1. No category

AB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler.
Differentialekvationer
Laplacetransformen som an analytisk funktion
SATS 1
Om Laplaceintegralen
F (s) = L (f ) =
Z ∞
e−st f (t)dt
0
¨r konvergent f¨or s = s0 , s˚
a
a konvergerar den f¨or alla s i halvplanet Re s >Re s0 (och f¨or alla
reela s > s0 ) och F (s) a¨r i detta halvplan en regulj¨
ar analytisk funktion, dvs en funktion som har
derivator av godtyckligt h¨og ordning. Derivatorna f˚
as genom derivering under integraltecknet
och allm¨
ant
Z ∞
d
e−st (−t)f (t)dt
F (s) =
ds
0
(1)
Z ∞
dn
F (s) =
e−st (−t)n f (t)dt
n
ds
0
(2)
Vi kan multipliciera b˚
ada leden i (2) med (−1)n och f˚
ar d˚
a
L (tn f (t)) = (−1)n
dn
F (s) (n = 1, 2, . . .).
dsn
(3)
F¨or den speciella funktionen f (t) = 1 ¨ar
F (s) = L (f ) =
Z ∞
e−st dt = s−1
0
vilket ger
L (tn ) = (−1)n
dn −1
s = (−1)n (−1)(−2) . . . (−n)s−n−1 = n!s−n−1
dsn
och allts˚
a
L (tn ) =
n!
sn+1
(n = 0, 1, 2, . . .).
(n = 0, 1, 2, . . .)
(4)
(5)
T ex
1
2
6
, L (t2 ) = 3 , L (t3 ) = 4 .
(6)
2
s
s
s
En funktion f (t) ¨ar av exponentiell ordning k om det existerar positiva konstanter k och M
sadana att f¨or n˚
agot T olikheten
L (t) =
|f (t)| ≤ M ekt ,
t≥T
(7)
g¨aller.
Exponentialfunktionen ect ¨ar en funktion av exponentiell ordning k = c (eftersom ect ≤
ct
e , t ≥ 0). sin t och cos t ¨ar funktioner av exponentiell ordning k = 0 (eftersom t ex | sin t| ≤
e0·t = 1).
SATS 2
L˚
at f (t) vara en styckvis kontinuerlig funktion i intervallet t ≥ 0 (dvs med m¨ojligt undantag f¨or
isolerade punkter.) Antag att f (t) ¨
ar en funktion av exponentiell ordning k, s˚
a existerar dess
Laplacetransformen for alla komplexa s sadana att Re s > k (och f¨
or alla reela s > k).
Bevis.R Betrakta reela s. f (t) har en Laplacetransform eftersom enligt (7) motsvarande integralen 0∞ e−st f (t)dt ¨ar konvergent:
Z ∞
0
|e
−st
f (t)|dt ≤
Z ∞
0
−st
e
|f (t)|dt ≤
Z ∞
e
−st
kt
M e dt = M
0
Z ∞
e(k−s)t dt =
0
M
s−k
(s > k).
SATS 5.2.1
L˚
at f (t) vara en styckvis kontinuerlig funktion i intervallet t ≥ 0 och en funktion av exponentiell
ordning k (dvs satisfierar villkoret
|f (t)| ≤ M ekt
(t ≥ T ),
(8)
d¨
ar k och M ¨ar vissa positiva konstanter,) och derivatan f 0 (t) en styckvis kontinuerlig funktion
i intervallet t ≥ 0. D˚
a existerar Laplacetransformen av derivatan f 0 (t) om s > k och
L (f 0 ) = sL (f ) − f (0),
s > k.
(9)
Bevis. Antag att derivatan f 0 (t) ¨ar en kontinuerlig funktion i intervallet t ≥ 0. D˚
a , enligt
definitionen av Laplacetransform, kan man v¨alja s s˚
a stor att integralen
Z ∞
e−st f 0 (t)dt
0
¨ar konvergent och
lim e−st f (t) = 0.
t→∞
L¨agg m¨arke till att f (t) har en Laplacetransform (se SATS 2). Genom att anv¨anda definitionen
av Laplacetransform och partiell integration, f˚
ar vi
0
L (f ) =
Z ∞
0
e
−st 0
−st
f (t)dt == e
∞
f (t)
0
+s
Z ∞
0
e−st f (t)dt = 0 − f (0) + sL (f ), s > k.
