Matematikelevers första kontakt med
CAS-räknare i gymnasiet
Ett studium av elever på Naturvetenskapliga programmets
årskurs 3 när de för första gången använder CAS-räknare
Matti Övermark
Student
Vt 2011
Examensarbete, 30 hp
Allmänt utbildningsområde, AUO, 90 hp
Sammanfattning
Sedan hösten 2007 har symbolhanterande räknare (CAS-räknare) varit tillåtna på nationella prov i matematik på gymnasiet i Sverige. Men de används
lite i matematikundervisningen. En av forskningsfrågorna: Hur klarar gymnasister, på Naturvetarprogrammets sista år, av att lära sig moderna CASräknare? En andra fråga: Vad tycker eleverna om att använda CAS-räknare?
Jag har observerat elever ur en matematikklass, årskurs 3, på det Naturvetenskapliga programmet, med teorier enligt Nielsen (1993). De fem underfrågeställningarna lyder: 1) Är CAS-räknaren lätt att använda?, 2) Är
CAS-räknaren effektiv att använda?, 3) Är det lätt att komma ihåg kommandona?, 4) Gör eleverna få fel?, samt 5) Vad tycker eleverna om mötet
med CAS-räknarna, är de nöjda med upplevelsen? I min datainsamling använde jag mig av observationer av 11 elever vars arbete videofilmades samt
enkäter. De två CAS-räknarna som studerades var Casio Classpad 330 och
Texas Instruments TI’Nspire CAS.
Resultatet är att studenterna tycker att CAS-räknaren är lätt att använda
och de är nöjda med erfarenheten att använda CAS-räknare i matematiken.
Summary
Since fall 2007 Symbolic calculators (CAS-calculators) have been allowed in
national tests in Upper Secondary mathematics in Sweden. But their usage
in Swedish mathematics education is limited. One research question is: Are
modern CAS-calculators difficult to learn, for final year Science students in
Upper Secondary school? A second question is: What does the students think
about using CAS-calculators? I have observed mathematics students, a 3rd
year Science class, with theories according to Nielsen (1993). The five subquestions that are measureable are: 1) Is the CAS-calculator easy to work
with?, 2) Is the CAS-calculator efficient to use?, 3) Is it easy to remember
the commands?, 4) Does the students make few errors?, and 5) what does the
student think about the CAS-calculator, is the experience pleasing?. When
collecting the material I used both observations of the 11 students, and questionnaires. The two CAS-calculators that were used were the Casio Classpad
330 and the Texas Instruments TI’Nspire CAS.
The main results are that the CAS-calculator itself is easy to learn and
that the students are satisfyed with their experience with the calculator when
solving exercises in mathematics.
Nyckelord: Casio ClassPad 330, datoralgebra, Texas Instruments TI’Nspire CAS,
symbolhanterande miniräknare
Innehåll
1 Inledning
1.1 Bakgrund . . . . . . . . . . . . .
1.2 Begreppet CAS-räknare samt kort
1.3 Syfte . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Forskningsfrågor . . . . . . . . .
. . . . .
historik
. . . . .
. . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 Litteratur och teori
2.1 CAS-räknare i de nationella styrdokumenten . . . . .
2.2 Teorier och argument för och emot CAS i gymnasiet .
2.3 Teorier kring Human Computer Interface . . . . . . .
2.4 Deﬁnition av användbarhet enligt Nielsen . . . . . . .
3 Metod
3.1 Urval . . . . . . . . .
3.2 Avgränsning . . . . .
3.3 Datainsamling . . . .
3.4 Databearbetning . .
3.5 Uppgifter för empirin
3.6 Analysmetod . . . .
3.7 Etiska aspekter . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
1
2
3
.
.
.
.
4
4
4
7
8
.
.
.
.
.
.
.
11
11
12
12
13
14
14
15
4 Resultat och analys
4.1 Översiktlig beskrivning av observationerna
4.2 Kritiska händelser . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Resultat från enkäterna . . . . . . . . . . .
4.4 Resultat från observationerna . . . . . . .
4.5 Sammanfattning medelvärden . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
17
17
17
20
20
23
5 Diskussion
5.1 Egna forskningsresultat . . . . .
5.2 Koppling till tidigare forskning .
5.3 Kommentarer . . . . . . . . . .
5.4 Förslag till fortsatt forskning . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
24
24
25
26
27
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A Kortfattad instruktion Casio ClassPad 330
30
B Kortfattad instruktion Texas Instruments TI-Nspire CAS
31
C De 10 uppgifterna för observationen
32
i
D Enkätfrågor före observationer
33
E Enkätfrågor efter observationer
34
F Resultat derivering före och efter
35
G Resultat ekvationslösning före och efter
36
Figurer
1
2
3
4
5
6
7
Casio ClassPad 330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Texas Instruments TI’Nspire CAS . . . . . . . . . . . . .
Instrument och instrumentalisering Trouche (2004) . . .
Figur över systemattribut Nielsen (1993). . . . . . . . . .
Figur över möjliga inlärningskurvor,(Nielsen, 1993, s. 28)
Elevernas självskattning om derivata . . . . . . . . . . .
Elevernas självskattning om ekvationer . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 2
. 2
. 7
. 8
. 10
. 35
. 36
Medeltider för utförande av derivering för respektive omgång
Medeltider för utförande av ekvationslösning för respektive
omgång . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elevernas och Mattis skattningar . . . . . . . . . . . . . . .
Enkätfrågor före observation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Enkätfrågor efter observation . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 21
Tabeller
1
2
3
4
5
ii
.
.
.
.
21
23
33
34
1
1.1
Inledning
Bakgrund
Jag har under mina tidigare studier samt arbete som beräkningsingenjör
använt mig av symbolhanterande räknare (HP-48/49/50), och ser därför stor
potential i dem - åtminstone i vissa fall. Jag ﬁck en möjlighet att delta i
ett kort seminarium under våren 2010 (i samband med studier till lärare
vid Umeå universitet) när Texas Instruments visade upp sin TI’Nspire CAS,
varur en tanke om att göra ett examensarbete kring CAS-räknare föddes.
Sedan höstterminen 2007 är symbolhanterande räknare (CAS-räknare)
tillåtna vid gymnasiets nationella prov i matematik. Proven är uppdelade i
en inledande del där inga räknare får användas, och en del där räknare får
användas. De är gjorda så att en elev inte har fördelar av att använda sig av
en CAS-räknare under proven.
Men användningen av CAS-räknare är lite förekommande i den svenska
matematikundervisningen av idag, varför tanken föddes att betrakta nybörjare på CAS-räknare i deras första kontakt med dessa räknare. Dessa gymnasister är dock inga nybörjare i matematik eftersom de läser årskurs 3 på det
Naturvetenskapliga programmet. Kan bristen på användning bero på att de
är svåra att använda? Går det att lära sig att derivera och lösa ekvationer på
en kort, begränsad tid? De två CAS-räknare som använts är Casio ClassPad
330 och Texas Intruments TI’Nspire CAS.
1.2
Begreppet CAS-räknare samt kort historik
Förkortningen CAS står för Computer Algebra System, dator algebra system
och i det följande använder jag CAS-räknare som benämning för de räknare
som är medtagna i studien.
Kännetecken för en CAS-räknare är enligt Cuoco (2002) att den tillhandahåller numeriska rutiner med hög precision och inbyggda matematiska
funktioner, programmeringsspråk, graﬁska möjligheter för plottning i R2 , R3
och C. Slutligen har de tabellerings- och matrisfunktioner .
Den första CAS-räknaren var Hewlett-Packard HP-28C som kom 1987.
Den hade 2 kilobyte använbart minne. Ett år senare kom HP-28S med 32kb
RAM. Därefter har utvecklingen gått framåt i rasande fart och de senaste
modellerna av HP, Casio och Texas Instruments är alla i stort sett jämförbara.
Priset för en sådan enhet är runt 1500 kr (2011). Skulle man ha en Apple
iPhone så kan man köpa en app - Wolfram Alpha till den för 7 kr. Men det
ﬁnns även gratisprogram såsom Microsoft Mathematics för PC.
På marknaden så ﬁnns det idag tre tillverkare av CAS-räknare, Casio,
1
Hewlett-Packard (HP) och Texas Instruments (TI). I denna studie studeras
två av CAS-räknarna: Casio ClassPad 330 samt Texas Instrument TI’Nspire
CAS. Detta då dessa två räknare anses ha de största marknadsandelar i
Sverige (det är svårt att ta reda på faktiska försäljningssiﬀror) samt att jag
ville se hur reaktionen blev då användargränssnittet var mycket annorlunda
jämfört med elevens ordinarie räknare. Se ﬁgurer nedan för de två utvalda
räknarna.
