1. No category

‫תהליך ניתוח שונות משמש לבדיקת הבדלים בין מספר אוכלוסיות‪ ,‬על ידי בדיקה האם ההבדלים בין ממוצעי המדגמים‬
‫שנלקחו מתוך אוכלוסיות אלו הם אכן הבדלים מובהקים‪ ,‬או כאלה הנובעים מטעות ומקריות‪ .‬השיטה הסטטיסטית עליה‬
‫מתבסס ניתוח השונות‪ ,‬על מנת להכריע בשאלה זו‪ ,‬היא בדיקה האם ההבדלים בין ממוצעי המדגמים גדולים באופן מובהק‬
‫מההבדלים המקריים שבתוך המדגמים‪.‬‬
‫מטרת ניתוח השונות היא כאמור להחליט האם קיים הבדל בין מדגמים שנלקחו מתוך מספר אוכלוסיות‪ .‬על מנת לערוך‬
‫ניתוח שונות‪ ,‬יש לוודא כי התנאים הבאים מתקיימים לגבי אוכלוסיות אלו‪:‬‬
‫א‪ .‬השונויות של אוכלוסיות אלו במשתנה הנחקר ידועות‪ ,‬והן שוות זו לזו‪.‬‬
‫ב‪ .‬המשתנה הנחקר מתפלג נורמאלית באוכלוסיות אלו‪.‬‬
‫ג‪ .‬אין תלות בין האוכלוסיות מהן נלקחו המדגמים‪.‬‬
‫קיימים שני סוגי של מערכי ניסוי לגביהם ניתן לבצע ניתוח שונות‪ .‬מערך חד גורמי הינו מערך ניסויי בעל גורם ‪ /‬משתנה‬
‫בלתי תלוי אחד‪ ,‬בעל יותר משתי רמות (‪ 3‬ערכים אפשריים ומעלה)‪ .‬מערך רב גורמי הינו מערך בעל יותר מגורם ‪/‬משתנה‬
‫בלתי תלוי אחד‪.‬‬
‫במערך חד גורמי מתחלקת שונות המשתנה הנחקר (שונות המשתנה התלוי) לשונות בין קבוצתית (‪ )SSB‬ולשונות תוך‬
‫קבוצתית (‪ ,)SSW‬כאשר השונות הכללית (‪ )SST‬מהווה את סכומן של שתי השונויות‪.‬‬
‫במערך רב גורמי השונות מתחלקת שונות המשתנה הנחקר (שונות המשתנה התלוי) לשונות הנובעת מכל גורם בנפרד‬
‫(שונות בין קבוצתית‪ ,‬במקרה של שני גורמים‪ ,)SSA, SSB -‬שונות הנובעת מהאינטראקציות בין הגורמים (השפעתם‬
‫המשולבת של שני גורמים או יותר‪ ,‬במקרה של שני גורמים ‪ )SSAB -‬ולשונות תוך קבוצתית (‪ .)SSW‬השונות הכללית (‪)SST‬‬
‫מהווה את סכום השונויות‪.‬‬
‫במערך ניסוי חד גורמי ישנו משתנה בלתי תלוי אחד הגורם (לפי השערת החוקר) להבדלים בין קבוצות הניסוי במשתנה‬
‫התלוי‪ .‬שונות המשתנה התלוי מתחלקת כאמור‪ ,‬לשונות בין קבוצתית ולשונות תוך קבוצתית‪.‬‬
‫השונות הבין קבוצתית‪ ,‬המייצגת את סטיית ממוצעי הקבוצות זה מזה‪ ,‬נובעת מהאפקט הטיפולי (המניפולציה) וכן‬
‫מהבדלים בינאישיים ומטעויות מקריות‪.‬‬
‫השונות התוך קבוצתית‪ ,‬המייצגת את סטיית ערכי הנבדקים מממוצע קבוצתם‪,‬נובעת מהבדלים בינאישיים ומטעויות‬
‫מקריות בלבד ‪.‬‬
