טענות בתורת המספרים

‫טענות בתורת המספרים‬
‫הגדרות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫מספר ‪ a‬יקרא הפיך אם קיים ‪ b‬כך ‪ = 1) . ab=1‬איבר היחידה בחבורה(‬
‫מספר ‪ a‬יקרא אי פריק אם ‪ a‬לא הפיך ולכול פירוק ‪ a=bc‬או ‪ b‬או ‪ c‬הפיכים‪.‬‬
‫מספר טבעי ‪ a‬יקרא מורכב אם ‪ a=bc‬ו ‪> 1, > 1‬‬
‫מספר טבעי יקרא ראשוני אם הוא שונה מ‪ 1‬ואינו מורכב‪ ,‬כלומר יש לו רק שני מחלקים שונים‬
‫טבעיים‪.‬‬
‫| ‪ .gcd( , ) = ↔ | ,‬יחיד עד כדי כפל בהפיך‪.‬‬
‫| → | | ‪∀ :‬‬
‫נאמר ‪ a,b‬זרים אם ‪gcd( , ) = 1‬‬
‫פולינום יקרא מתוקן אם המקדם של החזקה הגבוה ביותר שלו הוא אחד‪.‬‬
‫חלוקה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪| ^ | → =±‬‬
‫| → | ^ |‬
‫= ו < ‪ .‬הוכחה‬
‫חלוקה בשארית‪ :‬עבור ‪ a,b‬מספרים שלמים קיימם ‪ q,r‬כך ש ‪+‬‬
‫‪ −‬לכול ‪ x‬שלם ולקיחת האיבר האי שלילי הקטן ביותר‪.‬‬
‫מהסתכלות על הקבוצה‬
‫| נובע מכך שלשני איברים יש צ"ל שהוא ה ‪ ,gcd‬ואז הכפלה ב‪.c‬‬
‫| → ‪gcd( , ) = 1‬‬
‫אם זר ל ‪ m‬לכול ‪ i‬אז המכפלה שלהם גם זרה ל ‪.m‬‬
‫‪ gcd ,‬לכול ‪ I,j‬שונים ו | לכול ‪ i‬אז המכפלה שלהם גם מחלקת את ‪ .N‬נובע‬
‫אם ‪= 1‬‬
‫מאינדוקציה והעובדה שכול איבר זר למכפלת כול השאר ולכן ניתן לכתוב צ"ל שלהם שייתן אחד‬
‫ואז נכפיל באן את שני האגפים‪.‬‬
‫= ! ומתקיים ! | וכמו כן !) ‪ ⫮ ! ( −‬כי ‪ p‬ראשוני‬
‫| לכול < ≤ ‪ 1‬כי !) ‪! ( −‬‬
‫ו‪ k‬קטן מ ‪ p‬ושונה מאפס‪ .‬לכן‬
‫|‬
‫ראשוניים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כול מספר שלם שונה מאפס הוא מכפלה של ראשוניים ו ‪ .1-‬הוכחה באינדוקציה מפגרת‪ .‬ולכן‬
‫לכול מספר שלם ‪ a‬ומספר ראשוני ‪ p‬נסמן ) (‬
‫להיות החזקה הגבוה ביותר של ‪ p‬שמחלקת‬
‫את ‪.a‬‬
‫| → |‬
‫בתחום אוקלידי לכול ‪ p‬ראשוני מתקיים |‬
‫הפירוק לראשוניים ב‪ Z‬הוא יחיד והחזקה של כול ראשוני בפירוק היא בדיוק הסדר שלו במספר‪.‬‬
‫יש אינסוף ראשוניים‪ .‬מניחים בשלילה שיש כמות סופית ומייצרים אחד חדש‪.‬‬
‫יש אינסוף ראשונים )‪ ≡ 3(4‬כי מספר שהוא ‪ 3‬מוד ‪ 4‬לפחות אחד מהגורמים הראשונים שלו‬
‫הוא שלוש מוד ‪) 4‬כי כולם אי זוגיים אז הם או ‪ 1‬או ‪ ,3‬ואם כולם אחד גם הכפל אחד( לכן נניח‬
‫שיש כמות סופית‪ ,‬נכפיל את כולם ואז בארבע ונחסיר אחד‪ .‬זה ‪ 3‬מוד ‪ ,4‬ולכן יש ראשוני ‪ 3‬מוד ‪4‬‬
‫שמחלק אותו‪ ,‬ולכן יצרנו ראשוני חדש‪.‬‬
‫יש אינסוף ראשוניים )‪ . ≡ 1(4‬נניח בשלילה שיש רשימה סופית ונסתכל על ‪(2 … ) + 1‬‬
‫אזי קיים גורם ראשוני ‪ p‬שמחלק אותו‪ ≠ .‬וכמו כן מתקיים שהמספר לעיל הינו פתרון‬
‫ולכן ‪ -1‬הוא שארית ריבועית ולכן )‪ ≡ 1(4‬ולכן הרשימה לא סופית‪.‬‬
‫למשוואה ) ( ‪≡ −1‬‬
‫‪ +‬אם ‪ gcd( , ) = 1‬אז יש אינסוף ראשוניים בה‪.‬‬
‫משפט דירכלה‪ :‬עבור סדרה חשבונית‬
‫משפט המספרים הראשוניים‪= 1 :‬‬
‫) (‬
‫‪/‬‬
‫→‬
‫‪ lim‬כאשר |} ≤‬
‫‪( ) = |{ :‬‬
‫‪‬‬
‫קיים מקום שהחל ממנו בין כול מספר טבעי להוא כפול שתיים יש ראשוני‪ .‬נובע מחישוב גבולות‬
‫ומשפט המספרים הראשוניים‪.‬‬
‫∫‪| ( )−‬‬
‫√ <|‬
‫השארת רימאן‪:‬‬
‫‪‬‬
‫עבור מספר גדול מספיק יש ראשוני בינו לבין איקס ופעמים הוא והמספר הזה הוא ‪ .2567‬נובע‬
‫ממשחקי חדווא עם הטענה לעיל‪.‬‬
‫השערת גולדבאך‪ :‬כול מספר זוגי גדול מארבע הוא סכום של שני ראשוניים)לא בהכרח שונים(‬
‫השערת טרנארי‪ :‬כול מספר אי זוגי הוא גדול מחמש סכום של שלושה ראשוניים )מוכח!(‬
‫השערת התאומים‪ :‬יש אינסוף ראשוניים שההפרש בינהם הוא ‪) .2‬הוכח השנה שיש אינסוף‬
‫ראשנויים שההפרש בינהם קטן מ‪ 70‬מיליון(‬
‫כי ‪− 1| − 1‬‬
‫אם נרצה שזה יהיה ראשוני אז ‪ = 2‬ו‬
‫מספרי מרסן‪− 1 :‬‬
‫)נוסחא פשוטה( וכנ"ל אם ‪ n‬מורכב‪ .‬לכן נרצה ‪2 − 1‬‬
‫לא קיימים פתרונות שלמים עבור ‪> 2‬‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫המשפט האחרון של פרמה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫משוואות לינאריות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר פותרים עבור ‪ x,y‬שלמים‪ .‬תנאי הכרחי‬
‫‪+‬‬
‫הגדרה‪ :‬משווה דויפאנטית לינארית =‬
‫לקיום פתרון | ) ‪ .gcd( ,‬ואם זה מתקיים אז יש אינסוף‪ ,‬כך שאם ‪ ,‬פתרון אז כול פתרון‬
‫אחר‬
‫‪‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫;‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫כאשר ) ‪ . = gcd( ,‬והפתרון‬
‫‪,‬‬
‫נובע מכתיבת ‪a,b‬‬
‫כסכום שמניב את המ‪.‬מ‪.‬מ ואז הכפלה במה שצריך כדי לקבל את ‪ .c‬העובדה שכול פתרון אחר‬
