1. No category

‫יחידת מיקוד‪ -‬קומבינטוריקה‬
‫מהי קומבינטוריקה?‬
‫קומבינטוריקה עוסקת בספירת האפשרויות‪ ,‬המצבים והצירופים שאפשר ליצור מתוך מצב נתון‪ .‬תחום זה‬
‫עוסק‪ ,‬למשל‪ ,‬בשאלות כגון‪ :‬בכמה דרכים שונות ניתן להושיב ‪ 5‬ילדים על ‪ 5‬כסאות? בכמה דרכים שונות ניתן‬
‫לחלק ‪ 3‬מדליות ל‪ 3-‬מבין ‪ 21‬רצים בתחרות ריצה? בכמה דרכים שונות ניתן למלא טופס לוטו?‬
‫בקומבינטוריקה‪ ,‬השאלה היא כמה אפשרויות קיימות‪ ,‬ולא מהן האפשרויות עצמן‪ .‬כמובן‪ ,‬שלעיתים יהיה קל‬
‫מאוד לספור את האפשרויות הללו גם מבלי להשתמש בנוסחאות ובהגדרות שיופיעו בהמשך‪ .‬אולם‪ ,‬כפי‬
‫שנראה‪ ,‬יהיה קשה מאוד לעשות זאת בדרך כלל‪ ,‬כאשר מספר האפשרויות והמצבים הינו גדול‪.‬‬
‫יחידה זו תעסוק במספר שיטות‪ ,‬המתאימות למצבים שונים‪ :‬עקרון הכפל‪ ,‬סידורים‪ ,‬פרמוטציות‪ ,‬וקומבינציות‪.‬‬
‫היחידה תאורגן על פי סוג הבעיות שלהן מתאימות השיטות השונות‪ .‬בכל אחד מהסוגים ניתן יהיה להשתמש‬
‫בשיטה המתאימה‪ ,‬ובנוסף תינתן הדרך ה"אינטואיטיבית" לפתרון‪ ,‬שאינה מצריכה שימוש בנוסחאות ובשיטות‬
‫הפורמליות‪ .‬מובן‪ ,‬שכל אחת משתי הדרכים מובילה לאותו הפתרון‪.‬‬
‫בכמה דרכים שונות יכול להתבצע ניסוי מורכב?‬
‫דוגמה‬
‫במבחן אמריקאי יש ‪ 6‬שאלות‪ .‬ב‪ 3-‬השאלות הראשונות ניתן לבחור מבין ‪ 4‬היגדים‪ ,‬וב‪ 3-‬השאלות הבאות ניתן‬
‫לבחור מבין ‪ 5‬היגדים‪ .‬בכמה דרכים שונות ניתן להשיב על המבחן?‬
‫נתייחס לכל שאלה במבחן כאל ניסוי פשוט‪ 3 .‬השאלות הראשונות הן ניסויים פשוטים בעלי ‪ 4‬תולדות (תוצאות)‬
‫אפשריות‪ ,‬ו‪ 3-‬השאלות האחרונות הן ניסויים פשוטים בעלי ‪ 5‬תולדות אפשריות‪ .‬הניסויים הפשוטים אינם‬
‫תלויים זה בזה‪ ,‬מאחר והתשובה לכל אחת מהשאלות אינה תלויה בתשובה לשאלות האחרות‪ .‬לכן‪ ,‬לפנינו ניסוי‬
‫מורכב הכולל ‪ 6‬ניסויים פשוטים (תזכורת‪ :‬ניסוי מורכב הוא ניסוי המורכב ממספר ניסויים פשוטים)‪.‬‬
‫קיימות ‪ 4‬דרכים אפשריות לענות על השאלה הראשונה‪ .‬עבור כל תשובה שנבחרה לשאלה זו‪ ,‬יש ‪ 4‬אפשרויות‬
‫שונות לענות על השאלה השניה‪ .‬עבור כל אחד מהאופנים לענות על ‪ 1‬השאלות הראשונות‪ ,‬יש ‪ 4‬אפשרויות‬
‫שונות לענות על השאלה השלישית‪ 5 ,‬אפשרויות לענות על השאלה הרביעית וכך הלאה‪ .‬לכן‪ ,‬מספר‬
‫האפשרויות הכולל לענות על המבחן הוא‪.4*4*4*5*5*5=8000 :‬‬
‫דוגמה זו היא מקרה פרטי של עקרון הכפל‪ ,‬המתייחס לספירת האפשרויות שבהן יכול להתבצע ניסוי מורכב‪.‬‬
