )2 (13 )3 (1 )4 33 יש לחשב את ההסתברות שיעקב יוציא כובע שחור ,לאחר שכבר הוציא שלושה כובעים שחורים .ההסתברות לכך היא מספר הכובעים השחורים שנותרו בקופסה חלקי סך כל הכובעים (שחורים ולבנים) שנותרו בקופסה. לאחר שהוצאו שלושה כובעים שחורים ,נותרו בקופסה 10כובעים שחורים ו 20-כובעים לבנים ,כלומר :מתוך 30 1 , 10והתשובה הנכונה הכובעים שבקופסה 10הם שחורים .לכן ,ההסתברות שיעקב יוציא כעת כובע שחור היא 30 = 3 היא (.)3 65 חשיבה כמותית שאלות אלגברה לא מילוליות 2x · 2y = 32 .1נתון: ?=x+y () 1 ()2 ()3 ()4 8 7 5 4 לפי חוקי החזקות ,במכפלה של חזקות בעלות אותו בסיס אפשר לחבר את המעריכים ,לכן 2x · 2y = 2x + yולכן לפי הנתון .2x + y = 32כדי שנוכל למצוא את ערך הביטוי ,x + yנבטא את 32כחזקה שבסיסה .32 = 25 :2מכאן ש .2x + y = 25 -כאשר שתי חזקות הן שוות ובעלות אותו בסיס ,גם המעריכים שלהן שווים ,ולכן .x + y = 5 התשובה הנכונה היא (.)3 .2הממוצע של שלושת המספרים y ,xו z-הוא . x · y ? = z () 1 ()2 ()3 ()4 3·x·y – x – y x·y – x – y 3·x·y + x + y )3 · x · y – (x – y x+y+z ממוצע הוא סכום האיברים חלקי מספרם ,ולכן הממוצע של y ,xו z-הוא 3 x+y+z ; נכפיל את שני האגפים ב; x + y + z = 3 · x · y :3- נציב במשוואה את נתוני השאלה= x $ y : 3 . ונבודד את . z = 3 · x · y – x – y :z לכן התשובה הנכונה היא (.)1 .3לכל שני מספרים aו b-הוגדרה הפעולה $כך: )$(a , b) = a · (a + b ? = )$($(2 , 0) , 1 (20 )1 (12 )2 (10 )3 בביטוי ) ,$($(2 , 0) , 1שאת ערכו יש למצוא. b = 1 ,a = $(2 , 0) , לפי הגדרת הפעולה.$($(2 , 0) , 1) = $(2 , 0) · ($(2 , 0) + 1) : אם כן ,כדי לחשב את ערך הביטוי המבוקש יש לחשב תחילה את ).$(2 , 0 לפי הגדרת הפעולה.$(2 , 0) = 2 · (2 + 0) = 4 : נציב את הערך שקיבלנו עבור ) $(2 , 0בביטוי המבוקש ונקבל.$($(2 , 0) , 1) = $(4 , 1) : לפי הגדרת הפעולה ,$(4 , 1) = 4 · (4 + 1) = 20 :והתשובה הנכונה היא (.)1 66 (4 )4 חוברת הדרכה .4נתון: בחינת הכניסה הפסיכומטרית לאוניברסיטאות B<C B<D<A איזו מן האפשרויות הבאות נכונה בהכרח? () 1 ()2 ()3 ()4 C<D D<C C<A אף אחת מהאפשרויות הנ"ל אינה בהכרח נכונה מהנתונים אי-אפשר להסיק דבר בנוגע ליחס הגדלים בין Cל A-ול .D-שלושה מצבים אפשריים לפי הנתונים: אB < C < D < A . בB < D < C < A . גB < D < A < C . אפשרות ( )1נכונה במצב א' ,אך לא במצבים ב' ו-ג' .אפשרות ( )2נכונה במצבים ב' ו-ג' ,אך לא במצב א'. אפשרות ( )3נכונה במצבים א' ו-ב' ,אך לא במצב ג' .אם כן ,כל אחת מהאפשרויות עשויה להיות נכונה במצבים מסוימים ,ועשויה להיות שגויה במצבים אחרים. לכן אף אחת מהאפשרויות ( )3(-)1אינה בהכרח נכונה ,והתשובה הנכונה היא (.)4 K .5הוא מספר זוגי ,ו P-הוא מספר אי-זוגי. איזו מן הטענות הבאות אינה נכונה? () 1 ()2 ()3 ()4 P – K – 1הוא מספר אי-זוגי P + K + 1הוא מספר זוגי P · K + Pהוא מספר אי-זוגי P2 + K2 + 1הוא מספר זוגי נבדוק כל אחת מהטענות: ( ) 1ההפרש בין מספר אי-זוגי ) (Pלמספר זוגי ) (Kהוא מספר אי-זוגי ,ולכן P – Kהוא מספר אי-זוגי. אם נפחית 1מהמספר האי-זוגי שהתקבל ,נקבל מספר זוגי. לכן P – K – 1הוא מספר זוגי ,והטענה אינה נכונה. ( )2סכום של מספר אי-זוגי ) (Pומספר זוגי ) (Kהוא מספר אי-זוגי ,ולכן P + Kהוא מספר אי-זוגי .