‫הוא מהצורה הנ"ל נובעת מחיסור המשוואת‪ ,‬חלוקה ב ‪ d‬והעובדה שלאחר החלוקה הם זרים‪.‬‬
‫כאשר פותרים עבור ‪ x‬וכול השאר שלמים‪ .‬יש פתרון‬
‫הגדרה‪ :‬קונגרואנציה לינארית ) ( ≡‬
‫אמ"מ | ) ‪ gcd( ,‬מאותה הסיבה כמו לעיל‪ .‬ואם יש פתרון אז יש בדיוק ) ‪ gcd( ,‬פתרונות‬
‫שונים מודולו ‪ m‬בדיוק כמו לעיל‪.‬‬
‫חוגים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫קבוצה עם שתי פעולות‪ ,‬אסוציאטיביות‪ ,‬קומוטטיביות לחיבור‪ ,‬איבר אפס‪ ,‬איבר יחידה! ופילוג‬
‫וקיום איבר נגדי לחיבור‪.‬‬
‫אידאל‪ :‬תת קבוצה של חוג אם היא סגורה לחיבור בתוך עצמה‪ ,‬ולכפל בכול איבר בחוג‪ .‬אידאל‬
‫ראשי הוא אידאל שמוגדר ככול האברים שהם כפל באיבר כלשהו בחוג‪.‬‬
‫כול אידאל ב ‪ Z‬הוא אידאל ראשי‪ ,‬למעשה כול אידאל בתחום אוקלידי הוא אידאל ראשי‪ ,‬נובע‬
‫מקיום חלוקה בשארית ולקיחת איבר חיובי מינמלי‪ ,‬שהוא למעשה ה ‪.gcd‬‬
‫מחלק אפס ‪ x‬הינו איבר בחוג שונה מאפס כך שקיים ‪ y‬שונה מאפס כך ש ‪= 0‬‬
‫תחום שלמות הוא חוג ללא מחלקי אפס‪ .‬למשל חוג השלמים‪.‬‬
‫תחום אוקלידי הוא תחום שלמות עם העתקת נורמה וחלוקה בשארית‪ .‬בתחום שלמות כול אידאל‬
‫הוא ראשי‪ ,‬יש מ‪.‬מ‪.‬מ‪ ,‬כול איבר לא הפיך הוא מכפלה של אי פריקים‪ ,‬כול איבר אי פריק הוא‬
‫ראשוני כלומר | ו אי פריק אז הוא מחלק לפחות אחד מהם ויש פירוק יחיד לראשוניים‪.‬‬
‫הפיכים‪ :‬עבור חוג ‪ A‬נגדיר }‪ . = { ∈ : |1‬זו חבורה‪.‬‬
‫קונגרואנציה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הגדרה‪( ) ↔ |( − ) :‬‬
‫≡ ‪ ,‬זה יחס שקילות‪.‬‬
‫מחלקות קונגרואציה‪ :‬קבוצת כול האיברים שקונגרואנטים מודלו ‪ .m‬יש בדיוק ‪ m‬כאלה‪ ,‬לא יכול‬
‫להיות יותר מחלוקה בשארית‪ ,‬ולא פחות כי ההפרש בין שניים קטן מ ‪.m‬‬
‫השאריות מתנהגות יפה בחיבור ובכפל‪ ,‬הן למעשה חוג ונסמן ‪ . /‬עבור ‪ n‬ראשוני זה למעשה‬
‫יש בדיוק פתרון אחד לכול ‪ a‬זר ל ‪ n‬ואם ‪ n‬ראשוני זה כולם‪ ,‬ולכן‬
‫שדה כי למשוואה ) (‪≡ 1‬‬
‫כולם הפיכים ולכן שדה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫זרים אז יש פתרון‪,‬‬
‫≡ אם‬
‫משפט השאריות הסיני‪ :‬עבור מערכת המשוואות ) (‬
‫נסתכל על מכפלת כול השאר‬
‫וכול שני פתרונות נבדלים ב‪ m‬כאשר ‪ . = Π‬לכול גורם‬
‫כאשר זה מכפלת‬
‫‪+‬‬
‫מלבד הוא‪ ,‬היא זרה לו ולכן יש צירוף שלהם שנותן ‪= 1 .1‬‬
‫לכול ≠ ו ) (‪≡ 1‬‬
‫ברור כי הוא מקיים ) (‪≡ 0‬‬
‫כול השאר‪ .‬נסתכל רק על‬
‫הוא פתרון למערכת‪ .‬כול שני פתרונות נבדלים ב‬
‫∑=‬
‫ולכן נכפיל ב ונקבל כי‬
‫בכול רכיב בנפרד ולכן ב ‪ m‬סה"כ‪.‬‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫כי ∗ ‪ = +‬לכן ‪+‬‬
‫( ≡‬
‫) ( ≡ אז מתקיים )‬
‫מנוסחאת הבינום כאשר כול האיברים ב ‪ A‬מכילים חזקה של ‪ p‬שגדולה מ ‪ l+1‬ולכן‬
‫≡‬
‫עבור ראשוני שונה משתיים‬
‫ושמים לב כי )‬
‫(‬
‫)‬
‫‪≡ 1+‬‬
‫‪≡ 1+‬‬
‫‪+‬‬
‫שלעיל ולכן מחוקי חזקות‬
‫)‬
‫‪ (1 +‬לכול ‪ a‬שלם‪ .‬מוכיחים באינדוקציה‬
‫‪(1 +‬‬
‫‪≡ 1+‬‬
‫)‬
‫מהנחת האינדוקציה פלוס הטענה‬
‫‪ (1 +‬כאשר ‪ B‬נוצר מנוסחאת‬
‫‪≡0‬‬
‫הבינום ולכן‬
‫פונקציית אוילר‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪: gcd( ,‬‬
‫הגדרה‪) = 1}| :‬‬
‫בחוג ‪/‬‬
‫(‬
‫)‬
‫לכול ‪ a,m‬כך ש ‪ . > 2 ; gcd( , ) = 1‬נובע מהעובדה‬
‫משפט אוילר‪≡ 1( ) :‬‬
‫שההפיכים מודולו ‪ m‬זה חבורה אבלית מגודל ) (‬
‫לכול ‪ p‬ראשוני‪.‬‬
‫משפט פרמה‪) :‬מקרה פרטי של אוילר( ) (‪≡ 1‬‬
‫)ברור‪ ,‬כי רק החזקות של ‪ p‬לא זרות לו(‬
‫‪= −‬‬
‫)‪= ( − 1‬‬
‫≤‬
‫≤ ‪ ( ) = |{1‬או במילים אחרות כמה איברים הפיכים יש‬
‫פונקציית אוילר כפלית עבור מספרים זרים‪ .‬נובע מהסתכלות על חבורת ההפיכים מודולו‬
‫המכפלה שלהם ולעשות ממנה איזומורפיזם של חבורות לחבורה שהיא המכפלה הקרטזית של‬
‫ההפיכים מודלו אחד כפול ההפיכים מודולו השני‪ .‬זה איזומורפיזים כי הם זרים ולכן יש פתרון‬
‫יחיד ממשפט השאריות‪ .‬ולכן יש שוויון עוצמות‪.‬‬
‫‪=Π‬‬
‫אז ) ‪ϕ( ) = mΠ(1 −‬‬
‫משפט גאוס‪( ) :‬‬
‫שלהם עם ‪ n‬ונסמן‬
‫)‬
‫| (∑ = ‪ .‬נחלק את כול המספרים } ‪ {1,2, … ,‬לקבוצות זרות לפי ה ‪gcd‬‬
‫קבוצת כול האיברים שה‪ gcd‬שלהם עם ‪ n‬הוא ‪ .d‬ברור שיהיו לנו קבוצות‬
‫כאלה כמספר המחלקים של ‪ .n‬נשים לב ) ( =‬
‫שאיחוד כול הקובצות הללו זה כול ‪ n‬נקבל ) (‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫) |‬
‫‪=1‬‬
‫‪,‬‬
‫(∑ = ) (‬
‫‪: gcd‬‬
‫) |‬
‫=|‬
‫| ולכן משום‬
‫(∑ =‬