‫ניתן להבין זאת ביתר קלות בעזרת התרשים הבא‪:‬‬
‫‪ M‬ממוצע כללי‬
‫‪ Ā‬ממוצע הקבוצה‬
‫סטיית הקב' מהממוצע‬
‫‪ A‬ערך הנבדק‬
‫סטיית נבדק מממוצע קבוצתו‬
‫הכללי‬
‫‪01‬‬
‫‪M‬‬
‫)שונות בין קבוצתית)‬
‫‪9‬‬
‫‪5‬‬
‫‪8‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫)שונות תוך קבוצתית( ‪A‬‬
‫‪Ā‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫סה"כ המרחק ‪:‬‬
‫סטיית נבדק מהממוצע הכללי‬
‫‪F‬‬
‫ניתוח השונות נועד כאמור לענות על שאלת מובהקות ההבדלים בין ממוצעי הקבוצות בניסוי‪ .‬הניתוח מבוסס על איתור‬
‫החלק היחסי מתוך ההבדלים בין הקבוצות‪ ,‬הנובע מהאפקט הטיפולי ולא מטעות או מהבדלים בינאישיים‪ .‬המטרה היא‬
‫לגלות את גודל האפקט הטיפולי ה'נקי' מהשפעות מקריות‪ .‬למטרה זו מתבצע חישוב יחס ‪ – F‬היחס בין ממוצע השונות‬
‫הבין קבוצתית (‪ )MSB‬לממוצע השונות התוך קבוצתית (‪ .)MSW‬ככל שיחס זה הינו גדול יותר‪ ,‬הרי שהשפעת האפקט‬
‫הטיפולי רבה יותר‪ ,‬ביחס להשפעתם של ההבדלים הבינאישיים ושל גורמי הטעות והמקריות‪.‬‬
‫ניתן להבין זאת ביתר קלות בעזרת ההסבר הבא‪:‬‬
‫יחס ‪= F‬‬
‫‪MSB‬‬
‫‪MSW‬‬
‫=‬
‫שונות בין קבוצתית‬
‫שונות תוך קבוצתית‬
‫=‬
‫אפקט טיפולי ‪ +‬הבדלים בינאישיים וטעות‬
‫הבדלים בינאישיים וטעות‬
‫‪F‬‬
‫יחס ‪ F‬מבטא למעשה את מובהקות האפקט הטיפולי‪ .‬מכאן‪ ,‬שככל שערכו של יחס ‪ F‬גדול יותר‪ ,‬הסיכוי למובהקות גדל‪.‬‬
‫ההכרעה לגבי המובהקות מתבצעת "נופלת" בהתאם ל‪ F-‬הקריטי‪ ,‬אותו ניתן לאתר בטבלת ערכי ‪.F‬‬
‫במצב בו ערך ה‪ F-‬המחושב גדול מערך ה‪ F-‬הקריטי יש לדחות את ‪ , H 0‬הטוענת כי אין הבדלים בין הקבוצות‪ .‬במצב זה‬
‫מניחים כי נמצא אפקט מובהק לטיפול‪.‬‬
‫במצב בו ערך ה‪ F-‬המחושב קטן מערך ה‪ F-‬הקריטי אין לדחות את ‪ , H 0‬הטוענת כי אין הבדלים בין הקבוצות‪ .‬במצב זה‬
‫מניחים כי לא נמצא אפקט מובהק לטיפול‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫חישוב יחס ‪ F‬מתבצע לרוב באמצעות טבלת ‪.F‬‬
‫‪F‬‬
‫להלן המבנה של טבלת ‪ F‬עבור מערך חד גורמי‪ ,‬הכוללת את מרכיבי ניתוח השונות והיחסים ביניהם‪:‬‬
‫יחס ‪F‬‬
‫‪MS‬‬
‫‪Df‬‬
‫‪SS‬‬
‫מקור השונות‬
‫‪MSB/MSw‬‬
‫‪MSB=SSB/dfB‬‬
‫‪k-1‬‬
‫‪SSB‬‬
‫‪)BETWEEN) B‬‬
‫‪MSW=SSW/dfW‬‬
‫‪N-k‬‬
‫‪SSW‬‬
‫‪)WITHIN( W‬‬
‫(*או )‪(k(n-1‬‬
‫‪N-1‬‬
‫‪SST‬‬
‫‪)TOTAL( T‬‬
