Förändringshastigheter

2.1 Derivator
Förändringshastigheter och derivator
Exempel 1
4πœ‹π‘Ÿ 3
𝑉=
3
𝑑
Vi blåser upp en sfärisk ballong.
Volymen 𝑉 beror på radien π‘Ÿ
𝑑𝑉
π‘‘π‘Ÿ
Radien π‘Ÿ beror på tiden 𝑑
π‘‘π‘Ÿ
𝑑𝑑
Volymen 𝑉 beror på tiden 𝑑
𝑑𝑉
𝑑𝑑
Förändringshastigheter
Exempel 1
Luften pumpas in så att volymen ökar med
hastigheten 95 cm3 /s. Hur snabbt ökar
ballongens radie då diametern är 38 cm?
𝑑
β†’ π‘Ÿ = 19
4πœ‹π‘Ÿ 3
𝑉(π‘Ÿ) =
3
4πœ‹ π‘Ÿ 𝑑
𝑉(𝑑) =
3
β†’
𝑑𝑉
= 95
𝑑𝑑
π‘‘π‘Ÿ
=?
𝑑𝑑
3
𝑑𝑉 𝑑𝑉 π‘‘π‘Ÿ
𝑑𝑉
π‘‘π‘Ÿ
π‘‘π‘Ÿ
=
×
↔
= 4πœ‹π‘Ÿ 2 ×
↔ 95 = 4πœ‹ × 192 ×
𝑑𝑑
π‘‘π‘Ÿ 𝑑𝑑
𝑑𝑑
𝑑𝑑
𝑑𝑑
↔
4πœ‹π‘Ÿ 3
𝑉=
3
↔
π‘‘π‘Ÿ
95
=
𝑑𝑑 4πœ‹ × 192
π‘‘π‘Ÿ
= 0,021
𝑑𝑑
Svar: Då ballongens diameter är 38 cm så ökar radien med hastigheten 0,021 cm/s
Exempel 2
𝑑
β„Ž
β„Ž=𝑑
𝑑
I ett glas med konisk form är basytans diameter lika med
höjden. Glaset fylls med äppelsoda med hastigheten 3,0 cm³/s.
Hur snabbt stiger vätskenivån då vätskedjupet är 5,0 cm?
𝑉=
πœ‹π‘Ÿ 2
β„Ž = 5,0
3
β„Ž
πœ‹β„Ž
×β„Ž
= π‘Ÿ=
=
2
12
3
Volymen 𝑉 beror på höjden β„Ž
Höjden β„Ž beror på tiden 𝑑
Volymen 𝑉 beror på tiden 𝑑
𝑑𝑉
=3
𝑑𝑑
π‘‘β„Ž
=?
𝑑𝑑
𝑑𝑉 𝑑𝑉 π‘‘β„Ž
=
×
𝑑𝑑 π‘‘β„Ž 𝑑𝑑
Exempel 2
𝑑𝑉 𝑑𝑉 π‘‘β„Ž
=
×
𝑑𝑑 π‘‘β„Ž 𝑑𝑑
3πœ‹β„Ž2 π‘‘β„Ž
3=
×
12
𝑑𝑑
𝑑
𝑑𝑉
=3
𝑑𝑑
β„Ž = 5,0
πœ‹β„Ž3
𝑉=
12
π‘‘β„Ž
=?
𝑑𝑑
πœ‹ × 25 π‘‘β„Ž
3=
×
4
𝑑𝑑
12
π‘‘β„Ž
=
25πœ‹ 𝑑𝑑
π‘‘β„Ž
= 0,15
𝑑𝑑
Svar: Då vätskedjupet är 5 cm så stiger höjden med 0,15 cm/s.
2163
Låt 𝑉 vara volymen av en kub med kantlängden π‘₯.
Bestäm ett samband mellan
𝑑𝑉
𝑑𝑑
och
𝑑π‘₯
𝑑𝑑
2163
Låt 𝑉 vara volymen av en kub med kantlängden π‘₯.
Bestäm ett samband mellan
𝑑𝑉
𝑑𝑑
och
𝑑π‘₯
𝑑𝑑
2166
Kantlängden i en kub minskar med hastigheten 10 cm/min
π‘Ž) Hur snabbt minskar kubens volym, då kantlängden är 20 cm?
𝑏) Hur snabbt minskar kubens totala begränsningsarea då kantlängden är 20 cm?