טענות בתורת המספרים
טענות בתורת המספרים
הגדרות:
מספר aיקרא הפיך אם קיים bכך = 1) . ab=1איבר היחידה בחבורה(
מספר aיקרא אי פריק אם aלא הפיך ולכול פירוק a=bcאו bאו cהפיכים.
מספר טבעי aיקרא מורכב אם a=bcו > 1, > 1
מספר טבעי יקרא ראשוני אם הוא שונה מ 1ואינו מורכב ,כלומר יש לו רק שני מחלקים שונים
טבעיים.
| .gcd( , ) = ↔ | ,יחיד עד כדי כפל בהפיך.
| → | | ∀ :
נאמר a,bזרים אם gcd( , ) = 1
פולינום יקרא מתוקן אם המקדם של החזקה הגבוה ביותר שלו הוא אחד.
חלוקה:
| ^ | → =±
| → | ^ |
= ו < .הוכחה
חלוקה בשארית :עבור a,bמספרים שלמים קיימם q,rכך ש +
−לכול xשלם ולקיחת האיבר האי שלילי הקטן ביותר.
מהסתכלות על הקבוצה
| נובע מכך שלשני איברים יש צ"ל שהוא ה ,gcdואז הכפלה ב.c
| → gcd( , ) = 1
אם זר ל mלכול iאז המכפלה שלהם גם זרה ל .m
gcd ,לכול I,jשונים ו | לכול iאז המכפלה שלהם גם מחלקת את .Nנובע
אם = 1
מאינדוקציה והעובדה שכול איבר זר למכפלת כול השאר ולכן ניתן לכתוב צ"ל שלהם שייתן אחד
ואז נכפיל באן את שני האגפים.
= ! ומתקיים ! | וכמו כן !) ⫮ ! ( −כי pראשוני
| לכול < ≤ 1כי !) ! ( −
ו kקטן מ pושונה מאפס .לכן
|
ראשוניים:
כול מספר שלם שונה מאפס הוא מכפלה של ראשוניים ו .1-הוכחה באינדוקציה מפגרת .ולכן
לכול מספר שלם aומספר ראשוני pנסמן ) (
להיות החזקה הגבוה ביותר של pשמחלקת
את .a
| → |
בתחום אוקלידי לכול pראשוני מתקיים |
הפירוק לראשוניים ב Zהוא יחיד והחזקה של כול ראשוני בפירוק היא בדיוק הסדר שלו במספר.
יש אינסוף ראשוניים .מניחים בשלילה שיש כמות סופית ומייצרים אחד חדש.
יש אינסוף ראשונים ) ≡ 3(4כי מספר שהוא 3מוד 4לפחות אחד מהגורמים הראשונים שלו
הוא שלוש מוד ) 4כי כולם אי זוגיים אז הם או 1או ,3ואם כולם אחד גם הכפל אחד( לכן נניח
שיש כמות סופית ,נכפיל את כולם ואז בארבע ונחסיר אחד .זה 3מוד ,4ולכן יש ראשוני 3מוד 4
שמחלק אותו ,ולכן יצרנו ראשוני חדש.
יש אינסוף ראשוניים ) . ≡ 1(4נניח בשלילה שיש רשימה סופית ונסתכל על (2 … ) + 1
אזי קיים גורם ראשוני pשמחלק אותו ≠ .וכמו כן מתקיים שהמספר לעיל הינו פתרון
ולכן -1הוא שארית ריבועית ולכן ) ≡ 1(4ולכן הרשימה לא סופית.
למשוואה ) ( ≡ −1
+אם gcd( , ) = 1אז יש אינסוף ראשוניים בה.
משפט דירכלה :עבור סדרה חשבונית
משפט המספרים הראשוניים= 1 :
) (
/
→
limכאשר |} ≤
( ) = |{ :
קיים מקום שהחל ממנו בין כול מספר טבעי להוא כפול שתיים יש ראשוני .נובע מחישוב גבולות
ומשפט המספרים הראשוניים.
∫| ( )−
√ <|
השארת רימאן:
עבור מספר גדול מספיק יש ראשוני בינו לבין איקס ופעמים הוא והמספר הזה הוא .2567נובע
ממשחקי חדווא עם הטענה לעיל.
השערת גולדבאך :כול מספר זוגי גדול מארבע הוא סכום של שני ראשוניים)לא בהכרח שונים(
השערת טרנארי :כול מספר אי זוגי הוא גדול מחמש סכום של שלושה ראשוניים )מוכח!(
השערת התאומים :יש אינסוף ראשוניים שההפרש בינהם הוא ) .2הוכח השנה שיש אינסוף
ראשנויים שההפרש בינהם קטן מ 70מיליון(
כי − 1| − 1
אם נרצה שזה יהיה ראשוני אז = 2ו
מספרי מרסן− 1 :
)נוסחא פשוטה( וכנ"ל אם nמורכב .לכן נרצה 2 − 1
לא קיימים פתרונות שלמים עבור > 2
+
=
המשפט האחרון של פרמה:
משוואות לינאריות:
כאשר פותרים עבור x,yשלמים .תנאי הכרחי
+
הגדרה :משווה דויפאנטית לינארית =
לקיום פתרון | ) .gcd( ,ואם זה מתקיים אז יש אינסוף ,כך שאם ,פתרון אז כול פתרון
אחר
−
=
;
+
=
כאשר ) . = gcd( ,והפתרון
,
נובע מכתיבת a,b
כסכום שמניב את המ.מ.מ ואז הכפלה במה שצריך כדי לקבל את .cהעובדה שכול פתרון אחר
הוא מהצורה הנ"ל נובעת מחיסור המשוואת ,חלוקה ב dוהעובדה שלאחר החלוקה הם זרים.
