גּול זה ּבּול. בשבילך!
1
סטודנטים יקרים
לפניכם ספר תרגילים בקורס סטטיסטיקה והסתברות .
הספר הוא חלק מקורס חדשני וראשון מסוגו בארץ בנושא זה,
המועבר ברשת האינטרנט .On-line
הקורס באתר כולל פתרונות מלאים לספר התרגילים ,וכן את
התיאוריה הרלוונטית לכל נושא ונושא.
הקורס כולו מוגש בסרטוני וידאו המלווים בהסבר קולי ,כך שאתם
רואים את התהליכים בצורה מובנית ,שיטתית ופשוטה ,ממש כפי
שנעשה בשיעור פרטי ,לדוגמה לחצו כאן.
את הקורס בנה מר ברק קנדל ,מרצה מבוקש במוסדות אקדמיים
שונים ובעל ניסיון עתיר בהוראת המקצוע.
אז אם אתם עסוקים מידי בעבודה ,סובלים מלקויות למידה ,רוצים
להצטיין או פשוט אוהבים ללמוד בשקט בבית ,אנחנו מזמינים אתכם
לחוויית לימודים יוצאת דופן וחדשה לחלוטין ,היכנסו עכשיו לאתר
.www.gool.co.il
אנו מאחלים לכם הצלחה מלאה בבחינות
צוות האתר GooL
גּול זה ּבּול .בשבילך!
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
2
תוכן
תוכן
פרק - 1בעיות בסיסיות בהסתברות 4 ...............................................................................................
פרק - 2פעולות בין מאורעות (חיתוך ואיחוד) ,מאורעות זרים ומכילים 11 ............................................
פרק - 3קומבינטוריקה -כלל המכפלה 21 ........................................................................................
פרק - 4קומבינטוריקה -תמורה -סידור עצמים בשורה 22 .................................................................
פרק - 2קומבינטוריקה -תמורה עם עצמים זהים 22 .........................................................................
פרק - 6קומבינטוריקה -דגימה סידורית ללא החזרה ועם החזרה 32 ....................................................
פרק - 7קומבינטוריקה -דגימה ללא סדר וללא החזרה 32 ..................................................................
פרק - 8קומבינטוריקה -שאלות מסכמות 32 ....................................................................................
פרק - 2הסתברות מותנית -במרחב מדגם אחיד 46 ............................................................................
פרק - 11הסתברות מותנית -מרחב לא אחיד 42 ...............................................................................
פרק - 11דיאגרמת עצים ,נוסחת בייס ונוסחת ההסתברות השלמה 23 ..................................................
נוסחת בייס 24 ............................................................................................................................
פרק - 12תלות ואי תלות בין מאורעות 22 ........................................................................................
פרק - 13שאלות מסכמות בהסתברות63 ..........................................................................................
פרק - 14המשתנה המקרי הבדיד -פונקציית ההסתברות 67 ...............................................................
פרק - 12המשתנה המקרי הבדיד -תוחלת ,שונות וסטיית תקן 71 .......................................................
פרק - 16המשתנה המקרי הבדיד -טרנספורמציה לינארית 72 ............................................................
פרק - 17תוחלת ושונות של סכום משתנים מקריים 72 ......................................................................
פרק - 18התפלגויות בדידות מיוחדות -התפלגות בינומית 82 .............................................................
פרק - 12התפלגויות בדידות מיוחדות -התפלגות גיאומטרית 87 .........................................................
פרק - 21התפלגויות בדידות מיוחדות -התפלגות אחידה 21 ...............................................................
פרק - 21התפלגויות בדידות מיוחדות -התפלגות פואסונית 24 ............................................................
פרק - 22התפלגויות בדידות מיוחדות -התפלגות היפרגאומטרית 28 ...................................................
פרק - 23התפלגויות בדידות מיוחדות -התפלגות בינומית שלילית 111 ...............................................
פרק - 24המשתנה המקרי הבדיד -שאלות מסכמות 114 ....................................................................
פרק - 22המשתנה המקרי הרציף -התפלגויות כלליות (שימוש באינטגרלים) 111 .................................
פרק - 26התפלגויות רציפות מיוחדות -התפלגות מעריכית 121 ...........................................................
פרק - 27התפלגויות רציפות מיוחדות -התפלגות אחידה 124 .............................................................
פרק - 28התפלגויות רציפות מיוחדות -התפלגות נורמלית127 ...........................................................
פרק -22משתנה דו מימדי בדיד -פונקצית הסתברות משותפת 136 .....................................................
פרק - 31משתנה דו מימדי בדיד -מתאם בין משתנים 141 ................................................................
פרק - 31המשתנה המקרי הדו ממדי -קומבינציות לנאריות 147 .........................................................
פרק - 32קומבינציות לינאריות להתפלגות נורמאלית 121 ..................................................................
פרק - 33חישוב תוחלת ושונות על ידי פירוק לאינדיקטורים 123 ........................................................
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
3
פרק - 34התפלגות הדגימה 127 .....................................................................................................
ממוצע המדגם ומשפט הגבול המרכזי 151..................................... ................................ ................................
התפלגות סכום תצפיות המדגם ומשפט הגבול המרכזי 111............... ................................ ................................
התפלגות מספר ההצלחות במדגם -הקרוב הנורמלי להתפלגות הבינומית 111...................... ................................
חוק המספרים הגדולים 115....................... ................................ ................................ ................................
פרק - 32אי שוויונים הסתברותיים 181 ..........................................................................................
א .אי שוויון צ'ביצ'ב 181 ..............................................................................................................
ב .אי שוויון מרקוב 181 ................................................................................................................
תשובות סופיות -אי שוויונים הסתברותיים182 ...............................................................................
פרק - 36מושגים בסיסיים באמידה 183 ..........................................................................................
פרק - 37רווח סמך לתוחלת (ממוצע האוכלוסייה) 121 ......................................................................
רווח סמך כששונות האוכלוסייה ידועה 191.................................. ................................ ................................
קביעת גודל מדגם באמידת תוחלת עם שונות אוכלוסייה ידועה 191.................................... ................................
רווח סמך לתוחלת (ממוצע האוכלוסייה) כששונות האוכלוסייה אינה ידועה 211................... ................................
פרק - 38רווח סמך לשונות וסטיית תקן 216 ....................................................................................
פרק - 32בדיקת השערות כללית 211 ..............................................................................................
פרק - 41בדיקת השערות על תוחלת (ממוצע)212 ............................................................................
כאשר שונות האוכלוסיה ידועה 219............ ................................ ................................ ................................
סיכוי לטעויות ועוצמה כאשר שונות האוכלוסייה ידועה 222............. ................................ ................................
קביעת גודל מדגם כששונות האוכלוסיה ידועה 231......................... ................................ ................................
מובהקות התוצאה ( ) p-valueבבדיקת השערות על תוחלת עם שונות ידועה 232................ ................................
בדיקת השערות על תוחלת (ממוצע) כאשר שונות האוכלוסייה אינה ידועה 239.................... ................................
מובהקות התוצאה ( ) p-valueכאשר שונות האוכלוסייה לא ידועה 222............................. ................................
הקשר בין רווח סמך לבדיקת השערות על תוחלת 222..................... ................................ ................................
פרק -41בדיקת השערות על שונויות 221 ........................................................................................
בדיקת השערות על שונות האוכלוסייה כאשר התוחלת לא ידועה 251................................. ................................
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
2
פרק - 1בעיות בסיסיות בהסתברות
רקע :
ניסוי מקרי :תהליך לו כמה תוצאות אפשריות .התוצאה המתקבלת נודעת רק לאחר ביצוע
התהליך.
למשל :תוצאה בהטלת קובייה ,מזג האוויר בעוד שבועיים .
מרחב מדגם :כלל התוצאות האפשריות בניסוי המקרי :
בהטלת קובייה .}6,5,4,3,2,1 { :
מזג האוויר בעוד שבועיים { :נאה ,שרבי ,מושלג ,גשום ,מעונן חלקית ,אביך }
מאורע :תת קבוצה מתוך מרחב במדגם .מסומן באותיות ....A,B,C,:
בהטלת קובייה ,למשל ,לקבל לפחות : 2
לקבל תוצאה זוגית :
}A {5,6
}B {2, 4,6
גודל מרחב המדגם :מספר התוצאות האפשריות במרחב המדגם:
בהטלת הקובייה :
6
גודל המאורע :מספר התוצאות האפשריות במאורע עצמו.
בהטלת הקובייה A 2 :
B 3
מאורע משלים :מאורע המכיל את כל התוצאות האפשריות במרחב המדגם פרט לתוצאות
במאורע אותו הוא משלים:
בהטלת הקובייה B {1,3,5} A {1, 2,3, 4} :
מרחב מדגם אחיד ( סימטרי ) :מרחב מדגם בו לכל התוצאות במרחב המדגם יש את אותה
עדיפות ,אותה סבירות למשל ,קובייה הוגנת ,אך לא כמו מזג האוויר בשבוע הבא.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
5
הסתברות במרחב מדגם אחיד :
במרחב מדגם אחיד הסיכוי למאורע יהיה :
A
p( A)
2
למשל ,מה הסיכוי בהטלת קובייה לקבל לפחות ?2
6
B
3
מה הסיכוי בהטלת קובייה לקבל תוצאה זוגית ?
6
A
p( A)
p( B)
הסתברות במרחב לא אחיד :
f
יחושב לפי השכיחות היחסית :
n
להלן התפלגות הציונים בכיתה מסוימת :
הציון X-מספר התלמידים – השכיחותf-
2
5
1
3
7
8
8
2
9
3
61
5
f
5
א .מה ההסתברות שתלמיד אקראי שניבחר בכיתה קיבל את הציון 0.2 ? 8
n 25
ב .מה ההסתברות שתלמיד אקראי שניבחר בכיתה יכשל?
f
2
0.08
n 25
הסתברות למאורע משלים :
)p( A) 1 P( A
למשל ,בדוגמה הקודמת הסיכוי לעבור את הבחינה יכול להיות מחושב לפי הסיכוי להיכשל :
2 23
25 25
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
p( A) 1
1
תרגילים:
.6מהאותיות F ,Eו G-יוצרים מילה בת 5אותיות לא בהכרח בת משמעות.
א .הרכב את כל המילים האפשריות.
ב .רשום את המקרים למאורע:
-Aבמילה נמצאת האות .E
-Bבמילה האותיות שונות.
ג .רשום את המקרים למאורע . A
.5מטילים זוג קוביות.
א .רשום את מרחב המדגם של הניסוי .האם המרחב מדגם הוא אחיד?
ב .רשום את כל האפשרויות למאורעות הבאים:
-Aסכום התוצאות .7
-Cמכפלת התוצאות .65
ג .חשב את הסיכויים למאורעות שהוגדרו בסעיף ב.
.4בוחרים באקראי ספרה מבין הספרות .1-9
א .מה ההסברות שהספרה שנבחרה גדולה מ?2-
ב .מה ההסתברות שהספרה שנבחרה היא לכל היותר ?4
ג .מה ההסתברות שהספרה שנבחרה היא אי זוגית?
.3להלן התפלגות מספר מקלטי הטלוויזיה שנספרו עבור כל משפחה בישוב מסוים:
מספר משפחות
מספר מקלטים
55
1
58
6
68
5
55
4
61
3
נבחרה משפחה באקראי מהישוב.
א .מה ההסתברות שאין מקלטים למשפחה?
ב .מה ההסתברות שיש מקלטים למשפחה?
ג .מה ההסתברות שיש לפחות 4מקלטים למשפחה?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
1
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
2
.2להלן התפלגות מספר המכוניות למשפחה ביישוב "עדן" :
מספר משפחות
מספר מכוניות
51
1
31
6
611
5
41
4
61
3
נבחרה משפחה אקראית מן הישוב.
א .מה ההסתברות שאין לה מכוניות?
ב .מה ההסתברות שבבעלות המשפחה לפחות 4מכוניות?
ג .מה הסיכוי שבבעלותה פחות מ 4-מכוניות?
.1מטילים מטבע רגיל 4פעמים .בצד אחד של המטבע מוטבע עץ ובצד השני פלי.
א .רשום את מרחב המדגם של הניסוי .האם המרחב מדגם הוא אחיד?
ב .רשום את כל האפשרויות למאורעות הבאים:
-Aהתקבל פעם אחת עץ.
-Dהתקבל לפחות פלי אחד.
ג .מהו המאורע המשלים ל –.D
ד .חשבו את הסיכויים למאורעות שהוגדרו בסעיפים ב -ג.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
9
פתרונות:
שאלה 2
1
ג .הסיכוי ל:A-
6
1
הסיכוי ל:B-
9
שאלה 3
א1.3 .
ב1.3 .
ג1.2 .
שאלה 4
א1.55 .
ב1.78 .
ג.
1.45
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
11
פרק - 2פעולות בין מאורעות (חיתוך ואיחוד) ,מאורעות זרים ומכילים
רקע:
פעולת חיתוך :
נותנת את המשותף בין המאורעות הנחתכים ,חיתוך בין המאורע Aלמאורע Bיסומן כך :
B
A
מדובר בתוצאות שנמצאות ב A -וגם ב.B-
בהטלת קובייה ,למשל ,לקבל לפחות : 2
}A {5, 6
}B {2, 4, 6
לקבל תוצאה זוגית :
}B {6
A
פעולת איחוד :
נותנת את כל האפשריות שנמצאות לפחות באחת מהמאורעות .הסימון הואB :
Aנותנת את
אשר נימצא ב A-או .Bכלומר ,לפחות אחד מהמאורעות קורה.
בהטלת קובייה ,למשל ,לקבל לפחות : 2
לקבל תוצאה זוגית :
}A {5, 6
}B {2, 4, 6
}B {2, 4, 5, 6
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
A
11
דוגמה ( הפתרון נמצא בהקלטה )
סטודנט ניגש בסמסטר לשני מבחנים .מבחן בסטטיסטיקה ומבחן בכלכלה .ההסתברות שלו
לעבור את המבחן בסטטיסטיקה הוא .1.9ההסתברות שלו לעבור את המבחן בכלכלה הוא .1.8
ההסתברות לעבור את המבחן בסטטיסטיקה ובכלכלה היא .1.72
א .מה ההסתברות שלו לעבור את המבחן בסטטיסטיקה בלבד?
ב .מה ההסתברות שלו להיכשל בשני המבחנים?
ג .מה ההסתברות לעבור לפחות מבחן אחד?
נוסחת החיבור לשני מאורעות :
)B
B ) P ( A) P ( B ) P ( A
p( A
חוקי דה מורגן לשני מאורעות:
A B A B
A B A B
)P( A B) 1 P( A B
)P( A B) 1 P( A B
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
12
שיטת ריבוע הקסם:
השיטה רלבנטית רק אם יש שני מאורעות במקביל בדומה לתרגיל הקודם :
A
A
)P(B
)P ( A B
)P( A B
) P(B
) P( A B
) P( A B
1
)P(A
) P( A
B
B
מאורעות זרים :מאורעות שאין להם מהמשותף :לא יכולים להתרחש בו זמנית.
}{ B
A
B) 0
P( A
) B ) P ( A) P ( B
P( A
למשל ,בהטלת קובייה
לקבל לפחות : 2
לקבל : 4
}A {5, 6
}B {3
}{ B
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
A
13
מאורעות מכילים :
מאורע Aמכיל את מאורע Bכל התוצאות שנמצאות ב B-מוכלות בתוך המאורע.A-
קשר זה מסומן באופן הבאB A :
BB
A
BA
A
)B) P( B
P( A
)B ) P ( A
P( A
למשל:
}A {2, 4, 6
}B {2, 4
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
12
תרגילים:
.6מהאותיות F ,Eו G-יוצרים מילה בת 5אותיות לא בהכרח בת משמעות.
נגדיר את המאורעות הבאים :
-E
במילה נמצאת האות .E
-F
במילה אותיות שונות.
א .רשום את כל האפשרויות לחיתוך Aעם .B
ב .רשום את כל האפשרויות לאיחוד של Aעם .B
.5
תלמיד ניגש בסמסטר לשני מבחנים מבחן בכלכלה ומבחן בסטטיסטיקה .נגדיר את
המאורעות הבאים:
-A
לעבור את המבחן בסטטיסטיקה.
-Bלעבור את המבחן בכלכלה.
העזר בפעולות חיתוך ,איחוד ומשלים בלבד כדי להגדיר את המאורעות הבאים וסמן
בדיאגראמת וון את השטח המתאים :
א .התלמיד עבר רק את המבחן בכלכלה.
ב .התלמיד עבר רק את המבחן בסטטיסטיקה.
ג .התלמיד עבר את שני המבחנים.
ד .התלמיד עבר לפחות מבחן אחד.
ה .התלמיד נכשל בשני המבחנים.
ו .התלמיד נכשל בכלכלה.
.4נתבקשתם לבחור ספרה באקראי .נגדיר את Aלהיות הספרה שנבחרה היא זוגית .נגדיר את B
להיות הספרה שנבחרה קטנה מ.2-
א .רשמו את כל התוצאות למאורעות הבאים:
A
B
B
A B
A B
ב .חשבו את ההסתברויות לכל המאורעות מהסעיף הקודם.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
15
.3נסמן ב -את מרחב המדגם וב -קבוצה ריקה.
נתון כי Aהינו מאורע בתוך מרחב המדגם.
להלן מוגדרים מאורעות שפתרונם הוא או או .A
קבע עבור כל מאורע מה הפתרון שלו.
A
A
A
A
A
A
A
A
.2הוגדרו המאורעות הבאים:
=Aאדם שגובהו מעל 6.7מטר
=Bאדם גובהו מתחת ל 6.8-מטר
קבע את גובהם של האנשים הבאים:
אA B .
בA B .
גB .
A
דB .
A
ה.
A
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
A
11
.1נגדיר את המאורעות הבאים:
-Aאדם דובר עברית.
-Bאדם דובר ערבית.
-Cאדם דובר אנגלית.
השתמש בפעולות איחוד ,חיתוך והשלמה לתיאור המאורעות הבאים:
א .אדם דובר את כל שלוש השפות.
ב .אדם דובר רק עברית.
ג .אדם דובר לפחות שפה אחת מתוך השפות הללו.
ד .אדם אינו דובר אנגלית.
ה .קבוצת התלמידים דוברי 5שפות בדיוק (מהשפות הנ"ל).
.7שתי מפלגות רצות לכנסת הבאה .מפלגת "גדר" תעבור את אחוז החסימה בהסתברות של .1.18
מפלגת עתיד תעבור את אחוז החסימה בהסתברות של .1.51בהסתברות של 71%שתי המפלגות
לא תעבורנה את אחוז החסימה.
א .מה ההסתברות שלפחות אחת מהמפלגות תעבור את אחוז החסימה?
ב .מה ההסתברות ששתי המפלגות תעבורנה את אחוז החסימה?
ג.
מה ההסתברות שרק מפלגות "עתיד" תעבור את אחוז החסימה?
.8במקום עבודה מסוים 31%מהעובדים הם גברים .כמו כן 51%מהעובדים הם אקדמאים61% .
מהעובדים הינן נשים אקדמאיות.
א .איזה אחוז מהעובדים הם גברים אקדמאיים?
ב .איזה אחוז מהעובדים הם גברים או אקדמאיים?
ג .איזה אחוז מהעובדים הם נשים לא אקדמאיות?
.9
הסיכוי של מניה Aלעלות הנו 1.2ביום מסוים והסיכוי של מניה Bלעלות ביום מסוים הנו .1.3
בסיכוי של 1.7לפחות אחת מהמניות תעלה ביום מסוים .חשב את ההסתברויות הבאות לגבי
שתי המניות הללו ביום מסוים :
א.
ששתי המניות תעלנה.
ב.
שאף אחת מהמניות לא תעלנה.
ג.
שמניה Aבלבד תעלה.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
11
.61מטילים זוג קוביות אדומה ושחורה .נגדיר את המאורעות הבאים:
-Aבקובייה האדומה התקבלה התוצאה 3ובשחורה .5
-Bסכום התוצאות משתי הקוביות .1
-Cמכפלת התוצאות בשתי הקוביות .61
א .האם Aו B-מאורעות זרים?
ב .האם המאורע Bמכיל את המאורע ?A
ג .האם Aו C-מאורעות זרים?
ד .האם Aו C-מאורעות משלימים?
.66עבור המאורעות Aו B-ידועות ההסתברויות הבאות:
p( A B ) 0.1 p( B) 0.3 p( A) 0.6
א .האם Aו B-מאורעות זרים?
ב .חשב את )p( A B
.65מטבע הוטל פעמיים .נגדיר את המאורעות הבאים:
-Aקיבלנו עץ בהטלה הראשונה.
-Bקיבלנו לפחות עץ אחד בשתי ההטלות.
איזו טענה נכונה?
א.
Aו B -מאורעות זרים.
ב.
Aו B -מאורעות משלימים.
ג.
Bמכיל את .A
ד.
Aמכיל את .B
. 64בהגרלה חולקו 611כרטיסים על 4מהם רשום חופשה ועל 5מהם רשום מחשב שאר
הכרטיסים ריקים .אדם קיבל כרטיס אקראי.
א.
מה הסיכוי לזכות בחופשה או במחשב? האם המאורעות הללו זרים?
ב.
מה ההסתברות לא לזכות בפרס?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
12
.63
P( A) 0.3
P( B) 0.25
P( A B) 0.49
א.
חשב את הסיכוי ל P( A B) -
ב .האם Aו B -מאורעות זרים?
ג.
מה ההסתברות שרק Aיקרה או רק Bיקרה?
A .15ו B -מאורעות זרים .נתון ש 2 P( B A) P( A B ) P( A B ) :
מה הסיכוי למאורע Aומה ההסתברות למאורע ?B
.61קבע אילו מהטענות הבאות נכונות:
אA B B A .
בA B A B .
ג.
)B
A B C A B (C
דA B C A B C .
.67
נתון ש Aו B -מאורעות במרחב מדגם .נתון ש – P(A)=0.3וP(B)=0.2 -
א .האם יתכן ש? p( A B) =1.3-
ב .האם יתכן ש ? p( A B) =1.1-
ג .אם Aו B -זרים מה הסיכוי )? p( A B
ד .אם Aמכיל את Bמה הסיכוי )? p( A B
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
19
.68
מתוך אזרחי המדינה הבוגרים ל 41% -חשבון בבנק הפועלים .ל 58%חשבון בבנק לאומי ול-
62%חשבון בבנק מזרחי .כמו כן נתון כי 1%מחזיקים חשבון בבנק לאומי ובבנק הפועלים .ל-
2%חשבון בבנק פועלים ומזרחי .ול 3%-חשבון בבנק לאומי ומזרחי .כמו כן ל6%-
מהאוכלוסייה הבוגרת חשבון בנק בשלושת הבנקים יחד.
א .מה אחוז האזרחים להם חשבון בבנק לאומי בלבד?
ב .מה ההסתברות שאזרח כלשהו יחזיק חשבון בבנק פועלים ולאומי אבל לא בבנק
מזרחי?
ג .מה ההסתברות שלאזרח יהיה חשבון בפועלים או במזרחי אבל לא בבנק לאומי?
ד .מה אחוז האזרחים שיש להם חשבון בנק אחד בלבד?
ה .מה אחוז האזרחים שיש להם בדיוק חשבון בשני בנקים בלבד?
ו .מה ההסתברות שלאזרח בוגר אין חשבון בנק באף אחד מהבנקים הללו?
ז .לאיזה אחוז מהאזרחים יש חשבון בנק בלפחות אחד מהבנקים הללו?
.69
חברה מסוימת פרסמה את הנתונים הבאים לגבי האזרחים מעל גיל .56
הנתונים שהתקבלו היו 31% :מהאנשים מחזיקים כרטיס "ויזה" 25% ,מחזיקים כרטיס
"ישראכרט" 51% ,מחזיקים כרטיס "אמריקן אקספרס" 62% ,מחזיקים כרטיס ויזה וגם
ישראכרט 8% ,מחזיקים כרטיס ישראכרט וגם אמריקן אקספרס ו 7%-מחזיקים כרטיס ויזה
וגם אמריקן אקספרס .כמו כן 64% ,לא מחזיקים באף אחד משלושת הכרטיסים הנ"ל.
א .מה אחוז מחזיקי שלושת כרטיס האשראי גם יחד?
ב .מה אחוז מחזיקי ישראכרט וויזה אך לא את אמריקן אקספרס?
ג .מה אחוז מחזיקי כרטיס אחד בלבד?
.51
הוכח p( A B ) 1 P( A) P( B) P( A B) :
.56
Aו B -מאורעות במרחב המדגם האם נכון לומר שהסיכוי שיתרחש בדיוק מאורע אחד
הואP( A) P( B) 2P( A B) :
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
21
פתרונות:
שאלה 7
א1.53 .
ב1.13 .
ג1.61 .
שאלה 8
א61% .
ב21% .
ג21% .
שאלה 9
א1.5 .
ב1.4 .
ג1.4 .
שאלה 11
א .לא.
ב .כן.
ג .כן.
ד .לא.
שאלה 11
א .כן
ב1.4 .
שאלה 12
התשובה הנכונה ג
שאלה 13
א1.12 .
ב1.92 .
שאלה 14
א1.11 .
ב .לא זרים
ג1.34 .
שאלה 18
א1.69.
ב1.12.
ג1.46 .
ד1.31 .
ה1.65.
ו1.36.
ז1.29.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
21
פרק - 3קומבינטוריקה -כלל המכפלה
רקע:
כלל המכפלה:
כלל המכפלה הוא כלל שבאמצעותו אפשר לחשב את גודל המאורע או גודלו של מרחב המדגם.
אם לתהליך יש kשלבים n1 :אפשריות לשלב הראשון n2 ,אפשרויות לשלב השני nk ...
אפשרויות לשלב :k
מספר האפשרויות לתהליך כולו יהיה n1 n2 n3 nk :
למשל ,כמה אפשרויות יש למשחק בו מטילים קובייה וגם מטבע? ( הסבר בהקלטה)
למשל ,כמה לוחיות רישוי בני 2תווים ניתן ליצור כאשר התו הראשון הוא אות אנגלי והיתר
ספרות? (הסבר בהקלטה)
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
22
תרגילים:
.6חשבו את מספר האפשרויות לתהליכים הבאים:
א .הטלת קובייה פעמים.
ב .מספר תלת ספרתי.
ג .בחירת בן ובת מכתה שיש בה שבעה בנים ועשר בנות.
ד .חלוקת שני פרסים שונים לעשרה אנשים שונים כאשר אדם לא יכול לקבל יותר
מפרס אחד.
.5במסעדה מציעים ארוחה עסקית .בארוחה עסקית יש לבחור מנה ראשונה ,מנה
עיקרית ושתייה .האופציות למנה ראשונה הן :סלט ירקות ,סלט אנטיפסטי ומרק
היום .האופציות למנה עיקרית הן :סטייק אנטרקוט ,חזה עוף בגריל ,לזניה בשרית
ולזניה צמחונית .האופציות לשתייה הן :קפה ,תה ולימונדה.
א .כמה ארוחות שונות ניתן להרכיב בעזרת התפריט הזה?
ב .אדם מזמין ארוחה אקראית .חשב את ההסתברויות הבאות:
.6בארוחה סלט ירקות ,לזניה בשרית ולימונדה.
.5בארוחה סלט ,לזניה ותה.
.4בוחרים באקראי מספר בין חמש ספרות .חשבו את ההסתברויות הבאות :
א .המספר הוא זוגי.
ב .במספר כל הספרות שונות.
ג .במספר כל הספרות זהות.
ד .במספר לפחות שתי ספרות שונות.
ה .במספר לפחות שתי ספרות זהות.
ו .המספר הוא פלינדרום (מספר הנקרא מימין ומשמאל באותה צורה).
.3חמישה אנשים אקראיים נכנסו למעלית בבנין בן 8קומות .חשבו את ההסתברויות
הבאות:
א .כולם ירדו בקומה החמישית?
ב .כולם ירדו באותה קומה?
ג .כולם ירדו בקומה אחרת?
ד .ערן ודני ירדו בקומה השישית והיתר בשאר הקומות?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
23
.2במפלגה חמישה עשר חברי כנסת .יש לבחור שלושה חברי כנסת לשלושה תפקידים
שונים .בכמה דרכים ניתן לחלק את התפקידים אם:
א .חבר כנסת יכול למלא יותר מתפקיד אחד.
ב .חבר כנסת לא יכול למלא יותר מתפקיד אחד.
.1מטילים קובייה 3פעמים.
א .מה ההסתברות שכל התוצאות תהינה זהות?
ב .מה ההסתברות של התוצאות תהינה שונות?
ג .מה ההסתברות שלפחות שתי תוצאות תהינה זהות?
ד .מה ההסתברות שלפחות שתי תוצאות תהינה שונות?
.7יש ליצור מילה בת חמש אותיות לא בהכרח עם משמעות מאותיות ה51( ABC -
אותיות) בת 2אותיות.
א .מה ההסתברות שבמילה שנוצרה אין האותיות A, Dו ?L
ב .מה ההסתברות שבמילה שנוצרה כל האותיות זהות?
ג .מה ההסתברות שבמילה שנוצרה לפחות שתי אותיות שונות זו מזו?
ד .מה ההסתברות שהמילה היא פלינדרום ( מילה אשר משמאל לימין ,ומימין
לשמאל נקראת אותו הדבר).
.8יוצרים קוד עם aספרות ( מותר לחזור על אותה ספרה בקוד) .חשבו את ההסתברויות
הבאות( :בטאו את תשובותיכם באמצעות ) a
א .בקוד אין את הספרה .2
ב .בקוד מופיעה הספרה .4
ג .בקוד לא מופיעות ספרות אי זוגיות.
.9במשחק מזל יש למלא טופס בו nמשבצות .כל משבצת מסומנת בסימון Vאו בסימון .X
בכמה דרכים שונות ניתן למלא את טופס משחק המזל?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
22
פתרונות :
שאלה 1
שאלה 2
א41 .
א41 .
ב911 .
ב6341 .6 .
639 .5
ג71 .
ד91 .
שאלה 3
שאלה 4
א1.2 .
א1.11114 .
ב1.4153 .
ב1.11153 .
ג1.1116 .
ג1.51218 .
ד1.9999 .
ד1.16137 .
ה1.1971 .
ו1.16 .
שאלה 5
שאלה 6
א4,472 .
א63561 .
ב5,741 .
ב2368 .
ג64368 .
ד5623561 .
שאלה 7
שאלה 9
א1.2367 .
2n
ב.
1
264
ד1.1162 .
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
25
פרק - 4קומבינטוריקה -תמורה -סידור עצמים בשורה
רקע:
תמורה:
מספר האפשריות לסדר nעצמים שונים בשורה:
n! 1 2 3 (n 1) n
הערה0! 1 :
למשל ,בכמה דרכים שונות ניתן לסדר את האותיות ( ? a,b,c,dהפתרון בהקלטה )
למשל ,בכמה דרכים שונות ניתן לסדר את האותיות , a,b,c,dכך שהאותיות a,bיהיו ברצף?
(הפתרון בהקלטה )
למשל ,בכמה דרכים שונות ניתן לסדר את האותיות , a,b,c,dכך שהאותיות a,bיופיעו בתור
הרצף ( ? baהפתרון בהקלטה )
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
21
תרגילים:
.6חשבו בכמה אופנים :
א .אפשר לסדר 3ספרים שונים על מדף?
ב.
אפשר לסדר חמישה חיילים בטור?
.5
סידרו באקראי 61דיסקים שונים על מדף שמתוכם שניים בשפה העברית.
א .מה ההסתברות שהדיסקים בעברית יהיו צמודים זה לזה?
ב .מה ההסתברות שהדיסקים בעברית לא יהיו צמודים זה לזה?
ג .מה ההסתברות ששני הדיסקים בעברית יהיו כל אחד בקצה השני של המדף?
.4בוחנים 2בנים ו 3-בנות בכיתה ומדרגים אותם לפי הציון שלהם בבחינה .נניח שאין תלמידים
להם אותו ציון.
מהו מספר הדירוגים האפשריים?
א.
מהו מספר הדירוגים האפשריים ,אם מדרגים בנים ובנות בנפרד?
ב.
.3מסדרים 61ספרים שונים על מדף.
א.
בכמה אופנים ניתן לסדר את הספרים על המדף?
שני ספרים מתוך ה 61-הם ספרים בסטטיסטיקה.
ב.
מה ההסתברות שאם נסדר את הספרים באקראי ,הספרים בסטטיסטיקה יהיו צמודים
זה לזה?
ג.
מה ההסתברות שהספרים בסטטיסטיקה לא יהיו צמודים זה לזה?
ד.
מה ההסתברות שהספרים בסטטיסטיקה יהיו בקצות המדף (כל ספר בקצה אחר)?
.2אדם יצר בנגן שלו פלייליסט (רשימת השמעה) של 65שירים שונים 3 .בשפה העברית2 ,
באנגלית ו 4-בצרפתית .האדם הריץ את הפלייליסט באקראי.
א.
מה ההסתברות שכל השירים באנגלית יופיעו כשירים הראשונים כמקשה אחת?
ב.
מה ההסתברות שכל השירים באנגלית יופיעו ברצף ( לא חובה ראשונים)?
ג.
מה ההסתברות ששירים באותה השפה יופיעו ברצף (כלומר כל השירים באנגלית ברצף,
כל השירים בעברית ברצף וכך גם השירים בצרפתית)?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
21
3 .1בנים ו 3-בנות התיישבו באקראי בשורת קולנוע בכיסאות .6-8
א.
מה ההסתברות שיוסי ומיכל לא ישבו זה לצד זה?
ב.
מה ההסתברות שהבנים יתיישבו במקומות האי-זוגיים?
ג.
מה ההסתברות שכל הבנים ישבו זה לצד זה?
ד.
מה ההסתברות שהבנים ישבו זה לצד זה והבנות תשבנה זו לצד זו?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
22
פתרונות :
שאלה 1
א53 .
ב651 .
שאלה 2
א1.5 .
ב1.8 .
ג1.155 .
שאלה 3
א415,881 .
ב5,881 .
שאלה 4
א4,158,811 .
ב1.5 .
ג1.8 .
1
ד.
45
שאלה 5
1
א.
792
1
ב.
99
1
ג.
4620
שאלה 6
א1.72 .
ב1.163 .
1
ג.
14
1
ד35 .
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
29
פרק - 5קומבינטוריקה -תמורה עם עצמים זהים
רקע:
תמורה עם חזרות :
אם יש בין העצמים שיש לסדר עצמים זהים יש לבטל את הסידור הפנימי שלהם על ידי חלוקה
בסידורים הפנימיים שלהם.
מספר האופנים לסדר nעצמים בשורה ,ש n1 -מהם זהים מסוג n2 , 6זהים מסוג nr ,... ,5זהים
מסוג :r
!n
! n1 ! n2 ! ... nr
למשל ,
כמה מילים ניתן ליצור מכל האותיות הבאות ( ? W W T T K K :תשובה בהקלטה )
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
31
תרגילים:
.6במשחק יש לצבוע שתי משבצות מתוך המשבצות הבאות :
בכמה דרכים שונות ניתן לבצע את הצביעה?
.5בכמה אופנים שונים אפשר לסדר בשורה את האותיות ב ע ע ב ע ג?
.4בבית נורות מקום ל 1-נורות .בחרו שתי נורות אדומות ,שתי נורות צהובות ושתי נורות כחולות.
כמה דרכים שונות יש לסדר את הנורות?
.3רוצים ליצור מספר מכל הספרות הבאות6,5,5,5,1 :
כמה מספרים כאלה אפשר ליצור?
.2במשחק בול פגיעה יש 61משבצות ,אדם צובע 3משבצות מתוך ה .61-המשתתף השני צריך
לנחש אילו 3משבצות נצבעו .מה ההסתברות שבניחוש אחד יהיה בול פגיעה?
.1כמה אותות שונים ,שכל אחד מורכב מ 61דגלים שונים ניתן ליצור אם 3דגלים הם לבנים 4 ,
כחולים 5 ,אדומים ואחד שחור .דגלים שווי צבע זהים זה לזה לחלוטין.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
31
פתרונות:
91 .4
51 .3
1
.2
210
12,600 .1
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
32
פרק - 6קומבינטוריקה -דגימה סידורית ללא החזרה ועם החזרה
רקע:
מדגם סדור בדגימה עם החזרה
מספר האפשרויות בדגימת kעצמים מתוך nעצמים שונים כאשר הדגימה היא עם החזרה
והמדגם סדור הוא . n k :
למשל,
בוחרים שלושה תלמידים מתוך עשרה לייצג ועד בו תפקידים שונים ,תלמיד יכול למלא יותר
מתפקיד אחד.
כמה ועדים שונים ניתן להרכיב?
n 10
k 3
103 1, 000
מדגם סדור ללא החזרה
מספר האפשרויות בדגימת kעצמים שונים מתוך nעצמים שונים n k כאשר המדגם
סדור ואין החזרה של עצמים נדגמים הינו:
!n
(n)k n(n 1)(n 2) (n (k 1))
! n k
למשל,
שלושה תלמידים נבחרים מתוך 61לייצג וועד בו תפקידים שונים .תלמיד לא יכול למלא יותר
מתפקיד אחד.
!10
10 9 8 720
!7
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
33
תרגילים:
.6במפלגה 51חברי כנסת ,מעוניינים לבחור שלושה חברי כנסת לשלושה תפקידים שונים.
א .חבר כנסת יכול למלא יותר מתפקיד אחד .כמה קומבינציות ישנן לחלוקת התפקידים?
ב .חבר כנסת לא יכול למלא יותר מתפקיד אחד .כמה קומבינציות יש לחלוקת
התפקידים?
.5במשחק מזל יש 3משבצות ממוספרות מ A ( A-Dעד .)Dבכל משבצת יש למלא סיפרה
( .)1-9הזוכה הוא זה שניחש נכונה את כל הספרות בכל המשבצות בהתאמה.
א .מה ההסתברות לזכות במשחק?
ב .מה ההסתברות שבאף משבצת לא תהיה את הספרה 4במספר הזוכה?
ג .מה ההסתברות שהתוצאה 3תופיע לפחות פעם אחת במספר הזוכה?
.4קבוצה מונה 55אנשים ,מה ההסתברות שלפחות לשניים מהם יהיה יום הולדת באותו
התאריך?
.3שלושה אנשים קבעו להיפגש במלון הילטון בסינגפור .הבעיה היא שבסינגפור ישנם 2
מלונות הילטון.
א .מה ההסתברות שכל השלושה ייפגשו?
ב .מה ההסתברות שכל אחד יגיע לבית מלון אחר?
.2בכיתה 31תלמידים .מעוניינים לבחור חמישה מהם לוועד כיתה .בכמה דרכים ניתן
להרכיב את הוועד אם:
א .בוועד 2תפקידים שונים ותלמיד יכול למלא יותר מתפקיד אחד.
ב .בוועד 2תפקידים שונים ותלמיד לא יכול למלא יותר מתפקיד אחד.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
32
פתרונות :
שאלה : 1
א8111 .
ב1831 .
שאלה : 2
א1.1116 .
ב1.1216 .
ג1.4349 .
שאלה : 3
1.371
שאלה : 4
א1.13 .
ב1.38 .
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
35
פרק - 7קומבינטוריקה -דגימה ללא סדר וללא החזרה
רקע:
מדגם לא סדור בדגימה ללא החזרה
מספר האפשרויות לדגום kעצמים שונים מתוך nעצמים שונים כאשר אין משמעות
לסדר העצמים הנדגמים ואין החזרה:
n (n)k
!n
! n k !k ! k k
דוגמה
מתוך 61תלמידים יש לבחור שלושה נציגים לוועד ללא תפקידים מוגדרים:
! 10 10
3 7! 3! 120
הערות
n n
k n k .1
n n
n
n 1 1
.2
n n
1
n 0
.3
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
31
תרגילים :
.6בכיתה 62בנות ו 61-בנים .יש לבחור 2תלמידים שונים מהכיתה לנציגות הכיתה .בכמה
דרכים אפשר להרכיב את הנציגות אם-
א .אין שום הגבלה לבחירה.
