‫הפקולטה למדעים‬ ‫מבחן סוף סמסטר בקורס ‪" -‬הסתברות למהנדסים" (‪)90002‬‬ ‫המרצים‪ :‬ד"ר אלכס קפלונובסקי וד"ר אלעד שגב‬ ‫סמסטר ב'‪ ,‬תשע"ד‪,‬‬ ‫מועד א'‪,‬‬ ‫תאריך המבחן ‪99.2.9002 :‬‬ ‫הוראות המבחן‪:‬‬ ‫‪ ‬משך המבחן ‪ 3‬שעות‪.‬‬ ‫‪ ‬עליך לפתור סה''כ ‪( 2‬ארבע) שאלות מתוך ‪ .5‬הסבר‪/‬י ונמק‪/‬י את תשובותיך‪ .‬תשובה‬ ‫מספרית יש לתת בשלוש ספרות אחרי הנקודה‪.‬‬ ‫‪ ‬נא לרשום בראש המחברת אלו שאלות יש לבדוק‪.‬‬ ‫‪ ‬חומר עזר מוגבל – חומר לימוד מהרצאות ודפי נוסחאות סטנדרטיים מודפסים מאתר‬ ‫הקורס בכתובת‪http://www.hit.ac.il/ac/files/Eugene.Kanzieper/teaching/ps/ps.htm :‬‬ ‫‪ ‬מותר להשתמש במחשבון פשוט‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫ברשותו של חובב אלקטרוניקה ‪ 5‬קבלים שונים (בעלי קיבול של ‪ 0,9,3,2,5‬פראד) ו‪5-‬‬ ‫סלילים שונים (בעלי השראות של ‪ 0,9,3,2,5‬הנרי)‪ ,‬ברשותו של חובב האלקטרוניקה לוח עם‬ ‫‪ 00‬מקומות המסודרים בשורה‪ ,‬ובכל מקום ניתן לחבר קבל או סליל לבחירתו‪ .‬חובב‬ ‫האלקטרוניקה מסדר את הקבלים והסלילים בשורה‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫מהו מספר הסידורים השונים של קבלים וסלילים שניתן לסדר (להזכירכם‪ ,‬כל‬ ‫הקבלים שונים זה מזה וכן כל הסלילים שונים זה מזה)? (‪ 00‬נק')‬ ‫הקבלים והסלילים סודרו באופן אקראי‪ ,‬מהי ההסתברות שכל הקבלים סודרו סמוך‬ ‫אחד לשני (‪ 00‬נק')‬ ‫ידוע שרכיבי האלקטרוניקה (הקבלים והסלילים) סודרו כך שבין כל שני קבלים יש‬ ‫סליל אחד‪ ,‬ובין כל שני סלילים יש קבל אחד‪ .‬ידוע גם שהקבל בעל ‪ 0‬פראד סודר‬ ‫בקצה השורה‪ .‬מהי ההסתברות שהסליל בעל השראות של ‪ 0‬הנרי חובר בצמוד‬ ‫אליו? (‪ 5‬נק')‬ ‫פתרון‬ ‫א‪Pn  n! , P10  10!  3,628, 800 .‬‬ ‫ב‪ .‬נקבץ את הקבלים ונחשב את מספר הסידורים מוכפל במספר הסידורים הפנימיים‬ ‫!‪A 6! 5‬‬ ‫‪86, 400‬‬ ‫של הקבלים‬ ‫‪P  A ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.0238‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪10! 3, 628,800‬‬ ‫ג‪ .‬מספר הסידורים כ‬ ‫ד‪ .‬ך שבין כל שני קבלים יש סליל אחד‪ ,‬ובין כל שני סלילים יש קבל אחד‪ ,‬וכן הקבל של‬ ‫‪ 0‬פאראד נמצא בקצה‪ ,‬הוא ‪A  4! 5! 2  5,760‬‬ ‫הפקולטה למדעים‬ ‫‪ =B‬מספר הסידורים (מתוך ‪ )A‬אשר בהם הקבל של ‪ 0‬פראד נמצא בסמוך לסליל של‬ ‫‪1,152‬‬ ‫‪P  B | A ‬‬ ‫‪ 0‬הנרי ‪ 0.2 B  4! 4! 2  1,152‬‬ ‫‪5, 760‬‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫במאפיה עובדים שני אופים‪ ,‬היודעים לאפות רק עוגות משני סוגים‪ :‬עוגות גבינה ועוגות‬ ‫שוקולד‪ 20% .‬מהעוגות במאפייה נאפות על ידי אופה א' מהן ‪ 20%‬עוגות שוקולד‪00% .‬‬ ‫מהעוגות הנאפות על ידי אופה ב' הן עוגות שוקולד‪ .‬כל עוגה נארזת בקופסה‪ .‬אדם שבא‬ ‫לקנות עוגה בוחר בקופסה אקראית‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫מה ההסתברות שבחר בעוגת גבינה‪ 00( .