‫קוונטים ‪ :1‬סיכום ודף נוסחאות‬ ‫והחישובים יהיו אנלוגיים לחלוטין לאלה שעשינו במרחב המיקום‪.‬‬ ‫‪2.3‬‬ ‫גרסה ‪ ,1.0‬יולי ‪2011‬‬ ‫ברק שושני‬ ‫‪[email protected] | http://baraksh.co.il/‬‬ ‫לא לשכוח לנרמל!!‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1.1‬‬ ‫ˆ‬ ‫אופרטורים‬ ‫מדידות וערך התצפית‬ ‫‪n‬‬ ‫כאשר מבצעים את המדידה‪ ,‬המערכת "קורסת" לאחד מהמצבים העצמיים ‪|Ψn i‬‬ ‫ותוצאת המדידה תהיה הערך העצמי ‪ λn‬המתאים‪ .‬אין שום דרך לדעת מראש מה תהיה‬ ‫‪2‬‬ ‫תוצאת המדידה‪ ,‬אך אנו יודעים כי ההסתברות לקבלת התוצאה ‪ λn‬היא |‪.|hΨn |Φi‬‬ ‫ערך התצפית של ‪ ,A‬המייצג את ממוצע המדידות‪ ,‬הוא‪:‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪ˆ (x) dx‬‬ ‫‪hAi ≡ hΦ|A|Φi‬‬ ‫‪≡ Φ∗ (x) AΦ‬‬ ‫ערך התצפית של אופרטור הרמיטי הוא תמיד ממשי‪ ,‬וערך התצפית של אופרטור אנטי־‬ ‫הרמיטי הוא תמיד מדומה‪ .‬אם ידועה לנו ההתפלגות של ‪ ,A‬ניתן לחשב את ערך‬ ‫התצפית לפי הגדרת התוחלת‪:‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪2‬‬ ‫≡ ‪hAi‬‬ ‫= ) ‪λn P (A = λn‬‬ ‫|‪λn |hΨn |Φi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫קומוטטורים וגדלים תואמים‬ ‫נגדיר את הקומוטטור של שני אופרטורים כך‪:‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪ˆ −B‬‬ ‫ˆ‪ˆ A‬‬ ‫‪[A, B] ≡ AˆB‬‬ ‫שני גדלים מדידים ‪ A‬ו־‪ B‬נקראים תואמים אם האופרטורים המייצגים שלהם מתחלפים‪,‬‬ ‫]‪ˆ B‬‬ ‫‪ ,[A,‬ולא־תואמים אם ‪ˆ 6= 0‬‬ ‫]‪ˆ B‬‬ ‫‪ˆ =0‬‬ ‫‪ .[A,‬אם ‪ A‬ו־‪ B‬הם גדלים תואמים‪ ,‬ו־‪ |Ψn i‬הם‬ ‫קטים עצמיים של ˆ‪ ,A‬אז הייצוג של ˆ‬ ‫‪ B‬לפי ‪ |Ψn i‬יהיה מטריצה אלכסונית‪ .‬כלומר‪ ,‬הקט‬ ‫‪ ,B‬עם הערך העצמי ‪ˆ n i‬‬ ‫העצמי ‪ |Ψn i‬של ˆ‪ A‬הוא גם קט עצמי של ˆ‬ ‫‪.µn ≡ hΨn |B|Ψ‬‬ ‫הקומוטטור מקיים את הזהויות הבאות‪:‬‬ ‫†‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫] †ˆ‪[A, B] = [B † , A‬‬ ‫]‪ˆ C‬‬ ‫[‪ˆ = A‬‬ ‫‪ˆ B,‬‬ ‫]‪ˆ C‬‬ ‫‪ˆ + [A,‬‬ ‫]‪ˆ C‬‬ ‫‪ˆB‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪[AˆB,‬‬ ‫]‪ˆ Cˆ D‬‬ ‫[‪ˆ = AˆC‬‬ ‫‪ˆ B,‬‬ ‫]‪ˆ D‬‬ ‫[‪ˆ + A‬‬ ‫‪ˆ B,‬‬ ‫]‪ˆ C‬‬ ‫‪ˆD‬‬ ‫[‪ˆ + C‬‬ ‫‪ˆ A,‬‬ ‫]‪ˆ D‬‬ ‫‪ˆ B‬‬ ‫‪ˆ + [A,‬‬ ‫]‪ˆ C‬‬ ‫‪ˆD‬‬ ‫‪ˆB‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪[AˆB,‬‬ ‫‪ˆ [A,‬‬ ‫]]‪ˆ B‬‬ ‫‪ˆ = 0 =⇒ [f (A),‬‬ ‫]‪ˆ B‬‬ ‫[)‪ˆ = f 0 (A‬‬ ‫‪ˆ A,‬‬ ‫]‪ˆ B‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪[A,‬‬ ‫‪ˆ [B,‬‬ ‫]]‪ˆ C‬‬ ‫‪ˆ + [B,‬‬ ‫‪ˆ [C,‬‬ ‫]]‪ˆ A‬‬ ‫‪ˆ + [C,‬‬ ‫‪ˆ [A,‬‬ ‫]]‪ˆ B‬‬ ‫‪ˆ =0‬‬ ‫‪[A,‬‬ ‫]‪ˆ B‬‬ ‫‪ A,‬הרמיטיים אז גם ˆ‬ ‫‪ˆ B‬‬ ‫כמו כן‪ ,‬אם ˆ‬ ‫‪ i[A,‬הרמיטי‪.‬‬ ‫‪1.3‬‬ ‫סטיית התקן ועקרון האי־וודאות‬ ‫בהינתן גודל מדיד ‪ ,A‬נגדיר את סטיית התקן‪:‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪∆A ≡ σA ≡ hA2 i − hAi‬‬ ‫אם ‪ A‬ו־‪ B‬הם גדלים מדידים לא תואמים‪ ,‬אז מתקיים עקרון האי־וודאות‪:‬‬ ‫ˆ ˆ ‪1‬‬ ‫‪∆A∆B ≥ |h[A,‬‬ ‫|‪B]i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫במקרה של המיקום והתנע ושל האנרגיה והזמן‪ ,‬למשל‪ ,‬נקבל‪:‬‬ ‫~‬ ‫~‬ ‫‪∆x∆p ≥ ,‬‬ ‫≥ ‪∆t∆E‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כאשר את הגודל ‪ ∆t‬יש להבין בתור הזמן שלוקח לערך התצפית של הגודל הנמדד ‪Q‬‬ ‫להשתנות בסטיית תקן אחת‪.‬‬ ‫‪1.4‬‬ ‫המעריך של אופרטור‬ ‫נגדיר את המעריך של אופרטור‪:‬‬ ‫‪∞ ˆn‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ˆ‬ ‫≡ ‪eA‬‬ ‫ˆ=‬ ‫· · · ‪1 + Aˆ + Aˆ2 +‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫לפי נוסחת בייקר־קמפבל־האוסדורף מתקיים‪:‬‬ ‫‪ii‬‬ ‫‪h h h‬‬ ‫‪iii‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪i 1h h‬‬ ‫‪ˆ ˆ −A‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪ˆ A,‬‬ ‫‪ˆ B‬‬ ‫‪ˆ + 1 A,‬‬ ‫‪ˆ A,‬‬ ‫‪ˆ A,‬‬ ‫‪ˆ B‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪ˆ + A,‬‬ ‫‪ˆ B‬‬ ‫‪ˆ +‬‬ ‫‪A,‬‬ ‫··· ‪+‬‬ ‫‪eA B‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪=B‬‬ ‫‪2‬‬ ‫!‪3‬‬ ‫עבור אופרטורים ˆ‪ˆ A‬‬ ‫‪ˆ [A,‬‬ ‫]]‪ˆ B‬‬ ‫ו־‪ B‬אשר מתחלפים עם הקומוטטור שלהם‪ ,‬כלומר = ˆ‬ ‫‪[A,‬‬ ‫‪ˆ [A,‬‬ ‫]]‪ˆ B‬‬ ‫‪ˆ =0‬‬ ‫‪ ,[B,‬מתקיים‪) :‬הזהות האחרונה נקראת נוסחת גלאובר‪(.‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪ˆ eλBˆ ] = [A,‬‬ ‫‪ˆ B]λ‬‬ ‫‪ˆ eλBˆ ,‬‬ ‫‪ˆ B]λ‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪[A,‬‬ ‫‪e−λB Aˆ eλB = Aˆ + [A,‬‬ ‫ˆ ˆ‬ ‫ˆ ˆ‬ ‫ˆ ˆ‬ ‫‪eA eB = eA+B e[A,B ]/2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ˆ ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪eA eB = eB eA e[A,B] ,‬‬ ‫מכניקה קוונטית בממד אחד‬ ‫‪2.1‬‬ ‫אופרטורי המיקום והתנע‬ ‫ˆ‪ .‬לאופרטור זה יש ספקטרום רציף‪ ,‬והפונקציה העצמית‬ ‫אופרטור המיקום הוא ‪x ≡ x‬‬ ‫המתאימה לערך העצמי ‪ x0‬היא ) ‪ .δ (x − x0‬אם נמדוד את המיקום של חלקיק במצב‬ ‫‪ ,|Ψi‬ההסתברות לקבל תוצאה בתחום ]‪ [a, b‬תהיה‪:‬‬ ‫‪ˆ b‬‬ ‫‪ˆ b‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪|hx|Ψi| dx‬‬ ‫‪|Ψ (x, t)| dx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫אופרטור התנע מוגדר כך‪:‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫גם לו יש ספקטרום רציף‪√,‬והפונקציות העצמיות המנורמלות שלו )עבור ערכים עצמיים‬ ‫~‪i px/‬‬ ‫כי מתקיימים יחס האורתונורמליות‬ ‫ממשיים בלבד( הן ~‪/ 2π‬‬ ‫‪ .e‬נשים לב ´‬ ‫) ‪ hp|p0 i = δ (p − p0‬ויחס השלמות ‪ .