ב.
מעוניינים ש 4-בנות ו 5-בנים ירכיבו את המשלחת.
ג.
לא יהיו בנים במשלחת.
.5סטודנט מעוניין לבחור 2קורסי בחירה בסמסטר זה .לפניו רשימה של 61קורסים
לבחירה:
2במקצועות מדעי הרוח.
4במקצועות מדעי החברה.
5מתחום המתמטיקה.
א .כמה בחירות שונות הוא יכול ליצור לעצמו?
ב .כמה בחירות יש לו בהן 4קורסים הם ממדעי הרוח?
ג .כמה בחירות יש לו אם 5מהן לא ממדעי הרוח?
ד .כמה בחירות יש לו אם 5ממדעי הרוח 5 ,ממדעי החברה ו 6-ממתמטיקה?
.4בכיתה 41תלמידים מתוכם 65תלמידים ו 68-תלמידות .יש לבחור למשלחת 3תלמידים
מהכיתה .התלמידים נבחרים באקראי.
א .מה ההסתברות שהמשלחת תורכב רק מבנות?
ב.
מה ההסתברות שבמשלחת תהיה רק בת אחת?
ג.
מה ההסתברות שבמשלחת תהיה לפחות בת אחת?
.3במשחק הלוטו יש לבחור 2מספרים מתוך .32המספרים הם .6-32
א .מה ההסתברות שבמשחק הזוכה כל המספרים הם זוגיים?
ב.
מה ההסתברות שבמספר הזוכה יש לכל היותר מספר זוגי אחד?
ג.
מה ההסתברות שבמספר הזוכה לפחות פעם אחת יש מספר זוגי?
ד.
מה ההסתברות שבמספר הזוכה כל המספרים גדולים מ?41-
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
31
.2בחפיסת קלפים ישנם 25קלפים 64 :בצבע שחור בצורת עלה 64 ,בצבע אדום בצורת
לב 64,בצבע אדום בצורת יהלום ו 64 -בצבע שחור בצורת תלתן .מכל צורה (מתוך ה)3-
יש 9קלפים שמספרם ,5-61שאר הקלפים הם; נסיך ,מלכה ,מלך ואס ( בעצם מדובר
בקופסת קלפים רגילה ללא ג'וקר) .שני אנשים משחקים פוקר .כל אחד מקבל באקראי 2
קלפים (ללא החזרה).
א .מה ההסתברות שעודד יקבל את כל המלכים וערן את כל המלכות?
ב.
מה ההסתברות שאחד השחקנים יקבל את הקלף אס-לב?
ג.
מה ההסתברות שערן יקבל קלפים שחורים בלבד ועודד יקבל שני קלפים שחורים
בדיוק?
ד.
מה ההסתברות שערן יקבל לפחות 4קלפים שהם מספר (אס אינו מספר)?
.1במכללה 3מסלולי לימוד .בכל מסלול לימוד 2מזכירות .יש ליצור וועד של 2מזכירות
מתוך כלל המזכירות במכללה .יוצרים וועד באופן אקראי .חשבו את ההסתברויות
הבאות:
א .כל המזכירות בוועד יהיו ממסלול "מדעי ההתנהגות".
ב.
כל המזכירות בוועד יהיו מאותו המסלול.
ג.
מכל מסלול תבחר לפחות מזכירה אחת.
n n n 1
.7הוכח כי :
k k 1 k 1
.8
2nבנים ו 5n -בנות מתחלקים ל 5-קבוצות.
א .בכמה דרכים שונות ניתן לבצע את החלוקה אם שתי הקבוצות צריכות להיות
שוות בגודלן ויש בכל קבוצה מספר שווה של בנים ובנות?
ב.
בכמה דרכים ניתן לבצע את החלוקה אם יש מספר שווה של בנים ובנות בכל
קבוצה אבל הקבוצות לא בהכרח בגודל שווה.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
32
פתרונות:
שאלה 1
שאלה 2
א24,641 .
א525 .
ב51,372 .
ב611 .
ג.
4114
ג611 .
ד11 .
שאלה 3
שאלה 4
א1.6667 .
א1.15 .
ב1.6332 .
ב1.687 .
1.9869
ג1.975 .
ג.
ד1.11531 .
שאלה 6
שאלה 8
א6.45 105 .
2
א.
ב.
2.58 104
ג.
0.3225
2
ב.
2n
n
2n
i
i 1
n
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
39
פרק - 8קומבינטוריקה -שאלות מסכמות
.6בכיתה 31תלמידים .מעוניינים לבחור חמישה מהם לוועד כיתה .בכמה דרכים ניתן להרכיב את
הוועד אם:
א .בוועד 2תפקידים שונים ותלמיד יכול למלא יותר מתפקיד אחד.
ב .בוועד 2תפקידים שונים ותלמיד לא יכול למלא יותר מתפקיד אחד.
ג .אין תפקידים שונים בוועד.
.5במשרד 41עובדים ,יש לבחור ארבעה עובדים למשלחת לחו"ל .בכמה דרכים ניתן להרכיב את
המשלחת?
א .במשלחת ארבע משימות שונות שיש למלא וכל עובד יכול למלא יותר ממשימה אחת.
ב .כמו בסעיף א .רק הפעם עובד לא יכול למלא יותר ממשימה אחת.
ג .מעוניינים לבחור ארבעה עובדים שונים למשלחת שבה לכולם אותו התפקיד.
.4מעוניינים להרכיב קוד סודי .הקוד מורכב מ 5-ספרות שונות ו 4-אותיות שונות באנגלית (51
אותיות אפשריות).
א .כמה קודים שונים ניתן להרכיב?
ב .כמה קודים שונים ניתן להרכיב אם הקוד מתחיל בספרה ונגמר בספרה?
ג .כמה קודים ניתן להרכיב אם הספרות חייבות להיות צמודות זו לזו?
ד .בכמה קודים הספרות לא מופיעות ברצף?
.3בארונית 3מגירות .ילד התבקש ע"י אימו לסדר 1משחקים בארונית .הילד מכניס את
המשחקים באקראי למגירות השונות .כל מגירה יכולה להכיל גם את כל המשחקים יחד.
א .מה ההסתברות שהילד יכניס את כל המשחקים למגירה העליונה?
ב .מה ההסתברות שהילד יכניס את כל המשחקים לאותה מגירה?
ג .מה ההסתברות שה"דומינו" יוכנס למגירה העליונה ויתר המשחקים לשאר המגירות.
ד .מה ההסתברות שה"דומינו" לא יוכנס למגירה העליונה?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
21
.2בעיר מסוימת מתמודדות למועצת העיר 3מפלגות שונות" :הירוקים"" ,קדימה"" ,העבודה"
ו"הליכוד" 1 .אנשים אינם יודעים למי להצביע ,ולכן בוחרים באקראי מפלגה כלשהי.
א .מה ההסתברות שכל ה 1-יבחרו באותה מפלגה?
ב.
מה ההסתברות שמפלגת ה"ירוקים" לא תקבל קולות?
ג.
מה ההסתברות שמפלגת ה"ירוקים" תקבל בדיוק 4קולות וכל מפלגה אחרת תקבל קול 6
בלבד?
ד.
מה ההסתברות שמפלגת "הירוקים תקבל 5קולות ,מפלגת "העבודה" תקבל 5קולות
ומפלגת "הליכוד" תקבל 5קולות?
2 .1חברים נפגשו הם רצו לראות סרט .באפשרותם ספריה המונה 8סרטים שונים .כל אחד
התבקש לבחור סרט באקראי.
א.
מה ההסתברות שכולם ייבחרו את אותו הסרט?
ב.
מה ההסתברות שכולם יבחרו את "הנוסע השמיני"?
ג.
מה ההסתברות שכל אחד יבחר סרט אחר?
ד.
מה הסיכוי שלפחות שניים יבחרו את אותו הסרט?
ה.
מה ההסתברות שיוסי וערן ייבחרו את "הנוסע השמיני" וכל השאר סרטים אחרים?
ו.
מה ההסתברות שהנוסע השמיני לא ייבחר על ידי אף אחד מהחברים?
ז.
לקחו את 8הסרטים ויצרו מהם רשימה .נתון שברשימה 4סרטי אימה ,מה ההסתברות
שברשימה שנוצרה יופיעו 4סרטי האימה ברצף?
.7בקבוצה 61אנשים .יש ליצור שתי וועדות שונות מתוך הקבוצה :אחת בת 3אנשים ,השנייה בת
4אנשים .כל אדם יכול להיבחר רק לוועדה אחת .חשבו את מס' הדרכים השונות ליצירת
הוועדות הללו כאשר:
א.
אין בוועדות תפקידים.
ב.
בכל וועדה יש תפקיד אחד של אחראי הוועדה.
ג.
בכל וועדה כל התפקידים שונים.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
21
3 .8גברים ו 4-נשים מתיישבים על כסאות בשורה של כסאות תיאטרון .בכל שורה 61כסאות.
בכמה דרכים שונות ניתן לבצע את ההושבה:
א .ללא הגבלה.
ב .כל הגברים ישבו זה ליד זה וגם כל הנשים תשבנה זו ליד זו.
ג .שני גברים בקצה אחד ושני הגברים האחרים בקצה שני.
.9בהגרלה ישנם 61מספרים מ 6-עד .61בוחרים באקראי 2מספרים .מה ההסתברות שהמספר 7
הוא השני בגודלו מבין המספרים שנבחרו?
1 .61אנשים עלו לאוטובוס שעוצר ב 61-תחנות .כל אדם בוחר באופן עצמאי ואקראי באיזו תחנה
לרדת.
א .מה ההסתברות שכל אחד יורד בתחנה אחרת?
ב .מה ההסתברות שבדיוק 4ירדו בתחנה החמישית?
ג.
מה ההסתברות שרונית תרד בתחנה השנייה והשאר לא?
ד .מה ההסתברות שכולם ירדו בתחנות 2,1ולפחות אחד בכל אחת מהתחנות הללו?
.66ברכבת 3מקומות ישיבה עם כיוון הנסיעה ו 3מקומות ישיבה נגד כיוון הנסיעה 3 .זוגות
התיישבו במקומות אלו באקראי.
מעבר
חלון
א .בכמה דרכים שונות ניתן להתיישב?
ב .מה ההסתברות שהזוג כהן ישבו זה לצד זה עם כיוון הנסיעה?
ג .מה ההסתברות שהזוג כהן ישבו זה לצד זה?
ד.
מה ההסתברות שהזוג כהן ישבו כל אחד ליד החלון? (בכל שורה יש חלון).
ה .מה ההסתברות שהזוג כהן יישבו כך שכל אחד בכיוון נסיעה מנוגד?
ו .מה ההסתברות שהזוג כהן יישבו אחד מול השני פנים מול פנים.
ז .מה ההסתברות שכל הגברים ייסעו עם כיוון הנסיעה וכל הנשים תשבנה נגד כיוון
הנסיעה?
ח .מה ההסתברות שכל זוג ישב אחד מול השני?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
22
.65סיסמא מורכבת מ 2-תווים ,תווים אלו יכולים להיות ספרה ( )1-9והאותיות 51( ABCאותיות).
כל תו יכול לחזור על עצמו יותר מפעם אחת.
א .כמה סיסמאות שונות יש?
ב .כמה סיסמאות שונות יש שבהן כל התווים שונים?
ג .כמה סיסמאות שונות יש שבהן לפחות ספרה אחת ולפחות אות אחת?
.64מתוך קבוצה בת nאנשים רוצים לבחור 4אנשים לוועדה .בכמה דרכים שונות ניתן לבצע את
הבחירה? בטא את תשובתך באמצעות .n
א .בוועדה אין תפקידים ויש לבחור 4אנשים שונים לוועדה.
ב .בוועדה תפקידים שונים .וכל אדם לא יכול למלא יותר מתפקיד אחת.
ג .בוועדה תפקידים שונים ואדם יכול למלא יותר מתפקיד אחד.
.63שני אנשים מטילים כל אחד מטבע nפעמים.
בטא באמצעות nאת הסיכוי שלכל אחד מהם אותו מספר פעמים של התוצאה "ראש".
.62יוצרים קוד עם aספרות ( מותר לחזור על אותה ספרה בקוד) .חשבו את ההסתברויות הבאות:
(בטאו את תשובותיכם באמצעות . ) a
א.
בקוד אין את הספרה .2
ב .בקוד מופיעה הספרה .4
ג .בקוד לא מופיעות ספרות אי זוגיות.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
23
פתרונות:
שאלה 1
א615,311,111 .
ב78,911,911 .
ג128,1188 .
שאלה 2
א861,111 .
ב127,751 .
ג.
57,312
שאלה 3
א63,131,111 .
ב6,313,111 .
ג2,161,111 .
ד8,353,111 .
שאלה 4
א.
1.11153
ב.
1.11198
ג.
1.12944
ד.
1.72111
שאלה 5
א.
1.11198
ב.
1.67798
ג.
1.15959
ד.
1.15697
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
22
שאלה 6
1
א.
4096
1
ב.
32, 768
ג1.512 .
ד1.792 .
ה1.1612 .
ו1.2659 .
ז1.6176 .
שאלה 7
א3511 .
ב21,311 .
ג113,811 .
שאלה 8
א113,811 .
ב.
5,881
ג5,881 .
שאלה 9
1.548
שאלה 11
א1.6265 .
ב.
1.163
ג.
1.129
ד.
62
106
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
25
שאלה 11
א31,451 .
ב.
1.6176
ג.
1.5635
ד.
1.1427
ה1.2763 .
ו.
1.6359
ז.
1.1634
ח1.1192 .
שאלה 14
2
1 n n
4n i0 i
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
21
פרק - 9הסתברות מותנית -במרחב מדגם אחיד
רקע:
לעיתים אנו נדרשים לחשב הסתברות למאורע כלשהו כאשר ברשותנו אינפורמציה לגבי מאורע אחר.
הסתברות מותנית הינה סיכוי להתרחשות מאורע כלשהו אשר ידוע שמאורע אחר התרחש 3לא
התרחש.
ההסתברות של Aבהינתן ש ־ Bכבר קרה:
P A| B
כשמרחב המדגם אחיד:
A B
B
P A | B
למשל( ,פתרון בהקלטה)
מטילים קובייה.
נגדיר:
– Aהתוצאה זוגית.
– Bהתוצאה גדולה מ. 4-
נרצה לחשב את :
P A | B
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
21
תרגילים:
.6נבחרה ספרה זוגית באקראי .מה הסיכוי שהספרה גדולה מ?1-
.5יוסי הטיל קובייה .מה הסיכוי שקיבל את התוצאה 3אם ידוע שהתוצאה שהתקבלה זוגית ?
.4מטילים צמד קוביות.
נגדיר:
– Aסכום התוצאות בשתי ההטלות הינו 7
– Bמכפלת התוצאות 65
חשבו את
P A | B
.
.3הוטל מטבע פעמיים .ידוע שהתקבל לכל היותר ראש אחד ,מה הסיכוי שהתקבלו שני ראשים ?
.2אדם הטיל זוג קוביות והתקבל שהתוצאות זהות .מה הסיכוי שלפחות אחת התוצאות ?2
.1אדם הטיל זוג קוביות והתקבל לפחות פעם אחת .3מה הסיכוי שאחת התוצאות ?2
.7נבחרה משפחה בת שני ילדים .ידוע שאחד הילדים בן .מה ההסתברות שבמשפחה שני בנים בקרב
הילדים?
.8נבחרה משפחה בת שלושה ילדים .נתון שהילד האמצעי בן .מה הסיכוי שיש בנות בקרב הילדים?
השאלות הבאות משלבות קומבינטוריקה:
.9בכיתה 1בנים ו 7-בנות .נבחרו ארבעה ילדים מהכיתה.
אם ידוע שנבחרו 5בנים ושתי בנות ,מה הסיכוי שאלעד לא נבחר?
.61חמישה חברים יצאו לבית קולנוע והתיישבו זה ליד זה באקראי בכיסאות מספר 2עד .9
אם ידוע שערן ודין התיישבו זה ליד זה .מה ההסתברות שהם יושבים בכיסאות מספר 1ו ? 7
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
22
פתרונות:
שאלה 1
1.5
שאלה 2
634
שאלה 3
1.2
שאלה 4
1
שאלה 5
631
שאלה 6
5366
שאלה 7
634
שאלה 8
433
שאלה 9
534
שאלה 11
633
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
29
פרק - 11הסתברות מותנית -מרחב לא אחיד
רקע:
הסיכוי שמאורע Aיתרחש בהינתן ש – מאורע Bכבר קרה :
)P( A B
)P( B
P( A | B)
במונה :הסיכוי לחיתוך של שני המאורעות זה הנשאל וזה הנתון שהתרחש.
במכנה :הסיכוי למאורע שנתון שהתרחש:
למשל,
נלקחו משפחות שיש להם שתי מכוניות .ל 41% -מהמשפחות הללו המכונית הישנה יותר היא מתוצרת
אירופה ואצל 11%מהמשפחות הללו המכונית החדשה יותר מתוצרת אירופה .כמו כן 62%
מהמשפחות הללו שתי המכוניות הן מתוצרת אירופאית.
אם המכונית הישנה של המשפחה היא אירופאית ,מה ההסתברות שגם החדשה אירופאית? ( פתרון
בהקלטה)
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
51
תרגילים:
.6
תלמיד ניגש בסמסטר לשני מבחנים מבחן בכלכלה ומבחן בסטטיסטיקה:
נגדיר את המאורעות הבאים -A :לעבור את המבחן בסטטיסטיקה –B .לעבור את המבחן בכלכלה.
כמו כן נתון שהסיכוי לעבור את המבחן בכלכלה הנו 1.8והסיכוי לעבור את המבחן בסטטיסטיקה הנו
.1.9הסיכוי לעבור את שני המבחנים הנו .1.72חשבו את הסיכויים למאורעות הבאים :
א.
התלמיד עבר בסטטיסטיקה ,מה ההסתברות שהוא עבר בכלכלה?
ב .התלמיד עבר בכלכלה ,מה ההסתברות שהוא עבר בסטטיסטיקה?
ג .התלמיד עבר בכלכלה ,מה ההסתברות שהוא נכשל בסטטיסטיקה?
ד .התלמיד נכשל בסטטיסטיקה מה ההסתברות שהוא נכשל בכלכלה?
ה .התלמיד עבר לפחות מבחן אחד מה ההסתברות שהוא יעבור את שני המבחנים?
.5
במדינה שתי חברות טלפון סלולארי "סופט" ו"בל" 41% .מהתושבים הבוגרים רשומים אצל חברת
"בל" 11% .מהתושבים הבוגרים רשומים אצל חברת "סופט".
ל 62%-מהתושבים הבוגרים אין טלפון סלולארי בכלל.
א .איזה אחוז מהתושבים הבוגרים רשומים אצל שתי החברות?
ב .נבחר אדם שרשום אצל חברת "סופט" ,מה ההסתברות שהוא רשום גם אצל חברת "בל"?
ג .אם אדם לא רשום אצל חברת "בל" ,מה ההסתברות שהוא כן רשום בחברת "סופט"?
ד .אם אדם רשום אצל חברה אחת בלבד ,מה ההסתברות שהוא רשום בחברת "סופט"?
.4
במכללה שני חניונים :חניון קטן וחניון גדול .בשעה 18:11יש סיכוי של 11%שבחניון הגדול יש מקום,
סיכוי של 41%שבחניון הקטן יש מקום וסיכוי של 51%שבשני החניונים יש מקום.
א .מה ההסתברות שיש מקום בשעה 18:11רק בחניון הגדול של המכללה?
ב .ידוע שבחניון הקטן יש מקום בשעה ,18:11מה הסיכוי שבחניון הגדול יש מקום?
ג .אם בשעה 18:11בחניון הגדול אין מקום ,מה ההסתברות שבחניון הקטן יהיה מקום?
ד .נתון שלפחות באחד מהחניונים יש מקום בשעה ,18:11מה ההסתברות שבחניון הגדול יש מקום?
.3
נלקחו 511שכירים ו 611-עצמאים ,מתוך השכירים 51הם אקדמאיים ,מתוך העצמאיים 41הם
אקדמאיים.
א .בנו טבלת שכיחות משותפת לנתונים.
ב .נבחר אדם אקראי מהי ההסתברות שהוא שכיר?
ג .מה ההסתברות שהוא שכיר ולא אקדמאי?
ד .מה ההסתברות שהוא שכיר או אקדמאי?
ה .אם האדם שנבחר הוא עצמאי מהי ההסתברות שהוא אקדמאי?
ו .אם הבן אדם שנבחר הוא לא אקדמאי ,מה ההסתברות שהוא שכיר?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
51
.2
חברה מסוימת פרסמה את הנתונים הבאים לגבי האזרחים מעל גיל :56
הנתונים שהתקבלו היו 31% :מהאנשים מחזיקים כרטיס "ויזה" 25% ,מחזיקים כרטיס "ישראכרט",
51%מחזיקים כרטיס "אמריקן אקספרס" 62% ,מחזיקים כרטיס ויזה וגם ישראכרט 8% ,מחזיקים
כרטיס ישראכרט וגם אמריקן אקספרס ו 7%-מחזיקים כרטיס ויזה וגם אמריקן אקספרס .כמו כן,
2%מחזיקים בכל שלושת הכרטיסים הנ"ל.
א .אם לאדם יש ויזה ,מה הסיכוי שאין לו כרטיס ישראכרט?
ב .אם לאדם שני כרטיסי אשראי ,מה הסיכוי שאין לו כרטיס ישראכרט?
ג .אם לאדם לפחות כרטיס אשראי אחד ,מה הסיכוי שאין לו כרטיס ישראכארט?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
52
פתרונות:
שאלה 1
א1.844 .
ב.
1.9472
ג1.1152 .
ד1.2 .
ה1.789 .
שאלה 2
א2% .
ב1.1844 .
ג1.781 .
ד1.1872 .
שאלה 3
א1.3 .
ב.
2
3
ג1.52 .
ד.
6
7
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
53
פרק - 11דיאגרמת עצים ,נוסחת בייס ונוסחת ההסתברות השלמה
רקע:
נשתמש בשיטה זו כאשר יש תרגיל שבו התרחשות המאורעות היא בשלבים ,כך שכל תוצאה של כל
שלב תלויה בשלב הקודם ,פרט לשלב הראשון :
למשל,
בחברה מסוימת 61%מוגדרים בכירים והיתר מוגדרים זוטרים .
מבין הבכירים 71%הם אקדמאים ומבין הזוטרים 51%הם אקדמאים.
נשרטט עץ שיתאר את הנתונים ,השלב הראשון של העץ אינו מותנה בכלום ואילו השלב השני מותנה
בשלב הראשון.
1.9
1.1
זוטר
בכיר
1.3
1.1
1.2
1.2
לא אקדמאי
אקדמאי
אקדמאי
לא אקדמאי
כדי לקבל את הסיכוי לענף מסוים נכפיל את כל ההסתברויות על אותו ענף.
נבחר אדם באקראי מאותה חברה.
א .מה הסיכוי שהוא בכיר אקדמאי ?
0.1*0.7=0.07
ב .מה הסיכוי שהוא זוטר לא אקדמאי ?
0.9*0.8=0.72
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
52
כדי לקבל את הסיכוי לכמה ענפים נחבר את הסיכויים של כל ענף ( רק אחרי שבתוך הענף הכפלנו
את ההסתברויות )
ג .מה הסיכוי שהוא אקדמאי ?
0.1*0.7+0.9*0.2=1.52
ד .נבחר אקדמאי מה ההסתברות שהוא עובד זוטר?
מדובר כאן על שאלה בהסתברות מותנה ולכן נשתמש בעיקרון של הסתברות מותנה
0.9*0.2 0.18
0.72
0.25
0.25
P( zutar | academay)
נוסחת ההסתברות השלמה
Bמאורע כלשהו A1 ,..., A n ,חלוקה ממצה של .
n
אזיP(B) P(A i ) P(B / A i ) :
i 1
נוסחת בייס
) P( A j ) P( B / A j
n
) P( A ) P( B / A
i
i
P(A j / B)
i 1
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
55
תרגילים:
.6בשקית סוכריות 3סוכריות תות ו 4-לימון .מוציאים באקראי סוכרייה אם היא בטעם תות אוכלים
אותה ומוציאם סוכרייה נוספת ,אך אם היא בטעם לימון מחזירים אותה לשקית ומוציאים סוכרייה
נוספת.
א.
מה ההסתברות שהסוכרייה הראשונה שהוצאה בטעם תות והשנייה בטעם לימון ?
ב.
מה ההסתברות שהסוכרייה השנייה בטעם לימון?
.5באוכלוסיה מסוימת 41%הם ילדים 21% ,בוגרים והיתר קשישים .לפי נתוני משרד הבריאות הסיכוי
שילד יחלה בשפעת במשך החורף הוא ,81%הסיכוי שמבוגר יחלה בשפעת במשך החורף הוא 31%
והסיכוי שקשיש יחלה בשפעת במשך החורף הוא .71%
א .איזה אחוז מהאוכלוסייה הינו קשישים שלא יחלו בשפעת במשך החורף?
ב .מה אחוז האנשים שיחלו בשפעת במשך החורף?
ג .נבחר אדם שחלה במשך החורף בשפעת ,מה ההסתברות שהוא קשיש?
ד .נבחר ילד ,מה ההסתברות שהוא לא יחלה בשפעת במשך החורף?
.4בכד א' 2כדורים כחולים ו 2-כדורים אדומים .בכד ב' 1כדורים כחולים ו 3-כדורים אדומים.
בוחרים באקראי כד ,מוציאים ממנו כדור ומבלי להחזירו מוציאים כדור נוסף.
א .מה ההסתברות ששני הכדורים שיוצאו יהיו בצבעים שונים?
ב .אם הכדורים שהוצאו הם בצבעים שונים ,מה ההסתברות שהכדור השני שהוצא יהיה בצבע אדום?
.3חברת סלולר מסווגת את לקוחותיה לפי 4קבוצות גיל :נוער ,בוגרים ופנסיונרים .נתון כי :
61%מהלקוחות בני נוער 71% ,מהלקוחות בוגרים והיתר פנסיונרים .מתוך בני הנוער 91%מחזיקים
בסמארט-פון ,מתוך האוכלוסייה הבוגרת ל 71%יש סמארט-פון ומתוך אוכלוסיית הפנסיונרים 41%
מחזיקים בסמארט-פון.
א .איזה אחוז מלקוחות החברה הם בני נוער עם סמארט-פון?
ב .נבחר לקוח אקראי ונתון שיש לו סמארט-פון .מה ההסתברות שהוא פנסיונר?
ג .אם ללקוח אין סמארט-פון ,מה ההסתברות שהוא לא בן נוער?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
51
.2כדי להתקבל למקום עבודה יש לעבור שלושה מבחנים .המבחנים הם בשלבים ,כלומר אם נכשלתם
במבחן מסוים אינכם ניגשים למבחן הבא אחריו.
71%מהמועמדים עוברים את המבחן הראשון.
מתוכם 21%עוברים את המבחן השני.
מבין אלה שעוברים את המבחן השני 31%עוברים את המבחן השלישי.
א .מה ההסתברות להתקבל לעבודה?
ב .מועמד לא התקבל לעבודה .מה ההסתברות שהוא נכשל במבחן הראשון?
ג .מועמד לא התקבל לעבודה .מה ההסתברות שהוא עבר את המבחן השני?
.1משרד הבריאות פרסם את הנתונים הבאים:
מתוך אוכלוסיית הילדים והנוער 81%חולים בשפעת בזמן החורף.
מתוך אוכלוסיית המבוגרים (עד גיל 11% )12חולים בשפעת בזמן החורף.
41%מהתושבים הם ילדים ונוער.
21%הם מבוגרים.
היתר קשישים.
כמו כן נתון ש 18%מהאוכלוסייה תחלה בשפעת בחורף.
א .מה אחוז החולים בשפעת בקרב האוכלוסייה הקשישה?
ב .נבחר אדם שלא חלה בשפעת ,מה ההסתברות שהוא לא קשיש?
.7רדאר שנמצא על החוף צריך לקלוט אנייה הנמצאת ב 6-מ 3 -האזורים .A B C D:
אם האנייה נמצאת באזור Aהרדאר מזהה אותה בסיכוי ,1.8סיכוי זה פוחת ב 1.6-ככל שהאנייה
מתקדמת באזור.
כמו כן נתון שבהסתברות חצי האנייה נמצאת באזור ,Dבהסתברות 1.4באזור ,Cבאזור Bהיא
נמצאת בסיכוי ,1.5אחרת היא נמצאת באזור .A
א .מה הסיכוי ש האנייה תתגלה ע"י הרדאר?
ב .אם האנייה התגלתה ע"י הרדאר ,מה ההסתברות שהיא נמצאת באזור ?C
ג .אם האנייה התגלתה ע"י הרדאר ,מה הסיכוי שהיא לא נמצאת באזור ?B
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
51
.8סימפטום Xמופיע בהסתברות של 1.3במחלה ,Aבהסתברות של 1.1במחלה Bובהסתברות של 1.2
במחלה .C
סימפטום Xמופיע אך ורק במחלות הללו ,אדם לא יכול לחלות ביותר ממחלה אחת מבין המחלות
הללו.
לקליניקה מגיעים אנשים כדלקמן:
8%חולים במחלה 61% ,Aבמחלה 5% ,Bבמחלה Cוהיתר בריאים .כמו כן נתון שבמחלה ,A
סימפטום Xמתגלה בסיכוי של .81%במחלות B,Cהסימפטום מתגלה בסיכוי של 91%בכל מחלה.
א .מה ההסתברות שאדם הגיע לקליניקה וגילו אצלו את סימפטום ?X
ב .אם התגלה אצל אדם סימפטום ,Xמה ההסתברות שהוא חולה במחלה ?A
ג .אם לאדם יש את סימפטום ,Xמה ההסתברות שהוא חולה במחלה ?A
ד .אם לא גילו אצל אדם את סימפטום ,Xמה ההסתברות שהוא בריא?
.9סטודנט ניגש למבחן אמריקאי .הסיכוי שהוא יודע לשאלה מסוימת את התשובה הוא , pאם הוא
לא יודע את התשובה הוא מנחש .בכל מקרה הוא עונה על השאלה.
נתון שלשאלה יש kתשובות אפשריות.
אם הסטודנט ענה נכון על השאלה ,מה הסיכוי שהוא ידע אותה?
.61אדם משחק נגד שני מתמודדים ,רונית ודולב .האדם צריך לשחק שלושה משחקים ויש לו לבחור
איזה סדר משחקים עדיף לו:
א .דולב ,רונית ,דולב
ב .רונית ,דולב ,רונית
בכל משחק מישהו חייב לנצח (אין תיקו) .האדם ינצח בטורניר רק אם ינצח בשני משחקים ברציפות.
נתון שדולב שחקן טוב יותר מאשר רונית .איזו אפשרות עדיפה יותר על האדם כדי לנצח בטורניר?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
52
פתרונות:
שאלה 1
א537 .
ב54339 .
שאלה 2
א1% .
ב28% .
ג.
1.536
ד1.5 .
שאלה 3
א1.233 .
ב1.2 .
שאלה 4
א9% .
ב1.19472 .
ג.
1.9755
שאלה 8
א1.1881 .
ב1.5889 .
ג.
1.4647
ד1.8778 .
שאלה 9
kp
1 (k 1) p
שאלה 11
אפשרות א עדיפה
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
59
פרק - 12תלות ואי תלות בין מאורעות
רקע:
אם מתקיים ש P( B | A) p( B) :נגיד שמאורע Bבלתי תלוי ב.A -
הדבר גורר גם ההפך P( A | B) p( A) :כלומר Aאינו תלוי גם ב.B -
כשהמאורעות בלתי תלויים מתקיים ש. P( A B) P( A) P( B) :
הוכחה לכך:
)P( A B
) P( A B) P( A) P( B
)P( B
P( A / B) P( A)
נשתמש בנוסחאות של מאורעות בלתי תלויים רק אם נאמר במפורש שהמאורעות בלתי תלויים
בתרגיל או שמההקשר אפשר להבין ללא צל של ספק שהמאורעות בלתי תלויים.
למשל,
חוקר מבצע שני ניסויים בלתי תלויים הסיכוי להצליח בניסוי הראשון הנו 1.7והסיכוי להצליח
בניסוי השני הוא .1.3
א .מה הסיכוי להצליח בשני הניסויים יחדו?
כיוון שהמאורעות הללו בלתי תלויים :
p( A B) P( A) P( B) 0.7 0.4 0.28
ב .מה הסיכוי להיכשל בשני הניסויים ?
באופן דומה p( A B ) P( A) P( B ) (1 0.7)(1 0.4) 0.18 :
הרחבה :אי תלות בין nמאורעות
nמאורעות A1 ,..., A nהם בלתי תלויים אם ורק אם:
n
) Ai ) P( Ai
i 1
n
(P
i 1
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
11
תרגילים:
.6נתון:
p( A) 0.2
P( B) 0.5
P( A B) 0.6
האם המאורעות הללו בלתי תלויים?
.5תלמיד ניגש לשני מבחנים שהצלחתם לא תלויה זו בזו .הסיכוי שלו להצליח במבחן הראשון
הוא 1.7והשני . 1.3
א .מה הסיכוי להצליח בשני המבחנים יחדו?
ב .מה הסיכוי שניכשל בשני המבחנים ?
.4במדינה מסוימת 8%אבטלה ,נבחרו באקראי שני אנשים מהמדינה.
א .מה ההסתברות ששניהם מובטלים?
ב .מה ההסתברות שלפחות אחד מהם מובטל?
. 3מוצר צריך לעבור בהצלחה ארבע בדיקות בלתי תלויות לפני שיווקו ,אחרת הוא נפסל ולא
יוצא לשוק .הסיכוי לעבור בהצלחה כל אחת מהבדיקות הוא .1.8בכל מקרה מבוצעות כל 3
הבדיקות.
א .מה הסיכוי שהמוצר יפסל?
ב.
מה ההסתברות שהמוצר יעבור בהצלחה לפחות בדיקה אחת?
.2מדינה מסוימת 8%אבטלה ,נבחרו באקראי חמישה אנשים מהמדינה.
א .מה ההסתברות שכולם מובטלים במדגם?
ב .מה ההסתברות שלפחות אחד מהם מובטל?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
11
.1עבור שני מאורעות Aו B -המוגדרים על אותו מרחב מדגם נתון ש , P( A B) 0.9 :
. P( A B) 0.6 , P( A B) 0.3האם Aו B-מאורעות בלתי תלויים?
.7הוכח אם
)P( A / B) P( B / A
אז:
)P( A) P( B
.
.8קבע אילו מהטענות הבאות נכונות .נמק!
א.
אם ) p( A B) p( A) p( Bאזי המאורעות בלתי תלויים.
ב .מאורע Aכלול במאורע 0 p( B) 1 , P( A) 0 .Bלכן ). p( A / B) p( A
ג A .ו B-מאורעות זרים שסיכוייהם חיובים לכן הם מאורעות תלויים.
ד A .ו B-מאורעות תלויים שסיכוייהם חיובים לכן Aו B -מאורעות זרים.
ה P( A B) 1 P( A) P( B) .לכן Aו B -מאורעות זרים.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
12
פתרונות :
שאלה 1
כן
שאלה 2
א1.58 .
ב1.68 .
שאלה 3
א1.1113 .
ב1.6241 .
שאלה 4
א1.2913 .
ב1.9983 .
שאלה 8
א .לא נכון
ב.
לא נכון
ג.
נכון
ד.
לא נכון
ה.
נכון
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
13
פרק - 13שאלות מסכמות בהסתברות
.6
נלקחו משפחות שיש להם שתי מכוניות .ל 41% -מהמשפחות הללו המכונית הישנה יותר היא
מתוצרת אירופה ואצל 11%מהמשפחות הללו המכונית החדשה יותר מתוצרת אירופה .כמו כן
62%מהמשפחות הללו שתי המכוניות הן מתוצרת אירופאית.
א .מה ההסתברות שמשפחה אקראית בת שתי מכוניות תהיה ללא מכוניות מתוצרת אירופה?
ב .מה ההסתברות שלפחות מכונית אחת תהיה אירופאית?
ג .ידוע שלמשפחה יש מכונית אירופאית .מה ההסתברות שרק המכונית החדשה שלה היא
מתוצרת אירופאית?
ד .אם המכונית הישנה של המשפחה היא אירופאית ,מה ההסתברות שגם החדשה אירופאית?
.5
במדינת "שומקום " 21%מהחלב במרכולים מיוצר במחלבה א' 31%במחלבה ב' והיתר במחלבה
ג' 4%.מתוצרת מחלבה א' מגיעה חמוצה למרכולים ואילו במחלבה ב' .61%כמו כן ידוע
שבמדינת "שומקום" בסך הכול 7.2%מהחלב חמוץ.
א .איזה אחוז מהחלב שמגיע למרכול ממחלבה ג' חמוץ?
ב .אם נרכש חלב חמוץ במרכול .מה הסיכוי שהוא יוצר במחלבה ג?
ג .ברכישת חלב נימצא שהוא אינו חמוץ .מה הסיכוי שהוא יוצר במחלבה א?
ד .האם המאורעות " :חלב חמוץ" ו" -יוצר במחלבה א" בלתי תלויים?
.4
רוני ורונה יצאו לבלות במרכז בילוים עם מספר אפשרויות בילוי:
בהסתברות של 1.4הם ייצאו לבאולינג
בהסתברות של 1.2הם ייצאו לבית קפה
בהסתברות של 1.7הם יצאו לפחות לאחד מהם ,באולינג3קפה.
א .מה ההסתברות שהם יצאו רק לבאולינג?
ב .האם המאורעות "לצאת לבאולינג" לצאת לבית קפה" זרים?
ג .האם המאורעות "לצאת לבאולינג" לצאת לבית קפה" תלויים?
ד .מה ההסתברות שיום אחד הם יצאו רק לבאולינג וביום למחרת לא יצאו לאף אחד
מהמקומות?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
12
.3
71%מהנבחנים בסטטיסטיקה עוברים את מועד א' .כל מי שלא עובר את מועד א' ניגש לעשות
מועד ב' ,מתוכם 81%עוברים אותו .מבין אלה שנכשלים בשני המועדים 21%נרשמים לקורס
מחדש ,והיתר פורשים מהתואר.
א .מה הסיכוי שסטודנט אקראי עבר את הקורס?
ב .אם סטודנט אקראי עבר הקורס ,מה הסיכוי שעבר במועד ב'?
ג .מה אחוז הסטודנטים שפורשים מהתואר?
ד .נבחרו 5סטודנטים אקראיים רונית וינאי ,מה ההסתברות שרונית עברה במועד א' ושינאי
עבר במועד ב'?
.2
באוכלוסיה מסוימת 31%הם גברים והיתר הן נשים .מבין הגברים 61%מובטלים .בסך הכול
64%מהאוכלוסייה מובטלת.
א .מה אחוז האבטלה בקרב הנשים?
ב .נבחר אדם מובטל ,מה ההסתברות שזו אישה?
ג .נגדיר את המאורעות הבאים:
-Aנבחר אדם מובטל
-Bנבחר גבר
האם המאורעות הללו זרים? והאם הם בלתי תלויים?
.1
בתיבה 61מטבעות ,מתוכם 7מטבעות רגילים (ראש ,זנב) ו 4-מטבעות שבשני צדדיהם טבוע
ראש .אדם בוחר באקראי מטבע ומטיל אותו פעמיים .נסמן ב A-את ההטלה הראשונה ראש ,בB -
את ההטלה השנייה ראש.
א .חשבו את הסיכויים למאורעות Aו.B -
ב .האם המאורע Aו B -בלתי תלויים?
ג .ידוע שבהטלה הראשונה התקבל ראש ,מה ההסתברות שהמטבע שהוטל הוא מטבע הוגן?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
15
.7
ערן מעוניין למכור את רכבו ,הוא מפרסם מודעה באינטרנט ומודעה בעיתון .מבין אלה
שמעוניינים לרכוש רכב משומש 41%יראו את המודעה באינטרנט 21% ,יראו את המודעה
בעיתון ו 75%-יראו את המודעה בלפחות אחת מהמדיות.