Best¨am Laplacetransformen av derivatan av andra ordningen
L (f 00 ) = sL (f 0 ) − f 0 (0) = s[sL (f ) − f (0)] − f 0 (0) = s2 L (f ) − sf (0) − f 0 (0).
(10)
Vidare,
L (f 000 ) = s3 L (f ) − s2 f (0) − sf 0 (0) − f 00 (0).
Genom induktion (och upprepad anv¨andning av (9)), f˚
ar vi Laplacetransformer av deriva(n)
torna f av en godtycklig ordning n = 1, 2, . . .
L (f (n) ) = sn L (f ) − sn−1 f (0) − sn−2 f 0 (0) − . . . − sf (n−2) (0) − f (n−1) (0).
(11)
EXEMPEL 1 Laplacetransformen av f (t) = t2
L˚
at f (t) = t2 , t ≥ 0. Best¨am F (s).
L¨
osning. Vi har
f 0 (t) = 2t,
f 00 (t) = 2,
d˚
a
f (0) = 0,
f 0 (0) = 0,
f 00 (0) = 2.
och Laplacetransformen ¨ar
2
= s2 L (f ),
s
Betrakta den sista likheten i (12)) som en ekvation och best¨am Laplacetransformen L
L (f 00 ) = L (2) =
L (t2 ) =
2
.
s3
EXEMPEL 2 Laplacetransformen av cos ωt
Best¨am Laplacetransformen av f (t) = cos ωt.
L¨
osning. Vi har
f 00 (t) = −ω 2 cos ωt = −ω 2 f (t),
och
f (0) = 1,
f 0 (0) = 0.
(10) ger
L (f 00 ) = −ω 2 L (f ) = s2 L (f ) − sf (0) − f 0 (0) = s2 L (f ) − s.
Betrakta den sista likheten som en ekvation och best¨am Laplacetransformen L
L (f ) =
s2
s
.
+ ω2
EXEMPEL 2’ Laplacetransformen av sin ωt
Best¨am Laplacetransformen av f (t) = sin ωt.
L¨
osning. Vi har
f 0 (t) = ω cos ωt,
f 00 (t) = −ω 2 sin ωt = −ω 2 f (t).
Ber¨akna derivator i punkten t = 0
f (0) = 0,
f 0 (0) = ω.
D˚
a ger (10)
L (f 00 ) = −ω 2 L (f ) = s2 L (f ) − sf (0) − f 0 (0) = s2 L (f ) − ω.
Betrakta den sista likheten som en ekvation och best¨am Laplacetransformen L
L (f ) =
s2
ω
.
+ ω2
(12)
EXEMPEL 3
Best¨am Laplacetransformen av f (t) = sin2 t.
L¨
osning. Vi har
f 0 (t) = 2 sin t cos t = sin 2t,
f 00 (t) = 2 cos 2t.
Ber¨akna derivator i punkten t = 0
f 0 (0) = 0,
f (0) = 0,
f 00 (0) = 2.
D˚
a ger (10)
2s
= s2 L (f ) − sf (0) − f 0 (0) = s2 L (f ).
2
s +4
L (f 00 ) = 2L (cos 2t) =
Betrakta likheten
2s
= s2 L (f )
+4
som en ekvation och best¨am Laplacetransformen L
s2
L (sin2 t) =
2
.
+ 4)
s(s2
EXEMPEL 4
Best¨am Laplacetransformen av f (t) = t sin ωt.
L¨
osning. Vi har f (0) = 0 och
f 0 (t) = sin ωt + ωt cos ωt,
f 0 (0) = 0.
Ber¨akna derivatan av andra ordningen
f 00 (t) = 2ω cos ωt − ω 2 t sin ωt = 2ω cos ωt − ω 2 f (t),
Enligt (10)
L (f 00 ) = 2ωL (cos ωt) − ω 2 L (f ) = s2 L (f ) − sf (0) − f 0 (0) = s2 L (f ).
