‫מבחן בגרות מספר ‪18‬‬ ‫קיץ תשע"ד‪ ,2014 ,‬מועד ג‬ ‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬ ‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 3-1‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫שני פועלים‪ ,‬פועל ‪ I‬ופועל ‪ , II‬מתקנים כביש‪ .‬ההספק של כל אחד משני‬ ‫הפועלים קבוע‪ .‬ביום הראשון עבד פועל ‪ I‬לבד ‪ 4‬שעות‪ ,‬ואז הצטרף אליו‬ ‫פועל ‪ , II‬והם עבדו יחד עוד ‪ 3‬שעות‪.‬‬ ‫התברר כי ביום הראשון ביצעו הפועלים סך הכול ‪ 60%‬מהתיקו ן כולו‪.‬‬ ‫ביום השני עבדו הפועלים יחד כל הזמן כך שסך הכול בשני ימי העבודה‬ ‫ביצע כל אחד מהפועלים בדיוק מחצית מהתיקון כולו‪.‬‬ ‫מצא כמה שעות עבדו הפועלים יחד ביום השני‪.‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫נתונה סדרה חשבונית שיש בה ‪ n‬איברים )‪: (n  2‬‬ ‫‪a1 , a 2 , a 3 , ... , a n 1 , a n‬‬ ‫הפרש הסדרה הנתונה הוא ‪. d‬‬ ‫מהסדרה הנתונה בנו סדרה חדשה של הפרשי ריבועים‪:‬‬ ‫‪, ... , a 2n  a n2 1‬‬ ‫‪ a 22‬‬ ‫‪a 32‬‬ ‫‪ a 21 ,‬‬ ‫‪a 22‬‬ ‫א‪ .‬הוכח כי הסדרה החדשה היא סדרה חשבונית שההפרש שלה הוא ‪. 2d 2‬‬ ‫ב‪ .‬נתון‪. a 22  a 21  64 :‬‬ ‫הבע את האיבר האחרון בסדרה החדשה באמצעות ‪ n‬ו‪. d -‬‬ ‫ג‪ .‬נתון גם‪d 2  1 , a 2n  a 2n 1  192 :‬‬ ‫מצא את תחום הערכים של ‪. n‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫מבין העובדים בחברה גדולה בוחרים באקראי ‪ 4‬עובדים‪.‬‬ ‫ההסתברות שלכל היותר ל‪ 3 -‬עובדים יש השכלה גבוהה היא ‪. 255‬‬ ‫‪256‬‬ ‫א‪ .‬לאיזה אחוז מהעובדים יש השכלה גבוהה?‬ ‫ב‪ .‬מהי ההסתברות שמבין ‪ 4‬עובדים שבוחרים באקראי‪,‬‬ ‫ל‪ 3 -‬אין השכלה גבוהה?‬ ‫ג‪ 40% .‬מעובדי החברה הן נשים‪ .‬ל‪ 1 -‬מהנשים יש השכלה גבוהה‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫מבין העובדים שיש להם השכלה גבוהה בחרו באקראי שני עובדים‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות ששני העובדים הם נשים?‬ ‫פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬ ‫ענה על אחת מבין השאלות ‪. 5-4‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪C‬‬ ‫במרובע ‪ BDEC‬המשכי הצלעות ‪ BD‬ו‪CE -‬‬ ‫נפגשים בנקודה ‪ , A‬כמתואר בציור‪.‬‬ ‫נתון כי המרובע ‪BDEC‬‬ ‫‪E‬‬ ‫הוא בר‪ -‬חסימה במעגל‪.‬‬ ‫א‪ .‬הוכח כי ‪. ADE  ACB‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫נתון‪ :‬שטח המשולש ‪ ACB‬גדול פי ‪ 4‬משטח המשולש ‪. ADE‬‬ ‫נקודה ‪ F‬נמצאת על הצלע ‪ ED‬כך ש‪. EAF  DAF -‬‬ ‫המשך ‪ AF‬חותך את ‪ BC‬בנקודה ‪. G‬‬ ‫ב‪ ( 1 ) .‬הוכח כי ‪. AEF  ABG‬‬ ‫) ‪ ( 2‬מצא את היחס ‪EF‬‬ ‫‪BG‬‬ ‫ג‪ .‬הוכח כי ‪GC  AD‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪BG AE‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫‪.‬‬ ‫נתון משולש שווה‪ -‬שוקיים ‪ ADC‬שבו ‪. AD  AC‬‬ ‫נקודה ‪ B‬נמצאת על הצלע ‪DC‬‬ ‫כך ש‪ AB  BC -‬ו‪) DC  3BC -‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא את גודל הזוויות במשולש ‪. ADC‬‬ ‫ב‪ .‬נתון גם כי שטח המשולש ‪ADC‬‬ ‫הוא ‪ 16 3‬סמ"ר‪.‬‬ ‫‪ BT‬הוא גובה לצלע ‪ AC‬במשולש ‪. ABC‬‬ ‫מצא את האורך של הקטע ‪. DT‬‬ ‫‪76‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬ ‫של פונקציות רציונליות ‪ ,‬של פונקציות שורש ושל פונקציות‬ ‫טריגונומטריות‬ ‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 8-6‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫נתונה הפונקציה ‪cos x‬‬ ‫‪sin x‬‬ ‫‪ f (x)  2x ‬בתחום ‪. 0  x  ‬‬ ‫א‪ .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה )‪? f (x‬‬ ‫ב‪ ( 1 ) .