1. No category

EKSAMEN
EMNE: MA-157
FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg
Klasser: IKT
Dato: 10. mai 2012
Eksamensoppgaven
best˚
ar av følgende:
Antall sider
(ink. forside): 3
Tillatte hjelpemidler er:
Eksamenstid: 0900 – 1400
Antall
oppgaver: 4
Antall
vedlegg: 0
Godkjent kalkulator
Formelsamlinger
Utskrift av Josteins formlesamlinger
Don’t Panic!
1 selvlagd A4-ark
KANDIDATEN M˚
A SELV KONTROLLERE AT
OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG
1
Om eksamen
Mellomregninger
Ta med mellomregninger og begrunnelser som er relevante for MA-157, slik at det er
tydelig for sensor at du kjenner hele gangen i regningen. Mellomregninger som tilhører
andre fag er det ikke nødvendig ˚
a ta med. Er du i tvil om mellomregningen tilhører
pensum i MA-157, ta den med.
Formler
Det kan være lurt ˚
a oppgi hvilken formel du har brukt i overganger hvor valg av formel
er viktig.
1
1. Lineær algebra
⎡ 0 2 4 ⎤
⎡ 8 ⎤
⎡ 0 3 0 ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥ ⃗ ⎢
⎥
⎢
⎥
A = ⎢ 1 2 3 ⎥ , b = ⎢ 4 ⎥, C = ⎢ 2 −1 0 ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ 2 6 10 ⎥
⎢ 16 ⎥
⎢ 0 0 1 ⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
(a) Løs ligningen A⃗
x = ⃗b. Vis samtlige radoperasjoner og hvordan du leser av, og
skriv svaret p˚
a vektorform.
Svar: Vi starter med augmentert matrise, og regner:
⎡ 0 2 4 8 ⎤
⎡
⎤
⎢
⎥ Å ⎢ 1 2 3 4 ⎥
⎥ ¾ ⎢
⎥
⎢
⎢ 1 2 3 4 ⎥
∼⎢ 0 2 4 8 ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ 2 6 10 16 ⎥
⎢ 2 6 10 16 ⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
¿⋅−2 ⎡ 1 2 3 4 ⎤
⎢
⎥
∣∣
⎢
⎥ ¿⋅−1
0
2
4
8
⎢
⎥ ¾
∼
¾
⎢
⎥
⎢ 0 2 4 8 ⎥
⎣
⎦
⎡ 1 2 3 4 ⎤ Å
⎡
⎤
⎡ ○
0 −1 −4 ⎤⎥
⎢
⎥ Ä ⋅ − 1 ⎢ 1 0 −1 −4 ⎥
⎢ 1
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
1
2 4 ⎥
∼⎢ 0 2 4 8 ⎥
∼ ⎢ 0 2 4 8 ⎥ ⋅0.5 ∼ ⎢ 0 ○
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ 0 0 0 0 ⎥
⎢ 0 0 0 0 ⎥
⎢ 0 0 0 0 ⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
Vi leser av, kolonne for kolonne, og ser
x1 − x3 = −4
x2 + 2x3 = 4
x3 er fri
x1
x2
x3
= −4 + x3
= 4 − 2x3
= 0 + x3
⎡ −4 ⎤
⎡ 1 ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
x⃗ = ⎢ 4 ⎥ + x3 ⋅ ⎢ −2 ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ 0 ⎥
⎢ 1 ⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
(b) Finn determinanten til A ved kofaktorekspansjon langs 3. kolonne.
Svar: Vi setter opp:
2
⎡ 0 2 ○
4 ⎤⎥
⎢
⎥
⎢
⎢ 1 2 3 ⎥
⎢
⎥
⎢ 2 6 10 ⎥
⎣
⎦
(−1)1+3 ⋅ 4 ⋅ ∣
1 2
∣
2 6
⎡ 0 2 4 ⎤
⎢
⎥
⎢
3 ⎥⎥
⎢ 1 2 ○
⎢
⎥
⎢ 2 6 10 ⎥
⎣
⎦
(−1)2+3 ⋅ 3 ⋅ ∣
8
0 2
∣
2 6
⎡ 0 2 4 ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ 1 2 3 ⎥
⎢
⎥
⎢ 2 6 ○
10 ⎥⎦
⎣
(−1)3+3 ⋅ 10 ⋅ ∣
12
−20
0 2
∣
1 2
∑=0
∣A∣ = 0
(c) Invers av matrise
i. Finn C −1 . Vis metoden!
