lösningsförslag
Problem 1. Utbredning av vattenv˚ agor a¨r komplicerad. V˚ agorna a¨r inte transversella, utan vattnet r¨or sig i cirklar eller ellipser. V˚ aghastigheten beror bland annat p˚ a hur djupt vattnet a¨r. I grunt vatten (vattnets djup h λ, √ v˚ agens v˚ agl¨ angd) a r v˚ aghastigheten given av v = gh, d¨ a r g a r gravitationens ¨ ¨ φ p acceleration. I djupt vatten ges v˚ aghastigheten av vφ ≈ gλ/(2π). a) Visa att formeln f¨ or v˚ agor p˚ a djupt vatten ger r¨att enheter f¨or v˚ aghastighet. (1p) L¨ osning: ([m][s]−2 · [m])1/2 = [m][s]−1 ; faktorn 2π har inga enheter. 1 b) Man st˚ ar vid stranden p˚ a v¨ astkusten och m¨ater dyningens period: 5 sekunder. Hur stor ¨ ar dessa v˚ agors frekvens? (1p) L¨ osning: f = 1/T = 0,2 Hz = 200 mHz. 1 c) Dessa v˚ agor kommer fr˚ an V¨asterhavet och Atlanten. Vilken v˚ agl¨angd har de ute p˚ a¨ oppet hav? (1p) 1 L¨ osning: p p v = gλ/(2π); λ = vT ⇒ λ/T = gλ/(2π) ⇔ λ2 /T 2 = gλ/(2π) ⇔ λ = T 2 g/(2π) ≈ 250/6 ≈ 40 m V¨ ardet ¨ ar konsistent med att det ¨ar v˚ agor p˚ a djupt vatten. d) P˚ a l˚ anggrunda kuster ¨ ar v˚ agfronterna parallella med stranden. Varf¨or ¨ar det s˚ a? (1p) L¨ osning: Ute p˚ a ¨ oppet hav ¨ ar v˚ agutbredningen i samma riktning som vindarna som givit upphov till v˚ agorna. V˚ agkammarnas riktning kan ha vilken som helst vinkel med en kust. Men den delen av v˚ agfronten som n¨armar en strand, saktar sakta ner, medan delen l¨ angre bort fortfarande har en h¨ogre hastighet. Detta g¨or att de kommer samtidigt till stranden. 1 1 Problem 2. Figuren nedan visar en ljusstr˚ ale som infaller p˚ a en konkav sf¨arisk spegel. Den sf¨ ariska ytan har sitt centrum p˚ a den optiska axeln. a) Forts¨ att ljusstr˚ alens v¨ ag. F¨ orklara. (1p) L¨ osning: Str˚ alen forts¨ atter till spegens yta. Normalen d¨ar ritas s˚ a att den g˚ ar genom sf¨ arens centrum. Den reflekterade str˚ alan ritas s˚ a att dess vinkel mot normalen ¨ ar lika med infallsvinkeln. Obs: detta ¨ar en allm¨an str˚ ale, som inte g˚ ar genom fokus. 1 b) Har en konkav spegel kromatisk aberration? F¨orklara (1p) L¨ osning: Speglar har ingen kromatisk aberration, eftersom reflektionslagen g¨aller alltid, oberoende av ljusets v˚ agl¨ angd. 1 c) Har en konkav spegel sf¨ arisk aberration? F¨orklara. (1p) L¨ osning: Ja, eftersom det ¨ ar en foljd av approximationen att sin θ ≈ tan θ ≈ θ. Endast paraxiala str˚ alar hamnar i fokus. F¨or att fokussera str˚ alar som ligger l¨angre fr˚ an den optiska axeln, beh¨ ovs en parabelisk yta. 2 1 Problem 3. Figuren visar tv˚ a pulser p˚ a en str¨ang vid t = 0; den v¨anstre r¨or sig till h¨ oger, den h¨ ogre r¨or sig till v¨anster, b˚ ada med en fart p˚ a 1 cm/s. Hela str¨ angen ska vara 8 cm l˚ ang. Rita str¨angens utvikelse vid t = 1 s, t = 1,5, t = 2 s och t = 2,5 s. (2p) 2 @ @ @ L¨ osning: & % @ @ @ & % @ @ @ @ @ & % @ @ @ @ @ & % @ @ @ % & Linj¨ ar superposition inneb¨ ar i varje punkt att ocks˚ a lutningen ¨ar summan av pulsernas lutningar. Det g¨ aller ¨ aven andra derivatan: den ¨ar summan av triangelns andra derivata (noll) och den avrundade blockpulsens andra derivata. Avrundningarna ¨ ar allts˚ a konvexa ¨ aven i superpositionen. LATEX picture ¨ ar inte matematisk, s˚ a jag n¨ojer mig med att ge delv˚ agornas positioner som tunnare linjer, d¨ ar dessa ska bli adderade. 