אקומטריה II
www.bentamari.com/ecometry
כלכלה דינמית
בן תמרי
כלכלה דינמית /בן תמרי
2
עורכת :רעות לבנה
דפוס :צבי בן-צבי הפקות בע"מ
גרפיקה :ארד-יאירי )בעזרת עודד אבידני(
כלכלה דינמית
©1995
Dynamic Economics
כל הזכויות שמורות לחברת אקומטריה בע"מ ,ת"ד ,10580ירושלים ,91103ישראל.
ISBN 965-222-669-6
אין לשכפל ,להעתיק ,לצלם ,לתרגם או לעבד לתוכנה את החומר מן הספר ללא רשות הבעלים ,אלא
לצרכים שאינם עסקיים בלבד.
אקומטריה בע"מ
כלכלה דינמית /בן תמרי
תוכן העניינים
הקדמה 5 ....................................................................
.1היסטוריה 7 ............................................................
1.1מציאות ומתמטיקה 9 ...............................................
1.2דטרמיניזם וסטוכסטיות )קיבוע ואקראיות( 11 ............
1.3דטרמיניזם ושימור 15 ................................................
1.4מחזוריות18 ..............................................................
1.4.1מחזוריות אנדוגנית 18 ................................
1.4.2מחזוריות אקסוגנית 25 ..............................
.2תיאוריה 29 .............................................................
2.1מערכות ריבועיות וחוקי שימור 31 ...............................
2.2המשוואות היסודיות וסימטריה כלכלית 42 .................
2.3אקומטריה 46 ...........................................................
2.4המערכת האנאליטית 50 .............................................
2.4.1הצגה קרטזית 50 .......................................
2.4.2הצגה מעריכית 53 ......................................
2.4.3הצגה טריגונומטרית 54 ..............................
2.5פונקציונל ,תנאי אופטימום וטרנספורמציה 58 .............
2.6מחזוריות כלכלית62 ..................................................
.3אמפיריקה 65 ...........................................................
3.1כאוס בכלכלה וממצאים אמפיריים לגביו 67 ................
3.2ממצאים אמפיריים בכלכלה דינמית 72 .......................
3.2.1מבחן הסימטריה 73 ...................................
3.2.2מבחן התאמה גרפית 77 ..............................
3.2.3ניתוח רב-משתני 82 ....................................
3.3ניסוי בדיעבד 87 .........................................................
3.4המרחב הכלכלי כיריעה 91 ..........................................
.4סיכום 93 .................................................................
.5נספחים97 ..............................................................
5.1נספח מתמטי 99 ........................................................
5.1.1משפט אמי נטר 99 .....................................
5.1.2משוואות קרמונה )100 .............. (Cremona
5.1.3משפט 101 ...................................... KAM
5.1.4העושר ומשוואות התנועה104 .....................
5.1.5ניכוי המערכת 105 .....................................
5.2נספח סטטיסטי 107 ...................................................
5.3מקורות 113 ..............................................................
5.4מפתח המונחים 121 ...................................................
3
כלכלה דינמית /בן תמרי
4
הקדמה
ספר זה הוא המשכו של הספר אקומטריה -יסודות הכלכלה ]תמרי ,[1991העוסק בקשר שבין
התפוקה ,הכסף והתמחיר )רמת המחירים( בכלכלה כמערכת אנאליטית אחת .המסקנה בספר יסודות
הכלכלה הייתה ,כי הכסף הוא חלק אימננטי מהתהליך הכלכלי ,ונוסף על היותו יחידת מידה ,חליפין
וצבירה ,הוא גם המדיום המייצג את הזמן ") "time is moneyכמו האור בפיסיקה( .מערכת כלכלית
מוניטרית ,כשהיא מוצגת כמכפלה קרטזית של תפוקה וכסף )זהו מרחב העסקאות -מרחב קיינס( היא
מערכת משמרת ,כלומר שומרת על קבוע מספרי מסוים )ה"מלך"( במהלך פעולתה.
בספר הנוכחי ,אקומטריה -כלכלה דינמית ,אני מפתח ומרחיב את המשמעות האנאליטית של המערכת
הכלכלית כמערכת משמרת ,ומסיק כי מערכת כלכלית משמרת במרחב קיינס ,כשמוסיפים לה את משוואת
התמחיר ,היא מערכת סימטרית ,שבה הקשר בין קצבי הגידול של התפוקה ,הכסף והתמחיר )קרי
הצמיחה ,ההדפסה והאינפלציה( הוא ליניארי.