Figur 1: Casio ClassPad 330
Notera att Casion har en tryckkänslig skärm och kan styras med en penna.
Texas Instrument-räknaren har en tryckkänslig platta med vilken man kan
Figur 2: Texas Instruments TI’Nspire CAS
styra räknaren. När det gäller olika CAS-räknare på marknaden så ﬁnns det
även andra modeller såsom Casio FX 2.0 Algebra, TI-89, och HP-40g för att
nämna några.
1.3
Syfte
I många länder i Europa så används CAS-räknare (Computer Algebra System, symbolhanterande räknare) i matematikundervisningen på (motsvarande) gymnasienivå. Sedan hösten 2007 är det tillåtet att använda CAS-räknare
2
på de nationella proven i matematik på gymnasiet. Den bild jag har är att
få lärare använder dem. Detta kan ha ﬂera orsaker. Syftet med denna studie
är att ta reda på om elever på gymnasiet tycker att dagens CAS-räknare
är svåra att använda, och att just detta är en begränsning för räknarnas
användning.
1.4
Forskningsfrågor
De övergripande forskningsfrågor som jag arbetat med är:
A. Hur klarar gymnasister, på Naturvetarprogrammets sista år, av att lära
sig moderna CAS-räknare?
B. Vad tycker eleverna om att använda CAS-räknare?
För att kunna svara på ovanstående två frågor så operationerades frågeställningarna med hjälp av teorier kring användbarhet enligt Nielsen (1993).
1. Easy to learn. Är CAS-räknaren lätt att använda?
2. Eﬃcient to use. Är CAS-räknaren eﬀektiv att använda?
3. Easy to remember. Är det lätt att komma ihåg komma ihåg kommandona?
4. Few errors. Gör eleverna få fel?
5. Subjectively pleasing. Vad tycker eleverna om mötet med CAS-räknarna,
är de nöjda med upplevelsen?
Detta mättes genom att observera eleverna direkt under ﬁlmningen, men
även vid senare genomgång av ﬁlmerna och enkätsvaren.
3
2
Litteratur och teori
I detta kapitel redovisar jag den litteratur och de teorier som jag använt
för att skapa mig en förståelse för de empiriska studierna och analyserna
som utförts. Jag börjar med att deﬁniera begreppen och därefter klargöra
respektive område.
2.1
CAS-räknare i de nationella styrdokumenten
I läroplanen för gymnasieskolan, Lpf 94, står ingenting om CAS-räknare eller symbolhanterande räknare. Däremot står att det är rektors ansvar att
elever får tillgång till ” . . . hjälpmedel för att själv kunna söka och utveckla
kunskaper, bl. a. bibliotek, datorer och andra tekniska hjälpmedel”, (Skolverket, 1994, s. 16). När det gäller kursplanerna i matematik så berör endast
Matematik-D CAS- programvara, Skolverket (2000), ”. . . vid problemlösning
kunna använda graﬁsk, numerisk eller symbolhanterande programvara”.
CAS-räknare på nationella prov
Enligt Skolverket så får eleven använda sig av symbolhanterande räknare på
nationella prov. Proven är dock, enligt Anna Lind Pantzare vid Provutvecklingsenheten vid Umeå universitet, (Pantzare, 2011) gjorda så att de inte
skall gynna elever med symbolhanterande räknare.
2.2
Teorier och argument för och emot CAS i gymnasiet
När jag skriver gymnasiet så innefattas även motsvarande nivåer av undervisning i andra länder. Inleder först med att beskriva hur situationen för
CAS-räknare ser ut i olika länder. När det gäller CAS-räknare så anser (Guin och Trouche, 1999, s. 207) när det gäller CAS-räknare att ” . . . the main
diﬀerence is that students can always have them at their disposal.”, vilket
inte alltid är fallet med bärbara datorer. De senare behöver dessutom ett
ofta dyrt program för att vara till nytta.
CAS-räknare i gymnasier utomlands
Enligt Drijvers (1998) så fanns det åtminstone följande olika strategier som
olika länder hade beträﬀande användning av CAS-räknare på prov:
Polen Alla typer av räknare bannlysta vid examination.
England Grafritande räknare är tillåtna, men uppgifterna är så gjorda att
eleven som har tillgång till räknare inte ska ha någon nytta av den.
4
Frankrike Räknare (även CAS) är tillåtna och även användbara, men användningen belönas inte. Detta sker genom att alla resultat måste tas
fram för hand.
Holland (vissa utbildningsprogram) Eleverna måste ha räknare, och deras
förmåga att använda hjälpmedlen är en del av examinationen.
Argument för CAS i gymnasiet
Enligt Persson (2009), baserat på en egen studie i 7 klasser på gymnasienivå
redogör han följande hypoteser:
+ Räknare är kraftfulla räkne- och visualiseringsverktyg som möjliggör
för elever att försöka med lika lösningsmetoder och påståenden utan
påfrestande tidskrävande triviala aktiviteter som att rita för hand och
förenkling.
+ Användandet av miniräknare erbjuder elevers förståelse och formning
av matematiska koncept och att se dem på olika sätt.
+ Det ﬁnns ingen generell sedd försämring i elevers mentala eller ”för
hand” kunskaper.
+ Elever blir mer aktiva i det matematiska arbetet och visar en mer positiv attityd gentemot matematik när de använder miniräknare.
+ Nyligen presenterade rapporter styrker dessa hypoteser.
Argument emot CAS i gymnasiet
Thunberg och Lingefjärd (2006) är emot att Skolverket tillåter CAS-räknare
på gymnasiets nationella prov i gymnasiet. Detta eftersom:
– Erfarenheter visar att dagens grafritande miniräknare ofta används på
ett destruktivt sätt i undervisningen, träning av grundläggande räknefärdighet uteblir då miniräknaren alltid ﬁnns till hands. [. . . ] Med
symbolhanterande miniräknare kommer detta problem sannolikt att
förvärras.
– Den matematikdidaktiska forskningen har inte på något tydligt sätt
kunnat påvisa generella positiva eﬀekter på matematisk begreppsbildning och förståelse vid användningen av symbolhanterande miniräknare
i undervisningen. Tvärtom undermineras även förståelse och begreppsbildning om den underliggande färdighetsträningen uteblir.
5
– De avancerade miniräknarna (grafritande och symbolhanterande) används inte i någon nämnvärd grad som verktyg vare sig i vardagsliv,
yrkesliv eller vid högskolan. De som i sitt yrkesliv behöver kunna utföra
mer avancerade matematiska operationer med IT-stöd lär sig som regel
hantera andra och bättre verktyg under eftergymnasial utbildning.
– De symbolhanterande miniräknarna är dyra, priserna ligger på 15002000 kronor. Oavsett vem som står för notan, kommunen eller eleven/elevens familj, kan man fråga sig om det är en vettig prioritering
när eleverna inte får behålla sina matematikböcker efter avslutad kurs.
Generella argument om CAS
Vidare så har Drijvers (2000) följande argument när det gäller CAS:
• Skillnaden mellan den algebraiska representationen som fås från CAS
och den elever förväntar sig, och ser som ”enkel”.
• Skillnaden mellan numeriska och algebraiska beräkningar och det sätt
på vilket CAS hanterar skillnaden.
• Begränsningarna i CAS och svårigheter att skapa algebraiska strategier
för att hjälpa CAS att komma över dessa begränsningar.
• Oförmågan att avgöra när och hur datoralgebra kan vara användbar.
• Det ﬂexibla tankesättet runt variabler och parametrar som krävs vid
användandet av CAS.
Instrument och instrumentalisation
Bland andra Monaghan (2006) skiljer mellan artefakter och verktyg: en artefakt är ett objekt som har, eller har haft, ett avsiktligt syfte. En agent
behöver inte nödvändigtvis vara medveten om detta syfte och kan därför
använda det för ett annat syfte. En artefakt är materia. När det gäller en
CAS-räknare så är detta uppenbart, men en algoritm är också en artefakt
eftersom det existerar i den fysiska världen, fritt efter Artigue (2002).
Ett verktyg eller ett redskap är något som vi som människor använder för
att utöka våra möjligheter till aktiviteter enligt Vygotski i Säljö (2005).
Både Guin och Trouche (1999), Monaghan (2006) samt Persson (2009)
skiljer mellan ett verktyg som ett fysiskt objekt och ett instrument som
en psykologisk konstruktion ”. . . the instrument does not exist in itself, it
becomes an instrument when the subject has been able to appropriate it for
himself and has integrated it with his activity”, (Monaghan, 2006, s. 65).
