1( 4 )
Institutionen för Systemteknik
Dept. Of EE
Tentamen i TSDT18 Signaler & System för D, Y(I), MED, I(i) & Mat
Provkod:
TEN1
Tid:
2013-08-27
Lokal:
TER1
Lärare:
Lasse Alfredsson
013-28 2645
Jag besöker tentasalen en gång, efter ca. halva skrivtiden, och nås f.ö. per telefon.
kl. 14.00-19.00
Hjälpmedel: Räknedosa med tömt minne samt formelsamlingarna "Formler & Tabeller",
Sune Söderkvist, "Kompletterande formelsamling, TSDT18 Signaler & System"
samt "Transformteori: sammanfattning, formler och lexikon", MAI.
Bedömning: Tentans uppgifter ger totalt 50 poäng.
Preliminära betygsgränser:
Betyg 3:
Betyg 4:
Betyg 5:
23 poäng
33 poäng
43 poäng
OBS! • Redovisa tydligt alla steg i dina lösningar, det är
främst lösningsgången vi poängbedömer!
Bristande motivering medför poängavdrag.
• Numeriska lösningar, dvs. om signifikanta delar
av uppgiften löses m.h.a. räknare, accepteras ej.
Visning:
Visning av tentor sker 2013-09-23 kl. 12.30-13.00 i konf.rummet Algoritmen,
ingång B27-B29, korridor D, se www.isy.liu.se/images/p2b25-29big.gif.
Eventuella synpunkter på rättningen skall formuleras skriftligen och
lämnas till examinatorn under visningen. Efter visningen kan tentor även
hämtas ut på ISY:s expedition. Rättningssynpunkter kan senast en vecka
efter visningen även lämnas genom ISY:s expedition.
Synpunkter om uppenbara felbedömningar kan dock lämnas senare!
Tentorna rättas normalt inom 10 arbetsdagar efter tentatillfället. Efter registrering av
resultaten i Ladok skickas, inom ytterligare några dagar, ett automatiskt Ladok-utskick
med tentamensresultat via e-post till alla som är registrerade på kursen.
Om inget oförutsett inträffar finns lösningsförslag tillgängligt under TSDT18:s tenta-webbsida
www.cvl.isy.liu.se/education/undergraduate/TSDT18/ tentor inom 5 arbetsdagar.
Lycka till.
2( 4 )
Uppgiftshjälp till en av tentauppgifterna: Den primitiva funktionen till
1
2
x +a
2
är
1
x
arctan .
a
a
1. Ett tidskontinuerligt butterworthfilter av LP-typ, av ordning 3 och med 3 dB-gränsvinkelfrekvens ω p = 4 rad/s, matas med den periodiska insignalen x t enligt nedan. Som utsignal
()
()
från filtret erhålls då en periodisk utsignal y t , med komplexa fourierseriekoefficienter Dˆ n .
x(t)
3
t [s]
−4
−2
2
4
6
Beräkna utsignalens dubbelsidiga amplitudspektrum Dˆ n .
(8 p)
()
2. Betrakta nedanstående kaskadkopplade system, bestående av likformig sampling av x t
( )n
följt av en multiplikation av den samplade signalen x ⎡⎣ n ⎤⎦ med −1 , samt ideal
rekonstruktion genom pulsamplitudmodulering (PAM). Sampelfrekvensen är f s = 8 kHz.
x ⎡⎣ n ⎤⎦
y ⎡⎣ n ⎤⎦
⎧
ω
⎪ 1−
; ω < 8π krad/s
Insignalen x t har frekvensspektrumet X (ω ) = ⎨
.
8π ⋅103
⎪
0;
f.ö.
⎩
()
( )
Rita frekvensspektrumen X ⎡⎣Ω ⎤⎦ , Y ⎡⎣Ω ⎤⎦ och Y ω .
Motivera dina grafer analytiskt och vid behov även i ord!