הדינמיקה של כלכלה סימטרית ניתנת להדמיה )סימולציה( באמצעות שלוש משוואות-יסוד ,המתארות
שלושה מתנדים ) - (oscillatorsתפוקה ,כסף ותמחיר -הקשורים ביניהם .משוואות-יסוד אלה מניבות
במרוצת הזמן תהליך אבולוציוני ,המגלה מבנה של מושך מוזר ).(strange attractor
אין בכוונתי ללמד את תורת הכלכלה ,אלא להציג דרך חדשה ,ולדעתי אף פורייה יותר מן הדרך המקובלת,
להטמעה והבנה של הכסף במערכת כלכלית אנאליטית .מטבע הדברים החומר רב ,והיריעה קצרה; לכן,
כבספרי הקודם ,הבאתי רק את הדרוש והנוגע לעניין בלבד ,בהנחה שהקורא המעוניין ישלים את החסר על
פי הספרות המוזכרת.
כבספרי הראשון ,כך גם כאן ,הפרק הראשון מוקדש לסקירה היסטורית של הרעיונות התיאורטיים,
בבחינת "דע מאין באת" ותדע "לאן אתה הולך" .הפרק השני מוקדש לניסוח הכלים התיאורטיים
האפשריים לטיפול בבעיית הקשר שבין תפוקה ,כסף ותמחיר כמערכת אנאליטית אחת ,בבחינת "מעט
המחזיק את המרובה" .הפרק השלישי מעמת בין המבנה התיאורטי המוצע לבין הנתונים בפועל.
לאחר שבספר הקודם הועלו רעיונות ראשוניים ובסיסיים ,כאן הרעיונות מפורטים ומפורשים יותר ,דבר
המתבטא בניסוחים המתמטיים ובהוכחות הסטטיסטיות ,עם זאת נותרו עדיין פרצות רבות ,שאני מקווה
ליישב חלק מהן בעתיד .ספר זה מיועד למיגוון של קוראים ,ולא כולם יבינו את כולו.
,1995בן תמרי
כלכלה דינמית /בן תמרי
5
.1היסטוריה
1.1מציאות ומתמטיקה
הניסיון להציג ,לנתח ולחזות מערכת אמפירית כלשהי -אסטרונומית ,פיסיקלית ,כימית ,ביולוגית,
כלכלית ,חברתית ,אמנותית או אחרת -באמצעים מתמטיים הוא ניסיון עתיק ,שראשיתו במזרח הרחוק
)אצל הסינים וההודים( ובמזרח התיכון )אצל הבבלים ,המצרים והיוונים( .במזרח הרחוק הומצאו ריבועי
1
הקסם ,החשבונייה ,היין והיינג ,ונתגלה חתך הזהב -עקרון יסוד חשוב באמנות ,במדע ,בדת
ובארכיטקטורה .מהמזרח התיכון ניתן להביא בעיקר את הגיאומטריה האוקלידית ,אשר במרכזה השיטה
הדדוקטיבית ,שעיקרה ההוכחה של תיאורמות על בסיס הגדרות ואכסיומות מובחנות וברורות ]קוסטא
.[1990
Capra 1976, Hogben 1960, Boyer 1991, Bell 1946, 1990, Kline 1972, Kramer 1970, Lanczos 1970].
התיאורמה החשובה ביותר לענייננו היא משפט פיתגורס : 2
A2 B 2 C 2
בנוסח המעגלי של משפט פיתגורס לתיאור מציאות אמפירית השתמש לראשונה ניוטון ,בנסחו את חוק
המשיכה .בנוסח ההיפרבולי של משפט זה לתיאור מציאות אמפירית השתמש לראשונה ,עד כמה שידוע לי,
מינקואסקי ,בנסחו את תורת היחסות הפרטית של איינשטיין כמרחב בעל שלושה ממדים ,והממד
הרביעי ,ממד הזמן ,מוסף אליו במינוס. 3 [Lanczos 1970 p. 93] .
כיום השיטות האנאליטיות לתיאור המציאות משוכללות הרבה יותר ,וניתן לערוך בעזרתן ,ובעזרת
המחשב ,הדמיה של המציאות במכלול של משוואות -לדוגמה ,המכלולים של Lorenzו Rossler-או
המכלול המובא כאן כהדמיה לכלכלה מוניטרית ] Kocak 1986, Goodwin 1990, Wegner and
.[Peterson 1991
תיאור הכלכלה כמערכת של משוואות ,ראשיתו אצל פרטו וואלרס . 4ואלרס השתמש בגישושים
) (Totonnmentלהדמיית השוק ] .[Walras 1954למיטב ידיעתי ,אין ,עדיין ,מכלול מתמטי משביע
רצון היכול לשמש הדמיה לתהליך הכלכלי ,וגם המכלול המוצע כאן מבחנו לפניו.