כאשר פותרים עבור xוכול השאר שלמים .יש פתרון
הגדרה :קונגרואנציה לינארית ) ( ≡
אמ"מ | ) gcd( ,מאותה הסיבה כמו לעיל .ואם יש פתרון אז יש בדיוק ) gcd( ,פתרונות
שונים מודולו mבדיוק כמו לעיל.
חוגים:
קבוצה עם שתי פעולות ,אסוציאטיביות ,קומוטטיביות לחיבור ,איבר אפס ,איבר יחידה! ופילוג
וקיום איבר נגדי לחיבור.
אידאל :תת קבוצה של חוג אם היא סגורה לחיבור בתוך עצמה ,ולכפל בכול איבר בחוג .אידאל
ראשי הוא אידאל שמוגדר ככול האברים שהם כפל באיבר כלשהו בחוג.
כול אידאל ב Zהוא אידאל ראשי ,למעשה כול אידאל בתחום אוקלידי הוא אידאל ראשי ,נובע
מקיום חלוקה בשארית ולקיחת איבר חיובי מינמלי ,שהוא למעשה ה .gcd
מחלק אפס xהינו איבר בחוג שונה מאפס כך שקיים yשונה מאפס כך ש = 0
תחום שלמות הוא חוג ללא מחלקי אפס .למשל חוג השלמים.
תחום אוקלידי הוא תחום שלמות עם העתקת נורמה וחלוקה בשארית .בתחום שלמות כול אידאל
הוא ראשי ,יש מ.מ.מ ,כול איבר לא הפיך הוא מכפלה של אי פריקים ,כול איבר אי פריק הוא
ראשוני כלומר | ו אי פריק אז הוא מחלק לפחות אחד מהם ויש פירוק יחיד לראשוניים.
הפיכים :עבור חוג Aנגדיר } . = { ∈ : |1זו חבורה.
קונגרואנציה:
הגדרה( ) ↔ |( − ) :
≡ ,זה יחס שקילות.
מחלקות קונגרואציה :קבוצת כול האיברים שקונגרואנטים מודלו .mיש בדיוק mכאלה ,לא יכול
להיות יותר מחלוקה בשארית ,ולא פחות כי ההפרש בין שניים קטן מ .m
השאריות מתנהגות יפה בחיבור ובכפל ,הן למעשה חוג ונסמן . /עבור nראשוני זה למעשה
יש בדיוק פתרון אחד לכול aזר ל nואם nראשוני זה כולם ,ולכן
שדה כי למשוואה ) (≡ 1
כולם הפיכים ולכן שדה.
זרים אז יש פתרון,
≡ אם
משפט השאריות הסיני :עבור מערכת המשוואות ) (
נסתכל על מכפלת כול השאר
וכול שני פתרונות נבדלים ב mכאשר . = Πלכול גורם
כאשר זה מכפלת
+
מלבד הוא ,היא זרה לו ולכן יש צירוף שלהם שנותן = 1 .1
לכול ≠ ו ) (≡ 1
ברור כי הוא מקיים ) (≡ 0
כול השאר .נסתכל רק על
הוא פתרון למערכת .כול שני פתרונות נבדלים ב
∑=
ולכן נכפיל ב ונקבל כי
בכול רכיב בנפרד ולכן ב mסה"כ.
=
+
כי ∗ = +לכן +
( ≡
) ( ≡ אז מתקיים )
מנוסחאת הבינום כאשר כול האיברים ב Aמכילים חזקה של pשגדולה מ l+1ולכן
≡
עבור ראשוני שונה משתיים
ושמים לב כי )
(
)
≡ 1+
≡ 1+
+
שלעיל ולכן מחוקי חזקות
)
(1 +לכול aשלם .מוכיחים באינדוקציה
(1 +
≡ 1+
)
מהנחת האינדוקציה פלוס הטענה
(1 +כאשר Bנוצר מנוסחאת
≡0
הבינום ולכן
פונקציית אוילר:
: gcd( ,
הגדרה) = 1}| :
בחוג /
(
)
לכול a,mכך ש . > 2 ; gcd( , ) = 1נובע מהעובדה
משפט אוילר≡ 1( ) :
שההפיכים מודולו mזה חבורה אבלית מגודל ) (
לכול pראשוני.
משפט פרמה) :מקרה פרטי של אוילר( ) (≡ 1
)ברור ,כי רק החזקות של pלא זרות לו(
= −
)= ( − 1
≤
≤ ( ) = |{1או במילים אחרות כמה איברים הפיכים יש
פונקציית אוילר כפלית עבור מספרים זרים .נובע מהסתכלות על חבורת ההפיכים מודולו
המכפלה שלהם ולעשות ממנה איזומורפיזם של חבורות לחבורה שהיא המכפלה הקרטזית של
ההפיכים מודלו אחד כפול ההפיכים מודולו השני .זה איזומורפיזים כי הם זרים ולכן יש פתרון
יחיד ממשפט השאריות .ולכן יש שוויון עוצמות.
=Π
אז ) ϕ( ) = mΠ(1 −
משפט גאוס( ) :
שלהם עם nונסמן
)
| (∑ = .נחלק את כול המספרים } {1,2, … ,לקבוצות זרות לפי ה gcd
קבוצת כול האיברים שה gcdשלהם עם nהוא .dברור שיהיו לנו קבוצות
כאלה כמספר המחלקים של .nנשים לב ) ( =
שאיחוד כול הקובצות הללו זה כול nנקבל ) (
) |
=1
,
(∑ = ) (
: gcd
) |
=|
| ולכן משום
(∑ =
יש בדיוק ) ( איברים מסדר dעבור ) |( − 1ו pראשוני .ממשפט גאוס
) ( ) | (∑ = − 1וכמו כן p-1זה מספר האיברים ההפיכים מודולו pולכן מתקיים כי
) ( ) | (∑ = − 1כאשר ) ( זה מספר האיברים שהם מסדר dוזה נובע מכך שכול
סדר מחלק את גודל החבורה ,ושלכול איבר יש סדר אחד בדיוק ולכן איחודם זה כול החבורה .לכן
יש
) ( ∑ = ) ( ∑ וכעת נוכיח כי ) ( ≤ ) ( ולכן יש שוויון .עבור הפולינום − 1 = 0
{1, , , … ,כאשר xאיבר מסדר ) dנניח ( ( ) ≠ 0לכן כול
בדיוק dפתרונות והם }
= פתרון לפולינום ,כלומר איבר מסדר .dאם aלא זר לd
פתרון הוא מהצורה הזו .יהי
נקבל שיש חזקה יותר קטנה של yשתהפוך אותו לאחד ולכן הוא לא באמת מסדר dולכן aזר ל
.dויש לכול היותר ) ( איברים שזרים ל dוקטנים לו ולכן ) ( = ) ( כנדרש.