Betrakta likheten
s
− ω 2 L (f ) = s2 L (f )
2
+ω
som en ekvation och best¨am Laplacetransformen L
2ω
s2
L (f ) = L (t sin ωt) =
(s2
2ωs
.
+ ω 2 )2
Differentialekvationer. Begynnelsev¨
ardesproblem
Grundl¨
aggande begrepp
Den enklaste formen f¨or en differentialekvation av f¨orsta ordningen ¨ar
y 0 = h(x).
(13)
En s˚
adan ekvation kan l¨osas direkt. Om
H(x) =
Z
h(x)dx [H 0 (x) = h(x)]
¨ar en primitiv funktion till h(x) s˚
a ¨ar ju
y(x) = H(x) + C
den alm¨anna l¨osningen till (13). Konstanten C best¨ams av n˚
agot begynnelsevillkor.
En linj¨ar differentialekvation av f¨orsta ordningen ¨ar
D(y) ≡ y 0 + g(x)y = h(x).
(14)
H¨ar ¨ar g och h givna kontinuerliga funktioner i ett ¨oppet intervall p˚
a reela axeln x. D kallas
en linj¨
ar differentialoperator (av f¨orsta ordningen) eftersom
D(y1 + y2 ) = (y1 + y2 )0 + g(x)(y1 + y2 ) = y10 + y20 + g(x)y1 + g(x)y2 = D(y1 ) + D(y2 ),
D(αy) = (αy)0 + g(x)(αy) = αy 0 + αg(x)y = αD(y)
och
D(αy1 + βy2 ) = αL(y1 ) + βL(y2 ).
(15)
Om y1 och y2 l¨oser de tv˚
a ekvationerna
D(y) = h1 (x)
respektive
D(y) = h2 (x)
s˚
a l¨oser y1 + y2 ekvationen
D(y) = h1 (x) + h2 (x)
och αy1 l¨oser ekvationen
D(y) = αh1 (x).
Detta kallas superpositionprincipen.
En differentialekvation av f¨orsta ordningen s¨ages vara separabel eller ha separabla variabler
om den kan skrivas p˚
a formen
g(y)y 0 = h(x).
En s˚
adan ekvation kan l¨osas direkt. Betrakta t ex begynnelsev¨
ardesproblemet
(
√
dy
= −k y, y = y(t), t > 0,
dt
y(0) = h,
(16)
Differentialekvationen kan skrivas som
1 dy
= −k
√
y dt
(y > 0).
(17)
Den har separabla variabler. Vi har
d √
1
(2 y) = √ :
dy
y
d q
1 dy
(2 y(t)) = √
,
dt
y dt
(18)
vilket betyder att differentialekvationen kan skrivas som
d √
(2 y) = −k
dt
Detta ¨ar ekvivalent med
√
2 y=
(19)
Z
(−k)dt = −kt + C.
√
Begynnelsev¨ardet y(0) = h ger att C = 2 h och allts˚
a
√
y=
√
−k
t+ h
2
(20)
I detta fall kan vi enkla l¨osa y genom kvadrering:
y=
!2
√
−k
t+ h
2
.
(21)
En linj¨ar differentialekvation av andra ordningen ¨ar
M (y) ≡ y 00 + a(x)y 0 + b(x)y = h(x).
(22)
H¨ar ¨ar a, b och h givna kontinuerliga funktioner. M kallas en linj¨ar differentialoperator (av
andra ordningen) eftersom M satisfierar (15).
Ekvationen
y 00 + a(x)y 0 + b(x)y = 0
(23)
kallas den till (22) h¨orande homogena ekvationen. (22) kallas inhomogena ekvationen
L˚
at yp vara en given l¨osning till (22). D˚
a ¨ar funktionen y l¨osning till (22) om och endast
om y ¨ar av formen
y = yh + yp ,
d¨ar funktionen yh ¨ar en l¨osning till motsvarande homogena ekvationen (23). L¨osningen yp kallas
en partikul¨
ar l¨osning.
