1. No category

Vektorgeometri f¨
or gymnasister
Per-Anders Svensson
http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html
Fakulteten f¨
or teknik
Linn´
euniversitetet
R¨ata linjens och planets ekvationer II
Inneh˚
all
R¨
ata linjens ekvation – repetition
Planets ekvation p˚
a parameterform
Planets ekvation p˚
a normalform
Normalformen i ortonormerade system
 januari 
2(21)
R¨
ata linjens ekvation – repetition
I ett givet koordinatsystem (O , e x , e y , e z )
f¨
or rummet g¨aller att varje r¨
at linje kan
framst¨
allas p˚
a parameterform

x = x 0 + t α
y = y0 + t β

z = z0 + t γ.
v
P0
b
Detta a
ata linje som
¨r ekvationen f¨or den r¨
g˚
ar genom punkten P0 = (x0 , y0 , z0 ) och
som har vektorn v = (α, β, γ) som s.k. riktningsvektor.
Analogt ges ekvationen p˚
a parameterform f¨
or en linje i planet som
x = x0 + t α
y = y0 + t β.
 januari 
3(21)
Vi ˚
aterger resonemanget f¨
or hur man kan h¨
arleda ekvationen p˚
a
parameterform f¨or en r¨
at linje i rummet:
L˚
at ett koordinatsystem (O , e x , e y , e z ) f¨
or punkterna i rummet vara
givet.
L
F¨
or att entydigt kunna best¨
amma en
linje L i rummet, beh¨over vi k¨
anna till
• en punkt P0 = (x0 , y0 , z0 ) p˚
aL
• en riktningsvektor
v = (α, β, γ) 6= 0 f¨
or L.
P
b
P0
−−→
P0 P
b
v
En punkt P = (x , y, z ) ligger p˚
a L, om
−−→
och endast om P0 P = t v f¨
or n˚
agot t .
−−→
Ekvationen P0 P = t v blir (x − x0 , y − y0 , z − z0 ) = (t α, t β, t γ) p˚
a
koordinatform. Vi j¨amf¨
or koordinat f¨
or koordinat och f˚
ar r¨ata linjens
ekvation p˚
a parameterform:

x = x 0 + t α
y = y0 + t β

z = z0 + t γ.
N¨
ar vi h¨arn¨ast ska h¨arleda ekvationen f¨
or ett plan i rummet, kommer
vi
resonera
p˚
a
ett
liknande
vis.
 januari 
4(21)
Planets ekvation p˚
a parameterform
F¨
or att kunna lokalisera ett plan i rummet, beh¨
over vi k¨anna till
• En punkt P0 som ligger i planet
• Tv˚
a vektorer v 1 och v 2 som b˚
ada ¨
ar parallella med planet, men
inte med varandra (vi s¨
ager att v 1 och v 2 sp¨
anner upp planet).
L˚
at P vara en godtycklig punkt i rummet. D˚
a ligger P i planet, om
−−→
och endast om vektorn P0 P kan skrivas som en linj¨arkombination
av v 1 och v 2 , d.v.s. det ska finnas reella tal t1 och t2 s˚
adana att
−−→
P0 P = t1 v 1 + t2 v 2 .
v2
−−→
P0 P
b
P0
P
b
v1
 januari 
5(21)
Vi inf¨
or ett koordinatsystem (O , e x , e y , e z ) f¨
or rummets punkter
(inte n¨
odv¨andigtvis ortonormerat). Antag vi i detta koordinatsystem
har P0 = (x0 , y0 , z0 ) och P = (x , y, z ), samt att v 1 = (α1 , β1 , γ1 ) och
−−→
v 2 = (α2 , β2 , γ2 ). Ekvationen P0 P = t1 v 1 + t2 v 2 blir d˚
a p˚
a
koordinatform
(x − x0 , y − y0 , z − z0 ) = t1 (α1 , β1 , γ1 ) + t2 (α2 , β2 , γ2 )
= (t1 α1 + t2 α2 , t1 β1 + t2 β2 , t1 γ1 + t2 γ2 ).
a
J¨
amf¨
or vi koordinat f¨or koordinat s˚
a f˚
ar vi planets ekvation p˚
parameterform:

x = x0 + α1 t1 + α2 t2
y = y0 + β1 t1 + β2 t2

z = z0 + γ1 t1 + γ2 t2 .
ar t1 och t2 genoml¨oper alla reella
Vi kallar t1 och t2 f¨or parametrar. N¨
tal, kommer P = (x , y, z ) att genoml¨
opa alla punkter i planet, och
inga andra.
 januari 
6(21)
Exempel
Planet med ekvationen

x = −1 + 3t1 − 3t2
y = 3 − 2t1 + 2t2

z = 2 + t1 − 5t2
inneh˚
aller punkten P0 = (−1, 3, 2) och sp¨
anns upp av vektorerna
v 1 = (3, −2, 1) och v 2 = (−3, 2, −5) (som vi noterar inte ¨ar
parallella). Ligger n˚
agon av punkterna P = (5, −1, 0) eller
Q = (1, 2, 1) i detta plan?
L¨osning.
Om P ligger i planet, m˚
aste det finnas v¨
arden p˚
a t1 och t2 s˚
a att