עבור pראשוני יש בדיוק ) ( − 1איברים מסדר p-1כמו שהוכח לעיל ,ולכן זו כמות הש"פ,
ולכן לכול pראשוני קיים שורש פרמיטיבי!
חבורות:
הגדרה :קבוצה סגורה של איברים עם פעולה אחת ,אסוציאטיבית ,קיים איבר יחידה ,והופכי לכול
איבר .אם היא גם קומוטטיבית לפעולה אז היא אבלית.
)כלומר יוצר(
חבורה ציקלית :חבורה שקיים איבר aכך שלכול ∈ קיים nכך ש =
ההפיכים בחוג הם חבורה לכפל.
בחבורה אבלית סופית כול איבר בחזקת גודל החבורה הוא שווה לאיבר היחידה וזה נובע
מהעובדה שיש חוק צמצום ולכן אם ניקח את כול האיברים בחבורה ונכפיל ב aנקבל nאיברים
שונים חדשים ,אבל יש רק אן איברים ולכן המכפלה שלהם שווה למכפלת האיברים המקורים,
היא אבלית ולכן אפשר לשחק עם הכפל ולקבל ש aבחזקת גודל החבורה זה ההפיך .לכן נסמן
להיות החזקה הקטנה ביותר שהופכת את aלאיבר היחידה.
) (
שורשים פרימיטיבים:
{ , , … ,קבוצה של איברים שונים! כי אחרת אם
אם nזה הסדר של איבר בחבורה אז }
שניים שווים ,נחלק ונקבל סתירה למינמליות של הסדר .כמו כן אלא כול התוצאות שיכולות
להתקבל מחזקה של ,aמחילוק בשארית בסדר.
אז mהוא כפול של הסדר של .aנובע מחלוקה בשארית ומינמליות הסדר .ולכן
אם = 1
הסדר של כול איבר בחבורה מחלק את גודלה )כי הוכחנו שכול איבר בחזקת הגודל זה אחד(
טענה :איבר הוא יוצר של חבורה אמ"מ הסדר שלה הוא גודלה .נובע מכך שמספר האיברים
השונים שיכולים לצאת מהעלאת מספר בחזקה זה הסדר שלו ,ולכן כדי שהוא יצור את כולם
הסדר שלו צריך להיות כמספר האיברים בחבורה .ולכן חבורה סופית היא ציקלית אמ"מ יש איבר
שהסדר שלו הוא גודלה.
שורש פרימיטיבי :מספר הוא שורש פרימיטיבי מודלו mאם הוא יוצר את חבורות ההפיכים ב
) ,( /בפרט הוא עצמו הפיך מודלו ) mולכן זר לו(
אם איבר אינו יוצר בחבורה אז קיים ראשוני בפירוק לראשונים של הסדר כך שהאיבר בחזקת
גודל החבורה חלקי הראשוני הזה יוצא אחד.
לכול ראשוני קיים ש"פ .נובע מכך שמספר האיברים מסדר p-1הוא ( − 1) ≠ 0
=)
(1 +
≡ 1+
לכול aשזר ל .pכי
)
(1 +לכן
,אבל לכול חזקה קטנה יותר של פי נפעיל
) (1 +ולכן הסדר מחלק את
) (≡ 1
שוב את הטענה אבל הפעם עליה ונקבל שזה לא קונג לאחד ,ולכן זה בדיוק הסדר.
.תחילה נקח שורש פרמיטיבי מודולו ,pקיים אחד כזה .ניתן
לכול קיים ש"פ לכול ו
כי אחרת נקח את +שגם הוא שורש פרמיטיבי ,ולפחות אחד מהם
להניח כי ) (≠ 1
לא 1מודולו הריבוע )נובע מלפתוח בינום והעובדה ששורש פרמיטיבי זר לראשוני( .נראה כי
וזה יוכיח שהסדר של gהוא גודל החבורה ולכן ש"פ.
≡1
לכול nשמקיים
|
כאשר aלא מחלק את .Pולכן
=1+
ומההנחה
)= ( − 1
נשים לב
מהטענה על הסדר של
1 +נקבל ש |
לכן ′
=
.ממשפט פרמה מתקיים
≡→1≡ ( )→1
≡
ולכן
) ( ≡
ולכן זה
בחבורת ההפיכים מודולו pמחלק את ' nכלומר ( − 1)| ′כי gש"פ ולכן |
הסדר ,כי הוא בפרט מחלק את הסדר והסדר מחלק אותו ממשפט אוילר.
לכול ∗ 2גם יש שורש פרמיטיבי .זה נובע מכפליות פונקציות אוליר והעובדה ש (2) = 1
ושל יש ש"פ ולכן הוא גם ש"פ מודולו ∗ 2כי שום חזקה שקטנה מהסדר של החבורה הזו
לא תהפוך אותו לאחד.
