Grafisk løsning av ligninger i GeoGebra Arbeidskrav 2 Læring med digitale medier 2013 Magne Svendsen, Universitetet i Nordland Innholdsfortegnelse INNLEDNING .................................................................................................................................................. 3 GRAFISK LØSNING AV LIGNINGER I GEOGEBRA ................................................................................... 5 OPPSTART AV GEOGEBRA ................................................................................................................................................. 5 GRAFISK LØSNING FOR LIGNINGER AV FØRSTE GRAD ................................................................................................... 7 UTSKRIFT, LAGRING OG PRESENTASJON AV ARBEIDET .............................................................................................. 12 ØVINGSOPPGAVER ............................................................................................................................................................ 16 AVSLUTNING ................................................................................................................................................. 17 LITTERATUR ................................................................................................................................................. 18 Innledning Jeg har i denne oppgaven valgt å lage en brukerveiledning for hvordan man kan løse ligninger grafisk ved hjelp av geometriprogrammet GeoGebra. Den er i hovedsak ment til bruk for elever ungdomsskolen, men kan også brukes i den videregående skolen. For mange elever begynner matematikken å bli svært abstrakt når de starter med algebra og ligninger på ungdomstrinnet. Samtidig er dette en av de viktigste emnene innenfor faget, og algebra regnes som inngangsporten for å forstå helheten i matematikkfaget videre gjennom ungdomsskolen, videregående og høyere utdanning. Algebra og ligninger er svært beslektet med geometri og funksjoner. For mange elever vil kanskje veien om disse, være til god hjelp i arbeidet med ligninger. Når en løser ligninger i et program som GeoGebra, vil elevene på en enklere måte se sammenhengen mellom nettopp funksjoner og ligninger. I tillegg skal de beherske å kunne løse ligninger grafisk for hånd på papiret, slik at jeg tror GeoGebra vil være et godt utgangspunkt for dette læringsarbeidet. Før elevene starter med å løse ligninger i GeoGebra, bør læreren legge opp til en generell gjennomgang av programmet, slik at elevene har mulighet til å bli litt kjent med det før de starter på ligningene. I denne brukerveiledningen legger jeg derfor opp til at elevene har fått en slik gjennomgang, men jeg vil allikevel ta med noen generelle prosedyrer av programmet, som oppstart, lagring, utskrift og avslutning. Jeg har valgt å knytte denne brukerveiledningen til følgende kompetansemål fra hovedområdene tall og algebra, og funksjoner i læreplanen i matematikk: Etter 10.trinn: Mål for opplæringen er at eleven skal kunne: -‐ løse ligninger og ulikheter av første grad og enkle ligningssystem med to ukjente -‐ bruke, med og uten digitale hjelpemiddel, tall og variabler i utforskning, eksperimentering, praktisk og teoretisk problemløsning og i prosjekt med teknologi og design -‐ lage, på papiret og digitalt, funksjoner som beskriv numeriske sammenhenger og praktiske situasjoner, tolke de og omsette mellom ulike representasjoner av funksjoner som grafer, tabeller, formler og tekst -‐ identifisere og utnytte egenskapene til proporsjonale, omvendt proporsjonale, lineære og enkle kvadratiske funksjoner, og