1דיון המחבר את תרבויות החשיבה המזרחיות והמערביות בפרספקטיבה של תורת הכאוס ,הנותנת ביטוי מספרי למושגים
כ'יין' ו'יינג' 'זכר' ו'נקבה'' ,כאוס' ו'בקרה' ,נמצא אצל רוסלר] .[Rossler 1992 p. 462
2משפט פיתגורס אומר כי יש קשר מסוים בין היקף המעגל לקוטרו .כל זווית ,שמנגד ליתר ) ,(Cשהוא קוטרו של המעגל,
ונמצאת על המעגל ,היא זווית ישרה; סכום ריבועי צלעותיו הקצרות של משולש ישר זווית שווה לריבוע היתר )הקוטר של
המעגל(.
3חוק המשיכה של ניוטון ) ( F GM 1 M 2 / Rומשוואת הקשר בין מסה לאנרגיה של איינשטיין E MCהם ,בין
השאר ,גם גלגולו של משפט פיתגורס ] .[Friedrichs 1965מעניינת ,לענייננו ,ההקבלה המתודית בפיזיקה בין הזוגות קפלר
וניוטון ,פרדיי ומקסוול ,והזוג איינשטיין ומינקואסקי ,הראשון מנסח את הבעיה אנאליטית )או אמפירית( ,והשני מצרין אותה
מתמטית )ובביולוגיה הזוגות לוטקה וולטרה ,תומפסון ותום(.
2
2
4היו גם ניסיונות מוקדמים יותר לתאר את הכלכלה באופן מתמטי ,אך הם היו חלקיים בלבד ] Theocharis 1961,
.[Franklin 1983.
כלכלה דינמית /בן תמרי
6
1.2דטרמיניזם וסטוכסטיות )קיבוע ואקראיות(
החשיבה ,בדינמיקה כלכלית ,התפתחה בשני זרמים מקבילים .הזרם המיצרפי )הדטרמיניסטי( והזרם
הפרטי )הסטוכסטי( .הראשון מכפיף את התנהגות הפרטים ,המהווים את המערכת ,לכללי התנהגותו של
המיצרף ,ושולל מהפרט את חופש הפעולה .השני מכפיף את כללי ההתנהגות של המיצרף לאוסף כללי
ההתנהגות של הפרטים המהווים את המערכת .התנהגות המיצרף בראשון דטרמיניסטית ובשני
סטוכסטית.
הקבלה זו מזכירה ,ולא במקרה ,את הדואליות השוררת בפיסיקה בין המכניקה הקלאסית ותורת היחסות
)הנחשבות כדטרמינסטיות( לתורה הקוונטית )הנחשבת כסטוכסטית( ] .[Prigogine 1980מקורה של
דואליות זו במתודה המדעית שאנו עובדים בה ובטכניקה המתמטית העומדת לרשותנו ,שאינן מאפשרות
לנו עדיין להבין כראוי תהליכי הקבצה ,התגבשות ואבולוציה של מערכת אגרגטיבית ,את כללי תפעולה,
את יחסי הגומלין שבין הפרט לכלל ,את מבנה ההירארכיה שבה ,את מורכבותה ואת כיוון זרימתה בזמן.
במציאות קיים עולם אחד ופתרון אחד ,אך במתודה המדעית אנו נאלצים לנקוט תפיסה אחת ,שבה או
שהכלל נפרט לפרטים או שהפרטים מצטרפים לכלל .אין לנו אפשרות למתודה סטיראוגרפית שתכיל את
שתי צורות הראייה יחדיו ,ועלינו להחליט איזו מתודה עדיפה ופורייה יותר לענייננו .מהמתודה שנבנתה
תיגזר האחרת.
ככל שהמיצרף גדול ומרובה יותר ,כן הוא מתגלה כדטרמיניסטי יותר וכבעל אפשרויות חיזוי טובות יותר.
תהליך ההקבצה ,ההתגבשות ,האגרגציה ,התהוות ההירארכיה והאבולוציה של הפרטים למערכת אחת
הוא כתהליך 'מיגנוט' , 5השולל מהם את דרגות החופש שהיו להם לפני ההתגבשות למיצרף .עץ האפשרויות
נגזם ,ותהליך ההתגבשות וההצטרפות של הפרטים לכלל מעניק להם ,בתמורה להתגבשותם ,איכויות
)הגנה ,יעילות ,כוח וכדומה( שאותן אין אנו מבינים עדיין לאשורן.