|f i = |pihp|f i dp‬אנו רואים כי הפונקציות‬ ‫העצמיות מייצגות תנועה הרמונית עם אורך גל ‪ .λ = 2π~/p‬ניתן להמיר גודל פיזיקלי‬ ‫ˆ( ˆ‬ ‫‪Q‬‬ ‫קלאסי )‪ ,Q (x, p‬כאשר ‪ x‬הוא המיקום ו־‪ p‬הוא התנע‪ ,‬לאופרטור קוונטי )ˆ‪x, p‬‬ ‫ˆ‪ .‬אופרטורי המיקום והתנע מקיימים את‬ ‫באמצעות החלפת התנע ‪ p‬באופרטור התנע ‪p‬‬ ‫יחס החילוף הקנוני‪:‬‬ ‫ˆ[‬ ‫‪x, pˆ] ≡ x‬‬ ‫‪ˆpˆ − pˆx‬‬ ‫~‪ˆ = i‬‬ ‫ˆ( ‪.[f‬‬ ‫ˆ( ‪x) , pˆ] = i ~f 0‬‬ ‫כמו כן‪ ,‬מתקיים הקשר )‪x‬‬ ‫~ ‪pˆ ≡ − i‬‬ ‫‪2.2‬‬ ‫מרחבי המיקום והתנע‬ ‫ˆ‪ .‬נגדיר‪:‬‬ ‫יהיו ‪ |pi‬הפונקציות העצמיות של ‪p‬‬ ‫∞‪ˆ +‬‬ ‫‪e− i px/~ Ψ (x, t) dx‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‪2π~ −‬‬ ‫זוהי פונקציית הגל במרחב התנע‪ ,‬והיא טרנספורם פורייה )ראו סעיף ‪ (4.1‬של פונקציית‬ ‫הגל במרחב המיקום )‪ .Ψ (x, t‬הטרנספורם עובד‪ ,‬כמובן‪ ,‬גם בכיוון ההפוך‪:‬‬ ‫∞‪ˆ +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫√ = )‪Ψ (x, t‬‬ ‫‪ei px/~ Φ (p, t) dp‬‬ ‫∞‪2π~ −‬‬ ‫ההסתברות לקבל תוצאה בתחום ]‪ [a, b‬במדידת התנע תהיה‪:‬‬ ‫‪ˆ b‬‬ ‫‪ˆ b‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪|hp|Φi| dp‬‬ ‫‪|Φ (p, t)| dp‬‬ ‫‪a‬‬ ‫אם הפונקציה )‪ ψ (x‬ניתנת לפיתוח בטור טיילור‪ ,‬מתקיים‪:‬‬ ‫~‪ˆ 0 /‬‬ ‫‪ψ (x + x0 ) = ei px‬‬ ‫)‪ψ (x‬‬ ‫לפיכך אופרטור התנע יוצר הזזות במרחב‪ .‬בדומה‪:‬‬ ‫)‪Ψ (x, t + t0 ) = e− i Ht0 /~ Ψ (x, t‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫~‪ˆ ≡ exp − i Ht/‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪ ,U‬אז מתקיים‪:‬‬ ‫לפיכך אופרטור האנרגיה יוצר הזזות בזמן‪ .‬נגדיר‬ ‫יהי ˆ‪ A‬אופרטור הרמיטי המייצג גודל מדיד ‪ ,A‬ויהיו ‪ |Ψn i‬הקטים העצמיים )המנורמלים(‬ ‫של ˆ‪ .A‬אנו מניחים כי לפני ש־‪ A‬נמדד‪ ,‬המערכת נמצאת במצב שהוא צירוף לינארי‬ ‫)סופרפוזיציה( של הקטים העצמיים‪:‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪|Φi‬‬ ‫‪|Ψn i hΨn |Φi‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫הזזות במרחב ובזמן‬ ‫√ = ‪Φ (p, t) ≡ hp|Ψi‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ניתן להגדיר את אופרטורי המיקום והתנע במרחב התנע כך‪:‬‬ ‫∂‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ˆ ≡ i~ ,‬‬ ‫‪pˆ ≡ p‬‬ ‫‪∂p‬‬ ‫‪ˆ (x, t)i = hΨ (x, 0) |U‬‬ ‫‪ˆ −1 Q‬‬ ‫‪ˆU‬‬ ‫‪ˆ |Ψ (x, 0)i‬‬ ‫‪hQ (t)i = hΨ (x, t) |Q|Ψ‬‬ ‫המקרה השמאלי‪ ,‬בו התלות בזמן מגיעה מפונקציית הגל‪ ,‬נקרא תמונת שרדינגר; המקרה‬ ‫הימני‪ ,‬בו התלות בזמן מגיעה מהאופרטור‪ ,‬נקרא תמונת הייזנברג‪ .‬בתמונת הייזנברג‬ ‫מתקיימת המשוואה‪:‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫)‪dQ (t‬‬ ‫ˆ ˆ ‪i‬‬ ‫)‪∂ Q (t‬‬ ‫‪= [H,‬‬ ‫‪Q (t)] +‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫~‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪2.4‬‬ ‫משוואת שרדינגר‬ ‫נתבונן בחלקיק בעל מסה ‪ m‬הנע בממד אחד בהשפעת פוטנציאל )‪ .V (x, t‬פונקציית‬ ‫הגל )‪ Ψ (x, t‬של החלקיק היא הפתרון של משוואת שרדינגר‪:‬‬ ‫‪∂Ψ‬‬ ‫‪~2 ∂ 2 Ψ‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪ˆ |Ψi ,‬‬ ‫~‪i‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪i ~ |Ψi = H‬‬ ‫‪+ V (x, t) Ψ‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪2m ∂x2‬‬ ‫אם הפוטנציאל אינו תלוי ב־‪ t‬ניתן‪ ,‬באמצעות הפרדת המשתנים = )‪Ψ (x, t‬‬ ‫)‪ ,ψ (x) ϕ (t‬לקבל את משוואת שרדינגר הבלתי־תלויה בזמן‪:‬‬ ‫‪~2 d2 ψ‬‬ ‫‪ˆ |ψi = E |ψi ,‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+ V (x) ψ = Eψ‬‬ ‫‪2m dx2‬‬ ‫לאחר שמצאנו את הפתרון )‪ ,ψ (x‬פונקציית הגל המלאה המתאימה תהיה = )‪Ψ (x, t‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫~‪ .ψ (x) e− i Et/‬נשים לב כי מתקיים |)‪ ,|Ψ (x, t)| = |ψ (x‬ובאופן כללי‪ ,‬כל ערך‬ ‫תצפית הוא קבוע בזמן‪ ,‬כי התלות בזמן מתבטלת כאשר מכפילים בצמוד‪ .‬לפיכך‬ ‫פתרונות אלו מכונים מצבים יציבים‪ .‬כמו כן ניתן לראות כי עבור פתרון כזה ‪hHi = E‬‬ ‫ו־‪ ,∆H = 0‬כלומר‪ ,‬כל מדידה של האנרגיה תחזיר בוודאות את הערך ‪.E‬‬ ‫למשוואת שרדינגר הבלתי־תלויה בזמן יש אינסוף פתרונות ‪ψ1 (x) , ψ2 (x) , . . .‬‬ ‫המתאימים לערכים שונים של אנרגיה ‪ .E1 , E2 , . . .‬בהינתן תנאי התחלה )‪,Ψ (x, 0‬‬ ‫נרשום אותו כצירוף לינארי של כל הפתרונות‪:‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪|Ψ (x, 0)i‬‬ ‫‪|ψn (x)i hψn (x) |Ψ (x, 0)i‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫כעת‪ ,‬כדי למצוא את פונקציית הגל המלאה פשוט נצמיד לכל פתרון את התלות בזמן‪,‬‬ ‫עם האנרגיה המתאימה‪:‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪|Ψ (x, t)i‬‬ ‫~‪|ψn (x)i hψn (x) |Ψ (x, 0)i e− i En t/‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪2.5‬‬ ‫ברור כי ‪ ψ (x) = 0‬מחוץ לבור‪ .‬בתוך הבור‪ ,‬הפתרון הכללי הוא‪:‬‬ ‫√‬ ‫‪2mE‬‬ ‫‪ψ (x) = A sin (kx) + B cos (kx) ,‬‬ ‫≡‪k‬‬ ‫~‬ ‫מרציפות מתקיים בשפת הבור ‪ .