‫מבחן בגרות מספר ‪11‬‬
‫קיץ תשע"ב‪ ,2012 ,‬מועד ב‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 3-1‬‬
‫‪.1‬‬
‫רוכב אופנוע יצא מ‪ , A -‬ובאותה שעה יצא רוכב אופניים מ‪. B -‬‬
‫הם רכבו זה לקראת זה ונפגשו בדרך‪ .‬רוכב האופנוע הגיע ל‪B -‬‬
‫כעבור ‪ 14‬שעה מרגע הפגישה‪ ,‬ורוכב האופניים הגיע ל‪A -‬‬
‫כעבור ‪ 4‬שעות מרגע הפגישה )מהירויות הרוכבים היו קבועות(‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את היחס בין המהירות של רוכב האופנוע למהירות של רוכב‬
‫האופניים‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי המרחק בין ‪ A‬ל‪ B -‬גדול מ‪ 90 -‬ק"מ‪.‬‬
‫מצא באיזה תחום מספרים נמצאת המהירות של כל אחד מהרוכבים‪.‬‬
‫)מהירות רוכב האופנוע אינה עולה על ‪ 120‬קמ"ש(‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪an‬‬
‫סדרה מוגדרת על‪ -‬ידי כלל הנסיגה‪:‬‬
‫‪1 an‬‬
‫‪a 3‬‬
‫א‪ .‬מגדירים סדרה חדשה לפי‬
‫‪ . b n  n‬הוכח‪. b n 1  b n  3 :‬‬
‫‪an‬‬
‫‪. a n 1 ‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪:‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪ . b 2  b 4  b6  ...  b30  667.5‬חשב את ‪. a1‬‬
‫נערך סקר בקרב מספר גדול של סטודנטים )בנים ובנות(‪.‬‬
‫חצי מהסטודנטים המשתתפים בסקר היו בנים‪.‬‬
‫בסקר נמצא כי מספר הבנות הסובלות מרעש גדול פי ‪ 3‬ממספר הבנים‬
‫הסובלים מרעש‪ .‬נמצא גם כי ‪ 5%‬מבין הבנים סובלים מרעש‪.‬‬
‫א‪ .‬ידוע כי אחד המשתתפים בסקר שנבחר באקראי‪ ,‬סובל מרעש‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שהנבחר הוא בת?‬
‫ב‪ .‬בחרו באקראי ‪ 5‬סטודנטים מבין משתתפי הסקר‪.‬‬
‫ידוע כי לכל היותר ‪ 2‬מבין הסטודנטים שנבחרו באקראי‪,‬‬
‫סובלים מרעש‪ .‬מהי ההסתברות שבדיוק אחד מהם סובל מרעש?‬
‫‪43‬‬
‫פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬
‫ענה על אחת מבין השאלות ‪. 5-4‬‬
‫‪.4‬‬
‫שני מעגלים ‪ I‬ו‪ II -‬נחתכים בנקודות ‪ G‬ו‪. F -‬‬
‫‪T‬‬
‫הישר ‪ ST‬משיק למעגל ‪ I‬בנקודה ‪, S‬‬
‫‪S‬‬
‫‪F‬‬
‫ולמעגל ‪ II‬בנקודה ‪. T‬‬
‫המשך ‪ SF‬חותך את המעגל ‪ II‬בנקודה ‪, B‬‬
‫והמשך ‪ TF‬חותך את מעגל ‪ I‬בנקודה ‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫)ראה ציור(‪.‬‬
‫‪II‬‬
‫‪A‬‬
‫‪G‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪ST  TB‬‬
‫‪AS ST‬‬
‫) ‪ ( 1‬הוכח כי ‪. AGF  SFA  SAF‬‬
‫) ‪ ( 2‬הוכח כי אם הנקודות ‪ G , A‬ו‪ B -‬נמצאות על ישר אחד‪,‬‬
‫אז ‪. SFA  60‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.5‬‬
‫נתון מעוין ‪ E . ABCD‬ו‪ F -‬הן נקודות‬
‫על הצלעות ‪ AD‬ו‪ AB -‬בהתאמה‬
‫כך ש‪ AE  AF -‬ו‪. FB  2AF -‬‬
‫נתון כי ‪. DCB  60‬‬
‫א‪ .‬מצא את גודל הזווית ‪. FCB‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי אורך האלכסון ‪ AC‬הוא ‪. b‬‬
‫הבע באמצעות ‪ b‬את היקף המרובע ‪. AECF‬‬
‫‪I‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ו אינטגרלי של פולינומים‪,‬‬
‫של פונקציות רציונליות‪ ,‬של פונקציות שורש ושל פונקציות‬
‫טריגונומטריות‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 8-6‬‬
‫‪.6‬‬
‫נתונה הפונקציה )‪ , f (x)  cos3 (3x  ‬המוגדרת לכל ‪. x‬‬