אם נוסיף 1 למספר האי-זוגי שהתקבל ,נקבל מספר זוגי .לכן P + K + 1הוא מספר זוגי ,והטענה נכונה. ( )3מכפלה של מספר זוגי במספר שלם כלשהו היא זוגית ,לכן המכפלה P · Kהיא מספר זוגי .אם נוסיף למכפלה הזוגית שהתקבלה את המספר האי-זוגי ,Pנקבל מספר אי-זוגי .לכן P · K + Pהוא מספר אי-זוגי ,והטענה נכונה. ( )4ריבוע של מספר אי-זוגי ) (P2הוא מספר אי-זוגי ,כי הוא מכפלה של מספר אי-זוגי במספר אי-זוגי ),(P · P וריבוע של מספר זוגי ) (K2הוא מספר זוגי ,כי הוא מכפלה של מספר זוגי במספר זוגי ) .(K · Kסכום שני הריבועים ) (P2 + K2הוא אי-זוגי כי הוא סכום של מספר אי-זוגי ומספר זוגי ,ולכן ,כשנוסיף לו 1נקבל מספר זוגי. P2 + K2 + 1הוא אפוא מספר זוגי ,והטענה נכונה. בשאלה זו יש לסמן את הטענה שאינה נכונה ,ולכן ( )1היא התשובה הנכונה. 67 a y y y 300מ' )(x,y גאומטריה ) A(0,3שאלות C B )(11,4 )(11,4 0 50 )(x,yמ' )(1,4 C B A )(1,4 A x B 12מ' D 215מ' 400 300 85 8מ' C E D 85 A β 1.5a C B a 300מ' 400מ' 50 A B C 300מ' B 400מ' C 100מ' α 700מ' A 300מ' A 300מ' 300מ' 00 3מ' 8מ' E C B A C B )A(0,2 A D C β 1ס"מ β )B(1,0 C α α C 2β 60° D B DC 60° עברית 60° O x° 68 8מ' () 1 ()2 ()3 ()4 60° 45° 30° 25° C B E 8מ' 0 1 D A 0 1מ' לפי נתונים אלה והנתונים שבסרטוט, )(0,0 )B(1,0 ?=a 12מ' 1מ' y אם כן ,שטח הטרפז הוא 120מ"ר ,והתשובה הנכונה היא (.)2 D x A 12מ' ס"מ 10 D A 0 CD 12מ' 400מ' x° D = EC שלפניכם 2 ABC 5 הוא משולש ישר-זווית .2בסרטוט ו ABD-הוא משולש שווה-שוקיים ).(AB = AD 00 D C 3מ' 400מ' 1מ' B A B אם כן ,אורך הבסיס הגדול הוא 18מ' ) 6מ' 12 +מ'(. C ^12 + 18h $ 8 =S = 120 הטרפז: נחשב את שטח )A(0,2 2 B 0 הנתונים102 − 82 = 6 : נציב את D C 1מ' נבודד את DC2 − DE2 :EC B 60° 00 400מ' α ^a + bh $ h a .S הנוסחה לחישוב שטח טרפז שבסיסו האחד ,aבסיסו האחר bוגובהו hהיא: = C β 2β 2 הטרפז הנתון הוא ישר-זווית ולכן השוק המאונכת לבסיסים שווה לגובה הטרפזC . הבסיס בסרטוט נתוניםDהגובה ואורך B C C 0 לבסיס BC D מהנקודה הקטן אך לא נתון אורך הבסיס הגדול .כדי לחשב את אורך הבסיס הגדול נוריד אנך 50 מ' ( DEבסרטוט להלן) .מתקבל מלבן ABEDשאורכו 12מ'A ורוחבו 8מ' ,ולכן .DE = 8 ,BE = 12 0 50 מ' כדי למצוא את אורךAהבסיס הגדול של הטרפז נותר רק לחשב את אורכו של .EC A 400מ' 2B 2 2 A אפשר לעשות זאת בעזרת משפט פיתגורס .במשולש ישר-הזווית O B DC = DE + EC :DEC = EC B C 100מ' A 300מ' זכא לת 250 215 250 65 A זכאים לתואר C B 1.5a 12מ' 165 B α 0 8מ' () 1 ()2 ()3 ()4 150 120 108 96 β B 300 0 )C(4,0 A 250 1מ' D C(4,0) x B לפי נתונים אלה והנתונים שבסרטוט, הטרפז (במ"ר)? מה שטח C זכאים לתואר A 400מ' .1בסרטוטxשלפניכם טרפז ישר-זווית ).(AD || BC ז ל 00 )A(0,3 C 3מ' )BA(4,3 C 300 0 חשיבה כמותית )B(4,3 y 300 1מ' α 400מ' x° 10ס"מ סכום הזוויות במשולש הוא .180°לכן ,במשולש ABCמתקיים . 90° + 2b + b = 180° נפתור את המשוואה ונקבל .b = 30° )A(0,2 y נתון כי המשולש ABDהוא שווה-שוקיים .מכך נובע כי .«ABD = «ADB )A(0,2 y «ABD = 2b = 60°ולכן גם .«ADB = 60° D A במשולש ABDמתקיים D,«BAD + «ABD + «ADB = 180°כלומר . «BAD = 180° – «ABD – «ADB )A(0,2 נציב את ערכי הזוויות שכבר חישבנו ונקבל 5 – 60° = 60° . «BAD 2= 180° – 60° ) .60° + aA(0,2לכן ,a = 30° .