Betrakta ekvationen
y 00 + ay 0 + by = 0
(24)
med konstanta (komplexa) koefficienterna a och b. L¨osningen till homogena ekvationen (24) ¨ar
av formen
y = C1 er1 x + C2 er2 x ,
r1 6= r2 ,
(25)
eller
y = (C1 + C2 x)erx ,
r1 = r2 = r,
(26)
d¨ar r1 och r2 ¨ar nollst¨allena till motsvarande karakteristiska polynomet
r2 + ar + b.
(27)
y 00 − 4y 0 + 3y = 0
(28)
r2 − 4r + 3
(29)
Exempel
Ekvationen
har karakteristiska polynomet
med nollst¨allena r1 = 1 och r2 = 3. Den fullst¨andiga l¨osningen till homogena ekvationen (28)
¨ar
y = C1 ex + C2 e3x .
(30)
y 00 + y = 0
(31)
r2 + 1
(32)
Ekvationen
har karakteristiska polynomet
med komplexa nollst¨allena r1 = i och r2 = −i. Den fullst¨andiga l¨osningen till (31) ¨ar
y = C1 eix + C2 e−ix = C1 cos x + iC1 sin x + C2 cos x − iC2 sin x = C˜1 cos x + C˜2 sin x.
(33)
Randv¨ardesproblemet f¨or linj¨ara differentialekvationen av andra ordningen y 00 + ay 0 + by =
r(t) skrivas som
y 00 + ay 0 + by = r(t),
y(0) = K0 ,
y 0 (0) = K1
(a, b = const).
(34)
d¨ar a, b, K0 och K1 ¨ar givna tal och r(t) ¨ar en given kontinuerlig funktion (indata).
L¨os (34) med h¨ajlp av Laplaces metod.
Steg 1. S¨att
Y = L (y), R = L (r)
Laplacetransformationen av b˚
ada leden i (34) ger
L (y 00 ) + aL (y 0 ) + bL (y) = R,
som skrivas
[s2 Y − sy(0) − y 0 (0)] + a[sY − y(0)] + bY = R.
(35)
(35) kallas sidoekvationen (subsidiary equation) och reduceras till
(s2 + as + b)Y = (s + a)y(0) + y 0 (0) + R(s).
Steg 2. Definiera transferfunktionen
Q = Q(s) =
s2
1
+ as + b
(36)
och l¨os sidoekvationen
Y (s) = [(s + a)y(0) + y 0 (0)]Q(s) + R(s)Q(s).
(37)
Om y(0) = y 0 (0) = 0, d˚
a f˚
ar vi Y = RQ och Q ¨ar kvot av tv˚
a polynom (en rationell funktion)
Q=
Y
L(output)
=
R
L(input)
Steg 3. Best¨am
y(t) = L−1 (Y )
med h¨ajlp av inverstransformationen, partialbr˚
aksuppdelning i (37) och handp˚
al¨aggningsmetoden.
EXEMPEL 5
L¨os begynnelsev¨ardesproblemet
y 00 − y = t,
y(0) = 1,
y 0 (0) = 1.
L¨
osning.
Enligt (34) ¨ar indata
a = 0,
b = −1,
r(t) = t,
K0 = K1 = 1.
Vi l¨oser begynnelsev¨ardesproblemet (38) med h¨ajlp av Laplaces metod.
Steg 1. S¨att
1
Y = L (y), R = L (r) = L (t) = 2 .
s
00
Laplacetransformationen av b˚
ada leden i ekvationen y − y = t ger
L (y 00 ) − L (y) = R;
den sidoekvationen
[s2 Y − sy(0) − y 0 (0)] − Y =
eller
(s2 − 1)Y = s + 1 +
1
.
s2
Steg 2. Definiera transferfunktionen
Q = Q(s) =
s2
1
−1
1
,
s2
(38)
och l¨os sidoekvationen
1
s+1
1
1
1
1
Q(s) = 2
+ 2 2
=
+ 2
− 2.