ψ (0) = ψ (a) = 0‬מכאן‪ ,‬ומדרישת הנורמליזציה‪,‬‬ ‫נקבל‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫ ‪ nπ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n 2 π 2 ~2‬‬ ‫= )‪ψn (x‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪x ,‬‬ ‫= ‪En‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2ma2‬‬ ‫כאשר ‪ .n ∈ N‬הפתרון ‪ ψ1‬נקרא מצב היסוד‪ ,‬והאחרים נקראים מצבים מעורערים‪.‬‬ ‫‪2.6.1‬‬ ‫האוסילטור ההרמוני‬ ‫אופרטורי הסולם‬ ‫הפוטנציאל של אוסילטור הרמוני הוא‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪V (x) = mω 2 x2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ a‬כך‪:‬‬ ‫‪ a‬ואת אופרטור ההשמדה ‪ˆ−‬‬ ‫נגדיר את אופרטור היצירה ‪ˆ+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ˆ‪(mω‬‬ ‫)ˆ‪x ∓ i p‬‬ ‫‪a‬‬ ‫√ ≡ ‪ˆ±‬‬ ‫‪2~mω‬‬ ‫אופרטורים אלה נקראים גם אופרטורי הסולם‪ .‬נשים לב כי הם מקיימים את יחס‬ ‫ˆ‪ ,‬כלומר ‪ˆ−‬‬ ‫‪ a‬הוא הצמוד ההרמיטי של ‪a−‬‬ ‫ˆ[‪ .‬בנוסף‪ˆ+ ,‬‬ ‫‪a− , a‬‬ ‫החילוף ‪ˆ+ ] = 1‬‬ ‫ˆ‪,‬‬ ‫‪a†+ = a‬‬ ‫ˆ‪ .‬כעת ניתן לרשום את ההמילטוניאן‬ ‫‪a† ≡ a‬‬ ‫‪ a‬ו־ ‪ˆ+‬‬ ‫‪ˆ≡a‬‬ ‫ולהפך‪ .‬לכן מסמנים לעתים ‪ˆ−‬‬ ‫בצורה הבאה‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ˆ = ~ω a‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪ˆ± a‬‬ ‫‪ˆ∓ ±‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ˆ‬ ‫ואז‪ ,‬אם פונקציית הגל ‪ |ψi‬מקיימת את משוואת שרדינגר ‪ ,H |ψi = E |ψi‬נקבל‪:‬‬ ‫ˆ( ˆ‬ ‫‪H‬‬ ‫ˆ( )‪a± |ψi) = (E ± ~ω‬‬ ‫)‪a± |ψi‬‬ ‫לפיכך‪ ,‬ברגע שידוע לנו פתרון אחד ‪ ,|ψi‬נוכל לקבל ממנו פתרונות עם אנרגיה גבוהה‬ ‫ונמוכה יותר‪ .‬מצב היסוד ‪ |0i‬הוא‪ ,‬בהצגת המיקום‪:‬‬ ‫ ‪ mω‬‬ ‫‪ mω 1/4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪exp −‬‬ ‫= )‪hx|0i = ψ0 (x‬‬ ‫‪x2 ,‬‬ ‫‪E0 = ~ω‬‬ ‫~‪π‬‬ ‫~‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ˆ‪ .‬ממנו ניתן ליצור את המצבים המעורערים‪:‬‬ ‫‪a− |0i = 0 = h0| a‬‬ ‫והוא מקיים ‪ˆ+‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ˆ( √ = ‪|ni‬‬ ‫‪a+ ) |0i ,‬‬ ‫‪En = n +‬‬ ‫‪~ω‬‬ ‫‪2‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫כמו כן מתקיים‪:‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ˆ− |ni = n |n − 1i‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ˆ+ |ni = n + 1 |n + 1i ,‬‬ ‫)כדי לזכור את הנוסחאות‪ ,‬נשים לב כי תמיד המספר הגדול יותר מופיע בתוך השורש‪(.‬‬ ‫‪ x‬ו־ˆ‪ p‬נוכל להשתמש בקשרים‪:‬‬ ‫לחישוב אינטגרלים עם ˆ‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫~‬ ‫‪~mω‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=ˆ‬ ‫ˆ(‬ ‫‪a+ + a‬‬ ‫‪ˆ− ) ,‬‬ ‫‪pˆ = i‬‬ ‫ˆ(‬ ‫‪a+ − a‬‬ ‫) ‪ˆ−‬‬ ‫‪2mω‬‬ ‫‪2‬‬ ‫אלמנטי המטריצה אשר נובעים מקשרים אלה הם‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‬ ‫√‬ ‫√ ~‬ ‫ˆ|‪hn‬‬ ‫= ‪x|ki‬‬ ‫‪k + 1δn,k+1 + kδn,k−1‬‬ ‫‪2mω‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‬ ‫√‬ ‫√ ‪~mω‬‬ ‫‪k + 1δn,k+1 − kδn,k−1‬‬ ‫ˆ|‪hn‬‬ ‫‪p|ki = i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫בנוסף‪ ,‬מנוסחת גלאובר )סעיף ‪ (1.4‬נקבל‪:‬‬ ‫‪eγˆa− eδˆa+ = eγˆa− +δˆa+ eγδ/2 ,‬‬ ‫‪eγˆa+ eδˆa− = eγˆa+ +δˆa− e−γδ/2‬‬ ‫מכאן ניתן להראות כי‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪~k 2‬‬ ‫‪~k‬‬ ‫‪h0| ei kˆx |0i = exp −‬‬ ‫‪h0|0i = exp −‬‬ ‫‪4mω‬‬ ‫‪4mω‬‬ ‫לבסוף‪ ,‬באמצעות הצבת פתרון בצורת טור חזקות נוכל לקבל את הפתרון המפורש‪:‬‬ ‫‪ mω 1/4 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫√‬ ‫= )‪hx|ni = ψn (x‬‬ ‫‪Hn (y) e−y /2‬‬ ‫~‪π‬‬ ‫!‪2n n‬‬ ‫‪p‬‬ ‫כאשר ‪ Hn‬הם פולינומי הרמיט‪ ,‬והגדרנו ~‪) y ≡ x mω/‬משתנה חסר יחידות(‪.‬‬ ‫כפונקציה של ‪ ,y‬הנורמליזציה פשוטה יותר‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π −1/4‬‬ ‫√ = )‪hy|ni = ψn (y‬‬ ‫‪Hn (y) e−y /2‬‬ ‫!‪2n n‬‬ ‫וגם אופרטורי הסולם פשוטים יותר‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ˆ+ + a‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪√ −‬‬ ‫‪a‬‬ ‫√ = ‪ˆ±‬‬ ‫‪y∓‬‬ ‫‪,‬‬ ‫= ˆ‪y‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2.6.2‬‬ ‫‪2.7‬‬ ‫החלקיק החופשי‬ ‫הפוטנציאל של חלקיק חופשי הוא ‪ .V (x) ≡ 0‬משוואת שרדינגר מקבלת את הצורה‪:‬‬ ‫√‬ ‫‪2mE‬‬ ‫‪00‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ψ (x) = −k ψ (x) ,‬‬ ‫≡‪k‬‬ ‫~‬ ‫ופתרונה‪ ,‬לאחר שהוספנו את התלות בזמן‪ ,‬הוא‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪~k 2‬‬ ‫‪Ψ (x, t) = √ ei(kx−ωt) ,‬‬ ‫≡‪ω‬‬ ‫‪2m‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫כאשר מספר הגל ‪ k‬יכול לקבל גם ערכים שליליים‪ k > 0 :‬הוא גל שנע ימינה ואילו‬ ‫‪ k < 0‬הוא גם שנע שמאלה‪ .‬אורך הגל הוא |‪ λ = 2π/ |k‬והתנע שלו הוא ‪p = ~k‬‬ ‫)יחס דה־ברוי(‪.‬‬ ‫פונקציית הגל שקיבלנו לא ניתנת לנרמול‪ ,‬ולפיכך חלקיק חופשי לא יכול להתקיים במצב‬ ‫יציב; במילים אחרות‪ ,‬אין חלקיק חופשי בעל אנרגיה מוגדרת‪ .