1. No category

Medtas till tentamen
ÅBO AKADEMI
INSTITUTIONEN
FÖR KEMITEKNIK
DEPARTMENT OF
CHEMICAL ENGINEERING
Laboratoriet för
reglerteknik
Process Control
Laboratory
REGLERTEKNIK I
Grundkurs
Kurt-Erik Häggblom
Biskopsgatan 8
FIN-20500 Åbo Finland
www.abo.fi/reglerteknik
2012
Medtas till tentamen
Medtas till tentamen
Innehållsförteckning
1. Inledning .......................................................................................................................... 1–1
2. Reglertekniska grunder ....................................................................................................
2.1 Signaler och system ..................................................................................................
2.2 Komponenter i ett enkelt reglersystem .....................................................................
2.3 Från process- till blockschema ..................................................................................
2.4 Reglerstrategier .........................................................................................................
2.5 Återkopplad reglering ...............................................................................................
2.5.1 Konstantreglering och följereglering ..............................................................
2.5.2 Ett exempel på vad som kan vinnas med återkoppling ...................................
2.5.3 Ett motexempel: begränsande faktorer ...........................................................
2.5.4 PID-regulatorn ................................................................................................
2.5.5 Negativ och positiv återkoppling ....................................................................
2–1
2–1
2–2
2–3
2–4
2–7
2–7
2–7
2–8
2–10
2–11
3. Matematisk modellering ...................................................................................................
3.1 Modelleringsprinciper ...............................................................................................
3.1.1 Modelltyper .....................................................................................................
3.1.2 Modellkonstruktion .........................................................................................
3.1.3 Fysikaliskt modellbygge .................................................................................
3.2 Modeller för tekniska system ....................................................................................
3.2.1 Elektriska system ............................................................................................
3.2.2 Mekaniska system ...........................................................................................
3.2.3 Processtekniska system ...................................................................................
3.3 Linjärisering ..............................................................................................................
3–1
3–1
3–1
3–1
3–1
3–3
3–3
3–6
3–8
3–12
4. Laplacetransformmetoder ................................................................................................
4.1 Differentialekvationer ...............................................................................................
4.2 Laplacetransformen ...................................................................................................
4.2.1 Definition ........................................................................................................
4.2.2 Beräkning av Laplacetransformen för några enkla funktioner .......................
4.2.3 Räkneregler för Laplacetransformer ...............................................................
4.3 Beskrivning av dynamiska system i Laplaceplanet ..................................................
4.3.1 Överföringsfunktionen ....................................................................................
4.3.2 Några konventioner rörande in- och utsignaler ..............................................
4.3.3 Blockscheman .................................................................................................
4.4 Lösning av differentialekvationer .............................................................................
4.4.1 Begynnelsevärdesproblem ..............................................................................
4.4.2 Tidssvaret för ett dynamiskt system ...............................................................
4.4.3 Partialbråksuppdelning ...................................................................................
4–1
4–1
4–3
4–3
4–4
4–8
4–11
4–11
4–13
4–14
4–16
4–17
4–17
4–18
5. Enkla dynamiska system ..................................................................................................
5.1 Integrerande system ..................................................................................................
5.2 System av första ordningen .......................................................................................
5.2.1 Transientsvar ...................................................................................................
5.2.2 Identifiering från stegsvar ...............................................................................
5–1
5–1
5–2
5–2
5–3
i
Medtas till tentamen
Innehållsförteckning
5.3 System av andra ordningen .......................................................................................
5.3.1 Transientsvar ..................................................................................................
5.3.2 Identifiering av överdämpat system ...............................................................
5.3.3 Identifiering av underdämpat system .............................................................
5.4 System med dödtid ....................................................................................................
5.5 System med inverssvar .............................................................................................
5.6 System i serie ............................................................................................................
5–6
5–7
5–9
5–16
5–18
5–19
5–20
6. Stabilitet ...........................................................................................................................
6.1 Stabilitetsdefinitioner ................................................................................................
6.1.1 Asymptotisk stabilitet .....................................................................................
6.1.2 Insignal-utsignalstabilitet ...............................................................................
6.2 Poler och stabilitet ....................................................................................................
6.2.1 Tidssvaret för ett linjärt system ......................................................................
6.2.2 Stabilitetsvillkor uttryckt med systemets poler ..............................................
6.2.3 Återkopplade system ......................................................................................
6.3 Analysmetoder ..........................................................................................................
6.3.1 Routh-Hurwitz’ stabilitetskriterium ...............................................................
6.3.2 Bestämning av stabilitetsgränsen via direkt substitution ................................
6–1
6–1
6–1
6–1
6–1
6–2
6–3
6–3
6–4
6–5
6–7
7. PID-regulatorer ................................................................................................................
7.1 Varianter av PID-regulatorn .....................................................................................
7.1.1 Ideal PID-regulator .........................................................................................
7.1.2 Serieformen av en PID-regulator ....................................................................
7.1.3 PID-regulatorer med derivatafilter .................................................................
7.1.4 Derivering av mätvärdet .................................................................................
7.1.5 Viktning av börvärdet .....................................................................................
7.1.6 Icke-interaktiv form av PID-regulatorn ..........................................................
7.1.7 Kommentar .....................................................................................................
7.2 Val av regulatortyp ...................................................................................................
7.2.1 Tvålägesregulator ...........................................................................................
7.2.2 P-regulator ......................................................................................................
7.2.3 PI-regulator .....................................................................................................
7.2.4 PD-regulator ...................................................................................................
7.2.5 PID-regulator ..................................................................................................
7.3 Specifikationer och prestandakriterier ......................................................................
7.3.1 Generella prestandakriterier ...........................................................................
7.3.2 Fundamentala begränsningar ..........................................................................
7.3.3 Proportionalband och integratoruppvridning .................................................
7.3.4 Designspecifikationer .....................................................................................
7.4 Frekvenssvarsbaserad regulatorinställning ...............................................................
7.4.1 Experimentell regulatorinställning .................................................................
7.4.2 Zieglers och Nichols’ frekvenssvarsbaserade rekommendationer .................
7.4.3 Åströms och Hägglunds frekvenssvarsbaserade korrelationer .......................
7.5 Stegsvarsbaserad regulatorinställning .......................................................................
7.5.1 Zieglers och Nichols’ stegsvarsbaserade rekommendationer .........................
7.5.2 Chiens, Hrones och Reswicks metod .............................................................
7–1
7–1
7–1
7–2
7–2
7–4
7–4
7–5
7–6
7–6
7–6
7–7
7–7
7–8
7–8
7–8
7–9
7–9
7–10
7–11
7–14
7–14
7–15
7–17
7–17
7–18
7–19
ii
Medtas till tentamen
Innehållsförteckning
7.5.3 Åströms och Hägglunds stegsvarsbaserade korrelationer ..............................
Modellbaserad regulatorinställning ...........................................................................
7.6.1 Första ordningens system med dödtid ............................................................
7.6.2 Andra ordningens system med dödtid ............................................................
Regulatordesign genom direkt syntes .......................................................................
7.7.1 Metodbeskrivning ...........................................................................................
7.7.2 Minimumfassystem av låg ordning ................................................................
7.7.3 Minimumfassystem av högre ordning ............................................................
7.7.4 System med positivt nollställe ........................................................................
7.7.5 System med dödtid .........................................................................................
Reglering med intern modell .....................................................................................
7.8.1 IMC-strukturen ...............................................................................................
7.8.2 Approximationsfri hantering av dödtid ..........................................................
7.8.3 Parametrisering av alla stabiliserande regulatorer ..........................................
7.8.4 Regulatordesign ..............................................................................................
7.8.5 Implementering med PID-regulator ................................................................
Modellförenkling ......................................................................................................
7.9.1 Skogestads metod ...........................................................................................
7.9.2 Isakssons och Graebes metod .........................................................................
7–20
7–21
7–21
7–23
7–26
7–26
7–27
7–29
7–30
7–31
7–33
7–33
7–34
7–34
7–35
7–36
7–40
7–40
7–42
8. Frekvensanalys .................................................................................................................
8.1 Frekvenssvaret för ett stabilt system .........................................................................
8.1.1 Enkla systemelement: förstärkning, derivering, integration, dödtid ...............
8.1.2 System av första ordningen ............................................................................
8.1.3 System av andra ordningen .............................................................................
8.1.4 System av högre ordning ................................................................................
8.1.5 Seriekopplade delsystem ................................................................................
8.1.6 Sammanfattning av frekvenssvaret för system av låg ordning........................
8.2 Grafiska representationer av frekvenssvaret .............................................................
8.2.1 Nyquistdiagram ...............................................................................................
8.2.2 Bodediagram ...................................................................................................
8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system ..............................................................
8.3.1 Bodes stabilitetskriterium ................................................................................
8.3.2 Nyquists stabilitetskriterium ...........................................................................
8.3.3 Stabilitetsmarginaler .......................................................................................
8.3.4 Numerisk lösning av frekvenssamband ..........................................................
8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet ..............................................................
8.4.1 Dimensionering av PI-regulatorer ...................................................................
8.4.2 Dimensionering av PD-regulatorer .................................................................
8.4.3 Dimensionering av PID-regulatorer ...............................................................
8–1
8–1
8–1
8–5
8–7
8–9
8–10
8–11
8–12
8–13
8–16
8–21
8–21
8–25
8–27
8–32
8–36
8–36
8–41
8–45
7.6
7.7
7.8
7.9
iii
Medtas till tentamen
Medtas till tentamen
1. Inledning
För de flesta människor är reglerteknik ett relativt okänt begrepp trots att var och en i det dagliga
livet ständigt kommer i kontakt med och t.o.m. själv utövar reglerteknik. Allmänt kan man säga
att varje rationell metod att styra eller reglera ett system så att vissa syften uppnås trots omgivningens (negativa) inverkan är reglerteknik. Det reglertekniska grundproblemet är att för ett
givet system och givna syften ta fram en sådan metod.
Ordet system får uppfattas mycket allmänt. Det kan vara ett tekniskt system såsom en rymdraket, ett flygplan, en bil, en motor, ett trafikljus, ett kraftverk, en kemisk reaktor, en destillationskolonn, en pappersmaskin, en cementugn, ett kylskåp, en tvättmaskin, eller något delsystem av dessa, men också någon annan typ av process, t.ex. en biologisk, ekonomisk,
administrativ eller psykologisk process. Reglertekniken spänner således över mycket vida
tillämpningsområden. Detta möjliggörs av att de principer som reglertekniken baserar sig på och
de metoder som den använder sig av är universella.
Typiska syften för styrning av tekniska system är att uppfylla krav rörande säkerhet och prestanda, ekonomiska kriterier, miljökrav, etc. Ett prestandakrav kan vara så enkelt som att upprätthålla rätt temperatur i ett kylskåp, men ofta är syftet mer komplext än så. Vanligt är då att
man är tvungen att reglera sekundära storheter som är relaterade med det mera fundamentala
syftet. Säkerhets- och miljökrav tillgodoses t.ex. genom att storheter som tryck, temperaturer
och kemiska sammansättningar hålls inom specificerade gränser. Ekonomiska kriterier inom
t.ex. processindustrin, där man strävar efter att optimera driften ekonomiskt, omräknas normalt
till specifikationer rörande produktkvaliteter och produktivitet.
Hur kan man få ett system att bete sig på önskat sätt så att dess syfte uppfylls? För att ta ett
konkret exempel, hur kan man få temperaturen i ett hus att anta ett önskat värde? Om temperaturen är lägre än den önskade bör värme givetvis tillföras inneluften. Man behöver således en
värmekälla och genom att justera dess effekt kan temperaturen påverkas. En viss effekt ger då
den önskade temperaturen. En nödvändig förutsättning är m.a.o. att det finns en storhet med vars
hjälp man kan påverka systemet, dvs styra eller reglera det, så att syftet nås. Man kan säga att
en sådan styrstorhet eller styrvariabel verkar som en insignal till systemet.
Om man har en matematisk modell, som beskriver sambandet mellan de storheter som definierar syftet och de variabler som kan användas för styrning, borde man kunna bestämma sådana
värden på styrvariablerna som gör att syftet uppfylls. I exemplet ovan kan man med hjälp av en
energibalans i princip bestämma den behövliga värmeeffekten. Vad är då problemet? Problemen
är flera.
För det första är en modell aldrig en exakt beskrivning av verkligheten, den är alltid behäftad
med osäkerhet. I husuppvärmningsexemplet påverkas innetemperaturen av temperaturen utomhus och om det finns ett uppvärmningsbehov är temperaturen utomhus lägre än den önskade
innetemperaturen. Vi har då en värmeförlust från huset till omgivningen, men de modellparametrar som bestämmer värmeförlusterna är endast approximativt kända. Vi har med andra
ord en modellosäkerhet, som gör det svårt att uppskatta värmeförlusterna även om utomhustemperaturen är känd. I praktiken betyder detta att en modell med givna parametervärden alltid
innehåller modellfel.
Dessutom påverkas systemet av yttre störningar. Vissa störningar kan vara mätbara och i
princip möjliga att beakta, men i allmänhet existerar det också okända eller omätbara störningar,
eller störningar vars effekter är svåra att kvantifiera såsom fallet är när vi har modellosäkerheter.
I det aktuella exemplet är variationer i utomhustemperaturen mätbara medan effekterna av t.ex.
vind, nederbörd, vädring och antalet personer inomhus är svåra att beakta. Generellt kan man
1–1
Medtas till tentamen
1. Inledning
därför inte räkna med att kunna ställa in styrvariablerna utgående från en matematisk modell så
att systemets syfte uppfylls.
Problemet kan i princip lösas med hjälp av återkoppling. Detta innebär att man mäter de storheter man önskar reglera — reglerstorheterna eller reglervariablerna, även kallade systemets
utsignaler — och om deras värden avviker från de önskade värdena definierade av syftet,
justerar man styrvariablerna så att reglerstorheternas avvikelser reduceras. Genom mätningarna
kan man följa upp styråtgärdernas inverkan på reglerstorheterna och göra nya justeringar tills
avvikelserna är tillräckligt små. Detta förfarande, som kan liknas vid iterativ lösning av ett
matematiskt problem, kräver inte en exakt processmodell, det räcker långt om man vet i vilken
riktning styrvariablerna skall justeras. Det spelar heller ingen avgörande roll vad som är orsaken
till regleravvikelserna — modellfel eller störningar.
Återkopplingsprincipen är mycket fundamental. Människokroppens biologiska funktioner
regleras allmänt genom återkoppling (t.ex. puls och kroppstemperatur). Vi utnyttjar också återkoppling vid många mänskliga aktiviteter, t.ex. vid duschning (reglering av vattenmängd och
temperatur) och bilkörning (styrning och farthållning). Regeringar och andra organ som försöker
styra en nations ekonomi baserar sina åtgärder på feedback om den ekonomiska situationen.
Tekniska system styrs också i huvudsak med hjälp av återkoppling.
Av naturliga skäl vill man ofta automatisera styrningen av tekniska system. Man vill t.ex.
kunna ställa in den önskade inomhustemperaturen på en termostat, som automatiskt sköter om
styrningen av uppvärmingseffekten. Allmänt kallas den apparatur eller mekanism som bestämmer styråtgärderna för regulator. Förutom en regulator behövs en mätgivare, som mäter systemets tillstånd (t.ex. en temperatur) och sänder informationen till regulatorn, och ett styrdon
(t.ex. en ventil) som påverkar systemet och med vars hjälp styråtgärderna kan realiseras. Det
reglertekniska grundproblemet är då att bestämma (”designa”) en regulator som förverkligar
systemets syfte.
Återkoppling är dock ingen garanti för ett gott resultat, vilket exemplet om styrning av
nationalekonomin torde antyda. En orsak är att system i allmänhet är dynamiska. Ett dynamiskt
system har den egenskapen att dess tillstånd i ett givet ögonblick inte beror enbart av insignalerna i samma ögonblick, utan även av insignalernas tidigare värden. Man kan säga att ett
dynamiskt system ”minns” gamla insignaler. Detta betyder också att insignalernas värden i ett
visst ögonblick påverkar systemets framtida tillstånd. Systemets tillstånd förändras med andra
ord gradvis. Detta försvårar givetvis en styrning av systemet baserad på återkoppling.
Allmänt kan man säga att system som involverar hantering av massa eller energi har tröghet
som gör dem dynamiska. Oberoende av om ett sådant system styrs genom återkoppling eller
inte, begränsar denna tröghet den prestanda som kan uppnås i verkligheten. Det är t.ex. inte
möjligt i praktiken att helt stanna upp en oljetanker, eller vända den 180º, på några sekunder, inte
ens några minuter. Detta skulle kräva en enorm effekt, betydligt mer än vad som finns tillgängligt, och tankerns konstruktion skulle inte heller klara påfrestningen. Tankerns tröghet
begränsar således dess styrbarhet, vilket kan vara fatalt om den kommer i kollisionskurs med ett
annat fartyg. Å andra sidan betyder denna tröghet också att tankern inte lätt rubbas från sin kurs
av yttre störningar. Tankern är m.a.o. ett stabilt, men svårmanövrerat system. Ovannämnda
åtgärder utgör dock inga problem med en roddbåt — den är inte speciellt stabil, men ytterst
manövrerbar.
Såsom ovanstående antyder, är det möjligt att stabilisera ett instabilt system genom reglering.
Ett flygplan är ett exempel på ett sådant instabilt system. En orsak till att bröderna Wright
lyckades med den första flygningen år 1903 var att de insåg att konstruera ett instabilt men
lättmanövrerat flygplan i stället för ett stabilt plan som inte kunde hållas i luften. Det faktum att
flygplanet var instabilt var naturligtvis en belastning för piloten som hela tiden måste ingripa
1–2
Medtas till tentamen
1. Inledning
med styråtgärder. Å andra sidan medförde flygplanets manövrerbarhet att piloten snabbt kunde
motverka de störningar som orsakades av vindbyar. Moderna stridsflygplan är ytterst instabila,
vilket möjliggör mycket hög prestanda. Detta ställer så höga krav på det stabiliserande
reglersystemet att dessa inte alltid kan uppfyllas — med ödesdigra följder.
Ett annat exempel på en process som vore instabil utan återkoppling är mänskans gång, som
är betydligt effektivare än sköldpaddans stabila gång. Om det stabiliserande reglersystemet sätts
ur funktion, t.ex. genom att balanssinnet skadas, kan människan inte gå. Cykling på tvåhjuling
är också en instabil process, men klart effektivare än cykling på trehjuling ifall cyklisten klarar
av att stabilisera processen. För- och nackdelarna med en skottkärra jämfört med en två- eller
fyrhjulig kärra är också uppenbara.
I processindustrin förekommer också processer som är instabila utan reglering. Ett exempel är
en kemisk reaktor där reaktionen är exotermisk. En sådan reaktion utvecklar värme, som ökar
reaktionshastigheten, vilket leder till större värmeutveckling, etc. En dylik process måste stabiliseras genom bortledning av reaktionsvärmet.
Som ovan framgått är stabilitet å ena sidan, flexibilitet och prestanda å andra sidan, diametralt
motsatta krav. Detta bör beaktas vid konstruktion av en teknisk process. Samma motsättning
föreligger också vid konstruktion av ett reglersystem för en existerande process. Helst skulle
man önska sig ett reglersystem som effektivt stabiliserar processen och samtidigt ger högsta
möjliga prestanda. I praktiken är detta dock omöjligt. Utformningen av reglersystemet måste
alltid innebära en kompromiss mellan stabilitet och prestanda.
Litteratur
Dorf, Richard & Bishop, Robert. Modern Control Systems. Addison-Wesley, 1998–.
Glad, Torkel & Ljung, Lennart. Reglerteknik — Grundläggande teori. Studentlitteratur, 1989–
Hägglund, Tore. Praktisk processreglering. Studentlitteratur, 1997–
Kuo, Benjamin. Automatic Control Systems. Prentice-Hall, 1995–.
Lennartson, Bengt & Thomas, Bertil. Analog och digital reglerteknik — Övningsbok. Studentlitteratur, 1995.
Lennartson, Bengt. Reglerteknikens grunder. Studentlitteratur, 2000–.
Ljung, Lennart & Glad, Torkel. Modellbygge och simulering. Studentlitteratur, 1991
Ogunnaike, Babatunde & Ray, Harmon. Process Dynamics, Modeling, and Control. Oxford
University Press, 1994.
Schmidtbauer, Bengt. Analog och digital reglerteknik. Studentlitteratur, 1995.
Seborg, Dale; Edgar, Thomas & Mellichamp, Duncan. Process Dynamics and Control. John
Wiley & Sons, 1989–.
Thomas, Bertil. Modern Reglerteknik. Liber, 2001.
Åström, Karl-Johan. Reglerteori. Almqvist & Wiksell, 1968.
Åström, Karl-Johan & Hägglund, Tore. Advanced PID Control. Instrument Society of America,
2006.
1–3
Medtas till tentamen
Medtas till tentamen
2. Reglertekniska grunder
2.1 Signaler och system
Ett system växelverkar med sin omgivning via insignaler, som påverkar systemets beteende, och
utsignaler, som beskriver dess beteende. Beroende på sammanhanget kan vi med ”signal” avse
en storhet eller en variabel men ofta avser vi storleken eller värdet av en storhet. Med den
senare tolkningen, dvs att en signal betecknar värdet av en storhet, kan vi säga att utsignalerna
beror av insignalerna till systemet. Signalbegreppet behandlas utförligare i avsnitt 2.3.
Om utsignalerna vid en viss tidpunkt endast beror på insignalernas värden vid samma tidpunkt är systemet statiskt. Detta betyder att utsignalerna reagerar ögonblickligen på förändringar
i insignalerna så att de med en gång når sina nya, slutliga värden. Vanligare är dock att
utsignalerna förändras gradvis. Detta betyder att utsignalerna i ett visst ögonblick även beror av
tidigare insignaler och systemet sägs vara dynamiskt. Temperaturen i ett eluppvärmt hus är ett
exempel på ett dynamiskt system; om värmeelementen slås av, förändras temperaturen inte
omedelbart till ett nytt (konstant) värde, utan det tar en viss tid.
De insignaler som kan styras kallas styrsignaler och de utsignaler som kan observeras (mätas)
kallas mätsignaler. Systemet påverkas även av störningar från omgivningen. Ibland är störningarna mätbara, men aldrig (definitionsmässigt) styrbara. I husuppvärmningsexemplet är temperaturen en mätsignal, uppvärmningseffekten styrsignal, och som störningar kan betraktas bl.a.
utetemperaturen och vindstyrkan.
Ett allmänt system med tillhörande signaler kan åskådliggöras grafiskt med hjälp av ett
blockschema, se figur 2.1.
Figur 2.1. Blockschema för ett dynamiskt system.
 Exempel 2.1. Blockschemabeskrivning av reglerventil.
Figur 2.2 illustrerar en reglerventil. Flödet q genom reglerventilen beror av ventilläget x , primärtrycket p1 och sekundärtrycket p 2 . Den s.k. ventilkarakteristikan ger ett samband mellan
dessa variabler, men detta samband gäller endast variablernas statiska (stationära) värden. I
verkligheten beror flödet q av de övriga variablerna på ett dynamiskt sätt. Flödet q är då
systemets utsignal, medan x , p1 och p 2 är dess insignaler. Av dessa kan x användas som styrsignal, medan p1 och p 2 är störningar. Figur 2.3 visar ett blockschema för systemet.

Figur 2.2. Principskiss av reglerventil.
Figur 2.3. Blockschema för reglerventil.
Medtas till tentamen
2.2 Komponenter i ett enkelt reglersystem
Ett reglersystem är sammansatt av flera delsystem. I ett komplett reglersystem för en industriell
process är antalet delsystem vanligen mycket stort. Även en så enkel process som reglering av
flöde med en reglerventil består av flera delsystem.
Reglerventilen är nämligen inte speciellt användbar utan vissa andra komponenter. I ett automatiskt reglersystem kan ventilläget x i praktiken inte direkt justeras av regulatorn. Därför
måste reglerventilen förses med ett ställdon som tar emot en styrsignal u (elektrisk, pneumatisk
eller hydraulisk) och omvandlar den till en kraft som påverkar ventilläget. Det fysiska flödet q
är inte heller direkt användbart i reglersystemet. Det måste mätas med en mätgivare som ger en
mätsignal y som kan relateras till q . Figur 2.4 visar sambandet mellan dessa delsystem och
deras signaler.
Figur 2.4. Blockschema för systemet ställdon-ventil-flödesgivare.
En regulator som reglerar flödet genom reglerventilen behöver som insignaler mätsignalen y
och en referenssignal r , som är y :s börvärde eller ledvärde, dvs det önskade värdet på y .
Regulatorns utsignal är styrsignalen u , som den bestämmer på basen av r och y ; vanligtvis är
endast skillnaden mellan r och y av betydelse. Reglersystemets blockschema visas i figur 2.5.
Figur 2.5. Blockschema för reglering av flöde.
Hur detaljerat skall ett blockschema framställas? Det beror på vad som är ändamålsenligt.
Vanligtvis sammanslås t.ex. reglerventilen och dess ställdon till ett delsystem, som har insignalen u som styrsignal. Eftersom det fortfarande är ventilläget som fysiskt påverkar flödet, säger
man kanske i alla fall, något oegentligt, att man reglerar flödet genom att justera ventilläget x .
Hela reglerkonfigurationen i figur 2.5 kan givetvis också betraktas som ett system. Detta system
har referenssignalen r som styrsignal och flödet q som utsignal. I en typisk industriprocess
existerar flera dylika flödesreglerkretsar. Vanligtvis är dock själva flödesregleringen inte det
primära i processen, viktigare är förmodligen den verkan q har på resten av processen. Ofta
underförstås därför sådana sekundära reglerkretsar och man säger kanske att man använder
flödet q som en styrvariabel, trots att det i själva verket är referenssignalen r .
Medtas till tentamen
Figur 2.6 visar symboler för flödesreglering i ett
processchema. I figuren står ”FC” för flödesregulator
(eng. flow controller) och ”FT” för flödesgivare (eng.
flow transmitter). Man kan också använda beteckningarna ”FIC” och ”FIT”, där ”I” anger att instrumentet är
försett med ”indikator” (analog eller digital visning av
data, t.ex. mätdata). Andra vanliga beteckningar är ”LC”
för nivåregulator, ”TC” för temperaturregulator, ”PC”
för tryckregulator, ”QC” för koncentrationsregulator. Ett
”I” som andra bokstav anger också här indikering.
Beteckningarna för motsvarande mätgivare har som sista
bokstav ”T” i stället för ”C”.
Figur 2.6. Processchema för
flödesreglering.
2.3 Från process- till blockschema
Det bör observeras att in- och utsignalerna i ett reglertekniskt blockschema inte är ekvivalenta
med fysikaliska in- och utströmmar i ett flödesschema för processen. Insignalerna i ett reglertekniskt blockschema anger vilka storheter som påverkar systemets egenskaper medan
utsignalerna ger information om dessa egenskaper. De reglertekniska in- och utsignalerna behöver således inte vara strömmar i egentlig mening, och även om de är det, behöver de inte
sammanfalla med motsvarande fysikaliska strömmars riktning. Till exempel en fysikalisk
utström kan mycket väl vara en reglerteknisk inström såsom illustreras i exempel 2.2.
Utsignalerna i ett blockschema ger också en viss information om processens syfte, som inte
direkt kan utläsas ur ett processchema. Vanligtvis framgår inte heller valet av styrsignaler och
förekomsten av störningar entydigt ur processchemat. Blockschemat ger m.a.o. reglerteknisk
information utöver processchemat.
Exempel 2.2. Blockschema för tank med kontinuerlig genomströmning.
Process A. Vätskebehållare där vätskenivån h kan
regleras med inströmmen F1 , medan utströmmen F2
beror av h (utströmning genom självtryck).
F1
Blockschema:
h
F1
styrvariabel
nivå/inström
h
utström/nivå
F2
Process B. Vätskebehållare där vätskenivån h kan
regleras med utströmmen F2 , medan inströmmen F1
är en störvariabel.
Kp > 0
F1
störning
F2
styrvariabel
F1
h
Blockschema:
nivå/inström
nivå/utström
Kp < 0
+
+
h
F2
F2
Blockschemat illustreras också vad som menas
med positiv och negativ förstärkning. Om en
ökning av insignalen får utsignalen att öka är
förstärkningen K p  0 och vice versa.

Medtas till tentamen
Övning 2.1.
Konstruera ett blockschema för nedanstående process, där en vätska strömmande i ett rör
uppvärms och temperaturregleras genom tillförsel av ånga.
i
vätska
1
v = 1 m/s
2
60 m
TC
ånga
r
2.4 Reglerstrategier
I inledningen nämndes att återkoppling är en viktig reglerteknisk metod, men det finns också
andra möjligheter att styra en process.
Öppen styrning
Vid öppen styrning används inga observationer av vad som sker i processen. Regulatorn baserar
sina åtgärder på a priori information om processens egenskaper så att styrvariablerna följer något
i förväg fastställt tidsförlopp. Man talar ofta om tidsstyrning eller programstyrning. I de flesta
praktiska situationer har detta uppenbara nackdelar. Vilka?
Ett exempel på ett öppet styrsystem är en brödrost.
Figur 2.7. Öppen styrning.
Återkopplad reglering
Framgångsrik styrning kräver i allmänhet observation av vad som händer i processen så att
styråtgärderna kan modifieras på basen av gjorda mätningar. Vanligtvis mäter man de variabler
man önskar reglera. Detta leder till ett slutet reglersystem med återkoppling.
I de exempel på reglersystem vi nämnt tidigare användes återkoppling.
Figur 2.8. Återkoppling.
Framkoppling
Man kan också tänka sig att mäta variabler som stör processen. Om man vet hur dessa störningar påverkar de utsignaler man vill reglera, kan man på basen av mätvärdena justera styrsignalerna så att störningarnas inverkan på utsignalerna elimineras. I princip kan det vara möjligt att
Medtas till tentamen
eliminera dessa störningar innan de ens hunnit påverka utsignalerna. Denna typ av reglering
kallas störvärdeskompensation, eller vanligare, framkoppling.
Trots att man i princip kan erhålla perfekt reglering med hjälp av framkoppling kombineras
strategin vanligtvis med återkoppling. Varför?
Figur 2.9. Framkoppling.
 Exempel 2.3. Två olika reglerstrategier för husuppvärmning.
Figur 2.10 illustrerar husuppvärming genom (a) framkoppling, (b) återkoppling. Följande föroch nackdelar kan noteras:
 Framkoppling: snabb reglering, men kräver noggrann modell; beaktar inte andra störningar än
den uppmätta utetemperaturen, t.ex. vindhastigheten.
 Återkoppling: långsammare reglering eftersom ingenting görs förrän innetemperaturen redan
påverkats; mindre känsligt för modellfel och störningar.
Hur skulle öppen styrning av innetemperaturen se ut?
(b)
(a)
Temp.givare.
Reg.
Värmeelement
Temp.givare.
Reg.
Värmeelement
Figur 2.10. Husuppvärmning genom (a) framkoppling, (b) återkoppling.

Övning 2.2.
Betrakta de två flödesreglersystemen nedan. Ange reglerstrategin (återkoppling / framkoppling)
i vartdera fallet och motivera svaret. Det kan antas att avståndet mellan flödesgivaren FT och
reglerventilen är litet.
Medtas till tentamen
Övning 2.3.
Vätskebehållaren till höger har ett tillflöde F1
och ett utflöde F2 . Tillflödet regleras så att
F1  10 l/min. Man önskar hålla vätskevolymen konstant vid V  1000 l. Vätskevolymen
(eller vätskenivån) är således systemets utsignal, medan F1 och F2 är insignaler.
Följande reglerstrategier är tänkbara:
a) Öppen styrning  utflödet mätes och
regleras så att F2  10 l/min.
b) Återkoppling  vätskenivån h mätes och
regleras med hjälp av utflödet.
c) Framkoppling  tillflödet mätes och utflödet regleras så att F2  F1 .
Diskutera skillnaderna mellan dessa strategier och föreslå lämplig strategi.
a)
10 l/min
FC
F1
10 l/min
V
h
FC
F2
b)
10 l/min
FC
1000 l
F1
V
h
F2
c)
10 l/min
FC
F1
V
h
FC
F2
Medtas till tentamen
2.5 Återkopplad reglering
2.5.1 Konstantreglering och följereglering
Figur 2.11 visar ett blockschema över en enkel återkopplad reglerkrets. Reglersystemets uppgift
är att styra en viss variabel (utsignalen) hos det reglerade systemet till en önskad nivå given av
börvärdet, även kallat ledvärde eller referensvärde. Vanligtvis opererar regulatorn direkt på
skillnaden mellan börvärdet och utsignalens mätvärde, dvs på regleravvikelsen eller reglerfelet.
Utsignalens värde (i ett visst ögonblick) kallas ibland ärvärde. Matematiska symboler som ofta
kommer att användas för de olika signalerna har även införts i figuren.
jämförare
börvärde +
reglerfel
r
e
-
störningar
v
Regulator
mätsignal
ym
styrsignal
u
Reglerat system
utsignal
y
Mätgivare
Figur 2.11. Återkopplad reglerkrets.
Beroende på om börvärdet är konstant eller varierande skiljer man på två olika typer av
reglering:
1. Konstantreglering. Börvärdet är oftast konstant och reglersystemets huvuduppgift är att hålla
utsignalen lika med börvärdet, trots störningars inverkan. Ibland kallas detta för regulatorproblemet.
2. Följereglering. Börvärdet varierar och reglersystemets huvudfunktion är att få utsignalen att
följa börvärdet med så små fel som möjligt. Ibland kallas detta för servoproblemet.
Dessa två typer av reglering kan långt behandlas parallellt; skillnader uppkommer närmast i
valet av parametervärden för regulatorn (kapitel 8).
2.5.2 Ett exempel på vad som kan uppnås med återkoppling
Låt oss, för att illustrera vissa fundamentala egenskaper för återkopplad reglering, betrakta det
tidigare omtalade husuppvärmningsexemplet. Innetemperaturen i beror av utetemperaturen
u och uppvärmningseffekten P enligt ett visst dynamiskt samband. Vi kan här dock för enkelhets skull nöja oss med att betrakta det statiska samband mellan dessa variabler som gäller vid
stationärtillstånd, även kallat fortfarighetstillstånd. Om vi använder symbolerna i ,  u resp.
P för att beteckna variablernas statiska värden kan vi skriva sambandet som
i  K p P  u
(2.1)
där K p är systemets förstärkning, som här är en positiv parameter. Ur ekvationen framgår, som
sig bör, att i  u om värmeeffekten P  0 samt att en ökning av värmeeffekten ökar innetemperaturen.
Vi vill att innetemperaturen skall vara ungefär konstant och lika med en önskad referenstemperatur  r trots variationer i utetemperaturen. En enkel reglerlag är att justera värmeeffekten
Medtas till tentamen
i proportion med skillnaden mellan den önskade innetemperaturen och den rådande innetemperaturen. När vi enbart beaktar stationärtillståndet, innebär detta
P  K c (r  i )  P0
(2.2)
där K c är regulatorns förstärkning och P0 en konstant grundeffekt som vi kan ställa in manuellt.
Detta samband beskriver en proportionalregulator, vanligare kallad en P-regulator. Som vi ser
har regulatorn den egenskapen att värmeeffekten ökas när innetemperaturen är lägre än den
önskade temperaturen, ifall K c  0 .
Genom att kombinera ekvation (2.1) och (2.2) får vi mer explicit information om hur det
reglerade systemet beter sig. Eliminering av styrsignalen P ger
i 
Kp Kc
1  Kp Kc
r 
Kp
1
u 
P0
1  Kp Kc
1  Kp Kc
(2.3)
Ur denna ekvation kan vi bl.a. utläsa följande. Om den automatiska temperaturregleringen är
avslagen så att K c  0 , får vi i  u  K p P0 , dvs innetemperaturen blir som väntat inte alls
beroende av den önskade temperaturen  r . Om dessutom grundvärmen är avslagen så att
P0  0 , blir innetemperaturen lika med utetemperaturen. Om vi ställer regleringen på automatik
( K c  0 ), får vi t.ex., om vi väljer K c  1 / K p , i  0,5r  0,5u  0,5K p P0 , dvs innetemperaturen kommer närmare den önskade temperaturen än utetemperaturen (ifall r  u !). Beroende
på hur vi ställt in P0 är det till och med möjligt att vi råkar få i  r . Det är lätt att inse att ju
högre K c är, desto mer närmar sig i referensvärdet  r oberoende av  u och P0 , dvs om
K c   , gäller att i  r .
Detta illustrerar en fundamental egenskap hos återkopplad reglering. Den kan så gott som
helt eliminera störningars (här utetemperaturens  u ) inverkan på det reglerade systemet och vi
behöver vanligtvis inte heller känna till systemets egenskaper i detalj (här K p ) för att ställa in
regulatorn. Dessutom kan vi få utsignalen att anta eller följa ett önskat värde (här i  r ).
2.5.3 Ett motexempel: begränsande faktorer
I exemplet ovan försummade vi systemets dynamik för att på ett enkelt sätt kunna illustrera
fördelar som åtminstone i princip kan nås med återkopplad reglering. Det är klart att vi i
praktiken inte t.ex. kan ha en regulatorförstärkning som närmar sig oändligheten. När systemets
dynamik beaktas skulle detta enligt den dynamiska motsvarigheten till ekvation (2.2) kräva ett
effektpådrag som närmar sig oändligheten om innetemperaturen avviker från referenstemperaturen. Dessutom ställer det reglerade systemets (dynamiska) egenskaper i allmänhet begränsningar, som följande exempel visar.
Betrakta processen i övning 2.1, där vätska strömmande i ett välisolerat rör uppvärms och
temperaturregleras genom direkt tillförsel av ånga. Vätskans temperatur  2 mäts 60 m efter
blandningspunkten, vilket med beaktande av strömningshastigheten v  1 m/s innebär att blandningspunktens temperatur 1 når mätpunkten efter 1 minut. Om vätskans temperatur före blandningspunkten betecknas i och masströmmen tillförd ånga betecknas m gäller, då värmeförlusten från röret försummas,
Medtas till tentamen
2 (t  1)  1 (t )  i (t )  K p m (t )
(2.4)
där t är tiden uttryckt i minuter och K p är en positiv processförstärkning, vars värde vi inte här
behöver bestämma närmare. Om vi använder en P-regulator för reglering av  2 med m (här
försummar vi reglerventilen) är reglerlagen
 (t )  K c r  2 (t )  m
0
m
(2.5)
där K c är regulatorns förstärkning och m 0 är ångströmmens normalvärde, som vid stationärtillstånd ger 2  r . Kombinering av ekvation (2.4) och (2.5) ger
2 (t  1)  i (t )  K p K c r  2 (t )  K p m 0
(2.6)
Betrakta ett stationärtillstånd ( i ,  2 ). Enligt ekvation (2.6) gäller då
2  i  K p K c (r  2 )  K p m 0
(2.7)
Subtraktion av ekvation (2.7) från (2.6) ger med i (t )  i (t )  i och 2 (t )  2 (t )  2
2 (t  1)  i (t )  K p K c 2 (t )
(2.8)
Antag att stationärtillstånd råder fram till t  0 och att en stegformig förändring i,steg sker i
temperaturen i vid denna tidpunkt. Enligt ekvation (2.8) får vi då 2 (1)  i,steg ,
2 (2)  i,steg  K p K c 2 (1)  (1  K p K c )i,steg och allmänt får vi för t  k  1
2 (k ) 
k 1
 ( K p K c ) j i,steg
(2.9)
j 0
Vi ser omedelbart att varje term i högra ledet till absoluta beloppet blir större än föregående
term om | K p K c | 1 , vilket betyder att serien divergerar med instabilitet som följd. Om
K p K c  1, kommer 2 att svänga mellan nivåerna  i,steg och i,steg ”för all framtid”.
Om | K p K c | 1 , är termerna i summan en konvergerande geometrisk serie, och vi får
2 (k ) 
i, steg
1  Kp Kc
när k   , | K p K c | 1
(2.10)
Av (2.10) framgår att bästa reglering med en P-regulator ger 2 (k )  0,5i,steg när k   ,
trots att vi skulle önska 2  0 .
I detta exempel erhöll vi inte de mycket positiva effekter vi erhöll i föregående exempel. Vi
kan inte säga att processen i detta exempel är speciellt komplicerad, men den innehåller en ren
transportfördröjning, eller mer allmänt en tidsfördröjning, även kallad dödtid. Dylika transportfördröjningar är givetvis mycket vanliga i processindustrin, men även andra processer innehåller
ofta dödtider. Vi kan rent allmänt konstatera att dödtider i en återkopplad reglerkrets är till skada
för regleringen och äventyrar reglerkretsens stabilitet.
Dödtider är besvärliga processegenskaper, men processer kan vara svårreglerade också av
andra orsaker. Till exempel processer, vars beteende beskrivs av (linjära) differentialekvationer
av tredje eller högre ordning, medför begränsningar av liknande typ som dödtider gör.
Medtas till tentamen
2.5.4 PID-regulatorn
I de två illustrationsexemplen ovan använde vi P-regulatorer och vi kunde konstatera följande
egenskaper:
 En hög regulatorförstärkning är önskvärd för eliminering av störningars inverkan på det reglerade systemet samt reducering av känsligheten för osäkerhet rörande processparametrar.
 En hög förstärkning kan leda till instabilitet och situationen förvärras av processosäkerheter;
man kan säga att risken är överhängande när man litar för mycket på för gammal information.
 En stationär regleravvikelse (ett bestående reglerfel) erhålles efter en belastningsförändring
(dvs en laststörning); ju mindre regulatorförstärkningen är, desto större blir regleravvikelsen.
Man kan säga att de två första punkterna gäller för återkopplad reglering i allmänhet.
Eftersom de är sinsemellan motstridiga antyder de att kompromisser måste göras för att hitta en
optimal regulatorinställning. Det är också troligt att en mer komplicerad regulator än en Pregulator vanligtvis är att föredra. Detta är t.ex. nödvändigt för eliminering av stationär regleravvikelse.
Den så kallade PID-regulatorn är en ”universalregulator”, som förutom en ren förstärkning,
också innehåller integrerande och deriverande verkan. Reglerlagen för en ideal PID-regulator
— i praktiken används ofta dock modifieringar — ges av
t

1
de(t ) 

u (t )  K c e(t )   e( ) d  Td
 u0

Ti 0
dt 

(2.11)
där u (t ) är regulatorns utsignal och e(t ) är skillnaden mellan referensvärde och mätvärde, dvs
reglerfelet; se figur 2.11. Regulatorns justerbara parametrar är, förutom styrsignalens normalvärde u 0 (ofta = 0), förstärkningen K c , integrationstiden Ti och deriveringstiden Td .
Genom lämpligt val av regulatorparametrar kan man koppla bort de delar man inte behöver.
En s.k. PI-regulator erhålles genom att sätta Td  0 och en P-regulator erhålles genom att
formellt ytterligare välja Ti   (obs. inte Ti  0 !). Ibland används också PD-regulatorer. Man
vill så gott som alltid ha med P-verkan, och som reglerlagen i (2.11) är skriven kan man inte
heller koppa bort den utan att koppla bort hela regulatorn. Man kan dock avlägsna denna
begränsning genom att skriva reglerlagen på formen
t
u (t )  K c e(t )  K i  e( ) d  K d
0
de(t )
 u0
dt
(2.12)
PI-regulatorn är utan tvekan den vanligaste regulatorformen i (process)industrin, där den
speciellt används för flödesreglering. Sammanfattningsvis kan sägas att PI-regulatorn har
 goda statiska egenskaper, den eliminerar stationär regleravvikelse;
 tendens att förorsaka oscillerande beteende, vilket reducerar stabiliteten (integralen samlar på
gammal information!).
D-verkan inkluderas ofta (PD eller PID) vid reglering av processer med långsam dynamik,
speciellt temperatur och ångtryck. D-verkan ger
 goda dynamiska egenskaper och god stabilitet (derivatan ”predikterar” framtiden!);
 känslighet för mätbrus.
Medtas till tentamen
Övning 2.4.
Betrakta en PI-regulator och antag att stationärtillstånd råder vid tiden t  t s . Detta innebär att
u (t ) och e(t ) är konstanta för t  t s . Förklara varför detta måste innebära att e(t s )  0 , dvs att
regleravvikelsen måste vara noll vid stationärtillstånd.
Övning 2.5.
Vilken stationär egenskap har en dubbelintegrerande regulator (PII-regulator)
t
t