תהליכי הסימביוזה בין הפרט לכלל שהוא שייך אליו אינם מובנים די צורכם .פרטים בלתי מגובשים
מתגלים כחופשיים יותר מפרטים המגובשים למיצרף )אגרגט( ,ועץ האפשרויות מסתעף; ככל שהמיצרף
גדל ,קטן חופש הפעולה של הפרט החבר בו ,ומידת הדטרמיניסטיות של המערכת עולה .במלים אחרות:
לפנינו סולם ,שבצדו האחד מיצרף ודטרמיניזם ,בצדו השני פרט וסטוכסטיות ,והמציאות נעה בתווך:
מתקיים בה איזון בין אבדן החופש לבין יתרונות היחד . 6
הזרם הדטרמינסטי רואה בתהליכים מיצרפיים )מקרו-כלכליים( את העיקר .הפרטים החברים במערכת
)מרצונם ושלא מרצונם( מסתגלים אל התנאים הניצבים בפניהם באמצעות האבולוציה והספקולציה.
השפעתם על המיצרף מינורית ,ומתבטאת בתהליכי משוב למערכת בכללותה .חסידי זרם זה טוענים כי
מאחורי התהליך הכלכלי המיצרפי עומדות משוואות-יסוד )"היד הנעלמה" ,או 'היד המכוונת'( ,שמעצבות
את הכלכלה ,ובאמצעותן ניתן להסביר ולחזות תהליכים כלכליים .המוטו הוא ל'חזות משמע לספור' ,ולכן
אם אינך יכול עדיין לחזות ,הרי זה משום שאינך יכול עדיין לספור .האבולוציה )במובן הכללי ולא רק
הביולוגי( היא כקליידוסקופ ,היוצר סימטריות .אנו מבחינים בסימטריות )ממוצעות( אלה גם אם אין אנו
מבינים או יודעים את דרך התהוותן . 7
5מלים ומשפטים הנתונים בין גרשיים בודדים הן שימושים מושאלים ,ואילו גרשיים כפולים מציינים ציטוטים.
6כישלונו של הקומוניזם )ודיקטטורות אחרות כמוהו( כשיטה חברתית נעוץ בהעדר איזון בין אבדן החופש לבין יתרונות היחד.
איזון זה אינו יכול להתקיים במערכות אינפלציוניות ,שבהן נוטרל מנגנון הבקרה על האיזון בין כמויות הכסף והתפוקה ,ונשללת
מהפרט האפשרות לתמרון כלכלי בין אבדן החופש ליתרונות היחד ,זאת בהעדר תמחיר אמין להם ,בהעדר אינפלציה
הדיקטטורה מתנוונת.
7על היחס שבין סימטריות ותכונות של מערכות במדע ובאמנות ראה:
כלכלה דינמית /בן תמרי
7
לעומת זאת הזרם הסטוכסטי רואה את המערכת הכלכלית כנקבעת על ידי מאבק אינטרסים של הפרטים
המהווים את המערכת )כוחות הביקוש וההיצע( .תוצאת המאבק אינה ניתנת לחיזוי מראש )גם לא על ידי
האל( ,ואין לה מכניזם הניתן לתיאור באמצעות משוואות-יסוד .בכל רגע משתחק לו משחק חדש; אין
יציבות בפתרון ,ואין לו נתיב קבוע לאורך הזמן .על פי זרם זה העולם נברא בכל רגע מחדש .כל תחזית היא
בגדר ניחוש ונס ,ונקודות הפתרון של המערכת נעות אקראית )בראוניאנית( ולא במסלול בעל מבנה
מתמטי ,במרחב המדידה .המערכת מאבדת את זיכרונה ,ו"העתיד אינו כלול בעבר" ] Prigogine 1980
.[pp. xvii, 8המחזיק בטענה האחרונה אין לו ביטחון כי לאחר שנרדם כבן-אנוש לא יתעורר כחיפושון -
בהשאלה מסיפור הגלגול של קפקא.
מחלוקת זו בין הזרם הדטרמיניסטי לזרם הסטוכסטי אצל כלכלנים באה לידי ביטוי בקשר )או בתלות(
שבין התצפיות האמפיריות בסדרה עתית כלכלית .הסדרות הכלכליות יכולות להיות מחירי מוצרים
בשווקים ,מחירי מניות בבורסה ,סדרת התוצר או הכסף ,או כל סדרה עיתית כלכלית אחרת.
