‫‪1‬‬
‫לוגיקה למדמ"ח ‪ /‬תרגיל בית ‪#7‬‬
‫אריאל סטולרמן‬
‫(‪)1‬‬
‫טענה‪ :‬כל משפט של ‪ HPI‬הוא טאוטולוגיה בלוגיקה התלת‪-‬ערכית של גדל‪ .‬מספיק להוכיח כי כל אקסיומות ‪ HPI‬מקיימות זאת‪ ,‬ובשיעור הוכח עבור‬
‫‪1‬‬
‫האקסיומה )‪ .(𝐼2‬יהיו }‪ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ {0, , 1‬שלושה ערכי אמת‪ ,‬להלן הוכחה עבור שאר האקסיומות‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪ :(𝐼1‬צ"ל כי ‪ 𝑎 → (𝑏 → 𝑎) = 1‬עבור כל הצבה ל‪:𝑎, 𝑏-‬‬
‫‪‬‬
‫אם 𝑎 ≤ 𝑏 אז ‪ ,𝑏 → 𝑎 = 1‬ואז 𝑎 → 𝑏 ≤ 𝑎 ולכן ‪.𝑎 → 𝑏 → 𝑎 = 1‬‬
‫‪‬‬
‫אם 𝑎 < 𝑏 אז 𝑎 = 𝑎 → 𝑏‪ ,‬ואז 𝑎 → 𝑏 = 𝑎 ולכן ‪.𝑎 → 𝑏 → 𝑎 = 1‬‬
‫)‪ : (𝑁1‬צ"ל כי ‪𝑎 → ¬𝑏 → ¬𝑎 = 1‬‬
‫→ 𝑏 → 𝑎 עבור כל הצבה ל‪:𝑎, 𝑏-‬‬
‫)‪(𝑁1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑎¬ → 𝑏¬ → 𝑎‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑏¬ → 𝑎‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑏→𝑎‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑏¬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ומכאן שלכל הצבה ל‪ 𝑎, 𝑏-‬נקבל ‪.1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑏‬
‫‪0‬‬
‫𝑎¬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑎‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪ : (𝑁2‬צ"ל כי ‪ ¬𝑎 → 𝑎 → 𝑏 = 1‬עבור כל הצבה ל‪:𝑎, 𝑏-‬‬
‫‪‬‬
‫אם 𝑏 ≤ 𝑎 אז ‪ 𝑎 → 𝑏 = 1‬ואז ‪.¬𝑎 → 𝑎 → 𝑏 = ¬𝑎 → 1 = 1‬‬
‫‪‬‬
‫אם 𝑏 > 𝑎 אז 𝑏 = 𝑏 → 𝑎 ואז 𝑏 → 𝑎¬ = 𝑏 → 𝑎 → 𝑎¬‪ .‬כיוון ש‪ 𝑎 > 𝑏-‬אז נחלק למקרים (}‪:)𝑎 ∈ {1, 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ :𝑎 = 1, ¬𝑎 = 0‬לכל ערך של ‪ )0, 2( b‬נקבל כי 𝑏 ≤ 𝑎¬ ולכן ‪.¬𝑎 → 𝑏 = 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ b :𝑎 = 2 , ¬𝑎 = 0‬חייב להיות ‪ 0‬ולכן ‪.¬𝑎 → 𝑏 = 0 → 0 = 1‬‬
