שיטות לפתרון – מבחני סדרות

‫מבחני סדרות – שיטות לפתרון‬
‫תלמיד‪/‬ה יקר‪/‬ה‪,‬‬
‫במבחן סדרות מופיעה סדרה של מספרים ברצף‪ .‬מספרים אלו נקראים איברים‪ .‬במקום כלשהו‬
‫ברצף‪ ,‬חסר מספר אחד או יותר‪ ,‬שאותו צריך להשלים‪.‬‬
‫כדי למצוא את המספרים החסרים‪ ,‬עלינו להבין את החוקיות של המספרים בסדרה‪.‬‬
‫עלינו למצוא באיזו אופן הסדרה משתנה (כפל ‪ /‬חילוק ‪ /‬חיבור ‪ /‬חיסור)– מושג זה נקרא מקדם‬
‫הפעולה‬
‫לאחר מכן‪ ,‬עלינו למצוא מה הערך שבו הסדרה משתנה (האם כל איבר גדול \קטן מהאיבר‬
‫שלפניו ב‪ ,2-‬ב‪ ,3-‬ב‪ 4-‬וכן הלאה‪)...‬‬
‫בהצלחה‪,‬‬
‫צוות מכון נועם‬
‫‪1‬‬
‫כל הזכויות שמורות ‪www.machon-noam.co.il|[email protected]|03-5377361‬‬
‫מכון נועם מציע שירותי הכנה למבחנים לקבלה לבתי ספר‪.‬‬
‫שיטה מספר ‪ –1‬מציאת הערך בין האיברים בסדרה‬
‫כאשר יש תרגיל חיבור‪ ,‬נוח לכתוב אותו במאונך‪ ,‬להתחיל מהאחדות כאשר אם סכום החיבור הוא יותר מ‪11-‬‬
‫מוסיפים את הספרה ‪ 1‬בראש הטור הבא ומחשבים אותה יחד עם הטור‪.‬‬
‫שאלה לדוגמא‬
‫__ ‪72 ,72 ,72,‬‬
‫דרך לפתרון‬
‫כדי לפתור את הסדרה‪ ,‬בדוק ורשום את ההפרשים בין כל שני איברים ( מספרים ) בסדרה‪.‬‬
‫בסדרה פשוטה ההפרשים יהיו קבועים ולכן המספר הבא בסדרה הוא ‪.03‬‬
‫‪2‬‬
‫כל הזכויות שמורות ‪www.machon-noam.co.il|[email protected]|03-5377361‬‬
‫מכון נועם מציע שירותי הכנה למבחנים לקבלה לבתי ספר‪.‬‬
‫שיטה מספר ‪ – 2‬מציאת הפרשים משתנים‬
‫שאלה לדוגמא‬
‫__ ‪0 , 2 , 6 , 9 , 20 , 21 ,‬‬
‫דרך לפתרון‬
‫תחילה נרשום את ההפרשים בין כל שני איברים‬
‫סדרה זו מורכבת יותר‪ ,‬וההפרשים בה אינם קבועים אלא יוצרים סדרה בפני עצמה‪ ,‬האיבר הבא צריך להיות ‪+6‬‬
‫מהאיבר ‪ 11‬ולכן התשובה היא‪:‬‬
‫‪18 + 6 = 24‬‬
‫‪3‬‬
‫כל הזכויות שמורות ‪www.machon-noam.co.il|[email protected]|03-5377361‬‬
‫מכון נועם מציע שירותי הכנה למבחנים לקבלה לבתי ספר‪.‬‬
‫בדיקת אפשרויות כפל וחילוק על הסדרה‬
‫במידה ולא מצאנו חוקיות בהפרשים בין איבר לאיבר ננסה לבדוק האם קיים קשר חילוק או הכפלה בין כל שני‬
‫איברים בסדרה‪.‬‬
‫שאלה לדוגמא‬
‫___ ‪62 , 07 , 26 , 1 ,‬‬
‫דרך לפתרון‬
‫ננסה לחלק כל איבר באיבר שאחריו‪:‬‬
‫בסדרה זו החילוק בערך שתיים קבוע ולכן האיבר הבא יהיה‪:‬‬