 5 = −1 + 3t1 − 3t2
 3t1 − 3t2 = 6
t1 = 3
−1 = 3 − 2t1 + 2t2 ⇐⇒ −2t1 + 2t2 = −4 ⇐⇒
t2 = 1.


0 = 2 + t1 − 5t2
t1 − 5t2 = −2
Punkten P ligger allts˚
a i planet. Avg¨
or p˚
a egen hand ifall samma sak
g¨
aller f¨
or Q .
 januari 
7(21)
Exempel
Best¨
am en ekvation p˚
a parameterform f¨
or det plan som inneh˚
aller de
tre punkterna P = (1, 0, 3), Q = (−1, 2, 3) och R = (6, −2, 1).
L¨osning.
Vi beh¨
over tv˚
a icke-parallella vektorer som sp¨
anner upp planet, samt
en punkt som ligger i planet.
Som vektorer kan vi v¨
alja
−→
−→
PQ = (−2, 2, 0) och PR = (5, −2, −2).
Om vi som punkt i planet v¨
aljer P, s˚
a f˚
ar vi ekvationen

x = 1 − 2t1 + 5t2
y=
2t1 − 2t2

z =3
− 2t2 .
Precis som n¨ar vi plockar fram en r¨
at linjes ekvation p˚
a
parameterform, kan vi f˚
a olika ekvationer beroende p˚
a hur vi v¨aljer
punkter och vektorer.
 januari 
8(21)
Planets ekvation p˚
a normalform
P˚
a f¨
orra f¨orel¨asningen konstaterade vi att r¨
ata linjer i planet kan
framst¨
allas p˚
a normalform (f¨
orutom parameterform). Vi har d˚
a en
ekvation av typen
ax + by + c = 0,
d¨
ar minst ett av talen a och b ¨
ar skilt fr˚
an noll.
Om det koordinatsystem (O , e x , e y ) vi anv¨
ander oss av ¨ar ortonormerat, d.v.s. om (e x , e y )
ar en ON-bas, s˚
a ¨ar n = (a, b) en normalvek¨
tor till en linje med ekvationen ax +by +c = 0.
Linjens riktningsvektor ¨
ar allts˚
a d˚
a ortogonal
mot n.
ax + by + c = 0
n = (a, b)
Vi ska nu se att a¨ven ett plan i rummet kan skrivas p˚
a s.k.
normalform, och att en motsvarande geometrisk tolkning som ovan
kan g¨
oras, s˚
a fort vi anv¨
ander ett ortonormerat system.
 januari 
9(21)
Betrakta det plan som inneh˚
aller punkten P0 = (x0 , y0 , z0 ) och sp¨anns
upp av vektorerna v 1 = (α1 , β1 , γ1 ) och v 2 = (α2 , β2 , γ2 ). L˚
at
P = (x , y, z ) vara en godtycklig punkt i rummet. D˚
a sp¨anner de tre
−−→
vektorerna v 1 , v 2 och P0 P = (x − x0 , y − y0 , z − z0 ) upp en
parallellepiped i rummet, vars volym (s˚
an¨
ar som p˚
a tecknet) ¨ar lika
med determinanten av den matris, vars kolonnvektorer utg¨ors
−−→
av v 1 , v 2 och P0 P .
P
−−→
P0 P
b
v2
P0
b
v1
Speciellt intressant blir det om denna determinant ¨ar noll. Detta sker
om och endast om punkten P ligger i planet.
 januari 
10(21)
Detta betyder allts˚
a P = (x , y, z )
α1 α2
β 1 β2
γ1 γ2
ligger i planet, om och endast om
x − x0 y − y0 = 0.
z − z0 Genom att ber¨akna determinanten med hj¨
alp av Sarrus’ regel, s˚
a f˚
ar
vi efter litet r¨akningar att ekvationen ovan kan skrivas som
Ax + By + Cz + D = 0,
(1)
d¨
ar A, B, C och D ¨ar konstanter som beror av koordinaterna
hos v 1 , v 2 och P0 .
Antag att A = B = C = 0. D˚
a m˚
aste ocks˚
a D = 0 f¨or att (1)
overhuvudtaget ska vara uppfyllt f¨
or n˚
agon punkt P = (x , y, z ). Men
¨
om A = B = C = D = 0, s˚
a blir (1) uppfyllt f¨
or alla punkter i
rummet, vilket vi inte vill; vi ¨
ar bara ute efter en ekvation f¨or alla
punkter i ett plan. Allts˚
a m˚
aste minst ett av talen A, B och C vara
skilt fr˚
an noll, f¨or att vi ska f˚
a ekvationen f¨
or ett plan.
 januari 
11(21)
Vi har d¨armed ˚
atminstone delvis bevisat f¨
oljande sats:
Sats
Oberoende av vilket koordinatsystem f¨
or rummet som anv¨
ands, s˚
a kan
varje plan beskrivas med hj¨
alp av en ekvation p˚
a formen
Ax + By + Cz + D = 0,
(2)
d¨
ar minst ett av de tre talen A, B och C ¨
ar skilt fr˚
an noll. Omv¨
ant
beskriver varje s˚
adan ekvation ett plan i rummet.
Vad vi inte har bevisat ¨
ar en ekvation p˚
a formen (2) kan tolkas som
ett plan: Vi vet att minst ett av talen A, B och C ¨ar skilt fr˚
an noll;
l˚
at oss anta att C 6= 0. Om vi d˚
a s¨
atter x = t1 och y = t2 , s˚
a blir
Cz = D − Ax − By = D − At1 − Bt2 ⇐⇒ z =
D
A
B
− t1 − t2 ,
C
C
C
d.v.s. vi f˚
ar