‫הכלל הוא‪ ,‬שמספר האפשרויות שבהן י כול להתבצע ניסוי מורכב שווה למכפלת התולדות של הניסויים‬
‫הפשוטים המרכיבים אותו‪ .‬במילים אחרות‪ ,‬אם קיים ניסוי מורכב‪ ,‬המורכב מניסוי פשוט בעל ‪ n1‬תולדות ( ‪n1‬‬
‫תוצאות אפשריות)‪ ,‬ומניסוי פשוט אחר בעל ‪n 2‬‬
‫תולדות‪ ,‬ומניסוי פשוט שלישי בעל ‪ n3‬תולדות‪ ,‬וכך הלאה עד‬
‫לניסוי פשוט מספר ‪ k‬שלו ‪ n k‬תולדות‪ ,‬אז הניסוי המורכב יכול להתבצע ב‪ n1  n 2  n3  ...  n k -‬דרכים‪.‬‬
‫פתרונות – קורס ההכנה הראשון בישראל לבחינת המתא"ם‬
‫‪www.pitronot.org‬‬
‫מקרה פרטי של חוק הכפל הוא מצב שבו כל אחד מהניסויים הפשוטים המרכיבים את הניסוי המורכב יכול‬
‫להתבצע באותו מספר של תולדות‪ .‬למשל‪ ,‬מבחן אמריקאי שבו כל השאלות הן בעלות אותו מספר היגדים‬
‫(למשל מבחן "אמריקאי" קלאסי‪ ,‬בו לכל שאלה ‪ 4‬תשובות אפשריות)‪ .‬ניסוי מורכב שכולל ‪ k‬ניסויים פשוטים‬
‫שלכולם ‪ n‬תולדות יכול להתבצע ב‪-‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ n1  n2  n3  ...  nk  n  n  n  ...  n  n‬אפשרויות‪ .‬לדוגמה‪ ,‬מבחן‬
‫אמריקאי הכולל ‪ 6‬שאלות בעלות ‪ 4‬היגדים כל אחת ניתן לפתור ב‪n k  4 6  4,096 -‬‬
‫דרכים שונות‪.‬‬
‫בכמה דרכים ניתן לסדר איברים בשורה?‬
‫דוגמה‬
‫נניח שרוצים לסדר ‪ 8‬ילדים בשורה‪ .‬בכמה דרכים שונות ניתן לעשות זאת?‬
‫נבחר תחילה את הילד שיעמוד בתחילת השורה‪ .‬מאחר שיש ‪ 8‬ילדים‪ ,‬שכל אחד מהם יכול לעמוד בתחילת‬
‫השורה‪ ,‬ניתן לבצע בחירה זו ב‪ 8-‬דרכים שונות‪ .‬לאחר מכן‪ ,‬נבחר את הילד השני בשורה‪ .‬מאחר והילד הראשון‬
‫בשורה כבר הוצא מהקבוצה ועומד במקומו בשורה‪ ,‬יש רק ‪ 7‬אפשרויות לבחור את הילד שיעמוד במקום השני‬
‫(נותרו רק ‪ 7‬ילדים לבחור מתוכם)‪ .‬באופן דומה‪ ,‬יש ‪ 6‬אפשרויות שבהן ניתן לבחור את הילד שיעמוד במקום‬
‫השלישי‪,‬‬
‫וכך‬
‫הלאה‪.‬‬
‫מספר‬
‫האפשרויות‬
‫שבהן‬
‫יכול‬
‫להתבצע‬
‫סידור‬
‫כל‬
‫הילדים‬
‫הוא‬
‫‪. 8  7  6  5  4  3  2  1  40,320‬‬
‫באופן כללי‪ ,‬מה יהיה מספר האפשרויות לסידור של ‪ n‬ילדים בשורה? לשם כך‪ ,‬יש לבחור תחילה את הילד‬
‫שיעמוד בתחילת השורה‪ .‬מאחר שיש ‪ n‬ילדים‪ ,‬ישנן ‪ n‬אפשרויות שונות לבחור ילד זה‪ .‬לאחר מכן‪ ,‬יש לבחור‬
‫את הילד הבא אחריו‪ .‬מאחר שהילד הראשון בשורה כבר נבחר (והוצא מקבוצת הילדים)‪ ,‬יש רק ‪ n-1‬אפשרויות‬