1
u (t )  K c  e(t )   x( ) d   u 0 , x(t )   e( ) d


Ti 0
0


dvs vad kan man säga om e(t ) och/eller x(t ) vid stationärtillstånd?
2.5.5 Negativ och positiv återkoppling
Det är vikigt att skilja på negativ återkoppling och positiv återkoppling.
 Negativ återkoppling innebär att styrsignalen motverkar reglerfelet.
 Positiv återkoppling innebär att styrsignalen förstärker reglerfelet.
Övning 2.6.
1. Vilken typ av återkoppling vill man ha i ett reglersystem?
2. Hur vet man vilken typ av återkoppling man har i ett reglersystem?
3. Kan man alltid välja rätt typ av återkoppling?
4. Vad händer ifall man har fel typ av återkoppling?
Man ser ofta andra definitioner på negativ (och positiv) återkoppling än den ovan givna, t.ex.:
 Negativ återkoppling innebär att styrsignalen ökar när utsignalen minskar och tvärtom.
 Negativ återkoppling erhålls när utsignalens mätvärde subtraheras från ledvärdet.
5. Är dessa definitioner i överensstämmelse med den först givna?
6. Om inte, vad förutsätter de av processen och/eller regulatorns egenskaper?
Medtas till tentamen
Medtas till tentamen
3. Matematisk modellering
3.1 Modelleringsprinciper
3.1.1 Modelltyper
För att kunna göra design och analys av reglersystem behöver man en matematisk modell, som
beskriver systemets dynamiska beteende. Vi kan skilja på två huvudtyper av modeller:
• Differentialekvationer, som beskriver kontinuerliga förlopp.
• Differensekvationer, som beskriver systemegenskaper endast vid diskreta ögonblick.
Ett motiv för användning av tidsdiskreta modeller också för beskrivning av kontinuerliga
system är att det kan underlätta konstruktionen av tidsdiskreta regulatorer, som är den form som
vanligtvis behövs för praktisk implementering av ett reglersystem. Om önskvärt, kan man i alla
fall utgå från en systembeskrivning med differentialekvationer, eftersom sådana kan transformeras till differensekvationer genom s.k. sampling. Differensekvationer kan i allmänhet, men
inte alltid, transformeras till differentialekvationer.
I denna kurs behandlas tidskontinuerliga modeller. Tidsdiskreta modeller behandlas bl.a. i
kurserna ”Processreglering” och ”Modellering och reglering av stokastiska system”.
3.1.2 Modellkonstruktion
Det finns två grundprinciper för konstruktion av matematiska modeller: fysikaliskt modellbygge
och systemidentifiering.
Fysikaliskt modellbygge innebär att man återför systemets egenskaper på delsystem, vilkas
egenskaper är kända. För tekniska system betyder detta vanligtvis att man använder de naturlagar som beskriver delsystemen. För icke-tekniska system (ekonomiska, sociologiska, biologiska, o.dyl.) har man i regel inga säkra naturlagar ens för enkla delsystem. Man måste då i stället
använda hypoteser eller allmänt vedertagna samband.
Systemidentifiering, eller kortare, identifiering, innebär att man använder observationer
(mätningar) från systemet för att anpassa en modell till systemets beteende. Vanligtvis gör man
speciella experiment för att erhålla lämpliga data för identifieringen. Identifiering används ofta
som komplement till fysikaliskt modellbygge, t.ex. för att bestämma någon osäker parameter.
Några enkla identifieringsmetoder tas upp vid behandlingen av dynamiska system i kapitel 5.
Det är viktigt att observera att alla modeller har ett begränsat giltighetsområde. Detta gäller
till och med de s.k. naturlagarna. Newtons rörelselagar gäller t.ex. inte för hastigheter nära
ljusets. Speciellt för modeller bestämda genom identifiering är det viktigt att inte (utan vägande
skäl) använda dem i ett område som identifieringsexperimenten inte ger någon information om.
3.1.3 Fysikaliskt modellbygge
I fortsättningen av detta kapitel skall vi behandla modellering utgående från fysikaliska samband.
Eftersom verkliga system tenderar vara rätt komplexa, kan eller vill man i allmänhet inte beakta
alla detaljer. Man försöker dock tillgodose följande något motstridiga krav:
• Modellen skall vara tillräckligt noggrann för sitt ändamål, vilket betyder att avvikelsen från
systemets verkliga beteende inte får vara för stor.
• Modellen skall vara tillräckligt enkel att använda, t.ex. för systemanalys och konstruktion av
reglersystem.
3-1
Medtas till tentamen
3. Matematisk modellering
3.1 Modelleringsprinciper
Vid fysikaliskt modellbygge används två typer av matematiska samband: balansekvationer
och konstitutiva relationer.
Balansekvationer
Balansekvationer relaterar additiva storheter av samma slag i ett avgränsat system. Man kan
säga att det finns två generella typer av balansekvationer: flödesbalanser och intensitetsbalanser.
Allmänt har en flödesbalans för en storhet formen
upplagring per tidsenhet = inflöde – utflöde + generering per tidsenhet
där upplagring och generering sker inne i systemet medan inflödet och utflödet anger det som
passerar systemgränsen. När storheten i fråga inte deltar i kemiska eller atomära reaktioner
saknas genereringsterm. Exempel på flödesbalanser (här utan genereringsterm) är
• Massbalans: upplagrad massa per tidsenhet = massflöde in – massflöde ut
• Partikelbalans: upplagrat antal partiklar per tidsenhet = partikelflöde in – partikelflöde ut
• Energibalans: upplagrad energi per tidsenhet = energiflöde in – energiflöde ut
• Strömbalans (Kirchoffs 1:a lag): ström ut från knutpunkt = ström in till knutpunkt
En partikelbalans är ofta en s.k. ämnesmängdbalans där storheten är antalet molekyler eller
atomer. Härvid är den använda mängdenheten ofta mol, som ju uttrycker ett visst antal.
Som av exemplen framgår uttrycker flödesbalanserna fysikaliska konserveringslagar där storheten (under normala betingelser) är ”oförstörbar”. Därför bör man undvika ”volymbalanser”,
eftersom volym inte är en oförstörbar storhet och därmed inte additiv. Endast om densiteten för
det strömmande mediet är konstant, som t.ex. en inkompressibel vätska vid konstant temperatur,
kan man tänka sig att använda volymbalanser.
En intensitetsbalans har allmänt formen
ändring per tidsenhet = drivande storhet – belastande storhet
där ändringen per tidsenhet avser en systemegenskap, som genom systemets växelverkan med
omgivningen påverkas av drivande och belastande storheter. Allmänt kan man säga att det är
frågan om tillämpningar på Newtons rörelselagar samt Kirchoffs 2:a lag. Exempel på intensitetsbalanser är
• Kraftbalans: ändring av rörelsemängd per tidsenhet = drivande kraft – belastande kraft
• Momentbalans: ändr. av rörelsemängdmoment per tidsenhet = drivande – belastande moment
• Spänningsbalans (Kirchoffs 2:a lag): summan av spänningarna runt en krets = noll
Konstitutiva relationer
Konstitutiva relationer relaterar storheter av olika slag. Dessa uttryck har ofta karaktären av
”materialsamband”, som beskriver egenskapen hos en viss komponent eller ett visst delsystem.
Dessa samband är statiska i motsats till balansekvationerna, som normalt uttrycker dynamiska
samband. Exempel på konstitutiva relationer är
• Ohms lag: sambandet mellan spänning över och strömstyrka genom ett motstånd
• Ventilkarakteristika: sambandet mellan tryckfall över och flöde genom en ventil
• Bernoullis lag: sambandet mellan vätskenivån i en tank och vätskans utströmningshastighet
• Allmänna gaslagen: sambandet mellan temperatur och tryck i en gastank
3-2
Medtas till tentamen
3. Matematisk modellering
3.1 Modelleringsprinciper
Arbetsgången vid fysikaliskt modellbygge
Följande arbetsgång vid fysikaliskt modellbygge rekommenderas:
1. Ställ upp aktuella balansekvationer.
2. Använd konstitutiva relationer för att relatera variabler till varandra samt för att introducera
lämpliga nya variabler i modellen.
3. Gör dimensionsanalys, dvs kontrollera åtminstone att alla additiva termer i en ekvation har
precis samma enhet!
3.2 Modeller för tekniska system
I detta avsnitt härleds modeller för några typiska processer inom ett antal olika tekniska tillämpningsområden. Formlerna täcker de viktigaste samband man har anledning att använda i fysikaliskt modellbygge.
3.2.1 Elektriska system
Vi skall börja med att rekapitulera grundkomponenterna i elektriska system.
+
+
+
i(t)
u(t)
i(t)
u(t)
R
-
u(t)
C
motstånd
i(t)
L
kondensator
spole
Figur 3.1. Grundkomponenter i ett elektriskt nät.
I figur 3.1 och i nedanstående ekvationer betecknar u spänning och i strömstyrka. Det elektriska motståndet karakteriseras av ett linjärt statiskt samband mellan ström och spänning,
nämligen Ohms lag:
u (t ) = R ⋅ i (t )
(3.1)
För en kondensator med kapacitansen C gäller
t
u (t ) = u (0) +
1
i (τ ) dτ
C ∫0
(3.2)
För en spole med induktansen L gäller
u (t ) = L ⋅
di
dt
(3.3)
3-3
Medtas till tentamen
3. Matematisk modellering
3.2 Modeller för tekniska system
4 Exempel 3.1. Ett passivt analogt lågpassfilter.
R
C
u in (t )
u ut (t )
Figur 3.2. Ett passivt lågpassfilter.
Figur 3.2 visar ett passivt analogt lågpassfilter. Vi skall härleda hur spänningen u ut (t ) på
utgångssidan varierar som funktion av spänningen uin (t ) på ingångssidan under antagande att
kretsen är obelastad på utgången.
Vi betecknar spänningen över motståndet med u R (t ) , spänningen över kondensatorn med
u C (t ) , strömmen genom motståndet med i R (t ) och strömmen genom kondensatorn med iC (t ) .
Om vi räknar alla spänningar (spänningsfall) som positiva, ger Kirchoffs andra lag för ett varv
runt vänstra respektive högra slingan
u in (t ) = u R (t ) + u C (t )
(1)
u ut (t ) = u C (t )
(2)
Då utgången är obelastad ”läcker” ingen ström ut och vi har
i R (t ) = iC (t )
(3)
Kombinering av (1) och (2) och insättning av (3.1) ger
u ut (t ) = u in (t ) − R ⋅ i R (t )
(4)
Vidare ger kombinering av (2) och (3.2)
t
u ut (t ) = u C (t ) = uC (0) +
1
iC (τ )dτ
C ∫0
(5)
Derivering av båda leden i (5) m.a.p. tiden ger
du ut 1
1
= iC (t ) = i R (t )
C
C
dt
(6)
där sista likheten fås från (3). Kombinering av (4) och (6) ger slutligen
RC ⋅
du ut
+ u ut (t ) = u in (t )
dt
(7)
Detta är en differentialekvation av första ordningen. Kretsen är ett lågpassfilter, som filtrerar
bort höga frekvenser i u in (t ) . I praktiken har man också en förstärkare på utgångssidan, som
gör att man kan belasta kretsen utan att (3) slutar gälla.
3
3-4
Medtas till tentamen
3. Matematisk modellering
3.2 Modeller för tekniska system
4 Exempel 3.2. Enkel RLC-krets.
L
R
i
C
Figur 3.3. Enkel RLC-krets driven av en strömkälla.
Vi skall härleda hur spänningen över kondensatorn, u C (t ) , beror av strömmen i (t ) från
strömkällan i kretsen som visas i figur 3.3. Analogt med exempel 3.1 betecknar vi spänningen
över och strömmen genom elementen R, L och C med u R (t ) , i R (t ) , u L (t ) , i L (t ) , uC (t ) och
iC (t ) .
Kirchoffs lagar ger ekvationerna
u C (t ) = u R (t ) + u L (t )
(1)
i (t ) = i R (t ) + iC (t )
(2)
i R (t ) = i L (t )
(3)
Insättning av (3.1) och (3.3) i (1) ger
di L
dt
varefter eliminering av i R (t ) och i L (t ) med (2) och (3) ger
u C (t ) = R ⋅ i R (t ) + L ⋅
u C (t ) = R ⋅ (i (t ) − iC (t ) ) + L ⋅
(4)
d (i (t ) − iC (t ) )
dt
(5)
Enligt ekvation (6) i exempel 3.1 gäller
iC (t ) = C ⋅
du C
dt
(6)
vilket insatt i (5) ger
⎛
du
d⎜⎜ i (t ) − C ⋅ C
dt
⎛
du ⎞
u C (t ) = R ⋅ ⎜⎜ i (t ) − C ⋅ C ⎟⎟ + L ⋅ ⎝
dt ⎠
dt
⎝
⎞
⎟⎟
⎠
eller efter hyfsning
LC ⋅
d 2uC
dt
2
+ RC ⋅
du C
di
+ uC (t ) = R ⋅ i (t ) + L ⋅
dt
dt
(7)
där i(t) är insignal och u C (t ) är utsignal.
Detta är en differentialekvation av andra ordningen.
3
3-5
Medtas till tentamen
3. Matematisk modellering
3.2 Modeller för tekniska system
3.2.2 Mekaniska system
Modelleringen av mekaniska system baserar sig i huvudsak på Newtons andra lag
F = ma
(3.4)
där F är den kraft som påverkar massan m och a är massans acceleration.
4 Exempel 3.3. Odämpad pendel.
Figur 3.4 visar en svängande pendel. Vi skall härleda sambandet mellan pendelns nedre position
y och dess upphängningsposition u , båda räknade horisontellt från det vertikala planet till
vänster i figuren. Pendeln kan röra sig endast i
–F
ett vertikalt plan vinkelrätt mot det vertikala
planet till vänster (dvs endast i den 2-dimenu
sionella figurens plan).
Vi betecknar pendelns massa med m , pendelns längd med l , pendelns nedre vertikala
position med h , kraften som påverkar pendeln
i upphängningspunkten med F samt vinkeln
mellan pendeln och en vertikal linje med θ .
Vi tänker oss ett koordinatsystem placerat med
origo i upphängningspunkten så att horisontalaxelns värde växer mot höger och vertikalaxelns nedåt. Värdet för alla variabler (eller
variabelkomponenter) växer i nämnda riktningar.
θ
l
h
m
y
Figur 3.4. En svängande odämpad pendel.
Då pendeln påverkas av upphängingskraften − F (som verkar uppåt, dvs i negativ riktning
enligt det pålagda koordinatsystemet) och gravitationskraften mg (som verkar nedåt, dvs i
positiv riktning i koordinatsystemet), ger Newtons andra lag (3.4) ekvationerna
my = − F sin θ
(1)
mh = − F cos θ + mg
(2)
där ekvation (1) anger den horisontella kraftkomponenten och (2) den vertikala. Här betecknar
y och h andra tidsderivatan av y resp. h , dvs accelerationen i respektive riktningar.
Antag att pendelns svängning är måttlig så att vinkeln θ alltid är liten. Då rör sig pendeln
knappast alls i vertikal riktning och vi kan anta att h ≈ 0 . Ekvation (2) förenklas då och ger
genom kombinering med (1), så att F elimineras,
y + g tan θ = 0
(3)
Vinkeln θ ges av det trigonometriska sambandet
tan θ =
y −u y −u
≈
h
l
(4)
där sista ledet följer av att h ≈ l när θ är liten. Kombinering av (3) och (4) ger modellen
y + ( g / l ) y = ( g / l )u
Märk väl att approximationerna h ≈ 0 och ” θ liten” begränsar modellens giltighet.
3-6
(5)
3
Medtas till tentamen
3. Matematisk modellering
3.2 Modeller för tekniska system
4 Exempel 3.4. Fjädringssystemet för en bil.
a)
b)
m1
y1 (t )
k
b
k1
b1
y(t)
m
m2
u(t)
y 2 (t )
k2
u(t)
Figur 3.5. a) Fjäderupphängd massa med dämpning; b) bilstötdämpare.
a) Vi skall bestämma hur positionsavvikelsen från ett jämviktsläge, y (t ) , beror av kraften u (t )
för den fjäderupphängda massan m i figur 3.5a. I jämviktsläge gäller m.a.o. y = u = 0 (frånsett enheterna).
Om den positiva vertikala riktningen räknas nedåt, ger Newtons andra lag (3.4) för fjädern,
dämpningen och kraften u (t ) ,
my = −ky − by + u (t )
dvs
my + by + ky = u (t )
(1)
där b och k är konstanter. Gravitationskraften mg ingår inte eftersom den även påverkar jämviktsläget och därför elimineras när positionens avvikelse från jämviktsläget modelleras.
b) Vi skall bestämma hur positionsavvikelserna y1 (t ) och y 2 (t ) i en bilstötdämpare, illustrerad
av figur 3.5b, beror av u (t ) , som betecknar vertikala ojämnheter i underlaget. I jämviktsläget
är y1 = y 2 = u = 0 . Massan m1 är bilens huvudmassa, m2 är massan hos hjul och axel, b1
och k1 beskriver bilstötdämparens dynamik och k 2 beskriver däckets elasticitet.
Då den positiva riktningen räknas uppåt, ger Newtons andra lag (3.4)
m1 y1 = k1 ( y 2 − y1 ) + b1 ( y 2 − y1 )
(2)
m2 y 2 = k1 ( y1 − y 2 ) + b1 ( y1 − y 2 ) + k 2 (u − y 2 )
(3)
Detta är två kopplade andra ordningens differentialekvationer, som beskriver den vertikala
rörelsen hos bilkarossen och bilens hjul som funktion av vertikala ojämnheter i underlaget.
3
3-7
Medtas till tentamen
3. Matematisk modellering
3.2 Modeller för tekniska system
3.2.3 Processtekniska system
Gemensamt för exemplen i detta avsnitt är att de baserar sig på flödesbalanser (mass- och energibalanser) och konstitutiva relationer.
4 Exempel 3.5. Vätskebehållare med fritt utflöde.
u
h
A
q
a{
Figur 3.6. Vätskebehållare med fritt utflöde.
Betrakta vätskebehållaren i figur 3.6. En volymström u tillförs (kontinuerligt) behållaren och
en volymström q strömmar fritt ut genom ”självtryck”, förorsakat av vätskehöjden h i behållaren. Behållaren har en konstant tvärarea A och utloppsröret har ”effektiva” tvärarean a .
Vi skall härleda en modell, som beskriver hur vätskenivån h beror av inflödet u . Vi börjar
med att ställa upp en massbalans, som säger att massökningen per tidsenhet i behållaren är lika
med massflödet in minus massflödet ut. Om vätskans densitet, som antas vara konstant, betecknas ρ , fås då massbalansen
d
( ρ Ah) = ρ u − ρ q
(1)
dt
Eftersom densiteten och tvärarean är konstanta, kan detta förenklas till
A
dh
=u−q
dt
(2)
Enligt Bernoullis lag gäller för utströmningen av vätska från behållaren den konstitutiva
relationen
v = 2 gh
(3)
där v är utströmningshastigheten och g är tyngdkraftsaccelerationen. På grund av kontraktion
(”vena contracta”) i början av utströmningsröret, fås volymströmmen q enligt
q = av = a 2 gh
(4)
där a är utströmningsrörets effektiva tvärarea, som är något mindre än den verkliga tvärarean.
Kombinering av (2) och (4) ger slutligen
a 2g
dh
=−
dt
A
h+
1
u
A
dvs en olinjär differentialekvation som beskriver hur nivån h beror av inflödet u .
3-8
(5)
3
Medtas till tentamen
3. Matematisk modellering
3.2 Modeller för tekniska system
4 Exempel 3.6. Blandningstank.
Flöde 1
Flöde 2
F1 , c1
F2 , c 2
c
h
Flöde 3
F3 , c3
Figur 3.7. Blandningstank.
Figur 3.7 illustrerar en blandningstank. Två volymströmmar F1 och F2 , med koncentrationerna (massa/volym) c1 resp. c 2 av någon i vätskan ingående komponent X (t.ex. en kemisk
komponent), blandas kontinuerligt i behållaren och en volymström F3 , med koncentrationen c3 ,
tas ut. Vätskemängden i behållaren, som antas ha en konstant tvärarea A , når höjden h . Koncentrationen i behållaren av komponent X är c . Omrörningen i behållaren antas vara perfekt.
Vi skall härleda en modell som beskriver hur nivån h och koncentrationen c (och c3 ) beror
av övriga variabler. Vi börjar med att ställa upp en massbalans för vätskan inklusive alla ingående komponenter, dvs en total massbalans. Det är rimligt att anta att vätskans densitet i de
olika strömmarna är konstant och lika om vätskans temperatur är konstant och koncentrationen
av komponenter är måttlig. Då fås analogt med härledningen av ekvation (2) i exempel 3.5
dh
= F1 + F2 − F3
(1)
dt
Eftersom vi inte vet vad som bestämmer storleken på utströmmen F3 , kan vi inte eliminera den.
A
Vi kan också ställa upp en massbalans för varje ingående komponent i inströmmarna, en s.k.
partiell massbalans. En partiell massbalans för komponent X ger
d
(2)
( Ahc) = F1c1 + F2 c 2 − F3 c3
dt
Om omrörningen i behållaren är perfekt har vi fullständig omblandning, vilket betyder att
koncentrationen överallt i behållaren är lika. Detta betyder också att koncentrationen i utströmmen måste vara lika den i behållaren, dvs vi får den konstitutiva relationen
c3 = c
(3)
Utveckling av derivatan i (2) enligt produktregeln samt beaktande av (3) ger
dh
dc
+ Ah
= F1c1 + F2 c 2 − F3 c3
dt
dt
varefter kombinering med (1) ger
dc
Ah
= F1 (c1 − c) + F2 (c 2 − c)
dt
Ac
Detta är en linjär differentialekvation med (i allmänhet) icke-konstanta parametrar.
(4)
(5)
3
3-9
Medtas till tentamen
3. Matematisk modellering
3.2 Modeller för tekniska system
4 Exempel 3.7. Varmvattenberedare.
Flöde 1
m1 , F1 , T1
Q
M
T
h
Flöde 2
m2 , F2 , T2
Figur 3.8. Varmvattenberedare.
Figur 3.8 illustrerar en varmvattenberedare. Inströmmen vatten är ett massflöde m1 med
temperaturen T1 och utströmmen ett massflöde m2 med temperaturen T2 . Vattnet, med massan
M , uppvärms i varmvattenberedaren till en temperatur T genom tillförsel av en effekt Q .
Omrörningen i varmvattenberedaren antas vara perfekt.
Vi skall ställa upp en modell som beskriver hur vattenmängden och temperaturen i varmvattenberedaren beror av övriga variabler. Som vanligt börjar vi med att ställa upp en
massbalans för systemet, som här blir
dM
= m1 − m2
(1)
dt
En energibalans för varmvattenberedaren kan formellt skrivas
dE
= E1 − E 2 + Q
dt
(2)
där E1 och E 2 är energiströmmarna som följer med inströmmen respektive utströmmen.
Energin i en substans är givetvis proportionell mot dess massa eller massflöde och för vätskor
gäller med god noggrannhet att den även är proportionell mot temperaturen. Detta ger de konstitutiva relationerna
E = c pTM , E1 = c pT1m1 , E 2 = c pT2 m2
(3)
där c p är den specifika värmekapaciteten för (i detta fall) vatten. Denna storhet anger hur
mycket energi som måste tillföras för att värma upp 1 kg av substansen med 1 °C. Kombinering
av (2) och (3) samt utveckling av den erhållna derivatan enligt kedjeregeln ger, under antagande
av att cp är konstant,
T
dM
dT
Q
+M
= T1m1 − T2 m2 +
dt
dt
cp
(4)
Antagandet om perfekt omrörning innebär att även den konstitutiva relationen T2 = T gäller.
Eliminering av d M / dt med (1) ger då
M
3-10
dT
Q
= m1 (T1 − T ) +
dt
cp
(5)
Medtas till tentamen
3. Matematisk modellering
3.2 Modeller för tekniska system
Ekvation (1) och (5) anger hur massan och temperaturen i varmvattenberedaren beror av
inströmmen och uppvärmningseffekten Q .
Om man i stället för massenheter önskar använda volymenheter blir motsvarigheten till (5)
dT
Q
ρAh
= ρ1 F1 (T1 − T ) +
(6)
dt
cp
där F1 betecknar inströmmens volymström, h betecknar vätskenivån i beredaren under antagande av konstant tvärarea A och ρ betecknat densiteten. Observera att ekvation (6) inte förutsätter
att densiteten är konstant. En varierande densitet förefaller dock göra (1) mer komplicerad
uttryckt i volymenheter. Man kan emellertid visa att även om densitetens beroende av temperaturen inte är försumbar, är effekterna i (1) sådana att de tenderar ta ut varandra. En helt adekvat
form för (1) uttryckt i volymenheter är därför
A
dh
= F1 − F2
dt
(7)
3
4 Exempel 3.8. Gas i sluten tank.
n1 , p1
u
n2 , p 2
V , n , p ,T
ventil 1
ventil 2
Figur 3.9. Gas i sluten tank.
Figur 3.9 illustrerar en sluten gastank med volymen V , ämnesmängden (molmängden) n ,
trycket p och temperaturen T . Inströmmen till tanken har molflödet n1 och trycket p1 medan
utströmmen har molflödet n2 och trycket p 2 . Ventil 2 kan användas för reglering genom justering av ventilläget u .
En ämnesmängdbalans för tanken ger
dn
= n1 − n2
(1)
dt
Molflödet genom en ventil i konstant läge är proportionellt mot kvadratroten av tryckdifferensen
över ventilen. Dessutom kan man anta att proportionalitetsfaktorn är proportionell mot kvadraten
på ventilläget. Molströmmarna ges då av de konstitutiva relationerna
n1 = k1 p1 − p , n2 = k 2 u 2 p − p 2
Vidare kan man anta att idealgaslagen
(2)
pV = nRT
(3)
gäller. Här är R den allmänna gaskonstanten och T är temperaturen uttryckt i Kelvin. Om
temperaturen T är konstant, ger insättning av (2) och (3) i (1)
(
)
d p RT d n RT
=
=
k1 p1 − p − k 2 u 2 p − p 2
(4)
V dt
V
dt
som, även om den är av första ordningen, är en relativt komplicerad olinjär differentialekvation.
3
3-11
Medtas till tentamen
3. Matematisk modellering
3.3 Linjärisering
3.3 Linjärisering
Ovan har vi i ett antal exempel härlett differentialekvationer som beskriver beteendet hos typiska
tekniska (del)system. De erhållna differentialekvationerna är i flera fall olinjära och även då de
är linjära, har de i allmänhet icke-konstanta koefficienter, eftersom dessa vanligtvis är beroende
av någon fysikalisk storhet. Därmed är det svårt, kanske omöjligt, att finna generella lösningar
till differentialekvationerna. Man är då tvungen att studera specialfall och/eller göra förenklande
antaganden.
Vanliga förenklingar är att anta att vissa storheter är konstanta, trots att de i verkligheten
kanske varierar något, och att insignaler som förändras gör det på något idealt — men rimligt —
sätt, som gör att man kan lösa modellekvationerna. I praktiken är det dessutom ofta tillräckligt
att känna till systemets beteende inom något begränsat operationsområde, dvs i närheten av en
given arbetspunkt. Den förenkling man då ofta kan göra är att linjärisera modellekvationerna
kring denna arbetspunkt.
Det är i själva verket så, att de effektiva analys-, syntes- och designmetoder som utnyttjas
både i den klassiska och den moderna reglertekniken i allmänhet förutsätter att systemmodellen
är linjär. Denna begränsning anses vara acceptabel när reglersystemets uppgift är att hålla
systemet vid eller i närheten av en önskad arbetspunkt. Om systemet är så olinjärt, eller dess
operationsområde så stort, att dess beteende inte kan beskrivas med en linjär modell, kan man
ofta utnyttja flera linjära modeller som linjäriserats kring olika arbetspunkter.
Av ovan nämnda orsaker efterföljs ett fysikaliskt modellbygge vanligtvis av en linjärisering
av den härledda modellen, bestående av en eller flera olinjära differentialekvationer. Vi skall här
begränsa oss till system som kan beskrivas med ordinära differentialekvationer; partiella
differentialekvationer behandlas således inte.
Betrakta en n:te ordningens ordinär differentialekvation skriven på formen
f ( y ( n ) , …, y, y, u ) = 0
(3.5)
Här har för enkelhets skull inte inkluderats eventuella derivator av insignalen u , men dylika kan
behandlas helt analogt med derivatorna av utsignalen y . Vanligtvis ingår derivatorna linjärt i
funktionen f , men vår härledning förutsätter inte detta. Funktionen kan linjäriseras genom en
Taylorserieutveckling av första ordningen kring en arbetspunkt ( y ( n ) ,… , y , y , u ) , som satisfierar
ekvation (3.5). Ofta är arbetspunkten ett stationärtillstånd där derivatorna är noll, men det
behöver inte alltid vara så. T.ex. för en kropp i rörelse, är positionsderivatan olika noll även om
kroppens hastighet är konstant.
Linjärisering av (3.5) genom Taylorserieutveckling ger
⎛ ∂f
f ( y ( n) ,…, y, y, u ) ≅ f ( y ( n ) ,… , y , y , u ) + ⎜ ( n )
⎜ ∂y
⎝
(
)
⎞
⎟ y ( n) − y ( n) +
⎟
⎠f
⎛ ∂f ⎞
⎛ ∂f ⎞
⎛ ∂f ⎞
+ ⎜⎜ ⎟⎟ ( y − y ) + ⎜⎜ ⎟⎟ ( y − y ) + ⎜ ⎟ (u − u )
⎝ ∂u ⎠ f
⎝ ∂y ⎠ f
⎝ ∂y ⎠ f
(3.6)
där f anger att partialderivatorna bestäms vid arbetspunkten ( y ( n ) , … , y , y , u ) . Märk att vi
behandlar derivatorna i (3.5) som separata variabler vid partialderiveringen. Vi introducerar nu
variablerna
Δy ( n) ≡ y ( n ) − y ( n ) ,
, Δy ≡ y − y , Δy ≡ y − y , Δu ≡ u − u
(3.7)
3-12
Medtas till tentamen
3. Matematisk modellering
3.3 Linjärisering
som anger storheternas avvikelser från deras värden i arbetspunkten. Vi kan kalla dylika
variabler för avvikelsevariabler, eller helt enkelt Δ -variabler. Kombinering av (3.5), (3.6) och
(3.7) samt beaktande av att arbetspunkten satisfierar (3.5) ger
⎛ ∂f
⎜
⎜ ∂y ( n )
⎝
⎞
⎟ Δy ( n ) +
⎟
⎠f
⎛ ∂f ⎞
⎛ ∂f ⎞
⎛ ∂f ⎞
+ ⎜⎜ ⎟⎟ Δy + ⎜⎜ ⎟⎟ Δy + ⎜ ⎟ Δu = 0
⎝ ∂u ⎠ f
⎝ ∂y ⎠ f
⎝ ∂y ⎠ f
(3.8)
där vi för enkelhets skull använder likhet i stället för approximativ likhet. Detta är en linjär n:te
ordningens ordinär differentialekvation med konstanta koefficienter. Om derivator av insignalen
u finns i den ursprungliga olinjära ekvationen, kommer dessa att ingå i (3.8) på motsvarande sätt
som derivatorna av utsignalen y .
Anmärkning. Om arbetspunkten inte är ett stationärtillstånd så att t.ex. y ≠ 0 , är förstås
y inte en konstant utan en funktion av tiden. Därmed ger derivering av Δy i definitionen
Δy ≡ y − y inte Δy ≡ y utan Δy = y − y ≡ y i enlighet med definitionen av Δy i ekvation (3.7).
Som nämndes, ingår derivatorna ofta linjärt i ekvation (3.5). Det är då inte nödvändigt att
utgå ifrån det implicita uttrycket (3.5). En första ordningens ordinär differentialekvation kan
t.ex. skrivas
y = g ( y, u )
(3.9)
Formellt kan vi linjärisera vänstra ledet och högra ledet skilt för sig. När vi då beaktar att arbetspunkten skall satisfiera (3.9), får vi
⎛ ∂g ⎞
⎛ ∂g ⎞
(3.10)
Δy = ⎜⎜ ⎟⎟ Δy + ⎜ ⎟ Δu
⎝ ∂u ⎠ g
⎝ ∂y ⎠ g
När man härleder en matematisk modell kan det tänkas att man inledningsvis delvis använder
andra storheter än de man slutligen vill ha i modellen. I exempel 3.7, till exempel, använde vi
först storheter definierade på massbasis eftersom detta förenklade härledningen. Senare kunde vi
övergå till storheter definierade på volymbasis.
Antag med anledning av detta att vi har ett statiskt samband, dvs en konstitutiv relation, som
relaterar en storhet z till y enligt sambandet
z = h( y )
(3.11)
⎛ dh ⎞
Δz = ⎜⎜ ⎟⎟ Δy
⎝ d y ⎠h
(3.12)
Linjärisering av detta samband ger
En linjär dynamikmodell med Δz som beroende variabel kan då erhållas genom kombinering av
(3.10) och (3.12), vilket ger
⎛ dh ⎞
⎛ d h ⎞ ⎛ ∂g ⎞
⎛ ∂g ⎞
Δz = ⎜⎜ ⎟⎟ Δy = ⎜⎜ ⎟⎟ Δz + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ Δu
⎝ ∂y ⎠ g
⎝ d y ⎠h
⎝ d y ⎠ h ⎝ ∂u ⎠ g
(3.13)
3-13
Medtas till tentamen
3. Matematisk modellering
3.3 Linjärisering
4 Exempel 3.9. Linjärisering av differentialekvation.
Linjärisera den i exempel 3.5 härledda differentialekvationen
a 2g
dh
=−
dt
A
h+
1
u
A
(1)
kring en arbetspunkt ( h , u ).
Tillämpning av ekvation (3.9) och (3.10) ger
d Δh ∂ ⎛⎜ a 2 g
=
−
dt
∂h ⎜⎝
A
=−
a 2g
A
h+
1 ⎞⎟
u
A ⎟⎠
Δh +
h ,u
∂ ⎛⎜ a 2 g
−
∂u ⎜⎝
A
h+
1 ⎞⎟
u
A ⎟⎠
Δu
h ,u
⎛∂ h ⎞
a 2g
1 ⎛ ∂u ⎞
1
⎜
⎟
Δh + Δu
⎜ ∂h ⎟ Δh + A ⎜⎝ ∂u ⎟⎠ Δu = −
A
2A h
u
⎝
⎠h
eller
d Δh
a g
1
=−
Δh + Δu
dt
A 2h
A
(2)
3
Övning 3.1.
En reglerventil har vid ett givet tryck ventilkarakteristikan
F = C (α x − 1) /(α − 1)
där F är volymströmmen vätska genom ventilen, x är ventilens läge (mellan 0 och 1), C och
α är konstanter. Reglerventilens läge x påverkas av en styrsignal u enligt sambandet
Tx + x = Ku
där T och K är konstanta parametrar. Bestäm en linjär dynamikmodell, som anger hur volymströmmen F beror av styrsignalen u i närheten av en arbetspunkt ( F , u ).
3-14
Medtas till tentamen
4. Laplacetransformmetoder
4.1 Differentialekvationer
Differentialekvationer utgör grunden för en matematisk beskrivning av dynamiska system i
kontinuerlig tid, såsom framgår av exemplen i avsnitt 3.2. En differentialekvation beskriver hur
en viss variabel beror av en eller flera andra variabler. Enligt reglerteknisk terminologi kallar vi
den beroende variabeln för utsignal och de andra, oberoende, variablerna för insignaler.
Eftersom insignalerna är oberoende kan vi för ett system med flera insignaler normalt betrakta
en insignal i taget genom att låta de övriga insignalerna ha konstanta värden. Ett system med
”koncentrerade parametrar” kan då allmänt beskrivas med en ordinär differentialekvation av
formen
 d n y d n1 y
dy
du 
d m u d m1u
g  n , n1 , ,
, y, m , m1 , , , u   0
(4.1)
 dt dt
dt
dt 
dt dt

där u och y är insignal resp. utsignal samt g () en godtycklig analytisk funktion. Storheten n,
dvs ordningen på högsta utsignalderivatan, kallas systemets ordningstal. Normalt är n  m ,
eftersom motsatsen skulle innebära att insignalens deriverande effekt vore dominerande, vilket är
ovanligt i praktiken. Ett system med n  m sägs vara ett propert system; motsatsen är ett ickepropert system.
Om funktionen g () är linjär, kan differentialekvationen (4.1) skrivas på formen
a0
dn y
dt n
 a1
d n1 y
dt n1
   a n1
dy
du
d mu
d m1u
 an y  b0 m  b1 m1    bm1
 bm u
dt
dt
dt
dt
(4.2)
Koefficienterna a 0 , a1 ,  , a n , b0 ,  , bm är systemparametrar som karakteriserar egenskaperna hos det linjära systemet. Dessa parametrar är inte entydiga; de kan omskalas med en
godtycklig faktor olik noll, t.ex. så att en av parametrarna får värdet ett. Eftersom (4.2) är en n:te
ordningens differentialekvation, måste det gälla att a0  0 , vilket betyder att en skalning så att
a0  1 alltid kan göras. Om an  0 , föredrar man ibland en skalning som gör an  1 .
Om man utesluter icke-propra system, kan man vid systematisk behandling av (4.2) välja
m  n , men ändå utesluta icke-förekommande insignalderivator genom att låta motsvarande bkoefficient vara noll. I praktiken gäller ofta att b0  0 , vilket betyder att insignalderivatans
maximala ordning är lägre än utsignalderivatans maximala ordning. Ett sådant system kallas
strikt propert. Om man väljer skalning så att a0  1 , kan differentialekvationen (4.2) skrivas på
standardformen
dn y
dt n
 a1
d n1 y
dt n1
   a n1
dy
du
d n1u
 a n y  b1 n1    bn1
 bn u
dt
dt
dt
(4.3)
Observera hur koefficienternas nedre index är förknippade med derivatornas ordningstal. För
att underlätta en senare systematisk behandling skall vi hålla oss till denna ordningsföljd för
koefficienterna, trots att man intuitivt kanske skulle föredra en annan ordningsföljd (lägre index
för lägre derivator).
4–1
Medtas till tentamen
4. Laplacetransformmetoder
4.1 Differentialekvationer
För linjära system gäller superpositionsprincipen. Om funktionsparen u1 (t ), y1 (t ) och
u2 (t ), y2 (t ) båda är lösningar till ekvation (4.2), så gäller enligt superpositionsprincipen att
även funktionsparet u(t ), y(t ), som fås genom en godtycklig linjär kombination
u(t )  a  u1 (t )  b  u 2 (t ) ,
y(t )  a  y1 (t )  b  y 2 (t )
är en lösning. Att så är fallet, kan lätt visas genom direkt substitution i ekvation (4.2) eller (4.3).
Grundläggande matematik rörande ordinära differentialekvationer gör det möjligt att lösa den
linjära differentialekvationen (4.2) eller (4.3) om systemparametrarna är konstanta och insignalen u (t ) har en någorlunda enkel form. Lösningen, dvs utsignalen y (t ) , erhålles då som summan
av en partikulärlösning och den allmänna lösningen till motsvarande homogena differentialekvation, som fås när högerledet sättes = 0. En homogen differentialekvation motsvarar således
ett system utan insignal. Ett sådant system kallas ett autonomt system.
Att lösa linjära differentialekvationer med denna metod blir dock en ganska besvärlig
procedur av bl.a. följande orsaker:
 Det matematiska arbetet blir besvärligt vid system av högre ordningstal.
 Metoden erbjuder inga bekväma genvägar för att behandla sammansatta system, uppbyggda
av enklare linjära delsystem.
För praktisk hantering av system baserade på linjära differentialekvationer kommer vi i de
följande avsnitten att ta upp kompletterande matematiska verktyg. För det grundläggande linjära
analys- och syntesarbetet kommer metoder baserade på Laplacetransformen att inta en central
roll. Vid modellering och numerisk beräkning är metoder baserade på tillståndsbegreppet en
viktig utgångspunkt. Tillståndsmodeller behandlas närmare i kursen ”Processreglering”.
För att motivera användningen av Laplacetransformmetoder skall vi först med hjälp av
traditionella lösningsmetoder studera ett system beskrivet av en enkel linjär differentialekvation.
 Exempel 4.1. Stegsvaret för en kvicksilvertermometer.
Dynamiken för en kvicksilvertermometer beskrivs av differentialekvationen
T
d2
 2  1
dt
(1)
där  2 är kvicksilvrets temperatur och 1 är omgivningens temperatur.
Antag att termometern finns utomhus och att jämviktsläge råder. Då är 2  1  1 , där 1
betecknar den konstanta utetemperaturen.
Antag nu att termometern förs inomhus, där
+
temperaturen är lika med 1  1 . Hur
förändras kvicksilvrets temperatur i termometern som funktion av tiden?
Det förefaller rimligt att anta att temperaturen förändras exponentiellt från 2  1
till 2  1  1 enligt figur 4.1. Vi kan
kontrollera detta antagande samt bestämma
hur snabbt förändringen av  2 sker genom
att lösa differentialekvationen (1).
4–2

0
t
Figur 4.1. Stegsvar för kvicksilvertermometer.
Medtas till tentamen
4. Laplacetransformmetoder
4.1 Differentialekvationer
Enligt vår hypotes skulle förändringen ha formen
2 (t )  ae bt  c , b  0
(2)
där villkoret b  0 förhindrar att 2   när t   . Kan differentialekvationen ge upphov till
en lösning av denna typ?
Vi kontrollerar genom att derivera ovanstående uttryck, vilket ger
d2
 ab e bt
dt
(3)
 Tab e bt  a e bt  c  1  1  1
(4)
Insättning i differentialekvationen ger
Eftersom högra ledet är en konstant, måste också vänstra ledet vara lika med samma konstant för
alla t . Detta är endast möjligt om
 Tab e bt  a e bt  (1  Tb)a e bt  0
(5)
b  1 / T , c  1  1
(6)
2 (t )  ae t / T  1  1
(7)
dvs om
Insättning i (2) ger då
Ytterligare vet vi att 2 (0)  1 . Detta ger 2 (0)  1  a 1  1 , dvs
a  1
Vi får då att  2 förändras exponentiellt enligt

(8)

2 (t )  1 et / T 1
(9)
där 2 (t )  2 (t )  1 .
Observera att ekvation (9) inte är en allmän modell för termometern utan en lösning som
gäller för en specifik förändring av insignalen.

4.2 Laplacetransformen
Exempel 4.1 var en mycket enkel illustration av en av de problemtyper som effektivt kan lösas
med hjälp av den s.k. Laplacetransformen. Avancerade metoder för analys av modeller uttryckta
med hjälp av Laplacetransformen existerar också.
4.2.1 Definition
De signaler som uppträder i dynamiska system är funktioner av tiden. Betrakta nu en tämligen
godtycklig signal f (t ) med den egenskapen att f (t )  0 för t  0 och integrerbar för t  0 .
Laplacetransformen F (s)   f (t ) för tidsfunktionen f (t ) definieras då av integraluttrycket

F ( s) 
 f (t )   e st f (t ) dt
0
(4.4)

4–3
Medtas till tentamen
4. Laplacetransformmetoder
4.2 Laplacetransformen
där s är en komplex variabel, vars realdel är tillräckligt stor för att integralen skall konvergera.
Att nedre integrationsgränsen anges som gränsvärdet ” 0  ” i stället för ”0” har här ingen praktisk
betydelse. Man säger att F (s) är definierad i Laplaceplanet eller s-planet medan f (t ) är
definierad i tidsplanet. Allmänt rekommenderas att man betecknar tidsfunktioner med ”små”
bokstäver, dvs gemena, och deras Laplacetransformer med motsvarande ”stora” bokstäver, dvs
versaler.
Att arbeta med Laplacetransformen F (s) i stället för med motsvarande tidsfunktion f (t ) ger
avsevärda förenklingar vid behandling av linjära system. Bland annat kommer hanteringen av
differentialekvationer att till stor del reduceras till manipuleringar med algebraiska uttryck.
För att Laplacetransformen skall kunna utnyttjas praktiskt krävs att man också kan beräkna
den tidsfunktion f (t ) som motsvarar Laplacetransformuttrycket F (s) . Denna operation, dvs
övergången från F (s) till f (t ) , kallas inverstransformering. Man kan visa att inverstransformen
f (t ) 
1
F (s) ges av uttrycket
f (t ) 
-1
F (s) 
  j
1
e st F ( s) d s

2 j   j
(4.5)
där j   1 är den imaginära enheten och  är ett reellt tal, som bör vara så stort att F (s)
saknar singulariteter (dvs är begränsad) för alla s med större realdel än  .
Lyckligtvis klarar man sig utan ekvation (4.5) vid praktisk räkning med Laplacetransformen
och det är också ytterst sällan man har behov att använda definitionen (4.4). I stället utnyttjar
man formelsamlingar, t.ex. Tore Gustafssons Ingenjörsmatematisk formelsamling (5:e upplagan,
2004) där vanligen förekommande tidsfunktioner och deras Laplacetransformer finns tabellerade. Laplacetransformerna på s. 4–6 och 4–7 är hämtade ur denna formelsamling (4:e
upplagan). Med hjälp av en sådan tabell kan man transformera båda vägarna. Funktioner, som
inte finns tabellerade, kan så gott som alltid erhållas som någon kombination av tabellerade
funktioner. Eftersom Laplacetransformuttrycken är algebraiska uttryck, medför dylika kombinationer och motsvarande uppdelningar inga större beräkningsmässiga problem.
4.2.2 Beräkning av Laplacetransformen för några enkla funktioner
Trots att tidsfunktioner och motsvarande Laplacetransformer finns tabellerade, skall vi illustrera
användningen av definitionsuttrycket (4.4) genom att härleda Laplacetransformen för några
enkla men praktiskt viktiga tidsfunktioner. Observera att oberoende av hur funktionen f (t ) ser
ut för t  0 så antas f (t )  0 för t  0 .
Pulsfunktionen
En ideal puls som startar vid t  0 karakteriseras av en konstant amplitud a och en varaktighet
(pulslängd) T , se figur 4.2. Med hjälp av Laplacetransformens definition (4.4) fås
f(t)
a
T
t
Figur 4.2. Pulsfunktion.
4–4
1  e sT
 1 st 
 st
e
a
d
t

a

e

a

 s
 
s

0
0
T
F ( s) 
T
(4.6)
Medtas till tentamen
4. Laplacetransformmetoder
4.2 Laplacetransformen
Enhetsimpulsen (t) — Diracs deltafunktion
Vi kan definiera en impuls som en puls vars varaktighet T går mot noll och vars amplitud a går
mot oändligheten på ett sådant sätt, att pulsarean aT har ett ändligt värde olika noll. För
enhetsimpulsen  (t ) gäller att aT  1 (uttryckt i någon lämplig enhet). Laplacetransformen för
en enhetsimpuls vid t  0 kan erhållas genom Taylorserieutveckling och gränsvärdesberäkning
med a  1 / T i ekvation (4.6). Vi får
F ( s) 
sT  12 ( sT ) 2  
1  e  sT
 (t )  lim
 lim
1
T 0
T 0
sT
sT
(4.7)
Trots att impulsfunktionen har en till synes verklighetsfrämmande definition har räknandet
med impulser praktisk innebörd på många områden, såsom elektriska, mekaniska och processtekniska områden. För linjära dynamiska system kan normalt alla ”kortvariga” (i förhållande till
systemets dynamik) insignaler behandlas som impulser karakteriserade enbart av pulsarean
oberoende av pulsens exakta form. Typiska exempel är spännings- och strömpulser i elektriska
system, stötkrafter i mekaniska system och injicering av spårämnen i medicinska och
processtekniska tillämpningar.
Enhetssteget (t)
En stegfunktion kan betraktas som en puls med oändlig varaktighet T . Laplacetransformen för
enhetssteget  (t ) , som har a  1 , fås då från (4.6) genom en gränsvärdesbetraktelse, som ger
F ( s) 
 (t ) 
1  e  sT 1

T 
s
s
(4.8)
lim
Enhetsrampen (t)
En ramp är en funktion vars värde förändras linjärt med tiden. Enhetsrampen  (t ) är en ramp
med lutningskoefficienten 1, dvs  (t )  t , t  0 . Med hjälp av partiell integration kan uttrycket
för enhetsrampens Laplacetransform beräknas enligt

F ( s) 
 (t )   t e
0
 st

  e st
dt  t   

s
 



 st
  1    e
  s

 0 0 


 st 
d t  0  1   e   1

s  s   s 2

0
(4.9)
Ett samband mellan de enkla enhetsfunktionerna
Figur 4.3 illustrerar utseendet hos enhetsimpulsen, enhetssteget och enhetsrampen. Notera att
impulsen kan betraktas som derivatan av steget och att steget är derivatan av rampen. Omvänt
gäller att steget är integralen av impulsen och rampen är integralen av steget. Notera även de tre
funktionernas Laplacetransformer, dvs 1 , 1 / s resp. 1 / s 2 .
 (t )
 (t )
t
 (t )
t
t
Figur 4.3. Enhetsimpulsen  (t ) , enhetssteget  (t ) och enhetsrampen  (t ) .
4–5
Medtas till tentamen
4. Laplacetransformmetoder
4–6
4.2 Laplacetransformen
Medtas till tentamen
4. Laplacetransformmetoder
4.2 Laplacetransformen
4–7
Medtas till tentamen
4. Laplacetransformmetoder
4.2 Laplacetransformen
Exponentiellt avklingande funktion
En exponentiellt avklingande funktion definieras f (t )  e at , t  0 . Dess Laplacetransform är
F ( s) 

e   e
at
 st at
e
0


1 ( s  a ) t 
1

d t   e ( s  a ) t d t   
e


 sa
 0 s  a
0
(4.10)
Sinus- och cosinusfunktioner
För härledning av Laplacetransformer för sinus- och cosinusfunktioner behövs superpositionssatsen (4.13), som ges i nästa avsnitt. Därutöver kan vi utnyttja (4.10) genom att låta parametern
a vara imaginär. Vi utnyttjar Eulers identitet för sin bt , som ger
sin bt 
e jbt  e jbt
2j
där j  1 betecknar den imaginära enheten. Tillämpning av ekvation (4.10) ger
F ( s) 
sin bt 
1
2j
e jbt   2j1 e jbt   2j1  s 1 jb  s 1 jb   s2 b b2
(4.11)
För cosbt gäller enligt Eulers identitet
cos bt 
e jbt  e jbt
2
och analogt med härledningen av (4.11) fås
F ( s) 
cos bt 
e jbt   12 e jbt   12  s 1 jb  s 1 jb   s2 s b2
1
2
(4.12)
4.2.3 Räkneregler för Laplacetransformer
Arbetet med transformer för mer komplicerade tidsfunktioner underlättas givetvis om man
känner till de allmänna räkneregler som gäller för Laplacetransformer och motsvarande tidsfunktioner. Vi skall här behandla de viktigaste räknereglerna.
Superpositionssatsen
Om F1 ( s) och F2 ( s) är Laplacetransformerna för tidsfunktionerna f1 (t ) och f 2 (t ) så gäller
A  f1 (t )  B  f 2 (t )  A  F1 (s)  B  F2 (s)
(4.13)
där A och B är godtyckliga konstanter.
Bevis:

 A  f1 (t )  B  f 2 (t )   e st  A  f1 (t )  B  f 2 (t )  dt

 A e
0
0
 st

f1 (t ) dt  B  e  st f 2 (t ) dt  A  F1 ( s )  B  F2 ( s )
0
Inverstransformen uppfyller samma egenskap, dvs
1
4–8
A  F1 (s)  B  F2 (s)  A  f1 (t )  B  f 2 (t )
(4.14)
Medtas till tentamen
4. Laplacetransformmetoder
4.2 Laplacetransformen
Deriveringssatsen
Om F (s) är Laplacetransformen för f (t ) så ges Laplacetransformen för tidsderivatan
f  d f / dt av
(4.15)
f (t )  sF (s)  f (0  )
 
där f (0  ) är tidsfunktionen f (t ) :s värde när man närmar sig t  0 från negativa sidan.
Bevis: Med partiell integration erhålles
f (t )   e st f (t ) dt  e st f (t )0   (s) e st f (t ) dt  sF (s)  f (0  )



0
0
Ett successivt utnyttjande av deriveringssatsen ger följande uttryck för Laplacetransformen
för n:te derivatan f ( n)  d n f / dt n av funktionen f (t ) :
f  s
( n)
n
F (s)  s n1 f (0  )  s n2 f (0  )    s f (n2) (0  )  f (n1) (0  )
(4.16)
Ekvationerna (4.15) och (4.16) ger den viktigaste förutsättningen för Laplacetransformens
betydelse i differentialekvationssammanhang. Bortsett från begynnelsevärdena f (0  ) , f (0  ) ,
etc., så motsvaras en derivering av en tidsfunktion av en multiplikation med Laplacevariabeln
s i Laplaceplanet. Laplacevariabeln har således stora likheter med differentialoperatorn
p  d /dt .
Integrationssatsen
Om F (s) är Laplacetransformen för f (t ) så ges Laplacetransformen för tidsfunktionens integral
av
t



 1
(4.17)
  f ( ) d   F ( s)
s



0

t
Bevis: Vi utnyttjar beteckningen g (t ) 
 f ( ) d
0
som ger g (t )  f (t ) . Tillämpning av

deriveringssatsen (4.15) på funktionen g (t ) ger då
F ( s) 
 f (t ) 
g (t )  s
g (t )  g (0

)s
g (t )  s
t




  f ( ) d 


0

där g (0  )  0 följer av definitionen på g (t ) .
Genom successiv tillämpning av (4.17) fås Laplacetransformen för en n-faldig integral:
t t
t

 1

n

f
(

)
d

  
  n F ( s)


0 0 0
 s
(4.18)
4–9
Medtas till tentamen
4. Laplacetransformmetoder
4.2 Laplacetransformen
Dämpningssatsen
Om F (s) är Laplacetransformen för f (t ) så ges Laplacetransformen för den exponentiellt
dämpade tidsfunktion e at f (t ) av
e
 at

f (t )  F (s  a)
(4.19)
Bevis:
e
at



0
0
f (t )   e st e at f (t ) dt   e ( s a )t f (t ) dt  F ( s  a)
Förskjutningssatsen
Om F (s) är Laplacetransformen för f (t ) så ges Laplacetransformen för funktionen f (t  L) ,
dvs funktionen f (t ) fördröjd med L tidsenheter, se figur 4.4, av
 f (t  L)  e sL F (s)
(4.20)
f (t  L)
f (t )
L
t
t
Figur 4.4. Ofördröjd och fördröjd tidsfunktion f (t ) .
Bevis: Med hjälp av variabelsubstitutionen   t  L samt genom att f (t )  0 för t  0 fås

 f (t  L)   e
 st
0

f (t  L) dt 
e
 s (  L )
f ( ) d  e
 L
 sL

e
 s
f ( ) d  e sL F ( s)
0
Gränsvärdessatser
För en tidsfunktion f (t ) och dess Laplacetransform F (s) gäller att små värden på tiden t
motsvaras av stora värden på Laplacevariabeln s , och vice versa. De s.k. gränsvärdessatserna
ger konkreta uttryck för detta samband.
Begynnelsevärdessatsen
För en tidsfunktion f (t ) och dess Laplacetransform F (s) gäller, under förutsättning att F (s) är
strikt proper,
(4.21)
lim f (t )  lim sF ( s)
t 0
s
Slutvärdessatsen
För en tidsfunktion f (t ) och dess Laplacetransform F (s) gäller, under förutsättning att sF (s)
saknar singulariteter (dvs är begränsad) för alla s med icke-negativ realdel
lim f (t )  lim sF ( s)
t 
4–10
s0
(4.22)
Medtas till tentamen
4. Laplacetransformmetoder
4.2 Laplacetransformen
Övning 4.1.
Beräkna Laplacetransformen för tidsfunktionen f (t )  6  8e t  5e 2t . Kontrollera resultatet
med begynnelse- och slutvärdessatserna.
Övning 4.2.
2,4e 0.8s
Bestäm den tidsfunktion som har Laplacetransformen
.
2s  3,6
Övning 4.3.
Härled Laplacetransformen för en fördröjd sågtandspuls enligt figuren nedan.
f(t)
3
3
5
t
Figur 4.5. Sågtandspuls.
4.3 Beskrivning av dynamiska system i Laplaceplanet
4.3.1 Överföringsfunktionen
Betrakta den linjära differentialekvationen (4.2). Antag att differentialekvationen satisfieras av
variabelvärdena y (n) , y (n1) ,, y , y, u (m) , u (m1) ,, u , u . Om detta tillstånd är av speciell
betydelse kan vi kalla det för ett referenstillstånd eller en arbetspunkt. Ofta är denna punkt ett
stationärtillstånd, även kallat fortfarighetstillstånd eller jämviktsläge, där alla derivator är noll,
men såsom påpekats i avsnitt 3.3 behöver detta inte alltid vara fallet.