‫יש בדיוק ) ( איברים מסדר ‪ d‬עבור )‪ |( − 1‬ו ‪ p‬ראשוני‪ .‬ממשפט גאוס‬
‫) ( ) | (∑ = ‪ − 1‬וכמו כן ‪ p-1‬זה מספר האיברים ההפיכים מודולו ‪ p‬ולכן מתקיים כי‬
‫) ( ) | (∑ = ‪ − 1‬כאשר ) ( זה מספר האיברים שהם מסדר ‪ d‬וזה נובע מכך שכול‬
‫סדר מחלק את גודל החבורה‪ ,‬ושלכול איבר יש סדר אחד בדיוק ולכן איחודם זה כול החבורה‪ .‬לכן‬
‫יש‬
‫) ( ∑ = ) ( ∑ וכעת נוכיח כי ) ( ≤ ) ( ולכן יש שוויון‪ .‬עבור הפולינום ‪− 1 = 0‬‬
‫‪ {1, , , … ,‬כאשר ‪ x‬איבר מסדר ‪) d‬נניח ‪ ( ( ) ≠ 0‬לכן כול‬
‫בדיוק ‪ d‬פתרונות והם }‬
‫= פתרון לפולינום‪ ,‬כלומר איבר מסדר ‪ .d‬אם ‪ a‬לא זר ל‪d‬‬
‫פתרון הוא מהצורה הזו‪ .‬יהי‬
‫נקבל שיש חזקה יותר קטנה של ‪ y‬שתהפוך אותו לאחד ולכן הוא לא באמת מסדר ‪ d‬ולכן ‪ a‬זר ל‬
‫‪ .d‬ויש לכול היותר ) ( איברים שזרים ל ‪ d‬וקטנים לו ולכן ) ( = ) ( כנדרש‪.‬‬
‫עבור ‪ p‬ראשוני יש בדיוק )‪ ( − 1‬איברים מסדר ‪ p-1‬כמו שהוכח לעיל‪ ,‬ולכן זו כמות הש"פ‪,‬‬
‫ולכן לכול ‪ p‬ראשוני קיים שורש פרמיטיבי!‬
‫חבורות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הגדרה‪ :‬קבוצה סגורה של איברים עם פעולה אחת‪ ,‬אסוציאטיבית‪ ,‬קיים איבר יחידה‪ ,‬והופכי לכול‬
‫איבר‪ .‬אם היא גם קומוטטיבית לפעולה אז היא אבלית‪.‬‬
‫)כלומר יוצר(‬
‫חבורה ציקלית‪ :‬חבורה שקיים איבר ‪ a‬כך שלכול ∈ קיים ‪ n‬כך ש =‬
‫ההפיכים בחוג הם חבורה לכפל‪.‬‬
‫בחבורה אבלית סופית כול איבר בחזקת גודל החבורה הוא שווה לאיבר היחידה וזה נובע‬
‫מהעובדה שיש חוק צמצום ולכן אם ניקח את כול האיברים בחבורה ונכפיל ב‪ a‬נקבל ‪ n‬איברים‬
‫שונים חדשים‪ ,‬אבל יש רק אן איברים ולכן המכפלה שלהם שווה למכפלת האיברים המקורים‪,‬‬
‫היא אבלית ולכן אפשר לשחק עם הכפל ולקבל ש‪ a‬בחזקת גודל החבורה זה ההפיך‪ .‬לכן נסמן‬
‫להיות החזקה הקטנה ביותר שהופכת את ‪ a‬לאיבר היחידה‪.‬‬
‫) (‬
‫שורשים פרימיטיבים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ { , , … ,‬קבוצה של איברים שונים! כי אחרת אם‬
‫אם ‪ n‬זה הסדר של איבר בחבורה אז }‬
‫שניים שווים‪ ,‬נחלק ונקבל סתירה למינמליות של הסדר‪ .‬כמו כן אלא כול התוצאות שיכולות‬
‫להתקבל מחזקה של ‪ ,a‬מחילוק בשארית בסדר‪.‬‬
‫אז ‪ m‬הוא כפול של הסדר של ‪ .a‬נובע מחלוקה בשארית ומינמליות הסדר‪ .‬ולכן‬
‫אם ‪= 1‬‬
‫הסדר של כול איבר בחבורה מחלק את גודלה )כי הוכחנו שכול איבר בחזקת הגודל זה אחד(‬
‫טענה‪ :‬איבר הוא יוצר של חבורה אמ"מ הסדר שלה הוא גודלה‪ .‬נובע מכך שמספר האיברים‬
‫השונים שיכולים לצאת מהעלאת מספר בחזקה זה הסדר שלו‪ ,‬ולכן כדי שהוא יצור את כולם‬
‫הסדר שלו צריך להיות כמספר האיברים בחבורה‪ .‬ולכן חבורה סופית היא ציקלית אמ"מ יש איבר‬
‫שהסדר שלו הוא גודלה‪.‬‬
‫שורש פרימיטיבי‪ :‬מספר הוא שורש פרימיטיבי מודלו ‪ m‬אם הוא יוצר את חבורות ההפיכים ב‬
‫) ‪ ,( /‬בפרט הוא עצמו הפיך מודלו ‪) m‬ולכן זר לו(‬
‫אם איבר אינו יוצר בחבורה אז קיים ראשוני בפירוק לראשונים של הסדר כך שהאיבר בחזקת‬
‫גודל החבורה חלקי הראשוני הזה יוצא אחד‪.‬‬
‫לכול ראשוני קיים ש"פ‪ .‬נובע מכך שמספר האיברים מסדר ‪ p-1‬הוא ‪( − 1) ≠ 0‬‬
‫=)‬
‫‪(1 +‬‬
‫‪≡ 1+‬‬
‫לכול ‪ a‬שזר ל‪ .p‬כי‬
‫)‬
‫‪ (1 +‬לכן‬
‫‪ ,‬אבל לכול חזקה קטנה יותר של פי נפעיל‬
‫) ‪ (1 +‬ולכן הסדר מחלק את‬
‫) (‪≡ 1‬‬
‫שוב את הטענה אבל הפעם עליה ונקבל שזה לא קונג לאחד‪ ,‬ולכן זה בדיוק הסדר‪.‬‬
‫‪ .‬תחילה נקח שורש פרמיטיבי מודולו ‪ ,p‬קיים אחד כזה‪ .‬ניתן‬
‫לכול קיים ש"פ לכול ו‬
‫כי אחרת נקח את ‪ +‬שגם הוא שורש פרמיטיבי‪ ,‬ולפחות אחד מהם‬
‫להניח כי ) (‪≠ 1‬‬
‫לא ‪ 1‬מודולו הריבוע )נובע מלפתוח בינום והעובדה ששורש פרמיטיבי זר לראשוני(‪ .‬נראה כי‬
‫וזה יוכיח שהסדר של ‪ g‬הוא גודל החבורה ולכן ש"פ‪.‬‬
‫‪≡1‬‬
‫לכול ‪ n‬שמקיים‬
‫|‬
‫כאשר ‪ a‬לא מחלק את ‪ .P‬ולכן‬
‫‪=1+‬‬
‫ומההנחה‬
‫)‪= ( − 1‬‬
‫נשים לב‬
‫מהטענה על הסדר של‬
‫‪ 1 +‬נקבל ש |‬
‫לכן ‪′‬‬
‫=‬
‫‪ .‬ממשפט פרמה מתקיים‬
‫≡‪→1≡ ( )→1‬‬
‫≡‬
‫ולכן‬
‫) ( ≡‬
‫ולכן זה‬
‫בחבורת ההפיכים מודולו ‪ p‬מחלק את '‪ n‬כלומר ‪ ( − 1)| ′‬כי ‪ g‬ש"פ ולכן |‬
‫הסדר‪ ,‬כי הוא בפרט מחלק את הסדר והסדר מחלק אותו ממשפט אוילר‪.‬‬
‫לכול ∗ ‪ 2‬גם יש שורש פרמיטיבי‪ .‬זה נובע מכפליות פונקציות אוליר והעובדה ש ‪(2) = 1‬‬
‫ושל יש ש"פ ולכן הוא גם ש"פ מודולו ∗ ‪ 2‬כי שום חזקה שקטנה מהסדר של החבורה הזו‬
‫לא תהפוך אותו לאחד‪.‬‬
‫=‬
