Matematik 3c Samband och förändring
Samband och förändring. Centralt innehåll. Koppling mellan mål/förmåga och kunskapskrav. delområden i matematik 3c Konkreta förslag inom 1. Orientering kring kontinuerlig och diskret funktion samt begreppet gränsvärde. Betyg E: Begrepp: K1 Definitionsmängd, värdemängd. Kontinuitet, diskontinuitet. Polynomfunktioner. Rationella funktioner Procedur: K1 β x -> x0, x tillräckligt nära x0 Problemlösning: K1 β Modell: K2 Betyg C: Begrepp: K1 β Gränsvärde x ->x0, värdetabell Procedur: K1 - π π₯ + β β π(π₯) !β! β lim Problemlösning: K1 β Modell: K2 Betyg A: Begrepp: K1 β Gränsvärde x ->x0 , Procedur: K1 β lim!β!! π(π₯), vertikal asymptot π π₯ β π(π₯ β β) !β! β lim π π₯ + β β π(π₯ β β) !β! 2β lim Problemlösning: K1 Modell: K2 2. Egenskaper hos polynomfunktioner av högre grad. Betyg E: Begrepp: K1 β 3-grads polynomfunktioner: f(x) = x3 + ax2 + bx + c Procedur: K1 β Betyg C: Begrepp: K1 β 4:e grads polynomfunktion: (x) = x4 +bx3 + cx2 + cx + d Procedur: K1 β Betyg A: Begrepp: K1 β Polynomfunktion med gradtal > 4: Procedur: K1 β 3. Begreppen sekant, tangent ändringskvot och derivate för en function. Betyg E: Begrepp: K1 β Begreppet lutning för en rät linje β sekant. Lutning för godtycklig kurva f(x) β tangent. Geometrisk tolkning av derivata. Symbolen fβ(x) Procedur: K1 β Beräkning av k-värde och !! !! Problemlösning/Modell: K2 Betyg C: Begrepp: K1 !! !! Låt Ξπ₯ β 0 Procedur: K1 β Algebraisk tolkning av derivata: fβ(x) = lim!β! ! !!! !!(!) ! Problemlösning/Modell: K2 Betyg A: Begrepp: K1 β !" Df(x), !" Procedur: K1 β fβ(x) = lim!β! ! !!! !!(!!!) !" Problemlösning/Modell: K2 Newton-Raphsons metod. 4. Härledning och användning av deriveringsregler för potens- och exponentialfunktioner samt summor av funktioner. Betyg E: Begrepp: K1 β f(x) = x2 => fβ(x) = 2x f(x) = π ! β fβ(x) = π ! Procedur: K1 β fβ(x) = lim!β! ! !!! !!(!) ! för f(x) = x2 Problemlösning/Modell: K2 Betyg C: Begrepp: K1 β F(x) = x3 => fβ(x) = 3*x2 f(x) = π !" β fβ(x) = k*π !" Procedur: K1 β fβ(x) = lim!β! ! !!! !!(!) ! för f(x) = x3 Problemlösning/Modell: K2 β Betyg A: Begrepp: K1 β f(x) = π₯ ! β fβ(x) = a*π₯ !!! Procedur: K1 β fβ(x) = lim!β! ! !!! !!(!) ! D(π ! ) = D(π !β!" ! ) för f(x) = xa = ln π β π !β!" ! = ln a * π ! Problemlösning/Modell: K2 5. Introduktion av talet e och dess egenskaper. Betyg E: Begrepp: K1 β e som irrationellt tal Procedur: K1 β Problemlösning/Modell: K2 Betyg C: Begrepp: K1 β e som gränsvärde: Procedur: K1 β ! lim!β! (1 + β)! ! Värdetabell för (1 + β)! h = 0,1, 0,01, 0,001, . . . Problemlösning/Modell: K2 β Betyg A: Begrepp: K1e som serieutveckling: ex = 1 + x/1! + x2 /2! + x3/3! + β¦ + xk/k! + β¦ Procedur: K1 β Problemlösning/Modell: K2 β 6. Algebraiska och grafiska metoder för bestämning av derivatans värde för en funktion. Betyg E: Begrepp: K1 β Procedur: K1 β Värdetabell !(!!!!!(!) ! Problemlösning/Modell: K2 Betyg C: Begrepp: K1 β Procedur: K1 β Värdetabell !(!)!!