gi eksempel på praktiske situasjoner som kan beskrives med disse funksjonene (Utdanningsdirektoratet, 2013) Brukerveiledningen vil derfor ut fra disse målene ta for seg grafisk løsning for ligninger av første grad. Men denne kan, som jeg kort tar for meg i avslutningen, enkelt utvides til å gjelde andre typer ligninger også. Det er også verdt å merke seg at dette er én metode for å bruke GeoGebra til å løse ligninger grafisk. Når en har utforsket programmet vil en se at dette også kan gjøres ved andre metoder, og ved hjelp av andre verktøy. Men jeg tror dette kan være en grei metode å starte med for elever som ikke har jobbet med dette før. Grafisk løsning av ligninger i GeoGebra GeoGebra kan lastes ned gratis fra denne adressen: http://www.geogebra.org/cms/nb/download/ Her velger du hvilket operativsystem du bruker, slik at du får lastet ned rett versjon. GeoGebra finnes også som App i Windows Store (Windows 8), App Store (iPad, iPhone) og Google play (Android). Versjonen som jeg har brukt i denne brukerveiledningen er GeoGebra Desktop for Mac OS X, versjon 4.2.60 som ble utgitt 04.10.13. Husk på å se etter oppdateringer jevnlig, da GeoGebra er hele tiden under utvikling når det kommer til verktøy, funksjoner og feilrettinger. Oppstart av GeoGebra Start GeoGebra fra docken. Hvis du ikke har festet GeoGebra til docken din, finner du GeoGebra under Finder | Programmer | GeoGebra Når du starter programmet vil du få opp denne ruten hvor du velger Algebra og grafikk. Utgangspunktet for utseende av GeoGebra-vinduet vil altså variere fra hvilket valg du gjør i starten under oppsett, men har du valgt rett vil det se slik ut 1. Menylinje. 2. Verktøylinje. 3. Algebrafelt – her vil formler, funksjoner og ligninger bli listet opp etter hvert som du skriver dem. 4. Grafikkfelt – her vil de ulike funksjonene bli tegnet inn i et koordinatsystem. 5. Kommandolinje – her skriver du inn alle kommandoer, funksjoner, formler og ligninger. Trykk Enter for å aktivere eller registrere det du har skrevet. Før vi starter øvingen klikker du på den lille trekanten ved siden av navnet ”Grafikkfelt”, og velger vis rutenett Grafisk løsning for ligninger av første grad Ligningen vi skal bruke i dette eksempelet er 3! + 1 = −! + 5 1. Skriv inn det som står på venstre side av likhetstegnet i likningen, altså 3! + 1, inn på kommandolinjen med ! = foran 2. Så gjentar du det samme med høyre side av ligningen, altså ! = −! + 5 3. Etter hvert som du skriver inn de ulike delene av ligningen, vil du se at GeoGebra lister dem opp i algebrafeltet til venstre, samt at grafene for venstre og høyre side av ligningen blir tegnet i grafikkfeltet. Nå bør GeoGebra-vinduet ditt se slikt ut 4. Løsningen for ligningen din, vil ligge i skjæringspunktet mellom grafene du nå har tegnet. Denne skal vi synliggjøre ved å la GeoGebra finne skjæringspunktet mellom de to grafene. Skriv ”skjæring” inn på kommandolinja i GeoGebra-vinduet. Du vil nå se at GeoGebra kommer opp med flere valg som har med skjæringspunkt å gjøre. Du skal velge skjæring mellom to objekter Hvis du nå ser i algebrafeltet ditt, så ser du at de ulike delene av ligningen din har blitt gitt et navn, en bokstav, av GeoGebra. Programmet starter øverst i alfabetet, slik at dine linjer har fått navnet ”a” og ”b”. Disse skriver du nå inn i kommandofeltet i stedet for <Objekt> slik at GeoGebra forstår at du vil finne skjæringspunktet mellom disse linjene Nå vil du se at skjæringspunktet mellom grafene blir markert i grafikkfeltet, samt at koordinatene for punktet vil komme til syne i algebrafeltet. Punkt vil også ha bokstaver som navn, men disse vil være store bokstaver. 