Svar: Vi setter opp
⎡ 0 3 0 1 0 0 ⎤ ⎡ 1 0 0 1 1 0 ⎤
⎢
⎥
⎥ ⎢
6
2
⎢
⎥
⎥ ⎢
[C⋮I3 ] = ⎢ 2 −1 0 0 1 0 ⎥ ∼ ⎢ 0 1 0 13 0 0 ⎥ = [I3 ⋮C −1 ]
⎢
⎥
⎥ ⎢
⎢ 0 0 1 0 0 1 ⎥ ⎢ 0 0 1 0 0 1 ⎥
⎣
⎦
⎦ ⎣
⎡ 1 1 0 ⎤
⎢ 6 2
⎥
⎢
⎥
s˚
a da er C −1 = ⎢ 13 0 0 ⎥
⎢
⎥
⎢ 0 0 1 ⎥
⎣
⎦
ii. Løs C x⃗ = ⃗b ved ˚
a bruke C −1
⎡ 1 1 0 ⎤ ⎡ 8 ⎤ ⎡ 10 ⎤
⎢ 6 2
⎥ ⎢
⎥ ⎢ 3 ⎥
⎢
⎥
⎥ ⎢
⎥ ⎢
Svar: x⃗ = C −1⃗b = ⎢ 13 0 0 ⎥ ⋅ ⎢ 4 ⎥ = ⎢ 83 ⎥
⎢
⎥
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎢ 0 0 1 ⎥ ⎢ 16 ⎥ ⎢ 16 ⎥
⎣
⎦
⎦ ⎣
⎦ ⎣
(d) Egenverdier og egenvektorer
i. Finn egenverdiene til C. (Hint: λ = 1 er en av dem)
Svar:
RRR 0 − λ
3
0
RR
−1 − λ
0
p(λ) = RRRR 2
RRR
0
1−λ
RR 0
RRR
RRR
RRR = ((0−λ)(−1−λ)−2⋅3)(1−λ) = (λ2 +λ−6)(1−λ)
RRR
RR
Ligningen p(λ) = 0 har løsning
(λ2 + λ − 6)(1 − λ) = 0
λ2 + λ − 6 = 0 ∨ 1 − λ = 0
λ = −3 ∨ λ = 2 ∨ λ = 1
Egenverdiene til C er λ1 = −3, λ2 = 1, λ3 = 2
3
ii. Finn egenvektoren(e) til den minste egenverdien.
Svar: Den minste egenverdien er λ1 = −3.
⃗
Vi løser (C − λ1 ⋅ I)⃗
x = 0:
⎡ 0 − λ1
3
0
⎢
⎢
−1 − λ1
0
C −λ1 I = ⎢ 2
⎢
⎢ 0
0
1
−
λ1
⎣
⎤ ⎡ 0 − (−3)
3
0
⎥ ⎢
⎥ ⎢
2
−1 − (−3)
0
⎥=⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
0
0
1
−
(−3)
⎦ ⎣
⎤ ⎡ 3 3 0 ⎤
⎥ ⎢
⎥
⎥ ⎢
⎥
⎥=⎢ 2 2 0 ⎥
⎥ ⎢
⎥
⎥ ⎢ 0 0 4 ⎥
⎦ ⎣
⎦
s˚
a ligningen f˚
ar augmentert matrise
⎡ 3 3 0 0 ⎤ ⎡ 1 1 0 0 ⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢ 2 2 0 0 ⎥∼⎢ 0 0 1 0 ⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢ 0 0 4 0 ⎥ ⎢ 0 0 0 0 ⎥
⎣
⎦ ⎣
⎦
Vi leser av, og f˚
ar at
x1 + x2 = 0
x2 er fri
x3 = 0
x1
x2
x3
= −x2
= x2
= 0
⎡ −1 ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
x⃗ = x2 ⋅ ⎢ 1 ⎥
⎢
⎥
⎢ 0 ⎥
⎣
⎦
⎡ −1 ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
Egenvektoren tilhørende λ1 er v⃗1,1 = ⎢ 1 ⎥
⎢
⎥
⎢ 0 ⎥
⎣
⎦
2. Differensialligninger
(a) (Teller dobbelt) Løs p˚
a klassisk m˚
ate: 3y ′′ + 3y ′ − 60y = 0; y(0) = 0, y ′ (0) = 1
(yP skal finnes med Variasjon av Parametre, ikke med Ubestemte koeffisienters
metode)
4
Svar: Vi finner først yC :
3y ′′ + 3y ′ − 60y
3r2 + 3r − 60
r1 = −5
y1 = e−5t
=
=
,
,
0
Tilhørende homogen diff-lign.