‫א‪ .‬בתחום ‪ 0  x  2‬מצא‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫) ‪ ( 1‬את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫‪44‬‬
‫ב‪ ( 1 ) .‬הוכח כי הפונקציה זוגית‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה בתחום ‪.  2  x  2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫ג‪ .‬רשום את משוואות ה ישרים המשיקים לגרף הפונקציה‬
‫בתחום ‪  2  x  2‬ומאונכים לציר ה‪. y -‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.7‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪3‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x2  9‬‬
‫‪. f (x) ‬‬
‫א‪ .‬מצא‪:‬‬
‫) ‪ ( 1‬את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים )אם יש כאלה(‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים‪.‬‬
‫) ‪ ( 4‬את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את הסימן של האינטגרל המסוים‬
‫‪t‬‬
‫‪ f '(x) dx‬‬
‫‪k‬‬
‫אם נתון כי ‪ k‬ו‪ t -‬גדולים מ‪ . 3 -‬נמק‪.‬‬
‫‪.8‬‬
‫)‪, (k  t‬‬
‫הפונקציה )‪ f (x‬היא פונקציית מנה‬
‫המוגדרת עבור ‪. x  1‬‬
‫‪y‬‬
‫בציור מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת )‪. f '(x‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחומי הקעירות כלפי מעלה ‪‬‬
‫וכלפי מטה ‪ ‬של הפונקציה )‪ . f (x‬נמק‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי לפונקצ יה )‪ f (x‬יש שתי‬
‫אסימפטוטות בלבד‪. y  1 , x  1 :‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫גרף הפונקציה )‪ f (x‬חותך את ציר ה‪y -‬‬
‫בנקודה שבה ‪ . y  1‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪, f (x‬‬
‫על פי תשובתך לסעיף א' ועל פי הנתונים שבסעיף ב'‪.‬‬
‫ג‪ .‬נתון גם ‪ax  b‬‬
‫‪cx  d‬‬
‫‪ c , b , a . f (x) ‬ו‪ d -‬הם פרמטרים שונים מאפס‪.‬‬
‫) ‪ ( 1‬הבע באמצעות ‪ a‬את ‪ c , b‬ו‪. d -‬‬
‫) ‪ ( 2‬חשב את השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת )‪, f '(x‬‬
‫על ידי הישר ‪ x  1‬ועל ידי הצירים‪.‬‬
‫‪45‬‬
‫תשובות ל מבחן בגרות מספר ‪ – 11‬קיץ תשע"ב‪ , 2012 ,‬מועד ב ‪:‬‬
‫‪ . 1‬א‪ .‬היחס הוא ‪. 4‬‬
‫ב‪ .‬מהירות רוכב האופנוע גדולה מ‪ 72 -‬קמ"ש וקטנה או שווה ל‪ 120 -‬קמ"ש‪.‬‬
‫מהירות רוכב האופניים גדולה מ‪ 18 -‬קמ"ש וקטנה או שווה ל‪ 30 -‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ . 2‬ב‪. a1  2 .‬‬
‫‪ . 3‬א‪ . 3 .‬ב‪. 45 .‬‬
‫‪136‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ . 5‬א‪ . 23.41 .‬ב‪. 2.063b .‬‬
‫‪ .6‬א‪ 2 ;0 ,  6 ;0 , (0; 1) (1) .‬‬
‫) ‪ (0; 1) ( 2‬מינימום‪   ;1 ,‬מקסימום‪  2 ; 1 ,‬מינימום‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪( 2 ) .‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪. y  0 , y  1 , y  1 .‬‬
‫‪ . 7‬א‪ x  3 ( 1 ) .‬או ‪. x  3‬‬
‫ב‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬אין‪.‬‬
‫) ‪. y  1 , y  1 , x  3 , x  3 ( 3‬‬
‫‪x‬‬
‫) ‪ ( 4‬עלייה‪; x  9 :‬‬
‫ירידה‪ x  3 :‬או ‪. 9  x  3‬‬
‫ג‪ .‬הסימן שלילי‪.‬‬
‫‪ . 8‬א‪. x  1 :  , x  1 :  .‬‬
‫‪y‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪. 1 ( 2 ) . d  a , c  a , b  a ( 1 ) .‬‬
‫‪46‬‬
‫‪y‬‬