מבוא לפיסיקה מודרנית – סיכו הרצאות של אבנר סופר
סיכום הרצאות של אבנר סופר – מבוא לפיסיקה מודרנית .1עיקרון היחסות של גליליי ,אור טרנספורמציית גליליי )ההנחה כאן היא( t ' = t : מיקוםr ' = r − Vt : מהירויותv' = v − V : תאוצותa ' = a : עיקרון היחסות של גליליי :חוקי המכניקה אינו וריאנטים תחת טרנספורמציית גליליי אור מהירות האור: • ,1676רומר – יכל לחזות את זמני הליקויים של הירח איו של צדק ,אך המדידות הראו סטייה )בגלל סיבוב כדה"א סביב השמש ושינוי מרחקו מאיו( .מהמדידות ניתן היה לחשב - ∆T ) c = D / ∆T :הפרש הזמנים שנמדד - D ,קוטר הסיבוב סביב השמש(. • תחילת המאה ה ,18-ברדלי – הכוכב Draנע בתנועה מעגלית ברדיוס זוויתי של " 20.2שניות קשת .הדבר נבע משינוי בכיוון המהירות של כדה"א עקב סיבובו סביב השמש .ניתן לחשב. tan α = v / c : כיום הוחלט לקבוע את המטר לפי מהירות האור , c ≈ 3 ⋅ 10 8 m / s :לכן ניתן למדוד זמן ואורך ע"י אותה יחידה ,כאשר c הוא קבוע של הטבע לקשר בניהן. הקדמה גלית 1 ∂ψ כל גל מקיים את משוואת הגלים∇ 2ψ (r , t ) = 2 2 : v ∂t r t משוואת הגל - λ ) ψ ( r , t ) = sin 2π − 2π :אורך הגל - T ,זמן המחזור(. T λ תדירות . f = 1 / T :תדירות זויתית . ω = 2πf :מהירות הגל. v = λ / T : 2 עיקרון הסופרפוזיציה :חיבור של פונקציות גל הוא פונקצית גל. הניסוי של תומאס יאנג :יצר מקורות קוהרנטיים ע"י העברת גל מישורי )אור( דרך שני סדקים( .הדבר יצר הפרש פאזה בנקודות שונות על המסך )בגלל הפרש הדרכים בין הגל מהסדק הראשון לגל השני( ,מה שנראה כתבנית התאבכות. האתר ומשוואת מקסוול במאה ה 19-ניסו להסביר את האור כגלים בתווך שכונה האתר – חומר חסר מסה או אינטראקציה עם חומרים .מכאן שמערכת האתר היא מערכת היחוס המועדפת. לקראת סוף המאה ה 19-מקסוול הראה שמשוואות השדות החשמלי והמגנטי מתקדמים במרחב כהפרעה שמקיימת את משוואת הגלים כאשר c = 1 / µ 0ε 0 -מכאן שהאור הוא שדה א"מ. .2ניסוי מייקלסון מורלי )(1887 העיקרון -ניסיון למצוא את מערכת האתר באמצעות אינטרפרומטר .האינטרפרומטר מודד את הפרש הפאזה בין 2קרני אור – אחת בניצב לתנועת כדה"א והשנייה במקביל .הקרניים נסחפות עם האתר ולכן נוצר הפרש פאזה בניהן. הניסוי – מקור אור פולט קרן אור למראה חצי מחזירה ) ,(aבה חלקה ממשיך וחלקה מוחזר .הקרניים קוהרנטיות )אותו גל – הפרש פאזה .(0הקרניים מוחזרות ל (a)-ועוברות למשקפת ב.(d)-המערכת הוצבה על לוח מסתובב כך שכיוון הקרניים ביחס לרוח האתר היה ניתן לשינוי. ac = ab = D האינטרפרומטר נע ימינה במהירות Vבמערכת האתר. קרן ) 1בכיוון התנועה -ימינה( :במהלכה ימינה = c − V במהלכה שמאלה = c + V R . v1 L . v1 קרן ) 2ניצבת לתנועה – למעלה(v 2 = c 2 − V 2 : הזמן שמבלה כל קרן בין הפגיעות במראה החצי מחזירה: D D 2D V 2 קרן 1 + 2 :1 + ≈ c −V c +V c c 2D 2D V2 קרן :2 1 + ≈ = T2 c 2c 2 c2 −V 2 = T1 2 D V לכן הפרש הזמנים הוא cc 2 = ∆T והפרש הפאזה הוא D V . ∆φ = 2π λc מייקלסון ומורלי לא הצליחו למדוד שום הפרש פאזה ,גם לאחר סיבוב המערכת – הקרניים תמיד הגיעו באותו הזמן. .3עיקרון היחסות של איינשטיין ותוצאותיו משני העקרונות הבאים נבנית תורת היחסות הפרטית: עיקרון היחסות של איינשטיין :חוקי הפיזיקה נכונים בכל המערכות האינרציאליות. מעיקרון זה נובע עיקרון קביעות מהירות האור :למהירות האור אותו ערך בכל המערכות האינרציאליות. * אבדן הסימולטניות :הסימולטניות אינה נשמרת במעבר בין מערכות אינרציאליות דוגמה :המנורה הפולטת קרני אור לצדדים הקדמי והאחורי בחללית – במעבר ממע' החללית למע' כדה"א.* התארכות מרווחי זמן :הפרש הזמן מתארך בכל מערכת שהיא לא "המערכת העצמית" פי . ∆t ' = γ∆τ : γ דוגמה :חללית שבה שתי מראות מקבילות אחת לשנייה ולכיוון תנועת החללית ,ושבניהן עובר הבזק אור הלוך ושוב .במערכתכדה"א הפרש הזמן בין שתי פגיעות מראה יהיה ארוך יותר מההפרש במערכת העצמית. * התקצרות המרחק :המרחק בין שתי נקודות תמיד ארוך ביותר במערכת המנוחה של הנקודות ,ומתקצר בכל מערכת שאינה המערכת העצמית פי . ∆t ' = ∆τ / γ : γ דוגמה :ניסוי המיואונים – במערכת המיואונים המרחק קצר יותר מאשר במערכת המנוחה של מכשירי המדידה שהיא מערכתכדה"א. המערכת העצמית והזמן העצמי ) ( ∆τ המערכת העצמית היא המערכת שבה שני מאורעות מתרחשים באותו מקום )למשל שתי פגיעות של הבזק האור במראה העליונה(. הפרש הזמן בין המאורעות במערכת זו נקרא הזמן העצמי. ניסוי המיואונים של רוסי והול )(1941 מיואונים הם חלקיקים הנוצרים באטמוספירה ומגיעים ארצה במהירות קרובה למהירות האור .למיואונים זמן חיים ממוצע τ = 2.2 µs − ∆t / τ )נמדד במנוחה( ,כך שהם דועכים בצורה: . N (t ) = N 0 ⋅ e רוסי והול ספרו קצב מיואונים לדקה בגובה 1616mובגובה .3240mמהביטוי ) N (tניתן לחשב את הזמן במערכת המנוחה של המיואונים שלקח לעבור את המרחק בין המדידות . ∆τ = 0.67 µs :אך אם נחשב את הזמן שלוקח לעבור את המרחק הזה במערכת כדה"א במהירות האור נקבל. ∆t = 5.4 µs : מהיחס בין הזמנים ניתן למצוא את מהירות החלקיקים. β = 0.992 : .4טרנספורמציית לורנץ האינטרוול האינווריאנטי :לגודל c 2 ∆t 2 − ∆x 2יש את אותו ערך בכל המערכות האינרציאליות ,כאשר ∆tו∆x - הם הפרשי הזמן והמרחק הנמדדים באותה מערכת אינרציאלית. טרנספורמציית לורנץ BOOST - ) x' = γ ( x − β ct v כאשר c )ct ' = γ (ct − β x = ,β 1 1− β 2 =γ 1 * קירוב שימושי כאשר 1 − β 2 ≈ 1 − β 2 : β << 1 2 . מנקודה זו בסיכום אנו עובדים ביחידות טבעיות -יחידות טבעיות בשיטה זו עובדים עם יחידות שבהן , c = 1וכך הזמן נמדד במטר\אור )הזמן שלוקח לאור לעבור מטר אחד( .בגלל ש c = 1 -אז הזמן נמדד במטרים .בדרך זו טרנספורמציית לורנץ היא: ) x' = γ ( x − β t והאינטרוול האינווריאנטי הוא פשוט = t 2 − x 2 )t ' = γ (t − βx − γβ t t' γ בצורת מטריצה : = γ x x' − γβ 2 .τ טרנספורמציית המהירויות v|| − β ||1 − β v = ||'v ⊥v ) ||γ (1 − βv = ⊥ 'v )אם התנועה היא בציר xאז ב v|| -הכוונה היא ל v x -וב v⊥ -הכוונה היא לv y - או ( v z חיבור מהירויות β12 + β 01 1 + β12 β 01 = β i j ) β 02 -המהירות של מערכת jבמערכת (i סוגי אינטרוולים ,קונוס האור ,וסיבתיות אינטרוול חיובי – :Time Like קיימת מערכת שבה שני המאורעות הם באותו המיקום בחלל. בכל המערכות שני האירועים יתרחשו בזמנים שונים. מאורע אחד יכול להיות הסיבה של המאורע השני. נורמה חיובית. אינטרוול שלילי – :Space Like קיימת מערכת שבה שני המאורעות נצפו באותו זמן. בכל המערכות המאורעות יתרחשו במקומות שונים. מאורע אחד לא יכול להיות הסיבה של המאורע השני )מופרדים סיבתית(. נורמה שלילית. אינטרוול אפס – :Light Like בכל המערכות המאורעות יתרחשו בזמנים שונים ובמקומות שונים. מאורע אחד יכול לגרום למאורע השני רק ע"י מעבר אור. נורמה אפס. חרוט האור :החרוט שבו נמצאים כל האינטרוולים שהם .TL .5הגיאומטריה של המרחב-זמן ייצוג זוויתי של טרנספורמציית לורנץ β = tanh φ γ = cosh φ βγ = sinh φ 1 1 − tanh 2 ϕ טרנספורמציית לורנץ: − sinh φ t cosh φ x = cosh ϕ tanh φ1 + tanh φ 2 כלל חיבור המהירויות: 1 + tanh φ1 tanh φ 2 t ' cosh φ = x' − sinh φ = ) tanh(φ1 + φ 2 קואורדינאטות רינדלר עבור > x 2 2 :t עבור < x 2 2 :t x = s sinh θ x t t θ = tanh −1 x y = s cosh θ θ = tanh −1 s = t 2 − x2 טרנספורמציית לורנץ: s' = s s = x2 − t 2 θ'= θ −φ כאשרβ : * הזווית בין הצירים של ' Oלצירים של Oבמערכת של Oכאשר ' O נעה במהירות −1 φ = tanh α = tan −1 θ : β הפירוש הגיאומטרי של טרנספורמציית לורנץ המרחב-זמן נקרא מרחב-זמן מינקובסקי .בוסט במרחב מינקובסקי מקביל לסיבוב במרחב הניוטוני. • אלמנט מרחק במרחב האוקלידי הוא = dx 2 + dy 2 + dz 2 במרחב-זמן מינקובסקי= dt − dx − dy − dz : 2 • 2 2 2 2 2 . dr . ds הגדלים האינווריאנטים תחת סיבוב הם tו= x + y 2 + z 2 - 2 2 .r במרחב-זמן מינקובסקי. s = t − x − y − z : * "חבורת לורנץ" :כל הטרנספורמציות אשר משמרות את האינטרוול. 