אם יש קשר בין התצפיות בסדרה ,כפי שמאמינים חסידי הדינמיקה הגיאומטרית )הדטרמיניסטים( ,אזי
יש משוואות-יסוד ) (Aהקובעות את מהלך הסדרה ) (xמתחילתה בעבר ) (X0ועד עתה ). xt Ax0 :(Xt
במערכת דטרמיניסטית ניתן לערוך תחזיות ל Xt -בהנתן X0ובאמצעות המטריצה ,Aשהיא האלגוריתם
האבולוציוני .אצל הדטרמניסטים תוצאת ה'משחק' ,ואחד מהפתרונות שייבחר מקבוצה סופית של
פתרונות ,כבר מוטבעת במערכת בצורה עוברית ,שהיא תנאי ההתחלה ) .(X0את הפתרון ) (Xtנדע רק עם
התפתחותה של המערכת .אם אין קשר בין התצפיות בסדרה והמערכת מאבדת את זכרונה ,כפי שטוענים
חסידי הזרם הסטוכסטי ,אזי בכל אירוע לאורך הזמן מתהווה מציאות חדשה ,בלתי תלויה בקודמתה;
התוצאה מותנית בכוחות הפועלים ,ואי אפשר עקרונית לערוך תחזיות.
1.3דטרמיניזם ושימור
למערכת דטרמניסטית חייבים להיות חוקי שימור ,המבטיחים את המשכיותה ורציפותה ההיסטורית,
שכן המערכת עוברת שינויים )תהליכים( .חוקי שימור מקיימים מצב שבו ה'מלך' )פונקציונל ,סקלר ]תמרי
1991ע' ([43יישאר קבוע לאורך הנתיב האקסטרימלי ,ועל פיו תיכון המערכת .תכונת השימור היא הבסיס
לתופעה המחזורית .כל תכליתה וסיבת קיומה של המחזוריות היא לקיים את תכונת השימור .מחזוריות
היא ביטוי של רצון מערכת דינמית להשתמר ,כלומר להימצא בתוך גבולות מסוימים )במעין שרוול -
.(torusאם המערכת מגיעה לגבולה )תופעת הגודש( ,היא תשנה כיוון ] .[Ruelle 1989
שורת המדענים שתרמו למושג השימור ולהצרנתו ארוכה ,ובה הוגים מהמילטון ועד לפומנקו )העוסק
במרחבים מינימליים( .מדענים אלה עסקו ועדיין עוסקים במבנה הפורמלי ובתנאים הדרושים לקיומם של
חוקי השימור במערכות דינמיות שמיוצגות באמצעות יצירים גיאומטריים המשובצים במרחב של חלל
וזמן . 8חוקי שימור אלה מבטיחים את יציבותם הדינמית של היצירים הגיאומטריים ] Almgren 1966,
.[Fomenko 1990, Fomenko and Tuzhilin 1991, Hildenbrandt and Tromba 1985,
Kline 1972 pp. 917-921, Field and Golubitsky 1992, Stewart and Golubitsky 1992 pp. 43-44 & 46,
Snapper and Troyer 1971, Lanczos 1970 p. 303, Shubnikov and Koptsik 1974 ch. 12, Weyl 1952.
8לחלופין ניתן לומר שהיצירים הגיאומטריים פורשים את החלל והזמן סביבם )הבעיה הדואלית(Lanczos 1970 ch. ] .
.[9.3.
כלכלה דינמית /בן תמרי
8
היציר הגיאומטרי )ציור -1א( יכול להיות כוכב ,בעל-חי ,עקומת ביקוש ,פונקציית ייצור או כל גודל סקלרי
אחר ,המבטא פתרון של מערכת הנתונה בתהליך של אופטימיזציה דינמית .אם הערך הסקלרי האופטימלי
אינו משתנה בתהליך האופטימיזציה הדינמית ,אזי ערך זה הוא המלך של המערכת .דוגמה אינטואיטיבית
למלך מסוג זה ,שמערכת דינמית אורגנית מתווסתת על פיו ,היא טמפרטורת הגוף ,שאותה המערכת )גופנו(
משמרת באמצעות זרמי קליטה ופליטה של חומרים ואנרגיות.
הרעיון של הצגת חוק במדע כאלמנט של יציר גיאומטרי שאינו משתנה עם הזמן ,אף שהיה אינטואיטיבי
מקדמת דנא ,תחילתו אצל פליקס קליין ,שהשתמש בטרנספורמציות )חבורות( כדי למיין גיאומטריות.