(!!!) ! Problemlösning/Modell: K2 β Betyg A: Begrepp: K1Procedur: K1 β Värdetabell !(!!!)!!(!!!) !! Problemlösning/Modell: K2 β 7. Algebraiska och grafiska metoder för lösning av extremvärdesproblem inclusive teckenstudium och andraderivatan. Betyg E: Begrepp: K1 β Procedur: K1 β 1. Definitionsmängden så bara aktuella intervall undersöks 2. Bestäm fβ²(x) 3. Lös ekvationen fβ²(x)=0 4. Teckenstudera derivatan Problemlösning/Modell: K2 Betyg C: Begrepp: K1 β Procedur: K1 β Man kan använda andraderivata för att avgöra om ett nollställe till derivatan är lokalt max eller min (i stället för teckenstudie) enligt följande: Om yβ³>0 är det fråga om lokalt min och om yβ³<0 är det fråga om max. Problemlösning/Modell: K2 β Betyg A: Begrepp: K1Procedur: K1 β 1. Derivatans nollställen 2. Intervallens ändpunkter 3. Punkter där derivatan inte existerar (Ni kan tänka er att det handlar om hörn) Problemlösning/Modell: K2 β 8. Samband mellan en funktions graf och funktionens första- och andra derivata. Betyg E: Begrepp: K1 β Strängt växande, strängt avtagande, maximipunkt, minimipunkt, terasspunkt Procedur: K1 β Problemlösning/Modell: K2 Betyg C: Begrepp: K1 β fβ(x): konkav uppåt, nedåt Procedur: K1 β Problemlösning/Modell: K2 β Betyg A: Begrepp: K1Fβ(x): inflexionspunkt Procedur: K1 β Problemlösning/Modell: K2 β 9. Begreppen primitive function och bestämd integral samt sambandet mellan integral och derivata. Betyg E: Begrepp: K1 β Från derivata till function: Fβ(x) = f(x) Procedur: K1 β Om Fβ(x) = f(x) så är ! π ! π₯ ππ₯ = [πΉ π₯ ]!! = F(b) β F(a) Problemlösning/Modell: K2 β Arean under en kurva Betyg C: Begrepp: K1 β Primitiv function. Samtliga primitiva funktioner Procedur: K1 β Om Fβ(x) = f(x) så är ! π ! π₯ ππ₯ = [πΉ π₯ ]!! = F(b) β F(a) Problemlösning/Modell: K2 β Arean mellan kurvor. Numerisk integration: Mittpunktsmetoden Betyg A: Begrepp: K1Primitiva funktioner med villkor. Procedur: K1 β Räkneregler för integraler Problemlösning/Modell: K2 β Arean under och over x-axeln Numerisk integration: Trapetsmetoden, Simpsons formel. 10. Bestämning av enkla integraler i tillämpningar som är relevanta för karaktärsämnena. Betyg E: Begrepp: K1 β Procedur: K1 β Problemlösning/Modell: K2 Sträcka är integralen av hastigheten. Hastigheten är integralen av accelerationen. Arbetet är integralen av kraften. Energi är integralen av effekten. Kostnad är integralen av marginalkostnaden. Betyg C: Begrepp: K1 β Procedur: K1 β Problemlösning/Modell: K2 β Sträcka är integralen av hastigheten. Hastigheten är integralen av accelerationen. Arbetet är integralen av kraften. Energi är integralen av effekten. Kostnad är integralen av marginalkostnaden. Betyg A: Begrepp: K1Procedur: K1 β Problemlösning/Modell: K2 β Sträcka är integralen av hastigheten. Hastigheten är integralen av accelerationen. Arbetet är integralen av kraften. Energi är integralen av effekten. Kostnad är integralen av marginalkostnaden.
© Copyright 2024