Ett tillstånd y (n) , y (n1) ,, y , y, u (m) , u (m1) ,, u, u som satisfierar differentialekvationen
kan relateras till ett referenstillstånd enligt
y (n)  y (n)  y (n) , y (n1)  y (n1)  y (n1) ,  , y  y  y , y  y  y
u (m)  u (m)  u (m) , u (m1)  u (m1)  u (m1) ,  , u  u  u , u  u  u
där Δ-variablerna anger avvikelser från referenstillståndet. Insättning av dessa variabler i
ekvation (4.2) ger efter bortförkortning av referenstillståndet och valet a0  1
d n y
dt n
 a1
d n1y
dt n1
 an1
d y
d u
d m u
d m1u
 an y  b0

b
  bm1
 bm u (4.23)
1
m
m
dt
dt
dt
dt
Laplacetransformering av ekvation (4.23) ger, med beaktande av att alla begynnelsevärden för
Δ-variablerna är noll,
s n Y ( s)  a1s n1Y ( s)  a n1sY ( s)  a n Y ( s)
 b0 s m U ( s)  b1s m1U ( s)  bm1s U ( s)  bm U ( s)
(4.24)
4–11
Medtas till tentamen
4. Laplacetransformmetoder
4.3 Beskrivning av dynamiska system
där Y (s) och U (s) är Laplacetransformerna av y(t ) resp. u (t ) . En n:te derivata ger
således vid Laplacetransformering upphov till en faktor s n när begynnelsetillståndet är noll.
Ekvation (4.24) kan även skrivas
(s n  a1s n1  an1s  an )Y (s)  (b0 s m  b1s m1  bm1s  bm )U (s)
eller kompaktare
Y (s)  G(s)U (s)
(4.25)
(4.26)
där
G( s) 
b0 s m  b1s m1 
s  a1s
n
n1

 bm1s  bm
 an1s  an

B( s )
A( s)
(4.27)
är systemets överföringsfunktion. Ibland talas även om överföringsoperator, men denna benämning kan vara aningen missvisande eftersom både s och G(s) är variabler. Vi ser att vid beräkningar i Laplaceplanet fås systemets utsignal genom multiplicering av dess insignal med
systemets överföringsfunktion.
I ekvation (4.27) betecknar A(s) överföringsfunktionens nämnare och B(s) dess täljare.
Rötterna till ekvationen A(s)  0 , som är systemets karakteristiska ekvation, kallas systemets
poler, medan rötterna till ekvationen B(s)  0 kallas systemets nollställen. Betydelsen av poler
och nollställen behandlas närmare i kapitlen 5 och 6.
Ifall systemet innehåller en dödtid (se kapitel 5), så att det tar en tid L innan en insignal
börjar påverka systemet, kan i ekvation (4.24) göras substitutionen u(t )  v(t  L) , där v är den
verkliga insignalen. Användning av -variabler samt Laplacetransformering ger
U (s) = e  Ls V (s)
(4.28)
där V (s) är Laplacetransformen av v(t ) . Överföringsfunktionen från V (s) till Y (s) är då
G( s) e  Ls .
 Exempel 4.2. Härledning av överföringsfunktionen för en kvicksilvertermometer.
Vi skall härleda överföringsfunktionen för en kvicksilvertermometer, som enligt exempel 4.1 kan
beskrivas med differentialekvationen
d
T 2  2  1
(1)
dt
där 1 är omgivningens temperatur och  2 är kvicksilvrets temperatur. Vi börjar med att uttrycka variablerna som avvikelser från ett jämviktsläge 1  1 och 2  2 , dvs
1  1  1 , 2  2  2
(2)
där 1 och 2 anger avvikelsernas storlek. Insättning i ekvation (1) ger
T
d(2  2 )
 2  2  1  1
dt
(3)
Eftersom 2  1 och d2 / dt  0 , då  2 är en konstant, fås
T
d 2 (t )
 2 (t )  1 (t )
dt
där vi för tydlighets skull infört tidsargumentet t .
4–12
(4)
Medtas till tentamen
4. Laplacetransformmetoder
4.3 Beskrivning av dynamiska system
Laplacetransformering av denna modell ger


T s 2 (s)  2 (0  )   2 (s)  1 (s)
(5)
där 1 ( s) och 2 ( s) är Laplacetransformerna av 1 (t ) resp. 2 (t ) . Eftersom vi använder Δ-variabler, som anger avvikelser från begynnelsetillståndet, är 2 (0  )  0 . Vi får då
Ts 2 (s)   2 (s)  1 (s)
(6)
 2 (s)  G(s)1 (s)
(7)
eller
där
G( s) 
1
Ts  1
(8)

är systemets överföringsfunktion.
Övning 4.4.
Ett system beskrivs av differentialekvationen
d2 y
dt
2
5
dy
 6y  u
dt
där u och y anger avvikelser från ett jämviktsläge. Bestäm systemets överföringsfunktion.
4.3.2 Några konventioner rörande in- och utsignaler
Såsom ovan konstaterades fås vid beräkningar i Laplaceplanet systemets utsignal genom multiplicering av dess insignal med systemets överföringsfunktion — inga andra termer kan ingå i
uttrycket. Vid Laplacetransformering erhålles ett sådant linjärt uttryck endast om signalernas
begynnelsevärden, dvs deras värden vid t  0  , är noll. Detta villkor uppfylls automatiskt när
man använder Δ-variabler, dvs variabler som anger avvikelser från ett referenstillstånd, som
gäller vid tidpunkten t  0  . Här anger ” 0  ” att man bör använda det gränsvärde som gäller för
variabeln när man närmar sig noll från negativa sidan, dvs värdet strax före t  0 . Detta har
betydelse ifall funktionen är diskontinuerlig vid t  0 .
Eftersom det är ett ofrånkomligt krav vid beräkningar med överföringsfunktioner att signalerna har ovannämnda egenskap, anses det vara underförstått att så är fallet även om det inte skulle
omnämnas. Därmed kan man, som i övning 4.4, utelämna symbolen Δ för att förenkla beteckningarna. Vi kommer ofta att göra så i fortsättningen. Om Δ-variabler med symbolen Δ
används, är det ofta för att betona signalernas fysikaliska anknytning. I sådana fall är symbolen
utan Δ ofta upptagen för att beteckna ”verkliga” variabler, t.ex. mätvärden i processen.
Det rekommenderas att man betecknar tidsfunktioner med ”små” bokstäver (gemena) och
deras Laplacetransformer med motsvarande ”stora” bokstäver (versaler). I brist på lediga symboler är det dock inte ovanligt att man slarvar med detta och använder samma symbol både för
tidsfunktionen och dess Laplacetransform. Detta är möjligt för att det vanligtvis är klart av
sammanhanget vilken funktionstyp det är frågan om. Till exempel vid beräkningar med överföringsfunktioner är det klart att signalernas Laplacetransformer används. Om risk för missförstånd föreligger, kan man inkludera argumentet ” t ” eller ” s ” för att ange funktionstypen.
När man t.ex. gör en Laplacetransformering kan denna distinktion behövas om man använder
samma symbol för tidsfunktionen och dess Laplacetransform.
4–13
Medtas till tentamen
4. Laplacetransformmetoder
4.3 Beskrivning av dynamiska system
Det bör även observeras att både signalernas tidsfunktioner och deras Laplacetransformer i
allmänhet har en enhet. Operationer både i tids- och Laplaceplanet bör därmed vara dimensionsriktiga. Speciellt bör observeras att förstärkningen för ett system inte är dimensionslös om inoch utsignalen har olika enheter.
4.3.3 Blockscheman
Vi har redan kommit i kontakt med reglertekniska blockscheman i kapitel 2. I detta avsnitt ges
en utförligare behandling av typiska blockschemakomponenter och -konfigurationer samt vilka
räkneoperationer de motsvarar i Laplaceplanet.
Ett linjärt dynamiskt system med insignalen u (t ) , utsignalen y (t ) och överföringsfunktionen
G(s) kan representeras grafiskt med hjälp av ett blockschema enligt figur 4.6. Om man
Figur 4.6. Blockscheman för dynamiskt system.
namnger signalerna i blockschemat kan man använda signalernas tidsplanssymboler, såsom till
vänster i figuren, eller symboler för signalernas Laplacetransformer, såsom till höger i figuren.
Oberoende av vilken form som används, gäller sambandet
Y ( s )  G( s ) U ( s )
(4.29)
dvs överföringsfunktionen opererar på signalernas Laplacetransformer, inte på deras tidsfunktioner.
Man kan med ett blockschema åskådligt visa hur ett dynamiskt system byggs upp av mindre
delsystem. Viktiga element i sådana blockscheman är konstruktioner som beskriver summation,
jämförelse och förgrening av signaler. Figur 4.7 visar olika sätt att beteckna en summation, figur
4.8 visar olika sätt att beteckna en jämförelse, och figur 4.9 visar en förgrening. Såsom framgår
Figur 4.7. Tre olika sätt att beteckna summation.
Figur 4.8. Tre olika sätt att beteckna jämförelse.
innebär en jämförelse en subtraktion. Observera att en förgrening endast ”flerfaldigar” en signal, den förändrar inte signalen
i de olika grenarna. I figurerna används signalernas tidsfunktioner för att illustrera räknereglerna, men samma regler
gäller för signalernas Laplacetransformer. Konstruktionerna
kan givetvis generaliseras så att fler än två signaler beaktas.
4–14
Figur 4.9. Förgrening.
Medtas till tentamen
4. Laplacetransformmetoder
4.3 Beskrivning av dynamiska system
Ett ofta förekommande arrangemang av delsystem är seriekoppling eller kaskadkoppling, som
illustreras i figur 4.10. Av ekvation (4.29) följer
Y (s)  G2 (s) X (s)  G2 (s) G1 (s)U (s)
dvs
G(s)  G2 (s) G1 (s)
(4.30)
som är överföringsfunktionen för det sammansatta systemet inom den streckade konturen i figur
4.10.
Figur 4.10. Seriekoppling.
En annan systemstruktur är parallellkoppling, som illustreras i figur 4.11. Denna innehåller
både en förgrening och en summation. Elementär algebra ger
Y (s)  Y1 (s)  Y2 (s)  G1 (s)U (s)  G2 (s)U (s)  G1 (s)  G2 (s)U (s)
dvs
G(s)  G1 (s)  G2 (s)
(4.31)
som är överföringsfunktionen för en parallellkoppling.
Den mest fundamentala systemstrukturen inom reglertekniken är (negativ) återkoppling, som
illustreras i figur 4.12. När överföringsfunktionen i ”framriktningen” betecknas G(s) och överföringsfunktionen i återkopplingen betecknas H (s) fås
Y ( s )  G ( s ) E ( s )  G ( s ) R ( s )  H ( s ) Y ( s )  
G( s)
R( s )
1  G( s) H ( s)
dvs
Gs ( s) 
G( s)
1  G( s) H ( s)
(4.32)
som är det slutna systemets överföringsfunktion. Produkten G( s) H (s) kallas systemets kretsöverföring och ekvationen 1  G(s) H (s)  0 är dess karakteristiska ekvation.
Figur 4.11. Parallellkoppling.
Figur 4.12. Återkoppling.
4–15
Medtas till tentamen
4. Laplacetransformmetoder
4.3 Beskrivning av dynamiska system
Övning 4.5.
Härled överföringsfunktionen från u till y i nedanstående blockschema.
Figur 4.13. Blockschema för sammansatt system.
4.4 Lösning av differentialekvationer
Ett behändigt sätt att lösa linjära ordinära differentialekvationer är att använda Laplacetransformmetoder. När differentialekvationen Laplacetransformerats term för term, med beaktande av
initialtillstånd, kan Laplacetransformen för den beroende variabeln, dvs utsignalen, enkelt lösas
ut med rent algebraiska metoder. Om differentialekvationen beskriver ett dynamiskt system, har
den en insignal som också transformeras. Tidsfunktionen för den beroende variabeln kan sedan
erhållas genom inverstransformering av dess Laplacetransform. Den typiska arbetsgången
illustreras i figur 4.14.
Figur 4.14. Arbetsgång vid lösning av differentialekvationer via Laplacetransformering.
Tabeller över Laplacetransformer och motsvarande tidsfunktioner kan utnyttjas vid inverstransformeringen, se s. 4–6 och 4–7. Ifall tabellen inte upptar Laplacetransformen ifråga, kan
man genom partialbråksuppdelning vanligtvis skriva den som en summa av enklare transformer
vars tidsfunktioner finns i tabellen. Enligt superpositionssatsen (se avsnitt 4.2.3) fås den sökta
tidsfunktionen då som summan av de enklare Laplacetransformernas tidsfunktioner.
Eftersom Laplacetransformen av en tidsfunktion innehåller tidsfunktionens begynnelsevärde,
är Laplacetransformen speciellt lämpad för lösning av begynnelsevärdesproblem (initialvärdesproblem).
4–16
Medtas till tentamen
4. Laplacetransformmetoder
4.4 Lösning av differentialekvationer
4.4.1 Begynnelsevärdesproblem
I följande exempel visas hur en linjär andra ordningens differentialekvation med givna begynnelsevillkor löses med hjälp av Laplacetransformmetoder.
 Exempel 4.3. Lösning av linjär differentialekvation med begynnelsevillkor.
Lös differentialekvationen y  5 y  6 y  1 med begynnelsevillkoren y(0  )  0 , y(0 )  1 .
Laplacetransformering ger med uttnyttjande av deriveringssatserna (4.15) och (4.16)
s Y (s)  s y(0
2

 

)  y (0  )  5 sY ( s)  y(0  )  6 Y ( s) 
1
s
(1)
Insättning av begynnelsevillkoren ger efter hyfsning
Y ( s) 
s 1
s ( s  5 s  6)
2

s 1
s ( s  2)(s  3)
(2)
Detta uttryck finns inte i kompendiets Laplacetransformtabell, men vi kan separera täljarens
termer och efter hyfsning skriva
1
1
(3)
Y ( s) 

( s  2)(s  3) s ( s  2)(s  3)
Dessa termer finns som punkt 17 och 18 i tabellen med a  2 och b  3 . I enlighet med superpositionssatsen kan vi inverstransformera termerna var för sig och summera resultatet för att få
tidsfunktionen y (t ) . Resultatet blir


 1
1
1
2
1
 1
  1
y(t )  
e 2t  e 3t   

e 2 t 
e 3t   e 2t  e 3t 
3(2  3)
3
6
3  2
  2  3 2(2  3)
 2
(4)
Kontroll genom derivering och insättning i differentialekvationen och begynnelsevillkoren visar
att lösningen är korrekt.

4.4.2 Tidssvaret för ett dynamiskt system
Tidssvaret för ett dynamiskt system kan bestämmas genom inverstransformering när systemets
överföringsfunktion och insignalens Laplacetransform är kända. Förfarandet illustreras med
följande exempel.
 Exempel 4.4. Stegsvaret för ett första ordningens system.
Ett linjärt första ordningens system med insignalen u och utsignalen y kan beskrivas med
differentialekvationen
dy
(1)
T
 y  Ku
dt
där K är systemets (statiska) förstärkning och T dess tidskonstant. Om u  0 så är y  0 en
lösning och vi kan anta att detta tillstånd råder vid t  0  . Laplacetransformering ger då
Y ( s )  G( s ) U ( s )
(2)
där
G( s) 
K
T s 1
(3)
4–17
Medtas till tentamen
4. Laplacetransformmetoder
4.4 Lösning av differentialekvationer
är systemets överföringsfunktion. Kvicksilvertermometern i exempel 4.1 och 4.2 är således ett
linjärt första ordningens system med förstärkningen 1.
Om insignalen förändras stegformigt från 0 till usteg vid t  0 , dvs om
u(t )  0, t  0 ; u(t )  usteg , t  0
(4)
så är detta steg usteg gånger så stort som ett enhetssteg och har enligt avsnitt 4.2.2 (eller punkt 1 i
kompendiets Laplacetransformtabell) Laplacetransformen
U ( s) 
usteg
(5)
s
Insättning av G(s) och U (s) i ekvation (2) ger
Y ( s) 
Kusteg
s (T s  1)

Kusteg / T
s (s  1 / T )
(6)
Enligt punkt 9 eller 26 i Laplacetransformtabellen är motsvarande tidsfunktion

y(t )  Kusteg 1  e t / T

(7)
Här har, liksom vid Laplacetransformering av stegförändringen, även superpositionssatsen
utnyttjats — närmare bestämt den regel som säger att Laplacetransformen för en tidsfunktion
multiplicerad med en konstant är lika med tidsfunktionens Laplacetransform multiplicerad med
samma konstant.
Det härledda stegsvaret har givetvis samma form som stegsvaret för kvicksilvertermometern
som härleddes genom direkt lösning av differentialekvationen i exempel 4.1.

Övning 4.6.
Bestäm enhetsstegsvaret (dvs svaret när insignalen är en stegförändring av storleken 1) för
systemet i övning 4.4.
4.4.3 Partialbråksuppdelning
Laplacetransformen för en tidsfunktion, t.ex. den beroende variabeln i en differentialekvation
med given insignal och givna begynnelsevärden, kan vanligtvis skrivas i formen
F ( s) 
b0 s m  b1s m1  bm1s  bm
s n  a1s n1  a n1s  a n
(4.33)
Den mot Laplacetransformen F (s) svarande tidsfunktionen f (t ) kan man ofta finna direkt i
tabellverk eller, som i exempel 4.3, efter en enkel separering av täljarens termer i enlighet med
superpositionsprincipen. Om detta inte hjälper, kan man göra en partialbråksuppdelning.
För en Laplacetransform Y (s) innehållande en dödtid L , så att Y (s)  F (s) e  Ls , kan man
först bestämma f (t ) från F (s) och därefter y(t )  f (t  L) enligt förskjutningssatsen.
Vid partialbråksuppdelning av ekvation (4.33) undersöks först om täljarens gradtal m är
mindre än nämnarens gradtal n . I praktiken gäller så gott som alltid att m  n , dvs att systemet
är strikt propert. Skulle så inte vara fallet divideras täljarpolynomet med nämnarpolynomet så att
ett nytt täljarpolynom erhålles med lägre gradtal än nämnarens. Genom detta förfarande kan
Laplacetransformen skrivas
4–18
Medtas till tentamen
4. Laplacetransformmetoder
4.4 Lösning av differentialekvationer
F ( s)  F0 ( s) 
B( s )
A( s)
(4.34)
där A(s) är samma nämnarpolynom som i ekvation (4.33) och B(s) är ett polynom med lägre
gradtal än A(s) . I fortsättningen antas därför m  n . Enligt superpositionssatsen kan polynomet
F0 ( s) inverstransformeras skilt för sig och den resulterande tidsfunktionen f 0 (t ) adderas till
resten av lösningen. Märk att f 0 (t ) kommer att bestå av en eller flera termer motsvarande
impulser och tidsderivator av insignalen. Speciellt det senare är ovanligt i praktiken.
Faktorisering
Nästa steg är att faktorisera polynomet A(s) enligt
A(s)  (s  p1 )(s  p2 )(s  pn )
(4.35)
där pk , k  1, 2,, n , är de n stycken reella och komplexa rötterna till den karakteristiska
ekvationen A(s)  0 .
Om rötterna pk är distinkta (alla rötter är olika stora) och reella kan F (s) skrivas som
n
Ck
k 1 s  p k
F ( s)  F0 ( s)  
(4.36)
där C k , k  1, 2,, n , är konstanter som bör bestämmas. Ifall den karakteristiska ekvationen har
multipla reella rötter (reella rötter som är lika stora) kan F (s) skrivas som
r
Ck
F ( s)  F0 ( s)  
k 1 ( s 
pr )
k

n
Ck
k r 1 s  p k

(4.37)
där pr  pk , k  1, 2,, r , är r stycken lika stora rötter. I praktiken förekommer dock sällan
multipla rötter.
Ifall komplexa rötter förekommer uppträder dessa som komplexkonjugerade rotpar
p    j , där j   1 är den imaginära enheten. Vid faktoriseringen av A(s) kan ett sådant
rotpar sammanslås till faktorn ( s   ) 2   2 . En term
C1 ( s   )  C 2
(s   ) 2   2
bör då inkluderas i partialbråksuppdelningen av F (s) .
Ifall pn1 och pn är ett komplexkonjugerat rotpar och rötterna pk , k  1, , r , är multipla
och reella (  p r ) samt resten av rötterna är distinkta och reella, fås partialbråksuppdelningen
r
F ( s)  F0 ( s)  
k 1
Ck
( s  pr )
k

n2

k r 1
Ck
C ( s   )  Cn
 n1
s  pk
(s   )2   2
(4.38)
Multipla komplexa rötter kan även hanteras, men kommer inte att behandlas i denna kurs.
4–19
Medtas till tentamen
4. Laplacetransformmetoder
4.4 Lösning av differentialekvationer
Alla termer i partialbråksuppdelningen av F (s) är sådana att deras inverstransformer enkelt
hittas i kompendiets Laplacetransformtabell på s. 4–6 och 4–7. Enligt superpositionssatsen är
den sökta funktionen f (t ) summan av de enskilda inverstransformerna.
Bestämning av konstanterna C k
Konstanterna C k kan bestämmas på flera olika sätt. Eftersom partialbråksuppdelningen bör gälla
för godtyckliga värden på variabeln s , kan man tänka sig att substituera n stycken lämpligt
valda olika värden på s i partialbråksuppdelningen och bestämma C k , k  1, 2,, n , ur de n
ekvationer som uppstår.
En annan mera allmän metod är att förlänga partialbråksuppdelningen (dvs multiplicera båda
leden) med A(s) och därefter förkorta bort nämnaruttrycken. Konstanterna C k kan då bestämmas ur de n ekvationer som uppstår när man kräver att partialbråksuppdelningen skall gälla skilt
för varje potens av s.
Ifall rötterna är distinkta och reella bestäms C k enklast enligt
C k  lim ( s  p k )
s pk
B( s )
A( s)
(4.39)
Observera att faktorn ( s  pk ) kan förkortas bort mot motsvarande faktor i A(s) .
 Exempel 4.5. Rampsvaret för ett första ordningens system.
Vi skall bestämma det så kallade rampsvaret för ett första ordningens system. Insignalen u är
en ramp, vilket innebär att den förändras linjärt med tiden enligt sambandet u(t )  bt , där b är
en konstant.
Enligt exempel 4.4 har ett första ordningens system överföringsfunktionen
G( s) 
K
Ts  1
(1)
För en ramp med lutningskoefficienten b gäller i enlighet med ekvation (4.9) att den har
Laplacetransformen
b
(2)
U ( s)  2
s
Utsignalen ges då av
Kb
Y ( s)  G( s)U ( s) 
(3)
(Ts  1) s 2
Denna Laplacetransform finns i kompendiets Laplacetransformtabell, men vi skall här illustrera
hur vi kan finna lösningen genom partialbråksuppdelning och inverstransformering av redan
kända Laplacetransformer.
Nämnaren i ekvation (3) är färdigt faktoriserad; vi har en enkel rot s  1 / T och en dubbelrot s  0 . I enlighet med ekvation (4.37) gör vi då partialbråksuppdelningen
Kb
(Ts  1) s 2
4–20

C
C1 C 2
 2  3
s
Ts  1
s
(4)
Medtas till tentamen
4. Laplacetransformmetoder
4.4 Lösning av differentialekvationer
Förlängning med (Ts  1) s 2 ger
Kb  C1 (Ts  1)s  C2 (Ts  1)  C3 s 2
(5)
Detta uttryck måste gälla skilt för varje potens av s , vilket ger
s 0 : Kb  C 2
 1
0  C1  C 2T
s :
2
s :
0  C1T  C3

 C 2  Kb
 C1   KbT
 C3  KbT
(6)
2
Insättning i ekvation (4) och vidare insättning i ekvation (3) ger
Y ( s)  
KbT Kb KbT 2
 2 
s
Ts  1
s
(7)
Men hjälp av punkterna 1, 2 och 25 i Laplacetransformtabellen fås då
y(t )   KbT  Kbt  KbTe t / T  Kb(t  T  Te t / T )
(8)
Efter att initialeffekterna dött ut, närmar sig utsignalen således en ramp med lutningskoefficienten Kb .
Direkt tillämpning av punkt 27 i Laplacetransformtabellen ger givetvis samma svar.

Övning 4.7.
Inverstransformera följande funktioner med hjälp av partialbråksuppdelning:
a) Fa ( s) 
s3
2s( s  4)
2
,
b) Fb ( s) 
3s  5
s( s  6s  25)
2
.
4–21
Medtas till tentamen
Medtas till tentamen
5. Enkla dynamiska system
I kapitel 3 härleddes modeller för ett antal dynamiska system från olika teknikområden. Gemensamt för systemen var att de kunde beskrivas med ordinära differentialekvationer av låg ordning.
I flera fall var differentialekvationerna olinjära, men dessa kan linjäriseras kring ett referenstillstånd, vanligtvis ett jämviktsläge, såsom visats i avsnitt 3.3.
I detta kapitel skall vi studera egenskaperna hos vissa typer av enkla, linjära, dynamiska
system. Speciellt härleds tidssvaret för systemens utsignaler för väldefinierade insignalförändringar såsom impulser och steg. Analys av systemegenskaper med hjälp av dylika insignaler
kallas transientanalys. Enkla grafiska metoder för experimentell bestämning av en modell
utgående från systemets stegsvar genomgås också. Bestämning av systemegenskaper, t.ex. överföringsfunktionen, utgående från mätningar av in- och utsignalerna kallas systemidentifiering.
5.1 Integrerande system
Vi skall inleda med att studera integrerande system, som är den enklaste typen av dynamiskt
system som kan beskrivas med en differentialekvation. Det förmodligen mest typiska processexemplet på ett integrerande system är en vätskebehållare.
4 Exempel 5.1. Vätskebehållare.
Betrakta vätskebehållaren i figur 5.1. Volymen vätska i
behållaren betecknas V , volymströmmen vätska som
tillförs behållaren betecknas F1 och volymströmmen
vätska som strömmar ut ur behållaren betecknas F2 .
Märk att V är att betrakta som systemets utsignal,
medan F1 och F2 är insignaler (se avsnitt 2.3).
En massbalans kring behållaren ger under antagande
av konstant densitet (som kan förkortas bort) modellen
F1
V
F2
Figur 5.1. Vätskebehållare.
dV
= F1 − F2 .
dt
(1)
Denna ekvation är linjär och vi kan direkt ersätta variablerna med Δ-variabler så att vi får
d ΔV
= ΔF1 − ΔF2 .
dt
(2)
Laplacetransformering med beaktande av att begynnelstillstånden är noll ger
s ΔV ( s ) = ΔF1 ( s ) − ΔF2 ( s ) ,
eller
1
1
ΔV ( s ) = ΔF1 ( s ) − ΔF2 ( s ) .
s
s
(3)
Systemets två överföringsfunktioner är
ΔV ( s ) 1
=
ΔF1 ( s ) s
och
ΔV ( s)
1
=− .
ΔF2 ( s )
s
som enligt Laplacetransformen motsvaras av integraler i tidsplanet.
(4)
3
5–1
Medtas till tentamen
5. Enkla dynamiska system
5.1 Integrerande system
Allmänt kan ett linjärt integrerande system med insignalen u och utsignalen y beskrivas med
differentialekvationen
dy
dy
= K u eller T
=u.
(5.1)
dt
dt
Systemets överföringsfunktion är
G ( s) =
Y ( s) K
1
= =
.
U ( s) s Ts
(5.2)
Övning 5.1.
Härled och skissera upp (a) impulssvaret, (b) stegsvaret och (c) rampsvaret för ΔV (t ) vid en
förändring i inströmmen F1 till vätskebehållaren i figur 5.1.
5.2 System av första ordningen
Såsom framgått i avsnitt 4.4.2 kan ett linjärt system av första ordningen beskrivas med
differentialekvationen
dy
T
+ y = Ku ,
(5.3)
dt
där K är systemets förstärkning och T dess tidskonstant. Systemet har överföringsfunktionen
G ( s) =
Y (s)
K
.
=
U ( s ) Ts + 1
(5.4)
5.2.1 Transientsvar
Systemets tidssvar y (t ) för en given insignal u (t ) kan enkelt bestämmas genom invers Laplacetransformering med hjälp av en Laplacetransformtabell. Två ofta betraktade insignalfunktioner
är impulsfunktionen och stegfunktionen (se avsnitt 4.2.2).
Om systemets insignal är en impuls med tidsintegralen (”arean”) I , dvs u (t ) = Iδ (t ) , där
δ (t ) är enhetsimpulsen (Diracs deltafunktion), gäller enligt Laplacetransformtabellen U ( s ) = I .
Invers Laplacetransformering av
KI
Y ( s ) = G ( s )U ( s ) =
Ts + 1
ger då impulssvaret
K I −t / T
y (t ) =
e
.
(5.5)
T
Om insignalen är en stegförändring av storleken usteg , dvs u (t ) = u stegσ (t ) , där σ (t ) är
enhetssteget, gäller U ( s ) = usteg / s . Invers Laplacetransformering av
Y ( s ) = G ( s )U ( s ) =
ger då stegsvaret
(
Ku steg
(Ts + 1)s
)
y (t ) = K u steg 1 − e −t / T .
5–2
(5.6)
Medtas till tentamen
5. Enkla dynamiska system
5.2 System av första ordningen
Kusteg
KI/T
y
y
0.63
0.37
0
0
T
2T
3T
4T
t
Figur 5.2. Impulssvaret för ett system av
första ordningen.
0
0
T
2T
3T
4T
t
Figur 5.3. Stegsvaret för ett system av
första ordningen.
Figur 5.2 avbildar impulssvaret och figur 5.3 stegsvaret för ett system av första ordningen. En
detalj som kan vara till nytta vid uppritandet av dessa transientsvar är att kurvans begynnelseriktning (dvs dess derivata) fås genom att dra en hjälplinje mot punkten t = T på slutvärdesasymptoten (det nya jämviktsläget). Dessutom gäller att svarets avstånd till denna asymptot vid
tiden t = T är 1 / e = 0.368 av totala utsignalförändringen. I teorin tar det oändligt lång tid innan
det nya jämviktsläget nås, men i praktiken brukar man ofta ange att det nåtts vid tiden t = 4T .
Härvid är utsignalens förändring ca 98 % av totala förändringen.
5.2.2 Identifiering från stegsvar
Av ovanstående är det uppenbart att systemets förstärkning och tidskonstant kan identifieras (dvs
bestämmas) från transientsvaret, som kan genereras experimentellt genom en lämplig förändring
av insignalen. Härvid använder man sig vanligtvis av stegförändringar, bl.a. för att en väldefinierad impuls är svår att åstadkomma.
Vid identifiering genom stegförsök fås systemets förstärkning enligt
K = y ∞ / u steg ,
(5.7)
där usteg är storleken av insignalens stegförändring och y∞ är den totala utsignalförändringen
när t → ∞ . Olika metoder existerar för bestämning av systemets tidskonstant och en ev. dödtid
(se avsnitt 5.4). I det följande genomgås några enkla ”grafiska” metoder.
63 % av totala förändringen
Såsom framgår av figur 5.3 kan systemets tidskonstant bestämmas utgående från skärningspunkten mellan slutvärdesasymptoten och tangenten till stegsvaret i den punkt där förändringen
börjar. Eftersom det i praktiken är svårt att bestämma tangentens riktning (dvs stegsvarets
begynnelsederivata) med god noggrannhet är denna metod dock mindre lämplig. Bättre är att
utnyttja den punkt där stegsvaret nått 63,2 % av totala förändringen. Man kan enkelt visa att
stegsvaret för ett första ordningens system når denna punkt när en tid lika med systemets
tidskonstant har förflutit sedan stegsvarets början. Tidskonstanten ges med andra ord av tidskoordinaten för den punkt där 63,2 % av totala förändringen nås. Allmänt kan man kalla tidskonstanten som fås från 63,2 % av totala förändringen för ekvivalent tidskonstant även om
systemet inte är av första ordningen.
I praktiken innehåller ett system ofta en dödtid, t.ex. på grund av en transportfördröjning.
Detta innebär att stegsvaret fördröjs med motsvarande tid, vilket bör beaktas vid identifieringen.
Ett första ordningens system med en dödtid L har överföringsfunktionen
5–3
Medtas till tentamen
5. Enkla dynamiska system
5.2 System av första ordningen
1
1
y/y
y/y∞
∞
0.63
y /y
i ∞
0
0
L
L+T
0
t
Figur 5.4. Identifiering av första ordningens system via 63 % av totala förändringen.
G ( s) =
och stegsvaret
0 L
ti
L+T
t
Figur 5.5. Identifiering av första ordningens system med tangentmetoden.
Y ( s) K e − L s
=
U ( s) T s + 1
(
(5.8)
)
y (t + L) = K u steg 1 − e −t / T .
(5.9)
En stegförändring vid t = 0 ger således ett stegsvar som startar vid tidpunkten L och når
63,2 % av totala förändringen vid tidpunkten L + T . Båda parametrarna fås följaktligen enkelt
från stegsvaret. Se illustrationen i figur 5.4, där stegsvaret normerats genom division med y∞ .
Tangentmetoden
I praktiken har man knappast någonsin ett perfekt första ordningens system (med eller utan
dödtid). Ofta har stegsvaret inte sin brantaste lutning genast i början, vilket ett system av första
ordningen skulle ha, utan något senare. Det betyder att systemet är av högre ordning än första
ordningen. Ibland vill man ändå approximera systemet som ett första ordningens system med
dödtid.
Figur 5.5 illustrerar en metod för bestämning av en sådan modell. Systemets förstärkning
beräknas på normalt sätt enligt ekvation (5.7). För att bestämma dödtiden och tidskonstanten
drar man en tangent genom stegsvarets inflektionspunkt (t i , yi ) , dvs den punkt där lutningen är
brantast. Tangentens skärningspunkt med tidsaxeln ger dödtiden L och dess skärningspunkt
med slutvärdesasymptoten har tidskoordinaten L + T .
Såväl Ziegler-Nichols’ som vissa andra stegsvarsbaserade rekommendationer för inställning
av PID-regulatorer (se avsnitt 7.5) utgår ifrån att modellens parametrar bestämts enligt tangentmetoden. Såsom figur 5.5 visar kan modellens stegsvar (den streckade linjen) dock avvika
avsevärt från det verkliga stegsvaret. Eftersom stegsvaret för ett första ordningens system har sin
brantaste lutning i början, där den är lika med den uppdragna tangentens lutning, och därefter
avtar, är det lätt att inse att modellens stegsvar kommer att ligga under det verkliga stegsvaret.
Den på detta sätt bestämda tidskonstanten är med andra ord för stor.
Modifikation av tangentmetoden
En beaktansvärd modifikation av ovannämnda två metoder erhålles om man kombinerar dem.
Dödtiden bestäms då enligt tangentmetoden och tidskonstanten utgående från den ekvivalenta
tidskonstanten, dvs den tid det tar för det verkliga stegsvaret att nå 63,2 % av totala förändringen.
Såsom figur 5.6 visar ger detta förfarande en modell vars stegsvar (den streckade linjen)
5–4
Medtas till tentamen
5. Enkla dynamiska system
5.2 System av första ordningen
1
1
0.85
y/y∞
0.63
y/y∞
y /y
0.35
i ∞
0
0 L
ti
L+T
t
Figur 5.6. Identifiering av första ordningens system genom modifierade tangentmetoden.
0
0
t35
t85
t
Figur 5.7. Identifiering av första ordningens system utgående från 35 % och 85 % av
totala förändringen.
överensstämmer betydligt bättre med det verkliga stegsvaret. Denna metod är också mindre
störningskänslig än den ordinarie tangentmetoden eftersom man utnyttjar två punkter av stegsvaret för att bestämma modellens parametrar. Förutom ovan diskuterade brist har tangentmetoden nämligen också den nackdelen att man försöker bestämma både dödtiden och tidskonstanten utgående från stegsvarets egenskaper i en enda punkt, inflektionspunkten, som
dessutom är svår att lokalisera i praktiken.
Sundaresan-Krishnaswamys metod
Inflektionspunkten och den punkt där stegsvaret når 63,2 % av totala förändringen ligger ofta
relativt nära varandra. En bättre anpassning av modellens stegsvar till det verkliga stegsvaret
kan förväntas om man använder två punkter som ligger något längre ifrån varandra. Sundaresan
och Krishnaswamy (1977) har föreslagit att man skall välja modellens parametrar så att dess
stegsvar går genom de två punkter där det verkliga stegsvaret når 35 % resp. 85 % av den totala
förändringen. Enligt dem minimerar detta approximativt integralen av det kvadratriska felet
mellan det uppmätta stegsvaret och modellens stegsvar; se figur 5.7. Om tidskoordinaten för de
två punkterna betecknas t 35 resp. t85 , kan man med hjälp av ekvation (5.9) visa att tidskonstanten och dödtiden ges av uttrycken
T = 0,682 (t85 − t 35 ) ,
L = t 35 − 0,431T .
(5.10)
(5.11)
Förstärkningen K beräknas enligt ekvation (5.7).
Logaritmmetoden
Det finns ett enkelt sätt att kontrollera hur väl ett experimentellt stegsvar överensstämmer med
stegsvaret för ett första ordningens system (med eller utan dödtid) utan att egentligen bestämma
modellens parametrar. Från ekvation (5.9) kan man härleda sambandet
⎛ y − y (t ) ⎞
t−L
⎟⎟ = −
ln⎜⎜ ∞
,
y∞
T
⎝
⎠
(5.12)
där y ∞ = K u steg . Om uttrycket till vänster i ekvationen, dvs naturliga logaritmen av den relativa
återstående förändringen, uppritas som funktion av t , fås för ett system av första ordningen en
rät linje som har lutningskoefficienten − 1 / T och som skär tidsaxeln (dvs har värdet noll) i
punkten t = L . Samma uttryck kan enkelt beräknas och uppritas för ett godtyckligt experi5–5
Medtas till tentamen
5. Enkla dynamiska system
5.2 System av första ordningen
0
z = ln(1−y/y∞)
−1
1
y/y
∞
z
0
L
L+T
0
t
Figur 5.8. Identifiering av första ordningens system med logaritmmetoden.
0
t
Figur 5.9. Stegsvaret för första ordningens
system identifierat med logaritmmetoden.
mentellt stegsvar. Om det erhållna sambandet är linjärt är systemet av första ordningen.
Samtidigt erhåller man systemets tidskonstant utgående från den räta linjens lutningskoefficient
och dess eventuella dödtid från linjens skärningspunkt med tidsaxeln.
Om sambandet är måttligt olinjärt kan man tänka sig att bestämma en approximativ modell av
första ordningen genom att anpassa en rät linje till sambandet. Det ligger då nära till hands att
såsom i figur 5.8 dra linjen så att den asymptotiskt sammanfaller med det uppritade sambandet
när t går mot oändligheten. Detta leder dock till en för stor dödtid och för liten tidskonstant,
vilket framgår av figur 5.9, där stegsvaret för den approximativa modellen (streckad linje)
jämförs med det verkliga stegsvaret (heldragen linje).
Sammanfattningsvis kan man säga att den modifierade tangentmetoden och metoden föreslagen av Sundaresan och Krishnaswamy säkerligen är de bästa av de här presenterade enkla
grafiska metoderna för identifiering av ett första ordningens system med dödtid.
5.3 System av andra ordningen
Ett strikt propert linjärt system av andra ordningen kan beskrivas med differentialekvationen
d2 y
dt
2
+ a1
och överföringsfunktionen
G ( s) =
dy
du
+ a 2 y = b1
+ b2 u
dt
dt
(5.13)
b s + b2
Y ( s)
= 2 1
.
U ( s) s + a1 s + a 2
(5.14)
Vi skall endast behandla system med b2 ≠ 0 och i detta avsnitt endast fall där b1 = 0 , dvs system
med överföringsfunktioner som saknar nollställe. I avsnitt 5.5 behandlas fall med b1 ≠ 0 .
För att framhäva systemets generella egenskaper skrivs överföringsfunktionen ofta på formen
G (s) =
K ω n2
s 2 + 2ζω n s + ω n2
,
(5.15)
där K är systemets förstärkning, ζ benämnes relativ dämpning och ω n odämpad egenfrekvens
eller naturlig frekvens. Systemet sägs vara underdämpat om 0 ≤ ζ < 1 , kritiskt dämpat om
ζ = 1 och överdämpat om ζ > 1 . Om ζ < 0 är systemet instabilt. Ibland används också formen
5–6
Medtas till tentamen
5. Enkla dynamiska system
5.3 System av andra ordningen
G ( s) =
K
Tn2 s 2
+ 2ζ Tn s + 1
,
(5.16)
där Tn = 1/ ω n . Någon allmänt vedertagen benämning på Tn finns inte, både naturlig period och
andra ordningens tidskonstant förekommer.
5.3.1 Transientsvar
Transientsvaret till en given insignalförändring kan på normalt sätt bestämmas genom invers
Laplacetransformering. Härvid bör man beakta att lösningens form är olika beroende på om
systemet är underdämpat, överdämpat eller kritiskt dämpat. Ett underdämpat system ( 0 ≤ ζ < 1 )
har nämligen komplexa poler (dvs rötterna till den karakteristiska ekvationen är komplexa), ett
överdämpat system ( ζ > 1 ) har reella poler och ett kritiskt dämpat system ( ζ = 1 ) har en reell
dubbelpol.
Kritiskt dämpat system
Överföringsfunktionen för ett kritiskt dämpat system skrivs ofta på formen
G (s) =
K
(Tn s + 1)2
,
(5.17)
där Tn = 1/ ω n . Impuls- och stegsvaret fås genom invers Laplacetransformering av uttrycket
Y ( s ) = G ( s ) U ( s ) . För en impuls av storleken I är U ( s ) = I , vilket ger impulssvaret
y (t ) =
KIt
Tn2
e −t / Tn .
(5.18)
För en stegförändring av storleken usteg gäller U ( s ) = usteg / s , vilket ger stegsvaret
(
)
y (t ) = K usteg 1 − (1 + t / Tn ) e−t / Tn .
(5.19)
Svaren finns avbildade i figur 5.10 och 5.11 ( ζ = 1 ).
Överdämpat system
Överföringsfunktionen för ett överdämpat andra ordningens system skrivs vanligtvis i formen
G ( s) =
K
,
(T1 s + 1)(T2 s + 1)
(5.20)
där T1 och T2 , är relaterade till ω n och ζ enligt (vi antar att T1 > T2 )
T1 =
ζ + ζ 2 −1
,
ωn
T2 =
ωn =
1
,
T1T2
ζ =
y (t ) =
KI
e −t / T1 − e −t / T2
T1 − T2
Omvänt gäller
Systemet har impulssvaret
(
ζ − ζ 2 −1
.
ωn
T1 + T2
2 T1 T2
(5.21)
.
(5.22)
)
(5.23)
5–7
Medtas till tentamen
5. Enkla dynamiska system
5.3 System av andra ordningen
och stegsvaret
(
⎛
1
y (t ) = K usteg ⎜⎜1 −
T1 e −t / T1 − T2 e −t / T2
⎝ T1 − T2
)⎞⎟⎟ .
(5.24)
⎠
Svaren finns avbildade i figur 5.10 och 5.11 ( ζ > 1 ).
Underdämpat system
Det faktum att karakteristiska ekvationen för ett underdämpat system har komplexa rötter gör att
de analytiska uttrycken för systemets transientsvar innehåller trigonometriska funktioner. För
impulssvaret fås
y (t ) = K I ω n β −1 e −ζ ω n t sin( βω n t ) ,
(5.25)
där
β = 1−ζ 2 ,
Stegsvaret blir
0 ≤ ζ < 1.
(
(5.26)
)
y (t ) = K usteg 1 − β −1 e −ζ ωn t sin( βω n t + ϕ ) ,
där
ϕ = arccos(ζ ) ,
(5.27)
0 ≤ ζ < 1.
(5.28)
Alternativt kan stegsvaret med hjälp av trigonometriska samband (eller en annan form av
Laplacetransformen) uttryckas med sin( βω n t ) och cos( βω n t ) . Svaren ses i figur 5.10 och 5.11
( ζ < 1 ).
Normerade transientsvar
Figur 5.10 visar impulssvaret och figur 5.11 stegsvaret för olika system av andra ordningen utan
nollställe. När svaret och tiden normeras såsom i figurerna bestäms svaren entydigt av dämpningsfaktorn ζ . Märk att detta även gäller för kritiskt dämpade och överdämpade system.
Man kan notera att transientsvaren för ett underdämpat system är oscillerande, medan
transientsvaren för ett kritiskt dämpat och ett överdämpat system är mera monotona. För dessa
system har impulssvaret visserligen en vändpunkt — annars kunde ju inte utsignalen återgå till
sitt initialvärde — men stegsvaret saknar översläng. I det avseendet liknar stegsvaret för ett
kritiskt dämpat eller överdämpat andra ordningens system stegsvaret för ett första ordningens
system. En väsentlig skillnad är dock att stegsvaret för ett första ordningens system har sin
brantaste lutning genast i början av svaret medan ett andra ordningens system inte har det. Med
ledning av detta kan man avgöra om ett givet stegsvar kan vara svaret för ett första ordningens
system eller inte.
1
2
ζ = 0.1
y
KIωn
0
ζ = 0.1
y
Kusteg
0.3
0.6
1.0
1.5
2.5
0.3
0.6
1
5.0
1.0
1.5
2.5
5.0
−1
0
5
ωnt
10
Figur 5.10. Impulssvar för system av andra
ordningen utan nollställe.
5–8
0
0
5
ωnt
10
Figur 5.11. Stegsvar för system av andra
ordningen utan nollställe.
Medtas till tentamen
5. Enkla dynamiska system
5.3 System av andra ordningen
5.3.2 Identifiering av överdämpat system
I detta avsnitt beskrivs en enkel metod för identifiering av ett överdämpat andra ordningens
system utan nollställe utgående från dess stegsvar. Systemets överföringsfunktion ges av ekvation (5.20), eller ifall en dödtid L inkluderas,
G (s) =
K e−Ls
.
(T1 s + 1)(T2 s + 1)
(5.29)
Liksom tidigare bestäms systemets förstärkning K enligt ekvation (5.7). En eventuell dödtid
ges av den tid som stegsvarets initialrespons är fördröjd i förhållande till stegförändringen.
Huvudproblemet är således att bestämma systemets tidskonstanter T1 och T2 . I det följande
antas att T1 ≥ T2 . Som gränsfall kan systemet vara kritiskt dämpat ( T1 = T2 ) eller av första
ordningen ( T2 = 0 ).
Modifierad Harriotts metod
Harriott (1964) har utvecklat en relativt enkel grafisk metod för bestämning av överföringsfunktioner av typen (5.29) utgående från stegsvar. Metoden används fortfarande rätt allmänt,
men eftersom numeriska beräkningar av den typ som ligger till grund för metoden inte utgör
något problem nuförtiden, skall vi här presentera en modifiering av Harriotts metod. Denna
modifikation ger i allmänhet något noggrannare estimat än originalmetoden och den kan dessutom kombineras med enkla beräkningar så att resultatet ytterligare förbättras.
Principiell beskrivning
Alla system av typen (5.29) har ett stegsvar som når 72 % av slutliga totala förändringen vid
en tidpunkt t ≈ L + 1,25 (T1 + T2 ) . Om man först uppskattar dödtiden L får man enkelt summan
av tidskonstanterna på basen stegsvaret vid denna tidpunkt. Vidare gäller att stegsvaren för
system med olika värden på parametern z = T1 (T1 + T2 ) är väl separerade vid tidpunkten
t = L + 0,5 (T1 + T2 ) . Parametern z ger en god karakteristik av systemets egenskaper eftersom
ett första ordningens system har z = 1 , ett kritiskt dämpat system har z = 0,5 , och för ett överdämpat system gäller 0,5 < z < 1 .
Figur 5.12 visar stegsvaret
för ett första ordningens system, ett kritiskt dämpat andra
ordningens system samt ett
överdämpat andra ordningens
system med z = 0,8 . Stegsvaren är normerade så att utsignalen y dividerats med den
slutliga förändringen y∞ och
tiden uttrycks med variabeln
τ = (t − L) (T1 + T2 ) . Såsom
framgår av figuren, når stegsvaren 72 % av totala förändringen vid tiden τ = τ 72 ≈ 1,25
och de är väl separerade vid
tiden τ = τ z ≈ 0,5 .
1
y/y
∞
0.72
yz/y∞
z=1
0.8
τ = (t −L)/(T1+T2)
0.5
0
0
0.5
1.25
τ
Figur 5.12. Stegsvar för överdämpade system med olika
värden på z .
5–9
Medtas till tentamen
5. Enkla dynamiska system
5.3 System av andra ordningen
Tidskonstanternas summa ΣTi kan uppskattas utgående från tidpunkten τ 72 och stegsvarets
värde vid τ z kan användas för en uppskattning av parametern z enligt diagrammet i figur 5.13.
När ΣTi och z är kända kan man enkelt beräkna tidskonstanterna T1 och T2 .
Det är tack vare tidsaxelns normering i figur 5.12 som stegsvaren når 72 % vid samma
normerade tidpunkt τ 72 samt har den goda separeringen vid en annan normerad tidpunkt τ z .
Denna normering förutsätter att man känner tidskonstanternas summa samt den eventuella dödtiden, vilket man dock inte gör när man skall identifiera systemet. Lyckligtvis kan ovan
beskrivna procedur även användas med den verkliga tidsvariabeln t .
Konkret arbetsgång
Beteckna tidpunkten när stegsvaret når 72 % av totala förändringen enligt den verkliga tidsskalan
med t 72 . Tidskonstanternas summa ΣTi kan då uppskattas enligt
ΣTi = 0,8(t 72 − L) ,
(5.30)
där L är dödtiden, som uppskattas separat. Vanligtvis kan man (inledningsvis) anta att L = 0 ,
såvoda det inte är uppenbart av stegsvaret att något annat värde borde användas.
Låt t z beteckna den tidpunkt i den verkliga tidsskalan som motsvarar τ z = 0,4τ 72 , där stegsvaren för olika typers system avviker mest ifrån varandra. Denna tidpunkt ges då av
t z = 0, 4t72 + 0, 6 L .
(5.31)
Beteckna utsignalens värde vid tidpunkten t z med y z . Beräkna förhållandet y z / y∞ , där den
slutliga förändringen y ∞ , liksom y z , kan avläsas från stegsvaret och avläs parametern z ur
diagrammet i figur 5.13. Beräkna därefter systemets tidskonstanter enligt
T1 = z ΣTi , T2 = ΣTi − T1 .
(5.32)
Märk att parametern z inte kan bestämmas ur figur 5.13 om det avlästa värdet på y z är så
lågt att y z / y∞ < 0, 27 . Man bör då välja en större dödtid L och upprepa beräkningarna.
0.40
y /y
yz = stegsvar vid t = 0.4t72+0.6L
z ∞
0.35
0.30
0.25
0.5
z = T1/(T1+T2)
0.6
0.7
0.8
0.9
Figur 5.13. y z för olika värden på z .
5–10
z
1
Medtas till tentamen
5. Enkla dynamiska system
5.3 System av andra ordningen
En iterativ förbättring
Ovan beskrivna procedur ger i allmänhet tillräckligt noggranna estimat av T1 och T2 . Man kan
dock inte förvänta sig exakta resultat, bl.a. för att den exakta tidpunkten τ 72 i själva verket
varierar något med z , såsom illustreras i figur 5.14. I intervallet 0,62 ≤ z ≤ 0,96 avviker τ 72
med mindre än 1 % från 1,25 och den maximala avvikelsen är 1,8 % för ett första ordningens
system ( z = 1 ).
Om parametern z bestämd enligt metoden ovan har ett sådant värde, att τ 72 enligt figur 5.14
avviker mer än önskvärt från värdet 1,25, kan man förbättra estimaten av tidskonstanterna. Man
bestämmer först ett nytt värde på τ 72 i enlighet med figur 5.14 för det redan beräknade värdet på
z . Därefter beräknar man ett nytt estimat av tidskonstanternas summa enligt
ΣTi = (t 72 − L) / τ 72 ,
(5.33)
varefter ekvation (5.32) ger nya estimat av de enskilda tidskonstanterna.
Märk att estimatet av z enligt figur 5.13 inte påverkas eftersom y z inte förändras.
1.28
τ
72
τ
72
= (t −L)/(T +T )
72
1
2
1.27
1.26
1.25
z = T1/(T1+T2)
1.24
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
z
1
Figur 5.14. τ 72 för olika värden på z .
4 Exempel 5.2. Approximativ identifiering med första och andra ordningens system.
Vi skall utgående från enhetsstegsvaret för ett system som beskrivs av överföringsfunktionen
1
(1)
G(s) =
(6s + 1)(4s + 1)(2s + 1)
bestämma
a) en approximativ modell av första ordningen med dödtid enligt modifierade tangentmetoden;
b) en approximativ modell av andra ordningen med ev. dödtid enligt Harriotts modifierade
metod.
För jämförelsens skull skall vi också bestämma optimalt anpassade modeller av första och
andra ordningen samt jämföra de olika modellernas stegsvar med det exakta stegsvaret.
För enkelhets skull räknar vi med dimensionslösa tider.
5–11
Medtas till tentamen
5. Enkla dynamiska system
5.3 System av andra ordningen
Insignalen u är ett enhetssteg, dvs U ( s ) = 1 / s . Vi får då enhetsstegsvaret
Y ( s ) = G ( s )U ( s ) =
1
.
(6s + 1)(4s + 1)(2s + 1) s
(2)
Detta uttryck finns inte i vår Laplacetransformtabell, vilket innebär att vi behöver göra en
partialbråksuppdelning. Vi förbigår detaljerna och konstaterar att inverstransformering av det
allmänna uttrycket
1
(3)
F (s) =
(T1 s + 1)(T2 s + 1)(T3 s + 1)s
ger tidsfunktionen
f (t ) = 1 −
T32
T12
T22
e −t / T1 −
e −t / T2 −
e −t / T3 .
(T1 − T2 )(T1 − T3 )
(T2 − T1 )(T2 − T3 )
(T3 − T1 )(T3 − T2 )
(4)
I vårt fall får vi med T1 = 6 , T2 = 4 och T3 = 2 stegsvaret
9
1
y (t ) = 1 − e −t / 6 + 4e −t / 4 − e −t / 2
2
2
(5)
som finns uppritat i figur 5.15.
Enhetsstegsvar för systemet
1
0.95
0.9
0.85
0.8
0.75
0.7
0.65
0.6
y(t)
0.55
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
t
Figur 5.15. Enhetsstegsvaret för systemet G (s ) .
För både a)- och b)-fallet behövs systemets förstärkning K . För ett enhetssteg är u steg = 1
och enligt figur 5.15 är y ∞ = 1 . Ekvation (5.7) ger då förstärkningen K = 1 .
5–12
Medtas till tentamen
5. Enkla dynamiska system
5.3 System av andra ordningen
a) Vi skall bestämma en modell av första ordningen med dödtid enligt modifierade tangentmetoden. Figur 5.15 kan med fördel användas för de grafiska konstruktioner som behövs.
Vi börjar med att dra en tangent genom den punkt där stegsvaret har sin brantaste lutning och
avläser var tangenten skär tidsaxeln. Skärningspunkten har tidskoordinaten t ≈ 2,5 , vilket ger
dödtiden L ≈ 2,5 . Vid 63 % av totala förändringen y ∞ är y = y 63 = 0,63 y ∞ = 0,63 . Detta
värde uppnås vid t ≈ 12,5 (mycket approximativt), vilket betyder att L + T ≈ 12,5 . Vi har
därmed bestämt ett system av första ordningen med K = 1 , T = 10 och L = 2,5 , dvs ett system
med överföringsfunktionen
1
(6)
G1 ( s ) =
e − 2, 5 s .
10s + 1
Enhetssteget U ( s) = 1 / s samt inverstransformering av Y1 ( s ) = G1 ( s )U ( s ) ger enhetsstegsvaret
y1 (t + 2,5) = 1 − e −t / 10 .
(7)
Detta stegsvar finns uppritat i figur 5.16 tillsammans med det verkliga systemets stegsvar.
a) Anpassat första ordningens system
1
0.9
0.8
0.7
y(t)
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
5
10
15
20
25
t
30
35
40
45
50
Figur 5.16. Enhetsstegsvaren för G (s ) (heldragen linje) och G1 ( s ) (streckad linje).
Man kan även bestämma modellparametrarna numeriskt genom minimering av kvadratsumman av skillnaden mellan modellens och det verkliga systemets stegsvar i ett antal punkter.
En sådan optimering ger K = 1,02 , T = 9,05 och L = 3,83 . Modellens stegsvar finns uppritat i
figur 5.17 tillsammans med det verkliga stegsvaret. Felkvadratsumman blir mindre än för
G1 ( s ) , men det är klart att dödtiden är för stor och även försärkningen är aningen för hög.
5–13
Medtas till tentamen
5. Enkla dynamiska system
5.3 System av andra ordningen
Optimerat första ordningens system
1
0.9
0.8
0.7
y(t)
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
5
10
15
20
25
t
30
35
40
45
50
Figur 5.17. Enhetsstegsvaren för G (s ) (heldragen linje) och
optimerat första ordningens system (streckad linje).
b) Vi skall bestämma en modell av andra ordningen med Harriotts modifierade metod.
Vi börjar med att bestämma den tidpunkt då systemet nått 72 % av den totala förändringen.
Enligt figur 5.15 får vi t 72 ≈ 15 . Enligt stegsvaret ser det ut som om det skulle behövas en
dödtid ungefär av storleken 1. I allmänhet får man dock som helhet en bättre anpassning genom
att välja en dödtid som är aningen större än den ”verkliga”, vilket även framgår av a)-fallet. Låt
oss därför välja L = 1,5 . Enligt ekvation (5.30) får vi då ΣTi ≈ 10,8 .
Nästa steg är att bestämma t z enligt ekvation (5.31), vilket här ger t z ≈ 6,9 . Enligt stegsvaret i figur 5.15 är vid denna tidpunkt y = y z ≈ 0.275 , vilket då y ∞ = 1 ger z ≈ 0,6 (mycket
approximativt). Ur figur 5.14 kan vi då avläsa ett korrigerat τ 72 ≈ 1,264 , som enligt ekvation
(5.33) ger en korrigerad tidskonstantsumma ΣTi ≈ 10,68 . Ekvation (5.32) ger slutligen tidskonstanterna T1 = z ΣTi ≈ 6,41 och T2 = ΣTi − T1 ≈ 4,27 . Vi har därmed bestämt ett system av
andra ordningen med överföringsfunktionen
1
G2 ( s ) =
(8)
e −1,5s ,
(6,41s + 1)(4,27 s + 1)
som har enhetsstegsvaret
1
y 2 (t + 1,5) = 1 −
6,41 e −t / 6, 41 − 4,27 e −t / 4, 27 .
(9)
2,14
(
)
Detta stegsvar finns avbildat i figur 5.18 tillsammans med det verkliga systemets stegsvar.
Enligt figuren förefaller anpassningen mycket god.
En optimering av parametrarna för ett andra ordningens system med dödtid genom anpassning
till det verkliga stegsvaret såsom i fall a) ger K = 1,002 , T1 = T2 = 5,35 och L = 1,38 . Figur
5–14
Medtas till tentamen
5. Enkla dynamiska system
5.3 System av andra ordningen
5.19 visar stegsvaret för detta system tillsammans med stegsvaret för det verkliga systemet.
Anpassningen är endast marginellt bättre än den som erhölls med Harriotts modifierade metod.
b) Anpassat andra ordningens system
1
0.9
0.8
0.7
y(t)
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
5
10
15
20
25
t
30
35
40
45
50
Figur 5.18. Enhetsstegsvaren för G ( s) (heldragen linje) och G2 ( s ) (streckad linje).
Optimerat andra ordningens system
1
0.9
0.8
0.7
y(t)
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
5
10
15
20
25
t
30
35
40
45
50
Figur 5.19. Enhetsstegsvaren för G (s) (heldragen linje) och
optimerat andra ordningens system (streckad linje).
3
5–15
Medtas till tentamen
5. Enkla dynamiska system
5.3 System av andra ordningen
5.3.3 Identifiering av underdämpat system
Såsom framgår av figur 5.11 karakteriseras ett stegsvar av ett underdämpat system ( 0 ≤ ζ < 1 ) av
oscillation. Uppenbarligen kan svängningarnas amplitud och frekvens utnyttjas för identifiering
av ett andra ordningens underdämpat system.
ymax
P
y (1−δ)
∞
y∞
y∞(1−δ)
t
tr
δ
Figur 5.20. Stegsvaret för ett underdämpat system.
System med oscillerande stegsvar kan karakteriseras med hjälp av olika parametrar som kan
utläsas ur stegsvaret. Ett antal dylika parametrar finns utmärkta i figur 5.20. För att underlätta
de verbala parameterdefinitionerna nedan antar vi att utsignalens initialvärde är noll (dvs vi
använder avvikelsevariabler) samt att stegsvarets slutvärde är positivt. Vi definierar:
y∞
Utsignalens slutliga värde (>0).
y max
Utsignalens största värde, som är lika med första överslängens maximivärde.
M
Maximal relativ översläng, M = ( y max − y ∞ ) / y ∞ .
P
tr
Svängningarnas periodtid (speciellt den första mätbara perioden).
Stigtid, som är den tid det tar innan utsignalen för första gången passerar y ∞ . Ibland
definierar man stigtiden som den tid det tar att för första gången komma från 10 %
till 90 % av y ∞ .
tδ
Insvängningstid, som är den tid det tar tills utsignalen i fortsättningen hålls mellan
(1 − δ ) y ∞ och (1 + δ ) y ∞ , dvs tills (1 − δ ) y ∞ ≤ y (t ) ≤ (1 + δ ) y ∞ , t ≥ tδ , gäller.
Vanligtvis används δ = 0,05 = 5 % eller δ = 0,02 = 2 %.
Utgående från den analytiska lösningen av systemets stegsvar kan man härleda uttryck som
relaterar dessa parametrar till parametrarna i systemets överföringsfunktion
G ( s) =
K ω n2
s 2 + 2ζω n s + ω n2
, 0 ≤ ζ < 1.
(5.34)
Med användning av beteckningen
β = 1−ζ 2
5–16
(5.35)
Medtas till tentamen
5. Enkla dynamiska system
5.3 System av andra ordningen
fås för maximala relativa överslängen
M =
y max − y ∞
= e −π ζ / β ,
y∞
för periodtiden
P=
2π
βω n
,
(5.36)
(5.37)
och för stigtiden tills utsignalen passerar y ∞
tr =
π − arctan( β / ζ )
.
βω n
(5.38)
Dessa uttryck är exakta. För insvängningstiden kan ett exakt allmängiltigt uttryck inte härledas,
men approximativt gäller
ln δ
tδ ≈ −
, M >δ .
(5.39)
ζωn
För identifiering av systemet är det normalt enklast att mäta M och P . Systemets relativa
dämpning ζ kan då bestämmas ur ekvationerna (5.35) och (5.36), varefter den odämpade egenfrekvensen ω n fås ur ekvation (5.37). Stigtiden och ekvation (5.38) kan även användas i stället
för (5.36) eller (5.37). Systemets förstärkning K bestäms på normalt sätt enligt ekvation (5.7).
Stegsvaret för ett kraftigt underdämpat system är i allmänhet känsligt för störningar, parametervariationer och avvikelser från ideala systemantaganden. I praktiken är t.ex. en stegförändring
inte perfekt, såvida den inte är en börvärdesförändring, och systemet är inte exakt av andra
ordningen. Sådana avvikelser påverkar främst systemets initialrespons och därmed den första
överslängen. Man kan därför få bättre resultat om identifieringen baseras på flera svängningar.
Vi betecknar den n:te överslängens maximivärde med y max,n och den n:te underslängens
minimivärde med y min,n . Dessa är med andra ord stegsvarets n:te lokala maximivärde resp.
minimivärde. Utgående från ekvation (5.27) kan man då härleda
ymax,n + k − y∞ y∞ − ymin,n+ k
=
= M Rk = e −2π k ζ / β ,
ymax,n − y∞
y∞ − ymin,n
(5.40)
där M Rk betecknar kvoten mellan n+k:te och n:te relativa överslängen eller underslängen.
4Exempel 5.3. Identifiering av underdämpat andra ordningens system.
Vi skall identifiera ett underdämpat andra ordningens system utgående från stegsvaret i figur
5.20. Tidsaxeln i figuren går från 0 till 20 sekunder och utsignalaxeln från 0 till 2,5.
Ur figuren erhåller vi
y
− y ∞ 2,17 − 1,5
M = max
≈
= 0,447 och P ≈ 9,75 − 3,25 = 6,5 .
y∞
1,5
Ekvation (5.35) och (5.36) kan lösas med avseende på ζ , vilket ger
− ln M
.
(1)
ζ =
2
2
π + (ln M )
Numeriskt får vi ζ = 0,2485 . För den odämpade egenfrekvensen ger ekv. (5.37) ω n = 0,998 .
Förstärkningen K kan inte bestämmas, eftersom insignalens stegstorlek inte är given.
De korrekta värdena, som använts vid uppritandet av stegsvaret, är ζ = 0,25 och ω n = 1 .
3
5–17
Medtas till tentamen
5. Enkla dynamiska system
5.4 System med dödtid
5.4 System med dödtid
Med dödtid avses en fördröjning. Utsignalen från ett system bestående enbart av en dödtid L
ser exakt ut som insignalen, men den är fördröjd med L tidsenheter. Om utsignalen betecknas
y (t ) och insignalen u (t ) gäller således för en ren dödtid
y (t + L) = u (t ) .
(5.41)
I praktiken beror en dödtid ofta på transportfördröjning. Ett typiskt exempel är ett transportband. Även vid vätske- och gasströmning i en rörledning uppstår dödtider beträffande det strömmande mediets egenskaper såsom temperatur och koncentration. Mätinstrument kan ibland
medföra en dödtid, t.ex. vid analys av mätsampel.
Överföringsfunktionen för en dödtid av storleken L är
G ( s ) = e − Ls .
(5.42)
Denna funktion är i princip enkel, men som bekant medför dödtider reglertekniska problem.
Detta antyds också av att dödtider tillhör gruppen icke-minimumfassystem (se kapitel 8). Därtill
ger dödtider ofta, speciellt i kombination med andra systemelement, analys- och beräkningsmässiga problem. Orsaken är att överföringsfunktionerna för andra typer av systemelement är
rationella funktioner, medan dödtidens överföringsfunktion är en irrationell funktion. Därför har
man ofta anledning att använda rationella approximationer av (5.42).
Enkla rationella approximationer kan härledas från Taylorserieutvecklingen av e − Ls , dvs
e − Ls = 1 − Ls +
( Ls ) 2 ( Ls ) 3
−
+ ".
2!
3!
(5.43)
Om endast de två första termerna medtas erhålles den enkla — men relativt onoggranna —
approximationen
e − Ls ≈ 1 − Ls .
(5.44)
Om fler termer medtas fås en bättre approximation, men hanteringen av uttrycket blir i praktiken
också besvärligare när polynomets gradtal stiger.
En annan möjlighet är att utnyttja omskrivningen och serieutvecklingen
1
e − Ls =
e
Ls
=
1
2
( Ls )
( Ls ) 3
1 + Ls +
+
+"
2!
3!
.
(5.45)
Om endast de två första termerna i nämnaren beaktas fås approximationen
e − Ls ≈
1
,
1 + Ls
(5.46)
vilket innebär att dödtiden L approximeras som ett första ordningens system med tidskonstanten
L . Om fler termer medtas fås approximationer med system av högre ordning.
Man kan kombinera dessa två metoder på olika sätt. Ett sätt är att utnyttja omskrivningen
e
− Ls
=
e
− 12 Ls
e
5–18
1 Ls
2
(5.47)
Medtas till tentamen
5. Enkla dynamiska system
5.4 System med dödtid
samt Taylorserieutvecklingarna av täljaren och nämnaren. Om endast de två första termerna av
Taylorseriutvecklingarna medtas fås
1 − 12 Ls
2
− Ls
≈
e
= −1 +
,
(5.48)
1
1 + 2 Ls
1 + 12 Ls
dvs ett propert, men inte strikt propert, första ordningens system, som har ganska speciella
egenskaper, vilket framgår av ledet längst till höger.
Padé-approximationer är en annan typ approximationer, som är härledda under vissa
optimerande betingelser. Första ordningens Padé-approximation är identisk med (5.48) medan
andra ordningens Padé-approximation är
e
− Ls
≈
1 ( Ls ) 2
1 − 12 Ls + 12
1 ( Ls ) 2
1 + 12 Ls + 12
.
(5.49)
Observera att (5.49) inte erhålls utgående från avklippta Taylorserier. Padé-approximationerna
— det finns också approximationer av högre ordning — är härledda så, att deras frekvenssvar (se
kapitel 8) liknar dödtidens frekvenssvar (båda har förstärkningen 1 vid alla frekvenser), medan
tidssvaren avviker mer.
Ytterligare en approximationsmöjlighet ligger nära till hands. Exponentialfunktionen e x kan
nämligen definieras med hjälp av gränsvärdet
n
x⎞
⎛
e = lim ⎜1 + ⎟ .
n →∞ ⎝
n⎠
x
(5.50)
Om man utnyttjar omskrivningen e − Ls = 1 / e Ls fås då approximationen
e − Ls ≈
(1 +
1
1
n
Ls
)
n
,
(5.51)
dvs ett n:te ordningens system där man själv kan välja ordningen. Ordningen n = 1 ger samma
approximation som (5.46). Högre ordning ger givetvis bättre approximation.
5.5 System med inverssvar
System med inverssvar uppvisar stegsvar vars riktning ändrar en eller flera gånger i början av
stegsvaret. Detta skall inte förväxlas med svängningar för underdämpade system, vars stegsvar
svänger kring det värde utsignalen närmar sig med tiden. System med inverssvar tillhör den
grupp av system som kallas icke-minimumfassystem (se kapitel 8).
Dylika system är inte ovanliga. Ett enkelt exempel är kvicksilvertermometern. Vid höjning
av omgivningens temperatur utvidgar sig först glasröret, vilket får kvicksilverpelaren att sjunka.
Inom kort börjar även kvicksilvret att utvidga sig (densiteten avtar) så att nivåförändringen börjar
gå i rätt riktning. Ett annat exempel på samma typ av beteende är vätskenivån i en ångpanna vid
ökning av matarvattentillförseln.
System med inverssvar är besvärliga att reglera, eftersom man ibland får ”vilseledande”
information. Sådana system karakteriseras av en överföringsfunktion med (ett eller flera)
positiva nollställen, vilket är ekvivalent med negativa tidskonstaner i dess täljare. Figur 5.21
illustrerar stegsvaret för en överföringsfunktion med noll, en eller två negativa täljartidkonstanter.
5–19
Medtas till tentamen
5. Enkla dynamiska system
5.5 System med inverssvar
1
G0
0.8
G1
G0 =
0.6
G2
G(t)
0.4
G1 =
0.2
−0.2
−0.4
0
1
2
t/T
3
4
)(
)
T s +1 T s +1
1,5
2, 5
T s +1 T s +1 T s +1
1
2
3
(
(−
)(
)(
)(
)
)
T s +1 T s +1
1,5
2,5
T s +1 T s +1 T s +1
1
2
3
(
0
G2 =
(
(−
)(
)(
)(
)
)
T s +1 − T s +1
1,5
2,5
T s +1 T s +1 T s +1
1
2
3
(
)(
)(
)
5
Figur 5.21. Stegsvar med olika antal negativa täljartidkonstanter.
Såsom de nämnda exemplen antyder kan system med inverssvar uppstå när man parallellkopplar två delsystem vars förstärkningar har olika tecken.
Övning 5.2.
K1
K2
och G2 =
parallellkopplas så
(T1s + 1)
(T2 s + 1)
att ett system med överföringsfunktionen G = G1 + G2 erhålles. Antag att T1 > T2 > 0 och visa
T
K
att G är ett icke-minimumfassystem om 1 > − 1 > 1 .
T2
K2
Två system med överföringsfunktionerna G1 =
5.6 System i serie
Vid analys av seriekopplade system är det viktigt att veta om systemen är interfererande eller
icke-interfererande. I det förra fallet påverkas ett delsystem av efterföljande delsystem i serien, i
det senare fallet påverkas varje delsystem endast av tidigare delsystem i serien.
Om man t.ex. seriekopplar två exemplar av lågpassfiltret i exempel 3.1, så kommer de att
interferera, eftersom den efterföljande kretsen belastar den förra. Om man däremot förser det
första filtret med en förstärkare på utgångssidan, så att dess utspänning inte påverkas av belastningen, kommer de inte att interferera med varandra.
En analog situation kan erhållas om man seriekopplar två vätskebehållare, där utströmningen
sker med självtryck (jfr exempel 3.5). Om utströmmen från den första behållaren rinner fritt in i
den andra existerar ingen interferens, men om behållarna är kopplade så, att utströmmen från den
första behållaren strömmar genom ett rör till nedre delen av den andra behållaren, uppstår
interferens pga det mottryck som vätskenivån i den andra behållaren utövar på inströmmen.
Icke-interfererande delsystem i serie är enkla att hantera. Deras överföringsfunktioner kan
härledas var för sig och sammanslås genom multiplikation såsom visats i avsnitt 4.3.3.
Interfererande delsystem är besvärligare att hantera, eftersom de enskilda delsystemens
egenskaper modifieras av interferensen. I dylika fall måste man ofta modellera och behandla
delsystemen som en helhet.
5–20
Medtas till tentamen
6. Stabilitet
Såsom framgått i de två inledande kapitlen förutsätter en lyckad regulatordesign kompromisser
mellan prestanda (”snabbhet”) och stabilitet. Ett system som oreglerat är stabilt kan bli instabilt
genom för aggressiv reglering. Å andra sidan existerar det också system som oreglerade är
instabila och som kräver reglering för att stabiliseras. Vi kan konstatera att stabilitet är ett nödvändigt, men inte tillräckligt, villkor för en god reglering.
Det är uppenbart att vi behöver systematiska metoder för att avgöra om ett system — reglerat
eller oreglerat — är stabilt eller instabilt.
6.1 Stabilitetsdefinitioner
Stabilitet kan definieras på flera olika sätt — mer eller mindre matematiskt och med småvariationer i gränsdragningen dem emellan. För alla praktiska ändamål är de olika definitionerna
dock ekvivalenta för linjära system, men en viss definition kan i en given situation vara
behändigare att använda än en annan. Därför är det ändamålsenligt att här ta upp de vanligaste
stabilitetsdefinitionerna.
Följande två rätt konkreta stabilitetsdefinitioner är allmänna såtillvida, att de gäller både för
linjära och olinjära system och oberoende av typen av systembeskrivning (modell).
6.1.1 Asymptotisk stabilitet
Ett system är asymptotiskt stabilt om det efter en övergående störning återgår till sitt begynnelsetillstånd.
En typisk övergående störning (dvs en insignal som i något skede återgår till sitt begynnelsetillstånd och därefter förblir där) är en puls och i praktiken blir eventuella beräkningar enklast om
vi antar att pulsen är en impuls. Obs. att en stegförändring inte är en övergående störning.
Anmärkning 1. Asymptotisk stabilitet definieras ofta i mer matematiska termer än ovan,
vilket medför att definitionerna ser annorlunda ut. De är dock ekvivalenta.
6.1.2 Insignal-utsignalstabilitet
Ett system är insignal-utsignalstabilt om en begränsad insignal ger en begränsad utsignal.
En typisk begränsad insignal är en stegförändring.
Anmärkning 2. Av definitionen följer att ett insignal-utsignalstabilt system har ändlig förstärkning vid alla ”frekvenser” (se kapitel 8).
6.2 Poler och stabilitet
För att vara användbara vid matematisk analys och design måste de verbala stabilitetsdefinitionerna ovan formuleras i mer matematiska termer. Vi skall härleda en sådan formulering genom
att betrakta tidssvaret (transientsvaret) för ett godtyckligt system (utan dödtid) när det utsätts för
dels en övergående, dels eller bestående, insignalförändring.
6–1
Medtas till tentamen
6. Stabilitet
6.2 Poler och stabilitet
6.2.1 Tidssvaret för ett linjärt system
I enlighet med avsnitt 4.3 och ekvation (4.27) kan överföringsfunktionen för ett system utan
dödtid allmänt skrivas
b s m  b1s m1   bm1s  bm
G( s)  0 n
,
(6.1)
s  a1s n1   an1s  an
där
A(s)  s n  a1s n1 
 an1s  an
(6.2)
är systemets karakteristiska polynom.
Antag att det karakteristiska polynomet kan faktoriseras som
A(s)  (s  p1)(s  p2 )
(s  pn ) ,
(6.3)
där pk , k  1, , n , är polynomets nollställen, som samtidigt är systemets poler. Om vi inledningsvis antar att polerna är reella och distinkta (dvs alla pk , k  1, , n , är reella och olika
stora) samt att systemet är strikt propert (dvs m  n ), existerar partialbråksuppdelningen
G( s) 
där konstanterna Ck , k  1,
utsignal Y ( s) ges då av
C1
C2