«BADנציב את ערכי הזוויות הידועות ונקבל = 90° + a = «BAC לפי הסרטוט, 2 5 C והתשובה הנכונה היא (.)3 D C x )(0,0 )B(1,0 )B(1,0 1 1ס"מ x )(0,0 )B(1,0 )B(1,0 60° 1 C B A D 1ס"מ C A α בחינת הכניסה הפסיכומטרית לאוניברסיטאות חוברת הדרכה β 2β D C B .3בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו Oורדיוסו 10ס"מ. נתון :השטח הכהה שווה ל 16 -משטח המעגל. לפי נתונים אלה והנתונים שבסרטוט, מה אורך הקשת המודגשת (בס"מ)? (30 π )1 60° O x° 20π (3 )3 40π (3 )2 )A(0,2 10ס"מ (20 π )4 y A (11, C )(x,y B אורך הקשת המודגשת שווה להיקף המעגל כולו ,פחות אורך הקשת שאינה מודגשת .כדי למצוא את אורכה של D הקשת שאינה מודגשת ,יש למצוא את גודל הזווית המרכזית שנשענת עליה .גודל זווית זו הוא ( x° + 60°כפי שנתון בסרטוט) x .היא זווית הראש של הגזרה הכהה ,ואת גודלה אפשר למצוא בעזרת )A(0,2 הנוסחה לחישוב שטח גזרת מעגל: 2 5 x . πr2 $ 360 D 2 C נתון ששטח הגזרה הכהה שווה ל 16 -משטח המעגל ,כלומר ל( π6r -שהרי שטח המעגל כולו שווה ל,)πr2 - 1ס"מ x 2 (0,0) x )B(1,0 )B(1,0 60° x 1 2 ולכן נקבל את המשוואה = π16r . πr2 $ 360נצמצם את שני האגפים ב, 360 = 6 :πr - B C . x = 360אם כן ,גודל הזווית המרכזית שעליה נשענת הקשת שאינה מודגשת הוא ונבודד את 6 = 60 :x 300 y 1 , 2πr $ 120כלומר 13מהיקף המעגל. ,x° + 60° = 60° + 60° = 120°ואורך הקשת הנשענת על זווית זו הוא 360 = 2πr $ 3 לכן ,אורך הקשת המודגשת הוא 23מהיקף המעגל. עברית זכאים לתואר היקף המעגל (בס"מ) הוא 2pr = 2p · 10 = 20pולכן 23מהיקף המעגל הוא . 23 $ 20π = 403π )(1,4 215 40πס"מ ,והתשובה הנכונה היא (.)2 Aכלומר ,אורך הקשת המודגשת הוא 3 250 300 .4המרחק בין הנקודות Aו B-הוא 400מטר. מכאן נובע שהמרחק בין הנקודות Aו C-הוא בהכרח - 300מטר. 50 Bו C-הוא165 המרחק בין הנקודות85 β זכאים לתואר ( ) 4אי-אפשר לדעת ( 700 )3מטר ( 500 )2מטר ( 100 )1מטר לפי הנתונים 215 הנקודות ,וייתכנו מצבים רבים, הנתונים בשאלה זו אינם מספקים מידע בנוגע למקומן היחסי של שלוש 250 כמו: 1.5a B C 300מ' 400מ' a A B C 300מ' 100מ' C 400מ' C 00 300מ' 0 50 מ' 3מ' A 700מ' A מתאים לתשובה ()3 מתאים לתשובה ()1 A B B 400מ' A 400מ' מתאים לתשובה ()2 לא מתאים לאף אחת מהתשובות ()3(-)1 A 69 8מ' 8מ' 0 0 1מ' אינו מתקיים 12מ' בהכרח. ייתכנו ,וכן מצבים כל המצבים האלה 12מ' רבים אחריםA,אך אף אחד מהם D D לכן התשובה הנכונה היא (.)4 1מ' B C 0 C C חשיבה כמותית 60° x° 0 300מ' .ABCD .5במערכת הצירים שלפניכם נתון ריבוע )A(0,2 A 400מ' y A B )A(0,2 8מ' C D E )(0,0 C x 8מ' 1 0 C אי-אפשר לדעת לפי הנתונים 5 6 5 4 )B(1,0 2 12מ' 1מ' D D A 12מ' A 0 () 1 ()2 ()3 ()4 A 400מ' 1מ' שטח הריבוע? מה D B D C B )B(1,0 α )A(0,2 2β D C B ראשית הצירים והנקודות Aו B-יוצרים משולש ישר זווית ש AB-הוא היתר בו .אורך עברית הניצב האחד הוא המרחק בין ראשית הצירים ) (0 , 0לנקודה ) ,A(0 , 2כלומר ,2ואורך = . 22 + 12 אם כן ,אורך צלע הריבוע הוא , 5ומכאן ששטח הריבוע הוא . ^ 5 h = 5 60° 2 לכן התשובה הנכונה היא (.)3 )B(1,0 (3 )3 )B(1,0 1 ( 4 )4ס"מ 3 110ס"מ A D C ( 2 )2ס"מ ס"מ )(0,0 )A(0,2 2 )(0,0 C O x° )A(0,2הוא משולש ישר-זווית BD .