TMMI09 2012-10-20
TMMI09 2012-10-20.01
(Del I, teori; 1 p.)
Jämför de två konsolbalkarna (a) och (b). Båda har en punktmassa i höger ände, medan balken själv
kan anses masslös.
. Hur stort är
? ( är egenvinkelfrekvenserna i fri
svängning).
Compare the two cantilever beams (a) and (b). Both have a point mass in the right end, while the beam
itself can be considered massless.
. How large is
? ( are the
eigenfrequencies in free vibration).
------------
(1 p)
SOLUTION
TMMI09 2012-10-20.02
------------------------------
(Del I, teori; 1 p.)
Förskjutningen hos en böjsvängande balk med
kontinuerlig massfördelning kan skrivas
. Ange de fyra (4) randvillkor som ska uppfyllas av
-funktionen för
balken i figuren
The displacement solution of a vibrating beam
with continuous mass distribution can be written
. Give the four (4) boundary conditions to be applied on the
function
for the beam in the figure.
------------
(1 p)
SOLUTION
------------------------------
TMMI09 2012-10-20
TMMI09 2012-10-20.03
(Del I, teori; 1 p.)
Vid dimensionering mot utmattning måste Haigh-diagrammet reduceras för att ta hänsyn till egenskaper hos den dimensionerade komponenten som skiljer sig från dem hos standardprovstaven.Vilken
sådan egenskap är normalt den viktigaste (och kan ge mer än 40% reduktion av utmattningsegenskaperna)?
When designing against HCF, the Haigh diagram must be reduced in order to take into account properties of the designed component which are different from those of the standard test specimen. Which
such property is normally the most important one (and can give fatigue property reductions of more
than 40 %)?
------------
(1 p)
SOLUTION
------------------------------
Surface condition (smoothness)
TMMI09 2012-10-20.04
(Del I, teori; 1 p.)
Vid dimensionering mot lågcykelutmattning (LCF) är det töjningsamplituden (inte spänningsamplituden) som är avgörande. Förklara varför!
When designing against low-cycle fatigue (LCF), it is the strain amplitude (not the stress amplitude)
which is decisive. Explain why!
(1 p)
------------
SOLUTION
------------------------------
In LCF situations, stresses are so high that in local areas (such as near notches, threads, …) one has
local plastic flow. Since plastic flow means that the stiffness is extremely low compared with the
stiffness of the surrounding and still elastic material, the deformation (i.e., the strain) in these small
and plastic regions will be completely controlled by the deformation of the much larger and stiffer still
elastic regions surrounding them.
The small plastic regions are therefore strain-controlled, and it is, consequently, the strain amplitude in
them which is decisive for the fatigue life.
TMMI09 2012-10-20
TMHL09 2012-10-20.05
(Del II, problem; 3 p.)
En masslös axel är lagrad i rullager och uppbär
svänghjul med masströghetsmoment i vardera
änden. Beräkna dess egenvinkelfrekvens
i torsionssvängning. (Obs ekvationen för
till
höger, som kan vara till hjälp.)
A massless shaft is supported by roller bearings
and bears flywheels with mass moment of inertia
at each end. Compute its eigenfrequency
in
torsional vibration. (Note the equation for
to
the right, which may be helpful.)
------------
(3 p)
SOLUTION
-------------- ----------------
I. Free body diagram
II. Equations of motion
III. Stiffness equation (relation
IV. Vibration equation(s)
Two alternatives possible
(a)
)
TMMI09 2012-10-20
(b)
TMHL09 2012-10-20.06
(Del II, problem; 3 p.)
En konsolbalk, som kan anses masslös, är fastmonterad i sin vänstra ände och uppbär en punktmassa i
sin högra ände. Massan påverkas av en periodisk kraft
.
, där
är egenvinkelfrekvensen. Beräkna vilket som är tillåtet, om massans förskjutningsamplitud i stationär
svängning inte får vara större än dubbla den förskjutning som orsakas av den statiska lasten p.g.a.
massan .
A cantilever beam, which can be considered massless, is mounted in its left end and carries a point
mass in its right end. The mass is acted on by a periodic force
.
