מבוא לפיסיקה מודרנית – סיכו הרצאות של אבנר סופר

‫סיכום הרצאות של אבנר סופר – מבוא לפיסיקה מודרנית‬
‫‪ .1‬עיקרון היחסות של גליליי‪ ,‬אור‬
‫טרנספורמציית גליליי )ההנחה כאן היא‪( t ' = t :‬‬
‫מיקום‪r ' = r − Vt :‬‬
‫מהירויות‪v' = v − V :‬‬
‫תאוצות‪a ' = a :‬‬
‫עיקרון היחסות של גליליי‪ :‬חוקי המכניקה אינו וריאנטים תחת טרנספורמציית גליליי‬
‫אור‬
‫מהירות האור‪:‬‬
‫• ‪ ,1676‬רומר – יכל לחזות את זמני הליקויים של הירח איו של צדק‪ ,‬אך המדידות הראו סטייה )בגלל סיבוב כדה"א סביב‬
‫השמש ושינוי מרחקו מאיו(‪ .‬מהמדידות ניתן היה לחשב‪ - ∆T ) c = D / ∆T :‬הפרש הזמנים שנמדד‪ - D ,‬קוטר הסיבוב‬
‫סביב השמש(‪.‬‬
‫• תחילת המאה ה‪ ,18-‬ברדלי – הכוכב ‪ Dra‬נע בתנועה מעגלית ברדיוס זוויתי של "‪ 20.2‬שניות קשת‪ .‬הדבר נבע משינוי‬
‫בכיוון המהירות של כדה"א עקב סיבובו סביב השמש‪ .‬ניתן לחשב‪. tan α = v / c :‬‬
‫כיום הוחלט לקבוע את המטר לפי מהירות האור‪ , c ≈ 3 ⋅ 10 8 m / s :‬לכן ניתן למדוד זמן ואורך ע"י אותה יחידה‪ ,‬כאשר ‪c‬‬
‫הוא קבוע‬
‫של הטבע לקשר בניהן‪.‬‬
‫הקדמה גלית‬
‫‬
‫‪1 ∂ψ‬‬
‫כל גל מקיים את משוואת הגלים‪∇ 2ψ (r , t ) = 2 2 :‬‬
‫‪v ∂t‬‬
‫‪r‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫משוואת הגל‪ - λ ) ψ ( r , t ) = sin  2π − 2π  :‬אורך הגל‪ - T ,‬זמן המחזור(‪.‬‬
‫‪T‬‬
‫‪ λ‬‬
‫תדירות‪ . f = 1 / T :‬תדירות זויתית‪ . ω = 2πf :‬מהירות הגל‪. v = λ / T :‬‬
‫‪2‬‬
‫עיקרון הסופרפוזיציה‪ :‬חיבור של פונקציות גל הוא פונקצית גל‪.‬‬
‫הניסוי של תומאס יאנג‪ :‬יצר מקורות קוהרנטיים ע"י העברת גל מישורי )אור( דרך שני סדקים(‪ .‬הדבר יצר הפרש פאזה בנקודות‬
‫שונות על המסך )בגלל הפרש הדרכים בין הגל מהסדק הראשון לגל השני(‪ ,‬מה שנראה כתבנית התאבכות‪.‬‬
‫האתר ומשוואת מקסוול‬
‫במאה ה‪ 19-‬ניסו להסביר את האור כגלים בתווך שכונה האתר – חומר חסר מסה או אינטראקציה עם חומרים‪ .‬מכאן שמערכת‬
‫האתר היא מערכת היחוס המועדפת‪.‬‬
‫לקראת סוף המאה ה‪ 19-‬מקסוול הראה שמשוואות השדות החשמלי והמגנטי מתקדמים במרחב כהפרעה שמקיימת את משוואת‬
‫הגלים כאשר ‪c = 1 / µ 0ε 0‬‬
‫‪ -‬מכאן שהאור הוא שדה א"מ‪.‬‬
‫‪ .2‬ניסוי מייקלסון מורלי )‪(1887‬‬
‫העיקרון ‪ -‬ניסיון למצוא את מערכת האתר באמצעות אינטרפרומטר‪ .‬האינטרפרומטר מודד את הפרש הפאזה בין ‪ 2‬קרני אור – אחת‬
‫בניצב לתנועת כדה"א והשנייה במקביל‪ .‬הקרניים נסחפות עם האתר ולכן נוצר הפרש פאזה בניהן‪.‬‬
‫הניסוי – מקור אור פולט קרן אור למראה חצי מחזירה )‪ ,(a‬בה חלקה ממשיך וחלקה מוחזר‪ .‬הקרניים קוהרנטיות )אותו גל – הפרש‬
‫פאזה ‪ .(0‬הקרניים מוחזרות ל‪ (a)-‬ועוברות למשקפת ב‪.(d)-‬המערכת הוצבה על לוח מסתובב כך שכיוון הקרניים ביחס לרוח האתר‬
‫היה ניתן לשינוי‪.‬‬
‫‪ac = ab = D‬‬
‫האינטרפרומטר נע ימינה במהירות ‪ V‬במערכת האתר‪.‬‬
‫קרן ‪) 1‬בכיוון התנועה ‪ -‬ימינה(‪ :‬במהלכה ימינה ‪= c − V‬‬
‫במהלכה שמאלה ‪= c + V‬‬
‫‪R‬‬
‫‪. v1‬‬
‫‪L‬‬
‫‪. v1‬‬
‫קרן ‪) 2‬ניצבת לתנועה – למעלה(‪v 2 = c 2 − V 2 :‬‬
‫הזמן שמבלה כל קרן בין הפגיעות במראה החצי מחזירה‪:‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪2D  V 2 ‬‬
‫קרן ‪1 + 2  :1‬‬
‫‪+‬‬
‫≈‬
‫‪c −V c +V‬‬
‫‪c ‬‬
‫‪c ‬‬
‫‪2D‬‬
‫‪2D ‬‬
‫‪V2 ‬‬
‫קרן ‪ :2‬‬
‫‪1 +‬‬
‫≈‬
‫= ‪T2‬‬
‫‪c  2c 2 ‬‬
‫‪c2 −V 2‬‬
‫= ‪T1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪D V ‬‬
‫לכן הפרש הזמנים הוא ‪ ‬‬
‫‪cc‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪∆T‬‬
‫והפרש הפאזה הוא‬
‫‪D V ‬‬
‫‪. ∆φ = 2π‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪λc‬‬
‫מייקלסון ומורלי לא הצליחו למדוד שום הפרש פאזה‪ ,‬גם לאחר סיבוב המערכת – הקרניים תמיד הגיעו באותו הזמן‪.‬‬
‫‪ .3‬עיקרון היחסות של איינשטיין ותוצאותיו‬
‫משני העקרונות הבאים נבנית תורת היחסות הפרטית‪:‬‬
‫‪ ‬עיקרון היחסות של איינשטיין‪ :‬חוקי הפיזיקה נכונים בכל המערכות האינרציאליות‪.‬‬
‫‪ ‬מעיקרון זה נובע עיקרון קביעות מהירות האור‪ :‬למהירות האור אותו ערך בכל המערכות האינרציאליות‪.‬‬
‫* אבדן הסימולטניות‪ :‬הסימולטניות אינה נשמרת במעבר בין מערכות אינרציאליות‬
‫ דוגמה‪ :‬המנורה הפולטת קרני אור לצדדים הקדמי והאחורי בחללית – במעבר ממע' החללית למע' כדה"א‪.‬‬‫* התארכות מרווחי זמן‪ :‬הפרש הזמן מתארך בכל מערכת שהיא לא "המערכת העצמית" פי ‪. ∆t ' = γ∆τ : γ‬‬
‫ דוגמה‪ :‬חללית שבה שתי מראות מקבילות אחת לשנייה ולכיוון תנועת החללית‪ ,‬ושבניהן עובר הבזק אור הלוך ושוב‪ .‬במערכת‬‫כדה"א הפרש הזמן בין שתי פגיעות מראה יהיה ארוך יותר מההפרש במערכת העצמית‪.‬‬
‫* התקצרות המרחק‪ :‬המרחק בין שתי נקודות תמיד ארוך ביותר במערכת המנוחה של הנקודות‪ ,‬ומתקצר בכל מערכת שאינה‬
‫המערכת העצמית פי ‪. ∆t ' = ∆τ / γ : γ‬‬
‫ דוגמה‪ :‬ניסוי המיואונים – במערכת המיואונים המרחק קצר יותר מאשר במערכת המנוחה של מכשירי המדידה שהיא מערכת‬‫כדה"א‪.‬‬
‫המערכת העצמית והזמן העצמי ) ‪( ∆τ‬‬
‫המערכת העצמית היא המערכת שבה שני מאורעות מתרחשים באותו מקום )למשל שתי פגיעות של הבזק האור במראה העליונה(‪.‬‬
‫הפרש הזמן בין המאורעות במערכת זו נקרא הזמן העצמי‪.‬‬
‫ניסוי המיואונים של רוסי והול )‪(1941‬‬
‫מיואונים הם חלקיקים הנוצרים באטמוספירה ומגיעים ארצה במהירות קרובה למהירות האור‪ .‬למיואונים זמן חיים ממוצע ‪τ = 2.2 µs‬‬
‫‪− ∆t / τ‬‬
‫)נמדד במנוחה(‪ ,‬כך שהם דועכים בצורה‪:‬‬
‫‪. N (t ) = N 0 ⋅ e‬‬
‫רוסי והול ספרו קצב מיואונים לדקה בגובה ‪ 1616m‬ובגובה ‪ .3240m‬מהביטוי ) ‪ N (t‬ניתן לחשב את הזמן במערכת המנוחה של‬
‫המיואונים שלקח לעבור את המרחק בין המדידות‪ . ∆τ = 0.67 µs :‬אך אם נחשב את הזמן שלוקח לעבור את המרחק הזה במערכת‬
‫כדה"א במהירות האור נקבל‪. ∆t = 5.4 µs :‬‬
‫מהיחס בין הזמנים ניתן למצוא את מהירות החלקיקים‪. β = 0.992 :‬‬
‫‪ .4‬טרנספורמציית לורנץ‬
‫האינטרוול האינווריאנטי‪ :‬לגודל ‪ c 2 ∆t 2 − ∆x 2‬יש את אותו ערך בכל המערכות האינרציאליות‪ ,‬כאשר ‪ ∆t‬ו‪∆x -‬‬
‫הם הפרשי הזמן‬
‫והמרחק הנמדדים באותה מערכת אינרציאלית‪.‬‬
‫טרנספורמציית לורנץ ‪BOOST -‬‬
‫) ‪ x' = γ ( x − β ct‬‬
‫‪v‬‬
‫‪ ‬כאשר‬
‫‪c‬‬
‫)‪ct ' = γ (ct − β x‬‬
‫=‬
‫‪,β‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1− β 2‬‬
‫=‪γ‬‬
‫‪1‬‬
‫* קירוב שימושי כאשר ‪1 − β 2 ≈ 1 − β 2 : β << 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫ מנקודה זו בסיכום אנו עובדים ביחידות טבעיות ‪-‬‬‫יחידות טבעיות‬
‫בשיטה זו עובדים עם יחידות שבהן ‪ , c = 1‬וכך הזמן נמדד במטר\אור )הזמן שלוקח לאור לעבור מטר אחד(‪ .‬בגלל ש‪ c = 1 -‬אז הזמן‬
‫נמדד במטרים‪ .‬בדרך זו טרנספורמציית לורנץ היא‪:‬‬
‫) ‪ x' = γ ( x − β t‬‬
‫‪ ‬והאינטרוול האינווריאנטי הוא פשוט ‪= t 2 − x 2‬‬
‫)‪t ' = γ (t − βx‬‬
‫‪− γβ  t ‬‬
‫‪ t'   γ‬‬
‫בצורת מטריצה‪  :‬‬
‫‪  = ‬‬
‫‪γ  x ‬‬
‫‪ x'   − γβ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.τ‬‬
‫טרנספורמציית המהירויות‬
‫‪v|| − β‬‬
‫||‪1 − β v‬‬
‫= ||'‪v‬‬
‫⊥‪v‬‬
‫) ||‪γ (1 − βv‬‬
‫= ⊥ '‪v‬‬
‫)אם התנועה היא בציר ‪ x‬אז ב‪ v|| -‬הכוונה היא ל‪ v x -‬וב‪ v⊥ -‬הכוונה היא ל‪v y -‬‬
‫או ‪( v z‬‬
‫חיבור מהירויות‬
‫‪β12 + β 01‬‬
‫‪1 + β12 β 01‬‬
‫= ‪β i j ) β 02‬‬
‫‪ -‬המהירות של מערכת ‪ j‬במערכת ‪(i‬‬
‫סוגי אינטרוולים‪ ,‬קונוס האור‪ ,‬וסיבתיות‬
‫אינטרוול חיובי – ‪:Time Like‬‬
‫‪ ‬קיימת מערכת שבה שני המאורעות הם באותו המיקום בחלל‪.‬‬
‫‪ ‬בכל המערכות שני האירועים יתרחשו בזמנים שונים‪.‬‬
‫‪ ‬מאורע אחד יכול להיות הסיבה של המאורע השני‪.‬‬
‫‪ ‬נורמה חיובית‪.‬‬
‫אינטרוול שלילי – ‪:Space Like‬‬
‫‪ ‬קיימת מערכת שבה שני המאורעות נצפו באותו זמן‪.‬‬
‫‪ ‬בכל המערכות המאורעות יתרחשו במקומות שונים‪.‬‬
‫‪ ‬מאורע אחד לא יכול להיות הסיבה של המאורע השני )מופרדים‬
‫סיבתית(‪.‬‬
‫‪ ‬נורמה שלילית‪.‬‬
‫אינטרוול אפס – ‪:Light Like‬‬
‫‪ ‬בכל המערכות המאורעות יתרחשו בזמנים שונים ובמקומות שונים‪.‬‬
‫‪ ‬מאורע אחד יכול לגרום למאורע השני רק ע"י מעבר אור‪.‬‬
‫‪ ‬נורמה אפס‪.‬‬
‫חרוט האור‪ :‬החרוט שבו נמצאים כל‬
‫האינטרוולים שהם ‪.TL‬‬
‫‪ .5‬הגיאומטריה של המרחב‪-‬זמן‬
‫ייצוג זוויתי של טרנספורמציית לורנץ‬
‫‪β = tanh φ‬‬
‫‪γ = cosh φ‬‬
‫‪βγ = sinh φ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 − tanh 2 ϕ‬‬
‫טרנספורמציית לורנץ‪:‬‬
‫‪− sinh φ  t ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪cosh φ  x ‬‬
‫= ‪cosh ϕ‬‬
‫‪tanh φ1 + tanh φ 2‬‬
‫כלל חיבור המהירויות‪:‬‬
‫‪1 + tanh φ1 tanh φ 2‬‬
‫‪ t '   cosh φ‬‬
‫‪  = ‬‬
‫‪ x'   − sinh φ‬‬
‫= ) ‪tanh(φ1 + φ 2‬‬
‫קואורדינאטות רינדלר‬
‫עבור ‪> x 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪:t‬‬
‫עבור ‪< x 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪:t‬‬
‫‪x = s sinh θ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪θ = tanh −1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y = s cosh θ‬‬
‫‪θ = tanh −1‬‬
‫‪s = t 2 − x2‬‬
‫טרנספורמציית לורנץ‪:‬‬
‫‪s' = s‬‬
‫‪s = x2 − t 2‬‬
‫‪θ'= θ −φ‬‬
‫כאשר‪β :‬‬
‫* הזווית בין הצירים של ' ‪ O‬לצירים של ‪ O‬במערכת של ‪ O‬כאשר ' ‪O‬‬
‫נעה במהירות‬
‫‪−1‬‬
‫‪φ = tanh‬‬
‫‪α = tan −1 θ : β‬‬
‫הפירוש הגיאומטרי של טרנספורמציית לורנץ‬
‫המרחב‪-‬זמן נקרא מרחב‪-‬זמן מינקובסקי‪ .‬בוסט במרחב מינקובסקי מקביל לסיבוב במרחב‬
‫הניוטוני‪.‬‬
‫•‬
‫אלמנט מרחק במרחב האוקלידי הוא ‪= dx 2 + dy 2 + dz 2‬‬
‫במרחב‪-‬זמן מינקובסקי‪= dt − dx − dy − dz :‬‬
‫‪2‬‬
‫•‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. dr‬‬
‫‪. ds‬‬
‫הגדלים האינווריאנטים תחת סיבוב הם ‪ t‬ו‪= x + y 2 + z 2 -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.r‬‬
‫במרחב‪-‬זמן מינקובסקי‪. s = t − x − y − z :‬‬
‫* "חבורת לורנץ"‪ :‬כל הטרנספורמציות אשר משמרות את האינטרוול‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫אם ניקח נקודה בעלת אינטרוול ‪ , s0‬ונצייר באותה מערכת את כל הבוסטים שניתן לבצע עליה‪,‬‬