s  p1 s  p2

Cn
,
s  pn
(6.4)
, n , kan bestämmas såsom beskrivits i avsnitt 4.4.3. Systemets
 C
C2
Y ( s)   1 

 s  p1 s  p2
där U ( s) är dess insignal.

Cn 
U ( s) ,
s  pn 
(6.5)
Antag att insignalen är en impuls, dvs en övergående störning som i definitionen av asymptotisk stabilitet. Impulsens Laplacetransform är som bekant U (s)  I . Insättning i (6.5) och inverstransformering ger då tidssvaret
y(t )  C1Ie p1t  C2 Ie p2t 
 Cn Ie pnt , t  0 .
(6.6)
Villkoret för asymptotisk stabilitet är att y(t )  0 när t   . Vi ser att detta uppfylls om och
endast om alla pk  0 , k  1, , n .
Antag att insignalen i stället är en stegförändring, dvs en bestående störning som i definitionen av insignal-utsignalstabilitet. Om steget är av storleken usteg , har insignalen Laplacetransformen U (s)  usteg / s . Om alla pk  0 , ger insättning i (6.5) samt inverstransformering då
y(t )  C1 p11usteg (e p1t  1)  C2 p21usteg (e p2t 1) 
 Cn pn1usteg (e pnt 1) , t  0 .
(6.7)
Utsignalen är begränsad om och endast om alla faktorer e pk t , k  1, , n , är begränsade för
t  0 . Eftersom pk  0 , gäller detta om och endast om alla pk  0 . Om någon pol pk  0 , ger
inverstransformering av motsvarande term i (6.5) ett tidssvar som växer proportionellt med tiden,
dvs obegränsat. Härav följer att systemet inte är stabilt om någon pol finns i origo. Precis som
ovan gäller då att systemet är insignal-utsignalstabilt om och endast om alla pk  0 , k  1, , n .
Komplexa nollställen för det karakteristiska polynomet uppträder som komplexkonjugerade
par. Dylika par kan sammanslås till en faktor av andra ordningen såsom gjordes vid partial6–2
Medtas till tentamen
6. Stabilitet
6.2 Poler och stabilitet
bråksuppdelningen i avsnitt 4.4.3. Å andra sidan kan man också räkna med komplexa tal vid
partialbråksuppdelningen. Antag att p1    j och p2    j . De två första termerna på
högra sidan i (6.6) ger då bidraget
y12 (t )  C1Ie(  j )t  C2 Ie(  j )t  Ie t (C1e jt  C2e jt )
 Ie t  (C1  C2 ) cos(t )  j(C1  C2 )sin(t )  ,
(6.8)
där den sista likheten följer av Eulers formel. Eftersom signalen y12 (t ) är reell, måste högra
ledet i (6.8) vara reellt. Detta kräver att C1 och C2 är. komplexkonjugerade. Eftersom de trigonometriska funktionerna i (6.8) är begränsade (ändliga), gäller att y12 (t )  0 då t   om och
endast om   0 , dvs Re( pk )  0 . Om insignalen är en stegförändring, fås att utsignalen är
begränsad om   0 , men om man till stegförändringen adderar en sinusformigt svängande
signal av lämplig frekvens, fås en begränsad utsignal om och endast om   0 , dvs Re( pk )  0 .
Ifall det karakteristiska polynomet innehåller multipla nollställen, fås en partialbråksuppdelning vars inverstransform förutom liknande termer som i uttrycken ovan, även innehåller
produkter av exponentialfunktioner och tiden t upphöjd till en viss potens. Eftersom exponentialfunktionen e pk t med Re( pk )  0 avtar snabbare än vad t n växer, går sådana termer mot noll
när t   . Därmed gäller ovan givna stabilitetsvillkor även när systemet har multipla poler.
6.2.2 Stabilitetsvillkor uttryckt med systemets poler
Utgående från analysen ovan kan vi uttrycka stabilitetsvillkoret med hjälp av systemets poler:
Ett tidskontinuerligt linjärt system är stabilt om och endast om systemets alla poler pk ,
k  1, , n , ligger i det komplexa talplanets vänstra halva, dvs om
Re( pk )  0 , k  1,
,n.
(6.9)
Systemets poler är nollställen till den karakteristiska ekvationen A(s)  0 .
Anmärkning 3. För linjära system är stabilitet en systemegenskap, dvs om stabilitetsvillkoret
uppfylls för någon övergående eller begränsad insignal så uppfylls det för alla dylika insignaler.
Detta behöver inte vara fallet för olinjära system.
6.2.3 Återkopplade system
Resultaten ovan gäller givetvis även för
återkopplade (reglerade) system. Vi skall
dock härleda ett användbart uttryck för
den karakteristiska ekvationen som funktion av de ingående komponenterna i ett
enkelt reglersystem.
R( s )


Gc
Gp ( s)
V ( s)


Y ( s)
Gm ( s)
Betrakta figur 6.1, där Gp betecknar
Figur 6.1. Återkopplad reglerkrets.
överföringsfunktionen för en process, Gc
för en regulator och Gm för ett mätinstrument. Med blockschemaalgebra kan man härleda
Y
GpGc
1  GpGcGm
R
1
V.
1  GpGcGm
(6.10)
6–3
Medtas till tentamen
6. Stabilitet
6.2 Poler och stabilitet
Här är
Gk  GpGcGm
(6.11)
1  Gk ( s)  0
(6.12)
systemets kretsöverföring och
ett sätt att uttrycka den karakteristiska ekvationen för ett återkopplat system. Märk dock att
lösning av (6.12) kräver. En användbarare form fås om vi definierar
Gk ( s) 
Bk ( s)
.
Ak ( s)
(6.13)
Efter förlängning med Ak ( s) fås den karakteristiska ekvationen i formen
Ak (s) A(s)  Ak (s)  Bk (s)  0 .
(6.14)
Ibland händer det sig att någon av överföringsfunktionerna Gp , Gc eller Gm i nämnaren har
en faktor s  p som också finns i någon av de andra överföringsfunktionernas täljare. Detta
innebär att Gk har samma faktor både i täljaren och nämnaren och att den i princip kan förkortas
bort. Man bör dock inte göra detta utan behålla faktorn kvar i både Ak ( s) och Bk ( s) , som enligt
(6.14) då ger en lösning s  p . Detta är speciellt viktigt då Re( p)  0 , eftersom systemet då är
instabilt eller på gränsen till instabilitet. Orsaken till att man inte skall förkorta bort gemensamma faktorer är att Gp , Gc och Gm förbinds av verkliga signaler.
En försvårande omständighet är att processen ofta innehåller en dödtid, och då systemet är
återkopplat, finns denna dödtid med i Gk ( s) . För att utnyttja ovan härledda stabilitetsvillkor,
eller Routh-Hurwitz’ stabilitetskriterium i avsnitt 6.3.1, är man tvungen att approximera
dödtiden med ett rationellt uttryck (se avsnitt 5.4), som gör att Bk ( s) (och Ak ( s) ) kan uttryckas
som rena polynom. Stabilitetsanalysen blir givetvis nu endast approximativ.
Övning 6.1.
Visa att systemet Gp 
10
är instabilt. Undersök om det kan stabiliseras med en P-regulator.
s 1
Övning 6.2.
Är systemet Gp 
1
stabilt eller instabilt? Undersök om den slutna kretsen är stabil då
s  2s  2
systemet regleras med en PI-regulator med (a) Kc  1 , Ti  0,5 ; (b) Kc  15 , Ti  0,5 ;
2
(c) Kc  15 , Ti  0, 25 .
6.3 Analysmetoder
Användning av stabilitetsvillkoret definierat med hjälp av systemets poler kräver att man kan
bestämma polerna. För system av högre ordning än 2 kan det vara svårt eller rent av omöjligt att
bestämma polerna analytiskt, men om alla systemparametrar är givna, såsom i övning 6.2, kan
man givetvis beräkna dem numeriskt. Ofta har man dock intresse av att utreda stabilitetsgränserna som funktion av en eller flera obestämda parametrar (t.ex. regulatorparametrar), och
gärna så att gränserna kan anges med analytiska uttryck. Då ger en hög systemordning problem.
6–4
Medtas till tentamen
6. Stabilitet
6.3 Analysmetoder
En annan komplikation uppstår om systemet innehåller dödtid så att den ingår i den karakteristiska ekvationen. Som påpekats ovan, uppstår denna situation om ett system med dödtid återkopplas. Beräkning av systemets poler kräver då att dödtiden approximeras med ett rationellt
uttryck, vilket innebär att polerna endast kan bestämmas approximativt.
Av dessa orsaker har det utvecklats ett antal stabilitetsanalysmetoder, som ger analytiska
uttryck eller i princip exakta (numeriska) lösningar för system med dödtid. Följande metoder
behandlas i denna kurs:
1. Bodes stabilitetskriterium, som behandlas i avsnitt 8.3. Detta är en s.k. frekvensanalytisk
metod, som klarar av dödtider utan approximation. Analysen kan göras ”grafiskt” eller
numeriskt.
2. Nyquists stabilitetskriterium, som också behandlas i avsnitt 8.3. Detta är en mera allmängiltig
variant av Bodes stabilitetskriterium. Också i detta fall kan analysen göras grafiskt eller
numeriskt.
3. Routh-Hurwitz’ stabilitetskriterium, som behandlas i avsnitt 6.3.1. Denna metod kan ge
stabilitetsintervall med avseende på olika parametrar, t.ex. regulatorparametrar. Hög systemordning medför inga speciella problem, men dödtider kan inte behandlas exakt.
4. Stabilitetsanalys genom ”direkt substitution”, som behandlas i avsnitt 6.3.2. I denna metod
utnyttjas det faktum att systemets poler, dvs den karakteristiska ekvationens nollställen, måste
ligga på det komplexa talplanets imaginära axel vid stabilitetsgränsen. Dödtider kan behandlas exakt, men för system av hög ordning tenderar beräkningarna bli besvärliga.
6.3.1 Routh–Hurwitz’ stabilitetskriterium
Användningen av Routh-Hurwitz’ stabilitetskriterium förutsätter att karakteristiska ekvationen
kan skrivas som ett polynom,
A( s ) = a0 s n + a1s n−1 + … + an−1s + an = 0 ,
(6.15)
där koefficienten a0 , även inkluderats. Såsom ovan påpekats, bör en eventuell dödtid ( e − Ls )
approximeras med ett rationellt uttryck, t.ex. en Padé-approximation. Stabilitetskriteriet blir i
detta fall givetvis approximativt.
Beskrivningen nedan förutsätter att koefficienternas tecken i karakteristiska ekvationen valts
så, att a0 > 0 (ofta har vi a0 = 1 ). Efter valet a0 > 0 kontrollerar man koefficienternas tecken i
den karakteristiska ekvationen.
1. Om någon koefficient är icke-positiv (dvs är noll eller negativ) kan man genast säga att systemet är instabilt. Detta beror på att den karakteristiska ekvationen då måste ha minst ett
nollställe (och systemet därmed minst en pol) som har icke-negativ realdel.
2. Om alla koefficienter är positiva, kan systemet vara stabilt, men inga säkra slutsatser kan ännu
dras. Ett tillräckligt och nödvändigt stabilitetsvillkor fås med hjälp av nedanstående schema.
a0 a2 a4
a a −a a
a a −a a
aa
−a a
, ci = 1 2i + 2 0 2i +3
c0 = 1 2 0 3 , c1 = 1 4 0 5 ,
a1 a3 a5
a1
a1
a1
(6.16)
c0 c1 c2
c0 a3 − a1c1
c0 a5 − a1c2
c0 a2i +3 − a1ci +1
d0 d1 d 2
, d1 =
,
, di =
d0 =
c0
c0
c0
Routh-Hurwitztablån till vänster i (6.16) bildas på följande sätt:
– Elementen i de två första raderna i tablån erhålles direkt från karakteristiska ekvationen.
Ifall andra raden innehåller en koefficient mindre än den första, införs en nolla som sista
element så att båda raderna har lika många element.
6–5
Medtas till tentamen
6. Stabilitet
6.3 Analysmetoder
– Tredje och fjärde radens element erhålles enligt formlerna till höger i (6.16). I formlerna
behövliga element som skulle finnas i en kolumn till höger om tablån sätts lika med noll.
Därmed blir beräknade element i tablåns sista kolumn alltid lika med noll.
– Element i efterföljande rader beräknas enligt samma princip som tredje och fjärde radens
element. Vid beräkning av ett element i kolumn j fås täljarens termer då genom ”korsvisa” multiplikationer av elementen i de två föregående radernas första kolumn och
kolumn j + 1 , medan nämnaren är lika med elementet i föregående rads första kolumn. För
ett n :te ordningens system erhålles en tablå med n + 1 rader (varav n − 1 är beräknade).
– Ifall det första elementet i en rad blir noll när det finns andra element i raden som kan bli
olika noll, ersätts det första elementet med ε (ett ”litet” positivt tal), som sedan används i
de fortsatta beräkningarna. När alla element i tablån är bestämda, får element innehållande
ε det värde som uttrycket går mot när ε → 0 .
Stabilitetsvillkoret är att alla element i tablåns första kolumn skall vara strikt positiva. Ifall
något element i första kolumnen är icke-positivt är systemet instabilt; antalet teckenväxlingar
i först kolumnen är lika med antalet systempoler med positiv realdel.
Anmärkning 1. I bland kan det under beräkningens gång framgå att alla oberäknade element
måste bli lika med noll. Då kan man naturligtvis avbryta beräkningarna.
Anmärkning 2. Om något element i första kolumnen är lika med noll motsvaras detta av en
pol med realdelen noll.
Anmärkning 3. Stabilitetsvillkoret att alla element i första kolumnen skall vara positiva kan
givetvis användas för att beräkna stabilitetsgränser med avseende på obestämda parametrar som
ingår i den karakteristiska ekvation, t.ex. regulatorparametrar i ett återkopplat system.
Övning 6.3.
Visa att följande stabilitetsvillkor gäller då a0 = 1 i karakteristiska ekvationen (6.15):
(a) Ett godtyckligt andra ordningens system är stabilt om och endast om a1 > 0 och a2 > 0 .
(b) Ett godtyckligt tredje ordningens system är stabilt omm a1 > 0 , a3 > 0 och a1a2 > a3 .
Övning 6.4.
Undersök om det återkopplade systemet till
höger är stabilt samt, ifall det är instabilt, hur
många poler det har i högra halvplanet.
Övning 6.5.
Lös övning 6.2 med hjälp av Routh-Hurwitz’
stabilitetskriterium.
R( s)
2
s ( s + 1)2
+
−
4
s+5
Övning 6.6.
För vilka värden på regulatorförstärkningen K c är nedanstående system stabilt?
Gp =
1
1
, Gv =
5s + 1
2s + 1
Gm =
6–6
1
,
s +1
C = Kc
Y ( s)
Medtas till tentamen
6. Stabilitet
6.3 Analysmetoder
Övning 6.7.
Undersök med R-H kriteriet för vilka värden på regulatorförstärkningen K c ett återkopplat
system med samma struktur som ovan är stabilt när
Gp =
4e−2 s
, Gv = 0,5, Gm = 1, C = K c .
5s + 1
Ersätt dödtiden med en Padé-approximation av första ordningen.
6.3.2 Bestämning av stabilitetsgränsen via direkt substitution
Enligt avsnitt 6.2 är ett system stabilt om alla dess poler ligger i det komplexa talplanets vänstra
halva, dvs om alla poler har negativ realdel. Om någon pol ligger i talplanets högra halva, dvs
har positiv realdel, är systemet instabilt. Om någon pol har realdelen noll, dvs är ett rent imaginärt tal, befinner sig systemet följaktligen på gränsen till instabilitet. Det komplexa talplanets
imaginära axel definierar med andra ord stabilitetsgränsen för systemets poler.
Av ovanstående följer att den karakteristiska ekvationen A( s ) = 0 har en eller flera lösningar
av formen s = ± jω (där ω även kan vara noll) om systemet befinner sig på (in)stabilitetsgränsen — stabila system kan inte ha sådana lösningar. Om den karakteristiska ekvationen innehåller okända parametrar, t.ex. regulatorparametrar då A( s ) = 0 är karakteristiska ekvationen för
ett återkopplat system, kan man undersöka om det finns en lösning av formen s = ± jω för något
val av parametervärden som då definierar parametrarnas stabilitetsgränsvärden. Som analysen
nedan visar, kan dödtider behandlas exakt.
Substitution av s = jω i den karakteristiska ekvationen A( s ) = 0 ger efter hyfsning med
j2 = −1 ett uttryck av formen
A( jω ) = C (ω ) + jD(ω ) = 0 ,
(6.17)
där C och D är funktioner av ω och eventuella obekanta parametrar. Denna ekvation kan ha en
lösning om och endast om den satisfieras var för sig av ekvationens reella och imaginära delar,
vilket ger ekvationssystemet
⎧ C (ω ) = 0
.
(6.18)
⎨
⎩ D(ω ) = 0
Om systemet kan befinna sig på stabilitetsgränsen, har (6.18) en eller flera lösningar, annars inte.
Varje lösning ger då en lösning ω = ωc samt ett uttryck som definierar stabilitetsgränsen som
funktion av eventuella obekanta parametrar.
En dödtid e− Ls i den karakteristiska ekvationen A( s) = 0 medför inga principiella problem
eftersom man kan utnyttja Eulers formel
e − jω L = cos( Lω ) − jsin( Lω ) .
(6.19)
Övning 6.8.
Lös övning 6.6 med direkt substitution av s = jω .
Övning 6.9.
Lös övning 6.7 med direkt substitution utan att approximera dödtiden.
6–7
Medtas till tentamen
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
PID-regulator (uttal ”pee-ii-dee”-regulator) är en generisk benämning på en typ av regulatorer
där en linjär kombination av proportionell, integrerande och deriverande verkan av ett reglerfel
används för beräkning av en styrsignal. Förutom valet om integrerande och deriverande verkan
skall medtas (proportionalverkan medtas i praktiken alltid), finns det flera varianter av PIDregulatorn. Den är utan tvekan den mest använda regulatorn i industrin — det uppskattas att
PID-regulatorer används i över 95 % av alla reglerkretsar.
En PID-regulator har upp till tre (eller i vissa varianter ännu fler) justerbara parametrar. Det
kan vara ett rätt så utmanande problem att för en given process ställa in dessa så att önskad
reglerprestanda erhålles. Det finns dock en stor mängd relativt enkla inställningsmetoder som
ofta ger ett acceptabelt resultat eller en bra utgångspunkt för vidare fininställning. Vi skall i
detta kapitel behandla ett antal dylika metoder, både heuristiska och rent analytiska metoder
såväl som modellbaserade och modellfria metoder. Ifall en processmodell (i form av en överföringsfunktion) saknas, kan den behövliga processinformationen normalt erhållas genom ett
enkelt identifieringsexperiment. Alla metoder, som här tas upp, förutsätter att det oreglerade
systemet är stabilt eller integrerande. Instabila system kräver mer avancerade metoder av den
typ som behandlas i kapitel 8.
Det finns flera orsaker till att vi tar upp rätt många inställningsmetoder. En orsak är att de är
utvecklade för olika typer av reglering (konstantreglering, följereglering) eller prestanda (snabb
och aggressiv reglering resp. mindre aggressiv reglering). Frånsett dessa skillnader, finns det
också skillnader i hur väl de olika (heuristiska) metoderna fungerar för olika processer. En annan
orsak är att man kan välja metod enligt den tillgängliga eller enklast bestämbara processinformationen. Vissa klassiska metoder, som det finns orsak att känna till, presenteras också.
Ett gemensamt drag för de medtagna inställningsmetoderna, vilket underlättar deras användning, är att de kräver ett minimum av prestandarelaterade designparametrar. De heuristiska
metoderna kräver inga designparametrar alls, för de analytiska metoderna specificeras det reglerade systemets önskade överföringsfunktion (normalt av första ordningen). Flexiblare och mera
detaljerade designmetoder baserade på frekvensanalys presenteras i kapitel 8.
7.1 Varianter av PID-regulatorn
Vi introducerade PID-regulatorn och diskuterade en del av dess egenskaper redan i avsnitt 2.5.4.
Här skall vi närmare behandla olika varianter och formuleringar av PID-regulatorn.
7.1.1 Ideal PID-regulator
En ideal PID-regulator beskrivs av reglerlagen
t

1
de(t ) 
u (t )  Kc  e(t )   e( ) d  Td
(7.1)
  u0 ,


T
d
t
i


0
där u (t ) är regulatorns utsignal och e(t )  r (t )  y(t ) är skillnaden mellan referensvärdet r (t )
och mätvärdet y (t ) , dvs reglerfelet (se figur 2.11). Förutom styrsignalens normalvärde u 0 (ofta
= 0), har regulatorn de justerbara parametrarna (proportional)förstärkning K c , integrationstid Ti
(även integraltid) och deriveringstid Td (även derivatatid). PID-regulatorns överföringsfunktion
är
7–1
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
7.1 Varianter av PID-regulatorn
GPID 

 K
U ( s)
1
 Kc 1 
 Td s   c 1  Ti s  TiTd s 2 ,
E (s)
 Ti s
 Ti s


(7.2)
där E ( s) är reglerfelets Laplacetransform och U ( s) är Laplacetransformen av utsignalens avvikelse från basvärdet, dvs Laplacetransformen av u(t )  u0 .
Såsom framgår av överföringsfunktionen, kan PID-regulatorn, beroende på valet av Ti och
Td , ha reella eller komplexa nollställen. Komplexa nollställen kan vara önskvärt vid reglering
av underdämpade system, som har komplexa poler.
Reglerlagen och överföringsfunktionen för en PI-regulator, som saknar deriverande verkan,
fås uppenbarligen genom att i ekvationerna ovan sätta Td  0 . Det är värt att notera att en PDregulator, som alltså saknar integrerande verkan, inte erhålles med Ti  0 , utan med Ti   .
Detta åstadkommer man enklast genom att helt enkelt lämna bort termen med integrerande
verkan. Om man av någon anledning inte kan göra det, låter man Ti vara ett väldigt stort tal.
Överföringsfunktionerna för en PI-regulator och en PD-regulator blir således

1  Kc
GPI  Kc 1 
1  Ti s  ,

 Ti s  Ti s
(7.3)
GPD  Kc 1  Td s  .
(7.4)
Den ideala PID-regulatorn benämnes ibland parallellformen av en PID-regulator eftersom
dess blockschema kan skrivas som en parallellkoppling av proportionaldelen, integrationsdelen
och deriveringsdelen. Andra benämningar förekommer också, t.ex. (ISA) standardform.
7.1.2 Serieformen av en PID-regulator
När PID-regulatorer före den digitala eran implementerades analogt, visade det sig bekvämt att
konstruera dem som en seriekoppling av en PI- och en PD-regulator. Följaktligen kallas denna
variant av PID-regulatorn för serieformen av en PID-regulator. Ibland används även benämningarna interaktiv form eller klassisk form. Överföringsfunktionen för regulatorn är

K
1 
GPIPD  Kc 1 
(1  Tds)  c 1  Tis  1  Tds  ,

Tis
 Tis 
(7.5)
där symboler med övre index  anger att parametrarna hänför sig till serieformen av en PIDregulator. Ordningsföljden mellan PI- och PD-delarna spelar i princip ingen roll.
Märk att serieformen av en PID-regulator endast kan ha reella nollställen. Detta är givetvis en
begränsning som gör regulatorn mindre generell än den ideala PID-regulatorn. Å andra sidan är
serieformen mycket behändig vid regulatorinställning med frekvensanalytiska metoder genom
fasavancerande och -retarderande (eng. lead-lag) design (se kapitel 8).
Övning 7.1.
Hur ser reglerlagen i tidsplanet ut för serieformen av en PID-regulator?
7.1.3 PID-regulatorer med derivatafilter
En principiell nackdel med ovan beskrivna PID-regulatorer är att deriveringen inte kan göras
exakt i en verklig regulator. Till exempel om reglerfelet e(t ) i ekv. (7.1) förändras stegformigt,
7–2
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
7.1 Varianter av PID-regulatorn
blir dess derivata oändlig i förändringsögonblicket, vilket inte kan realiseras. Detta problem kan
avhjälpas genom filtrering av den signal som deriveras. Ett sådant filter har dessutom den praktiska fördelen att (högfrekvent) mätbrus filtreras före deriveringen. Av dessa anledningar är
deriveringen i praktiska regulatorer alltid kombinerad med en filtrering. Normalt används ett
lågpassfilter som har formen av ett strikt propert första ordningens system.
Med denna modifiering blir överföringsfunktionen för en ideal PID-regulator med derivatafilter

Ts 
1
GPIDf  Kc 1 
 d 
(7.6)
 Ti s Tf s  1 
och för serieformen av en PID-regulator med derivatafilter
 T s  1  Tds  1 
GPIPDf  Kc  i

,
 Tis  Tfs  1 
(7.7)
där Tf resp. Tf betecknar filtertidkonstanten. Vanligtvis väljes filtertidkonstanten så att den är
klart mindre än deriveringstiden, typiskt 10 till 30 % av deriveringstiden.
Sambandet mellan ideal form och serieform
Eftersom båda dessa former används i praktiken, är det av intresse att kunna beräkna parametrarna för den ena formen utgående från kända parametrar för den andra formen så att de två
överföringsfunktionerna blir identiska, om möjligt. Om parametrarna för serieformen är kända,
kan man beräkna parametrarna för den ideala PID-regulatorn enligt
Ti  Ti Td  Tf , Td  Td
Ti
T
 Tf , Tf  Tf , Kc  Kc i .
Ti
Ti
(7.8)
Sambandet mellan de ofiltrerade formerna av den ideala PID-regulatorn och serieformen, ekv.
(7.3) och (7.5), fås givetvis med Tf  0 .
Som nämnts, tillåter den ideala PID-regulatorn komplexa nollställen medan serieformen inte
gör det. Av detta följer att en ideal PID-regulator med komplexa nollställen inte kan uttryckas
med hjälp av serieformen. Om den ideala PID-regulatorns nollställen däremot är reella, finns det
en exakt motsvarighet. Med beteckningen
  1
4Ti (Td  Tf )
(7.9)
(Ti  Tf )2
fås sambanden
Ti 
(Ti  Tf )
1 
2

,
Td  Ti  Tf  Ti , Tf  Tf , Kc  Kc
Ti
.
Ti
(7.10)
Villkoret för att omskrivningen skall existera (dvs ge reella parametrar) är   0 , vilket kräver
(Ti  Tf )2
Td 
.
4Ti
(7.11)
Omskrivningen inte unik vad de enskilda parametrarna beträffar ( Ti och Td kan inte åtskiljas),
men båda lösningarna ger samma överföringsfunktion. Det naturliga torde vara att välja den
lösning som ger det större värdet på Ti , vilket medför Ti  Td .
7–3
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
7.1 Varianter av PID-regulatorn
7.1.4 Derivering av mätvärdet
Även om derivatadelen är försett med ett filter, kan det vid deriveringen av reglerfelet vara en
stor skillnad på om ett reglerfel uppstått på grund av en plötslig börvärdesförändring r (t ) eller
om det beror på en störning i utsignalen y (t ) . En sådan störning påverkar normalt utsignalen
med en viss dynamik som är betydligt långsammare än en (stegformig) börvärdesförändring.
Om regulatorns derivatadel ställts in så att den effektivt detekterar och hjälper till att eliminera
störningar i utsignalen, kommer den att överreagera på en stegformig börvärdesförändring.
Det finns olika sätt att angripa detta problem. Den enklaste lösningen är att derivera en
filtrerad utsignal, inte reglerfelet. Eftersom utsignalen ingår i reglerfelet med negativt tecken,
modifieras reglerlagen (7.1) då till
t

dy (t ) 
dy (t )
1
u (t )  Kc  e(t )   e( ) d  Td f   u0 , Tf f  yf (t )  y (t ) .