‫(*או ‪)kn-1‬‬
‫‪ – n‬מספר הנבדקים בקבוצת הניסוי‪ - N ,‬מספר הנבדקים הכללי‪ - K ,‬מספר הקבוצות‬
‫*הנוסחא מתאימה במידה ומספר הנבדקים שווה בכל קבוצות הניסוי‪.‬‬
‫ערך‬
‫משמעות‬
‫‪SSB‬‬
‫השונות הבין קבוצתית הגולמית המבטאת את סטיית‬
‫ממוצע קבוצת הניסוי מהממוצע הכללי‪.‬‬
‫‪SSW‬‬
‫השונות התוך קבוצתית הגולמית המבטאת את סטייתו של‬
‫כל נבדק מממוצע קבוצתו‪.‬‬
‫הסבר‬
‫א‪ .‬חישוב סטיית ממוצע קבוצת הניסוי‬
‫מהממוצע הכללי‪.‬‬
‫ב‪ .‬העלאת הסטייה בריבוע והכפלתה במספר‬
‫הנבדקים בקבוצת הניסוי‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫סכימת ריבועי הסטיות‪.‬‬
‫ובנוסחא‪ n j ( x j  x ) 2 :‬‬
‫=‪SSB‬‬
‫‪ - n j‬מספר הנבדקים בקבוצה מסוימת‬
‫‪ - x j‬ממוצע קבוצה מסוימת‬
‫‪ - x‬ממוצע כללי‬
‫א‪ .‬חישוב סטיית כל נבדק מממוצע קבוצתו‪.‬‬
‫ב‪ .‬העלאה הסטייה בריבוע‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫סכימת ריבועי הסטיות‪.‬‬
‫ובנוסחא‪SSW=  ( xij  x j ) :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ - xij‬ערך נבדק מסוים בקבוצה מסוימת‬
‫‪ - x j‬ממוצע קבוצה מסוימת‬
‫‪dfB‬‬
‫דרגות החופש של השונות הבין קבוצתית‪ -‬מספר הערכים‬
‫הניתנים לשינוי לצורך חישוב השונות הבין קבוצתית‪,‬‬
‫התלוי במספר התצפיות במחקר‪.‬‬
‫‪k-1‬‬
‫‪ – k‬מספר הקבוצות בניסוי‬
‫‪N-k‬‬
‫‪dfW‬‬
‫דרגות החופש של השונות התוך קבוצתית‪ -‬מספר הערכים‬
‫הניתנים לשינוי לצורך חישוב השונות התוך קבוצתית‪.‬‬
‫(לעיתים תקרא "מונח הטעות")‪.‬‬
‫‪MSB‬‬
‫ממוצע השונות הבין קבוצתית‪ -‬סה"כ השונות הבין‬
‫קבוצתית חלקי דרגות החופש של השונות הבין קבוצתית‪.‬‬
‫‪SSB / dfB‬‬
‫ממוצע השונות התוך קבוצתית‪ -‬סה"כ השונות התוך‬
‫‪SSW / dfW‬‬
‫‪MSW‬‬
‫קבוצתית חלקי דרגות החופש של השונות התוך קבוצתית‪.‬‬
‫‪ – k‬מספר הקבוצות בניסוי‬
‫‪ – N‬מספר הנבדקים בניסוי כולו‬
‫במערך ניסוי רב גורמי ישנם מספר משתנים בלתי תלויים הגורמים (לפי השערת החוקר) להבדלים בין קבוצות הניסוי‬
‫במשתנה התלוי‪ .‬שונות המשתנה התלוי מתחלקת כאמור‪ ,‬למספר שונויות‪:‬‬
‫השונות הבין קבוצתית מתחלקת לכזאת הנובעת מכל גורם בנפרד‪ ,‬ולשונות הנובעת מהשפעה משולבת (אינטראקציה) של‬