‬הפתרון הכללי למשוואת‬ ‫שרדינגר יהיה חבילת גלים ‪ -‬צירוף לינארי רציף של הפתרונות לעיל‪ ,‬עבור כל הערכים‬ ‫האפשריים של ‪:k‬‬ ‫∞‪ˆ +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪φ (k) ei(kx−ωt) dk‬‬ ‫√ = )‪Ψ (x, t‬‬ ‫∞‪2π −‬‬ ‫בהינתן )‪ ,Ψ (x, 0‬ניתן למצוא את המקדמים )‪ φ (k‬באמצעות טרנספורם פורייה‪:‬‬ ‫∞‪ˆ +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫√ = )‪φ (k‬‬ ‫‪Ψ (x, 0) e− i kx dx‬‬ ‫∞‪2π −‬‬ ‫נשים לב כי מהירות הפאזה היא ‪ vph = ω/k‬ואילו מהירות החבורה‪ ,‬המהירות‬ ‫שמתאימה למהירות של חלקיק קלאסי‪ ,‬היא ‪ .vgr = dω/dk = 2vph‬כמו כן‪ ,‬מתקיים‬ ‫יחס האורתוגונליות הרציף‪:‬‬ ‫∞‪ˆ +‬‬ ‫= ‪hψk |ψk0 i‬‬ ‫) ‪ψk∗ (x) ψk0 (x) dx = 2πδ (k − k 0‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫בור פוטנציאל אינסופי‬ ‫הפוטנציאל של בור פוטנציאל אינסופי בתחום ]‪ [0, a‬הוא‪:‬‬ ‫(‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0≤x≤a‬‬ ‫= )‪V (x‬‬ ‫‪∞ otherwise‬‬ ‫‪2.6‬‬ ‫כאשר ‪ .α ∈ C‬מצב זה מתאר‪ ,‬למשל‪ ,‬לייזר‪ ,‬ואי־הוודאות בו היא מינימלית‪ .‬נגדיר את‬ ‫אופרטור ההעתקה במרחב הפאזה ‪ˆ (α) ≡ eαˆa+ −α∗ aˆ−‬‬ ‫‪ .D‬אופרטור זה הוא אוניטרי‬ ‫‪ .D‬בנוסף‪ˆ (α) |0i = |αi ,‬‬ ‫‪ˆ † (α) a‬‬ ‫‪ˆ (α) = a‬‬ ‫‪ D‬כאשר ‪ |αi‬הוא מצב‬ ‫‪ˆ− D‬‬ ‫ומקיים ‪ˆ− + α‬‬ ‫קוהרנטי‪ .‬כדי להראות זאת‪ ,‬יש להשתמש בקשר‪:‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪αn‬‬ ‫‪√ |ni = e−|α| /2 eαˆa+ |0i‬‬ ‫‪|αi = e−|α| /2‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫טריק שימושי הוא‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ˆ( ‪ˆ− f‬‬ ‫ˆ[ = ‪a+ ) |0i‬‬ ‫ˆ( ‪a− , f‬‬ ‫ˆ( ‪a+ )] |0i = f 0‬‬ ‫ˆ[ ) ‪a+‬‬ ‫‪a− , a‬‬ ‫ˆ( ‪ˆ+ ] |0i = f 0‬‬ ‫‪a+ ) |0i‬‬ ‫כאשר השתמשנו בזהות מסעיף ‪ .1.2‬ההסתברות שיהיו בדיוק ‪ n‬עירורים במצב ‪|αi‬‬ ‫היא‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪hni −hni‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪e‬‬ ‫= |‪|hn|αi‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ˆ|‪ .hni = hα‬זוהי התפלגות פואסון‪ .‬עבור שני מצבים‬ ‫‪a+ a‬‬ ‫כאשר |‪ˆ− |αi = |α‬‬ ‫קוהרנטיים ‪ |αi , |βi‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪−(|α|2 −2α∗ β+|β|2 )/2‬‬ ‫‪hα|βi = e‬‬ ‫מצבים קוהרנטיים‬ ‫מצב קוהרנטי ‪ |αi‬הוא קט עצמי של אופרטור ההשמדה‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ˆ− |αi = α |αi ⇐⇒ hα| α∗ = hα| a‬‬ ‫‪ˆ+‬‬ ‫‪2.8‬‬ ‫פוטנציאל פונקציית דלתא‬ ‫הפתרונות למשוואת שרדינגר מתחלקים לשני סוגים‪ .‬כאשר האנרגיה ‪ E‬קטנה‬ ‫מהפוטנציאל ב־∞‪ +‬וגם ב־∞‪ ,−‬החלקיק יהיה במצב קשור; כאשר היא גדולה‬ ‫מהפוטנציאל ב־∞‪ +‬או ב־∞‪ ,−‬החלקיק יהיה במצב פיזור‪ .‬רוב הפוטנציאלים‬ ‫מתאפסים באינסוף‪ ,‬לכן ‪ E < 0‬מתאימה למצב קשור ו־‪ E > 0‬למצב פיזור‪.‬‬ ‫בור הפוטנציאל והאוסילטור ההרמוני הם שני מקרים בהם הפוטנציאל הוא אינסופי‬ ‫באינסוף‪ ,‬לכן נקבל בהם מצבים קשורים בלבד; פוטנציאל החלקיק החופשי הוא אפס‬ ‫בכל מקום‪ ,‬לכן נקבל בו מצבי פיזור בלבד‪ .‬פוטנציאל פונקציית דלתא‪ ,‬בו נעסוק בסעיף‬ ‫זה‪ ,‬ובור הפוטנציאל הסופי‪ ,‬בו נעסוק בסעיף הבא‪ ,‬מניבים את שני סוגי המצבים‪.‬‬ ‫פוטנציאל פונקציית דלתא הוא‪:‬‬ ‫)‪V (x) = −αδ (x‬‬ ‫כאשר ‪ .α > 0‬בפתרון משוואת שרדינגר נשתמש בשני תנאי שפה‪ .‬הראשון הוא‬ ‫ש־)‪ ψ (x‬חייבת להיות רציפה תמיד‪ ,‬גם ב־‪ .x = 0‬הנגזרת )‪ ψ 0 (x‬חייבת להיות רציפה‬ ‫בכל נקודה בה הפוטנציאל סופי‪ ,‬לכן אין תנאי רציפות בנקודה ‪ ,x = 0‬אך באמצעות‬ ‫אינטגרציה של משוואת שרדינגר ניתן להראות כי הקפיצה בנקודת האי־רציפות היא‪:‬‬ ‫‪2mα‬‬ ‫)‪∆ψ 0 (0) = − 2 ψ (0‬‬ ‫~‬ ‫כאשר נפתור את משוואת שרדינגר עבור ‪ E < 0‬נקבל מצב קשור אחד בלבד‪:‬‬ ‫√‬ ‫ ‪ mα‬‬ ‫‪mα2‬‬ ‫‪mα‬‬ ‫‪E=− 2‬‬ ‫= )‪ψ (x‬‬ ‫‪exp − 2 |x| ,‬‬ ‫~‬ ‫~‬ ‫~‪2‬‬ ‫כאשר נפתור אותה עבור ‪ E > 0‬נקבל‪:‬‬ ‫(‬ ‫‪A ei kx +B e− i kx x < 0‬‬ ‫= )‪ψ (x‬‬ ‫‪F ei kx +G e− i kx x > 0‬‬ ‫√‬ ‫כאשר ~‪ .k ≡ 2mE/‬מהרציפות של )‪ ψ (x‬ב־‪ x = 0‬נקבל ‪,A + B = F + G‬‬ ‫ומהקפיצה בנקודת האי־רציפות של הנגזרת נקבל‪:‬‬ ‫)‪F − G = A (1 + 2 i β) − B (1 − 2 i β‬‬ ‫כאשר ‪ .β ≡ mα/~2 k‬נשים לב כי ‪ ei kx‬מתאים לפונקציית גל הנעה ימינה‪ ,‬ואילו‬ ‫‪ e− i kx‬מתאים לפונקציית גל הנעה שמאלה‪ .‬נניח כי החלקיק מגיע משמאל‪ ,‬ונקבע‬ ‫‪ .G = 0‬אז ‪ A‬היא אמפליטודת הגל הנכנס משמאל )הגל הפוגע(‪ B ,‬היא אמפליטודת‬ ‫הגל החוזר שמאלה )הגל המוחזר( ו־ ‪ F‬היא אמפליטודת הגל אשר ממשיך ימינה )הגל‬ ‫המועבר(‪ .‬מתנאי השפה נקבל‪:‬‬ ‫‪iβ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪B‬‬ ‫‪A,‬‬ ‫= ‪F‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪1 − iβ‬‬ ‫‪1 − iβ‬‬ ‫ההסתברות שהחלקיק יוחזר ניתנת ע"י מקדם ההחזרה‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪β2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫≡‪R‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 E/mα2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫~‪2‬‬ ‫|‪|A‬‬ ‫וההסתברות שהוא יועבר ניתנת ע"י מקדם ההעברה‪:‬‬ ‫|‪|B‬‬ ‫‪2‬‬ ‫| ‪|F‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 /2~2 E‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪mα‬‬ ‫|‪|A‬‬ ‫כמובן‪ ,R + T = 1 ,‬וככל שהאנרגיה גבוהה יותר כך גדולה ההסתברות שהחלקיק‬ ‫יועבר‪.