Ti 0
dt 
dt

(7.12)
I Laplaceplanet erhålles



KcTd s
Ts 
1 
1 
1
U ( s )  K c 1 
Y ( s )  K c 1 
 d  Y ( s) , (7.13)
 E ( s) 
 R ( s )  K c 1 
Tf s  1
 Ti s 
 Ti s 
 Ti s Tf s  1 
eller med överföringsfunktionerna definierade i ekv. (7.3) och (7.6),
U (s)  GPI R(s)  GPIDf Y (s) .
(7.14)
Såsom framgår av ekv. (7.14), behandlar regulatorn nu börvärdesförändringar och störningar i
utsignalen på olika sätt. Enligt härledningen ovan är överföringsfunktionen GPI och PI-delen i
GPIDf lika, men ingenting hindrar att de väljes olika. Man kan då ställa in regulatorn skilt för
börvärdesförändringar (dvs följereglering) och störningseliminering (dvs konstantreglering). En
sådan regulator sägs ha två frihetsgrader; på engelska används ofta akronymen 2DOF för att
beteckna detta.
Övning 7.2.
Hur ser reglerlagen ut, både i tidsplanet och i Laplaceplanet, för serieformen av en PID-regulator
med derivering enbart av mätvärdet?
7.1.5 Viktning av börvärdet
En enkel variant av en PID-regulator med två frihetsgrader erhålles med hjälp av börvärdesviktning. Med definitionerna
ep (t )  br (t )  y(t ) , e(t )  r (t )  y(t ) , ed (t )  cr (t )  yf (t ) ,
(7.15)
där b och c är börvärdesvikter för proportionaldelen resp. derivatadelen, blir den rätt allmänna
reglerlagen
t

de (t ) 
dy (t )
1
u (t )  Kc  ep (t )   e( ) d  Td d   u0 , Tf f  yf (t )  y (t ) .

Ti 0
dt 
dt

(7.16)
Märk att integraldelens börvärde bör ha vikten ett för att eliminera stationär regleravvikelse när
integrerande verkan medtas. I Laplaceplanet blir reglerlagen
U (s)  GvPID R(s)  GPIDf Y (s) ,
(7.17)
7–4
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
7.1 Varianter av PID-regulatorn
där GPIDf definierats i ekv. (7.6) och


1
GvPID  Kc  b 
 cTd s  .
Ti s


(7.18)
Med lämpliga val av parametrarna b , c och Tf erhålls alla ovan behandlade regulatorvarianter utom serieformen. Den ideala regulatorformen utan filtrering av börvärdet fås t.ex.
med valen b  1 , c  1 och Tf  0 . Regulatorformer som inte deriverar börvärdet fås med c  0 .
Speciellt kan noteras att b och c inte alls påverkar regulatorns förmåga att klara av störningar
som påverkar utsignalen, endast börvärdesförändringar. Detta kan uttnyttjas så att GPIDf ställs
in för störningseliminering (dvs konstantreglering), medan b och c används för att ställa in
regulatorn för börvärdesförändringar (dvs följereglering). Ett lämpligt värde på b är ofta
b  0,5 .
Övning 7.3.
Inkludera börvärdesviktning i PID-regulatorns serieform.
7.1.6 Icke-interaktiv form av PID-regulatorn
För ovan behandlade PID-regulatorer innebär valet Kc  0 att regulatorn inte alls reglerar, dvs
den är satt på ”manuell reglering”. Detta innebär också att proportionaldelen inte kan kopplas
bort utan att hela regleringen upphör. Vanligtvis vill man nog ha med proportionaldelen, men i
vissa specialfall kan det vara önskvärt att koppla bort den. I princip gäller samma problematik
integraldelen eftersom Ti   inte kan realiseras. I praktiken är dock dessa problem av mindre
betydelse eftersom man kan välja en regulatorstruktur där den obehövliga delen inte alls finns
med, t.ex. en ren PD-regulator om integrerande verkan inte behövs.
Vid analys av reglersystem och design eller syntes av regulatorer kan det dock vara behändigt
att ha en regulatorstruktur där PID-regulatorns olika delar kan medtas eller uteslutas på ett
flexiblare sätt. En sådan struktur har reglerlagen
t
u (t )  Kcep (t )  Ki  e( ) d  K d
0
ded (t )
 u0 .
dt
(7.19)
I Laplaceplanet kan den skrivas
U (s)  GvP+I+D R(s)  GP+I+Df Y (s) ,
(7.20)
GvP+I+D  Kcb  Ki s 1  cKd s , GP+I+Df  Kc  Ki s 1  Kd s(Tf s  1)1 .
(7.21)
där
Här kan man koppla bort vilken som helst term genom att sätta dess koefficient lika med noll.
Märk också att proportional-, integral- och derivatadelarnas parametrar kan justeras utan att
andra delar påverkas. När K c justeras i de tidigare nämnda PID-regulatorerna, påverkas alla
delar. Å andra sidan är detta en effekt man normalt vill ha.
Man kan alltså säga att regulatordelarna i (7.19) är icke-interaktiva (eller okopplade), medan
de i de tidigare nämnda regulatorerna är interaktiva (eller kopplade). Precis som för andra
regulatorer, är språkbruket dock vacklande rörande benämningen av denna regulatorvariant.
Vissa reglerexperter väljer att kalla den för parallellformen av en PID-regulator, vilket med
tanke på dess blockschemastruktur är en naturlig benämning, medan andra experter med
7–5
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
7.1 Varianter av PID-regulatorn
parallellformen avser den ideala PID-regulatorn. En annan beskrivande benämning vore additiv
form av en PID-regulator, men också den benämningen har använts för den ideala PIDregulatorn. Här kommer vi vid behov att använda benämningen icke-interaktiv PID-regulator.
Sambanden mellan parametrarna i de interaktiva och motsvarande icke-interaktiva regulatorformer är uppenbarligen
(7.22)
Ki  Kc / Ti , Kd  KcTd .
7.1.7 Kommentar
Som vi har sett finns det ett stort antal olika varianter av PID-regulatorn och även om
genomgången ovan täcker huvudvarianterna, är den inte uttömmande. Vanligt är att man tillför
funktioner för diagnostisering och hantering av olika problemsituationer. Ett vanligt problem är
att styrvariabeln når en fysikalisk begränsning, vilket kan försämra regleringen radikalt. Se
avsnitt 7.3.3.
För övrigt är det givetvis av yttersta vikt att ange för vilken regulatorvariant en uppsättning
regulatorparametrar gäller. Speciellt gäller detta skillnaderna mellan parallellformerna och serieformerna samt de interaktiva och icke-interaktiva formerna. Likaså är det av nödvändigt att veta
vilken variant som används när man skall mata in parametrarna i ett automationssystem eller
t.ex. i ett simuleringsprogram såsom SIMULINK.
7.2 Val av regulatortyp
Alla regulatorvarianter som genomgåtts ovan har en proportionaldel (P), en integraldel (I) och en
derivatadel (D), men alla delar behöver inte alltid ingå. I fortsättningen kallar vi de olika alternativen (P, PI, PD, PID, etc.) för olika typer av PID-regulatorer helt oberoende av deras variant.
I princip skall vi välja enklaste regulatortyp som klarar av ”jobbet”. Redan i avsnitt 2.5.4
nämndes P-, I- och D-delarnas huvudsakliga för- och nackdelar, vilket kan ge en viss indikation
om vilka delar som skall inkluderas i ett specifikt fall. I det följande skall vi diskutera dessa
aspekter något närmare.
7.2.1 Tvålägesregulator
Tvålägesregulatorn är den enklaste regulartypen, som karakteriseras av att styrsignalen endast
har två lägen. Andra benämningar på denna regulator är på/av-regulator eller on/off-regulator.
Om vi definierar våra variabler så att ett positivt reglerfel skall åtgärdas med en ökning av
styrsignalens värde (dvs regulatorn har en positiv förstärkning), kan vi i matematisk form
uttrycka reglerlagen som
om e(t )  0
u
u (t )   max
,
(7.23)
umin om e(t )  0
där umax är styrsignalens maximivärde och umin dess minimivärde. Strikt sett hör tvålägesregulatorn inte till gruppen PID-regulatorer även om den kan uppfattas som en P-regulator med
oändlig förstärkning.
Tvålägesregulatorn är billig att tillverka och enkel att implementera eftersom den inte har
några justerbara parametrar förutom valet av styrsignalens två lägen. Dess stora nackdel är att
den förorsakar fortgående svängningar i processen. Dessa kan i viss mån motverkas genom
införandet av en dödzon eller hysteres, som medför att styrsignalen inte ändras eller sätts lika
med ett normalvärde u0 om reglerfelet är ”litet”. Därför är tvålägesregulatorn lämplig endast för
7–6
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
7.2 Val av regulatortyp
processer där fortgående svängningar med måttlig amplitud kan tolereras. Dylika regulatorer är
vanliga i enklare hushållsapparater såsom ugnar, strykjärn, kylskåp, frysboxar, etc. Värmeregleringen i bostäder sköts också ofta med tvålägesregulatorer inbyggda i termostater. Såsom
framgår av exemplen används tvåstegsregulatorer ofta för värmereglering då svängningar kan
tillåtas.
7.2.2 P-regulator
En P-regulator implementerar den enkla reglerlagen
u(t )  Kce(t )  u0 ,
(7.24)
där K c är den justerbara regulatorförstärkningen och u0 är styrsignalens normalvärde, som
också är justerbart. I princip försöker man välja u0 så att reglerfelet e(t ) blir noll vid processens
nominella driftstillstånd.
Om driftstillståndet ändras genom en börvärdesförändring eller en störning i den reglerade
processens utsignal uppstår som bekant en stationär regleravvikelse. Därför är P-regulatorn
endast lämplig för processer där ett (litet) reglerfel kan accepteras. Såsom visades i avsnitt 2.5.2
blir det stationära reglerfelet mindre ju större regulatorförstärkningens absoluta värde är. Å andra
sidan visades i avsnitt 2.5.3 att det finns processer som blir instabila om regulatorförstärkningen
är för stor. Följaktligen lämpar sig P-reglering bäst för processer där en hög förstärkning kan
användas utan att stabiliteten äventyras. Sådana processer är integrerande processer och processer med första ordningens dynamik.
Av ovanstående följer att P-reglering ofta är tillräckligt för nivåreglering i bufferttankar, vars
uppgift är att tjäna som mellanlager för att jämna ut variationer i processflöden. Det viktiga är
då i allmänhet inte att minimera felet i nivåregleringen utan att minimera variationerna i utströmmen från tanken. Givetvis finns också processer där en god nivåreglering är viktig, och då är en
P-regulator kanske inte tillräcklig. En annan situation då P-reglering ofta räcker till är som inre
reglerkrets, s.k. sekundärkrets, vid kaskadreglering.
7.2.3 PI-regulator
PI-regulatorn är den i särklass vanligaste regulatortypen. Idealformen beskrivs av reglerlagen
t


1
u (t )  Kc  e(t )   e( ) d   u0 ,


Ti 0


(7.25)
där förstärkningen K c och integrationstiden Ti är justerbara parametrar; värdet på u0 spelar en
mindre roll. Den stora fördelen med en PI-regulator är att ingen stationär regleravvikelse uppstår
efter börvärdesförändringar eller processtörningar.
PI-regulatorer används således när man vill undvika stationär regleravvikelse och det inte
finns någon klar fördel med att inkludera deriverande verkan. Precis som P-reglering, är PIreglering därför lämplig för reglering av integrerande processer och processer vars dynamik
liknar dynamiken för första ordningens system.
En orsak att inte inkludera deriverande verkan kan vara mycket brus i mätsignalen — mer än
vad som är lämpligt att filtrera bort. Den mest typiska tillämpningen är flödesreglering. Ett
annat fall när derivering snarare är till nackdel än till fördel är när det finns en avsevärd dödtid
någonstans i reglerkretsen (vanligtvis i själva processen). Det bästa är då att implementera en
7–7
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
7.2 Val av regulatortyp
reglerlag med någon form av dödtidskompensering, där dödtiden beaktas explicit i själva
regulatorn. En sådan metod behandlas i avsnitt 7.8.2.
Övning 7.3.
Varför är värdet på u0 inte så viktigt i en PI-regulator?
7.2.4 PD-regulator
Om vi för enkelhets skull utgår från den ideala formen av en PID-regulator, beskrivs en PDregulator av reglerlagen
de(t ) 

(7.26)
u (t )  Kc  e(t )  Td
  u0 ,
dt 

där förstärkningen K c och deriveringstiden Td är justerbara parametrar. Styrsignalens normalvärde u0 väljes som för en P-regulator.
En PD-regulatorer kan vara att föredra när integrerande verkan inte behövs men processens
dynamik är så långsam att derivatans predikterande egenskaper är nyttiga. Många termiska
processer, där energi lagras och värmeförlusterna är små (t.ex. en ugn), kan ha långsam dynamik
men i övrigt fungera ungefär som ett integrerande system. En PD-regulator kan då vara lämplig
för temperaturreglering. En annan typ av tillämpning för PD-regulatorer är reglering av elektriska servomekanismer såsom elektriska motorer. För sådana har sambandet mellan motoraxelns vridningsvinkel och den elektriska spänning som används för styrning av vridningsvinkeln formen av ett integrerande andra ordningens system.
7.2.5 PID-regulator
Såsom vi sett i avsnitt 7.1 kan PID-regulatorn uppträda under olika skepnader. Den ideala
formen och den klassiska serieformen har tre justerbara parametrar (förutom u0 ) , medan former
som inkluderar ett derivatafilter har fyra justerbara parametrar. Dessutom kan börvärdet viktas på
olika sätt i proportionaldelen och derivatadelen. Gemensamt för alla varianter är dock att de har
en proportionaldel, en integraldel och en derivatadel, som alla har justerbara parametrar.
Det torde vara klart att vi väljer en full PID-regulator ifall det enligt diskussionen ovan inte
finns anledning att utelämna integraldelen eller derivatadelen. Detta innebär att vi typiskt
använder en PID-regulator för reglering av underdämpade processer samt processer med relativt
långsam dynamik och inte alltför stor dödtid. Här är förstås ”långsam” ett relativt begrepp —
normalt väljer vi en PID-regulator för ett tredje (eller högre) ordningens system och ofta också
för ett andra ordningens system. Ett dubbelintegrerande system, som är ett specialfall av ett
andra ordningens system, kan inte ens stabiliseras utan D-verkan och därmed inte med en PIregulator.
Typiska tillämpningar för PID-reglering i processindustrin är reglering av temperatur och
kemisk sammansättning i sådana fall där processen inte har integrerande verkan eller betydande
dödtider (t.ex. pga långa koncentrationsanalystider).
7.3 Specifikationer och prestandakriterier
Allmänt kan man säga att en regulators uppgift är att styra ett system så att det beter sig på ett
önskat sätt trots att det påverkas av kända eller okända störningar och trots att det oreglerade
systemets egenskaper är inexakt kända.
7–8
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
7.3 Specifikationer och prestandakriterier
7.3.1 Generella prestandakriterier
Mera specifikt kan man önska att det reglerade systemet skall uppfylla prestandakriterier såsom
följande:
 Det reglerade systemet skall vara stabilt. Detta är givetvis helt nödvändigt.
 Effekten av störningar dämpas så att deras inverkan på den reglerade utsignalen minimeras.
Detta är speciellt viktigt vid konstantreglering.
 Den reglerade utsignalen skall följa börvärdesförändringar snabbt och ”vackert”. Detta är
uppenbarligen viktigt vid följereglering.
 Reglerfelet minimeras eller hålls inom önskade gränser; ofta önskar man att det ”stationära”
reglerfelet helt elimineras. Rent konkret är detta regulatorns huvuduppgift.
 Styrsignalens variation skall vara måttlig eller åtminstone inte överdrivet stor. En stor variation kan tyda på ineffektiv reglering och medför onödigt stort slitage på styrutrustning.
 Reglersystemet skall vara robust, dvs okänsligt för måttliga variationer i processegenskaper
och modellfel vid regulatordesignen. Den verkliga processen är m.a.o. osäkert känd, men man
kallar det ofta för modellosäkerhet.
Den inbördes rangordningen mellan dessa kriterier varierar från fall till fall, men i princip är
de alla alltid relevanta. Såsom tidigare omnämnts, kan de rent prestandarelaterade kriterierna å
ena sidan, och stabilitets- och robusthetskriterierna å andra sidan, inte samtidigt uppfyllas på
bästa möjliga sätt; en god regulatordesign innebär alltid lämpliga kompromisser mellan dessa
motstridiga krav.
7.3.2 Fundamentala begränsningar
En orsak till att det vanligtvis går att finna goda lösningar till ovannämnda designproblem är att
återkoppling utnyttjas vid regleringen. Å andra sidan medför återkopplingen också en begränsning, eftersom en regleråtgärd i vidtas först när det redan existerar ett reglerfel (ev. ett ackumulerat sådant). Det faktum att de tillgängliga resurserna för styråtgärder alltid är begränsade medför också prestandabegränsningar (jfr diskussionen rörande styrbarhet och tröghet i kapitel 1).
Frånsett dessa ofrånkomliga begränsningar, finns det också mera processrelaterade begränsningar. Sådana är
 processens dynamik
 olinjäriteter
 modell/processosäkerhet
 störningar
 styrvariabelbegränsningar
Processdynamiken är ofta den begränsande faktorn. Dödtider samt nollställen och poler i det
komplexa talplanets högra halva (där deras realdel är positiv) begränsar den uppnåeliga prestandan. Att så är fallet beträffande dödtider känner vi redan till (se avsnitt 2.5.3). Eftersom nollställen i högra halvplanet ger upphov till inverssvar (se avsnitt 5.5), är det ganska klart att sådana
medför allvarliga prestandabegränsningar. Ett instabilt system, som karakteriseras av en eller
flera poler i högra halvplanet, behöver i och för sig inte vara svårt att reglera, men andra begränsande faktorer kan vara speciellt besvärliga då systemet är instabilt.
Alla processer är i praktiken olinjära, vilket innebär att de inte kan beskrivas exakt med en
linjär modell med konstanta parametrar. En sådan modell kan t.ex. inte beskriva en olinjär
process felfritt vid olika driftspunkter. En börvärdesförändring ändrar givetvis driftspunkten,
men även om börvärdet hålls konstant ger störningar upphov till olika driftspunkter. Detta
7–9
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
7.3 Specifikationer och prestandakriterier
medför att parametrarna i en linjär modell är osäkra då processen är olinjär. Fast återkoppling
kan reducera effekten av denna osäkerhet, finns det begränsningar också här. Om t.ex. processförstärkningens tecken varierar eller är okänt, kan processen i allmänhet inte stabiliseras med en
regulator som innehåller integrerande verkan.
Störningar såsom laststörningar och mätbrus begränsar hur noggrant en variabel kan regleras.
Mätbrus begränsar regulatorns förstärkning och användning av derivataverkan, vilket i sin tur
försvårar regleringen av bl.a. laststörningar. Stora laststörningar kan också innebära att styrvariabeln når en fysikalisk gräns (t.ex. en ventil helt stängd eller fullt öppen), vilket avsevärt
begränsar den uppnåeliga prestandan. Speciellt besvärligt är detta när regulatorn innehåller en
integrerande term. Proportionalband och integratoruppvridning är två begrepp förknippade med
denna begränsning.
7.3.3 Proportionalband och integratoruppvridning
Proportionalband
En regulators proportionalband anger det maximala reglerfelet regulatorn kan hantera utan att
styrsignalen överskrider de begränsningar som processen och instrumenteringen ställer. Normalt
förknippas proportionalbandet med en P-regulator, men begreppet kan utvidgas så att en full
PID-regulator omfattas. Här skall vi dock endast behandla P-regulatorns proportionalband.
Om styrsignalen är begränsad av umin  u  umax , kan en P-regulator enligt ekv. (7.24)
hantera ett reglerfel e som satisfierar
umin  u0
u
u
 emin  e  emax  max 0 .
Kc
Kc
(7.27)
Proportionalbandet är då lika med emax  emin  yh  yl , där yh är det högsta mätsignalvärdet
( emin  r  yh ) och yl det lägsta mätsignalvärdet ( emax  r  yl ) som P-regulatorn kan hantera.
Vanligtvis anges proportionalbandet Pb i procent av det totala mätområdet  ymin , ymax  . Då fås
Pb 
u
u
yh  yl
100%
.
100%  max min 
ymax  ymin
ymax  ymin Kc
(7.28)
I äldre litteratur och i många existerande automationssystem använder man parametern
proportionalband i stället för proportionalförstärkning. För att veta vilken förstärkning detta
proportionalband motsvarar, bör man som ovan framgår känna till storleken på de realiserbara
styrsignal- och mätsignalintervallen. P-regulatorns förstärkning kan då beräknas enligt
Kc 
umax  umin 100%
.

ymax  ymin
Pb
(7.29)
I praktiken är det tyvärr ofta så att dessa signalintervall inte är så väl dokumenterade.
Förståelsen och användningen av proportionalbandet försvåras ytterligare av att dess samband
med proportionalförstärkningen vanligtvis uttrycks som
Pb 
100 %
.
Kc
(7.30)
Här är det underförstått att K c gäller för normerade signaler så att mät- och styrsignalförändringar uttrycks i procent av sina totala signalområden.
7–10
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
7.3 Specifikationer och prestandakriterier
Den praktiska nyttan av proportionalbandet att det direkt säger något om hur stora reglerfel
regulatorn kan hantera utan att styrsignalen når en begränsning. Om u0 ligger i mitten av
intervallet umin , umax  och proportionalbandet t.ex. är 50 % , klarar en P-regulator av ett
momentant reglerfel (pga en störning eller börvärdesförändring) lika med 25 % (dvs totalt
50 % ) av totala mätområdet. Märk att proportionalbandet är en justerbar regulatorparameter —
om det inte är tillräckligt, kan man öka på det (vilket motsvarar en minskning av regulatorförstärkningen).
Integratoruppvridning
Vanligtvis ställs dock regulatorer in utgående från stabilitets- och prestandakriterier snarare än
utgående från signalbegränsningar. Om en störning som medför ett reglerfel uppstår, kommer
integralen i en regulator med integrerande verkan att växa så länge reglerfelet består. Om störningen är stor, kan detta leda till att styrsignalen till slut når en begränsning pga integraltermen.
Integralen kommer fortsättningsvis att växa så länge reglerfelet har samma tecken trots att
ingenting kan göras i reglerväg för att eliminera reglerfelet (eftersom styrsignalen redan är vid
den fysikaliska begränsningen). Detta fenomen kallas integratoruppvridning (eng. reset windup)
och leder till kraftigt försämrad reglering även efter att reglerfelet avtagit eller helt eliminerats.
Betrakta figur 7.1 och antag att reglerlagen (7.25) används. En kraftig störning inkommer så
att processens utsignal sjunker under börvärdet. Reglerfelet blir positivt och regulatorn kommer
att öka på styrsignalens värde (vi antar att Kc  0 ). Störningen är så kraftig att den inte kan
elimineras trots att styrsignalen når sitt maximivärde. Ett konstant reglerfel uppstår (område A i
figuren) och regulatorintegralens värde växer hela tiden. Antag att störningen som påverkat
processens utsignal upphör att verka. Utsignalen skulle då återgå till sitt börvärde, men eftersom
regulatorns integral är mycket stor kommer styrsignalen att förbli vid sitt maximivärde med den
påföljden att processens utsignal skjuter långt förbi börvärdet. Detta kommer att fortgå ända tills
det negativa reglerfelet får integralen att minska så mycket, att styrsignalen börjar sjunka (B i
figuren). Integralen av det negativa reglerfelet (den av utsignalen avgränsade ytan ovanför börvärdet) kommer i själva verket att bli lika stor som
integralen av det positiva reglerfelet (ytan under
börvärdet).
Det är klart att den dåliga regleringen efter att
störningen upphört att verka är förorsakad av regulatorn själv. För att eliminera problemet borde man
upphöra att integrera när styrsignalen når en begränsning. Detta förutsätter att man vet när en styrsignalbegränsning nås samt att man i regulatorn har
inbyggd logik så att integreringen kan avbrytas.
Termen anti-windup används allmänt (även på
svenska) för att beteckna dylika arrangemang.
Vid digital reglering, som är det normala nuförtiden, är det vanligtvis enklare att sköta antiwinduphanteringen än vid analog reglering.
Figur 7.1. Illustration av integratoruppvridning.
7.3.4 Designspecifikationer
Vi har ovan behandlat generella prestandakriterier och fundamentala begränsningar som gör det
svårt att uppnå önskad prestanda. I detta avsnitt skall vi ta upp explicita designspecifikationer,
7–11
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
7.3 Specifikationer och prestandakriterier
som gör det möjligt att beräkna regulatorns parametrar då lämplig information om processen
finns till hands (t.ex. en modell).
Designspecifikationer kan göras såväl med avseende på beteendet i tidsplanet som i Laplaceoch frekvensplanet. Tidsplans- och Laplaceplansspecifikationer har en mycket konkret innebörd, medan frekvensplansspecifikationerna är mer abstrakta. Kriterier rörande stabilitet och i
synnerhet robusthet kräver dock specifikationer i frekvensplanet. Störningsrelaterade kriterier
för exempelvis konstantreglering behandlas ofta också bäst i frekvensplanet. Eftersom frekvensanalys behandlas först i kapitel 8, skall vi här nöja oss med att ta upp vissa ”klassiska” specifikationer i tids- och Laplaceplanet. I en del av de regulatorinställningsmetoder som behandlas
finns dock robusthetskriterier beaktade.
Stegsvarsspecifikationer
Man önskar ofta att det reglerade systemet skall bete sig ungefär som ett måttligt underdämpat
andra ordningens system. Man kan då använda parametrar såsom (se figur 5.20)
 maximal relativ översläng M
 stigtid tr
 insvängningstid t
 relativ dämpning 
 kvoten mellan på varandra följande relativa överslängar (eller underslängar) M R
Enligt sambanden i avsnitt 5.3.3 är de två förstnämnda parametrarna tillräckliga för att
fullständigt bestämma överföringsfunktionen för ett underdämpat andra ordningens system med
given förstärkning. Insvängningstiden kan i princip användas i stället för endera parametern,
men sambanden är då inte längre exakta. Maximala relativa överslängen kan ersättas med en
specifikation rörande den relativa dämpningen eller överslängskvoten — alla tre är ekvivalenta.
Vissa klassiska inställningsrekommendationer bygger på specifikationen M R  1/ 4 , dvs storleken av på varandra följande relativa överslängar (eller underslängar) dämpas med faktorn 4.
Detta kan tänkas vara acceptabelt för konstantreglering, men följereglering blir vanligtvis för
aggressiv. Detta är i själva verket helt väntat, eftersom M R  1/ 4 motsvarar M  0,5 (dvs 50 %
relativ översläng) och   0, 22 . För följereglering inom processindustrin är specifikationen
M  0,1 vanligtvis lämpligare. Den motsvarar   0,6 .
Ifall reglering utan översläng önskas, kunde man specificera   1 , men det räcker inte för att
fullständigt bestämma det reglerade systemets egenskaper. Övriga parametrar i listan ovan kan
inte användas eftersom de alla förutsätter ett underdämpat system. Vanligtvis väljer man då i
stället att specificera det reglerade systemets överföringsfunktion som ett första ordningens
system, där tidskonstanten kan användas som designparameter.
Märk att en eventuell dödtid i det oreglerade systemet också måste inkluderas i det reglerade
systemets överföringsfunktion.
Övning 7.4.
Vilken förstärkning vill man att det reglerade systemets överföringsfunktion skall ha?
Felintegralkriterier
I princip vill man att det reglerade systemets översläng, stigtid och insvängningstid skall vara så
små som möjligt. I praktiken ger dock en kortare stigtid större översläng och längre insväng-
7–12
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
7.3 Specifikationer och prestandakriterier
ningstid medan en mindre översläng förlänger stigtiden. Detta innebär att kompromisser måste
göras vid användning av dessa kriterier så att man inte kräver en ouppnåelig prestanda.
Ett i viss mån mera objektivt sätt är att bestämma regulatorparametrarna så att en felintegral
efter t.ex. en börvärdesförändring minimeras. Exempel på sådana felintegraler är
ts
ts
ts
ts
J IAE   e(t ) dt , J ISE   e(t ) dt , J ITAE   t e(t ) dt , J ITSE   te(t ) 2 dt ,
0
2
0
0
(7.31)
0
där integralakronymerna är IAE = ”integrated absolute error”, ISE = ”integrated square error”,
ITAE = ”integrated time-weighted absolute error”, ITSE = ”integrated time-weighted square
error”. Märk att viktningen med tiden t gör att reglerfelet e(t ) allt kraftigare tvingas gå mot noll
när tiden växer. I teorin skulle integrationstiden ts vara oändlig, men eftersom minimeringarna
inte kan göras analytiskt, utan måste göras numeriskt, används en ändlig integrationstid. I princip
väljes ts så att reglerfelet för t  ts är försumbart.
Vi kan undersöka hur felintegralerna relaterar till stegsvarsspecifikationerna för ett system
som reglerat blir av andra ordningen, dvs då det reglerade systemet har överföringsfunktionen
G(s) 
n2
s 2  2n s  n2
(7.32)
från börvärdet till utsignalen. Resultaten av numeriska minimeringar av de olika felintegralerna
finns sammanfattade i figur 7.2. Märk att felintegralerna IAE och ISE är normerade med n och
felintegralerna ITAE och ITSE med n2 . De på detta sätt normerade felintegralerna blir beroende
enbart av  , såsom graferna visar. Detta betyder att varje normerad felintegral har ett minimum
för ett givet värde på den relativa dämpningen  , som inte beror av den naturliga frekvensen
n . Vi kan dessutom notera att optimet för ISE är relativ flackt (för   0, 2 ), medan ITAE är
rätt känsligt för  .
Dessa resultat stöder mycket väl den i föregående avsnitt nämnda rekommendationen
  0,6 . De optimala relativa dämpningarna för de olika felintegralerna samt de relativa överslängar M de motsvarar finns sammanfattade i tabell 7.1. Märk dock att
n är obestämd, vilket innebär att
ytterligare en specifikation, t.ex. stigtiden tr , behövs för att fullständigt
bestämma parametrarna i G .
Tabell 7.1. Optimala relativa dämpningar för andra ordningens system.
Felintegral

M (%)
ISE
0,50
16,3
ITSE
0,59
10,1
IAE
0,66
6,3
ITAE
0,75
2,8
Figur 7.2. Felintegraler för andra ordningens system
som funktion av  .
7–13
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
7.4 Frekvenssvarsbaserad regulatorinställning
7.4 Frekvenssvarsbaserad regulatorinställning
I detta avsnitt behandlas några regulatorinställningsmetoder som förutsätter att man kan göra
experiment med en redan existerande (men oinställd) PID-regulator i processen. Den information
dessa experiment ger kunde även erhållas genom frekvensanalys av en tillförlitlig modell av
processen (se kapitel 8). Vi behöver dock ingen modell för den experimentella metoden.
7.4.1 Experimentell regulatorinställning
Vi inleder med en systematisk experimentell metod för regulatorinställning. Den information
experimenten i denna metod ger utnyttjas också i de andra frekvenssvarsbaserade metoderna.
En PID-regulator av interaktiv form (dvs regulatorförstärkningen påverkar också integral- och
derivatadelen) kan ställas in enligt följande procedur:
1. En P-regulator väljes inledningsvis för de första experimenten.
2. Ett rimligt (lågt) värde väljes för regulatorförstärkningen K c . Obs. att förstärkningen skall ha
samma tecken som processförstärkningen K p .
3. Man gör en börvärdesförändring (eller introducerar någon annan störning) och börjar successivt öka på regulatorförstärkningens absoluta
värde tills utsignalen börjar svänga med
Kc  Kc,max
konstant amplitud. Om svängningarna hinner
dö ut innan man är klar, upprepar man
försöket med en ny börvärdesförändring.
4. När man på detta sätt erhållit ”stående”
Kc  Kc,max
| Pc |
svängningar såsom i mellersta diagrammet i
figur 7.3, noterar man vilken regulatorförstärkningen är och mäter upp svängningarnas
period. Regulatorförstärkningen betecknas
Kc  0,5Kc,max
Kc,max och perioden Pc .
5. Regulatorns förstärkning ändras till Kc 
0,5Kc,max . Om avsikten endast är att ställa in
en P-regulator, eller experimentet är gjort för
Figur 7.3. Illustration av stående svängatt erhålla Kc,max och Pc för att användas i
ningar i mellersta diagrammet.
en annan inställningsmetod, är man nu klar.
6. Om man skall ställa in en PI- eller PID-regulator, fortsätter man experimentet med en PIregulator med den ovan bestämda förstärkningen K c . Regulatorns integrationstid Ti ges
inledningsvis ett (mycket) högt värde. Om svängningarna hunnit dö ut, gör man en ny
börvärdesförändring och börjar successivt minska på Ti tills man får stående svängningar.
7. Efter detta ökas integrationstiden med faktorn 3. Ifall det är en PI-regulator man vill ställa in
är man nu klar.
8. Om man vill ställa in en full PID-regulator, fortsätter man med ovan bestämda värden på K c
och Ti och väljer inledningsvis deriveringstiden Td  0 . Om svängningarna hunnit dö ut, gör
man en ny börvärdesförändring och börjar successivt öka på Td tills man igen får svängningar
med konstant amplitud.
9. Deriveringstiden reduceras med faktorn 3 och man har nu sin PID-regulator inställd.
7–14
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
7.4 Frekvenssvarsbaserad regulatorinställning
Märk att det är mycket viktigt att styrsignalen inte svänger så att den når en fysisk begränsning när utsignalen svänger med konstant amplitud. För att undvika detta, måste man göra en
börvärdesförändring som är mindre eller göra en börvärdesförändring i motsatt riktning. Det är
också möjligt att man ändrat den regulator parameter man håller på att ställa in för mycket.
Märk också att man inte skall förflytta sig så långt från den arbetspunkt där regulatorn skall
operera ifall man gör flera börvärdesförändringar. I så fall alternerar man helst riktningen på börvärdesförändringarna.
Ifall experimentell kontroll tyder på att regulatorn kanske kunde fungera bättre, kan man
försöka justera regulatorn parametrar. Figur 7.4 illustrerar hur stegsvaret på en börvärdesförändring typiskt ändras när en PI-regulators parametervärden ökas eller minskas. Det mellersta
diagrammet illustrerar här den bästa regleringen. Märk dock att det finns processer som reagerar
annorlunda på regulatorns parameterförändringar.
Ti  5
Ti  11
Ti  20
Kc  5
Kc  3
Kc  1
Figur 7.4. Illustration av hur justering av förstärkningen och integrationstiden i en PIregulator påverkar slutna kretsen vid en laststörning (från Seborg m.fl., 2004).
7.4.2 Zieglers och Nichols’ frekvenssvarsbaserade rekommendationer
Den säkerligen mest kända metoden att ställa in en P-, PI- eller PID-regulator föreslogs av
Ziegler och Nichols redan 1942. Deras metod baserar sig på bestämning av de (vad stabilitet
beträffar) kritiska parametrarna Kc,max och Pc enligt den ovan beskrivna experimentella metoden (steg 1 till 4). De ställde in regulatorer för ett stort antal system, i princip enligt ”försök och
misstag”, så att ”bra reglering” erhölls vid laststörningar och tog vidare fram enkla samband
mellan de så erhållna regulatorparametrarna och ovannämnda kritiska parametrar. Dessa samband ges i tabell 7.2 för P-, PI- och PID-regulatorer. Märk att metoden inte säger vilken
regulatortyp man skall använda; det måste man själv avgöra, t.ex. med ledning av avsnitt 7.2.
7–15
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
7.4 Frekvenssvarsbaserad regulatorinställning
I tabellen är regulatorparametrarna K c , Ti
och Td uttrycka som kvoter med Kc,max och
Tabell 7.2. Ziegler-Nichols’ frekvenssvarsbaserade rekommendationer ( 0,1    0,5 ).
Pc . Förstärkningen K c fås då genom multiplikation av andra kolumnens tal med Kc,max ;
Regulator
Kc / Kc,max
Ti / Pc
Td / Pc
P
0,5
–
–
PI
0,45
0,8
–
PID
0,6
0,5
0,125
integrationstiden Ti och deriveringstiden Td
fås genom multiplikation av respektive
kolumns tal med Pc . I stället för Pc används
ofta den kritiska vinkelfrekvensen c , som är
relaterad till Pc enligt sambandet Pc  2 / c .
Det bör observeras att Zieglers och Nichols’ rekommendationer närmast är avsedda för
konstantreglering vid laststörningar. Det är i de flesta fall olämpligt att använda dem för
följereglering vid börvärdesförändringar — även om det nog sker — eftersom
rekommendationerna normalt ger alltför stora överslängar. Deras kriterium för bra reglering av
laststörningar ger nämligen överslängskvoten M R  1/ 4 vid stegformiga börvärdesförändringar,
vilket enligt analysen i avsnitt 7.3.4 ger en maximal relativ översläng M  50 %. ZieglerNichols’ rekommendationer för regulatorinställning borde därför kombineras med
börvärdesviktning, t.ex. med b  0,5 (se avsnitt 7.1.5). Även då anses rekommendationerna
oftast ge för aggressiv reglering. De kan dock användas som utgångspunkt för en efterföljande
parameterjustering.
Parametern Kc,max anger hur mycket processförstärkningen K p maximalt kan förstärkas utan
att det reglerade systemet blir instabilt när det regleras med en P-regulator. Vidare kan man säga
att ju mindre produkten K p Kc,max är, desto mer bidrar det oreglerade systemets dynamik till att
stabilitetsgränsen nås. Av detta följer att en aggressivt inställd PI- eller PID-regulator, som ju
introducerar ytterligare dynamik, lättare kan få stabilitetsgränsen att nås eller överskridas, med
instabilitet som följd, om produkten K p Kc,max är liten. Detta antyder att Ziegler-Nichols’ rekommendationer åtminstone borde undvikas för system där denna produkt är liten.
Det finns andra inställningsmetoder som direkt utnyttjar inversen av denna parameter, dvs
  ( Kp Kc,max )1 .
(7.33)
Märk att paramern  är dimensionslös och att den alltid ligger i intervallet 0    1 då enheten
för K p väljes på rätt sätt. När K p beräknas, skall man använda samma enheter för processens
in- och utsignal som för regulatorns styrsignal och det reglerfel den opererar så att enheterna för
K p och Kc,max blir kompatibla och produkten K p Kc,max därmed dimensionslös.
Av analysen ovan följer att risken för att Ziegler-Nichols’ rekommendationer ger ett mycket
dåligt reglerresultat, kanske t.o.m. instabilitet, är överhängande om  har ett högt värde i intervallet 0    1 . Ett mycket lågt värde antyder att man borde överväga en mer komplex regulator
än en PID-regulator eller en mer sofistikerad inställningsmetod än Ziegler-Nichols. Det har
därför rekommenderats, att Ziegler-Nichols’ frekvensbaserade regulatorinställningar inte
används utanför intervallet 0,1    0,5 .
Reglerexperimentet beskrivet i föregående avsnitt ger inte processförstärkningen K p , som
behövs för beräkning av  , men den kan bestämmas genom ett enkelt stegförsök.
7–16
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
7.4 Frekvenssvarsbaserad regulatorinställning
7.4.3 Åströms och Hägglunds frekvenssvarsbaserade korrelationer
Åström och Hägglund (2006) har genom rigorösa analyser och optimeringar konstaterat att de
kritiska parametrarna Kc,max och Pc inte ens tillnärmelsevis är tillräckliga för att karakterisera
alla egenskaper hos en process som är viktiga vid regulatordesign. Så är fallet även om endast
processer med ett någorlunda monotont stegsvar beaktas. Även om man bortser från det faktum
att Ziegler-Nichols’ rekommendationer generellt sätt ger aggressiv reglering, är det en orsak till
att de inte kan fungera bra för alla processer.
Det behövs således åtminstone en
Tabell 7.3. Åström-Hägglunds frekvenssvarsparameter till. Åström och Hägglund fann
baserade korrelationer (   0,1 ).
att parametern  , definierad i ekvation
(7.33), är en lämplig parameter. Genom
Regulator Kc / Kc,max
Ti / Pc
Td / Pc
optimeringar, där också robusthetsfaktorer
beaktades, kom de fram till korrePI
0,16
–
(1  4,5 )1
lationerna i tabell 7.3 för inställning av
PI- och PID-regulatorer. Korrelationerna
0,15(1   )
0, 6
PID
0,3  0,1 4
är nära nog optimala för   0, 2 och kan
1  0,95
1  2
med tillförsikt användas för processer
med någorlunda monotont stegsvar då
  0,1 . Stora dödtider utgör inget hinder, men klart underdämpade processer är inte lämpliga.
7.5 Stegsvarsbaserad regulatorinställning
En nackdel med de frekvenssvarsbaserade metoderna är att det är relativt besvärligt och tidsödande att genom justering av förstärkningen för en P-regulator generera stående svängningar.
Det har därför utvecklats metoder, där man genom ett enkelt stegförsök kan få fram processparametrar, som kan användas för regulatordesign. Dessa stegsvarsbaserade metoder kan liksom
föregående metod tillämpas på processer, som har ett relativt monotont stegsvar.
Figur 7.5 illustrerar hur de behövliga parametrarna bestäms utgående från ett enhetsstegsvar, dvs usteg  1 uttryckt i de enheter som
regulatorns styrsignal har. Metoden bygger på
den tidigare behandlade (modifierade) tangentmetoden. Man bestämmer stegsvarets inflektionspunkt, som är den punkt där stegsvarets
lutning är brantast, och drar en tangent till
stegsvaret genom den punkten. Tangentens
skärningspunkt med tidsaxeln ger dödtiden L
och dess skärningspunkt med negativa y -axeln
L
ger parametern a som den senare skärningspunktens avstånd från origo. Endast dessa två
Figur 7.5. Bestämning av karakteristiska
parametrar behövs. Man behöver således inte
parametrar från ett monotont enhetsstegsvar
invänta stationärtillstånd, vilket man vore
(från Åström och Murray, 2008).
tvungen att göra ifall processens statiska förstärkning eller dess (ekvivalenta) tidskonstant behövdes.
Man behöver givetvis inte rent konkret förlänga tangenten så att den skär y -axeln för att
bestämma parametern a . Dess värde kan också bestämmas genom multiplicering av tangentens
7–17
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
7.5 Stegsvarsbaserad regulatorinställning
lutningskoefficient med L . Vidare behöver stegförändringen inte heller vara av storleken 1 ifall
detta beaktas genom division av y (t ) med usteg när stegsvaret uppritas eller när a beräknas
utgående från tangentens lutning. Om utsignalens värde i inflektionspunkten betecknas yi och
tidpunkten när stegsvaret når inflektionspunkten betecknas ti , kan a då, med beaktande av alla
faktorer, beräknas enligt
Lyi
L  dy 
.
(7.34)
a
  
usteg  dt t ti usteg (ti  L)
Se modifierade tangentmetoden, avsnitt 5.2.2 och figur 5.6.
Vi skall i detta sammanhang definiera ytterligare en parameter för kommande bruk. Det är
ändamålsenligt att ha ett dimensionslöst mått på hur stor dödtiden är i förhållande till systemets
dynamik i övrigt. Vi definierar därför parametern  enligt
  L / (t63  L)  L / Tekv ,
(7.35)
där Tekv är systemets ekvivalenta tidskonstant. Som framgår av (7.35), kan denna enligt modifierade tangentmetoden uppskattas från sambandet Tekv  t63  L , där t63 är den tid det tar för
utsignalen att nå 63 % av totala förändringen (som man alltså bör känna till). För ett sant första
ordningens system med tidskonstanten T gäller naturligtvis T  Tekv . Parametern  används
bl.a. som korrelationsparameter för regulatorinställningar och för att ange deras giltighetsområden.
Vi noterar att de regulatorinställningsmetoder som utnyttjar parametrarna a och L från ett
stegförsök, vanligtvis också kan användas för integrerande processer. En rent integrerande
process har ingen inflektionspunkt, utan dess utsignal förändras linjärt som tangenten i figur 7.5.
Om man beräknar a enligt ekvation (7.34) i stället för att direkt mäta upp parametern, måste
man då använda ekvationens mellersta led, som innehåller förändringens lutningskoefficient (dvs
dess tidsderivata).
7.5.1 Zieglers och Nichols’ stegsvarsbaserade rekommendationer
Ziegler och Nichols presenterade år 1942 också en metod för regulatorinställning baserad på den
information som kan fås från ett enkelt stegförsök enligt figur 7.5. Deras rekommendationer för
idealformen av en regulator ges i tabell 7.4.
Tabell 7.4. Ziegler-Nichols’ stegsvarsbaseDet bör noteras att Ziegler-Nichols’ stegsvarsrade rekommendationer ( 0,1    1 ).
och frekvenssvarsbaserade rekommendationer
inte är ekvivalenta — normalt ger de förra
Regulator
aKc
Td / L
Ti / L
ännu aggressivare regulatorinställningar än de
senare, vilket exemplet nedan illustrerar.
P
1,0
–
–
Ziegler och Nichols definierade själv inte
metodernas giltighetsområde, men det har
PI
0,9
3
–
visat sig att de stegsvarsbaserade rekommenPID
1,2
2
0,5
dationerna nog inte bör användas om   1 .
Dessutom kräver inställningarna att L  0 .
 Exempel 7.1. Ziegler-Nichols’ rekommendationer för en integrerande dödtidsprocess.
Betrakta en integrerande process med dödtid, som allmänt har överföringsfunktionen
K
G ( s)  e Ls .
(1)
s
7–18
Medtas till tentamen
Ett enhetssteg som insignal, dvs U ( s ) = 1/ s , ger då via inverstransformering stegsvaret
{
}
y=
(t ) L −1 Ks −2e − Ls
= K (t − L) , t ≥ L ,
(2)
vilket innebär att a = KL . Till exempel en PID-regulator ställs då enligt Ziegler-Nichols’
stegsvarsbaserade rekommendationerna in så, att
Kc =
1, 2
, Ti = 2 L , Td = 0,5 L .
KL
(3)
Processen är på gränsen till instabilitet i det experiment som görs för att bestämma K c,max
och Pc . Det betyder att dessa parametrar kan fås ur den karakteristiska ekvationen för det reglerade systemet genom substitutionen s = jωc (se avsnitt 6.3.2), där ωc är den vinkelfrekvens
som motsvarar perioden Pc enligt sambandet ωc = 2π / Pc . Karakteristiska ekvationen är
1 + K cG ( s ) =
1 + K c Ks −1e − Ls =
0 , dvs s + K c Ke− Ls =
0.
(4)
Substitutionerna s = jωc och K c = K c,max ger med utnyttjande av Eulers formel, ekv. (6.16),
jωc + K c,max Ke− L jωc =
jωc + K c,max K ( cos( Lωc ) − jsin( Lωc ) ) =
0.
(5)
Eftersom uttrycket kan bli noll endast om både real- och imaginärdelen är noll, fås ekvationerna
K c,max K cos( Lωc ) = 0 och ωc − K c,max K sin( Lωc ) =
0.
(6)
Den första ekvationen ovan kräver cos( Lωc ) = 0 och då är sin( Lωc ) = 1 ( −1 är inte aktuellt då
ωc > 0 ). Det minsta positiva ωc som satisfierar kravet ger lösningen
ωc = π / (2 L) , dvs Pc = 4 L , och K c,max = π / (2 KL) .
(7)
Tabell 7.2 ger då för en PID-regulator inställningarna
Kc
=
0, 6π 0,94
, Ti = 2 L , Td = 0,5 L .
≈
2 KL
KL
(8)
Båda metoderna ger således samma integrations- och deriveringstid för ett integrerande
system med dödtid, men stegsvarsmetoden ger nästan 30 % högre regulatorförstärkning än
frekvenssvarsmetoden.