2 2 2 2 2 אם ניקח נקודה בעלת אינטרוול , s0ונצייר באותה מערכת את כל הבוסטים שניתן לבצע עליה, נקבל את הגרף − x 2 = s02 2 . tזוהי משוואה של היפרבולה ,כמו שמצוירת כאן: לכן אומרים שלמרחב-זמן מינקובסקי גיאומטריה היפרבולית. .6אפקט דופלר אפקט דופלר :שינוי תדירות הגל עבור צופה שנע ביחס לתווך הנושא את הגל. הקשר בין התדירויות במקרה הניוטוני )בלי התארכות זמן(: v f reciever = f source 1 − c כאשר vהוא מהירות הקולט – חיובית אם היא בכיוון הגל - c .מהירות הגל. במקרה היחסותי ,כאשר הגל הוא אור ומתחשבים בהתארכות הזמן: 1− β 1+ β כאשר β f reciever = f source היא המהירות היחסית בין הקולט והמקור ,והיא חיובים אם הם מתרחקים זה מזה. * אפקט דופלר הרוחבי :כאשר התנועה היא בניצב לאור .אפקט זה נובע רק מהתארכות הזמן. . f reciever = f source / γ .7פרדוקסים לכאורה בתורת היחסות פרדוקס התאומים הפרדוקס: שתי תאומות -כוכבה ומנוחה -נמצאות על כדור הארץ .באירוע Aכוכבה עולה על חללית במהירות . β = 0.6 באירוע Bהיא מסתובבת ובאירוע Cמגיעה חזרה למנוחה .מנוחה גדלה ב. t = T = 10 yrs - שני טיעונים נאיביים: .1פרידת התאומות ומפגשן אירעו באותו מקום במערכת של מנוחה ,ולכן זוהי המערכת העצמית עם הזמן הקצר יותר ⇐ . t ' = Tγ = 12.5 yrs .2פרידת התאומות ומפגשן אירעו באותו מקום במערכת של כוכבה ,לכן זוהי המערכת העצמית עם הזמן הקצר יותר ⇐ . t ' = T / γ = 8 yrs הפיתרון: כוכבה אינה במערכת אינרציאלית אחת במהלך הטיסה ,אלא מאיצה ממערכת אחת לשניה ,לכן: .1במסע הלוך :תחילת המסע וסופו הם באותו מיקום במערכת של כוכבה ,לכן: במערכת של מנוחה עבר T / 2 = 5 yrsולכן . t1 = T / 2γ = 4 yrsבמסע חזור עברו גם 4שנים מטעמי סימטריה. .2באירוע ,Bכוכבה משנה את כיוון טיסתה בתאוצה אינסופית )ביחס למשך המסע הכולל(. בציור ניתן לראות 2אירועים - T1 :הזמן אצל מנוחה בו כוכבה התחילה לשנות כיוון- T2 . הזמן בו כוכבה סיימה לשנות את הכיוון .אצל כוכבה עבר 0זמן אבל אצל מנוחה עבר T2 − T 1 זמן .זו הסיבה להפרש הזמנים. דרך נוספת לראות את התופעה – ע"י אפקט דופלר: נניח שכל שנה ,האחיות שולחות אחת לשנייה תשדורת. במסע הלוך ,כוכבה מקבלת את התשדורות בהפרשי זמן ' : ∆T 1+ β = 2 yrs 1− β ∆T ' = ∆T 1− β במסע חזור= 0.5 yrs : 1+ β בסה"כ ,כוכבה סופרת 10תשדורות – 10שנים במערכת של מנוחה. ∆T ' = ∆T שוב ,כמו התשדורות של מנוחה ,גם התשדורות של כוכבה עוברות הסחת דופלר ,כך שהתשדורות במסע הלוך מגיעות כל שנתיים, ומסע חזור כל חצי שנה. אך הפעם – מנוחה סופרת 8תשדורות – כלומר 8שנים במערכת של כוכבה. פרדוקס המוט והאסם הפרדוקס: נתון אסם עם דלת באורך ,Lומוט שאורכו במערכת המנוחה שלו .P=1.5Lהמוט עף לכיוון האסם במהירות , β = 0.87כך ש- . γ ~ 2במערכת האסם המוט מתקצר ל P / γ = 0.75 L -כך שכולו בתוך האסם ,אך במערכת המוט האסם מתקצר לL / γ = L / 2 - כך שהוא לא כולו בפנים. הפיתרון: הציור מתאר את מערכת האסם :הקווים האנכיים הם קצות האסם והעקומים הם קצוות המוט הנעים אל האסם. הראשית היא הנקודה בה הקצה הקדמי של המוט נוגע בקצה הקדמי של האסם. במערכת האסם ,האירוע שמתרחש במקום של הקצה האחורי של המוט ושסימולטני עם הראשית הוא אירוע .Aבמערכת המוט ,האירוע הסימולטני הוא אירוע .B לכן למעשה הפיתרון נמצא באי שימור הסימולטניות – שני הצופים צודקים משום שהאירועים שהם מתארים כסימולטניים אינם אותם אירועים. בפועל ,אם נסגור את הדלת האחורית של האסם ברגע שהקצה האחורי של המוט נכנס לתוך האסם ,נגלה כי המוט נתקע .כאשר הקצה הקדמי נתקע ,גל הלחץ עובר אחורה במהירות נמוכה ממהירות האור ,כך שהמוט נדחס ומתקצר .כאשר הקצה האחורי נעצר ,הוא כבר בתוך האסם. * ניתן להשתמש בטרנספורמציית לורנץ בכדי לאמת זאת ע"י חישובים. פרדוקס המוט והצינור הפרדוקס: נתון צינור צר וארוך שבתחתיתו פתח באורך .Lבתוך הציור מוט בתנועה ומעט קצר יותר מהפתח ,כך שבמנוחה ,המוט עובר בפתח. במערכת המוט ,הפתח מתקצר והוא לא עובר .במערכת הצינור ,המוט מתקצר ועובר. * מניחים שהמוט והצינור מספיק דקים בכדי שהמוט לא יכול להיתקע בדופן שלו. הפיתרון: בתורת היחסות אין גוף שהוא באמת קשיח ,כי הכוח בין המולקולות אינו יכול לעבור מהר יותר ממהירות האור .במקרה הזה ,לוקח זמן עד שהכוח שמפעילים חלקי המוט בתוך הציור מגיע אל חלקיו שמעל לפתח, ובמשך זמן זה החלקים שמעל הפתח מאיצים אל מחוץ לצינור. * למעשה ניתן להסיק שגם אם המוט ארוך יותר מהפתח )במנוחה( ,המוט יתכופף וייפול – כל עוד המוט והצינור דקים מספיק כדי שהמוט לא יתקע בדופן. .8הקשר בין מסה ואנרגיה נפתח את המשוואה המפורסמת E = mc 2 בדרך שאיינשטיין פיתח אותה: שלב א' – חישוב היחס בין אנרגית האור במערכת Oלבין מערכת ' – Oע"י הבזק אור 2 A מקסוול הראה :צפיפות האנרגיה של האור )ליח' נפח( היא :צפיפות האנרגיה של האור - 8π . 1− β איינשטיין הראה שהדרישה לכך שמשוואות מקסוול אינווריאנטיות תחת טרנספורמציית לורנץ: 1+ β = A2 2 '. A נפחים לא נשמרים תחת טרנספורמציית לורנץ ,לכן נחשב את היחס בין הנפח במערכת Oלבין ב) O'-במהירות :( βנסתכל על הבזק אור בצורת תיבה: ההבזק באורך lבכיוון התנועה בציר ,Xובאורך wבצירי Yו.Z- לכן נפח ההבזק הוא . V = w l כעת נמצא את הנפח מערכת ' :Oהאורך wלא משתנה כי הוא בניצב לכיוון התנועה .משוואת קו העולם של החלק הקדמי של ההבזק היא . x = t + lע"י בוסט ,נמצא כי במערכת ' Oזה: 2 l ) γ (1 − β . x ' = t '+ ע"י השוואה בין המשוואות בשתי המערכות ,רואים כי אורך ההבזק ב O'-הוא ) . l / γ (1 − β E ' V ' A' 2 1− β 'V 1+ β = = = .מכאן שהיחס בין האנרגיות הוא: לכן היחס בין האורכים ,שהוא גם יחס הנפחים ,הוא 2 E 1+ β V 1− β VA שלב ב' – פיתוח השקילות של מסה ואנרגיה – ע"י גוף שפולט שני הבזקים בכיוונים מנוגדים ]נסמן לפני הפליטה ב ,0-אחרי ב ,1-ובמערכת ' Oע"י תאג[ נתבונן בגוף הפולט בו זמנית שני הבזקי אור בכיוונים הפוכים – כך שמהירות הגוף נשמרת – כל אחד מהם בעל אנרגיה EL / 2 . ב- ,Oולכן בעל תנע E L / 2c כי . E ' 0 = E '1 +γE L :נחסר משוואה זו ממשוואת שימור האנרגיה ב O-ונקבל. E ' 0 − E o = E '1 − E1 + E L (γ − 1) : הגודל E '0 − Eoהוא האנרגיה הקינטית של הגוף במערכת ' Oלפני בפליטה )ובאגף ימין -אחרי( ,לכןK ' 0 − K '1 = E L (γ − 1) : ⇐ האנרגיה הקינטית של הגוף במערכת ' Oקטנה בעקבות פליטת האור ,למרות שמהירותו לא השתנתה )כי מהירותו ב O-לא )ע"פ משוואות מקסוול( .ע"י משוואת שימור אנרגיה ב O'-והצבת יחס האנרגיות של האור שמצאנו ,נקבל השתנתה(. 1 2 1 EL 2 ≈ . K ' 0 − K '1מכיוון שmv - במהירויות נמוכותv : 2 2 c2 2 אם גוף מאבד אנרגיה E Lבצורת קרינה ,מסתו קטנה ב . E L / c -או – המסה של גוף היא מדד לתכולת האנרגיה שלו. = , Kנסיק: ב O-לשני ההבזקים הייתה אותה אנרגיה לכן התנע והמהירות של הגוף נשארו .0אבל ב O'-אנרגיות ההבזקים עברו טרנספורמציה ולכן התנע של הגוף השתנה ב .O'-מכיוון שמהירותו לא השתנתה ,כי הוא עדיין במנוחה ב ,O-נסיק שמסתו הייתה חייבת להשתנות. לכןE = mc 2 : -המסה היא עוד צורה של אנרגיה. -4 .9וקטורים t t x ~ - r = = איבר הזמן הוא האיבר ה.0- r′ y z הגדרה נורמת הווקטור )הגודל האינווריאנטי( וקטור מרחבי ע"י כלל הטרנס' שלו תחת סיבובים. 2 r = x2 + y2 + z2 מטריקה 0 0 מטריצת יחידה: 2 r = rTI r • • • 1 0 0 1 -4וקטור ע"י כלל הטרנס' שלו תחת בוסטים. 2 1 0 0 = I 2 rɶ = t − x − y − z 2 2 0 −1 0 0 0 − 1 2 ~ ~= r ~ rTI r 0 0 0 0 0 −1 2 1 0 = 0 0 η גדלים סקלריים אינם משתנים תחת טרנספורמציות – כמו נורמה של וקטור. ~ ~ מכפלה סקלריתa~ ⋅ b = a~ T ηb = a 0 b 0 − a 1b1 − a 2 b 2 − a 3b 3 : מהגדרת הנורמה ניתן לראות :נורמה חיובית – ,TLשלילית – ,SLאפס – .LL אופרטור השייך לחבורות לורנץ – כמו בוסט – יסומן : Λ מכך ש Λ -שומרת על הנורמה של הווקטור נובעΛ ηΛ = η : T אופרטורים השייכים לחבורת לורנץ – בוסטים ,סיבובים ,היפוך הצירים .