2
s
s − 1 s (s − 1)
s−1 s −1 s
Y (s) = [s + 1]Q(s) +
Steg 3. Best¨am l¨osningen till begynnelsev¨ardesproblemet (38)
−1
y(t) = L
−1
(Y ) = L
1
1
1
+ L−1 2
− L−1 2 = et + sinh t − t.
s−1
s −1
s
Laplacetransformation av integral
SATS 5.2.2
L˚
at F (s) vara Laplacetransformen av f (t). Om f (t) ¨
ar en styckvis kontinuerlig funktion i
intervallet t ≥ 0 och satisfierar villkoret
|f (t)| ≤ M ekt
(t ≥ 0),
d¨
ar k och M ¨ar positiva tal, d˚
a
L
Z t
f (τ )dτ
0
eller
Z t
1
= F (s) (s > 0, s > k),
s
1
F (s) .
s
0
Bevis. Om f (t) ¨ar en styckvis kontinuerlig funktion s˚
adan att
f (τ )dτ = L−1
|f (t)| ≤ M ekt
(t ≥ 0),
(39)
d¨ar k > 0 och M > 0, d˚
a ¨ar integralen
g(t) =
Z t
f (τ )dτ
0
en kontinuerlig funktion som satisfierar
|g(t)| ≤
Z t
0
|f (τ )|dτ ≤ M
Z t
ekτ dτ =
0
M kt
M kt
(e − 1) ≤
e
k
k
(k > 0),
dvs (37) g¨aller f¨or g(t). Vi har g 0 (t) = f (t); d˚
a ¨ar g 0 (t) en styckvis kontinuerlig funktion i
intervallet t ≥ 0. Vi f˚
ar Laplacetransformen
L [f (t)] = L [g 0 (t)] = sL (g) − g(0)
(s > k)
och
F (s) = L (f ) = sL (g)
eftersom i (40), g(0) = 0. Laplacetransformen av integralen kan d¨arf¨or skrivas
L (g) = L
Z t
0
f (τ )dτ
1
= F (s).
s
(40)
EXEMPEL 7
L˚
at
L (f ) =
s(s2
1
.
+ ω2)
Best¨am f (t).
L¨
osning. Inverstransformationen ger
L
och
L
−1
"
−1
1
1
= sin ωt
2
2
s +ω
ω
#
1
1Zt
1 Zt
=
sin
ωτ
dτ
=
(1 − cos ωt).
s(s2 + ω 2 )
ω 0
ω2 0
PROBLEM 5.2.1
L¨os begynnelsev¨ardesproblemet
y 0 + 3y = 10 sin t,
y(0) = 0.
(41)
L¨
osning. Vi ska l¨osa begynnelsev¨ardesproblemet (41) med h¨ajlp av Laplaces metod.
Steg 1. Skriv
10
Y = L (y), R = L (10 sin t) = 2
s +1
0
och Laplacetransformera y + 3y = 10 sin t
L (y 0 ) + 3L (y) =
10
s2 + 1
Skriv motsvarande sidoekvationen
[sY − y(0)] + 3Y =
10
.
+1
s2
Begynnelsevillkoret y(0) = 0 i (41) ger
(s + 3)Y =
10
.
+1
s2
Steg 2. L¨os sidoekvationen med h¨ajlp av transferfunktionen
Q = Q(s) =
1
.
s+3
Vi f˚
ar
10
10
1
A
Bs + C
Q(s) = 2
=
+ 2
.
+1
s +1s+3
s+3
s +1
Anv¨and handp˚
al¨aggningsmetoden f¨or att best¨amma talen A, B och C
Y (s) =
s2
10 = A(s2 + 1) + (Bs + C)s + 3,
A = 1,
B = −1,
C = 3.
Steg 3. Best¨am l¨osningen till begynnelsev¨ardesproblemet (41)
y(t) = L−1 (Y ) = L−1
s
1
1
− L−1 2
+ 3L−1 2
= e−3t − cos t + 3 sin t.
s+3
s +1
s +1
PROBLEM 5.2.5
L¨os begynnelsev¨ardesproblemet
y 00 + ay 0 − 2a2 y = 0,
y(0) = 6,
y 0 (0) = 0
(a = const).
(42)
L¨
osning. Vi ska l¨osa begynnelsev¨ardesproblemet (42) med h¨ajlp av Laplaces metod. I (42),
¨ar indata
b = −2a2 , r(t) = 0, K0 = 6, K1 = 0.