7.5.2 Chiens, Hrones och Reswicks metod
År 1952 föreslog Chien, Hrones och Reswick förbättringar till Zieglers och Nichols’ stegsvarsbaserade rekommendationer. Metoden, som vi för enkelhets skull kallar CHR-metoden,
använder samma processinformation som Zieglers och Nichols’ metod, dvs parametrarna a och
L , som också bestäms på samma sätt ur ett stegsvar. CHR-metoden ger olika regulatorinställningar för konstantreglering och följereglering och dessutom olika uppsättningar parametervärden för aggressiv och mindre aggressiv reglering. Den aggressiva regleringen är tänkt att ge
en maximal relativ översläng av storleken 20 % och den mindre aggressiva ingen översläng alls.
Båda alternativen är klart mindre aggressiva än Ziegler-Nichols’ inställningar. CHR-metodens
regulatorinställningar finns sammanfattade i tabell 7.5 och 7.6.
CHR-metodens giltighetsområde är något oklart, men begränsningen 0,1 ≤ θ ≤ 1, 0 är vanlig.
Märk att det precis som för Ziegler-Nichols’ metod måste gälla att θ > 0 (dvs L > 0 ), eftersom
regulatorns integrationstid vid konstantreglering samt deriveringstiden i alla fyra fall är proportionella mot L .
Medtas till tentamen
Tabell 7.5. CHR-metodens regulatorinställningar för konstantreglering ( 0,1    1,0 ).
Ingen översläng
20 % översläng
Regulator
aKc
Ti / L
Td / L
aKc
Ti / L
Td / L
P
0,3
–
–
0,7
–
–
PI
0,6
4,0
–
0,7
2,3
–
PID
0,95
2,4
0,42
1,2
2,0
0,42
Tabell 7.6. CHR-metodens regulatorinställningar för följereglering ( 0,1    1,0 ).
Ingen översläng
20 % översläng
Regulator
aKc
Ti / T
Td / L
aKc
Ti / T
Td / L
P
0,3
–
–
0,7
–
–
PI
0,35
1,2
–
0,6
1,0
–
PID
0,6
1,0
0,5
0,95
1,4
0,47
7.5.3 Åströms och Hägglunds stegsvarsbaserade korrelationer
Åström och Hägglund (2006) har tagit fram förbättrade korrelationer för regulatorinställning
också utgående från den information som fås för ett stegsvar. För att möjliggöra en förbättring,
behövs även här en parameter förutom a och L . Det visade sig att parametern  , som kan
beräknas enligt ekvation (7.35), är en lämplig parameter. Precis som för de frekvenssvarsbaserade korrelationerna, beaktade Åström och Hägglund också här vissa robusthetskriterier.
Resultatet är att korrelationerna, som ges i tabell 7.7, kan användas oberoende av  :s värde  0 .
Inställningarna för PID-reglering är dock aningen konservativa då   0, 4 .
Inställningarna i tabell 7.7 kan också användas för integrerande processer med valet   0
(även fast L  0 ).
Dessa regulatorinställningar är närmast avsedda för konstantreglering. För följereglering
rekommenderas i vissa fall börvärdesviktning (se avsnitt 7.1.5) enligt följande:
 PI-reglering: b  1 om   0, 4 , b  1 om   0, 4 (oklart vilket b -värde som är optimalt)
 PID-reglering: b  1 om   1 , b  0 om   1
Tabell 7.7. Åström-Hägglunds stegsvarsbaserade korrelationer (helst   0, 4 för PID).
Regulator
PI
PID
aKc
0,35  0,15 
Ti / L

(1   )2
0, 45  0, 2
0,35 
13
1  12  7 2
8  4
1  10
Td / L
–
0,5
1  0,3
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
7.6 Modellbaserad regulatorinställning
7.6 Modellbaserad regulatorinställning
I regulatorinställningsmetoderna i avsnitt 7.4 och 7.5 utnyttjades parametrar, som relativt enkelt
kan bestämmas utgående från ett experiment med en existerande process. Om man redan känner
en överföringsfunktionen för systemet, är det i princip ingenting som hindrar att man genom
simulering eller beräkning bestämmer motsvarande parametrar och använder någon regulatorinställningsmetod från dessa avsnitt. Till exempel ett första ordningens system med dödtid, som
har överföringsfunktionen
K  Ls
(7.36)
G( s) 
e ,
Ts  1
har stegsvarsparametrarna
KL
L
,  .
(7.37)
a
T
T
Med hjälp av metoderna i kapitel 8 kan man också beräkna överföringsfunktionens frekvenssvarsparametrar Pc och Kc,max .
Det bör dock observeras att metoderna i avsnitt 7.4 och 7.5 inte är optimerade att ge bästa
resultat för ett första ordningens system med dödtid, inte heller för någon annan specifik systemtyp. Ett tiotal system av olika ordning, med och utan dödtid, och med parametrar varierande
inom stora intervall, ligger till exempel till grund för Åströms och Hägglunds korrelationer.
Detta är också orsaken till att det inte gått att finna PID-regulatorinställningar, som fungerar bra
för alla system med   0, 4 . Man kan därför förvänta sig att hitta bättre regulatorinställningar
om processen modelleras noggrannare än vad stegsvarsmetoden medger.
I detta avsnitt presenteras optimala regulatorinställningar, enligt olika kriterier, för första och
andra ordningens system med dödtid. Det är i huvudsak dödtiden som gör det besvärligt att ta
fram generella samband för regulatorinställning. System utan dödtid behandlas enklare med de
algebraiska metoderna i avsnitt 7.7.
Vid användning av regulatorinställningsformler bör man hålla i åtanke att en modell aldrig är
en exakt beskrivning av verkligheten — systemparametrarna är inte exakt kända och modelltypen är knappast den rätta. Om detta inte beaktats på något sätt vid optimeringen, behöver
regulatorinställningar, som är optimala för en viss modelltyp med givna modellparametrar, inte
nödvändigtvis ge bättre reglering än t.ex. metoderna i avsnitt 7.4 och 7.5. Metoderna i detta
avsnitt är dock behändigare att använda om systemet är beskrivet med en överföringsfunktion.
Övning 7.5.
Härled uttrycket för a i (7.37).
7.6.1 Första ordningens system med dödtid
På 1960-talet kunde man börja använda datorer för numeriska beräkningar. Det blev då möjligt
att numeriskt beräkna optimala regulatorinställningar enligt givna kriterier. Naturliga kriterier
var att minimera olika typer av felintegraler; se avsnitt 7.3.4.
Minimering av felintegraler
Tabell 7.8 och 7.9 sammanställer vissa resultat av dylika optimeringar för system av första
ordningen med dödtid, som kan beskrivas med en överföringsfunktion av formen (7.36).
7–21
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
7.6 Modellbaserad regulatorinställning
Tabell 7.8. Felintegralminimerande regulatorinställningar för konstantreglering ( 0,1    1,0 ).
Felintegral
P-regulator
KKc
PI-regulator
KKc
PID-regulator
Ti / T
KKc
Ti / T
Td / T
IAE
0,902  0,985 0,984  0,986 1,645  0,707
1, 435  0,921 1,139  0,749 0, 482  1,137
ITAE
0, 490  1,084 0,859  0,977 1, 484  0,680
1,357  0,947 1,188  0,738 0,381  0,995
Tabell 7.9. Felintegralminimerande regulatorinställningar för följereglering ( 0,1    1,0 ).
Felintegral
PI-regulator
KKc
PID-regulator
Ti / T
KKc
Ti / T
Td / T
IAE
0,758  0,861 (1,020  0,323 )1
1,086  0,869 (0,740  0,130 )1 0,348  0,914
ITAE
0,586  0,916 (1,030  0,165 )1
0,965  0,855 (0,796  0,147 )1 0,308  0,929
Uppgifterna är tagna från Smith och Corripio (1997), och precis som för de tidigare nämnda
metoderna, gäller inställningarna för idealformen (7.1) av P-, PI- och PID-regulatorer.
Tabell 7.8 ger regulatorinställningar för konstantreglering optimerade m.a.p. felintegralerna
IAE och ITAE (se avsnitt 7.3.4). Härvid har antagits att överföringsfunktionen från en störning
till utsignalen är densamma som från styrsignalen till utsignalen. Detta innebär att störningen kan
uppfattas som en störning av styrsignalen. Tabell 7.9 ger regulatorinställningar för följereglering
optimerade m.a.p. samma felintegraler. Här medtas inte P-reglering, som vanligtvis är otillräcklig för följereglering. (Undantag finns dock; t.ex. vid kaskadreglering är sekundärregulatorn
ofta en P-regulator.)
Regulatorinställningarna rekommenderas inte utanför intervallet 0,1    1,0 . Märk också
att inga egentliga robusthetsgarantier mot modellfel ges ens inom detta intervall. Felintegralen
ISE, som ibland används som reglerkriterium, har inte medtagits, eftersom den har ännu sämre
robusthetsegenskaper än IAE- och ITAE-kriterierna. Detta antyds också av den stora översläng
ISE-kriteriet ger; se tabell 7.1. Skillnaderna mellan IAE- och ITAE-kriterierna är inte stor.
Andra optimalitetskriterier
Cvejn (2009) har härlett regulatorinställningar för första ordningens system, som tillåts ha stora
dödtider. Idén är att välja regulatorn så att systemets kretsöverföring, dvs överföringsfunktionen
Gk (s)  G(s)Gc (s) , där G( s) är det oreglerade systemets överföringsfunktion och Gc ( s) är
regulatorns överföringsfunktion, får vissa optimala egenskaper, inkluderande en given stabilitetsmarginal (se kapitel 8). Man får då en rimlig robusthet mot modellfel, men ändå god prestanda.
Optimeringen ger att regulatortyp och -parametrar bör väljas så, att kretsöverföringen får formen
Gk ( s) 
1  Ls
e
2 Ls
(7.38)
eller
1
3 
Gk ( s)  1   e Ls ,
4  Ls 
(7.39)
7–22
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
7.6 Modellbaserad regulatorinställning
Tabell 7.10. Cvejns regulatorinställningar för konstant- och följereglering (obegränsat   0 ).
PI-regulator
Reglering
PID-regulator
KKc
Ti / T
KKc
Ti / T
Td / T
Konstant
1
2
5,92
1  5,92
3, 26  
4
3,91


1  3,91 3

Följe
1
2
1
3 
4
1
3, 26  


3
3 
där koefficienterna 2, 3 och 4 är ett resultat av optimeringen. Här ger (7.38) bättre stabilitetsmarginal, medan (7.39) ger bättre prestanda. I båda fallen ger en stegformig börvärdesförändring
en översläng, som är några få procent av totala förändringen (typiskt 5%). För ett system med
överföringsfunktionen (7.36), kräver (7.39) en PID-regulator medan (7.38) kan erhållas med en
PI-regulator.
Eftersom Gc (s)  Gk (s) / G(s) , kan regulatorinställningar för följereglering direkt härledas
från (7.38) och (7.39) . För konstantreglering behövs något antagande om störningsdynamiken.
Under antagande om ”långsam dynamik”, kunde Cvejn härleda regulatorinställningar också för
konstantreglering, som inte kräver annan information än överföringsfunktionen G( s) i (7.36).
Cvejns rekommendationer finns sammanfattade i tabell 7.10. Uttrycken för regulatorförstärkningen kräver att systemet har en dödtid, men i övrigt begränsas dödtiden i princip inte. Dessa
regulatorinställningar torde vara att föredra framom dem i tabell 7.8 och 7.9, alldeles speciellt
om   1 .
7.6.2 Andra ordningens system med dödtid
Vi skall här inledningsvis betrakta andra ordningens system med dödtid utan nollställen. Ett
sådant system har en överföringsfunktion av formen
G( s) 
Kn2
s
2
 2n s  n2
e Ls .
(7.40)
Oberoende av om systemet är överdämpat (   1 ), kritiskt dämpat (   1 ) eller underdämpat
( 0    1 ), kan man med en PID-regulator och lämpligt valda regulatorparametrar åstadkomma
kretsöverföringen (7.38). Detta ger därmed en metod för inställning av en PID-regulator för
systemet (7.40). Det är dock inte möjligt att åstadkomma kretsöverföringen (7.39), som ger
bättre prestanda. En regulatorinställningsmetod speciellt anpassad för system av andra ordningen
med dödtid vore därmed önskvärd.
Övning 7.6.
Härled PID-regulatorinställningar för systemet (7.40) så att kretsöverföringen (7.38) erhålles.
Överdämpade system utan nollställe
Det torde inte finnas enkla och effektiva regulatorinställningsformler för godtyckliga system av
andra ordningen med dödtid. Vi skall därför begränsa behandlingen till överdämpade system,
7–23
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
7.6 Modellbaserad regulatorinställning
som är mycket vanliga speciellt i processindustrin. Har man ett underdämpat system får man
använda ovannämnda metod eller någon ”algebraisk” metod i avsnitt 7.7.
Överföringsfunktionen för ett överdämpat system utan nollställe skrivs oftast på formen
G( s) 
K
e Ls , T1  T2 .
(T1s  1)(T2 s  1)
(7.41)
Såsom framgått i avsnitt 5.3.2, kan man från ett stegsvar bestämma en modell av denna typ med
(modifierade) Harriotts metod. Metoden är dock inte speciellt robust, i synnerhet då det verkliga
systemet knappast är exakt av andra ordningen. Om modellen måste bestämmas genom identifiering, är de enklare stegsvarsmetoderna i avsnitt 7.5 förmodligen att föredra.
Vi antar nu att vi i alla fall har en systemmodell av formen (7.41), som vi vill använda för
inställning av en regulator. Om det är relevant att för en PID-regulatorinställning modellera
systemet som ett andra ordningens system, är en PI-regulator inte optimal, utan det behövs en
full PID-regulator. Åström och Hägglund (2006) ger korrelationerna (i litet annan form)
KKc  0,19  0,37 11  0,18 21  0, 02 11 21
KKc L / Ti  0, 48  0, 0311  0, 0007  21  0, 001211 21

KKcTd / L  0, 29  0,16 11  0, 20  21  0, 2811 21
där
(7.42)
 1 1 22 12 ,
1  L / T1 , 2  L / T2 .
(7.43)
Här är givetvis K c , Ti och Td parametrarna i idealformen av en PID-regulator. Åström och
Hägglund säger att det existerar modellparameterkombinationer för vilka korrelationerna är
mindre bra, speciellt för deriveringstiden, men bättre korrelationer är svåra att hitta. Robusthetsvillkor har dock beaktats vid framtagning av korrelationerna.
Korrelationerna (7.42) kan också användas för integrerande andra ordningens system. Ett
integrerande system med överföringsfunktionen
G( s) 
K1
e Ls
s(T2 s  1)
(7.44)
fås formellt från (7.41) genom att låta K och T gå mot oändligheten så att K1  K / T1 är ändlig.
Samtidigt går förstås 1 mot noll. Regulatorinställningar för (7.44) fås då från (7.42) enligt
LK1Kc  lim 1KKc , L2 K1Kc / Ti  lim 1KKc L / Ti , K1KcTd  lim 1KKcTd / L , (7.45)
10
10
10
där högra leden från (7.42) sätts in i limes-uttrycken och hyfsas genom att utföra multiplikationen med 1 .
Regulatorkorrelationerna (7.42) kan även användas för ett dubbelintegrerande process
K
G ( s)  22 e Ls
(7.46)
s
genom att i (7.44) låta K1 och T2 gå mot oändligheten så att K2  K1 / T2 är ändlig. Regulatorinställningar för (7.46) härleds på samma sätt som ovan genom att låta också  2 gå mot noll.
Regulatorförstärkningen fås då från L2 K 2 Kc  lim 2 LK1Kc och analogt för andra parametrar.
2 0
7–24
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
7.6 Modellbaserad regulatorinställning
Övning 7.7.
Härled explicita uttryck för regulatorparametrarna för systemen i (7.44) och (7.46) .
Andra ordningens system med nollställe
Ett överdämpat andra ordningens system med nollställe har överföringsfunktionen
G( s) 
K (T3s  1)
e Ls .
(T1s  1)(T2 s  1)
(7.47)
Dylika system kan vanligtvis förenklas till ett första ordningens system eller ett andra ordningens
system utan nollställe, eventuellt med en integrator, enligt metoder som presenteras i avsnitt 7.9.
För regulatordesign kan ovan behandlade metoder då användas. Det är också möjligt att använda
någon algebraisk regulatordesignmetod i avsnitt 7.7 eller 7.8. Vi skall därför inte behandla denna
typ av system här.
En modelltyp som är svår att approximera med någon annan modell är
G( s) 
K (T1s  1)  Ls
e , T1  T2 ,
s(T2 s  1)
(7.48)
alldeles speciellt om T1 T2 . Detta är ingen ovanlig situation i processindustrin. Stegsvaret för
ett sådant system karakteriseras av en snabb initialrespons med tidskonstanten T2 och därefter en
långsammare närmast linjär förändring pga integratorn. Eftersom modellen har en integrator, en
pol och ett nollställe, kallas den ofta en IPZ-modell efter termernas engelska benämningar.
Slätteke (2006) har härlett regulatorinställningar för konstantreglering av en dylik process i
sin doktorsavhandling rörande modellering och reglering av torkpartiet till en pappersmaskin.
Som kriterium använde han minimering av integrerade absoluta reglerfelet med ett robusthetskrav som bivillkor. För en viss robusthetsnivå erhöll han regulatorinställningarna i tabell 7.11,
där 2  L / T2 . Vid PID-reglering förmodas derivatadelen vara försedd med ett derivatafilter
med tidskonstanten Tf  Td /10 . För följereglering föreslår Slätteke börvärdesviktning med en
faktor b  1 ; se avsnitt 7.1.5.
Tabell 7.11. Slättekes regulatorinställningar för konstantreglering av en IPZ-process.
Regulator
T1KKc
Ti / L
Td / T2
PI
0, 0767(321  1)
100  17 2
11  94 2
–
PID
0,115(321  1)
835  842 2  277  22
3  176 2  736 22
3(55  386 2  241 22 )
500(1  2   22 )
7–25
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
7.7 Regulatordesign genom direkt syntes
7.7 Regulatordesign genom direkt syntes
I de föregående avsnitten har vi behandlat ett antal regulatorinställningsmetoder med givna
formler för beräkning av regulatorparametrarna. I de flesta fall har formlerna tagits fram genom
optimering av något kriterium, som ansetts indikera ”bra reglering”. Vad som är bra reglering
varierar dock från fall till fall beroende på regleringens syfte och de kompromisser som i
praktiken alltid måste göras mellan stabilitet och prestanda. Formlerna, som inte ger användaren
någon möjlighet att själv påverka regulatorinställningen, är därför inte mer än riktgivande.
I detta avsnitt skall vi behandla metoder, där användaren på ett systematiskt sätt kan
bestämma, eller åtminstone påverka, det reglerade systemets önskade beteende. I princip sker
detta genom specificering av det reglerade systemets önskade överföringsfunktion, eller någon
parameter i en i övrigt bestämd överföringsfunktion. Om processmodellen är känd, kan man då
på algebraisk väg (utan numerisk optimering) härleda överföringsfunktionen för den regulator
som behövs för att åstadkomma detta. Vi kommer här att begränsa oss till metoder, där härledningen ger en PID-regulator, antingen direkt eller efter diverse approximationer. En speciell
svårighet är behandlingen av dödtider.
7.7.1 Metodbeskrivning
Betrakta det återkopplade systemet i figur 7.6, där Gp ( s) är överföringsfunktionen för den
process som regleras, Gc ( s) är överföringsfunktionen för en regulator,
och Gd ( s) är överföringsfunktionen
från en störning till systemets
utsignal. Vi antar för enkelhets skull
att mätinstrumentet har överföringsfunktionen 1, dvs att mätningarna är
felfria. Vanlig blockschemaalgebra
ger
Y
V ( s)
R( s )


Gc ( s)
Gd ( s)
Gp ( s)


Y ( s)
Figur 7.6. Blockschema för ett återkopplat system.
GpGc
1  GpGc
R
Gd
V,
1  GpGc
(7.49)
där
Gr 
GpGc
1  GpGc
(7.50)
är överföringsfunktionen från börvärdet R till utsignalen Y och
Gv 
Gd
1  GpGc
(7.51)
är överföringsfunktionen från störningen V till utsignalen Y för det reglerade systemet.
För följereglering kan man välja Gr så att den beskriver det önskade beteendet och utgående
från (7.50) beräkna den regulator som realiserar detta beteende. För konstantreglering kan man i
princip specificera Gv och beräkna Gc från (7.51). I praktiken är det dock ofta så, att Gd inte är
känd bl.a. för att det kan vara svårt att bestämma Gd experimentellt då man normalt inte har
kontroll över störningarna. Dessutom finns det normalt flera störningar som borde beaktas. Vi
7–26
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
7.7 Regulatordesign genom direkt syntes
antar därför att det är Gr som specificeras, vilket betyder att vi i första hand designar regulatorn
för följereglering utgående från lösningen till (7.50), dvs
Gc 
Gr
1
.
Gp (1  Gr )
(7.52)
Precis som för andra modellbaserade metoder gäller det att komma ihåg att modellen inte
beskriver det verkliga systemet exakt. Om det verkliga systemet har överföringsfunktionen Gp ,
så har vi i realiteten en modell Gˆ p , som är en approximation av Gp . När vi skall beräkna Gc
enligt (7.52), är det givetvis Gˆ p vi har tillgång till, inte Gp . Om Gp  Gˆ p , kommer det reglerade
systemets verkliga beteende då att avvika från specifikationen Gr . För enkelhets skull kommer
vi dock att använda beteckningen Gp både för processmodellen och för det verkliga systemet.
Direkt syntes fungerar bäst för minimumfassystem, dvs system som saknar positiva nollställen och dödtid (se kapitel 8). Om systemet är av låg ordning, kan man då direkt utgående
från (7.52) bestämma en PID-regulator. För system av högre ordning krävs någon form av
approximation för att resultatet skall bli en PID-regulator. Behandlingen av icke-minimumfassystem är besvärligare. I praktiken måste icke-minimumfasegenskaperna inkluderas i Gr och
system med dödtid kräver en rationell approximation av dödtiden.
7.7.2 Minimumfassystem av låg ordning
Första ordningens system
Ett strikt propert system av första ordningen utan dödtid har som bekant överföringsfunktionen
K
.
(7.53)
Ts  1
I teorin skulle bästa möjliga reglering motsvara Gr  1 , eftersom utsignalen då skulle följa börvärdet perfekt. Av (7.52) följer att detta skulle kräva oändlig regulatorförstärkning, som givetvis
inte kan realiseras. Vi måste därför nöja oss med icke-perfekt reglering.
Gp 
Det är rimligt att då önska ett reglerat system av första ordningen. Enligt detta väljer vi
Gr 
Gr
1
1
, som ger
,

Tr s  1
1  Gr Tr s
(7.54)
där Tr är den önskade tidskonstanten för det reglerade systemet. Vi vill naturligtvis att det reglerade systemet skall ha statiska förstärkningen 1. Insättning av (7.53) och (7.54) i (7.52) ger nu
Gc 
Ts  1 1
T 
1 

1   .
K Tr s KTr  Ts 
Detta är en PI-regulator med parametrarna
Kc  T / ( KTr ) , Ti  T .
(7.55)
(7.56)
Det slutna systemets tidskonstant Tr är en designparameter; ju snabbare reglering vi önskar,
desto mindre väljes Tr och desto större blir regulatorförstärkningen. Märk dock att systemets
robusthet mot modellfel blir sämre med högre regulatorförstärkning. I praktiken måste Tr därför
väljas med eftertanke.
7–27
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
7.7 Regulatordesign genom direkt syntes
Andra ordningens system utan nollställe
Ett system av andra ordningen utan nollställe har allmänt överföringsfunktionen
Gp 
Kn2
s 2  2n s  n2
.
(7.57)
Fast det oreglerade system är av andra ordningen, kan man med reglering få det att bete sig som
ett första ordningens system. Insättning av (7.54) och (7.57) i (7.52) ger nämligen
Gc 
s 2  2n s  n2 1
2

Tr s KnTr
Kn2

n
s

1 
 2 s 2n

,

(7.58)
som är en ideal PID-regulator med parametrarna
Kc  2 / ( KnTr ) , Ti  2 / n , Td  1/ 2n .
(7.59)
Också här kvarstår det slutna systemets tidskonstant Tr som en designparameter, som påverkar
regulatorns förstärkning.
Överdämpat andra ordningens system med nollställe
Antag att vi har ett överdämpat andra ordningens system, ev. med ett negativt nollställe, dvs
Gp 
K (T3s  1)
, T3  0 .
(T1s  1)(T2 s  1)
(7.60)
Insättning av (7.54) och (7.59) i (7.52) ger
(T1s  1)(T2 s  1) 1
1  T1T2 s 2  (T1  T2 ) s  1 
1  T1T2 s 2  (T1  T2  T3 ) s 
Gc 

1 


 
K (T3s  1) Tr s KTr s 
T3s  1
T3s  1
 KTr s 

T1T2  (T1  T2  T3 )T3 2 
1 

s ,
1  (T1  T2  T3 ) s 
KTr s 
T3s  1

dvs

Ts 
1
Gc  Kc 1 
 d ,
(7.61)
 Ti s Tf s  1 
där
T T T
T1T2
Kc  1 2 3 , Ti  T1  T2  T3 , Td 
(7.62)
 T3 , Tf  T3 .
KTr
T1  T2  T3
Detta är en PID-regulator med filtrering av derivatan då T3  0 . Normalt används derivatafiltrering för filtrering av brus i mätsignalen, men som detta exempel visar, kan filtrering också
användas för att i övrigt förbättra regleringen. Om T3  0 , fås en vanlig PID-regulator med
samma parametervärden som i (7.59) då sambanden mellan modellparametrarna i (7.57) och
(7.60) beaktas enligt (5.21) och (5.22).
I alla dessa exempel har vi önskat ett reglerat system av första ordningen. Det behöver dock
inte vara det optimala valet; det kan t.ex. vara bättre att designa regulatorn utgående från ett
reglerat system av andra ordningen. Det skulle bl.a. medföra flera designfrihetsgrader (som dock
kan vara svåra att utnyttja). Speciellt om vi inkluderar ett nollställe i Gr , som i fallet med positivt nollställe i Gp (se längre fram), kan det vara motiverat att välja ett Gr av andra ordningen.
7–28
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
7.7 Regulatordesign genom direkt syntes
7.7.3 Minimumfassystem av högre ordning
Om man har ett system av hög ordning, kan man ofta tillämpa någon av de modellförenklingsmetoder som beskrivs i avsnitt 7.9 och därefter använda någon regulatordesignmetod utvecklad
för system av lägre ordning. Ett annat alternativ är att härleda en regulator så exakt som möjligt,
och därefter vid behov förenkla den till en PID-regulator om en sådan önskas. Vi skall här
beskriva ett sätt att förenkla regulatorn.
Regulatorförenkling genom serieutveckling
Betrakta en process med överföringsfunktion
n m

Gp  K
j  n 1
n
(T j s  1)
 (Ti s  1)
, Ti  0 , T j  0 ,
(7.63)
i 1
och antag att vi försöker reglera den så att det reglerade systemet blir av första ordningen.
Insättning av (7.54) och (7.63) i (7.52) ger då
Gc 
C ( s)
,
Ks
(7.64)
där
n
 (Ti s  1)
i 1
n m
C ( s) 
Tr

j  n 1
.
(7.65)
(T j s  1)
Utgående från (7.64) ser vi att vi får en PI-regulator om vi approximerar C ( s) med ett
polynom av första ordningen och en PID-regulator om vi approximerar C ( s) med ett polynom
av andra ordningen. En metod som visat sig fungera rätt bra är att approximera C ( s) med dess
Maclaurinpolynom (dvs Taylorpolynom kring s  0 ) av lämplig ordning. Eftersom
C ( s)  C (0)  C (0) s 
C (0) 2 C (0) 3
s 
s 
2!
3!
,
(7.66)
där C (0) betecknar första derivatan av C ( s) med avseende på s i punkten s  0 , C (0) andra
derivatan, osv., blir approximationen för en PID-regulator
Gc 


1
C (0)  C (0) s  12 C (0)s 2 .
Ks
(7.67)
Uttryckt med PID-regulatorns standardparametrar får vi
Kc  C(0) / K , Ti  C(0) / C (0) , Td  12 C(0) / C(0) .
(7.68)
För uttrycket i (7.65) kan man härleda
C (0)  1/ Tr , C(0)  (Ti  T j ) / Tr , C(0)  [(Ti  T j )2  Ti2  T j2 ] / Tr ,
(7.69)
som insatt i (7.68) ger
7–29
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
Kc 
7.7 Regulatordesign genom direkt syntes
Ti  T j
KTr
, Ti  Ti  T j , Td 
1 (T
i
2
 T j ) 
Ti2  T j2
2(Ti  T j )
.
(7.70)
Här betecknar Ti summan av Gp :s nämnartidkonstanter och T j summan av Gp :s täljartidkonstanter.
Övning 7.8.
Härled (7.69) .
7.7.4 System med positivt nollställe
Vi kan konstatera att regulatorinställning via direkt syntes hittills varit ganska problemfritt — det
enda man behövt göra är att bestämma det reglerade systemets önskade snabbhet genom att välja
tidskonstanten Tr . Vi har hittills dock endast behandlat minimumfassystem. Som vi skall se, är
regulatordesignen för icke-minumumfassystem mer komplicerad. Vi behandlar först system med
positiva nollställen.
Problembeskrivning
Enligt metoden med direkt syntes beräknas regulatorn utgående från (7.52). Som vi kan se,
innehåller (7.52) inversen av processmodellen Gp . Om modellen har ett positivt nollställe, vilket
är fallet för ett system med inverssvar, kommer regulatorn då att få en positiv pol ifall den inte
kan förkortas bort mot ett nollställe i Gr . Hittills har vi valt Gr som ett första (eller andra)
ordningens system utan nollställe, vilket innebär att den positiva polen inte kan förkortas bort.
Problemet med en positiv pol i regulatorn är att regulatorn då är instabil. Man kunde tro att det
inte spelar någon roll, eftersom produkten GpGc i den slutna kretsen gör att den positiva polen
(och i själva verket hela Gp ) ändå förkortas bort. Så är dock inte fallet. Eftersom det existerar
en verklig signal, styrsignalen, mellan Gc och Gp , innebär en positiv pol i Gc att styrsignalen
blir obegränsad, dvs den går mot  .
En möjlig lösning på problemet är att approximera Gc med en överföringsfunktion som inte
innehåller en (positiv) pol. Vi kunde använda samma teknik som i föregående avsnitt och
använda första eller andra ordningens Maclaurinpolynom av C (s)  Gc Ks . Även om vi har Tr
som designparameter skulle detta ändå leda till aggressiv reglering, eftersom vi försöker reglera
ett system med inverssvar så att det reglerade system inte har inverssvar. Detta kan inte
åstadkommas med en återkopplad PID-regulator. En bättre metod, som antyddes ovan, torde
vara att också i Gr inkludera Gp :s positiva nollställe. Det kan då direkt förkortas bort i (7.52).
Slutet system av första ordningen
Antag att vi önskar reglera ett system med överföringsfunktionen
Gp 
K (T3s  1)
, Ti  0 .
(T1s  1)(T2 s  1)
(7.71)
Om vi fortfarande önskar ett Gr av första ordningen, men med ett positivt nollställe, innebär
detta att vi för modellen (7.71) gör specifikationen
7–30
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
7.7 Regulatordesign genom direkt syntes
Gr 
T3s  1
T3s  1
Gr
, som ger
.

1  Gr (Tr  T3 ) s
Tr s  1
(7.72)
Insättning av (7.71) och (7.72) i (7.52) ger
Gc 
(T1s  1)(T2 s  1)
T T 
TT s 
1
1
 1 2 1 
 1 2 ,
K
(Tr  T3 )s K (Tr  T3 )  (T1  T2 )s T1  T2 
(7.73)
dvs en PID-regulator med parametrarna
Kc 
TT
T1  T2
, Ti  T1  T2 , Td  1 2 .
K (Tr  T3 )
T1  T2
(7.74)
Slutet system av andra ordningen
Om vi inkluderar nollstället i Gr , är det dock mera realistiskt att specificera ett system av andra
ordningen. För att bibehålla största möjliga flexibilitet, kan vi välja formen
Gr 
(T3s  1)r2
s 2  2 rr s  r2
, som ger
(T3s  1)r2
Gr

.
1  Gr s( s  2 rr  T3r2 )
(7.75)
För att underlätta härledningen av regulatorparametrarna, definierar vi
Tf  1/ (2 rr  T3r2 ) .
(7.76)
Insättning i (7.52) av (7.71) och (7.75), med (7.76), ger
Gc 
(T1s  1)(T2 s  1)Tf r2 Tf r2  T1T2 s 2  (T1  T2 )s  1 


 .
K (Tf s  1) s
Ks 
Tf s  1

(7.77)
Analogt med härledningen av (7.62) fås
Kc 
T1T2
Tf r2
 Tf ,
(T1  T2  Tf ) , Ti  T1  T2  Tf , Td 
T1  T2  Tf
K
(7.78)
där Tf är derivatafiltrets tidskonstant i en PID-regulator av formen (7.61).
Vi har här två designparametrar,  r och r . Om vi tycker det är onödigt mycket, kan vi t.ex.
välja Gr att ha två lika stora reella poler 1/ Tr . Detta motsvaras av  r  1 och r  1/ Tr , som
ger Tf  Tr2 / (2Tr  T3 ) . Ett annat alternativ är att välja polerna 1/ Tr och 1/ T3 för Gr . Detta
motsvaras av  r  0,5(Tr  T3 )r och r  1/ TrT3 , som ger Tf  TrT3 / (Tr  2T3 ) .
7.7.5 System med dödtid
System med dödtid, eller system som enklast beskrivs med modeller innehållande dödtid, är
mycket vanliga, speciellt i processindustrin. För att illustrera de problem som en dödtid innebär
för regulatordesignen, räcker det med att betrakta ett första ordningens system med dödtid, dvs
ett system med överföringsfunktionen
K  Ls
Gp 
e .
(7.79)
Ts  1
7–31
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
7.7 Regulatordesign genom direkt syntes
Eftersom den direkta syntesen kräver en invertering av processmodellen, är det klart att den
inverterade dödtiden då blir ett icke-realiserbart element i regulatorn. Vi skall här studera olika
möjligheter att lösa problemet.
Dödtidsapproximation i processmodellen
Ett enkelt sätt är approximera dödtiden med en Padé-approximation av första ordningen, dvs
e
som ger
 Ls

1  12 Ls
1  12 Ls
,
(7.80)
K (0,5Ls  1)
.
(Ts  1)(0,5Ls  1)
Gp 
(7.81)
Processmodellen har efter approximationen formen av ett andra ordningens system med ett
positivt nollställe. Vi kan därmed utnyttja lösningen (7.74) för ett Gr av första ordningen eller
(7.78) för ett Gr av andra ordningen, i båda fallen med T2  T3  0,5L . Om vi väljer
Gr 
(0,5Ls  1)
,
(Tr s  1)(0,5Ls  1)
(7.82)
dvs vi behandlar dödtiden på samma sätt i Gr som i Gp , fås i enlighet med diskussionen efter
(7.78), regulatorparametrarna
Kc 
T  0,5L  Tf
0,5LTr
0,5LT
, Ti  T  0,5L  Tf , Td 
.
 Tf , Tf 
K (Tr  L)
Tr  L
T  0,5L  Tf
(7.83)
Dödtidsapproximation i regulatorn
Om den oreglerade processen har en dödtid, är det givetvis så, att denna inte kan elimineras från
det reglerade systemet med återkopplad reglering. Därför borde modellen för det reglerade
systemet innehålla samma dödtid som det oreglerade systemet, dvs
Gr 
Gr
e Ls
1

.
e Ls , som ger
1  Gr Tr s  1  e Ls
Tr s  1
(7.84)
Insättning av (7.79) och (7.84) i (7.52) ger nu
Gc 
Ts  1
K (Tr s  1  e Ls )
.
(7.85)
Denna regulator kan tyvärr inte realiseras exakt med en vanlig PID-regulator. Om vi approximerar dödtiden med en första ordningens Padé-approximation, som i (7.80), får vi samma
lösning som i (7.83). Om vi gör den sämre approximationen e Ls  1  Ls , får vi en PI-regulator
med
T
Kc 
, Ti  T .
(7.86)
K (Tr  L)
7–32
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
7.8 Reglering med intern modell
7.8 Reglering med intern modell
Reglering med ”intern modell” är nära förknippat med direkt syntes. På engelska använder man
termen ”internal model control” och därav härledda akronymen IMC, som ofta används också på
svenska. En fördelen med IMC är att man på ett enkelt sätt kan realisera reglerlagar, som är mer
komplexa än vanlig PID-reglering. I den direkta syntesen var vi t.ex. tvungna att approximera
dödtiden i (7.85) för att få Gc uttryckt som en PID-regulator, men med IMC-strukturen kan
(7.85) realiseras exakt. Ofta gör man dock approximationer också i IMC-designen för att som
slutresultat få en vanlig PID-regulator. Även om samma regulator i sådana fall kunde erhållas
genom direkt syntes, är det lättare att i IMC-designen beakta robusthetsfrågor.
7.8.1 IMC-strukturen
Betrakta blockschemat i figur 7.7, där GIMC är en regulator och Gˆ p är en modell av det verkliga
systemet Gp . Det är uppenbart att den inrutade konstruktionen precis motsvarar regulatorn Gc i
figur 7.6. Blockschemaalgebra ger att överföringsfunktionen från reglerfelet R  Y till styrsignalen U är
GIMC
.
(7.87)
Gc 
1  GIMCGˆ p
Antag att
GIMC  Gf Gˆ p1 ,
(7.88)
där Gf är ett ”filter”. Insättning i (7.87) ger
Gc 
Gf
1
.
Gˆ p (1  Gf )
(7.89)
En jämförelse med (7.52) visar att valet Gf  Gr ger precis samma regulator som i (7.52), där
vi också egentligen har Gˆ i nämnaren. Om G  Gˆ , ger denna regulator, precis som i metoden
p
p
p
direkt syntes, ett reglerat system med överföringsfunktionen Gr . Märk att vi i (7.88) uttryckligen
skall invertera samma modell Gˆ som används som intern modell i figur 7.7; det behöver inte,
p
och skall inte, vara det verkliga systemet Gp — om vi kände till det.
V ( s)
R( s )




Gc
GIMC ( s)
U ( s)
Gd ( s)
Gp ( s)


Y ( s)
Gˆ p ( s)
Figur 7.7. Reglerstruktur med intern modell.
7–33
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
7.8 Reglering med intern modell
7.8.2 Approximationsfri hantering av dödtid
Så här långt tycks reglering med intern modell kanske vara helt ekvivalent med direkt syntes.
Som vi skall se, är detta dock inte fallet om vi vid den direkta syntesen alltid göra sådana
approximationer att vi kan realisera regulatorn som en PID-regulator.
K  Ls
1
Antag att Gˆ p 
och att vi väljer Gf 
e
e Ls . Insättning i (7.88) ger
Ts  1
Tr s  1
GIMC 
1 Ts  1 1  T  Tr 
 1 
s ,
K Tr s  1 K  Tr s  1 
(7.90)
som enkelt kan realiseras som en PD-regulator med förstärkningen Kc  1/ K , deriveringstiden
T  T  T , och derivatafiltret T  T . Insättning av (7.90) och modellen Gˆ i (7.87) ger
d
r
f
r
Gc 
p
Ts  1
K (Tr s  1  e Ls )
,
(7.91)
som är identisk med (7.85). Skillnaden är dock den, att (7.91) kan realiseras exakt med hjälp av
den interna modellen Gˆ p i figur 7.7; dödtiden behöver inte approximeras som i metoden med
direkt syntes.
Märk att vi har ingen integrering i GIMC . Återkopplingen med den interna modellen medför
att den ekvivalenta regulatorn Gc ändå innehåller integrerande verkan. Detta inses av att första
termen i Taylorserieutvecklingen av e Ls är 1, som kan förkortas bort mot den andra ettan i
nämnaren till (7.91), som då får s som faktor.
Det är värt att notera att det stationära reglerfelet blir noll om processmodellen är stabil och
Gf väljes så, att Gf (0)  1 , även om processmodellen är klart felaktig. Insättning av (7.89) i
(7.50) ger nämligen
GpGf
Gr 
,
(7.92)
Gˆ (1  G )  G G
p
f
p f
från vilket följer att Gr (0)  0 om Gf (0)  1 och Gˆ p (0) är ändligt.
7.8.3 Parametrisering av alla stabiliserande regulatorer
Blockdiagrammet i figur 7.7 är ritat så, att man lätt ser att IMC-regulatorn med den återkopplade
modellen är ekvivalent med en normal regulator, som har reglerfelet R  Y som insignal och
styrsignalen U som utsignal.
Vanligare är dock att rita diagrammet som i figur 7.8, där modellens prediktiva roll betonas.
Diagrammen är givetvis helt ekvivalenta. Vi ser att styrsignalen är insignal både till den verkliga
processen och till modellen. Modellen ger en prediktion Yˆ av utsignalen Y , och skillnaden Eˆ 
Y  Yˆ , subtraherad från börvärdet, återkopplas till regulatorn. Det är således endast prediktionsfelet som återkopplas, inte hela utsignalen som i en standardstruktur.
Det sistnämnda ger en klar principiell fördel vid regulatordesignen. Antag att processmodellen är perfekt, dvs Gˆ p  Gp . Eliminering av Gf från (7.92) med (7.88) ger då
Gr  GIMCGp ,
(7.93)
7–34
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
7.8 Reglering med intern modell
V ( s)
R( s )

GIMC ( s)
U ( s)

Eˆ ( s)
Gd ( s)
Gp ( s)
Gˆ p ( s)


Y ( s)

Yˆ ( s) 
Figur 7.8. Den interna modellens prediktiva roll.
dvs det reglerade systemets överföringfunktion beror linjärt av GIMC . Detta underlättar avsevärt
regulatordesignen. Det är t.ex. klart att GIMC måste vara stabil för att Gr skall bli stabil. Detta
innebär bl.a. att GIMC inte får innehålla integrerande verkan. Vid regulatordesignen behöver vi
således endast beakta stabila överföringsgfunktioner GIMC .
Vid användning av en standardregulator beror det reglerade systemets överföringsfunktion
olinjärt av regulatorn, såsom (7.50) utvisar. Vid regulatordesignen räcker det då inte med att
beakta enbart stabila Gc , utan vi måste också beakta regulatorer med integrerande verkan, vilket
är en betydligt större klass av regulatorer (av given ordning). Trots det kan reglerresultatet i
princip inte bli bättre än med IMC-strukturen.
7.8.4 Regulatordesign
Såsom ovan visades, krävs att GIMC är stabil. Om processmodellen inte är en minimumfasmodell, dvs den innehåller positivt nollställe eller dödtid, innebär modellinverteringen i (7.88) att
regulatorn blir instabil eller icke realiserbar om dessa element inte kan förkortas bort mot
motsvarande element i Gf . Vid direkt syntes fanns samma problem, och där inkluderade vi
modellens icke-minimumfasegenskaper i Gr . Samma lösning kan väljas här, men i praktiken gör
man det litet annorlunda. Slutresultatet är dock detsamma.
Processmodellen kan alltid faktoriseras som
Gˆ p  Gˆ p Gˆ p ,
(7.94)
där Gˆ p innehåller alla icke-minimumfaselement i Gˆ p , men inga minimumfaselement, och
normerad så att Gˆ p (0)  1 . Detta innebär att Gˆ p innehåller alla Gˆ p :s faktorer med positiva
nollställen och en ev. dödtid. Om sådana element saknas, är Gˆ p  1 .
Vid beräkning av GIMC utgående från (7.88) är det enbart Gˆ p som inverteras; resten av
modellen lämnas obeaktad. Beräkningen ger då
GIMC  Gf (Gˆ p )1 .
(7.95)
Märk att hela Gˆ p i alla fall skall användas som intern modell — inverteringen av Gˆ p är bara ett
tekniskt hjälpmedel för designen av GIMC .
7–35
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
7.8 Reglering med intern modell
Filtret Gf kunde fortfarande väljas som den önskade överföringsfunktionen för det reglerade
systemet, dock utan att inkludera något element från Gˆ  . I praktiken brukar man dock nöja sig
p
med ett lågpassfilter av formen
Gf 
1
(Tr s  1)n
.
(7.96)
För implementeringens skull vill man att täljarpolynomet i GIMC har ett gradtal, som överstiger
nämnarpolynomets gradtal med högst 1. Detta innebär att GIMC normalt kan implementeras med
seriekopplade PD-regulatorer, där högst en regulator innehåller en ren derivata utan filtrering.
Exponenten n väljes utgående från detta önskemål. Om processmodellen är av högst andra
ordningen, räcker n  1 då alltid. Ingenting hindar dock att man väljer ett högre värde på n för
att göra GIMC proper. I vissa fall, speciellt om systemet som skall regleras är integrerande, inkluderar man dessutom ett nollställe (dvs en täljartidkonstant) i Gf .
Designparametern Tc kan i princip väljas som den önskade tidskonstanten för det reglerade
systemet, precis som i den direkta syntesen. Det finns dock aspekter som försvårar detta val,
vilket berörs i följande avsnitt.
7.8.5 Implementering med PID-regulator
Såsom framgått, kan man beakta dödtider på ett exakt sätt i IMC-strukturen. I praktiken föredrar
man ofta ändå en vanlig PID-regulator, eftersom den är standardvara i alla automationssystem.
Problembeskrivning
Om man har designat en IMC-regulator GIMC , kan man enligt (7.87) beräkna överföringsfunktionen Gc för en regulator implementerad i en standardstruktur som i figur 7.6. För en
allmän överföringsfunktion av formen
Gp ( s) 
KBp ( s) Bp ( s) e Ls
Ap ( s)
,
(7.97)
där Bp ( s) är ett polynom som saknar nollställen i det komplexa talplanets vänstra halva och
Bp ( s) har alla ev. nollställen i vänstra halvplanet, blir IMC-regulatorn i enlighet med (7.94) och
(7.95)
GIMC 
Gf Ap
KBp
.
(7.98)
Insättning av (7.97) och (7.98) i (7.87) ger nu
Gc 
Ap
1
KBp (Gf  Bp e Ls )
.
(7.99)
Det är uppenbart att (7.99) inte utan approximationer ger en PID-regulator om systemet har en
dödtid, och i praktiken inte heller, om Bp eller Ap är polynom av högre ordning än ett respektive
två (även om detta i princip kunde åtgärdas med valet av Gf ). För att få en PID-regulator måste
man använda approximationer av samma typ som i direkt syntes. För en dödtid innebär detta att
7–36
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
7.8 Reglering med intern modell
man vanligtvis väljer en Padé-approximation av första ordningen, men ibland kanske en ännu
enklare approximation. Modeller av hög ordning reducerar man vanligtvis till en lägre ordning
enligt någon av metoderna i avsnitt 7.9.
IMC-designen görs för följereglering, men i praktiken använder man förstås regulatorn också
för konstantreglering. Tyvärr är störningselimineringen vid konstantreglering med en IMCregulator ofta mindre bra även då följereglering fungerar bra. Insättning av (7.87) i (7.51), med
Gˆ p  Gp , visar att överföringsfunktionen från störningen V till den reglerade utsignalen Y blir
Gv  (1  GIMCGp )Gd  (1  Gr )Gd ,
(7.100)
där (7.93) utnyttjats för den senare leden. Om dynamiken i Gd är långsam, blir störningselimineringen då också långsam.
Bland annat av denna orsak, men också för att man mycket ofta reglerar system med dödtid,
som måste approximeras i (7.99) om regleringen implementeras med en vanlig PID-regulator,
har det visat sig att det inte är bra att välja Tr enbart utgående från den önskade snabbheten vid
följereglering. Skogestad (2003) rekommenderar t.ex. Tr  L för en modell av första ordningen
med dödtid. Andra rekommendationer som omnämnts i litteraturen är Tr  max(0, 25L, 0, 2T ) ,
Tr  max(0,8 L, 0,1T) och L  Tr  T . Någon större konsensus rörande valet av Tr existerar
således inte.
Standardinställningar
Tabell 7.12 visar regulatorinställningar för en ideal PID-regulator, beräknade enligt ovannämnda
principer, för ett antal typiska modeller. De är tagna från Seborg m.fl. (2004), här dock uttryckta
i litet annan (enklare) form genom användning av parametern  , som är relaterad med designvariabeln Tr (samt systemets icke-minimumfasparametrar). Märk också att den normerade regulatorförstärkningen Kc K och deriveringstiden Td uttrycks som funktion av integrationstiden Ti
för att ytterligare förenkla uttrycken.
Tabell 7.12. IMC-baserade standardinställningar för ideal PID-regulator.