‫שני משתנים (או יותר) יחד‪ .‬בנוסף ישנה השונות התוך קבוצתית‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫במערך ניסוי רב גורמי‪ ,‬כמו במערך החד גורמי‪ ,‬מתבצעת בדיקת המובהקות ע"י השוואת ערך ה‪ F-‬המחושב לערך ה‪F-‬‬
‫הקריטי אותו ניתן לאתר בטבלת ערכי ‪.F‬‬
‫בשונה ממערך חד גורמי‪ ,‬לא מתבצעת במערך רב גורמי בדיקת מובהקות אחת‪ ,‬אלא מספר בדיקות כאלה‪ ,‬בהתאם למספר‬
‫הגורמים ומספר גורמי האינטראקציה במערך‪.‬‬
‫במערך דו גורמי למשל‪ ,‬מתבצעת בדיקת מובהקות לגורם ‪ ,A‬לגורם ‪ B‬ולגורם האינטראקציה ‪.B*A‬‬
‫ערכי ה‪ F-‬הקריטי תלויים בדרגות החופש של כל גורם ואינם חייבים להיות זהים עבור כל הגורמים השונים במערך‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫להלן טבלת ‪ F‬עבור מערך דו גורמי (מקרה פרטי של מערך רב גורמי)‪ ,‬הכוללת את מרכיבי ניתוח השונות במערך זה‪.‬‬
‫יש לשים לב לכך שבמערך זה קיימים שני משתנים בלתי תלויים‪ ,‬אשר כל אחד מהם מהווה גורם לשונות בין קבוצתית‪.‬‬
‫בנוסף תיתכן אינטראקציה בין גורמים אלה‪ ,‬כך שהשפעתו שלגורם ‪ A‬תשתנה כתלות ברמותיו של גורם ‪.B‬‬
‫יחס ‪F‬‬
‫‪MS‬‬
‫‪Df‬‬
‫‪SS‬‬
‫מקור השונות‬
‫‪MSA/MSW‬‬
‫‪MSA =SSA/dfA‬‬
‫‪a–1‬‬
‫‪SSA‬‬
‫‪A‬‬
‫‪MSB/MSW‬‬
‫‪MSB =SSB/dfB‬‬
‫‪b–1‬‬
‫‪SSB‬‬
‫‪B‬‬
‫‪MSAxB/MSW‬‬
‫‪MSAxB =SSAxB/dfAXB‬‬
‫)‪(a - 1)(b - 1‬‬
‫‪SSAxB‬‬
‫‪AxB‬‬
‫‪MSW =SSW/dfW‬‬
‫)‪ab(n - 1‬‬
‫‪SSW‬‬
‫)‪W (Within‬‬
‫‪(a x b x n) – 1‬‬
‫‪SST‬‬
‫)‪T (Total‬‬
‫‪ -a, b‬מספר הרמות של המשתנה‬
‫ערך‬
‫משמעות‬
‫אופן חישוב‬
‫‪SSA, SSB‬‬
‫השונות הנובעת מהאפקטים של המשתנים ‪a,b‬‬
‫‪ n x a(Āi - M)2‬‬
‫השונות הנובעת מהאינטראקציה בין המשתנים‬
‫‪SSAxB = SSAB - SSA - SSB‬‬
‫‪SSAxB‬‬
‫‪a,b‬‬
‫‪SSW‬‬
‫השונות התוך קבוצתית‬
‫‪ (ABSijk - ABij)2‬‬
‫‪SST‬‬
‫השונות הכללית במערך‬
‫‪(ABSijk - M)2‬‬
‫דרגות החופש של השונות הבין קבוצתית הנובעת‬
‫‪a-1‬‬
‫‪b-1‬‬
‫)‪(a-1)(b-1‬‬
‫( )‪)SSAB =  n(ABij - M‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dfA, dfB, dfAXB‬‬
‫מהמשתנים ‪ a,b‬ומהאינטראקציה ביניהם‬
‫‪dfW‬‬
‫דרגות החופש של השונות התוך קבוצתית‬
‫ממוצע השונות הנובעת מהמשתנים ‪a, b‬‬
‫‪MSA, MSB, MSAxB‬‬
‫ומהאינטראקציה ביניהם‬
‫‪MSW‬‬
‫ממוצע השונות התוך קבוצתית‬
‫)‪ab(n - 1‬‬
‫‪MSA =SSA/dfA,‬‬
‫‪MSB =SSB/dfB,‬‬
‫‪MSAxB =SSAxB/dfAXB‬‬
‫‪MSW =SSW/dfW‬‬