6
Enligt Trouche (2004)så ﬁnns det en dualitet mellan instrumentation som
anger hur verktyget skapar ageranden för den som använder verktyget, samt
instrumentalisation hur subjektet formar/använder verktyget. Se ﬁgur 3 nedan, Trouche (2004). Artigue (2002) påvisar att det sker ett slags instrumentalisk födelse (instrumental genesis) då man approprierar ett socialt redan
beﬁntligt schema. Instrumental genesis arbetar i två riktningar: dels i riktning
mot artefakten, för att i ett sista skede ha den i ett speciﬁkt syfte (instrumentalisation), dels i riktning mot subjektet då det kan reagera på uppgifter
(instrumentering). Artefakten kan vara en dator, eller som i detta fallet en
CAS-räknare. Subjektet är användaren, i det här fallet eleven. Hela principen
för instrumentation/instrumentering är att människan tar till sig ett föremål
med vars hjälpl denne utför uppgifter som inte annars kunde utföras.
En artefakt
Ett subjekt
Instrumentation
Instrumentalisation
Ett instrument ”att göra något”
Figur 3: Instrument och instrumentalisering Trouche (2004)
Black Box - White Box
I Monaghan (2006) refereras till begreppet White-Box/Black-Box. Principen
är att en användare har/har inte en förståelse för vad som sker när ett visst
objekt används. Exempelvis kan man använda en dator för räkna med i,
låt oss säga, Excel. Vi vet vad det är vi vill göra och matar in de olika
manipulationerna i cellerna och får det önskade svaret. Detta sätt när vi har
fullständig transparens brukar kallas White-Box. Om vi nu tar och döljer de
olika kommandona i vårt Excel-ark så uppfattar alla andra detta kalkylark
som en Black-Box, en svart låda. En given indata ger okänt utdata, med
andra ord är - mekanismen dold för användaren.
2.3
Teorier kring Human Computer Interface
HCI, eller Human Computer Interface, kan sägas vara Människa Dator Gränssnitt. Detta innebär att det är den (virtuella) yta mellan användaren, männi7
skan, och datorn i vilken informationsutbyte pågår. Således är knappsatsen
eller pekskärmen på miniräknaren ett sådant snitt. Människan interagerar
med datorn.
I Wiberg (2003) så hittade jag en referens till en bok om Usability Engineering, Nielsen (1993). Den verkar trots sin ålder vara en av grundpelarna
i ämnet och den tar upp alla aspekter på användbarhetsmätningar. De mest
väsentliga begreppen åskådliggörs i följande ﬁgur 4 nedan.
Utility
Social
acceptability
1. Easy to learn
Usefulness
2. Efficient to use
System
acceptability
3. Easy to remember
Cost
Usability
Practical
acceptability
Compability
4. Few errors
5. Subjectively
pleasing
Reliability
Etc.
Figur 4: Figur över systemattribut Nielsen (1993).
2.4
Definition av användbarhet enligt Nielsen
Enligt Nielsen (1993) så kan man inte betrakta användbarhet som en endimensionell egenskap hos ett system. I ﬁgur 4 ovan delas begreppet användbarhet upp i 5 delområden - de längst till höger i ﬁguren vilka jag redogör
för nedan. Det viktigaste att komma ihåg är dock att användarvänlighet inte
är mätbart, medan användbarhet är det.
Eftersom de fem olika aspekterna är grunden i hela min rapport så redovisar jag först orginalbenämningen enligt ﬁgur 4 varefter jag ger min tolkning
för varje delområde.
1. Easy to learn. Är CAS-räknaren lätt att använda?
Denna aspekt innefattar hur lätt enheten är att använda. Detta är
grunden eftersom det är så centralt att användaren vid sitt första möte
har en så låg inlärningströskel som möjligt. Det ﬁnns i huvudsak två
olika sätt att bygga upp system. Det ena är att noviser ska ha lätt
att lära sig, varvid inlärningskurvan är brant (lär sig mycket fort). Det
andra synsättet, för experter, är att ha en låg inlärning till en början,
8
medan den blir brantare med tiden. Den första modellen når inte lika
högst som den senare givet samma tid, jämför ﬁgur 5 nedan.
2. Eﬃcient to use. Är CAS-räknaren eﬀektiv att använda?
Måttet eﬀektivitet kan hänföras till expertens nivå när inlärningskurvan
planar ut (se ﬁgur 5) ovan. Detta mått är lite svårare att mäta eftersom
en del system kan vara så komplexa att det tar år att lära sig dem,
Nielsen (1993). För att deﬁniera en användare som erfaren/expert kan
man ta som mått det antal timmar som denne tillbringat med systemet.
Ett mått på eﬀektivitet är att mäta den tid i sekunder det tar att utföra
en viss uppgift, och relatera detta till andra obervationer.
3. Easy to remember. Är det lätt att komma ihåg komma ihåg kommandona?
Sporadiska användare är enligt Nielsen Nielsen (1993) den tredje gruppen av användare. De använder ett system, men lämnar det sedan för
en tid och återkommer. Till skillnad från noviser så har de sporadiska
användarna använt systemet tidigare, och behöver därför inte lära sig
det från början. Det är då viktigt med användargränssnitt som är enkla att komma ihåg. Detta mäts genom helt enkelt genom att observera
hur väl olika kommandon utförs, om de kommer ihåg dem eller inte.
4. Few errors. Gör eleverna få fel?
Användargränssnittet skall vara så konstruerat att det blir få fel, och
deﬁnitivt inga med katastofala följder om man gör fel. Begreppet fel
deﬁnieras, Nielsen Nielsen (1993), som en händelse som inte utför det
förväntade. Om man bara deﬁnierade begreppet fel som inkorrekta användaraktiviteter så får man inte med de olika graderna på fel – från
triviala till allvarliga. En del användarfel kan enkelt och snabbt åtgärdas av användaren varför det då bara tar lite tid. Andra användarfel
är mer katastrofala om användaren inte på något sätt vet vad som ﬁck
det hela att gå fel. Dessa fatala fel bör, enligt Nielsen (1993) räknas
separat.
5. Subjectively pleasing. Vad tycker eleverna om mötet med CAS-räknarna,
är de nöjda med upplevelsen?
Det sista av de fem kriterierna för användbarhet är ett mått på hur
användaren upplever användandet av systemet, (Nielsen, 1993, s. 33).
Detta mått är helt subjektivt och kan enklast mätas genom att helt
enkelt fråga användaren vad de tyckte om upplevelsen. Detta bör göras
direkt efter observationen i samband med de-brieﬁngen av upplevelsen,
Nielsen (1993). Nielsen rekommenderar att en mycket kort enkät med
9
fasta svarsalternativ (skala 1-5) ges till den som observerats. De får
också göra en självskattning före observationen där de redogör för sina
dator- och matematikkunskaper.
Inlärning
Tid
Figur 5: Figur över möjliga inlärningskurvor,(Nielsen, 1993, s. 28)
.
Det vanligaste sättet att mäta att eleverna nått målet, att de lärt sig
övningen, är att mäta tiden det tar att utföra en viss given uppgift, (Nielsen,
1993, s. 29).
10
3
Metod
Notera att de datainsamligsmetoder jag valt innebär att jag först får svar
på de fem frågorna enligt Nielsen, för att därefter kunna svara på mina två
forskningsfrågor.
I detta kapitel presenterar jag mina olika metoder för urval, datainsamling, databearbetning,uppgifter för empiri, dataanalys, samt de etiska aspekterna som jag tagit hänsyn till. Den principiella uppställningen av försöken/observationerna var att jag lät eleverna var för sig få lösa ett antal uppgifter med de två olika räknarna. Se de kortfattade manualerna i appendix A
och B . Det var först 5 uppgifter med derivata, sedan 5 med ekvationslösning
alla med stigande svårighetsgrad. Allting spelades in på video.
Det ﬁnns ﬂera olika sätt som man kan genomföra studier när man vill
ha reda på vad elever tycker om CAS-räknare. Ett sådant sätt är att jämföra elever i klasser som har använt CAS-räknare med elever som inte har
använt dessa för att se om det ﬁnns någon skillnad i deras sätt att lära sig
matematiken. Men då får man inte med den första spontana skeendet just
när eleverna för första gången ser använder en CAS-räknare, vilket var just
vad jag var ute efter.
En annan aspekt är hur själva utförandet skall vara. Jag valde att spela
in endast CAS-räknare och delar av elevens händer för att kunna följa händelserna när jag analyserade ﬁlmerna. I efterhand så hade det naturligtvis
varit bättre att kunna ﬁlma hela kroppspråket (med en andra videokamera)
och annat som den begränsade ﬁlmningen jag utförde inte ﬁck med. Men
det var bra att jag ﬁck åtminstone en DV-videokamera till förfogande så att
ﬁlmningarna kunde utföras. Bandningen misslyckades delvis eftersom bilden
blev grumlig. Det som trots allt var bra med ﬁlmningen var ljudet. Jag kunde
höra mig fram hur det gick för eleverna, trots att bilden var grumlig.