=
לשום מספר אחר מלבד 2,4, ,אין שורש פרמיטיבי ) pלא .(2כי עבור כול
מתקיים ) ( ) ( = ) ( כי הם זרים ושניהם שונים משתיים ולכן הפי שלהם זוגי לכן
≡ 1ולכן הסדר של g
)
(
) (
) (
ולכן משום שהם
וכנל עבור
=
נשים לב כי ממשפט אוילר ) (≡ 1
זרים יש גם פתרון מודולו המכפלה ממשפט השאריות הסיני ,ולכן שום xאינו ש"פ.
נשים לב שלשמונה אין שורש פרמיטיבי )מבדיקה( ולכן נובע שלכול חזקה של שתיים שגדולה
משמונה אין ש"פ כי אם היה הוא היה גם עבור שמונה.
ש"פ מודולו mאמ"מ gcd , ( ) = 1נובע
נשים לב שאם gש"פ מודולו mאז
(
)
( שורשים
ממשחקים עם מינמליות הסדר .ולכן בהנתן שקיים ש"פ כלשהו אז יש בדיוק )
פרימיטיבים מודולו ,mכי הש"פ הראשון פורש את כול החבורה ,ולכן רק החזקות שלו שזרות
לפי של אם יהיו גם ש"פ.
שאריות מסדר :n
aזר ל mיקרא שארית מסדר nמודולו mאם קיים איקס כך ש ) ( ≡
קרטריון אוילר :עבור mשקיים לו ש"פ אז aזר ל mשארית ריבועית מסדר nאמ"מ מתקיים
) (
≡ ו
כאשר )) ( . = gcd( ,נשים לב כי קיים ש"פ נסמן .gלכן
אמ"מ ) ( )|( −
אמ"מ
אמ"מ ≡ 1
≡
≡ אמ"מ
)כי gש"פ ולכן זה הסדר שלו( ולמשוואה הזו יש פתרון עבור yאמ"מ
) (≡ 1
≡ ולכן
)) ( ( ≡
) (
| ) ( ,
ולכן = 1
) (
.gcdלכן אם aהיא שארית מסדר nאז | ) ( ,
) (
) (
=
=) (
) (
.מצד שני אם ) (≡ 1
ולכן
=
gcdולכן
) (
אז = 1
לכן
) (
=
) (
|) ( ולכן
כאשר kשלם ולכן | ולכן יש שארית מסדר .n
ניתנת לפתרון אמ"מ ) (≡ 1
קריטריון אוילר ריבועי≡ ( ) :
או ניתן להוכיח המקרה הפרטי בעזרת ש"פ.
.נובע מהקריטריון הכללי
שאריות ריבועיות:
שארית ריבועית מודלו אמ"מ הוא שארית ריבועית מודולו .אם יש פתרון מודולו ברור
נבחר gש"פ מודולו pומודולו
כי אותו הפתרון הוא פתרון גם מודולו .pבהנתן פתרון ) ( ≡
לכן
≡
≡ כמו כן ) ( ≡ לכן ) (
≡ ולכן גם ) (
)קיים כזה( אז ) (
= לכן
לכן − 1|2 −ולכן mזוגי ולכן = 2אז ) (
) (≡ 1
= ולכן שארית ריבועית .דרך נוספת להוכיח את זה זה בעזרת למת הנזל ,אם יש
) (
פתרון מודולו pניתן להעלות אותו לפתרון מודולו p^kכי הנגזרת לא מתאפסת.
שארית ריבועית מודולו חזקה של שתיים רק אם הוא שארית ריבועית מודולו .8נובע מהעובדה
שלחבורת ההפיכים מודולו כול חזקה של שתיים יש שני יוצרים ,חמש ומינוס אחד.
= 2אמ"מ הוא שארית ריבועית מודולו כול אחד בנפרד.
…
שארית ריבועית מודלו
)נשים לב שהחלקי שתיים נובע מקריטריון אוילר עבור חזקה
כלומר מתקיים ) (≡ 1
שתיים והעובדה ש ) ( תמיד זוגי לכול ראשוני מלבד (2ובנוסף aשארית ריבועית מודולו 2
כלומר אם eגדול משלוש אז התנאי שרשום לעיל ,אחרת אם eהוא שתיים צריך ש aשארית
ריבועית מודולו .4נובע ממשפט השאריות הסיני.
סימון לג'נדרה :עבור pראשוני אי זוגי ו aשלם נסמן
המוגדר להיות 1אם aשארית ריבועית
מודלו 1- ,pאם הוא אי שארית ,ולא מוגדר אם aלא הפיך מודלו .p
o
o
≡
) (
=
נובע משילוב של קריטריון אוילר ומשפט פרמה.
→) ( ≡
=
o
.נובע ישירות מסעיף א )אינטואיציה :אם שניהם שארית ריבועית ברור
שהכפל גם שארית ריבועית .אם שניהם לא שארית ריבועית אז שניהם נוצרים מחזקה
אי זוגית של הש"פ ולכן המכפלה היא חזקה זוגית של הש"פ ולכן שארית ריבועית(
יש אותה כמות של שאריות ריבועיות כמו של אי שאריות .נובע מהעובדה ש ≡ ±1
שורשים לכול היותר הן עבור מינוס והן עבור פלוס .אבל לכול איבר בחבורה ,אם נעלה אותו
בחזקה זו נקבל או אחד או מינוס אחד ,ולכן איחוד השורשים שלהם זה כול החבורה ולכן יש p-1
שורשים ביחד ,ולכן חצי חצי.
−1שארית ריבועית מודולו pראשוני אמ"מ ) ≡ 1(4נובע ישירות מנוסחת אוילר.
)= (−1
יש
2שארית ריבועית מודולו pאמ"מ )≡ ±1(8
שנסתכל על המספרים האי זוגיים כמינוס הנגדי שלהם שהוא זוגי מודולו pאי זוגי .ונקבל שכול
מספר קונגרואנטי למינוס אחד אחד בחזקה הנכונה כפול שתיים כפול משהו שקטן ממחצית של
.p-1נכפיל את כול המשוואות האלה ,נקבל עצרת בשני האגפים ,נצמצם ונקבל סכום של סדרה
חשבונית ובנוסף נשתמש בקריטריון אוילר.