‫נקבל את הגרף ‪− x 2 = s02‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ . t‬זוהי משוואה של היפרבולה‪ ,‬כמו שמצוירת כאן‪:‬‬
‫לכן אומרים שלמרחב‪-‬זמן מינקובסקי גיאומטריה היפרבולית‪.‬‬
‫‪ .6‬אפקט דופלר‬
‫אפקט דופלר‪ :‬שינוי תדירות הגל עבור צופה שנע ביחס לתווך הנושא את הגל‪.‬‬
‫הקשר בין התדירויות במקרה הניוטוני )בלי התארכות זמן(‪:‬‬
‫‪ v‬‬
‫‪f reciever = f source 1 − ‬‬
‫‪ c‬‬
‫כאשר ‪ v‬הוא מהירות הקולט – חיובית אם היא בכיוון הגל‪ - c .‬מהירות הגל‪.‬‬
‫במקרה היחסותי‪ ,‬כאשר הגל הוא אור ומתחשבים בהתארכות הזמן‪:‬‬
‫‪1− β‬‬
‫‪1+ β‬‬
‫כאשר‬
‫‪β‬‬
‫‪f reciever = f source‬‬
‫היא המהירות היחסית בין הקולט והמקור‪ ,‬והיא חיובים אם הם מתרחקים זה מזה‪.‬‬
‫* אפקט דופלר הרוחבי‪ :‬כאשר התנועה היא בניצב לאור‪ .‬אפקט זה נובע רק מהתארכות הזמן‪.‬‬
‫‪. f reciever = f source / γ‬‬
‫‪ .7‬פרדוקסים לכאורה בתורת היחסות‬
‫פרדוקס התאומים‬
‫הפרדוקס‪:‬‬
‫שתי תאומות ‪ -‬כוכבה ומנוחה ‪ -‬נמצאות על כדור הארץ‪ .‬באירוע ‪A‬כוכבה עולה על חללית במהירות ‪. β = 0.6‬‬
‫באירוע ‪ B‬היא מסתובבת ובאירוע ‪ C‬מגיעה חזרה למנוחה‪ .‬מנוחה גדלה ב‪. t = T = 10 yrs -‬‬
‫שני טיעונים נאיביים‪:‬‬
‫‪ .1‬פרידת התאומות ומפגשן אירעו באותו מקום במערכת של מנוחה‪ ,‬ולכן זוהי המערכת העצמית עם הזמן‬
‫הקצר יותר ⇐ ‪. t ' = Tγ = 12.5 yrs‬‬
‫‪ .2‬פרידת התאומות ומפגשן אירעו באותו מקום במערכת של כוכבה‪ ,‬לכן זוהי המערכת העצמית עם הזמן‬
‫הקצר יותר ⇐ ‪. t ' = T / γ = 8 yrs‬‬
‫הפיתרון‪:‬‬
‫כוכבה אינה במערכת אינרציאלית אחת במהלך הטיסה‪ ,‬אלא מאיצה ממערכת אחת לשניה‪ ,‬לכן‪:‬‬
‫‪ .1‬במסע הלוך‪ :‬תחילת המסע וסופו הם באותו מיקום במערכת של כוכבה‪ ,‬לכן‪:‬‬
‫במערכת של מנוחה עבר ‪ T / 2 = 5 yrs‬ולכן ‪ . t1 = T / 2γ = 4 yrs‬במסע חזור עברו גם ‪ 4‬שנים‬
‫מטעמי סימטריה‪.‬‬
‫‪ .2‬באירוע ‪ ,B‬כוכבה משנה את כיוון טיסתה בתאוצה אינסופית )ביחס למשך המסע הכולל(‪.‬‬
‫בציור ניתן לראות ‪ 2‬אירועים‪ - T1 :‬הזמן אצל מנוחה בו כוכבה התחילה לשנות כיוון‪- T2 .‬‬
‫הזמן בו כוכבה סיימה לשנות את הכיוון‪ .‬אצל כוכבה עבר ‪ 0‬זמן אבל אצל מנוחה עבר ‪T2 − T‬‬
‫‪1‬‬
‫זמן‪ .‬זו הסיבה להפרש הזמנים‪.‬‬
‫דרך נוספת לראות את התופעה – ע"י אפקט דופלר‪:‬‬
‫נניח שכל שנה‪ ,‬האחיות שולחות אחת לשנייה תשדורת‪.‬‬
‫במסע הלוך‪ ,‬כוכבה מקבלת את התשדורות בהפרשי זמן ' ‪: ∆T‬‬
‫‪1+ β‬‬
‫‪= 2 yrs‬‬
‫‪1− β‬‬
‫‪∆T ' = ∆T‬‬
‫‪1− β‬‬
‫במסע חזור‪= 0.5 yrs :‬‬
‫‪1+ β‬‬
‫בסה"כ‪ ,‬כוכבה סופרת ‪ 10‬תשדורות – ‪ 10‬שנים במערכת של מנוחה‪.‬‬
‫‪∆T ' = ∆T‬‬
‫שוב‪ ,‬כמו התשדורות של מנוחה‪ ,‬גם התשדורות‬
‫של כוכבה עוברות הסחת דופלר‪ ,‬כך‬
‫שהתשדורות במסע הלוך מגיעות כל שנתיים‪,‬‬
‫ומסע חזור כל חצי שנה‪.‬‬
‫אך הפעם – מנוחה סופרת ‪ 8‬תשדורות – כלומר‬
‫‪ 8‬שנים במערכת של כוכבה‪.‬‬
‫פרדוקס המוט והאסם‬
‫הפרדוקס‪:‬‬
‫נתון אסם עם דלת באורך ‪ ,L‬ומוט שאורכו במערכת המנוחה שלו ‪ .P=1.5L‬המוט עף לכיוון האסם במהירות ‪ , β = 0.87‬כך ש‪-‬‬
‫‪ . γ ~ 2‬במערכת האסם המוט מתקצר ל‪ P / γ = 0.75 L -‬כך שכולו בתוך האסם‪ ,‬אך במערכת המוט האסם מתקצר ל‪L / γ = L / 2 -‬‬
‫כך שהוא לא כולו בפנים‪.‬‬
‫הפיתרון‪:‬‬
‫הציור מתאר את מערכת האסם‪ :‬הקווים האנכיים הם קצות האסם והעקומים הם קצוות המוט הנעים אל האסם‪.‬‬
‫הראשית היא הנקודה בה הקצה הקדמי של המוט נוגע בקצה הקדמי של האסם‪.‬‬
‫במערכת האסם‪ ,‬האירוע שמתרחש במקום של הקצה האחורי של המוט ושסימולטני‬
‫עם הראשית הוא אירוע ‪ .A‬במערכת המוט‪ ,‬האירוע הסימולטני הוא אירוע ‪.B‬‬
‫לכן למעשה הפיתרון נמצא באי שימור הסימולטניות – שני הצופים צודקים משום‬
‫שהאירועים שהם מתארים כסימולטניים אינם אותם אירועים‪.‬‬
‫בפועל‪ ,‬אם נסגור את הדלת האחורית של האסם ברגע שהקצה האחורי של המוט נכנס‬
‫לתוך האסם‪ ,‬נגלה כי המוט נתקע‪ .‬כאשר הקצה הקדמי נתקע‪ ,‬גל הלחץ עובר אחורה‬
‫במהירות נמוכה ממהירות האור‪ ,‬כך שהמוט נדחס ומתקצר‪ .‬כאשר הקצה האחורי‬
‫נעצר‪ ,‬הוא כבר בתוך האסם‪.‬‬
‫* ניתן להשתמש בטרנספורמציית לורנץ בכדי לאמת זאת ע"י חישובים‪.‬‬
‫פרדוקס המוט והצינור‬
‫הפרדוקס‪:‬‬
‫נתון צינור צר וארוך שבתחתיתו פתח באורך ‪ .L‬בתוך הציור מוט בתנועה ומעט קצר יותר מהפתח‪ ,‬כך שבמנוחה‪ ,‬המוט עובר בפתח‪.‬‬
‫במערכת המוט‪ ,‬הפתח מתקצר והוא לא עובר‪ .‬במערכת הצינור‪ ,‬המוט מתקצר ועובר‪.‬‬
‫* מניחים שהמוט והצינור מספיק דקים בכדי שהמוט לא יכול להיתקע בדופן שלו‪.‬‬
‫הפיתרון‪:‬‬
‫בתורת היחסות אין גוף שהוא באמת קשיח‪ ,‬כי הכוח בין המולקולות אינו יכול לעבור מהר יותר ממהירות‬
‫האור‪ .‬במקרה הזה‪ ,‬לוקח זמן עד שהכוח שמפעילים חלקי המוט בתוך הציור מגיע אל חלקיו שמעל לפתח‪,‬‬
‫ובמשך זמן זה החלקים שמעל הפתח מאיצים אל מחוץ לצינור‪.‬‬
‫* למעשה ניתן להסיק שגם אם המוט ארוך יותר מהפתח )במנוחה(‪ ,‬המוט יתכופף וייפול – כל עוד המוט‬
‫והצינור דקים מספיק כדי שהמוט לא יתקע בדופן‪.‬‬
‫‪ .8‬הקשר בין מסה ואנרגיה‬
‫נפתח את המשוואה המפורסמת ‪E = mc 2‬‬
‫בדרך שאיינשטיין פיתח אותה‪:‬‬
‫שלב א' – חישוב היחס בין אנרגית האור במערכת ‪ O‬לבין מערכת '‪ – O‬ע"י הבזק אור‬
‫‪2‬‬
‫‪A‬‬
‫מקסוול הראה‪ :‬צפיפות האנרגיה של האור )ליח' נפח( היא‪ :‬צפיפות האנרגיה של האור ‪-‬‬
‫‪8π‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1− β‬‬
‫איינשטיין הראה שהדרישה לכך שמשוואות מקסוול אינווריאנטיות תחת טרנספורמציית לורנץ‪:‬‬
‫‪1+ β‬‬
‫‪= A2‬‬
‫‪2‬‬
‫'‪. A‬‬
‫נפחים לא נשמרים תחת טרנספורמציית לורנץ‪ ,‬לכן נחשב את היחס בין הנפח במערכת ‪ O‬לבין ב‪) O'-‬במהירות ‪ :( β‬נסתכל על‬
‫הבזק אור בצורת תיבה‪:‬‬
‫ההבזק באורך ‪ l‬בכיוון התנועה בציר ‪ ,X‬ובאורך ‪ w‬בצירי ‪ Y‬ו‪.Z-‬‬
‫לכן נפח ההבזק הוא ‪. V = w l‬‬
‫כעת נמצא את הנפח מערכת '‪ :O‬האורך ‪ w‬לא משתנה כי הוא בניצב לכיוון התנועה‪ .‬משוואת‬
‫קו העולם של החלק הקדמי של ההבזק היא ‪ . x = t + l‬ע"י בוסט‪ ,‬נמצא כי במערכת '‪ O‬זה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪l‬‬
‫) ‪γ (1 − β‬‬
‫‪. x ' = t '+‬‬
‫ע"י השוואה בין המשוואות בשתי המערכות‪ ,‬רואים כי אורך ההבזק ב‪ O'-‬הוא ) ‪. l / γ (1 − β‬‬
‫‪E ' V ' A' 2‬‬
‫‪1− β‬‬
‫'‪V‬‬
‫‪1+ β‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫‪ .‬מכאן שהיחס בין האנרגיות הוא‪:‬‬
‫לכן היחס בין האורכים‪ ,‬שהוא גם יחס הנפחים‪ ,‬הוא‬
‫‪2‬‬
‫‪E‬‬
‫‪1+ β‬‬
‫‪V‬‬
‫‪1− β‬‬
‫‪VA‬‬
‫שלב ב' – פיתוח השקילות של מסה ואנרגיה – ע"י גוף שפולט שני הבזקים בכיוונים מנוגדים‬
‫]נסמן לפני הפליטה ב‪ ,0-‬אחרי ב‪ ,1-‬ובמערכת '‪ O‬ע"י תאג[‬
‫נתבונן בגוף הפולט בו זמנית שני הבזקי אור בכיוונים הפוכים – כך שמהירות הגוף נשמרת – כל אחד מהם בעל אנרגיה‬
‫‪EL / 2‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪-‬‬
‫‪ ,O‬ולכן בעל תנע ‪E L / 2c‬‬
‫כי‪ . E ' 0 = E '1 +γE L :‬נחסר משוואה זו ממשוואת שימור האנרגיה ב‪ O-‬ונקבל‪. E ' 0 − E o = E '1 − E1 + E L (γ − 1) :‬‬
‫הגודל ‪ E '0 − Eo‬הוא האנרגיה הקינטית של הגוף במערכת '‪ O‬לפני בפליטה )ובאגף ימין ‪ -‬אחרי(‪ ,‬לכן‪K ' 0 − K '1 = E L (γ − 1) :‬‬
‫⇐ האנרגיה הקינטית של הגוף במערכת '‪ O‬קטנה בעקבות פליטת האור‪ ,‬למרות שמהירותו לא השתנתה )כי מהירותו ב‪ O-‬לא‬
‫)ע"פ משוואות מקסוול(‪ .‬ע"י משוואת שימור אנרגיה ב‪ O'-‬והצבת יחס האנרגיות של האור שמצאנו‪ ,‬נקבל‬
‫השתנתה(‪.‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪1 EL 2‬‬
‫≈ ‪ . K ' 0 − K '1‬מכיוון ש‪mv -‬‬
‫במהירויות נמוכות‪v :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 c2‬‬
‫‪2‬‬
‫אם גוף מאבד אנרגיה ‪ E L‬בצורת קרינה‪ ,‬מסתו קטנה ב‪ . E L / c -‬או – המסה של גוף היא מדד לתכולת האנרגיה שלו‪.‬‬
‫=‬
‫‪ , K‬נסיק‪:‬‬
‫ב‪ O-‬לשני ההבזקים הייתה אותה אנרגיה לכן התנע והמהירות של הגוף נשארו ‪ .0‬אבל ב‪ O'-‬אנרגיות ההבזקים עברו טרנספורמציה‬
‫ולכן התנע של הגוף השתנה ב‪ .O'-‬מכיוון שמהירותו לא השתנתה‪ ,‬כי הוא עדיין במנוחה ב‪ ,O-‬נסיק שמסתו הייתה חייבת להשתנות‪.‬‬
‫לכן‪E = mc 2 :‬‬
‫‪ -‬המסה היא עוד צורה של אנרגיה‪.‬‬
‫‪-4 .9‬וקטורים‬
‫‪t‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ t   x‬‬
‫~‬
‫‪ - r =   =  ‬איבר הזמן הוא האיבר ה‪.0-‬‬
‫‪ r′  y ‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ ‬‬
‫הגדרה‬
‫נורמת הווקטור )הגודל האינווריאנטי(‬
‫וקטור מרחבי‬
‫ע"י כלל הטרנס' שלו תחת סיבובים‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r = x2 + y2 + z2‬‬
‫מטריקה‬
‫‪0 0‬‬
‫מטריצת יחידה‪:‬‬
‫ ‪2‬‬
‫‪r = rTI r‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫‪1 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 1‬‬
‫‪-4‬וקטור‬
‫ע"י כלל הטרנס' שלו תחת בוסטים‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪I‬‬
‫‪2‬‬
‫‪rɶ = t − x − y − z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 −1 0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 − 1‬‬
‫‪2‬‬
‫~‬
‫~= ‪r‬‬
‫~ ‪rTI‬‬
‫‪r‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪=‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪η‬‬
‫גדלים סקלריים אינם משתנים תחת טרנספורמציות – כמו נורמה של וקטור‪.‬‬
‫~‬
‫~‬
‫מכפלה סקלרית‪a~ ⋅ b = a~ T ηb = a 0 b 0 − a 1b1 − a 2 b 2 − a 3b 3 :‬‬
‫מהגדרת הנורמה ניתן לראות‪ :‬נורמה חיובית – ‪ ,TL‬שלילית – ‪ ,SL‬אפס – ‪.LL‬‬
‫אופרטור השייך לחבורות לורנץ – כמו בוסט – יסומן ‪: Λ‬‬
‫מכך ש‪ Λ -‬שומרת על הנורמה של הווקטור נובע‪Λ ηΛ = η :‬‬
‫‪T‬‬
‫אופרטורים השייכים לחבורת לורנץ – בוסטים‪ ,‬סיבובים‪ ,‬היפוך הצירים‪ .‬מכפלה של שני אברים בחבורה הוא גם איבר בחבורה‪.‬‬
‫‪ .10‬דינאמיקה יחסותית פרטית‬
‫‪ 4‬וקטור המהירות‪:‬‬
‫~‬
‫הגדרה‪ . v~ = dr =  dt / dτ  :‬ע"י ‪ dt‬נקבל שהוא‪~ =  γ  :‬‬
‫‬
‫‪ γβ ‬‬
‫‪dτ  dr / dτ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪.v‬‬
