1. No category

Samband och förändring. Centralt innehåll.
Koppling mellan mål/förmåga och kunskapskrav.
delområden i matematik 3c
Konkreta förslag inom
1. Orientering kring kontinuerlig och diskret funktion samt begreppet
gränsvärde.
Betyg E:
Begrepp: K1 Definitionsmängd, värdemängd. Kontinuitet, diskontinuitet. Polynomfunktioner.
Rationella funktioner
Procedur: K1 –
x -> x0, x tillräckligt nära x0
Problemlösning: K1 –
Modell: K2 Betyg C:
Begrepp: K1 –
Gränsvärde x ->x0, värdetabell Procedur: K1 -
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
!→!
ℎ
lim
Problemlösning: K1 –
Modell: K2 Betyg A:
Begrepp: K1 –
Gränsvärde x ->x0 ,
Procedur: K1 –
lim!→!! 𝑓(𝑥), vertikal asymptot 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥 − ℎ)
!→!
ℎ
lim
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥 − ℎ)
!→!
2ℎ
lim
Problemlösning: K1 Modell: K2 2. Egenskaper hos polynomfunktioner av högre grad.
Betyg E:
Begrepp: K1 –
3-grads polynomfunktioner: f(x) = x3 + ax2 + bx + c
Procedur: K1 –
Betyg C:
Begrepp: K1 –
4:e grads polynomfunktion: (x) = x4 +bx3 + cx2 + cx + d
Procedur: K1 –
Betyg A:
Begrepp: K1 –
Polynomfunktion med gradtal > 4:
Procedur: K1 –
3. Begreppen sekant, tangent ändringskvot och derivate för en function.
Betyg E:
Begrepp: K1 –
Begreppet lutning för en rät linje – sekant. Lutning för godtycklig kurva f(x) –
tangent. Geometrisk tolkning av derivata. Symbolen f’(x)
Procedur: K1 –
Beräkning av k-värde och
!!
!!
Problemlösning/Modell: K2 Betyg C:
Begrepp: K1 !!
!!
Låt Δ𝑥 → 0
Procedur: K1 –
Algebraisk tolkning av derivata:
f’(x) = lim!→!
! !!! !!(!)
!
Problemlösning/Modell: K2 Betyg A:
Begrepp: K1 –
!"
Df(x),
!"
Procedur: K1 –
f’(x) = lim!→!
! !!! !!(!!!)
!"
Problemlösning/Modell: K2 Newton-Raphsons metod.
4. Härledning och användning av deriveringsregler för potens- och
exponentialfunktioner samt summor av funktioner.
Betyg E:
Begrepp: K1 –
f(x) = x2 => f’(x) = 2x
f(x) = 𝑒 ! ⇒ f’(x) = 𝑒 !
Procedur: K1 –
f’(x) = lim!→!
! !!! !!(!)
!
för f(x) = x2
Problemlösning/Modell: K2 Betyg C:
Begrepp: K1 –
F(x) = x3 => f’(x) = 3*x2
f(x) = 𝑒 !" ⇒ f’(x) = k*𝑒 !" Procedur: K1 –
f’(x) = lim!→!
! !!! !!(!)
!
för f(x) = x3
Problemlösning/Modell: K2 –
Betyg A:
Begrepp: K1 –
f(x) = 𝑥 ! ⇒ f’(x) = a*𝑥 !!! Procedur: K1 –
f’(x) = lim!→!
! !!! !!(!)
!
D(𝑎 ! ) = D(𝑒 !∗!" ! )
för f(x) = xa
= ln 𝑎 ∗ 𝑒 !∗!" ! = ln a * 𝑎 ! Problemlösning/Modell: K2 5. Introduktion av talet e och dess egenskaper.
Betyg E:
Begrepp: K1 –
e som irrationellt tal
Procedur: K1 –
Problemlösning/Modell: K2 Betyg C:
Begrepp: K1 –
e som gränsvärde:
Procedur: K1 –
!
lim!→! (1 + ℎ)! !
Värdetabell för (1 + ℎ)! h = 0,1, 0,01, 0,001, . . .
Problemlösning/Modell: K2 –
Betyg A:
Begrepp: K1e som serieutveckling: ex = 1 + x/1! + x2 /2! + x3/3! + … + xk/k! + …
Procedur: K1 –
Problemlösning/Modell: K2 –
6. Algebraiska och grafiska metoder för bestämning av derivatans värde
för en funktion.