,
where
is the eigenfrequency. Compute which is allowed, if the displacement amplitude of the
mass in stationary vibration is not allowed to be larger than twice the displacement caused by the
stationary load of the mass .
(3 p)
-----------I. Free-body diagram
SOLUTION
------------------------------
TMMI09 2012-10-20
II. Equation of motion
III. Stiffness equation
IV. Vibration equation
V. Stationary solution
VI. Amplitude restriction
Restriction given on the amplitude :
with
therefore
TMHL09 2012-10-20.07
(Del II, problem; 3 p.)
En roterande axel belastas i sin fria ände av en vertikal kraft (se figur!). Skuldran som förbinder den
grövre parten (diameter ) med den slankare parten (diameter ) ska utföras med en radie . En skuldreradie
har föreslagits. Kontrollera om detta är O.K., om en säkerhet 1.5 mot utmattning
krävs.
A rotating shaft is loaded in its free end by a vertical force (see figure!). The shoulder section connecting the diameter part with the diameter part is to be made with a radius . A shoulder radius
has been proposed. Check if this is O.K. if a safety of 1.5 against fatigue is required.
TMMI09 2012-10-20
(3 p)
------------
SOLUTION
------------------------------
I. Nominal stress
I
ediatel to the right o the shoulder osition
i.e..
no
no
II. Kt, Kf correction
a
and
design
design
III. Safety against fatigue
design
The safety is higher than required (1.5), and the choice of
is therefore O.K.
ANSWER
TMMI09 2012-10-20
TMHL09 2012-10-20.08
(Del II, problem; 3 p.)
En bro på en järnvägslinje har dimensionerats för 20 passager per dag under 50 år av en viss loktyp,
som kan antas ge en punktlast på bron. Alla andra laster antas försumbara.
För den dimensionerande konstruktionsdetaljen har använts ett Wöhler-diagram enligt figuren. Eftersom vi känner till hur många lastcykler bron var dimensionerad för, kan vi alltså (genom direkt avläsning i diagrammet) sluta oss till hur stor den dimensionerande spänningsamplituden på grund av lokpassagerna var.
Efter 30 år börjar linjen även trafikeras av en ny loktyp som är lite tyngre och ger punktlasten
.
Hälften av trafiken utförs därefter med den nya loktypen (och alltså den andra hälften även fortsatt av
den äldre). Detta betyder naturligtvis att brons återstående livslängd reduceras.
Använd Palmgren-Miners linjära delskadeteori för att avgöra när bron nu måste tas ur drift på grund
av uppnådd utmattningslivslängd. (Att en del år är skottår med 366 dagar bryr vi oss för enkelhets
skull inte om.)
A bridge on a railway line has been designed for 20 daily passages during 50 years of a particular type
of locomotive, which can be assumed to give a point load on the bridge. All other loads can be neglected in comparison.
For the life-limiting component of the bridge, the Wöhler diagram shown in the figure has been used.
From the knowledge of how many cycles the bridge was designed for, we can therefore (by direct
reading in the diagram) find which locomotive passage stress amplitude was used in the design of the
bridge.
After 30 years of use, the railway company sets in another type of locomotive, which is heavier and
gives a point load of
. Half of the traffic is thereafter by this new locomotive type (while the other
half is still by the older type). The remaining life of the bridge is, of course, reduced by this.
Use the Palmgren-Miner linear theory to determine when the bridge can now be expected be at the end
of its fatigue life and must be taken out of service. (The fact that some of the years are leap years with
366 days can for simplicity be neglected)
TMMI09 2012-10-20
(3 p)
------------
SOLUTION
------------------------------
The bridge has been designed for 20 passages a day during 50 years, i.e.,for
.
Direct reading in the Wöhler diagram gives the design stress amplitude that was used:
a ( ee
hler diagra
at the end o the solution )
After 30 years with this load amplitude, the damage accumulated is
After that, the new daily load history will be
For a
cycle, the Wöhler diagram gives
one da ’s tra ic therefore gives
, and with the new traffic situation,
We now want to know how long time is needed (after the 30th year) to consume the remaining damage
.
da s