מכפלה של שני אברים בחבורה הוא גם איבר בחבורה. .10דינאמיקה יחסותית פרטית 4וקטור המהירות: ~ הגדרה . v~ = dr = dt / dτ :ע"י dtנקבל שהוא~ = γ : γβ dτ dr / dτ .v 2 חישוב פשוט )ריבוע איבר ה 0-פחות ריבוע איבר המרחב( מראה שהנורמה שלוv~ = 1 : * לכן 3ווקטור המהירות vמתקבל ע"י חלוקת החלק המרחבי של ~ vבחלק הזמן שלו . v . 0 4וקטור התנע )תנע-אנרגיה(: γm E ~ הגדרהp = mv~ = = : γmβ p • • • . המסה mהיא מסת המנוחה של הגוף. האנרגיה של הגוף היא E = γm ה 3-תנע של הגוף הוא p = γmβ ~ באיבר ה 0-שלו(. • את ה 3-מהירות מקבלים ע"י) β = p / E :חלוקת האיבר המרחבי של p 2 2 ~ חישוב פשוט מראה שהנורמה שלו . p = m :בנוסף) E = p + m :כאשר .( p = p המסה mנקראת אנרגית המנוחה של הגוף .האנרגיה הקינטית של הגוף היא )= m(γ − 1 γmc E / c 2 2 2 4 )ביחידות רגילותp = = : ~ .( E = p c + m c , γmβc p .K .11ה 4-תנע של מערכת חלקיקים • חוק שימור התנע :ה 4-תנע של מערכת מבודדת נשמר )חוק שימור ה 4-תנע חל בנפרד על כל אחד מרכיביו(. • האדטיביות של התנע :ה 4-תנע הכולל של המערכת הוא הסכום של ה 4-תנעים של כל הגופים שבה. • המסה הכוללת של המערכת שונה מסכום מסות הגופים המרכיבים אותה )אלא גדולה או שווה לו( – נובע מכך שהמערכת ומרכיביה אינם במנוחה באותה מערכת ייחוס. • המסה של המערכת מושפעת לא רק מאנרגיה קינטית של המערכת ,אלא גם מאנרגיה פוטנציאלית או תרמית )לדוגמא ,אם ניקח שתי מסות שוות ובינהן קפיץ ,ונשחרר אותו ,מהסיבה שכל האנרגיה הפוטנציאלית של הקפיץ עברה למערכת ~ ,נסיק שהאנרגיה הפוטנציאלית של המערכת עברה למסה הזוג ,ושה 4-תנע במערכת המנוחה של הזוג הוא )p = (2mγ ,0 שלה(. * בפתירת תרגילים משתמשים בעובדה שנורמות ה 4-תנעים זהה בכל המערכות. תהליכים אנדוארגים ואקסוארגים בתהליכים גרעיניים – כמו התפרקות של חלקיקים – לעיתים חלק מהמסה הופכת לאנרגיה ,או להפך. נגדיר= minit − m fin : • • .Q Q>0 - Q < 0תהליך אנדוארגי :יש צורך להכניס אנרגיה למערכת. -תהליך אקסוארגי :משתחררת אנרגיה )שנמדדת ב.(erg- .12עוד דרך לקבל את התנע ואת האנרגיה הקינטית חוקי ניוטון .1החוק הראשון )אין כוח= מהירות קבועה( יישאר כמו שהוא כנובע מההגדרה של מערכות אינרציאליות. dp = . Fנגדיר את .2את החוק השני ) ( F = maנאלץ לשנות בגלל שאין הגבלה על המהירות .הגדרה אלטרנטיבית לחוק - dt התנע מחדש. .3החוק השלישי )פעולה-תגובה( יישאר תקף ,אך נגביל אותו לכוחות שפועלים על אותה נקודה באותו זמן )ולא ,למשל ,כוחות הפועלים בשני קצוות שונים של אותו המוט(. הגדרה חדשה של התנע כיוון :כמו וקטור מהירות הגוף .גודל :במהירות נמוכה שואף ל , mv -שונה במהירויות גבוהות כך שמוגבל למהירות האור .לכן נרשום ) ( ) ( בינתיים p = f v 2 mvכאשר . f ( 0 ) = 1נמצא את f v 2 ע"י הסתכלות על התנגשות חלקיקים: במערכת :'O במערכת :O במערכת Oלחלקיק 2יש תנע רק בציר ,Yולחלקיק 1יש גם מהירות . vxמערכת 'Oנעה במהירות vx ]נסמן ב ∆ -את השינוי בתנע מלפני לאחרי ההתנגשות[ משימור התנע . ∆p1, y = −∆p2, y :בגלל הסימטריה מתקיים . ∆p2, y = −∆p '1, y :נציב ונקבל= ∆p '1, y : ביחס ל.O- ) ( ' = f (v ' ) v ) ( . f (v ) v השינוי בתנע הוא מינוס פעמיים התנע התחילי לכן−2 f v 2 mv y = −2 f v '2 mv ' y : 1אין רכיב מהירות בכיוון xב ,'O-אז , v ' = v ' yונקבל: כלל הטרנס' עבור מהירות בניצב לבוסט: y vy ) γ ( β )(1 − β vx 2 y . ∆p1, y )המהירויות הן של .(1מאחר שלחלקיק 2 y = ) v ' yכאשר = vx .( βלכן vy 1 − vx2 = . v ' yנציב במשוואת התנע: v 2y 1 . f v = f הפונקציה הפותרת היא ] . f = γמוכיחים שזהו הפיתרון היחיד ע"י הנחה ושלילה[ .כך קיבלנו 1 − v 2 1 − v 2 x x p = γ mv . את התנע היחסותי ) ( 2 אנרגיה קינטית יחסותית נשמור על ההגדרה שעבודה שנעשית על גוף היא השינוי באנרגיה הקינטית שלו: ) ( 1 md v 2 dp v 2 2 = . dK = F ⋅ dxנבצע אינטגרל מ 0-עד . K = m ( γ − 1) : β ⋅ dx = dp ⋅ v = md = ⋅ v = ... 2 2 dt 1− v 1 − v2 3 ) ( .13קוונטיזציה של מטען מציאת היחס m e -תומסון ב 1897-ע"י שק"ק ראשית תומסון קבע שהקרניים נושאות מטען חשמלי שלילי ושהן מוסטות ע"י שדות חשמליים ומגנטיים ,ולכן הסיק שאלו חלקיקים בעלי מטען .את היחס m e חישב בשתי שיטות: .1מדד ל N-חלקיקים ) Nלא ידוע( את הגדלים הבאים: המטען הכולל Q = Neע"י שפופרת ואלקטרומטר. האנרגיה הקינטית W = 1 Nmv 2 2 mv רדיוס העקמומיות בשדה מגנטי = rע"י מדידת הסחת הקרן על המסך. eB e 2W . = משלושת המשוואות קיבל m Q ( rB )2 ע"י מדידת שינוי הטמפ' בצמד תרמי שהקרן פגעה בו. eEx12 Eex1 x2 .2הסטת הקרן ע"י קבל בתוך שק"ק: = y = y1 + y2 + 2mvx2 mvx2 הערך שנמצא היה גדול פי 2000מהחלקיק הקטן ביותר שהיה ידוע אז – מימן – לכן תומסון הסיק שזהו חלקיק חדש. מדידת מטען האלקטרון - eמיליקן ב 1909-ע"י טיפות שמן טיפה טעונה נופלת בהשפעת כבידה ומתאזנת ע"י שדה חשמלי .כך ניתן לחשב את מטען הטיפה: 3 4 1 9η 2 v f - η ) q = π צמיגות האוויר - ρ ,צפיפות המסה - v f \ vr ,מהירויות עליה\נפילה( .מיליקן מדד ) (v + v 3 E 2 ρg f r גדלים שונים של טיפות ,וראה שהמטען הוא כפולות של גודל מסוים . e - .14קרינת גוף שחור גוף שחור :גוף שבולע את כל האור שפוגע בו ,מתחמם ,ופולט את האנרגיה התרמית שלו כקרינה בעלת ספקטרום אורכי גל שונה מהספקטרום שפגע בו )נקראת ספקטרום קרינת גוף שחור(. מדמים גוף שחור ע"י פתח קטן בתא בעל נפח פנימי גדול – לקרן הנכנסת סיכוי קטן מאוד לצאת וסיכוי גדול להיבלע. במאה ה 19-היה ידוע על גוף שחור: σ ) R = σT 4 • חוק סטפן – בולצמן :הספק ליחידת שטח - • חוק ההסטה של וין :אורך גל של שיא ההתפלגות - ] [ mK הוא קבוע סטפן( −3 2.9 ⋅10 T = λm נמצא את הספקטרום) :כפי שמצא אותו ריילי ,תוך שימוש בשיטה שפותחה ע"י ג'ינס( ההספק Rשל הקרינה שבוקעת מהפתח קשור לצפיפות האנרגיה הנפחית בתוך התא לפי= 1 cU : 4 dU = ) U ( λהיא צפיפות האנרגיה אורך גל לחוד ,נגביל את המשוואה לאורך גל ספציפי , R ( λ ) = 1 cU ( λ ) :כאשר 4 dλ הנפחית ליחידת אורך גל של הקרינה שבתוך התא ,ו R ( λ ) -הוא ההספק ליחידת שטח סביב - λכלומר הספקטרום של קרינת גוף . Rבגלל שהתלות נכונה לכל שחור. נסתכל על גלי הקרינה שבתוך התא :נטען שפונקצית הגל ) ( x, y, z , t ψצריכה להתאפס על דפנות התא בגלל שדפנות התא שחורות ואז ψדועכת ל ,0-אבל באותו הזמן משוואות מקסוול דורשות ש ψ -תהיה רציפה על הדפנות .נניח שהתא הוא קובייה עם n yπ y n xπ x 2π ct n πz צלע .Lפיתרון מתאים לדרישה הוא: sin sin z sin L L L λ = ψ 0 sin .ψנציב את הפתרון במשוואת הגלים 2 1 ∂ 2ψ 2L 2 ∇ − =0 ψ . n + n + n = רק ערכי λמסוימים פותרים את המשוואה .גל בעל ערכים ( 1 ) : ונקבל c 2 dt 2 λ מסוימים של niשפותרים את המשוואה נקרא אופן. 2 z נמצא את צפיפות האנרגיה של הקרינהU ( λ ) : 2 y 2 x -נמצא ע"י כפילת צפיפות מספר אופני הגל )מספר האופנים ליח' אורך ליח' נפח( dN dN באנרגיה הממוצעת של אותו האופןE ( λ ) :dλ dλ = ) .U (λ נמצא את צפיפות מספר האופנים :משוואה ) (1מתארת כדור .אנו מעוניינים רק בשמינית החיובית שלו בגלל ש> 0 - . niלכן מספר 3 האופנים הוא נפח שמינית הכדור .נחלק ב L -בשביל למצוא את מספר האופנים ליחידת נפח .נגזור בשביל לקבל את צפיפות מספר האופנים ליחידת נפח ליחידת אורך גל .לבסוף נכפיל ב 2-בגלל שני הקיטובים האפשריים של השדה החשמלי עבור כל אופן: 3 4 L 4 −3 d / d λ 1 dN dN ⋅2 / L3 → = 4πλ −4 → = 8πλ −4 . V = π → N = πλ 3 λ 3 2 dλ dλ נמצא את האנרגיה הממוצעת :תרמודינאמיקה קלאסית קובעת שפונק' צפיפות ההסתברות של Eהיא קבוע בולצמן( .מתכונת הנרמול נמצא את הקבוע . C = 1 / kTנמצא תוחלת= kT : −4 ונקבל - R ( λ ) = 2π ckT λ :נוסחת ריילי-ג'ינס. נוסחה זו מתאימה לאורכי גל ארוכים בלבד! )הקטסטרופה האולטרה סגולה( kT −E P ( E ) = Ce ) -k . Eנציב את התוצאות במשוואת הספקטרום פתרון הקטסטרופה -ההנחה של פלאנק :פלאנק מצא פונקציה שתואמת את הניסויים -אופן של גל לא יכול לקבל כל ערך של האנרגיה – אלא רק = c / λ ) En = nhν -νתדירות הגל - h ,קבוע פלאנק - n ,מס' טבעי( .