א .מה אחוז האנשים מאלה שמעוניינים לרכוש רכב משומש יראו את 5המודעות?
ב .אם אדם ראה את המודעה באינטרנט ,מה ההסתברות שהוא לא ראה את המודעה בעיתון?
ג .האם המאורעות" :לראות את המודעה באינטרנט" ו"לראות את המודעה בעיתון" בלתי
תלויים?
ד .אדם שראה את המודעה באינטרנט בלבד יתקשר לערן בהסתברות של ,1.7אם הוא ראה את
המודעה בעיתון בלבד הוא יתקשר לערן בהסתברות של .1.1ואם הוא ראה את שתי המודעות
הוא יתקשר לערן בהסתברות של .1.9
.6מה ההסתברות שאדם המעוניין לרכוש רכב משומש יתקשר לערן?
.5אדם המעוניין לרכוש רכב משומש התקשר לערן .מה ההסתברות שהוא ראה את שתי
המודעות?
.8
נתונה המערכת החשמלית הבאה:
A
B
כל יחידה עובדת באופן בלתי תלוי ובהסתברות .p
כדי שהמערכת תפעל צריך לעבור זרם מהנקודה Aלנקודה .B
הוכח שהסיכוי שהמערכת תפעל:
P (1 P)(2P P 2 )2
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
11
פתרונות:
שאלה 1
א1.52 .
ב1.72 .
ג1.1 .
ד1.2 .
שאלה 2
א1.5.
ב1.517 .
ג1.253 .
ד .המאורעות תלויים.
שאלה 3
א1.5 .
ב .המאורעות אינם זרים.
ג .המאורעות הללו תלויים.
ד1.11 .
שאלה 4
א1.93 .
ב1.522 .
ג1.14 .
ד1.618 .
שאלה 5
א62%.
ב1.195 .
ג .לא זרים ותלויים.
שאלה 6
א1.12 .
ב A .ו B-תלויים.
ג1.2483 .
שאלה 7
א8% .
ב1.744 .
ג .תלויים.
ד1.378 .6 .
1.62 .5
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
11
פרק - 14המשתנה המקרי הבדיד -פונקציית ההסתברות
רקע:
משתנה מקרי בדיד :הנו משתנה היכול לקבל כמה ערכים בודדים בהסתברויות שונות.
מתארים את המשתנה המקרי על ידי פונקציית הסתברות.
פונקצית הסתברות :פונקציה המתאימה לכל ערך אפשרי של המשתנה את ההסתברות שלה.
סכום ההסתברויות על פונקציית ההסתברות חייב להיות .6
למשל ,בקזינו יש רולטה כמוראה בשרטוט:
אדם מסובב את הרולטה וזוכה בסכום הרשום על הרולטה בש"ח.
בנו את פונקציית ההסתברות של סכום הזכייה במשחק בודד ( פתרון בהקלטה).
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
12
תרגילים:
.1
ידוע שביישוב מסוים התפלגות מספר המכוניות למשפחה הוא:
21משפחות אינן מחזיקות במכונית.
71משפחות עם מכונית אחת.
11משפחות עם 5מכוניות.
51משפחות עם 4מכוניות .
בוחרים באקראי משפחה מהיישוב ,נגדיר את Xלהיות מספר המכוניות של המשפחה
שנבחרה.
בנו את פונקציית ההסתברות של .X
.2
מהאותיות C,B,Aיוצרים קוד דו תווי.
א .כמה קודים ניתן ליצור?
ב .רשמו את כל הקודים האפשריים
ג .נגדיר את Xלהיות מספר הפעמים שהאות Bמופיעה בקוד ,בנו את פונקציית ההסתברות
של .X
.3
תלמיד ניגש בסמסטר לשני מבחנים מבחן בכלכלה ומבחן בסטטיסטיקה.
כמו כן נתון שהסיכוי לעבור את המבחן בכלכלה הנו 1.8והסיכוי לעבור את המבחן
בסטטיסטיקה הנו .1.9הסיכוי לעבור את שני המבחנים הנו .1.72יהי Xמספר המבחנים
שהסטודנט עבר .בנה את פונקצית ההסתברות של .X
.2
הסיכוי לזכות במשחק מסוים הינו .1.4אדם משחק את המשחק עד אשר הוא מנצח אך בכל
מקרה הוא לא משחק את המשחק יותר מ – 3פעמים .נגדיר את Xלהיות מספר הפעמים
שהוא שיחק את המשחק .בנה את פונקצית ההסתברות של .X
.5
חברה לניהול פרויקטים מנהלת 4פרויקטים במקביל .הסיכוי שפרויקט א' יצליח הינו .1.7
הסיכוי שפרויקט ב' יצליח הינו .1.8הסיכוי שפרויקט ג' יצליח הינו .1.9נתון שהצלחת כל
פרויקט בלתי תלויה זו בזו .נגדיר את Xלהיות מספר הפרויקטים שיצליחו .בנה את פונקצית
ההסתברות של .X
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
19
.1
להלן פונקציית הסתברות של משתנה מקרי
כלשהו:
k
A
PX k
k 1, 2...4
מצא את ערכו של .A
.1
בגן ילדים 8ילדים מתוכם 2בנים ו 4-בנות .בוחרים באקראי 4ילדים להשתתף בהצגה .נגדיר
את Xכמספר הבנים שנבחרו להצגה .בנו את פונקציית ההסתברות של .X
.2
בסקר שנערך בדקו בקרב אנשים האם הם צופים במהדורת החדשות של ערוצים 6,5,61
להלן הנתונים:
51%צופים בערוץ .5
8%צופים בערוץ .6
61%צופים בערוץ .61
כמו כן נתון ש 6%צופים בשלושת המהדורות גם יחד.
61%צופים בשתי המהדורות מתוך השלושה.
נגדיר את Xלהיות מספר המהדורות מבין 4המהדורות המדוברות שאדם אקראי צופה .בנו
את פונקציות ההסתברות של .X
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
11
פתרונות
שאלה 3
x
1
6
5
)P(x
1.12
1.51
1.72
שאלה 4
x
6
5
4
3
)P(x
1.4
1.56
1.637
1.434
שאלה 5
X
)P(x
1
6
5
4
1.111
1.195
1.498
1.213
שאלה 6
61
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
11
פרק - 15המשתנה המקרי הבדיד -תוחלת ,שונות וסטיית תקן
רקע:
xi P( xi )
E( X )
i
2
xi2 P( xi ) 2
)2 P( xi )
i
( xi
V(X)
i
תוחלת– ממוצע של פונקציית ההסתברות ,אם נבצע את התהליך אינסוף פעמים כמה בממוצע
נקבל .התוחלת היא צפי של המשתנה המקרי.
שונות– תוחלת ריבועי הסטיות מהתוחלת – נותן אינדיקציה על הפיזור והסיכון של פונקציית
ההסתברות.
סטיית תקן -שורש של השונות – .הפיזור הממוצע הצפוי סביב התוחלת.
למשל ,בקזינו רולטה כמוראה בשרטוט:
אדם מסובב את הרולטה וזוכה בסכום הרשום על הרולטה בש"ח.
x
61
51
41
)1.2 1.52 1.52 P(x
E ( X ) 10 0.25 20 0.25 30 0.5 22.5
V ( X ) ( xi ) 2 P( xi ) (10 22.5) 2 0.25 (20 22.5) 2 0.25 (30 22.5) 2 0.5
i
68.75 2
כדי לחשב את סטיית התקן נוציא שורש לשונות:
x V ( X ) 68.75 8.29
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
12
תרגילים:
.6אדם משחק במשחק מזל .נגדיר את Xלהיות סכום הזכייה .להלן פונקצית ההסתברות של :X
X
-41
1
51
31
)p (X
1.3
1.6
1.4
1.5
מהי התוחלת ,השונות וסטית התקן של ?X
.5בישוב מסוים שני סניפי בנק ,בנק פועלים ובנק לאומי .מתוך האוכלוסייה הבוגרת בישוב ל21%-
חשבון בנק בסניף הפועלים של הישוב .ל 31%-חשבון בנק בסניף הלאומי של הישוב .ל51%
מהתושבים הבוגרים אין חשבון בנק בישוב .יהי Xמס' סניפי הבנק שלבוגר בישוב יש חשבון.
חשב את )E(X
.4ידוע של 51% -מהמשפחות יש חיבור לווייני בביתם .בסקר אדם מחפש לראיין משפחה המחוברת
ללוויין .הוא מטלפן באקראי למשפחה וממשיך עד אשר הוא מגיע למשפחה המחוברת ללוויין .בכל
מקרה הסוקר לא יתקשר ליותר מ 2-משפחות.
נגדיר את Xלהיות מספר המשפחות שאליהן האדם יתקשר.
א .בנו את פונקציית ההסתברות של .X
ב .חשבו את התוחלת וסטיית תקן של .X
.3לאדם צרור מפתחות .בצרור 2מפתחות אשר רק אחד מתאים לדלת של ביתו .האדם מנסה את
המפתחות באופן מקרי .לאחר שניסה מפתח מסוים הוא מוציא אותו מהצרור כדי לא להשתמש בו
שוב .נסמן ב X-את מספר הניסיונות עד שהדלת תפתח.
א .בנה את פונקצית ההסתברות של .X
ב .חשב את התוחלת והשונות של .X
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
13
.2נתונה פונקצית ההסתברות של המשתנה המקרי :X
x
5
3
1
1.4
)P(x
8
1.5
כמו כן נתון שE ( X ) 4.2 :
א .מצא את ההסתברויות החסרות בטבלה.
ב .חשב את ) . V ( X
.1משתנה מקרי בדיד מקבל את הערכים 1 -2ו .2נתון שהתוחלת של המשתנה 1ושהשונות היא . 61
מצא את פונקצית ההסתברות.
.7להלן ההתפלגות של משתנה מקרי . X
P
X
¼
6
½
4
¼
K
מהו הערך Kשייתן ערך מינימלי לשונות של .X
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
12
פתרונות:
שאלה 1
תוחלת 5 :
שונות791 :
שאלה 3
ב .תוחלת 4.41 :סטיית תקן6.114 :
שאלה 4
א.
x
5
1
3
4
2
)1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 P(x
ב .תוחלת4 :
שונות 5
שאלה 5
א.
5
x
3
1
8
)1.5 1.6 1.4 1.3 P(x
ב2.61 .
שאלה 6
x
-5
0
5
)1.5 1.1 1.5 P(x
שאלה 7
5.44
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
15
פרק - 16המשתנה המקרי הבדיד -טרנספורמציה לינארית
רקע
מצב שבו מבצעים הכפלה של קבועה ו או הוספה של קבוע על המשתנה המקורי ( .כולל גם חלוקה
של קבוע והחסרה של קבוע)
אם Y aX b
אזי:
E (Y ) aE ( X ) b
) V (Y ) a 2 V ( X
Y a x
שלבי העבודה:
.6נזהה שמדובר בטרנספורמציה ליניארית ( שינוי קבוע לכל התצפיות).
.5נרשום את כלל הטרנספורמציה לפי נתוני השאלה.
.4נפשט את הכלל ונזהה את ערכי aו .b
.3נציב בנוסחאות שלעיל בהתאם למדדים שנשאלים.
דוגמה -הרולטה:
בהמשך לנתוני שאלת הרולטה נתון שעלות השתתפות במשחק ₪ 62מהי התוחלת והשונות של
הרווח במשחק ?
פתרון ( בהקלטה)
חישבנו קודם ש :
E ( X ) 22.5
V ( X ) 68.75 2
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
11
תרגילים:
.6סטודנט ניגש ל 2 -קורסים הסמסטר .נניח שכל קורס שסטודנט מסיים מזכה אותו ב 3-נקודות
אקדמאיות .חשב את התוחלת והשונות של סך הנקודות שיצבור הסטודנט כאשר נתון שתוחלת
מספר הקורסים שיסיים היא 4.2עם שונות .5
.5
תוחלת סכום הזכייה במשחק מזל הינו 61עם שונות 4הוחלט להכפיל את סכום הזכייה במשחק.
עלות השתתפות במשחק הינה . 65מה התוחלת ומהי השונות של הרווח במשחק?
.4
תוחלת של משתנה מקרי הינה 61וסטית התקן . 2הוחלט להוסיף 5למשתנה ולאחר מכן לעלות
אותו ב .61%-מהי התוחלת ומהי סטיית התקן לאחר השינוי?
.3
Xהינו משתנה מקרי .כמו כן נתון ש E ( X ) 4 -ו. V ( X ) 3 -
Yהינו משתנה מקרי חדש עבורו . Y 7 X
חשב את E (Y ) :ו. V (Y ) -
.2אדם החליט לבטח את רכבו ,שווי רכבו .₪ 611,111
להלן התביעות האפשריות והסתברותן:
בהסתברות של 636111תהיה תביעה טוטאלוסט (כל שווי הרכב).
בהסתברות של 1.15תהיה תביעה בשווי מחצית משווי הרכב.
בהסתברות של 2%תהיה תביעה בשווי רבע משווי הרכב.
אחרת אין תביעה בכלל.
החברה מאפשרת תביעה אחת בשנה.
נסמן ב X-את גובה התביעה השנתית באלפי ₪
א .בנו את פונקצית ההסתברות של .X
ב .חשבו את התוחלת והשונות של גובה התביעה.
ג .פרמיית הביטוח היא ,₪ 3,111מהי התוחלת ומהי השונות של רווח חברת הביטוח לביטוח
הרכב הנ"ל?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
11
.1יהי Xמספר התשובות הנכונות במבחן בו 61שאלות .פונקציית ההסתברות של Xנתונה בטבלה
הבאה:
X
2
1
7
8
)P(x
1.6
1.5
1.5
1.4
9
61
כמו כן נתון שצפי מספר התשובות הנכונות בבחינה הוא .7.42
א .השלימו את פונקציית ההסתברות.
ב .חשבו את השונות מספר התשובות הנכונות בבחינה.
ג .הציון בבחינה מחושב באופן הבא :כל שאלה נכונה מזכה ב 61-נקודות .לכל שאלה שגוייה,
מופחתת נקודה .מהי התוחלת ומה השונות של הציון בבחינה?
.7להלן פונקצית הסתברות של משתנה מקרי כלשהו:
k
A
PX k
k 1, 2...4
א .מצא את ערכו של .A
ב .חשב את התוחלת והשונות של המשתנה הנחקר.
ג .חשב את ) E ( X 3
X
ד .חשב את התוחלת והשונות של המשתנה הבא 4 :
2
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
12
פתרונות :
שאלה :1
תוחלת 63 :שונות45 :
שאלה :2
תוחלת 8 :שונות65 :
שאלה :3
תוחלת64.5 :
סטיית תקן 2.2 :
שאלה :4
תוחלת4:
שונות4 :
שאלה :6
בV ( X ) 1.8275 .
שאלה : 7
א61=A .
ב.
ג.
ד.
E( X ) 3
V (X ) 1
E ( X 3 ) 35.4
V ( X 3 ) 616.84
E ( y ) 2.5
V ( y) 0.25
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
19
פרק - 17תוחלת ושונות של סכום משתנים מקריים
רקע:
אם
Xn , ....... , X2 , X1משתנים מקרים אזי:
) E(T ) E( X1 X 2 ...... X n ) E( X1 ) E( X 2 ) ...... E( X n
אם Xn , ....... , X2 , X1
משתנים מקריים בלתי תלויים בזוגות ,אזי:
) V (T ) V ( X1 X 2 ...... X n ) V ( X1 ) V ( X 2 ) ...... V ( X n
למשל,
אדם משחק בשני משחקי מזל בלתי תלויים .תוחלת סכות הזכייה של המשחק הראשון היא 7עם
סטיית תקן .4תוחלת סכום הזכייה של המשחק השני היא -2עם סטיית תקן . 3מה התוחלת
ומהי השונות של סכום הזכייה הכולל של שני המשחקים יחד?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
21
תרגילים:
.6הרווח ממניה א' הוא עם תוחלת של 2ושונות .61הרווח ממניה ב' הוא עם תוחלת של 3ושונות
.2ידוע שההשקעות של שתי המניות בלתי תלויות זו בזו.
מה התוחלת והשונות של הרווח הכולל מהשקעה בשתי המניות יחד?
X .5ו Y-הם משתנים בלתי תלויים ,סטיית התקן של Xהיא .4סטיית התקן של Yהיא .3מהי
סטיית התקן של ?X+Y
.4אדם משחק בשני משחקי מזל בלתי תלויים זה בזה:
=Xסכום הזכיה במשחק הראשון.
=Yסכום הזכייה במשחק השני.
נתון:
(X ) 3
(Y ) 4
E ( x) 10
E ( y ) 12
מהי התוחלת ומהי סטיית התקן של סכום הזכייה בשני המשחקים?
.3ברולטה הסיכוי לזכות ב ₪ 41 -הוא חצי וב ₪ 61-רבע כך גם ב . ₪ 51 -מה היא התוחלת
והשונות של סכום הזכייה הכולל לאדם המשחק ברולטה 3פעמים.
.2נתון משתנה מקרי בעל פונקציית ההסתברות הבאה :
K 2,3, 4,5
אחרת
A
K 1
P( X K )
1
א.
מצא את ערכו של .A
ב.
חשב את התוחלת והשונות של .X
ג.
נלקחו nמשתנים מקריים בלתי תלויים מההתפלגות הנ"ל .בטאו באמצעות nאת תוחלת
והשונות של סכום המשתנים.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
21
פתרונות:
שאלה 1
תוחלת9 :
שונות 62 :
שאלה 3
תוחלת 55:
סטיית תקן2 :
שאלה 4
תוחלת 91 :
שונות 572 :
שאלה 5
א.
12
0.48
25
ב.
תוחלת 5.95
A
שונות 6.6641
ג.
תוחלת 5.95n
שונות 6.6641n
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
22
פרק - 18התפלגויות בדידות מיוחדות -התפלגות בינומית
רקע:
נגדיר את המושג ניסוי ברנולי:
ניסוי ברנולי הנו ניסוי שיש לו שתי תוצאות אפשריות " :הצלחה" ו" כישלון " כמו :מוצר פגום
או תקין אדם עובד או מובטל עץ או פלי בהטלת מטבע וכדומה.
בהתפלגות בינומית חוזרים על אותו ניסוי ברנולי nפעמים באופן בלתי תלוי זה בזה.
מגדירים את Xלהיות מספר ההצלחות שהתקבלו בסך הכול.
נסמן ב pאת הסיכוי להצלחה בניסוי בודד וב qאת הסיכוי לכישלון בניסוי בודד.
ואז נגיד ש . X ~ B(n, p) :
פונקציית ההסתברות של : X
לכל
n
k
nk
)k 0,1,2, . . . . . . . . . , n ; P( X k ) p (1 p
k
כאשר 0 ! 1 :
;
n ! n (n 1) (n 2). . . . . . .1
;
n
!n
! ) k k !(n k
n
לגודל :ניתן לחשב באמצעות המחשבון.
k
תוחלת E ( X ) np :
שונותV ( X ) npq :
שימו לב כדי לזהות שמדובר בהתפלגות בינומית צריכים להתקיים כל התנאים הבאים :
)1חוזרים על אותו ניסוי ברנולי באופן בלתי תלוי זה בזה.
)2חוזרים על הניסוי nפעמים.
–X )3מוגדר כמספר ההצלחות המתקבלות בסך הכול.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
23
דוגמה ( :פתרון בהקלטה )
במדינה מסוימת ל 81%-מהתושבים יש רישיון נהיגה .נבחרו 61תושבים אקראיים מהמדינה.
א .מהי ההסתברות שבדיוק ל 9-מהם יש רישיון נהיגה?
ב .מה ההסתברות שלפחות ל 9-מהם יש רישיון נהיגה?
ג .מהי התוחלת ומהי סטיית התקן של מספר התושבים שנדגמו ושיש להם רישיון נהיגה?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
22
תרגילים:
.6במדינה 61%מהאוכלוסייה מובטלת .נבחרו 2אנשים באקראי מאותה אוכלוסיה.
נגדיר את Xלהיות מספר המובטלים שהתקבלו במדגם.
א .מהי ההתפלגות של ?X
ב .מה ההסתברות שיהיה בדיוק מובטל אחד?
ג .מה ההסתברות שכולם יעבדו במדגם ?
ד .מה ההסתברות ששלושה יעבדו במדגם ?
ה .מה ההסתברות שלפחות אחד יהיה מובטל ?
ו .מה תוחלת ומהי השונות של מספר המובטלים במדגם ?
.5על פי נתוני משרד התקשורת ל 71%-מהאוכלוסייה יש סמארט-פון .נבחרו 61אנשים
באקראי .נגדיר את Xכמספר האנשים שנדגמו עם סמארט-פון.
א .מהי ההתפלגות של ?Xהסבירו.
ב .מה ההסתברות שבמדגם ל 8-אנשים יש סמארט-פון?
ג .מה ההסתברות שבמדגם לפחות ל 9-יהיו סמארט-פון?
ד .מה התוחלת ומה סטיית התקן של מספר האנשים שנדגמו ולהם סמארט-פון?
.4בבית הימורים יש שורה של 1מכונות מזל מאותו סוג .משחק במכונת מזל כזו עולה .₪ 2
ההסתברות לזכות ב ,₪ 51 -בכל אחת מהמכונות היא 1.6וההסתברות להפסיד את ההשקעה
היא 1.9בכל מכונה .מהמר נכנס לבית ההימורים ומכניס ₪ 2לכל אחת מ 1-המכונות.
א .מה ההסתברות שיפסיד בכל המכונות?
ב .מה ההסתברות שיזכה בדיוק בשתי מכונות?
ג .מה ההסתברות שיזכה ביותר כסף מה ₪ 41 -שהשקיע?
ד .מהן התוחלת וסטיית התקן של הרווח נטו של המהמר (הזכיות בניכוי ההשקעה)?
.3במדינה מסוימת התפלגות ההשכלה בקרב האוכלוסייה מעל גיל 41היא כזו:
השכלה
נמוכה
תיכונית
תואר I
תואר IIומעלה
פרופורציה
1.6
1.1
1.5
1.6
נבחרו 51אנשים אקראיים מעל גיל 41מהמדינה הנ"ל.
א .מה ההסתברות ש 2-מהם אקדמאים?
ב .מה התוחלת של מס' בעלי ההשכלה הנמוכה?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
25
.2במכללה מסוימת 51%מהסטודנטים גרים בת"א .מבין הסטודנטים שגרים בת"א 41%
מגיעים ברכבם ומבין הסטודנטים שלא גרים בת"א 21%מגיעים ברכבם
למכללה.
א .השומר בשער המכללה בודק לכל סטודנט את תיקו בהיכנסו למכללה .מה ההסתברות
שבקרב 2סטודנטים שנבדקו ע"י השומר רק 6מתוכם הגיע למכללה ברכבו?
ב .בהמשך לסעיף הקודם מה ההסתברות שרוב הסטודנטים בקרב ה 2-הגיעו
למכללה ברכבם?
.1במבחן אמריקאי 51שאלות .סטודנט ניגש למבחן והסיכוי שהוא יודע שאלה היא .1.8אם
הוא לא יודע הוא מנחש את התשובה .לכל שאלה 3תשובות אפשריות שרק אחת מהן נכונה.
א .מה הסיכוי לענות על שאלה מסוימת נכון?
ב .מה הסיכוי שיענה נכונה על בדיוק 61שאלות?
ג .על כל שאלה שענה נכון התלמיד מקבל 2נקודות ,על כל שאלה ששגה מופחתת נקודה,
מה התוחלת ומהי השונות של ציון התלמיד?
2% .7מקו היצור פגום .המוצרים נארזים בתוך קופסת קרטון .בכל קופסא 61מוצרים שונים.
הקופסאות נארזות בתוך מכולה .בכל מכולה 51קופסאות.
א .מה ההסתברות שבקופסא אקראית לפחות מוצר פגום אחד?
ב .מה התוחלת ומהי סטיית התקן של מספר הקופסאות במכולה בהן לפחות מוצר פגום
אחד?
.8מטילים מטבע הוגן 2פעמים .נגדיר את – Xמספר הפעמים שהתקבל עץ .חשבו את (.E(x2
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
21
פתרונות :
שאלה :2
שאלה : 7
ב1.5442 .
ג1.6394 .
ד .תוחלת 7 :
סטיית תקן 6.339 :
א1.316 .
ב .תוחלת 8.152 :
סטיית תקן 5.694 :
שאלה : 3
א1.2463 .
ב1.1983 .
ג1.6634 .
ד .תוחלת -68 :
סטיית תקן 63.197 :
שאלה : 8
7.2
שאלה :4
א1.6789 .
ב5 .
שאלה : 5
א1.6921 .
ב1.3524 .
שאלה : 6
א1.82 .
ב1.685 .
ג .תוחלת 85 :נקודות
שונות 96.8 :נקודות
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
21
פרק - 19התפלגויות בדידות מיוחדות -התפלגות גיאומטרית
רקע:
חוזרים באופן בלתי תלוי על אותו ניסוי ברנולי.
– Xמוגדר להיות מספר הניסויים שבוצעו עד ההצלחה הראשונה כולל.
נסמן ב pאת הסיכוי להצלחה בניסויי בודד וב q -את הסיכוי לכישלון בניסוי בודד.
)G( p
X
פונקציית ההסתברות:
P(X k) pqk-1
תוחלת:
1
p
E(X)
שונות:
q
p2
V(X)
k 1,2,...
תכונות חשובות :
אם Xמתפלג על פי התפלגות גיאומטרית ,אזי Xהוא בעל תכונת חוסר זיכרון ,דהיינו,
). P(X n k) / X k) P(X n
P(X k) q k
דוגמה ( :פתרון בהקלטה)
בכד 61כדורים ש 4 -מהם ירוקים .אדם מוציא באקראי כדור אחר כדור עד שבידו כדור ירוק.
ההוצאה היא עם החזרת הכדור לכד בכל פעם מחדש.
א.
מהי ההתפלגות של מספר הכדורים שהוצאו?
ב.
מה ההסתברות שהוצאו בדיוק 2כדורים?
ג.
מה ההסתברות שהוצאו יותר מ 2כדורים?
ד.
אם הוצאו יותר מ 4 -כדורים .מה הסיכוי שהוצאו בדיוק 2כדורים?
ה.
מה התוחלת וסטיית התקן של מספר הכדורים שהוצאו?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
22
תרגילים:
.6קו ייצור המוני מייצר מוצרים כך ש 2%מהם פגומים .איש בקרת איכות דוגם באופן מקרי
מוצרים מקו הייצור עד אשר בידו מוצר פגום.
חשבו את ההסתברויות הבאות:
א.
שידגום 4מוצרים.
ב.
שידגום 3מוצרים.
ג.
שידגום 2מוצרים.
ד.
שידגום יותר מ 7-מוצרים.
ה.
שידגום לא פחות מ 8-מוצרים.
.5צילום שמבוצע במכון הרנטגן " " X-RAYיתקבל תקין בהסתברות של .1.9אדם נכנס למכון כדי
להצטלם .הוא ייצא מהמכון רק כאשר יש בידו תצלום תקין.
א.
מה ההסתברות שיצטלם בסך הכול 4פעמים?
ב.
מה ההסתברות שהצטלם יותר מ 3-פעמים?
ג.
מה התוחלת ומה השונות של מספר הצילומים שייבצע?
ד.
כל צילום עולה למכון .₪ 21אדם משלם על צילום תקין .₪ 611מה התוחלת ומה השונות
של רווח המכון מאדם שהגיע להצטלם?
.4מטילים מטבע עד אשר מתקבלת התוצאה "עץ".
א.
מה ההסתברות להטיל את המטבע לכל היותר 61פעמים?
ב.
מה ההסתברות להטיל את המטבע לכל היותר 2פעמים אם ידוע שהמטבע הוטל לפחות 4
פעמים?
ג.
אם ידוע שבשתי ההטלות הראשונות התקבלה התוצאה "פלי" מה ההסתברות שהאדם
הטיל את המטבע 7פעמים?
ד.
מה תוחלת מספר הפעמים שהתקבלה התוצאה "פלי"?
41% .3מהמכוניות בארץ הן בצבע לבן .בכל יום נכנסות לחניון 61מכוניות אקראיות.
א.
מה ההסתברות שביום מסוים בדיוק מחצית מהמכוניות בחניון יהיו לבנות?
ב.
מה תוחלת מספר הימים שיעברו מהיום עד שלראשונה מחצית מהמכוניות בחניון יהיו
לבנות?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
29
.2אדם משחק במשחק מזל עד אשר הוא מפסיד .הצפי הוא שישחק את המשחק 61פעמים.
מה הסיכוי להפסיד במשחק בודד?
א.
מה ההסתברות שישחק את המשחק בדיוק 1פעמים?
ב.
מה ההסתברות שישחק את המשחק לכל היותר 65פעמים?
ג.
ידוע שהאדם שיחק את המשחק יותר מ 1-פעמים ,מה ההסתברות ששיחק את המשחק
בדיוק 61פעמים?
מהי סטיית התקן של מספר הפעמים שישחק את המשחק?
ד.
.1במאפייה מייצרים עוגת גבינה ועוגת שוקולד שנארזות באריזות אטומות 31% .מהעוגות הן עוגות
גבינה והיתר עוגות שוקולד .התווית על האריזה מודבקת בשלב מאוחר יותר של הייצור .אדם נכנס
למפעל ובוחר באקראי עוגה.
א.
מה ההסתברות שייאלץ לבחור 2עוגות עד שקיבל עוגות שוקולד?
ב.
אם הוא דגם פחות מ 7-עוגות עד שיקבל עוגת שוקולד ,מה ההסתברות שבפועל הוא
דגם יותר מ 3-עוגות?
ג.
האדם דוגם עוגות עד אשר הוא מוצא עוגת שוקולד ידוע שעוגת גבינה עולה לייצרן 21
שקלים ועוגת שוקולד 41שקלים .מהי התוחלת ומהי השונות של עלות הייצור הכוללת של
העוגות שדגם?
ד.
בהמשך לסעיף הקודם ,מהי התוחלת ומהי סטיית התקן של מספר עוגת הגבינה שדגם
האדם?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
91
פתרונות :
שאלה : 2
א1.119 .
ב1.1116 .
ג .תוחלת 6.666 :
שונות 1.6543:
ד .תוחלת 33.3 :
שונות 418.2 :
שאלה : 3
א1.999 .
ב1.872 .
ג1.14652 .
ד6 .
שאלה :4
א1.6159 .
ב9.75 .
שאלה :5
א1.11 .
ב1.7671 .
ג1.1759 .
ד9.387 .משחקים
שאלה : 6
א.
1.162
ב.
1.1562
ג.
1
תוחלת 3
ד.
2
תוחלת , 3
, 63
7
שונות 9
2777
שונות 6.123
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
91
פרק - 21התפלגויות בדידות מיוחדות -התפלגות אחידה
רקע:
התפלגות זו הנה התפלגות שבה לכל תוצאה יש את אותה הסתברות.
הערכים המתקבלים בהתפלגות הם החל מ a -ועד bבקפיצות של אחד.
U a, b
X
פונקציית ההסתברות:
1
b a 1
P( X K )
K= a, a+1,..,b
תוחלת:
שונות:
ab
2
E( X )
(b a 1)2 1
12
V (X )
דוגמה( :פתרון בהקלטה)
אדם בוחר מספר אקראי בין 6ל 611-כולל .מהי פונקציית ההסתברות של המספר ומה הצפי שלו?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
92
תרגילים :
.6
במשחק הלוטו 32כדורים ממוספרים מ 6 -ועד . 32
נתבונן במשתנה Xהמספר של הכדור הראשון שנשלף על ידי המכונה.
א .חשבו את )P( X 2
ב .חשבו את )P( X 30
ג .חשבו את )P( X 4 | X 10
ד .חשבו את ) P( X k
.5
קוסם מבקש לבחור מספר שלם אקראי בין 6ל .611 -בהנחה שאין כאן מניפולציות של הקוסם.
א .מהי התוחלת ומהי סטיית התקן של המספר שיבחר?
ב .הקוסם ביקש משישה אנשים לבחור מספר:
.6
מה ההסתברות ששלושה מהם יבחרו מספר הגדול מ ?81
.5מה התוחלת ומהי סטיית התקן של סכום המספרים שהאנשים בחרו?
.4יהי Xהתוצאה בהטלת קובייה.
א .מהי ההתפלגות של ?X
ב .מה התוחלת של ?X
ג .קובייה הוטלה 3פעמים .מה התוחלת ומה השונות של סכום התוצאות ב 3 -ההטלות?
.3בכד 61כדורים שרק אחד צבע אדום .אדם מוציא כדור ללא החזרה עד אשר מתקבל הכדור
האדום .מה התוחלת ומהי השונות של מספר הכדורים שהוצאו?
.2יש לבחור מספר אקראי בי 6ל 21 -כולל.
א .מה הסיכוי שהמספר 3יבחר?
ב .מה הסיכוי שהמספר שיבחר גדול מ? 51 -
ג .אם נבחר מספר גדול מ 51 -מה ההסתברות שהוא קטן מ?58 -
.1הוכח שאם U a, b
ab
Xאז מתקיים ש :
2
. E( X )
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
93
פתרונות :
שאלה : 1
1
א .תשובה:
45
30
ב.תשובה:
45
ג .תשובה1.1 :
שאלה 2
א .תוחלת 21.2 :
סטיית התקן58.87 :
ב .6 .תשובה1.18695 :
ב 5 .תוחלת 414 :סטיית תקן 71.76:
שאלה : 4
תוחלת 2.2
שונות 8.52:
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
92
פרק - 21התפלגויות בדידות מיוחדות -התפלגות פואסונית
רקע :
התפלגות פואסונית היא התפלגות שמאפיינת את מספר האירועים שמתרחשים ביחידת זמן.
- פרמטר המאפיין את ההתפלגות הנ"ל .הפרמטר מייצג את קצב האירועים ביחידת זמן.
כלומר ,כמה בממוצע אירועים קורים ביחידת זמן.
) pois(
X
התפלגות פואסונית חייבת להופיע כנתון בשאלה ולכן לא יהיה צורך לזהותה .
פונקציית ההסתברות של ההתפלגות הפואסונית נתונה:
e K
P( X K )
!K
K 0,1, 2,...
התוחלת והשונות של ההתפלגות:
E( X ) V ( X )
תכונות מיוחדות של ההתפלגות:
בהתפלגות הזו הפרמטר פורפורציונלי לאינטרוול הזמן שעליו דנים.
אינטרוולי זמן לא חופפים בלתי תלויים זה בזה.
דוגמה ( :פתרון בהקלטה )
במוקד טלפוני מתקבלות פניות בקצב של 2פניות לדקה .מספר הפניות בדקה מתפלג פואסונית.
א.
מה ההסתברות שבדקה כלשהי תתקבל פניה ?6
ב.
מה ההסתברות שבשתי דקות יגיעו 65פניות?
ג.
מה ההסתברות שבדקה אחת תגיע פניה 6ובשתי דקות שלאחר מכן 65פניות?
ד.
מה התוחלת וסטיית התקן של מספר הפניות בדקה?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
95
תרגילים:
.6במוקד טלפוני מתקבלות פניות בקצב של 2פניות לדקה .מספר הפניות בדקה מתפלג
פואסונית.
א .מה ההסתברות שבדקה תתקבל פניה ?6
ב .מה ההסתברות שבדקה תתקבל לפחות פניה ?6
ג .מה ההסתברות שבדקה יתקבלו לכל היותר 5פניות?
ד .מה שונות מספר הפניות בדקה?
.5מספר הטעויות לעמוד בעיתון מתפלג פואסונית עם ממוצע של 3טעויות לעמוד .בחלק מסוים
של עיתון ישנם 2עמודים.
א .מה ההסתברות שבחלק זה בדיוק 68טעויות?
ב .אם בעמוד הראשון אין טעויות ,מה ההסתברות שבסך הכול בכול החלק ישנן 62טעויות?
ג .אם בחלק של העיתון נמצאו בסך הכול 68טעויות ,מה ההסתברות ש 2-מהן בעמוד
הראשון?
.4מספר תאונות הדרכים הקטלניות במדינת ישראל מתפלג פואסונית עם סטיית תקן של 5
תאונות לשבוע.
א .מה תוחלת מספר התאונות בשבוע?
ב .מהי ההסתברות שבחודש (הנח שבחודש יש 3שבועות) יהיה בדיוק שבוע אחד בו יהיו 4
תאונות דרכים קטלניות?
.3לחנות AMPMהשכונתית מספר הלקוחות שנכנסים מתפלג פואסונית עם ממוצע של 5לקוחות
לדקה.
א .מה ההסתברות שבדקה כלשהי יהיו בדיוק 4לקוחות?
ב .מה ההסתברות שבדקה כלשהי יגיח לפחות לקוח אחד?
ג .מה ההסתברות שבדקה כלשהי יהיו לכל היותר שני לקוחות?
ד .מהי התוחלת ומה סטיית התקן של מספר הלקוחות שנכנסים לחנות בדקה?
.2מספר הלידות בבית חולים מסוים מתפלג פואסונית עם תוחלת של 8לידות ביום.
א .מה ההסתברות שביום א' נולדו 61תינוקות וביום ב' נולדו 7תינוקות?
ב .מיילדת עובדת במשמרות של 8שעות .מה ההסתברות שבמשמרת שלה נולדו 4תינוקות?
ג .מהי התוחלת של מספר הימים בשבוע בהם נולדים ביום עשרה תינוקות?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
91
.1במערכת אינטרנט לתשלום חשבונות ,מספר החשבונות המשולמים בשעה מתפלג פואסונית עם
תוחלת של .41
א .כמה שעות צפויות לעבור עד אשר תתקבל שעה עם בדיוק 44חשבונות?
ב .בין השעה 18:11ל 18:51-היו 68חשבונות ,מה ההסתברות שבין 18:11ל 18:61-היו
בדיוק 6חשבונות?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
91
פתרונות :
שאלה :1
א1.1447 .
ב1.9944 .
ג1.6531 .
ד2 .
שאלה :2
א1.183 .
ב.
1.199
ג.
1.626
שאלה :3
א3 .
ב1.317 .
שאלה : 5
א1.5488 .
ב1.5691 .
ג1.1938 .
שאלה : 6
א61.7 .
ב1.1718 .
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
92
פרק - 22התפלגויות בדידות מיוחדות -התפלגות היפרגאומטרית
רקע:
נתונה אוכלוסייה המכילה Nפריטים ,מתוכה Dפריטים בעלי תכונה מסוימת -פריטים אלה
נקראים "מיוחדים".
בוחרים מאותה אוכלוסייה nפריטים ללא החזרה.
–Xמוגדר להיות מספר הפריטים ה"המיוחדים" שנדגמו.
משתנה מקרי היפרגאומטרי עם הפרמטרים ) (N,D,nיסומן על ידי.X~H(N,D,n) :
פונקציית ההסתברות של ההתפלגות:
D N D
k n k
P X k
N
n
התוחלת של ההתפלגות:
D
N
E( X ) n
השונות של ההתפלגות:
D
D N n
(1 )
N
N N 1
V(X ) n
דוגמה ( :הפתרון בהקלטה )
בכתה 31תלמידים מתוכם 61בנות והשאר בנים .בוחרים קבוצה של ארבעה תלמידים שיסעו
למשלחת .
א .כיצד מספר הבנים במשלחת מתפלג?
ב .מה התוחלת ומהי השונות של מספר הבנים במשלחת?
ג .מה הסיכוי שבמשלחת יהיו 4בנים?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
99
תרגילים:
.6בכד 2כדורים אדומים ו 3-כדורים ירוקים .מוציאים באקראי שלושה כדורים מהכד.
א .בנו את פונקציית ההסתברות של מספר הכדורים האדומים שהוצא בטבלה.
ב .חשבו את התוחלת והשונות של מספר הכדורים האדומים שהוצאו .פעם מתוך
פונקציית ההסתברות ופעם מתוך הנוסחאות להתפלגות היפרגאומטרית.