‬‬ ‫נתבונן כעת במחסום פונקציית דלתא‪:‬‬ ‫)‪V (x) = +αδ (x‬‬ ‫מאחר שהאנרגיה ‪ E‬חייבת להיות גדולה יותר מהערך המינימלי של )‪ ,V (x‬לא קיים מצב‬ ‫קשור‪ .‬במצב פיזור‪ ,‬מקדמי ההחזרה והעברה לא משתנים‪ .‬אנו רואים כי במכניקת‬ ‫הקוונטים‪ ,‬בניגוד למכניקה הקלאסית‪ ,‬החלקיק יכול לעבור דרך המחסום האינסופי‬ ‫)ובמקרה הכללי‪ ,‬דרך מחסום סופי‪ ,‬אפילו אם ‪ .(E < Vmax‬תופעה זו נקראת מנהור‪.‬‬ ‫בדומה‪ ,‬אנו רואים כי אפילו אם ‪ E > Vmax‬יש אפשרות שהחלקיק יוחזר‪.‬‬ ‫=‬ ‫‪2.9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫≡ ‪T‬‬ ‫בור פוטנציאל סופי‬ ‫הפוטנציאל הוא‪:‬‬ ‫‪|x| ≤ a‬‬ ‫‪|x| > a‬‬ ‫(‬ ‫‪−V0‬‬ ‫= )‪V (x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫כאשר ‪ .V0 > 0‬כמו בפוטנציאל פונקציית דלתא‪ ,‬גם כאן קיימים מצבים קשורים‬ ‫)‪ (E < 0‬ומצבי פיזור )‪ .(E > 0‬עבור מצבים קשורים‪ ,‬פתרון משוואת שרדינגר הוא‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪κx‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x < −a‬‬ ‫‪B e‬‬ ‫‪ψ (x) = C sin (`x) + D cos (`x) −a < x < a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ −κx‬‬ ‫‪Fe‬‬ ‫‪x>a‬‬ ‫כאשר‪:‬‬ ‫‪p‬‬ ‫√‬ ‫) ‪2m (E + V0‬‬ ‫‪−2mE‬‬ ‫≡‪κ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫≡`‬ ‫~‬ ‫~‬ ‫מכיוון שהפוטנציאל הוא סימטרי‪ ,‬ניתן להניח שהפתרונות הם זוגיים או אי־זוגיים‪.‬‬ ‫במקרה הזוגי נקבל‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x<0‬‬ ‫)‪ψ (−x‬‬ ‫‪ψ (x) = D cos (`x) 0 < x < a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ −κx‬‬ ‫‪Fe‬‬ ‫‪x>a‬‬ ‫)‪eκa cos (`a‬‬ ‫‪F = p‬‬ ‫‪a + 1/κ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪D= p‬‬ ‫‪a + 1/κ‬‬ ‫√‬ ‫ו־ ‪ ψ 0‬נקבל )‪ .κ = ` tan (`a‬נגדיר ‪ z ≡ `a‬ו־~‪,z0 ≡ a 2mV0 /‬‬ ‫מתנאי השפה על ‪q ψ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ונקבל ‪ .tan z = (z0 /z) − 1‬זוהי משוואה טרנסנדנטלית עבור ‪) z‬ולכן עבור ‪,(E‬‬ ‫אותה ניתן לפתור נומרית‪ .‬אם ‪ z0‬גדול מאוד‪ ,‬הפתרונות יהיו בקירוב ‪,zn ≈ nπ/2‬‬ ‫ונקבל‪:‬‬ ‫‪2 2 2‬‬ ‫~ ‪n π‬‬ ‫≈ ‪En + V0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪2m (2a‬‬ ‫המשמעות היא שהאנרגיה מעל תחתית הבור זהה לאנרגיה של בור פוטנציאל אינסופי‬ ‫ברוחב ‪ .2a‬עם זאת‪ ,‬ל־ ‪ V0‬סופי יש רק מספר סופי של מצבים קשורים‪ .‬כעת‪ ,‬כאשר‬ ‫‪ z0‬קטן‪ ,‬נקבל פחות ופחות מצבים קשורים‪ ,‬עד שלבסוף )כאשר ‪ (z0 < π/2‬רק אחד‬ ‫מהם ישרוד‪.‬‬ ‫במקרה האי־זוגי נקבל‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−ψ (−x) x < 0‬‬ ‫‪ψ (x) = D sin (`x) 0 < x < a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ −κx‬‬ ‫‪Fe‬‬ ‫‪x>a‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מתנאי השפה נקבל )‪ κ = −` cot (`a‬ולכן ‪ .cot z = − (z0 /z) − 1‬אם ‪ z0‬גדול‬ ‫מאוד‪ ,‬נקבל את אותם ערכי אנרגיה אותם מצאנו למעלה )אך הפעם עבור ‪ n‬זוגי(‪ .‬אם‬ ‫‪ ,z0 < π/2‬לא יהיה מצב קשור‪.‬‬ ‫עבור מצבי פיזור )‪ (E > 0‬נקבל‪ ,‬בהנחה כי לא מגיע גל נכנס מימין‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i kx‬‬ ‫‪− i kx‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x < −a‬‬ ‫‪A e +B e‬‬ ‫‪ψ (x) = C sin (`x) + D cos (`x) −a < x < a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ i kx‬‬ ‫‪Fe‬‬ ‫‪x>a‬‬ ‫√‬ ‫כאשר ~‪ A .k ≡ 2mE/‬היא האמפליטודה הפוגעת‪ B ,‬המוחזרת‪ ,‬ו־ ‪ F‬המועברת‪.‬‬ ‫מתנאי השפה נקבל‪:‬‬ ‫‬ ‫‪sin (2`a) 2‬‬ ‫‪` − k2 F‬‬ ‫‪B=i‬‬ ‫`‪2k‬‬ ‫‪e−2 i ka A‬‬ ‫`‪cos (2`a) − i (k 2 + `2 ) sin (2`a) /2k‬‬ ‫ומקדם ההעברה יהיה‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪V0‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪T =1+‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫) ‪2m (E + V0‬‬ ‫) ‪4E (E + V0‬‬ ‫~‬ ‫האנרגיות בהן ‪) T = 1‬העברה מושלמת( הן בדיוק האנרגיות שמצאנו למעלה‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬הצורה הנכונה לחשב מקדמי העברה והחזרה היא לחשב את היחס בין צפיפות‬ ‫זרם ההסתברות )סעיף ‪ (3.6‬של הגלים הנעים בכיוונים הרלוונטיים‪.‬‬ ‫לחלופין‪ ,‬נבצע בה החלפת משתנים )‪ u (r) ≡ rR (r‬ונקבל את המשוואה‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪~2 d2 u‬‬ ‫)‪~2 l (l + 1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+ V (r) +‬‬ ‫‪u = Eu‬‬ ‫‪2m dr2‬‬ ‫‪2m r2‬‬ ‫נשים לב כי משוואה זו זהה למשוואת שרדינגר החד־ממדית‪ ,‬עם הפוטנציאל האפקטיבי‪:‬‬ ‫)‪~2 l (l + 1‬‬ ‫‪Veff (r) ≡ V (r) +‬‬ ‫‪2m r2‬‬ ‫אם כן‪ ,‬בהצגת המקום‪ ,‬פונקציית הגל הכללית ביותר תהיה‪:‬‬ ‫~‪hr|E, l, mi = ΨE,l,m (r, t) = RE,l (r) Ylm (θ, φ) e− i Et/‬‬ ‫כאשר תנאי הנורמליזציה הוא‪(dΩ ≡ sin θ dθ dφ) :‬‬ ‫ ˚‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫= ‪hE, l, m|E, l, mi‬‬ ‫‪RE,l (r) Ylm (θ, φ) e− i Et/~ d3 r‬‬ ‫∞ ˆ‬ ‫¨‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪|RE,l (r)| r2 dr‬‬ ‫‪|Ylm (θ, φ)| dΩ = 1‬‬ ‫‪S2‬‬ ‫‪3.4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫בור פוטנציאל כדורי‬ ‫נתבונן בפוטנציאל‪:‬‬ ‫(‬ ‫‪0 r≤a‬‬ ‫= )‪V (r‬‬ ‫‪∞ r>a‬‬ ‫עבור ‪ ,r > a‬פונקציית הגל מתאפסת‪ .