זוהי הקווטיזציה של האור .כעת E בדיד ופונקצית ההסתברות של האנרגיה היא 1 −1 λ kT hc hc λ e = kT − nhν . Eנציב ונגלה את הספקטרום: . P ( n ) = Ceמנרמול: 1 −1 λ kT hc hc λ e 5 kT − hν U ( λ ) = 8π = 1− e . Cנחשב תוחלת: -נוסחת פלאנק .מתאימה לכל אורך גל! .15האפקט הפוטואלקטרי ופיזור קומפטון -עוד עדויות לקוונטיזציה של האור האפקט הפוטואלקטרי – נחזה לראשונה :הרץ ב 1887-ע"י אנטנה הניסוי :הרץ השתמש באנטנה עם רוחח קטן .כאשר היא קלטה גלים היו ניצוצות ברווח .הניצוצות חדלו כאשר המרווח היה חשוף אופטית לניצוצות מהאנטנה ששידרה את הגלים. ההסבר :פגיעת האור בקוטבי המרווח גרמה ליציאה של מטענים אל המרווח ,שהפכו את האוויר למוליך כך שאין צורך בניצוצות.המטענים שהשתחררו היו שליליים ,ובעלי אותו יחס מסה/מטען כמו בניסוי של תומסון. המסקנה :פגיעת האור במתכת שחררה אלקטרונים. אור פוגע בקתודה שנמצאת בשפופרת ואקום, וגורם לפליטת אלקטרונים. מחזיקים מתח V בין האנודה לקתודה ,ומודדים את הזרם במעגל. → מערכת הניסוי גרף הזרם בין הקתודות כתלות במתח ← ככל שהמתח גדל ,יותר מאלקטרונים שמשתחררים מגיעים לאנודה ,עד שכולם מגיעים והזרם לא גודל יותר. כשאין מתח ,לחלק מהאלקטרונים יש מספיק אנרגיה מההתנתקות להגיע לאנודה ,וכשהמתח הופך שלילי יותר – עד - V0פחות ופחות אלקטרונים מצליחים להגיע לאנודה. מכך שמתח העצירה הוא , V0מסיקים שהאנרגיה הקינטית המקסימאלית של האלקטרונים היא . eV0 • מסתבר שV0 - • הפרש הזמן בין הדלקת האור להופעת הזרם הוא מידי – בניגוד להערכה הקלאסית: לא תלוי בעוצמת האור. הספק ליח' שטח של האור ⇐ F -ההספק על האטום ⇐ P = F π r eV0 eV0 ~ . ∆tאם נציב את נתוני האטום והאור נקבל . ∆t ~ 100 s = הדרושה: P Fπ r 2 2 סדר הגודל של הזמן שייקח לאטום לצבוא את האנרגיה הבעיה נפתרה ב 1905-ע"י מאמר של איינשטיין )לא על יחסות(: איינשטיין הניח שהאור שפוגע בקתודה מופיע במנות שלכל אחת אנרגיה hν hν − Φ = . V0מהמשוואה נסיק: והשאר לאנרגיה קינטית ,לכן , eV0 = K = hν − Φ :ואז e -חלק ממנה הולך על לשחרר את האטום ) ,( Φ • • • מתח העצירה לא תלוי בעוצמת האור. בעיית המיידיות של הזרם נפתרה :אנרגית האור מופיע בפוטונים בעלי אנרגיה קצובה ,אשר בהתנגשות עם אלקטרון מעבירים את כל האנרגיה מיד )חלקיקים נקודתיים(. לכל מערכת קיימת תדירות סף ν min = Φ / hשמתחתיה אין לפוטון די אנרגיה לשחרור אלקטרונים. קרינת Xופיזור בראג ידוע מאלקטרומגנטיות כי כאשר אלקטרון מואט מהר בגלל התנגשות הוא פולט גלים אלקטרומגנטיים .ב 1895-גילה רנטגן קרניים בלתי נראות – נקראו קרני - Xשנפלטו מנקודה שבה הייתה התנגשות אלקטרונים ,אשר עברו חומרים שאור נראה ו UV-לא עוברים ,לכן הוא ציפה שאלו אותם קרניים ,אבל הוא לא הצליח לזהות שבירה או התאבכות )כדי להעיד על גלים( ,או להסיט בשדה מגנטי )להעיד על מטען(. ב 1899-הצליחו להבחין בהתרחבות קלה של קרני Xבמעבר דרך סדק קטן )עקיפה( – לכן קבעו כי קרני Xהם גלים והעריכו את אורך הגל כ 1-אנגסטרם – דומה למרחק בין אטומים בגביש ,ולכן ניתן להשתמש בגבישים ליצירת התאבכות .ב 1912-אימתו את זה ניסיונית ומצאו אורך גל בין 0.1ל 0.5-אנגסטרם. פיזור בראג מסביר את תמונת ההתאבכות של קרניים מגביש: נתבונן באור שפוגע באטומים שנמצאים במשטחים שונים .אם המרחק בין המישורים הוא dאז הפרש הדרך בין שתי הקרניים הוא . 2d sin αהתאבכות בונה תתרחש רק כאשר הפרש זה הוא מכפלה שלמה של אורך הגל λשל הקרינה: " - 2d sin α = nλתנאי בראג" בעזרת תנאי בראג ניתן למדוד את λשל קרני Xשנפלטות ממטרה המופצצת באלקטרונים ,אם ידוע . d מניתוח התוצאות מתקבל גרף כמו זה שמשמאל – הספקטרום מורכב מקוים אופייניים -שמיקומם וגובהם היחסי תלוי בחומר של המטרה -ומהתפלגות רצף בעלת סף חד באורך גל קצר .מיקום הסף תלוי רק במתח בין הקתודה לאנודה. ההסבר לתלות מיקום הסף במתח )ע"י התפיסה הקוונטית של האור(: כאמור ,האנרגיה הקינטית של האלקטרון המואץ בשפופרת היא . K = e∆Vכאשר הוא מואט בגלל ההתנגשות במטרה ,הוא פולט פוטון .במקרה הכי קיצוני ,כל האנרגיה הקינטית של האלקטרון תעבור לפוטון= K : λmin = hc max . Eγבנוסף: λ Eγmax , Eγ = hν = h c כאשר λmin לכן . e∆V אפקט קומפטון – פיזור אור על אלקטרונים התיאוריה )הקלאסית( :כאשר גל אלקטרומגנטי פוגע באלקטרון ,השדה החשמלי של )המשתנה בזמן( הגל גורם לאלקטרון לנוע הלוך חזור לפי תדירות הגל .לפי משוואות מקסוול ,אלקטרון כזה פולט קרינה לפי תדירות תנועתו .בסה"כ :מתקבל פיזור של הקרינה הפוגעת תוך שימור אורך הגל. הבעיה :בניסויים שנערכו ,התיאוריה אומתה עם אור נראה וגלי רדיו ,אך עם קרני Xאורך הגל המוחזר היה קצר יותר מאשר של הפוגע )כלומר הבעיה התגלתה באורכי גל קצרים האנרגטיים יותר(. הפיתרון :ב 1923-קומפטון הציע הסבר ע"י הקוונטיזציה של האור: קומפטון הציע שלקוונטות האור יש לא רק אנרגיה במנות קצובות ,אלא גם תנע ,שנתון לפני תורת היחסות :מהמשוואה E 2 = p 2 + m2נובע שלחלקיק בעל מסה 0יש תנע ששווה לאנרגיה שלוpɶ γ = E (1, nˆ ) : . זהו היבט מהפכני – הפוטון קודם למעמד חלקיק )למרות שהוא חסר מסה(. ההסבר הוא הסבר חלקיקי – הפוטון פוגע באלקטרון ומוסט ממנו ,אך בהתנגשות חלק מהאנרגיה הקינטית של הפוטון עוברת לאלקטרון ,מה שגורע מאנרגיית הפוטון )מגדיל את אורך הגל(. נפתור כך את הבעיה של אי-שימור אורך הגל: אנו נרצה לראות מה קורה לאנרגיה של הפוטון כפונקציה של זווית הפיזור שלו .קוסינוס זווית הפיזור ניתן ע"י המכפלה הסקלרית של ה 3-תנע של הפוטון לפני ואחרי ההתנגשות 1] :מסמן לפני ההתנגשות 2 ,אחרי[ pɶ1γ + pɶ1e = pɶ 2γ + pɶ 2e משימור תנע: נרכז איברים -איברי הפוטון בצד אחד ,והאלקטרון בשני ,וניקח נורמה בשביל לקבל את הזווית: נפתח סוגריים )מכפלה סקלרית של -4וקטורים זה מכפלת רכיבי האפס מינוס מכפלה סקלרית של החלקים המרחביים( נורמת התנע היא המסה ,לכן עבור הפוטון זה ) 0בצד שמאל( ,והאפס מימין הוא מכיוון שp1e = 0 - . נפשט את הביטוי ונקבל: בנוסף ,משימור אנרגיה )השוואת איברי האפס(: 2 2 2 = pɶ1e − pɶ 2e 2 2 pɶ1γ − pɶ 2γ 2 pɶ1γ + pɶ 2γ − 2 pɶ1γ ⋅ pɶ 2γ = pɶ1e + pɶ 2e − 2 pɶ1e ⋅ pɶ 2e 0 + 0 − 2 E1γ E2γ + 2 E1γ E2γ cos θ = 2me2 − 2me E2e + 0 ) ( E1γ E2γ ( cos θ − 1) = me me − E2e me − E2e = E2γ − E1γ 2 נציב ,ונעבור ליחידות רגילות ע"י כפל meב. c - 1 1 1 − cos θ = me c 2 γ − γ אחרי סידור נקבל: E2 E1 h : 1 γ =λ נציב = - λ2 − λ1נוסחת קומפטון ) (1 − cos θ hc E me c נוסחת קומפטון נותנת את שינוי אורך הגל של אור שמפוזר ע"י אלקטרונים בזווית . θ בניסויו של קומפטון ,ראו בספקטרום הקרינה המפוזרת שני שיאים – אחד באותו אורך הגל הפוגע ,והשני שנובע מהפיזור ,באורך גל שהלך וגדל ככך שזווית הפיזור שנמדדה גדלה .השיא של אותו אורך הגל הפוגע ,נבע בפגיעת פוטונים באלקטרונים לא חופשיים, הקשורים לאטומים )כבדים מאוד יחסית( ,ולכן לא עברה אנרגיה ,ואורך הגל לא השתנה .השיא השני ,נובע מפגיעת פוטונים באלקטרונים חופשיים ,כך שהפיזור מהם אפשרי ,ואורך הגל השתנה. .16מודל האטום הגרעיני רמות האנרגיה של אטומים ומודל האטום של תומסון לפני המודל הגרעיני -סוף המאה ה ,19-תחילת ה:20- המודל הפופולרי – עוגת הצימוקים )צימוקים שליליים בתוך חומר חיובי שממלא את נפח האטום(. הבעיה במודל – לא ניתן לקבל את תנודות האלקטרונים ביחס לעוגה החיובית רק באמצעות כוחות אלקטרומגנטיים כדי שייפלט ספקטרום. 1 1 נעשו מדידות רבות של ספקטרום הפליטה של גזים )שעבר בהם ניצוץ או להבה( .נוסחת רידברג= R 2 − 2 : λ m n n > mשלמים ) - Rקבוע רידברג( ,עבדה טוב עם מימן. 1 ,עבור ניסוי רתרפורד-גייגר-מרסדן רתרפורד הראה שמאורניום בוקעת קרינת , αושהיחס q / mשלה שווה לחצי מהיחס עבור אטום מימן מיונן .