‫‪2‬‬
‫חישוב פשוט )ריבוע איבר ה‪ 0-‬פחות ריבוע איבר המרחב( מראה שהנורמה שלו‪v~ = 1 :‬‬
‫* לכן ‪ 3‬ווקטור המהירות ‪ v‬מתקבל ע"י חלוקת החלק המרחבי של ~‬
‫‪ v‬בחלק הזמן שלו ‪. v‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 4‬וקטור התנע )תנע‪-‬אנרגיה(‪:‬‬
‫‪ γm   E ‬‬
‫~‬
‫הגדרה‪p = mv~ =   =   :‬‬
‫‪ γmβ   p ‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫‪.‬‬
‫המסה ‪ m‬היא מסת המנוחה של הגוף‪.‬‬
‫האנרגיה של הגוף היא ‪E = γm‬‬
‫‬
‫‬
‫ה‪ 3-‬תנע של הגוף הוא ‪p = γmβ‬‬
‫‬
‫‬
‫~ באיבר ה‪ 0-‬שלו(‪.‬‬
‫• את ה‪ 3-‬מהירות מקבלים ע"י‪) β = p / E :‬חלוקת האיבר המרחבי של ‪p‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫~‬
‫חישוב פשוט מראה שהנורמה שלו‪ . p = m :‬בנוסף‪) E = p + m :‬כאשר ‪.( p = p‬‬
‫המסה ‪ m‬נקראת אנרגית המנוחה של הגוף‪ .‬האנרגיה הקינטית של הגוף היא )‪= m(γ − 1‬‬
‫‪ γmc   E / c ‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2 4‬‬
‫)ביחידות רגילות‪p =   =   :‬‬
‫~ ‪.( E = p c + m c ,‬‬
‫‪ γmβc   p ‬‬
‫‪.K‬‬
‫‪ .11‬ה‪ 4-‬תנע של מערכת חלקיקים‬
‫• חוק שימור התנע‪ :‬ה‪ 4-‬תנע של מערכת מבודדת נשמר )חוק שימור ה‪ 4-‬תנע חל בנפרד על כל אחד מרכיביו(‪.‬‬
‫• האדטיביות של התנע‪ :‬ה‪ 4-‬תנע הכולל של המערכת הוא הסכום של ה‪ 4-‬תנעים של כל הגופים שבה‪.‬‬
‫• המסה הכוללת של המערכת שונה מסכום מסות הגופים המרכיבים אותה )אלא גדולה או שווה לו( – נובע מכך שהמערכת‬
‫ומרכיביה אינם במנוחה באותה מערכת ייחוס‪.‬‬
‫• המסה של המערכת מושפעת לא רק מאנרגיה קינטית של המערכת‪ ,‬אלא גם מאנרגיה פוטנציאלית או תרמית‬
‫)לדוגמא‪ ,‬אם ניקח שתי מסות שוות ובינהן קפיץ‪ ,‬ונשחרר אותו‪ ,‬מהסיבה שכל האנרגיה הפוטנציאלית של הקפיץ עברה למערכת‬
‫~ ‪ ,‬נסיק שהאנרגיה הפוטנציאלית של המערכת עברה למסה‬
‫הזוג‪ ,‬ושה‪ 4-‬תנע במערכת המנוחה של הזוג הוא )‪p = (2mγ ,0‬‬
‫שלה(‪.‬‬
‫* בפתירת תרגילים משתמשים בעובדה שנורמות ה‪ 4-‬תנעים זהה בכל המערכות‪.‬‬
‫תהליכים אנדוארגים ואקסוארגים‬
‫בתהליכים גרעיניים – כמו התפרקות של חלקיקים – לעיתים חלק מהמסה הופכת לאנרגיה‪ ,‬או להפך‪.‬‬
‫נגדיר‪= minit − m fin :‬‬
‫•‬
‫•‬
‫‪.Q‬‬
‫‪Q>0‬‬
‫‪ - Q < 0‬תהליך אנדוארגי‪ :‬יש צורך להכניס אנרגיה למערכת‪.‬‬
‫‪ -‬תהליך אקסוארגי‪ :‬משתחררת אנרגיה )שנמדדת ב‪.(erg-‬‬
‫‪ .12‬עוד דרך לקבל את התנע ואת האנרגיה הקינטית‬
‫חוקי ניוטון‬
‫‪ .1‬החוק הראשון )אין כוח= מהירות קבועה( יישאר כמו שהוא כנובע מההגדרה של מערכות אינרציאליות‪.‬‬
‫‬
‫‪ dp‬‬
‫‬
‫= ‪ . F‬נגדיר את‬
‫‪ .2‬את החוק השני ) ‪ ( F = ma‬נאלץ לשנות בגלל שאין הגבלה על המהירות‪ .‬הגדרה אלטרנטיבית לחוק ‪-‬‬
‫‪dt‬‬
‫התנע מחדש‪.‬‬
‫‪ .3‬החוק השלישי )פעולה‪-‬תגובה( יישאר תקף‪ ,‬אך נגביל אותו לכוחות שפועלים על אותה נקודה באותו זמן )ולא‪ ,‬למשל‪ ,‬כוחות‬
‫הפועלים בשני קצוות שונים של אותו המוט(‪.‬‬
‫הגדרה חדשה של התנע‬
‫כיוון‪ :‬כמו וקטור מהירות הגוף‪ .‬גודל‪ :‬במהירות נמוכה שואף ל‪ , mv -‬שונה במהירויות גבוהות כך שמוגבל למהירות האור‪ .‬לכן נרשום‬
‫) (‬
‫) (‬
‫‬
‫‬
‫בינתיים ‪ p = f v 2 mv‬כאשר ‪ . f ( 0 ) = 1‬נמצא את ‪f v 2‬‬
‫ע"י הסתכלות על התנגשות חלקיקים‪:‬‬
‫במערכת ‪:'O‬‬
‫במערכת ‪:O‬‬
‫במערכת ‪ O‬לחלקיק ‪ 2‬יש תנע רק בציר ‪ ,Y‬ולחלקיק ‪ 1‬יש גם מהירות ‪ . vx‬מערכת ‪ 'O‬נעה במהירות ‪vx‬‬
‫]נסמן ב‪ ∆ -‬את השינוי בתנע מלפני לאחרי ההתנגשות[‬
‫משימור התנע‪ . ∆p1, y = −∆p2, y :‬בגלל הסימטריה מתקיים‪ . ∆p2, y = −∆p '1, y :‬נציב ונקבל‪= ∆p '1, y :‬‬
‫ביחס ל‪.O-‬‬
‫) (‬
‫' ‪= f (v ' ) v‬‬
‫) (‬
‫‪. f (v ) v‬‬
‫השינוי בתנע הוא מינוס פעמיים התנע התחילי לכן‪−2 f v 2 mv y = −2 f v '2 mv ' y :‬‬
‫‪ 1‬אין רכיב מהירות בכיוון ‪ x‬ב‪ ,'O-‬אז ‪ , v ' = v ' y‬ונקבל‪:‬‬
‫כלל הטרנס' עבור מהירות בניצב לבוסט‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫‪vy‬‬
‫) ‪γ ( β )(1 − β vx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪. ∆p1, y‬‬
‫)המהירויות הן של ‪ .(1‬מאחר שלחלקיק‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫= ‪) v ' y‬כאשר ‪= vx‬‬
‫‪ .( β‬לכן‬
‫‪vy‬‬
‫‪1 − vx2‬‬
‫=‬
‫‪ . v ' y‬נציב במשוואת התנע‪:‬‬
‫‪ v 2y  1‬‬
‫‪ . f v = f ‬הפונקציה הפותרת היא ‪] . f = γ‬מוכיחים שזהו הפיתרון היחיד ע"י הנחה ושלילה[‪ .‬כך קיבלנו‬
‫‪ 1 − v 2  1 − v 2‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‬
‫‬
‫‪p‬‬
‫=‬
‫‪γ‬‬
‫‪mv‬‬
‫‪.‬‬
‫את התנע היחסותי‬
‫) (‬
‫‪2‬‬
‫אנרגיה קינטית יחסותית‬
‫נשמור על ההגדרה שעבודה שנעשית על גוף היא השינוי באנרגיה הקינטית שלו‪:‬‬
‫) (‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‪md v 2‬‬
‫‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ ‪ dp‬‬
‫ ‬
‫‬
‫‪v‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ . dK = F ⋅ dx‬נבצע אינטגרל מ‪ 0-‬עד ‪. K = m ( γ − 1) : β‬‬
‫‪⋅ dx = dp ⋅ v = md ‬‬
‫= ‪ ⋅ v = ...‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪ 1− v ‬‬
‫‪1 − v2 3‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪ .13‬קוונטיזציה של מטען‬
‫מציאת היחס‬
‫‪m‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ -‬תומסון ב‪ 1897-‬ע"י שק"ק‬
‫ראשית תומסון קבע שהקרניים נושאות מטען חשמלי שלילי ושהן מוסטות ע"י שדות חשמליים ומגנטיים‪ ,‬ולכן הסיק שאלו חלקיקים‬
‫בעלי מטען‪ .‬את היחס‬
‫‪m‬‬
‫‪e‬‬
‫חישב בשתי שיטות‪:‬‬
‫‪ .1‬מדד ל‪ N-‬חלקיקים )‪ N‬לא ידוע( את הגדלים הבאים‪:‬‬
‫‪ ‬המטען הכולל ‪ Q = Ne‬ע"י שפופרת ואלקטרומטר‪.‬‬
‫‪ ‬האנרגיה הקינטית ‪W = 1 Nmv 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪mv‬‬
‫‪ ‬רדיוס העקמומיות בשדה מגנטי‬
‫= ‪ r‬ע"י מדידת הסחת הקרן על המסך‪.‬‬
‫‪eB‬‬
‫‪e‬‬
‫‪2W‬‬
‫‪.‬‬
‫=‬
‫משלושת המשוואות קיבל‬
‫‪m Q ( rB )2‬‬
‫ע"י מדידת שינוי הטמפ' בצמד תרמי שהקרן פגעה בו‪.‬‬
‫‪eEx12 Eex1 x2‬‬
‫‪ .2‬הסטת הקרן ע"י קבל בתוך שק"ק‪:‬‬
‫= ‪y = y1 + y2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2mvx2‬‬
‫‪mvx2‬‬
‫הערך שנמצא היה גדול פי ‪ 2000‬מהחלקיק הקטן ביותר שהיה ידוע אז – מימן – לכן תומסון הסיק שזהו חלקיק חדש‪.‬‬
‫מדידת מטען האלקטרון ‪ - e‬מיליקן ב‪ 1909-‬ע"י טיפות שמן‬
‫טיפה טעונה נופלת בהשפעת כבידה ומתאזנת ע"י שדה חשמלי‪ .‬כך ניתן לחשב את מטען הטיפה‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4 1  9η  2 v f‬‬
‫‪ - η ) q = π ‬צמיגות האוויר‪ - ρ ,‬צפיפות המסה‪ - v f \ vr ,‬מהירויות עליה\נפילה(‪ .‬מיליקן מדד‬
‫) ‪(v + v‬‬
‫‪‬‬
‫‪3 E 2 ‬‬
‫‪ρg f r‬‬
‫גדלים שונים של טיפות‪ ,‬וראה שהמטען הוא כפולות של גודל מסוים ‪. e -‬‬
‫‪ .14‬קרינת גוף שחור‬
‫גוף שחור‪ :‬גוף שבולע את כל האור שפוגע בו‪ ,‬מתחמם‪ ,‬ופולט את האנרגיה התרמית שלו כקרינה בעלת ספקטרום אורכי גל שונה‬
‫מהספקטרום שפגע בו )נקראת ספקטרום קרינת גוף שחור(‪.‬‬
‫מדמים גוף שחור ע"י פתח קטן בתא בעל נפח פנימי גדול – לקרן הנכנסת סיכוי קטן מאוד לצאת וסיכוי גדול להיבלע‪.‬‬
‫במאה ה‪ 19-‬היה ידוע על גוף שחור‪:‬‬
‫‪σ ) R = σT 4‬‬
‫•‬
‫חוק סטפן – בולצמן‪ :‬הספק ליחידת שטח ‪-‬‬
‫•‬
‫חוק ההסטה של וין‪ :‬אורך גל של שיא ההתפלגות ‪-‬‬
‫] ‪[ mK‬‬
‫הוא קבוע סטפן(‬
‫‪−3‬‬
‫‪2.9 ⋅10‬‬
‫‪T‬‬
‫= ‪λm‬‬
‫נמצא את הספקטרום‪) :‬כפי שמצא אותו ריילי‪ ,‬תוך שימוש בשיטה שפותחה ע"י ג'ינס(‬
‫ההספק ‪ R‬של הקרינה שבוקעת מהפתח קשור לצפיפות האנרגיה הנפחית בתוך התא לפי‪= 1 cU :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪dU‬‬
‫= ) ‪ U ( λ‬היא צפיפות האנרגיה‬
‫אורך גל לחוד‪ ,‬נגביל את המשוואה לאורך גל ספציפי‪ , R ( λ ) = 1 cU ( λ ) :‬כאשר‬
‫‪4‬‬
‫‪dλ‬‬
‫הנפחית ליחידת אורך גל של הקרינה שבתוך התא‪ ,‬ו‪ R ( λ ) -‬הוא ההספק ליחידת שטח סביב ‪ - λ‬כלומר הספקטרום של קרינת גוף‬
‫‪ . R‬בגלל שהתלות נכונה לכל‬
‫שחור‪.‬‬
‫נסתכל על גלי הקרינה שבתוך התא‪ :‬נטען שפונקצית הגל‬
‫) ‪( x, y, z , t‬‬
‫‪ ψ‬צריכה להתאפס על דפנות התא בגלל שדפנות התא‬
‫שחורות ואז ‪ ψ‬דועכת ל‪ ,0-‬אבל באותו הזמן משוואות מקסוול דורשות ש‪ ψ -‬תהיה רציפה על הדפנות‪ .‬נניח שהתא הוא קובייה עם‬
‫‪n yπ y‬‬
‫‪n xπ x‬‬
‫‪2π ct‬‬
‫‪n πz‬‬
‫צלע ‪ .L‬פיתרון מתאים לדרישה הוא‪:‬‬
‫‪sin‬‬
‫‪sin z sin‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪λ‬‬
‫‪= ψ 0 sin‬‬
‫‪ .ψ‬נציב את הפתרון במשוואת הגלים‬
‫‪2‬‬
‫‪1 ∂ 2ψ‬‬
‫‪ 2L ‬‬
‫‪2‬‬
‫∇‬
‫‪−‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪ψ‬‬
‫‪ . n + n + n = ‬רק ערכי ‪ λ‬מסוימים פותרים את המשוואה‪ .‬גל בעל ערכים‬
‫(‬
‫‪1‬‬
‫)‬
‫‪:‬‬
‫ונקבל‬
‫‪‬‬
‫‪c 2 dt 2‬‬
‫‪ λ ‬‬
‫מסוימים של ‪ ni‬שפותרים את המשוואה נקרא אופן‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z‬‬
‫נמצא את צפיפות האנרגיה של הקרינה‪U ( λ ) :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ -‬נמצא ע"י כפילת צפיפות מספר אופני הגל )מספר האופנים ליח' אורך ליח' נפח(‬
‫‪dN‬‬
‫‪dN‬‬
‫‬‫ באנרגיה הממוצעת של אותו האופן‪E ( λ ) :‬‬‫‪dλ‬‬
‫‪dλ‬‬
‫= ) ‪.U (λ‬‬
‫נמצא את צפיפות מספר האופנים‪ :‬משוואה )‪ (1‬מתארת כדור‪ .‬אנו מעוניינים רק בשמינית החיובית שלו בגלל ש‪> 0 -‬‬
‫‪ . ni‬לכן מספר‬
‫‪3‬‬
‫האופנים הוא נפח שמינית הכדור‪ .‬נחלק ב‪ L -‬בשביל למצוא את מספר האופנים ליחידת נפח‪ .‬נגזור בשביל לקבל את צפיפות מספר‬
‫האופנים ליחידת נפח ליחידת אורך גל‪ .‬לבסוף נכפיל ב‪ 2-‬בגלל שני הקיטובים האפשריים של השדה החשמלי עבור כל אופן‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4 L‬‬
‫‪4 −3 d / d λ 1 dN‬‬
‫‪dN‬‬
‫‪⋅2‬‬
‫‪/ L3‬‬
‫→‬
‫‪= 4πλ −4 ‬‬
‫→‬
‫‪= 8πλ −4‬‬
‫‪. V = π   → N = πλ ‬‬
‫‪3 λ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2 dλ‬‬
‫‪dλ‬‬
‫נמצא את האנרגיה הממוצעת‪ :‬תרמודינאמיקה קלאסית קובעת שפונק' צפיפות ההסתברות של ‪ E‬היא‬
‫קבוע בולצמן(‪ .‬מתכונת הנרמול נמצא את הקבוע ‪ . C = 1 / kT‬נמצא תוחלת‪= kT :‬‬
‫‪−4‬‬
