לפניכם אוסף סדרות חשבוניות, שכל אחת מהן פועלת לפי חוקיות קבועה הייחודי
סדרות סדרה מתמטית היא רשימה סדורה של מספרים ,הנקראים איברי הסדרה (איבר ראשון, שני ,שלישי וכו') ,ומסודרים בהתאם לחוקיות מסוימת .ערכו של כל איבר נקבע אך ורק לפי מיקומו בסדרה ,בהתאם לחוקיות העומדת בבסיסה. יתכנו סדרות סופיות או אינסופיות. איבר עוקב -כאשר נתון איבר כלשהו ,האיבר שבא מיד אחריו (ואין איברים נוספים ביניהם), הוא האיבר העוקב .כך למשל ,במספרים הטבעיים 8 ,הוא העוקב ל 42 ,7 -הוא העוקב ל- 42וכן הלאה. איבר קודם -כאשר נתון איבר כלשהו ,האיבר שבא מיד לפניו (ואין איברים נוספים ביניהם), הוא האיבר הקודם .כך למשל ,במספרים הטבעיים 5 ,הוא הקודם ל 42 ,6 -הוא הקודם ל- 45וכן הלאה. דוגמאות: הסדרה 5, 1, 3, 7,11 :היא סדרת מספרים בה ההפרש בין כל איבר לאיבר העוקב לו הוא .2 הסדרה 18.2,19.5, 20.8, 22.1 :היא סדרת מספרים בה ההפרש בין כל איבר לאיבר העוקב לו הוא .4.2 סימנים מקובלים עבור סדרות: - a1האיבר הראשון של הסדרה – nמספר איברי הסדרה ) - a(nהמיקום של האיבר הספציפי בסדרה.1,2,3…n . לדוגמא a5 :הוא האיבר החמישי בסדרה. - anהאיבר הכללי של הסדרה .כלומר ,נוסחא שתאפשר לחשב איבר בסדרה לפי מספר האיבר בה (החוקיות). – Snסכום איברי הסדרה. סדרה חשבונית היא הצורה הפשוטה ביותר של סדרה מתמטית .סדרה חשבונית היא סדרה מתמטית בה ההפרש בין כל שני איברים עוקבים הוא קבוע .שתי הסדרות שלעיל הן דוגמאות לסדרות חשבוניות. בנוסף לסדרה חשבונית ,יתכנו אינספור סוגים אחרים של חוקיות לסדרה מתמטית .כדי לחשב חוקיות של סדרה חשבונית כאשר היא איננה נתונה ,יש להבין את הקשר בין כל איבר לאיבר העוקב או הקודם לו בסדרה .מאחר שיתכנו סוגים רבים של קשרים ,אין נוסחא אחת הקובעת כיצד יש לעשות זאת והדרך הטובה ביותר היא ניסוי ותעייה .שאלו את עצמיכם מה הקשר בין שני איברים עוקבים בסדרה ,בססו על פיו חוקיות אפשרית ובדקו האם היא פועלת גם עבור האיברים הבאים ,ואם לא – נסו שוב. כאשר ידועה לנו החוקיות ,נוכל לחשב עבור כל איבר שהוא בסדרה את האיבר העוקב והקודם לו .אם ברצוננו לחשב את מיקומו של איבר רחוק יותר בסדרה ,עלינו לייצג את החוקיות בצורת נוסחא אלגברית שלוקחת בחשבון גם את נקודת ההתחלה של הסדרה ,כך שכל nשיוצב בנוסחא יתאים ל) a(nבסדרה .לאחר שמצאנו את הנוסחא המתאימה לחוקיות, נוכל לגלות את ערכו של כל איבר בסדרה על ידי הצבת מספרו בנוסחא. לדוגמא: נתונה הסדרה 2, 6, 18, 54, 162 מחיפוש מהיר של קשר בין האיברים ,מתגלה שהחוקיות בה היא כפל ב .3אבל הסדרה שונה מהסדרה 3, 9, 27, 81שהחוקיות עבורה היא ,a(n(= 3nמאחר שהמספר הראשון בה הוא ,4לכן יש ליצור נוסחא בהתאם ,ובמקרה הזה.a(n)= 2*3^(n-1) : אם נרצה לדעת מהו האיבר ה 7בסדרה ,נציב בנוסחא: a(100)=2*3^(7-1)=2*3^6=4374 לעומת זאת ,אם דרוש לנו חישוב איבר אחד מסוים בתוך סדרה ,כאשר נתון עבורו איבר קודם או עוקב ,נניח בסדרה( 5, 20, 80, X, 1280 :בה יש לחשב את ,)Xלא חייבים למצוא את הנוסחא לחישוב כל איבר אפשרי ,אלא מספיק להבין שהחוקיות הבסיסית היא כפל ב . 2כך שכפל האיבר הקודם ב ,)2*88( 2מוביל לאיבר עוקב של.X=320 : דוגמאות לסוגים נוספים של חוקיות הסדרה 2, 5, 4, 7, 6, 9היא סדרה בעלת חוקיות לא קבועה .כלומר ,החוקיות איננה תמיד אותו הדבר אלא משתנה לסירוגין .במקרה זה ,במעבר מאיבר שמספרו בסדרה ( )nזוגי לאיבר שמספרו אי זוגי החוקיות היא חיסור של ,4ואילו במעבר מאי זוגי לזוגי החוקיות היא הוספת .2 הסדרה 66, 32,15 , 6.5 , 2.25 , 0.125היא דוגמא לסדרה בה החוקיות כוללת יותר מפעולה אחת ,במקרה הזה חיסור 4ואז חלוקת 4עבור כל שלב בסדרה. בסדרה 1 , 9 , 16 , 22 , 27 , 31 , 34היא סדרה בעלת חוקיות קבועה בה המספר שיש לחבר משתנה כל פעם ,במקרה הזה כדי להגיע לאיבר ,nיש לחבר לאיבר הקודם לו את המספר (.)10-n הסדרה 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21היא סדרה בה שני האיברים הראשונים הם 4וכל איבר נוסף הוא סכומם של שני האיברים הקודמים לו .זוהי סדרה חשבונית מפורסמת מאוד המכונה "טור פיבונאצ'י" ,הנחשבת לבעלת תכונות כמעט מכושפות. ניתן גם לייצר סדרה בעלת חוקיות מופשטת יותר. לדוגמא ,הסדרה 2, 3, 6, 7, 8, 12, 13, 16היא סדרת המספרים השלמים ששמותיהם מתחילים באות שין.
© Copyright 2024