‫לבחור את הילד הבא אחריו‪ .‬באופן דומה‪ ,‬ישנן ‪ n-2‬אפשרויות לבחור את הילד הבא בתור‪ ,‬וכך הלאה עד‬
‫שיסודרו כל הילדים‪ .‬באופן כללי‪ ,‬מספר הסידורים האפשריים הוא‬
‫‪ . n  (n  1)  (n  2)  (n  3)  ...  1‬נסמן זאת !‪( n‬עצרת)‪.‬‬
‫יש לשים לב כי כאן הניסויים הפשוטים (כל ניסוי פשוט כאן יהיה בחירה של ילד אחד מתוך הקבוצה) הינם‬
‫תלויים זה בזה‪ .‬למשל‪ ,‬אם אחד הילדים נבחר לעמוד בתחילת השורה‪ ,‬הוא לעולם לא יוכל להיבחר שוב לעמוד‬
‫במקום אחר בה‪ .‬לכן‪ ,‬התולדות האפשריות של כל אחד מהניסויים הפשוטים תלויות בתולדות של הניסויים‬
‫שקדמו לו‪.‬‬
‫פתרונות – קורס ההכנה הראשון בישראל לבחינת המתא"ם‬
‫‪www.pitronot.org‬‬
‫בכמה אפשרויות ניתן לסדר קבוצה קטנה של איברים מתוך קבוצה גדולה יותר?‬
‫דוגמה‬
‫בכמה דרכים ניתן לסדר בשורה ‪ 3‬ילדים‪ ,‬שצריכים להיבחר מתוך קבוצה של ‪ 8‬ילדים?‬
‫בדומה לדוגמה שבסעיף הקודם‪ ,‬יש ‪ 8‬אפשרויות לבחור את הילד שיעמוד במקום הראשון‪ 7 ,‬אפשרויות לבחור‬
‫את הילד במקום השני‪ ,‬ו‪ 6-‬אפשרויות לבחור את הילד במקום השלישי‪ .‬לכן‪ ,‬מספר האפשרויות הכללי הוא‬
‫‪. 8  7  6  336‬‬
‫פרמוטציות )‪ (permutations‬הן מספר האפשרויות שבהן ניתן לבחור ולסדר קבוצה קטנה של איברים מתוך‬
‫קבוצה גדולה יותר‪ .‬כפי שראינו‪ ,‬ניתן לחשב זאת אינטואיטיבית‪ :‬השאלה כאן היא לגבי מספר הסידורים‪ ,‬בדומה‬
‫לסעיף הקודם‪ ,‬אלא שלא מדובר בסידור של כל הקבוצה אלא רק של תת‪-‬קבוצה ממנה‪ .‬באופן כללי‪ ,‬יש ‪n‬‬
‫אפשרויות לבחור את המקום הראשון בשורה‪ n-1 ,‬אפשרויות לבחור את המקום השני‪ ,‬וכך הלאה עד למקום ה‪-‬‬
‫‪ k‬בשורה (כאשר ‪ k‬הוא גודלה של תת הקבוצה שרוצים לסדר)‪ ,‬אשר מספר האפשרויות לבחור אותו הוא ‪.n-k‬‬
‫חישוב אינטואיטיבי זה מוצא ביטוי בנוסחת הפרמוטציה‪:‬‬
‫!‪n‬‬
‫‪P ( n, k )  P ( n ) ‬‬
‫‪k‬‬
‫!) ‪(n  k‬‬
‫‪.‬‬
‫מקרא‪:‬‬
‫‪ = n‬גודל הקבוצה ממנה בוחרים‪.‬‬
‫‪ = k‬גודל תת הקבוצה שרוצים לסדר‪.‬‬
‫) ‪ = P(n, k‬מספר הפרמוטציות של ‪ k‬איברים מתוך ‪ n‬איברים‪.‬‬
‫דוגמה‬
‫בתחרות ריצה משתתפים ‪ 21‬רצים‪ .‬בכמה אפשרויות שונות ניתן לחלק את ‪ 3‬המדליות?‬
‫גם כאן מדובר בפרמוטציה‪ ,‬מפני שיש לבחור ‪ 3‬רצים שיקבלו את המדליות (זהב‪ ,‬כסף וארד)‪ ,‬מתוך ‪ 21‬רצים‬
‫בסך‪-‬הכל‪ .‬בנוסף‪ ,‬סדר בחירת הרצים הינו חשוב‪ ,‬מאחר והוא קובע מה המדליה שיקבל כל רץ‪ .‬נשתמש בשתי‬
‫שיטות החישוב שלעיל ונראה שהן מביאות לאותה התוצאה‪.‬‬