‫ונקבל‪ - R ( λ ) = 2π ckT λ :‬נוסחת ריילי‪-‬ג'ינס‪.‬‬
‫נוסחה זו מתאימה לאורכי גל ארוכים בלבד! )הקטסטרופה האולטרה סגולה(‬
‫‪kT‬‬
‫‪−E‬‬
‫‪P ( E ) = Ce‬‬
‫) ‪-k‬‬
‫‪ . E‬נציב את התוצאות במשוואת הספקטרום‬
‫פתרון הקטסטרופה ‪ -‬ההנחה של פלאנק‪ :‬פלאנק מצא פונקציה שתואמת את הניסויים ‪ -‬אופן של גל לא יכול לקבל כל ערך של‬
‫האנרגיה – אלא רק ‪= c / λ ) En = nhν‬‬
‫‪ -ν‬תדירות הגל‪ - h ,‬קבוע פלאנק‪ - n ,‬מס' טבעי(‪ .‬זוהי הקווטיזציה של האור‪ .‬כעת ‪E‬‬
‫בדיד ופונקצית ההסתברות של האנרגיה היא‬
‫‪1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪λ kT‬‬
‫‪hc‬‬
‫‪hc‬‬
‫‪λ e‬‬
‫=‬
‫‪kT‬‬
‫‪− nhν‬‬
‫‪ . E‬נציב ונגלה את הספקטרום‪:‬‬
‫‪ . P ( n ) = Ce‬מנרמול‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪λ kT‬‬
‫‪hc‬‬
‫‪hc‬‬
‫‪λ e‬‬
‫‪5‬‬
‫‪kT‬‬
‫‪− hν‬‬
‫‪U ( λ ) = 8π‬‬
‫‪= 1− e‬‬
‫‪ . C‬נחשב תוחלת‪:‬‬
‫‪ -‬נוסחת פלאנק‪ .‬מתאימה לכל אורך גל!‬
‫‪ .15‬האפקט הפוטואלקטרי ופיזור קומפטון ‪ -‬עוד עדויות לקוונטיזציה של האור‬
‫האפקט הפוטואלקטרי – נחזה לראשונה‪ :‬הרץ ב‪ 1887-‬ע"י אנטנה‬
‫הניסוי‪ :‬הרץ השתמש באנטנה עם רוחח קטן‪ .‬כאשר היא קלטה גלים היו ניצוצות ברווח‪ .‬הניצוצות חדלו כאשר המרווח היה חשוף‬
‫אופטית לניצוצות מהאנטנה ששידרה את הגלים‪.‬‬
‫ההסבר‪ :‬פגיעת האור בקוטבי המרווח גרמה ליציאה של מטענים אל המרווח‪ ,‬שהפכו את האוויר למוליך כך שאין צורך‬
‫בניצוצות‪.‬המטענים שהשתחררו היו שליליים‪ ,‬ובעלי אותו יחס מסה‪/‬מטען כמו בניסוי של תומסון‪.‬‬
‫המסקנה‪ :‬פגיעת האור במתכת שחררה אלקטרונים‪.‬‬
‫אור פוגע‬
‫בקתודה‬
‫שנמצאת‬
‫בשפופרת ואקום‪,‬‬
‫וגורם לפליטת‬
‫אלקטרונים‪.‬‬
‫מחזיקים מתח ‪V‬‬
‫בין האנודה‬
‫לקתודה‪ ,‬ומודדים‬
‫את הזרם‬
‫במעגל‪.‬‬
‫→‬
‫מערכת הניסוי‬
‫גרף הזרם בין הקתודות כתלות במתח ←‬
‫ככל שהמתח גדל‪ ,‬יותר‬
‫מאלקטרונים שמשתחררים‬
‫מגיעים לאנודה‪ ,‬עד שכולם‬
‫מגיעים והזרם לא גודל יותר‪.‬‬
‫כשאין מתח‪ ,‬לחלק‬
‫מהאלקטרונים יש מספיק‬
‫אנרגיה מההתנתקות להגיע‬
‫לאנודה‪ ,‬וכשהמתח הופך‬
‫שלילי יותר – עד ‪ - V0‬פחות‬
‫ופחות אלקטרונים מצליחים‬
‫להגיע לאנודה‪.‬‬
‫מכך שמתח העצירה הוא ‪ , V0‬מסיקים שהאנרגיה הקינטית המקסימאלית של האלקטרונים היא ‪. eV0‬‬
‫•‬
‫מסתבר ש‪V0 -‬‬
‫•‬
‫הפרש הזמן בין הדלקת האור להופעת הזרם הוא מידי – בניגוד להערכה הקלאסית‪:‬‬
‫לא תלוי בעוצמת האור‪.‬‬
‫הספק ליח' שטח של האור ‪ ⇐ F -‬ההספק על האטום ‪⇐ P = F π r‬‬
‫‪eV0‬‬
‫‪eV0‬‬
‫~ ‪ . ∆t‬אם נציב את נתוני האטום והאור נקבל ‪. ∆t ~ 100 s‬‬
‫=‬
‫הדרושה‪:‬‬
‫‪P‬‬
‫‪Fπ r 2‬‬
‫‪2‬‬
‫סדר הגודל של הזמן שייקח לאטום לצבוא את האנרגיה‬
‫הבעיה נפתרה ב‪ 1905-‬ע"י מאמר של איינשטיין )לא על יחסות(‪:‬‬
‫איינשטיין הניח שהאור שפוגע בקתודה מופיע במנות שלכל אחת אנרגיה ‪hν‬‬
‫‪hν − Φ‬‬
‫= ‪ . V0‬מהמשוואה נסיק‪:‬‬
‫והשאר לאנרגיה קינטית‪ ,‬לכן‪ , eV0 = K = hν − Φ :‬ואז‬
‫‪e‬‬
‫‪ -‬חלק ממנה הולך על לשחרר את האטום ) ‪,( Φ‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫מתח העצירה לא תלוי בעוצמת האור‪.‬‬
‫בעיית המיידיות של הזרם נפתרה‪ :‬אנרגית האור מופיע בפוטונים בעלי אנרגיה קצובה‪ ,‬אשר בהתנגשות עם אלקטרון מעבירים‬
‫את כל האנרגיה מיד )חלקיקים נקודתיים(‪.‬‬
‫לכל מערכת קיימת תדירות סף ‪ ν min = Φ / h‬שמתחתיה אין לפוטון די אנרגיה לשחרור אלקטרונים‪.‬‬
‫קרינת ‪ X‬ופיזור בראג‬
‫ידוע מאלקטרומגנטיות כי כאשר אלקטרון מואט מהר בגלל התנגשות הוא פולט גלים אלקטרומגנטיים‪ .‬ב‪ 1895-‬גילה רנטגן קרניים‬
‫בלתי נראות – נקראו קרני ‪ - X‬שנפלטו מנקודה שבה הייתה התנגשות אלקטרונים‪ ,‬אשר עברו חומרים שאור נראה ו‪ UV-‬לא‬
‫עוברים‪ ,‬לכן הוא ציפה שאלו אותם קרניים‪ ,‬אבל הוא לא הצליח לזהות שבירה או התאבכות )כדי להעיד על גלים(‪ ,‬או להסיט בשדה‬
‫מגנטי )להעיד על מטען(‪.‬‬
‫ב‪ 1899-‬הצליחו להבחין בהתרחבות קלה של קרני ‪ X‬במעבר דרך סדק קטן )עקיפה( – לכן קבעו כי קרני ‪ X‬הם גלים והעריכו את‬
‫אורך הגל כ‪ 1-‬אנגסטרם – דומה למרחק בין אטומים בגביש‪ ,‬ולכן ניתן להשתמש בגבישים ליצירת התאבכות‪ .‬ב‪ 1912-‬אימתו את זה‬
‫ניסיונית ומצאו אורך גל בין ‪ 0.1‬ל‪ 0.5-‬אנגסטרם‪.‬‬
‫פיזור בראג מסביר את תמונת ההתאבכות של קרניים מגביש‪:‬‬
‫נתבונן באור שפוגע באטומים שנמצאים במשטחים שונים‪ .‬אם המרחק בין המישורים‬
‫הוא ‪ d‬אז הפרש הדרך בין שתי הקרניים הוא ‪ . 2d sin α‬התאבכות בונה תתרחש‬
‫רק כאשר הפרש זה הוא מכפלה שלמה של אורך הגל ‪ λ‬של הקרינה‪:‬‬
‫‪" - 2d sin α = nλ‬תנאי בראג"‬
‫בעזרת תנאי בראג ניתן למדוד את ‪ λ‬של קרני ‪ X‬שנפלטות ממטרה המופצצת באלקטרונים‪ ,‬אם ידוע ‪. d‬‬
‫מניתוח התוצאות מתקבל גרף כמו זה שמשמאל – הספקטרום מורכב מקוים אופייניים ‪ -‬שמיקומם‬
‫וגובהם היחסי תלוי בחומר של המטרה ‪ -‬ומהתפלגות רצף בעלת סף חד באורך גל קצר‪ .‬מיקום‬
‫הסף תלוי רק במתח בין הקתודה לאנודה‪.‬‬
‫ההסבר לתלות מיקום הסף במתח )ע"י התפיסה הקוונטית של האור(‪:‬‬
‫כאמור‪ ,‬האנרגיה הקינטית של האלקטרון המואץ בשפופרת היא ‪ . K = e∆V‬כאשר הוא מואט‬
‫בגלל ההתנגשות במטרה‪ ,‬הוא פולט פוטון‪ .‬במקרה הכי קיצוני‪ ,‬כל האנרגיה הקינטית של האלקטרון‬
‫תעבור לפוטון‪= K :‬‬
‫‪λmin‬‬
‫‪= hc‬‬
‫‪max‬‬
‫‪ . Eγ‬בנוסף‪:‬‬
‫‪λ‬‬
‫‪Eγmax , Eγ = hν = h c‬‬
‫כאשר‬
‫‪λmin‬‬
‫לכן‬
‫‪. e∆V‬‬
‫אפקט קומפטון – פיזור אור על אלקטרונים‬
‫התיאוריה )הקלאסית(‪ :‬כאשר גל אלקטרומגנטי פוגע באלקטרון‪ ,‬השדה החשמלי של )המשתנה בזמן( הגל גורם לאלקטרון לנוע‬
‫הלוך חזור לפי תדירות הגל‪ .‬לפי משוואות מקסוול‪ ,‬אלקטרון כזה פולט קרינה לפי תדירות תנועתו‪ .‬בסה"כ‪ :‬מתקבל פיזור של הקרינה‬
‫הפוגעת תוך שימור אורך הגל‪.‬‬
‫הבעיה‪ :‬בניסויים שנערכו‪ ,‬התיאוריה אומתה עם אור נראה וגלי רדיו‪ ,‬אך עם קרני ‪ X‬אורך הגל המוחזר היה קצר יותר מאשר של‬
‫הפוגע )כלומר הבעיה התגלתה באורכי גל קצרים האנרגטיים יותר(‪.‬‬
‫הפיתרון‪ :‬ב‪ 1923-‬קומפטון הציע הסבר ע"י הקוונטיזציה של האור‪:‬‬
‫קומפטון הציע שלקוונטות האור יש לא רק אנרגיה במנות קצובות‪ ,‬אלא גם תנע‪ ,‬שנתון לפני תורת היחסות‪ :‬מהמשוואה‬
‫‪ E 2 = p 2 + m2‬נובע שלחלקיק בעל מסה ‪ 0‬יש תנע ששווה לאנרגיה שלו‪pɶ γ = E (1, nˆ ) :‬‬
‫‪.‬‬
‫זהו היבט מהפכני – הפוטון קודם למעמד חלקיק )למרות שהוא חסר מסה(‪.‬‬
‫ההסבר הוא הסבר חלקיקי – הפוטון פוגע באלקטרון ומוסט ממנו‪ ,‬אך בהתנגשות חלק מהאנרגיה הקינטית של‬
‫הפוטון עוברת לאלקטרון‪ ,‬מה שגורע מאנרגיית הפוטון )מגדיל את אורך הגל(‪.‬‬
‫נפתור כך את הבעיה של אי‪-‬שימור אורך הגל‪:‬‬
‫אנו נרצה לראות מה קורה לאנרגיה של הפוטון כפונקציה של זווית הפיזור שלו‪ .‬קוסינוס זווית הפיזור ניתן ע"י‬
‫המכפלה הסקלרית של ה‪ 3-‬תנע של הפוטון לפני ואחרי ההתנגשות‪ 1] :‬מסמן לפני ההתנגשות‪ 2 ,‬אחרי[‬
‫‪pɶ1γ + pɶ1e = pɶ 2γ + pɶ 2e‬‬
‫משימור תנע‪:‬‬
‫נרכז איברים ‪ -‬איברי הפוטון בצד אחד‪ ,‬והאלקטרון‬
‫בשני‪ ,‬וניקח נורמה בשביל לקבל את הזווית‪:‬‬
‫נפתח סוגריים )מכפלה סקלרית של ‪-4‬וקטורים זה‬
‫מכפלת רכיבי האפס מינוס מכפלה סקלרית של‬
‫החלקים המרחביים(‬
‫נורמת התנע היא המסה‪ ,‬לכן עבור הפוטון זה ‪) 0‬בצד‬
‫‬
‫שמאל(‪ ,‬והאפס מימין הוא מכיוון ש‪p1e = 0 -‬‬
‫‪.‬‬
‫נפשט את הביטוי ונקבל‪:‬‬
‫בנוסף‪ ,‬משימור אנרגיה )השוואת איברי האפס(‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪= pɶ1e − pɶ 2e‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪pɶ1γ − pɶ 2γ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪pɶ1γ + pɶ 2γ − 2 pɶ1γ ⋅ pɶ 2γ = pɶ1e + pɶ 2e − 2 pɶ1e ⋅ pɶ 2e‬‬
‫‪0 + 0 − 2 E1γ E2γ + 2 E1γ E2γ cos θ = 2me2 − 2me E2e + 0‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪E1γ E2γ ( cos θ − 1) = me me − E2e‬‬
‫‪me − E2e = E2γ − E1γ‬‬
‫‪2‬‬
‫נציב‪ ,‬ונעבור ליחידות רגילות ע"י כפל ‪ me‬ב‪. c -‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪1 − cos θ = me c 2  γ − γ ‬‬
‫אחרי סידור נקבל‪:‬‬
‫‪ E2 E1 ‬‬
‫‪h‬‬
‫‪: 1 γ =λ‬‬
‫נציב‬
‫= ‪ - λ2 − λ1‬נוסחת קומפטון‬
‫) ‪(1 − cos θ‬‬
‫‪hc‬‬
‫‪E‬‬
‫‪me c‬‬
‫נוסחת קומפטון נותנת את שינוי אורך הגל של אור שמפוזר ע"י אלקטרונים בזווית ‪. θ‬‬
‫בניסויו של קומפטון‪ ,‬ראו בספקטרום הקרינה המפוזרת שני שיאים – אחד באותו אורך הגל הפוגע‪ ,‬והשני שנובע מהפיזור‪ ,‬באורך גל‬
‫שהלך וגדל ככך שזווית הפיזור שנמדדה גדלה‪ .‬השיא של אותו אורך הגל הפוגע‪ ,‬נבע בפגיעת פוטונים באלקטרונים לא חופשיים‪,‬‬
‫הקשורים לאטומים )כבדים מאוד יחסית(‪ ,‬ולכן לא עברה אנרגיה‪ ,‬ואורך הגל לא השתנה‪ .‬השיא השני‪ ,‬נובע מפגיעת פוטונים‬
‫באלקטרונים חופשיים‪ ,‬כך שהפיזור מהם אפשרי‪ ,‬ואורך הגל השתנה‪.‬‬
‫‪ .16‬מודל האטום הגרעיני‬
‫רמות האנרגיה של אטומים ומודל האטום של תומסון‬
‫לפני המודל הגרעיני ‪ -‬סוף המאה ה‪ ,19-‬תחילת ה‪:20-‬‬
‫המודל הפופולרי – עוגת הצימוקים )צימוקים שליליים בתוך חומר חיובי שממלא את נפח האטום(‪.‬‬
‫הבעיה במודל – לא ניתן לקבל את תנודות האלקטרונים ביחס לעוגה החיובית רק באמצעות כוחות אלקטרומגנטיים כדי שייפלט‬
‫ספקטרום‪.‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪ 1‬‬
‫נעשו מדידות רבות של ספקטרום הפליטה של גזים )שעבר בהם ניצוץ או להבה(‪ .‬נוסחת רידברג‪= R  2 − 2  :‬‬
‫‪λ‬‬
‫‪m n ‬‬
‫‪ n > m‬שלמים ) ‪ - R‬קבוע רידברג(‪ ,‬עבדה טוב עם מימן‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ,‬עבור‬
‫ניסוי רתרפורד‪-‬גייגר‪-‬מרסדן‬
‫רתרפורד הראה שמאורניום בוקעת קרינת ‪ , α‬ושהיחס ‪ q / m‬שלה שווה לחצי מהיחס עבור אטום מימן מיונן‪ .‬לאחר בדיקת‬
‫הספקטרום שלהם‪ ,‬גילה כי אלו חלקיקי הליום‪ ,‬ולכן הסיק שחלקיקי ‪ α‬הם אטומי הליום מיוננים‪.‬‬
‫לאחר שהבינו זאת‪ ,‬ביצעו ניסויים בשביל ללמוד על מבנה האטום‪ :‬כיוונו קרינת ‪ α‬לרדיד מתכת דק‪ .‬הרוב עברו בלי )או כמעט בלי(‬
‫‬
‫פיזור‪ ,‬אבל חלק פוזרו ב‪ 90 -‬ויותר‪ .‬ננסה להעריך גבול עליון עבור זווית הפיזור שמצפים לה‪:‬‬