‫)‪ :(𝐶1‬צ"ל כי ‪ 𝑎⋀𝑏 → 𝑎 = 1‬עבור כל הצבה ל‪:𝑎, 𝑏-‬‬
‫‪‬‬
‫אם 𝑏 ≤ 𝑎 אז 𝑎 = 𝑏⋀𝑎 ואז ‪.𝑎⋀𝑏 → 𝑎 = 𝑎 → 𝑎 = 1‬‬
‫‪‬‬
‫אם 𝑏 > 𝑎 אז ‪.𝑎⋀𝑏 → 𝑎 = 𝑏 → 𝑎 = 1‬‬
‫)‪ :(𝐶2‬צ"ל כי ‪ 𝑎⋀𝑏 → 𝑏 = 1‬עבור כל הצבה ל‪:𝑎, 𝑏-‬‬
‫‪‬‬
‫אם 𝑎 ≤ 𝑏 אז 𝑏 = 𝑏⋀𝑎 ואז ‪.𝑎⋀𝑏 → 𝑎 = 𝑏 → 𝑎 = 1‬‬
‫‪‬‬
‫אם 𝑎 > 𝑏 אז 𝑎 = 𝑏⋀𝑎 ואז ‪.𝑎⋀𝑏 → 𝑎 = 𝑎 → 𝑎 = 1‬‬
‫)‪ :(𝐶3‬צ"ל כי ‪ 𝑎 → 𝑏 → 𝑎⋀𝑏 = 1‬עבור כל הצבה ל‪:𝑎, 𝑏-‬‬
‫‪‬‬
‫אם 𝑏 ≤ 𝑎 אז 𝑎 = 𝑏⋀𝑎 ולכן 𝑎 → 𝑏 = 𝑏⋀𝑎 → 𝑏‪ .‬אם 𝑏 < 𝑎 אז 𝑎 = 𝑎 → 𝑏 והביטוי שווה ל‪ ,𝑎 → 𝑎 = 1 -‬ואם 𝑏 = 𝑎 אז‬
‫‪ 𝑏 → 𝑎 = 1‬ואז הביטוי שווה ל‪ 𝑎 → 1 = 1-‬לכל ערך של ‪.a‬‬
‫‪‬‬
‫אם 𝑏 > 𝑎 אז 𝑏 = 𝑏⋀𝑎 ולכן ‪ .𝑏 → 𝑎⋀𝑏 = 𝑏 → 𝑏 = 1‬מכאן שהביטוי שווה ל‪ 𝑎 → 1-‬השווה ל‪ 1-‬לכל ערך של ‪.a‬‬
‫)‪ :(𝐷1‬צ"ל כי ‪ 𝑎 → 𝑎⋁𝑏 = 1‬עבור כל הצבה ל‪:𝑎, 𝑏-‬‬
‫‪‬‬
‫אם 𝑏 ≤ 𝑎 אז 𝑏 = 𝑏⋁𝑎 ולכן ‪.𝑎 → 𝑎⋁𝑏 = 𝑎 → 𝑏 = 1‬‬
‫‪‬‬
‫אם 𝑏 > 𝑎 אז 𝑎 = 𝑏⋁𝑎 ולכן ‪.𝑎 → 𝑎⋁𝑏 = 𝑎 → 𝑎 = 1‬‬
‫)‪ 𝑏 → 𝑎⋁𝑏 = 1 :(𝐷2‬עבור כל הצבה ל‪:𝑎, 𝑏-‬‬
‫‪‬‬
‫אם 𝑎 ≤ 𝑏 אז 𝑎 = 𝑏⋁𝑎 ולכן ‪.𝑏 → 𝑎⋁𝑏 = 𝑏 → 𝑎 = 1‬‬
‫‪‬‬
‫אם 𝑎 > 𝑏 אז 𝑏 = 𝑏⋁𝑎 ולכן ‪.𝑏 → 𝑎⋁𝑏 = 𝑏 → 𝑏 = 1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪ :(𝐷3‬צ"ל כי ‪= 1‬‬
‫‪‬‬
‫אם‬
‫𝑐 → 𝑏⋁𝑎 → 𝑐 → 𝑏‬
‫𝑐≤𝑏‬
‫אז‬
‫‪𝑏→𝑐=1‬‬
‫→ 𝑐 → 𝑎 עבור כל הצבה ל‪:𝑎, 𝑏, 𝑐-‬‬
‫𝑐 → 𝑏⋁𝑎 = 𝑐 → 𝑏⋁𝑎 → ‪. 𝑏 → 𝑐 → 𝑎⋁𝑏 → 𝑐 = 1‬‬
‫ואז‬
‫לכן הביטוי שווה ל‪-‬‬
‫)𝑐 → 𝑏⋁𝑎( → 𝑐 → 𝑎 ‪ .‬נחלק למקרים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪o‬‬
‫𝑏 ≥ 𝑎‪ 𝑎⋁𝑏 = 𝑎 :‬ולכן הביטוי שווה ל‪. 𝑎 → 𝑐 → 𝑎 → 𝑐 = 1-‬‬
‫‪o‬‬
‫𝑐 ≤ 𝑏 < 𝑎‪ 𝑎⋁𝑏 = 𝑏 :‬ולכן הביטוי שווה ל‪. 𝑎 → 𝑐 → 𝑏 → 𝑐 = 1 → 1 = 1-‬‬
‫אם 𝑐 > 𝑏 אז 𝑐 = 𝑐 → 𝑏 ולכן 𝑐 → 𝑏⋁𝑎 → 𝑐 = 𝑐 → 𝑏⋁𝑎 → 𝑐 → 𝑏 ‪ ,‬וזה שווה ל‪ 1 -‬לפי )‪ (𝐼1‬שהוכח לעיל ‪ .‬מכאן שהביטוי‬