Gp ( s)
Kc K
Ti
K e Ls
T1s  1
Ti / 
T1  12 L
K (T3s  1) e Ls
(T1s  1)(T2 s  1)
Ti / 
T1  T2  T3
(T1T2 / Ti )  T3
Tr  L
K (T3s  1) e Ls
(T1s  1)(T2 s  1)
Ti / 
T1  T2  (T3L /  )
(T1T2 / Ti )  (T3 L /  )
Tr  T3  L
K e Ls
s
Ti /  2
2
K e Ls
s (T2 s  1)
Ti /  2
2  T2  L
Td
1
2
1
2
LT1 / Ti
L(1  12 L / Ti )
T2 (1  T2 / Ti )
Tr  12 L
Tr  12 L
Tr  L
7–37
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
7.8 Reglering med intern modell
Inställningarna i tabell 7.12 kan även användas för modeller av lägre ordning än de i tabellen
upptagna, eller för modeller utan dödtid, så länge villkoren
T1  0 , T2  0 , T3  0 , L  0
(7.101)
uppfylls. För T3 finns dessutom en övre gräns, eftersom det reglerade systemets stabilitet
(vanligtvis) kräver att Ti  0 och Td  0 . För modeller av första ordningen existerar en parallellform beroende på att man för sådana modeller kan använda en annan dödtidsapproximation.
Vidare kan inställningarna användas för modeller av andra ordningen då överföringsfunktionens
nämnare har formen
(s 2  2n s  n2 ) / n2  Ts 2  2 Ts  1 .
(7.102)
Man gör då substitutionerna
T1  T2  2 / n  2 T , T1T2  1/ n2  T 2
(7.103)
i tabellens formler. Dessa kan även användas för underdämpade system, dvs system med   1 .
Optimerade inställningar
Uttrycken i tabell 7.12 baserar sig på enkla approximationer av dödtiden samt ytterligare
approximationer för att få (7.99) omformad till en PID-regulator. Detta ger relativt enkla uttryck
för regulatorparametrarna, som dock inte behöver vara det optimala resultatet.
En i viss mening bästa approximation av en PID-regulator med högra ledet i (7.99) kan
bestämmas, precis som i den direkta syntesmetodens avsnitt 7.7.3, genom att utnyttja Maclaurinserien av C (s)  sGc (s) . Om vi beaktar möjligheten att ha en PID-regulator med filtrering av
derivatatermen, dvs en PIDf-regulator av formen (7.6), ges sambanden mellan regulatorparametrarna och Maclaurinseriens koefficienter av
Kc  C(0) / K , Ti  C(0) / C (0) , Td  12 C(0) / C(0) , Tf   13 C(0) / C(0) .
(7.104)
Man kan själv avgöra om man vill ställa in en PI-, PID- eller PIDf-regulator (denna metod ger
alltid integrerande verkan) till skillnad från standardinställningarna i Tabell 7.12, där modellens
parametrar avgör vilken regulator det blir. Märk också att integrationstiden är densamma för alla
regulatorer, och deriveringstiden är densamma både för PID- och PIDf-regulatorn.
Tabell 7.13 visar på ovan beskrivet sätt optimerade regulatorinställningar för alla första och
andra ordningens system (utom dubbelintegrerande system) med eller utan dödtid och med eller
utan ett nollställe. Alla dessa modelltyper inkluderas då modellparametrarna uppfyller (7.101).
Om systemets nämnare har formen (7.102) gör man substitutionen (7.103), som fungerar även då
systemets poler är komplexkonjugerade.
I tabellen används ett antal hjälpparametrar, 0 , 1 , 2 och 3 , som följer av serieutvecklingen
(Gf1  Bp e Ls )s 1q  0  1s  2 s 2  3s3  ,
(7.105)
där q är antalet integratorer i processmodellen. Märk att 1 , 2 och 3 i tabellen uttrycks med
hjälp av 0 så att i fås genom division av formeln för i 0 med 0 .
7–38
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
7.8 Reglering med intern modell
Tabell 7.13. Optimala IMC-baserade inställningar för PI/PID/PIDf-regulatorer.
Gp ( s)
K (T3s  1) e Ls
(T1s  1)(T2 s  1)
K (T3s  1) e Ls
(T1s  1)(T2 s  1)
K (T3s  1) e Ls
s(T2 s  1)
K (T3s  1) e Ls
s(T2 s  1)
Gf ( s)
1
Tr s  1
1
(Tr s  1)2
T1s  1
(Tr s  1)2
T1s  1
(Tr s  1)2
T1
–
–
2Tr  L
2Tr  L  T3
0
Tr  L
2Tr  L  T3
(Tr  L)2  12 L2
(T1  Tr )2  12 L2  LT3
10
 12 L2
 T3 L 
 12 L2 ( L  2Tr )
20
1 L3
6
Tr2
1 L2
2
1 L2 ( L  3T )
3
6
1 L3 (3L  8T )
r
24
1 L3 ( L  4T )
 24
3
1 L4 (2 L  5T )
 60
r
 L(T1  L2 )(T3  L2 )
1 L3
 12
1 L2 (T  L )(T
1 3
3
2
4
5
 72 L
 L3 )
 16 L3 (T1  L4 )(T3  L4 )
30

Kc K
Ti / 0
Ti / 0
Ti / 0
Ti / 0
Ti
T1  T2  T3  1
T1  T2  1
T1  T2  T3  1
T1  T2  1
TdTi
(T1  T3 )(T2  T3 )
Ti 1  2
T1T2  Ti 1  2
(T1  T3 )(T2  T3 )
Ti 1  2
T1T2  Ti 1  2
Tf Td
1 L4
24
T3 (Td  1  T1 2 )
Td 1  2 
i
1
Ti
3
Td 1  2  T1 3
i
T3 (Td  1  T1 2 )
Td 1  2 
i
1
Ti
3
1 L5
 480
Td 1  2  T1 3
i
Märk också att IMC-filtret Gf varierar i de olika fallen. För ett andra ordningens system med
ett positivt nollställe (tredje kolumnen) används ett andra ordningens filter för att IMCregulatorn GIMC (som dock inte implementeras) skall bli proper. Detta är dock inget krav; man
kunde väl använda ett första ordningens filter liksom för modellen utan positivt nollställe (andra
kolumnen). Om man gör detta, skall 2Tr ändras till Tr i uttrycket för 0 och Tr2 ändras till noll i
uttrycket för 1 .
Valet av täljare i Gf för de integrerande systemen (kolumn fyra och fem) är ett krav för att
designmetoden skall ge en regulator med integrerande verkan. Filtrets täljartidkonstant, som
betecknas T1 för att den i formlerna har samma roll som tidskonstanten T1 för de andra
systemen, definieras i raden under Gf .
Märk att optimeringen inte garanterar Tf  0 . Om resultatet enligt tabell 7.13 är Tf  0 , bör
filtrering inte användas. Detsamma gäller för Td , men risken att så sker är liten.
7–39
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
7.9 Modellförenkling
7.9 Modellförenkling
Vi har behandlat ett stort antal inställningsmetoder för PID-regulatorer. De frekvenssvars- och
stegsvarsbaserade metoderna i avsnitt 7.4 och 7.5, liksom de frekvensplansbaserade designmetoderna i avsnitt 8.4, är inte bundna till någon given typ av processmodell. Med undantag av
den direkta syntesen för system av högre ordning, förutsätter alla andra inställningsmetoder en
modell av första eller andra ordning med en ev. dödtid.
Om man har en processmodell av högre ordning, är det därför attraktivt att försöka reducera
den till en modell av högst andra ordningen på ett sådant sätt, att de för regulatorinställningen
väsentliga egenskaperna bibehålls. Vi skall här behandla två sådana metoder.
7.9.1 Skogestads metod
Skogestad (2003) har föreslagit en metod som reducerar processmodellen till en första eller
andra ordningens modell — man väljer själv vilkendera man vill ha — med dödtid, men inga
nollställen. Metoden är mycket enkel om modellen, som skall förenklas, saknar negativa nollställen (dvs positiva täljartidkonstanter). Om negativa nollställen finns, är metoden något krångligare. I princip krävs att systemets poler (och nollställen) är reella, så att modellen kan skrivas i
faktoriserad form med tidskonstanter.
Vi börjar med att betrakta fallet då negativa nollställen saknas. Den ursprungliga processmodellen har då formen
G( s) 
K (Tn1s  1) (Tnm s  1) e Ls
, T1  T2  T3 
(T1s  1)(T2 s  1)(T3s  1) (Tn s  1)
 Tn , Tni  0 ,
(7.106)
där nämnartidkonstanterna är ordnade enligt fallande storlek. Man bestämmer först vilken ordning, n , man vill att den förenklade modellen skall ha. De n största nämnartidkonstanterna hålls
kvar i modellen med den modifikationen, att hälften av tidskonstanten Tn1 adderas till Tn .
Hälften av Tn1 adderas också till dödtiden L , liksom alla återstående nämnartidkonstanter. Alla
negativa täljartidkonstanter subtraheras från dödtiden (dvs Tni adderas till L ). Detta innebär att
en approximativ modell av första ordningen ges av
n m
K e  Ls
1
1
L

L

T

G(s) 
, T1  T1  2 T2 ,
 Ti
2 2
T1s  1
i 3
(7.107)
och en approximativ modell av andra ordningen av
G( s) 
n m
K e  Ls
, T2  T2  12 T3 , L  L  12 T3   Ti .
(T1s  1)(T2 s  1)
i 4
(7.108)
Om systemet innehåller negativa nollställen, dvs positiva täljartidkonstanter, förkortas dessa
på lämpligt sätt bort mot samma antal nämnartidkonstanter förrän man går vidare enligt proceduren ovan. Det krävs således att antalet negativa nollställen är mindre än antalet poler. Om vi i
detta skede inte medtar systemets dödtid eller ev. positiva nollställen, har den oreducerade
överföringsfunktionen formen
G( s) 
K (Tn1s  1)(Tn2 s  1)
(T1s  1)(T2 s  1)
(Tn p s  1)
(Tn s  1)
, T1  T2 
 Tn , Tn1  Tn2 
 Tn p . (7.109)
7–40
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
7.9 Modellförenkling
Man börjar med att bearbeta tidskonstanten Tn1 , sedan Tn 2 , osv. Antag att man på detta sätt
nått täljartidkonstanten T j . Man söker då den minsta nämnartidkonstanten Ti som uppfyller
Ti  T j , eller om skillnaden är ”stor” eller sådan tidskonstant saknas, den nämnartidkonstant Ti
som ligger närmast T j . Förhållandet (T j s  1) / (Ti s  1) approximeras därefter på följande sätt:
 Ti / Ti

 (Ti  T j ) s  1
T j s  1 T j / Ti

Ti s  1 1
T / L
 j
T j / Ti
om Ti  min(Ti ,5L)  T j
(regel 1)
om Ti  T j  5L
(regel 2)
om L  T j  Ti
(regel 3)
om T j  L  Ti
(regel 4)
om T j  Ti  L
(regel 5)
.
(7.110)
Här är L dödtiden i den slutliga approximativa modellen, vilket innebär att man kan tänkas
behöva tillämpa iteration. Märk också att approximationerna innebär att systemets förstärkning i
allmänhet förändras.
 Exempel 7.2. Regulatorinställning genom modellreduktion enligt Skogestad.
Reducera modellen
(16s  1)(4s  1)(8s  1) e2 s
G( s) 
(50s  1)(20s  1)(12s  1)(6s  1)(3s  1)( s  1)
till en modell av andra ordningen med dödtid enligt Skogestads metod. Beräkna PID-regulatorinställningar både enligt standardmetoden (tabell 7.12) och den optimala metoden (tabell 7.13).
Välj första ordningens filter med Tr  max(0, 25L, 0, 2T ) , där L är den reducerade modellens
dödtid och T är den reducerade modellens ”ekvivalenta” tidskonstant (i praktiken summan av
nämnartidkonstanterna minus summan av täljartidkonstanterna).
Vi börjar med eliminera de negativa nollställena enligt (7.110). För detta behöver vi en uppskattning av dödtiden L i den slutliga modellen. Om täljarens (16s  1)(4s  1) ungefär förkortas
bort mot nämnarens (20s  1)(6s  1) , ger (7.108) tillämpat på återstoden L  13 . Vi får då
(16s  1)
(4 s  1)
(20s  1) (50s  1)(12s  1)(6s  1)(3s  1)( s  1)
20 /16
(4 s  1)
1, 25


,
(4s  1) (50s  1)(12s  1)(6s  1)(3s  1)( s  1) (50s  1)(12s  1)(6s  1)(3s  1)(s  1)
G( s) 
där vi i sista steget hade turen att direkt kunna förkorta bort täljarfaktorn (4s  1) . Fortsättning
enligt (7.108) ger
G( s) 
1, 25(8s  1) e2 s
1, 25e17 s
.

(50s  1)(12s  1)(6s  1)(3s  1)( s  1) (50s  1)(15s  1)
Dödtiden blev större än vad vi först uppskattade, men den nya dödtiden L  17 innebär att
samma regel 1 tillämpas med samma slutresultat.
7–41
Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
7.9 Modellförenkling
Den ekvivalenta tidskonstanten är T  50  15  65 . Enligt Tr  max(0, 25L, 0, 2T ) skall vi då
välja Tr  13 . För standardinställning av PID-regulatorn skall vi tillämpa modell nummer 2 i
tabell 7.12 (dvs rad 2) med T3  0 . Vi får då   13  17  30 . Eftersom K  1, 25 får vi
Ti  50  15  65 , Kc  1, 25  65 / 30  2,7 , Td  50 15 / 65  11,5 .
Modell nummer 1 för de optimala inställningarna (kolumn 2 i tabell 7.13) ger, med T3  0 ,
1 174 / 30  116 .
0  13  17  30 , 1   12 172 / 30  4,82 , 2  16 173 / 30  27, 29 , 3   24
Regulatorparametrarna blir
Ti  65  4,82  69,82  70 , Kc  1, 25  69,82 / 30  2,91  2,9 ,
Td  50 15 / 69,82  4,82  27,79 / 69,82  15,16  15 ,
Tf  4,82  27,79 /15,16  116 /15,16 / 69,82  3,09  0 !
I detta fall blir Tf negativ och bör således inte användas.
Dessa parametervärden överensstämmer i detta fall mycket bra med de optimala värden som
kan beräknas utgående från den oreducerade modellen.
7.9.2 Isakssons och Graebes metod
Isaksson och Graebe (1999) har föreslagit en modellreduceringsmetod, där man kombinerar
modellens långsamma och snabba dynamik på ett mer nyanserat sätt än i Skogestads metod. Den
snabba dynamiken och de positiva nollställena modelleras inte som en ren dödtid, som i
Skogestads metod, utan de ingår även efter reduktionen i överföringsfunktionens täljar- och
nämnarpolynom. I Isakssons och Graebes metod använder man i själva verket Padéapproximationer för att eliminera dödtiden. Man har full frihet att välja täljar- och nämnarpolynomens
gradtal i den reducerade modellen.
För att på ett enkelt sätt beskriva metoden, utnyttjar vi både en faktoriserad form och en
polynomform för överföringsfunktionen som skall reduceras. Om modellens täljargradtal är m
och dess nämnargradtal är n , kan vi skriva
G( s)  K
(Tn1s  1)(Tn2 s  1) (Tnm s  1)
b sm 
K 0 n
(T1s  1)(T2 s  1) (Tn s  1)
a0 s 
 bm2 s 2  bm1s  1
 an2 s 2  an1s  1
,
(7.111)
där T1  T2   Tn och Tn1  Tn2   Tnm . Här spelar det ingen roll för modellreduktionen
om nollställena är positiva eller negativa. Om modellen innehåller en dödtid, approximerar man
den först med en Padéapproximation. (Man kan också tänka sig att bibehålla dödtiden intakt och
endast reducera resten av modellen.)
Antag att man önskar en reducerad modell med täljargradtalet m och nämnargradtalet n . Den
reducerade modellen blir då
G( s)  K
[(Tn1s  1)(Tn2 s  1)
[(T1s  1)(T2 s  1)
(Tnm s  1)]  [bmm s m 
(Tn s  1)]  [ann s n 
 bm2 s 2  bm1s  1]
 an2 s 2  an1s  1]
, (7.112)
dvs i täljaren kombinerar man de m största täljartidkonstanterna med täljarpolynomet upp till
gradtalet m och analogt för nämnaren. Komplexkonjugerade poler och nollställen medför inga
problem så länge ett komplexkonjugerat pol/nollställepar finns helt i den faktoriserade del som
medtas eller helt i den faktoriserade del som inte medtas. I fall ett pol/nollställepar finns precis i
”skarvet”, är en lösning att som Tn eller Tn m använda realdelen av ifrågavarande par.
7–42

Medtas till tentamen
7. PID-regulatorer
7.9 Modellförenkling
Om den reducerade modellen skall användas för regulatordesign, är det närmast aktuellt att
välja en reducerad modell av första eller andra ordningen. Den bästa approximationen är då
G( s)  K
1 (T
 bm1 ) s  1
2 n1
,
2 1
1 (T T  a
)
s

(
T

T

a
)
s

1
n 2
n1
2
2 1 2
2 1
(7.113)
där
m
n
n
 n

bm1   Tn j , an1   Ti , an2  12 [ Ti ]2   Ti2  .
 i 1

j 1
j 1
i 1
 Exempel 7.3. Regulatorinställning genom modellreduktion enligt Isaksson och Graebe.
Vi löser här samma problem som i exempel 7.2, men använder Isakssons och Graebes modellreduktionsmetod för att bestämma en modell av andra ordningen med ett nollställe. Dessutom
bibehåller vi dödtiden som den är. Modellen
G( s) 
(16s  1)(4s  1)(8s  1) e2 s
(50s  1)(20s  1)(12s  1)(6s  1)(3s  1)( s  1)
ger då
bm1  16  4  8  12 , an1  50  20  12  6  3  1  92 ,
an2 
1
2
922  (502  202  122  62  32  12 )   2687 ,
och vi får approximationen
G( s) 
1 (16  12) s  1
2
e2 s
1 (1000  2687) s 2  1 (70  92) s  1
2
2

(14s  1) e2 s
1843,5s 2  81s  1
.
Denna modell har komplexkonjugerade poler, men i enlighet med (7.102) och (7.103) kan vi
vid beräkningen av regulatorparametrar använda T1  T2  81 och T1T2  1843,5 . Den ekvivalenta tidskonstanten kan uppskattas till T  81  14  67 . vilket ger Tr  0, 2  67  13, 4 . För
standardinställning av en PID-regulator blir då   13, 4  2  15, 4 . Eftersom K  1 i detta fall,
får vi inställningarna
Ti  81  14  67 , Kc  67 /15, 4  4,35 , Td  1843,5 / 67  14  13,5 .
Integrationstiden och deriveringstiden är ungefär desamma som Skogestads metod gav, men
regulatorförstärkningen är nästan dubbelt större!
För den optimala regulatorinställningen får vi 0  13, 4  2  15, 4 , 1   12 22 /15, 4  0,13 ,
1 24 /15, 4  0,0433 . Regulatorparametrarna blir
2  16 23 /15, 4  0,0866 , 3   24
Ti  81  14  0,13  66,87  67 , Kc  66,87 /15, 4  2,91  4,34 ,
Td  (1843,5  8114  142 ) / 66,87  0,13  0,0866 / 66,87  7,81  8 ,
Tf  14  [1  (0,13  0,0866 / 66,87) / 7,81]  0,13  (0,0866  0,0433 / 66,87) / 7,81  13,65  14 .
Utgående från denna modell går det alltså mycket bra att använda en PID-regulator med
derivatafilter.
Överensstämmelsen med de regulatorinställningar som kan härledas utgående från den oreducerade modellen är i detta fall inte speciellt bra. De optimala parametervärdena (med Tr  13, 4 )
är Ti  73 , Kc  3,1 , Td  17 , Tf  4  Tf  0 .