0
Karakteristisk ligning
r2 = 4
y2 = e4t
Vi finner deretter yp ved hjelp av den spesifiserte metoden, og begynner med
Wronski-determinanten:
W (t) = ∣
y1 y2
e−5t
e4t
∣
=
∣
∣ = 9e−t
y1′ y2′
−5e−5t 4e4t
Da kan vi sette
y1 (t) ⋅ f (t)
−y2 (t) ⋅ f (t)
dt + y2 (t) ∫
dt
W (t)
W (t)
−e4t ⋅ 0
e−5t ⋅ 0
4t
= e−5t ∫
dt
+
e
dt = 0
∫
9e−t
9e−t
yp (t) = y1 (t) ∫
Da er
y = yp + yc = c1 e−5t + c2 e4t
Vi setter til slutt inn for startverdibetingelsene. Da m˚
a vi bare finne y ′ først:
y ′ = −5c1 e−5t + 4c2 e4t
y(0) = 0:
y(0) = c1 e−5⋅0 + c2 e4⋅0 = 0
c1 + c2 = 0
y ′ (0) = 1:
y ′ (0) = −5c1 e−5⋅0 + 4c2 e4⋅0 = 1
−5c1 + 4c2 = 1
som samlet gir ligningssystemet
5
c1 + c2 = 0
−5c1 + 4c2 = 1
[
1 1 0
1 0 − 19
]
] ∼ [
0 1 19
−5 4 1
c1 = −
1
9
, c2 =
1
9
1
1
y = − e−5t + e4t
9
9
(b) Løs med Laplace-transformasjonen: 3y ′′ + 3y ′ − 60y = 0; y(0) = 0, y ′ (0) = 1
Svar: Vi lager først en mini-tabell:
t-verden
y
y′
y ′′
0
s-verden
Y
sY
s2 Y − 1
0
Da blir ligningen, L {}-transformert:
3(s2 Y − 1) + 3sY − 60Y
(3s2 + 3s − 60)Y
= 0
= 3
1
1
1
1
1
3
= 2
= ⋅
− ⋅
+ 3s − 60 s + s − 20 9 s − 4 9 s − (−5)
1
1
y = L−1 {Y } = e4t − e−5t
9
9
Y
=
3s2
3. Flervariabel analyse
(a) Finn Fourier-rekka for f (x) = {
−e2x x ∈ (−π, 0)
e−2x x ∈ (0, π)
Svar: Vi ser at hvis x er positiv, s˚
a er f (−x) = −e2⋅(−x) = −e−2x = −f (x).
Tilsvarende da hvis x er negativ. S˚
a f er antisymmetrisk. Det betyr at an = 0,
6
og at
2 π
f (x) sin(nx)dx
π ∫0
2 π −2x
e sin(nx)dx
=
π ∫0
2 n
2 2
−2⋅0
−2π
=
(e
cos(n
⋅
0)
−
e
cos(nπ))
+
(e−2π sin(nπ) − e−2⋅0 sin(n ⋅ 0))
π n2 + 4
π n2 + 4
2n
=
(1 − e−2π (−1)n )
(n2 + 4)π
bn =
S˚
a da er Fourier-rekka til f (x)
∞
f (x) ∼ ∑
n=1
(n2
2n
(1 − (−1)n e−2π ) sin(nx)
+ 4)π
(b) En stav er π enheter lang, og x enheter fra venstre kant er staven e−2x grader
varm. Ved tiden t = 0 blir begge endene kjølt til 0 grader, og holdt p˚
a den
temperaturen. Varmekoeffisienten til staven er k = 3.
i. Finn et rekke-uttrykk u(t, x) for temperaturen i staven ved tid t og p˚
a
posisjon x.