לאחר בדיקת הספקטרום שלהם ,גילה כי אלו חלקיקי הליום ,ולכן הסיק שחלקיקי αהם אטומי הליום מיוננים. לאחר שהבינו זאת ,ביצעו ניסויים בשביל ללמוד על מבנה האטום :כיוונו קרינת αלרדיד מתכת דק .הרוב עברו בלי )או כמעט בלי( פיזור ,אבל חלק פוזרו ב 90 -ויותר .ננסה להעריך גבול עליון עבור זווית הפיזור שמצפים לה: • התנגשות באלקטרון :ה α -כבד פי 8000מה . e -בהתנגשות אלסטית חזיתית של חלקיק כבד שנע במהירות vעם חלקיק קל נייח ,החלקיקי הקל מקבל מהירות 2vוהכבד לא משתנה ,לכן שינוי התנע של ה , e -שווה לזה של ה , α -והוא = 2me v ∆p z הגבול העליון של הפיזור יהיה כאשר שינוי התנע כולו יהיה בניצב לכיוון התנועה ,ואז: < . θ < 0.014 ⇐ tan θ pz . ∆pz • התנגשות בעוגה החיובית :העוגה היא כדור בעל רדיוס Rומטען Qהמפוזר אחיד .הכדור מפעיל את הכוח האלקטרוסטאטי zα e ⋅ Ze הגדול ביותר כאשר החלקיק במרחק Rממרכז הכדור R2 e2 z Z 2 2R . ∆p ≈ F ∆t = Fשוב מקרה הגבול הוא כאשר כל =k α הזמן שדרוש לחלקיק לעבור את קוטר הכדור ,כלומר: v R v התנע הוא בניצב לכיוון התנועה ,נציב עבור אטום זהב ) ∆p :( Z = 79 < . θ < 0.026 ⇐ tan θ p =k . Fהשינוי בתנע החלקיק הוא מסדר גודל של הכוח כפול לכן הפיזור לא יכול להיות גדול ממעלה ,אלא אם כן זוהי תוצאה של פיזורים רבים .עבור מספר פיזורים גדול ,הסיכוי לפיזור בזווית )2 θ rms ) e(θ /θ גדולה מθ - ) 1 / 8000גדול הרבה יותר( .לכן המסקנה המתבקשת :מודל עוגת הצימוקים אינו נכון .סביר להניח שהערכה של פיזור מe - נכונה ,כי ידוע ש e -קיימים בחומר ,לכן מסיקים שהבעיה היא שעוגה החיובית מפעילה כוח קטן מדי על ה . α -ניתן להגדילו ע"י ריכוז הוא rms = רוחב ההתפלגות של .( θעבור θ > 90 −3500 נקבל סיכוי המטען באזור קטן יותר. לכן האטום שמתקבל הוא גרעין חיובי קטן במרכזו של האטום – "מודל האטום של רתרפורד". פיזור רתרפורד – נחשב את פיזור חלקיק הα - מגרעין האטום - bמקדם התנגשות .ככל ש b -גדול יותר כך זווית הפיזור ) ( θקטנה יותר )כאשר ∞ → bאז .( θ → 0 ל: θ - נמצא את הקשר בין b - p1תנע לפני p2 ,אחרי ∆p .הוא וקטור בכיוון ' z )זהו ציר החוצה את הזווית φ0 המשלימה את θ ל- z ' .(180הוא גם הכיוון הממוצע של כוח קולון שמפעיל הגרעין על החלקיק. , 10בעוד שבניסוי נמדד סיכוי האנר' הפוטנציאלית של החלקיק לפני ואחרי )במרחק רב מהגרעין( זהה ,לכן גם האנר' הקינטית נשמרת: , p1 = p2 = mα vלכן המשולש בציור הוא שווה שוקיים וניתן לרשום: 1 ∆p ∞ 1 1 ) 2חוצה זווית ל .( θ -אנו יודעים כי . ∆p = ∫ Fdtמכיוון שרק = sin θ ⇒ ∆p = 2 p sin θ ∞− 2 2 p ∞ dφ dt זה המהירות הזוויתית. . ∆p = ∫ F cos φ הכוח ברכיב ' zמשנה ,והואdφ : Fz ' = F cos φ : ∞− dt dφ dt r 2 2 = התנע הזוויתי נשמר כי זהו כוח מרכזי .התנע הזוויתי התחילי הוא , mα vbובמהלך הסיבוב הוא . mα r dφ / dtלכן dφ vb 2 φ0 / 2 ke z Z ke2 zα Z φ r2 α ∫ = . ∆pבגלל ש, φ0 = π − θ - = cos φ dφ ונקבל2 sin 0 : 2 −φ0 / 2 r vb vb 2 . sin φ0 / 2 = sin ( (π − θ ) / 2 ) = cos θ / 2נציב במשוואה למעלה ,ונרשום את 2המשוואות בינתיים: ke 2 zα Z θ 2 cos ∆ = p ke zα Z θ vb 2 = ) b (θ cot ⇐ 2 mα v 2 ∆p = 2 p sin θ 2 כל החלקיקים בעלי מקדם פגיעה קטן מ b -מסוים ,יעברו פיזור בזוית גדולה מ. θ - 2 חתך הפעולה לפיזור עוצמת הקרן ) I 0 -חלקיקים ליחידת זמן ליחידת שטח( .מס' החלקיקים שמפוזרים בשניה מגרעין אחד בזווית ≤ θ = מס' החלקיקים בעלי מקדם פגיעה קטן מ , b (θ ) -שבאים מהקרן בשניה = . I 0π b (θ ) חתך הפעולה לפיזור בזווית ≤ 2 2 (θ ) = π b (θ ) , θהוא . σהסבר נוסף לחתך הפעולה – השטח שהחלקיקים שעוברים דרכו עוברים פיזור בזווית ≤ ) θבציור(. dN ≥θ N t .הוא מספר במטרה דקה יהיה בקירוב פיזור אחד בלבד .מספר הפיזורים בזווית ≤ θביח' זמן= N t I 0σ (θ ) : dt הגרעינים במטרה - A ) N t = Awnt -שטח המטרה - w ,עובי המטרה - nt ,צפיפות הגרעינים במטרה( .לכן dN ≥θ .נחלק במספר הגרעינים שפוגעים במטרה ליח' זמן ) ( AI 0ונקבל את החלק מהחלקיקים שמתפזר ) = nt wAI 0σ (θ dt בזווית ≤ . f ≥θ = nt wσ (θ ) : θ אם נציב את הנתונים עבור זהב ,נקבל f ≥θ = 10 −4 התפלגות זווית הפיזור מס' החלקיקים המפוזרים ביח' זמן בזווית שבין )קרוב לתוצאת הניסוי של גייגר ומרסדן .( 1 / 8000 - θל θ + dθ - החלקיקים ליח' זמן בעלי מקדמי פגיעה בין bלI 0 = b + db - = מס' כפול שטח הטבעת )שבין bל) I 0 2π b ⋅ db = ( b + db -את db באמצעות dθע"י גזירת bלפי .( θ החלקיקים האלה יפגעו במסך בטבעת שבין רדיוסים r sin θל- ) , r sin (θ + dθששטחה ) . 2π r sin θ ( rdθ מביעים נחלק את מספר הפגיעות ליח' זמן בשטח הטבעת ,נקבל את צפיפות הפגיעות המשטחית N - )מס' פגיעות ליח' שטח ביח' זמן(: 2 ke 2 zα Z 1 1 = ) Nאחרי הצבה של הכול(. I 2 0 2 4 4r mα v sin θ 2 בניסוי היה ניתן לראות שהיחס בין N 1 ל- 2 sin 4 θ היה יחסית קבוע ,מה שאישר את המשוואה ,עד כדי דיוק המדידות. .17מודל האטום של בוהר הבעיה במודל של רתרפורד :בכדי לאזן את משיכת ה e -לגרעין ,הניחו שהוא מסתובב סביבו .אך e בתנועה מעגלית פולט קרינה, ולכן ייאבד אנרגיה עד שיקרוס. הפיתרון של בוהר: • ה e -יכול לנוע ברדיוסים מסוימים בלבד. • במעבר בין המסלולים ,ה e -פולט פוטון .הפוטון מקבל את האנרגיה שה e -איבד במעבר= Einit − E fin : . hν מציאת הרדיוסים המותרים ]נסמן את תדירות הפוטון [νɶ - • עיקרון ההתאמה :בוהר הניח שבגבול של רדיוסים גדולים ואנרגיות גבוהות ,החישובים הקוונטים צריכים לתת את התוצאות הקלאסיות. h • קוונטיזציה של תנע זוויתי :הנחותיו של בוהר מביאות לכך שהתנע הזוויתי של האלקטרון חייב להיות כפולות של 2π כלומר. me vr = nℏ : נסתכל על אטום כלשהו עם אלקטרון אחד וגרעין עם מטען . + Zeנשווה את כוח קולון לצטרפוגלי )על ה:( e - ke 2 Z ke2 Z v2 2 2 n ℏ = . vנציב ב , v -נבודד = . vבנוסף אנו יודעים מעיקרון הקוונטיזציה של התנע הזוויתי כי ⇐ 2 = me rme me r r r ≡.ℏ ℏ2 ℏ2 2 = 0.529 A ≡ " - a0רדיוס בוהר" ,שהוא הרדיוס עבור מימן ברמה , n = 1ואז נגדיר , r = n את rונקבל: me ke2 me ke 2 Z a r = n2 0 Z 2 1 ke Z 2 . E = me v − האנרגיה של האלקטרון היא קינטית ופוטנציאלית )פוטנציאל של מטען נקודתי(: 2 r 1 ke 2 Z 2 . E = −לכן תדירות הפוטון הנפלט במעבר בין הרמות היא: נציב את vשחישבנו משוויון הכוחות ונקבל: 2 r Ei − E f 1 ke 2 Z 1 1 = .νɶנציב את rשמצאנו ,ונחלק ב c -בשביל לקבל את נוסחת רידברג עם תיקון: =− − h 2 h ri rf 1 me k 2e 4 1 νɶ 1 2 ≡.R רידברג קבוע . Z R = = − n 2f ni2 2π cℏ3 c λ Z2 נציב את rשמצאנו גם באנרגיית האלקטרון ונקבל את אנרגיית האלקטרון בכל רמה: n2 me k 2e 4 = 13.6eV = - E0אנרגית הקשר של המימן )שנדרשת כדי ליינן אטום מימן(. 2ℏ 2 , En = − E0כאשר הגבול הקלאסי )עיקרון ההתאמה( נסתכל על תדירות הפוטון במעבר בין שתי רמות סמוכות ורחוקות מהגרעין: 1 1 n >>1 2 = cZ 2 R − → cZ 2 R 3 2 2 ( n − 1) n λ n v האלקטרון ,שווה לתדירות סיבוב האלקטרון ,שהיא = . fנציב את הרדיוס המותר ,ואת המהירות ע"פ עיקרון הקוונטיזציה של 2π r 2 2 התנע הזוויתי ,ונקבל - f = cZ R 3אותה התדירות. n c = .νɶלפי אלקטרומגנטיות קלאסית ,תדירות הפוטון )הקרינה( שפולט ההישגים של מודל בוהר • הסביר מדוע האלקטרון לא מאבד אנרגיה עד שקורס – קיים רדיוס מינימאלי. • הצליח להסביר את הספקטרום. • עלה בקנה אחד עם המודל הקלאסי :אלקטרון פולט קרינה ע"י מעבר לרדיוס הסמוך .ברמות גבוהות ,הרדיוסים קרובים ,והמעבר נראה רציף – האלקטרון ברמות הגבוהות מתקרב לגרעין תוך פליטת קרינה )כמו בקלאסי(. התייחסות לתזוזת הגרעין בפיתוח המודל הנחנו שהגרעין נייח )כי הוא כבד בהרבה מהאלקטרון( .