Före observation med eleverna så gjorde jag ett pilotförsök på min far då
jag konstaterade att det inte räckte med en liten digital(foto)kamera. Fick
då låna en digital videokamera från Institutionen för IML Umeå universitet.
3.1
Urval
Jag valde att ha elever som hade läst minst matematik C och eftersom studien
skulle genomföras före jul 2010 så blev det en klass årskurs 3 elever på det
Naturvetenskapliga Programmet i Västerbotten. Kriteriet att eleverna skulle
ha läst matematik C kommer sig av att de då hade lärt sig derivering och
ekvationslösning.
11
3.2
Avgränsning
I min studie har jag valt att avgränsa det hela vid att använda endast två av
de på marknaden förekommande CAS-räknarna. Detta då de två modellerna
(Casio ClassPad 330 och Texas Instruments TI’Nspire) ansågs vara mest
förekommande i gymnasierna i Sverige.
Vidare är det på intet sätt meningen att jämföra räknarna mot varandra
utan bara se till företeelsen CAS-räknare. Jag kommer därför inte undersöka
om CAS-räknarna är bra eller dåliga för undervisningen i matematik (eller
andra ämnen).
3.3
Datainsamling
Jag använde mig av två metoder för datainsamling, nämligen: observationer
som bandades på video med öppna spontana intervjuer under pågående inspelning, samt enkäter både före och efter observationer. Jag redovisar för
dessa två metoder separat nedan.
Observationer på DV-video
I min studie har jag valt att avgränsa det hela vid att studera 11 elever. Jag
ﬁck vid den första kontakten med klassen lov att bestämma hur många jag
ville ha med. Eftersom det fanns ett mindre incitament för eleverna i form
av en biobiljett, så ansåg jag att just 10-12 elever var rimligt. Tyngdpunkten
i detta erbete ligger på de observationer som utfördes vid elevernas första
kontakt med CAS-räknarna. Jag ville ha 10 observationer så jag bad läraren
och klassen om att få 12 elever, varav jag tänkte mig 2 i reserv. Till slut
när jag var klar hade jag fått ihop 11 observationer. Beslöt att använda
mig av alla 11. Observationerna utfördes med en matematikklass årskurs 3
på Naturvetenskapliga programmet i en skola i Västerbotten under ett par
veckor före jul 2010.
Jag riggade upp den digitala videokameran (DV-video) på ett stativ och
ﬁlmade då ned på bordet där eleven höll på med CAS-räknaren. Jag hade en
begränsning av att DV-ﬁlmen var 60 minuter lång.
Under pågående observation kunde det hända att eleven ställde någon
fråga eller körde fast, mer eller mindre. Under pågående ﬁlmning noterade
jag när det skedde något, som jag antog att jag skulle kunna ha nytta av vid
analysen.
Jag hade även en kort frågestund direkt efter att eleven hade använt den
första räknaren. Frågade då vad hon/han tycke om den, detta för att få en aktuell bild av vad preferenserna var just då. När eleven gjort uppgifterna även
12
med den andra räknaren så ställde jag samma frågor som efter användandet
av den första räknaren. Återigen för att få den spontana uppfattningen.
Enkäter
För att få en uppfattning om elevens självbild före observationen så hade
jag med några frågor, se tabell 4 i appendix D. Avsikten med denna korta
enkät var att få reda på elevens position Dator/miniräknarvana kontra Matematikfärdigheter. Jag hade även en enkät efter observation i enlighet med
Nielsen (1993), se appendix E.
3.4
Databearbetning
I detta redogör jag för de olika metoderna som jag använde för att bearbeta
rådatan till analyserbar form.
Observationer på DV-video
När jag väl fått de 11 ﬁlmerna så överförde jag dem från digital video till
digital dator-format. Något gick fel eftersom videobilderna blev grumliga och
svåra att se. Men jag såg vilken fråga det rörde sig om, och kunde härleda
tangenttryckningarna genom att se hur ﬁngrarna rörde sig på tangenterna.
Intervjuerna nedtecknades under genomgången av ﬁlmerna. Huvuddragen av
dialogerna nedtecknades.
Enkäter
Enkäterna bearbetades genom att jag matade in datat i ett kalkylprogram
och beräknade nyckeltal. Dessa nyckeltal deﬁnierades enligt följande. För att
kunna sätta elevens skattning i relation till mina observationer så använde jag
en kvantitativ mall. Elevens prestation ﬁck ett helhetsbetyg, ett för vardera
räknaren i derivering och ett för ekvationslösning. Eleven ﬁck värdena 1 – 5,
där de olika värdena betyder:
1. De lyckas inte alls.
2. De lyckas med mycket hjälp.
3. De löser uppgifterna med lite hjälp (vilket är det normala givet att de
aldrig sett en CAS-räknare förut).
4. De löser uppgifterna autonomt.
13
5. De hittar egna genvägar eller andra sätt än mallens för att lösa uppgiften.
Ett andra mått efter observation var hur nöjda eleverna var när de använt CAS-räknarna. Detta beräknades som snittet av värdena för de båda
räknarna för alla 11 elever.
3.5
Uppgifter för empirin
Alla eleverna hade läst matematikkurserna A–C varför jag valde att låta dem
utföra två sorters uppgifter. Dels uppgifter med derivator, dels uppgifter med
ekvationslösning. Min övergripande tanke med valet av uppgifter var att få
med två moment: dels en del av uppgifter som jag visste att eleverna borde
kunna, dels uppgifter de skulle utföra (rent mekaniskt). Jag valde uppgifterna med omsorg ur en matematikbok, Björk och Brolin (2000), och var noga
med att låta den första uppgiften vara en lätt sådan så att de skulle kunna
få en positiv första kontakt med CAS-räknarna. De valda uppgifterna var av
stigande svårighetsgrad, 5 deriveringsuppgifter (D1–D5) och 5 ekvationslösningsuppgifter (E1–E5).
Exempel på en deriveringsuppgift: Derivera f(x) = (1 + 2x) · (x + x2 ).
En ekvationslösningsuppgift är: Lös ekvationen ex + x − 6 = 0.
Se vidare appendix C för samtliga uppgifter.
3.6
Analysmetod
I det följande redogör jag för de olika analysmetoderna som jag använde mig
av.
Jag sökte efter situationer på videobanden som kunde svara mot följande fem kriterier på användbarhet i enlighet med frågeställningarna enligt
tidigare. Jag visar även kännetecken för kriterierna.
1. Easy to learn. Är CAS-räknaren lätt att använda? –Kommer eleverna
i gång med att använda räknarna snabbt? Sker det en inlärning?
2. Eﬃcient to use. Är CAS-räknaren eﬀektiv att använda? –Kan eleverna
ta ett steg bortom den kortfattade instruktion som de hade till hands?
3. Easy to remember. Är det lätt att komma ihåg komma ihåg kommandona? – Kan eleverna utföra uppgifterna utan att titta på instruktionsbladen?
4. Few errors. Gör eleverna få fel? Gör de fel efter inkörningsperioden?
Om så, återkommer samma fel?
14
5. Subjectively pleasing. Vad tycker eleverna om mötet med CAS-räknarna,
är de nöjda med upplevelsen? Det kunde vara positiva utrop eller att
de helt enkelt såg nöjda ut efter observationen.
Detta utfördes genom att observera eleverna direkt under ﬁlmningen, men
även vid senare genomgång av ﬁlmerna och enkätsvaren.
Observationer på DV-video
Analysen gick till så att jag tittade på de 11 ﬁlmerna och förde kontinuerlig
logg. Jag noterade tiderna för färdigställandet av de olika momenten. Vidare
så skrev nedtecknade jag olika såväl positiva som negativa utrop som eleverna
sade under tiden de löste uppgifterna.
En annan aspekt som jag kom att se vid analysen var de så kallade kritiska
händelserna, det vill säga händelser såsom försökspersonens (möjliga) upptäkter av genvägar eller annat agerande som inte står på instruktionsbladen
för de två räknarna.
Intervjuerna analyserades kvalitativt, d.v.s jag försökte få fram de värderingar som eleverna inte kunde föra fram i enkäterna.
Enkäter
När det gäller enkäterna så analyserades de både kvalitativt och kvantitativt.
Kvalitativt då jag bad eleverna skatta sina kunskaper i att derivera och lösa
ekvationer före och efter observation. Till detta kommer min skattning av
hur eleverna utfört respektive delmoment. Skalan är 1 – 5 där 1 är lägst och
5 är högst (bäst).
