תרגיל בית / "ח למדמ לוגיקה
1
לוגיקה למדמ"ח /תרגיל בית #7
אריאל סטולרמן
()1
טענה :כל משפט של HPIהוא טאוטולוגיה בלוגיקה התלת-ערכית של גדל .מספיק להוכיח כי כל אקסיומות HPIמקיימות זאת ,ובשיעור הוכח עבור
1
האקסיומה ) .(𝐼2יהיו } 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ {0, , 1שלושה ערכי אמת ,להלן הוכחה עבור שאר האקסיומות:
2
) :(𝐼1צ"ל כי 𝑎 → (𝑏 → 𝑎) = 1עבור כל הצבה ל:𝑎, 𝑏-
אם 𝑎 ≤ 𝑏 אז ,𝑏 → 𝑎 = 1ואז 𝑎 → 𝑏 ≤ 𝑎 ולכן .𝑎 → 𝑏 → 𝑎 = 1
אם 𝑎 < 𝑏 אז 𝑎 = 𝑎 → 𝑏 ,ואז 𝑎 → 𝑏 = 𝑎 ולכן .𝑎 → 𝑏 → 𝑎 = 1
) : (𝑁1צ"ל כי 𝑎 → ¬𝑏 → ¬𝑎 = 1
→ 𝑏 → 𝑎 עבור כל הצבה ל:𝑎, 𝑏-
)(𝑁1
1
1
𝑎¬ → 𝑏¬ → 𝑎
1
1
𝑏¬ → 𝑎
1
1
𝑏→𝑎
1
1
𝑏¬
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
ומכאן שלכל הצבה ל 𝑎, 𝑏-נקבל .1
1
0
1
0
1
0
1
1
2
𝑏
0
𝑎¬
1
1
𝑎
0
0
1
0
0
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
) : (𝑁2צ"ל כי ¬𝑎 → 𝑎 → 𝑏 = 1עבור כל הצבה ל:𝑎, 𝑏-
אם 𝑏 ≤ 𝑎 אז 𝑎 → 𝑏 = 1ואז .¬𝑎 → 𝑎 → 𝑏 = ¬𝑎 → 1 = 1
אם 𝑏 > 𝑎 אז 𝑏 = 𝑏 → 𝑎 ואז 𝑏 → 𝑎¬ = 𝑏 → 𝑎 → 𝑎¬ .כיוון ש 𝑎 > 𝑏-אז נחלק למקרים (}:)𝑎 ∈ {1, 2
1
1
:𝑎 = 1, ¬𝑎 = 0לכל ערך של )0, 2( bנקבל כי 𝑏 ≤ 𝑎¬ ולכן .¬𝑎 → 𝑏 = 1
1
b :𝑎 = 2 , ¬𝑎 = 0חייב להיות 0ולכן .¬𝑎 → 𝑏 = 0 → 0 = 1
) :(𝐶1צ"ל כי 𝑎⋀𝑏 → 𝑎 = 1עבור כל הצבה ל:𝑎, 𝑏-
אם 𝑏 ≤ 𝑎 אז 𝑎 = 𝑏⋀𝑎 ואז .𝑎⋀𝑏 → 𝑎 = 𝑎 → 𝑎 = 1
אם 𝑏 > 𝑎 אז .𝑎⋀𝑏 → 𝑎 = 𝑏 → 𝑎 = 1
) :(𝐶2צ"ל כי 𝑎⋀𝑏 → 𝑏 = 1עבור כל הצבה ל:𝑎, 𝑏-
אם 𝑎 ≤ 𝑏 אז 𝑏 = 𝑏⋀𝑎 ואז .𝑎⋀𝑏 → 𝑎 = 𝑏 → 𝑎 = 1
אם 𝑎 > 𝑏 אז 𝑎 = 𝑏⋀𝑎 ואז .𝑎⋀𝑏 → 𝑎 = 𝑎 → 𝑎 = 1
) :(𝐶3צ"ל כי 𝑎 → 𝑏 → 𝑎⋀𝑏 = 1עבור כל הצבה ל:𝑎, 𝑏-
אם 𝑏 ≤ 𝑎 אז 𝑎 = 𝑏⋀𝑎 ולכן 𝑎 → 𝑏 = 𝑏⋀𝑎 → 𝑏 .אם 𝑏 < 𝑎 אז 𝑎 = 𝑎 → 𝑏 והביטוי שווה ל ,𝑎 → 𝑎 = 1 -ואם 𝑏 = 𝑎 אז