5. For å synliggjøre x-verdien av dette skjæringspunktet, altså løsningen av ligningen din, kan vi få GeoGebra til å tegne en normal fra punktet og ned på x-aksen. Dette gjøres ved å velge ”Normal linje” fra verktøylinjen i programmet. Deretter vil du få flere valg, hvor du velger det første ”Normal linje”. Deretter klikker du først på skjæringspunktet mellom grafene og så klikker du på xaksen. Programmet vil nå tegne en normal som går gjennom skjæringspunktet og ned på x-aksen. Klikk deg tilbake på funksjonen ”Flytt” helt til venstre på verktøylinjen når du er ferdig. Dette kan være greit å gjøre til en huskeregel etter hver gang du har foretatt en operasjon i grafikkfeltet ditt. GeoGebra-vinduet ditt bør se slikt ut nå 6. Nå skal vi sette navn på de ulike komponentene i grafikkfeltet, slik at det blir klart for andre hva vi har gjort. Når vi til slutt tar utskrift, eller overfører dette til utklippstavlen på datamaskinen, er det kun grafikkfeltet som kommer med, slik at det kan være greit med navn på de ulike tingene. Den enkleste måten å navngi komponenter på, er å bruke verktøyet ”Sett inn tekst” som du finner på verktøylinja Velg så komponenten du vil legge tekst til. Vi kan starte med venstre side av ligningen, altså linje a. Klikk på linje a der du vil legge til teksten. Da vil du få opp denne boksen hvor du skriver inn den teksten du vil ha Slik gjør du for alle komponentene du har i grafikkfeltet. Jeg velger å kalle de to linjene for det som står på hver side av likhetstegnet i ligningen, altså 3! + 1 og – ! + 5. Skjæringspunktet kaller jeg for ! = 1. Du kan selvsagt kalle de for andre ting, men pass på å bruke navn som gjør det forståelig for den eller de som skal tolke den grafiske løsningen din. Du kan også redigere selve teksten din i ettertid, med tanke på skriftstørrelse, font, fet/kursiv skrift osv. Da høyreklikker du bare på den tekstboksen du vil redigere, og velger egenskaper i den boksen du får opp Så velger du ”Tekst” blant fanene øverst i ruten som kommer opp, og redigerer teksten slik som du vil ha den. Når du er ferdig kan GeoGebra-vinduet ditt se for eksempel slik ut (det kan jo hende at du har plassert navnene dine på andre plasser) Du har nå vist en grafisk løsning av ligningen 3! + 1 = −! + 5. Etter hvert som du utforsker programmet mer, vil du se at det også finnes andre måter å gjennomføre dette på enn det vi har tatt for oss her i denne veiledningen. Men dette kan være et greit utgangspunkt å starte på, før du utforsker mulighetene videre selv. I neste kapittel skal vi se på hvordan du nå kan overføre det du har gjort til et presentasjonsverktøy, lagre filen eller ta utskrift av grafikkfeltet. Utskrift, lagring og presentasjon av arbeidet Du kan på en enkel måte kopiere grafikkfeltet ditt til utklippstavla på datamaskinen, slik at du igjen kan enkelt legge det inn i et Word-, PowerPoint- eller Exceldokument. Du kan også bruke andre presentasjonsverktøy dersom du ønsker det. Det GeoGebra i praksis gjør når du kopierer grafikkfeltet til utklippstavla, er å ta et screenshot av det grafikkfeltet du har fremme i GeoGebra-vinduet ditt. Derfor er det viktig at du nå flytter det i riktig posisjon (hvis det ikke er det allerede) slik at du får med alle komponenter, tekst og detaljer. Dette gjør du ved å velge verktøyet ”Flytt grafikkfeltet” på verktøylinja Så klikker du i grafikkfeltet og flytter det slik du vil ha det. Deretter klikker du på ”Rediger” på menylinja helt øverst, og velger ”Kopier grafikkfeltet til utklippstavla” Grafikkfeltet ditt er nå kopiert, og du vil enkelt kunne lime det inn som et bilde i for eksempel Word, ved