‫לשום מספר אחר מלבד ‪ 2,4, ,‬אין שורש פרמיטיבי )‪ p‬לא ‪ .(2‬כי עבור כול‬
‫מתקיים ) ( ) ( = ) ( כי הם זרים ושניהם שונים משתיים ולכן הפי שלהם זוגי לכן‬
‫≡ ‪ 1‬ולכן הסדר של ‪g‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫(‬
‫) (‬
‫) (‬
‫ולכן משום שהם‬
‫וכנל עבור‬
‫=‬
‫נשים לב כי ממשפט אוילר ) (‪≡ 1‬‬
‫זרים יש גם פתרון מודולו המכפלה ממשפט השאריות הסיני‪ ,‬ולכן שום ‪ x‬אינו ש"פ‪.‬‬
‫נשים לב שלשמונה אין שורש פרמיטיבי )מבדיקה( ולכן נובע שלכול חזקה של שתיים שגדולה‬
‫משמונה אין ש"פ כי אם היה הוא היה גם עבור שמונה‪.‬‬
‫ש"פ מודולו ‪ m‬אמ"מ ‪ gcd , ( ) = 1‬נובע‬
‫נשים לב שאם ‪ g‬ש"פ מודולו ‪ m‬אז‬
‫(‬
‫)‬
‫( שורשים‬
‫ממשחקים עם מינמליות הסדר‪ .‬ולכן בהנתן שקיים ש"פ כלשהו אז יש בדיוק )‬
‫פרימיטיבים מודולו ‪ ,m‬כי הש"פ הראשון פורש את כול החבורה‪ ,‬ולכן רק החזקות שלו שזרות‬
‫לפי של אם יהיו גם ש"פ‪.‬‬
‫שאריות מסדר ‪:n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ a‬זר ל ‪ m‬יקרא שארית מסדר ‪ n‬מודולו ‪ m‬אם קיים איקס כך ש ) ( ≡‬
‫קרטריון אוילר‪ :‬עבור ‪ m‬שקיים לו ש"פ אז ‪ a‬זר ל ‪ m‬שארית ריבועית מסדר ‪ n‬אמ"מ מתקיים‬
‫) (‬
‫≡ ו‬
‫כאשר )) ( ‪ . = gcd( ,‬נשים לב כי קיים ש"פ נסמן ‪ .g‬לכן‬
‫אמ"מ ) ‪( )|( −‬‬
‫אמ"מ‬
‫אמ"מ ‪≡ 1‬‬
‫≡‬
‫≡ אמ"מ‬
‫)כי ‪ g‬ש"פ ולכן זה הסדר שלו( ולמשוואה הזו יש פתרון עבור ‪ y‬אמ"מ‬
‫) (‪≡ 1‬‬
‫≡ ולכן‬
‫)) ( ( ≡‬
‫) (‬
‫| ) ( ‪,‬‬
‫ולכן ‪= 1‬‬
‫) (‬
‫‪‬‬
‫‪ .gcd‬לכן אם ‪ a‬היא שארית מסדר ‪ n‬אז | ) ( ‪,‬‬
‫) (‬
‫) (‬
‫=‬
‫=) (‬
‫) (‬
‫‪ .‬מצד שני אם ) (‪≡ 1‬‬
‫ולכן‬
‫=‬
‫‪ gcd‬ולכן‬
‫) (‬
‫אז ‪= 1‬‬
‫לכן‬
‫) (‬
‫=‬
‫) (‬
‫|) ( ולכן‬
‫כאשר ‪ k‬שלם ולכן | ולכן יש שארית מסדר ‪.n‬‬
‫ניתנת לפתרון אמ"מ ) (‪≡ 1‬‬
‫קריטריון אוילר ריבועי‪≡ ( ) :‬‬
‫או ניתן להוכיח המקרה הפרטי בעזרת ש"פ‪.‬‬
‫‪ .‬נובע מהקריטריון הכללי‬
‫שאריות ריבועיות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫שארית ריבועית מודלו אמ"מ הוא שארית ריבועית מודולו ‪ .‬אם יש פתרון מודולו ברור‬
‫נבחר ‪ g‬ש"פ מודולו ‪ p‬ומודולו‬
‫כי אותו הפתרון הוא פתרון גם מודולו ‪ .p‬בהנתן פתרון ) ( ≡‬
‫לכן‬
‫≡‬
‫≡ כמו כן ) ( ≡ לכן ) (‬
‫≡ ולכן גם ) (‬
‫)קיים כזה( אז ) (‬
‫= לכן‬
‫לכן ‪ − 1|2 −‬ולכן ‪ m‬זוגי ולכן ‪ = 2‬אז ) (‬
‫) (‪≡ 1‬‬
‫= ולכן שארית ריבועית‪ .‬דרך נוספת להוכיח את זה זה בעזרת למת הנזל‪ ,‬אם יש‬
‫) (‬
‫פתרון מודולו ‪ p‬ניתן להעלות אותו לפתרון מודולו ‪ p^k‬כי הנגזרת לא מתאפסת‪.‬‬
‫שארית ריבועית מודולו חזקה של שתיים רק אם הוא שארית ריבועית מודולו ‪ .8‬נובע מהעובדה‬
‫שלחבורת ההפיכים מודולו כול חזקה של שתיים יש שני יוצרים‪ ,‬חמש ומינוס אחד‪.‬‬
‫‪ = 2‬אמ"מ הוא שארית ריבועית מודולו כול אחד בנפרד‪.‬‬
‫…‬
‫שארית ריבועית מודלו‬
‫)נשים לב שהחלקי שתיים נובע מקריטריון אוילר עבור חזקה‬
‫כלומר מתקיים ) (‪≡ 1‬‬
‫שתיים והעובדה ש ) ( תמיד זוגי לכול ראשוני מלבד ‪ (2‬ובנוסף ‪ a‬שארית ריבועית מודולו ‪2‬‬
‫כלומר אם ‪ e‬גדול משלוש אז התנאי שרשום לעיל‪ ,‬אחרת אם ‪ e‬הוא שתיים צריך ש‪ a‬שארית‬
‫ריבועית מודולו ‪ .4‬נובע ממשפט השאריות הסיני‪.‬‬
‫‪‬‬
‫סימון לג'נדרה‪ :‬עבור ‪ p‬ראשוני אי זוגי ו‪ a‬שלם נסמן‬
‫המוגדר להיות ‪ 1‬אם ‪ a‬שארית ריבועית‬
‫מודלו ‪ 1- ,p‬אם הוא אי שארית‪ ,‬ולא מוגדר אם ‪ a‬לא הפיך מודלו ‪.p‬‬
‫‪o‬‬
‫‪o‬‬
‫≡‬
‫) (‬
‫=‬
‫נובע משילוב של קריטריון אוילר ומשפט פרמה‪.‬‬
‫→) ( ≡‬
‫=‬
‫‪o‬‬
‫‪ .‬נובע ישירות מסעיף א )אינטואיציה‪ :‬אם שניהם שארית ריבועית ברור‬
‫שהכפל גם שארית ריבועית‪ .‬אם שניהם לא שארית ריבועית אז שניהם נוצרים מחזקה‬
‫אי זוגית של הש"פ ולכן המכפלה היא חזקה זוגית של הש"פ ולכן שארית ריבועית(‬
‫‪‬‬
‫יש אותה כמות של שאריות ריבועיות כמו של אי שאריות‪ .‬נובע מהעובדה ש ‪≡ ±1‬‬
‫‪‬‬
‫שורשים לכול היותר הן עבור מינוס והן עבור פלוס‪ .‬אבל לכול איבר בחבורה‪ ,‬אם נעלה אותו‬
‫בחזקה זו נקבל או אחד או מינוס אחד‪ ,‬ולכן איחוד השורשים שלהם זה כול החבורה ולכן יש ‪p-1‬‬
‫שורשים ביחד‪ ,‬ולכן חצי חצי‪.‬‬
‫‪ −1‬שארית ריבועית מודולו ‪ p‬ראשוני אמ"מ )‪ ≡ 1(4‬נובע ישירות מנוסחת אוילר‪.‬‬
‫)‪= (−1‬‬
‫יש‬
‫‪‬‬
‫‪ 2‬שארית ריבועית מודולו ‪ p‬אמ"מ )‪≡ ±1(8‬‬
‫‪‬‬
‫שנסתכל על המספרים האי זוגיים כמינוס הנגדי שלהם שהוא זוגי מודולו ‪ p‬אי זוגי‪ .‬ונקבל שכול‬
‫מספר קונגרואנטי למינוס אחד אחד בחזקה הנכונה כפול שתיים כפול משהו שקטן ממחצית של‬