‫• התנגשות באלקטרון‪ :‬ה‪ α -‬כבד פי ‪ 8000‬מה‪ . e -‬בהתנגשות אלסטית חזיתית של חלקיק כבד שנע במהירות ‪ v‬עם חלקיק קל‬
‫נייח‪ ,‬החלקיקי הקל מקבל מהירות ‪ 2v‬והכבד לא משתנה‪ ,‬לכן שינוי התנע של ה‪ , e -‬שווה לזה של ה‪ , α -‬והוא ‪= 2me v‬‬
‫‪∆p z‬‬
‫‬
‫הגבול העליון של הפיזור יהיה כאשר שינוי התנע כולו יהיה בניצב לכיוון התנועה‪ ,‬ואז‪:‬‬
‫< ‪. θ < 0.014 ⇐ tan θ‬‬
‫‪pz‬‬
‫‪. ∆pz‬‬
‫•‬
‫התנגשות בעוגה החיובית‪ :‬העוגה היא כדור בעל רדיוס ‪ R‬ומטען ‪ Q‬המפוזר אחיד‪ .‬הכדור מפעיל את הכוח האלקטרוסטאטי‬
‫‪zα e ⋅ Ze‬‬
‫הגדול ביותר כאשר החלקיק במרחק ‪ R‬ממרכז הכדור‬
‫‪R2‬‬
‫‪e2 z Z 2‬‬
‫‪2R‬‬
‫‪ . ∆p ≈ F ∆t = F‬שוב מקרה הגבול הוא כאשר כל‬
‫‪=k α‬‬
‫הזמן שדרוש לחלקיק לעבור את קוטר הכדור‪ ,‬כלומר‪:‬‬
‫‪v‬‬
‫‪R v‬‬
‫התנע הוא בניצב לכיוון התנועה‪ ,‬נציב עבור אטום זהב ) ‪∆p :( Z = 79‬‬
‫‬
‫< ‪. θ < 0.026 ⇐ tan θ‬‬
‫‪p‬‬
‫‪=k‬‬
‫‪ . F‬השינוי בתנע החלקיק הוא מסדר גודל של הכוח כפול‬
‫לכן הפיזור לא יכול להיות גדול ממעלה‪ ,‬אלא אם כן זוהי תוצאה של פיזורים רבים‪ .‬עבור מספר פיזורים גדול‪ ,‬הסיכוי לפיזור בזווית‬
‫‪)2‬‬
‫‪θ rms ) e(θ /θ‬‬
‫גדולה מ‪θ -‬‬
‫‪) 1 / 8000‬גדול הרבה יותר(‪ .‬לכן המסקנה המתבקשת‪ :‬מודל עוגת הצימוקים אינו נכון‪ .‬סביר להניח שהערכה של פיזור מ‪e -‬‬
‫נכונה‪ ,‬כי ידוע ש‪ e -‬קיימים בחומר‪ ,‬לכן מסיקים שהבעיה היא שעוגה החיובית מפעילה כוח קטן מדי על ה‪ . α -‬ניתן להגדילו ע"י ריכוז‬
‫הוא‬
‫‪rms‬‬
‫= רוחב ההתפלגות של ‪ .( θ‬עבור‬
‫‪θ > 90‬‬
‫‪−3500‬‬
‫נקבל סיכוי‬
‫המטען באזור קטן יותר‪.‬‬
‫לכן האטום שמתקבל הוא גרעין חיובי קטן במרכזו של האטום – "מודל האטום של רתרפורד"‪.‬‬
‫פיזור רתרפורד – נחשב את פיזור חלקיק ה‪α -‬‬
‫מגרעין האטום‬
‫‪ - b‬מקדם התנגשות‪ .‬ככל ש‪ b -‬גדול יותר כך זווית‬
‫הפיזור ) ‪ ( θ‬קטנה יותר )כאשר ∞ → ‪ b‬אז ‪.( θ → 0‬‬
‫ל‪: θ -‬‬
‫נמצא את הקשר בין ‪b‬‬
‫‪ - p1‬תנע לפני‪ p2 ,‬אחרי‪ ∆p .‬הוא וקטור בכיוון ' ‪z‬‬
‫)זהו ציר החוצה את הזווית‬
‫‪φ0‬‬
‫המשלימה את‬
‫‪θ‬‬
‫ל‪-‬‬
‫‪ z ' .(180‬הוא גם הכיוון הממוצע של כוח קולון שמפעיל‬
‫הגרעין על החלקיק‪.‬‬
‫‪ , 10‬בעוד שבניסוי נמדד סיכוי‬
‫האנר' הפוטנציאלית של החלקיק לפני ואחרי )במרחק רב מהגרעין( זהה‪ ,‬לכן גם האנר' הקינטית נשמרת‪:‬‬
‫‪ , p1 = p2 = mα v‬לכן המשולש בציור הוא שווה שוקיים וניתן לרשום‪:‬‬
‫‪1 ∆p‬‬
‫ ∞‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪) 2‬חוצה זווית ל‪ .( θ -‬אנו יודעים כי ‪ . ∆p = ∫ Fdt‬מכיוון שרק‬
‫‪= sin θ ⇒ ∆p = 2 p sin θ‬‬
‫∞‪−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪p‬‬
‫∞‬
‫‪dφ‬‬
‫‪dt‬‬
‫‬
‫זה המהירות הזוויתית‪.‬‬
‫‪. ∆p = ∫ F cos φ‬‬
‫הכוח ברכיב ' ‪ z‬משנה‪ ,‬והוא‪dφ : Fz ' = F cos φ :‬‬
‫∞‪−‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dφ‬‬
‫‪dt r 2‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫התנע הזוויתי נשמר כי זהו כוח מרכזי‪ .‬התנע הזוויתי התחילי הוא ‪ , mα vb‬ובמהלך הסיבוב הוא ‪ . mα r dφ / dt‬לכן‬
‫‪dφ vb‬‬
‫‪2‬‬
‫‪φ0 / 2 ke z Z‬‬
‫‪ke2 zα Z‬‬
‫‪φ‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪α‬‬
‫∫ = ‪ . ∆p‬בגלל ש‪, φ0 = π − θ -‬‬
‫= ‪cos φ dφ‬‬
‫ונקבל‪2 sin 0 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−φ0 / 2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪vb‬‬
‫‪vb‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ . sin φ0 / 2 = sin ( (π − θ ) / 2 ) = cos θ / 2‬נציב במשוואה למעלה‪ ,‬ונרשום את ‪ 2‬המשוואות בינתיים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ke 2 zα Z‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪2 cos‬‬
‫∆‬
‫=‬
‫‪p‬‬
‫‪‬‬
‫‪ke zα Z‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪‬‬
‫‪vb‬‬
‫‪2‬‬
‫= ) ‪b (θ‬‬
‫‪cot ⇐ ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪mα v‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∆p = 2 p sin θ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫כל החלקיקים בעלי מקדם פגיעה קטן מ‪ b -‬מסוים‪ ,‬יעברו פיזור בזוית גדולה מ‪. θ -‬‬
‫‪2‬‬
‫חתך הפעולה לפיזור‬
‫עוצמת הקרן ‪) I 0 -‬חלקיקים ליחידת זמן ליחידת שטח(‪ .‬מס' החלקיקים שמפוזרים בשניה‬
‫מגרעין אחד בזווית ≤ ‪θ‬‬
‫= מס' החלקיקים בעלי מקדם פגיעה קטן מ‪ , b (θ ) -‬שבאים‬
‫מהקרן בשניה = ‪ . I 0π b (θ ) ‬חתך הפעולה לפיזור בזווית ≤‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(θ ) = π b (θ ) ‬‬
‫‪ , θ‬הוא‬
‫‪ . σ‬הסבר נוסף לחתך הפעולה – השטח שהחלקיקים שעוברים‬
‫דרכו עוברים פיזור בזווית ≤ ‪) θ‬בציור(‪.‬‬
‫‪dN ≥θ‬‬
‫‪ N t .‬הוא מספר‬
‫במטרה דקה יהיה בקירוב פיזור אחד בלבד‪ .‬מספר הפיזורים בזווית ≤ ‪ θ‬ביח' זמן‪= N t I 0σ (θ ) :‬‬
‫‪dt‬‬
‫הגרעינים במטרה ‪ - A ) N t = Awnt -‬שטח המטרה‪ - w ,‬עובי המטרה‪ - nt ,‬צפיפות הגרעינים במטרה(‪ .‬לכן‬
‫‪dN ≥θ‬‬
‫‪ .‬נחלק במספר הגרעינים שפוגעים במטרה ליח' זמן ) ‪ ( AI 0‬ונקבל את החלק מהחלקיקים שמתפזר‬
‫) ‪= nt wAI 0σ (θ‬‬
‫‪dt‬‬
‫בזווית ≤ ‪. f ≥θ = nt wσ (θ ) : θ‬‬
‫אם נציב את הנתונים עבור זהב‪ ,‬נקבל ‪f ≥θ = 10 −4‬‬
‫התפלגות זווית הפיזור‬
‫מס' החלקיקים המפוזרים ביח' זמן בזווית שבין‬
‫)קרוב לתוצאת הניסוי של גייגר ומרסדן ‪.( 1 / 8000 -‬‬
‫‪ θ‬ל ‪θ + dθ -‬‬
‫החלקיקים ליח' זמן בעלי מקדמי פגיעה בין ‪ b‬ל‪I 0 = b + db -‬‬
‫= מס'‬
‫כפול‬
‫שטח הטבעת )שבין ‪ b‬ל‪) I 0 2π b ⋅ db = ( b + db -‬את ‪db‬‬
‫באמצעות ‪ dθ‬ע"י גזירת ‪ b‬לפי ‪.( θ‬‬
‫החלקיקים האלה יפגעו במסך בטבעת שבין רדיוסים ‪ r sin θ‬ל‪-‬‬
‫) ‪ , r sin (θ + dθ‬ששטחה ) ‪. 2π r sin θ ( rdθ‬‬
‫מביעים‬
‫נחלק את מספר הפגיעות ליח' זמן בשטח הטבעת‪ ,‬נקבל את צפיפות הפגיעות המשטחית ‪N -‬‬
‫)מס' פגיעות ליח' שטח ביח' זמן(‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ke 2 zα Z ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪) N‬אחרי הצבה של הכול(‪.‬‬
‫‪I‬‬
‫‪2 0‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4r‬‬
‫‪ mα v  sin θ 2‬‬
‫בניסוי היה ניתן לראות שהיחס בין ‪N‬‬
‫‪1‬‬
‫ל‪-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪sin 4 θ‬‬
‫היה יחסית קבוע‪ ,‬מה שאישר את המשוואה‪ ,‬עד כדי דיוק המדידות‪.‬‬
‫‪ .17‬מודל האטום של בוהר‬
‫הבעיה במודל של רתרפורד‪ :‬בכדי לאזן את משיכת ה‪ e -‬לגרעין‪ ,‬הניחו שהוא מסתובב סביבו‪ .‬אך ‪e‬‬
‫בתנועה מעגלית פולט קרינה‪,‬‬
‫ולכן ייאבד אנרגיה עד שיקרוס‪.‬‬
‫הפיתרון של בוהר‪:‬‬
‫• ה‪ e -‬יכול לנוע ברדיוסים מסוימים בלבד‪.‬‬
‫•‬
‫במעבר בין המסלולים‪ ,‬ה‪ e -‬פולט פוטון‪ .‬הפוטון מקבל את האנרגיה שה‪ e -‬איבד במעבר‪= Einit − E fin :‬‬
‫‪. hν‬‬
‫מציאת הרדיוסים המותרים‬
‫]נסמן את תדירות הפוטון ‪[νɶ -‬‬
‫• עיקרון ההתאמה‪ :‬בוהר הניח שבגבול של רדיוסים גדולים ואנרגיות גבוהות‪ ,‬החישובים הקוונטים צריכים לתת את התוצאות‬
‫הקלאסיות‪.‬‬
‫‪h‬‬
‫• קוונטיזציה של תנע זוויתי‪ :‬הנחותיו של בוהר מביאות לכך שהתנע הזוויתי של האלקטרון חייב להיות כפולות של‬
‫‪2π‬‬
‫כלומר‪. me vr = nℏ :‬‬
‫נסתכל על אטום כלשהו עם אלקטרון אחד וגרעין עם מטען ‪ . + Ze‬נשווה את כוח קולון לצטרפוגלי )על ה‪:( e -‬‬
‫‪ke 2 Z‬‬
‫‪ke2 Z‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ℏ‬‬
‫= ‪ . v‬נציב ב‪ , v -‬נבודד‬
‫= ‪ . v‬בנוסף אנו יודעים מעיקרון הקוונטיזציה של התנע הזוויתי כי‬
‫‪⇐ 2 = me‬‬
‫‪rme‬‬
‫‪me r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫≡‪.ℏ‬‬
‫‪ℏ2‬‬
‫‪ℏ2‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪0.529‬‬
‫‪A‬‬
‫≡ ‪" - a0‬רדיוס בוהר"‪ ,‬שהוא הרדיוס עבור מימן ברמה ‪ , n = 1‬ואז‬
‫נגדיר‬
‫‪,‬‬
‫‪r‬‬
‫=‬
‫‪n‬‬
‫את ‪ r‬ונקבל‪:‬‬
‫‪me ke2‬‬
‫‪me ke 2 Z‬‬
‫‪a‬‬
‫‪r = n2 0‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ke Z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. E = me v −‬‬
‫האנרגיה של האלקטרון היא קינטית ופוטנציאלית )פוטנציאל של מטען נקודתי(‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪1 ke 2 Z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ . E = −‬לכן תדירות הפוטון הנפלט במעבר בין הרמות היא‪:‬‬
‫נציב את ‪ v‬שחישבנו משוויון הכוחות ונקבל‪:‬‬
‫‪2 r‬‬
‫‪Ei − E f‬‬
‫‪1 ke 2 Z  1 1 ‬‬
‫= ‪ .νɶ‬נציב את ‪ r‬שמצאנו‪ ,‬ונחלק ב‪ c -‬בשביל לקבל את נוסחת רידברג עם תיקון‪:‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪ − ‬‬
‫‪h‬‬
‫‪2 h  ri rf ‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪me k 2e 4‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪ νɶ  1‬‬
‫‪2‬‬
‫≡‪.R‬‬
‫‬‫רידברג‬
‫קבוע‬
‫‪.‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪R‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ n 2f ni2 ‬‬
‫‪2π cℏ3‬‬
‫‪c λ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪Z2‬‬
‫נציב את ‪ r‬שמצאנו גם באנרגיית האלקטרון ונקבל את אנרגיית האלקטרון בכל רמה‪:‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪me k 2e 4‬‬
‫‪= 13.6eV‬‬
‫= ‪ - E0‬אנרגית הקשר של המימן )שנדרשת כדי ליינן אטום מימן(‪.‬‬
‫‪2ℏ 2‬‬
‫‪ , En = − E0‬כאשר‬
‫הגבול הקלאסי )עיקרון ההתאמה(‬
‫נסתכל על תדירות הפוטון במעבר בין שתי רמות סמוכות ורחוקות מהגרעין‪:‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪1  n >>1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪= cZ 2 R ‬‬
‫‪−‬‬
‫‪→ cZ 2 R 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ( n − 1) n ‬‬
‫‪λ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪v‬‬
‫האלקטרון‪ ,‬שווה לתדירות סיבוב האלקטרון‪ ,‬שהיא‬
‫= ‪ . f‬נציב את הרדיוס המותר‪ ,‬ואת המהירות ע"פ עיקרון הקוונטיזציה של‬
‫‪2π r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫התנע הזוויתי‪ ,‬ונקבל ‪ - f = cZ R 3‬אותה התדירות‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫‪c‬‬