å høyreklikke og velge ”Lim inn”. Har du lyst til å ta utskrift av arbeidet ditt, kan du gjøre det ved å klikke på ”Fil” på menylinjen og velge ”Forhåndsvis utskrift” Du vil nå få opp en boks hvor du vil kunne gjøre flere valg før du skriver ut. Jeg velger her å legge inn en tittel på utskriften, navn, samt at jeg velger å ta en utskrift av selve grafikkfeltet Vil du lagre arbeidet ditt, velger du Fil | Lagre | Save as: Navn på filen | Velg hvor du vil lagre det | Lagre Er læreren din interessert i å se på fremgangsmåten din, kan du enkelt ta en utskrift av den også. Klikk på ”Vis” på menylinjen og velg ”Fremgangsmåte” Du vil nå få opp et felt til høyre i GeoGebra-vinduet ditt som viser den fremgangsmåten du har benyttet deg av. Her kan du klikke på et av verktøyene på verktøylinja som heter ”Skriv ut” og du vil få ut en utskrift av fremgangsmåten din Øvingsoppgaver Nå har du fått en gjennomgang av hvordan du kan løse ligninger av første grad grafisk ved hjelp av GeoGebra. Det er nå på tide at du får forsøke deg litt selv. Prøv deg derfor gjerne på øvingsoppgavene nedenfor. For husk at øving gjør mester! J a) 6! − 4 = 2! + 8 b) 0,5! + 2 = 1,5 c) 4! + 4 − ! − 5 = 2! + 3 Et par tips til slutt. Skulle du oppleve at på noen av disse oppgavene, eller andre du møter senere gir løsninger som havner ”utenfor” det opprinnelige grafikkfeltet ditt, må du utvide eller forminske det. Det kan du gjøre lett ved å velge verktøyet ”Flytt grafikkfeltet” på verktøylinjen, klikke på x-aksen og/eller y-aksen og dra dem inn eller ut for å endre størrelsen på dem. Når du skal skrive desimaltall inn i GeoGebra, må du bruke punktum i stedet for komma, altså 1.5 i stedet for 1,5. Lykke til! J Avslutning Jeg har i denne oppgaven tatt for meg programmet GeoGebra hvor jeg har lagd en brukerveiledning for hvordan man kan bruke GeoGebra til å løse ligninger av første grad grafisk. Verdt å nevne er at denne brukerveiledningen enkelt kan utvides til å gjelde både ligningssett med to ukjente og ligninger av andre grad, da mange av fremgangsmåtene er de samme. Da trenger en eventuelt bare å endre selve inntastingen av de ulike leddene av ligningen. Jeg har gjennom dette arbeidet virkelig sett nytten av å gjøre dette i fremtidig undervisning. Elevene vil ta dette mye lettere enn hvis jeg skal stå fremme ved et lerret eller en tavle og forsøke å forklare dem veien gjennom dette. Ved å la de jobbe ut fra en slik brukerveiledning har jeg gode muligheter til å hjelpe hver enkelt elev underveis, samtidig som jeg kan observere hele læreprosessen mens elevene jobber. Utdanningsdirektoratet (2013) fremhever bruken av digitale verktøy i alle fag i skolen, også i matematikk. Med digitale verktøy menes alt fra lommeregnere, regneark til dynamisk programvare som kan brukes både som regnetekniske hjelpemiddel og som pedagogiske verktøy. Bruk av digitale verktøy i utforskning og eksperimentering i skolen, vil kunne la elevene utvikle forståelse og øke sin matematiske bevissthet. Bruk av digitale verktøy i matematikkfaget vil altså både fremme læring og kreativitet blant elevene. Litteratur Utdanningsdirektoratet. (2013). Læreplan i matematikk fellesfag. Oslo: Kunnskapsdepartementet. Hentet 08.09.13 fra: http://www.udir.no/kl06/MAT1-04/Kompetansemaal/?arst=98844765&kmsn=583858936 Utdanningsdirektoratet. (2013). God regneopplæring – for lærere på ungdomstrinnet. Oslo: Kunnskapsdepartementet. Hentet 08.09.13 fra: http://www.udir.no/Lareplaner/Grunnleggende-ferdigheter/Container/God-regneopplaring-for-larere-pa-ungdomstrinnet/Prinsipper-for-god-regneopplaring/6-Benytt-hjelpemidler-slikat-de-fremmer-laring-og-kreativitet/