𝑏 → 𝑎 = 1ואז הביטוי שווה ל 𝑎 → 1 = 1-לכל ערך של .a
אם 𝑏 > 𝑎 אז 𝑏 = 𝑏⋀𝑎 ולכן .𝑏 → 𝑎⋀𝑏 = 𝑏 → 𝑏 = 1מכאן שהביטוי שווה ל 𝑎 → 1-השווה ל 1-לכל ערך של .a
) :(𝐷1צ"ל כי 𝑎 → 𝑎⋁𝑏 = 1עבור כל הצבה ל:𝑎, 𝑏-
אם 𝑏 ≤ 𝑎 אז 𝑏 = 𝑏⋁𝑎 ולכן .𝑎 → 𝑎⋁𝑏 = 𝑎 → 𝑏 = 1
אם 𝑏 > 𝑎 אז 𝑎 = 𝑏⋁𝑎 ולכן .𝑎 → 𝑎⋁𝑏 = 𝑎 → 𝑎 = 1
) 𝑏 → 𝑎⋁𝑏 = 1 :(𝐷2עבור כל הצבה ל:𝑎, 𝑏-
אם 𝑎 ≤ 𝑏 אז 𝑎 = 𝑏⋁𝑎 ולכן .𝑏 → 𝑎⋁𝑏 = 𝑏 → 𝑎 = 1
אם 𝑎 > 𝑏 אז 𝑏 = 𝑏⋁𝑎 ולכן .𝑏 → 𝑎⋁𝑏 = 𝑏 → 𝑏 = 1
2
) :(𝐷3צ"ל כי = 1
אם
𝑐 → 𝑏⋁𝑎 → 𝑐 → 𝑏
𝑐≤𝑏
אז
𝑏→𝑐=1
→ 𝑐 → 𝑎 עבור כל הצבה ל:𝑎, 𝑏, 𝑐-
𝑐 → 𝑏⋁𝑎 = 𝑐 → 𝑏⋁𝑎 → . 𝑏 → 𝑐 → 𝑎⋁𝑏 → 𝑐 = 1
ואז
לכן הביטוי שווה ל-
)𝑐 → 𝑏⋁𝑎( → 𝑐 → 𝑎 .נחלק למקרים:
o
𝑏 ≥ 𝑎 𝑎⋁𝑏 = 𝑎 :ולכן הביטוי שווה ל. 𝑎 → 𝑐 → 𝑎 → 𝑐 = 1-
o
𝑐 ≤ 𝑏 < 𝑎 𝑎⋁𝑏 = 𝑏 :ולכן הביטוי שווה ל. 𝑎 → 𝑐 → 𝑏 → 𝑐 = 1 → 1 = 1-
אם 𝑐 > 𝑏 אז 𝑐 = 𝑐 → 𝑏 ולכן 𝑐 → 𝑏⋁𝑎 → 𝑐 = 𝑐 → 𝑏⋁𝑎 → 𝑐 → 𝑏 ,וזה שווה ל 1 -לפי ) (𝐼1שהוכח לעיל .מכאן שהביטוי
שווה ל , 𝑎 → 𝑐 → 1-וזה שווה ל 1-לכל ערך של .a, c
()2
טענה :מהנוסחאות )𝐴 → 𝐵( → 𝐴( 𝐼𝐼. (𝐴 → (𝐵 → 𝐴⋀𝐵 ) ,𝐼.לא נובעת הנוסחה
ערכית של .Lukasiewiezנראה כי עבור הצבת ערכי האמת
𝐵→𝐴 →
𝐼𝐼𝐼.בלוגיקה התלת
𝐵→𝐴 →𝐴
1
𝐴 = 2 , 𝐵 = 0שתי הנוסחאות הראשונות מסתפקות (מקבלות )1ואילו הנוסחה
האחרונה לא:
→1 =1
→1 =1
1
1
1
1
2
=
1
→ 0→0
→2 →2 = 1→2 =2≠1
1
=
2
1
2
=
→0
1
2
1
2
1
=
⋀0
→
2
1
2
→→ 0
→→ 0
→0
1
2
→
1
1
2
2
1
2
1
𝑧𝑒𝑖𝑤𝑒𝑖𝑠𝑎𝑘𝑢𝐿├ 𝐼𝐼 .𝐼,
ומכאן שקיימת השמה vכך ש ,𝑣 𝐼 , 𝑣 𝐼𝐼 ∈ 𝐷, 𝑣 𝐼𝐼𝐼 ∉ 𝐷-ולכן 𝐼𝐼𝐼
()3
′
בשאלה זו כל פונ' תסומן עם גרש (‘) בסוף שמה (למשל )𝑥( 𝑙𝑖𝑎𝑡) וכל יחס יופיע ללא גרש .ה arity-תצויין לפי מס' הארגומנטים בפונ'/יחס.