חוק ההדדיות הריבועית :עבור שני ראשוניים ,אי זוגיים מתקיים כי אם אחד לפחות הוא 1
מוד 4אז
=
וזה נובע מכך ש
=−
ואם שניהם 3מוד 4אז
וזה נובע
)ללא הוכחה!!!( עדיין דורש להיות
מסוגלים לפרק לראשוניים כדי לגלות האם שארית ריבועית או לא.
סימן יעקובי :עבור bאי זוגי
…
=
כאשר
…
= .נשים לב שהוא
מקיים את אותן התכונות שמקיים סימן לגנדרה .נשים לב כי אם סימן יעקובי שווה אחד זה לא
אומר ש aשארית ריבועית ,אבל אם הוא כן שארית אז מובטח שסימן יעקובי הוא אחד.
הצפנה במפתח פומבי!!RSA :
= ו pqראשוניים אז לדעת את pqזה כמו לדעת את ) ( ולא ידוע
בהנתן מספר כך ש
כיום אלגוריתם פולינמיאלי בלוג המספר.
צד אחד בוחר שני מספרים ראשוניים גדולים p,qומכפיל אותם כדי לקבל .nהוא מסוגל לחשב
את ) ( כי הוא יודע הפירוק לראשונים .לאחר מכן הוא בוחר מפתח eשזה מספר זר ל ) (
ומחשב לו הופכי ,d,מודולו ) ( במהירות)אלגוריתם אוקלידס( .לאחר מכן הוא מפרסם את n
ואת eשזה המפתח הפומבי .כדי לשלוח הודעה מוצפנת אליו כול בנאדם בעולם צריך לקחת את
,כדי לפענח כול מה שצריך לעשות זה לקחת את cהטקסט
Pהטקסט שלו ולבצע ) (
ולכן
אבל )) ( (≡ 1
ולכן בסופו של דבר נקבל ) (
המוצפן ולבצע ) (
ממשפט פרמה נקבל פשוט את .pנשים לב כי בהנתן nקשה מאוד לחשב את ) ( כי זה שקול
לפירוק לראשונים ,ולא ניתן למצוא את ההופכי מבלי לדעת את ) (
בדיקת ראשוניות:
משום שאם
עדי פרמה :בהנתן מספר ,nמספר bשקטן ממנו יקרא עד פרמה אם ) (≠ 1
nהיא ראשוני אז לא יכול להתקיים bכזה ממשפט פרמה ,ולכן bהוא עד ש nמורכב.
מספר קרמייקל :הוא מספר מורכב שאין לו עדי פרמה .כלומר לכול bמתקיים ) (≡ 1
למרות שהוא לא ראשוני.
oברור כי מספר קרמייקל לא יכול להיות זוגי כי אז − 1יהיה אי זוגי ואז −1יהיה עד.
oלמספר קרמייקל אין גורם ראשוני שמחלק אותו פעמיים או יותר .נניח בשלילה כי
מחלק את )nו Lהסדר שלו ב (nאז נסתכל על ש"פ gמודולו מההנחה מתקיים
)( − 1
ולכן | − 1
ולכן | − 1
ולכן ) (≡ 1
) (≡ 1
אבל ≥ 2ולכן | − 1אבל | סתירה.
o
o
אם nמספר קרמייקל אז לכול ראשוני | מתקיים − 1| − 1וזאת משום שלכול
ראשוני קיים ש"פ בחבורת ההפיכים שלו ,שהש"פ בחזקת n-1יתן ,1ולכן הסדר של
החבורה מחלק את ,n-1וסדר החבורה זה בדיוק p-1כנדרש.
אם … = כך ש ראשוניים אי זוגיים שונים ,ומתקיים − 1| − 1אז n
לכול pכי הסדר
מספר קרמייקל משום שלכול bקטן מ nוזר לו מתקיים ) (≡ 1
ולכן ) (≡ 1
מחלק אותו .ולכן המכפלה שלהם מחלקת את − 1
סולובי שטראסה :נשים לב כי אם nראשוני אי זוגי ו bזר לו אז ) (
אז nאינו ראשוני .אזי בהנתן מספר אן חשוד
≠
מספר nאם נמצא עד bכך ש ) (
נגריל כמות של מספרים שקטנים ממנו ונבדוק שהם זרים לו ,אם אחד מהם לו אז הוא מורכב.
אם כולם זרים עבור כולם נעלה בחזקה ונשווה לסימן יעקובי שלהם ,אם איפשהו אין שוויון אז אן
מורכב ,אחרת אן עבר את המבחן ובסיכוי חצי במספר האיברים שהגרלנו טעינו והוא למעשה
מורכב.
עבור nמורכב אי זוגי קיים לפחות עד אחד .אם nאינו קרמייקל אז קיים עד פרמה ,ואותו העד
יהיה גם עד סולובי שטראסה .נניח והוא כן קרמייקל אז אין ראשוני שמחלק אותו פעמיים ,ולכן
לכול pגורם ראשוני שלו מתקיים = 1
,
,gcdנבחר bכלשהו אי שארית מודולו )pבהכרח
יש כזה( וממשפט השאריות הסיני נמצא ) ( ≡
וכן שארית מודולו
ולכן סימן יעקובי = −1
≠
בחרנו אותו ולכן
≡
≡1
;
=
/
לכן xהוא אי שארית מודולו p
אבל בבירור ) (≡ 1
כי ככה
ולכן גם מודולו nאין שוויון ולכן הוא עד.