חוצה את הזווית .«ABC .6בסרטוט שלפניכם ABC y לפי נתונים אלה והנתונים שבסרטוט, D ? = AD ( 1 )1ס"מ 2 5 הניצב האחר הוא המרחק בין ראשית הצירים ) (0 , 0לנקודה ) ,B(1 , 0כלומר .1 לפי משפט פיתגורס ,אורך היתר ABהוא 5 x )B(1,0 1ס"מ 60° C סכום הזוויות במשולש הוא 180°ולכן .«BAD = 30°מהנתון ש BD-חוצה את הזווית «ABCנובע ש .«ABD = 30°-במשולש ,«BAD = «ABD ,ADBולכן ADBהוא משולש שווה-שוקיים שבו .AD = BD BDהוא גם יתר במשולש .BDCמשולש זה הוא משולש ,30° 60° 90°ולכן 2ס"מ = .BD = 2 · CD = 2 · 1 עברית מכיוון ש ,AD = BD-גם 2ס"מ = ADוהתשובה הנכונה היא (.)2 70 60° B C A =4+1 B 1ס"מ כדי לחשב את שטח הריבוע יש למצוא את אורך הצלע שלו .אורך הצלע הוא המרחק בין כל שני קדקודים סמוכים ,למשל Aו .B-מכיוון שהקטע ABאינו מקביל לאף אחד β מהצירים ,נחשב את אורכו בעזרת משפט פיתגורס. 5 10ס"מ 3מ' A 00 50 מ' B O C E B x חוברת הדרכה בחינת הכניסה הפסיכומטרית לאוניברסיטאות .7נוזל הממלא תיבה שממדיה הם 2ס"מ 10 xס"מ 20 xס"מ ,נמזג כולו לכלי בצורת גליל שרדיוס בסיסו 5ס"מ. עד איזה גובה (בס"מ) יגיעו פני הנוזל בכלי הגלילי? ()1 16 π 40 (π )2 (8 π )3 (8 )4 נפח תיבה הוא מכפלת שלושת ממדיה ,ולכן נפח הנוזל בתיבה הוא 20 · 10 · 2סמ"ק ,כלומר 400סמ"ק .לאחר מזיגתו לכלי שצורתו גליל ,נפח הנוזל נשאר כשהיה .כעת יש למצוא מה יהיה גובהו של גליל שרדיוס בסיסו 5ס"מ ונפחו 400סמ"ק -גובה זה הוא הגובה שאליו יגיע הנוזל בגליל. הנוסחה לנפח גליל היא ,V = πr2 · hויש למצוא את hכאשר 5ס"מ = 400 , rסמ"ק = .V נציב את הנתונים בנוסחה לחישוב הנפח400 = π · 52 · h = π · 25 · h : ,h = 400 = 16והתשובה הנכונה היא (.)1 כדי לבודד את hנחלק את שני האגפים ב 25π-ונקבל 25π π 71 חשיבה כמותית שאלות הסקה מתרשים או מטבלה השאלות האלה עוסקות במידע הניתן בתרשים או בטבלה .בדרך כלל התרשים או הטבלה מלווים בהסבר קצר. בטבלה מוצגים נתונים המסודרים בעמודות ובשורות .בתרשים הנתונים מוצגים בצורה גרפית כלשהי -בגרף, בדיאגרמת עמודות וכו' .לפניכם תרשים וטבלה לדוגמה ,ואחרי כל אחד מהם כמה שאלות המלוות בהסברים. הסקה מתרשים עיינו היטב בתרשים שלפניכם ,וענו על השאלות שאחריו. בתרשים נתונים על ארבע טכנולוגיות שונות לייצור מנוע מסוים. כל טכנולוגיה מסומנת באות (א'-ד') ומיוצגת בתרשים על ידי מתחם סגור .כל נקודה במתחם מייצגת את ההספק והמחיר של מנוע שאפשר לייצר בטכנולוגיה המתאימה. לדוגמה ,בטכנולוגיה א' אפשר לייצר מנוע שהספקו 750כוחות סוס במחיר של 8,500דולר ,אך אי-אפשר לייצר מנוע בעל אותו הספק במחיר של 5,000דולר. הערה :לטכנולוגיות א' ו-ב' יש תחום המשותף לשתיהן ,וכך גם לטכנולוגיות ב' ו-ג'. מחיר המנוע )באלפי דולרים( 10 עברית 9 א ערבית 8 7 ב 6 5 ג ד 4 3 2 1 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 900 1000 הספק המנוע )בכוחות סוס( מחיר המנוע )באלפי דולרים( סרטוט I שימו לב :בתשובתכם לכל שאלה ,התעלמו מנתונים המופיעים בשאלות האחרות. 