אם נחליף את מסת האלקטרון במסה האפקטיבית me mn me + mn =µ )נלמד בקלאסית ,(1נקבל תוצאות מדויקות יותר. מסלולים אליפטיים והמבנה הדק בחישוב הנחנו מסלולים מעגליים ,אך גם אליפטיים אפשריים :זמן המחזור הקלאסי והתנע הזוויתי תלויים רק במרחק בין מוקדי האליפסה ,והמאפיינים המדידים )תדירות ,אנרגית בוהר( של המסלולים האליפטיים זהים לאלו של מסלולים מעגליים עם קוטר ששווה לאותו מרחק. כאשר המסלול מאוד אליפטי ,בחלק מהמסלול מהירות האלקטרון גדולה יותר ביחס למסלול המעגלי ,ואז נכנסים תיקונים יחסותיים למודל בוהר :מהירות האלקטרון היא מאית ממהירות האור ,וככל שהמסלול יותר אליפטי כך האפקטים האלה יותר משמעותיים. נמצא את מהירות האלקטרון ברמה הראשונה ) :( n = 1 v ke 2 Z v ℏ = = .נציב את הרדיוס המותר ונבודד את המהירות: מעיקרון קוונטיזציית התנע הזוויתי )נחלק ב- ( c - c cℏ c me rc v 1 ≈ . מכאן ניתן להציב ולראותZ : c 137 . ב 1916-זומרפלד הראה )לפי התיאוריה שלו( שעבור כל מסלול מעגלי צריכים להיות מסלולים נוספים עם אליפטיות שונה .האנרגיה שלהם נבדלת משל המעגלי במקצת בגלל תיקונים יחסותיים קטנים ,ולכן גם האנרגיה שהפוטון מקבל כשהאלקטרון עובר בין רמות היא מעט שונה ,וזה גורם להפרדה של הקווים הספקטראליים" .הפרדת המבנה העדין" מאופיינת ע"י "קבוע המבנה הדק" - ke 2 1 ≈ cℏ 137 ≡ .α זומרפלד תיאר את התוצאות בצורה טובה ,אך הסיבה האמיתית להן הייתה קוונטית – "הספין" של האלקטרון -ולא קלאסית כמו התיאוריה שלו. מתי מודל בוהר עובד היטב מבחינת הספקטרומים המודל נבנה עבור אטום מימן )בעלי אלקטרון אחד( ,ולכן הוא עובד טוב גם עם היסודות האלקליים )עמודה שמאלית בטבלה המחזורית( ,כי להם יש אלקטרון בודד ברמה החיצונית .כאשר יש יותר אז הכוחות בניהם מסבכים את הבעיה .מסתבר שהוא עובד טוב גם עם קרני :X ספקטרום קרני X באותה שנה שבוהר פרסם את המודל ,מוזלי חשב שאורכי הגל של ה X-נובעים ממעברים למסלולים הפנימיים ביותר ,כך ששאר האלקטרונים שברמות החיצוניות כמעט ולא משפיעים על האלקטרון שבפנימי ומודל בוהר מתקיים .ע"פ המודל, תדירות האור פרופורציונית לZ 2 - )נוסחת רידברג המתוקנת( ,לכן הוא מדד את שורש התדירות לעומת ,Zומהמדידות מצא שניתן לרשום ) νɶ = An ( Z − b בכדי לתאר את הסדרות שמדד )משמאל( .לכל סדרה ערך An ערך bמסוים. , מסוים ,ולכל קבוצה הקשר למודל בוהר נניח שסדרה ) Kהנמוכה( ,שבה , b = 1נובעת מכך שאלקטרון שמואץ בשפופרת )של הניסוי( מוציא אלקטרון מהרמה הראשונה של האטום .לכן המעבר הוא מרמה n כלשהי ל . 1 -נציב בנוסחת בוהר לתדירויות ) n2 ( 2 = cR ( Z − 1) 1 − 1 - νɶ כאשר החלפנו את Zב Z − 1 -בגלל התלות שמצא בוהר )הסבר אפשרי להחלפה: ברמה הראשונה הוצא אחד מתוך השנים שהיו ,ולכן האלקטרון שיצא ראה מטען −e .( eZע"י השוואה מקבלים ) n2 ( = cR 1 − 1 2 . An בהמשך להנחה ,סדרה Lנובעת מהוצאת אלקטרון מרמה שנייה שבה יש 6 אלקטרונים .כאשר אלקטרון יוצא ,הפעם הוא רואה את המטען של הגרעין ו7- האלקטרונים שנותרו .בפועל נמדד , b = 7.4בגלל אינטראקציות עם הרמה ה.3- חשיבות המדידות של מוזלי • עד המדידות לא ידעו ש Z-הוא מטען הגרעין • מוזלי מצא שברמות השונות יש מספרים מסוימים של אלקטרונים )אך לא יכל לקבוע כמה( ניסוי פראנק-הרץ – 1914 הניסוי חיזק את: • התמונה של בוהר – לאלקטרון באטום רמות אנרגיה דיסקרטיות • התמונה של מוזלי – שני אלקטרונים אינם יכולים להיות באותה רמה הניסוי :שתי אלקטרודות בתוך שפופרת אדי כספית ,ובניהן אנודה נוספת שהיא למעשה רשת .בין הקתודה לרשת מתח ,Vוהאנודה במתח מעט נמוך מהרשת .מודדים את הזרם דרך האנודה הראשונה )לא הרשת( כתלות במתח Vשל הרשת. הסבר לתוצאות :האלקטרונים באטום הכספית יכולים לבלוע או לפלוט אנרגיה בתנאי שהיא מתאימה להפרשי האנרגיה בין הרמות .אלקטרונים מואצים מהקתודה לאנודה .אלה שעוברים דרך חורי הרשת ,מואטים בגלל המתח ההפוך ,ובסוף מגיעים לאנודה .ככל שמעלים את ,Vנמדד יותר זרם ,עד שבשיא הראשון יש לחלק מהאלקטרונים מספיק אנרגיה בשביל לעורר את אטום הכספית ,ואז הם מאבדים אנרגיה ולא מצליחים להתגבר על ∆Vולהגיע לאנודה .ממשיכים להעלות – יותר אלקטרונים יכולים לעורר אטום כספית והזרם יורד .השיא השני הוא כאשר יש מספיק אנרגיה להתנגשות שנייה ,וכן הלאה. תנאי הקוונטיזציה של וילסון וזומרפלד ראינו כמה מקרים של קוונטיזציה )אנרגית הקרינה ,מצבי אנרגיה של אלקטרון ,תנע זוויתי של אלקטרון( .זהו ניסיון לתת חוקיות לדבר :במערכת בעלת קואורדינאטה מחזורית ) qכמו זווית( ,התנאי הוא∫ pdq = nh : כאשר pהוא התנע הצמוד לq - )כמו תנע זוויתי( ,והאינטגרל הוא על מחזור שלם. דוגמאות .1קוונטיזצית התנע הזוויתי של אלקטרון במימןLdφ = 2π L ( = nh ) ⇒ L = nℏ : 2π ∫ 0 , .2קוונטיזצית האור )הקרינה( :אוסילטור הרמוני q ) − kq = mqɺɺהיא קואורדינאטה( .פיתרון= A sin ωt : ,q dq התנע הוא = mω A cos ωt dt 1 2 1 2 2 . E = kA = mω Aואז התנאי הוא )באמצע נציב את האנרגיה ונשווה ל:( nh - 2 2 → E CONDITION dq 2π E p ⋅ dt = ∫ mω 2 A2 cos 2 (ωt )dt = 2 E ∫ cos 2 (ωt ) dt = E = = nh ⇒ E = nhνɶ dt ω νɶ p=m = k m .ω .האנרגיה במערכת היא האנרגיה הפוטנציאלית המקסימאלית: ∫ מודל בוהר ותנאי ווילסון-זומרפלד הן תערובות של שיקולים קוונטיים וקלאסיים ,והם לא נבנו מעקרונות מוצקים ותיאוריה מסודרת .יש צורך בתיאוריה טובה יותר – המכניקה הקוונטית. .18גלי חומר ב ,1924-דה-ברולי הציע הצעה מהפכנית – אולי כמו שלאור יש תכונות גם של גל וגם חלקיק ,אולי גם לחלקיקי חומר – כמו אלקטרון -יש כפל תכונות כזה? E hf h = התכונות החלקיקיות :תנע ואנרגיה .התכונות הגליות :תדירות ואורך גל .באור קיימים הקשרים = , E = hf c c λ " - λ = hאורך גל דה-ברולי" .אולי זה מתקיים גם בחומר? )הנוסחאות נקראות "יחסי דה ברוילי"( p ← =p במצב כזה ,תנאי הקוונטיזציה של התנע של בוהר נובע מכך שגל האלקטרון צריך לקיים את תנאי השפה )להשלים מספר שלם של גלים סביב הגרעין( :אם נציב את אורך גל דה ברולי בתנאי הקוונטיזציה של התנע של בוהר ,נקבל . 2π r = nλ אורך גל דה-ברולי הוא מאוד קטן )בהרבה יותר משל אור( ולכן קשה מאוד לאמת את אורך גל דה ברולי. ניקח אלקטרון לא יחסותי שמואץ במתח ) V0אנרגיה קינטית קטנה בהרבה מאנרגית המנוחה(: ° 1 p2 h = . eV0 = EKנציב את הנתונים עבור אלקטרון ונקבל 12.3 A = ⇒ p = 2mE ⇒ λ 2m E / eV 2mE =λ -כלומר 12.3אנגסטרם חלקי שורש אלקטרון-וולט )עבור ~100Vנקבל סדר גודל של אנגסטרם( הניסויים של דייויסון וגרמר בשנות ה 20-הצליחו לבסוף לקבל תבנית התאבכות של אלקטרונים ,וגם ניוטרונים .גם תומסון )לא מגלה האלקטרון( ביצע ניסוי בפיזור בראג של אלקטרונים. ]בקובץ ההרצאה אבנר מפרט על הניסויים .לא סיכמתי אותם כאן[ תכונות של גלים .1משוואת הגלים ופתרונות יסודיים ) 1 d y ( x, t נסתכל על מיתר שמתוח בכיוון xויכול לנוע ב .y-מחוקי ניוטון נגזרת משוואת הגלים: dx v2 dt 2 מהירות הגל )מהירות הפאזה( היא - ρ ) v = Tצפיפות – T ,מתיחות( .המשוואה נפתרת ע"י כל פונקציה גזירה פעמיים 2 ) d y ( x, t 2 = 2 .במערכת זו, ρ מהצורה ) y ( x ± vt .פתרונות שימושיים הם "גל הרמוני" )"סינוסיאידלי"(: x t 2π ) y = y0 cos ( x − vt ) = y0 cos 2π − = y0 cos ( kx − ωt λ λ T ) i ( kx −ωt ניתן גם לתאר באמצעות פונקציה מרוכבת: . y ( x, t ) = y0 e . 2π λ =k -מספר הגל ,ולכן E = ℏω כעת ניתן לרשום את יחסי ברולי בצורה יותר אסטטית: p = ℏk .2עיקרון הסופרפוזיציה :מכיוון שמשוואת הגלים היא ליניארית ,סכום של פתרונות הוא גם פתרון. .3צפיפות האנרגיה של הגל :צפיפות האנרגיה הממוצעת פרופורציונית לריבוע פונקצית הגל. ω k =v .4חבורת גלים גלים פרושים על פני כל המרחב וכל הזמן .אז איך נתאר חלקיק ,כאשר הוא ממוקם באזור מצומצם במרחב? תכונה חשובה של גלים הרמוניים :ניתן לתאר כל פונקציה כסכום של גלים הרמוניים )טורי פורייה( .גל שמתואר ע"י סכום כזה נקרא "חבורת גלים". פעימות :נתבונן בסכום של שני גלים שמתקדמים באותו כיוון: 1 1 y ( x, t ) = cos ( k1 x − ω1t ) + cos ( k2 x − ω2t ) = trigo... = 2 cos ∆kx − ∆ωt cos kx − ω t 2 2 k , ∆k ≡ k1 − k 2הוא הממוצע ,וב ω -כנ"ל .