‬עבור ‪ ,r ≤ a‬נציב במשוואה הרדיאלית ונקבל‪:‬‬ ‫√‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪d2 u‬‬ ‫)‪l (l + 1‬‬ ‫‪2mE‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪u,‬‬ ‫‪k‬‬ ‫≡‬ ‫‪dr2‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫~‬ ‫פתרון המשוואה הוא )‪ ,u (r) = Arjl (kr‬כאשר ‪ jl‬הן פונקציות בסל הכדוריות‪.‬‬ ‫למעשה‪ ,‬גם פונקציות נוימן הכדוריות )‪ nl (kr‬פותרות את המשוואה‪ ,‬אך הן מתבדרות‬ ‫בראשית ולכן נפסול אותן‪ .‬אם ‪ βn,l‬היא האפס ה־‪ n‬של פונקציית בסל ה־‪ ,l‬נקבל‬ ‫מתנאי השפה ‪:R (a) = 0‬‬ ‫‪~2 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪En,l‬‬ ‫‪k = βn,l ,‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2ma2 n,l‬‬ ‫ופונקציית הגל תהיה‪:‬‬ ‫‬ ‫‪r m‬‬ ‫‪ψn,l,m (r, θ, φ) = An,l jl βn,l‬‬ ‫)‪Y (θ, φ‬‬ ‫‪a l‬‬ ‫= ‪F‬‬ ‫מכניקה קוונטית בשלושה ממדים‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3.1‬‬ ‫משוואת שרדינגר בשלושה ממדים‬ ‫בשלושה ממדים אופרטור התנע יהיה ∇~ ‪ ,p = − i‬ולכן משוואת שרדינגר התלויה‬ ‫בזמן תהיה‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪∂Ψ‬‬ ‫~‬ ‫‪ˆ =−‬‬ ‫~‪i‬‬ ‫‪= HΨ‬‬ ‫‪∇2 Ψ + V Ψ‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪2m‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ההסתברות למצוא את החלקיק באלמנט נפח ‪ d3 r ≡ dx dy dz‬תהיה ‪,|Ψ (r, t)| d3 r‬‬ ‫ותנאי הנורמליזציה יהיה‪:‬‬ ‫˚‬ ‫‪2‬‬ ‫‪|Ψ| d3 r = 1‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫יחסי החילוף הקנוניים יהיו‪:‬‬ ‫ˆ[‬ ‫ˆ[ = ] ‪ri , rˆj‬‬ ‫‪pi , pˆj ] = 0‬‬ ‫ועקרון האי־וודאות יהיה‪:‬‬ ‫~‬ ‫≥ ‪∆ri ∆pi‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כאשר אין הגבלה על ‪ .∆ri ∆pj‬ממשפט ארנפסט )סעיף ‪ (3.7‬נסיק‪:‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪d‬‬ ‫= ‪hri‬‬ ‫‪hpi ,‬‬ ‫‪hpi = h−∇V i‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫ˆ[‬ ‫ˆ[ ‪ri , pˆj ] = −‬‬ ‫‪pi , rˆj ] = i ~δij ,‬‬ ‫חלקיק בתיבה‬ ‫אופרטור התנע הזוויתי‬ ‫]‪0 x, y, z ∈ [0, a‬‬ ‫‪∞ otherwise‬‬ ‫(‬ ‫= )‪V (x, y, z‬‬ ‫באמצעות הפרדת משתנים במשוואת שרדינגר בקואורדינטות קרטזיות‪ ,‬נקבל את‬ ‫הפונקציות העצמיות‪:‬‬ ‫‪ 3/2‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪sin πnx‬‬ ‫‪sin πny‬‬ ‫‪sin πnz‬‬ ‫= )‪ψnx ,ny ,nz (x, y, z‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫עם האנרגיות העצמיות‪:‬‬ ‫‬ ‫‪~2 π 2‬‬ ‫= ‪Enx ,ny ,nz‬‬ ‫‪n2 + n2y + n2z‬‬ ‫‪2ma2 x‬‬ ‫הפרדת משתנים בקואורדינטות כדוריות‬ ‫בקואורדינטות כדוריות‪ ,‬הלפלסיאן הוא‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‪ 2‬‬ ‫∂ ‪1‬‬ ‫∂‬ ‫‪1‬‬ ‫∂‬ ‫∂‬ ‫‪1‬‬ ‫∂‬ ‫‪r2‬‬ ‫‪+ 2‬‬ ‫‪sin θ‬‬ ‫‪+ 2 2‬‬ ‫‪∇2 = 2‬‬ ‫‪r ∂r‬‬ ‫‪∂r‬‬ ‫‪r sin θ ∂θ‬‬ ‫‪∂θ‬‬ ‫‪r sin θ ∂φ2‬‬ ‫נניח כי הפוטנציאל תלוי רק במרחק מהראשית‪ .V = V (r) ,‬נבצע הפרדת משתנים‬ ‫)‪ ψ (r, θ, φ) = R (r) Y (θ, φ‬ונקבל את המשוואות‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪d‬‬ ‫‪dR‬‬ ‫‪2mr2‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪(V (r) − E) R = l (l + 1) R‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪~2‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫∂ ‪1‬‬ ‫‪∂Y‬‬ ‫‪1 ∂2Y‬‬ ‫‪sin θ‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪= −l (l + 1) Y‬‬ ‫‪sin θ ∂θ‬‬ ‫‪∂θ‬‬ ‫‪sin2 θ ∂φ2‬‬ ‫כאשר ‪ l‬הוא קבוע ההפרדה‪ .‬עבור המשוואה הזוויתית נבצע שוב הפרדת משתנים‬ ‫)‪ Y (θ, φ) = Θ (θ) Φ (φ‬ונקבל את המשוואות‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪d‬‬ ‫‪dΘ‬‬ ‫‪sin θ‬‬ ‫‪sin θ‬‬ ‫‪+ l (l + 1) sin2 θ − m2 Θ = 0‬‬ ‫‪dθ‬‬ ‫‪dθ‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪d2 Φ‬‬ ‫‪= −m2 Φ‬‬ ‫‪dφ2‬‬ ‫כאשר ‪ m‬הוא קבוע ההפרדה‪ .‬הפתרון למשוואה האחרונה הוא ‪ Φ (φ) = ei mφ‬כאשר‬ ‫‪) m ∈ Z‬מדרישת המחזוריות(‪ .‬הפתרון למשוואה עבור ‪ Θ‬הוא )‪,Θ (θ) = APlm (cos θ‬‬ ‫כאשר ‪ Plm‬היא פונקציית לג'נדר המוכללת‪ .‬בסה"כ הפתרון הזוויתי יהיה בצורת‬ ‫הרמוניות כדוריות )‪.Ylm (θ, φ‬‬ ‫בניגוד למשוואה הזוויתית‪ ,‬המשוואה הרדיאלית תלויה בפוטנציאל )‪ .V (r‬נפשט אותה‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2m‬‬ ‫)‪l (l + 1‬‬ ‫‪R00 + R0 −‬‬ ‫‪(V‬‬ ‫)‪(r‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪E‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪R=0‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪~2‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫עבור גודל מדיד ‪ Q‬מתקיים משפט ארנפסט‪:‬‬ ‫*‬ ‫‪+‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪i‬‬ ‫∂‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪d‬‬ ‫]‪ˆ Q‬‬ ‫‪ˆ +‬‬ ‫= ‪hQi‬‬ ‫‪[H,‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫~‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪ Q‬אינו תלוי במפורש בזמן והוא תואם ˆ‬ ‫בפרט‪ ,‬אם ˆ‬ ‫ל־‪ ,H‬אז ‪ hQi‬יהיה גודל קבוע‪.‬‬ ‫חלקיק בעל מסה ‪ m‬נתון תחת השפעת פוטנציאל מרכזי )‪ .V (r‬החלקיק מצוי במצב‬ ‫עצמי קשור ‪ |E, l, mi‬של האנרגיה ושל התנע הזוויתי‪ .