ג .מה הייתה התוחלת והשונות של מספר הכדורים האדומים אם ההוצאה הייתה עם
החזרה?
.5בחידון 61שאלות משלושה תחומים שונים 4 :בתחום הספורט 3 ,בתחום הבידור והיתר
בתחום המדעים .משתתף בחידון שולף באקראי 3שאלות .נגדיר את Xלהיות מספר
השאלות מתחום הספורט שנשלפו.
א .בנו את פונקציית ההסתברות של Xבנוסחה ולא בטבלה.
ב .מה התוחלת וסטיית התקן של ?X
ג .חשבו את ההסתברות הבאהP( X 2 | X 1) :
.4זהה בסעיפים הבאים את ההתפלגות וחשב לכל התפלגות את התוחלת והשונות:
נדגמו 1אנשים מתוך אוכלוסייה שבה 11%בעלי רישיון נהיגה.
אנו מתעניינים במספר האנשים שנדגמו עם רישיון נהיגה.
א .האוכלוסייה גדולה מאד.
ב .האוכלוסייה בת 61אנשים.
.3בארגון עובדים 7מהנדסים 4 ,טכנאים ו – 2הנדסאים .בוחרים באופן מקרי משלחת של
3עובדים לכנס במדריד.
א .מהי ההסתברות שייבחרו רק מהנדסים?
ב .מה תוחלת מספר הטכנאים שייבחרו?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
111
פתרונות:
שאלה 2
ב .תוחלת6.2 :
שאלה 1
5
2
ב .תוחלת 1 :שונות:
9
3
סטיית תקן0.748 :
20
2
ג .תוחלת 1 :שונות:
27
3
ג1.9 .
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
111
פרק - 23התפלגויות בדידות מיוחדות -התפלגות בינומית שלילית
רקע:
בהתפלגות זו חוזרים על אותו ניסוי ברנולי בזה אחר זה באופן בלתי תלוי עד אשר מצליחים בפעם
ה r-ית .
-Xמספר החזרות עד שהתקבלו rהצלחות.
)NB(r , p
X
פונקציית ההסתברות :
k 1 r
k r
P( X k )
p 1 p
r 1
k r , r 1,
התוחלת:
r
p
E( X )
השונות:
r 1 p
p2
V (X )
דוגמה( :פתרון בהקלטה )
מטילים קובייה עד אשר מקבלים 4פעמים תוצאה שהיא גדולה מ.3-
א .מה הסיכוי להטיל את הקובייה 1פעמים?
ב .מה תוחלת ושונות מספר הפעמים שנטיל את הקובייה?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
112
תרגילים:
.6
בכד 3כדורים שחורים ו 1-כדורים לבנים .אדם מוציא כדור באקראי פעם אחר פעם
ומחזיר בין הוצאה להוצאה את הכדור .נסמן ב X-את מספר הכדורים שהוא הוציא עד
אשר הוא קיבל 5כדורים לבנים בסך הכול אך לא בהכרח ברצף.
א .חשבו את )P( X 2
ב .חשבו את )P( X 3
ג .חשבו את )P( X 4
ד .חשבו את ) P( X k
.5הסיכוי לזכות במשחק מזל הוא .1.3אדם משחק במשחק ומפסיק ברגע שהוא ניצח
פעמיים ( לא בהכרח ברצף).
א .מה הסיכוי שישחק פעמיים?
ב.
מה הסיכוי שישחק 4פעמים?
ג.
מה הסיכוי שישחק 3פעמים?
ד.
מה הסיכוי שישחק 2פעמים?
ה .מה הסיכוי שישחק Kפעמים?
.4הראה שההתפלגות הגאומטרית היא מקרה פרטי של ההתפלגות הבינומית השלילית.
.3מטילים מטבע שוב ושוב עד אשר מקבלים שלוש פעמים עץ בסך בכול.
א .בנו את פונקצית ההסתברות של מספר ההטלות הכולל.
ב.
מהי התוחלת ומהי השונות של מספר ההטלות הכולל?
ג.
חוזרים על התהליך שלעיל 2פעמים .מה ההסתברות שפעמיים מתוך ה 2-חזרות
נאלץ להטיל את המטבע בדיוק 3פעמים?
יהיה ן X iמספר החזרות עד ההצלחה הראשונה בניסיונות ברנוליים בלתי תלויים זה בזה
.2
ן
כאשר
i=1,2,…n
.
n
הוכח שהתוחלת והשונות של
Xi
זהה לתוחלת והשונות של ההתפלגות הבינומית
i 1
השלילית ). NB(n, p
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
113
פתרונות:
שאלה 1
א1.41 .
ב1.588 .
שאלה 4
ב .תוחלת 1:שונות1 :
ג1.6881 .
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
112
פרק - 24המשתנה המקרי הבדיד -שאלות מסכמות
תרגילים:
.6נתון ש:
1
) B(4,
X
2
1
) B(10,
Y
4
א .חשב את התוחלת וסטיית התקן של .X
ב , W 2 X 4 .חשב את התוחלת וסטיית התקן של .W
ג , T X Y .חשב את התוחלת של .Tהאם ניתן לדעת מה סטיית התקן של ?T
.5ערן משחק בקזינו בשתי מכונות הימורים .משחק אחד בכל מכונה (במכונה א' ובמכונה ב') .הסיכוי
שלו לנצח במשחק במכונה א' הינו 1.18והסיכוי שלו לנצח רק במכונה א' הינו .1.12הסיכוי שלו
להפסיד בשני המשחקים ביום מסוים הוא .1.88
א .מה הסיכוי שערן ניצח בשני המשחקים?
ב .מה התוחלת ומהי השונות של מספר הניצחונות של ערן?
ג .אם ערן נכנס לקזינו 2פעמים ובכל פעם שיחק את שני המשחקים ,מה ההסתברות שערן ינצח
בשני המשחקים בדיוק פעם אחת מתוך חמשת הפעמים?
.4לאדם צרור מפתחות .בצרור 2מפתחות אשר רק אחד מתאים לדלת של ביתו .האדם מנסה את
המפתחות באופן מקרי .לאחר שניסה מפתח מסוים הוא מוציא אותו מהצרור כדי לא להשתמש בו
שוב .נסמן ב X-את מספר הניסיונות עד שהדלת תפתח.
א .בנה את פונקצית ההסתברות של .X
ב .חשב את התוחלת והשונות של .X
ג .כל ניסיון לפתוח הדלת אורך חצי דקה .מה התוחלת ומה השונות של הזמן הכולל לפתיחת
הדלת?
.3מספר התקלות בשידור "בערוץ "6מתפלג פואסונית בקצב של 1תקלות ביום.
א .מה ההסתברות שביום מסוים הייתה לפחות תקלה אחת?
ב .מה ההסתברות שבשבוע ( 7ימי שידור) יהיו בדיוק 1ימים בהם לפחות תקלה אחת?
ג .מה תוחלת מספר הימים שיעברו מהיום ועד היום הראשון בו לפחות תהיה תקלה אחת?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
115
.2בעל חנות גדולה בקניון שם לב ש 31%-מהמוצרים בחנותו נרכשים עבור ילדים 42% ,נרכשים עבור
נשים ו 52%-נרכשים עבור גברים 61%.מהמוצרים הנרכשים עבור ילדים הם מתוצרת חוץ ,וכך גם
11%מהמוצרים הנרכשים עבור נשים ו 21%-מאלה הנרכשים עבור גברים.
א .מה ההסתברות למכור בחנות זו מוצר מתוצרת חוץ?
ב .יהי - Xמספר המוצרים שימכרו בחנות זו מפתיחתה ביום א' בבוקר ,עד (וכולל) שלראשונה
יימכר מוצר מתוצרת הארץ .מהי פונקצית ההסתברות של ?X
ג .מהי תוחלת מס' המוצרים מתוצרת חוץ שימכרו ,עד שלראשונה יימכר מוצר מתוצרת הארץ?
ד .ביום ב' נמכרו בחנות 7מוצרים .מה ההסתברות שבדיוק 4מהם הם מתוצרת חוץ?
.1חברת הפקות של סרטים הפיקה 4סרטים ,אשר הופקו לטלוויזיה המקומית.
חברת ההפקות מנסה למכור את הסרטים הללו לחו"ל.
להלן ההסתברויות למכירת הסרטים לחו"ל:
הסרט "הצבי" יימכר לחו"ל בסיכוי של .1.1
הסרט "לעולם לא" יימכר לחו"ל בסיכויי של .1.7
הסרט "מוות פתאומי" יימכר לחו"ל בסיכוי של .1.5
ידוע כי כל סרט עלה להפקה חצי מיליון שקלים .כמו כן ,כל סרט הביא להכנסה של 511,111
שקלים מהטלוויזיה המקומית .במידה וסרט יימכר לחו"ל ,כל סרט יימכר ב 111,111-שקלים.
א .בנו את פונקציית ההסתברות של מספר הסרטים שיימכרו לחו"ל.
ב .מהי התוחלת והשונות של מספר הסרטים שיימכרו?
ג .מהי התוחלת ומהי סטיית התקן של הרווח (במאות אלפי שקלים) של חברת ההפקה?
.7במפעל מייצרים סוכריות כך ש 51%מהסוכריות בטעם תות .הייצור הוא ייצור המוני .שאר
הסוכריות בטעמים שונים ,השקיות נארזות ובכל שקית בדיוק 2סוכריות.
א .נבחרה שקית ונתון שבשקית פחות מ 4 -סוכריות אדומות .מה ההסתברות שבשקית סוכריה
אדומה אחת?
ב .בוחרים באקראי שקית אחר שקית במטרה למצוא שקית ללא סוכריות אדומות .מה
ההסתברות שייאלצו לדגום יותר מ 1-שקיות?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
111
.8
מבחן בנוי משני חלקים .בחלק א' 61שאלות ובחלק ב' 61שאלות .תלמיד התכונן רק לחלק
א' של המבחן ובחלק זה בכל שאלה יש סיכוי של 1.8שיענה נכון ,בחלק השני לכל שאלה יש 3
תשובות כשרק אחת נכונה .בחלק זה הוא מנחש את התשובות.
א .מהי ההסתברות שבחלק הראשון הוא יענה נכון על 7שאלות בדיוק?
ב .מהי ההסתברות שבחלק השני הוא יענה נכון על פחות מ 4-שאלות?
ג .מה התוחלת ומהי השונות של מספר התשובות הנכונות בחלק הראשון?
ד .מהי התוחלת ומהי השונות של מספר התשובות הנכונות בבחינה כולה?
.9יהי Xמשתנה מקרי המקיים E(X) 2וכן . V(X) 1חשב . E(X 5) 2
.61הסיכוי לעבור מבחן נהיגה הינו .Pבוחרים באקראי ארבעה נבחנים .ההסתברות ששניים מהם
יעברו את מבחן הנהיגה גבוה פי 8/ 4מהסיכוי שכל הארבעה יעברו את המבחן.
א .חשבו את ערכו של .P
תלמיד ניגש לבחינה עד אשר הוא עובר אותה.
ב.
מה ההסתברות שיעבור את מבחן הנהיגה רק במבחן הרביעי?
ג.
מה ההסתברות שיאלץ לגשת לפחות לחמישה מבחנים בסך הכול?
ד.
מה התוחלת ומהי השונות של מספר המבחנים שבהם יכשל?
ה .ידוע שהתלמיד ניגש לשלושה מבחנים ועדיין לא עבר .מה ההסתברות שבסופו של דבר יעבור
במבחן הנהיגה החמישי?
.66רובוט נמצא בנקודה 1על ציר המספרים .הרובוט מבצע nצעדים ובכל צעד הוא נע בסיכוי P
ימינה ביחידה אחת ובסיכוי 6-Pשמאלה ביחידה אחת .נסמן ב X-את המספר עליו עומד
הרובוט לאחר nצעדים .רשמו את פונקציית ההסתברות של Xבאמצעות Pו.n-
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
111
.65למטבע יש סיכוי Pלקבל את התוצאה ראש .מטילים את המטבע .אם יוצא ראש בפעם
הראשונה מפסידים שקל ומפסיקים את המשחק.אחרת ,ממשיכים לזרוק וזוכים במספר שקלים
לפי מספר הפעמים שהטלנו את המטבע מההתחלה ועד שהתקבל ראש.
א .בנו את פונקציית ההסתברות של רווח המשחק (באמצעות .)P
ב .בטאו את תוחלת הרווח באמצעות .P
ג .לאילו ערכי Pהמשחק כדאי?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
112
פתרונות :
שאלה :1
א .תוחלת5 :
סטיית תקן6 :
ב .תוחלת1 :
סטיית תקן5 :
ג .תוחלת3.2 :
סטיית תקן :לא ניתן
שאלה :2
א1.14 .
ב .תוחלת ,1.62 :שונות 1.6872
1.6458
ג.
שאלה :3
א.
x
1
5
4
3
2
)P(x
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
ב .תוחלת4 :
שונות5 :
ג .תוחלת6.2 :
שונות 1.2
שאלה : 4
א1.9972 .
ב1.1675 .
ג6.1152 .
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
119
שאלה :5
א1.472 .
ג1.1 .
ד1.585 .
שאלה :6
ב .תוחלת 6.2 :
שונות 1.16
ג .תוחלת 1 :
סטיית תקן 3.18 :
שאלה :7
א1.3438 .
ב1.1954 .
שאלה : 8
א5.164 .
ב1.2521 .
ג .תוחלת 8 :
שונות 6.1 :
ד .תוחלת 61.2 :
שונות 4.372
שאלה : 9
61
שאלה :11
א1.1 .
ב1.1483 .
ג1.1521 .
ד .תוחלת1.17 :
שונות6.66 :
ה1.53 .
שאלה :12
1 2 p2
ב.
p
1
ג.
2
0 p
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
111
פרק - 25המשתנה המקרי הרציף -התפלגויות כלליות (שימוש
באינטגרלים)
רקע:
בפרק זה נעסוק בהתפלגות של משתנים מקריים רציפים ( גובה אדם אקראי ,זמן תגובה וכו.) ,
משתנים רציפים הם משתנים שבתחום מסוים מקבלים רצף אינסופי של ערכים אפשריים בניגוד
למשתנים בדידים.
נתאר את המשתנה המקרי הרציף על ידי פונקציה הנקראת פונקציית צפיפות .באופן כללי נסמן
פונקציית צפיפות של משתנה רציף כלשהו ב ).f(x
השטח שמתחת לפונקציית הצפיפות נותן את ההסתברות.
פונקציית צפיפות חייבת להיות לא שלילית והשטח הכולל שמתחת לפונקציה יהיה תמיד .6
פונקציית התפלגות מצטברת:
t
f ( x)dx
F (t ) p ( X t )
כמו כן:
) p( X t ) 1 F ( t
)p(a X b) F (b) F (a
תוחלת של משתנה רציף :
X f ( x)dx
E( X )
שונות של משתנה רציף:
f ( x )dx 2 2
2
X
V(X )
תוחלת של פונקציה של :X
g ( x) f ( x) dx
E g ( x)
אחוזונים :
האחוזון ה P -הוא ערך ( נסמן אותו ) x p :שהסיכוי ליפול מתחתיו הוא .Pכלומר :
p( X x p ) p
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
111
:ריענון מתמטי
:נוסחאות לחישוב שטחים
Striangle
m
ha
:5 ( חלקייa) ( כפול הבסיסh) גובה:שטח משולש
2
Srec tan gle a b : (b) ( כפול רוחבa) אורך:שטח מלבן
:משוואת קו ישר
y=mx+n
. = שיפועm
.y = נקודת החיתוך עם ציר הn
Y2 Y1
: ( X1, Y1 ),( X 2 , Y2 ) : שיפוע של ישר העובר דרך שתי נקודות
X 2 X1
:m ( ושיפועו ידועX 1, Y1 ) משוואת ישר שעובר דרך נקודה ספציפית
y Y1 m( x X1 )
אינטגרלים- נוסחאות
adx ax c
x
n
x n 1
c
n 1
dx
(ax b)
n 1
1
n
dx
1
1 ( ax b) n 1
c
a
n 1
n 1
1
ln | ax b | c
a
x dx ln | x | c
ax b dx
e
1 ax b
e
c
a
ax b
1 k
ax b
k dx a ln k c
1
cos( ax b)dx a sin(ax b) c
1
sin(ax b)dx a cos(ax b) c
1
tan( ax b) dx a ln | cos( ax b) | c
1
cot( ax b)dx a ln | sin( ax b) | c
1
1
cos 2 (ax b) dx a tan( ax b) c
1
1
sin 2 (ax b) dx a cot(ax b) c
x
k
e
dx e x c
x
dx
kx
c
ln k
cos xdx sin x c
sin xdx cos x c
tan xdx ln | cos x | c
cot xdx ln | sin x | c
1
cos
2
x
dx tan x c
1
sin
dx cot x c
x
2
1
ax b
1
dx
1
1
cos x dx ln | cos x tan x | c sin x dx ln | sin x cot x | c
x
1
1
x
dx
arctan c
a2
a
a
1
x
dx arcsin c
a
a2 x2
2
f '
f dx ln | f | c
e
f
f f ' dx cos( f ) c
f f ' dx
2
f
3
3
2
2
1
1
xa
dx
ln
c
a2
2a
xa
1
dx ln | x x 2 a 2 | c
x a2
2
f f ' dx
cos
f ' dx e f c
sin
x
c
1
f
2
2
c
f f ' dx sin( f ) c
f '
dx 2
f
f c
u v ' dx u v u ' vdx
www.GooL.co.il -לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל
© ברק קנדל- כתב ופתר
112
תרגילים:
X .1הינו משתנה רציף עם פונקצית צפיפות כמוצג בשרטוטו:
y
1.52
c
x
5
6
4
3
2
1
א .מצא את ערכו של .c
ב .בנה את פונקצית ההתפלגות המצטברת.
ג .חשבו את ההסתברויות הבאות:
P( x 4) .6
P( x 1.5) .5
P(1.5 x 5) .4
P(5 x 10) .3
ד .מצא את החציון של המשתנה.
.5נתון משתנה מקרי רציף Xשפונקצית הצפיפות שלו היא:
0 xb
אחרת
cx
f x
0
ידוע ש.P(0 < X < 1) = 1/4 -
א .מצאו במפורש את פונקצית הצפיפות של .X
ב.
מצאו את החציון של .X
ג.
מה הסיכוי ש X -קטן מ? 1.2 -
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
113
.4נתונה פונקצית צפיפות של משתנה מקרי : Y
א .מצאו את .c
ב.
מצאו את פונקצית ההתפלגות המצטברת של . Y
ג.
חשבו את ההסתברויות.P(Y>4) P(7.5 Y 15.5), P(Y 3.0), P(Y = 7.0) :
ד.
מצאו את העשירון התחתון , y 0.1הרבעון התחתון y 0.25והחציון של .Yהסיקו מהו
העשירון עליון . y 0.9
.3נתונה פונקצית צפיפות של משתנה מקרי : X
א.
מצאו ערך cשעבורו תתקבל פונקצית צפיפות.
ב.
מצאו את פונקצית ההתפלגות המצטברת .
ג.
חשבו את ההסתברויות הבאותP(1.0 X 5.0), P(X 2.0), P(X 4) :
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
112
.2נתונה פונקצית הצפיפות הבאה :
C
5
10
0
א .מה ערכו של ?C
ב .מצא אינטרוול (תחום) סימטרי סביב הערך 2שהסיכוי ליפול בו הינו 1.2
2
.1נתונה פונקצית צפיפות
x
f ( X ) פונקציה זו מוגדרת מ 6-ועד .K
א .מצא את ערכו של .K
ב .בנה את פונקציית ההתפלגות המצטברת.
ג .חשב את הסיכוי ש Xלפחות .6.2
ד .מצא את העשירון התחתון של ההתפלגות.
ה .מה התוחלת של ?X
.7נתונה פונקצית צפיפות הבאה A 1>X >61 f ( X ) AX 2 (10 X ) :הינו קבוע חיובי.
א .מצא את .A
ב .חשב את ). P( x 5 | x 2
ג .מה התוחלת ומהי השונות של ? X
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
115
f ( x ) 0.5 e2 x
.8פונקצית הצפיפות של משתנה מקרי רציף : X
א.
ב.
ג.
ד.
) X ln(c
מצא את ערכו של .c
מצא את פונקציית ההתפלגות המצטברת של ההתפלגות.
חשב ). P( X 0
מהו הרבעון העליון של ההתפלגות?
.9נתונה פונקצית הצפיפות הבאה של משתנה מקרי :X
1/2
2
2
1
א .רשום את נוסחת פונקציית הצפיפות .
ב .בנה את פונקציית ההתפלגות המצטברת.
ג .מצא את החציון של ההתפלגות.
ד .חשב את התוחלת והשונות של המשתנה.
ה .חשב את ) E ( X 3
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
111
.61במפעל מייצרים מוצר .Aזמן תהליך הייצור של המוצר בשעות הוא בעל פונקציית הצפיפות
הבאה:
0 x 1
)f ( x) 6 x(1 x
א .מה ההסתברות שזמן הייצור של מוצר Aאקראי יהיה קטן מ 51דקות?
ב .מה ההסתברות שזמן הייצור של מוצר Aאקראי יהיה בדיוק חצי שעה?
ג .נבחרו חמישה מוצרים אקראיים מסוג .Aמה תוחלת מספר המוצרים שזמן הייצור
שלהם יהיה גדול מ 51דקות?
.66זמן ההמתנה בדקות של לקוח בתור למכולת השכונתית מתפלג עם פונקציית ההתפלגות
המצטברת הבאה :
F (t ) 1 e0.2t
א .שרטט את פונקציית ההתפלגות המצטברת.
ב .מה הסיכוי שזמן ההמתנה יהיה לפחות רבע שעה?
ג .אם חיכיתי בתור כבר 61דקות מה ההסתברות שאאלץ לחכות בסך הכול פחות מרבע
שעה?
ד .מהו הזמן ש 91%מהלקוחות מחכים מתחתיו?
.65פונקצית הצפיפות של משתנה מקרי נתונה על ידי הנוסחה הבאה:
x4
4 x5
5 x 6
x6
0
bx 4b
f x
b
0
א .מצאו את .b
ב .חשבו את התוחלת של .X
ג.
yהוא משתנה אינדיקטור המקבל את הערך 6אם Xקטן מ . 2-מהי השונות של ?Y
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
111
.64נתונה פונקציית הצפיפות הבאה:
x2
4 1 x 2
f x
kx 2 x 3
א .מצאו את ערכו של .K
ב .מצאו את פונקציית ההתפלגות המצטברת.
ג .חשבו )p( x 2.5
.63להלן משתנה מקרי בעל פונקציית צפיפות הבאה:
1
ba
axb
f ( x)
א .מצא את פונקציית ההתפלגות המצטברת.
ב .חשב את התוחלת והשונות של ההתפלגות.
1
ג .מצא את התוחלת של
X
.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
112
פתרונות :
שאלה : 1
1
3
ד.
3
א16 .
שאלה : 2
אb=2 c=0.5 .
3
ב6.36 .
ג1.1152 .
שאלה : 4
א61 .
שאלה : 3
א1.5 .
ג1.45 ,1.652 ,1.68 ,1 .
ד .העשירון התחתון5.53 :
הרבעון התחתון4.23 :
החציון2 :
העשירון העליון7.71 :
שאלה :5
שאלה : 6
אC=0.2 .
1
אe 2 .
ב5 1.46 .
ג1.689 .
ד6.126 .
ה6.597 .
שאלה : 8
א5 .
ג1.72 .
ד1.239 .
שאלה : 7
א1.1165 .
ב1.7117.
ג .תוחלת ,1 :שונות 3 :
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
119
שאלה : 9
שאלה : 11
2
ג.
3
ד .תוחלת 5.152 :שונות1.1957 :
2
7
א.
27
ב1 .
ה54.3472 .
ג4.713 .
1.7117
שאלה : 11
שאלה : 12
ב1.1398 .
2
א.
3
ד66.26 .
ב2.55 .
ג1.1456 .
2
ג.
9
שאלה : 14
ב .תוחלת :
שאלה :13
1
א.
6
ג1.559 .
ab
2
E( X )
השונות:
2
b a
V ( x)
12
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
121
פרק - 26התפלגויות רציפות מיוחדות -התפלגות מעריכית
רקע:
התפלגות זו היא התפלגות רציפה המאפיינת את הזמן עד להתרחשות מאורע מסוים.
- הוא ממוצע מספר האירועים המתרחשים ביחידת זמן ( אותו פרמטר מההתפלגות הפואסונית).
) exp(
Xכאשר 0
התפלגות זו צריכה להיות נתונה בתרגיל או שיאמר שמספר האירועים ביחידת זמן מתפלג
פואסונית ואז הזמן עד התרחשות המאורע הבא מתפלג מעריכית.
פונקציית הצפיפות של ההתפלגות היא:
f ( x ) e xלכל
פונקציית ההתפלגות המצטברת היא:
F (t ) p ( x t ) 1 e t
התוחלת:
1
E ( x)
השונות:
1
V ( x) 2
להתפלגות זו יש תכונת חוסר הזיכרון:
דוגמה ( :פתרון בהקלטה)
אורך חיי סוללה מתפלג מעריכית עם תוחלת של 8שעות.
א .מה ההסתברות שסוללה תחזיק מעמד פחות מ 9 -שעות?
ב.
מה סטיית התקן של אורך חיי הסוללה?
ג.
אם סוללה כבר חייה מעל שעתיים ,מה הסיכוי שהיא תחייה מעל 7שעות בסך הכול?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
121
תרגילים:
.6הזמן שלוקח במערכת עד שתקלה מתרחשת מתפלג מעריכית עם תוחלת של 1.2שעה.
א .מה הסתברות שהתקלה הבאה תתרחש תוך יותר מ 1.2-שעה?
ב .מה ההסתברות שהתקלה הבאה תתרחש תוך פחות משעה?
ג .מצא את הזמן החציוני להתרחשות תקלה במערכת.
.5הזמן שעובר בכביש מסוים עד להתרחשות תאונה מתפלג מעריכית עם תוחלת של 53
שעות.
א .מהי סטית התקן של הזמן עד להתרחשות תאונה?
ב .מה ההסתברות שהתאונה הבאה תתרחש תוך פחות מיממה?
ג .מהי ההסתברות שהתאונה הבאה תתרחש תוך לפחות יומיים?
.4משך הזמן ( Xבדקות) שסטודנטים עובדים רצוף על מחשב מתפלג מעריכית עם תוחלת
של 41דקות.
א .מה הסיכוי שעבודת סטודנט על המחשב תארך פחות מרבע שעה?
ב .מה הסיכוי שעבודת סטודנט על המחשב תארך בין רבע שעה לחצי שעה?
ג .אם סטודנט עובד על המחשב כבר יותר מ 61 -דקות ,מה ההסתברות שמשך כל עבודתו
יעלה על 41דקות?
ד .מהו הזמן שבסיכוי של 91%הסטודנט יעבוד פחות ממנו?
.3בממוצע מגיעים לחדר מיון 3חולים בשעה בזרם פואסוני.
א .שולה המזכירה הגיעה לחדר המיון .מה ההסתברות שזמן ההמתנה שלה לחולה הבא
יהיה יותר מ 51 -דקות?
ב .אם שולה המתינה יותר מרבע שעה לחולה הבא .מה ההסתברות שתמתין בסך הכל
יותר מחצי שעה?
ג .מה ההסתברות שבין החולה הראשון לשני יש להמתין יותר מרבע שעה ובין החולה
השני לשלישי יש להמתין פחות מרבע שעה?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
122
.2מערכת חשמלית כוללת 3רכיבים אלקטרוניים זהים הפועלים במקביל כמוראה בשרטוט:
על מנת שהמערכת תפעל בצורה תקינה נדרש שלפחות אחד מהמרכיבים יהיה תקין.
אורך החיים של כל רכיב מתפלג מעריכית עם ממוצע של 611שעות.
א .מה ההסתברות שהמערכת תפעל בצורה תקינה במשך 611שעות לפחות?
ב .מעוניינים להוסיף במקביל עוד רכיב למערכת .עלות הוספת רכיב היא .₪ Kכמו כן אם
המערכת עבדה פחות מ 611-שעות נגרם הפסד של .₪ A
מה התנאי שבו יהיה כדאי להוסיף את הרכיב למערכת?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
123
פתרונות:
שאלה : 1
א1.418 .
ב1.812 .
ג1.437 .
שאלה :2
א 53 .שעות
ב1.145 .
ג1.642 .
שאלה :3
א1.494 .
ב1.549 .
ג1.264 .
ד19.18.
שאלה :4
א1.513 .
ב1.418 .
ג1.544 .
שאלה :5
א1.8314 .
בA1.1288<K .
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
122
פרק - 27התפלגויות רציפות מיוחדות -התפלגות אחידה
רקע:
זו התפלגות שפונקציית הצפיפות שלה קבועה בין aלבין .b
)X~U (a,b
פונקציית הציפות :
1
ba
axb
f ( x)
פונקציית ההתפלגות המצטברת:
ta
ba
F (t )
התוחלת :
ab
2
E( X )
השונות:
2
b a
12
V ( x)
דוגמה ( :הפתרון בהקלטה)
-Xמשתנה מקרי רציף המתפלג באופן אחיד בין 51ל. 31 -
א.
מה הסיכוי ש X -קטן מ?52-
ב.
מה התוחלת והשונות של ?X
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
125
תרגילים:
.6משך (בדקות) הפסקה בשיעור ,X ,מתפלג ). U(13, 16
א .מהי התוחלת ומהי סטית התקן של משך ההפסקה?
ב .מהי ההסתברות שהפסקה תמשך יותר מ 62 -דקות?
ג .מהי ההסתברות שמשך ההפסקה יסטה מהתוחלת בפחות מדקה?
.5רכבת מגיעה לתחנה בשעות היום כל עשר דקות .אדם הגיע לתחנה בזמן אקראי.
א .הסבר כיצד מתפלג זמן ההמתנה לרכבת?
ב .אם זמן ההמתנה לרכבת ארך יותר מ 2-דקות ,מהי ההסתברות שבסך הכל האדם
ימתין לרכבת פחות מ 8 -דקות?
ג .מה תוחלת מספר הימים שיעברו עד הפעם הראשונה שהאדם ימתין לרכבת יותר מ9-
דקות?
.4מכונה אוטומטית ממלאת גביעי גלידה .משקל הגלידה לגביע מתפלג אחיד בין 611-661
גרם (המשקל הוא של גלידה ללא הגביע).
א .מה ההסתברות שמשקל הגלידה בגביע יהיה מעל 618גרם?
ב .נתון שהגלידה בגביע עם משקל נמוך מ 617-גרם .מה ההסתברות שמשקל הגלידה יהיה
מעל 612גרם?
ג .מה העשירון העליון של משקל הגלידה בגביע?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
121
פתרונות:
שאלה :1
שאלה :2
א .תוחלת63.2 :
א.
)U (0,10
שונות1.811 :
ב.
1.1
ג.
61
ב634 .
X
ג534 .
שאלה :3
א1.5 .
ב.
2
7
ג619 .
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
121
פרק - 28התפלגויות רציפות מיוחדות -התפלגות נורמלית
רקע:
התפלגות נורמלית הינה התפלגות של משתנה רציף .ישנם משתנים רציפים מסוימים שנהוג
להתייחס אליהם כנורמליים כמו :זמן ייצור ,משקל תינוק ביום היוולדו ועוד.
פונקציית הצפיפות של ההתפלגות הנורמלית נראית כמו פעמון:
לעקומה זו קוראים גם עקומת גאוס ועקומה אחת נבדלת מהשנייה באמצעות הממוצע וסטיית
התקן שלה .אלה הם הפרמטרים שמאפיינים את ההתפלגות.
) N (, 2
X
( x )2
נוסחת פונקציית הצפיפות :
2 2
e
1
2
2
f ( x)
כדי לחשב הסתברויות בהתפלגות נורמלית יש לחשב את השטחים הרלבנטים שמתחת לעקומה.
כדי לחשב שטחים אלה נמיר כל התפלגות נורמלית להתפלגות נורמלית סטנדרטית על ידי תהליך
הנקרא תקנון.
התפלגות נורמלית סטנדרטית היא התפלגות נורמלית שהממוצע שלה הוא אפס וסטיית התקן
היא אחת והיא תסומן באות .Z
) N (0,12
Z
תהליך התקנון מבוצע על ידי הנוסחה הבאה :
X
Z
אחרי תקנון מקבלים ערך הנקרא ציון תקן.
ציון התקן משמעו בכמה סטיות תקן הערך סוטה מהממוצע.
לאחר חישוב ציון התקן של ערך מסוים נעזרים בטבלה של ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית
לחישוב השטח הרצוי.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
122
ובאופן כללי נתאר את הסכמה הבאה :
) N (, 2
X
X
Z
2
) N (0,1
Z
שימוש
בטבלה
P
)Ф(a
)1-Ф(a
(
a
(
)Ф(a
(
)Ф(-a)=1- Ф(a
(
-a
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
129
טבלת ההתפלגות המצטברת הנורמלית סטנדרטית – ערכי )(z
)(z
z
.02
.01
.00
z
.09
.5359
.5753
.6141
.6517
.6879
.5319
.5714
.6103
.6480
.6844
.5279
.5675
.6064
.6443
.6808
.5239
.5636
.6026
.6406
.6772
.5199
.5596
.5987
.6368
.6736
.5160
.5557
.5948
.6331
.6700
.5120
.5517
.5910
.6293
.6664
.5080
.5478
.5871
.6255
.6628
.5040
.5438
.5832
.6217
.6591
.5000
.5398
.5793
.6179
.6554
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
.7224
.7549
.7852
.8133
.8389
.7190
.7517
.7823
.8106
.8365
.7157
.7486
.7794
.8078
.8340
.7123
.7454
.7764
.8051
.8315
.7088
.7422
.7734
.8023
.8289
.7054
.7389
.7704
.7995
.8264
.7019
.7357
.7673
.7967
.8238
.6985
.7324
.7642
.7939
.8212
.6950
.7291
.7611
.7910
.8186
.6915
.7257
.7580
.7881
.8159
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
.8621
.8830
.9015
.9177
.9319
.8599
.8810
.8997
.9162
.9306
.8577
.8790
.8980
.9147
.9292
.8554
.8770
.8962
.9131
.9279
.8531
.8749
.8944
.9115
.9265
.8508
.8729
.8925
.9099
.9251
.8485
.8708
.8907
.9082
.9236
.8461
.8686
.8888
.9066
.9222
.8438
.8665
.8869
.9049
.9207
.8413
.8643
.8849
.9032
.9192
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
.9441
.9545
.9633
.9706
.9767
.9429
.9535
.9625
.9699
.9761
.9418
.9525
.9616
.9693
.9756
.9406
.9515
.9608
.9686
.9750
.9394
.9505
.9599
.9678
.9744
.9382
.9495
.9591
.9671
.9738
.9370
.9484
.9582
.9664
.9732
.9357
.9474
.9573
.9656
.9726
.9345
.9463
.9564
.9649
.9719
.9332
.9452
.9554
.9641
.9713
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
.9817
.9857
.9890
.9916
.9936
.9812
.9854
.9887
.9913
.9934
.9808
.9850
.9884
.9911
.9932
.9803
.9846
.9881
.9909
.9931
.9798
.9842
.9878
.9906
.9929
.9793
.9838
.9875
.9904
.9927
.9788
.9834
.9871
.9901
.9925
.9783
.9830
.9868
.9898
.9922
.9778
.9826
.9864
.9896
.9920
.9772
.9821
.9861
.9893
.9918
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
.9952
.9964
.9974
.9981
.9986
.9951
.9963
.9973
.9980
.9986
.9949
.9962
.9972
.9979
.9985
.9948
.9961
.9971
.9979
.9985
.9946
.9960
.9970
.9978
.9984
.9945
.9959
.9969
.9977
.9984
.9943
.9957
.9968
.9977
.9983
.9941
.9956
.9967
.9976
.9982
.9940
.9955
.9966
.9975
.9982
.9938
.9953
.9965
.9974
.9981
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
.9990
.9993
.9995
.9997
.9998
.9990
.9993
.9995
.9996
.9997
.9989
.9992
.9995
.9996
.9997
.9989
.9992
.9994
.9996
.9997
.9989
.9992
.9994
.9996
.9997
.9988
.9992
.9994
.9996
.9997
.9988
.9991
.9994
.9996
.9997
.9987
.9991
.9994
.9995
.9997
.9987
.9991
.9993
.9995
.9997
.9987
.9990
.9993
.9995
.9997
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
4.417
.08
.07
3.891
.05
.06
.03
.04
3.291
3.090
2.576
2.326
1.960
1.645
1.282
z
0.9995 0.99995 0.999995
0.999
0.995
0.99
0.975
0.95
0.90
)(z
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
131
דוגמה( :הפתרון בהקלטה)
משקל חפיסות שוקולד המיוצרות בחברה מתפלג נורמלית עם ממוצע 611גרם בסטיית תקן של 8
גרם.
א.
מה אחוז חפיסות השוקולד ששוקלות מתחת ל 661 -גרם?
ב.
מה אחוז חפיסות השוקולד השוקלות מעל 661גרם?
ג.
מה אחוז חפיסות השוקולד השוקלות מתחת ל 95גרם?
ד.
מהו המשקל ש 91%מהחפיסות בקו הייצור שוקלים פחות מהם?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
131
תרגילים:
.6הגובה של אנשים באוכלוסייה מסוימת מתפלג נורמלית עם ממוצע של 671ס"מ וסטית תקן של
61ס"מ.
א .מה אחוז האנשים שגובהם מתחת ל 685.3 -ס"מ?.
ב .מה אחוז האנשים שגובהם מעל 691ס"מ?
ג .מה אחוז האנשים שגובהם בדיוק 674.1ס"מ?
ד .מה אחוז האנשים שגובהם מתחת ל 671 -ס"מ?
ה .מה אחוז האנשים שגובהם לכל היותר 671ס"מ?
.5נתון שהזמן שלוקח לתרופה מסוימת להשפיע מתפלג נורמלית עם ממוצע של 41דקות ושונות
של 9דקות רבועות .
א .מהי פרופורציית המקרים בהן התרופה תעזור אחרי יותר משעה?
ב .מה אחוז מהמקרים שבהן התרופה תעזור בין 42ל 47-דקות?
ג .מה הסיכוי שהתרופה תעזור בדיוק תוך 41דקות?
ד .מה שיעור המקרים שבהן ההשפעה של התרופה תסטה מ 41-דקות בפחות מ 4-דקות?
.4המשקל של אנשים באוכלוסייה מסוימת מתפלג נורמלית עם ממוצע של 11ק"ג
וסטיית תקן של 8ק"ג .
א .מה אחוז האנשים שמשקלם נמוך מ 22 -ק"ג?
ב .מהי פרופורציית האנשים באוכלוסייה שמשקלם לפחות 21ק"ג?
ג .מהי השכיחות היחסית של האנשים באוכלוסייה שמשקלם בין 11ל 71 -ק"ג?
ד .לאיזה חלק מהאוכלוסייה משקל הסוטה מהמשקל הממוצע בלא יותר מ 3 -ק"ג?
ה .מה הסיכוי שאדם אקראי ישקול מתחת ל – 631ק"ג?
.3משקל תינוקות ביום היוולדם מתפלג נורמלית עם ממוצע של 4411גרם וסטיית תקן 311גרם.
א .מצאו את העשירון העליון.
ב .מצאו את האחוזון ה.92
ג .מצאו את העשירון התחתון.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
132
.2ציוני מבחן אינטיליגנציה מתפלג נורמלית עם ממוצע 611ושונות . 552
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
מה העשירון העליון של הציונים במבחן האינטיליגנציה?
מה העשירון התחתון של ההתפלגות?
מהו הציון ש 51% -מהנבחנים מקבלים מעליו?
מהו האחוזון ה?51 -
מהו הציון ש 2% -מהנבחנים מקבלים מתחתיו?
.1נפח משקה בבקבוק מתפלג נורמלית עם סטיית תקן של 51מ"ל ,נתון ש 44%מהבקבוקים הם
עם נפח שעולה על 218.8מ"ל.