‫=‬
‫‪ .νɶ‬לפי אלקטרומגנטיות קלאסית‪ ,‬תדירות הפוטון )הקרינה( שפולט‬
‫ההישגים של מודל בוהר‬
‫• הסביר מדוע האלקטרון לא מאבד אנרגיה עד שקורס – קיים רדיוס מינימאלי‪.‬‬
‫• הצליח להסביר את הספקטרום‪.‬‬
‫• עלה בקנה אחד עם המודל הקלאסי‪ :‬אלקטרון פולט קרינה ע"י מעבר לרדיוס הסמוך‪ .‬ברמות גבוהות‪ ,‬הרדיוסים קרובים‪ ,‬והמעבר‬
‫נראה רציף – האלקטרון ברמות הגבוהות מתקרב לגרעין תוך פליטת קרינה )כמו בקלאסי(‪.‬‬
‫התייחסות לתזוזת הגרעין‬
‫בפיתוח המודל הנחנו שהגרעין נייח )כי הוא כבד בהרבה מהאלקטרון(‪ .‬אם נחליף את מסת האלקטרון במסה האפקטיבית‬
‫‪me mn‬‬
‫‪me + mn‬‬
‫=‪µ‬‬
‫)נלמד בקלאסית ‪ ,(1‬נקבל תוצאות מדויקות יותר‪.‬‬
‫מסלולים אליפטיים והמבנה הדק‬
‫בחישוב הנחנו מסלולים מעגליים‪ ,‬אך גם אליפטיים אפשריים‪ :‬זמן המחזור הקלאסי והתנע הזוויתי תלויים רק במרחק בין מוקדי‬
‫האליפסה‪ ,‬והמאפיינים המדידים )תדירות‪ ,‬אנרגית בוהר( של המסלולים האליפטיים זהים לאלו של מסלולים מעגליים עם קוטר‬
‫ששווה לאותו מרחק‪.‬‬
‫כאשר המסלול מאוד אליפטי‪ ,‬בחלק מהמסלול מהירות האלקטרון גדולה יותר ביחס למסלול המעגלי‪ ,‬ואז נכנסים תיקונים יחסותיים‬
‫למודל בוהר‪ :‬מהירות האלקטרון היא מאית ממהירות האור‪ ,‬וככל שהמסלול יותר אליפטי כך האפקטים האלה יותר משמעותיים‪.‬‬
‫נמצא את מהירות האלקטרון ברמה הראשונה ) ‪:( n = 1‬‬
‫‪v ke 2 Z‬‬
‫‪v‬‬
‫‪ℏ‬‬
‫=‬
‫= ‪ .‬נציב את הרדיוס המותר ונבודד את המהירות‪:‬‬
‫מעיקרון קוונטיזציית התנע הזוויתי )נחלק ב‪- ( c -‬‬
‫‪c‬‬
‫‪cℏ‬‬
‫‪c me rc‬‬
‫‪v‬‬
‫‪1‬‬
‫≈ ‪.‬‬
‫מכאן ניתן להציב ולראות‪Z :‬‬
‫‪c 137‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ 1916-‬זומרפלד הראה )לפי התיאוריה שלו( שעבור כל מסלול מעגלי צריכים להיות מסלולים נוספים עם אליפטיות שונה‪ .‬האנרגיה‬
‫שלהם נבדלת משל המעגלי במקצת בגלל תיקונים יחסותיים קטנים‪ ,‬ולכן גם האנרגיה שהפוטון מקבל כשהאלקטרון עובר בין רמות‬
‫היא מעט שונה‪ ,‬וזה גורם להפרדה של הקווים הספקטראליים‪" .‬הפרדת המבנה העדין" מאופיינת ע"י "קבוע המבנה הדק" ‪-‬‬
‫‪ke 2‬‬
‫‪1‬‬
‫≈‬
‫‪cℏ 137‬‬
‫≡‬
‫‪.α‬‬
‫זומרפלד תיאר את התוצאות בצורה טובה‪ ,‬אך הסיבה האמיתית להן הייתה קוונטית – "הספין" של האלקטרון ‪ -‬ולא קלאסית כמו‬
‫התיאוריה שלו‪.‬‬
‫מתי מודל בוהר עובד היטב מבחינת הספקטרומים‬
‫המודל נבנה עבור אטום מימן )בעלי אלקטרון אחד(‪ ,‬ולכן הוא עובד טוב גם עם היסודות האלקליים )עמודה שמאלית בטבלה‬
‫המחזורית(‪ ,‬כי להם יש אלקטרון בודד ברמה החיצונית‪ .‬כאשר יש יותר אז הכוחות בניהם מסבכים את הבעיה‪ .‬מסתבר שהוא עובד‬
‫טוב גם עם קרני ‪:X‬‬
‫ספקטרום קרני ‪X‬‬
‫באותה שנה שבוהר פרסם את המודל‪ ,‬מוזלי חשב שאורכי הגל של ה‪ X-‬נובעים‬
‫ממעברים למסלולים הפנימיים ביותר‪ ,‬כך ששאר האלקטרונים שברמות החיצוניות‬
‫כמעט ולא משפיעים על האלקטרון שבפנימי ומודל בוהר מתקיים‪ .‬ע"פ המודל‪,‬‬
‫תדירות האור פרופורציונית ל‪Z 2 -‬‬
‫)נוסחת רידברג המתוקנת(‪ ,‬לכן הוא מדד את‬
‫שורש התדירות לעומת ‪ ,Z‬ומהמדידות מצא שניתן לרשום‬
‫) ‪νɶ = An ( Z − b‬‬
‫בכדי לתאר את הסדרות שמדד )משמאל(‪ .‬לכל סדרה ערך ‪An‬‬
‫ערך ‪ b‬מסוים‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫מסוים‪ ,‬ולכל קבוצה‬
‫הקשר למודל בוהר‬
‫נניח שסדרה ‪) K‬הנמוכה(‪ ,‬שבה ‪ , b = 1‬נובעת מכך שאלקטרון שמואץ בשפופרת‬
‫)של הניסוי( מוציא אלקטרון מהרמה הראשונה של האטום‪ .‬לכן המעבר הוא מרמה‬
‫‪n‬‬
‫כלשהי ל‪ . 1 -‬נציב בנוסחת בוהר לתדירויות‬
‫)‬
‫‪n2‬‬
‫(‬
‫‪2‬‬
‫‪= cR ( Z − 1) 1 − 1‬‬
‫‪- νɶ‬‬
‫כאשר החלפנו את ‪ Z‬ב‪ Z − 1 -‬בגלל התלות שמצא בוהר )הסבר אפשרי להחלפה‪:‬‬
‫ברמה הראשונה הוצא אחד מתוך השנים שהיו‪ ,‬ולכן האלקטרון שיצא ראה מטען‬
‫‪−e‬‬
‫‪ .( eZ‬ע"י השוואה מקבלים‬
‫)‬
‫‪n2‬‬
‫(‬
‫‪= cR 1 − 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. An‬‬
‫בהמשך להנחה‪ ,‬סדרה ‪ L‬נובעת מהוצאת אלקטרון מרמה שנייה שבה יש ‪6‬‬
‫אלקטרונים‪ .‬כאשר אלקטרון יוצא‪ ,‬הפעם הוא רואה את המטען של הגרעין ו‪7-‬‬
‫האלקטרונים שנותרו‪ .‬בפועל נמדד ‪ , b = 7.4‬בגלל אינטראקציות עם הרמה ה‪.3-‬‬
‫חשיבות המדידות של מוזלי‬
‫• עד המדידות לא ידעו ש‪ Z-‬הוא מטען הגרעין‬
‫• מוזלי מצא שברמות השונות יש מספרים מסוימים של אלקטרונים )אך לא יכל לקבוע כמה(‬
‫ניסוי פראנק‪-‬הרץ – ‪1914‬‬
‫הניסוי חיזק את‪:‬‬
‫• התמונה של בוהר – לאלקטרון באטום רמות אנרגיה דיסקרטיות‬
‫• התמונה של מוזלי – שני אלקטרונים אינם יכולים להיות באותה רמה‬
‫הניסוי‪ :‬שתי אלקטרודות בתוך שפופרת אדי כספית‪ ,‬ובניהן אנודה נוספת שהיא למעשה רשת‪ .‬בין‬
‫הקתודה לרשת מתח ‪ ,V‬והאנודה במתח מעט נמוך מהרשת‪ .‬מודדים את הזרם דרך האנודה‬
‫הראשונה )לא הרשת( כתלות במתח ‪ V‬של הרשת‪.‬‬
‫הסבר לתוצאות‪ :‬האלקטרונים באטום הכספית יכולים לבלוע או לפלוט אנרגיה בתנאי שהיא‬
‫מתאימה להפרשי האנרגיה בין הרמות‪ .‬אלקטרונים מואצים מהקתודה לאנודה‪ .‬אלה‬
‫שעוברים דרך חורי הרשת‪ ,‬מואטים בגלל המתח ההפוך‪ ,‬ובסוף מגיעים לאנודה‪ .‬ככל‬
‫שמעלים את ‪ ,V‬נמדד יותר זרם‪ ,‬עד שבשיא הראשון יש לחלק מהאלקטרונים מספיק‬
‫אנרגיה בשביל לעורר את אטום הכספית‪ ,‬ואז הם מאבדים אנרגיה ולא מצליחים להתגבר על‬
‫‪ ∆V‬ולהגיע לאנודה‪ .‬ממשיכים להעלות – יותר אלקטרונים יכולים לעורר אטום כספית‬
‫והזרם יורד‪ .‬השיא השני הוא כאשר יש מספיק אנרגיה להתנגשות שנייה‪ ,‬וכן הלאה‪.‬‬
‫תנאי הקוונטיזציה של וילסון וזומרפלד‬
‫ראינו כמה מקרים של קוונטיזציה )אנרגית הקרינה‪ ,‬מצבי אנרגיה של אלקטרון‪ ,‬תנע זוויתי‬
‫של אלקטרון(‪ .‬זהו ניסיון לתת חוקיות לדבר‪ :‬במערכת בעלת קואורדינאטה מחזורית ‪) q‬כמו זווית(‪ ,‬התנאי הוא‪∫ pdq = nh :‬‬
‫כאשר ‪ p‬הוא התנע הצמוד ל‪q -‬‬
‫)כמו תנע זוויתי(‪ ,‬והאינטגרל הוא על מחזור שלם‪.‬‬
‫דוגמאות‬
‫‪ .1‬קוונטיזצית התנע הזוויתי של אלקטרון במימן‪Ldφ = 2π L ( = nh ) ⇒ L = nℏ :‬‬
‫‪2π‬‬
‫∫‬
‫‪0‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ .2‬קוונטיזצית האור )הקרינה(‪ :‬אוסילטור הרמוני ‪ q ) − kq = mqɺɺ‬היא קואורדינאטה(‪ .‬פיתרון‪= A sin ωt :‬‬
‫‪,q‬‬
‫‪dq‬‬
‫התנע הוא ‪= mω A cos ωt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪1 2 1‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪ . E = kA = mω A‬ואז התנאי הוא )באמצע נציב את האנרגיה ונשווה ל‪:( nh -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫→‬
‫‪E‬‬
‫‪CONDITION‬‬
‫‬
‫‬
‫‪dq‬‬
‫‪2π E‬‬
‫‪p ⋅ dt = ∫ mω 2 A2 cos 2 (ωt )dt = 2 E ∫ cos 2 (ωt ) dt = E‬‬
‫=‬
‫‪= nh ⇒ E = nhνɶ‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪ω νɶ‬‬
‫‪p=m‬‬
‫‪= k‬‬
‫‪m‬‬
‫‪.ω‬‬
‫‪ .‬האנרגיה במערכת היא האנרגיה הפוטנציאלית המקסימאלית‪:‬‬
‫∫‬
‫מודל בוהר ותנאי ווילסון‪-‬זומרפלד הן תערובות של שיקולים קוונטיים וקלאסיים‪ ,‬והם לא נבנו מעקרונות מוצקים ותיאוריה‬
‫מסודרת‪ .‬יש צורך בתיאוריה טובה יותר – המכניקה הקוונטית‪.‬‬
‫‪ .18‬גלי חומר‬
‫ב‪ ,1924-‬דה‪-‬ברולי הציע הצעה מהפכנית – אולי כמו שלאור יש תכונות גם של גל וגם חלקיק‪ ,‬אולי גם לחלקיקי חומר – כמו אלקטרון‬
‫‪ -‬יש כפל תכונות כזה?‬
‫‪E hf h‬‬
‫=‬
‫התכונות החלקיקיות‪ :‬תנע ואנרגיה‪ .‬התכונות הגליות‪ :‬תדירות ואורך גל‪ .‬באור קיימים הקשרים ‪= , E = hf‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c λ‬‬
‫‪" - λ = h‬אורך גל דה‪-‬ברולי"‪ .‬אולי זה מתקיים גם בחומר? )הנוסחאות נקראות "יחסי דה ברוילי"(‬
‫‪‬‬
‫‪p ←‬‬
‫=‪p‬‬
‫במצב כזה‪ ,‬תנאי הקוונטיזציה של התנע של בוהר נובע מכך שגל האלקטרון צריך לקיים את תנאי השפה )להשלים מספר שלם של‬
‫גלים סביב הגרעין(‪ :‬אם נציב את אורך גל דה ברולי בתנאי הקוונטיזציה של התנע של בוהר‪ ,‬נקבל ‪. 2π r = nλ‬‬
‫אורך גל דה‪-‬ברולי הוא מאוד קטן )בהרבה יותר משל אור( ולכן קשה מאוד לאמת את אורך גל דה ברולי‪.‬‬
‫ניקח אלקטרון לא יחסותי שמואץ במתח ‪) V0‬אנרגיה קינטית קטנה בהרבה מאנרגית המנוחה(‪:‬‬
‫‪°‬‬
‫‪1‬‬
‫‪p2‬‬
‫‪h‬‬
‫= ‪ . eV0 = EK‬נציב את הנתונים עבור אלקטרון ונקבל ‪12.3 A‬‬
‫= ‪⇒ p = 2mE ⇒ λ‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪E / eV‬‬
‫‪2mE‬‬
‫=‪λ‬‬
‫‪ -‬כלומר‬
‫‪ 12.3‬אנגסטרם חלקי שורש אלקטרון‪-‬וולט )עבור ‪ ~100V‬נקבל סדר גודל של אנגסטרם(‬
‫הניסויים של דייויסון וגרמר בשנות ה‪ 20-‬הצליחו לבסוף לקבל תבנית התאבכות של אלקטרונים‪ ,‬וגם ניוטרונים‪ .‬גם תומסון )לא מגלה‬
‫האלקטרון( ביצע ניסוי בפיזור בראג של אלקטרונים‪.‬‬
‫]בקובץ ההרצאה אבנר מפרט על הניסויים‪ .‬לא סיכמתי אותם כאן[‬
‫תכונות של גלים‬
‫‪ .1‬משוואת הגלים ופתרונות יסודיים‬
‫) ‪1 d y ( x, t‬‬
‫נסתכל על מיתר שמתוח בכיוון ‪ x‬ויכול לנוע ב‪ .y-‬מחוקי ניוטון נגזרת משוואת הגלים‪:‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪dt 2‬‬
‫מהירות הגל )מהירות הפאזה( היא‬
‫‪- ρ ) v = T‬צפיפות‪ – T ,‬מתיחות(‪ .‬המשוואה נפתרת ע"י כל פונקציה גזירה פעמיים‬
‫‪2‬‬
‫) ‪d y ( x, t‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪ .‬במערכת זו‪,‬‬
‫‪ρ‬‬
‫מהצורה ) ‪y ( x ± vt‬‬
‫‪ .‬פתרונות שימושיים הם "גל הרמוני" )"סינוסיאידלי"(‪:‬‬
‫‪  x t ‬‬
‫‪ 2π‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪y = y0 cos  ( x − vt )  = y0 cos  2π  −   = y0 cos ( kx − ωt‬‬
‫‪λ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  λ T ‬‬
‫) ‪i ( kx −ωt‬‬
‫ניתן גם לתאר באמצעות פונקציה מרוכבת‪:‬‬
‫‪. y ( x, t ) = y0 e‬‬
‫‪.‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪λ‬‬
‫=‪k‬‬
‫‪ -‬מספר הגל‪ ,‬ולכן‬
‫‪ E = ℏω‬‬
‫כעת ניתן לרשום את יחסי ברולי בצורה יותר אסטטית‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ p = ℏk‬‬
‫‪ .2‬עיקרון הסופרפוזיציה‪ :‬מכיוון שמשוואת הגלים היא ליניארית‪ ,‬סכום של פתרונות הוא גם פתרון‪.‬‬
‫‪ .3‬צפיפות האנרגיה של הגל‪ :‬צפיפות האנרגיה הממוצעת פרופורציונית לריבוע פונקצית הגל‪.‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪k‬‬
