Förändringshastigheter
2.1 Derivator Förändringshastigheter och derivator Exempel 1 4ππ 3 π= 3 π‘ Vi blåser upp en sfärisk ballong. Volymen π beror på radien π ππ ππ Radien π beror på tiden π‘ ππ ππ‘ Volymen π beror på tiden π‘ ππ ππ‘ Förändringshastigheter Exempel 1 Luften pumpas in så att volymen ökar med hastigheten 95 cm3 /s. Hur snabbt ökar ballongens radie då diametern är 38 cm? π‘ β π = 19 4ππ 3 π(π) = 3 4π π π‘ π(π‘) = 3 β ππ = 95 ππ‘ ππ =? ππ‘ 3 ππ ππ ππ ππ ππ ππ = × β = 4ππ 2 × β 95 = 4π × 192 × ππ‘ ππ ππ‘ ππ‘ ππ‘ ππ‘ β 4ππ 3 π= 3 β ππ 95 = ππ‘ 4π × 192 ππ = 0,021 ππ‘ Svar: Då ballongens diameter är 38 cm så ökar radien med hastigheten 0,021 cm/s Exempel 2 π β β=π π‘ I ett glas med konisk form är basytans diameter lika med höjden. Glaset fylls med äppelsoda med hastigheten 3,0 cm³/s. Hur snabbt stiger vätskenivån då vätskedjupet är 5,0 cm? π= ππ 2 β = 5,0 3 β πβ ×β = π= = 2 12 3 Volymen π beror på höjden β Höjden β beror på tiden π‘ Volymen π beror på tiden π‘ ππ =3 ππ‘ πβ =? ππ‘ ππ ππ πβ = × ππ‘ πβ ππ‘ Exempel 2 ππ ππ πβ = × ππ‘ πβ ππ‘ 3πβ2 πβ 3= × 12 ππ‘ π‘ ππ =3 ππ‘ β = 5,0 πβ3 π= 12 πβ =? ππ‘ π × 25 πβ 3= × 4 ππ‘ 12 πβ = 25π ππ‘ πβ = 0,15 ππ‘ Svar: Då vätskedjupet är 5 cm så stiger höjden med 0,15 cm/s. 2163 Låt π vara volymen av en kub med kantlängden π₯. Bestäm ett samband mellan ππ ππ‘ och ππ₯ ππ‘ 2163 Låt π vara volymen av en kub med kantlängden π₯. Bestäm ett samband mellan ππ ππ‘ och ππ₯ ππ‘ 2166 Kantlängden i en kub minskar med hastigheten 10 cm/min π) Hur snabbt minskar kubens volym, då kantlängden är 20 cm? π) Hur snabbt minskar kubens totala begränsningsarea då kantlängden är 20 cm?
© Copyright 2024