‬מצא את האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫) ‪ ( 2‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה )‪ , f (x‬וקבע את סוגן‪.‬‬ ‫) ‪ ( 3‬סרטט סקיצה של גר ף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫ג‪ .‬העבירו משיק לגרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫השיפוע של משיק זה הוא המקסימלי מבין השיפועים של כל המשיקים‬ ‫לגרף הפונקציה בתחום הנתון‪.‬‬ ‫מצא את הזווית שמשיק זה יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה‪. x -‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫‪y‬‬ ‫בציור שלפניך מוצגת סקיצה של גרף‬ ‫הפונקציה‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12x  x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪, f (x) ‬‬ ‫שתחום ההגדרה שלה‬ ‫הוא ‪. x  2 3 , 0  x  2 3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫א‪ .‬הישר ‪ y  k‬חותך את גרף‬ ‫הפונקציה )‪ f (x‬בשתי נקודות בדיוק‪.‬‬ ‫מצא את תחום הערכים של ‪. k‬‬ ‫ב‪ .‬נתונה הפונקציה ‪, g(x)  12x  x 3‬‬ ‫שתחום ההגדרה שלה הוא ‪. x  2 3 , 0  x  2 3‬‬ ‫) ‪ ( 1‬מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )‪. g(x‬‬ ‫) ‪ ( 2‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. g(x‬‬ ‫) ‪ ( 3‬עבור הערכים של ‪ k‬שמצאת בסעיף א'‪ ,‬מצא בכמה נקודות‬ ‫חותך הישר ‪ y  k‬את גרף הפונקציה )‪. g(x‬‬ ‫‪77‬‬ ‫‪.8‬‬ ‫נתון כי הפונקציה )‪ f (x‬מוגדרת לכל ‪ , x‬ומקיימת‪. f '(x)  x 2  6x  5 :‬‬ ‫א‪ .‬הישר ‪ y  10 2‬משיק לגרף הפונקציה )‪ f (x‬בנקודת המקסימום שלה‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה )‪, f (x‬‬ ‫וקבע את סוגן‪.‬‬ ‫נתון כי הפונקציה )‪ f (x‬מוגדרת לכל ‪ , x‬ומקיימת‪. f '(x)  g '(x) :‬‬ ‫ב‪ .‬המרחק בין נקודת המקסימום של )‪ f (x‬לנקודת המקסימום של )‪g(x‬‬ ‫הוא ‪ . 1‬מצא את השיעורים של נק ודות הקיצון של הפונקציה )‪, g(x‬‬ ‫וקבע את סוגן‪ .‬מצא את שתי האפשרויות‪.‬‬ ‫ג‪ ( 1 ) .‬סרטט באותה מערכת צירים סקיצה של גרף הפונקציה )‪f (x‬‬ ‫וסקיצות של שני הגרפים האפשריים של )‪. g(x‬‬ ‫) ‪ ( 2‬כמה נקודות פגישה עם ציר ה‪ x -‬יש לכל אחד משלושת הגרפים‬ ‫שסרטטת?‬ ‫‪78‬‬ ‫תשובות למבחן בגרות מספר ‪ – 18‬קיץ תשע"ד‪ , 2014 ,‬מועד ג ‪:‬‬ ‫‪ 3 . 1‬שעות‪ . 2 .‬ב‪. 64  (n  2)  2d 2 .‬‬ ‫‪ . 3‬א‪ . 25% .‬ב‪ . 27 .‬ג‪ . 4 . 0.16 .‬ב‪. 1 ( 2 ) .‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ג‪. 2  n  66 .‬‬ ‫‪ . 5‬א‪. 120 , 30 , 30 .‬‬ ‫ב‪ 10.58 .‬ס"מ ‪ 4 7 ‬ס"מ ‪.‬‬ ‫‪ . 6‬א‪ . 0  x   .‬ב‪. x   , x  0 ( 1 ) .‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪  4 ; 2  1 (2‬מינימום‪ 34 ; 32  1 ,‬‬ ‫מקסימום‪.‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫ג‪. 45 .‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫א‪. 0  k  4 .‬‬ ‫ב‪ ( 1 ) .‬עלייה‪; 0  x  2 :‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ירידה‪ 2  x  2 3 :‬או ‪. x  2 3‬‬ ‫) ‪ ( 3‬ב‪ 3 -‬נקודות‪.‬‬ ‫‪.8‬‬ ‫‪x‬‬ ‫א‪ (1;10 2 ) .‬מקסימום‪ (5;0) ,‬מינימום‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ב‪ .‬אפשרות א'‪ (1;11 2 ) :‬מקסימום‪ (5;1) ,‬מינימום‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫אפשרות ב'‪ (1;9 ) :‬מקסימום‪ (5; 1) ,‬מינימום‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ג‪( 1 ) .‬‬ ‫‪x‬‬ ‫) ‪ ( 2‬לגרף של )‪) f (x‬המצויר בקו מלא( יש שתי נקודות פגישה‬ ‫עם ציר ה‪. x -‬‬ ‫לגרף העליון של )‪) g(x‬המצויר בקו מקווקו( יש נקודת פגישה‬ ‫אחת עם ציר ה‪. x -‬‬ ‫לגרף התחתון של )‪) g(x‬המצויר בקו מקווקו( יש ‪ 3‬נקודות‬ ‫פגישה עם ציר ה‪. x -‬‬ ‫‪79‬‬