‫=‪v‬‬
‫‪ .4‬חבורת גלים‬
‫גלים פרושים על פני כל המרחב וכל הזמן‪ .‬אז איך נתאר חלקיק‪ ,‬כאשר הוא ממוקם באזור מצומצם במרחב?‬
‫תכונה חשובה של גלים הרמוניים‪ :‬ניתן לתאר כל פונקציה כסכום של גלים הרמוניים )טורי פורייה(‪ .‬גל שמתואר ע"י סכום כזה נקרא‬
‫"חבורת גלים"‪.‬‬
‫פעימות‪ :‬נתבונן בסכום של שני גלים שמתקדמים באותו כיוון‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪y ( x, t ) = cos ( k1 x − ω1t ) + cos ( k2 x − ω2t ) = trigo... = 2 cos  ∆kx − ∆ωt  cos kx − ω t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ k , ∆k ≡ k1 − k 2‬הוא הממוצע‪ ,‬וב‪ ω -‬כנ"ל‪ .‬אותנו ייענין המקרה שערכי ה‪ k , ω -‬של‬
‫)‬
‫(‬
‫כאשר‬
‫שתי הפונקציות מאוד קרובים אחד לשני‪ ,‬ואז נקבל מכפלת פונקציה מהירה כמו המקורות‪,‬‬
‫ב"מעטפת" עם תדירות ומספר גל קטנים‪ .‬תופעה זו נקראת "פעימות" )בגלי קול – שומעים‬
‫את הגל המהיר אבל בפעימות בעלי תדירות נמוכה(‪.‬‬
‫‪∆ω‬‬
‫מהירות פונקצית המעטפת נקראת "מהירות החבורה" והיא‬
‫‪∆k‬‬
‫המהירה נקראת "מהירות הפאזה הממוצעת" ‪-‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪k‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪ . vg‬מהירות הפונקציה‬
‫‪ . v p‬בריק )או בתווך אלסטי לחלוטין( מהירויות שני הגלים )המקוריים( שוות‪,‬‬
‫ואז ‪ . v p = vg = v‬בתווך אחר רוב הפעמים ‪ v‬תהיה תלויה ב‪k -‬‬
‫)התופעה נקראת "דיספרציה"(‪ ,‬ואז המהירויות לא שוות )נראה‬
‫בהמשך(‪.‬‬
‫בתמונה משמאל‪ :‬בזמן מסוים )זמן קבוע( ‪ -‬הפרש הפאזה בין ‪ 2‬נקודות סמוכות שבהן המעטפת מתאפסת הוא‬
‫‪π‬‬
‫)קוסינוס מתאפס‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫כל ‪∆k ( x1 + ∆x ) − ∆kx1 = π ⇒ ∆k ∆x = 2π :( π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫נקבל ‪ . ∆ω∆t = 2π‬אלו הם קשרים בין מרווח בין נקודות דומות )במקום \ בזמן( להפרש בין מספר הגל \ לתדירות בגל מהסוג‬
‫שבתמונה‪ ,‬בסוגים אחרים יהיו קשרים אחרים‪ ,‬העיקרון הוא שהמכפלות ‪ ∆k ∆x‬ו‪ ∆ω∆t -‬הם מסדר גודל של ‪.1‬‬
‫= ) ‪phase( x1 + ∆x) − phase( x1‬‬
‫סופרפוזיציה של גלים רבים‪:‬‬
‫‪ .‬אותו דבר אך במקום מסוים –‬
‫∞‬
‫( ‪Y ( x, t ) = ∑ An e‬‬
‫) ‪i k n x − ωn t‬‬
‫מאפשר לקבל כל פונקציה‪ ,‬בתנאי שהיא מחזורית‪.‬‬
‫‪n =0‬‬
‫אנו רוצים שגל האלקטרון יתרכז במקום אחד ויידעך באינסוף‪ ,‬כמו למשל פונקצית חבורה שנראית כמו‬
‫גאוסיאן )כמו בתמונה(‪ .‬ניתן לעשות זאת ע"י מעבר לאינטגרל‪A ( k ) ei( kx −ωt ) dk :‬‬
‫) ‪ A ( k‬היא האמפליטודה של גל עם מספר גל ‪k‬‬
‫) ‪ A ( k‬ל‪Y ( x , t ) -‬‬
‫∞‬
‫∫‬
‫∞‪−‬‬
‫= ) ‪. Y ( x, t‬‬
‫)נקראת פונקצית ההתפלגות של ‪ .( k‬יש התאמה בין‬
‫וניתן לעבור מאחת לשנייה באמצעות "טרנספורם פורייה"‪ .‬תכונה חשובה של‬
‫הטרנספורם היא שככל ש‪ A -‬רחבה ‪Y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫≥ ‪. ∆ t ∆ω‬‬
‫≥ ‪ , ∆x∆k‬ובמקביל‬
‫הן גאוסיאן(‪ ,‬לכן ניתן לומר‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫צרה יותר‪ ,‬ולהיפך‪ ,‬כך שמכפלת הרוחבים שלהן מסדר גודל של ‪) 1‬ומינימאלית – ½ ‪ -‬כאשר‬
‫‪dω‬‬
‫‪dv‬‬
‫‪dω‬‬
‫‪=v+k‬‬
‫= ‪ . vg‬נגזור את ‪: ω‬‬
‫כאשר עוברים לביטוי רציף גם מהירות החבורה הופכת רציפה ‪-‬‬
‫‪dk‬‬
‫‪dk‬‬
‫‪dk‬‬
‫אנו רואים שמהירות החבורה ומהירות הפאזה שונות‪ ,‬אם התווך הוא דיספרסיבי‪ ,‬שבו ‪ v‬תלויה ב‪. k -‬בתווך לא דיספרסיבי – כל‬
‫רכיבי הגל ההרמוני מתקדמים באותה מהירות‪ ,‬ולכן צורת הגל נשמרת עם הזמן‪ - ω ( K ) ) .‬נקראת "פונקצית הדיספרציה"(‪.‬‬
‫= ‪= vk ⇒ vg‬‬
‫‪.ω‬‬
‫חבורות גלי אלקטרונים‪ :‬מהירות האלקטרון‬
‫) ‪− i ( kx −ω t‬‬
‫‪ .ψ ( x, t ) = ψ 0 e‬נבדוק אפשרויות שונות למהירות החלקיק‪:‬‬
‫נעבור ממיתר לאלקטרון‪ .‬נסמן את הגל‬
‫‪De − Boglie‬‬
‫‬
‫=‬
‫‪p2‬‬
‫‪ω 2π f‬‬
‫=‪E‬‬
‫= ‪ . v‬בחלקיק לא יחסותי האנרגיה היא קינטית‬
‫=‬
‫‪= fλ‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪k 2π / λ‬‬
‫‪E h E‬‬
‫נבדוק את מהירות הפאזה‪= :‬‬
‫‪h p p‬‬
‫‪1 p 1‬‬
‫= ‪ - v‬חצי ממהירות החלקיק‪.‬‬
‫ולכן ‪= v particle‬‬
‫‪2m 2‬‬
‫נבדוק את מהירות החבורה‪ :‬נמצא את פונקצית הדיספרציה‪ :‬יחסי ברולי ‪= hf = ℏω , p = h = ℏk -‬‬
‫‪λ‬‬
‫‪ . E‬נציב אותם ב‪-‬‬
‫‪d ω ℏk p‬‬
‫‪ℏk 2‬‬
‫‪p2‬‬
‫= ‪ . vg‬לכן מהירות החלקיק היא מהירות החבורה‪.‬‬
‫=‬
‫= ‪ . ω‬לכן ‪= = v particle‬‬
‫= ‪ E‬ונקבל‬
‫‪dk‬‬
‫‪m m‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪2m‬‬
‫הפירוש ההסתברותי של פונקצית הגל‬
‫נסתכל על גל אלקטרומגנטי‪ ,‬שבו פונקצית הגל היא גודל השדה החשמלי ‪ . ε‬צפיפות האנרגיה פרופורציונית ל‪ . ε -‬צפיפות האנרגיה‬
‫‪2‬‬
‫פרופורציונית לצפיפות הפוטונים ⇐ מספר הפוטונים בנפח מסוים פרופורציוני ל‪. ε -‬‬
‫לדוגמא‪ ,‬בהתאבכות של אור‪ ,‬נקבל תבנית התאבכות ובה אזורים שבהם השדה החשמלי מתאפס‪ ,‬וכאלה שבהם הוא מקסימאלי‪.‬‬
‫במקומות אלה‪ ,‬מספר הפוטונים הפוגעים הוא אפס‪ ,‬או מקסימאלי בהתאמה‪ .‬אבל זה עניין הסתברותי בלבד‪ ,‬מכיוון שהוא אקראי‪.‬‬
‫כלומר – ההסתברות שפוטון יפגע באזורים שבהם התאבכות הורסת‪ ,‬היא אפס‪ ,‬ומקסימאלית בהתאבכות בונה‪ ,‬אבל אי אפשר לדעת‬
‫איפה הוא יפגע‪ ,‬אלא רק שהוא לא יפגע בקווי ההתאבכות ההורסת‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫לכן ריבוע פונקצית הגל במקום מסוים‪ ,‬הוא צפיפות ההסתברות לפגיע של הפוטון במקום זה‪ .‬ידוע ש‪( x, t ) ∝ ε -‬‬
‫ההסתברות לפגיעה בין ‪ x‬ל‪x + dx -‬‬
‫היא‬
‫‪ .ψ 2 ( x, t ) dx‬נעבור למרחב וננרמל‪ψ 2 ( x, t ) dxdydz = 1 :‬‬
‫∞‬
‫∫∫∫‬
‫∞‪−‬‬
‫‪ ,ψ‬לכן‬
‫‪.‬‬
‫עיקרון אי הודאות‬
‫ראינו שככל שחבורת הגלים צרה יותר ב‪) x -‬כלומר פונקצית הגל צרה יותר(‪ ,‬כך רחב יותר תחום הערכים של מספרי הגל ‪k‬‬
‫‪ℏ‬‬
‫‪1‬‬
‫≥ ‪ - ∆x∆p‬זהו עיקרון אי הודאות עבור המיקום‬
‫≥ ‪ . ∆x∆k‬מאחר ש‪- p = ℏk -‬‬
‫היא מורכבת ) ) ‪ A ( k‬רחבה יותר( ‪-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫והתנע‪ :‬ככל שהמיקום ידוע יותר טוב ) ‪ ∆x‬קטן יותר( כך התנע ידוע פחות טוב ) ‪ ∆p‬גדול יותר(‪ ,‬ולהיפך‪.‬‬
‫שמהם‬
‫דוגמא ‪ -‬מדידת תנע ומיקום של אלקטרון‪ :‬כאשר מודדים את המיקום‪ ,‬עושים זאת ע"י ראיה )פוטון(‪ .‬הפוטון הוא גל ולכן הדיוק של‬
‫המדידה יהיה מסדר גודל של אורך הגל ‪ . ∆x ~ λ‬אך כאשר הפוטון פוגע באלקטרון הוא מעביר לו תנע ולכן הדיוק של התנע יהיה‬
‫מסדר גודל של תנע האלקטרון ‪ . ∆p ~ h / λ‬ולכן ‪ . ∆p∆x ~ h > ℏ‬הקטנת אורך הגל תקטין את שגיאת המיקום אבל תגדיל את‬
‫שגיאת התנע‪.‬‬
‫‪ℏ‬‬
‫‪1 E = ℏω‬‬
‫במקביל‪ ,‬ניתן לקבל את עיקרון אי הודאות עבור הזמן אנרגיה‪→ ∆t ∆E ≥ :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫≥‬
‫‪. ∆ ω ∆t‬‬
‫דוגמא – כיוון שני מיתרי פסנתר‪ :‬כדי לכוון שני מיתרים לאותה תדירות‪ ,‬פורטים עליהם ומותחים‪/‬משחררים אחד מהם עד שהפעימות‬
‫נעלמות‪ .‬מה שקורה למעשה‪ ,‬הוא שמגדילים את ההפרש בין הפעימות )אותה תדירות כאשר ההפרש הוא אינסופי(‪ ,‬כך שבכדי לדעת‬
‫יותר בוודאות שהמיתרים מאוזנים‪ ,‬צריך להקשיב זמן רב יותר‪ ,‬כך שלא ניתן לדעת אף פעם שהם מכוונים‪.‬‬
‫אי וודאות מקסימלית‪ :‬לחלקיק ) ‪ ψ = cos ( kx − ωt‬יש תנע מובהק ‪ p = ℏk‬ללא שגיאה כי ‪k‬‬
‫ידוע ללא שגיאה‪ .‬אך המיקום‬
‫הוא עם שגיאה אינסופית כי הגל פרוס על כל המרחב‪.‬‬
‫עיקרון אי הודאות במכניקת הקוונטים אינה רק הגבלת מדידה‪ ,‬אלא תכונה יסודית שאומרת שלחלקיק אין מקום ותנע‪ ,‬אלא יש לו‬
‫פונקצית גל וממנה אפשר למדוד‪.‬‬
‫עיקרון ההשלמה‪ :‬אי אפשר לתאר את הפיזיקה רק ע"י התיאוריה הגלית או התיאוריה החלקיקית‪ ,‬אבל אי אפשר לצפות בשתיהן‬
‫באותו זמן‪.‬‬
‫‪ .19‬משוואת שרדינגר‬
‫הצלחת גלי דה‪-‬ברוילי הביאה לחיפוש אחר תורה גלית‪ ,‬שבגדלים גדולים תיתן את המכניקה קלאסית‪ .‬היה ידוע כי פונקצית הגל‬
‫‪∂ 2ψ‬‬
‫‪1 ∂ 2ψ‬‬
‫=‬
‫צריכה לקיים משוואת גלים כלשהי‪ ,‬וצריך למצוא אותה‪ .‬נתחיל ממשוואת הגלים )במימד אחד(‪:‬‬
‫‪∂x 2 c 2 ∂t 2‬‬
‫לה הוא ) ‪= ei( kx −ωt‬‬
‫‪) ψ‬וגם סינוס וקוסינוס(‪ .‬אם מציבים במשוואה מקבלים‪:‬‬
‫‪ω2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪c‬‬
‫‪ω = ck ⇐ − k 2 = −‬‬
‫שפתרון אפשרי‬
‫‪ -‬יחס הדיספרציה עבור‬
‫פוטון בוואקום‪ .‬מציבים את יחסי דה‪-‬ברוילי ‪ , p = ℏk , E = ℏω‬ומקבלים ‪ - E = cp‬הקשר בין אנרגיה לתנע של פוטון‪.‬‬
‫נמצא משוואת גל שתתאים לחלקיקי חומר )ע"י יציאה מתוך תנאי חלקיקי(‪ ,‬ואז נבדוק אותה‪:‬‬
‫‪p2‬‬
‫= ‪ - V ) E‬אנרג' פוטנציאלית(‪ .‬נציב יחסי ברולי‪:‬‬
‫התנאי החלקיקי שממנו נצא הוא ‪ -‬האנרגיה כוללת של חלקיק היא ‪+ V‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪∂ 2ψ‬‬
‫‪∂ψ‬‬
‫‪ℏ2k 2‬‬
‫‪2‬‬
‫)לשים לב! לא ניתן לקבל זאת עם פתרונות סינוסיאידלים‬
‫‪k‬‬
‫‪ψ‬‬
‫‬‫ו‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ωψ‬‬
‫‬‫ש‬
‫לב‬
‫נשים‬
‫‪.‬‬
‫‪ℏ‬‬
‫‪ω‬‬
‫=‬
‫‪+V‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪∂t‬‬
‫‪∂x 2‬‬
‫‪2‬‬
‫)ג'ון סטייל( נקבל את‬
‫כי נגזרת ראשונה של קוסינוס היא סינוס‪ ,‬ולהיפך(‪ .‬אם מחלצים את ‪ ω‬ואת ‪ k‬ומציבים במשוואה‬
‫‪ℏ2 2‬‬
‫‪∂ψ‬‬
‫‪ℏ 2 ∂ 2ψ‬‬
‫‪∂ψ‬‬
‫‪.−‬‬
‫‪∇ ψ + Vψ = iℏ‬‬
‫‪ . −‬בהרחבה לשלושה מימדים‪:‬‬
‫‪+ Vψ = iℏ‬‬
‫משוואת שרדינגר )במימד אחד(‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪∂t‬‬
‫‪2m ∂x‬‬
‫‪∂t‬‬
‫‪ ℏ2 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪∂ψ‬‬
‫‪∇ + V ψ = iℏ‬‬
‫‪.−‬‬
‫משוואת שרדינגר‪:‬‬
‫‪∂t‬‬
‫‪ 2m‬‬
‫‪‬‬
‫נשים לב – יחס התנע‪-‬אנרגיה שמתקבל מהמשוואה הוא לא יחסותי‪ ,‬ולכן היא רלוונטית עבור חלקיקים לא יחסותיים‪.‬‬
‫צפיפות ההסתברות עבור פונקצית גל קומפלקסים‪ :‬אמרנו שריבוע פונקצית הגל הוא צפיפות ההסתברות ל"מציאת" פוטון במקום‬
‫מסוים‪ .‬כעת פונקצית הגל היא מרוכבת וצריך לתקן זאת ע"י שנאמר‬
‫‪2‬‬
‫‪ . ψ = ψ *ψ‬לכן הנרמול הוא ‪ψ dxdydz = 1‬‬
‫‪2‬‬
‫∞‬
‫∫∫∫‬
‫∞‪−‬‬
‫‪-‬‬
‫הנרמול נובע מכך שחלקיקים לא נוצרים או נעלמים )לפחות לא במסגרת הלא‪-‬יחסותית(‬