Steg 1. S¨att
Y = L (y),
R = L (r) = 0
och Laplacetransformera y 00 + ay 0 − 2a2 y = 0
L (y 00 ) + aL (y 0 ) − 2a2 L (y) = 0.
Skriv motsvarande sidoekvationen
[s2 Y − sy(0) − y 0 (0)] + a[sY − y(0)] − 2a2 Y = 0.
Begynnelsevillkoren y(0) = 6 och y 0 (0) = 0 i (42) ger
(s2 + as − 2a2 )Y = 6(s + a).
Steg 2. L¨os sidoekvationen med h¨ajlp av transferfunktionen
Q = Q(s) =
1
.
s2 + as − 2a2
Vi f˚
ar
s+a
+ as − 2a2
Steg 3. Best¨am l¨osningen till begynnelsev¨ardesproblemet (41)
Y (s) = 6(s + a)Q(s) = 6
s2
s
a
+6 2
=
2
+ as − 2a
s + as − 2a2
s
a
6
+6
=
2
2
2
2
(s + a/2) − (a/2) − 2a
(s + a/2) − (a/2)2 − 2a2
s
a
6
+6
=
2
2
2
(s + a/2) − (3a/2)
(s + a/2) − (3a/2)2
y(t) = L−1 (Y ) = 6
s2
6e−(a/2)t cosh (3a/2)t + 4e−(a/2)t sinh (3a/2)t = 2e−2at + 4eat .
PROBLEM 5.2.11
Best¨am Laplacetransformen
F (s) = L (cos2 t).
L¨
osning. S¨att
f = cos2 t = 1 − sin2 t.
Vidare,
f (0) = 1,
f 0 = −2 cos t sin t = −2 sin 2t.
Laplacetransformera − sin 2t
L (− sin 2t) = −
s2
2
= sL (f ) − 1.
+4
(43)
Betrakta den sista likheten i (43)) som en ekvation och best¨am Laplacetransformen L av cos2 t
1
2
1
L (f ) =
1− 2
=
s
s +4
s
!
s2 + 2
.
s2 + 4
PROBLEM 5.2.12a
Best¨am Laplacetransformen av f (t) = t cos ωt.
L¨
osning. Eftersom f (0) = 0, f˚
ar vi
f 0 (t) = cos ωt − ωt sin ωt,
f 0 (0) = 1;
f 00 (t) = −2ω sin ωt − ω 2 t cos ωt = −2ω sin ωt − ω 2 f (t),
och
L (f 00 ) = −2ωL (sin ωt) − ω 2 L (f ) = s2 L (f ) − sf (0) − f 0 (0) = s2 L (f ) − 1.
Betrakta likheten
2ω 2
− ω 2 L (f ) = s2 L (f ) − 1
s2 + ω 2
som en ekvation och best¨am Laplacetransformen L av f (t)
−
L (f ) = L (t cos ωt) =
s2 − ω 2
.
(s2 + ω 2 )2
PROBLEM 5.2.12b
Visa att
−1
L
!
1
2
(s + ω 2 )2
=
1
(sin ωt − ωt cos ωt).
2ω 3
L¨
osning. Vi har
ω(s2 − ω 2 )
,
(s2 + ω 2 )2
ω
L (sin ωt) = 2
,
s + ω2
−L (ωt cos ωt) = −
och
ω(s2 − ω 2 )
2ω 3
ω
−
=
.
s2 + ω 2
(s2 + ω 2 )2
(s2 + ω 2 )2
L (sin ωt − ωt cos ωt) =
PROBLEM 5.2.13
Best¨am originalfunktionen f (t) till Laplacetransformen
F (s) = L (f ) =
s2
1
.
+ 4s
L¨
osning. Vi har
1 1
1
= L (e−4t ).
ss+4
s
F (s) =
Laplacetransformen av integral ¨ar
L
Z t
e
0
och
f (t) =
−4τ
Z t
0
dτ
1
= L (e−4t ),
s
1
e−4τ dτ = (1 − e−4t ).
4