Ett exempel. En elev skattar sina deriveringskunskaper före till en 4:a.
Efter observation tycker eleven att det gick 4:a respektive 5:a (två räknare)
och då blir snittet 4,5. Jag tyckte att det gick 3,5 i snitt.
3.7
Etiska aspekter
Det ﬁnns två olika vinklingar på etiska frågor i denna studie. Det första
är den strikt vetenskapliga som jag presenterar i form av Vetenskapsrådets
forskningsetiska principer. Det andra är de aspekterna som Nielsen redogör
för i sin bok, Nielsen (1993). Han grupperar in dem i tre områden som
presenteras nedan.
15
Vetenskapsrådet
Vetenskapsrådet säger i skriften Forskningsetiska principer inom humanistisksamhällsvetenskaplig forskning att de etiska aspekterna kan konkretiseras i
fyra huvudkrav nedan, Vetenskapsrådet (2002). Jag väljer att kommentera
mitt förhållningssätt i anslutning till dessa:
1. Informationskravet. Jag informerade eleverna om vad som gällde, att
det var frivilligt och att de ﬁck avsluta observationen när som helst.
Detta skedde före observationerna då en enkät fylldes i av eleven.
2. Samtyckeskravet. Jag ﬁck såväl muntligen som skriftligen (då eleven
fyllde i enkäten) samtycke av dem att delta i studien. Eleverna hade
fyllt 18 år så förälders medtycke krävdes ej.
3. Konﬁdentialitetskravet. Eleverna ﬁck löfte skriftligen om att informationen som samlades ín endast skulle ses av min handledare eller mig.
4. Nyttjandekravet. Materialet skulle inte användas för något kommersiellt syfte.
Nielsens etiska aspekter
Före observation Före observation gäller följande fritt enligt Nielsen (1993):
Före observation Allting ska vara klart innan personen anländer. Man ska
poängtera att det är systemet som mäts, inte användaren. Försökspersonen ska veta att denne kan avbryta närsomhelst. Formerna för
datainsamling ska förklaras. Försökspersonen ska veta att all data behandlas konﬁdentiellt.
Under observation Under observation menar Nielsen att: Man ska försöka
låta försökspersonen få en tidig framgångsrik erfarenhet. Uppgifterna
skall delas ut en åt gången. Ha en avslappnad atmosfär i provrummet.
Undvik störningar, stäng av telefoner. Visa aldrig att försökspersonen
arbetar långsamt eller gör misstag.
Efter observation Börja med att tacka försökspersonen. Presentera aldrig
resultatet så att någon enskild person kan kännas igen. Bjud på dryck,
kaﬀe, ﬁka.
För övrigt så har jag har valt att inte sätta ut kön på eleverna. Det var
jämn fördelning mellan tjejer och killar i klassen i den undersökta gruppen.
16
4
4.1
Resultat och analys
Översiktlig beskrivning av observationerna
De totalt 11 observationerna påbörjades med att eleven ﬁck fylla i en enkät, härefter kallad enkät före. Därefter ﬁck de utföra 5 deriverings- och 5
ekvationslösningsuppgifter. Allt detta bandades på Digitalvideo. Efter observationerna så ﬁck elevena fylla i en enkät efter - enkät efter. Informationen
som jag ﬁck ut var dels kvantitativ - vad eleverna tyckte i de två enkäterna, samt kvalitativ - vad de spontant tyckte de två räknarna. Eftersom utgångspunkten var att studera elevernas syn på CAS-räknare och inte jämföra
CAS-räknarna mot varandra, så är de betyg som anges för CAS-räknarna ett
medelvärde.
Under observationerna så samlade jag även information om hur jag tyckte
att eleverna presterade, för att senare jämföra med deras egen uppfattning.
4.2
Kritiska händelser
Jag deﬁnierar en kritisk händelse som en avvikande händelse. Detta betyder
således att det kan vara såväl positiva som negativa händelser. En positiv
händelse kan då vara att eleven utför en deluppgift på ett mer raﬃnerat sätt
- de följer inte mallen. På motsvarande sätt så kan en negativ händelse vara
att eleven inte lyckas utföra deluppgiften utan min inverkan.
Jag väljer att presentera de olika delområdena derivering och ekvationslösning var för sig och skriver kort om varje kritisk händelse med båda räknarna
i varje punkt. Min avsikt är inte att jämföra räknarna med varandra. Presenterar endast antalet elever som utförde respektive kritiska händelse - detta
för att värna om elevernas integritet.
Kritiska händelser vid derivering
I det följande använder jag förkortningarna Casio för Casio ClassPad 330 och
TI för Texas Instruments TI’Nspire CAS. Deriveringsuppgifterna benämns
D1-D5 och ekvationslösningsuppgifterna E1-E5 (de ﬁnns i appendix C). I
uppräkningarna så skriver jag [Analys] för min analys.
Jag redovisar de kritiska händelserna var för sig.
D1 [Casio] Tar fel på gångertangent x och variabeln x, 1 observation.
[TI] Matar in kommandot derivate med knappsatsen i stället för uttrycket derivative, 8 observationer.
17
[Analys] Det första felet (Casio) är intressant eftersom tangentbordet
på Casion har såväl de vanligaste variablerna x, y och z på delen med
knapparna, samt även de fyra räknesätten samt upphöjt till (tangent)
på knappsatsen. Tangenterna är ganska lika varför det tydligen kan
bli fel. När det gäller uttrycket (TI) derivate så är det troligen något
Svengelska ord då det är ett mellanting mellan derivative och derivera.
Av de som gjorde fel var det två som insåg sitt misstag själv. Alla utom
2 gjorde felet (TI) - oberoende av vilken räknare de började med.
D2 [Casio] Inga observationer.
[TI] Glömmer (. . . , x) vid deriveringen, 2 observationer.
[Analys] (TI) Detta är enligt min mening endast ett slarvfel eftersom
eleverna utför samma kommandosekvens på alla fem deriveringsuppgifterna.
D3 [Casio] Matar in en parantes för lite vid deriveringen i
2 observationer.
d
dx
((x2 + 1)8 ),
[TI] Inga observationer.
[Analys] (Casio) Vid inmatning av den andra vänsterparantesen så
kommer det inte automatiskt någon andra högerparantes.
D4 [Casio] Matar in fel antal paranteser, 1 observation.
[TI] Hittade efter lite bläddrande i menyerna kortkommandot för
1 observation.
d
,
dx
[Analys] (Casio) se kommentar D3. (TI) Här har eleven använt sin nyﬁkenhet (det såg jag och hörde under observationen) och lyckats, efter
en kort stunds letande, hitta kommandot för deriveringen i menyerna.
D5 [Casio] Inga observationer.
[TI1] Missar att ta med gångertecknet i
tioner.
d
(2x
dx
· cos(x) . . .), 7 observa-
[TI2] Glömmer (. . . , x) vid deriveringen, 1 observation.
[Analys] (TI-1) Syntaxen vid inskrivningen av uttrycket ej intiutivt
(måste här ha med gångertecken). (TI-2) Se D2 ovan.
Kritiska händelser vid ekvationslösning
Benämningarna E1-E5 refererar till ekvationslösningsuppgifterna enligt appendix C. [Casio] refererar till Casio-räknaren och [TI] till Texas Instrument18
räknaren. Se vidare den utdelade instruktionen för de två räknarna, Casio
appendix A och TI appendix B.
E1 [Casio] Inga observationer.
[TI] Inga observationer.
[Analys] Eleverna kan nu mata in utrycken och det går ledigt.
E2 [Casio] Inga observationer.
[TI] Inga observationer.
[Analys] Eleverna kan nu mata in utrycken och det går ledigt.
E3 [Casio] Inga observationer.
[TI] Inga observationer.
[Analys] Eleverna kan nu mata in utrycken och det går ledigt.
E4 [Casio] Matar in utrycket för exp(x) fel, 1 observation.
[TI] Inga observationer.
[Analys] (Casio) Eleven försökte skriva in exp(x) med hjälp av tangentbordet i stället för att bläddra i de olika menyerna, men det blev
fel. Jag hjälpte eleven lite eftersom jag gjorde bedömningen att eleven
annars skulle ha fastnat på uppgiften. (TI) Det ﬂöt på bra eftersom
räknaren har en speciell hela tiden synlig exp tangent.
E5 [Casio] Deriverar först och sätter sedan solve(Ans=0,x), 2 observationer.
[Casio] Deriverar först och skriver sedan solve och drar från raden ovan
med pennan ned derivatan till ekvationslösaren enligt ovan, 1 observation.