‬נק')‬ ‫אם הוא בחר בעוגת גבינה‪ ,‬מהי ההסתברות שהעוגה נאפתה על ידי אופה א'?‬ ‫(‪ 00‬נק')‬ ‫אדם שמעוניין בלפחות ‪ 3‬עוגות גבינה‪ ,‬בוחר ‪ 00‬קופסאות באופן אקראי‪ .‬מהי‬ ‫ההסתברות שימצא את מבוקשו?(ניתן להניח כי יש כמות גדולה מאוד של עוגות‪,‬‬ ‫וכי ההסתברות לבחירת עוגה מסויימת נשמרקבוע) (‪ 5‬נק')‬ ‫פתרון‬ ‫נגדיר ‪ -A1‬אופה א'‪ - A2,‬אופה ב'‪P  A1   0.6; P  A2   0.4 .‬‬ ‫נגדיר ‪ B‬עוגות שוקולד‪ - B ,‬עוגות גבינה‪.‬‬ ‫בנוסף נתון ‪P  B | A1   0.4; P  B | A2   0.7; P  B | A1   0.6; P  B | A2   0.3‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪P  B   P  B | A1   P  A1   P  B | A2   P  A2   0.6  0.6  0.3  0.4  0.48‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪0.6  0.6‬‬ ‫;‪ 0.75‬‬ ‫‪0.48‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪P  B | A1   P  A1 ‬‬ ‫‪PB‬‬ ‫‪P  A1 | B  ‬‬ ‫; ‪X ~ Bin  n  10, p  0.48‬‬ ‫‪P  X  3  1   P  X  0   P  X  1  P  X  2   ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1   C100  0.480  0.5210  C10‬‬ ‫‪ 0.481  0.529  C102  0.482  0.528   0.930‬‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫מספר הפעמים שאדם מצטנן במהלך שנה הוא משתנה מקרי פואסוני עם ממוצע ‪5( =5‬‬ ‫פעמים בשנה)‪.‬‬ ‫א‪ .‬אדם נבחר באופן מקרי מהאוכלוסייה‪ .‬מה ההסתברות שהיה מצונן בדיוק פעמים‬ ‫במשך השנה האחרונה? (‪ 00‬נק')‬ ‫הפקולטה למדעים‬ ‫חברת תרופות פיתחה חיסון המקטין את ממוצע מספר הפעמים שאדם מצטנן בשנה ל‪3-‬‬ ‫(‪ (=3‬ל‪ 05% -‬מהמחוסנים‪ .‬על שאר ‪ 95%‬מהמחוסנים החיסון לא ישפיע‪ .‬החיסון ניתן‬ ‫לכלל האוכלוסיה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬אדם נבחר באופן אקראי (מתוך האוכלוסיה המחוסנת)‪ ,‬מהי ההסתברות שהוא‬ ‫הצטנן בדיוק פעמיים בשנה האחרונה? (‪ 00‬נק')‬ ‫ג‪ .‬שלושה אנשים נבחרו באופן מקרי מהאוכלוסייה (המחוסנת)‪ .‬מה ההסתברות‬ ‫שבדיוק אחד מהם היה מצונן פעמיים במשך השנה אם ידוע שלפחות אחד מהם היה‬ ‫מצונן פעמיים במשך השנה החולפת? (‪ 5‬נק')‬ ‫פתרון‬ ‫א‪ .‬נסמן ב ‪ X‬את מספר הפעמים שאדם הצטנן במהלך שנה‪.‬‬ ‫‪52 5‬‬ ‫‪ P  x  2    e  0.0842‬‬ ‫!‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪X ~ P    5‬‬ ‫‪e‬‬ ‫ב‪ .‬נגדיר את המאורע ‪ – A‬האוכלוסיה עליה החיסון משפיע‪,‬‬ ‫‪k‬‬ ‫!‪k‬‬ ‫‪Px  k ‬‬ ‫‪X A ~ P    3 , X A ~ P    5 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪P  A  0.75, P A  0.25‬‬ ‫‪32  e3‬‬ ‫‪52  e5‬‬ ‫‪ 0.75 ‬‬ ‫‪ 0.25  0.189‬‬ ‫!‪2‬‬ ‫!‪2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪P( X  2)  P  X  2 | A  P  A   P  X  2 | A  P A ‬‬ ‫ג‪ .