10 9 א 8 7 ב ד 6 5 ג 4 3 2 1 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 72 הספק המנוע )בכוחות סוס( מחיר המנוע סרטוט II מחיר המנוע )באלפי דולרים( הפסיכומטרית לאוניברסיטאות הכניסה בחינת המנוע מחיר חוברת הדרכה )באלפי דולרים( 10 עברית 9 א השאלות ופתרונן: ערבית 8 أ 7 ב 6 .1מה טווח ההספקים (בכוחות סוס) של המנועים שאפשר לייצר גם בטכנולוגיה א' 5 וגם בטכנולוגיה ב'? () 1 ()2 ()3 ()4 ג ד 5 00-400 600-500 700-600 עבריתהנ"ל אף לא אחת מהאפשרויות 4 د 3 מחיר המנוע )באלפי 2 דולרים( 10 1 9 ערבית 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 הספק המנוע )בכוחות סוס( א 8 כדי לפתור שאלות הסקה מתרשים יש "לתרגם" את השאלה למונחים של התרשים ,ולמצוא בתרשים את המידע הדרוש .השאלה עוסקת ב במנועים שאפשר לייצר גם בטכנולוגיה א' וגם בטכנולוגיה ב' .מנועים כאלה מיוצגים בתרשים על ידי השטח המשותף למתחמים המייצגים ג ד את שתי הטכנולוגיות (השטח הכהה בסרטוט .)Iכעת יש למצוא את טווח ההספקים של המנועים האלה .גבולותיו של השטח הכהה ביחס לציר האופקי מייצגים את טווח הספקי המנועים שאפשר לייצר בשתי הטכנולוגיות .כפי שאפשר לראות בסרטוט ,הגבולות הם בין 600ל700- לייצר גם שאפשר המנוע כוחות סוס ,כלומר טווח ההספקים של המנועיםהספק )בכוחות סוס( בטכנולוגיה א' וגם בטכנולוגיה ב' הוא 700-600כוחות סוס ,והתשובה הנכונה היא (.)3 700 800 900 1000 7 סרטוט IV סרטוט I 6 10 5 9 4א 8 2 1 סוס. בשאלה זו נקודת המוצא היא מנוע בעל הספק של 650כוחות המנוע מחיר 900 1000 100 בשלב200 300 400 IV סרטוט500 600 הציר 700 800 ראשון יש לכן האופקי, ההספקים מיוצגים בתרשים על הספק המנוע )בכוחות סוס( )באלפי דולרים( למצוא על הציר האופקי את הספק המנוע הרצוי ,ובשלב שני יש 10 9 למצוא את המחיר הנמוך ביותר של מנוע בעל הספק זה .נמתח קו 8 א אנכי מהנקודה על הציר האופקי המייצגת הספק של 650כוחות7סוס עד שהוא ייגע באחד מהמתחמים (ראו סרטוטב .)IIנקודת מגע זו 6היא 5 הנקודה המייצגת את המחיר הנמוך ביותר של מנוע בעל הספק של 4 ד ג המתחם של על גבול 650כוחות סוס .נקודת המגע הנמוכה ביותר היא 3 טכנולוגיה ד' ,והיא מייצגת מחיר של 2,000דולר ולכן זה המחיר 2 הנמוך 1 ביותר של מנוע בעל ההספק המבוקש .אם כן ,התשובה הנכונה 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 היא (.)2 הספק המנוע )בכוחות סוס( د 7 3 ב 2 6 ד 1 أ 5 ג 4 3 2 1 0 700 800 900 1000 ﻗﺪرة اﶈ מחיר המנוע 100 200 300 400 I 500 600 700 800 900 1000 סרטוט )באלפי דולרים( הספק המנוע )בכוחות סוס( 0 800 900 1000 ﻗﺪرة اﶈ 10 מחיר 9 המנוע דולרים( )באלפי 8 סרטוט II א .2מה המחיר הנמוך ביותר שבו אפשר לייצר מנוע בעל הספק של 650 10כוחות סוס? 9 ב א 8 א ( 1,000 )1דולרים 7 ד ב ( 2,000 )2דולרים 6 ב ( 1,500 )3דולרים 5 ד 4 ( 2,500 )4דולרים ד ג 3 أ מחיר המנוע )באלפי דולרים( 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 מחיר המנוע )באלפי דולרים( ﻗﺪرة اﶈ 10 7 6 5 ג 4 3 2 ג 1 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 9 أ 8 7 أ 6 5 4 3 2 )(650,2 המנוע )בכוחות סוס( הספק 00 800 900 1000 ﻗﺪرة اﶈ 1 )650,2 100המנוע מחיר 200 300 400 II סרטוט500 600 700 800 900 1000 )באלפי דולרים( הספק המנוע )בכוחות סוס( 0 800 900 1000 ﻗﺪرة اﶈ 10 9 מחיר המנוע 8 )באלפי דולרים( א סרטוט III 10 7 ב א ד )(650,2 69 58 ג ב ד أ أ 47 36 25 ג 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 )בכוחות