‫דרך אחת היא לומר שיש ‪ 21‬אפשרויות לבחור את הזוכה בזהב‪ ,‬לאחר מכן נותרו ‪ 22‬אפשרויות לבחור את‬
‫הזוכה בכסף‪ ,‬ולאחר מכן ‪ 21‬אפשרויות לבחור את הזוכה בארד‪ .‬לכן‪ ,‬מספר האפשרויות הכללי הוא‬
‫‪. 12  11 10  1,320‬‬
‫הדרך השניה היא באמצעות נוסחת הפרמוטציה‪:‬‬
‫!‪12‬‬
‫‪12! 12 * 11* 10 * 9 * 8 * 7... * 1‬‬
‫‪P(12) ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 12 * 11* 10  1,320‬‬
‫!‪3 (12  3)! 9‬‬
‫‪9 * 8 * 7 * ... * 1‬‬
‫‪.‬‬
‫פתרונות – קורס ההכנה הראשון בישראל לבחינת המתא"ם‬
‫‪www.pitronot.org‬‬
‫בכמה דרכים ניתן לבחור קבוצה קטנה מתוך קבוצה גדולה מבלי חשיבות לסדר?‬
‫דוגמה‬
‫בכמה דרכים ניתן לבחור ‪ 3‬ילדים מתוך קבוצה של ‪ 8‬ילדים ללא כל חשיבות לסדר הבחירה?‬
‫שאלה זו רלוונטית כאשר אין חשיבות לסידור הילדים‪ ,‬בניגוד למצב בו ממקמים את הילדים בשורה מסוימת‬
‫(כלומר יש חשיבות למיקום של כל ילד)‪ .‬למשל‪ ,‬כאשר רוצים לתת לכל אחד מהילדים חפיסת שוקולד‪ ,‬וכל‬
‫החפיסות זהות‪ ,‬או כאשר רוצים להרכיב נבחרת כדורסל‪ ,‬ולא משנה מי ייבחר קודם כי כולם יהיו באותה‬
‫הנבחרת‪.‬‬
‫נתחיל כמו בפרמוטציות‪ :‬יש ‪ 8‬אפשרויות לבחור את הילד במקום הראשון‪ 7 ,‬אפשרויות לבחור את המקום‬
‫השני‪ ,‬ו‪ 6-‬אפשרויות לבחור את המקום השלישי‪ ,‬כלומר ‪ . 8  7  6  336‬אולם‪ ,‬זו לא התשובה‪ .‬הסיבה היא‬
‫שבאופן זה‪ ,‬למשל‪ ,‬הקבוצה {דני‪ ,‬יוסי‪ ,‬גדי} והקבוצה {דני‪ ,‬גדי‪ ,‬יוסי} ייחשבו לקבוצות שונות‪ ,‬מאחר וסדר‬
‫הבחירה בפרמוטציות הינו חשוב (זכרו את הדוגמה עם המדליות‪ :‬יש הבדל בין לקבל מדליית זהב לבין מדליית‬
‫ארד)‪ .‬כאן‪ ,‬להבדיל מפרמוטציות‪ ,‬שתי הקבוצות הן בעצם אותה הקבוצה (למשל אותה הנבחרת)‪ ,‬ואין חשיבות‬
‫לסדר‪ .‬לכן‪ ,‬יש לחלק את המספר שהתקבל במספר הסידורים הפנימיים האפשריים של ‪ 3‬ילדים‪ ,‬כלומר !‪ ,3‬כדי‬
‫‪8  7  6 336‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 56‬‬
‫‪6‬‬
‫!‪. 3‬‬
‫לבטל את ההבדל בין הסידורים השונים של הקבוצה הנבחרת‪ .‬התשובה לכן תהיה‪:‬‬
‫קומבינציות הן מספר האפשרויות שבהן ניתן לבחור קבוצה קטנה של איברים מתוך קבוצה גדולה יותר‪ ,‬בלי‬
‫חשיבות לסדר הבחירה‪ .‬שוב‪ ,‬ניתן לחשב זאת אינטואיטיבית‪ :‬כאן השאלה היא לא לגבי מספר הסידורים‪ ,‬אלא‬
‫לגבי מספר האפשרויות שבהן ניתן לבצע את הבחירה‪ ,‬בעוד שהסידור הפנימי של הקבוצה שנבחרה אינו‬