א .מה ממוצע נפח משקה בבקבוק ?
ב 2% .מהבקבוקים המיוצרים עם הנפח הגבוה ביותר נשלחים לבדיקה ,החל מאיזה נפח
שולחים בקבוק לבדיקה?
ג 6% .מהבקבוקים עם הנפח הקטן ביותר נתרמים לצדקה ,מהו הנפח המקסימלי לצדקה?
.7אורך חיים של מכשיר מתפלג נורמלית .ידוע שמחצית מהמכשירים חיים פחות מ 211 -שעות,
כמו כן ידוע ש 17% -מהמכשירים חיים פחות מ 233 -שעות.
א .מהו ממוצע אורך חיי מכשיר?
ב .מהי סטית בתקן של אורך חיי מכשיר?
ג .מה הסיכוי שמכשיר אקראי יחיה פחות מ 311 -שעות?
ד .מהו המאון העליון של אורח חיי מכשיר?
ה 6% .מהמכשירים בעלי אורך החיים הקצר ביותר נשלח למעבדה לבדיקה מעמיקה .מהו
אורך החיים המקסימלי לשליחת מכשיר למעבדה?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
133
.8להלן שלוש התפלגויות נורמליות של שלוש קבוצות שונות ששורטטו באותה מערכת צירים.
ההתפלגויות מוספרו כדי להבדיל בינהן.
א.לאיזו התפלגות הממוצע הגבוה ביותר?
ב .במה מבין המדדים הבאים התפלגות 6ו 5זהות?
א .בעשירון העליון.
ב .בממוצע.
ג .בשונות.
ג .לאיזו התפלגות סטיית התקן הקטנה ביותר?
א6 .
ב5 .
ג4 .
ד .אין לדעת.
.9הזמן שלוקח לאדם להגיע לעבודתו מתפלג נורמלית עם ממוצע של 31דקות וסטית
תקן של 2דקות.
א .מה ההסתברות שמשך הנסיעה של האדם לעבודתו יהיה לפחות שלושת רבעי השעה?
ב .אדם יצא לעבודתו בשעה 18:61מביתו .הוא צריך להגיע לעבודתו בשעה . 19:11מה
הסיכוי שיאחר לעבודתו?
ג .אם ידוע שזמן נסיעתו לעבודה היה יותר משלושת רבעי השעה .מה ההסתברות שזמן
הנסיעה הכולל יהיה פחות מ 21 -דקות?
ד .מה הסיכוי שבשבוע (חמישה ימי עבודה ) בדיוק פעם אחת יהיה זמן הנסיעה לפחות
שלושת רבעי השעה?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
132
.61ההוצאה החודשית לבית אב בעיר "טרירה" מתפלגת נורמלית עם ממוצע של 5111
דולר וסטית תקן של 411דולר .בחרו באקראי 2בתי אב .ההסתברות שלפחות אחד מהם
מוציא בחודש מעל ל T -דולר היא . 1.98971
א .מה ערכו של ?T
ב .מה הסיכוי שההוצאה החודשית של בית אב בעיר תהיה לפחות סטיית תקן אחת
מעל ?T
ג .מסתבר שנפלה טעות בנתונים ,ויש להוסיף 611דולר להוצאות החודשית של כל בתי האב
בעיר .לאור זאת ,מה ההסתברות שההוצאה החודשית של בית אב נמוכה מ 6811-דולר?
.66אורך שיר אקראי המשודר ברדיו מתפלג נורמלית עם תוחלת של 4.2דקות וסטיית
תקן של שלושים שניות.
א .מה ההסתברות שאורך של שיר אקראי המנוגן ברדיו יהיה בין 4ל 5.2דקות?
ב .מהו הטווח הבין רבעוני של אורך שיר המשודר ברדיו?
ג .ביום מסוים מנוגנים 511שירים ברדיו .כמה שירים מתוכם תצפה שיהיו באורך הנמוך מ
4.2דקות?
ד .בשעה מסוימת שודרו 8שירים .מה ההסתברות שרבע מהם בדיוק היו ארוכים מ 3-דקות
והיתר לא?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
135
פתרונות :
שאלה 1
שאלה 3
א89.52% .
א51.34% .
ב5.58% .
ב89.33% .
ג.
ג1 .
ד21% .
49.33%
ד1.484 .
ה611% .
שאלה 7
שאלה 5
א.
669.5
א211 .
ב.
81.8
ב611 .
ג.
665.1
ג.
ד.
87.3
ד744 .
1.4331
ה517 .
שאלה 8
שאלה 9
א4 .
ב .בממוצע.
ג6 .
א1.6287 .
ב1.1558 .
ג.
1.8214
ד1.4972 .
שאלה 11
שאלה 11
א6952 .
א1.6429 .
ב1.5511 .
ב1.172 .
ג1.6287 .
ג611 .
ד1.52 .
ה.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
131
פרק -29משתנה דו מימדי בדיד -פונקצית הסתברות משותפת
רקע:
התפלגות דו ממדית הינה התפלגות שדנה בשני משתנים.
נרצה כעת לבנות פונקציית הסתברות דו ממדית.
בפונקציה שכזו יש התפלגות של שני משתנים בו זמנית X :ו . Y
דוגמה:
תלמיד ניגש בסמסטר לשני מבחנים מבחן בכלכלה ומבחן בסטטיסטיקה.
כמו כן נתון שהסיכוי לעבור את המבחן בכלכלה הנו 1.8והסיכוי לעבור את המבחן בסטטיסטיקה
הנו .1.9
הסיכוי לעבור את שני המבחנים הנו 1.72
יהי -Xמספר הקורסים שהסטודנט עבר.
יהי -Yמשתנה אינדיקטור המקבל את הערך אחד אם הסטודנט עבר את הבחינה בכלכלה ואפס
אחרת.
בנו את פונקציית ההסתברות המשותפת של Xו . Y
נחשב את כל ההסתברויות המשותפות :
p( x o, y 0) 0.05
p( x o, y 1) 0
p( x 1, y 0) 0.15
p( x 1, y 1) 0.05
p( x 2, y 0) 0
p( x 2, y 1) 0.75
5
6
1
0
0.15
0.05
1
0.75
1.12
0
6
X
Y
שימו לב שסכום כל ההסתברויות בפונקציית ההסתברות המשותפת הוא .6
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
131
כעת נסכם את השורות ואת העמודות ונקבל את פונקציות הסתברות שוליות:
PY
5
6
1
0.2
0
0.15
0.05
1
0.8
0.75
1.12
0
6
6
0.75
0.2
0.05
PX
X
Y
משתנים בלתי תלויים:
Xו Yיהיו משתנים בלתי תלויים אם עבור כל Xו Y -אפשריים התקיים הדבר הבא :
) p( x k , y l ) p ( x k ) p( y l
מספיק פעם אחת שהמשתנים אינם מקיימים תנאי זה אזי הם תלויים.
למשל ,בדוגמה הזאת:
p( x 2, y 1) 0.75 p( x 2) p( y 1) 0.75 0.8 0.6
ככלל אם יש אפס בתוך פונקציית ההסתברות המשותפת ניתן להבין באופן מידי שהמשתנים
תלויים .שאז הרי התנאי לא מתקיים.
אך אם אין אפס בטבלה אין זה אומר שהמשתנים בלתי תלויים ויש לבדוק זאת.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
132
תרגילים :
.6אדם נכנס לקזינו עם 72דולר .הוא ישחק במכונת מזל בה יש סיכוי של 14לנצח .במקרה של
ניצחון במשחק הוא יקבל מהקזינו 52דולר ובמקרה של הפסד הוא ישלם 52דולר .אותו
אדם החליט שיפסיק לשחק ברגע שיהיה לו 611דולר ,אך בכל מקרה לא ישחק יותר מ – 4
משחקים .נגדיר את Xלהיות הכסף שברשות האדם בצאתו מהקזינו ואת Yמספר
המשחקים שהאדם שיחק.
א .בנו את פונקצית ההסתברות המשותפת והשוליות.
ב .מה תוחלת מספר המשחקים שישחק האדם?
ג .אם האדם יצא מהקזינו שברשותו 611דולר ,מה התוחלת ומהי השונות של מספר
המשחקים ששיחק?
.5להלן פונקצית ההסתברות המשותפת והשוליות של שני משתנים מקריים בדידים:
) P )Y
1.3
6
1.18
1.12
5
1.65
1
1.6
1.32
1.3
1.5
Y\X
5
4
3
) P( X
א .השלם את ההסתברויות החסרות בטבלה.
ב .האם Xו Y -תלויים ?
ג .מצא את הסתברות ש , Y=4-אם ידוע ש. X=6 -
.4מפעל משווק מוצר הנארז בחבילות בגדלים שונים .ישנו מספר שווה של חבילות בנות שני
מוצרים ושלושה מוצרים .ההסתברות שמוצר מסוים יהיה פגום היא .6361מהנדס הייצור
בוחר באקראי חבילת מוצרים לשם בקורת איכות .יהיו X:מספר המוצרים בחבילהY,
מספר המוצרים הפגומים בחבילה.
א .מה ההתפלגות של המשתנה Yבהינתן Xהינו .4
ב .מה ההתפלגות של המשתנה Yבהינתן Xהינו Kכלשהו.
ג .מהי תוחלת מספר המוצרים הפגומים בחבילות בנות 4מוצרים? נמקו.
ד .בנה את פונקצית ההסתברות המשותפת.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
139
.3מתוך כד עם שלושה כדורים ממוספרים במספרים 8 ,3 ,5שולפים באקראי שני כדורים ללא
החזרה .נגדיר - X :המספר הקטן מבין השניים; Yהמספר הגדול מבין השניים.
א .חשבו את ההתפלגות של (. )X, Y
ב .אם המספר המינימאלי שנבחר הוא , 5מה הסיכוי שהמספר המקסימאלי ?8
ג .חשבו את ההתפלגות המותנית של Xבהינתן .Y = 3מצאו ).E(X / Y = 4
.2ביישוב שני סניפי בנק .סניף פועלים וסניף לאומי .להלן הנתונים לגבי האוכלוסייה הבוגרת
המתגוררת ביישוב:
ל 11%-יש חשבון בסניף פועלים של היישוב.
ל 21%-יש חשבון בסניף לאומי של היישוב.
ל 92%-יש חשבון בלפחות אחד מהסניפים.
יהי -Xמספר הסניפים בישוב אשר לתושב בוגר יש בהם חשבון.
יהי -Yמשתנה אינדיקטור:
-6
אם יש לתושב חשבון בסניף פועלים.
-1
אחרת.
א .בנו את פונקציית ההסתברות המשותפת של Xו.Y -
ב.הוסיפו את פונקציית ההסתברות השולית.
ג .ידוע שלתושב בוגר חשבון בבנק פועלים ,מה ההסתברות שיש לו חשבון בנק בסניף אחד
בלבד?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
121
פתרונות:
שאלה :1
ב5.3 .
ג .התוחלת 6.438השונות 1.272
שאלה :2
ב .תלויים
ג1.652 .
שאלה :4
שאלה :5
ב1.2 .
ג .תוחלת 5
ג1.72 .
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
121
פרק - 31משתנה דו מימדי בדיד -מתאם בין משתנים
רקע:
נרצה לבדוק את מידת ההתאמה הלינארית בין שני המשתנים .
על ידי מקדם המתאם הלינארי שמסומן ב . -
מקדם מתאם זה מקבל ערכים בין -1ל .1
1
-1
0
מקדם מתאם -1או 6אומר שקיים קשר לינארי מוחלט ומלא בין המשתנים שניתן לבטאו על ידי
הנוסחה . y ax b :
מתאם חיובי מלא ( מקדם מתאם )6אומר שקיים קשר לנארי מלא בו השיפוע aיהיה חיובי ואילו
מתאם שלילי מלא אומר שקיים קשר לנארי מלא בו השיפוע aשלילי ( מקדם מתאם .)-1
מתאם חיובי חלקי אומר שככל שמשתנה אחד עולה לשני יש נטייה לעלות בערכו אבל לא קיימת
נוסחה לינארית שמקשרת את Xל Y -באופן מוחלט ואילו מתאם שלילי חלקי אומר שככל
שמשתנה אחד עולה לשני יש נטייה לרדת אבל לא קיימת נוסחה לינארית שמקשרת את XלY -
באופן מוחלט.
חישוב מקדם המתאם :
) cov( x, y
הנוסחה של מקדם המתאם היא :
x y
השונות המשותפת:
)cov( x, y) E[( x x )( y y )] E( x y) E ( x) E ( y
תכונות של השונות המשותפת :
cov( X , Y ) cov(Y , X ) .6
cov( X , X ) Var ( X ) .5
משתנים בלתי מתואמים :
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
122
משתנים בלתי מתואמים הם משתנים שמקדם המתאם שלהם אפס וכדי שדבר כזה יקרה השונות
המשותפת צריכה להתאפס.
משתנים בלתי מתואמים הם משתנים שכלל אין בינם התאמה לינארית.
משתנים בלתי תלויים הם משתנים שאין בינם קשר ולכן הם גם בלתי מתואמים ,אך משתנים
בלתי מתואמים אינם בהכרח בלתי תלויים.
השפעת טרנספורמצייה לינארית על מקדם המתאם
X , Y ___ if __ a c 0
X , Y __ if __ a c 0
aX b , cY d
כלומר ,טרנספורמציה לינארית על שני משתנים לא משנה את עוצמת הקשר בינם
היא עלולה לשנות רק את כיוון הקשר.
דוגמה( :פתרון בהקלטה )
נחזור לדוגמה שהוצגה בפרק הקודם:
תלמיד ניגש בסמסטר לשני מבחנים מבחן בכלכלה ומבחן בסטטיסטיקה.
כמו כן נתון שהסיכוי לעבור את המבחן בכלכלה הנו 1.8והסיכוי לעבור את המבחן בסטטיסטיקה
הנו .1.9
הסיכוי לעבור את שני המבחנים הנו 1.72
יהי -Xמספר הקורסים שהסטודנט עבר.
יהי -Yמשתנה אינדיקטור המקבל את הערך אחד אם הסטודנט עבר את הבחינה בכלכלה ואפס
אחרת.
נחשב את מקדם המתאם :
PY
2
1
1
0.2
0
0.15
0.05
1
0.8
0.75
0
1
1
0.75
0.05
PX
1.15
0.2
X
Y
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
123
1
x
5
6
)1.72 1.51 1.12 P(x
E ( X ) xi P( xi ) 0*0.05 1*0.2 2*0.75 1.7
i
V ( X ) ( xi ) 2 P( xi ) xi2 P( xi ) 2 02 *0.05 12 *0.2 2 2 *0.75 1.7 2 0.31 2
i
i
x V ( X ) 0.31 0.557
PY
y
0.2
1
1
0.8
E ( y ) yi P( yi ) 0 0.8 0.8
i
V ( y ) ( yi y ) 2 P( yi ) yi2 P( yi ) y 2 0 0.8 0.82 0.16 y 2
i
i
y 0.16 0.4
E( xy) 0 0 0.05 0 1 0 1 0 0.15 11 0.05 2 0 0 2 1 0.75 1.55
cov( x, y) E( x y) E( x) E( y) 1.55 1.7 0.8 0.19
)cov( x, y
0.19
0.853
x y
0.557 0.4
כל קורס שהסטודנט מסיים מזכה אותו ב 4 -נקודות אקדמאיות.
מה יהיה מקדם המתאם בין נקודות הזכות שיצבור למשתנה ? ?Y
תרגילים:
.6הסיכוי שסטודנט יעבור את מועד א בסטטיסטיקה הוא .1.8אם הוא נכשל במועד א' הוא
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
122
ניגש למועד ב' שם הסיכוי לעבור את המבחן מוערך להיות ( 1.9סטודנט שעובר את א' לא
ניגש לב') .במידה והסטודנט נכשל במועד ב' הוא מגיש בקשה למועד ג' אותה מאשרים
בסיכוי של .1.5ואז הסיכוי שלו לעבור את מועד ג' הוא .1.7
נגדיר את Xלהיות מספר המבחנים אליהם ניגש הסטודנט.
נגדיר את Yלהיות מספר הנבחנים שנכשל בהם.
א .בנו את פונקצית ההסתברות המשותפת ואת פונ' ההסתברות השולית.
ב .האם המשתנים הינם בלתי תלויים?
ג .ידוע שהסטודנט ניגש ליותר ממבחן אחד ,מה ההסתברות שהוא נכשל בפחות משלושה
מבחנים?
ד .האם המתאם בין Xל Y-מלא או חלקי? חיובי או שלילי? הסבר ללא חישוב.
ה .חשבו את מקדם המתאם בין Xלבין .Y
ו .האם המשתנים הם בלתי מתאומים?
.5מטילים מטבע שלוש פעמים .נגדיר את Xלהיות מספר העצים המתקבלים בשתי ההטלות
הראשונות ואת Yלהיות מספר העצים המתקבלים בשתי ההטלות האחרונות.
א .בנו את פונקציית ההסתברות המשותפת של Xו Yואת פונקציות ההסתברות
השוליות.
ב .האם Xו Y -הם משתנים בלתי תלויים?
ג .מהו מקדם המתאם בין Xל . Y-האם המשתנים מתואמים?
ד .אם בשתי ההטלות הראשונות יצא בדיוק עץ אחד ,מה ההסתברות שבשתי ההטלות
האחרונות יצאו שני עצים ?
ה .אם בשתי ההטלות האחרונות יצא לפחות פעם אחת עץ ,מה ההסתברות שבשתי
ההטלות הראשונות יצא עץ אחד?
.4מפזרים שלושה כדורים שונים בשלושה תאים.
נגדיר את המשתנים הבאים:
=Xמספר הכדורים בתא הראשון.
=Yמספר הכדורים בתא השני.
א .בנו את פונקציית ההסתברות המשותפת.
ב .האם המשתנים בלתי מתואמים?
.3מטילים קובייה הוגנת פעמיים.
יהי =X :ההטלה הגדולה מבין שתי התוצאות
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
125
=Yמס' ההטלות בהן יצאה תוצאה זוגית.
א .מצא את פונקצית ההסתברות המשותפת של Xו.Y-
ב .חשבו את מקדם המתאם של Xו.Y-
ג .מצאו את ההתפלגות של Yבהינתן ש.X=2 -
.2בבניין בן 2דירות .דירות מספר אחת ושלוש הן דירות משופצות והשאר אינן .הוחלט
לבחור שתי דירות באקראי מבין הדירות בבניין .נגדיר את המשתנים הבאים :
-Xמספר הדירות המשופצות שנבחרו.
-Yמספר הדירות האי זוגיות שנדגמו.
א .בנו את פונקצית ההסתברות המשותפת ואת פונקציות ההסתברות השולית.
ב .האם המשתנים מתואמים?
ג .מה מקדם המתאם בין Xלבין ?Y
ד .מה יהיה מקדם המתאם:
.6בין מספר הדירות המשופצות למספר הדירות הזוגיות שנדגמו.
.5בין מספר הדירות הזוגיות לדירות האי זוגיות שנדגמו.
ה .כל דירה משופצת עולה 5מיליון שקלים ,כל דירה לא משופצת עולה 6.2מיליון
שקלים .מה המתאם בין עלות הדירות שנדגמו למספר הדירות הזוגיות?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
121
פתרונות :
שאלה : 1
ג 1.993 .
ה 1.914 .
שאלה : 2
ב .תלויים.
ג .מקדם המתאם .1.2 :מתואמים
ד1.52 .
ה1.2 .
שאלה :3
ב .מתואמים
שאלה : 4
ב0.252 .
שאלה :5
ב X .ו Y-מתואמים.
2
ג3 .
2
ד3 .6.
ד)-6( .5.
2
ה3 .
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
121
פרק - 31המשתנה המקרי הדו ממדי -קומבינציות לנאריות
רקע:
תוחלת ושונות של סכום משתנים :
) E( X Y ) E( X ) E(Y
V ( X Y ) V ( X ) V (Y ) 2 COV X , Y
תוחלת ושונות של הפרש משתנים :
) E( X Y ) E( X ) E(Y
V ( X Y ) V ( X ) V (Y ) 2 COV X , Y
קומבינציות לינאריות:
יוצרים משתנה חדש שהוא קומבינציה לינארית של שני משתנים אחרים:
) W (aX b) (cY d
COV aX b , cY d a c COV X , Y
E (W ) E (aX b) (cY d ) aE X b cE Y d
V (W ) V (aX b) (cY d ) a 2V X c 2V Y 2 a c COV X , Y
דוגמה( :פתרון בהקלטה )
עבור שני משתנים מקריים נתון :
X 80
X 15
Y 70
Y 20
C 0V ( X , Y ) 200
מצא את התוחלת והשונות של סכום המשתנים.
מצא את התוחלת והשונות של .Y-X
מצא את השונות ומה התוחלת של המשתנה W 2 X 3Y
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
122
תרגילים:
.6נתונה פונקצית ההסתברות המשותפת הבאה:
)4 P(Y
1.1
5
6
1.6 1.4
1.6
Y\X
5
4 1.5
)P(X
א .השלם את ההסתברויות החסרות.
ב .האם המשתנים תלויים?
ג .האם המשתנים בלתי מתואמים?
ד .חשב את השונות המשותפת.
ה .חשב את התוחלת והשונות של סכום המשתנים.
ו .חשב את התוחלת והשונות של הפרש המשתנים.
.5מבחן בנוי מחלק כמותי וחלק מילולי .תוחלת הציון בחלק הכמותי היא 611עם סטיית
תקן .51תוחלת הציונים בחלק המילולי 91עם סטיית תקן .62מקדם המתאם בין הציון
הכמותי לציון המילולי הוא .1.8
א .חשבו את השונות המשותפת בין הציון הכמותי לציון המילולי.
ב .חשבו את התוחלת והשונות של סכום הציונים בחלק הכמותי ובחלק
המילולי.
ג .חשבו את התוחלת והשונות של הפרש הציונים בין החלק הכמותי לחלק המילולי.
ד .עלות הבחינה 5111שקלים .הוחלט לזכות שקל עבור כל נקודה שנצברה בחלק המילולי
ושני שקלים עבור כל נקודה שנצברה בחלק הכמותי .מהי התוחלת ומהי השונות של עלות
הבחינה נטו (העלות לאחר הזיכוי)?
.4נתון .Var(X+2Y)=3 .Var(X-2Y)=2 :חשבו.Cov(X,Y) :
.3מטילים קובייה nפעמים.
נגדיר את המשתנים הבאים:
=Xמספר הפעמים שהתקבלה התוצאה .1
=Yמספר הפעמים שהתקבלה התוצאה 2
בטאו את השונות המשותפת באמצעות .n
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
129
פתרונות :
שאלה :1
ב .תלויים
ג .מתואמים.
ד-0.1 .
ה .תוחלת ,3.3 :שונות 1.83 :
ו .תוחלת ,-0.4 :שונות 6.53 :
שאלה :2
א531 .
ב .תוחלת 691 :שונות6612 :
ג .תוחלת 61 :שונות632 :
ד .תוחלת 6761 :שונות5782 :
שאלה :3
-0.125
שאלה 4
n
36
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
151
פרק - 32קומבינציות לינאריות להתפלגות נורמאלית
רקע:
כל קומבינציה לינארית של משתנים המתפלגים נורמאלית מתפלגת נורמאלית בעצמה.
דוגמה( :פתרון בהקלטה)
הגובה של גברים במדינת ישראל מתפלג נורמלית עם תוחלת של 672ס"מ וסטיית תקן של 61
ס"מ ,כמו כן הגובה של נשים במדינה מתפלג נורמלית עם תוחלת של 612ס"מ וסטיית תקן של 8
ס"מ.
מה הסיכוי שגבר אקראי מהמדינה יהיה גבוה מאישה אקראית? ( ) 1.7854
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
151
תרגילים:
.6המשקל של גברים במדינת ישראל מתפלג נורמלית עם תוחלת של 72ק"ג וסטיית תקן של 61
ק"ג.
כמו כן המשקל של נשים במדינה מתפלג נורמלית עם תוחלת של 12ק"ג וסטיית תקן של 8
ק"ג.
מה הסיכוי שאישה אקראית תהיה בעלת משקל גבוה יותר מגבר אקראי?
.5ההוצאה השנתית על ביגוד לאדם מתפלג נורמלית עם תוחלת של ₪ 4111וסטיית תקן של
. ₪ 6111ההוצאה השנתית על בילויים מתפלגת נורמלית עם תוחלת של ₪ 3111וסטיית תקן
של .₪ 6211מקדם המתאם בין ההוצאה השנתית על ביגוד וההוצאה השנתית על בילויים הינו
.1.1
א .מה התוחלת ומהי סטיית התקן של התפלגות ההוצאה השנתית הכוללת על ביגוד ובילוי?
ב .מה הסיכוי שההוצאה השנתית הכוללת על ביגוד ובילוי תעלה על ?₪ 8111
ג .מהו העשירון העליון של ההוצאה השנתית הכוללת על ביגוד ובילוי?
.4צריכת הירקות היומית במסעדה מתפלג נורמלית עם תוחלת של 21ק"ג וסטיית תקן של 3
ק"ג .נתון שמחיר ק"ג ירק הוא ₪ 1לקילו.
א .מה התוחלת ומהי השונות של העלות היומית של ירקות למסעדה?
ב .מה ההסתברות שהעלות היומית על ירקות תהיה נמוכה מ?₪ 591-
ג .מהו האחוזון ה 31-של התפלגות העלות היומית של המסעדה על ירקות?
.3נפח יין בבקבוק מתפלג נורמאלית עם תוחלת של 721מ"ל וסטיית תקן של 51מ"ל .אדם קנה
מארז של 3בקבוקי יין.
א .מהי התוחלת ומהי סטיית התקן של נפח היין במארז.
ב .את היין שבמארז האדם מזג לכלי שקיבולתו 4.6ליטר .מה ההסתברות שהיין יגלוש
מהכלי?
.2לדוד משה הייתה חווה .בחווה פרה ועזה .תנובת החלב של הפרה מתפלג נורמאלית עם ממוצע
של 51ליטר ביום וסטיית תקן של 2ליטר ותנובת החלב של העזה מתפלג גם כן נורמאלית עם
ממוצע של 61ליטר וסטיית תקן של 5ליטר .כל ליטר חלב פרה נימכר ב ₪ 5 -וליטר חלב עזה
נימכר ב.₪ 4-
א .מה הסיכוי שהפדיון היומי של דוד משה מחלב יהיה לפחות ?₪ 15
ב .מה הסיכוי שמתוך 2ימים יהיו לפחות 3ימים בהם תנובת החלב מהפרה והעזה ביחד
תהיה מתחת ל 41 -ליטר ?
ג .מה הסיכוי שביום מסוים תנובת הפרה תהיה נמוכה מתנובת העזה?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
152
פתרונות:
שאלה 1
1.5677
שאלה 2
א .תוחלת ,7111סטיית תקן .5537
ב1.4513 .
ג9886 .
שאלה 3
א .תוחלת ,411שונות .271
ב1.4475 .
ג593 .
שאלה 4
א .תוחלת 4111מ"ל וסטיית תקן 31מ"ל.
ב1.1115 .
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
153
פרק - 33חישוב תוחלת ושונות על ידי פירוק לאינדיקטורים
רקע:
נלמד שיטה לחישוב תוחלת ושונות של משתנה מקרי על ידי פירוקו לסכום של משתני אינדקטור.
אינדיקטור הינו משתנה שפונקציית ההסתברות של נראית כך :
1
6
X
1-P
P
)P(X
n
נגיד ש X iהינו משתנה אינדיקטור כאשר i=1,2,…,nו X X i
i 1
נעזר בנוסחאות תוחלת ושונות סכום משתנים מקרים כדי לחשב את התוחלת והשונות של .X
n
n
i 1
i 1
n
n
i 1
i 1
) E ( X ) E ( X i ) E ( X i
) V ( X ) V ( X i ) V ( X i ) 2 COV ( X i , X j
i j
כאשר עבור משתנים אינדיקטורים מתקיים ש:
)E ( X i ) P( X i 1
)V ( X i ) P( X i 1) P( X i 0
)COV ( X i , X j ) P( X i 1, X j 1) P( X i 1) P( X j 1
דוגמה (:פתרון בהקלטה).
יוסי החליט להזמין 8חברים למסיבת יום הולדתו .הוא הכין 8הזמנות שעליהן רשם את השם של
כל אחד מהחברים .ההזמנות הוכנסו למעטפות וחולקו באקראי ל 8-החברים .נסמן ב X-את
מספר ההזמנות שהגיעו לחבר הנכון .חשבו את ) E(Xואת ).V(X
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
152
תרגילים:
.6יהיו Xו Y-משתני אינדיקטורים.
הוכיחו ש:
)E ( X ) P( X 1
V ( X ) P( X 1) 1 P( X 1)
)COV ( X , Y ) P( X 1, Y 1) P( X 1) P(Y 1
311 .5אנשים נבחרו מכלל האוכלוסייה.
א .חשבו את הסיכוי שביום מסוים בשנה יהיה בדיוק אדם אחד מתוך ה 311-שיש לו יום הולדת.
ב .נגדיר את X iמשתנה אינדיקטור המקבל את הערך 6אם ביום iבדיוק אדם אחד מתוך ה311
עם יום הולדת באותו היום .חשבו את התוחלת והשונות של . X i
ג .חשבו את התוחלת והשונות של מספר הימים בשנה שבהם יש יום הולדת בדיוק לאחד מ311
האנשים הללו.
4 .4משחקים הוכנסו באקראי ל 2-מגרות .מגירה יכולה להכיל יותר ממשחק אחד .נסמן ב W-את
מספר המגרות בהן בדיוק משחק אחד .חשבו את התוחלת והשונות של Wעל ידי פירוק
לאינדיקטורים.
.3
B ,Aו C -הם שלושה מאורעות כך ש:
P( A) 0.3, P( B) 0.2, P(C ) 0.1
נגדיר את Yלהיות מספר המאורעות מתוך השלושה שמתקיימים.
חשבו את התוחלת והשונות של Yכאשר:
א .המאורעות בלתי תלויים זה בזה.
ב.
CB A
ג,B ,A .ו C-זרים זה לזה.
.2מטילים קובייה 61פעמים .נסמן ב W-את מספר התוצאות השונות שהתקבלו.
א .מצאו את )E(W
ב .מצאו את )V(W
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
155
.1מסדרים בשורה 1כוסות קולה ו 3-כוסות מים .רצף של שתי כוסות נקרא "ג'נק" אם שתי הכוסות
הן ברצף של קולה.
נסמן ב X-את מספר הרצפים מסוג "ג'נק" שיש לשתי כוסות .למשל ,הסידור הבא:
קולה ,מים ,מים,קולה ,מים,קולה ,מים ,קולה ,קולה ,קולה. X=2 ,
חשבו את התוחלת והשונות של .X
.7
מסדרים בשורה nזוגות גרביים באקראי ( בסך הכול 2nגרבים) .חשבו את התוחלת והשונות של
מספר הזוגות מתוך nהזוגות שבהם זוג הגרביים אינם עומדים זה לצד זה.
.8בקייטנה 611ילדים .מחלקים לכל ילד 5ארטיקים מתוך 511הארטיקים שנרכשו לקייטנה .מתוך
511הארטיקים שנרכשו 611בטעם תות ו 611-הם בטעם לימון .נסמן ב X-את מספר הילדים
שקיבלו 5ארטיקים בטעמים שונים .נסמן ב Y-את מספר הילדים שקיבלו שני ארטיקים בטעם
לימון.
א .חשבו את התוחלת והשונות של .X
ב .בטאו את Yכפונקציה של Xוחשבו את התוחלת והשונות של .Y
ג .מהי השונות המשותפת של Xו?Y-
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
151
פתרונות :
שאלה 3
תוחלת ,6.95 :שונות6.6641 :
שאלה 4
תוחלת בכל המקרים 1.1 :
שונות:
א 1.31 .ב 6.13 .ג1.53 .
שאלה 5
א2.14 .
ב1.218 .
שאלה 6
תוחלת 4 :
2
שונות:
3
שאלה 7
1
n 1
תוחלת n-1 :שונות:
)n 2(2n 1
1
שאלה 8
א .תוחלת21.526 :
שונות 52.651 :
בY 0.5 X 50 .
ג-12.563 .
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
151
פרק - 34התפלגות הדגימה
ממוצע המדגם ומשפט הגבול המרכזי
רקע:
x
i
x
בפרק זה נדון בהתפלגות של ממוצע המדגם :
n
מכיוון שממדגם למדגם אנו יכולים לקבל ממוצע מדגם שונה ,אזי ממוצע המדגם הוא משתנה
מקרי ויש לו התפלגות.
גדלים המתארים התפלגות כלשהי או אוכלוסייה כלשהי נקראים פרמטרים .להלן רשימה של
פרמטרים החשובים לפרק זה:
ממוצע האוכלוסייה נסמן ב ( נקרא גם תוחלת ).
שונות אוכלוסייה נסמן ב. 2 -
סטיית תקן של אוכלוסייה. :
א .תכונות התפלגות
ממוצע כל ממוצעי המדגם האפשריים שווה לממוצע האוכלוסייה:
E( x ) x
שונות כל ממוצעי המדגם האפשריים שווה לשונות האוכלוסייה מחולק ב . n-תכונה זו נכונה רק
במדגם מקרי:
2
V ( x ) x2
n
יש יחס הפוך בין גודל המדגם לבין שונות ממוצעי המדגם.
אם נוציא שורש לשונות נקבל סטיית תקן של ממוצע המדגם שנקראת גם טעות תקן:
n
2
n
(x)
דוגמה( :פתרון בהקלטה)
השכר הממוצע במשק הינו ₪ 9111עם סטיית תקן של .3111דגמו באקראי 52עובדים.
א .מי אוכלוסיית המחקר? מהו המשתנה הנחקר?
ב .מהם הפרמטרים של האוכלוסייה?
ג .מה התוחלת ומהי סטית התקן של ממוצע המדגם?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
152
ב .דגימה מהתפלגות נורמאלית
אם נדגום מתוך אוכלוסייה שהמשתנה בה מתפלג נורמאלית עם ממוצע ושונות 2ממוצע
המדגם גם יתפלג נורמאלית:
)
2
n
x ~ N ( ,
x
Zx
n
דוגמה( :פתרון בהקלטה)
משקל תינוק ביום היוולדו מתפלג נורמאלית עם ממוצע 4311גרם וסטיית תקן של 311גרם.
מה ההסתברות שבמדגם של 3תינוקות אקראיים בעת הולדתם המשקל הממוצע של התינוקות
יהיה מתחת ל 4.2-ק"ג?
ג .משפט הגבול המרכזי
אם אוכלוסייה מתפלגת כלשהו עם ממוצע ושונות 2אזי עבור מדגם מספיק גדול ( ) n 30
2
ממוצע המדגם מתפלג בקירוב נורמאלית )
n
. x ~ N (,
דוגמה( :פתרון בהקלטה)
משקל חפיסת שוקולד בקו ייצור מתפלג עם ממוצע 611גרם וסטיית תקן של 3גרם.
דגמו מקו הייצור 41חפיסות שוקולד אקראיות.
מה ההסתברות שהמשקל הממוצע של חפיסות השוקולד שנדגמו יהיה מתחת ל 615גרם?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
159
תרגילים :
.6מתוך כלל הסטודנטים במכללה שסיימו סטטיסטיקה א נדגמו שני סטודנטים .נתון שממוצע
הציונים של כלל הסטודנטים היה 78עם סטיית תקן של .62
א .מי האוכלוסייה?
ב .מה המשתנה?
ג .מהם הפרמטרים?
ד .מהו גודל המדגם?
ה .מהו תוחלת ממוצע המדגם?
ו .מהי טעות התקן?
.5להלן התפלגות מספר מקלטי הטלוויזיה למשפחה בישוב מסוים:
מספר המשפחות
מספר מקלטים
211
1
5211
1
4211
2
4111
3
211
4
סך הכול N 10000
נגדיר את xלהיות מספר המקלטים של משפחה אקראית.
א .בנו את פונקצית ההסתברות של .x
ב .חשבו את התוחלת ,השונות וסטיית התקן של .x
ג .אם נדגום 3משפחות מהישוב עם החזרה מה תהיה התוחלת ,מהי השונות ומהי סטיית
התקן של ממוצע המדגם?
.4אם נטיל קובייה פעמיים ונתבונן בממוצע התוצאות שיתקבלו ,מה תהיה התוחלת ומה תהיה
סטיית התקן של ממוצע זה?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
111
.3משקל תינוק ביום היוולדו מתפלג נורמאלית עם ממוצע 4311גרם וסטיית תקן של 311גרם
א .מה ההסתברות שתינוק אקראי בעת הלידה ישקול פחות מ 4811-גרם?
נתון כי ביום מסוים נולדו 3תינוקות.
ב .מה ההסתברות שהמשקל הממוצע שלהם יעלה על 3ק"ג ?
ג .מה ההסתברות שהמשקל הממוצע של התינוקות יהיה מתחת ל 5.2-ק"ג?
ד .מה ההסתברות שהמשקל הממוצע של התינוקות יהיה רחוק מהתוחלת בלא יותר מ21-
גרם?
ה .הסבירו ללא חישוב כיצד התשובה לסעיף הקודם הייתה משתנה אם היה מדובר על יותר מ-
3תינוקות?
.2הגובה של המתגייסים לצה"ל מתפלג נורמאלית עם תוחלת של 672ס"מ וסטיית תקן של 61
ס"מ .ביום מסוים התגייסו 61חיילים.
א .מה ההסתברות שהגובה הממוצע שלהם יהיה לפחות 691ס"מ?
ב .מה ההסתברות שהגובה הממוצע שלהם יהיה בדיוק 681ס"מ?
ג .מה ההסתברות שהגובה הממוצע שלהם יסטה מתחולת הגבהים בפחות מ 2-ס"מ?
ד .מהו הגובה שבהסתברות של 91%הגובה הממוצע של המדגם יהיה נמוך ממנו?
.1הזמן הממוצע שלוקח לאדם להגיע לעבודתו 41דקות עם שונות של 61דקות רבועות .האדם
נוסע לעבודה במשך שבוע 2פעמים .לצורך פתרון הניחו שזמן הנסיעה לעבודה מתפלג
נורמאלית.
א .מה ההסתברות שבמשך שבוע משך הנסיעה הממוצע יהיה מעל 44דקות?
ב .מהו הזמן שבהסתברות של 91%ממוצע משך הנסיעה השבועי יהיה גבוה ממנו?
ג .מה ההסתברות שממוצע משך הנסיעה השבועי יהיה מרוחק מ 41-דקות בלפחות 5דקות?
ד .כיצד התשובה לסעיף הקודם הייתה משתנה אם האדם היה נוסע לעבודה 1פעמים בשבוע?
.7נפח היין בבקבוק מתפלג נורמאלית עם תוחלת של 721סמ"ק וסטיית תקן של 61סמ"ק.
א .בארגז 3בקבוקי יין .מה ההסתברות שהנפח הממוצע של הבקבוקים בארגז יהיה בדיוק 722
סמ"ק?
ב .בארגז 3בקבוקי יין .מה ההסתברות שהנפח הממוצע של הבקבוקים בארגז יהיה יותר מ722
סמ"ק?
ג .בארגז 3בקבוקי יין .מה ההסתברות שהנפח הממוצע של הבקבוקים בארגז יהיה לפחות 722
סמ"ק?
ד .בקבוקיי היין שבארגז נמזגים לקערה עם קיבולת של שלושה ליטר .מה ההסתברות שהיין
יגלוש מהקערה?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
111
.8משתנה מתפלג נורמאלית עם תוחלת 81וסטיית תקן . 3
א .מה ההסתברות שממוצע המדגם יסטה מתוחלתו בלא יותר מיחידה כאשר גודל המדגם
הוא ?9
ב .מה ההסתברות שממוצע המדגם יסטה מתוחלתו בלא יותר מיחידה שגודל המדגם הוא ?61
ג .הסבר את ההבדל בתשובות של שני הסעיפים.