‫‪ .p-1‬נכפיל את כול המשוואות האלה‪ ,‬נקבל עצרת בשני האגפים‪ ,‬נצמצם ונקבל סכום של סדרה‬
‫חשבונית ובנוסף נשתמש בקריטריון אוילר‪.‬‬
‫חוק ההדדיות הריבועית‪ :‬עבור שני ראשוניים ‪ ,‬אי זוגיים מתקיים כי אם אחד לפחות הוא ‪1‬‬
‫מוד ‪ 4‬אז‬
‫=‬
‫וזה נובע מכך ש‬
‫‪=−‬‬
‫ואם שניהם ‪ 3‬מוד ‪ 4‬אז‬
‫וזה נובע‬
‫)ללא הוכחה!!!( עדיין דורש להיות‬
‫מסוגלים לפרק לראשוניים כדי לגלות האם שארית ריבועית או לא‪.‬‬
‫‪‬‬
‫סימן יעקובי‪ :‬עבור ‪ b‬אי זוגי‬
‫…‬
‫=‬
‫כאשר‬
‫…‬
‫= ‪ .‬נשים לב שהוא‬
‫מקיים את אותן התכונות שמקיים סימן לגנדרה‪ .‬נשים לב כי אם סימן יעקובי שווה אחד זה לא‬
‫אומר ש‪ a‬שארית ריבועית‪ ,‬אבל אם הוא כן שארית אז מובטח שסימן יעקובי הוא אחד‪.‬‬
‫הצפנה במפתח פומבי‪!!RSA :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫= ו ‪ pq‬ראשוניים אז לדעת את ‪ pq‬זה כמו לדעת את ) ( ולא ידוע‬
‫בהנתן מספר כך ש‬
‫כיום אלגוריתם פולינמיאלי בלוג המספר‪.‬‬
‫צד אחד בוחר שני מספרים ראשוניים גדולים ‪ p,q‬ומכפיל אותם כדי לקבל ‪ .n‬הוא מסוגל לחשב‬
‫את ) ( כי הוא יודע הפירוק לראשונים‪ .‬לאחר מכן הוא בוחר מפתח ‪ e‬שזה מספר זר ל ) (‬
‫ומחשב לו הופכי‪ ,d,‬מודולו ) ( במהירות)אלגוריתם אוקלידס(‪ .‬לאחר מכן הוא מפרסם את ‪n‬‬
‫ואת ‪ e‬שזה המפתח הפומבי‪ .‬כדי לשלוח הודעה מוצפנת אליו כול בנאדם בעולם צריך לקחת את‬
‫‪ ,‬כדי לפענח כול מה שצריך לעשות זה לקחת את ‪ c‬הטקסט‬
‫‪ P‬הטקסט שלו ולבצע ) (‬
‫ולכן‬
‫אבל )) ( (‪≡ 1‬‬
‫ולכן בסופו של דבר נקבל ) (‬
‫המוצפן ולבצע ) (‬
‫ממשפט פרמה נקבל פשוט את ‪ .p‬נשים לב כי בהנתן ‪ n‬קשה מאוד לחשב את ) ( כי זה שקול‬
‫לפירוק לראשונים‪ ,‬ולא ניתן למצוא את ההופכי מבלי לדעת את ) (‬
‫בדיקת ראשוניות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫משום שאם‬
‫עדי פרמה‪ :‬בהנתן מספר ‪ ,n‬מספר ‪ b‬שקטן ממנו יקרא עד פרמה אם ) (‪≠ 1‬‬
‫‪ n‬היא ראשוני אז לא יכול להתקיים ‪ b‬כזה ממשפט פרמה‪ ,‬ולכן ‪ b‬הוא עד ש‪ n‬מורכב‪.‬‬
‫מספר קרמייקל‪ :‬הוא מספר מורכב שאין לו עדי פרמה‪ .‬כלומר לכול ‪ b‬מתקיים ) (‪≡ 1‬‬
‫למרות שהוא לא ראשוני‪.‬‬
‫‪ o‬ברור כי מספר קרמייקל לא יכול להיות זוגי כי אז ‪ − 1‬יהיה אי זוגי ואז ‪ −1‬יהיה עד‪.‬‬
‫‪ o‬למספר קרמייקל אין גורם ראשוני שמחלק אותו פעמיים או יותר‪ .‬נניח בשלילה כי‬
‫מחלק את ‪)n‬ו‪ L‬הסדר שלו ב ‪ (n‬אז נסתכל על ש"פ ‪ g‬מודולו מההנחה מתקיים‬
‫)‪( − 1‬‬
‫ולכן ‪| − 1‬‬
‫ולכן ‪| − 1‬‬
‫ולכן ) (‪≡ 1‬‬
‫) (‪≡ 1‬‬
‫אבל ‪ ≥ 2‬ולכן ‪ | − 1‬אבל | סתירה‪.‬‬
‫‪o‬‬
‫‪o‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫אם ‪ n‬מספר קרמייקל אז לכול ראשוני | מתקיים ‪ − 1| − 1‬וזאת משום שלכול‬
‫ראשוני קיים ש"פ בחבורת ההפיכים שלו‪ ,‬שהש"פ בחזקת ‪ n-1‬יתן ‪ ,1‬ולכן הסדר של‬
‫החבורה מחלק את ‪ ,n-1‬וסדר החבורה זה בדיוק ‪ p-1‬כנדרש‪.‬‬
‫אם … = כך ש ראשוניים אי זוגיים שונים‪ ,‬ומתקיים ‪ − 1| − 1‬אז ‪n‬‬
‫לכול ‪ p‬כי הסדר‬
‫מספר קרמייקל משום שלכול ‪ b‬קטן מ‪ n‬וזר לו מתקיים ) (‪≡ 1‬‬
‫ולכן ) (‪≡ 1‬‬
‫מחלק אותו‪ .‬ולכן המכפלה שלהם מחלקת את ‪− 1‬‬
‫סולובי שטראסה‪ :‬נשים לב כי אם ‪ n‬ראשוני אי זוגי ו ‪ b‬זר לו אז ) (‬
‫אז ‪ n‬אינו ראשוני‪ .‬אזי בהנתן מספר אן חשוד‬
‫≠‬
‫מספר ‪ n‬אם נמצא עד ‪ b‬כך ש ) (‬
‫נגריל כמות של מספרים שקטנים ממנו ונבדוק שהם זרים לו‪ ,‬אם אחד מהם לו אז הוא מורכב‪.‬‬
‫אם כולם זרים עבור כולם נעלה בחזקה ונשווה לסימן יעקובי שלהם‪ ,‬אם איפשהו אין שוויון אז אן‬
‫מורכב‪ ,‬אחרת אן עבר את המבחן ובסיכוי חצי במספר האיברים שהגרלנו טעינו והוא למעשה‬
‫מורכב‪.‬‬
‫עבור ‪ n‬מורכב אי זוגי קיים לפחות עד אחד‪ .‬אם ‪ n‬אינו קרמייקל אז קיים עד פרמה‪ ,‬ואותו העד‬
‫יהיה גם עד סולובי שטראסה‪ .‬נניח והוא כן קרמייקל אז אין ראשוני שמחלק אותו פעמיים‪ ,‬ולכן‬
‫לכול ‪ p‬גורם ראשוני שלו מתקיים ‪= 1‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ ,gcd‬נבחר ‪ b‬כלשהו אי שארית מודולו ‪)p‬בהכרח‬
‫יש כזה( וממשפט השאריות הסיני נמצא ) ( ≡‬
‫וכן שארית מודולו‬
‫ולכן סימן יעקובי ‪= −1‬‬
‫≠‬
‫בחרנו אותו ולכן‬
‫‪‬‬
‫≡‬
‫‪≡1‬‬
‫;‬
‫=‬
‫‪/‬‬
‫לכן ‪ x‬הוא אי שארית מודולו ‪p‬‬
‫אבל בבירור ) (‪≡ 1‬‬
‫כי ככה‬
‫ולכן גם מודולו ‪ n‬אין שוויון ולכן הוא עד‪.‬‬
‫עבור ‪ n‬מורכב ואי זוגי לפחות חצי מהמספרים שקטנים ממנו וזרים לו הם עדי סולובי שטראסה‬