עבור nמורכב ואי זוגי לפחות חצי מהמספרים שקטנים ממנו וזרים לו הם עדי סולובי שטראסה
עבורו .תהי } … { ,קבוצה של איברים שונים זרים ל nוקטנים ממנו כך שהם לא עדים כלומר
) (
≡
) (
≠
.הוכחנו שקיים לפחות עד bזר לאן אחד לכך שאן מרוכב ,כלומר
.נסתכל על הקבוצה }
{ , … ,שהיא השאריות של חילוק
≠
השאריות שונות משום ש שונים וכולם קטנים מאן .כעת נראה כי
איברים שונים זרים ל nולכן ) ( ≤ 2כנדרש .ברור כי השאריות שונות מ
שהשאריות הן למעשה עדים כי
ולכן בהנתן
≡
רבין מילר :בהנתן מספר nחשוד מתקיים
≠
−1=2
ב .nמובטח כי
ולכן קיבלנו 2k
משום
.
כך ש tאי זוגי .נגריל בסיס bכלשהו זר
= .אם האיבר
) ( = ( ) ...
ל nוקטן ממנו ,נחשב את הסדרה הבאה ) ( =
הראשון בסדרה הוא פלוס מינוס אחד נאמר כי אן עובר את המבחן ונגריל בסיס אחר .אם האיבר
הראשון אינו פלוס מינוס אחת אבל איפשהו לאורך הסדרה מופיע −1גם כן נאמר שאן עבר
ונגריל אחד אחר .אולם אם האיבר הראשון אינו פלוס מינוס אחת ולאורך כול הסדרה מלבד
האיבר האחרון ממש ,כולם שונים ממינוס אחד אז אן אינו ראשוני ,כי אם הוא היה ראשוני אז
מפרמה האיבר הממש אחרון היה 1ולכן אם מדובר בשדה ראשוני ,ולא התחלנו מאחד בתחילת
השרשרת אז איפשהו בדרך היינו חייבים לעבור במינוס אחד ,כי יש רק שני מספרים שהם
בריבוע נותנים אחד)במידה והוא אכן ראשוני וזה שדה(.
oעדים :נשים לב כי עדי פרמה הם גם עדי רבין מילר ,משום שעבור עד פרמה ) (≠ 1
ולכן מובטח שבשום מקום לאורך השרשרת לא היה אחד או מינוס אחד ולכן זה גם עד
רבין מילר.
oלכול מספר קיים עד רבין מילר .אם הוא מהצורה הוא אינו קרמייקל ולכן יש עד פרמה
ולכן גם עד רבין מילר .אם הוא לא מהצורה הזו אז ניקח | כך ש זה הסדר שלו לכן
ממשפט השאריות הסיני אפשר למצוא bכך ש ) ≡ 1( /ו ) ( ≡ −1ולכן עבור
וכמו כן
משום ש tאי זוגי מובטח ) ( ≡ −1
האיבר הראשון בסדרה ) ( ≡
ולכן לא יהיה −1לאורך כול
≡
אבל ) (≡ 1
ולכן ) (≠ ±1
) ≡1( /
הסדרה והאיבר הראשון אינו +-1ולכן זהו עד לכך שאן מורכב.
oאם אן מורכב לפחות שלושת רבעי מהזרים לו הם עדי רבין מילר )ללא הוכחה(
פולינומים :הפולינומים זה חוג עם חיבור וכפל ,זה למעשה תחום שלמות.
פולינום זה לא הפונקציה שהוא מגדיר אלא ביטוי המקדמים .מעל כול שדה סופי)כלומר מודולו
אבל זה לא פולינום האפס.
מספר ראשוני (pמתקיים − ≡ 0
ההפיכים בחוג הפולינומים הם רק ההפיכים בשדה ,כי פולינום ממעלה אחד או יותר כפול שום
פולינום שאינו האפס לא יקטין מעלתו ולכן לא יהיה שווה אחד.
יש חלוקה בשארית בחוג הפולינומים .מוכיחים באינדוקציה על המעלה וטיפול במקדם הגדול
ביותר.
כול פולינום שאינו קבוע הוא מכפלה של אי פריקים ,באינדוקציה ממש כמו בשלמים ,ולכן משום
=) (
( )+
כי אם
קיום אלגוריתם אוקלידס אז הפירוק הוא יחיד כי ) (
ראשוני מחלק מכפלה של שניים אז הוא מחלק לפחות אחד.
לפולינום ממעלה nיש לכול היותר nשורשים .באינדוקציה ,והעובדה שאם מספר הוא שורש של
פולינום אז המשוואה הלינארית שהוא שורש שלה מחלקת את הפולינום )מחלוקה בשארית( ולכן
באופן טריוויאלי אם שני פולינום ממעלה nמזדהים על n+1נקודות אז הם זהים )כי לפולינום
ההפרש יש יותר מדי שורשים(
(
()
)
(
)
−1− −1
) ( ( − 1)! ≡ −1נובע מכך שהפולינום ) − 2 … ( − − 1
מתאפס על p-1נקודות שונות ממשפט פרמה ,אבל הוא ממעלה קטנה מ p-1ולכן הוא פולינום
האפס ולכן עבור הצבה של אפס נקבל !) −1 ≡ (−1) ( − 1אבל pאי זוגי) .עבור 2זה קל(
כאשר ) |( − 1יש בדיוק dפתרונות .יש לכול היותר dכי זה פולינום .יש
למשוואה = 1
שלו יש בדיוק p-1מפרמה .והעובדה שאנחנו יודעים איך
בדיוק מחלוקה בשארית עם − 1
נראית החלוקה של שני הפולינומים האלה.
דברים אקראים ויפים:
בשלמים שקול ללמצוא נקודות
+
=
רציונלי על המעגל :לפתור את המשוואה
רציונליות על מעגל היחידה .כדי לעשות זאת נעביר ישר מנקודה רציונלית על המעגל שתחתוך
את המעגל ותגיע לציר האיקס .ברור שאם נקודת החיתוך עם המעגל רציונלית אז גם נקודת
החיתוך עם ציר איקס רציונלית ולכן זה תנאי הכרחי )מדמיון משולשים( .הטענה היא שזה גם
תנאי מספיק .זה נובע מהצבה בנוסחא של המעגל את הקשר שקיבלנו מהדמיון ,ושימוש
בנוסחאת וייטה למשוואה ריבועית .כך ניתן למיין את כול הנקודות הרציונליות על המעגל.