‫שווה ל‪ , 𝑎 → 𝑐 → 1-‬וזה שווה ל‪ 1-‬לכל ערך של ‪.a, c‬‬
‫(‪)2‬‬
‫טענה‪ :‬מהנוסחאות )𝐴 → 𝐵( → 𝐴( ‪ 𝐼𝐼. (𝐴 → (𝐵 → 𝐴⋀𝐵 ) ,𝐼.‬לא נובעת הנוסחה‬
‫ערכית של ‪ .Lukasiewiez‬נראה כי עבור הצבת ערכי האמת‬
‫𝐵→𝐴 →‬
‫‪ 𝐼𝐼𝐼.‬בלוגיקה התלת‬
‫𝐵→𝐴 →𝐴‬
‫‪1‬‬
‫‪ 𝐴 = 2 , 𝐵 = 0‬שתי הנוסחאות הראשונות מסתפקות (מקבלות ‪ )1‬ואילו הנוסחה‬
‫האחרונה לא‪:‬‬
‫‪→1 =1‬‬
‫‪→1 =1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪→ 0→0‬‬
‫‪→2 →2 = 1→2 =2≠1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪→0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪⋀0‬‬
‫→‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫→‪→ 0‬‬
‫→‪→ 0‬‬
‫‪→0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫→‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑧𝑒𝑖𝑤𝑒𝑖𝑠𝑎𝑘𝑢𝐿├ 𝐼𝐼 ‪.𝐼,‬‬
‫ומכאן שקיימת השמה ‪ v‬כך ש‪ ,𝑣 𝐼 , 𝑣 𝐼𝐼 ∈ 𝐷, 𝑣 𝐼𝐼𝐼 ∉ 𝐷-‬ולכן 𝐼𝐼𝐼‬
‫(‪)3‬‬
‫‪′‬‬
‫בשאלה זו כל פונ' תסומן עם גרש (‘) בסוף שמה (למשל )𝑥( 𝑙𝑖𝑎𝑡) וכל יחס יופיע ללא גרש‪ .‬ה‪ arity-‬תצויין לפי מס' הארגומנטים בפונ'‪/‬יחס‪.‬‬
‫א‪ .‬אם יש סוסים באורווה אז סוסים אלו הם שחורים‪:‬‬
‫𝑥 𝑘𝑐𝑎𝑙𝑏 → 𝑒𝑙𝑏𝑎𝑡𝑠 ‪∀𝑥 ℎ𝑜𝑟𝑠𝑒 𝑥 ⋀𝑖𝑛 𝑥,‬‬
‫ב‪ .‬כל סוס באורווה שזנבו לבן הוא בעל כתם על המצח‪:‬‬
‫𝑥 ‪→ ℎ𝑎𝑠_𝑠𝑡𝑎𝑖𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑒ℎ𝑒𝑎𝑑′‬‬
‫𝑥 ‪∀𝑥 ℎ𝑜𝑟𝑠𝑒 𝑥 ⋀𝑖𝑛 𝑥, 𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 ⋀𝑤ℎ𝑖𝑡𝑒 𝑡𝑎𝑖𝑙′‬‬
‫ג‪ .‬סוסים עם זנב לבן אינם מחבבים סוסים עם כתם על המצח‪:‬‬
‫𝑦 ‪→ ¬𝑙𝑖𝑘𝑒 𝑥,‬‬
‫𝑦 ‪ℎ𝑜𝑟𝑠𝑒 𝑥 ⋀𝑤ℎ𝑖𝑡𝑒 𝑡𝑎𝑖𝑙′ 𝑥 ⋀ℎ𝑜𝑟𝑠𝑒 𝑦 ⋀ℎ𝑎𝑠_𝑠𝑡𝑎𝑖𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑒ℎ𝑒𝑎𝑑′‬‬
‫𝑦∀𝑥∀‬
‫ד‪ .‬לאף סוס באורווה אין זנב לבן‪:‬‬
