Problem 1. Ge en tydlig f¨ orklaring av hur frekvens, period, v˚ agl¨angd och v˚ aghastighet h¨ anger ihop. H¨ arled en formel och anv¨and en relevant figur. (2p) L¨ osning: Det finns m˚ anga s¨ att att f¨ orklara detta och att h¨arleda v = f λ, men att bara ge formlerna ¨ ar inte en f¨ orklaring eller h¨arledning, inte heller om man ˚ aterger formlernas inneh˚ all p˚ a svenska. Figurer d¨ar det ¨ar oklart om det ¨ar tidsaxel och/eller en rymdkoordinat och/eller en hastighet bidrar inte till en tydlig f¨orklaring. 1 Problem 2. a) Under vilka f¨ orh˚ allanden avklingar ljudintensitet med kvadraten p˚ a avst˚ andet till ljudk¨allan? (1p) L¨ osning: Potensen ¨ ar N − 1 om ljudet utbreder sig i N dimensioner, n¨ar det inte finns n˚ agon absorption. Det ¨ ar en konsekvens av energins bevarande, och samma sak g¨aller f¨or ljus och f¨ or gammastr˚ alning, och dessutom f¨or partikelfl¨oden och f¨or elektriska f¨alt och gravitationsf¨ alt. Men i en f¨ orel¨asningssal st¨ammer det inte bra f¨or ljud, eftersom det finns b˚ ada reflektion fr˚ an v¨ aggar och absorption i huvuden osv. 1 b) Anta f¨ or enkelhets skull att sambandet ovan g¨aller h¨ar. En student lyssnar p˚ a en f¨ orel¨ asning av en l¨ arare som st˚ ar 3 meter framf¨or honom. Ljudniv˚ an ¨ar 70 dB. Hur stor ¨ ar f¨ orel¨ asarens effekt? (1p) L¨ osning: Intensiteten ¨ ar 1070/10 g˚ anger referensintensiteten p˚ a 10−12 W/m2 , allts˚ a 10−5 2 W/m . F¨ orel¨ asarens energifl¨ ode integrerad ¨over en sf¨ar med en area 4πr2 blir −5 36π · 10 ≈ 1,13 mW. Eller om man bara tar effekten ¨over hemisf¨aren ovan jord blir det 0,56 mW. Och om man skulle betrakta reflektion fr˚ an v¨aggar och tak, ser man att f¨ orel¨ asaren kan n¨ oja sig med ¨annu mindre energi. 1 c) En annan student som sitter 1,5 meter l¨angre bak b¨orjar prata med sin granne med en effekt som ¨ ar fyra g˚ anger l¨agre ¨an f¨orel¨asarens. Hur stor blir den sammanlagda ljudniv˚ an hos studenten som f¨ors¨oker lyssna p˚ a f¨orel¨asningen? (1p) L¨ osning: Studenten f˚ ar ett lika stort energifl¨ode bakifr˚ an som fr˚ an f¨orel¨asaren, enligt antaganden om en kvadratiskt avklingande ljudintensitet. K¨allorna a¨r inte koherenta, s˚ a det finns inga komplikationer med konstruktiv eller destruktiv interferens. Man kan addera intensiteterna, och den blir allts˚ a tv˚ a g˚ anger s˚ a h¨og. Eftersom log 2 ≈ 0,3 (eftersom 210 = 1024 ≈ 103 ), blir den totala ljudniv˚ an 3 dB h¨ogre, dvs 73 dB. 1 1 Problem 3. Figuren visar en str¨ang med tv˚ a v˚ agt˚ ag vid t = 0; det v¨anstre v˚ agt˚ aget r¨ or sig till h¨oger, det h¨ogre r¨or sig till v¨anster. De b˚ ada v˚ agt˚ agens k¨ allor har samma sv¨ angningsperiod T . Rita str¨angen vid t = T , t = 3T /2, t = 2T , t = 9T /4 och t = 5T /2. (2p) 2 L¨ osning: Det v˚ agorna ¨ overlappar uppst˚ ar en st˚ aende v˚ ag d¨ar bukarna har en amplitud som a a st˚ ar som de fortskridande v˚ agornas amplitud. Vid tidpunkten ¨r dubbelt s˚ t = 9T /4 sv¨ anger den st˚ aende v˚ agen genom j¨amviktsl¨aget, det blir ett rakt streck agorna. med en l¨ angd p˚ a 3 21 λ mellan de fortskridande v˚ 2 Problem 4. Betrakta ett prisma av glas med brytningsindex n = 1,5 som har en toppvinkel p˚ a 30◦ . a) Hur stor a r prismats deviation (vinkeln mellan ljuset innan och efter prismat) ¨ f¨ or en str˚ ale med vinkelr¨ att infall? (1p) L¨ osning: Vid f¨ orsta ytan g˚ ar str˚ alan rakt fram. Infallsvinkeln p˚ a den andra ytan ¨ar 30◦ , ◦ transmissionsvinkeln ¨ ar arcsin 0,75 = 48,6 , deviationen ¨ar 18,6◦ . 1 b) R¨ akna ut deviationen f¨ or n˚ agra fler vinklar, och skissa en graf av deviation som funktion av infallsvinkel. (1p) L¨ osning: Kurvan har ett minimum p˚ a 15,6◦ som intr¨affar vid ungef¨ar 23◦ . 1 c) Ber¨ akna prismats minimideviation. (1p) L¨ osning: Deviationen ¨ ar minimal n¨ ar str˚ alg˚ angen ¨ar symmetrisk, dvs n¨ar brytningsvinklarna i glaset ¨ ar 15◦ . Vinkeln mot normalen p˚ a utsidan ¨ar d˚ a 22,8◦ . Deviationen ¨ar 2 × ◦ (22,8 − 15) = 15,6 . 3 1 Problem 5. Figuren nedan visar ljusintensiteten p˚ a en sk¨arm p˚ a stort avst˚ and fr˚ an tv˚ a spalter. Den horisontella skalan ger vinkeln fr˚ an centralt maximum i milliradian. Ljuset p˚ a spalterna a¨r den gr¨ona kvicksilverlinjen vid 546,1 nm. a) Hur stort ¨ ar avst˚ andet mellan spalterna? (1p) L¨ osning: Avst˚ andet mellan fransar ¨ ar ungef¨ar 500/33 = 15 mrad; d = λ/∆θ = 0,5461/0,015 = 36 µm. b) Hur breda a ¨r spalterna? (1p) L¨ osning: Avst˚ andet till diffraktionsm¨onstrets f¨orsta minimum ¨ar ungef¨ar 125 mrad; a = λ/θmin = 0,5461/0,125 = 4,4 µm. Detta ¨ar fortfarande sm˚ a vinklar; skillnaden mellan vinkeln i radianer och dess sinus ¨ar f¨orsumbar i f¨ orh˚ allande till avl¨ asningsfelet. 1 1 c) Den ena av spalterna t¨ acks med en glasbit som absorberar h¨alften av ljuset. Beskriv och f¨ orklara om och hur det p˚ averkar m¨onstret p˚ a sk¨armen. (1p) L¨ osning: Varken bredden av diffraktionsm¨ onstret eller avst˚ anden i interferensm¨onstret ¨andras. Det ¨ ar bara intensiteterna som p˚ averkas. Medelintensiteten avtar med 25 %. Maxima blir l¨ agre (med en faktor 9/16). Minima ¨ar inte noll l¨angre (utan de ¨ar 1/9 av interferensm¨ onstrets toppar). 4 1