‫‪8: 2 = 4‬‬
‫‪4‬‬
‫כל הזכויות שמורות ‪www.machon-noam.co.il|[email protected]|03-5377361‬‬
‫מכון נועם מציע שירותי הכנה למבחנים לקבלה לבתי ספר‪.‬‬
‫סדרה בעלת ערכים משתנים‬
‫בסדרות מורכבות יותר הערכים בין האיברים אינם קבועים‪ ,‬ויוצרים סדרה בפני עצמם‪ ,‬כדי להגיע לפתרון יש‬
‫לרשום את כל הערכים בין איבר לאיבר ולחפש חוקיות בסדרה החדשה שנוצרה‪.‬‬
‫שאלה לדוגמא‬
‫___ ‪7 , 2 , 27 , 21 ,‬‬
‫דרך לפתרון‬
‫נרשום את בין איבר לאיבר מהו ערך הכופל‪:‬‬
‫ניתן לראות שהכופלים אינם קבועים‪ ,‬אלא יוצרים סדרה בפני עצמם‪ .‬בסדרת הכופלים כל כופל גדול מקודמו ב‪ ,1-‬לכן‬
‫האיבר הבא בסדרה‪ ,‬צריך להיות ‪ X5‬מהאיבר‪ 41‬ולכן התשובה היא‪:‬‬
‫‪48 × 5 = 240‬‬
‫‪5‬‬
‫כל הזכויות שמורות ‪www.machon-noam.co.il|[email protected]|03-5377361‬‬
‫מכון נועם מציע שירותי הכנה למבחנים לקבלה לבתי ספר‪.‬‬
‫סדרה משולבת‬
‫ישנן סדרות בהן פעולת החשבון משתנה לסירוגין (פעם חיסור פעם חיבור וכדומה)‪ ,‬כדי להגיע לפתרון הזה יש‬
‫לנסות לכתוב בין כל איבר לאיבר מהם היחסים בכל ארבע פעולות החשבון‪.‬‬
‫שאלה לדוגמא‬
‫___ ‪5 , 2 , 22 , 26 , 07 , 02 ,‬‬
‫דרך לפתרון‬
‫ננסה לכתוב את כל ‪ 4‬פעולות החשבון האפשריות בין ‪ 5‬ו‪ .7-‬האפשרות היחידה במקרה זה היא פעולת החיבור ‪.+2‬‬
‫נעבור לאיבר השלישי‪ ,‬פעולות החשבון האפשריות בין ‪ 7‬ו‪ 14-‬הן‪ 7 + :‬או ‪ 2X‬נמשיך כך הלאה עד שנמצא חוקיות‪.‬‬
‫במקרה זה הפעולה משתנה לסירוגין(פעם כפל פעם חיבור ) והגורם נשאר קבוע ‪:2‬‬
‫לפיכך האיבר הבא יהיה‪:‬‬
‫‪34 × 2 = 68‬‬
‫‪6‬‬
‫כל הזכויות שמורות ‪www.machon-noam.co.il|[email protected]|03-5377361‬‬
‫מכון נועם מציע שירותי הכנה למבחנים לקבלה לבתי ספר‪.‬‬
‫סדרה משולבת גם בערך וגם במקדם הפעולה‬
‫זוהי סידרה משולבת מורכבת יותר‪ ,‬בה החוקיות מורכבת משתי פעולות חשבון או יותר‪ ,‬וההפרשים בעצמם‬
‫יוצרים סדרה‪ .‬במקרה כזה חשוב לזהות בנפרד את המספר ( הערך ) המסמן את ההפרש ואת מקדם הפעולה‬
‫( הסימן ) שלו‪.‬‬
‫שאלה לדוגמא‬
‫__ ‪2 , 6 , 7 , 1 , 0 ,‬‬
‫דרך לפתרון‬
‫נכתוב בין האיברים את אפשרויות הפעולה הקיימות‪ ,‬בין ‪ 4‬ו‪ 6-‬ישנה האפשרות של ‪ .2+‬בין ‪ 6‬ו‪ 2-‬ישנה האפשרות‬
‫של ‪ -4‬או ‪ .:3‬נרשום את כל האפשרויות עד שמתגלה סדרה בערכים‪:‬‬