.9בקזינו ישנה רולטה .על הרולטה רשומים המס' הבאים כמוראה בשרטוט:
אדם מסובב את הרולטה וזוכה בסכום הרשום על הרולטה.
א .בנו את פונקצית ההסתברות של סכום הזכייה במשחק בודד.
ב .מה התוחלת ומה השונות של סכום הזכייה?
ג .אם האדם ישחק את המשחק 2פעמים מה התוחלת ומה השונות של ממוצע סכום הזכייה
בחמשת המשחקים?
ד .אם האדם משחק את המשחק 21פעם מה ההסתברות שבסה"כ יזכה ב ₪ 6121-ומעלה?
.61לפי הערכות הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה השכר הממוצע במשק הוא ₪ 8111עם סטיית
תקן של .₪ 4111מה ההסתברות שבמדגם מקרי של 611עובדים השכר הממוצע יהיה יותר
מ?₪ 8211 -
.66מטילים קובייה 21פעמים בכל פעם מתבוננים בתוצאה של הקובייה .מה ההסתברות
שהממוצע של התוצאות יהיה לפחות 4.75ב 21 -ההטלות?
.65אורך צינור שמפעל מייצר הינו עם ממוצע של 71ס"מ וסטיית תקן של 61ס"מ .
א .נלקחו באקראי 611מוטות ,מה ההסתברות שממוצע אורך המוטות יהיה בין 18ל 78ס"מ?
ב .יש לחבר 5בניינים באמצעות מוטות .המרחק בין שני הבניינים הינו 7511ס"מ .מה
ההסתברות ש 611המוטות יספיקו למלאכה?
ג .מה צריך להיות גודל המדגם המינימאלי ,כדי שבהסתברות של 2%ממוצע המדגם יהיה
קטן מ 19-ס"מ .העזר במשפט הגבול המרכזי.
.64נתון משתנה מקרי בדיד בעל פונקצית ההסתברות הבאה:
X
8
6
4
2
)P(X
¼
¼
¼
¼
מתוך התפלגות זו נלקח מדגם מקרי בגודל . 21מה הסיכוי שממוצע המדגם יהיה קטן מ?2 -
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
112
.63נתון ש ) N ( , 2
_
Xדגמו 2תצפיות מאותה התפלגות והתבוננו בממוצע המדגם X :
_
לכן ) P( X יהיה ( :בחר בתשובה הנכונה )
א1 .
ב1.2 .
ג6 .
ד .לא ניתן לדעת.
.62נתון ש Xמתפלג כלשהו עם תוחלת :ושונות . 2
החליטו לבצע מדגם בגודל 511מתוך ההפלגות הנתונה לפי משפט הגבול המרכזי מתקיים ש:
(בחר בתשובה הנכונה )
א) .
ב) .
2
200
2
200
N ( ,
X
N ( ,
גN ( , 2 ) .
ד) .
2
200
_
X
N ( ,
X
n
.61נתון ש ) N ( , 2
Xi
X i 1אזי :
. Xאם נדגום nתצפיות מתוך ההתפלגות ונגדיר
n
(בחר בתשובה הנכונה)
א .ו X -יהיו משתנים מקריים.
ב .יהיה משתנה מקרי ו Xקבוע.
ג X .יהיה משתנה מקרי ו קבוע.
ד .ו Xיהיו קבועים.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
113
.67משקל חפיסת שוקולד בקו ייצור מתפלג עם ממוצע 611גרם .החפיסות נארזות בקרטון
המכיל 41חפיסות שוקולד אקראיות .ההסתברות שהמשקל הממוצע של חפיסות השוקולד
בקרטון יהיה מעל 99גרם הוא .1.9945
א .מהי סטיית התקן של משקל חפיסת שוקולד בודדת?
ב .מה הסיכוי שמתוך 3קרטונים בדיוק קרטון אחד יהיה עם משקל ממוצע לחפיסה הנמוך
מ 611-גרם?
.68משתנה מקרי כלשהו מתפלג עם סטיית תקן של .51מה הסיכוי שאם נדגום 611תצפיות בלתי
תלויות מאותה התפלגות אזי ממוצע המדגם יסטה מתוחלתו בפחות מ?5-
.69מספר המכוניות הנכנסות לחניון "בציר " במשך היום מתפלג פואסונית עם קצב של מכונית
אחת לדקה .שומר מסר נתונים על מספר המכוניות שנכנסות בכל שעה לגבי 31שעות שאסף
נתונים .מה ההסתברות שממוצע מספר המכוניות שנכנסו לחניון לשעה בשעות אלה יהיה
לפחות ?14
.51הוכיחו שאם משתנה מתפלג כלשהו עם תוחלת ושונות 2ומבצעים מדגם בגודל nשל
תצפיות בלתי תלויות מהמשתנה ,אזי מתקיימות התכונות הבאות לגבי ממוצע המדגם:
E( x )
2
n
V (x )
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
112
פתרונות:
שאלה 2
א.
1
X
6
4
5
3
)1.12 1.4 1.42 1.52 1.12 P(x
ב 2.05 0.9475 0.973 .
2
ג 2.05 0.2369 .
2
X
X
( X ) 0.486
שאלה 3
3.5
X
( X ) 1.21
שאלה 4
א1.8364 .
ב1.1164 .
ג1 .
ד1.6973 .
שאלה 6
א1.1312 .
ב57.76 .
ג1.5158 .
שאלה 7
א1 .
ב1.6287 .
ג1.6287 .
ד1.2 .
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
115
שאלה 8
א1.2318 .
ב1.1851 .
שאלה 9
א.
61
51
41
)1.2 1.52 1.52 P(x
ב .התוחלת55.2 :
השונות18.72 :
ג .התוחלת55.2 :
השונות64.72 :
ד1.8997 .
שאלה 11
1.1372
שאלה 11
1.6863
שאלה 12
א1.9775 .
ב1.1558 .
ג576 .
שאלה 14
התשובה ב
שאלה 15
התשובה ד
שאלה 16
התשובה ג
שאלה 17
א5.359 .
ב1.52 .
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
111
התפלגות סכום תצפיות המדגם ומשפט הגבול המרכזי
רקע:
n
כעת נדון בסטטיסטי המבטא את סכום התצפיות במדגם T X i
i 1
כאשר כל התצפיות נדגמו באקראי מאותה אוכלוסייה.
כלומר ,היו - X1 , . . . , X nמשתנים מקריים בלתי תלויים בעלי התפלגות זהה שתוחלתה
ושונותה 2אזי:
א .התוחלת והשונות של סכום התצפיות:
E (T ) n
V (T ) n 2
ב .דגימה מתוך התפלגות נורמלית:
) T ~ N (n , n 2
אם ) X ~ N ( , 2
אזי
T n
n 2
Z
ג .משפט הגבול המרכזי :
אם xמתפלג כלשהו וידוע
E( X )
V (X ) 2
אזי עבור מדגם מספיק גדול (לפחות )41
) T ~ N (n, n 2
דוגמה ( :פתרון בהקלטה)
בעיר מסוימת המשכורת הממוצעת של עובד הינה .₪ 8111עם סטיית תקן של .₪ 5111נדגמו
611עובדים מהעיר שמפקידים את משכורותיהם לסניף בנק.
א .מה התוחלת וסטיית התקן של סך המשכורות שיופקדו לסניף הבנק על ידי העובדים הללו?
ב .מה ההסתברות שלסניף יופקד פחות מ 781-אלף ₪ע"י אותם עובדים? ( ) 1.6287
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
111
תרגילים:
.6המשקל באוכלוסייה מסוימת מתפלג נורמאלית עם תוחלת של 11ק"ג וסטיית תקן של
61ק"ג.
א .מה הסיכוי שאדם אקראי מהאוכלוסייה ישקול מתחת ל 12-ק"ג?
ב .מה הסיכוי שהמשקל הממוצע של 3אנשים אקראיים יהיה מתחת ל 12-ק"ג?
ג .מה הסיכוי שהמשקל הכולל של 3אנשים אקראיים יהיה מתחת ל 531-ק"ג?
.5נפח יין בבקבוק מתפלג נורמאלית עם תוחלת של 721מ"ל וסטיית תקן של 51מ"ל .אדם
קנה מארז של 3בקבוקי יין.
א .מהי התוחלת ומהי סטיית התקן של נפח היין במארז?
ב .את היין שבמארז האדם מזג לכלי שקיבולתו 4.6ליטר .מה ההסתברות שהיין יגלוש
מהכלי?
ג .אם לא היה נתון שנפח היין מתפלג נורמאלית .האם התשובה לסעיף א הייתה משתנה?
האם התשובה לסעיף ב הייתה משתנה?
.4בספר כלשהו 211עמודים .קצב הקריאה הממוצע הוא עמוד אחד ב 3דקות עם סטיית
תקן של 6דקות.
א .מה ההסתברות לסיים את הפרק הראשון ( 31עמודים) תוך שעתיים וחצי?
ב .מהו האחוזון ה 92-לזמן סיום קריאת הספר?
.3במגדל נבנו 31יחידות דיור .כמו כן נבנו 642מקומות חנייה לבניין .להלן פונקצית
ההסתברות של מספר המכוניות ליחידת דיור:
2
3
4
5
6
x
1.62
1.52
1.4
1.5
1.6
P X x
נניח שמספר המכוניות ליחידת דיור בלתי תליות זו בזו ועם אותה פונקצית הסתברות לכל
יחידת דיור ( אין צורך בתיקון רציפות).
א .מהי ההסתברות שיהיה מקום בחניון המגדל לכל מכוניות הבניין ?
ב .בהינתן ויש מקום במגדל לכל המכוניות ,מה הסיכוי שבפועל מספר המכוניות נמוך מ-
?641
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
112
.2בקזינו ישנה רולטה עליה מסומנים המספרים הבאים:
אדם מסובב את הרולטה וזוכה בסכום הרשום על הרולטה.
א .אם האדם משחק את המשחק 21פעמים מה ההסתברות שבסך הכול יזכה בסכום של
6121
שקלים ומעלה?
ב .האדם מגיע בכל יום לקזינו ומשחק את המשחק 21פעם עד אשר מגיע היום בו הוא
יזכה
ב 6121 -שקלים ומעלה .מה התוחלת ומהי השונות של מספר הימים שיבלה בקזינו?
.1נתון ש )exp( 1
X iכאשר , i 1, 2...100
חשבו את הסיכוי ). P( X i 115
i
.7אורך חיי סוללה בשעות הוא בעל פונקצית הצפיפות הבאה :
0 x 1
f ( x) 2 x
ברגע שסוללה מתרוקנת מחליפים אותה במידית בסוללה אחרת .כמה סוללות יש
להחזיק במלאי אם רוצים שבסיכוי של 91%לפחות המלאי יספיק עבור 42שעות לפחות?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
119
פתרונות:
שאלה 1
א1.1962 .
ב1.8364 .
ג1.2 .
שאלה 2
א .תוחלת 4111מ"ל וסטיית תקן 31מ"ל
ב.1.1115 .
שאלה 4
א1.884 .
שאלה 5
א1.8997 .
ב .תוחלת 6.666 :שונות 1.6549
שאלה 7
21
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
111
התפלגות מספר ההצלחות במדגם -הקרוב הנורמלי להתפלגות הבינומית
רקע:
תזכורת על התפלגות בינומית
בפרק זה נדון על התפלגות מספר ההצלחות במדגם אקראי ( תצפיות בלתי תלויות זו בזו).
מספר ההצלחות במדגם נסמן ב –.Y
מחלקים כל תצפית במדגם להצלחה או כישלון.
כעת מה שמשתנה מתצפית לתצפית הוא משתנה דיכוטומי ( משתנה שיש לו שני ערכים).
תצפית
הצלחה
כישלון
הסיכוי להצלחה יסומן עם הפרמטר pוכישלון יסומן ע"י הפרמטר . q 1 p
מבצעים מדגם אקראי בגודל . n
)Y ~ B(n, p
פונקציית ההסתברות של ההתפלגות הבינומית היא :
n k
p q
k
n
k
p( y k )
תוחלת E ( y) np :
שונותV ( y) npq :
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
111
קירוב נורמלי עבור התפלגות בינומית
אם לפנינו התפלגות בינומית Y ~ B(n, p) :ומתקיים ש :
n p 5 .6
n (1 p) 5 .5
)y ~ N ( np, npq
אז :
y np
npq
Z
y
תיקון רציפות:
כאשר משתמשים בקירוב הנורמלי להתפלגות הבינומית יש לבצע תיקון רציפות .
הסיבה שעוברים כאן מהתפלגות בדידה להתפלגות נורמלית שהיא התפלגות רציפה.
על פי הכללים הבאים:
1
1
Y a ) .6
2
2
p(Y a) p(a
P(Y a) P(Y a 0.5) .5
P(Y a) P(Y a 0.5) .4
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
112
הערות:
התנאים למעבר מבינומי לנורמלי הם נזילים ,כלומר משתנים ממרצה אחד לשני .התנאי
שהצגתי כאן הוא הפופולרי ביותר:
n p 5 .6
n (1 p) 5 .5
ישנם מרצים שנותנים את התנאי המחמיר הבא:
n p 10 .6
n (1 p) 10 .5
וישנם מרצים שפשוט התנאי שהם נותנים הוא . n 30 :
תאלצו לבדוק מהו התנאי שנתנו לכם בכיתה כדי לעבור מהתפלגות בינומית לנורמלית.
הערה נוספת היא לגבי תיקון רציפות .ישנם מרצים שלא מחייבים לבצע תיקון רציפות
שהמדגמים גדולים ( בדרך כלל מעל 611תצפיות) אני בפתרונות שאציג תמיד אבצע תיקון
רציפות במעבר מבינומי לנורמלי כיוון שכך הפתרון יהיה יותר מדויק ( בכל מקרה
שהמדגמים גדולים העניין זניח).
דוגמה( :הפתרון בהקלטה )
נתון שבקרב אוכלוסיית הנוער 52%זקוקים למשקפיים .נדגמו באקראי 38בני נוער.
א .מה הסיכוי שבדיוק 63מתוכם יהיו זקוקים למשקפיים?
ב .מה הסיכוי שלכל היותר 64מתוכם זקוקים למשקפיים?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
113
תרגילים:
.6
נתון ש 51%-מאוכלוסייה מסוימת אקדמאית .נבחרו באקראי 61אנשים באותה אוכלוסייה.
א .מה ההסתברות ששלושה מהם אקדמאים?
ב .מה ההסתברות שלכל היותר אחד מהם אקדמאי?
ג .מה התוחלת ומהי סטיית התקן של מספר האקדמאים במדגם?
.5
במפעל 61%מהמוצרים פגומים .נלקחו 611מוצרים באקראי מקו הייצור.
ד .מה ההסתברות שנדגמו לפחות 1מוצרים פגומים?
ה .מה ההסתברות שמספר המוצרים הפגומים יהיה לכל היותר 66במדגם?
.4ציוני פסיכומטרי בקרב הנרשמים למוסד מסוים מתפלגים נורמאלית עם ממוצע 211וסטיית
תקן .611למוסד מסוים הוחלט לקבל אך ורק סטודנטים שקיבלנו מעל 111בפסיכומטרי611 .
סטודנטים אקראיים נרשמו למוסד .מה ההסתברות שלפחות 51יתקבלו?
.3מטילים מטבע 21פעמים.
א .מה ההסתברות לקבל לכל היותר 41עצים?
ב .מה ההסתברות לקבל 58עצים לפי התפלגות הבינומית ולפי הקירוב הנורמאלי?
.2במטוס מקום ל 311-נוסעים .נרשמו לטיסה 341אנשים ( .)overbookingמנתונים סטטיסטיים
ידוע שהסיכוי שאדם שנרשם לטיסה אכן יגיע הוא .1.9
א .מה ההסתברות שלא יהיו מקומות ישיבה לכל האנשים שהגיעו לטיסה?
ב .מה צריך להיות גודל המטוס כדי שבסיכוי שלפחות 92%המטוס יספיק לכמות הנרשמים?
.1מפעל לייצור ארטיקים טוען ש הסיכוי שארטיק שהוא מייצר יהיה פגום הוא . 1.16מוכר
הזמין 6111ארטיקים מהמפעל .מה ההסתברות שהמוכר יקבל לפחות 981ארטיקים תקינים
אם טענת המפעל מוצדקת ?
.7מהמר מטיל קובייה הוגנת 611פעמים .בכל הטלה ,אם מתקבל תוצאה זוגית בקובייה המהמר
זוכה בשקל .אחרת ,המהמר משלם שקל .המהמר הטיל את הקובייה 611פעמים מה הסיכוי
שהרווח של המהמר יהיה לכל היותר ? 61
פתרונות:
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
112
שאלה 1
א1.516 .
ב1.4728 .
ג .התוחלת ,5 :סטיית התקן 6.5139 :
שאלה 2
א1.9445 .
ב1.1962 .
שאלה 3
1.6166
שאלה 4
א1.9311 .
שאלה 5
א1.162 .
שאלה 6
0.9996
שאלה 7
1.8134
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
115
חוק המספרים הגדולים
רקע:
חוק המספרים הגדולים מתייחס להשפעת הגדלת גודל המדגם על הסיכוי של פרופורציית המדגם
( או ממוצע המדגם ) להיות קרובה מהפרופורציה האמתית ( או מהממוצע האמתי) .
החוק לגבי פרופורציה:
נניח שמבצעים מדגם מקרי מתוך אוכלוסייה אינסופית בה פרופורציית ההצלחות היא , pככל
שהמדגם גדול יותר:
כך הסיכוי שפרופורציית המדגם ( ˆ ) pתהיה בקרבת הפרופורציה באוכלוסייה ( )Pגבוה יותר.
ולכן הסיכוי לקבל ערך חריג הרחוק מהפרופורציה של האוכלוסייה קטן יותר .
בכתיבה מתמטית רושמים את חוק המספרים הגדולים לגבי הפרופורציה באופן הבא :
lim Pn P
n
בספרות המקצועית קוראים לחוק הזה החוק החזק של המספרים הגדולים.
את החוק החלש של המספרים הגדולים רושמים באופן הבא:
P(| Pˆ P | ) 1
n
הערה:
ככל שהמדגם גדל הסיכוי שפרופורציית המדגם תהיה בדיוק הפרופורצייה האמתית הולך וקטן.
החוק לגבי ממוצע:
נניח שמבצעים מדגם מקרי מתוך התפלגות שבה התוחלת והשונות סופית ,
ככל שהמדגם גדול יותר:
כך הסיכוי שממוצע המדגם ( ) Xיהיה בקרבת הממוצע באוכלוסייה ( ) גבוה יותר.
ולכן הסיכוי לקבל ערך חריג הרחוק מהממוצע של האוכלוסייה קטן יותר .
בכתיבה מתמטית רושמים את חוק המספרים הגדולים לגבי הממוצע באופן הבא :
lim X n
n
בספרות המקצועית קוראים לחוק הזה החוק החזק של המספרים הגדולים.
את החוק החלש של המספרים הגדולים רושמים באופן הבא:
P(| X | ) 1
n
דוגמה( :פתרון בהקלטה)
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
111
באוכלוסייה מסוימת 51%מהאוכלוסייה מובטלת.
איזה סיכוי יותר גבוה?
.6במדגם בגודל 611פרופורציית המובטלים תסטה מהפרופורצייה האמתית בלא יותר מ3% -
.5במדגם בגודל 511פרופורציית המובטלים תסטה מהפרופורצייה האמתית בלא יותר מ3% -
הסבר .
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
111
תרגילים:
.6באוכלוסייה מסוימת 51%מהאוכלוסייה מובטלת.
איזה סיכויי יותר גבוה ?
א .אחד מתוך מדגם של חמישה יהיה מובטל.
ב .שניים מתוך עשרה יהיו מובטלים.
הסבר וחשב.
.5באוכלוסייה מסוימת 51%מהאוכלוסייה מובטלת .איזה סיכויי יותר גבוה ?
א .לפחות 4מתוך 61יהיו מובטלים
ב .לפחות 41מתוך 611יהיו מובטלים
הסבר
.4גובה של אוכלוסייה מסוימת מתפלג נורמלית עם ממוצע 671ס"מ וסטיית תקן של 61
ס"מ .דוגמים 3אנשים באקראי.
א .מה ההסתברות שהגובה הממוצע שלהם יהיה מעל 671ס"מ.
ב .כיצד התשובה לסעיף הקודם הייתה משתנה אם הינו מגדילים את גודל המדגם? נמק.
.3ידוע שבהצעת חוק מסוימת תומכים 11%מהציבור .נדגמו באקראי 61אנשים.
א .מה ההסתברות שבדיוק 11%מהמדגם תומכים בהצעת החוק?
ב .כיצד התשובה הייתה משתנה אם היו דוגמים 51אנשים?
.2שני חוקרים ביצעו מדגם מאותה אוכלוסייה .חוקר א דגם 51תצפיות והשני דגם 31
תצפיות וכל אחד מהם חישב את ממוצע המדגם X 20 :ו . X 40 -ידוע שהתפלגות היא
נורמלית ושהתוחלת באוכלוסייה הינה .211בסעיפים הבאים נמקו אילו הסתברויות
מהזוגות המוצגים גדולה יותר או שהן שוות ונמקו.
א.
) P( X 20 500או )P( X 40 500
ב.
) P(480 X 20 520או )P(480 X 40 520
ג.
) P( X 20 490או )P( X 40 490
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
112
.1נתון שG( P 0.1) :
Xמבצעים מדגם אקראי בגודל nמההתפלגות הזו ומחשבים את
ממוצע המדגם . X n :
הוכח lim X n 10 :
n
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
119
פתרונות:
שאלה : 3
א1.6626 .
ב .קטנה
שאלה :4
א1.5218 .
ב .קטן
שאלה :5
א.
)P( X 40 500) P( X 500
20
ב.
)P(480 X 40 520) P(480 X 520
20
ג.
)P( X 40 490) P( X 490
20
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
121
פרק - 35אי שוויונים הסתברותיים
א .אי שוויון צ'ביצ'ב
.6
מצא חסמים להסתברויות הבאות עבור משתנה מקרי רציף בעל תוחלת 8וסטית תקן . 4
א.
)p(2 x 14
ב.
)p( x 8 9
.5
מתוך קו יצור של רכיבים שאורכם הממוצע הנו 61ס"מ ושונותם 4סמ"ר .יש לקחת מדגם .מהו גודל
המדגם שיבטיח שבהסתברות של 1.9לפחות ימצא ממוצע המדגם בין 9ל -66ס"מ?
.4
אחוז התומכים במפלגה מסוימת הנו . 31%נלקח מדגם מקרי בגודל . 511
תן חסם תחתון לכך שאחוז התומכים במדגם יהיה בין 42%ל – . 32%
.3
מספר המטוסים המגיעים לנמל תעופה ב 51דקות מתפלג התפלגות פואסונית עם תוחלת
של . 611העזר באי שוויון צ'ביצ'ב כדי למצוא גבול תחתון להסתברות שמספר המטוסים
המגיעים בתקופה בת 51דקות נתונה תהיה בין 81ל.651
.2
בוחרים מספר nספרתי באופן מקרי( .הספרה ראשונה יכולה להיות )1
א .עבור : n 10הערך את ההסתברות שממוצע הספרות במספר יסטה מתוחלתו
בלפחות .6
ב .מה אורך המספר המינימלי ( )nשיבטיח שבהסתברות של ,92%ממוצע הספרות
.יסטה מתוחלתו בפחות מ?1.72-לפי אי-שוויון צ'בישב.
.1
בעיר מסוימת ל 2%מהמשפחות אין מכונית ,ל 51%-יש מכונית אחת ,ל 42% -יש שתי
מכוניות,ל 41% -שלוש מכוניות וליתר ארבע מכוניות .נניח שמספר המשפחות ביישוב
הוא גדול מאד .הערך את ההסתברות שמספר המכוניות הכולל בעשר משפחות יהיה
לפחות 67ולכל היותר ל. 57-
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
121
ב .אי שוויון מרקוב
.6אורך חיים של מכשיר מתפלג עם תוחלת של 211שעות .חשב לפי אי שוויון מרקוב את
ההסתברות שאורך חיים של מכשיר יהיה לפחות 6211שעות .
.5
התפלגות מספר הילדים למשפחה במדינה מסוימת היא עם תוחלת של 5ילדים .נלקחו 2
משפחות אקראיות .הערך את הסיכוי שבסה"כ בחמשת השפחות יש יותר מ62 -
משפחות.
ידוע מניסיון העבר כי ציון במבחן הגמר של סטודנט הוא משתנה מקרי שתוחלתו .72
.4
א .מצא חסם עליון להסתברות שציון מבחן הגמר של סטודנט יהיה לפחות .82
ב .נניח שהמרצה יודע בנוסף ששונות ציון מבחן הגמר של הסטודנט היא ,52מה אפשר
לומר על ההסתברות שציון מבחן הגמר של סטודנט יהיה גבוה מ 12-ונמוך מ?82-
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
122
תשובות סופיות -אי שוויונים הסתברותיים
פרק א' -אי שוויון צ'ביצ'ב
שאלה 1
שאלה 2
א .בין 433ל6 -
לפחות 41
ב .בין 1ל639 -
שאלה 3
שאלה 4
1.25
1.72
שאלה 5
שאלה 6
א.
1.852
ב.
593
1.711
פרק ב' -אי שוויון מרקוב
שאלה 1
שאלה 2
בין 1ל634 -
לכל היותר 1.152
שאלה 3
א1.8854 .
ב .לפחות 1.72
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
123
פרק - 36מושגים בסיסיים באמידה
רקע:
כזכור מהמפגש הקודם פרמטר הוא גודל המתאר את האוכלוסייה או התפלגות מסוימת.
כמו ממוצע הגבהים בקרב מתגייסים לצה"ל. -
כמו פרופורציית התומכים בממשלה בקרב אזרחי המדינה . p -
בדרך כלל הפרמטרים הם גדלים שאינם ידועים באמת ,ולכן מבצעים מדגמים במטרה לאמוד
אותם .אין אפשרות לחשב אותם הניסיון הוא בלהעריך כמה הם שווים ככל שניתן.
נסמן באופן כללי פרמטר באות θואומד ב ˆ . ˆ -הוא סטטיסטי המחושב על המדגם
ובאמצעותו נאמוד את .θ
שגיאת אמידה - ˆ :ההפרש בין האומד לאמת(הפרמטר).
דוגמה( :פתרון בהקלטה)
בכנסת ה 69 -קיבלה מפלגת העבודה 62מנדטים .בערוץ 61ברגע סגירת הקלפיות העריכו את
מספר המנדטים של המפלגה להיות 67מנדטים וזאת על סמך תוצאות מדגם של הערוץ.
מה הפרמטר בדוגמה זו?
מהי טעות האמידה של ערוץ ?61
ˆ יהיה אומד חסר הטיה ל θאם התוחלת של ˆ תהיה שווה ל E (ˆ) : θ
טעות התקן של אומד היא סטיית התקן שלו ,כלומר (ˆ) S.E :
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
122
להלן פרמטרים מרכזיים והאומדים שלהם:
ממוצע האוכלוסייה :
האומד הנקודתי שלו יהיה :ממוצע המדגם
x
n
x
E (x ) לכן xהינו אומר חסר הטיה ל .
כמו כן טעות תקן SE :
n
(x )
פרופורציה באוכלוסייהp :
y
האומד הנקודתי שלו יהיה :פרופורציה במדגם:
n
pˆ
E ( pˆ ) pלכן ˆ pהינו אומר חסר הטיה ל . p
)p (1 p
כמו כן טעות התקן:
n
( Pˆ )
שונות האוכלוסייה 2 :
2
האומד הנקודתי שלו יהיה :
) (x x
i
n 1
2
S
2
2
E ( S ) ולכן S 2הינו אומד חסר הטיה ל . 2
nx 2
2
x
i
n 1
2
) (x x
i
n 1
2
S
הערה :אומד הוא הנוסחה הכללית לאמידת הפרמטר ואומדן הוא הערך הספציפי שהתקבל
במדגם מסוים.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
125
דוגמה ( :פתרון בהקלטה)
נדגמו 61משפחות בתל אביב ונבדק עבור כל משפחה מספר הילדים שלה .להלן התוצאות
שהתקבלו:
5,6,4,5,6,3,2,5,6,4
אמדו באמצעות אומדים חסרי הטיה את הפרמטרים הבאים:
.6ממוצע מספר הילדים למשפחה בתל אביב.
.5שונות מספר הילדים למשפחה בתל אביב.
.4פרופורציית המשפחות בנות שני ילדים.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
121
תרגילים:
.6מתוך 211טירונים נמצאו 651בעלי שברי הליכה .נתון שהסיכוי שטירון יהיה עם שבר הליכה
הוא .1.52
א .מהי האוכלוסייה המוצגת בשאלה ? מהם הפרמטרים שלה?
ב .מהי טעות התקן של האומד כשהמדגם בגודל ?211
ג .מהו האומדן לפרמטר?
ד .מהי טעות האמידה?
.5לפי נתוני היצרן מקרר צורך בממוצע 5311וואט לשעה עם סטיית תקן של 211וואט לשעה .
במדגם של 52מקררים של היצרן התקבל ממוצע של 5435וואט לשעה.
א.מהי האוכלוסייה המוצגת בשאלה ? מהם הפרמטרים שלה?
ב.מהי טעות התקן של האומד?
ג .מהו האומדן לפרמטר?
ד .מהי טעות האמידה?
.4נדגמו עשרה מתגייסים לצה"ל .גובהם נמדד בס"מ .להלן התוצאות שהתקבלו:
677 ,618 ,687 ,677 ,681 ,676 ,695 ,683 ,618ו.672-
א .מצא אומדן חסר הטיה לגובה הממוצע של מתגייסי צה"ל.
ב .מצא אומדן חסר הטיה לשונות הגבהים של מתגייסי צה"ל.
ג .מצא אומדן חסר הטיה לפרופורציות המתגייסים בגובה של לפחות 681ס"מ.
.3נדגמו 51שכירים באקראי .עבור כל שכיר נמדד השכר באלפי שקלים .להלן התוצאות שהתקבלו:
162
X
20
i
i 1
. X 1502.2
20
2
i
i 1
א .אמדו את השכר הממוצע של השכירים במשק.
ב .אמדו את סטיית התקן של שכר השכירים במשק.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
121
.2במטרה לאמוד את ממוצע האוכלוסייה .דגמו תצפיות בלתי תלויות מהאוכלוסייה וחישבו את
הממוצע שלהם .מהי טעות התקן?
א .סטיית התקן של האוכלוסייה.
ב .סטיית התקן של ממוצע האוכלוסייה.
ג .סטיית התקן של המדגם.
ד .סטיית התקן של ממוצע המדגם.
.1משקל הממוצע של אוכלוסייה מסוימת הוא 72ק"ג עם שונות של . 52אם יבחרו כל המדגמים
האפשריים בגודל 61מאוכלוסייה זו סטיית התקן של ממוצעי המדגמים תהייה:
א4.
ב5.2.
ג6.286 .
ד.אין מספיק נתונים לדעת.
.7במדגם מקרי ,מתי סכום ריבועי הסטיות מהממוצע x) 2 ,
n
i
(x
,מחולק ב? n 1 -
i 1
א .כאשר nקטן.
ב .כאשר תצפיות המדגם אינן בלתי תלויות .
ג .כאשר האוכלוסייה אינה מתפלגת נורמאלית.
ד .כאשר מעוניינים באומד חסר הטיה לשונות האוכלוסייה ממנה הוצא המדגם.
ה .כאשר מעוניינים לחשב את שונות התפלגות הדגימה של ממוצע המדגם.
X1, X2 , . . . . . . , X16 .8מדגם מקרי מתוך אוכלוסייה בעלת ממוצע לא ידוע ושונות
. 2 64טעות התקן של האומד ל -היא:
א.
ב.
ג.
ד.
61
8
3
5
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
122
.9מהו אומד חסר הטיה?
א .אומד שערכו שווה לממוצע התפלגות הדגימה שלו.
ב .אומד שערכו שווה לערך הפרמטר באוכלוסייה.
ג .אומד שממוצע התפלגות הדגימה שלו שווה לערך הפרמטר באוכלוסייה.
ד .אומד שהסיכוי שערכו יהיה גבוה מערך הפרמטר באוכלוסייה שווה לסיכוי שיהיה
נמוך ממנו.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
129
פתרונות:
שאלה 3
א677.9 .
ב13.6 .
ג1.3 .
שאלה 4
א8.6 .
ב4.61 .
שאלה 5
התשובה היא ד.
שאלה 6
התשובה היא ג.
שאלה 7
התשובה היא ד.
שאלה 8
התשובה היא ד.
שאלה 9
התשובה היא ג.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
191
פרק - 37רווח סמך לתוחלת (ממוצע האוכלוסייה)
רווח סמך כששונות האוכלוסייה ידועה
רקע:
ממוצע המדגם הוא אומד לממוצע האוכלוסייה ,אך לא באמת ניתן להבין ממנו על גודלו של
ממוצע האוכלוסייה .ההסתברות שממוצע המדגם יהיה בדיוק כמו הממוצע האמתי הוא אפסי.
מה שנהוג לעשות כדי לאמוד את ממוצע האוכלוסייה זה לבנות רווח סמך .
נבנה מרווח בטחון שהסיכוי שהפרמטר ייכלל בתוכו הוא .1-α
: 1-αנקרא רמת בטחון או רמת סמך.
כך שP( A B) 1 :
-Aגבול התחתון של רווח הסמך
-Bהגבול העליון של רווח הסמך
- L B Aאורך רווח הסמך
דוגמה ( :פתרון בהקלטה)
חוקר דגם 52חיילים שנבחנו במבחן הפסיכומטרי .הוא בנה רווח סמך לממוצע הציונים במבחן
הפסיכומטרי בקרב אוכלוסיית החיילים וקיבל בין 261ל .291 -רווח הסמך נבנה ברמת סמך של
.92%
מהי אוכלוסיית המחקר?
מה המשתנה באוכלוסייה?
מה הפרמטר שהחוקר רצה לאמוד?
מהו רווח הסמך?
מה אורך רווח הסמך?
מהי רמת הביטחון של רווח הסמך?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
191
בפרק זה נרצה לבנות רווח סמך לתוחלת ( ) במקרה ש ( 2שונות האוכלוסייה) ידועה
הפרמטר שנרצה לאמוד :
האומד נקודתיx :
התנאים לבניית רווח הסמך:
X ~ N 6או n 30
( 2 5שונות האוכלוסייה) ידועה
הנוסחה לרווח הסמך:
n
2
x Z
1
דוגמה ( :פתרון בהקלטה )
על פי נתוני היצרן אורך חיי סוללה מתפלג נורמאלית עם סטיית תקן של 6שעה.
מעוניינים לאמוד את תוחלת חיי סוללה.
נדגמו באקראי 3סוללות ,אורך החיים הממוצע שהתקבל הוא 64.2שעות.
בנו רווח סמך ברמת סמך של 92%לתוחלת אורך חיי סוללה.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
192
שגיאת האמידה המקסימלית:
n
2
Z
1
- נותן את שגיאת האמידה המקסימלית ,דבר שנקרא גם טעות סטטיסטית ,טעות דגימה.
דוגמה ( :פתרון בהקלטה )
בהמשך לשאלה עם הסוללות .מה ניתן להגיד בביטחון של 92%על שגיאת האמידה?
קשרים מתמטיים ברווח הסמך:
אורך רווח הסמך הוא פעמיים שגיאת האמידה המקסימלית . L 2 :
A B
ממוצע המדגם נופל תמיד באמצע רווח הסמך:
2
X
ככל שמספר התצפיות ) (nגבוה יותר ,כך יש יותר אינפורמציה ולכן האומד יותר מדויק ,ולכן
נקבל רווח סמך יותר קצר.
ככל שרמת הביטחון ) (1 גבוהה יותר כך z1יותר גבוה ,ורווח הסמך יותר ארוך.
2
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
193
תרגילים :
.6חוקר התעניין לאמוד את השכר הממוצע במשק .על סמך מדגם הוא קבע שבביטחון של 92%-כי
השכר הממוצע במשק נע בין 9511ל. 9811-
א .מי האוכלוסייה במחקר?
ב .מה המשתנה הנחקר?
ג .מה הפרמטר שאותו רוצים לאמוד?
ד .מה רווח הסמך לפרמטר?
ה .מהי רמת הסמך לפרמטר?
ו .מה אורך רווח הסמך?
ז .מה הסיכוי שטעות הדגימה תעלה על ?₪ 411
.5מעוניינים לאמוד את התפוקה היומית הממוצעת של מפעל מסוים ברמת סמך של .92%במדגם
אקראי של 611ימים התקבלה תפוקה ממוצעת 3921מוצרים ביום .לצורך פתרון הנח שסטיית
התקן האמתית ידועה ושווה 621מוצרים ביום .בנה את רווח הסמך.
.4מעוניינים לאמוד את ממוצע אורך החיים של מכשיר .מנתוני היצרן ידוע שאורך החיים מתפלג
נורמאלית עם סטיית תקן של 51שעות .נדגמו 52מכשירים ונמצא כי ממוצע אורך החיים שלהם
היה 541שעות.
א .בנו רווח סמך ברמת סמך של 91%לאורך החיים הממוצע של מכשיר.
ב .בנו רווח סמך ברמת סמך של 92%לאורך החיים הממוצע של מכשיר.
ג .הסבר כיצד ומדוע השתנה רווח הסמך.
.3דגמו 511עובדים מהמשק הישראלי .השכר הממוצע שלהם היה .₪ 9711נניח שסטיית התקן של
השכר במשק היא .₪ 4111
א .בנו רווח סמך ברמת סמך של 92 %לתוחלת השכר במשק.
ב .מה ניתן לומר בביטחון של 92%על הסטייה המרבית בין ממוצע המדגם לתוחלת
השכר?
ג .מה היה צריך להיות גודל המדגם אם הינו רוצים להקטין את רווח הסמך ב?21%
ד .אם היינו מגדילים את גודל המדגם ובונים רווח סמך באותה רמת סמך האם היה ניתן
לטעון בביטחון רב יותר שרווח הסמך מכיל את הפרמטר?
.2בנו רווח סמך לממוצע הציונים של מבחן אינטליגנציה .ידוע שסטיית התקן היא 62והמדגם
מתבסס על 611תצפיות .רווח הסמך שהתקבל הוא ( .)99,612שחזרו את :
א .ממוצע המדגם.
ב .שגיאת האמידה המקסימאלית.
ג .רמת הסמך.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
192
.1זמן החלמה מאנגינה מתפלג עם סטיית תקן של יומיים .חברת תרופות מעוניינת לחקור
אנטיביוטיקה חדשה שהיא פיתחה .במחקר השתתפו 11אנשים שחלו באנגינה וקיבלו את
האנטיביוטיקה החדשה .בממוצע הם החלימו לאחר 3ימים.
א .בנו רווח סמך לתוחלת זמן ההחלמה תחת האנטיביוטיקה החדשה ברמת סמך של
.91%
ב .מה היה קורה לאורך רווח הסמך אם היה תקציב להגדלת גודל המדגם פי ?3הסבירו.
ג .מה היה קורה לאורך רווח הסמך אם היינו בונים את רווח הסמך ברמת סמך גדולה
יותר? הסבירו.
.7חוקר בנה רווח סמך לממוצע וקיבל את רווח הסמך הבא. 82 92 :
נתון שסטיית התקן בהתפלגות שווה ל 61-ושהמדגם מתבסס על 61תצפיות .התפלגות
המשתנה היא נורמאלית.
א .מהו ממוצע המדגם?
ב .מהי רמת הסמך של רווח הסמך שנבנה?
ג .מה הסיכוי ששגיאת האמידה באמידת ממוצע האוכלוסייה תעלה על ? 2
.8חוקר בנה רווח סמך לתוחלת כאשר השונות בהתפלגות ידועה ברמת סמך של .92%אם החוקר
כעת יבנה על סמך אותם נתונים רווח סמך ברמת סמך קטנה מ ,92%-מי מהמשפטים הבאים אינו
יהיה נכו ן.
א .אורך רווח הסמך החדש יהיה קטן יותר.
ב .גודל המדגם יהיה כעת קטן יותר.