‬נגדיר את האופרטור ההרמיטי‬ ‫‪ˆ ≡ r · p + p · r = − i ~ 2r ∂ + 3‬‬ ‫‪ ,G‬אז לפי משפט ארנפסט מתקיים עבור מצב‬ ‫‪∂r‬‬ ‫כללי כלשהו‪:‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ˆ‪p‬‬ ‫‪dV‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪hGi = 4‬‬ ‫‪−2 r‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪2m‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫בפרט‪ ,‬עבור המצב העצמי ‪:|E, l, mi‬‬ ‫‪d‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪hGi = hE, l, m|G|E,‬‬ ‫‪l, mi = 0‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫ומכאן נקבל את המשפט הוויריאלי‪:‬‬ ‫ ‪ 2‬‬ ‫‬ ‫‪p‬‬ ‫‪dV‬‬ ‫‪2 hT i = 2‬‬ ‫‪= r‬‬ ‫‪= hr · ∇V i‬‬ ‫‪2m‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫כאשר ‪ T‬היא האנרגיה הקינטית‪ ,‬ואופרטור האנרגיה הקינטית הוא ‪.Tˆ ≡ pˆ2 /2m‬‬ ‫‪3.8‬‬ ‫הצגת התנע‬ ‫ניתן להגדיר את הצגת התנע בשלושה ממדים של המצב ‪ |ψi‬באמצעות טרנספורם‬ ‫פורייה‪ ,‬כך‪:‬‬ ‫˚‬ ‫‪1‬‬ ‫≡ ‪hp|ψi‬‬ ‫‪e− i(p·r)/~ hr|ψi d3 r‬‬ ‫‪3/2‬‬ ‫)~‪(2π‬‬ ‫למשל‪ ,‬הצגת התנע של מצב היסוד של אטום המימן היא‪:‬‬ ‫ ‪ 3/2‬‬ ‫‪ ap 2 −2‬‬ ‫‪1 2a‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫= ‪hp|1, 0, 0i‬‬ ‫~ ‪π‬‬ ‫~‬ ‫‪3.9‬‬ ‫אוסילטור הרמוני איזוטרופי‬ ‫‪2 2‬‬ ‫עבור אוסילטור הרמוני בשלושה ממדים‪ ,‬בעל הפוטנציאל ‪ ,V (r) = mω r /2‬ניתן‬ ‫לבצע הפרדת משתנים בקואורדינטות קרטזיות ולקבל שלושה אוסילטורים הרמוניים‬ ‫חד־ממדיים בלתי־תלויים‪ .‬לפיכך האנרגיות המותרות יהיו‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫‪~ω,‬‬ ‫‪n ≡ nx + ny + nz‬‬ ‫‪En = n +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫והניוון של כל רמת אנרגיה יהיה‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪n+2‬‬ ‫)‪(n + 2) (n + 1‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫אופרטור התנע הזוויתי של חלקיק ביחס לראשית הצירים הוא‪:‬‬ ‫ˆ( ~ ‪L ≡ r × p ≡ − i‬‬ ‫)∇ × ‪r‬‬ ‫הרכיבים מקיימים את יחסי האי־וודאות‪:‬‬ ‫~‬ ‫‪∆Lx ∆Ly ≥ |hLz i| , etc.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫רכיבי התנע הזוויתי אינם תואמים )סעיף ‪ ,(1.2‬ולכן אין מצבים שהם פונקציות עצמיות‬ ‫של ‪ Lx‬וגם של ‪) Ly‬למשל(‪ .‬לעומת זאת‪ ,‬ריבוע התנע הזוויתי הכולל‪:‬‬ ‫‪ˆ 2=L‬‬ ‫|‪ˆ 2 ≡ |L‬‬ ‫‪ˆ 2x + L‬‬ ‫‪ˆ 2y + L‬‬ ‫‪ˆ 2z‬‬ ‫‪L‬‬ ‫הספין הוא התנע הזוויתי הפנימי של החלקיק‪ .‬אופרטור הספין הוא‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪S = Sˆx , Sˆy , Sˆz‬‬ ‫‪ L‬ו־ ‪ˆ z‬‬ ‫‪ˆ y ,L‬‬ ‫מתחלף עם ‪ˆ x‬‬ ‫‪:L‬‬ ‫ומתקיים‪:‬‬ ‫‪ˆ2, L‬‬ ‫‪ˆ x ] = [L‬‬ ‫‪ˆ2, L‬‬ ‫‪ˆ y ] = [L‬‬ ‫‪ˆ2, L‬‬ ‫‪ˆz] = 0‬‬ ‫‪[L‬‬ ‫למעשה‪ ,‬ריבוע התנע זוויתי מתחלף עם וקטור התנע הזוויתי כולו‪ˆ = 0 :‬‬ ‫]‪ˆ 2 , L‬‬ ‫‪ .[L‬נגדיר‬ ‫‪ˆ± ≡ L‬‬ ‫‪ˆx ± i L‬‬ ‫‪ˆy‬‬ ‫‪ ,L‬אז מתקיים‪:‬‬ ‫‪ˆz, L‬‬ ‫‪ˆ ± ] = ±~L‬‬ ‫‪ˆ±,‬‬ ‫‪ˆ2, L‬‬ ‫‪ˆ±] = 0‬‬ ‫‪[L‬‬ ‫‪[L‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪ˆ y = L+ − L−‬‬ ‫‪ˆ x = L+ + L− ,‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2i‬‬ ‫‪ˆ2 = L‬‬ ‫‪ˆ±L‬‬ ‫‪ˆ∓ + L‬‬ ‫‪ˆ 2z ∓ ~L‬‬ ‫‪ˆz‬‬ ‫‪L‬‬ ‫הפונקציות העצמיות‬ ‫‪3.5.2‬‬ ‫בקואורדינטות כדוריות‪ ,‬הגרדיאנט הוא‪:‬‬ ‫∂‬ ‫‪1‬‬ ‫∂‬ ‫∂‬ ‫ˆ‬ ‫‪ˆ 1‬‬ ‫ˆ=∇‬ ‫‪r‬‬ ‫‪+θ‬‬ ‫‪+φ‬‬ ‫‪∂r‬‬ ‫‪r ∂θ‬‬ ‫‪r sin θ ∂φ‬‬ ‫‪ˆ φ‬‬ ‫)כאן ˆ‬ ‫ˆ הם וקטורי יחידה‪ ,‬לא אופרטורים(‪ .‬לכן אופרטור התנע הזוויתי הוא‪:‬‬ ‫‪r, θ,‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫∂ ‪ˆ 1‬‬ ‫‪ˆ ∂ −θ‬‬ ‫‪ˆ = − i ~ (r × ∇) = − i ~ φ‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪∂θ‬‬ ‫‪sin θ ∂φ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ L‬ו־= ‪ˆ z |l, mi‬‬ ‫למציאת הפונקציות העצמיות נדרוש ‪ˆ |l, mi = ~ l (l + 1) |l, mi‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪ ,~m |l, mi‬ונקבל את המשוואה הזוויתית מסעיף ‪ .3.3‬לפיכך ההרמוניות הכדוריות‬ ‫)‪ Ylm (θ, φ‬הן הפונקציות העצמיות ‪.|l, mi‬‬ ‫ייצוג כמטריצות‬ ‫‪3.5.3‬‬ ‫עבור ‪ ,l = 1‬נסמן‪:‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪|1, 0i =  1  ,‬‬ ‫‪|1, −1i =  0 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫אז ניתן לרשום כל פונקציית גל בצורה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪|1, +1i =  0  ,‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫חלקיק מצוי בפוטנציאל‪:‬‬ ‫‪3.3‬‬ ‫‪3.5.1‬‬ ‫= ‪hΨ|Ψi‬‬ ‫אם הפוטנציאל בלתי־תלוי בזמן‪ ,‬תהיה מערכת שלמה של מצבים יציבים‪:‬‬ ‫~‪Ψn (r, t) = ψn (r) e− i En t/‬‬ ‫כאשר פונקציית הגל המרחבית ‪ ψn‬מקיימת את משוואת שרדינגר הבלתי־תלויה בזמן‪:‬‬ ‫‪~2 2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪∇ ψ + V ψ = Eψ‬‬ ‫‪2m‬‬ ‫הפתרון הכללי למשוואת שרדינגר התלויה בזמן יהיה‪ ,‬לפיכך‪:‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪|Ψ (r, t)i‬‬ ‫~‪|ψn (r)i hψn (r) |Ψ (r, 0)i e− i En t/‬‬ ‫‪3.2‬‬ ‫‪3.5‬‬ ‫תנע זוויתי‬ ‫‪3.7‬‬ ‫המשפט הוויריאלי‬ ‫‪‬‬ ‫‪c+1‬‬ ‫‪|ψi =  c0  = c+1 |1, +1i + c0 |1, 0i + c−1 |1, −1i‬‬ ‫‪c−1‬‬ ‫למציאת ייצוגי המטריצות של אופרטורי התנע הזוויתי למיניהם‪ ,‬נשתמש בנוסחה‬ ‫לאלמנט מטריצה ‪ Mm0 ,m = h1, m0 | Aˆ |1, mi‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 1 0‬‬ ‫‪0 0 0‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪ˆ+ = ~ 2  0 0 1  L‬‬ ‫‪ˆ− = ~ 2  1 0 0 ‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪0 0 0‬‬ ‫‪0 1 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 1 0‬‬ ‫‪0 −1 0‬‬ ‫‪i~ ‬‬ ‫‪ˆ x = √~  1 0 1  L‬‬ ‫√ = ‪ˆy‬‬ ‫‪1 0 −1 ‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0 1 0‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3.5.4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ˆ 2 = 2~2  0‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ˆz = ~  0‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫אופרטורי המיקום והתנע בסימון וקטורי‬ ‫)‪ˆ 2 = rˆ2 pˆ2 − (r · p)2 + i ~ (r · p‬‬ ‫‪L‬‬ ‫∂‬ ‫‪∂r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪pˆ2 ≡ |p| = −~2 ∇2 ,‬‬ ‫‪r · p = − i ~r‬‬ ‫ˆ[‬ ‫~ ‪rn , pˆn ] = 3 i‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪X‬‬ ‫חלקיק טעון מסתובב יוצר דיפול מגנטי‪ .‬מומנט הדיפול המגנטי‪ ,µ ,‬הוא פרופורציונלי‬ ‫לספין ‪ ,µ = γS :S‬כאשר ‪ γ‬נקרא היחס הגירומגנטי‪ .‬ההמילטוניאן יהיה‬ ‫‪ˆ = −µ · B = −γB · S‬‬ ‫‪.H‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4.1‬‬ ‫נספחים‬ ‫טרנספורם פורייה‬ ‫טרנספורם פורייה של פונקציית הגל )‪ ψ (x‬ממרחב המיקום ‪ x‬למרחב התנע ‪ p‬הוא‪:‬‬ ‫∞‪ˆ +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫˜‬ ‫√ ≡ )‪ψ (p) ≡ F {ψ (x)} (p‬‬ ‫‪e− i px/~ ψ (x) dx‬‬ ‫∞‪2π~ −‬‬ ‫ומתקיימות התכונות‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪o‬‬ ‫)‪ψ˜ (p − p0 ) = F ei p0 x/~ ψ (x) (p‬‬ ‫)‪e− i px0 /~ ψ˜ (p) = F {ψ (x − x0 )} (p‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪ip‬‬ ‫)‪(n‬‬ ‫)‪ψ˜ (p‬‬ ‫= )‪F ψ (x) (p‬‬ ‫~‬ ‫‪1‬‬ ‫√‬ ‫) ‪F {1} (x − x0 ) = δ (x − x0‬‬ ‫~‪2π‬‬ ‫∞‪ˆ +‬‬ ‫∞‪ˆ +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪|ψ˜ (p) |2 dp‬‬ ‫‪|ψ (x)| dx = 1‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫= ]‪r · p − p · r = [r, p‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫∂‬ ‫‪p · r = −i~ r‬‬ ‫‪+3‬‬ ‫‪∂r‬‬ ‫צפיפות זרם ההסתברות‬ ‫צפיפות ההסתברות מוגדרת כך‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪[Sˆx , Sˆy ] = i ~Sˆz ,‬‬ ‫‪[Sˆy , Sˆz ] = i ~Sˆx ,‬‬ ‫‪[Sˆz , Sˆx ] = i ~Sˆy‬‬ ‫‪Sˆ2 |s, mi = ~2 s (s + 1) ,‬‬ ‫‪Sˆz |s, mi = ~m |s, mi‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪Sˆ± |s, mi = ~ s (s + 1) − m (m ± 1) |s, m ± 1i‬‬ ‫‪Sˆ+ − Sˆ−‬‬ ‫‪Sˆ+ + Sˆ−‬‬ ‫‪,‬‬ ‫= ‪Sˆy‬‬ ‫‪Sˆ± ≡ Sˆx ± i Sˆy ,‬‬ ‫= ‪Sˆx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2i‬‬ ‫בניגוד לתנע הזוויתי המסלולי‪ ,‬הפעם המצבים העצמיים אינם הרמוניות כדוריות‬ ‫)או בכלל‪ ,‬פונקציות של ‪ θ‬ו־‪ (φ‬ו־‪ s‬ו־‪ m‬יכולים לקבל גם ערכים חצי־שלמים‪,‬‬ ‫‪ s = 0, 12 , 1, 32 , . . .‬ו־‪.m = −s, −s + 1, . . . , s − 1, s‬‬ ‫כאשר ‪ s = 1/2‬נקבל שני מצבים‪ ,‬ספין למעלה )‪ (m = +1/2‬וספין למטה )‪,(m = −1/2‬‬ ‫אותם נסמן באמצעות וקטורים‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫≡ ‪|↑i‬‬ ‫‪,‬‬ ‫≡ ‪|↓i‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫אופרטורי הספין יהיו מטריצות‪ ,S = ~σ/2 ,‬כאשר ) ‪ σ = (σx , σy , σz‬הן מטריצות‬ ‫פאולי‪ .‬בנוסף‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪Sˆ2 = ~2‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫~ = ‪S+‬‬ ‫‪,‬‬ ‫~ = ‪S−‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫נשים לב כי ‪ |↑i‬ו־‪ |↓i‬הם מצבים עצמיים של ‪ .Sˆz‬המצבים העצמיים של ‪ Sˆx‬ו־ ‪ Sˆy‬הם‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫√ = ‪|↓x i‬‬ ‫√ = ‪|↑x i‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫√ = ‪|↑y i‬‬ ‫‪,‬‬ ‫√ = ‪|↓y i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪−i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪3.6‬‬ ‫‪3.10‬‬ ‫ספין‬ ‫∗‪ρ (r, t) ≡ |Ψ| = ΨΨ‬‬ ‫צפיפות זרם ההסתברות מוגדרת כך‪:‬‬ ‫~‪i‬‬ ‫~‬ ‫≡‪j‬‬ ‫= )‪(Ψ∇Ψ∗ − Ψ∗ ∇Ψ‬‬ ‫)‪Im (Ψ∗ ∇Ψ‬‬ ‫‪2m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫ומתקיימת משוואת הרציפות‪:‬‬ ‫‬ ‫‪∂ρ‬‬ ‫~‪i‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪Ψ∇2 Ψ∗ − Ψ∗ ∇2 Ψ = −∇ · j‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪2m‬‬ ‫‪4.2‬‬ ‫סימון לוי־צ'יוויטה‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫}‪+1 ijk ∈ {123, 231, 312‬‬ ‫)‪(i − j) (k − i) (j − k‬‬ ‫= }‪ijk ≡ −1 ijk ∈ {132, 321, 213‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪otherwise‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪det A‬‬ ‫‪ijk A1i A2i A3i ,‬‬ ‫=‪a×b‬‬ ‫ˆ ‪ijk‬‬ ‫‪ei aj bk‬‬ ‫‪i,j,k‬‬ ‫‪i,j,k‬‬ ‫‬ ‫ ‪δin‬‬ ‫ ‪δjn‬‬ ‫ ‪δkn‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ijm ijn = 2δmn‬‬ ‫‪i,j‬‬ ‫‪δim‬‬ ‫‪δjm‬‬ ‫‪δkm‬‬ ‫‬ ‫‪ δil‬‬ ‫‬ ‫‪= δjl‬‬ ‫‪ δkl‬‬ ‫‪ijk lmn‬‬ ‫‪ijk inm = δjm δkn − δjn δkm ,‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i‬‬