‫עבורו‪ .‬תהי } … ‪ { ,‬קבוצה של איברים שונים זרים ל‪ n‬וקטנים ממנו כך שהם לא עדים כלומר‬
‫) (‬
‫≡‬
‫) (‬
‫≠‬
‫‪ .‬הוכחנו שקיים לפחות עד ‪ b‬זר לאן אחד לכך שאן מרוכב‪ ,‬כלומר‬
‫‪ .‬נסתכל על הקבוצה }‬
‫‪ { , … ,‬שהיא השאריות של חילוק‬
‫≠‬
‫השאריות שונות משום ש שונים וכולם קטנים מאן‪ .‬כעת נראה כי‬
‫איברים שונים זרים ל‪ n‬ולכן ) ( ≤ ‪ 2‬כנדרש‪ .‬ברור כי השאריות שונות מ‬
‫שהשאריות הן למעשה עדים כי‬
‫‪‬‬
‫ולכן בהנתן‬
‫≡‬
‫רבין מילר‪ :‬בהנתן מספר ‪ n‬חשוד מתקיים‬
‫≠‬
‫‪−1=2‬‬
‫ב ‪ .n‬מובטח כי‬
‫ולכן קיבלנו ‪2k‬‬
‫משום‬
‫‪.‬‬
‫כך ש ‪ t‬אי זוגי‪ .‬נגריל בסיס ‪ b‬כלשהו זר‬
‫= ‪ .‬אם האיבר‬
‫) ( = ‪( ) ...‬‬
‫ל ‪ n‬וקטן ממנו‪ ,‬נחשב את הסדרה הבאה ) ( =‬
‫הראשון בסדרה הוא פלוס מינוס אחד נאמר כי אן עובר את המבחן ונגריל בסיס אחר‪ .‬אם האיבר‬
‫הראשון אינו פלוס מינוס אחת אבל איפשהו לאורך הסדרה מופיע ‪ −1‬גם כן נאמר שאן עבר‬
‫ונגריל אחד אחר‪ .‬אולם אם האיבר הראשון אינו פלוס מינוס אחת ולאורך כול הסדרה מלבד‬
‫האיבר האחרון ממש‪ ,‬כולם שונים ממינוס אחד אז אן אינו ראשוני‪ ,‬כי אם הוא היה ראשוני אז‬
‫מפרמה האיבר הממש אחרון היה ‪ 1‬ולכן אם מדובר בשדה ראשוני‪ ,‬ולא התחלנו מאחד בתחילת‬
‫השרשרת אז איפשהו בדרך היינו חייבים לעבור במינוס אחד‪ ,‬כי יש רק שני מספרים שהם‬
‫בריבוע נותנים אחד)במידה והוא אכן ראשוני וזה שדה(‪.‬‬
‫‪ o‬עדים‪ :‬נשים לב כי עדי פרמה הם גם עדי רבין מילר‪ ,‬משום שעבור עד פרמה ) (‪≠ 1‬‬
‫ולכן מובטח שבשום מקום לאורך השרשרת לא היה אחד או מינוס אחד ולכן זה גם עד‬
‫רבין מילר‪.‬‬
‫‪ o‬לכול מספר קיים עד רבין מילר‪ .‬אם הוא מהצורה הוא אינו קרמייקל ולכן יש עד פרמה‬
‫ולכן גם עד רבין מילר‪ .‬אם הוא לא מהצורה הזו אז ניקח | כך ש זה הסדר שלו לכן‬
‫ממשפט השאריות הסיני אפשר למצוא ‪ b‬כך ש ) ‪ ≡ 1( /‬ו ) (‪ ≡ −1‬ולכן עבור‬
‫וכמו כן‬
‫משום ש‪ t‬אי זוגי מובטח ) ( ‪≡ −1‬‬
‫האיבר הראשון בסדרה ) ( ≡‬
‫ולכן לא יהיה ‪ −1‬לאורך כול‬
‫≡‬
‫אבל ) (‪≡ 1‬‬
‫ולכן ) (‪≠ ±1‬‬
‫) ‪≡1( /‬‬
‫הסדרה והאיבר הראשון אינו ‪ +-1‬ולכן זהו עד לכך שאן מורכב‪.‬‬
‫‪ o‬אם אן מורכב לפחות שלושת רבעי מהזרים לו הם עדי רבין מילר )ללא הוכחה(‬
‫פולינומים‪ :‬הפולינומים זה חוג עם חיבור וכפל‪ ,‬זה למעשה תחום שלמות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫פולינום זה לא הפונקציה שהוא מגדיר אלא ביטוי המקדמים‪ .‬מעל כול שדה סופי)כלומר מודולו‬
‫אבל זה לא פולינום האפס‪.‬‬
‫מספר ראשוני ‪ (p‬מתקיים ‪− ≡ 0‬‬
‫ההפיכים בחוג הפולינומים הם רק ההפיכים בשדה‪ ,‬כי פולינום ממעלה אחד או יותר כפול שום‬
‫פולינום שאינו האפס לא יקטין מעלתו ולכן לא יהיה שווה אחד‪.‬‬
‫יש חלוקה בשארית בחוג הפולינומים‪ .‬מוכיחים באינדוקציה על המעלה וטיפול במקדם הגדול‬
‫ביותר‪.‬‬
‫כול פולינום שאינו קבוע הוא מכפלה של אי פריקים‪ ,‬באינדוקציה ממש כמו בשלמים‪ ,‬ולכן משום‬
‫=) (‬
‫‪( )+‬‬
‫כי אם‬
‫קיום אלגוריתם אוקלידס אז הפירוק הוא יחיד כי ) (‬
‫ראשוני מחלק מכפלה של שניים אז הוא מחלק לפחות אחד‪.‬‬
‫לפולינום ממעלה ‪ n‬יש לכול היותר ‪ n‬שורשים‪ .‬באינדוקציה‪ ,‬והעובדה שאם מספר הוא שורש של‬
‫פולינום אז המשוואה הלינארית שהוא שורש שלה מחלקת את הפולינום )מחלוקה בשארית( ולכן‬
‫באופן טריוויאלי אם שני פולינום ממעלה ‪ n‬מזדהים על ‪ n+1‬נקודות אז הם זהים )כי לפולינום‬
‫ההפרש יש יותר מדי שורשים(‬
‫(‬
‫()‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫‪−1− −1‬‬
‫) ( ‪ ( − 1)! ≡ −1‬נובע מכך שהפולינום ) ‪− 2 … ( − − 1‬‬
‫מתאפס על ‪ p-1‬נקודות שונות ממשפט פרמה‪ ,‬אבל הוא ממעלה קטנה מ‪ p-1‬ולכן הוא פולינום‬
‫האפס ולכן עבור הצבה של אפס נקבל !)‪ −1 ≡ (−1) ( − 1‬אבל ‪ p‬אי זוגי‪) .‬עבור ‪ 2‬זה קל(‬
‫כאשר )‪ |( − 1‬יש בדיוק ‪ d‬פתרונות‪ .‬יש לכול היותר ‪ d‬כי זה פולינום‪ .‬יש‬
‫למשוואה ‪= 1‬‬
‫שלו יש בדיוק ‪ p-1‬מפרמה‪ .‬והעובדה שאנחנו יודעים איך‬
‫בדיוק מחלוקה בשארית עם ‪− 1‬‬
‫נראית החלוקה של שני הפולינומים האלה‪.‬‬
‫דברים אקראים ויפים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫בשלמים שקול ללמצוא נקודות‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫רציונלי על המעגל‪ :‬לפתור את המשוואה‬
‫רציונליות על מעגל היחידה‪ .‬כדי לעשות זאת נעביר ישר מנקודה רציונלית על המעגל שתחתוך‬
‫את המעגל ותגיע לציר האיקס‪ .‬ברור שאם נקודת החיתוך עם המעגל רציונלית אז גם נקודת‬