למת הנזל :נרצה למצוא שורשים שלמים של פולינום עם מקדמים שלמים מודולו .mיהיה
שהוא גם שקול ל rמודולו
( ( ) ≡ 0נרצה למצוא שורש ל
] [ ∈ ) ( כך ש )
ו tנתון על ידי הנוסחא
+
≡0
′( ) ≠ 0( ) oאז קיים ויחיד tכך ש
הבאה
o
o
( )/
) (
. = −זה מוגדר היטיב כי ( ) ≠ 0
ולכן הפיך מודולו
( ) ≡ 0ולכן ) ( |
pכמו כן
(
)
אז
) (≡ 0
(
)
+
אז לכול tשלם ) (≡ 0
≡0
כך שהוא שקול ל rמודולו
( ) ≠ 0( ) אין פתרון מודולו
הוכחה של למת הנזל :נובע מפיתוח טייילור של הפולינום וההבחנה שכול המקדמים בו
נקבל שכמעט הכול מצמצם
+
הם שלמים ולכן אם נפתח סביב rונציב
מהמודולו
) ( ≡−
ולכן
ולכן כול המקרים מתקיימים כנדרש.
מסקנה :אם יש פתרון לפולינום מודולו pוהנגזרת לא מתאפסת מודולו pאז יש פתרון לכול חזקה
) ( )
= משום שכול הפתרונות שקולים מודולו pאז
( −
של pוהוא מקיים
גם הנגזרות שקולות ולכן גם ההופכי ולכן ניתן להשתמש בהופכי של הראשון.
=) ( .
חוג השלמים של גאוס . [ ] = { + | , ∈ } :נגדיר נורמה למספר כנ"ל
מתקיים שנורמה תמיד מספר שלם ואי שלילי ,ואפס אמ"מ . = 0כמו כן נורמה היא כפלית.
איבר הפיך בחבורה הזו אמ"מ הנורמה שלו .1
oחלוקה בשארית :ניתן לחלק בשארית בחוג הנ"ל .כלומר לכול ,קיימים ,כך ש
= ו ) ( < ) ( .נסתכל על ∈ [ ] = +ולכן ניתן לקחת את
+
השלמים הקרובים ביותר ל
מתקיים +
) (
ולכן ניתן לצמצם ) (
) (
≡ ) (
=
,נסמן
,
; < ) ) +( −
אז
+
=
ו
=( −
−
=
= .ברור כי
=
) (
) (
= הוא בהכרח נורמה של
+
oסכומי ריבועים :נשים לב כי כול שלם שמקיים
איזשהו שלם גאוסיני .כמו כן נשים לב כי מכפלה של שני סכומי ריבועים היא גם סכום
ולכן גם
ריבועים כי נורמה היא כפלית כלומר ) ( = ו ) ( = אז ) ( =
סכום ריבועים ,לכן נתעניין מתי ראשוני הוא סכום ריבועים .נשים לב שראשוני שהוא
שלוש מוד ארבע אינו סכום ריבועים משיקולי שארית חלוקה בארבע .נשים לב שכול
ראשוני שהוא אחד מוד 4הוא סכום ריבועים וזה משום ש -1הוא שארית ריבועית עבורו
| עבור mכלשהו ולכן ) |( + )( −אבל בברור הוא לא מחלק אף
ולכן + 1
אחד מהם ולכן לא יתכן שהוא ראשוני ,אבל נשים לב שהנורמה שלו היא הוא בריבוע
ולכן הפירוק שלו לגורמים צריך להיות לשני מספרים שהנורמה שלהם היא pכי הוא כן
ראשוני מעל השלמים .ולכן הפירוק חייב להיות ) = ( + )( −משום שהחלק
המדומה חייב להעלם ,ולכן נקבל שפי הוא סכום ריבועים.
oפריקים :נשים לב שעבור ∈ ראשוני הוא פריק ב ] [ אמ"מ הוא נורמה )ובפרט
אם הוא 3מוד 4הוא נשאר אי פריק( .אם הוא נורמה ברור שהוא פריק כי הוא מכפלה
שלא מספר והצמוד שלו .אם הוא פריק אז הנורמה שלו זה הוא בריבוע וזה שווה
למכפלת הנורמות ,אבל pראשוני בשלמים ולכן נורמת כול אחד מהגורמים שלו שווה
ל pולכן הוא נורמה.
כאשר dאינו ריבוע )כי אחרת היה רק פתרון אחד כי ריבוע ועוד
−
משוואת פל= 1 :
אחד הוא לעולם לא ריבוע פרט לאחד( וכמו כן dחיובי כי אחרת היה רק הפתרון הטריוויאלי .אז
הפתרונות של משוואת פל הם ] √[ ∈ כך שהנורמה שלהם אחד ,כי הנורמה שלהם היא
בדיוק משוואת פל ,ולכן מכפליות הנורמה כול חזקה של הפתרון היא גם פתרון כי הנורמה תשאר
אחד ,וכמו כן גם ההופכי של הפתרון יהיה פתרון )ברור שאם xפתרון למשוואת פל אז הוא הפיך
בחוג ] √[ כי הנורמה שלו אחד( .כמו כן חלוקה של שני פתרונות גם תניב פתרון כי נורמה
כפלית והנורמה של שניהם אחד ולכן גם של החלוקה.
כלומר איברים שהנורמה שלהם מינוס אחד.