‬נגדיר משתנה ‪ Y‬הסופר את מספר האנשים במדגם של ‪ 3‬שהצטננו בדיוק פעמיים‬ ‫; ‪Y ~ Bin  n  3, p  0.189 ‬‬ ‫‪P Y  1‬‬ ‫‪P Y  1  Y  1‬‬ ‫‪C31  0.1891  0.8112‬‬ ‫‪ 0.799‬‬ ‫‪P Y  1‬‬ ‫‪1  P Y  0  1  C30  0.1890  0.8113‬‬ ‫שאלה ‪4‬‬ ‫בעת איסוף התוצרת החקלאית מהשדה מכניס האיכר בדיוק ‪ 50‬עגבניות בכל ארגז‪ ,‬כאשר‬ ‫לכל ארגז הוא מכניס בדיוק ‪ 05‬עגבניות סוג א'‪ 00 ,‬עגבניות סוג ב'‪ ,‬והיתר מסוג ג'‪ .‬מכל‬ ‫ארגז דוגם החקלאי באקראי (ללא החזרה) ‪ 09‬עגבניות‪.‬‬ ‫א‪ .‬מהי ההסתברות שבמדגם מסויים הוא יוצא בדיוק ‪ 2‬עגבניות מסוג א? (‪ 00‬נק')‬ ‫ב‪ .‬הפרש מדגמי לארגז יוגדר כהפרש בין מספר העגבניות מסוג א' במדגם לבין מספר‬ ‫העגבניות סוג ב' באותו מדגם‪ ,‬שנלקח מארגז מסוים‪ .‬מהי התוחלת של הפרש‬ ‫מדגמי? (‪ 00‬נק')‬ ‫ג‪ .‬נמצא כי מקדם המתאם בין מספר העגבניות מסוג א' לבין מספר העגבניות מסוג ב'‪,‬‬ ‫בתוך אותו המדגם הנלקח מארגז מסוים‪ ,‬הוא (‪ .)-0.2‬חשב את השונות המשותפת‪:‬‬ ‫)‪ 5( .cov(x,y‬נק')‬ ‫‪‬‬ ‫פתרון‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪P Y  1| P Y  1  ‬‬ ‫הפקולטה למדעים‬ ‫‪X ~ Hyp  n  50, D  15, n  12 ‬‬ ‫‪CDk CNn kD C156 C356‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.067‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪CNn‬‬ ‫‪C50‬‬ ‫‪P  X  6 ‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪ 12  3.6‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪Y ~ Hyp  n  50, D  10, n  12  , E Y   n  12  2.4‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪E  Z   E  X  Y   E  X   E Y   3.6  2.4  1.2‬‬ ‫‪EX   n‬‬ ‫‪X ~ Hyp  n  50, D  15, n  12  ,‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫) ‪COV ( X , Y‬‬ ‫‪ 0.6‬‬ ‫] ‪VAR[ X ]  VAR[Y‬‬ ‫‪15  15  50  12 ‬‬ ‫‪1  ‬‬ ‫‪  1.954‬‬ ‫‪50  50  50  1 ‬‬ ‫‪  x, y  ‬‬ ‫*‪VAR  X   12‬‬ ‫‪10  10  50  12 ‬‬ ‫‪1  ‬‬ ‫‪  1.489‬‬ ‫‪50  50  50  1 ‬‬ ‫*‪VAR Y   12‬‬ ‫‪COV  X , Y     x, y  VAR[ X ]  VAR[Y ]  0.6  1.954  1.489  1.023‬‬ ‫שאלה ‪5‬‬ ‫נמצא כי משקל הגברים בישראל מתפלג נורמאלית עם ממוצע של ‪ 07‬ק"ג עם וסטיית תקן‬ ‫של ‪ 00‬ק"ג‪.‬‬ ‫א‪ .‬מהו אחוז הגברים השוקלים יותר מ ‪ 20‬ק"ג? (‪ 00‬נק')‬ ‫ב‪ .‬מהי ההסתברות שבמדגם אקראי של ‪ 00‬גברים‪ .‬ימצאו בדיוק שני גברים במשקל של‬ ‫מעל ל‪ 20‬ק"ג? (‪ 00‬נק')‬ ‫ג‪ .‬למעלית בעלת כושר נשיאה של ‪ 200‬ק"ג נכנסו ‪ 5‬גברים‪ ,‬מהי ההסתברות שמשקלם‬ ‫המשותף לא יעלה על ‪ 200‬ק"ג? (‪ 5‬נק')‬ ‫פתרון‬ ‫א‪ .‬נגדיר את ‪ X‬כמשקל לגבר בודד‬ ‫‪X ~ N    78,  2  100 ‬‬ ‫‪ 90  78 ‬‬ ‫‪P  X  90   1  P  X  90   1   ‬‬ ‫‪  1   1.2   0.115= 11.5%‬‬ ‫‪ 10 ‬‬ ‫ב‪ .‬נגדיר משתנה ‪ =Y‬סופר את מספר הגברים השוקלים מעל ‪20‬‬ ‫הפקולטה למדעים‬ Y ~ Bin  n  10, p  0.115 P Y  2   C102 0.1152 1  0.115  0.2240 8 ‫ גברים‬5 ‫ שסוכם את משקלם של‬,Z ‫ נגדיר משתנה‬.‫ג‬ E  Z   5  E  X   390, Var  Z   5 Var  X   500 Z ~ N    390,  2  500   410  390  P  Z  410         0.89   0.8145 500   !‫בהצלחה‬