אותנו ייענין המקרה שערכי ה k , ω -של ) ( כאשר שתי הפונקציות מאוד קרובים אחד לשני ,ואז נקבל מכפלת פונקציה מהירה כמו המקורות, ב"מעטפת" עם תדירות ומספר גל קטנים .תופעה זו נקראת "פעימות" )בגלי קול – שומעים את הגל המהיר אבל בפעימות בעלי תדירות נמוכה(. ∆ω מהירות פונקצית המעטפת נקראת "מהירות החבורה" והיא ∆k המהירה נקראת "מהירות הפאזה הממוצעת" - ω k = = . vgמהירות הפונקציה . v pבריק )או בתווך אלסטי לחלוטין( מהירויות שני הגלים )המקוריים( שוות, ואז . v p = vg = vבתווך אחר רוב הפעמים vתהיה תלויה בk - )התופעה נקראת "דיספרציה"( ,ואז המהירויות לא שוות )נראה בהמשך(. בתמונה משמאל :בזמן מסוים )זמן קבוע( -הפרש הפאזה בין 2נקודות סמוכות שבהן המעטפת מתאפסת הוא π )קוסינוס מתאפס 1 1 כל ∆k ( x1 + ∆x ) − ∆kx1 = π ⇒ ∆k ∆x = 2π :( π 2 2 נקבל . ∆ω∆t = 2πאלו הם קשרים בין מרווח בין נקודות דומות )במקום \ בזמן( להפרש בין מספר הגל \ לתדירות בגל מהסוג שבתמונה ,בסוגים אחרים יהיו קשרים אחרים ,העיקרון הוא שהמכפלות ∆k ∆xו ∆ω∆t -הם מסדר גודל של .1 = ) phase( x1 + ∆x) − phase( x1 סופרפוזיציה של גלים רבים: .אותו דבר אך במקום מסוים – ∞ ( Y ( x, t ) = ∑ An e ) i k n x − ωn t מאפשר לקבל כל פונקציה ,בתנאי שהיא מחזורית. n =0 אנו רוצים שגל האלקטרון יתרכז במקום אחד ויידעך באינסוף ,כמו למשל פונקצית חבורה שנראית כמו גאוסיאן )כמו בתמונה( .ניתן לעשות זאת ע"י מעבר לאינטגרלA ( k ) ei( kx −ωt ) dk : ) A ( kהיא האמפליטודה של גל עם מספר גל k ) A ( kלY ( x , t ) - ∞ ∫ ∞− = ) . Y ( x, t )נקראת פונקצית ההתפלגות של .( kיש התאמה בין וניתן לעבור מאחת לשנייה באמצעות "טרנספורם פורייה" .תכונה חשובה של הטרנספורם היא שככל ש A -רחבה Y 1 1 ≥ . ∆ t ∆ω ≥ , ∆x∆kובמקביל הן גאוסיאן( ,לכן ניתן לומר 2 2 צרה יותר ,ולהיפך ,כך שמכפלת הרוחבים שלהן מסדר גודל של ) 1ומינימאלית – ½ -כאשר dω dv dω =v+k = . vgנגזור את : ω כאשר עוברים לביטוי רציף גם מהירות החבורה הופכת רציפה - dk dk dk אנו רואים שמהירות החבורה ומהירות הפאזה שונות ,אם התווך הוא דיספרסיבי ,שבו vתלויה ב. k -בתווך לא דיספרסיבי – כל רכיבי הגל ההרמוני מתקדמים באותה מהירות ,ולכן צורת הגל נשמרת עם הזמן - ω ( K ) ) .נקראת "פונקצית הדיספרציה"(. = = vk ⇒ vg .ω חבורות גלי אלקטרונים :מהירות האלקטרון ) − i ( kx −ω t .ψ ( x, t ) = ψ 0 eנבדוק אפשרויות שונות למהירות החלקיק: נעבור ממיתר לאלקטרון .נסמן את הגל De − Boglie = p2 ω 2π f =E = . vבחלקיק לא יחסותי האנרגיה היא קינטית = = fλ 2m k 2π / λ E h E נבדוק את מהירות הפאזה= : h p p 1 p 1 = - vחצי ממהירות החלקיק. ולכן = v particle 2m 2 נבדוק את מהירות החבורה :נמצא את פונקצית הדיספרציה :יחסי ברולי = hf = ℏω , p = h = ℏk - λ . Eנציב אותם ב- d ω ℏk p ℏk 2 p2 = . vgלכן מהירות החלקיק היא מהירות החבורה. = = . ωלכן = = v particle = Eונקבל dk m m 2m 2m הפירוש ההסתברותי של פונקצית הגל נסתכל על גל אלקטרומגנטי ,שבו פונקצית הגל היא גודל השדה החשמלי . εצפיפות האנרגיה פרופורציונית ל . ε -צפיפות האנרגיה 2 פרופורציונית לצפיפות הפוטונים ⇐ מספר הפוטונים בנפח מסוים פרופורציוני ל. ε - לדוגמא ,בהתאבכות של אור ,נקבל תבנית התאבכות ובה אזורים שבהם השדה החשמלי מתאפס ,וכאלה שבהם הוא מקסימאלי. במקומות אלה ,מספר הפוטונים הפוגעים הוא אפס ,או מקסימאלי בהתאמה .אבל זה עניין הסתברותי בלבד ,מכיוון שהוא אקראי. כלומר – ההסתברות שפוטון יפגע באזורים שבהם התאבכות הורסת ,היא אפס ,ומקסימאלית בהתאבכות בונה ,אבל אי אפשר לדעת איפה הוא יפגע ,אלא רק שהוא לא יפגע בקווי ההתאבכות ההורסת. 2 לכן ריבוע פונקצית הגל במקום מסוים ,הוא צפיפות ההסתברות לפגיע של הפוטון במקום זה .ידוע ש( x, t ) ∝ ε - ההסתברות לפגיעה בין xלx + dx - היא .ψ 2 ( x, t ) dxנעבור למרחב וננרמלψ 2 ( x, t ) dxdydz = 1 : ∞ ∫∫∫ ∞− ,ψלכן . עיקרון אי הודאות ראינו שככל שחבורת הגלים צרה יותר ב) x -כלומר פונקצית הגל צרה יותר( ,כך רחב יותר תחום הערכים של מספרי הגל k ℏ 1 ≥ - ∆x∆pזהו עיקרון אי הודאות עבור המיקום ≥ . ∆x∆kמאחר ש- p = ℏk - היא מורכבת ) ) A ( kרחבה יותר( - 2 2 והתנע :ככל שהמיקום ידוע יותר טוב ) ∆xקטן יותר( כך התנע ידוע פחות טוב ) ∆pגדול יותר( ,ולהיפך. שמהם דוגמא -מדידת תנע ומיקום של אלקטרון :כאשר מודדים את המיקום ,עושים זאת ע"י ראיה )פוטון( .הפוטון הוא גל ולכן הדיוק של המדידה יהיה מסדר גודל של אורך הגל . ∆x ~ λאך כאשר הפוטון פוגע באלקטרון הוא מעביר לו תנע ולכן הדיוק של התנע יהיה מסדר גודל של תנע האלקטרון . ∆p ~ h / λולכן . ∆p∆x ~ h > ℏהקטנת אורך הגל תקטין את שגיאת המיקום אבל תגדיל את שגיאת התנע. ℏ 1 E = ℏω במקביל ,ניתן לקבל את עיקרון אי הודאות עבור הזמן אנרגיה→ ∆t ∆E ≥ : 2 2 ≥ . ∆ ω ∆t דוגמא – כיוון שני מיתרי פסנתר :כדי לכוון שני מיתרים לאותה תדירות ,פורטים עליהם ומותחים/משחררים אחד מהם עד שהפעימות נעלמות .מה שקורה למעשה ,הוא שמגדילים את ההפרש בין הפעימות )אותה תדירות כאשר ההפרש הוא אינסופי( ,כך שבכדי לדעת יותר בוודאות שהמיתרים מאוזנים ,צריך להקשיב זמן רב יותר ,כך שלא ניתן לדעת אף פעם שהם מכוונים. אי וודאות מקסימלית :לחלקיק ) ψ = cos ( kx − ωtיש תנע מובהק p = ℏkללא שגיאה כי k ידוע ללא שגיאה .אך המיקום הוא עם שגיאה אינסופית כי הגל פרוס על כל המרחב. עיקרון אי הודאות במכניקת הקוונטים אינה רק הגבלת מדידה ,אלא תכונה יסודית שאומרת שלחלקיק אין מקום ותנע ,אלא יש לו פונקצית גל וממנה אפשר למדוד. עיקרון ההשלמה :אי אפשר לתאר את הפיזיקה רק ע"י התיאוריה הגלית או התיאוריה החלקיקית ,אבל אי אפשר לצפות בשתיהן באותו זמן. .19משוואת שרדינגר הצלחת גלי דה-ברוילי הביאה לחיפוש אחר תורה גלית ,שבגדלים גדולים תיתן את המכניקה קלאסית .היה ידוע כי פונקצית הגל ∂ 2ψ 1 ∂ 2ψ = צריכה לקיים משוואת גלים כלשהי ,וצריך למצוא אותה .נתחיל ממשוואת הגלים )במימד אחד(: ∂x 2 c 2 ∂t 2 לה הוא ) = ei( kx −ωt ) ψוגם סינוס וקוסינוס( .אם מציבים במשוואה מקבלים: ω2 2 c ω = ck ⇐ − k 2 = − שפתרון אפשרי -יחס הדיספרציה עבור פוטון בוואקום .מציבים את יחסי דה-ברוילי , p = ℏk , E = ℏωומקבלים - E = cpהקשר בין אנרגיה לתנע של פוטון. נמצא משוואת גל שתתאים לחלקיקי חומר )ע"י יציאה מתוך תנאי חלקיקי( ,ואז נבדוק אותה: p2 = - V ) Eאנרג' פוטנציאלית( .נציב יחסי ברולי: התנאי החלקיקי שממנו נצא הוא -האנרגיה כוללת של חלקיק היא + V 2m ∂ 2ψ ∂ψ ℏ2k 2 2 )לשים לב! לא ניתן לקבל זאת עם פתרונות סינוסיאידלים k ψ ו = − i ωψ ש לב נשים . ℏ ω = +V = − 2m ∂t ∂x 2 2 )ג'ון סטייל( נקבל את כי נגזרת ראשונה של קוסינוס היא סינוס ,ולהיפך( .אם מחלצים את ωואת kומציבים במשוואה ℏ2 2 ∂ψ ℏ 2 ∂ 2ψ ∂ψ .− ∇ ψ + Vψ = iℏ . −בהרחבה לשלושה מימדים: + Vψ = iℏ משוואת שרדינגר )במימד אחד(: 2 2m ∂t 2m ∂x ∂t ℏ2 2 ∂ψ ∇ + V ψ = iℏ .− משוואת שרדינגר: ∂t 2m נשים לב – יחס התנע-אנרגיה שמתקבל מהמשוואה הוא לא יחסותי ,ולכן היא רלוונטית עבור חלקיקים לא יחסותיים. צפיפות ההסתברות עבור פונקצית גל קומפלקסים :אמרנו שריבוע פונקצית הגל הוא צפיפות ההסתברות ל"מציאת" פוטון במקום מסוים .כעת פונקצית הגל היא מרוכבת וצריך לתקן זאת ע"י שנאמר 2 . ψ = ψ *ψלכן הנרמול הוא ψ dxdydz = 1 2 ∞ ∫∫∫ ∞− - הנרמול נובע מכך שחלקיקים לא נוצרים או נעלמים )לפחות לא במסגרת הלא-יחסותית( דרישות עבור פונקצית גל פיזיקלית • לקיים את משוואת שרדינגר: oצריכה להיות גזירה בזמן וגזירה פעמיים במרחב. o • ∂2 גם אינסופית. אגף שמאל של משוואת שרדינגר צריך להיות סופי ,לכן כאשר ∞ = , Vאו ש ψ = 0 -או שψ - ∂x 2 לשאוף ל 0-כאשר אחת הקואורדינאטות שואפת לאינסוף )כדי שיהיה אפשר לנרמל( אופרטורים 2 p נשווה את משוואת שרדינגר שלמעלה למשוואה שממנה יצאנו + V = E - 2m ∂ ∂ " iℏשולף" מ ψ -את האנרגיה )הכוונה היא ש( iℏ ψ = Eψ - • האופרטור ∂t ∂t ℏ2 2 • האופרטור ∇ " −שולף" מ ψ -את האנרגיה הקינטית. 