ג .המרחק בין ממוצע המדגם לקצות רווח הסמך יהיו קטנים יותר ברווח הסמך החדש.
ד .רמת הביטחון לבנות רווח הסמך החדש תהיה קטנה יותר.
.9חוקר בנה רווח סמך ל -וקיבל 48 54מה נכון בהכרח:
א 51.
בX 6 .
גX 51 .
ד .אורך רווח הסמך הינו .4
.61איזה מהגורמים הבאים אינו משפיע על גודלו של רווח בר סמך ,כאשר שונות
האוכלוסייה ידועה? (בחר בתשובה הנכונה)
א.רמת הביטחון.
ב .סטיית התקן באוכלוסייה.
ג .מספר המשתתפים.
ד .סטיית התקן במדגם.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
195
.66חוקר בנה רווח סמך לממוצע וקיבל את רווח הסמך הבא. 63 83 :
נתון שסטיית התקן בהתפלגות הייתה ידועה לו ושהמדגם התבסס על 31תצפיות.
א .אם החוקר היה רוצה לבנות רווח סמך באורך .61כמה תצפיות עליו היה לדגום?
ב .רווח הסמך שנבנה על ידי החוקר היה ברמת סמך של .92%בנה את רווח הסמך שהיה
מתקבל ברמת סמך של .98%
.65נתון משתנה מקרי רציף מתפלג אחיד U ( 0.5, 0.5) :
את . מצאו רווח סמך ל -ברמת-בטחון של 1.92אם במדגם של 32תצפיות התקבל:
. X iנרצה לאמוד
. x 74
2
(תזכורת על השונות בהתפלגות אחידה רציפה:
b a
) Var ( X )
12
i
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
191
פתרונות :
שאלה 2
3951.1> >3979.3
שאלה 3
א554.35> >541.28 .
ב555.61> >547.83 .
שאלה 5
א615 .
ב4 .
ג1.9233 .
שאלה 6
א84.2> >3.35 .
ב .יקטן פי 5
ג .גדל
שאלה 7
א87 .
ב2 .
ג1.9233 .
שאלה 8
א649 .
ב56> >52 .
שאלה 9
התשובה היא :ב
שאלה 11
התשובה היא :ג
שאלה 11
התשובה היא :ד
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
191
קביעת גודל מדגם באמידת תוחלת עם שונות אוכלוסייה ידועה
רקע:
אם מעוניינים לאמוד את ממוצע האוכלוסייה כאשר סטיית התקן של האוכלוסייה ידועה :
ברמת סמך של 1 ושגיאת אמידה שלא תעלה על מסוים ,נציב בנוסחה הבאה:
2
z
1
n 2
כדי להציב בנוסחה צריך שהמשתנה הנחקר יתפלג נורמלית או שהמדגם ייצא בגודל של לפחות
41תצפיות.
דוגמה( :פתרון בהקלטה )
חברת תעופה מעוניינת לאמוד את תוחלת משקל המטען של נוסע .נניח שמשקל מטען של נוסע
מתפלג נורמאלית עם סטיית תקן של 5ק"ג .כמה נוסעים יש לדגום אם מעוניינים שבביטחון של
98%הסטייה המרבית בין ממוצע המדגם לממוצע האמתי לא יעלה על 1.2ק"ג? ( תשובה ) 87:
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
192
תרגילים:
.6משתנה מקרי מתפלג נורמאלית עם סטיית תקן ידועה .65מה צריך
להיות גודל
המדגם כדי לבנות רווח סמך ברמת סמך של 98%שאורכו לא יעלה על ?5
.5מעוניינים לאמוד את הדופק הממוצע של מתגייסים לצבא .מעוניינים שבביטחון של 92%
שגיאת
האמידה המרבית תהיה .1.2
נניח שהדופק מתפלג נורמאלית על סטיית תקן של 4פעימות לדקה.
א .כמה מתגייסים יש לדגום?
ב .אם ניקח מדגם הגדול פי 3מהמדגם של סעיף א ונאמוד את הממוצע באותה רמת סמך
כיצד
הדבר ישפיע על שגיאת האמידה?
.4יהי Xמשתנה מקרי עם ממוצע μוסטיית תקן . σחוקר רוצה לבנות רווח בר סמך ל –μ
ברמת ביטחון של 1.92כך שהאורך של הרווח יהיה . 1.2σמהו גודל המדגם הנדרש?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
199
פתרונות :
שאלה 1
781
שאלה 2
א649 .
ב .הדבר יקטין את פי .5
שאלה 3
n 62
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
211
רווח סמך לתוחלת (ממוצע האוכלוסייה) כששונות האוכלוסייה אינה ידועה
רקע:
בבואנו לבנות רווח סמך לתוחלת אנו צריכים להתמקד בשני המצבים הבאים:
רווח סמך לתוחלת:
שונות האוכלוסייה אינה
ידועה
שונות האוכלוסייה
ידועה
בפרק זה נעסוק במקרה ששונות האוכלוסייה( ) 𝜎 2אינה ידועה לנו .מקרה יותר פרקטי .
התנאי X ~ N :או שהמדגם גדול
S
רווח סמך:
n
X t1(n1)
2
nX 2
האומד לשונות :
n
2
i
X
n 1
i 1
2
Xi X
n
i 1
n 1
S2
התפלגות :T
הינה התפלגות סימטרית פעמונית שהתוחלת שלה היא .1ההתפלגות דומה להתפלגות Zרק שהיא
יותר רחבה ולכן הערכים שלה יהיו יותר גבוהים .התפלגות Tתלויה במושג שנקרא דרגות חופש.
דרגות החופש הן .df=n-1ככל שדרגות החופש עולות ההתפלגות הופכת להיות יותר גבוהה וצרה.
כשדרגות החופש שואפות לאינסוף התפלגות Tשואפת להיות כמו התפלגות .Z
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
211
דוגמה ( :פתרון בהקלטה)
הזמן שלוקח לפתור שאלה מסוימת בחשבון מתפלג אצל תלמידי כיתות ח' נורמאלית.
במטרה לאמוד את תוחלת זמן הפתרון נדגמו 3תלמידים בכיתה ח' .להלן התוצאות שהתקבלו
בדקות.3.7,2.5,3.1,2.4 :
בנו רווח סמך ברמת סמך של 92%לממוצע זמן הפתרון לשאלה בקרב תלמידי כיתה ח'.
פתרון :
3.49> >2.26
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
212
תרגילים:
.6
מחקר מעוניין לדעת כיצד תרופה מסוימת משפיעה על קצב פעימות הלב .ל 2-אנשים שנטלו את
התרופה מדדו את הדופק והתקבל מספר פעימות לדקה.89 ,79 ,83 ,88 ,83 :
הערה :לצורך פתרון הנח שקצב פעימות הלב מתפלג נורמאלית בקירוב.
א .בנו רווח סמך ברמת סמך של 92 %לתוחלת הדופק של נוטלי התרופה הנ"ל.
ב .נתון שהדופק הממוצע ללא לקיחת התרופה הינו .71לאור זאת ,האם בביטחון
של 92%התרופה משפיעה על הדופק?
ג .בהמשך לסעיף א ,אם היינו בונים את רווח הסמך ברמת ביטחון של 99 %כיצד הדבר היה
משפיע על רווח הסמך?
.5
במדגם שנעשה על 52מתגייסים לצבא האמריקאי התקבל כי :גובה ממוצע של חייל הינו 678
ס"מ עם סטיית תקן S=13ס"מ .בנו רווח סמך ברמת סמך של 91 %לתוחלת גובה
המתגייסים לצבא האמריקאי .מה יש להניח לצורך פתרון?
.4
אדם מעוניין לאמוד את זמן הנסיעה הממוצע שלו לעבודה .לצורך כך הוא דוגם 2ימים שזמן
הנסיעה בהם בדקות הוא. 57,43,45,31,41 :
א .ברמת ביטחון של 92%אמוד את זמן הנסיעה הממוצע .מהי ההנחה הדרושה לצורך פתרון?
ב .איך גודל רווח הסמך היה משתנה אם היו דוגמים עוד ימים ?
.3
ציוני מבחן אינטליגנציה מתפלגים נורמאלית .נדגמו 52מבחנים והתקבל ממוצע ציונים 615
וסטיית תקן מדגמית .64
א .בנו רווח סמך לממוצע הציונים באוכלוסייה ברמת ביטחון של .92%
ב .חזרו על סעיף א' אם סטיית התקן הינה סטיית התקן האמתית של כלל הנבחנים.
ג .הסבירו את ההבדלים בין שני הסעיפים הנ"ל.
.2
נשקלו 11תינוקות אשר נולדו בשבוע ה 31-של ההיריון .המשקל נמדד בקילוגרמים .להלן
התוצאות שהתקבלו 195 :
X
60
i
i 1
. X 643.19בנו רווח סמך ברמת סמך של 92%
60
2
i
i 1
לתוחלת משקל תינוק ביום היוולדו.
.1
נדגמו 651אנשים אקראיים מעל גיל .21עבור כל אדם נבדק מספר שנות השכלתו.
להלן התוצאות שהתקבלו :
x 13.8
S 2
בנו רווח סמך ברמת סמך של 91%לממוצע ההשכלה של אזרחים מעל גיל .21
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
213
.7שני סטטיסטיקאים בנו רווח בר-סמך לאותו פרמטר .לכל אחד מהסטטיסטיקאים
מדגם אחר ,אך באותו גודל . 61שניהם קבעו אותה רמת סמך.
סטטיסטיקאי א :הניח = 51
סטטיסטיקאי ב :חישב לפי המדגם וקיבל S =20
למי משני הסטטיסטיקאים יהיה רווח סמך ארוך יותר? ( בחר בתשובה הנכונה )
א .סטטיסטיקאי א
ב .סטטיסטיקאי ב
ג .אותו אורך רווח סמך לשני הסטטיסטיקאים.
ד .תלוי בתוצאות המדגם של כל סטטיסטיקאי.
.8נתון ש N ( , 2 ) :
Xביצעו מדגם בגודל 61וקיבלו סטיית תקן מדגמית .61אורך רווח
הסמך שהתקבל הוא . 8.712 :מהי רמת הביטחון של רווח הסמך?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
212
נספח :טבלת התפלגות T
P
_________________________________________________________________
דרגות חופש
0.75
0.90
0.95
0.975
0.99
0.995
0.9995
___________________________________________________________________________
1
1.000
3.078
6.314
12.709
31.821
63.657 636.619
2
0.816
1.886
2.920
4.303
6.965
9.925
31.598
3
0.765
1.638
2.353
3.182
4.541
5.841
12.941
4
0.741
1.533
2.132
2.776
3.747
4.604
8.610
5
0.727
1.476
2.015
2.571
3.365
4.032
6.859
5.959
5.405
5.041
4.781
4.587
3.707
3.499
3.355
3.250
3.169
3.143
2.998
2.896
2.821
2.764
2.447
2.365
2.306
2.262
2.228
1.943
1.895
1.860
1.833
1.812
1.440
1.415
1.397
1.383
1.372
0.718
0.711
0.706
0.703
0.700
6
7
8
9
10
4.437
4.318
4.221
4.140
4.073
3.106
3.055
3.012
2.977
2.947
2.718
2.681
2.650
2.624
2.602
2.201
2.179
2.160
2.145
2.131
1.796
1.782
1.771
1.761
1.753
1.363
1.356
1.350
1.345
1.341
0.697
0.695
0.694
0.692
0.691
11
12
13
14
15
4.015
3.965
3.922
3.883
3.850
2.921
2.898
2.878
2.861
2.845
2.583
2.567
2.552
2.539
2.528
2.120
2.110
2.101
2.093
2.086
1.746
1.740
1.734
1.729
1.725
1.337
1.333
1.330
1.328
1.325
0.690
0.689
0.688
0.688
0.687
16
17
18
19
20
3.819
3.792
3.767
3.745
3.725
2.831
2.819
2.807
2.797
2.787
2.518
2.508
2.500
2.492
2.485
2.080
2.074
2.069
2.064
2.060
1.721
1.717
1.714
1.711
1.708
1.323
1.321
1.319
1.318
1.316
0.686
0.686
0.685
0.685
0.684
21
22
23
24
25
3.707
3.690
3.674
3.659
3.646
2.779
2.771
2.763
2.756
2.750
2.479
2.473
2.467
2.462
2.457
2.056
2.052
2.048
2.045
2.042
1.706
1.703
1.701
1.699
1.697
1.315
1.314
1.313
1.311
1.310
0.684
0.684
0.683
0.683
0.683
26
27
28
29
30
40
0.681
1.303
1.684
2.021
2.423
2.704
3.551
60
0.679
1.296
1.671
2.000
2.390
2.660
3.460
120
0.677
1.289
1.658
1.980
2.358
2.617
3.373
∞
0.674
1.282
1.645
1.960
2.326
2.576
3.291
___________________________________________________________________________
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
215
פתרונות:
שאלה 1
א79.88> >89.75 .
שאלה 4
א91.14> >617.47 .
ב91.91> >617.61 .
שאלה 5
4.639> >4.426
שאלה 8
91%
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
211
פרק - 38רווח סמך לשונות וסטיית תקן
רקע:
בפרק זה נדון על בניית רווח סמך לשונות האוכלוסייה.
התנאי לבניית רווח הסמך :המשתנה הנחקר מתפלג נורמלית ,למרות שנהוג לא לדרוש את התנאי
הזה אם המדגם מספיק גדול.
רווח הסמך יתבסס על התפלגות הנקראת חי בריבוע.
התפלגות זו היא התפלגות אסימטרית חיובית המתחילה מהערך אפס ותלויה בדרגות חופש.
דרגות החופש במקרה זה יהיוn-1 :
רווח הסמך לשונות:
n X 2
כאשר
(n 1) S 2
2 2, n 1
n
2
i
n 1
X
i 1
2
2
Xi X
(n 1)S 2
12 2, n 1
n
i 1
n 1
S 2 אומד לשונות הלא-ידועה.
אם נרצה לבנות רווח סמך לסטיית תקן אז נוציא שורש לרווח סמך לשונות.
דוגמה( :פתרון בהקלטה)
זמן התגובה מתפלג נורמאלית .במטרה לאמוד את שונות זמן התגובה נדגמו 3תצפיות .להלן
התוצאות בשניות .3.7,2.5,3.1,2.4 :בנו רווח סמך ,ברמת סמך של 92%לשונות זמן התגובה
באוכלוסייה.
פתרון :
1.149> >6.718
2
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
211
תרגילים :
.6חמישה מטופלים קבלו תרופה מסוימת .בדקו לכל מטופל את זמני התגובה שלו .להלן הזמנים
שהתקבלו בדקות.68,67,56,51,58 :
בהנחה וזמני התגובה מתפלגים נורמאלית ,בנו רווח סמך ברמת סמך של 92 %לשונות זמן
התגובה.
.5נדגמו 51ימים אקראיים מחודשי יולי-אוגוסט ונמדדה בהם הטמפ' במעלות צלזיוס בת"א.
במדגם התקבל טמפ' ממוצעת 41.8וסטיית תקן מדגמית .6.6בהנחה והטמפ' מתפלגת
נורמאלית:
א .בנו רווח סמך לתוחלת הטמפ' בחודשים אלה בת"א ברמת סמך של .92%
ב .בנו רווח סמך לסטיית התקן של הטמפ' בחודשים אלה בת"א ברמת סמך של .92%
.4ציוני IQבארה"ב מתפלגים נורמאלית עם ממוצע 611וסטיית תקן .2נבחנו 51נבחנים
ישראלים במבחן ה .IQ-להלן התוצאות שהתקבלו :
20
X i 2080
i 1
20
X i 2 218, 220
i 1
נניח שגם בישראל הציונים מתפלגים נורמאלית.
א .מצאו אומדנים לממוצע הציונים בישראל ולשונות הציונים בישראל באמצעות אומדנים
חסרי הטיה.
ב .אמדו ברמת ביטחון של 92%את תוחלת הציונים של נבחנים בישראל.
ג .אמדו ברמת סמך של 91%את סטיית התקן של הציונים של נבחנים ישראלים.
ד .על סמך הסעיפים הקודמים ,האם בישראל ממוצע הציונים וסטיית התקן של הציונים שונה
מבארה"ב? הסבירו.
.3באוכלוסייה מסוימת נדגמו 61תצפיות והתקבלו התוצאות הבאות:
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
212
10
X i 750
i 1
10
( X i X )2 900
i 1
נתון ש ) N ( , 2
X i
א .בנו רווח סמך ל -ברמת סמך של .92%
ב .בנו רווח סמך ל 2 -ברמת סמך של .92%
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
219
פתרונות :
שאלה 2
א41.582> >46.462.
ב1.847> >6.117 .
תשובה 3
א .לממוצע ,613לשונות .611
ב99.32 108.68 .
ג7.94 13.7 .
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
211
טבלת התפלגות חי-בריבוע – ערכי החלוקה 2p
p
______________________________________________________________________________
__
df
.005
.01
.025
.05
.10
.25
.50
.75
.90
.95
.975 .99
.995
__________________________________________________________________________________________________________
1.32
2.77
4.11
5.39
6.63
0.455
1.39
2.37
3.36
4.35
0.102
0.575
1.21
1.92
2.67
0.0158
0.211
0.584
1.06
1.61
0.02393
0.103
0.352
0.711
1.15
0.03982
0.0506
0.216
0.484
0.831
0.03157
0.0201
0.115
0.297
0.554
0.04393
0.0100
0.0717
0.207
0.412
10.6
12.0
13.4
14.7
16.0
7.84
9.04
10.2
11.4
12.5
5.35
6.35
7.34
8.34
9.34
3.45
4.25
5.07
5.90
6.74
2.20
2.83
3.49
4.17
4.87
1.64
2.17
2.73
3.33
3.94
1.24
1.69
2.18
2.70
3.25
0.872
1.24
1.65
2.09
2.56
0.676
0.989
1.34
1.73
2.16
6
7
8
9
10
13.7
14.8
16.0
17.1
18.2
10.3
11.3
12.3
13.3
14.3
7.58
8.44
9.30
10.2
11.0
5.58
6.30
7.04
7.79
8.55
4.57
5.23
5.89
6.57
7.26
3.82
4.40
5.01
5.63
6.26
3.05
3.57
4.11
4.66
5.23
2.60
3.07
3.57
4.07
4.60
11
12
13
14
15
15.3
16.3
17.3
18.3
19.3
11.9
12.8
13.7
14.6
15.5
9.31
10.1
10.9
11.7
12.4
7.96
8.67
9.39
10.1
10.9
6.91
7.56
8.23
8.91
9.59
5.81
6.41
7.01
7.63
8.26
5.14
5.70
6.26
6.84
7.43
16
17
18
19
20
16.3
17.2
18.1
19.0
19.9
13.2
14.0
14.8
15.7
16.5
11.6
12.3
13.1
13.8
14.6
10.3
11.0
11.7
12.4
13.1
8.90
9.54
10.2
10.9
11.5
8.03
8.64
9.26
9.89
10.5
21
22
23
24
25
20.8
21.7
22.7
23.6
24.5
17.3
18.1
18.9
19.8
20.6
15.4
16.2
16.9
17.7
18.5
13.8
14.6
15.3
16.0
16.8
12.2
12.9
13.6
14.3
15.0
11.2
11.8
12.5
13.1
13.8
26
27
28
29
30
2.71 3.84
4.61 5.99
6.25 7.81
7.78 9.49
9.24 11.1
7.88
10.6
12.8
14.9
16.7
5.02 6.63
7.38 9.21
9.35 11.3
11.1 13.3
12.8 15.1
18.5
20.3
22.0
23.6
25.2
16.8
18.5
20.1
21.7
23.2
14.4
16.0
17.5
19.0
20.5
12.6
14.1
15.5
16.9
18.3
26.8
28.3
29.8
31.3
32.8
24.7
26.2
27.7
29.1
30.6
21.9
23.3
24.7
26.1
27.5
19.7
21.0
22.4
23.7
25.0
17.3
18.5
19.8
21.1
22.3
34.3
35.7
37.2
38.6
40.0
32.0
33.4
34.8
36.2
37.6
28.8
30.2
31.5
32.9
34.2
26.3
27.6
28.9
30.1
31.4
23.5
24.8
26.0
27.2
28.4
19.4
20.5
21.6
22.7
23.8
41.4
42.8
44.2
45.6
46.9
38.9
40.3
41.6
43.0
44.3
35.5
36.8
38.1
39.4
40.6
32.7
33.9
35.2
36.4
37.7
29.6
30.8
32.0
33.2
34.4
24.9
26.0
27.1
28.2
29.3
20.3
21.3
22.3
23.3
24.3
48.3
49.6
51.0
52.3
53.7
45.6
47.0
48.3
49.6
50.9
41.9
43.2
44.5
45.7
47.0
38.9
40.1
41.3
42.6
43.8
35.6
36.7
37.9
39.1
40.3
30.4
31.5
32.6
33.7
34.8
25.3
26.3
27.3
28.3
29.3
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
1
2
3
4
5
211
פרק - 39בדיקת השערות כללית
רקע:
תהליך של בדיקת השערות הוא תהליך מאד נפוץ בעולם הסטטיסטיקה.
בתהליך זה ישנן שתי השערות שנבדקות :
השערת האפס המסומנות בH 0 -
והשערה אלטרנטיבית ( השערת המחקר ) המסומנת ב. H1 -
בדרך כלל השערת האפס מסמנת את אש ר היה מקובל עד עכשיו ,את השגרה הנורמה ואילו
ההשערה האלטרנטיבית את החדשנות בעצם ההשערה האלטרנטיבית מדברת על הסיבה
שהמחקר נעשה .
למשל ,
ישנה תרופה קיימת למחלה Aאשר גורמת ל – 61 %מהמשתמשים בה לתופעות לוואי .חברת
תרופות טוענת שפיתחה תרופה שיעילה באותה מיד ה ,אך מקטינה את הסיכוי לתופעות הלוואי.
לכן יש לבצע מחקר שעל סמך תוצאותיו ננסה להכריע איזה השערה נקבל:
: H 0התרופה החדשה הנה קונבנציונאלית וגורמת ל 61%-תופעות לוואי.
: H1התרופה החדשה מקטינה את אחוז הסובלים מתופעות לוואי מתחת ל .61%-
בתהליך של בדיקת השערות יוצרים כלל שניקרא כלל הכרעה :
הכלל יוצר אזור שניקרא אזור דחייה ( דחייה של השערת האפס כלומר קבלה של האלטרנטיבה)
ו אזור קבלה ( קבלה של השערת האפס ודחייה של האלטרנטיבה) .כלל ההכרעה מתבסס על
איזשהו סטטיסטי .
בת הליך יש ללכת לתוצאות המדגם ולבדוק האם התוצאות נופלות באזור הדחייה או הקבלה וכך
להגיע למסקנה – המסקנה היא בעירבון מוגבל כיוון שהיא תלויה בכלל ההכרעה ובתוצאות
המדגם .נשנה את כלל ההכרעה אנחנו יכולים לקבל מסקנה אחרת .נבצע מדגם חדש אנחנו
עלולים לקבל תוצאה אחרת.
לכן יתכנו טעויות במסקנות שלנו:
הכרעה
H1
H0
טעות מסוג
6
אין טעות
H0
אין טעות
טעות מסוג
H1
מציאות
5
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
212
הגדרת הטעויות:
טעות מסוג ראשון -להכריע לדחות את H 0למרות שבמציאות H 0נכונה.
טעות מסוג שני -להכריע לקבל את H 0למרות שבמציאות H1נכונה.
מה הן הטעויות האפשריות במחקר של התרופות? ( בהקלטה )
נגדיר את ההסתברויות הבאות:
הסיכוי לבצע טעות מסוג ( 6רמת מובהקות )
) לדחות H0(= 𝑃𝐻0 (H0נכונה | לדחות את α=P)H0
הסיכוי לבצע טעות מסוג :5
) לקבל H1(=𝑃𝐻1 (H0נכונה | לקבל את β =P)H0
רמת בטחון:
) לקבל H0(= 𝑃𝐻0 (H0נכונה | לקבל את )1-α( =P)H0
עוצמה :
) לדחות H1( =𝑃𝐻1 (H0נכונה | לדחות את π=)1-β ( =P)H0
דוגמה ( :פתרון בהקלטה )
בכד יש 61כדורים .יתכן ש 2 -מהם לבנים והיתר שחורים (כד א -השערת האפס) או ש 7 -מהם
לבנים והיתר שחורים (כד ב -השערה אלטרנטיבית).
כדי להחליט איזה מהכדים ברשותנו ,הוחלט להוציא כדור ולהשתמש בכלל ההחלטה הבא :אם
הכדור שהוצא הוא לבן שזהו כד ב' (.)H1
א .חשבו את רמת המובהקות ואת רמת הביטחון של המבחן המוצע.
ב .חשבו את הסיכוי לטעות מסוג שני והעוצמה של המבחן המוצע.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
213
תרגילים:
.6אדם חשוד בביצוע פשע .מהן הטעויות האפשריות בהכרעת הדין?
.5ילד קנה שקית סוכריות אטומה שבה ציפה ל 61-סוכריות תות ו 2-לימון .ישנה שקית
אחרת אותה הוא לא רצה בה 1סוכריות תות ו 9 -לימון.הוא החליט להוציא באקראי
סוכרייה אם היא תהיה לימון הוא יחזיר את השקית לחנות .מה הסיכויים לכל סוג של
טעות בהכרעתו?
.4יהי Xמספר שלם הנבחר באקראי מבין המספרים השלמים .הסיכוי ש X -יקבל ערך
1
כלשהו נתון על ידי הנוסחה:
n
p( X k ) עבור k 1, 2,......, n
נתונות ההשערות הבאות לגבי התפלגות של :X
H0 : n 4
H1 : n 6
כמו כן נתון כלל ההכרעה הבא :נדחה את השערת האפס אם .X>3
חשבו את הסיכוי לטעות מסוג ראשון וטעות מסוג שני ואת העוצמה?
.3איכות של מוצר מסווגת ל 3-רמות איכות :מצוין ,טוב ,בינוני וירוד .להלן התפלגות טיב
המוצר בשני מפעלים:
מפעל
מצוין
טוב
ירוד
בינוני
"היוצר"
1.1
1.5
1.5
1
"שמשון"
1.6
1.5
1.4
1.3
בוחרים ממשלוח מוצר באקראי ,אך לא יודעים מאיזה מפעל המשלוח הגיע .על סמך
בדיקת האיכות מנסים להכריע האם מדובר במפעל "היוצר" (השערת האפס) או במפעל
"שמשון" (השערה אלטרנטיבית).
א .להלן כלל החלטה :אם מדובר במוצר שטיבו "טוב" נכריע שהמוצר בא ממפעל
"שמשון" ,מהן ההסתברויות לסוגי הטעויות השונים?
ב .להלן כלל החלטה :אם מדובר במוצר שטיבו "בנוני" או גרוע מכך נכריע שהמוצר בא
ממפעל "שמשון" ,מה מהן ההסתברויות לסוגי הטעויות השונים?
ג .איזה כלל החלטה עדיף? נמק!
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
212
.2במטרה לבדוק האם מטבע תקין הטילו אותו 8פעמים .הוחלט שאם מספר העצים יהיה
בין 6ל 7כולל יוחלט שהמטבע תקין ,אחרת נחליט שהמטבע מזויף.
א .רשמו את השערות המחקר.
ב .מה ההסתברות לטעות מסוג ראשון?
ג .מהי עצמת המבחן אם במציאות אכן המטבע אינו תקין כי הסיכוי לעץ בו הוא .51%
.1להלן השערות:
)( H 0 : X ~ t (5התפלגות tעם 2דרגות חופש)
( H : X ~ Zהתפלגות נורמאלית סטנדרטית)
1
))סטנדארטית)
כלל החלטה :נדחה את השערת האפס אם Xגדול מ.5.162-
א .מהי רמת המובהקות של כלל ההחלטה?
ב .מהי העוצמה של כלל ההחלטה?
.7במפעל מסוים נפלטים לאוויר חומרים רעילים .במצב שיגרה העוצמה הממוצעת של
החומר הרעיל אמורה להיות 1,111יחידות עם סטיית תקן .911במצב חירום העוצמה
הממוצעת היא 7,111עם סטיית תקן .911במפעל מערכת התראה נתמכת על ידי 9
חיישנים .אם ממוצע העוצמה של החומר הרעיל לפי תשעת החיישנים עולה על 1111
יחידות מופעלת מערכת ההתראה .נתון שעוצמת הזיהום מתפלגת נורמאלית.
א .מה הסיכוי להתראת שווא? (באיזה סוג טעות מדובר)?
ב .מה הסיכוי שבמצב חירום מערכת ההתראה לא תפעל? (באיזה סוג טעות מדובר)?
ג .מה ההסתברות שאם המצב הוא מצב חירום מערכת ההתראה תפעל? (איך קוראים
להסתברות זו)?
ד .בסעיפים הבאים נשנה בכל סעיף נתון מסוים .כל סעיף עומד בפני עצמו ,כיצד השינוי
ישנה את הסיכוי לטעות מסוג ראשון ושני?
.6המפעל יקנה עוד 3חיישנים.
.5מצב חרום מוגדר כעת בתוחלת של 7211יחידות.
.4מערכת ההתראה תופעל אם ממוצע של תשעת החיישנים יהיה מעל .1711
.8במטרה לבדוק האם במקום עבודה מסוים פרופורציית הבנים נמוכה מפרופורציית הבנות
נדגמו באקראי 61עובדים .הוחלט שאם מספר הבנים במדגם יהיה לכל היותר 5תתקבל
הטענה שפרופורציית הבנים נמוכה מפרופורציית הבנות.
א .מה רמת המובהקות של כלל ההכרעה הנ"ל ?
ב .מהי העצמה בהנחה ובחברה 41%בנים?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
215
.9זמן ההשפעה של משכך הכאבים "אופטלנוס" מתפלג נורמאלית עם תוחלת של 31דקות
וסטיית תקן של 65דקות.
חברת התרופות המייצרת את התרופה מנסה לשפר את התרופה כך שתוחלת הזמן עד
להשפעה תתקצר .לצורך כך ,דגמו 52מטופלים שיקבלו את התרופה "אופטלנוס פורטה",
ממוצע זמן התגובה של המטופלים היה 43.2דקות .חברת התרופות החליטה מראש שאם
ממוצע הזמן עד להשפעה יהיה נמוך מ 42דקות ,היא תמשיך בתהליך שיווק "אופטלנוס
פורטה".
א .מהי רמת המובהקות של המבחן המוצע?
ב .על סמך תוצאות המדגם .מהי המסקנה ומהי הטעות האפשרית במסקנה?
ג .מהי עצמת המבחן המוצע אם במציאות התרופה "אופטלנוס פורטה" מפחיתה את
התוחלת לכדי 45דקות?
ד .כיצד תשתנה התשובה לסעיף ג' אם החברה הייתה מחליטה שהיא תמשיך בתהליך
שיווק התרופה החדשה כאשר ממוצע המדגם יהיה נמוך מ 41-דקות?
.61ציוני פסיכומטרי מתפלגים נורמלית עם סטיית תקן .651
מכון טוען שלימודים אצלו מעלים את ממוצע הציונים ביותר מ 41-נקודות .נלקחו 51שלמדו
במכון ו 51-שניגשו לבחינה בלמידה עצמית .הוחלט במשרד פרסום לקבל את טענת המכון רק
אם במדגם ממוצע הציונים של אלה שלמדו במכון יהיה גבוהה בלפחות 21נקודות מאלה
שלא היו.
א .מהי רמת המובהקות של המחקר?
ב .מה הסיכוי לעשות טעות מסוג שני IIבהנחה שהמכון מעלה את ממוצע הציונים ב11-
נקודות ?
ג .כיצד התשובות לסעיף א ו ב' היו משתנות אם מסתבר שסטיית התקן בציוני
הפסיכומטרי הינה .611הסבירו ללא חישוב.
.66קו ייצור נחשב תקין אם יש בו לכל היותר 3%פגומים ,ונחשב שאינו תקין אחרת .מנהל
האיכות דוגם בכל יום מקו הייצור 211מוצרים .אם במדגם יהיה לפחות 41מוצרים
פגומים יפסיקו באותו היום את קו הייצור.
א .מה ההסתברות להפסיק את קו הייצור כשהוא תקין .איך קוראים להסתברות זאת?
ב .מה ההסתברות להמשיך ביום מסוים את קו הייצור למרות שאינו תקין כי היו 8%
פגומים בקו הייצור .איך קוראים להסתברות זאת?
.65מעוניינים לבדוק האם בפקולטה מסוימת ישנה העדפה לגברים .הוחלט לדגום 511מתקבלים
ועל סמך מספר הבנים לקבוע אם טענת המחקר מתקבלת.
חוקר א' קבע רמת מובהקות של 2%וחוקר ב' החליט לקבל את טענת המחקר אם במדגם יהיו
לפחות 651בנים .למי מבין החוקרים רמת מובהקות גדולה יותר?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
211
.64מספר המכוניות הנכנסות לחניון "עזרים" מתפלג פואסונית .בשנה שעברה המכוניות
נכנסו לחניון בקצב של 5מכוניות לדקה .בעקבות תלונות על עומס יתר בכניסה לחניון
מעוניין מנהל החניון לבדוק האם קצב כניסת המכוניות לחניון גדל השנה .מנהל החניון
החליט לספור את מספר המכוניות שיכנסו לחניון בדקה אקראית .אם מספר המכוניות
שיספרו יהיה לפחות 3יפתח מנהל החניון שער נוסף לחניון.
א .רשום את השערות מנהל החניון ואת כלל ההחלטה שלו .האם כלל ההכרעה הגיוני?
ב .מהי רמת המובהקות של כלל ההכרעה ?
ג .מהי העוצמה של כלל ההחלטה ,אם כיום קצב כניסת המכוניות לחניון גדל ל3 -
מכוניות בדקה?
.63עודד עובד במפעל שבו מתחילים לעבוד בשעה .8:11עודד בדרך כלל מאחר לעבודה
והמנהל החליט לרשום את שעת בואו לעבודה .המנהל טוען שמשך האיחור של עודד
(דקות) ,X ,היא משתנה אחיד ) .U(0, 60עודד טוען שהוא לא מגיע באיחור כה גדול,
אלא שהתפלגות Xהיא בעלת התפלגות מעריכית עם תוחלת איחור של 51דקות.
לבדיקת טענת המנהל ( )H0כנגד טענת עודד( ,)H1המבוסס על משך האיחור של חגי ביום
אחד.
מוצאים שני ככלי הכרעה:
כלל :6דחה את השערת האפס אם משך האיחור יהיה לפחות 31דקות.
כלל :5דחה את השערת האפס אם משך האיחור יהיה לכל היותר 51דקות.
חשב את הסיכוי לטעות מסוג ראשון ושני לכל אחת מכללי ההכרעה .מי עדיף?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
211
פתרונות:
שאלה 2
1
3
2
5
שאלה 3
0.5 0.25
שאלה 4
א 0.8 0.2 .
ב 0.3 0.2 .
ג .כלל ב'
שאלה 5
ב1.11786 .
ג1.6178 .
שאלה 6
א1.12 .
ב1.155 .
שאלה 7
א1.1558 .
ב1.1968 .
ג1.9185 .
שאלה 8
א1.122 .
ב1.484 .
שאלה 11
א1.5986 .
ב1.4973 .
ג .קטן
שאלה 11
א1.1664 .
ב1.1392 .
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
212
שאלה 12
חוקר א
שאלה 13
ב1.6358 .
ג1.211 .
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
219
פרק - 41בדיקת השערות על תוחלת (ממוצע)
כאשר שונות האוכלוסיה ידועה
רקע:
השערת האפס :
השערה אלטרנטיבה:
תנאים:
.6
.5
H1 : 0
H1 : 0
H1 : 0
ידועה
N
Xאו מדגם מספיק גדול
Z x Z1 או
כלל ההכרעה:
H 0 : 0
H 0 : 0
H 0 : 0
2
2
1
Z x Z
Z x Z1
Z x Z1
אזור הדחייה של : H 0
2
Z
1
2
Z
1
Z1
█ -דוחים את H 0
Z1
█ -דוחים את H 0
█ -דוחים את H 0
סטטיסטי המבחן :
X 0
ZX
n
חלופה אחרת לכלל הכרעה:
n
נדחה H0אם מתקיים:
X 0 Z 1 / 2
או
n
n
X 0 Z1
n
X 0 Z 1 / 2
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
X 0 Z1
221
דוגמה ( :פתרון בהקלטה)
יבול העגבניות מתפלג נורמלית עם תוחלת של 61טון לדונם וסטיית תקן של 5.2טון לדונם
בעונה .משערים ששיטת זיבול חדשה תעלה את תוחלת היבול לעונה מבלי לשנות את סטיית
התקן .נדגמו 3חלקות שזובלו בשיטה החדשה .היבול הממוצע שהתקבל היה 65.2טון לדונם.
בדוק את ההשערה ברמת מובהקות של .6%
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
221
תרגילים:
.6
ממוצע הציונים בבחינת הבגרות באנגלית הנו 75עם סטיית תקן 62נקודות .מורה טוען שפיתח
שיטת לימוד חדשה שתעלה את ממוצע הציונים .משרד החינוך החליט לתת למורה 41תלמידים
אקראיים .ממוצע הציונים של אותם תלמידים לאחר שלמדו בשיטתו היה .72.2בהנחה שגם
בשיטתו סטיית התקן תהייה 62מה מסקנתכם ברמת מובהקות של ?2%
.5
לפי הצהרת היצרן של חברת משקאות מסוימת נפח הנוזל בבקבוק מתפלג נורמלית עם
תוחלת 211סמ"ק וסטיית תקן 51סמ"ק .אגודת הצרכנים מתלוננת על הפחתת נפח המשקה
בבקבוק מהכמות המוצהרת .במדגם שעשתה אגודת הצרכנים התקבל נפח ממוצע של 395
סמ"ק במדגם בגודל .52
א .מה מסקנתכם ברמת מובהקות של ?5.2%
ב .האם ניתן לדעת מה תהיה המסקנה עבור רמת מובהקות הגבוהה מ?2%-
.4
מהנדס האיכות מעוניין לבדוק אם מכונה מכוילת (מאופסת) .המכונה כוונה לחתוך מוטות באורך
21ס"מ .לפי נתוני היצרן סטיית התקן בחיתוך המוטות היא 1.2ס"מ .במדגם של 21מוטות
התקבל ממוצע אורך המוט 21.94ס"מ.מה מסקנתכם ברמת מובהקות של ?2%
.3
.2
המשקל הממוצע של הספורטאים בתחום ספורט מסוים הוא 91ק"ג ,עם סטיית תקן
8ק"ג .לפי דעת מומחים בתחום יש צורך בהורדת המשקל ובשימוש בדיאטה מסוימת שצריכה
להביא להורדת המשקל .לשם בדיקת יעילות הדיאטה נלקח מדגם מקרי של 21ספורטאים
ובתום שנה של שימוש בדיאטה התברר שהמשקל הממוצע במדגם זה היה 83ק"ג .יש לבדוק
בר"מ של ,61%האם הדיאטה גורמת להורדת המשקל.
לפי מפרט נתון ,על עובי בורג להיות 3מ"מ עם סטיית תקן של 1.5מ"מ .במדגם של 52ברגים
העובי הממוצע היה 3.17מ"מ.
קבעו ברמת מובהקות ,1.12האם עובי הברגים מתאים למפרט .הניחו כי עובי של בורג מתפלג
נורמלית וסטיית התקן של עובי בורג היא אכן 1.5מ"מ.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
222
.1במחקר נמצא שתוצאה היא מובהקת ברמת מובהקות של 2%מה תמיד נכון? בחר בתשובה
הנכונה.
א .הגדלת רמת המובהקות לא תשתנה את מסקנת המחקר.
ב .הגדלת רמת המובהקות תשנה את מסקנת המחקר.
ג .הקטנת רמת המובהקות לא תשנה את מסקנת המחקר.
ד .הקטנת רמת המובהקות תשנה את מסקנת המחקר.