−
oמשוואת פל שלילית= −1 :
לכן ברור שפתרון של פל שלילית בריבוע יהיה פתרון של פל .יתר כל כן כול פתרון של
פל חיובית הוא מכפלת פתרונות של פל שלילית )דורש הוכחה(.
oמשפט דירכלה :לכול אי רציונלי יש אינסוף רציונלים מצומצמים ∈ כך ש
<
−
.לכול nטבעי ניתן לחלק את הקטע ) [0,1ל nקטנים חצי פתוחים בגודל
0, , 2 , … ,ולכולם נתבונן בחלק השברי .משובך היונים יש
.1/nכעת נסתכל על
שניים שהם באותו תת קטע של הקטע ) [0,1ולכן המרחק ביניהם קטן מ 1/nאזי
< |)] [ −
( ]) −
[−
(| כאשר Kו jשונים .לכן
∈
=]
[ [ ] −ולכן
מתקיים
<
< | ) | − ( −וכמו כן ≠ 0
−
אבל
≤
<
ולכן
−
= −
√+ 2
o
>
משום שקסי אי רציונלי
המכנה לעולם לא יתאפס ולכן זה מוגדר וקיים טבעי כזה .אז נמצא קירוב חדש ומובטח
שהוא שונה מהקירוב הישן ,משוב שהקרוב הישן קרוב עד כדי 1/mמהאופן שבו בחרנו
את mוהקירוב החדש קרוב יותר מ 1/m
קיים Mכך ש < |
| −עבור אינסוף זוגות ) .( ,ממשפט דירכלה יש
אינסוף זוגות ) ( ,כך ש
o
ולכן
אזי מצאנו אחד .כדי למצוא את הבא
נבצע אותו התהליך עבור nטבעי חדש המקיים
o
<|
| −לכן מתקיים
≤
<
√ −
√ − √ +2
כי √ אי רציונלי .ולכן מאש משולש נקבל
√ −
≤
√ +
=|
−
| ולכן אם
נבחר = 2√ + 1נצחנו .לכן יש ערך שמתקבל אינסוף פעמים משובך היונים.
למשוואת פל יש פתרון לא טריוויאלי :ממה שראינו לעיל יש אינסוף זוגות שונים כך ש
עבור mכלשהו ולכן בהרכח קיימים שני זוגות של פתרונות ששני
−
=
הרכיבים שלהם קונגרואנטים מודולו mמשובך היונים .אזי ,שני פתרונות כנל ולכן
ולכן יש שוויון גם בנורמות והנרומה
מחישוב ישיר נקבל | ולכן ) = ( +
של a,bהיא mולכן נקבל ( + ) = 1ומובטח לנו שזה לא הפתרון הטריוויאלי כי
אז היינו מקבלים ששני הפתרונות שהתחלנו איתם היו זהים.
למשוואת פל יש אינסוף פתרונות :ידוע כי קיים לפחות פתרון אחד ולכן ניתן להסתכל
על הפתרון ששני רכיביו חיוביים המינמלי נסמנו ברור גם כי ±הינו גם פתרון.
≠ ולכן מתקיים
נראה שאלו כול הפתרונות .נניח יש פתרון אחר חיובי כך ש
חיובי זו סתירה
< 1ולכן אם נוכיח ש
ולכן <
< <
למינמליות של כי ברור שהוא פתרון כי הנורמה שלו .1מוכיחים שהפתרון אכן חיובי
ממשחקי אלגברה והופכיות והעובדה שהופכי של מספר חיובי הוא גם חיובי ,וההופכי
של גדול מאחד הוא קטן מאחד .עבור פתרון שהרכיב השני שלו שלילי אז ההופכי שלו
יהיה חזקה של הפתרון המינמלי ולכן הוא חזקה שלילית שלו .עבור פתרון שהרכיב
הראשון שלילי ,נסתכל על הנגדי שלו וזה פתרון שהרכיב שלו חיובי ולכן הוא חזקה
מתאימה.
+
שברים משולבים :שבר משולב סופי הינו
כך שכולם מלבד
חיוביים .אם
…
כולם שלמים זה יקרא שבר משולב סופי פשוט.
oכול מספר רציונלי ניתן לכתוב כשבר משולב סופי פשוט .זה נובע מסופיות אלגוריתם
אוקלידס .נשים לב אבל שהכתיבה לא יחידה.
זה האיברים בשבר
כאשר
=
+
ו
=
+
oנגדיר
אז ] … = [ ,כלומר
=
= ו
+1
=1
=
המשולב ,ו
הפיתוח עד השלב ה jמקיים
o
o
o
o
=
ונקרא הקונברגנט מוכיחים באינדוקציה ולפי
ההגדרה של הסדרות.
כנ"ל באינדוקציה ולפי הגדרה .ולכן gcd( , ) = 1
−
)= (−1
עוד כול מיני טענות באינדוקציה שגוררות שהקומברגנטים הזוגיים זו סדרה עולה והאי
זוגיים סדרה יורדת.
נגדיר שבר משולב אינסופי להיות סדרה אינסופית כמו לעיל אזי קיים לה גבול כי היא
בנויה משני תתי סדרות מתכנסות כי הן מונוטוניות חסומות וההפרש בינהן שואף
לאפס .בדרך כלל סדרה כזאת תתכנס למספר אי רציונלי.
בהנתן מספר אי רציונלי ניתן לייצר שבר משולב ששואף אליו על ידי לקיחת כול פעם
הערך השלם ,ולקיחת ההופכי של החלק השברי ואז שוב החלק השלם וחוזר חלילה.
o
o
שבר משולב מחזור :קיים מחזור החל ממקום מסוים ,וזה מתכנס למספר אי רציונלי
מסדר ריבועי שזה רציונלי ועוד שורש של רציונלי.
עבור משוואת פל ניתן לפתח את √ לשבר משולב ולפי אורך המחזור והסדרה
שהתקבלה במהלך הפיתוח ניתן לדעת הפתרונות למשוואה החיובית והשלילית והאם
קיים בכלל פתרונות לשלילית.
© Copyright 2024