‫החיתוך עם ציר איקס רציונלית ולכן זה תנאי הכרחי )מדמיון משולשים(‪ .‬הטענה היא שזה גם‬
‫תנאי מספיק‪ .‬זה נובע מהצבה בנוסחא של המעגל את הקשר שקיבלנו מהדמיון‪ ,‬ושימוש‬
‫בנוסחאת וייטה למשוואה ריבועית‪ .‬כך ניתן למיין את כול הנקודות הרציונליות על המעגל‪.‬‬
‫למת הנזל‪ :‬נרצה למצוא שורשים שלמים של פולינום עם מקדמים שלמים מודולו ‪ .m‬יהיה‬
‫שהוא גם שקול ל ‪ r‬מודולו‬
‫(‪ ( ) ≡ 0‬נרצה למצוא שורש ל‬
‫] [ ∈ ) ( כך ש )‬
‫ו‪ t‬נתון על ידי הנוסחא‬
‫‪+‬‬
‫‪≡0‬‬
‫‪ ′( ) ≠ 0( ) o‬אז קיים ויחיד ‪ t‬כך ש‬
‫הבאה‬
‫‪o‬‬
‫‪o‬‬
‫‪( )/‬‬
‫) (‬
‫‪ . = −‬זה מוגדר היטיב כי ‪( ) ≠ 0‬‬
‫ולכן הפיך מודולו‬
‫‪ ( ) ≡ 0‬ולכן ) ( |‬
‫‪ p‬כמו כן‬
‫(‬
‫)‬
‫אז‬
‫) (‪≡ 0‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪+‬‬
‫אז לכול ‪ t‬שלם ) (‪≡ 0‬‬
‫‪≡0‬‬
‫‪‬‬
‫כך שהוא שקול ל ‪ r‬מודולו‬
‫‪ ( ) ≠ 0( ) ‬אין פתרון מודולו‬
‫הוכחה של למת הנזל‪ :‬נובע מפיתוח טייילור של הפולינום וההבחנה שכול המקדמים בו‬
‫נקבל שכמעט הכול מצמצם‬
‫‪+‬‬
‫הם שלמים ולכן אם נפתח סביב ‪ r‬ונציב‬
‫מהמודולו‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫) ( ‪≡−‬‬
‫ולכן‬
‫ולכן כול המקרים מתקיימים כנדרש‪.‬‬
‫מסקנה‪ :‬אם יש פתרון לפולינום מודולו ‪ p‬והנגזרת לא מתאפסת מודולו ‪ p‬אז יש פתרון לכול חזקה‬
‫) ( )‬
‫= משום שכול הפתרונות שקולים מודולו ‪ p‬אז‬
‫( ‪−‬‬
‫של ‪ p‬והוא מקיים‬
‫גם הנגזרות שקולות ולכן גם ההופכי ולכן ניתן להשתמש בהופכי של הראשון‪.‬‬
‫=) ( ‪.‬‬
‫חוג השלמים של גאוס‪ . [ ] = { + | , ∈ } :‬נגדיר נורמה למספר כנ"ל‬
‫מתקיים שנורמה תמיד מספר שלם ואי שלילי‪ ,‬ואפס אמ"מ ‪ . = 0‬כמו כן נורמה היא כפלית‪.‬‬
‫איבר הפיך בחבורה הזו אמ"מ הנורמה שלו ‪.1‬‬
‫‪ o‬חלוקה בשארית‪ :‬ניתן לחלק בשארית בחוג הנ"ל‪ .‬כלומר לכול ‪ ,‬קיימים ‪ ,‬כך ש‬
‫= ו ) ( < ) ( ‪ .‬נסתכל על ‪ ∈ [ ] = +‬ולכן ניתן לקחת את‬
‫‪+‬‬
‫השלמים הקרובים ביותר ל‬
‫מתקיים ‪+‬‬
‫‪‬‬
‫) (‬
‫ולכן ניתן לצמצם ) (‬
‫) (‬
‫≡ ) (‬
‫=‬
‫‪ ,‬נסמן‬
‫‪,‬‬
‫; < ) ‪) +( −‬‬
‫אז‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫ו‬
‫‪=( −‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫= ‪ .‬ברור כי‬
‫=‬
‫) (‬
‫) (‬
‫= הוא בהכרח נורמה של‬
‫‪+‬‬
‫‪ o‬סכומי ריבועים‪ :‬נשים לב כי כול שלם שמקיים‬
‫איזשהו שלם גאוסיני‪ .‬כמו כן נשים לב כי מכפלה של שני סכומי ריבועים היא גם סכום‬
‫ולכן גם‬
‫ריבועים כי נורמה היא כפלית כלומר ) ( = ו ) ( = אז ) ( =‬
‫סכום ריבועים‪ ,‬לכן נתעניין מתי ראשוני הוא סכום ריבועים‪ .‬נשים לב שראשוני שהוא‬
‫שלוש מוד ארבע אינו סכום ריבועים משיקולי שארית חלוקה בארבע‪ .‬נשים לב שכול‬
‫ראשוני שהוא אחד מוד ‪ 4‬הוא סכום ריבועים וזה משום ש‪ -1‬הוא שארית ריבועית עבורו‬
‫| עבור ‪ m‬כלשהו ולכן ) ‪ |( + )( −‬אבל בברור הוא לא מחלק אף‬
‫ולכן ‪+ 1‬‬
‫אחד מהם ולכן לא יתכן שהוא ראשוני‪ ,‬אבל נשים לב שהנורמה שלו היא הוא בריבוע‬
‫ולכן הפירוק שלו לגורמים צריך להיות לשני מספרים שהנורמה שלהם היא ‪ p‬כי הוא כן‬
‫ראשוני מעל השלמים‪ .‬ולכן הפירוק חייב להיות ) ‪ = ( + )( −‬משום שהחלק‬
‫המדומה חייב להעלם‪ ,‬ולכן נקבל שפי הוא סכום ריבועים‪.‬‬
‫‪ o‬פריקים‪ :‬נשים לב שעבור ∈ ראשוני הוא פריק ב ] [ אמ"מ הוא נורמה )ובפרט‬
‫אם הוא ‪ 3‬מוד ‪ 4‬הוא נשאר אי פריק(‪ .‬אם הוא נורמה ברור שהוא פריק כי הוא מכפלה‬
‫שלא מספר והצמוד שלו‪ .‬אם הוא פריק אז הנורמה שלו זה הוא בריבוע וזה שווה‬
‫למכפלת הנורמות‪ ,‬אבל ‪ p‬ראשוני בשלמים ולכן נורמת כול אחד מהגורמים שלו שווה‬
‫ל‪ p‬ולכן הוא נורמה‪.‬‬
‫כאשר ‪ d‬אינו ריבוע )כי אחרת היה רק פתרון אחד כי ריבוע ועוד‬
‫‪−‬‬
‫משוואת פל‪= 1 :‬‬
‫אחד הוא לעולם לא ריבוע פרט לאחד( וכמו כן ‪ d‬חיובי כי אחרת היה רק הפתרון הטריוויאלי‪ .‬אז‬
‫הפתרונות של משוואת פל הם ] √[ ∈ כך שהנורמה שלהם אחד‪ ,‬כי הנורמה שלהם היא‬
‫בדיוק משוואת פל‪ ,‬ולכן מכפליות הנורמה כול חזקה של הפתרון היא גם פתרון כי הנורמה תשאר‬
‫אחד‪ ,‬וכמו כן גם ההופכי של הפתרון יהיה פתרון )ברור שאם ‪ x‬פתרון למשוואת פל אז הוא הפיך‬
‫בחוג ] √[ כי הנורמה שלו אחד(‪ .‬כמו כן חלוקה של שני פתרונות גם תניב פתרון כי נורמה‬
‫כפלית והנורמה של שניהם אחד ולכן גם של החלוקה‪.‬‬
‫כלומר איברים שהנורמה שלהם מינוס אחד‪.‬‬
‫‪−‬‬
‫‪ o‬משוואת פל שלילית‪= −1 :‬‬
‫לכן ברור שפתרון של פל שלילית בריבוע יהיה פתרון של פל‪ .‬יתר כל כן כול פתרון של‬