ידידו של קליין סרג' לי השתמש בטרנספומציות רציפות כדי למיין משוואות דיפרנציאליות .קליין טען,
כי כל גיאומטריה ניתנת לאפיון על ידי חבורה של מטריצות ) (transformationsהמאפיינות אותה לפי
התכונות שהיא משמרת בעת ההעתקה ] .[Kline 1972 pp. 917-921כיום מבצעים את עבודת המיון
הגיאומטרי באמצעות מרחבים ליניאריים כלליים מהסוג . x' Axהשימוש בטכניקה זו )הפונקציונל(
אצל כלכלנים החל בתחילת המאה הזו אצל פרנק רמזי ) ,(Frank Ramzy 1928שגזר את תנאי
האופטימום לחיסכון לאומי.סמואלסון היה ,למיטב ידיעתי ,הראשון שהכניס לספרות הכלכלית את
'אינטגרל האנרגיה' ,המאפשר לגזור את התנאים )חוקי השימור( הדרושים לאופטימום כלכלי.
ציור -1א :טרנספורמציה של יציר גיאומטרי xt Ax0
A
Xt
X0
סמואלסון הכניס מושג זה במסגרת האנאליטית של מודל הצמיחה של וון-נוימן ,המאופיין בהעדר צריכה
של הפרטים ובצבירת הון בלבד .חוק השימור ,הנגזר כפונקציית מטרה )במונחי הצריכה הפרטית( ,אומר
כי באופטימום היחס בין תפוקה לעושר הוא יחס קבוע לאורך הזמן ].[Sato and Ramachandran 1990 ch. 3
דוגמה לחוקי שימור כלכליים במערכת בדידה נמצאת במאמרם של ,Sato and Maedaהמחברים
מניחים ,במאמר זה ,כי הדטרמיננטה של המטריצה Aשווה ל ,1-ומוצאים שהמבנה הפונקציונלי המתאים
להנחה זו חייב להיות היפרבולי ] .[Sato et al 1990 p. 161בספרי אקומטריה -יסודות הכלכלה
]תמרי [1991אני בונה פונקציונל היפרבולי תיאורטי ,ומוצא אמפירית ,בהסתמך על משפט הרטמן-גרובמן,
כי הדיטרמיננטה של המטריצה Aשווה ל 1-בקירוב .דהיינו ,שתנאי השימור מתקיים.
כלכלה דינמית /בן תמרי
9
1.4מחזוריות
מקור המחזוריות ,המתגלה בכלכלה ,שנוי במחלוקת:
מאחר שמחזורים עסקיים לא כולם זהים ,והם כפופים לשינויים היסטוריים יחד עם שינויי
המבנה והמוסדות של הכלכלה ,אין זה מפתיע שהמאמצים העצומים למדל אותם כמוצר אחיד
של סוג אחד של זעזועים אקראיים או אחרים -נכשלו .מודלים אנדוגניים לא-ליניארייםיכולים לייצג אספקטים חשובים של תנועת הכלכלה ,אך לעת עתה הם אינם מפותחים דיים,
ורחוקים משימושיות אמפירית .השאלה אם הם יכולים להיות בלתי תלויים בזעזועים חיצוניים
עדיין פתוחה ].[Zarnowitz 1992 p. 17
1.4.1מחזוריות אנדוגנית
בספרות מצויים 3סוגי שינויים אנדוגניים הגורמים למחזוריות כלכלית :שינוי ביחס בין חיסכון להשקעה,
בין טכנולוגיה לפריון ובין כסף לתפוקה.
)א( השינוי ביחס ,בגבולות מסוימים ,בין החיסכון להשקעה
דוגמה לגישה זו היא מודל צמיחה של סקטור אחד )כאוטי פשוט( ,שבו הצבר ההון Kמייצר את הדינמיקה
במערכת .על ידי הכנסת החיסכון , s (k ) ,כמשתנה אנדוגני )נוסחה (1מקבלים את צבירת מלאי ההון K
כתופעה כאוטית .לחלופין אפשר לקחת במקום החיסכון את אלמנט הזיהום ) mנוסחה ,(2כאשר Kהיא
מלאי ההון )' Kמלאי הון בתקופה הבאה( L ,היא עבודה s ,היא שיעור החיסכון B ,קבוע ,היא פונקציית
הייצור ,ו -היא שיעור גידול האוכלוסייה )אקסוגני למערכת( ])[Day 1982ציור -1ב(.