סוס( הספק המנוע )(500,3 14 )650,2 3 00 800 900 1000 2 ﻗﺪرة اﶈ 1 0 800 900 1000 ﻗﺪرة اﶈ מחיר המנוע 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 סרטוט III הספק המנוע )בכוחות סוס()באלפי דולרים( 10 9 א 8 أ 7 ב ד 6 5 ג )(500,3 أ 4 3 2 1 73 00 800 900 1000 ד ג 3 2 1 חשיבה כמותית 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 הספק המנוע )בכוחות סוס( סרטוט IV ﻗ מחיר המנוע )באלפי דולרים( סרטוט II מחיר המנוע 00 1000 בטכנולוגיה ג'. .3בחברה אחת המייצרת מנועים הוחלט להפסיק את השימוש )באלפי דולרים( 10 9 מה יהיה ההספק הנמוך ביותר (בכוחות סוס) של מנוע שמחירו 3,000 9דולר שהחברה תוכל לייצר לאחר יישום 8 א ההחלטה? 8 א 7 10 7 () 1 ()2 ()3 ()4 500 400 300 אי-אפשר לייצר מנוע כזה ב ד ב 6 5 ג 6 5 ד 4 ג 4 3 3 2 2 )(650,2 מחיר המנוע 1 )באלפי דולרים( 1 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 הספק המנוע )בכוחות סוס( מכיוון שנאמר בשאלה שהחברה תפסיק להשתמש בטכנולוגיה ג', נתעלם מהמתחם של טכנולוגיה זו ,ונתייחס רק למתחמים האחרים (השטחים הכהים בסרטוט .)IIIבשאלה זו נקודת המוצא היא מנוע שמחירו 3,000דולר .מחירי המנועים מוצגים בתרשים על הציר האנכי, ולכן יש למצוא תחילה את הנקודה על הציר האנכי המייצגת מחיר של 3,000דולר .ככל שנתקדם מנקודה זו ימינה כך יעלה ההספק ,ולכן אם נמתח קו אופקי מנקודה זו (ראו סרטוט ,)IIIנקודת המגע הראשונה של הקו עם אחד מהמתחמים תייצג את ההספק הנמוך ביותר של מנוע שמחירו 3,000דולר .נקודת המגע הראשונה היא עם המתחם של טכנולוגיה ד' .נקודה זו נמצאת על הקו האנכי המתאים ל 500-כוחות סוס בציר האופקי ,וזה ההספק הנמוך ביותר של מנוע שמחירו 3,000 דולר .לכן התשובה הנכונה היא (.)1 10 עבריתהספק המנוע )בכוחות סוס( סרטוט IIIא 7 ב 9 6 8 5 7 ד ד ג 6 5 ג 4 3 4 2 3 1 2 )(500,3 1 00 1000 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 ﻗ הספק200 300 400 500 600 700 800 900 1000 המנוע )100בכוחות סוס( הספק המנוע )בכוחות סוס( סרט .4לחברה מסוימת אסור לייצר מנועים שהספקם גבוה מ 550-או שווה ל 550-כוחות סוס. באילו טכנולוגיות החברה יכולה להשתמש כדי לייצר את מנועיה? () 1 ()2 ()3 ()4 8 10 ב ﻗﺪ 9 מחיר המנוע )באלפי דולרים( א 00 1000 א ב ג' בלבד ב' ו-ג' בלבד ג' ו-ד' בלבד ב' ,ג' ו-ד' בלבד ד 00 1000 ﻗ 0 600 700 800 900 1000 הספק המנוע ) נקודת המוצא היא מנוע שהספקו 550כוחות סוס .נמצא את הנקודה המייצגת הספק זה על הציר האופקי ,ונמתח ממנה קו אנכי לכל גובה התרשים (ראו סרטוט .)IVכל המנועים שמימין לקו זה הם בעלי הספק גבוה מ 550-כוחות סוס ,וכל המנועים שמשמאל לקו הם בעלי הספק נמוך מ 550-כוחות סוס .לחברה הנזכרת בשאלה מותר לייצר רק מנועים שהספקם נמוך מ 550-כוחות סוס ,לכן היא יכולה להשתמש רק בטכנולוגיות שהמתחם שלהן או חלק ממנו נמצא משמאל לקו (השטחים הכהים בסרטוט .)IVמשמאל לקו נמצא כל המתחם של טכנולוגיה ג' ,חלק מהמתחם של טכנולוגיה ב' ,וחלק מהמתחם של טכנולוגיה ד' .