2m ℏ2 2 • האופרטור "המילטוניאן" ∇ + V - , H ≡ −שגם "שולף" את האנרגיה. 2m • אופרטור התנע ∇" −iℏשולף" את התנע. ,נוכל לזהות התאמה בין האיברים בהן ולהסיק: הגדרה – פונקציה עצמית של אופרטור :אם עבור פונקציה ,ψאופרטור Aומספר aמתקיים Aψ = aψ ψהיא הפונקציה העצמית של האופרטור . A • • aנקרא הערך העצמי של . A • המשוואה Aψ = aψנקראת משוואת ערך עצמי. • המצב בו נמצאת המערכת הקוונטית )כמו רמה מסוימת של אלקטרון( נקראת מצב עצמי של . A ) i ( kx −ωt ,ψ = eמצב עצמי – כאשר זו פונקצית הגל של החלקיק. דוגמא– אופרטור התנע :ערך עצמי , px = ℏk -פונקציה עצמית - אז אומרים: שימוש :במכניקה קלאסית מתארים מערכת ע"י משוואת תנועה .במכניקה קוונטית אי אפשר לדעת איפה החלקיק ,לכן תיאור מערכת כרוך במציאת המצבים העצמיים של אופרטורים מעניינים. משוואת ערך עצמי של ההמילטוניאן אם נסתכל על אגף ימין של משוואת שרדינגר ,זהו אופרטור האנרגיה .לכן למעשה רשום ) ( x, t ) = Eψ ( x, t − iωt − iω t פונקצית גל* כללית , eנקבל את "משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן" - ,ψ ( x, t ) = ψ ( x ) eונצמצם ב- ) - Hψ ( x ) = Eψ ( xזוהי משוואת ערך עצמי עבור המילטוניאן. * המונח "פונקצית גל" מתייחס לעיתים ל ψ ( x, t ) -ולעיתים ל .ψ ( x ) -צריך לשים לב להקשר. . Hψאם ניקח פתרונות המשוואה ) ψ ( xהיא החלק המרחבי של פונקצית הגל של חלקיק בעל אנרגיה ) Eשהיא הערך העצמי של .( Hהפתרון ) ψ ( xהוא הפונקציה העצמית של , Hולכן הוא תיאור של מצב עצמי של חלקיק .נראה כמה פתרונות: .1חלקיק בבור פוטנציאל אינסופי )נזכיר כי מחפשים את המצבים והערכים העצמיים של ההמילטוניאן( 0 0 < x < L . V ( x ) = חלקיק לא יכול לקבל אנרגיה אינסופית לכן ψצריכה להתאפס בL - חלקיק בפוטנציאל ∞ otherwise ℏ2 2 ] ψ '' = −k ψ ⇐ −הערה שימושית :כאשר ψו ψ '' -בסימנים הפוכים משני נפתור את שרדינגרψ '' = Eψ ⇐ V = 0 : 2m עברי המשוואה – הפונקציה מבצעת אוסילציות[ .הפיתרון ) ψ = ψ 0 sin ( kxפותר ומקיים גם .ψ ( 0 ) = 0בשביל שψ ( L ) = 0 - צריך שיתקיים n . k = nπ / L ⇐ kL = nπהוא מספר קוונטי )וטבעי( שמתאר את מצב החלקיק )פונקצית הגל והאנרגיה שלו(. p2 ℏ2 k 2 ℏ 2π 2 2 p = ℏk = .E אז נחשב את האנרגיה של המצב ה-n-יn : = + V → E = ⇒ En V =0 2m 2m 2mL2 וב.0- לכן למעשה – תנאי השפה הם אלו שהובילו לקוונטיזציה של האנרגיה והמצבים המותרים. nπ x sin 2 = dx = 1 ⇒ ψ 0 L 2 מנרמול פונקצית הגל לאורך הבור נקבל את האמפליטודה שלו: L 2 nπ x sin L L = .ψ nנוסיף את התלות בזמן ע"י כפילה ב- ) ( ) 2 i( kn x −ωnt ) − i( kn x −ωnt iy e −e אויילר ,( ci s ( y ) = e -ונקבל L − iωn t L 0 ∫ψ 0 .אז פונקצית הגל היא , eנביע את הסינוס כהפרש של אקספוננטים )בעזרת נוסחת En ℏkn2 1 nπ = - ( ωnזוהי סופרפוזיציה = = , kn = ) ψn 2i ℏ 2m L של גל המתקדם לשמאל עם גל שמתקדם לימין ,ושניהם עם אותה פאזה בזמן = גל עומד .שניהם נמצאים באותו מצב אנרגיה ,לכן זו פונקציה עצמית של , Hויש לה אנרגיה מוגדרת .אבל אם ניקח סופרפוזיציה של שני גלים שלא באותו מצב אנרגיה ,כמו ,ψ = (ψ 1 + ψ 2 ) / 2אז Hψ = ( Hψ 1 + Hψ 2 ) / 2 = ( E1ψ 1 + E2ψ 2 ) / 2 הבלתי תלויה בזמן ,ולכן לא ערך עצמי של , Hולכן אין לה אנרגיה מוגדרת. הערה :המצבים העצמיים שמתוארים ע"י הפונקציות העצמיות של ה) H -הפתרונות של משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן( − iωt .( e נקראים "מצבים סטציונריים" – כי הם לא משתנים בזמן )פרט לפאזה - -זו לא פיתרון של משוואת שרדינגר אז מה חלקיק עושה בבור כזה? מבחינה קלאסית :החלקיק מתחיל במקום ומהירות מוחלטים ,ונע הלוך וחזור בין הקירות באופן ידוע וללא אי ודאות. מבחינה קווטית :החלקיק נמצא במצב תחילי כלשהו ,ואם הוא במצב סטציונרי ,אז הוא מתפתח רק בשינוי פאזה .אם לא ,אז בסכום של שינויי פאזה .אם הוא גם טעון בנוסף )כמו אלקטרון( ,הוא יכול לפלוט פוטון וליפול למצב אנרגיה נמוך יותר. .2חלקיק בבור פוטנציאל סופי הפעם הפוטנציאל מחוץ לבור הוא V0ולא ∞ .כרגע אנו מעוניינים רק במצבים בעלי < V0 ) = ψ 0 sin ( kx . Eהפיתרון בתוך הבור הוא ψכמו בבור אינסופי ,אך כעת לא צריך לדרוש איפוס ב 0-וב ,L-כי מותר לחלקיק לקבל את הפוטנציאל הסופי .רק צריך לדרוש ש ψ -ו ψ ' -יהיו רציפות בגבולות האלו )כדי שיתאפשר '' – (ψכלומר ,רציפות במעבר מהבור לבחוץ. 2m ℏ2 2 − > 0 ) ψ '' = α ψ ⇐ − הפיתרון מחוץψ ''+ V0ψ = Eψ ⇐ V = V0 : V E ( ) 0 ℏ2 2m באותו סימן כי , α > 0הפונקציה לא מבצעת אוסילציות אלא דועכת או מתבדרת ,עם פתרונות ≡ 2 .( αמכיוון שהפעם = Ce −α x ψאו ψוψ '' - ψ = Ceα x בהתאמה .מדרישת הרציפות נקבל תנאים על , α , kוהיחסים בין המקדמים / C תתקבל הקוונטיזציה של האנרגיה . Eלא נפתור את המתמטיקה של כל זה ,אבל נציין שהתקבל הפיתרון הדועך )לא יכול להיות ,ψ 0מנרמול יתקבל ,ψ 0ומתנאים אלה שוב שהאנרגיה מתבדרת( ,ונראה את גרפי הפתרונות: נשווה בין פיתרון של בור אינסופי ,לבור סופי )לכל פונקציה מצוירת מימינה הריבוע שלה( פונקציות עצמיות של בור סופי: פונקציות עצמיות של בור אינסופי: →← n =1 →←n=2 →←n =3 הפתרונות מאוד דומים ,אבל ההבדל הוא – בבור אינסופי הפונקציות מתאפסות לגמרי בגבולות הבור )אין סיכוי למצוא את החלקיק מחוץ לבור( ,ובבור סופי הפונקציות רחבות יותר עבור כל מצב ,כי הן לא מתאפסות אלא דועכות אקספוננטית )כלומר יש סיכוי למצוא אותו ,אבל הוא דועך ככל שמתרחקים מהבור(. אבל יש בעיה :מכיוון שבחרנו < V0 , Eפונקצית הגל גדולה יותר בתוך הבור – יש יותר סיכוי למצוא אותו בפנים ,אבל עדין יש סיכוי סופי למצוא אותו בחוץ ,עם אנרגיה כוללת Eופוטנציאלית , V0בגלל שE < V0 - הפיתרון – מעיקרון אי הודאות :בגלל שהפונקציה דועכת מחוץ לבור כמו מסוים - ~1 α −α x נקבל אנרגיה קינטית שלילית. , ~ eההסתברות דועכת כמו −2α x , ~ eואחרי מרחק -הסיכוי למצוא את החלקיק שם הוא נמוך מספיק בשביל להגיד שהוא לא שם .מציאתו בתחום הזה גוררת אי ודאות ℏ 2α 2 . בתנע של , ~ ℏαוזה גורר אי ודאות באנרגיה של = V0 − E = − K 2m ]בקובץ ההרצאה יש גם פתרון לאוסילטור הרמוני .הפיתרון נמצא בקובץ של ההרצאה, אבל בהרצאה עצמה הוא לא פתר ,לכן לא אוסיף אותה לסיכום[ מנהור נתבונן במקרה של חלקיק ופוטנציאל מהצורה שבציור ,עם < V0 . Eבאופן קלאסי ,החלקיק מוחזר שמאלה מהמחסום כי אין לו מספיק אנרגיה לעבור, אבל באופן קוונטי ,פונקצית הגל לא מאפסת במחסום אלא רק דועכת בו כמו −α x , ~ eואחריו ממשיכה באותה צורה מוחלשת "כאילו עברה במנהרה", ולכן בכל זאת יש סיכוי סופי למצוא את החלקיק מימין למחסום. ניתן להבין שככל שהמחסום יותר גבוה ,כך הפונקציה תדעך מהר יותר ,וככל שהיא רחבה יותר ,כך הפונקציה תדעך יותר. ]התופעה הזאת של מנור היא תופעה גלית ,ולא רק של קוונטים[ דוגמא לשימוש במנהור -קצב דעיכת αשל גרעין )ב 1928-ע"י גמוב(: שימוש במנהור בכדי להסביר את התחום הרחב מאוד של זמני החיים של הגרעינים שעוברים −6 דעיכות ) αבין 10שניות ל 10 -שנים( ,לעומת הטווח היחסית קטן של האנרגיה של ה: α - כאשר המרחק בין חלקיק ה α -והגרעין גדול – יש דחייה חשמלית בין הפרוטונים שלהם ,אבל במרחק קטן ,ה α -נמצא בבור פוטנציאל שנובע מהמשיכה של הכוחות הגרעיניים .הסיכוי שייפלט αהוא הסיכוי שה α -יעבור את המחסום .ככל שהאנרגיה שה α -מקבל היא יותר גדולה ,כך ההסתברות לעבור את המחסום גדלה אקספוננציאלית ,וכך בפועל יותר חלקיקי αנפלטים ,מה שמקטין את זמן החיים של הגרעין בצורה דראסטית .לכן ,בגלל ששינוי קטן באנרגיה של ה α -גורר שינוי גדול של זמן החיים ,מתקבל תחום לזמן החיים שהו גדול מאוד. 10 ]בהרצאה יש עוד דוגמא על מיקרוסקופ מנהור סורק שאותה לא הוספתי לסיכום[
© Copyright 2024