t1
x =
y=
t2

A
B
−
t
−
z=D
C
C 1
C t2 ,
vilken ¨
ar ekvationen f¨or ett plan p˚
a parameterform, n¨armare best¨amt
det plan som g˚
ar genom punkten (0, 0, D /C ) och sp¨anns upp av
vektorerna (1, 0, −A/C ) och (0, 1, −B/C ). Nu ¨
ar satsen helt bevisad!
 januari 
12(21)
Definition (Normalform)
Ekvationen f¨or ett plan p˚
a formen
Ax + By + Cz + D = 0,
d¨
ar minst ett av de tre talen A, B och C ¨
ar nollskilt, kallas f¨or planets
ekvation p˚
a normalform.
I st¨
allet f¨or normalform s¨
ager man ibland affin form.
 januari 
13(21)
Exempel

t1 − 2t2
x =
Skriv en ekvation p˚
a normalform f¨
or planet y = 2 − 2t1 + 3t2

z = −1 + t1 + 5t2 ,
d.v.s. det plan som inneh˚
aller punkten P0 = (0, 2, −1) och sp¨anns upp
av vektorerna v 1 = (1, −2, 1) och v 2 = (−2, 3, 5).
L˚
at P = (x , y, z ) vara en godtycklig punkt i rummet. D˚
a
−−→
sp¨
anner v 1 , v 2 och P0 P = (x , y − 2, z + 1) upp en parallellepiped,
vars volym (s˚
an¨ar som p˚
a tecken) ges av determinanten
1 −2
x −2
3 y − 2 .
1
5 z + 1
 januari 
14(21)
Volymen (determinanten) blir noll, om och endast om P ligger i
planet. Vi f˚
ar
1 −2
x −2
3 y − 2 = 0 ⇐⇒ −13x − 7y − z + 13 = 0,
1
5 z + 1
d¨
ar determinanten kan ber¨
aknas med hj¨
alp av Sarrus’ regel. Planets
ekvation p˚
a normalform blir allts˚
a
−13x − 7y − z + 13 = 0
(eller om man s˚
a vill 13x + 7y + z − 13 = 0).
 januari 
15(21)
Alternativ l¨osning.
Vi utg˚
ar fr˚
an planets ekvation p˚
a parameterform och f¨ors¨oker l¨osa det
som ett ekvationssystem med avseende p˚
a t1 och t2 :


t1 − 2t2
x
x =
 t1 − 2t2 =
y = 2 − 2t1 + 3t2 ⇐⇒ −2t1 + 3t2 = y − 2 2


z = −1 + t1 + 5t2
t1 + 5t2 = z + 1
−

x
t1 − 2t2 =
−t2 = 2x + y − 2
⇐⇒

7t2 = −x + z + 1.
I de tv˚
a sista ekvationerna kan vi nu l¨
osa ut t2 och s¨atta dessa tv˚
a
uttryck f¨or t2 lika med varandra:
2 − 2x − y =
−x + z + 1
⇐⇒ 7(2 − 2x − y) = −x + z + 1
7
⇐⇒ 13x + 7y + z − 13 = 0.
Vi f˚
ar samma ekvation 13x + 7y + z − 13 = 0 f¨
or planet som vi fick
med ”determinantmetoden”.
 januari 
16(21)
Exempel
Skriv en ekvation p˚
a parameterform f¨
or planet 4x − 3y + z + 1 = 0.
L¨osning.
Analogt med motsvarande problem f¨
or r¨
ata linjer i planet, d¨oper vi
om tv˚
a av variablerna x , y och z till parametrar t1 och t2 , och l¨oser
sedan ut den tredje variabeln. S¨
atter vi t.ex. x = t1 och y = t2 s˚
a blir
z = −1 − 4x + 3y = −1 − 4t1 + 3t2 och vi f˚
ar ekvationen