Svar: Denne finner vi fra Fourier-rekka og formelen for varmeutvikling
n˚
ar vi har varmekoeffisient og Fourier-rekka. Den er
∞
u(t, x) = ∑
n=1
(n2
2n
2
(1 − (−1)n e−2π )e−3n t sin(nx)
+ 4)π
ii. Ta de tre første ikke-null termene i uttrykket over som tilnærming til
u(t, x), og bruk disse til ˚
a finne en tilnærmet verdi for u n˚
ar t = 0.2 og
x = 1.4.
7
Svar:
2
2
(1 − (−1)1 e−2π )e−3⋅1 t sin(1x)
2
(1 + 4)π
4
2
+ 2
(1 − (−1)2 e−2π )e−3⋅2 t sin(2x)
(2 + 4)π
6
2
+ 2
(1 − (−1)3 e−2π )e−3⋅3 t sin(3x)
(3 + 4)π
2
(1 + e−2π )e−3t sin(x)
=
5π
1
+ (1 − e−2π )e−12t sin(2x)
2π
6
+
(1 + e−2π )e−27t sin(3x)
13π
u(t, x) ≈
2
(1 + e−2π )e−0.6 sin(1.4)
5π
1
+ (1 − e−2π )e−2.4 sin(2.8)
2π
6
+
(1 + e−2π )e−5.4 sin(4.2)
13π
= 0.0732369
u(0.2, 1.4) ≈
8
4. Fagspesifikk
(a) Finn ut om følgende er bevis:
i. Nummer 1:
∴
¬p → p
p
Svar: Vi setter opp sannhetstabell for utsagnet
(¬p → p) → p
og hviss vi f˚
ar en tautologi, s˚
a er skjemaet over et bevis.
p
T
F
¬p
F
T
¬p → p
T
F
(¬p → p) → p
T
T
Tautologi, s˚
a skjemaet over er et bevis.
ii. Nummer 2:
∴
p → ¬q
q → ¬r
p→r
Svar: Vi setter opp sannhetstabell for utsagnet
((p → ¬q) ∧ (q → ¬r)) → (p → r)
og hviss vi f˚
ar en tautologi, s˚
a er skjemaet over et bevis. For ˚
a gjøre
tabellen mer h˚
andterlig, setter vi
• A = p → ¬q
• B = q → ¬r
• C=p→r
9
p
T
T
T
T
F
F
F
F
q
T
T
F
F
T
T
F
F
r
T
F
T
F
T
F
T
F
¬q
F
F
T
T
F
F
T
T
¬r
F
T
F
T
F
T
F
T
A
F
F
T
T
F
F
T
T
B
F
T
T
T
F
T
T
T
C
T
F
T
F
T
T
T
T
A∧B
F
F
T
T
F
F
T
T
(A ∧ B) → C
T
F
T
F
T
T
T
T
Dette er ikke en tautologi, s˚
a skjemaet over er ikke et bevis.
(b) Induksjonsbevis: Bevis at 1 + 2 + . . . + n =
n(n+1)
2
for heltall n ≥ 1
Svar: Her er n0 = 1. Summen er da bare tallet 1, og brøken p˚
a høyre side blir
1(1+1)
= 1, s˚
a p˚
astanden stemmer for n0 = 1. Vi antar s˚
a at den stemmer for n.
2
Da er
n(n + 1)
+(n + 1)
1 + 2 + . . . + n+(n + 1) =
2
n(n + 1) 2(n + 1)
=
+
2
2
n(n + 1) + 2(n + 1)
=
2
(n + 2)(n + 1)
=
2
(n + 1)(n + 2)
=
2
(n + 1)((n + 1) + 1)
=
2
s˚
a formelen holder ogs˚
a for n + 1.
(c) Relasjonen R p˚
a {0, 1, 2, 3, 4, 5} er gitt ved at aRb hvis a + b er et primtall1
i. Tegn grafen for relasjonen.
Svar:
1
Som primtall regner vi 2, 3, 5, 7, 11, . . .
10
2
1
3
0
5
4
ii. Er R transitiv? (begrunn)
Svar: Nei, fordi (for eksempel) 2R3 og 3R4, men ikke 2R4.
iii. Er R symmetrisk? (begrunn)
a om den ene er lik et primtall, er den
Svar: Ja, fordi om a + b = b + a, s˚
andre lik det samme primtallet.
11