7–43
Medtas till tentamen
Medtas till tentamen
8. Frekvensanalys
Vi har hittills studerat systems egenskaper både i tidsplanet (t.ex. stegsvar) och i Laplaceplanet
(t.ex. stabilitet). I detta kapitel skall vi analysera systemegenskaper i ”frekvensplanet” genom att
studera systemets stationära beteende när det exciteras av en sinusformigt svängande insignal
med given frekvens. Med stationärt beteende avses beteendet när eventuella initialeffekter dött
ut, dvs när tiden t → ∞ . Utsignalen för ett linjärt system kommer då också att svänga sinusformigt med vissa karakteristiska egenskaper beroende på systemet samt insignalens frekvens
och amplitud. När dessa egenskaper uttrycks som funktion av insignalens frekvens talar vi om
frekvenssvaret. Allmänt kallar vi den analys som kan göras med hjälp av frekvenssvaret för
frekvensanalys.
Varför vill vi studera systemets beteende under dylika betingelser? Det finns flera orsaker.
Tidsvarierande störningar som påverkar ett system liknar ofta sinusformigt oscillerande signaler.
Dessutom kan ”nästan alla” funktioner och därmed nästan godtyckliga insignaler via Fouriertransformen uttryckas som en summa av sinus- och cosinusfunktioner vid ett (ev. mycket stort)
antal frekvenser. Detta möjliggör mycket effektiva generaliseringar vid analys av linjära system.
8.1 Frekvenssvaret för ett stabilt system
Vi skall härleda frekvenssvaret för ett godtyckligt linjärt system under förutsättningen att det är
stabilt. För att stegvis kunna introducera nya begrepp och därmed underlätta härledningen
betraktar vi först några enkla systemtyper, som i huvudsak saknar dynamik (transienta effekter),
men som ofta ingår som delkomponenter i mera allmänna system. Först därefter behandlar vi
system av första och andra ordningen, där dynamiken spelar en mer framträdande roll. Denna
behandling ligger även till grund för härledningen av frekvenssvaret för system av högre ordning. Som vi skall se, är det dock enklare, och med mindre risk för fel, att beräkna frekvenssvaret
för ett system av högre ordning genom uppdelning av systemet i enklare seriekopplade delsystem. Avslutningsvis sammanfattar vi därför frekvenssvaret för de genomgångna enklare
systemen.
8.1.1 Enkla systemelement: förstärkning, derivering, integration, dödtid
Statiskt system
Man kan knappast tänka sig ett enklare system än ett linjärt statiskt system. Om systemets
insignal betecknas u (t ) , dess utsignal y (t ) och dess förstärkning K , gäller för ett sådant system
y (t ) = Ku (t ) .
(8.1)
Ifall systemets insignal svänger sinusformigt såsom
u (t ) = A sin ωt ,
(8.2)
där ω ≥ 0 är sinussvängningens vinkelfrekvens (uttryckt i radianer per tidsenhet) och A > 0 är
dess amplitud, svänger utsignalen sinusformigt enligt
y (t ) = KA sin ωt .
(8.3)
Vi kan särskilja två situationer. Om K > 0 , svänger utsignalen helt i fas med insignalen; om
K < 0 , svänger utsignalen med motsatt fas, vilket betyder att utsignalen har minimum när
insignalen har maximum och vice versa . I det senare fallet är utsignalen således fasförskjuten
med en halv period, dvs ±π radianer, gentemot insignalen.
8-1
Medtas till tentamen
8. Frekvensanalys
8.1 Frekvenssvaret för ett stabilt system
Vi vill gärna skriva ekvation (8.3) så att fasförskjutningen framgår mera explicit samt så att
utsignalens amplitud skrivs som ett positivt tal även när K < 0 . För att åstadkomma detta skriver vi
y (t ) = K A sin(ωt + ϕ ) ,
(8.4)
där
⎧ 0 om K > 0
ϕ =⎨
.
(8.5)
⎩−π om K < 0
är utsignalens fasförskjutning, även kallad fasvridning, i förhållande till insignalen. Ofta säger vi
att systemet förorsakar (eller ”har”) denna fasförskjutning. Här är valet ϕ = −π ekvivalent med
ϕ = +π när K < 0 eftersom vi på grund av sinusfunktionens periodicitet kan addera en godtycklig positiv eller negativ multipel av 2π till fasen utan att signalens värde ändras. Vi föredrar
dock den negativa fasförskjutningen i enlighet med den fasförskjutning dynamiska system i
allmänhet har (se längre fram).
Förutom utsignalens fasförskjutning är förhållandet mellan utsignalens och insignalens amplituder av intresse. För ett statiskt system gäller att amplitudförhållandet AR helt enkelt är
AR = K .
(8.6)
För att undvika onödiga upprepningar i fortsättningen konstaterar vi redan här att den sinusformade insignalen definierad av ekvation (8.2) för system som saknar transienta effekter ger en
utsignal som allmänt kan skrivas
y (t ) = AR A sin(ωt + ϕ ) ,
(8.7)
där amplitudförhållandet AR och fasförskjutningen ϕ ges av givna uttryck beroende på vilket
system det är frågan om.
Deriverande system
Ett system med överföringsfunktionen G ( s ) = Ks har en utsignal som är lika med insignalens
tidsderivata förstärkt med faktorn K , dvs
y (t ) = K
d
dt
u (t ) .
(8.8)
När insignalen svänger sinusformigt såsom i ekvation (8.2) får vi då
y (t ) = K
där vi utnyttjat sambandet
d
dt
d
dt
( A sin ωt ) = KAω cos ωt ,
(8.9)
sin ωt = ω cos ωt .
Här är utsignalen en cosinussignal, men genom lämplig förskjutning av dess fas kan den skrivas som en sinussignal. Enligt det trigonometriska sambandet cos ωt = sin(ωt + π / 2) får vi då
y (t ) = K ω A sin(ωt + π / 2) .
(8.10)
Märk att vi här har valt fasförskjutningen +π / 2 , inte −3π / 2 , som dock skulle ge utsignalen
samma numeriska värde. Orsaken är inte den att +π / 2 ligger ”närmare”, utan den att deriveringen ger en prediktion av insignalens beteende och därmed kan utsignalen verkligen anses
ha samma värde som insignalen före insignalen har det. Annorlunda uttryckt kan vi säga att
utsignalens fas ligger före insignalens fas.
8-2
Medtas till tentamen
8. Frekvensanalys
8.1 Frekvenssvaret för ett stabilt system
Ifall förstärkningen K < 0 bör vi beakta detta på samma sätt som ovan. Utsignalen ges då
allmänt av ekvation (8.7) med
AR = K ω ,
(8.11)
⎧ π / 2 om K > 0
.
⎩−π / 2 om K < 0
ϕ=⎨
(8.12)
Vi noterar att amplitudförhållandet är linjärt beroende av frekvensen medan fasförskjutningen är
oberoende av frekvensen.
Vi skall här ytterligare betrakta en parallellkoppling av ett statiskt och ett deriverande system.
Ett sådant system kan beskrivas med överföringsfunktionen
G ( s ) = K (1 + Ts ) .
(8.13)
Detta kan t.ex. vara överföringsfunktionen för en PD-regulator, men helt allmänt har system
med nollställen dylika faktorer i överföringsfunktionens täljare.
I tidsplanet ges utsignalen av
y (t ) = Ku (t ) + KT
d
dt
u (t ) = K (1 + T
d )u (t )
dt
(8.14)
och när insignalen är en sinussignal såsom i ekvation (8.2) fås
y (t ) = K (1 + T
d ) A sin ωt
dt
= KA(sin ωt + T ω cos ωt ) .
(8.15)
Enligt det trigonometriska sambandet
sin ωt + x cos ωt = 1 + x 2 sin(ωt + arctan x)
(8.16)
y (t ) = KA 1 + (T ω ) 2 sin(ωt + arctan T ω ) .
(8.17)
kan detta skrivas
Vi bör också här beakta den extra fasförskjutningen om K < 0 . Någon motsvarande korrigering behöver inte göras för ett negativt T , eftersom arctan T ω här automatiskt ger en positiv
eller negativ faskorrigering helt i enlighet med T :s tecken. Med beaktande av K :s tecken ges
utsignalen av ekvation (8.7) med
AR = K 1 + (T ω ) 2 ,
om K > 0
⎧arctan T ω
.
⎩−π + arctan T ω om K < 0
ϕ=⎨
(8.18)
(8.19)
Vi ser att amplitudförhållandet för stora värden på T ω växer asymptotiskt linjärt med T ω
(eftersom ettan i kvadratroten blir försumbar) medan fasförskjutningen ϕ → π / 2 när T ω → ∞ .
Integrerande system
Ett system med överföringsfunktionen G ( s ) = Ks −1 har en utsignal som är lika med insignalens
tidsintegral förstärkt med faktorn K . Här behandlar vi detta fall enklast genom att i stället
betrakta utsignalens tidsderivata. Vi har då
d
dt
y (t ) = Ku (t )
(8.20)
och med den sinusformade insignalen får vi
d
dt
y (t ) = KA sin ωt .
(8.21)
8-3
Medtas till tentamen
8. Frekvensanalys
Eftersom
d
dt
8.1 Frekvenssvaret för ett stabilt system
cos ωt = −ω sin ωt , satisfieras ekvation (8.21) av
y (t ) = − KAω −1 cos ωt .
(8.22)
Insättning av cos ωt = sin(ωt + π / 2) = − sin(ωt − π / 2) i ekvation (8.22) ger med beaktande av
K :s tecken ekvation (8.7) med
AR = K ω −1 ,
(8.23)
⎧ −π / 2 om K > 0
.
⎩−3π / 2 om K < 0
ϕ=⎨
(8.24)
Här gäller att amplitudförhållandet är omvänt proportionellt mot insignalens vinkelfrekvens ω
medan fasförskjutningen är frekvensoberoende.
En parallellkoppling av ett statiskt och ett integrerande system kan beskrivas med överföringsfunktionen
1
(8.25)
G ( s) = K (1 + ) .
Ts
Detta kan t.ex. vara överföringsfunktionen för en PI-regulator. Utgående från ekvation (8.3) och
(8.22) är det klart att den sinusformade insignalen definierad i (8.2) ger utsignalen
(
)
y (t ) = KA sin ωt − KA(T ω ) −1 cos ωt = KA sin ωt − (T ω ) −1 cos ωt ,
(8.26)
varefter beaktande av det trigonometriska sambandet i ekvation (8.16) och K :s tecken ger ekvation (8.7) med
AR = K 1 + (T ω ) −2 ,
⎧⎪− arctan[(T ω )−1 ]
ϕ =⎨
om K > 0
−1
⎪⎩−π − arctan[(T ω ) ] om K < 0
(8.27)
.
(8.28)
Vi kan notera att amplitudförhållandet för stora värden på T ω är praktiskt taget oberoende av
T ω medan det för små värden på T ω är asymptotiskt omvänt proportionellt mot T ω . För fasförskjutningen gäller, då K > 0 , att den går från −π / 2 mot 0 när T ω växer från noll.
Dödtid
En dödtid av storleken L har som bekant överföringsfunktionen G ( s ) = e − Ls och sambandet
mellan ut- och insignal i tidsplanet ges av det enkla uttrycket
y (t ) = u (t − L) .
(8.29)
Den sinusformade insignalen i ekvation (8.2) ger då, med beaktande av tidsargumentet t − L ,
där
y (t ) = A sin[ω (t − L)] = A sin(ωt + ϕ ) ,
(8.30)
ϕ = − Lω .
(8.31)
Såsom framgår, har en ren dödtid amplitudförhållandet
AR = 1
(8.32)
samt en negativ fasförskjutning, som är proportionell med vinkelfrekvensen ω och dödtidens
storlek och som därmed kan bli godtyckligt stor.
8-4
Medtas till tentamen
8. Frekvensanalys
8.1 Frekvenssvaret för ett stabilt system
8.1.2 System av första ordningen
Vi har tidigare konstaterat att ett första ordningens system utan dödtid kan beskrivas med
differentialekvationen
dy
T
+ y (t ) = Ku (t ) ,
(8.33)
dt
där u (t ) är systemets insignal, y (t ) dess utsignal, K dess förstärkning och T dess tidskonstant,
som är positiv när systemet är stabilt. Laplacetransformering ger som bekant
Y ( s ) = G ( s )U ( s ) , G ( s ) =
K
,
Ts + 1
(8.34)
där U ( s ) är Laplacetransformen av u (t ) , Y ( s) är Laplacetransformen av y (t ) och G ( s) är
systemets överföringsfunktion.
Det är svårare att lösa detta fall direkt i tidsplanet än fallen i föregående avsnitt. Vi skall
därför härleda frekvenssvaret via Laplaceplanet. Om insignalen varierar sinusformigt såsom i
ekvation (8.2) har den Laplacetransformen
U (s) =
som insatt i (8.34) ger
Y (s) = G(s)
Aω
s + ω2
2
Aω
s +ω
2
2
=
,
K
Aω
.
2
Ts + 1 s + ω 2
(8.35)
(8.36)
Vi kan finna tidssvaret y (t ) genom inverstransformering med hjälp av Laplacetransformtabellen i avsnitt 4.2, men det är instruktivt för den fortsatta behandlingen att härleda svaret via
partialbråksuppdelning. Eftersom andragradspolynomet s 2 + ω 2 har komplexkonjugerade rötter,
kan vi göra partialbråksuppdelningen
Y (s) =
B
Cs + D
,
+ 2
Ts + 1 s + ω 2
(8.37)
där koefficienterna B , C och D bör bestämmas så att (8.36) och (8.37) blir ekvivalenta.
Innan vi gör det, kan vi dock härleda tidssvaret som funktion av dessa koefficienter. Inverstransformering med hjälp av punkterna 25, 38 och 39 i Laplacetransformtabellen ger
y (t ) =
B −t / T
D
e
+ C cos ωt + sin ωt .
T
ω
(8.38)
Vi är intresserade av utsignalens beteende när t → ∞ . Eftersom T > 0 (och B ändlig) fås
y (t ) ≡ lim y (t ) = C cos ωt + Dω −1 sin ωt ,
t →0
(8.39)
vilket betyder att vi inte behöver bestämma koefficienten B ifall vi kan bestämma C och D på
något av B oberoende sätt. Vi kan också notera att den del i partialbråksuppdelningen som ges
av systemets överföringsfunktion, frånsett dess ev. effekt på C och D , endast ger en transient
effekt som dör ut med tiden.
Vi kan bestämma koefficienterna C och D på traditionellt sätt genom att likställa (8.36) och
(8.37) samt var för sig betrakta koefficienterna för varje potens av s i de två täljarpolynomen.
8-5
Medtas till tentamen
8. Frekvensanalys
8.1 Frekvenssvaret för ett stabilt system
Vi skall här dock gå en annan väg. Genom kombinering av (8.36) och (8.37) kan vi skriva
(s2 + ω 2 ) B
.
Cs + D ≡ G ( s ) Aω −
Ts + 1
(8.40)
Denna identitet gäller för godtyckliga värden på s . Genom att välja s = jω , som innebär att
s 2 + ω 2 = 0 , får vi
Cω j + D ≡ G ( jω ) Aω .
(8.41)
Identiteten (8.41) kräver att de reella och imaginära delarna satisfieras var för sig. Eftersom
G ( jω ) är ett komplext tal med realdelen Re G ( jω ) och imaginärdelen Im G ( jω ) fås
C = A Im G ( jω ) , D = Aω Re G ( jω ) .
(8.42)
I detta fall har vi enligt ekvation (8.34)
G ( jω ) =
K
K
1 − T ω j K − KT ω j
=
⋅
=
T ω j + 1 1 + T ω j 1 − T ω j 1 + (T ω )2
dvs
Re G ( jω ) =
K
1 + (T ω )
, Im G ( jω ) =
2
− KT ω
1 + (T ω ) 2
,
(8.43)
(8.44)
vilket insatt i (8.42) och vidare i (8.39) ger
y (t ) =
KA
1 + (T ω ) 2
( sin ωt − T ω cos ωt ) .
(8.45)
Tillämpning av det trigonometriska sambandet i ekvation (8.16) ger
KA
y (t ) =
1 + (T ω ) 2
sin(ωt − arctan T ω ) .
(8.46)
Vi ser att vi även i detta fall, efter att de transienta effekterna dött ut, kan uttrycka (8.46) i
samma form som (8.7), dvs
y (t ) = AR A sin(ωt + ϕ ) .
(8.47)
Då förstärkningen K :s tecken beaktas på samma sätt som tidigare, fås för amplitudförhållandet
och fasförskjutningen uttrycken
K
,
(8.48)
AR =
2
1 + (T ω )
om K > 0
⎧− arctan T ω
.
⎩−π − arctan T ω om K < 0
ϕ =⎨
(8.49)
Vi kan konstatera att amplitudförhållandet avtar från sitt maximala värde K när T ω växer för
att för stora värden på T ω asymptotiskt avta omvänt proportionellt mot T ω . För fasförskjutningen gäller, då K > 0 , att den går från 0 mot −π / 2 när T ω växer från noll. Fasförskjutningen för ett första ordningens system med K > 0 kan således inte vara mer än −π / 2 radianer.
8-6
Medtas till tentamen
8. Frekvensanalys
8.1 Frekvenssvaret för ett stabilt system
8.1.3 System av andra ordningen
För beskrivning av andra ordningens system existerar som bekant olika standardformer. Vi skall
här välja en beskrivning som är lämplig för andra ordningens system med komplexkonjugerade
poler. Ett sådant system (utan dödtid) kan beskrivas med differentialekvationen
d 2 y (t )
d y (t )
+ 2ζωn
+ ωn2 y (t ) = K ωn2 u (t )
dt
dt
(8.50)
och överföringsfunktionen
G ( s) =
K ω n2
s 2 + 2ζω n s + ω n2
,
(8.51)
där K är systemets förstärkning, ζ är dess relativa dämpning och ω n > 0 är dess naturliga frekvens. Vi beaktar endast stabila system, vilket innebär att ζ > 0 .
Vi nöjer oss här med ett andra ordningens system utan nollställe, eftersom ett system med
nollställe kan behandlas enligt de metoder som beskrivs i avsnitt 8.1.5 genom en seriekoppling
av överföringsfunktioner av formen (8.13) och (8.51). Andra ordningens system med reella
poler kan beskrivas med (8.50) och (8.51) men i praktiken är det enklare att också i detta fall
tillämpa metoderna i avsnitt 8.1.5.
Den sinusformade insignalen, med Laplacetransformen given i ekvation (8.35), ger analogt
med (8.36) utsignalen
K ωn2
Aω
Aω
Y (s) = G(s) 2
=
.
(8.52)
s + ω 2 s 2 + 2ζωn s + ωn2 s 2 + ω 2
Då ζ ≠ 0 existerar alltid en partialbråksuppdelning
Y (s) =
B1s + B2
s
2
+ 2ζωn s + ωn2
+
Cs + D
s2 + ω 2
.
(8.53)
Enligt vår Laplacetransformtabell i avsnitt 4.2 har första termen i högra ledet en inverstransform
som innehåller faktorn e −ζω n t , där t betecknar tiden. Eftersom ζω n > 0 , kommer tidsfunktionen innehållande denna faktor att dö ut när t → ∞ . Systemets stationära beteende ges då
också i detta fall av ekvation (8.39).
Koefficienterna C och D kan bestämmas enligt samma teknik som i föregående avsnitt.
Resultatet är att de ges av ekvation (8.42) med i detta fall
G ( jω ) =
K ωn2
( jω ) 2 + 2ζωn jω + ωn2
=
K ωn2
ωn2 − ω 2 + 2ζωn ω j
=
K ωn2 (ωn2 − ω 2 − 2ζωn ω j)
(ωn2 − ω 2 ) 2 + (2ζωn ω ) 2
,
(8.54)
där sista ledet fås genom förlängning med nämnarens konjugattal i föregående led. Vi har m.a.o.
Re G ( jω ) =
K ωn2 (ωn2 − ω 2 )
(ωn2 − ω 2 ) 2 + (2ζωn ω ) 2
, Im G ( jω ) =
−2 K ζωn3ω
(ωn2 − ω 2 ) 2 + (2ζωn ω )2
,
(8.55)
som insatt i (8.42) och vidare i (8.39) ger
y (t ) =
⎛
⎞
2ζω ω
A ⎜ sin ωt − 2 n 2 cos ωt ⎟ ,
⎜
⎟
ωn − ω
− ω ) + (2ζωn ω )
⎝
⎠
K ωn2 (ωn2 − ω 2 )
(ωn2
2 2
2
(8.56)
8-7
Medtas till tentamen
8. Frekvensanalys
8.1 Frekvenssvaret för ett stabilt system
där vi tills vidare antar att ω ≠ ω n . Tillämpning av det trigonometriska sambandet (8.16) ger då
y (t ) =
K ωn2 sgn(ωn2 − ω 2 )
(ωn2
− ω ) + (2ζωn ω )
2 2
2
A sin(ωt + ϕ ) , ϕ = − arctan
2ζωn ω
ωn2 − ω 2
,
(8.57)
där tecknet sgn(ωn2 − ω 2 ) behövs för att beakta att insignalens vinkelfrekvens ω kan vara större
eller mindre än systemets naturliga frekvens ω n .
Liksom tidigare föredrar vi ett uttryck där koefficienten framför sinusfunktionen är positiv.
När tecknet för K sgn(ω n2 − ω 2 ) beaktas ges utsignalen då av ekvation (8.47) med amplitudförhållandet AR och fasförskjutningen ϕ givna av
AR =
K ωn2
(ωn2
− ω ) + (2ζωn ω )
2 2
2
=
K
(1 − (ω / ωn ) ) + (2ζω / ωn )
2 2
2ζωn ω
2ζω / ωn
⎧
⎪− arctan ω 2 − ω 2 = − arctan 1 − (ω / ω ) 2
⎪
n
n
ϕ =⎨
⎪−π − arctan 2ζωn ω = −π − arctan 2ζω / ωn
⎪⎩
ωn2 − ω 2
1 − (ω / ωn ) 2
2
,
(8.58)
om K ωn > K ω
.
(8.59)
om K ωn < K ω
Märk att den något speciella formen på olikheterna i ekvation (8.59) medför att K :s tecken
avgör om ifrågavarande fall gäller för ω n > ω eller ω n < ω .
Vi skall även betrakta specialfallet ω = ω n . Av ekvation (8.55) framgår att G ( jω ) då är rent
imaginär och enligt ekvation (8.42) och (8.39) är det stationära frekvenssvaret en cosinussignal.
När denna, som i fallet med en integrator, uttrycks med hjälp av en fasförskjuten sinussignal, fås
AR =
K
, ω = ωn ,
2ζ
⎧−π / 2 om K > 0
.
⎩−3π / 2 om K < 0
ϕ=⎨
(8.60)
(8.61)
I själva verket fås dessa ekvationer också genom insättning av ω = ω n i (8.58) och (8.59). Vi ser
att AR → ∞ när ζ → 0 , vilket är helt naturligt, eftersom systemet då går mot instabilitet.
Även om ω ≠ ωn , kan utsignalens amplitud förstärkas kraftigt för underdämpade system.
Detta kan enkelt härledas från ekvation (8.58). Derivering av AR med avseende på ω i ekvation (8.58) visar att derivatan har ett nollställe om ζ < 1/ 2 ≈ 0, 7 . Detta nollställe uppnås med
en insignal med vinkelfrekvensen
ω = ωn 1 − 2ζ 2 .
(8.62)
Vid denna frekvens har amplitudförhållandet ett maximum
AR =
K
2ζ 1 − ζ
2
,
(8.63)
som även kallas resonanstopp. Detta betyder att periodiska signaler i närheten av ett underdämpat systems naturliga frekvens kan förstärkas kraftigt — man kan m.a.o. få kraftig resonans.
8-8
Medtas till tentamen
8. Frekvensanalys
8.1 Frekvenssvaret för ett stabilt system
8.1.4 System av högre ordning
För ett system av högre ordning (utan dödtid) kan vi, då insignalen svänger sinusformigt som i
ekvation (8.2), göra en partialbråksuppdelning liknande dem i ekvation (8.37) och (8.53), så att
varje reell systempol eller komplexkonjugerat polpar ger en term i partialbråksuppdelningen.
Såsom ovan framgått, ger varje sådan term för ett stabilt system ett bidrag till utsignalens
tidssvar som med tiden dör ut. Enligt stabilitetsbehandlingen i avsnitt 6.2 gäller detta även för
multipla poler. Utsignalens stationära beteende beskrivs då också för ett godtyckligt linjärt
system av ekvation (8.39), med koefficienterna givna av ekvation (8.42).
För att förenkla beteckningarna i den fortsatta behandlingen definierar vi
R (ω ) ≡ Re G ( jω ) , I (ω ) ≡ Im G ( jω ) .
(8.64)
Insättning av ekvation (8.42) i (8.39) ger då
I (ω )
⎛
⎞
cos ωt ⎟ ,
y (t ) = A ( R(ω )sin ωt + I (ω ) cos ωt ) = R (ω ) A ⎜ sin ωt +
R(ω )
⎝
⎠
(8.65)
varefter tillämpning av det trigonometriska sambandet i ekvation (8.16) ger
2
⎛ I (ω ) ⎞
2
2
y (t ) = R(ω ) 1 + ⎜
⎟ A sin(ωt + ϕ ) = sgn( R(ω )) R(ω ) + I (ω ) A sin(ωt + ϕ ) ,
ω
(
)
R
⎝
⎠
där
ϕ = arctan
I (ω )
.
R(ω )
(8.66)
(8.67)
Eftersom G ( jω ) är ett komplext tal kan det karakteriseras med hjälp av absoluta beloppet,
eller magnituden, G ( jω ) , och argumentet ∠G ( jω ) , även betecknat arg G ( jω ) . Vi har enligt
teorin om komplexa tal
G ( jω ) = R (ω ) 2 + I (ω ) 2
och tan arg G ( jω ) =
I (ω )
.
R(ω )
(8.68)
Om vi i ekvation (8.66) beaktar tecknet sgn( R(ω )) på samma sätt som förstärkningens tecken i
tidigare avsnitt, kan vi skriva
y (t ) = G ( jω ) A sin(ωt + arg G ( jω )) ,
där
⎧arctan ( I (ω ) / R (ω ) )
arg G ( jω ) = ⎨
⎩arctan ( I (ω ) / R (ω ) ) − π
om R (ω ) ≥ 0
.
om R (ω ) < 0
(8.69)
(8.70)
Vi ser att absoluta beloppet G ( jω ) är lika med amplitudförhållandet medan argumentet
arg G ( jω ) är lika med fasförskjutningen, dvs
AR = G ( jω ) , ϕ = arg G ( jω ) .
(8.71)
Figur 8.1 visar hur dessa storheter kan utläsas ”grafiskt” från sambandet mellan en sinusformad
insignal och motsvarande stationära utsignal.
8-9
Medtas till tentamen
8. Frekvensanalys
8.1 Frekvenssvaret för ett stabilt system
1
u(t)
Normerad signal
⏐G⏐
y(t)
0
ωt
–argG
Normerad tid
–1
Figur 8.1. Illustration av frekvenssvaret för ett system av första ordningen.
Eftersom funktionen arctan endast antar värden mellan −π / 2 och +π / 2 , följer av (8.70) att
− 34 π ≤ ϕ ≤ 12 π .
(8.72)
Vi bör dock observera att på grund av sinusfunktionens periodicitet kan en godtycklig multipel
av 2π adderas till (eller subtraheras från) ϕ utan att sinusfunktionens värde ändras. Detta
betyder också att ekvation (8.70) inte anger hur många fulla faser (multipler av 2π eller 360 )
som utsignalen är förskjuten i förhållande till insignalen, endast bråkdelen av en fas enligt (8.72).
Denna information framgår inte heller om in- och utsignalen uppritas som funktion av tiden
såsom i figur 8.1. Den verkliga fasförskjutningen har dock betydelse vid stabilitetsanalys av
återkopplade system, vilket vi återkommer till senare i detta kapitel. Lyckligtvis finns det dock
en lösning på problemet, såsom framgår av följande avsnitt.
8.1.5 Seriekopplade delsystem
I avsnitt 4.3.3 visades att överföringsfunktionen G ( s) för ett system bestående av ett antal seriekopplade delsystem med överföringsfunktionerna Gi ( s ) , i = 1,… , N , är lika med produkten av
dessa överföringsfunktioner, dvs
G ( s ) = G1 ( s )G2 ( s )
N
GN ( s ) = ∏ Gi ( s ) .
(8.73)
i =1
Omvänt kan ett system med överföringsfunktionen G ( s ) faktoriseras utgående från systemets
poler och nollställen, eller motsvarande tidskonstanter, och en eventuell dödtid, så att
G ( s) = K
(Tn+1s + 1) (Tn+ m s + 1) − Ls
e .
(T1s + 1)(T2 s + 1) (Tn s + 1)
(8.74)
Varje sådan faktor kan betraktas som ett delsystem Gi ( s ) . Ifall systemet innehåller komplexkonjugerade poler eller nollställen (eller som här, tidskonstanter) kan dessa sammanslås till en
andragradsfaktor.
8-10
Medtas till tentamen
8. Frekvensanalys
8.1 Frekvenssvaret för ett stabilt system
Av ekvation (8.73) följer att frekvenssvaret för det totala systemet ges av sambandet
N
G ( jω ) = ∏ Gi ( jω ) .
(8.75)
i =1
Från teorin om komplexa tal är det bekant att det komplexa talet Gi ( jω ) kan uttryckas med hjälp
av talets absoluta belopp Gi ( jω ) och dess argument arg Gi ( jω ) enligt
Gi ( jω ) = Gi ( jω ) e j argGi ( jω ) .
(8.76)
Insättning i ekvation (8.75) ger då
N
N
G ( jω ) = ∏ Gi ( jω ) e j argGi ( jω )
i =1
⎛ N
⎞ N
⎛ N
⎞ j∑ arg Gi ( jω )
= ⎜⎜ ∏ Gi ( jω ) ⎟⎟ ∏ e j argGi ( jω ) = ⎜⎜ ∏ Gi ( jω ) ⎟⎟ e i =1
. (8.77)
⎝ i =1
⎠ i =1
⎝ i =1
⎠
Ekvation (8.76) gäller givetvis även för det totala systemet, dvs G ( jω ) = G ( jω ) e j argG ( jω ) .
En jämförelse med (8.77) ger då sambanden
N
G ( jω ) = ∏ Gi ( jω ) ,
(8.78)
i =1
N
arg G ( jω ) = ∑ arg Gi ( jω ) .
(8.79)
i =1
Detta betyder att systemets totala
• amplitudförhållande fås som produkten av delelementens amplitudförhållanden;
• fasförskjutning fås som summan av de enskilda delelementens fasförskjutningar.
Man har full frihet att faktorisera systemets överföringsfunktion enligt eget gottfinnande, men
det finns en uppenbar fördel i att välja de rationella faktorerna så att de är av högst andra
ordningen, och allra helst av första ordningen. Man kan dessutom låta alla delelement ha statiska
förstärkningen +1 och samla upp den totala förstärkningen i en enda parameter K , såsom i
ekvation (8.74), som behandlas som ett skilt delelement. Den extra fasförskjutningen på grund
av en negativ förstärkning kan då endast uppträda i detta element, där den är lätt att beakta. En
ytterligare fördel med detta arrangemang är att ekvation (8.70) med säkerhet ger rätt fasförskjutning för de enskilda delelementen. Detta beror på att ett element av högst andra ordningen inte
kan förskjuta sinussvängningens fas med mer än π radianer.
8.1.6 Sammanfattning av frekvenssvaret för system av låg ordning
För att underlätta användningen av (8.78) och (8.79), ges här en sammanfattning av frekvenssvaret, dvs amplitudförhållandet (förstärkningsförhållandet, absoluta beloppet) och fasförskjutningen (argumentet), för de enkla system som behandlats ovan. Med hjälp av dessa kan
frekvenssvaret för alla andra system beräknas.
Frekvenssvaren finns sammanställda i tabell 8.1. Alla system, utom ett rent statiskt system,
har förstärkningen K = 1 . Frekvenssvaret för ett godtyckligt system med K ≠ 1 fås enligt
seriekopplingsprincipen genom kombination med uttrycken för ett statiskt system, antingen med
förstärkningen K > 0 eller K = −1 , eller bådadera. Exempelvis fås frekvenssvaret för ett första
ordningens system med negativ förstärkning utgående från seriekopplingen −1⋅ K ⋅1/ (Ts + 1) ,
där K > 0 .
8-11
Medtas till tentamen
8. Frekvensanalys
8.1 Frekvenssvaret för ett stabilt system
Tabell 8.1. Frekvenssvaret (förstärkningsförhållande och fasförskjutning) för enkla system.
G (s)
AR = | G ( jω ) |
ϕ = arg G ( jω )
−1
1
−π
K >0
K
0
s
ω
π /2
(1 + Ts )
1 + (T ω ) 2
arctan T ω
1/ s
1/ ω
−π / 2
1 + 1/ Ts
1 + 1/ (T ω ) 2
− arctan(1/ T ω )
e − Ls
1
− Lω
1
Ts + 1
1
ωn2
s 2 + 2ζωn s + ωn2
− arctan T ω
1 + (T ω ) 2
− arctan
1
(1 − (ω / ωn ) 2 ) 2 + (2ζω / ωn ) 2
2ζω / ωn
1 − (ω / ωn ) 2
−π − arctan
, ω ≤ ωn
2ζω / ωn
1 − (ω / ωn ) 2
, ω ≥ ωn
8.2 Grafiska representationer av frekvenssvaret
Såsom ovan framgått innehåller den komplexvärda funktionen G ( jω ) för ett system med överföringsfunktionen G ( s ) all information om systemets frekvenssvar så när som på en eventuell
multipel av 2π för systemets fasförskjutning. Även om vi har härlett funktionen och dess
tillämpning genom att betrakta en sinusformad insignal, kan G ( jω ) uppfattas som en systemegenskap som ges av överföringsfunktionens värde på den imaginära axeln s = jω i det komplexa talplanet. Som en följd av detta kallas G ( jω ) systemets frekvensfunktion.
Vi noterar här att frekvensfunktionen i enlighet med teorin om komplexa tal kan skrivas
G ( jω ) = Re G ( jω ) + jIm G ( jω ) = G ( jω ) e j argG ( jω )
(8.80)
Dessa alternativa representationer av G ( jω ) antyder flera möjligheter att avbilda frekvensfunktionen grafiskt. En möjlighet är att avbilda Im G ( jω ) som funktion av Re G ( jω ) i det komplexa talplanet. När vinkelfrekvensen ω växer från noll till oändligheten ger detta upphov till
ett s.k. Nyquistdiagram, som behandlas närmare i nästa avsnitt. En annan möjlighet är att var för
sig upprita G ( jω ) och arg G ( jω ) som funktion av vinkelfrekvensen. Detta ger ett s.k. Bodediagram, som behandlas i avsnitt 8.2.2.
Dessa avbildningar och de ekvationer som ligger till grund för dem är speciellt användbara
vid analys av stabiliteten för återkopplade system, vilket behandlas i avsnitt 8.3.
8-12
Medtas till tentamen
8. Frekvensanalys
8.2 Grafiska representationer av frekvenssvaret
8.2.1 Nyquistdiagram
Ett komplext tal kan som bekant behändigt representeras i ett tvådimensionellt koordinatsystem,
där de två koordinataxlarna betecknar talets reella respektive imaginära del. Talet avbildas
således i ett plan, som kallas det komplexa talplanet. För en given vinkelfrekvens ω motsvarar
G ( jω ) då en punkt i det komplexa talplanet, såsom illustreras i figur 8.2. Det framgår dock inte
av figuren vilken frekvens det är frågan om.
Om vi låter vinkelfrekvensen variera bildar
orten för G ( jω ) en kurva i det komplexa planet.
Då frekvensen varierar från 0 till ∞ bildar
kurvan systemets frekvenskurva, som allmänt
kallas systemets Nyquistdiagram (eller -kurva).
Eftersom dynamiska system i allmänhet har en
negativ fasförskjutning, kommer en avsevärd del
av Nyquistkurvan normalt att ligga på den
negativa sidan av den imaginära axeln. Figur
8.2 illustrerar dock en positiv fasförskjutning.
ImG(jω)
R(ω)
⏐G(jω)⏐
I(ω)
∠G(jω)
ReG(jω)
Figur 8.2. En punkt av G ( jω ) i det
komplexa talplanet.
Enkla systemelement
Betrakta en parallellkoppling av ett statiskt system och ett deriverande system, som behandlades i avsnitt 8.1.1. Enligt ekvation (8.13) fås för frekvensfunktionen direkt
G ( jω ) = K (1 + T ω j) ,
(8.81)
som enkelt kan uppritas som funktion av frekvensen i ett Nyquistdiagram. Se figur 8.3, där den
normerade frekvensfunktionen
GN ( jω ) ≡ G ( jω ) / G (0) = G ( jω ) / K
(8.82)
uppritats.
För en parallellkoppling av ett statiskt system och ett integrerande system, som också
behandlats i avsnitt 8.1.1, fås enligt ekvation (8.25)
G ( jω ) = K (1 +
1
Tω j
) = K (1 −
1
j) .
Tω
(8.83)
Denna frekvensfunktion finns uppritad i figur 8.4 med samma normering som ovan.
Im GN
Im G
N
ω→∞
1
–0,5
Tω = 0,5
0,5
–0,5
ω=0
–0,5
0
0,5
1
0
Re GN
Figur 8.3. Nyquistdiagram för
GN ( s ) = 1 + Ts .
–1
ω=0
0,5
1
Re G
N
Tω = 0,5
ω → −∞
Figur 8.4. Nyquistdiagram för
GN ( s ) = 1 + 1/ (Ts ) .
8-13
Medtas till tentamen
8. Frekvensanalys
8.2 Grafiska representationer av frekvenssvaret
Övning 8.1.
Hur ser Nyquistkurvan ut för en ren (a) derivering, (b) integration, (c) dödtid?
Första och andra ordningens system
Vi kan på samma sätt som ovan beräkna och upprita frekvenssvaret för ett godtyckligt dynamiskt system genom substitutionen s = jω i systemets överföringsfunktion G ( s ) . För system av
andra eller högre ordning kan det dock krävas besvärliga omformningar för att få G ( jω ) uttryckt
som ett vanligt komplext tal.
För att undvika dylika hyfsningar kan vi uttrycka G ( jω ) med hjälp av absoluta beloppet
G ( jω ) (dvs amplitudförhållandet) och argumentet arg G ( jω ) (dvs fasförskjutningen), som vi
redan härlett uttryck för i ett antal fall. Utgående från ekvation (8.80) får vi med tillämpning av
Eulers formel,
e j argG ( jω ) = cos arg G ( jω ) + jsin arg G ( jω ) ,
(8.84)
sambanden
R (ω ) ≡ Re G ( jω ) = G ( jω ) cos arg G ( jω ) ,
(8.85)
I (ω ) ≡ Im G ( jω ) = G ( jω ) sin arg G ( jω ).
Figur 8.5 och 8.6 visar Nyquistdiagram, normerade enligt ekvation (8.82), för system av
första och andra ordningen beräknade enligt ekvation (8.85) med användning av de uttryck för
G ( jω ) ( AR ) och arg G ( jω ) ( ϕ ) som härletts i avsnitt 8.1.2 och 8.1.3. Tack vare normeringen
kan alla system av första ordningen uttryckas med en och samma Nyquistkurva, medan system
av andra ordningen ger en kurvskara som funktion av den relativa dämpningen ζ . Dessutom är
frekvensen normerad så att den i en viss punkt på en kurva är proportionell mot systemets tidskonstant T eller naturliga frekvens ωn .
System av högre ordning
För system av högre ordning kan det bli besvärligt att utreda vilken den rätta fasförskjutningen är, såsom omtalats i avsnitt 8.1.4. Denna komplikation kan undvikas om man uppdelar systemet i ett antal delsystem och använder de metoder som beskrivits i avsnitt 8.1.5 för
beräkning av det fulla systemets G ( jω ) och arg G ( jω ) utgående från motsvarande storheter för
delsystemen. Följande exempel illustrerar metoden.
Im G
Im G
ω ≥100
0
ω=0
∠G(jω) 0,5
ωT = 5
⏐G(jω)⏐
ωT = 2
–0,5
Re G
1
ωT = 0,2
–0,5
0
ω = 1,5ωn
ζ = 0,5
–1
Figur 8.5. Nyquistdiagram för ett
system av första ordningen.
8-14
0,5
ζ=2
ζ=1
ζ = 0,7
ωT = 0,5
ωT = 1
ω=0
ω ≥10
ω = ωn
1
Re G
ω = 0,5ωn
ω = 0,7ωn
Figur 8.6. Nyquistdiagram för system
av andra ordningen.
Medtas till tentamen
8. Frekvensanalys
8.2 Grafiska representationer av frekvenssvaret
4 Exempel 8.1. Beräkning av Nyquistkurvan för ett system av tredje ordningen.
Vi skall beräkna Nyquistkurvan för ett system med överföringsfunktionen
G ( s) =
4
( s + 1)3
.
(1)
Om vi delar upp överföringsfunktionen i delsystem av första ordningen kan vi skriva
G(s) = 4 ⋅
3
1
1
1
1
,
⋅
⋅
= 4∏
( s + 1) ( s + 1) ( s + 1)
(
1)
s
+
i =1
(2)
där varje dynamiskt delsystem har förstärkningen 1 och tidskonstanten 1 (med lämplig tidsenhet). För beräkning av G ( jω ) och arg G ( jω ) kan vi därmed utnyttja de resultat vi tidigare
härlett för system av första ordningen. Vi får
G ( jω ) = 4(
1
1+ ω
2
)3 = 4(1 + ω 2 )−3/2 , arg G ( jω ) = −3arctan ω .
Figur 8.7 visar den kurva som fås när ω går
från 0 till ∞ . Liksom ovan, har frekvensfunktionens värde utmärkts med punkter vid ett antal
frekvenser. En viss punkt på kurvan anger frekvensfunktionens komplexa värde vid ifrågavarande
frekvens. Samtidigt är punktens avstånd från origo
lika med frekvensfunktionens absolutbelopp samt
den vinkel som kordan mellan punkten och origo
bildar med den positiva delen av den reella axeln
lika med frekvensfunktionens argument, dvs dess
fasförskjutning. Märk att den negativa fasförskjutningens absoluta värde ökar när vinkeln ökar
”medurs”. 3
(3)
Im G
ω=0
ω ≥10
–1
ω=1
0
1
–1
2
3
Re G
ω = 0,1
–2
ω = 0,5
ω = 0,25
–3
Figur 8.7. Nyquistdiagram för systemet
G ( s ) = 4( s + 1) −3 .
Övning 8.2.
Skissera Nyquistkurvan för ett första ordningens system med dödtid. (Märk att dödtiden inte
påverkar amplitudförhållandet, enbart fasförskjutningen.)
8-15
Medtas till tentamen
8. Frekvensanalys
8.2 Grafiska representationer av frekvenssvaret
System av första ordningen
G(s) =
K
, antages K > 0
Ts + 1
AR (ω ) = G ( jω ) =
Kω n2
, antages K > 0
s 2 + 2ζω n s + ω n2
Vi har tidigare härlett
K
1 + (ωT ) 2
AR =
ϕ (ω ) = arg G ( jω ) = − arctan(ωT )
Detta kan framställas grafiskt i ett Bodediagram, där det
normerade amplitudförhållandet AR / K och fasförskjutningen ritas som funktioner av frekvensen:
0
10
AR/K
8.2 Grafiska representationer av frekvenssvaret
System av andra ordningen
Ett system av andra ordningen har överföringsfunktionen
8.2.2 Bodediagram
G ( s) =
8. Frekvensanalys
K
(1 − (ω / ωn ) 2 ) 2 + (2ζω / ωn ) 2
2ζω / ωn
⎧
−
arctan
⎪
1 − (ω / ωn ) 2
⎪
ϕ =⎨
⎪−π − arctan 2ζω / ωn
⎪
1 − (ω / ωn ) 2
⎩
om ω ≤ ωn
om ω ≥ ωn
Vi har också visat att vi vid vinkelfrekvensen
−1
10
ω = ωn 1 − 2ζ 2
−2
10
−2
Fasförskjutning (grader)
10
−1
10
0
10
ωT
1
10
2
10
får en resonanstopp med amplitudförhållandet
AR =
0
−20
K
2ζ 1 − ζ 2
−40
−60
−80
−100 −2
10
−1
10
0
10
ωT
1
10
2
10
8-16
8-17
Medtas till tentamen
8. Frekvensanalys
8.2 Grafiska representationer av frekvenssvaret
8. Frekvensanalys
8.2 Grafiska representationer av frekvenssvaret
Dödtid
För en dödtid L med överföringsfunktionen
1
10
ζ = 0.1
G ( s ) = e − Ls
0.2
har vi härlett
0.3
AR (ω ) = 1
0.4
0.5
0.7
1.0
0
AR/K
10
ϕ (ω ) = − Lω
2.0
Vid växande frekvens kommer den negativa fasförskjutningen
att öka obegränsat, och desto snabbare ju större dödtiden är.
−1
10
1
10
−2
−1
0
10
10
ω/ωn
0
ζ=
0.2
0
0 .3
0.5 .4
0
1.0 .7
−20
0
10
0.1
2.0
−60
−1
10
−2
10
0
ωL
10
1
10
−100
−100
o
−120
−140
−160
−180
−1
10
−1
10
0
−80
fasförskjutning ( )
fasförskjutning ( o)
−40
1
10
AR
10
−200
−300
−400
−500
0
10
ω/ωn
1
10
−600
−2
10
8-18
−1
10
0
ωL
10
1
10
8-19
Medtas till tentamen
8. Frekvensanalys
8.2 Grafiska representationer av frekvenssvaret
Element i serie
8. Frekvensanalys
8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system
8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system
För seriekopplade system med totala överföringsfunktionen
G = G1 ⋅ G2 ⋅ ⋅ Gn
har vi visat att totala amplitudförhållandet och fasförskjutningen ges av
AR = AR,1 ⋅ AR,2 ⋅ ⋅ AR,n
ϕ = ϕ1 + ϕ 2 +
8.3.1 Bodes stabilitetskriterium
r
y
Gc
+
Gv
Gp
–
+ ϕn
ym
Logaritmering av uttrycket för amplitudförhållandet ger
log( AR ) = log( AR,1 ) + log( AR,2 ) + + log( AR, n )
Eftersom amplitudaxeln i Bodediagrammet är logaritmisk, fås
totala amplitudförhållandet av ett seriekopplat system genom
att helt enkelt addera de enskilda delsystemens logaritmerade
amplitudförhållanden i Bodediagrammet.
Eftersom fasförskjutningsaxeln är linjär, fås totala fasförskjutningen genom att addera de enskilda delsystemens
fasförskjutningar.
Gm
Överföringsfunktionen för den öppna slingan ges av
kretsöverföringen Gk
Gk = GmGpGvGc
Antag Gm = Gv = 1 , Gp =
Gk =
e −0,1s
och Gc = K c . Då blir
0,5s + 1
K ce −0,1s
Kc
=
⋅ e−0,1s
0,5s + 1 0,5s + 1
Vid frekvensen ω = 17 rad/min (antages att dödtiden och
tidskonstanten är uttryckta i minuter) fås fasförskjutningen
ϕ = − arctan(0,5 ⋅17) − 0,1 ⋅17 ≈ −180 = −π
Den frekvens där kretsöverföringens totala fasförskjutning är
− 180 kallas för systemets kritiska frekvens ωc .
Amplitudförhållandet vid den kritiska frekvensen blir
Kc
AR (17) =
≈ 0,117 ⋅ K c
1 + (0,5 ⋅17) 2
Om K c = 1 / 0,117 = 8,56 fås AR (17) = 1.
8-20
8-21
Medtas till tentamen
8. Frekvensanalys
8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system
Vi gör följande tankeexperiment:
– Antag att ledvärdet r = sin(17t ) och kretsen är öppen. Då
blir ym = AR (17) ⋅ sin(17t − π ) = − sin(17t ) efter en stund.
– Om kretsen då slutes med r = 0 , blir Gc :s insignal
r − ym = sin(17t ) , dvs samma som tidigare. Kretsen
fortsätter m.a.o. att oscillera av sig själv !
1. Antag att K c > 8,56 , dvs AR > 1 vid ωc = 17 . Om vi
upprepar samma som ovan, blir ym = − AR ⋅ sin(17t ) i öppen
krets. ym :s amplitud är då större än r :s amplitud. När
kretsen slutes, har insignalen till Gc således större amplitud
än tidigare, det ”nya” ym blir ännu större, vilket medför
exponentiellt ökande oscillationer. Kretsen är instabil !
2. Antag att K c < 8,56 , dvs AR < 1 vid ωc = 17 . När kretsen
slutes fås då exponentiellt avtagande oscillationer. Kretsen
är stabil !
Bodes stabilitetskriterium: Ett återkopplat system är instabilt
om AR > 1 vid den kritiska frekvensen ωc för kretsöverföringen Gk ; systemet är stabilt om AR (ωc ) < 1 .
Märk att det är kretsöverföringen Gk för det oreglerade
(”öppna”) systemet som undersökes, men det avgör stabiliteten för det återkopplade (”slutna”) systemet med överG
, där G är en godtycklig stabil
föringsfunktionen
1 + Gk
överföringsfunktion. Vid följereglering är G = Gk .
8-22
8. Frekvensanalys
8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system
Vid kritiska frekvensen gäller
| Gk ( jωc ) | = 1 och arg Gk ( jωc ) = −π
som ger
Gk ( jωc ) = | Gk ( jωc ) | e j arg Gk ( jωc ) = e − jπ
= cos(π ) − jsin(π ) = −1 − 0 j = −1
dvs s = jωc är en lösning till karakteristiska ekvationen
1 + Gk ( s ) = 0 .
I praktiken bör följande två steg utföras vid stabilitetstest
enligt Bodes stabilitetskriterium:
1. Bestäm den kritiska frekvensen ωc , d.v.s. den frekvens som
kretsöverföringen fasförskjuter med −π , dvs −180 .
2. Bestäm kretsöverföringens amplitudförhållande vid den
kritiska frekvensen ( = AR (ωc )) . Om AR (ωc ) < 1, är den
slutna kretsen stabil, annars instabil.
Dessa två steg kan i sin tur utföras på tre olika sätt:
1. Grafiskt genom att rita ett Bode-diagram för kretsöverföringen. Den kritiska frekvensen ωc kan utläsas ur
fasdiagrammet, och amplitudförhållandet AR (ωc ) vid ωc ur
amplituddiagrammet.
2. Numeriskt, genom att lösa ekvationen −π = ϕk (ω ) , där
ϕk (ω ) är kretsöverföringens fasförskjutning. Lösningen är
ω = ωc . Därefter beräknas AR (ωc ) enligt kända formler.
3. Genom simulering av det återkopplade systemet med en Pregulator på samma sätt som K c,max och ωc bestämdes
experimentellt i avsn. 7.4.1. Eftersom K c,max ⋅ AR (ωc ) = 1 ,
fås AR (ωc ) = 1 / K c,max .
8-23
Medtas till tentamen
8. Frekvensanalys
8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system
Övning 8.3
Bestäm kritiska frekvensen och amplitudförhållandet vid
densamma för ett system med kretsöverföringen
Gk ( s ) = G1 ( s )G2 ( s )G3 ( s )G4 ( s )
där
1,5
2
0,8
G1 ( s ) = e −4 s , G2 ( s ) =
, G3 ( s ) =
, G4 ( s ) =
2s + 1
10 s + 1
5s + 1
Grafisk lösning med Bodediagram
8. Frekvensanalys
8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system
Övning 8.4
En process som kan modelleras som en ren dödtid regleras
med en P-regulator. Reglerventilen och mätinstrumentet har
försumbar dynamik och deras förstärkningar är K v = 0,5 och
K m = 0,8 . När en liten förändring av ledvärdet görs uppstår
svängningar med en konstant amplitud och perioden 10
minuter.
a) Vilken är regulatorns förstärkning ?
b) Hur stor är dödtiden ?
8.3.2 Nyquists stabilitetskriterium
1
10
I ett Nyquistdiagram uppritas realdelen av Gk , Re Gk ( jω ) ,
som funktion av imaginärdelen av Gk , Im Gk ( jω ) . Den kurva
som uppstår kallas Nyquistkurva.
0
|GL|
10
| Gk |
−1
Vi börjar med den enklaste varianten av Nyquistkriteriet, som
är helt ekvivalent med Bodes stabilitetskriterium.
10
−2
10
−2
10
−1
10
ω
ω
0
Det förenklade Nyquist-kriteriet: Om kretsöverföringen Gk
inte har poler i högra halvplanet (dvs är stabilt, ev. med
integrator) är det återkopplade systemet stabilt om Nyquistkurvan ( ω = 0 ∞ ) för Gk skär negativa realaxeln till höger
om punkten (-1,0), annars är det återkopplade systemet
instabilt.
10
0
−100
∠GL
−200
arg Gk
−300
−400
−500 −2
10
−1
10
ω
ω
0
10
8-24
8-25
Medtas till tentamen
8. Frekvensanalys
8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system
Exempel 8.2. Nyquistkurvorna för systemet i Övning 8.3,
med K c = 1,1, 49 och 2 , visas i figuren.
Förstärkningsmarginal
Förstärkningsmarginalen (amplitudmarginalen) Am säger
med vilken faktor kretsförstärkningen kan öka utan att den
slutna kretsen blir instabil. Matematiskt ges förstärkningsmarginalen av
1
Am =
AR (ωc )
0.5
0
−1
L
Imag(G (jω))
−0.5
Kc=1, stabilt
−1.5
där AR är amplitudförhållandet för kretsöverföringen. För
stabilitet krävs att Am > 1.
−2
Kc=1.49, på gränsen
−2.5
−3
Förstärkningsmarginalen ger robusthet inte bara mot
variationer i processförstärkningen, utan även mot variationer
i andra processparametrar (dvs modellfel i allmänhet).
Kc=2, instabilt
−3.5
−4
−2
8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system
8.3.3 Stabilitetsmarginaler
1
ImGk
8. Frekvensanalys
−1
0
1
2
Real(GL(jω))
3
4
5
ReGk
Övning 8.5
Undersök stabilitet vid P-reglering av en dödtid. Kretsöverföringen är K c e − Ls .
Exempel 8.3. I början av avsnitt 8.3 studerade vi kretsöverK e −0,1s
. Bestäm en P-regulator som har förföringen Gk = c
0,5s + 1
stärkningsmarginalen Am = 1,7 . Är den slutna kretsen fortfarande stabil om dödtiden i stället för 0,1 är 0,15 minuter ?
Från tidigare har vi ωc = 17 rad/min, AR (ωc ) = 0,117 K c . Vi
kräver AR (ωc ) = Am−1 = 1 / 1,7 som ger K c = 5 .
a) Hur ser Nyquistkurvan ut ?
b) Vilket blir stabilitetsintervallet för K c ?
För att kontrollera om den slutna kretsen är stabil med K c = 5
om dödtiden L = 0,15 min, kan vi upprita ett Bodediagram för
Gk med dessa parametrar. Från diagrammet kan vi på samma
sätt som i övning 8.3 avläsa kritiska frekvensen ωc och
amplitudförhållandet AR (ωc ) . Om AR (ωc ) < 1 , är systemet
stabilt.
8-26
8-27
Medtas till tentamen
8. Frekvensanalys
8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system
Ett annat sätt är att beräkna ωc och AR (ωc ) numeriskt. För ett
första ordningens system med tidskonstanten T och dödtiden
L finner vi ωc genom att lösa ekvationen
−π = − Lωc − arctan(T ωc )
dvs här (efter teckenbyte)
π = 0,15ωc + arctan(0,5ωc )
Vi finner snabbt lösningen iterativt med direkt substitution
från sambandet
ωc = [π − arctan(0,5ωc )] / 0,15
8. Frekvensanalys
8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system
Fasmarginal
Fasmarginalen ϕ m anger hur mycket mer negativ fasförskjutningen kunde vara vid den frekvens där kretsöverföringen har
förstärkningen 1 utan att den slutna kretsen blir instabil.
Fasmarginalen ger robusthet inte bara mot variationer i
processens fasförskjutning, utan även mot variationer i andra
processparametrar (dvs modellfel i allmänhet)
Bodes stabilitetskriterium säger att AR (ωc ) < 1 , dvs om vi vid
en frekvens ωg har AR (ωg ) = 1 , så kräver stabilitet att vi vid
Lösningen är ωc = 11,6 rad/min.
denna frekvens har en mindre negativ fasförskjutning än − 180 .
Ett första ordningens system med förstärkningen K och
tidskonstanten T (dödtiden påverkar inte) har amplitudförhållandet
|K|
AR (ω ) =
1 + (T ω ) 2
Frekvensen ωg kallas (amplitudkurvans) överkorsningsfrekvens.
Matematiskt definieras fasmarginalen (här uttryckt i radianer)
ϕ m = ϕ (ωg ) + π , där ωg ges av AR (ωg ) = 1.
T = 0,5 , K = K c = 5 och ω = ωc = 11,6 ger AR (ωc ) ≈ 0,85 < 1,
vilket betyder att systemet fortfarande är stabilt om dödtiden
förändras från L = 0,1 till L = 0,15 min.
För stabilitet krävs att ϕ m > 0 . ϕ (ωg ) och AR (ωg ) skall
givetvis beräknas för kretsöverföringen.
Exempel 8.4. Bestäm den P-regulator, för samma krets som i
exempel 8.3, som har ϕ m = 30 . Är den slutna kretsen fortfarande stabil om dödtiden i stället för 0,1 är 0,15 minuter ?
Vi söker först ωg så att ϕ (ω g ) = ϕ m − 180 = −150 = −5π / 6 .
För att finna lösningen, kan vi rita ett Bodediagram för
processens överföringsfunktion Gp (dvs Gk med K c = 1) . Vi
finner då ωg vid den frekvens där faskurvan skär −150 . Det
skall gälla att K c AR (ωg ) = 1 , där AR (ωg ) är amplitudförhållandet för Gp vid ω = ωg , som kan avläsas ur Bodediagrammet.
Vi får då K c = 1 / AR (ωg ) .
8-28
8-29
Medtas till tentamen
8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system
Förstärkningen påverkar inte fasförskjutningen. Precis som i
exempel 8.3, är kritiska frekvensen för L = 0,15 min ωc = 11,6
rad/min. Vi kan avläsa AR (ωc ) från Bodediagrammet för Gp .
Om AR (ωc ) > 1 / K c , är systemet instabilt då L = 0,15 .
Vi kan också göra beräkningarna rent numeriskt. Frekvensen
ωg kan lösas ur
5π / 6 = 0,1ωg + arctan(0,5ωg )
8. Frekvensanalys
8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system
Exempel 8.5. Förstärknings- och fasmarginaler kan enkelt
avläsas ur ett Bodediagram då regulatorn är given. För kretsK e −0,1s
överföringen Gk = c
med K c = 5 fås Bodediagrammet
0,5s + 1
nedan med angivna förstärknings- och fasmarginaler.
1
10
| Gk |
|GL|
Iterativ lösning genom direkt substitution från sambandet
ωg = [5π / 6 − arctan(0,5ωg )] / 0,1
ger snabbt lösningen ωg = 12,1 rad/min. AR (ωg ) = 1 motsvarar
Kc
AR (12,1) =
=1
1 + (0,5 ⋅12,1) 2
som har lösningen K c = 6,14 .
Om dödtiden L = 0,15 min, är som ovan konstaterats ωc = 11,6
rad/min. Vi får då
6,14
AR (ωc ) = AR (11,6) =
≈ 1,04 > 1
2
1 + (0,5 ⋅11,6)
vilket betyder att processen är instabil om L = 0,15 min då
K c = 6,14 .
ω
0
g
10
1/Am
−1
10
−1
10
arg Gk
1
ωω
10
ωω
10
2
10
0
−50
−100
−150
fasmarginal
−200 −1
10
8-30
0
10
∠GL
8. Frekvensanalys
0
10
1
ωc
2
10
8-31
Medtas till tentamen
8. Frekvensanalys
8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system
8.3.4 Numerisk lösning av frekvenssamband
I exempel 8.3 och 8.4 löstes fasekvationen m.a.p. frekvensen
med en enkel numerisk iterationsmetod. Metoden förutsätter
att systemet har en dödtid. Så är dock inte alltid fallet, men
även om det finns en dödtid fungerar den enkla metoden inte
alltid. Vi skall här ta fram en bättre metod för lösning av
frekvensen både ur fasekvationen och amplitudekvationen för
ett n :te ordningens system med eller utan dödtid.
i =1
∑ arctan(Tiω )
i = n +1
där ϕ r är fasförskjutningen uttryck i radianer/tidsenhet. Om
vi önskar lösa ut
– kritiska frekvensen ω = ωc , är ϕ r = −π
– överkorsningsfrekvensen ω = ωg , är ϕ r = −π + ϕm , där ϕ m
är fasmarginalen uttryckt i radianer/tidsenhet
Vi definierar
n
i =1
n
N
d f (ωk )
Ti
Ti
f ′(ωk ) ≡
= −L − ∑
+ ∑
2
2
dωk
i =1 1 + (Tiωk )
i = n +1 1 + (Tiωk )
Av problemets natur följer att f ′(ω ) > 0 i närheten av lösningen
till f (ω ) = 0 . Om vi som startlösning gissar ett ω0 sådant att
f ′(ω0 ) > 0 , kan vi på goda grunder välja
α = − f ′(ω0 ) −1
−1
Det finns dock ingen garanti för att detta ger snabb konvergens.
Man kan försöka förbättra konvergensen genom att t.ex. fördubbla α :s värde — dock med risk för att det börjar divergera.
N
f (ω ) = −ϕ r − Lω − ∑ arctan(Tiω ) +
konvergerar då om α väljes så att −2 < α f ′(ωk ) < 0 , där
n
N
⎛
⎞
α = 2 ⎜ L + ∑ Ti − ∑ Ti ⎟
⎝
i =1
i = n +1 ⎠
där systemets poler och nollställen behöver inte vara reella,
trots att vi använder denna form.
Fasekvationen för detta system har formen
n
8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system
Enklast är att starta iterationen från ω0 = 0 om f ′(0) > 0 . Vi
fördubblar dock α :s värde och väljer
Fasekvationen
Vi utgår från en allmän överföringsfunktion
1
1
G ( s ) = K ⋅ e − Ls ⋅
⋅… ⋅
⋅ (Tn+1s + 1) ⋅… ⋅ (TN s + 1)
T1s + 1
Tn s + 1
ϕr = − Lω − ∑ arctan(Tiω ) +
8. Frekvensanalys
N
∑ arctan(Tiω )
i = n +1
vilket innebär att vi vill lösa ekvationen f (ω ) = 0 . En iterativ
lösning enligt formeln
ωk +1 = ωk + α f (ωk )
8-32
Om systemet har komplexa poler eller nollställen uppträder
dessa alltid som komplexkonjugerade sådana. Vi har då också i
uttrycken ovan två komplexkonjugerade ”tidskonstanter” T j
och T j +1 , som satisfierar uttrycket
(T j s + 1)(T j +1s + 1) = ( s 2 + 2ζωn s + ωn2 ) / ωn2
där ζ och ωn är de två polernas/nollställenas relativa dämpning respektive naturliga egenfrekvens. Vi har
T j + T j +1 = 2ζ / ωn
och
⎛ 2ζω ω ⎞
arctan(T jω ) + arctan(T j +1ω ) = arctan ⎜ 2 n 2 ⎟
⎝ ωn − ω ⎠
som kan substitueras i uttrycken ovan.
8-33
Medtas till tentamen
8. Frekvensanalys
8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system
Amplitudekvationen
Om vi vill bestämma systemets fasmarginal med en given
regulator behöver vi överkorsningsfrekvensen ωg , som satisfierar ekvationen | Gk (ωg ) | = 1, där Gk är kretsöverföringen, dvs
det oreglerade systemet kopplat i serie med regulatorn. Ofta är
regulatorn i detta skeda en P-regulator, men vi skall här också
beakta att vi kan ha en regulator med integrerande verkan.
Vi skriver kretsöverföringen i formen
Gk ( s ) = GI ( s ) ⋅ G ( s )
där G ( s ) har samma allmänna form som för fasekvationen.
Om det finns en regulator med integrationstiden Ti > 0 är
GI ( s ) = 1 / Ti s , annars är GI ( s ) = 1. Resten av regulatorns överföringsfunktion ingår i G ( s ) .
Amplitud- (eller förstärknings- eller belopps-) kurvan är
| Gk ( jω ) | = | GI ( jω ) | ⋅ | G ( jω ) |
där
| GI ( jω ) | = 1 / Tiω
| G ( jω ) | = | K | ⋅
8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system
känd, eller kan beräknas, när man vill beräkna ωg . Här
föreslås dock
{
−1
n
N
⎛
⎞
T om I-verkan
β = 2 ⎜ T0 + ∑ Ti − ∑ Ti ⎟ , T0 = i
0 annars
⎝
i =1
i = n +1 ⎠
dvs samma typ av val som vid lösning av fasekvationen. Märk
att det finns en tidskonstant Ti = T0 , i > n , om regulatorn är en
PI- eller PID-regulator, vilket innebär att T0 då i själva verket
förkortas bort från β .
Precis som ovan torde detta garantera konvergens om systemet inte har mycket speciella egenskaper, men snabb konvergens kan inte garanteras. Man har full frihet att t.ex. fördubbla
β för att förbättra konvergensen.
Liksom i fallet med fasekvationen, utgör komplexa poler eller
nollställen inget problem. Ifall T j och T j +1 är komplexkonjugerade, vet vi redan hur summan T j + T j +1 beräknas i uttrycket
för β . I uttrycket för | G ( jω ) | fås
[1 + (T jω ) ][1 + (T j +1ω ) ] = 1 + 2
2
[1 + (Tn+1ω ) 2 ] ⋅… ⋅ [1 + (TN ω ) 2 ]
[1 + (T1ω ) 2 ] ⋅… ⋅ [1 + (Tnω ) 2 ]
Vi definierar
8. Frekvensanalys
2
2ζ 2 − 1
ωn2
2
⎛ 2ζ 2 − 1 ⎞ 4
ω +⎜
⎟ ω
2
⎝ ωn ⎠
2
Övning 8.6
Bestäm K c,max för nedanstående system med frekvensanalys.
−1
g (ω ) =| G ( jω ) | − | GI ( jω ) |
vilket innebär att vi vill lösa ekvationen g (ω ) = 0 för att finna
lösningen till | Gk (ωg ) | = 1. En iterativ lösning enligt formeln
r
y
Gc
ωk +1 = ωk + β g (ωk )
konvergerar då om β väljes så att −2 < β g ′(ωk ) < 0 . Här är
g ′(0) = 0 då GI ( s ) = 1, vilket innebär att β = − g ′(ω0 ) −1 är ett
olämpligt val om man har för avsikt att starta iterationen från
ω0 = 0 . Ett bättre startvärde torde ω0 = ωc vara, som ofta är
8-34
Gv
Gp
Gm
Gp =
1
1
1
, Gv =
, Gm =
, Gc = K c
5s + 1
2s + 1
s +1
8-35
Medtas till tentamen
8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet
8. Frekvensanalys
8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet
Bode-diagrammet för en PI-regulator:
I detta avsnitt skall vi visa hur PI-, PD- och PID-regulatorer
kan dimensioneras så att givna frekvensplansbaserade
stabilitets- och prestandakriterier uppfylls.
De använda stabilitetskriterierna är förstärkningsmarginalen
Am och fasmarginalen ϕ m . För väl inställda regulatorer gäller
| GPI |
| Kc |
11
10
10
0
10
−2
10
arg GPI
−1
10
0
10
ω/T
ω
Ti i
1
2
10
10
0
−20
lag
ofta Am ≈ 2 och ϕm ≈ 45 Överkorsningsfrekvensen ωg är ett
prestandarelaterat mått — ju högre överkorsningsfrekvens,
desto snabbare reglering. Ofta anses att ωg ≈ 0,3ωc , där ωc är
kritiska frekvensen när systemet regleras med en P-regulator,
är ett bra värde.
2
10
lag
8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet
|G |
8. Frekvensanalys
−40
∠G
8.4.1 Dimensionering av PI-regulatorer
Överföringsfunktionen för en PI-regulator är
−60
−80
⎛
1 ⎞
1 + Ti s
GPI ( s ) = K c ⎜1 +
⎟ = Kc
Ti s
⎝ Ti s ⎠
−100
−2
10
Integrationstiden Ti ≈ 5 / ωg är ofta ett lämpligt val för en PIregulator. Som Bodediagrammet för PI-regulatorn visar (på
nästa sida), ger detta ca –10° fasförskjutning vid frekvensen
ω = ωg . (Ekvation (8.28) ger det exaktare värdet –11,3º.)
Man kan utnyttja detta för att t.ex. dimensionera en PI-regulator så att det reglerade systemet får en önskad fasmarginal
ϕm . Tillvägagångssättet är följande:
1. Beräkna ωg som den frekvens där fasmarginalen är ϕ m + ca.
10 extra som integreringen kommer att bidra med.
−1
10
0
10
ω/T
ω
Ti
1
2
10
10
i
Exempel 8.7. Designa en PI-regulator för systemet som
beskrivs av överföringsfunktionen
e− s
G (s) =
10 s + 1
som ger a) ϕm = 30 b) ϕm = 60 . Beräkna även regulatorinställningar enligt några metoder i avsnitt 7.4 och 7.5.
2. Bestäm regulatorförstärkningen K c så att AR (ωg ) = 1 .
3. Integrationstiden är Ti = 5 / ωg .
8-36
8-37
Medtas till tentamen
8. Frekvensanalys
8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet
8. Frekvensanalys
8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet
a) ϕm = 30 innebär att vi skall beräkna ωg för fasförskjutningen ϕ = −180 + 30 + 10 = −140 = −7π / 9 . Enligt den
iterativa lösningsmetoden har vi
f (ω ) = 7π / 9 − ω − arctan(10ω )
och α = 2 / (1 + 10) ≈ 0, 2 . Lösning enligt
ωk +1 = ωk + α f (ωk )
med startlösningen ω0 = 0 ger efter ganska många iterationer
ωg = 0,975 . Konvergensen är långsam, men man kan ”på
vägen” göra bättre gissningar av ωk när man ser ungefär vart
man är på väg.
Regulatorförstärkningen K c fås enligt sambandet
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
K c = Ar (ωg ) −1 = 1 + (10ωg ) 2 ≈ 9,8
0.2
och integrationstiden Ti enligt
Ti = 5 / ωg ≈ 5,13
0
b) Löses på analogt sätt.
Resultaten finns sammanställda i tabellen.
Z-N
30
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Figur: Stegsvar med PI-regulatorer med a) ϕm = 30
(heldragen), b) ϕm = 60 (streckad).
ITAE CHR 0% CHR 20%
konst. konst.
konst.
Kc
9,80
9,00
8,15
6,00
7,0
Ti
5,13
3,33
3,10
4,00
2,30
Vi kan även testa approximativa samband:
1, 4
och insvängningstiden t5% ≈
stigtiden ts ≈
ωg
6
.
ωg tan(ϕm )
a) Formel: ts ≈ 1, 4 ; t5% ≈ 10,7
60
Ur figur: ts ≈ 2,9 − 2,1 = 0,8 ; t5% ≈ 11,5 − 1 = 10,5
ITAE CHR 0% CHR 20%
följe
följe
följe
Kc
5,43
4,83
3,50
6,00
Ti
9,36
9,87
12,0
10,0
b) Formel: ts ≈ 2,6 ; t5% ≈ 6,5
Ur figur: ts ≈ 3,6 − 2, 2 = 1, 4 ; t5% ≈ 6, 2 − 1 = 5, 2
8-38
8-39
Medtas till tentamen
8. Frekvensanalys
8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet
Det är enkelt att göra PI-regulatordimensionering med hjälp
av ett Bodediagram. För systemet i exempel 8.7 fås:
0
10
|G|
|G|
8. Frekvensanalys
8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet
8.4.2 Dimensionering av PD-regulatorer
En realiserbar PD-regulator med ett lågpassfilter har överföringsfunktionen
1
GPDf ( s ) = K c (1 + Td s ) ⋅
1 + Tf s
PD-regulator
−1
10
lågpassfilter
PDf-regulatorns fasförskjutning ges av
⎛ (T − T )ω ⎞
arg GPDf ( jω ) = arctan(Tdω ) − arctan(Tf ω ) = arctan ⎜ d f 2 ⎟
⎝ 1 + TdTf ω ⎠
−2
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
0
arg G
Detta ger en positiv fasförskjutning då Td > Tf . Man kan visa
att maximal fasförskjutning fås vid frekvensen ω = ωmax , där
∠G
−50
−100
ωmax = (TdTf ) −1/2
−150
−200 −2
10
−1
10
0
10
Den maximala fasförskjutningen är
1
10
Man kan även kontrollera den erhållna slutna kretsen genom
att rita Bodediagram för kretsöverföringen Gk = GPIG :
PDf-regulatorns amplitudförhållande är
4
10
| Gk |
1 + (Tdω ) 2
| GPDf ( jω ) | = | K c |
1 + (Tf ω ) 2
2
|GL|
10
0
10
Vid ω = 0 (dvs stationärtillstånd) är | GPDf (0) | =| K c | och när
ω → ∞ , | GPDf ( jω ) | → | K c | Td / Tf . Vid frekvensen ωmax fås
−2
10
−2
10
arg Gk
⎛ Td − Tf ⎞
1/2 ⎟
⎝ 2(TdTf ) ⎠
ϕmax = arctan ⎜
−1
10
0
10
1
10
| GPDf ( jωmax ) | = | K c | (Td / Tf )1/2
0
Med parameterdefinitionen b = Td / Tf fås
−50
∠GL
ωmax = b / Td , ϕmax = arctan[(b − 1) / (2 b )]
−100
| GPDf ( jωmax ) | = b | K c | , | GPDf ( j∞) | = b | K c |
−150
−200 −2
10
−1
10
0
10
1
10
8-40
8-41
Medtas till tentamen
8. Frekvensanalys
8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet
8. Frekvensanalys
För att göra detta, behöver man bl.a. bestämma parametern b
utgående från ett önskat faslyft ϕ max . Ett sätt att uttrycka
formeln som kan härledas är
Bodediagrammet för PDf-regulatorn:
| GPDf |
|G
|
lead
|K
c|
b=
bb
b1
1
1/ b
8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet
1 + sin ϕmax
, 0 ≤ ϕmax < 90
1 − sin ϕmax
Sambandet finns också uppritat i nedanstående figur.
1/Td
b/Tbd
b/Td
70
Td
60
∠G
argG
PDf
lead
∠Glead,max
50
ϕmax
ϕmax
∠Glead,max
40
30
o
0
20
ω
10
Dimensioneringen av en PDf-regulator utgår ifrån att man
önskar en given överkorsningsfrekvens ωg och en given fasmarginal ϕ m . Man vill med andra ord kombinera prestanda
och robusthet.
Det blir aktuellt att använda en PDf-regulator om det visar sig
att önskad fasmarginal inte uppnås vid den önskade
överkorsningsfrekvensen med en P- eller PI-regulator. I denna
situation vet man hur stort ”faslyft” som behövs för att nå den
önskade fasmarginalen. Idén är att placera PDf-regulatorns
maximala faslyft, lika med det behövliga faslyftet, vid frekvensen ωg .
8-42
0
0
5
10
15
20
25
b
Dimensioneringen går till på följande sätt:
1. Kontrollera utgående från det oreglerade systemet G (dvs
Gk utan regulator) om önskad fasmarginal uppnås vid överkorsningsfrekvensen ωg .
2. Om inte, beräknas behövligt faslyft enligt
ϕmax = ϕm − arg G ( jωg ) − π
3. Parametern b beräknas eller avläses från figuren ovan.
8-43
Medtas till tentamen
8. Frekvensanalys
8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet
4. Deriveringstiden Td = b / ωg beräknas.
5. Filtertidkonstanten Tf = Td / b beräknas.
6. Regulatorförstärkningen K c = sgn G (0) / ( b | G ( jωg ) |)
beräknas.
Det bör noteras att ovannämnda förfarande inte garanterar att
designspecifikationerna nås exakt, eftersom PDf-regulatorn
kommer att påverka den kritiska frekvensen ωc för kretsöverföringen Gk ( jω ) = G ( jω )GPDf ( jω ) . Fasmarginalen för
Gk ( jω ) bör därför kontrolleras. Om det visar sig att den inte
är tillräcklig, höjs ϕ max ytterligare och designen upprepas.
Ytterligare bör noteras att stora värden på parametern b ger
kraftig derivering. Detta medför bl.a. stora variationer i styrsignalen, vilket normalt inte är önskvärt.
För robusthet räcker det inte att fasmarginalen är tillräcklig —
även förstärkningsmarginalen bör vara tillräcklig.
8. Frekvensanalys
8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet
8.4.3 Dimensionering av PID-regulatorer
Även om vi med en PD regulator kan erhålla snabbhet (”högt”
ωg i jämförelse med ωc ) och önskad fasmarginal (ϕm ), kommer vi att få regleravvikelse då integrerande verkan saknas.
Det är därför ändamålsenligt att inkludera också integrerande
verkan. Enklast görs detta med serieformen av en PIDregulator, dvs en regulator där PI-delen och PD-delen seriekopplas som i blockschemat nedan. Dessa kan dimensioneras
enligt principerna i de två föregående avsnittet.
r
GPD
+
GPI
u
Vi har ϕ (ωg ) = −1ωg − arctan(10ωg ) = −2, 47 = −142 , men
eftersom vi önskar ϕ (ωg ) = −120 , skall fasen höjas med 22 .
Vi väljer ϕ max = 25 för att ha litet extra marginal. Detta
kräver b = 2,5 , som ger Td = 1,6 och Tf = 0,63 . Slutligen fås
y
-
Serieformen av PID-regulatorn med ett filter på derivatadelen
har överföringsfunktionen
GPIPDf ( s ) = GPI ( s )GPDf ( s ) = K c ⋅
Exempel 8.8. Designa en filtrerande PD-regulator för
systemet som beskrivs av överföringsfunktionen
e− s
G (s) =
10 s + 1
så att fasmarginalen ϕ m = 60 erhålles vid överkorsningsfrekvensen ωg = 1 rad/tidsenhet.
Gp
1 + Ti s (1 + Td s )
⋅
1 + Tf s
Ti s
Dess amplitudkurva ges av
| GPIPDf ( jω ) | = | K c |
[1 + (Tiω ) −2 ][1 + (Tdω ) 2 ]
1 + (Tf ω ) 2
och faskurvan av
arg GPIPDf ( jω ) = − arctan[(Tiω )−1 ] − arctan(Tdω ) + arctan(Tf ω )
Följande figur visar amplitudkurvans principiella (”asymptotiska”) utseende.
K c = 1 + (10ωg ) 2 / b = 6,3 .
8-44
8-45
Medtas till tentamen
8. Frekvensanalys
8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet
8. Frekvensanalys
Amplitudkurvan för serieformen av en PID-regulator med
derivatafilter:
PIPDf-regulatorn kan också representeras på standardformen
av en PID-regulator med filtrerad D-verkan, dvs
⎛
τ s ⎞
1
GPIDf ( s ) = κ ⎜1 +
+ d ⎟
⎝ τ is 1 + τ f s ⎠
| GPIPDf |
| Kc |
Omräkningssambanden är
b
τ i = Ti + Td − Tf , κ =
|GPID|
bK
8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet
τi
Ti
K, τd =
TiTd
τi
− Tf , τ f = Tf
Exempel 8.8. En process har överföringsfunktionen
G ( s ) = 4 / (1 + s )3 . Bestäm en PID-regulator som ger ωg = 2
c
rad/s och fasmarginalen 35 .
1
Kc/ b
De olika stegen i ett Bodediagram:
4
10
1/T =0.2ω
i
g
1/Td
b/T =ω
bd g
= ωg
Td
b/Td
2
10
0
10
Vi kan dimensionera PID-regulatorn enligt följande principer
utgående från en önskad överkorsningsfrekvens ωg och fasmarginal ϕ m :
1. Beräkna integrationstiden enligt Ti = 5 / ωg .
−2
10
−4
10
−6
10
2. Beräkna fasförskjutningen ϕ (ωg ) = arg G ( jω ) + arg GPI ( jω )
eller uppskatta den enligt ϕ (ωg ) ≈ arg G ( jω ) + π / 18 , där G
är det oreglerade systemets överföringsfunktion.
3. Beräkna behövligt faslyft enligt ϕ max = ϕ m − arg G ( jωg ) − π .
−2
10
0
0
10
1
10
2
10
−50
−100
−150
4. Beräkna deriveringstiden Td = b / ωg .
−200
5. Beräkna filtertidkonstanten Tf = Td / b .
−250
6. Beräkna K c = sgn G (0) / ( b | GPI ( jωg ) || G ( jωg ) |) .
−300
−2
10
8-46
−1
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
8-47
Medtas till tentamen
Medtas till tentamen
A. Lexikon över termer med reglerteknisk anknytning
Svenska
Finska
Engelska
avvikelsevariabel
[erotusmuuttuja]
deviation variable
arbetspunkt
toimintapiste
operating point
balansekvation
taseyhtälö
balance equation
begränsad
rajoitettu
bounded
begynnelsevärde
alkuarvo
initial value
begynnelsevillkor
alkuehto
initial condition
blockschema
lohkokaavio
block diagram
brus
kohina
noise
börvärde
asetusarvo, ohjearvo
setpoint
deriveringstid
derivointiaika
derivative time
differensekvation
differenssiyhtälö
difference equation
differentialekvation
differentiaaliyhtälö
differential equation
distinkta (rötter, faktorer) erisuuret (juuret, tekijät)
distinct (roots, factors)
dynamisk
dynaaminen
dynamic
dämpning
vaimennus
damping
dödtid
kuollut aika
dead time
energibalans
energiatase
energy balance
enhet
yksikkö
unit
enhets(funktion)
yksikkö(funktio)
unit (function)
faktor; faktorisera
tekijä; jakaa tekijöihin
factor; factorize, factor
flödesbalans
virtaustase
[flow balance]
flödesgivare
virtauslähetin
flow transmitter
flödesregulator
virtaussäädin
flow controller
fortfarighetstillstånd
jatkuva olotila, tasapainotila
steady state
framkoppling
myötäkytkentä
feedforward
frekvensplan
taajuustaso
frequency domain
följereglering
[servo-ohjaus]
tracking control
förgrening
haarautuminen
pick-off (point), branch
första ordningens system ensimmäisen kertaluvun järjestelmä first-order system
förstärkning
vahvistus
gain
gradtal
aste(luku)
degree
gränsvärde
raja-arvo
limit value
hyfsa; hyfsning
sieventää; sievennys
simplify; simplification
icke-proper
epäaito
nonproper
identifiering
identifiointi
identification
imaginär
imaginaarinen, imaginaariimaginary
impuls(funktion)
impulssi(funktio)
impulse function
impulssvar
impulssivaste
impulse response
initialvärde
alkuarvo
initial value
insignal
tulo, tulosuure, tulosignaali
input (signal)
integrationstid
integrointiaika
integral time, reset time
intensitetsbalans
intensiteettitase
[intensity balance]
inverstransform
käänteismuunnos
inverse transform
jämviktstillstånd
tasapainotila
equilibrium state
karakteristisk ekvation karakteristinen yhtälö
characteristic equation
kaskadkoppling
sarjaankytkentä
connection in cascade
A–1
Medtas till tentamen
A. Lexikon över ett urval reglertekniska termer
komplex
konjugat
konstantreglering
konstitutiv relation
kretsöverföring
Laplaceplan
Laplacetransform
ledvärde
linjär; linjärisering
massbalans
matematisk modell
modellbygge
modellering
modellfel
modellosäkerhet
multipel
mätbrus
mätgivare
mätsignal
mätvärde
nollställe
operator
ordningstal
osäkerhet
P-regulator
parallellkoppling
partialbråksuppdelning
pol
prestanda
process
proper
proportionalregulator
puls
ramp(funktion)
rampsvar
reell, realreferenspunkt
referenssignal
referensvärde
reglera
regleravvikelse
reglerfel
reglerstorhet, -variabel
reglersystem
reglerteknik
regulator
rot
s-plan
sampling
seriekoppling
A–2
kompleksikonjugaatti
vakioarvosäätö
konstitutiivinen yhtälö
avoimen piirin siirtofunktio
Laplace-taso
Laplace-muunnos
ohjearvo, asetusarvo
lineaarinen; linearisointi
massatase
matemaattinen malli
mallin rakentelu
mallinnus, mallintaminen
mallivirhe
mallin epävarmuus
moninkertainen
mittauskohina
mittalaite
mittaus, mittaussignaali
mittausarvo
nolla(kohta)
operaattori
kertaluku
epävarmuus
P-säädin
rinnankytkentä
osamurtokehitelmä
napa
suorituskyky
prosessi
aito
proportionaalisäädin
pulssi
penger(funktio)
pengervaste
reaalinen, reaalivertailupiste, työpiste
vertailusuure, -signaali
vertailuarvo, ohjearvo
säätää
säätöpoikkeama
säätöpoikkeama, säätövirhe
säätösuure
säätöjärjestelmä
säätötekniikka
säädin
juuri
s-taso
samplaus, näytteenotto, näytteistys
sarjaankytkentä
complex
conjugate
regulatory control
constitutive relationship
loop transfer function
Laplace domain
Laplace transform
setpoint
linear; linearization
mass balance
mathematical model
model building
model(l)ing
model error
model uncertainty
multiple, repeated
measurement noise
measuring device
measurement signal
measured value
zero
operator
order
uncertainty
P controller
connection in parallell
partial fraction expansion
pole
performance
process
proper
proportional controller
pulse
ramp (function)
ramp response
real
reference point
reference signal
reference value
control (in closed loop), regulate
control deviation, control error
control error
controlled variable
control system
control engineering, automatic control
controller
root
s-plane, s-domain
sampling
connection in series
Medtas till tentamen
A. Lexikon över ett urval reglertekniska termer
singulär
slutvärde
stabil; stabilitet
statisk
stationär
stationärtillstånd
steg(funktion)
stegsvar
storhet
strikt proper
styra
styrbarhet
styrdon
styrsignal
styrstorhet, styrvariabel
ställdon
störning
styckevis kontinuerlig
summation
superposition
svar
syfte
system
systemidentifiering
tidsdiskret modell
tidsfunktion
tidsfördröjning
tidsförskjutning
tidskonstant
tidskontinuerlig modell
tidsplan
tillstånd
tröghet
utsignal
variabel
återkoppling
ärvärde
öppen styrning
överföringsfunktion
överföringsoperator
singulaarinen
loppuarvo
stabiili; stabiilisuus
staattinen
pysyvä
tasapainotila, stationääritila
askel(funktio)
askelvaste
suure
vahvasti aito
ohjata
ohjattavuus
ohjauslaite
ohjaus, ohjaussignaali
ohjaussuure
toimilaite
häiriö
paloittain jatkuva
summaus
superpositio
vaste
tarkoitus, päämäärä
järjestelmä, systeemi
systeemin identifiointi
aikadiskreetti malli
ajan funktio
aikaviive
aikaviivästys
aikavakio
aikajatkuva malli
aikataso
tila
hitaus
lähtö, lähtösuure, lähtösignaali
muuttuja
takaisinkytkentä
oloarvo
avoin ohjaus
siirtofunktio
[siirto-operaattori]
singular
final value
stable; stability
static
stationary, steady
steady state
step (function)
step response
quantity
strictly proper
control (in open loop)
controllability
final control element
control signal
control variable
actuator
disturbance
piecewise continuous
summation, addition
superposition
response
objective
system
system identification
discrete-time model
function of time
time delay
translation in time, shift in time
time constant
continuous-time model
time domain
state
inertia
output (signal)
variable
feedback
actual value
open-loop control
transfer function
transfer operator
A–3