(4 p)
Anm: I efterhand tycker jag att 4 p är för lite för denna uppgift, så vid tentarättningen
kan man i stället få max 6 poäng. Betygsgränserna ändras dock inte. /Examinatorn
3( 4 )
3. Två tidskontinuerliga stabila LTI-system kaskadkopplas. Det ena systemet har frekvens10−3
−103 t
funktionen H1 (ω ) =
och
det
andra
har
impulssvaret
h
t
=
8e
u (t ) .
(
)
2
1+ jω 10−3
()
a) Bestäm det kaskadkopplade systemets impulssvar h12 t .
b)
(4 p)
2
s + 500 ) + 106
(
Ett tredje stabilt LTI-system, med systemfunktion H 3( s ) =
( s − 500)2
kaskadkopplas med de två systemen ovan.
Rita fullständigt pol-nollställediagram till det totala kaskadkopplade systemets
systemfunktion H12 3 s . Glöm inte nivåkonstant och konvergensområde!
()
(4 p)
4. Ett tidskontinuerligt kausalt och instabilt LTI-system beskrivs av differentialekvationen
d 2 y (t )
+2
dy ( t )
− 3y ( t ) = 2
dt
dt 2
där w ( t ) är insignal och y ( t ) är utsignal.
dw ( t )
dt
+ 2w ( t ) ,
()
a) Bestäm systemets systemfunktion H 1 s , inklusive konvergensområde.
(2 p)
b) Vi önskar stabilisera systemet genom återkoppling med en multiplikator enligt
figuren nedan.
Σ
För vilka K är det totala systemet stabilt?
5. Ett visst kausalt tidsdiskret LTI-system har systemfunktion H ⎡⎣ z ⎤⎦ =
(6 p)
z
1
z +
4
.
2
a) Bestäm den differensekvation som beskriver förhållandet mellan systemets
insignal x ⎡⎣ n ⎤⎦ och utsignal y ⎡⎣ n ⎤⎦ .
(2 p)
b) Beräkna systemets stegsvar g ⎡⎣ n ⎤⎦ .
(5 p)
⎛π ⎞
c) Beräkna systemets utsignal för den stationära insignalen x ⎡⎣ n ⎤⎦ = 3sin ⎜ n⎟ .
⎝2 ⎠
(4 p)
4( 4 )
6. Ett visst tidskontinuerligt amplitudnormerat idealt lågpassfilter har gränsfrekvensen f0 .
När insignalen är x ( t ) = 5e−5t u ( t ) så släpper LP-filtret igenom 95% av signalenergin
()
för x t . Bestäm gränsfrekvensen f0 .
(5 p)
7. Information om stabilitetsegenskapen och kausalitetsegenskapen för LTI-system finns såväl
i systemens impulssvar h t h ⎡⎣ n ⎤⎦ som i deras respektive systemfunktion H s H ⎡⎣ z ⎤⎦ .
()
()
Ange, för vart och ett av de angivna fallen a) till i) i tabellen nedan, vilket/vilka krav som
måste vara uppfyllda för aktuellt impulssvar eller systemfunktion för att motsvarande
systemegenskap skall gälla.
(Ex: I fall b) beskriver du krav på H ⎡⎣ z ⎤⎦ för extern stabilitet och i fall h) beskriver du
krav på h t för icke-kausalitet.)
()
h (t )
H (s)
h [n]
H [ z]
Externt stabilt
a)
‒
‒
b)
Asymptotiskt instabilt
‒
c)
d)
‒
Marginellt stabilt
‒
‒
‒
e)
Kausalt
‒
f)
g)
‒
Icke-kausal
h)
‒
‒
i)
Egenskap
OBS:
Anm:
För varje fall som inte är besvarad eller fullständigt korrekt beskrivet
dras 1 poäng! Uppgiften ger minst 0 och max 6 poäng.
(6 p)
I efterhand tycker jag att 6 p är för lite för denna uppgift, så vid tentarättningen
kan man i stället få max 8 poäng. Betygsgränserna ändras dock inte. /Examinatorn