t1
x =
y=
t2

z = −1 − 4t1 + 3t2 .
Detta a
¨r planet genom punkten P = (0, 0, −1) som sp¨anns upp av
vektorerna v 1 = (1, 0, −4) och v 2 = (0, 1, 3).
 januari 
17(21)
Normalformen i ortonormerade system
Vi p˚
aminner ¨an en g˚
ang om att vi i ett ortonormerat koordinatsystem
i planet kan tolka vektorn n = (a, b) som en normalvektor till den
r¨
ata linjen som p˚
a normalform har ekvationen ax + by + c = 0.
N˚
agot liknande g¨aller ¨aven f¨
or ett plans ekvation p˚
a normalform:
Sats
I ett ortonormerad koordinatsystem g¨
aller att ett plan, som p˚
a
normalform har ekvationen
Ax + By + Cz + D = 0,
har vektorn n = (A, B, C ) som normalvektor, d.v.s. f¨
or varje vektor v
som ¨
ar parallell med planet g¨
aller att n · v = 0.
n = (A, B , C )
Ax + By + Cz + D = 0
 januari 
18(21)
Bevis.
L˚
at P0 = (x0 , y0 , z0 ) vara en punkt i planet. D˚
a uppfyller P0 :s
koordinater planets ekvation, s˚
a Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0. Om
punkten P = (x , y, z ) ¨
ar en annan godtyckligt vald punkt i planet, s˚
a
g¨
aller av samma anledning Ax + By + Cz + D = 0. Utifr˚
an detta kan
vi skriva
0 = (Ax + By + Cz + D ) − (Ax0 + By0 + Cz0 + D )
= A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C (z − z0 ).
S¨
att n = (A, B, C ). H¨ogerledet ovan kan d˚
a tolkas som
skal¨
arprodukten mellan vektorerna n = (A, B, C ) och
−−→
P0 P = (x − x0 , y − y0 , z − z0 ), eftersom vi anv¨
ander oss av ett
ortonormerat system. I och med att denna skal¨
arprodukt a¨r noll, visar
detta att vektorn n a¨r ortogonal varje vektor v som a¨r parallell med
planet.
 januari 
19(21)
Vi kan nu redog¨ora f¨or en tredje metod att omvandla ett plans
ekvation fr˚
an parameterform till normalform.
Exempel

t1 − 2t2
x =
Vi tittar p˚
a samma ekvation p˚
a parameterform y = 2 − 2t1 + 3t2

z = −1 + t1 + 5t2
som tidigare, men med till¨
agget att koordinatsystemet nu ¨ar
ortonormerat. Vi s¨oker en ekvation p˚
a normalform
Ax + By + Cz + D = 0.
Eftersom koordinatsystemet ¨
ar ortonormerat, kan vektorn
n = (A, B, C ) tolkas som en normalvektor till planet. D˚
a planet
sp¨
anns upp av v 1 = (1, −2, 1) och v 2 = (−2, 3, 5), ska n vara
ortogonal mot s˚
av¨al v 1 som v 2 . Vi kan d¨
arf¨
or som n v¨alja
vektorprodukten v 1 × v 2 av v 1 och v 2 (se definitionen av
vektorprodukt i kapitel 5).
 januari 
20(21)
Formeln f¨or ber¨akning av vektorprodukt ger
−2 1 1
,
v 1 × v 2 = (1, −2, 1) × (−2, 3, 5) = 3 5 5
= (−13, −7, −1)
1 1 −2
,
−2 −2
3
Allts˚
a¨
ar n = (A, B, C ) = (−13, −7, −1) vilket s˚
a h¨ar l˚
angt ger
ekvationen
−13x − 7y − z + D = 0
f¨
or planet. Det ˚
aterst˚
ar att best¨
amma D . Men eftersom punkten
P = (0, 2, −1) ligger i planet, s˚
a m˚
aste koordinaterna f¨or denna punkt
uppfylla planets ekvation, vilket ger
−13 · 0 − 7 · 2 − (−1) + D = 0 ⇐⇒ D = 13,
och vi f˚
ar p˚
a nytt ekvationen −13x − 7y − z + 13 = 0.
 januari 
21(21)