[TI-1] Deriverar först och sätter sedan solve(Ans=0,x), 5 observationer.
[TI-2] Glömmer (. . . , x) vid deriveringen, 1 observation.
[A] (Casio & TI-1) Här utnyttjar eleverna sina kunskaper från användandet av sin vanliga räknare, som har en Ans-tangent (answer = svar
från föregående operation). (Casio) eleven går ett steg längre och drar
ned hela utrycket med pennan. (TI-2) Se D2 ovan.
19
4.3
Resultat från enkäterna
I det följande redovisar jag för resultaten för enkäterna före, appendix D, och
efter observation, appendix E. Jag väljer att börja med att först presentera
elevernas självskattning.
Jag presenterar dem i den ordningen de utfördes under observationen,
först derivering och sedan ekvationslösning. När det gäller både derivering
och ekvationslösning så redovisar jag för båda grupperna först elevernas självskattning, sedan hur de tyckte att det gick, för att avsluta med min subjektiva
åsikt hur det gick. Se vidare kapitel 3.6.
För min gradering av elevernas prestation se kapitel 3.4. Eftersom eleven
utförde två moment av vardera derivering och ekvationslösning så tog jag
medelvärdet av de båda.
Elevernas självskattning beträﬀande derivering
Eleverna ﬁck före själva observationen svara på några korta frågor om hurdana deras kunskaper är i att derivera, se tabell 4 i appendix D. Efter
observationen så ﬁck de svara på frågan hur de tyckte att det gick att derivera, se tabell 5, appendix E.
Jag väljer att presentera endast medelvärdena för de individuella självskattningarna. I självskattningen före så blev snittet 4,0 och efter 4,3. Min
skattning blev 3,9 efter observationen. Se vidare tabell 6.
Min tolkning är att eleverna genom att de för första gången kom i kontakt
med CAS-räknarna just i deriveringen valde att bli lite mer entusiastiska över
resultatet.
Elevernas självskattning beträﬀande ekvationslösning
Eleverna ﬁck före själva observationen svara på några korta frågor om hurdana deras kunskaper är i att lösa ekvationer, se tabell 4 i appendix D. Efter
observationen så ﬁck de svara på frågan hur de tyckte att det gick att lösa
ekvationerna, tabell 5, appendix E.
På liknande sätt som i föregående kapitel så väljer jag att endast redovisa
medelvärdena – självskattning före ekvationslösning 4,4, efter 4,4 och min
analys 4,3. Här ligger alla tre värden lika.
4.4
Resultat från observationerna
Jag delar upp resultaten från observationerna i enlighet med den tidigare
uppställningen.
20
Är CAS-räknaren lätt att lära sig?
Enligt Nielsen (1993) så kan man mäta hur eﬀektivt inlärningen sker genom
att ta helt enkelt mäta tiden. I det följande redovisas för elevernas medeltider
för att utföra deriverings- respektive ekvationslösningsuppgifterna med de
båda räknarna. Eftersom eleverna startade med olika räknare så blir tiderna
troligen rättvisande för inlärningen. Benämningarna D1-D5 svarar mot de
fem olika deriveringsuppgifterna och på motsvarande sätt E1-E5 för de fem
ekvationslösningsuppgifterna.
Derivering
Tabell 1: Medeltider för utförande av derivering för respektive omgång
Medeltider
D1
D2
D3
D4
D5
Omgång 1 03.06 02.11 01.52 02.41 03.47
Omgång 2 02.14 01.51 01.30 01.33 02.30
Ur tabell 1 fås att samtliga tider för den andra omgången är mellan 15%
och 42% kortare.
Jag anser att detta tyder på att det sker en reell inlärning vid den repetativa användningen av de två (olika) CAS-räknarna eftersom det går snabbare
när de använder den andra CAS-räknaren. Eleven nöter in kommandona och
kommer högre upp på inlärningskurvan.
Ekvationslösning
Tabell 2: Medeltider för utförande av ekvationslösning för respektive omgång
Medeltider
E1
E2
E3
E4
E5
Omgång 1 01.30 00.59 01.18 02.12 03.40
Omgång 2 01.13 00.55 01.11 01.30 02.42
Betraktar man tabell 2 så kan man konstatera att samtliga medeltider är
mellan 7% och 32 % kortare. Även detta tyder på att en inlärning har skett.
21
Är CAS-räknaren eﬀektiv att använda?
Detta mått är när expertens inlärningskurva börjar plana ut. Av naturliga
skäl så var ingen av eleverna någon expert på någon av räknarna efter denna
studie. Faktum är dock att ett par elever, på egen hand, lyckades hitta (de
beﬁntliga i räknarna inbyggda) genvägarna för några olika kommandon.
Även de kritiska händelserna E1–E3 (då eleverna löser uppgifterna autonomt) tyder på att båda CAS-räknarna är eﬀektiva och lätta att använda.
Är det lätt att komma ihåg kommandona?
Det som talar för att det verkligen är lätt att komma ihåg kommandona är att
jag ger eleverna ett snittbetyget för derivering (skala 1–5) på 3,9. Dessutom
blir snittbetyget något högre för ekvationslösning, 4,3. Eleverna
Den sista ekvationslösninguppgiften innehöll två moment: 1). Funktionen
f(x) given, derivera f(x). 2). Sätt f’(x)=0 och lös ekvationen. I denna uppgift
kommer alla eleverna utom en ihåg hur man deriverar, men denne hittar
snabbt hur man gör det med hjälp av manualen. Enligt mitt sätt att se så
tyder detta på att det är lätt att komma ihåg kommandona.
Gör eleverna fel vid användandet av CAS-räknarna?
Eftersom det var första gången som eleverna kom i kontakt med CAS-räknare
så är det ofrånkomligt att de gör fel. Som tidigare refererats till i avsnittet
kritiska händelser så var dock felen inte fatala, utan de kunde åtgärda dem
själva. Endast i något enstaka fall gick jag in och hjälpte till. Eleven riskerade
då att köra fast och det som skulle kunna hänt var att de efter en stund själv
löst det hela, eller att de inte löst det varvid hela observationen med övriga
frågor inte kunnat genomföras (jag hade 60 minuter inspelningsbar tid).
Resultat från elevernas möte med CAS-räknarna
Ett annat mått som Nielsen (1993) tar upp som subjektivt förnöjsamhetsmått är att helt enkelt fråga eleverna vad de tyckte om användandet av
CAS-räknarna. Alla eleverna var entusiastiska över att få ha prövat CASräknare. En del gillade den ena mer än den andra, andra tyckte att båda
var lika bra. Samtliga tyckte att det var en behaglig upplevelse och de blev
förvånade när jag sa att de ﬁck använda dessa i skolan och rentav på de
nationella proven. Det var många glada utrop i form av spontana ”wow”, ”oj,
går det att göra så här!?” under observationen.
Elevernas betyg över hur de tyckte att det gick var 3,9. När det gällde hur
de tyckte att det gick att använda CAS-räknarna så blev snittbetyget (över
22
alla 11 elever och två CAS-räknare) 4,2. De tyckte således att det var mer
roligt med räknarna.
4.5
Sammanfattning medelvärden
Det är ganska många olika nyckeltal – medelvärden som presenterats och
dessa sammanfattas i nedanstående tabell. De rubriker som ﬁnns är Elever
före respektive Elever efter observation, min skattning Matti. Dessutom tittar
jag på delområdena
Tabell 3: Elevernas och Mattis skattningar
Medelbetyg
Självskattning
1.Derivering
2.Ekvationslösning
3.Hur tyckte du det
gick överhuvudtaget
4.Hur tyckte du det
gick med CAS-räknarna
23
Före
4,0
4,4
Efter
4,3
4,4
Matti
3,9
4,3
-
3,9
-
-
4,2
-
5
Diskussion
I detta diskussionskapitel presenterar diskuterar jag i tur och ordning mina
egna forskningsresultat, kopplingen till tidigare forskning varefter jag kommenterar det hela.
5.1
Egna forskningsresultat
Kritiska händelser
När det gäller de fem deriveringsuppgifterna så är det två typer av fel som
uppkonmmer, dels de där eleven oavsiktligt matar in ett uttryck med för
CAS-räknaren fel syntax (ett parantestecken för lite), dels sådana där den
ena räknaren tillåter att man inte behöver ha gångertecken mellan exempelvis
2x·cos(x). Det fanns även en elev som kom på att dra-och-släppa med pennan
när denne använde Casion.
När det gäller ekvationslösningen så gick det ännu bättre, det ﬂöt på
riktigt bra. Det som kan sägas är att eleverna under första omgången (första
räknaren) var nybörjare, men redan när de använde den andra räknaren
så var de, trots att de inte använt den tidigare, redan en bra bit upp på
inlärningskurvan.