‫𝑥 ‪∀𝑥 ℎ𝑜𝑟𝑠𝑒 𝑥 ⋀𝑖𝑛 𝑥, 𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 → ¬𝑤ℎ𝑖𝑡𝑒 𝑡𝑎𝑖𝑙′‬‬
‫(‪)4‬‬
‫כל מספר זוגי הוא סכום של שני מספרים ראשוניים‪:‬‬
‫‪where:‬‬
‫𝑗 ‪∀𝑛 𝑒𝑣𝑒𝑛 𝑛 → ∃𝑖∃𝑗 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒 𝑖 ⋀𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒 𝑗 ⋀ 𝑛 = 𝑖 +‬‬
‫𝑖 𝑆 = 𝑛 ⋀ 𝑖 𝑁 𝑖∃ ⋁ ‪𝑁 𝑛 =𝐷𝑒𝑓 𝑛 = 0‬‬
‫‪𝑒𝑣𝑒𝑛 𝑛 =𝐷𝑒𝑓 𝑁 𝑛 ⋀ ∀𝑘 𝑁 𝑘 → ¬ 𝑛 = 𝑘 × 𝑆 𝑆 0‬‬
‫𝑗 × 𝑘 = 𝑛 ¬ → 𝑗 𝑁 𝑗∀ → 𝑛 = 𝑘 ¬ ⋀‬
‫‪⋀ ∀𝑘 𝑁 𝑘 ⋀ ¬ 𝑘 = 𝑆 0‬‬
‫‪𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒 𝑛 =𝐷𝑒𝑓 𝑁 𝑛 ⋀ 𝑛 > 𝑆 0‬‬
‫(‪)5‬‬
‫א‪ .‬לשני ישרים שונים יש לכל היותר נקודה משותפת אחת‪:‬‬
‫𝑏 = 𝑎 → 𝑚 = 𝑙 ¬ ⋀ 𝑚 ‪∀𝑎∀𝑏∀𝑙∀𝑚 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝑎 ⋀𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝑏 ⋀𝑙𝑖𝑛𝑒 𝑎 ⋀𝑙𝑖𝑛𝑒 𝑏 ⋀𝑜𝑛 𝑎, 𝑙 ⋀𝑜𝑛 𝑎, 𝑚 ⋀𝑜𝑛 𝑏, 𝑙 ⋀𝑜𝑛 𝑏,‬‬
‫‪3‬‬
‫לסעיפים ב' ג' נגדיר‪:‬‬
‫𝑚 ‪𝑙𝑖𝑛𝑒(𝑙)⋀𝑙𝑖𝑛𝑒(𝑚)⋀∀𝑎 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝑎 ⋀𝑜𝑛 𝑎, 𝑙 → ¬𝑜𝑛 𝑎,‬‬
‫𝑓𝑒𝐷‬
‫= 𝑚 ‪𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙 𝑙,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙: 𝜄 → 𝑜,‬‬
‫ב‪ 𝑦1 , 𝑦2 .‬הם שני ישרים מקבילים‪:‬‬
‫) ‪𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙(𝑦1 , 𝑦2‬‬
‫ג‪ .‬דרך נקודה שמחוץ לישר נתון עובר מקביל יחיד לאותו ישר‪:‬‬
‫→ 𝑛 ‪∀𝑙∀𝑎 𝑙𝑖𝑛𝑒 𝑙 ⋀𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝑎 ⋀ ¬𝑜𝑛 𝑎, 𝑙 → ∃𝑚 𝑙𝑖𝑛𝑒 𝑚 ⋀𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙 𝑚, 𝑙 ⋀𝑜𝑛 𝑎, 𝑚 ⋀ ∀𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒 𝑛 ⋀𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙 𝑛, 𝑙 ⋀𝑜𝑛 𝑎,‬‬
‫𝑚=𝑛‬