‫חשוב‪ .‬בעת בחירה של קומבינציות לא מתחשבים בסדר הבחירה‪ ,‬וכך בחירה של פריט א' ואחריו בחירה של‬
‫פריט ב' תהיה זהה לבחירה של פריט ב' ולאחריו בחירה של א'‪ .‬לכן‪ ,‬מספר הקומבינציות יהיה תמיד קטן יותר‬
‫ממספר הפרמוטציות‪ ,‬מאחר שהסדר של האיברים הנבחרים אינו חשוב‪ .‬למעשה‪ ,‬נוסחת הקומבינציה מורכבת‬
‫ממספר הפרמוטציות‪ ,‬לחלק למספר הסידורים הפנימיים של הקבוצה הנבחרת‪.‬‬
‫לפי נוסחת הקומבינציה‪ ,‬מספר הקומבינציות של ‪ k‬פריטים מתוך ‪ n‬הוא‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫!‪n‬‬
‫‪C (n, k )    ‬‬
‫!‪ k  (n  k )!k‬‬
‫‪.‬‬
‫מקרא‪:‬‬
‫‪ = n‬גודל הקבוצה ממנה בוחרים‪.‬‬
‫‪ = k‬גודל הקבוצה הנבחרת‪.‬‬
‫) ‪ = C(n, k‬מספר הקומבינציות של ‪ k‬איברים מתוך ‪ n‬איברים‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫!‪8‬‬
‫‪C (8,3)    ‬‬
‫בדוגמה שלעיל‪ 3  (8  3)!3! :‬‬
‫‪.‬‬
‫פתרונות – קורס ההכנה הראשון בישראל לבחינת המתא"ם‬
‫‪www.pitronot.org‬‬
‫טבלה מסכמת‪ -‬סוגי בעיות בקומבינטוריקה‬
‫נוסחה‬
‫סוג הבעיה‬
‫משמעות‬
‫עקרון הכפל‬
‫מספר התולדות של ניסוי מורכב‬
‫סידור בשורה‬
‫מספר האפשרויות לסדר בשורה ‪n‬‬
‫‪n1  n2  n3  ...  nk‬‬
‫כאשר‬
‫‪n1 , n2 ...nk‬‬
‫הם התולדות של‬
‫הניסויים הפשוטים המרכיבים את הניסוי‬
‫המורכב‪.‬‬
‫!‪n‬‬
‫איברים‬
‫פרמוטציה‬
‫מספר האפשרויות לדגום ‪ k‬איברים‬
‫מתוך ‪ n‬איברים כאשר יש חשיבות לסדר‬
‫קומבינציה‬
‫מספר האפשרויות לדגום ‪ k‬איברים‬
‫מתוך ‪ n‬איברים כאשר אין חשיבות לסדר‬
‫!‪n‬‬
‫‪P ( n, k )  P ( n ) ‬‬
‫!) ‪k (n  k‬‬
‫‪n‬‬
‫!‪n‬‬
‫‪C (n, k )    ‬‬
‫!‪ k  (n  k )!k‬‬
‫סיכום‬
‫בשאלות העוסקות בקומבינטוריקה חשוב לזהות תחילה את סוג הבעיה‪ :‬האם מדובר בסידור איברים או‬
‫בבחירה‪ ,‬האם יש חשיבות לסדר הבחירה‪ ,‬האם הניסויים הפשוטים תלויים זה בזה‪ ,‬וכו'‪ .‬לאחר מכן‪ ,‬ניתן‬
‫להמשיך בשתי דרכים‪ :‬הדרך האינטואיטיבית‪ ,‬או ה"הגיונית"‪ ,‬אינה מחייבת שימוש בנוסחאות‪ ,‬והיא זו‬
‫המוסברת תחילה בכל אחת מהדוגמאות שלעיל‪ .‬אפשרות אחרת היא לבחור את השיטה המתאימה (עקרון‬
‫הכפל‪ ,‬סידור איברים‪ ,‬פרמוטציה‪ ,‬קומבינציה) לסוג הבעיה‪ ,‬ולהשתמש בנוסחה המתאימה לה‪ .‬יש לשים לב‬
‫שהנוסחאות לא תמיד יתאימו באופן פשוט לבעיות‪ ,‬וכדאי תמיד להפעיל שיקול דעת ולנסות לפתור גם בדרך‬
‫ההגיונית‪.‬‬
‫פתרונות – קורס ההכנה הראשון בישראל לבחינת המתא"ם‬
‫‪www.pitronot.org‬‬