lösningsförslag
Problem 1. Betrakta en elgitarr. Str¨angarna a¨r 660 mm l˚ anga. St¨amningen a¨r E-A-d-g-b-e’, det vill s¨aga att str¨angen som ger tonen e-prim (330 Hz) ligger tv˚ a oktav h¨ ogre i frekvens a¨n E-str¨angen. Alla str¨angar k¨anns ganska lika att spela, eftersom de alla har ungef¨ar lika sp¨anning. ¨ dessa v˚ a) Ar agor p˚ a gitarrstr¨ angarna st˚ aende, fortskridande, ingetdera eller b˚ ada och? Samma fr˚ aga f¨ or de ljudv˚ agorna som gitarrf¨orst¨arkarens h¨ogtalare ger upphov till. F¨ orklara dina svar. (1p) L¨ osning: De v˚ agorna p˚ a gitarrstr¨ angarna som ger toner ¨ar st˚ aende v˚ agor med noder vid stallen; det kan finnas pulser som ¨ ar fortskridande, som reflekteras vid ¨anderna, men det ar bara transienter som inte har n˚ agon tonh¨ojd; v˚ agen transporterar ingen energi. ¨ Ljudv˚ agor ¨ ar fortskridande; st˚ aende v˚ agor kan vara h¨orbara i mindre utrymmen (en bil med ett ¨ oppet f¨ onster kan vara en Helmholtzresonator), men st˚ aende ljudv˚ agor ar egentligen bara viktiga f¨ or infraljud i l˚ anga korridorer. ¨ 1 b) Vad kan man s¨ aga om f¨ orh˚ allandet mellan massorna av E- och e’-str¨angen? (1p) L¨ osning: E-str¨ angen r¨ or sig fyra g˚ anger s˚ a l˚ angsamt vid samma transversella kraft, accelerationen ¨ ar 16 g˚ anger mindre, F = ma, s˚ a dess massa m˚ aste vara 16 g˚ anger s˚ a h¨ og. 1 c) Hur stor ¨ ar A-str¨ angens v˚ agl¨angd? (1p) 1 L¨ osning: 1320 mm 1 Problem 2. N˚ agon (Taube?) sitter p˚ a en hamnbrygga och plingar p˚ a en akustisk gitarr. L¨ angden ¨ ar 632 mm. Fr˚ agorna h¨ar handlar om gitarrens gstr¨ang, som ¨ ar st¨ amd p˚ a 196 Hz. Str¨angen ¨ar av nylon med en diameter p˚ a 1,00 mm och en specifik massa p˚ a 1200 kg/m3 . Sp¨anningen ¨ar 57,9 newton. Strax efter plockandet har str¨ angen en kinetisk energi p˚ a 5 · 10−5 joule. a) Ber¨ akna v˚ aghastigheten p˚ a str¨angen p˚ a tv˚ a olika s¨att. (1p) L¨ osning: Enkel l¨ osning: v = f λ = 196 × 1,264 = 247,7 m/s. Alternativt: str¨angens massa per l¨ angdenhet ¨ ar densitet g˚ anger tv¨arsnittsarea = 1200 × π(1,00 · 103 /2)2 kg/m = p p 0,3π = 0,942 g/m. V˚ aghastigheten v = T /% = 57,9/(0,942 · 10−3 ) = 247,9 m/s. 1 b) Hur stor a angningens amplitud vid b¨orjan av tonerna? Ange dina approxi¨r sv¨ mationer och antaganden. (1p) L¨ osning: Str¨ angens massa ¨ ar 0,942 × 0,632 = 0,595 ≈ 0,6 gram. Ett medelv¨arde av p p p str¨angens hastighet vid j¨ amviktsl¨ aget ¨ ar v = 2E/m = 10−4 /(0,6 · 10−3 ) = 1/6 ≈ 0,4 m/s. Vid buken ¨ ar den maximala hastigheten tv˚ a g˚ anger s˚ a h¨og, men vi tar det h¨ar v¨ ardet ¨ ar ocks˚ a som ett medelv¨ arde ¨over en period. Perioden ¨ar ungef¨ar 5 ms, tiden till st¨ orsta utvikelse ¨ ar T /4, utslaget blir allts˚ a ungef¨ar en halv millimeter. Ist¨ allet f¨ or kinetisk energi kan man ocks˚ a utg˚ a fr˚ an potentiell energi. Om man drar ut str¨ angen som en triangel, ¨ar den ˚ aterst¨allande kraften lika med sp¨anningen g˚ angerR (sinus av) vinkeln. Den potentiella energin ¨ar lika med kraft g˚ anger v¨ag: W = F (s) · sds = T θ · s/2 = T (2u/`) · u/2 = T u2 /`. Utvikelsen uppskattas till s r W` 5 · 10−5 × 0,632 u≈ = = 0,7 · 10−3 m. T 57,9 1 Men det kr¨ aver mer energi att ge str¨angen en sinusformig utvikelse, s˚ a det kan st¨ amma med den f¨ orra uppskattningen. c) Uppskatta ljudniv˚ a p˚ a tre meter avst˚ and fr˚ an gitarristen. Ange dina approximationer och antaganden. (1p) L¨ osning: Den kinetiska energin i str¨ angen str˚ alas ut i den tid som str¨angens ljud avklinger. Om h¨ alften av energin str˚ alas ut i en halv sekund, ¨ar gitarrens effekt i genomsnitt lika med 5 · 10−5 watt. Det str˚ alas ut i en halvsf¨ar. Fl¨odet p˚ a tre meter avst˚ and ¨ar P −7 2 −6 −12 I = 2πr ≈ 9 · 10 W/m . Ljudniv˚ an a r ungef¨ a r 10 log(10 /10 ) = 60 dB. Om ¨ 2 gitarrstr¨ angen klingar tv˚ a g˚ anger l¨angre, blir effekten 3 dB l¨agre. 2 1 Problem 3. Figuren nedan visar en ljusstr˚ ale som infaller p˚ a en konkav sf¨arisk spegel. Den sf¨ ariska ytan har sitt centrum p˚ a den optiska axeln. a) Forts¨ att ljusstr˚ alens v¨ ag. F¨ orklara. (1p) L¨ osning: Str˚ alen forts¨ atter till spegens yta. Normalen d¨ar ritas s˚ a att den g˚ ar genom sf¨ arens centrum. Den reflekterade str˚ alan ritas s˚ a att dess vinkel mot normalen ¨ ar lika med infallsvinkeln. Obs: detta ¨ar en allm¨an str˚ ale, som inte g˚ ar genom fokus. 