.7חוקר ערך מבחן דו צדדי ברמת מובהקות של והחליט לדחות את השערת האפס.
אם החוקר היה עורך מבחן צדדי ברמת מובהקות של
2
אזי בהכרח( :בחר בתשובה הנכונה )
א .השערת האפס הייתה נדחית.
ב .השערת האפס הייתה לא נדחית.
ג .לא ניתן לדעת מה תהיה מסקנתו במקרה זה.
.8שני סטטיסטיקאים בדקו השערות H0 : 0כנגד H1 : 0עבור שונות ידועה ובאותה רמת
מובהקות .שני החוקרים קבלו אותו ממוצע במדגם אך לחוקר א' היה מדגם בגודל 611ולחוקר ב'
מדגם בגודל .511
א .אם חוקר א' החליט לדחות את , H 0מה יחליט חוקר ב'? נמקו.
ב .אם חוקר א' יחליט לא לדחות את , H 0מה יחליט חוקר ב'? נמקו.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
223
פתרונות :
שאלה :1
נקבל H 0
שאלה :2
נדחה H 0
שאלה :3
נדחה H 0
שאלה :4
נדחה H 0
שאלה :5
נקבל H 0
שאלה :6
א
שאלה :7
ג
שאלה :8
א .אותה מסקנה
ב .לא ניתן לדעת.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
222
סיכוי לטעויות ועוצמה כאשר שונות האוכלוסייה ידועה
רקע:
הכרעה
H1
H0
טעות מסוג 6
אין טעות
H0
אין טעות
טעות מסוג 5
H1
מציאות
נגדיר את ההסתברויות הבאות:
הסיכוי לבצע טעות מסוג ( 1רמת מובהקות )
) לדחות H0(= 𝑃𝐻0 (H0נכונה | לדחות את α=P)H0
הסיכוי לבצע טעות מסוג :2
) לקבל H1(=𝑃𝐻1 (H0נכונה | לקבל את β =P)H0
רמת בטחון:
) לקבל H0(= 𝑃𝐻0 (H0נכונה | לקבל את )1-α( =P)H0
עוצמה :
) לדחות H1( =𝑃𝐻1 (H0נכונה | לדחות את π=)1-β ( =P)H0
התהליך לחישוב סיכוי לטעות מסוג שני:
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
225
השערת האפס :
השערה אלטרנטיבה:
תנאים:
H1 : 0
H1 : 0
H1 : 0
ידועה
.4
.3
Xאו מדגם מספיק גדול
N
כלל ההכרעה:
n
X 0 Z 1 / 2
או
אזור הדחייה של : H 0
n
חישוב : β
)
n
2
1
x
2
n
n
X 0 Z1
n
X 0 Z1
X 0 Z 1 / 2
X 0 Z
התפלגות ממוצע המדגם ) :
התקנון :
H 0 : 0
H 0 : 0
H 0 : 0
n
2
PH ( 0 Z
1
1
)
n
) PH1 ( X 0 Z1
X ~ N ( ,
Z
n
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
n
PH ( X 0 Z1
1
221
דוגמה ( :פתרון בהקלטה)
בתחילת השנה חשבון הטלפון הסלולארי הממוצע לאדם היה ₪ 511עם סטיית תקן של ₪ 81
לחודש .בעקבות כניסתן של חברות טלפון סלולארית חדשות מעוניינים לבדוק האם כיום ממוצע
חשבון הטלפון הסלולארי פחת .לצורך בדיקה דגמו באקראי 41אנשים וחשבון הטלפון הסלולארי
שלהם היה ₪ 621בממוצע לחודש.
א .רשמו את השערות המחקר ובנו כלל הכרעה במונחי חשבון ממוצע מדגמי ברמת מובהקות
של .2%
ב .מה מסקנתכם? איזה סוג טעות אפשרית במסקנה?
ג .נניח שבמציאות כיום החשבון הממוצע הוא .₪ 611מה הסיכוי לבצע טעות מסוג שני?
ד .אם נקטין את רמת המובהקות מסעיף א' ,כיצד הדבר ישפיע על התשובה מסעיף ג'?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
221
תרגילים:
.6
נתון ש )X N( , 2 1
להלן השערות של חוקר לגבי הפרמטר :
H0 : 5
H1 : 7
מעוניינים ליצור כלל הכרעה המתבסס על הסמך תצפית בודדת כך שרמת המובהקות תהיה
.2%
א .עבור אילו ערכים של Xשידגם נדחית השערת ? H 0
ב .מה הסיכוי לבצע טעות מסוג שני?
ג .אם במדגם התקבל ש X 6.9מה תהיה המסקנה ומה הטעות האפשרית?
.5
לפי נתוני משרד הפנים בשנת 6981למשפחה ממוצעת היה 5.4ילדים למשפחה עם סטיית תקן
.1.3מעוניינים לבדוק אם כיום ממוצע מספר הילדים למשפחה קטן יותר .לצורך כך הוחלט
לדגום 656משפחות .במדגם התקבל ממוצע 5.67ילדים למשפחה.
א .רשמו כלל הכרעה במונחי ממוצע מדגם קריטי ברמת מובהקות של .2%
ב .בהמשך לסעיף א מה תהיה המסקנה ומהי הטעות האפשרית במסקנה?
ג .אם באמת ממוצע מספר הילדים במשפחה פחת לכדי 5.6מהי העצמה של הכלל
מסעיף א?
.4
להלן נתונים על תהליך של בדיקת השערות על תוחלת:
H 0 : 200
H1 : 200
30
n 225
א .רשום כלל הכרעה במונחי ממוצע מדגם קריטי וברמת מובהקות של .61%
ב .בהמשך לסעיף א מהי העצמה אם התוחלת שווה ל?692 -
ג .הסבר ללא חישוב איך העצמה תשתנה אם רמת המובהקות תהייה ?2%
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
222
.3
מפעל לייצור צינורות מייצר צינור שקוטרו מתפלג נורמלית עם תוחלת של 21מ"מ וסטית
תקן של 1מ"מ .במחלקת ביקורת האיכות דוגמים בכל יום 86צינורות ומודדים את קוטרם,
בכדי לבדוק ,בעזרת מבחן סטטיסטי ,האם מכונת הייצור מכוילת כנדרש או שקוטר הצינורות
קטן מהדרוש.
א .רשום את ההשערות ואת כלל ההכרעה ברמת מובהקות של .2%
ב .אם ביום כלשהו מכונת הייצור התקלקלה והיא מייצרת את הצינורות בקוטר שתוחלתו 38
מ"מ בלבד (סטית התקן לא השתנתה) ,מה ההסתברות שהתקלה לא תתגלה בביקורת
האיכות? כיצד נקראת הסתברות זו?
ג .הסבר ללא חישוב כיצד התשובה לסעיף ב תשתנה אם רמת המובהקות תגדל.
ד .הסבר ללא חישוב כיצד התשובה לסעיף ב תשתנה אם התוחלת האמיתית היא 37ולא 38
מ"מ.
.2
להלן השערות של מחקר
H 0 : 50
H1 : 58
מעוניינים לדגום 611תצפיות .ידוע שסטיית התקן של ההתפלגות הינה .51
א .בנו כלל הכרעה שהסיכוי לטעות מסוג שני בו הוא . 61%מהי רמת המובהקות?
ב .כיצד הייתה משתנה רמת המובהקות אם (כל סעיף בפני עצמו) ?
.6סטיית התקן הייתה יותר גדולה .
.5הסיכוי לטעות מסוג שני גדול יותר.
השאלות שלהלן הן שאלות רב בררתיות .בחר בכל שאלה את התשובה הנכונה ביותר:
.1אם חוקר החליט להגדיל את רמת המובהקות במחקר שלו אזי:
א .הסיכוי לטעות מסוג ראשון גדל.
ב .העוצמה של המבחן גדלה.
ג .הסיכוי לטעות מסוג שני גדל.
ד .תשובות א ו-ב נכונות.
.7
חוקר ביצע מחקר ובו עשה טעות מסוג שני לכן:
א .השערת האפס נכונה.
ב .השערת האפס נדחתה.
ג .השערת האפס לא נדחתה.
ד .אף אחת מהתושבות לא נכונה בהכרח.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
229
.8מה המצב הרצוי לחוקר המבצע בדיקת השערה:
1
.9
א .גדולה
גדולה
ב .גדולה
קטנה
ג .קטנה
גדולה
ד .קטנה
קטנה
נערך שינוי בכלל ההחלטה של בדיקת השערה מסוימת ובעקבותיו אזור דחיית
H 0קטן .כל שאר הגורמים נשארו ללא שינוי .כתוצאה מכך:
א .הן ,והן ( ,)6 - יקטנו.
ב .יישאר ללא שינוי ואילו ( )6 - יגדל.
ג .יגדל ואילו ( )6 - יקטן.
ד .הן והן ( )6 - יגדלו.
.61ידוע כי לחץ דם תקין באוכלוסייה הוא . 651רופא מניח שלחץ הדם בקרב
עיתונאים גבוה יותר מהממוצע באוכלוסייה .הוא לקח מדגם של 11עיתונאים
וקיבל ממוצע .647
על סמך המדגם ,הוא בודק טענתו ברמת מובהקות 1.15ומסיק שלחץ הדם בקרב
העיתונאים אינו גבוה יותר .מה הטעות האפשרית שהרופא עושה ?
א .טעות מסוג ראשון.
ב .טעות מסוג שני.
ג .טעות מסוג שלישי.
ד .אין טעות במסקנתו.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
231
פתרונות :
שאלה :1
א .מעל 1.132
ב1.4145 .
שאלה :2
א .נדחה H 0אם X 2.24
ב .נדחה H 0
ג6 .
שאלה :3
א .נדחה H 0אם X 203.29או X 196.71
ב1.8126 .
ג .תקטן.
שאלה :4
א .נדחה H 0אם X 48.9
ב1.1882 .
ג .תקטן.
ד .תקטן.
שאלה :6
ד
שאלה :7
ג
שאלה :8
ג
שאלה :9
א
שאלה :11
ב
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
231
קביעת גודל מדגם כששונות האוכלוסיה ידועה
רקע:
השערות המחקר הן :
H 0 : 0
H1 : 1
סטיית התקן של האוכלוסייה ידועה ומעוניינים לבצע מחקר שרמת המובהקות לא תעלה על α
והסיכוי לטעות מסוג שני לא יעלה על .β
הנוסחה הבאה נותנת את גודל המדגם הרצוי :
2
( Z Z1 )
n 1
0 1
דוגמה( :פתרון בהקלטה)
משרד החינוך מפעיל בגן חובה שיטת חינוך שפותחה בשנת .6992לפי שיטת חינוך זו תוחלת הציון
במבחן אוצר מילים לגיל הרך הוא .71אנשי חינוך החליטו לבדוק שיטת חינוך שפותחה בהולנד
הנותנת שם תוחלת ציון אוצר מילים של .81
נניח שציוני מבחן זה מתפלגים נורמאלית עם . 17
כדי לבדוק האם גם בישראל הפעלת שיטת החינוך ההולנדית תעבוד בגנים ,רוצים לבנות מחקר
ברמת מובהקות של .2%כמו כן ,מעוניינים שאם בהפעלת השיטה ההולנדית תוחלת הציונים
תעלה לכדי ,81המחקר יגלה זאת בסיכוי של .91%כמה ילדי גן חובה דרושים למחקר?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
232
תרגילים:
.6
במבחן אינטליגנציה הציונים מתפלגים נורמאלית עם סטיית תקן 8וממוצע .611פסיכולוג
מעוניין לבדוק את הטענה שבאוכלוסיות במצב סוציו אקונומי נמוך תוחלת הציונים היא .92
אם מעוניינים לגלות את הטענה בהסתברות של לפחות 99%כשרמת המובהקות היא 2%מהו
גודל המדגם הדרוש?
.5
משרד התקשורת טוענים שאדם מדבר בממוצע 681דקות בחודש בטלפון הסלולרי .חברות
הטלפון הסלולרי טוענות שאינפורמציה זו אינה נכונה ואדם מדבר בממוצע פחות :כ611-
דקות .לצורך פתרון נניח שסטיית התקן של זמן השיחה החודשי ידוע ושווה ל 11-דקות .כמה
אנשים יש לדגום כך שאם טענת משרד התקשורת נכונה נדחה אותה בסיכוי של ( 2%איך
קוראים להסתברות זאת?) כמו כן אם טענת חברות הטלפון הסלולרית נכונה המחקר יגלה
זאת בסיכוי של ( 91%איך קוראים להסתברות זאת?(
.4השערות המחקר הן :
H 0 : 0
H1 : 1
כמו כן נתון שהמשתנה מתפלג נורמלית עם סטיית התקן ידועה מעוניינים לבצע מחקר
שרמת המובהקות לא תעלה על αוהסיכוי לטעות מסוג שני לא יעלה על .β
הוכח שגוגל המדגם הרצוי לכך יהיה :
2
( Z Z1 )
n 1
0 1
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
233
פתרונות :
שאלה :1
36
שאלה : 2
78
שאלה :3
הוכחה
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
232
מובהקות התוצאה ( ) p-valueבבדיקת השערות על תוחלת עם שונות ידועה
רקע:
דרך נוספת להגיע להכרעות שלא דרך כלל הכרעה ,היא דרך חישוב מובהקות התוצאה:
באמצעות תוצאות המדגם מחשבים את מובהקות התוצאה שמסומן ב. pv -
את רמת המובהקות החוקר קובע מראש לעומת זאת ,את מובהקות התוצאה החוקר יוכל לחשב
רק אחרי שיהיו לו את התוצאות.
המסקנה של המחקר תקבע לפי העיקרון הבא:
אם pv דוחים את H 0
מובהקות התוצאה זה הסיכוי לקבלת תוצאות המדגם וקיצוני מתוצאות אלה בהנחת השערת
האפס.
)לקבל את תוצאות המדגם וקיצוני( pv = PH
0
אם ההשערה היא דו צדדית :
)לקבל את תוצאות המדגם וקיצוני( pv =2 PH
0
מובהקות התוצאה היא גם האלפא המינימלית לדחיית השערת האפס.
השערת האפס :
השערה אלטרנטיבה:
תנאים:
.2
.1
H 0 : 0
H 0 : 0
H 0 : 0
H1 : 0
H1 : 0
H1 : 0
ידועה
N
Xאו מדגם מספיק גדול
אם 2 PH0 ( X x ) x 0
p-value
) PH0 ( X x
) PH0 ( X x
אם 2 PH0 ( X x ) x 0
כאשר בהנחת השערת האפס ) :
x 0
2
n
X ~ N ( 0 ,
Zx
n
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
235
דוגמה( :פתרון בהקלטה)
המשקל הממוצע של מתגייסים לצבא לפני 51שנה היה 12ק"ג .מחקר מעוניין לבדוק האם כיום
המשקל הממוצע של מתגייסים גבוה יותר .נניח שמשקל המתגייסים מתפלג נורמאלית עם סטיית
תקן של 65ק"ג .במדגם של 61מתגייסים התקבל משקל ממוצע של 76ק"ג.
א .מהי מובהקות התוצאה?
ב .מה המסקנה אם רמת המובהקות היא 2%ואם רמת המובהקות היא ?6%
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
231
תרגילים:
.6
לפניך השערות של מחקר :
H 0 : 70
H1 : 70
.
המשתנה הנחקר מתפלג נורמלית עם סטיית תקן .51במדגם מאותה אוכלוסייה התקבלו
התוצאות הבאות:
n 100
x 74
מהי מובהקות התוצאה?
.5
השכר הממוצע במשק בשנת 5165היה ₪ 8811עם סטיית תקן .5111במדגם שנעשה אתמול
על 611עובדים התקבל שכר ממוצע . ₪ 9211מטרת המחקר היא לבדוק האם כיום חלה עליה
בשכר .עבור אילו רמות מובהקות שיבחר החוקר יוחלט שחלה עליה בשכר הממוצע במשק?
.4
אדם חושד שחברת ממתקים לא עומדת בהתחייבויותיה ,ומשקלו של חטיף מסוים אותו הוא
קונה מדי בוקר נמוך מ – 611גרם .חברת הממתקים טוענת מצידה שהיא אכן עומדת
בהתחייבויותיה .ידוע כי סטית התקן של משקל החטיף היא 65גרם .האדם מתכוון לשקול
611חפיסות חטיפים ולאחר מכן להגיע להחלטה .לאחר הבדיקה הוא קיבל משקל הממוצע
של 98.2גרם.
א .רשמו את השערות המחקר.
ב .מהי רמת המובהקות המינימלית עבורה דוחים את השערת האפס?
ג .מהי רמת המובהקות המקסימלית עבורה נקבל את השערת האפס?
ד .מה המסקנה ברמת מובהקות של ?2
.3
מכונה לחיתוך מוטות במפעל חותכת מוטות באורך שמתפלג נורמאלית עם תוחלת אליה
כוונה המכונה וסטיית תקן 5ס"מ .ביום מסוים כוונה המכונה לחתוך מוטות באורך 81ס"מ.
אחראי האיכות מעוניין לבדוק האם המכונה מכוילת .לצורך כך נדגמו מקו הייצור 61מוטות
שנחתכו אורכן הממוצע היה 86.7ס"מ.
א .מהי רמת המובהקות המינימלית עבורה נכריע שהמכונה לא מכוילת?
ב .אם נוסיף עוד תצפית שערכה יהיה 85ס"מ ,כיצד הדבר ישפיע על התשובה של הסעיף
הקודם?
ג .הכרע ברמת מובהקות של 2%האם המכונה מכוילת.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
231
.2
אם מקבלים בחישובים אלפא מינימלית ( )P valueקטנה מאוד ,סביר להניח כי החוקר
ידחה את השערת האפס בקלות .נכון ? לא נכון? נמק.
.1בבדיקת השערות התקבל שה. p-value=0.02 -
מה תהיה מסקנת חוקר המשתמש ברמת מובהקות ?6%בחר בתשובה הנכונה.
א .יקבל את השערת האפס בכל מקרה.
ב .ידחה את השערת האפס מקרה.
ג .ידחה את השערת האפס רק אם המבחן הנו דו צדדי.
ד .לא ניתן לדעת כי אין מספיק נתונים.
.7
מובהקות התוצאה ( )PVהיא גם ( :בחר בתשובה הנכונה )
א .רמת המובהקות המינימאלית לדחות השערת האפס.
ב .רמת המובהקות המקסימאלית לדחיית השערת האפס.
ג .רמת המובהקות שנקבעת מראש על ידי החוקר טרם קיבל את תוצאות המחקר.
ד .רמת המובהקות המינימאלית לאי דחיית השערת האפס.
.8
בבדיקת השערות מסוימת התקבל p value=0.0254לכן (בחר בתשובה
הנכונה):
א .ברמת מובהקות של 1.16אך לא של 1.12נדחה את .H0
ב .ברמת מובהקות של 1.16ושל 1.12לא נדחה את .H0
ג .ברמת מובהקות של 1.12אך לא של 1.16נדחה את .H0
ד .ברמת מובהקות של 1.16ושל 1.12נדחה את .H0
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
232
פתרונות :
שאלה :1
1.1558
שאלה :2
עבור כל רמת מובהקות סבירה.
שאלה :3
ב1.6121 .
ג1.6121 .
ד .נכריע שיש עמידה בהתחייבות של החברה.
שאלה :4
א1.1111 .
ב .יקטן.
ג .נכריע שאין כיול.
שאלה :5
נכון
שאלה :6
תשובה :א
שאלה :7
תשובה :א
שאלה :8
תשובה :ג
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
239
בדיקת השערות על תוחלת (ממוצע) כאשר שונות האוכלוסייה אינה ידועה
רקע:
השערת האפס :
השערה אלטרנטיבה:
תנאים:
.8
N
Xאו מדגם מספיק גדול
או )t x t ( n1
1
)t x t ( n1
כלל ההכרעה:
H1 : 0
H1 : 0
H1 : 0
אינה ידועה
.7
2
H 0 : 0
H 0 : 0
H 0 : 0
1
)t x t1(n1
)t x t 1(n1
2
אזור הדחייה של : H 0
t
1 , n 1
2
█ -דוחים את H 0
S
n
S
1
n
2
ו
א
S
X 0 t n 1
1
n
2
X 0 t n 1
נדחה H0אם מתקיים:
t
1 , n 1
2
█ -דוחים את H 0
חלופה לכלל הכרעה :
t1 ,n1
t1 ,n 1
█ -דוחים את H 0
X 0 t1n1
סטטיסטי המבחן :
x 0
S
n
nX 2
tx
n
2
i
X
n 1
i 1
2
Xi X
n
i 1
n 1
S2
התפלגות :T
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
S
n
X 0 t1n1
221
הינה התפלגות סימטרית פעמונית שהתוחלת שלה היא .1ההתפלגות דומה להתפלגות Zרק שהיא
יותר רחבה ולכן הערכים שלה יהיו יותר גבוהים .התפלגות Tתלויה במושג שנקרא דרגות חופש.
דרגות החופש הן .df=n-1ככל שדרגות החופש עולות ההתפלגות הופכת להיות יותר גבוהה וצרה.
כשדרגות החופש שואפות לאינסוף התפלגות Tשואפת להיות כמו התפלגות .Z
דוגמה( :פתרון בהקלטה)
מפעל קיבל הזמנה לייצור משטחים בעובי של 1.6ס"מ.
כדי לבדוק האם המפעל עומד בדרישה נדגמו 61משטחים ונמצא שהעובי הממוצע הוא 1.613עם
אומדן לסטיית תקן 1.115ס"מ.
א .מהן השערות המחקר?
ב .מה ההנחה הדרושה לצורך פתרון?
ג .בדוק ברמת מובהקות של .2%
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
221
תרגילים:
.6משך זמן ההחלמה בלקיחת אנטיביוטיקה מסוימת הוא 651שעות בממוצע עם סטיית תקן לא
ידועה .מעוניינים לבדוק האם אנטיביוטיקה אחרת מקטינה את משך זמן ההחלמה .במדגם של
2חולים שלקחו את האנטיביוטיקה האחרת התקבלו זמני ההחלמה הבאים91,92,611,81,652 :
שעות .מה מסקנתכם ברמת מובהקות של .2%מהי ההנחה הדרושה לצורך הפתרון?
.5משרד הבריאות פרסם שמשקל ממוצע של תינוקות ביום היוולדם בישראל 4411גר' .משרד
הבריאות רוצה לחקור את הטענה שנשים מעשנות בזמן ההיריון יולדות תינוקות במשקל נמוך
מהממוצע .במחקר השתתפו 51נשים מעשנות בהריון .להלן תוצאות המדגם שבדק את המשקל
של התינוקות בעת הלידה:
n 20
x 3120
S 280
מה מסקנתכם ברמת מובהקות של 2%מה יש להניח לצורך פתרון?
.4ציוני מבחן אינטליגנציה מתפלגים נורמלית .בארה"ב ממוצע הציונים הוא .611במדגם שנעשה
על 54נבחנים ישראלים ,התקבל ממוצע ציונים 613.2וסטיית התקן המדגמית . 61האם
בישראל ממוצע הציונים שונה מבארה"ב? הסיקו ברמת מובהקות של .2%
.3באוכלוסייה מסוימת נדגמו 61תצפיות והתקבלו התוצאות הבאות:
10
X i 750
i 1
10
( X i X )2 900
i 1
נתון שההתפלגות היא נורמלית.
בדוק ברמת מובהקות של 2%האם התוחלת של ההתפלגות שונה מ. 81-
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
222
.2ליאור ורוני העלו את אותן השערות על ממוצע האוכלוסייה .כמו כן הם התבססו על אותן
תוצאות של מדגם.
ליאור השתמש בטבלה של התפלגות . Z
רוני השתמשה בטבלה של התפלגות . t
מה נוכל לומר בנוגע להחלטת המחקר שלהם? בחר בתשובה הנכונה.
א .אם ליאור ידחה את השערת האפס אז גם בהכרח רוני.
ב .אם רוני תדחה את השערת האפס אז גם בהכרח ליאור.
ג .שני החוקרים בהכרח יגיעו לאותה מסקנה.
ד .לא ניתן לדעת על היחס בין דחיית השערת האפס של שני החוקרים.
.1נתון ש ) X N( , 2כמו כן נתונות ההשערות הבאות :
H 0 : 0
H 0 : 0
חוקר בדק את ההשערות הללו על סמך מדגם שכלל 61תצפיות 2 .לא הייתה ידועה לחוקר.
החוקר החליט לדחות את השערת האפס ברמת מובהקות של 2%לאחר מכן כדי לחזק את
קביעתו הוא דגם עוד 2תצפיות ושקלל את תוצאות אלה גם למדגם כך שכלל עכשיו 62
תצפיות.
בחר בתשובה הנכונה:
א .כעת בברור הוא ידחה את השערת האפס.
ב .כעת הוא דווקא יקבל את השערת האפס.
ג .כעת לא ניתן לדעת מה תהיה מסקנתו.
פתרונות:
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
223
שאלה :1
נדחה H 0
שאלה :2
נדחה H 0
שאלה :3
נקבל H 0
שאלה :4
נקבל H 0
שאלה :5
התשובה היא :ב
שאלה :6
התשובה היא :ג
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
222
מובהקות התוצאה ( ) p-valueכאשר שונות האוכלוסייה לא ידועה
רקע:
נזכיר שהמסקנה של המחקר תקבע לפי העיקרון הבא:
אם pv דוחים את H 0
מובהקות התוצאה זה הסיכוי לקבלת תוצאות המדגם וקיצוני מתוצאות אלה בהנחת השערת
האפס.
)לקבל את תוצאות המדגם וקיצוני( pv = PH
0
אם ההשערה היא דו צדדית :
)לקבל את תוצאות המדגם וקיצוני( pv =2 PH
0
מובהקות התוצאה היא גם האלפא המינימלית לדחיית השערת האפס.
השערת האפס :
השערה אלטרנטיבה:
תנאים:
H 0 : 0
H 0 : 0
H 0 : 0
H1 : 0
H1 : 0
H1 : 0
אינה ידועה
.9
Xאו מדגם מספיק גדול
N .61
אם 2 PH0 ( X x ) x 0
p-value
) PH0 ( X x
) PH0 ( X x
אם 2 PH0 ( X x ) x 0
x 0
S
n
nX 2
tx
n
2
i
X
n 1
i 1
2
X
i
X
n 1
n
i 1
S2
d. f n 1
דוגמה ( :פתרון בהקלטה)
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
225
ממוצע זמן הנסיעה של אדם לעבודה הינו 31דקות .הוא מעוניין לבדוק דרך חלופית שאמורה
להיות יותר מהירה .לצורך כך הוא דוגם 2ימים שבהם הוא נוסע בדרך החלופית .זמני הנסיעה
שקיבל בדקות הם . 57,43,45,31,41 :הנח שזמן הנסיעה מתפלג נורמלית.
א .רשום את השערות המחקר.
ב .מצא חסמים למובהקות התוצאה.
ג .מה המסקנה ברמת מובהקות של ? 2%
תרגילים :
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
221
.6
קו ייצור אריזות סוכר נארזות כך שהמשקל הממוצע של אריזות הסוכר צריך להיות אחד
קילוגרם .בכל יום דוגמים מקו הייצור 2אריזות במטרה לבדוק האם קו הייצור תקין .בבדיקה
דגמו 2אריזות סוכר ולהלן משקלן בגרמים:
6118,6153,991,6112,997
א .רשמו את השערות המחקר.
ב .מהי מובהקות התוצאה? הצג חסמים.
ג .מה המסקנה ברמת מובהקות של ?2%
.5
חוקר בדק את הטענה כי פועלים העובדים במשמרת לילה איטיים יותר מפועלים העובדים ביום.
ידוע כי משך הזמן הממוצע הדרוש לייצר מוצר מסוים ביום הוא 1שעות .במדגם מיקרי של 52
פועלים שעבדו במשמרת לילה נמצא כי הזמן הממוצע לייצר אותו מוצר הוא 7שעות עם סטית
תקן של 4שעות.
מהי ה -המינימלית שלפיה ניתן להחליט שאכן העובדים במשמרת לילה איטיים יותר ?
.4
הגובה של מתגייסים לצה"ל מתפלג נורמלית .במדגם של 52מתגייסים מדדו את הגבהים שלהם
בס"מ והתקבלו התוצאות הבאות:
x 176.2
2
( xi x ) 2832
מטרת המחקר היא לבדוק האם תוחלת הגבהים של המתגייסים גבוה מ 673-ס"מ באופן
מובהק .מהי בקרוב מובהקות התוצאה ועל פיה מה תהיה המסקנה ברמת מובהקות של ? 1%
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
221
פתרונות :
שאלה :3
נקבל H 0
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
222
הקשר בין רווח סמך לבדיקת השערות על תוחלת
רקע:
ניתן לבצע בדיקת השערות דו צדדית ברמת מובהקות על :µ
H 0 : 0
H1 : 0
על ידי בניית רווח סמך ברמת סמך של 1 ל :µ
אם 0נופל ברווח נקבל את H 0
אם 0לא נופל ברווח נדחה את H 0
דוגמה( :פתרון בהקלטה)
חוקר ביצע בדיקת השערות לתוחלת .להלן השערותיו:
H 0 : 80
H 1 : 80
5%
החוקר בנה רווח סמך ברמה של 91%וקיבל . 79 84 :
האם אפשר לדעת מה מסקנתו ,ואם כן מהי?
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
229
תרגילים :
.6
חוקר רצה לבדוק את ההשערות הבאות:
H 0 : 90
H1 : 90
החוקר בנה רווח סמך לתוחלת ברמת סמך של 92%וקיבל את רווח הסמך הבא. (87,97) :
אם החוקר מעוניין לבצע בדיקת השערות ברמת מובהקות של 6%האם ניתן להגיע
למסקנה ע"ס רווח הסמך? נמקו.
.5
חוקר מעוניין לבדוק השפעת דיאטה חדשה על רמת הסוכר בדם .ידוע כי מספר מיליגרם
הסוכר בסמ"ק דם הוא משתנה מקרי שמתפלג נורמלית עם סטיית תקן 61.3מ"ג .נלקח מדגם
של 11נבדקים שניזונו מדיאטה זו .נמצא כי ממוצע מספר המיליגרם סוכר היה 662.2מ"ג
לסמ"ק.
א .בנה רווח סמך ברמת סמך 92%לתוחלת רמת הסוכר בדם אצל הניזונים מדיאטה זו.
ב .ידוע שתוחלת רמת הסוכר בדם באוכלוסיה היא 91מ"ג לסמ"ק .האם לדעתך ניתן להסיק
על סמך תוצאת סעיף א שהדיאטה משפיעה על רמת הסוכר בדם? הסבר.
.4
יצרן אנטיביוטיקה רושם על גבי התרופות שכמות הפנצלין היא 511מ"ג לקפסולה.
משרד הבריאות ביצע מדגם של 8קפסולות אקראיות מקו הייצור ומצא שבממוצע יש 691
מ"ג פנצילין לקפסולה עם סטיית תקן מדגמית של של 2מ"ג .בהנחה וכמות הפנצלין
בקפסולה מתפלגת נורמלית.
א .בנה רווח סמך ברמת סמך של 92%לממוצע כמות הפנצלין לקפסולה המיוצרת על ידי
יצרן האנטיביוטיקה.
ב .בדוק ברמת מובהקות של 2%האם יש אמת באינפורמציה המסופקת על ידי היצרן.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
251
פתרונות :
שאלה :1
.6נקבל השערת H 0
שאלה :2
א112.87 118.13 .
ב .נכריע שהדיאטה משפיעה על תוחלת רמת הסוכר בדם.
שאלה :3
א191.8 200.2 .
ב .נכריע שיש אמת בפרסום.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
251
פרק -41בדיקת השערות על שונויות
בדיקת השערות על שונות האוכלוסייה כאשר התוחלת לא ידועה
רקע:
H0 : σ2 = σ20
H1 : σ2 ≠ σ20
השערת האפס :
השערה אלטרנטיבית:
תנאים :
H0 : σ2 = σ20
H1 : σ2 < σ20
H0 : σ2 = σ20
H1 : σ2 > σ20
X ~N
נדחה את השערת האפס אם:
2
)2 ( n 1
או
2
)2 ( n 1
2
1
2
) 2 2 ( n1
) 2 12(n1
(n 1)S 2
סטטיסטי המבחן :
02
2
התפלגות חי בריבוע :
(n 1)S2
אם ךך) Xi N( , 2והפרמטר אינו ידוע מתקיים ש 2(n 1) :
2
0
התפלגות זו היא התפלגות אסימטרית חיובית המתחילה מהערך אפס וערכיה שואפים לאינסוף.
התפלגות זו תלויה בדרגות החופש .אם אינו ידוע אז:
d. f n 1
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
252
דוגמה ( :פתרון בהקלטה)
ציוני IQלפי סטנדרטים אמריקאים מתפלגים נורמאלית עם . 15מעוניינים לבדוק האם
שונות הציונים של נבחנים ישראלים שונה מאמריקה .במדגם של 51ישראלים התקבל :
20
( xi x)2 3420
.מה המסקנה ברמת מובהקות של ?2%
i 1
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
253
טבלת התפלגות חי-בריבוע – ערכי החלוקה 2p
p
______________________________________________________________________________
__
df
.005
.01
.025
.05
.10
.25
.50
.75
.90
.95
.975 .99
.995
__________________________________________________________________________________________________________
1.32
2.77
4.11
5.39
6.63
0.455
1.39
2.37
3.36
4.35
0.102
0.575
1.21
1.92
2.67
0.0158
0.211
0.584
1.06
1.61
0.02393
0.103
0.352
0.711
1.15
0.03982
0.0506
0.216
0.484
0.831
0.03157
0.0201
0.115
0.297
0.554
0.04393
0.0100
0.0717
0.207
0.412
10.6
12.0
13.4
14.7
16.0
7.84
9.04
10.2
11.4
12.5
5.35
6.35
7.34
8.34
9.34
3.45
4.25
5.07
5.90
6.74
2.20
2.83
3.49
4.17
4.87
1.64
2.17
2.73
3.33
3.94
1.24
1.69
2.18
2.70
3.25
0.872
1.24
1.65
2.09
2.56
0.676
0.989
1.34
1.73
2.16
6
7
8
9
10
13.7
14.8
16.0
17.1
18.2
10.3
11.3
12.3
13.3
14.3
7.58
8.44
9.30
10.2
11.0
5.58
6.30
7.04
7.79
8.55
4.57
5.23
5.89
6.57
7.26
3.82
4.40
5.01
5.63
6.26
3.05
3.57
4.11
4.66
5.23
2.60
3.07
3.57
4.07
4.60
11
12
13
14
15
15.3
16.3
17.3
18.3
19.3
11.9
12.8
13.7
14.6
15.5
9.31
10.1
10.9
11.7
12.4
7.96
8.67
9.39
10.1
10.9
6.91
7.56
8.23
8.91
9.59
5.81
6.41
7.01
7.63
8.26
5.14
5.70
6.26
6.84
7.43
16
17
18
19
20
16.3
17.2
18.1
19.0
19.9
13.2
14.0
14.8
15.7
16.5
11.6
12.3
13.1
13.8
14.6
10.3
11.0
11.7
12.4
13.1
8.90
9.54
10.2
10.9
11.5
8.03
8.64
9.26
9.89
10.5
21
22
23
24
25
20.8
21.7
22.7
23.6
24.5
17.3
18.1
18.9
19.8
20.6
15.4
16.2
16.9
17.7
18.5
13.8
14.6
15.3
16.0
16.8
12.2
12.9
13.6
14.3
15.0
11.2
11.8
12.5
13.1
13.8
26
27
28
29
30
2.71 3.84
4.61 5.99
6.25 7.81
7.78 9.49
9.24 11.1
7.88
10.6
12.8
14.9
16.7
5.02 6.63
7.38 9.21
9.35 11.3
11.1 13.3
12.8 15.1
18.5
20.3
22.0
23.6
25.2
16.8
18.5
20.1
21.7
23.2
14.4
16.0
17.5
19.0
20.5
12.6
14.1
15.5
16.9
18.3
26.8
28.3
29.8
31.3
32.8
24.7
26.2
27.7
29.1
30.6
21.9
23.3
24.7
26.1
27.5
19.7
21.0
22.4
23.7
25.0
17.3
18.5
19.8
21.1
22.3
34.3
35.7
37.2
38.6
40.0
32.0
33.4
34.8
36.2
37.6
28.8
30.2
31.5
32.9
34.2
26.3
27.6
28.9
30.1
31.4
23.5
24.8
26.0
27.2
28.4
19.4
20.5
21.6
22.7
23.8
41.4
42.8
44.2
45.6
46.9
38.9
40.3
41.6
43.0
44.3
35.5
36.8
38.1
39.4
40.6
32.7
33.9
35.2
36.4
37.7
29.6
30.8
32.0
33.2
34.4
24.9
26.0
27.1
28.2
29.3
20.3
21.3
22.3
23.3
24.3
48.3
49.6
51.0
52.3
53.7
45.6
47.0
48.3
49.6
50.9
41.9
43.2
44.5
45.7
47.0
38.9
40.1
41.3
42.6
43.8
35.6
36.7
37.9
39.1
40.3
30.4
31.5
32.6
33.7
34.8
25.3
26.3
27.3
28.3
29.3
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
1
2
3
4
5
252
תרגילים:
.6חברה אורזת סוכר במשקל עם סטיית תקן 51גרם .משקל הסוכר באריזה מתפלג
נורמאלית .החברה החליפה את מכונות האריזה במטרה לדייק יותר במשקל הנארז.
(רוצים שסטיית התקן תהיה קטנה יותר).
לצורך בדיקה דגמו 2אריזות סוכר ולהלן משקלן בגרמים.6118,6153,991,6112,997 :
מה המסקנה ברמת מובהקות של ?2%
.5זמן ההחלמה ממחלה מסוימת כאשר משתמשים בטיפול מסוים מתפלג נורמלית עם
סטיית תקן של 81שעות .תרופה חדשה נוסתה על 2חולים .זמני ההחלמה שלהם בשעות
היו. 48,75,91,661,21 :
א .ברמת מובהקות של 2%בדקו האם סטיית התקן של זמן החלמה של התרופה החדשה
נמוכה מהתרופה המקורית.
ב .האם ניתן לדעת מה תהיה התשובה לסעיף א אם נגדיל את רמת המובהקות ?
ג .האם ניתן לדעת מה תהיה התשובה לסעיף א אם נקטין את רמת המובהקות?
ד .האם ניתן לדעת מה תהיה התשובה לסעיף א אם נוסיף תצפית שערכה ? 71
.4הגובה של אוכלוסייה מסוימת נחשב כמתפלג נורמלית עם ממוצע של 673ס"מ וסטיית
תקן .65במדגם של 51אנשים מהאוכלוסייה התקבל ממוצע 676וסטיית תקן מדגמית
.54
א .בדקו ברמת מובהקות של 2%האם חל שינוי בשונות הגבהים באוכלוסייה.
ב .בדקו ברמת מובהקות של 2%האם חל שינוי בתוחלת הגבהים באוכלוסייה ,בבחירת
המבחן המתאים הסתמך על המסקנה מסעיף א'.
.3השערות המחקר הן H o : 2 100 :
H1 : 2 100
מתכננים לבצע מדגם בגודל 61תצפיות .רמת המובהקות היא .2%
א .מה תהה עוצמת המבחן אם ? 12 150
ב .איזו השערה אלטרנטיבית תיתן עוצמה של ?91%
.2השערות המחקר הן Ho : 2 :
H1 : 2
במדגם של 56תצפיות התקבל סטיית תקן .6.634תן הערכה למובהקות התוצאה.
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
255
פתרונות:
שאלה 1
לא נדחה H o
שאלה 2
א .נדחה H o
ב .לא תשתנה
ג .לא ניתן לדעת
ד .לא תשתנה
שאלה 3
א .נדחה H o
ב .לא נדחה H o
שאלה 4
א .בין 52%ל21% -
ב312.4 .
שאלה 5
0 Pv 0.005
לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו לwww.GooL.co.il -
כתב ופתר -ברק קנדל ©
© Copyright 2024