3 Problem 4. P˚ a en lupp brukar f¨orstoringsfaktor vara angiven med ett tal som a¨r 25 delad med linsens fokalavst˚ and i centimeter. a) Var kommer talet ”25”ifr˚ an? G¨or ocks˚ a en ritning av str˚ alg˚ angen. (1p) L¨ osning: Det ¨ ar ¨ ogats n¨ argr¨ ans (f¨ or en standardm¨anniska p˚ a typ 30 ˚ ar) som ¨ar 25 cm. Luppens f¨ orstoringstal ger en j¨ amf¨ orelse till hur stor vinkel f¨orem˚ alet kan uppta med blotta ¨ ogat (α i figuren) och med lupp (α0 ). Om den virtuella bilden ligger l˚ angt bor g¨ aller att M = 25 fcm , om den virtuella bilden ligger vid ¨ogats n¨argr¨ans blir f¨ orstoringsfaktor en enhet st¨ orre. N˚ agot som liknar Fig. 28.48 i Hewitt kan f˚ a duga som ritning av str˚ alg˚ angen. Det ¨ ar viktigt att str˚ alarna inte konvergerar efter linsen, utan att de ¨ ar parallella (f¨ orem˚ alet vid fokalpunkten) eller svagt divergerande (f¨ orem˚ alet n˚ agot n¨ armare ¨ an fokalpunkten). 1 b) Vilken nytta kan en man som Sherlock Holmes ha av de typiska detektivf¨ orstoringsglasen med fokalavst˚ and 25 cm? (1p) L¨ osning: Sherlock Holmes ¨ ar en ¨ aldre herre och hans n¨argr¨ans ligger nog l¨angre bort ¨an 25 cm. Om den har blivit 1 meter, ¨ar linsens f¨orstoringsfaktor f¨or honom 4×. 1 c) Varf¨ or finns det inga s˚ a stora f¨orstoringsglas med en f¨orstoring p˚ a 10×? (1p) L¨ osning: Fokalavst˚ and f¨ or en s˚ adan lins ¨ ar 2,5 cm. F¨or att ˚ astadkomma detta i glas, kr¨avs kr¨ okningsradier p˚ a ungef¨ ar 1,7 cm, s˚ a att diametern inte kan vara st¨orre ¨an 3,5 cm (och i praktiken inte mer ¨ an halv s˚ a stor pga aberrationer). 4 1 Problem 5. a) N˚ agon fiskar med spjut. Hen ser en fisk i vattnet. Hur ska hen sikta: p˚ a, under, o ¨ver, framf¨or eller bakom fisken? F¨orklara och ge en tydlig ritning. (1p) 1 L¨ osning: Hen ska sikta spjutet p˚ a d¨ar fisken finns, och det ¨ar djupare ¨an bilden av fisken, genom en punkt p˚ a vattenytan som ¨ar n¨armare ¨an d¨ar fisken ses. b) Och hur ska hen g¨ ora om hen vill zappa fisken med ett ljussv¨ard? F¨orklara. (1p) L¨ osning: Hen ska sikta p˚ a bilden av fisken, eftersom str˚ alg˚ angen ¨ar omv¨andbar. En eventuell hastighet av fisken och/eller vattnet ¨ar f¨orsumbar i f¨orh˚ allande till ljusets hastighet. 1 c) Hur ¨ andras ditt svar om det handlar om pyttesm˚ a bl˚ a fiskar, och fiskarens ljussv¨ ard ¨ ar r¨ ott? (1p) L¨ osning: Brytningen ¨ ar lite st¨ orre f¨ or fisken (bl˚ att ljus) ¨an f¨or det r¨oda ljussv¨ardet, s˚ a det blir som under a), lite under fiskens bild, genom en punkt p˚ a ytan som ligger lite n¨ armare. 5 1 Problem 6. Figuren nedan visar ljusintensiteten p˚ a en sk¨arm p˚ a stort avst˚ and fr˚ an tv˚ a spalter. Den horisontella skalan ger vinkeln fr˚ an centralt maximum i milliradian. Ljuset p˚ a spalterna a¨r den gr¨ona kvicksilverlinjen vid 546,1 nm. a) Hur stort ¨ ar avst˚ andet mellan spalterna? (1p) L¨ osning: Avst˚ andet mellan fransar ¨ ar ungef¨ar 500/33 = 15 mrad; d = λ/∆θ = 0,5461/0,015 = 36 µm. b) Hur breda a ¨r spalterna? (1p) L¨ osning: Avst˚ andet till diffraktionsm¨onstrets f¨orsta minimum ¨ar ungef¨ar 125 mrad; a = λ/θmin = 0,5461/0,125 = 4,4 µm. Detta ¨ar fortfarande sm˚ a vinklar; skillnaden mellan vinkeln i radianer och dess sinus ¨ar f¨orsumbar i f¨ orh˚ allande till avl¨ asningsfelet. 1 1 c) Den ena av spalterna t¨ acks med en plastbit som absorberar h¨alften av ljuset. Beskriv och f¨ orklara om och hur det p˚ averkar m¨onstret p˚ a sk¨armen. (1p) L¨ osning: Varken bredden av diffraktionsm¨ onstret eller avst˚ anden i interferensm¨onstret ¨andras. Det ¨ ar bara intensiteterna som p˚ averkas. Medelintensiteten avtar med 25 %. Maxima blir l¨ agre (med en faktor 9/16). Minima ¨ar inte noll l¨angre (utan de ¨ar 1/9 av interferensm¨ onstrets toppar). 6 1
© Copyright 2024