Betyg E:
Begrepp: K1 –
Procedur: K1 –
Värdetabell
!(!!!!!(!)
!
Problemlösning/Modell: K2 Betyg C:
Begrepp: K1 –
Procedur: K1 –
Värdetabell !(!)!!(!!!)
!
Problemlösning/Modell: K2 –
Betyg A:
Begrepp: K1Procedur: K1 –
Värdetabell
!(!!!)!!(!!!)
!!
Problemlösning/Modell: K2 –
7. Algebraiska och grafiska metoder för lösning av extremvärdesproblem
inclusive teckenstudium och andraderivatan.
Betyg E:
Begrepp: K1 –
Procedur: K1 –
1. Definitionsmängden så bara aktuella intervall undersöks
2. Bestäm f′(x)
3. Lös ekvationen f′(x)=0
4. Teckenstudera derivatan
Problemlösning/Modell: K2 Betyg C:
Begrepp: K1 –
Procedur: K1 –
Man kan använda andraderivata för att avgöra om ett nollställe till derivatan är
lokalt max eller min (i stället för teckenstudie) enligt följande: Om y″>0 är det
fråga om lokalt min och om y″<0 är det fråga om max.
Problemlösning/Modell: K2 –
Betyg A:
Begrepp: K1Procedur: K1 –
1. Derivatans nollställen
2. Intervallens ändpunkter
3. Punkter där derivatan inte existerar (Ni kan tänka er att det handlar om hörn)
Problemlösning/Modell: K2 –
8. Samband mellan en funktions graf och funktionens första- och andra
derivata.
Betyg E:
Begrepp: K1 –
Strängt växande, strängt avtagande, maximipunkt, minimipunkt, terasspunkt
Procedur: K1 –
Problemlösning/Modell: K2 Betyg C:
Begrepp: K1 –
f”(x): konkav uppåt, nedåt Procedur: K1 –
Problemlösning/Modell: K2 –
Betyg A:
Begrepp: K1F”(x): inflexionspunkt
Procedur: K1 –
Problemlösning/Modell: K2 –
9. Begreppen primitive function och bestämd integral samt sambandet
mellan integral och derivata.
Betyg E:
Begrepp: K1 –
Från derivata till function: F’(x) = f(x)
Procedur: K1 –
Om F’(x) = f(x) så är
!
𝑓
!
𝑥 𝑑𝑥 = [𝐹 𝑥 ]!! = F(b) – F(a) Problemlösning/Modell: K2 –
Arean under en kurva
Betyg C:
Begrepp: K1 –
Primitiv function. Samtliga primitiva funktioner
Procedur: K1 –
Om F’(x) = f(x) så är
!
𝑓
!
𝑥 𝑑𝑥 = [𝐹 𝑥 ]!! = F(b) – F(a) Problemlösning/Modell: K2 –
Arean mellan kurvor.
Numerisk integration: Mittpunktsmetoden
Betyg A:
Begrepp: K1Primitiva funktioner med villkor.
Procedur: K1 –
Räkneregler för integraler
Problemlösning/Modell: K2 –
Arean under och over x-axeln
Numerisk integration: Trapetsmetoden, Simpsons formel.
10. Bestämning av enkla integraler i tillämpningar som är relevanta för
karaktärsämnena.
Betyg E:
Begrepp: K1 –
Procedur: K1 –
Problemlösning/Modell: K2 Sträcka är integralen av hastigheten.
Hastigheten är integralen av accelerationen.
Arbetet är integralen av kraften.
Energi är integralen av effekten.
Kostnad är integralen av marginalkostnaden.
Betyg C:
Begrepp: K1 –
Procedur: K1 –
Problemlösning/Modell: K2 –
Sträcka är integralen av hastigheten.
Hastigheten är integralen av accelerationen.
Arbetet är integralen av kraften.
Energi är integralen av effekten.
Kostnad är integralen av marginalkostnaden.
Betyg A:
Begrepp: K1Procedur: K1 –
Problemlösning/Modell: K2 –
Sträcka är integralen av hastigheten.
Hastigheten är integralen av accelerationen.
Arbetet är integralen av kraften.
Energi är integralen av effekten.
Kostnad är integralen av marginalkostnaden.