‫דרישות עבור פונקצית גל פיזיקלית‬
‫• לקיים את משוואת שרדינגר‪:‬‬
‫‪ o‬צריכה להיות גזירה בזמן וגזירה פעמיים במרחב‪.‬‬
‫‪o‬‬
‫•‬
‫‪∂2‬‬
‫גם אינסופית‪.‬‬
‫אגף שמאל של משוואת שרדינגר צריך להיות סופי‪ ,‬לכן כאשר ∞ = ‪ , V‬או ש‪ ψ = 0 -‬או ש‪ψ -‬‬
‫‪∂x 2‬‬
‫לשאוף ל‪ 0-‬כאשר אחת הקואורדינאטות שואפת לאינסוף )כדי שיהיה אפשר לנרמל(‬
‫אופרטורים‬
‫‪2‬‬
‫‪p‬‬
‫נשווה את משוואת שרדינגר שלמעלה למשוואה שממנה יצאנו ‪+ V = E -‬‬
‫‪2m‬‬
‫∂‬
‫∂‬
‫‪" iℏ‬שולף" מ‪ ψ -‬את האנרגיה )הכוונה היא ש‪( iℏ ψ = Eψ -‬‬
‫• האופרטור‬
‫‪∂t‬‬
‫‪∂t‬‬
‫‪ℏ2 2‬‬
‫• האופרטור ∇‬
‫‪" −‬שולף" מ‪ ψ -‬את האנרגיה הקינטית‪.‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪ℏ2 2‬‬
‫• האופרטור "המילטוניאן" ‪∇ + V -‬‬
‫‪ , H ≡ −‬שגם "שולף" את האנרגיה‪.‬‬
‫‪2m‬‬
‫‬
‫• אופרטור התנע ∇‪" −iℏ‬שולף" את התנע‪.‬‬
‫‪ ,‬נוכל לזהות התאמה בין האיברים בהן ולהסיק‪:‬‬
‫הגדרה – פונקציה עצמית של אופרטור‪ :‬אם עבור פונקציה ‪ ,ψ‬אופרטור ‪ A‬ומספר ‪ a‬מתקיים ‪Aψ = aψ‬‬
‫‪ ψ‬היא הפונקציה העצמית של האופרטור ‪. A‬‬
‫•‬
‫•‬
‫‪ a‬נקרא הערך העצמי של ‪. A‬‬
‫• המשוואה ‪ Aψ = aψ‬נקראת משוואת ערך עצמי‪.‬‬
‫• המצב בו נמצאת המערכת הקוונטית )כמו רמה מסוימת של אלקטרון( נקראת מצב עצמי של ‪. A‬‬
‫) ‪i ( kx −ωt‬‬
‫‪ ,ψ = e‬מצב עצמי – כאשר זו פונקצית הגל של החלקיק‪.‬‬
‫דוגמא– אופרטור התנע‪ :‬ערך עצמי ‪ , px = ℏk -‬פונקציה עצמית ‪-‬‬
‫אז אומרים‪:‬‬
‫שימוש‪ :‬במכניקה קלאסית מתארים מערכת ע"י משוואת תנועה‪ .‬במכניקה קוונטית אי אפשר לדעת איפה החלקיק‪ ,‬לכן תיאור מערכת‬
‫כרוך במציאת המצבים העצמיים של אופרטורים מעניינים‪.‬‬
‫משוואת ערך עצמי של ההמילטוניאן‬
‫אם נסתכל על אגף ימין של משוואת שרדינגר‪ ,‬זהו אופרטור האנרגיה‪ .‬לכן למעשה רשום ) ‪( x, t ) = Eψ ( x, t‬‬
‫‪− iωt‬‬
‫‪− iω t‬‬
‫פונקצית גל* כללית‬
‫‪ , e‬נקבל את "משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן" ‪-‬‬
‫‪ ,ψ ( x, t ) = ψ ( x ) e‬ונצמצם ב‪-‬‬
‫) ‪ - Hψ ( x ) = Eψ ( x‬זוהי משוואת ערך עצמי עבור המילטוניאן‪.‬‬
‫* המונח "פונקצית גל" מתייחס לעיתים ל‪ ψ ( x, t ) -‬ולעיתים ל‪ .ψ ( x ) -‬צריך לשים לב להקשר‪.‬‬
‫‪ . Hψ‬אם ניקח‬
‫פתרונות המשוואה‬
‫) ‪ ψ ( x‬היא החלק המרחבי של פונקצית הגל של חלקיק בעל אנרגיה ‪) E‬שהיא הערך העצמי של ‪ .( H‬הפתרון ) ‪ ψ ( x‬הוא‬
‫הפונקציה העצמית של ‪ , H‬ולכן הוא תיאור של מצב עצמי של חלקיק‪ .‬נראה כמה פתרונות‪:‬‬
‫‪ .1‬חלקיק בבור פוטנציאל אינסופי )נזכיר כי מחפשים את המצבים והערכים העצמיים של ההמילטוניאן(‬
‫‪0 0 < x < L‬‬
‫‪ . V ( x ) = ‬חלקיק לא יכול לקבל אנרגיה אינסופית לכן ‪ ψ‬צריכה להתאפס ב‪L -‬‬
‫חלקיק בפוטנציאל‬
‫‪∞ otherwise‬‬
‫‪ℏ2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪] ψ '' = −k ψ ⇐ −‬הערה שימושית‪ :‬כאשר ‪ ψ‬ו‪ ψ '' -‬בסימנים הפוכים משני‬
‫נפתור את שרדינגר‪ψ '' = Eψ ⇐ V = 0 :‬‬
‫‪2m‬‬
‫עברי המשוואה – הפונקציה מבצעת אוסילציות[‪ .‬הפיתרון ) ‪ ψ = ψ 0 sin ( kx‬פותר ומקיים גם ‪ .ψ ( 0 ) = 0‬בשביל ש‪ψ ( L ) = 0 -‬‬
‫צריך שיתקיים ‪ n . k = nπ / L ⇐ kL = nπ‬הוא מספר קוונטי )וטבעי( שמתאר את מצב החלקיק )פונקצית הגל והאנרגיה שלו(‪.‬‬
‫‪p2‬‬
‫‪ℏ2 k 2‬‬
‫‪ℏ 2π 2 2‬‬
‫‪p = ℏk‬‬
‫= ‪.E‬‬
‫אז נחשב את האנרגיה של המצב ה‪-n-‬י‪n :‬‬
‫= ‪+ V → E‬‬
‫= ‪⇒ En‬‬
‫‪V =0‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪2mL2‬‬
‫וב‪.0-‬‬
‫לכן למעשה – תנאי השפה הם אלו שהובילו לקוונטיזציה של האנרגיה והמצבים המותרים‪.‬‬
‫‪ nπ x ‬‬
‫‪sin 2 ‬‬
‫= ‪ dx = 1 ⇒ ψ 0‬‬
‫‪ L ‬‬
‫‪2‬‬
‫מנרמול פונקצית הגל לאורך הבור נקבל את האמפליטודה שלו‪:‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ nπ x ‬‬
‫‪sin ‬‬
‫‪‬‬
‫‪L‬‬
‫‪ L ‬‬
‫=‬
‫‪ .ψ n‬נוסיף את התלות בזמן ע"י כפילה ב‪-‬‬
‫)‬
‫(‬
‫) ‪2 i( kn x −ωnt ) − i( kn x −ωnt‬‬
‫‪iy‬‬
‫‪e‬‬
‫‪−e‬‬
‫אויילר ‪ ,( ci s ( y ) = e -‬ונקבל‬
‫‪L‬‬
‫‪− iωn t‬‬
‫‪L‬‬
‫‪0‬‬
‫‪∫ψ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ .‬אז פונקצית הגל היא‬
‫‪ , e‬נביע את הסינוס כהפרש של אקספוננטים )בעזרת נוסחת‬
‫‪En ℏkn2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪nπ‬‬
‫= ‪ - ( ωn‬זוהי סופרפוזיציה‬
‫=‬
‫= ‪, kn‬‬
‫= ‪) ψn‬‬
‫‪2i‬‬
‫‪ℏ‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪L‬‬
‫של גל המתקדם לשמאל עם גל שמתקדם לימין‪ ,‬ושניהם עם אותה פאזה בזמן = גל עומד‪ .‬שניהם נמצאים באותו מצב אנרגיה‪ ,‬לכן זו‬
‫פונקציה עצמית של ‪ , H‬ויש לה אנרגיה מוגדרת‪ .‬אבל אם ניקח סופרפוזיציה של שני גלים שלא באותו מצב אנרגיה‪ ,‬כמו‬
‫‪ ,ψ = (ψ 1 + ψ 2 ) / 2‬אז ‪Hψ = ( Hψ 1 + Hψ 2 ) / 2 = ( E1ψ 1 + E2ψ 2 ) / 2‬‬
‫הבלתי תלויה בזמן‪ ,‬ולכן לא ערך עצמי של ‪ , H‬ולכן אין לה אנרגיה מוגדרת‪.‬‬
‫הערה‪ :‬המצבים העצמיים שמתוארים ע"י הפונקציות העצמיות של ה‪) H -‬הפתרונות של משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן(‬
‫‪− iωt‬‬
‫‪.( e‬‬
‫נקראים "מצבים סטציונריים" – כי הם לא משתנים בזמן )פרט לפאזה ‪-‬‬
‫‪ -‬זו לא פיתרון של משוואת שרדינגר‬
‫אז מה חלקיק עושה בבור כזה?‬
‫‪ ‬מבחינה קלאסית‪ :‬החלקיק מתחיל במקום ומהירות מוחלטים‪ ,‬ונע הלוך וחזור בין הקירות באופן ידוע וללא אי ודאות‪.‬‬
‫‪ ‬מבחינה קווטית‪ :‬החלקיק נמצא במצב תחילי כלשהו‪ ,‬ואם הוא במצב סטציונרי‪ ,‬אז הוא מתפתח רק בשינוי פאזה‪ .‬אם לא‪ ,‬אז‬
‫בסכום של שינויי פאזה‪ .‬אם הוא גם טעון בנוסף )כמו אלקטרון(‪ ,‬הוא יכול לפלוט פוטון וליפול למצב אנרגיה נמוך יותר‪.‬‬
‫‪ .2‬חלקיק בבור פוטנציאל סופי‬
‫הפעם הפוטנציאל מחוץ לבור הוא ‪ V0‬ולא ∞ ‪ .‬כרגע אנו מעוניינים רק במצבים בעלי ‪< V0‬‬
‫) ‪= ψ 0 sin ( kx‬‬
‫‪ . E‬הפיתרון בתוך הבור הוא‬
‫‪ ψ‬כמו בבור אינסופי‪ ,‬אך כעת לא צריך לדרוש איפוס ב‪ 0-‬וב‪ ,L-‬כי מותר לחלקיק לקבל את הפוטנציאל הסופי‪ .‬רק‬
‫צריך לדרוש ש‪ ψ -‬ו‪ ψ ' -‬יהיו רציפות בגבולות האלו )כדי שיתאפשר ''‬
‫‪ – (ψ‬כלומר‪ ,‬רציפות במעבר מהבור לבחוץ‪.‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪ℏ2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−‬‬
‫>‬
‫‪0‬‬
‫)‬
‫‪ψ‬‬
‫''‬
‫=‬
‫‪α‬‬
‫‪ψ‬‬
‫⇐‬
‫‪−‬‬
‫הפיתרון מחוץ‪ψ ''+ V0ψ = Eψ ⇐ V = V0 :‬‬
‫‪V‬‬
‫‪E‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪0‬‬
‫‪ℏ2‬‬
‫‪2m‬‬
‫באותו סימן כי ‪ , α > 0‬הפונקציה לא מבצעת אוסילציות אלא דועכת או מתבדרת‪ ,‬עם פתרונות‬
‫≡‬
‫‪2‬‬
‫‪ .( α‬מכיוון שהפעם‬
‫‪= Ce −α x‬‬
‫‪ ψ‬או‬
‫‪ ψ‬ו‪ψ '' -‬‬
‫‪ψ = Ceα x‬‬
‫בהתאמה‪ .‬מדרישת הרציפות נקבל תנאים על ‪ , α , k‬והיחסים בין המקדמים ‪/ C‬‬
‫תתקבל הקוונטיזציה של האנרגיה ‪ . E‬לא נפתור את המתמטיקה של כל זה‪ ,‬אבל נציין שהתקבל הפיתרון הדועך )לא יכול להיות‬
‫‪ ,ψ 0‬מנרמול יתקבל ‪ ,ψ 0‬ומתנאים אלה שוב‬
‫שהאנרגיה מתבדרת(‪ ,‬ונראה את גרפי הפתרונות‪:‬‬
‫נשווה בין פיתרון של בור אינסופי‪ ,‬לבור סופי )לכל פונקציה מצוירת מימינה הריבוע שלה(‬
‫פונקציות עצמיות של בור סופי‪:‬‬
‫פונקציות עצמיות של בור אינסופי‪:‬‬
‫→‪← n =1‬‬
‫→‪←n=2‬‬
‫→‪←n =3‬‬
‫הפתרונות מאוד דומים‪ ,‬אבל ההבדל הוא – בבור אינסופי הפונקציות מתאפסות לגמרי בגבולות הבור )אין סיכוי למצוא את החלקיק‬
‫מחוץ לבור(‪ ,‬ובבור סופי הפונקציות רחבות יותר עבור כל מצב‪ ,‬כי הן לא מתאפסות אלא דועכות אקספוננטית )כלומר יש סיכוי למצוא‬
‫אותו‪ ,‬אבל הוא דועך ככל שמתרחקים מהבור(‪.‬‬
‫אבל יש בעיה‪ :‬מכיוון שבחרנו ‪< V0‬‬
‫‪ , E‬פונקצית הגל גדולה יותר בתוך הבור – יש יותר סיכוי למצוא אותו בפנים‪ ,‬אבל עדין יש סיכוי‬
‫סופי למצוא אותו בחוץ‪ ,‬עם אנרגיה כוללת ‪ E‬ופוטנציאלית ‪ , V0‬בגלל ש‪E < V0 -‬‬
‫הפיתרון – מעיקרון אי הודאות‪ :‬בגלל שהפונקציה דועכת מחוץ לבור כמו‬
‫מסוים ‪-‬‬
‫‪~1‬‬
‫‪α‬‬
‫‪−α x‬‬
‫נקבל אנרגיה קינטית שלילית‪.‬‬
‫‪ , ~ e‬ההסתברות דועכת כמו‬
‫‪−2α x‬‬
‫‪ , ~ e‬ואחרי מרחק‬
‫‪ -‬הסיכוי למצוא את החלקיק שם הוא נמוך מספיק בשביל להגיד שהוא לא שם‪ .‬מציאתו בתחום הזה גוררת אי ודאות‬
‫‪ℏ 2α 2‬‬
‫‪.‬‬
‫בתנע של ‪ , ~ ℏα‬וזה גורר אי ודאות באנרגיה של ‪= V0 − E = − K‬‬
‫‪2m‬‬
‫]בקובץ ההרצאה יש גם פתרון לאוסילטור הרמוני‪ .‬הפיתרון נמצא בקובץ של ההרצאה‪,‬‬
‫אבל בהרצאה עצמה הוא לא פתר‪ ,‬לכן לא אוסיף אותה לסיכום[‬
‫מנהור‬
‫נתבונן במקרה של חלקיק ופוטנציאל מהצורה שבציור‪ ,‬עם ‪< V0‬‬
‫‪ . E‬באופן‬
‫קלאסי‪ ,‬החלקיק מוחזר שמאלה מהמחסום כי אין לו מספיק אנרגיה לעבור‪,‬‬
‫אבל באופן קוונטי‪ ,‬פונקצית הגל לא מאפסת במחסום אלא רק דועכת בו כמו‬
‫‪−α x‬‬
‫‪ , ~ e‬ואחריו ממשיכה באותה צורה מוחלשת "כאילו עברה במנהרה"‪,‬‬
‫ולכן בכל זאת יש סיכוי סופי למצוא את החלקיק מימין למחסום‪.‬‬
‫ניתן להבין שככל שהמחסום יותר גבוה‪ ,‬כך הפונקציה תדעך מהר יותר‪ ,‬וככל‬
‫שהיא רחבה יותר‪ ,‬כך הפונקציה תדעך יותר‪.‬‬
‫]התופעה הזאת של מנור היא תופעה גלית‪ ,‬ולא רק של קוונטים[‬
‫דוגמא לשימוש במנהור ‪ -‬קצב דעיכת ‪ α‬של גרעין )ב‪ 1928-‬ע"י גמוב(‪:‬‬
‫שימוש במנהור בכדי להסביר את התחום הרחב מאוד של זמני החיים של הגרעינים שעוברים‬
‫‪−6‬‬
‫דעיכות ‪) α‬בין ‪ 10‬שניות ל‪ 10 -‬שנים(‪ ,‬לעומת הטווח היחסית קטן של האנרגיה של ה‪: α -‬‬
‫כאשר המרחק בין חלקיק ה‪ α -‬והגרעין גדול – יש דחייה חשמלית בין הפרוטונים שלהם‪ ,‬אבל‬
‫במרחק קטן‪ ,‬ה‪ α -‬נמצא בבור פוטנציאל שנובע מהמשיכה של הכוחות הגרעיניים‪ .‬הסיכוי שייפלט‬
‫‪ α‬הוא הסיכוי שה‪ α -‬יעבור את המחסום‪ .‬ככל שהאנרגיה שה‪ α -‬מקבל היא יותר גדולה‪ ,‬כך‬
‫ההסתברות לעבור את המחסום גדלה אקספוננציאלית‪ ,‬וכך בפועל יותר חלקיקי ‪ α‬נפלטים‪ ,‬מה‬
‫שמקטין את זמן החיים של הגרעין בצורה דראסטית‪ .‬לכן‪ ,‬בגלל ששינוי קטן באנרגיה של ה‪ α -‬גורר‬
‫שינוי גדול של זמן החיים‪ ,‬מתקבל תחום לזמן החיים שהו גדול מאוד‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫]בהרצאה יש עוד דוגמא על מיקרוסקופ מנהור סורק שאותה לא הוספתי לסיכום[‬