‫פל חיובית הוא מכפלת פתרונות של פל שלילית )דורש הוכחה(‪.‬‬
‫‪ o‬משפט דירכלה‪ :‬לכול אי רציונלי יש אינסוף רציונלים מצומצמים ∈ כך ש‬
‫<‬
‫‪−‬‬
‫‪ .‬לכול ‪ n‬טבעי ניתן לחלק את הקטע )‪ [0,1‬ל‪ n‬קטנים חצי פתוחים בגודל‬
‫‪ 0, , 2 , … ,‬ולכולם נתבונן בחלק השברי‪ .‬משובך היונים יש‬
‫‪ .1/n‬כעת נסתכל על‬
‫שניים שהם באותו תת קטע של הקטע )‪ [0,1‬ולכן המרחק ביניהם קטן מ ‪ 1/n‬אזי‬
‫< |)] [ ‪−‬‬
‫( ‪]) −‬‬
‫[‪−‬‬
‫(| כאשר ‪ K‬ו ‪ j‬שונים‪ .‬לכן‬
‫∈‬
‫=]‬
‫[ ‪ [ ] −‬ולכן‬
‫מתקיים‬
‫<‬
‫< | ) ‪ | − ( −‬וכמו כן ‪≠ 0‬‬
‫‪−‬‬
‫אבל‬
‫≤‬
‫<‬
‫ולכן‬
‫‪−‬‬
‫‪= −‬‬
‫√‪+ 2‬‬
‫‪o‬‬
‫‪‬‬
‫>‬
‫משום שקסי אי רציונלי‬
‫המכנה לעולם לא יתאפס ולכן זה מוגדר וקיים טבעי כזה‪ .‬אז נמצא קירוב חדש ומובטח‬
‫שהוא שונה מהקירוב הישן‪ ,‬משוב שהקרוב הישן קרוב עד כדי ‪ 1/m‬מהאופן שבו בחרנו‬
‫את ‪ m‬והקירוב החדש קרוב יותר מ ‪1/m‬‬
‫קיים ‪ M‬כך ש < |‬
‫‪ | −‬עבור אינסוף זוגות ) ‪ .( ,‬ממשפט דירכלה יש‬
‫אינסוף זוגות ) ‪ ( ,‬כך ש‬
‫‪o‬‬
‫ולכן‬
‫אזי מצאנו אחד‪ .‬כדי למצוא את הבא‬
‫נבצע אותו התהליך עבור ‪ n‬טבעי חדש המקיים‬
‫‪o‬‬
‫<|‬
‫‪ | −‬לכן מתקיים‬
‫≤‬
‫<‬
‫√ ‪−‬‬
‫√ ‪− √ +2‬‬
‫כי √ אי רציונלי‪ .‬ולכן מאש משולש נקבל‬
‫√ ‪−‬‬
‫≤‬
‫√ ‪+‬‬
‫=|‬
‫‪−‬‬
‫| ולכן אם‬
‫נבחר ‪ = 2√ + 1‬נצחנו‪ .‬לכן יש ערך שמתקבל אינסוף פעמים משובך היונים‪.‬‬
‫למשוואת פל יש פתרון לא טריוויאלי‪ :‬ממה שראינו לעיל יש אינסוף זוגות שונים כך ש‬
‫עבור ‪ m‬כלשהו ולכן בהרכח קיימים שני זוגות של פתרונות ששני‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫הרכיבים שלהם קונגרואנטים מודולו ‪ m‬משובך היונים‪ .‬אזי ‪ ,‬שני פתרונות כנל ולכן‬
‫ולכן יש שוויון גם בנורמות והנרומה‬
‫מחישוב ישיר נקבל | ולכן ) ‪= ( +‬‬
‫של ‪ a,b‬היא ‪ m‬ולכן נקבל ‪ ( + ) = 1‬ומובטח לנו שזה לא הפתרון הטריוויאלי כי‬
‫אז היינו מקבלים ששני הפתרונות שהתחלנו איתם היו זהים‪.‬‬
‫למשוואת פל יש אינסוף פתרונות‪ :‬ידוע כי קיים לפחות פתרון אחד ולכן ניתן להסתכל‬
‫על הפתרון ששני רכיביו חיוביים המינמלי נסמנו ברור גם כי ‪ ±‬הינו גם פתרון‪.‬‬
‫≠ ולכן מתקיים‬
‫נראה שאלו כול הפתרונות‪ .‬נניח יש פתרון אחר חיובי כך ש‬
‫חיובי זו סתירה‬
‫< ‪ 1‬ולכן אם נוכיח ש‬
‫ולכן <‬
‫< <‬
‫למינמליות של כי ברור שהוא פתרון כי הנורמה שלו ‪ .1‬מוכיחים שהפתרון אכן חיובי‬
‫ממשחקי אלגברה והופכיות והעובדה שהופכי של מספר חיובי הוא גם חיובי‪ ,‬וההופכי‬
‫של גדול מאחד הוא קטן מאחד‪ .‬עבור פתרון שהרכיב השני שלו שלילי אז ההופכי שלו‬
‫יהיה חזקה של הפתרון המינמלי ולכן הוא חזקה שלילית שלו‪ .‬עבור פתרון שהרכיב‬
‫הראשון שלילי‪ ,‬נסתכל על הנגדי שלו וזה פתרון שהרכיב שלו חיובי ולכן הוא חזקה‬
‫מתאימה‪.‬‬
‫‪+‬‬
‫שברים משולבים‪ :‬שבר משולב סופי הינו‬
‫כך שכולם מלבד‬
‫חיוביים‪ .‬אם‬
‫…‬
‫כולם שלמים זה יקרא שבר משולב סופי פשוט‪.‬‬
‫‪ o‬כול מספר רציונלי ניתן לכתוב כשבר משולב סופי פשוט‪ .‬זה נובע מסופיות אלגוריתם‬
‫אוקלידס‪ .‬נשים לב אבל שהכתיבה לא יחידה‪.‬‬
‫זה האיברים בשבר‬
‫כאשר‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫ו‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫‪ o‬נגדיר‬
‫אז ] … ‪ = [ ,‬כלומר‬
‫=‬
‫= ו‬
‫‪+1‬‬
‫‪=1‬‬
‫=‬
‫המשולב‪ ,‬ו‬
‫הפיתוח עד השלב ה ‪ j‬מקיים‬
‫‪o‬‬
‫‪o‬‬
‫‪o‬‬
‫‪o‬‬
‫=‬
‫ונקרא הקונברגנט מוכיחים באינדוקציה ולפי‬
‫ההגדרה של הסדרות‪.‬‬
‫כנ"ל באינדוקציה ולפי הגדרה‪ .‬ולכן ‪gcd( , ) = 1‬‬
‫‪−‬‬
‫)‪= (−1‬‬
‫עוד כול מיני טענות באינדוקציה שגוררות שהקומברגנטים הזוגיים זו סדרה עולה והאי‬
‫זוגיים סדרה יורדת‪.‬‬
‫נגדיר שבר משולב אינסופי להיות סדרה אינסופית כמו לעיל אזי קיים לה גבול כי היא‬
‫בנויה משני תתי סדרות מתכנסות כי הן מונוטוניות חסומות וההפרש בינהן שואף‬
‫לאפס‪ .‬בדרך כלל סדרה כזאת תתכנס למספר אי רציונלי‪.‬‬
‫בהנתן מספר אי רציונלי ניתן לייצר שבר משולב ששואף אליו על ידי לקיחת כול פעם‬
‫הערך השלם‪ ,‬ולקיחת ההופכי של החלק השברי ואז שוב החלק השלם וחוזר חלילה‪.‬‬
‫‪o‬‬
‫‪o‬‬
‫שבר משולב מחזור‪ :‬קיים מחזור החל ממקום מסוים‪ ,‬וזה מתכנס למספר אי רציונלי‬
‫מסדר ריבועי שזה רציונלי ועוד שורש של רציונלי‪.‬‬
‫עבור משוואת פל ניתן לפתח את √ לשבר משולב ולפי אורך המחזור והסדרה‬
‫שהתקבלה במהלך הפיתוח ניתן לדעת הפתרונות למשוואה החיובית והשלילית והאם‬
‫קיים בכלל פתרונות לשלילית‪.‬‬