1 b) Har en konkav spegel kromatisk aberration? F¨orklara (1p) L¨ osning: Speglar har ingen kromatisk aberration, eftersom reflektionslagen g¨aller alltid, oberoende av ljusets v˚ agl¨ angd. 1 c) Har en konkav spegel sf¨ arisk aberration? F¨orklara. (1p) L¨ osning: Ja, eftersom det ¨ ar en foljd av approximationen att sin θ ≈ tan θ ≈ θ. Endast paraxiala str˚ alar hamnar i fokus. F¨or att fokussera str˚ alar som ligger l¨angre fr˚ an den optiska axeln, beh¨ ovs en parabelisk yta. 3 1 Problem 4. Figuren nedan visar tv˚ a str˚ alar som kommer fr˚ an nedre sidan av ett f¨ orem˚ al som a r symmetrisk p˚ a b˚ ada sidor av den optiska axeln. ¨ Str˚ alarna bryts av en lins. ¨ detta en positiv eller en negativ lins? F¨orklara. (1p) a) Ar L¨ osning: Positive - it makes a diverging wavefront converge. 1 b) Best¨ am genom konstruktion linsens fokalpunkter. F¨orklara dina linjer. (1p) L¨ osning: The most straightforward way is to draw the two red lines connecting source and image, parallel to the optical axis on one side of the lens; they pass though its focal points on its other side. There is a second way. The dashed line through the center of the lens is parallel to one of the rays from the source, so on the other side of the lens it intersects with that ray in the focal plane for sources at infinity; a line perpendicular to the optical axis gives one of the focal points of the lens. 1 c) Ger linsen en reell eller en virtuell bild av f¨orem˚ alet? F¨orklara. (1p) L¨ osning: Reell, bilden kan projiceras p˚ a en sk¨arm. 1 d) Vad h¨ ander med bilden av f¨orem˚ alet n¨ar man t¨acker f¨or linsens nedre halva? F¨ orklara. (1p) L¨ osning: Bildens ljusintensitet blir halv s˚ a stor ¨over hela bilden. Det ¨ar allt. Varken bildens form eller sk¨ arpa p˚ averkas. 4 1 Problem 5. Fotot nedan a ¨r gjort med en CD-skiva framf¨or kameran. Metallbel¨ aggningen hade jag tagit bort, s˚ a att man kan se genom plasten. Sp˚ aren p˚ a cd-skivan fungerar som ett slags diffraktionsgitter, d¨ar ritsarna g˚ ar i cirklar. Sp˚ aravst˚ andet a r 1600 nm. Det man ser a r ett kviksilvergatuljus i mitten, och ¨ ¨ dess spektrallinjer. Det finns ocks˚ a ett ljust band som a¨r en struktur p˚ a CD-skivan; den ¨ ar bred f¨ or att den inte ¨ ar i fokus. a) Vad ¨ ar diffraktionsvinkeln f¨or den gr¨ona kvicksilverlinjen, som har en v˚ agl¨angd p˚ a 546,1 nm? (1p) L¨ osning: θ = arcsin(λ/d) = arcsin(546,1/1600) = arcsin 0,3413 = 0,3483 = 19,96◦ 1 b) Hur l˚ ang ¨ ar den kortaste synliga v˚ agl¨angden i kvicksilverspektrumet? (1p) L¨ osning: Fr˚ an figuren: den gr¨ ona cirkelns diameter ¨ar 7,4 cm och den inre bl˚ a cirkelns ¨ar 5,4 cm. F¨ orh˚ allandet ¨ ar lika med f¨ orh˚ allandet mellan tangens av dessa vinklar. Med god approximation ¨ ar detta ungef¨ ar lika med f¨orh˚ allandet mellan diffraktionsvinklarnas 5,4 sinus, s˚ a att v˚ agl¨ angden ¨ ar 7,4 × 0,5461 = 0,40 µm (literaturv¨arde ¨ar 405,8 nm). Mera noggrant: tangens av den gr¨ona linjens vinkel ¨ar tan(arcsin 0,3413) = 0,3631; sinus av vinkeln f¨ or den inre bl˚ a linjen ¨ar sin(arctan( 5,4 a att 7,4 × 0,3631) = 0,2651, s˚ v˚ agl¨ angden blir 0,2651 × 0,5461 = 0,40 µm. 0,3631 1 c) CD-skivor har en diameter p˚ a 120 mm. Hur n¨ara ¨ogat (eller kameran) m˚ aste man h˚ alla den f¨ or att se ljus med diffraktionsvinklar p˚ a 24◦ ? (1p) L¨ osning: F¨ orh˚ allandet mellan skivans radie och avst˚ and ¨ar tan 24◦ = 0,445, s˚ a avst˚ andet ¨ar 13,5 cm. 5 1
© Copyright 2024