לכן ,החברה יכולה להשתמש בטכנולוגיות ב' ,ג' ו-ד' לשם ייצור מנועים שהספקם נמוך מ 550-כוחות סוס ,והתשובה הנכונה היא (.)4 סרטוט מחיר המנוע )באלפי דולרים( סרטוט IV 10 9 א 8 א 7 ב ד ב 6 5 ג ד 4 3 2 )(650,2 1 600 700 800 900 1000 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 הספק המנוע )בכוחות סוס( הספק המנוע ) סרטוט א ב 74 ד חוברת הדרכה בחינת הכניסה הפסיכומטרית לאוניברסיטאות הסקה מטבלה עיינו היטב בטבלה שלפניכם ,וענו על השאלות שאחריה. בטבלה מוצגים נתונים של 10חברות העוסקות בענפים שונים .החברות מסומנות באותיות Aעד .J לכל חברה מצוינים :הענף שבו היא עוסקת ,נתונים על היקף המכירות שלה ,נתונים על הרווחים שלה בשנה הנוכחית, ערך נכסיה ומספר עובדיה. לדוגמה :חברה Eעוסקת בענף האלקטרוניקה ,מועסקים בה 400,000עובדים וערך נכסיה 90מיליון דולרים .היקף המכירות של החברה הסתכם ב 70-מיליארד דולרים בשנה הנוכחית (שהם 9%יותר ממכירותיה בשנה שעברה) ,והיא הרוויחה 6,000מיליון דולרים (שהם 60%יותר מרווחיה בשנה שעברה). דוגמה לחישוב אחוז השינוי :אם מכירות של חברה מסוימת היו 40מיליארד דולרים בשנה שעברה ,והשנה הן עלו ל50- מיליארד דולרים ,אחוז השינוי בהשוואה לשנה שעברה הוא − 40 $ 100 25% . a 5040 k רווחים מכירות רווחים (במיליוני דולרים) אחוז השינוי בהשוואה לשנה שעברה ערך נכסים (במיליוני דולרים) מספר עובדים (באלפים) אחוז השינוי מכירות בהשוואה (במיליארדי לשנה שעברה דולרים) -1.5% -2,000 -150% 180 750 6,500 0% 100 150 40% 390 100 180 350 400 החברה הענף A רכב 125 B נפט 110 25% C נפט 105 22% 5,000 D רכב 100 1.5% 900 -80% E אלקטרוניקה 70 9% 6,000 60% 90 F רכב 65 7% 3,000 15% 55 100 G מתכות 60 25% 1,000 -20% אין נתונים 400 H נפט 60 20% 3,000 -15% 60 120 I נפט 55 15% 2,000 7% 40 70 J אלקטרוניקה 50 6% 4,500 10% 150 300 שימו לב :בתשובתכם לכל שאלה ,התעלמו מנתונים המופיעים בשאלות האחרות. השאלות ופתרונן: .1איזו מהחברות העוסקות בענף הרכב היא בעלת ערך הנכסים הנמוך ביותר? (A )1 (D )2 (F )3 ( A )4וגם D בטור השני מימין מצוין הענף שבו עוסקת כל חברה .אפשר לראות שהחברות D ,Aו F-הן החברות היחידות העוסקות בענף הרכב .נבדוק את ערך הנכסים (בטור השני משמאל) של כל אחת מהחברות האלה :ערך נכסיה של חברה Aהוא 180מיליון דולרים ,וזה גם ערך נכסיה של חברה .Dערך נכסיה של חברה Fהוא 55מיליון דולרים ,לכן חברה Fהיא בעלת ערך הנכסים הנמוך ביותר בענף הרכב .התשובה הנכונה היא (.)3 75 חשיבה כמותית .2בהנחה שהרווחים מתחלקים שווה בשווה בין כל העובדים בחברה ,באיזו מהחברות הבאות הרווח לעובד יחיד הוא הגדול ביותר? H ( )1 (B )2 C ( )3 (F )4 הרווח לעובד יחיד אינו מצוין בטבלה במפורש ,אך אפשר לחשב אותו מתוך הנתונים המופיעים בה .בטבלה נתונים הרווח של כל חברה וכן מספר העובדים בה .הרווח לעובד יחיד בחברה מסוימת הוא הרווח של החברה מחולק במספר העובדים בה. בכל החברות הרווח נתון במיליוני דולרים ומספר העובדים נתון באלפים ,ולכן כדי להשוות בין החברות אפשר להתייחס רק לערכים המספריים המופיעים בטבלה ,ולהציג את הרווח לעובד יחיד באופן הבא: C B H 5, 000 6, 500 3, 000 100 120 150 F 3, 000 100 כמובן ,אפשר לחשב את הרווח לעובד ולמצוא באיזו חברה מתקבל הערך הגדול ביותר ,אבל אפשר להשוות בין הביטויים גם בלי לחשב אותם: לחברות Fו H-אותו הרווח ) (3,000אך בחברה Fהוא מתחלק בין פחות עובדים ) ,(100 < 120ולכן הרווח לעובד בחברה Fגדול יותר. מספר העובדים בחברות Cו F-שווה ) ,(100אך הרווח של חברה Cגדול יותר ) ,(3,000 < 5,000ולכן הרווח לעובד בחברה Cגדול יותר. החברות Bו C-שונות זו מזו גם מבחינת מספר העובדים וגם מבחינת הרווח שלהן .