‫בסדרה זו הערכים יוצרים סדרה בעצמם‪ .‬הם עולים בכל פעם באחד‪ ,‬לכן הערך הבא יהיה ‪.6‬‬
‫רק בשלב הזה יש לאתר את סדר המקדמים‪,‬מקדמי הפעולה מתחלפים בסדר קבוע ( ‪ ) + , : , X , -‬אז נמצא‬
‫שהמקדם הבא צריך להיות ‪.+‬‬
‫לפיכך האיבר הבא בסדרה יהיה‪:‬‬
‫‪3+6=9‬‬
‫‪7‬‬
‫כל הזכויות שמורות ‪www.machon-noam.co.il|[email protected]|03-5377361‬‬
‫מכון נועם מציע שירותי הכנה למבחנים לקבלה לבתי ספר‪.‬‬
‫סדרות מיוחדות‬
‫אם לא מצאת כל חוקיות ע"י השימוש בארבע פעולות החשבון הבסיסיות‪ ,‬חפש מאפיינים מיוחדים למספרים‬
‫בסדרה‪ .‬קיימות מספר סדרות מיוחדות‪.‬‬
‫שאלה לדוגמא‬
‫__ ‪0 , 5 , 2 , 22 , 20 ,‬‬
‫דרך לפתרון‬
‫סדרה זו מכילה מספרים ראשוניים ( המתחלקים רק בעצמם ובאחד ) בלבד‪ .‬לכן המספר הראשוני הבא הוא ‪.22‬‬
‫שאלה לדוגמא‬
‫__ ‪2 , 9 , 26 , 75 , 06 ,‬‬
‫דרך לפתרון‬
‫הסדרה מכילה מספרים בחזקת ‪ , 2‬כלומר מספר כפול עצמו‪:‬‬
‫לכן האיבר הבא צריך להיות‪:‬‬
‫‪7 × 7 = 49‬‬
‫‪8‬‬
‫כל הזכויות שמורות ‪www.machon-noam.co.il|[email protected]|03-5377361‬‬
‫מכון נועם מציע שירותי הכנה למבחנים לקבלה לבתי ספר‪.‬‬
‫סדרת פיבונצ'י‬
‫ישנו סוג סדרות הנקראות סדרות פיבונצ'י בהן כל איבר הוא תוצאה של פעולה הנעשית על שני האיברים‬
‫שקדמו לו‪.‬‬
‫שאלה לדוגמא‬
‫___ ‪2 , 0 , 0 , 9 , 72 ,‬‬
‫דרך לפתרון‬
‫הוא תוצאה של פעולה הנעשית על שני האיברים שלפניו‪ ,‬בדוגמא זו כפל‬
‫לכן האיבר הבא יהיה‪:‬‬
‫‪9 × 27 = 243‬‬
‫‪9‬‬
‫כל הזכויות שמורות ‪www.machon-noam.co.il|[email protected]|03-5377361‬‬
‫מכון נועם מציע שירותי הכנה למבחנים לקבלה לבתי ספר‪.‬‬
‫שתי סדרות שזורות זו בזו‬
‫במידה ולא נמצא כל פתרון בדוק האם מדובר בשתי סדרות השזורות זו בזו‪ ,‬כלומר כל מספר לסירוגין שייך‬
‫לסדרה אחרת‪.‬‬
‫שאלה לדוגמא‬
‫__ ‪0 , 1 , 6 , 6 , 9 , 2 ,‬‬
‫דרך לפתרון‬
‫נפצל את הסדרה לשתי סדרות ע"י כתיבה לסירוגין בשתי שורות שונות‪:‬‬
‫עכשיו יותר קל לראות שבסדרה העליונה החוקיות היא ‪ ,+3‬בסדרה התחתונה החוקיות היא ‪-2‬‬
‫לכן האיבר הבא צריך להיות‪:‬‬
‫‪9 + 3 = 12‬‬
‫‪10‬‬
‫כל הזכויות שמורות ‪www.machon-noam.co.il|[email protected]|03-5377361‬‬
‫מכון נועם מציע שירותי הכנה למבחנים לקבלה לבתי ספר‪.‬‬