Svar på de 2 forskningsfrågorna
För att kunna svara på de två övergripande förskningsfrågorna svarar jag
först på de fem frågorna enligt Nielsens teori. Jag redovisar dem nedan en
och en och redogör också i direkt anslutning det jag kommit fram till.
1. Är CAS-räknaren lätt att använda? Svar: Det kvantitativa resultatet
enligt tabell för tiden det tar att derivera, tabell 1, och motsvarande
för att lösa ekvationerna med de två olika räknarna visar att inlärning
sker eftersom samma moment utförs snabbare andra gången.
2. Är CAS-räknaren eﬀektiv att använda? Svar: Detta mått är lite svårare att bestämma eftersom det deﬁnieras som tiden när expertens inlärningskurva börjar plana ut.
3. Är det lätt att komma ihåg kommandona? Svar: Ja, det anser jag
eftersom eleverna efter att endast ha tittat i de mycket kortfattade
instruktionerna kom i gång med att lösa uppgifter av varierande svårtighetsgrad autonomt. Även de värden som jag kommit fram till när
jag observerade eleverna (både derivering och ekvationslösning) tyder
på detta då de var 3,9 respektive 4,3 enligt mig.
24
4. Gör eleverna fel vid användandet av CAS-räknarna? Svar: Eleverna
gör förvisso fel, men med tanke på att detta är den första timmen i
deras liv som de ägnar sig åt CAS-räknare så gör de förvånansvärt få.
Och dessa är inte av kritisk art.
5. Vad tycker eleverna om mötet med CAS-räknarna, är de nöjda med
upplevelsen? Svar: Ja, alla 11 var positivt inställda till den upplevelse
de fått i och med att de ”fått” laborera med det i dag vassaste i CASräknarväg under en timme. Flera ville ha en egen CAS-räknare.
När nu svaren enligt Nielsens metodik är redovisade så blir svaren på
forskningsfrågorna:
A. Hur klarar gymnasister, på Naturvetarprogrammets sista år, av att lära
sig moderna CAS-räknare? Svar: Enligt punkterna 1–4 enligt Nielsen
så kan man säga att de undersökta eleverna klarar av räknarna mycket
bra, oberoende av vilken modell de använde.
B. Vad tycker eleverna om att använda CAS-räknare? Svar: Enligt svaret
på Nielsens fråga 5 ovan så tyckte de att det var en behaglig upplevelse
och ﬂera ville ha en sådan själv.
5.2
Koppling till tidigare forskning
CAS-räknare i gymnasiet
Som man ser i teoridelen när det handlar om CAS-räknare så kan man visst
säga att det fortfarande ﬁnns argument för och emot. Argumentet att CASräknare är dyra, ca 500–1000 kr dyrare än en grafräknare, är givetvis en
aspekt värd att notera. Vilka är det som skall bestämma om klassen skall ha
en räknare? Är det Skolverket, rektorn, läraren eller eleven med pengar?
CAS-räknare – Instrument och instrumentalisation
Enligt de deﬁnitioner som är gjorda i kapitel 2.2 så kan man konstatera att
en CAS-räknare är både en artefakt och ett verktyg, jämför Artigue (2002).
När sedan eleven använder CAS-räknaren för första gången så sker det
som syns i ﬁgur 3, nämligen enligt en instrumentalisering, Trouche (2004).
Detta innebär att eleven lär sig verktyget och vandrar succesivt längre till
höger och därmed också uppåt på kurvan (för nybörjare). Hastigheten med
vilken denna inlärning sker är ett mått på inlärningen, se kapitel 4.4.
När ﬁlmerna studeras så kan man se att eleverna blir mer och mer familjära med användargränssnitten ju längre tiden går.
25
CAS-räknare – Black Box - White Box?
Eleverna har höga betyg och de kan både derivera och lösa ekvationer eftersom de har höga betyg i kurserna matematik A - C. Under ﬁlmningen
så frågade jag om svaren verkade ”rimliga” och ﬁck oftast en frågande blick.
Eleverna har två olika synsätt på CAS-räknarna:
• De ser räknaren som en svart låda hela tiden. De reﬂekterar inte över
vad som händer - de bara utför kommandona.
• Ett fåtal, 2-3 elever, resonerar om svaren de får är rimliga. Dessa ser
troligen räknaren som en White-Box eftersom de kan syna resultaten.
5.3
Kommentarer
Som det verkar är inte i alla fall dagens avancerade CAS-räknares användbarhet hinder för att införa dem i skolan. Detta arbete har varit givande att
göra av ﬂera skäl; dels så har jag fått jobba med den senaste tekniken i form
av CAS-räknare, dels så har jag fått en inblick i hur det är att jobba med
två saker samtidigt - mina studier till lärare på halvfart parallellt med detta
examensarbete på halvfart.
Jag tycker att lärarutbildningarna i landet ska ta upp och undervisa de
blivande matematik, fysik, kemi och tekniklärarna i hur man använder miniräknare och CAS-räknare eﬀektivt i gymnasieutbildningen. Det må vara så
att eleverna (i gymnasiet) har stor nytta av datorer i sin utbildning, men det
är oftast bara en graf- eller CAS-räknare de får ha på proven.
Det som ﬂera elever uttryckte var en stor lättnad över att det gick så
lätt att derivera och lösa ekvationer med en CAS-räknare kan vara både till
fördel men även till nackdel för eleven, jämför med resonemang i teorikapitlet.
Min personliga åsikt är att eleverna inte skulle få använda CAS-räknaren på
proven förrän de lärt sig ”hantverket” för hand.
Jag tror att det ﬁnns mycket stora möjligheter till utveckling av både
metoder för utlärning men även metoder för inlärning både för lärare och
elever. Dagens elever på gymnasiet är per deﬁnition uppvuxna med datorn
på ett helt annat sätt än deras lärare (även om dessa nyligen har blivit lärare),
varför de har en helt annan fallenhet för det datoriserade.
Ett annat sätt att se på kommentarerna från motståndarna mot CASräknare är att de inte gärna släpper kontrollen över såpass avancerade hjälpmedel som dessa.
26
5.4
Förslag till fortsatt forskning
Följande tre saker är värda att forska vidare kring:
1. Är verkligen CAS-räknaren bättre/sämre än en vanlig grafräknare när
det kommer till att lära elever matematiska begrepp på gymnasiet?
2. Kan det ﬁnnas andra ännu mer moderna sätt att ta till tekniska hjälpmedel i matematikundervisningen?
3. Skall man överhuvudtaget ha hjälpmedel i gymnasiet då några universitet/högskolor inte tillåter räknare överhuvudtaget i sin undervisning?
27
Referenser
Artigue, Michele. Learning mathematics in a CAS environment: The genesis
of a reﬂection about instrumentation and the dialectics between technical
and conceptual work. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 7:245–274, 2002.
Björk, Lars-Erik och Brolin, Hans. Matematik 3000. Natur och Kultur, 2000.
Cuoco, Al. Thoughts on reading Artigue’s ”Learning mathematics in a CAS
environment”. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 7:293–299, 2002.
Drijvers, Paul. Assessment and new technologies: Diﬀerent policies in diﬀerent countries. The International Journal for Computer Algebra in Mathematics Education, 5(2), 1998.
Drijvers, Paul. Students encountering obstacles using a CAS. International
Journal of Computers for Mathematical Learning, 5:189–209, 2000.
Guin, Dominique och Trouche, Luc. The complex process of converting
tools into mathematical instruments: The case of calculators. International
Journal of Computers for Mathematical Learning, 3:195–227, 1999.
Monaghan, John. Computer algebra, instrumentation and the anthropological approach. International Journal for Technology in Mathematics
Education, 14(2):63–76, 2006.
Nielsen, Jakob. Usability Engineering. Academic Press, 1993.
Persson, Per-Eskil. Handheld calculators as tools for students’ learning of
algebra. Nordic Studies in Mathematics Education, 14(2):49–77, 2009.
Skolverket. Läroplan för de frivilliga skolformerna Lpf 94. Fritzes, 1994.
Skolverket. Kursplan för MA1204 - Matematik D. Skolverket, 2000.
Säljö, Roger. Lärande & kulturella redskap. Om lärprocesser och det kollektiva
minnet. Nordstedts Akademiska Förlag, 2005.
Thunberg, Hans och Lingefjärd, Thomas. Öppet brev till Skolverket: Avancerade räknare - hjälper eller stjälper? Nämnaren, 4, 2006.