) s (k ) f (k
h( k ) , k K L
1
1) K '
BK (m k )
) h( k
1
2) K '
כלכלה דינמית /בן תמרי
10
ציור -1ב:מבנה מחזורי להצבר ההון המושפע מהחסכון
'K
במקום התכנסות לפתרון יחיד
0
*
K
K
0
*
K
K
נקבל שוטטות מחזורית )(Cobweb
'K
0
*
K
0
K
*
K
K
כלכלה דינמית /בן תמרי
11
)ב( השינוי ביחס ,בגבולות מסוימים ,בין הטכנולוגיה לפריון
מקור אנדוגני זה למחזוריות כלכלית ניתן לביטוי פורמלי באמצעות משוואות )מכלול( רוסלר ),(Rossler
שהוכנס לספרות הכלכלית בידי גודווין ] ) [Goodwin 1990ציור -1ג( .גודווין מנסה לשרשר את תורותיהם
של מרקס ,קיינס ושומפטר לתורה מחזורית אחת .ממרקס הוא לוקח את המחזוריות הקפיטליסטית של
צבירת רווח כמוטיב מרכזי )לשכר עבודה ריאלי נתון ותעסוקה מלאה( ,מקיינס הוא מוסיף את הביקוש
האפקטיבי כקובע את רמת האבטלה והשכר ,ומשומפטר -את ההתחדשות הטכנולוגית המוטמעת בכלכלה
באמצעות השקעות חדשות.
ציור -1ג :מושך רוסלרRossler attractor
מכלול )משוואות( רוסלר לפי גודווין:
v' u z
])u ' v bu c[cos( w
) z ' b z (v a
w' d
vהיא היצע העבודה ,ו u-היא מחירה; zהיא משתנה בקרה w ,היא השכר הנקוב a, b, c, d, ,הם
פרמטרים ] .[Goodwin 1990 p. 124
תכונתו העיקרית של מכלולרוסלר היותו מחזורי ,סדיר או לא סדיר ,מוגבל בתחום ואין-סופי באיטרציות.
האלמנט המקנה למכלול מחזוריותהוא ]) c[cos(wבמשוואה השנייה .המחזוריות עוברת עיוותים כך
שהמבנה המחזורי כביכול נעלם .בהתאפס מקדם c מתאפס המחזור ונעלם.
גודווין מציג כמניע למחזוריות את הגודש וההבשלה של חידושים והמצאות ) swarming of
.(inovationsחידושים אלו ,המוטמעים במשק דרך תהליך ההשקעות ,יוצרים היצע סחורות ושירותים,
ההולך וגדל כאשר הוצאות הייצור ליחידת תפוקה הולכות וקטנות.
כלכלה דינמית /בן תמרי
12
האלמנט המרכזי של כאוטיות במערכת כלכלית ,אליבא דגודווין ,הוא תופעת הגודש.תופעה זו מנוסחת
באמצעות משוואת תנועה לוגיסטית למלאי ההון .ההון מבשיל ,וכתוצאה מכך גידול התפוקה והתעסוקה
)למלאי הון נתון( מואט שוב .לאחר מכן מגיעה שוב תגלית )שהבשילה מדעית( ,חודרת למלאי ההון בתהליך
השקעות מחודש ,ומוטמעת בו; המחזור מתחיל מחדש וחוזר חלילה .חידושים טכנולוגיים ,אומר גודווין,
בעקבות שומפטר ,הם המגבירים את ההיצע ,ובכך מאפשרים מחיר נמוך יותר ליחידת תפוקה ,וגורמים
בכך לתזוזות במערכת הכלכלית.
חשוב לציין כי חידושים והמצאות הם מהותיים לתורת המחזור -מפני
שבשפל ,כשיש עודף כושר ייצור ,אין בסיס אחר להשקעות חדשות ,הדרושות
ליצירת התרחבות מחודשת ].[Goodwin 1990 p. 21
גודווין גורס תחרות בין עבודה להון על בסיס המודל של 'טורף ונטרף' ,המבוסס על מודלים נוסח
לוטקה-ולטרה ) .(Lotka-Volterraכל תשומה )עבודה או הון( מתחרה על חלקה בהכנסה הלאומית.
המניע למחזוריות אצל מרקס הוא המאבק והתחרות על המשאבים בין המנצלים )בעלי ההון(
למנוצלים )השכירים( ,והמניע למחזוריות אצל שומפטר הוא תחרות בין גורמי הייצור -ההון והעבודה
-הבאה לידי ביטוי בטכנולוגיה.
גודווין טוען ,בעקבות מרקס ,קיינס ושומפטר ,כי המניע לדינמיקה כלכלית התפתחותית )אבולוציה
כלכלית( הוא הרווח .לפי שומפטר השאיפה לרווח מביאה לתהליך עקיב של חידושים והמצאות .תהליך זה
אינו רציף ,אך רצוף התפרצויות טכנולוגיות .הדחף לרווח מניע את היזמים ליזמה וחידוש; בתהליך זה יש
עליות ומורדות ,והוא מקבל מבנה מחזורי -שביסודו הוא מבנה פרקטלי .המורפולוגיה הגרפית של
התהליך אינה ליניארית .למיטב ידיעתי ,אין עדיין ניסיונות אמפיריים לעמת סדרות עתיות כלכליות
קיימות עם ההדמיה שהציע גודווין ולאמת אותה על פיהן.