בחברה Bמספר העובדים גדול פי 1.5מבחברה 150) Cלעומת ;(100אילו היה גם הרווח של חברה Bגדול פי 1.5מהרווח של חברה ,Cכלומר אילו הרווח בחברה Bהיה , 5,000 · 1.5 = 7,500היה הרווח לעובד יחיד שווה בשתי החברות. אבל הרווח של חברה Bקטן מסכום זה ) ,(6,500 < 7,500ולכן הרווח לעובד בחברה Bקטן מהרווח לעובד בחברה .C אם כן ,הרווח הגדול ביותר לעובד יחיד הוא בחברה ,Cוהתשובה הנכונה היא (.)3 כמובן ,אפשר לחשב את הרווח לעובד יחיד בחברות Bו:C- 6, 500 5, 000 הרווח לעובד יחיד בחברה Cשווה ל b 100 = 50 l 50-ובחברה Bהרווח לעובד יחיד קטן מb 150 < 50 l 50- ולכן הרווח לעובד יחיד בחברה Cגדול יותר. .3מה היה היקף המכירות של חברה Gבשנה שעברה (במיליארדי דולרים)? (4 8 )1 (50 )2 (64 )3 (76 )4 היקף המכירות בשנה שעברה אינו מצוין בטבלה ,אך אפשר לחשב אותו בעזרת היקף המכירות בשנה הנוכחית ואחוז השינוי בהשוואה לשנה שעברה .אפשר לראות בטבלה כי חברה Gמכרה השנה בסכום של 60מיליארד דולרים, ומכירותיה עלו ב 25%-לעומת השנה שעברה .כלומר ,היקף מכירותיה בשנה שעברה הוא ערך שאם נוסיף לו 25% נקבל 60מיליארד .נסמן ב x-את היקף המכירות בשנה שעברה ונבטא את הנתונים במשוואה: . x + 25 $ x = 60נפשט את המשוואה125 $ x = 60 : , 100ונבודד את . x = 60 $ 100 = 60 $ 4 = 48 :x 100 125 5 היקף המכירות של חברה Gבשנה שעברה היה אפוא 48מיליארד דולרים ,והתשובה הנכונה היא (.)1 76 בחינת הכניסה הפסיכומטרית לאוניברסיטאות חוברת הדרכה .4נגדיר את היקף ההוצאות של חברה בשנה מסוימת כך: היקף ההוצאות היקף הרווחים היקף המכירות = בשנה מסוימת באותה שנה – באותה שנה באיזה ענף עוסקת החברה בעלת היקף ההוצאות הגדול ביותר בשנה הנוכחית? ( )1רכב ( )2נפט ( )3אלקטרוניקה ( )4מתכות כדי לחשב את היקף ההוצאות של חברה בשנה הנוכחית ,יש להפחית את היקף הרווחים מהיקף המכירות .בטבלה היקף המכירות נתון במיליארדי דולרים ,ואילו היקף הרווחים נתון במיליוני דולרים .כדי שנוכל להפחיתם זה מזה, יש להמיר את שניהם לאותן יחידות .אם נכפיל את היקף המכירות הרשום בטבלה ב ,1,000-נקבל גם את היקף המכירות במיליוני דולרים. כך למשל ,היקף המכירות של חברה Cבמיליוני דולרים הוא .105,000היקף הרווחים של חברה זו הוא 5,000מיליוני דולרים ,ולכן היקף ההוצאות שלה הוא 100,000מיליוני דולרים .ניתן לחשב באופן זה את היקף ההוצאות של כל החברות המופיעות בטבלה ,ולמצוא את החברה בעלת היקף ההוצאות הגדול ביותר. אולם ניתן לחסוך חישוב זה :מהנוסחה המגדירה את היקף ההוצאות נובע כי ככל שהיקף המכירות גדול יותר ,או ככל שהיקף הרווחים קטן יותר ,כך היקף ההוצאות גדול יותר .לכן יש טעם לבחון תחילה את החברות בעלות היקפי המכירות הגדולים ביותר או היקפי הרווחים הקטנים ביותר .מעיון בטבלה ניתן לראות כי חברה Aהיא גם החברה בעלת היקף המכירות הגדול ביותר וגם החברה בעלת היקף הרווחים הקטן ביותר (היא היחידה שהיקף הרווחים שלה שלילי ,כלומר היא בעצם הפסידה) ,ולכן היא בוודאי בעלת היקף ההוצאות הגדול ביותר .הענף שחברה Aעוסקת בו הוא ענף הרכב ,ולכן התשובה הנכונה היא (.)1 77 חשיבה כמותית 78
© Copyright 2024