א .אם יש סוסים באורווה אז סוסים אלו הם שחורים:
𝑥 𝑘𝑐𝑎𝑙𝑏 → 𝑒𝑙𝑏𝑎𝑡𝑠 ∀𝑥 ℎ𝑜𝑟𝑠𝑒 𝑥 ⋀𝑖𝑛 𝑥,
ב .כל סוס באורווה שזנבו לבן הוא בעל כתם על המצח:
𝑥 → ℎ𝑎𝑠_𝑠𝑡𝑎𝑖𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑒ℎ𝑒𝑎𝑑′
𝑥 ∀𝑥 ℎ𝑜𝑟𝑠𝑒 𝑥 ⋀𝑖𝑛 𝑥, 𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 ⋀𝑤ℎ𝑖𝑡𝑒 𝑡𝑎𝑖𝑙′
ג .סוסים עם זנב לבן אינם מחבבים סוסים עם כתם על המצח:
𝑦 → ¬𝑙𝑖𝑘𝑒 𝑥,
𝑦 ℎ𝑜𝑟𝑠𝑒 𝑥 ⋀𝑤ℎ𝑖𝑡𝑒 𝑡𝑎𝑖𝑙′ 𝑥 ⋀ℎ𝑜𝑟𝑠𝑒 𝑦 ⋀ℎ𝑎𝑠_𝑠𝑡𝑎𝑖𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑒ℎ𝑒𝑎𝑑′
𝑦∀𝑥∀
ד .לאף סוס באורווה אין זנב לבן:
𝑥 ∀𝑥 ℎ𝑜𝑟𝑠𝑒 𝑥 ⋀𝑖𝑛 𝑥, 𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 → ¬𝑤ℎ𝑖𝑡𝑒 𝑡𝑎𝑖𝑙′
()4
כל מספר זוגי הוא סכום של שני מספרים ראשוניים:
where:
𝑗 ∀𝑛 𝑒𝑣𝑒𝑛 𝑛 → ∃𝑖∃𝑗 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒 𝑖 ⋀𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒 𝑗 ⋀ 𝑛 = 𝑖 +
𝑖 𝑆 = 𝑛 ⋀ 𝑖 𝑁 𝑖∃ ⋁ 𝑁 𝑛 =𝐷𝑒𝑓 𝑛 = 0
𝑒𝑣𝑒𝑛 𝑛 =𝐷𝑒𝑓 𝑁 𝑛 ⋀ ∀𝑘 𝑁 𝑘 → ¬ 𝑛 = 𝑘 × 𝑆 𝑆 0
𝑗 × 𝑘 = 𝑛 ¬ → 𝑗 𝑁 𝑗∀ → 𝑛 = 𝑘 ¬ ⋀
⋀ ∀𝑘 𝑁 𝑘 ⋀ ¬ 𝑘 = 𝑆 0
𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒 𝑛 =𝐷𝑒𝑓 𝑁 𝑛 ⋀ 𝑛 > 𝑆 0
()5
א .לשני ישרים שונים יש לכל היותר נקודה משותפת אחת:
𝑏 = 𝑎 → 𝑚 = 𝑙 ¬ ⋀ 𝑚 ∀𝑎∀𝑏∀𝑙∀𝑚 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝑎 ⋀𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝑏 ⋀𝑙𝑖𝑛𝑒 𝑎 ⋀𝑙𝑖𝑛𝑒 𝑏 ⋀𝑜𝑛 𝑎, 𝑙 ⋀𝑜𝑛 𝑎, 𝑚 ⋀𝑜𝑛 𝑏, 𝑙 ⋀𝑜𝑛 𝑏,
3
לסעיפים ב' ג' נגדיר:
𝑚 𝑙𝑖𝑛𝑒(𝑙)⋀𝑙𝑖𝑛𝑒(𝑚)⋀∀𝑎 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝑎 ⋀𝑜𝑛 𝑎, 𝑙 → ¬𝑜𝑛 𝑎,
𝑓𝑒𝐷
= 𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙 𝑙,
2
𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙: 𝜄 → 𝑜,
ב 𝑦1 , 𝑦2 .הם שני ישרים מקבילים:
) 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙(𝑦1 , 𝑦2
ג .דרך נקודה שמחוץ לישר נתון עובר מקביל יחיד לאותו ישר:
→ 𝑛 ∀𝑙∀𝑎 𝑙𝑖𝑛𝑒 𝑙 ⋀𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝑎 ⋀ ¬𝑜𝑛 𝑎, 𝑙 → ∃𝑚 𝑙𝑖𝑛𝑒 𝑚 ⋀𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙 𝑚, 𝑙 ⋀𝑜𝑛 𝑎, 𝑚 ⋀ ∀𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒 𝑛 ⋀𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙 𝑛, 𝑙 ⋀𝑜𝑛 𝑎,
𝑚=𝑛
© Copyright 2025