28
Trouche, Luc. Managing the complexity of human/machine interactions in
computerized learning environments: Guiding students’ command process
through instrumental orchestrations. International Journal of Computers
for Mathematical Learning, 9:281–307, 2004.
Vetenskapsrådet.
Forskningsetiska principer inom
samhällsvetenskaplig forskning. Elanders Gotab, 2002.
humanistisk-
Wiberg, Charlotte. A Measure of Fun: Extending the scope of web usability.
Doktorsavhandling, Umeå universitet, 2003.
Korrespondens
Lind Pantzare, Anna, Epost-kommunikation våren 2011.
Wiberg, Charlotte, Epost-kommunikation hösten 2010.
29
A
Kortfattad instruktion Casio ClassPad 330
Du kommer att få lösa ett antal uppgifter med miniräknaren Casio ClassPad
330. För att försöka hjälpa dig har jag författat denna korta instruktion. De
tre olika delområdena är:
• Starta räknaren kapitel 1.1 nedan
• Derivering kapitel 1.2 nedan
• Ekvationslösning kapitel 1.3 nedan
Starta räknaren
Rent allmänt kan man säga att denna räknare är en av de mest avancerade
som ﬁnns på marknaden, vilket innebär att det är naturligt om det känns
svårt att komma igång.
Räknaren kontrolleras dels via ett numeriskt tangentbord med några variabler såsom x, y och z, dels via en löstagbar penna som är fastkilad på den
högra delen av räknaren. Notera att skärmen är tryckkänslig.
Räknaren slås på via tangenten märkt ON/OFF. En meny med olika
ikoner kommer fram. Välj den som det står Main.
Derivering
För att komma till ikonerna som hanterar bland annat derivering så skall du
trycka på den avlånga tangenten märkt Keyboard. Därefter trycker du med
d
()
pennan på ﬂiken 2D och till slut på ﬂiken (nederkant) CALC. Ikonen d
är den man använder vid derivering. Tryck på den och mata in ett x i nere
och 2x till höger. Tryck på EXE. Resultatet skall bli 2.
Ekvationslösning
Vi skall lösa ekvationen 2x − 4 = 0. Här kan du gå till huvudmenyn via
Menu och därefter välja Keyboard från tangentbordet. När du fåttt upp
menyerna så välj abc och mata in kommandot för att lösa en ekvation:
solve(2x–4=0, x). Tryck på EXE. Svaret blir {x = 2}.
30
B
Kortfattad instruktion Texas Instruments TINspire CAS
Du kommer att få lösa ett antal uppgifter med miniräknaren Texas Instruments. För att försöka hjälpa dig har jag författat denna korta instruktion.
De tre olika delområdena är:
• Starta räknaren kapitel 1.1 nedan
• Derivering kapitel 1.2 nedan
• Ekvationslösning kapitel 1.3 nedan
Starta räknaren
Rent allmänt kan man säga att denna räknare är en av de mest avancerade
som ﬁnns på marknaden, vilket innebär att det är naturligt om det känns
svårt att komma igång.
(Jag markerar de tangenter du trycker på med fet stil, dvs A betyder
att du skall trycka på tangenten A.) Den slås på genom att trycka på den
vita tangenten [ON] (med ett litet hus) uppe till höger. Du kommer till ett
Grundfönster där du väljer (Scratchpad) A. Nu är du i en miljö där du kan
mata in olika sorters utryck och bland annat derivera och lösa ekvationer.
Derivering
Räknaren har ett tangentbord med bokstäver längst ned (från A till Z) och
ett sätt att derivera är att skriva in kommandot för derivering direkt.
För att derivera exempelvis 2x så skriver man: DERIVATIVE (2x, x).
(Kommat ﬁnns på den vita tangenten längst ner till vänster). Resultatet
borde bli 2. Det första utrycket i parantesen är det man ska derivera, det
andra utrycket, x, säger att vi skall derivera med avseende på x.
Ekvationslösning
Ekvationer löses på ett liknande sätt. Kommandot för att lösa exempelvis
ekvationen 2x - 4 = 0 är: SOLVE (2x - 4 = 0, x). (Likamedtecknet =
ﬁnns direkt under ctrl-knappen i den vänstra kolumnen.) Solve är engelska
för att lösa och x:et efter kommat i parantesen säger att vi ska lösa ekvationen
mot x. Svaret skall bli 2.
31
C
De 10 uppgifterna för observationen
De 10 uppgifterna
Vid observationstillfället så var alla 10 uppgifter på separata A4-ark.
Uppgifter i derivering
Följande uppgifter skulle lösas. Derivera:
D1 f (x) = 2x.
D2 f (x) = x5 − 8x3 + 1.
D3 y = (x2 + 1)8 .
D4 y = (1 + 2x) · (x + x2 ).
D5 y = 2x cos(x) − 2 sin(x).
Uppgifter i ekvationslösning
Följande ekvationser skulle lösas av eleven. Notera att den sista innehåller
först derivering och sedan ekvationslösning. Lös ekvationen:
E1 3x = 6.
E2 x2 − 4 = 0.
E3 x3 − 9x2 − 12x + 20 = 0.
E4 ex + x − 6 = 0.
E5 Funktionen är angiven till f(x) =x3 ln(x). Lös ekvationen f (x) = 0.
32
D
Enkätfrågor före observationer
Ingen del av mina observationer eller anteckningar kommer att ligga till grund
för bedömning av ditt betyg i något ämne. För att kunna behandla observationerna på ett korrekt sätt så kommer jag nu att sälla vissa korta frågor.
Enkäten och observationerna kommer att behandlas konﬁdentiellt och endast
jag och min handledare kommer att ha tillgång till den.
Tabell 4: Enkätfrågor före observation
Dålig
Bra
1 Hurdan är din datorvana?
2 Hurdan är din vana att
använda miniräknare?
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
3 Hurdana är dina kunskaper
i att derivera?
4 Hurdana är dina kunskaper
i att lösa ekvationer?
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
–
G VG MVG
–
G VG MVG
–
G VG MVG
5 Vad hade du för betyg i
matematik A?
6 Vad hade du för betyg i
matematik B?
7 Vad hade du för betyg i
matematik C?
33
E
Enkätfrågor efter observationer
Frågor efter observation
Du har nu genomfört de övningar som är basen i denna observation. Innan
vi talar om det vill jag att du svarar på några korta frågor.
Tabell 5: Enkätfrågor efter observation
Dåligt
1
Hur tyckte du att det gick?
Bra
1
2 3
4
5
Hur gick det att använda
Texas-räknaren?
2b Hur gick det att derivera?
2c Hur gick det att lösa
ekvationer?
1
2 3
4
5
1
1
2 3
2 3
4
4
5
5
3a
1
2 3
4
5
1
1
2 3
2 3
4
4
5
5
2a
Hur gick det att använda
Casio-räknaren?
3b Hur gick det att derivera?
3c Hur gick det att lösa
ekvationer?
Kommentarer:
34
F
Resultat derivering före och efter
Derivering
Jag har valt att sammanställa elevens skattning om derivering före och efter,
samt min egen uppfattning om det hela i en och samma ﬁgur för att få överblick, se ﬁgur 6. Den första stapeln längs till vänster (Derivering före) visar
elevens skattning före gjorda uppgifter. Den andra stapeln, Derivering efter,
visar elevens skattning hur det gick med de två olika räknarna varför resultatet är ett medelvärde. Slutligen visar stapeln, Derivering Matti längst till
höger, min bedömning över hur uppgifterna löstes taget som ett medelvärde
över de två räknarna.
6
5
4
Derivering före
3
Derivering efter
2
Derivering Matti
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Figur 6: Elevernas självskattning om derivata
Snittvärdena för de tre olika kolumnerna blir: elever före 4,0 efter 4,3 och
min skattning 3,9.
35
G
Resultat ekvationslösning före och efter
Ekvationslösning
Jag har valt att sammanställa elevens skattning om sin förmågaa till ekvationslösning före och efter, samt min egen uppfattning om det hela i en och
samma ﬁgur för att få överblick, se ﬁgur 6. Den första stapeln längs till
vänster (Ekvationer före) visar elevens skattning före gjorda uppgifter. Den
andra stapeln, Ekvationer efter, visar elevens skattning hur det gick med de
två olika räknarna varför resultatet är ett medelvärde. Slutligen visar stapeln,
Ekvationer Matti längst till höger, min bedömning över hur uppgifterna löstes
taget som ett medelvärde över de två räknarna.
6
5
4
Ekvationer före
3
Ekvationer efter
2
Ekvationer Matti
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Figur 7: Elevernas självskattning om ekvationer
Medelvärdena – självskattning före ekvationslösning 4,4, efter 4,4 och min
analys 4,3. Här ligger alla tre värden lika.
36