)ג( השינוי ביחס ,בגבולות מסוימים ,בין כסף לתפוקה
הקודמים מדגישים את צד ההיצע ,הטכנולוגיה והפריון ,ואילו אצל המוניטריסטים הדגש הוא על כסף
ותמחיר .תכונת המחזוריות נובעת ,לפי גישה זו ,מאשליית הכסף וההתפכחות ממנה וחוזר חלילה.
המחזוריות נובעת מהשתנות היחס בין כמות הכסף ליחידת תפוקה ,ובעקבותיה משתנה התמחיר;
התפוקה נקבעת על ידי כוחות כלכליים ,והכסף נקבע )במשק מודרני( אקסוגנית.
שתי הגישות האחרונות -הטכנולוגית והמוניטרית -ניתנות לתיאור מתמטי באמצעות מכלול משוואות:
הראשונה באמצעות מכלול רוסלר ,והשנייה באמצעות המכלול הכלכלי ,שפיתוחו מוצג בהמשך .שני
המכלולים מגלים תכונות של מושך מוזר )) (strange attractorציור -1ג בעמוד 21וציור -2ה בעמוד . 9 (56
מבנה כלכלי לא-ליניארי יוצר תופעות של מחזוריות וכאוס .אי-ליניאריות )לפחות בחלק מהמרחב ומהזמן(
היא תנאי הכרחי ,אבל לא מספיק ,למציאותה של התופעה הכאוטית .לכן השאלה היא :האם מערכות
כלכליות הן מערכות לא-ליניאריות לפחות בחלק מהמרחב ומהזמן ?
ניתן לייצר דוגמאות תיאורטיות רבות למבנים כלכליים כאוטיים ,שבהם התנודתיות )סביב שיווי משקל(
נגזרת באופנים שונים .כאוטיות בכלכלה יכולה לנבוע ,למשל ,מריבוי סקטורים ,מאי יכולת ללוות בין
תקופות ,משינויים טכנולוגיים ,מזיהום סביבה ,מאנדוגניזציה של משתנים או ממבנה השוק ורמת שכלולו.
9בגישה סטריאוגרפית הרואה את המערכת כולה בתמונה אחת ניתן לומר כי אלו שני הצדדים של אותו מטבע ,וכי טכנולוגיה
ופריון הן בבואה של כסף ותמחיר )כאינרציה וגרביטציה בפיסיקה( ]תמרי 1991עמוד .[34
כלכלה דינמית /בן תמרי
13
לאחרונה מופיעים בתחום הכלכלה ספרים רבים על כאוס ,פרקטלים ומערכות לא-ליניאריות ,נוסף על
המאמרים הרבים בנושא זה ]תמרי Baumol and Benhabib 1989, Goodwin 1990, Puu 1991, 1991
.[Sato et al 1990, Medio 1992, Rosser 1991, Brock et al 1991, Barnett et al 1989, Peters 1991
1.4.2מחזוריות אקסוגנית
המקור האקסוגני למחזוריות ותנודתיות בכלכלה נמצא תחת הכותרת של 'כתמי שמש' )- (sunspots
ללמדך כי ההפרעות )מקור הפעימות( הגורמות למערכת להתנדנד ,להתחתחת ולהשתנן מקורן מחוץ
לכלכלה :ריתמוס הטבע ,מלחמות ,רעב ,פגעי טבע ,מחלות וכדומה .המודלים של מחזוריות שמקור
ההפרעה בהם חיצוני נחלקים לפי סוגי הגורמים ולפי אורכם )לוח -2א עמוד .(63
10
סוגיהם:
זעזועי טבע :פגעי מזג-אוויר ,רעידות אדמה ,בצורת ,שיטפון ומחלה.
זעזועי היצע :בטכנולוגיה ,במלאים ,בהון ,בכוח-אדם ובחומרי-גלם.
זעזועי ביקוש :בכסף ובטעמים ,בשערי חליפין ובריבית.
זעזועים פוליטיים :בחירות ומהפכות ,חילופי שלטון ומלחמות.
אורכם:
הקצר ) :(Kitchinsנובע משינויי מלאי.
הבינוני ) :(Juglarsנובע משינויי טכנולוגיה ומלאי.
הארוך ) :(Kondrateffנובע מהתגליות ,אשליית הכסף ומהשפעתם המצטברת של מחזורים קצרים ובינוניים.
הענק :נובע משינויים מוניטריים ומאשליית הכסף ,המתפתחת בעקבותיהם ,וכן מהשפעה מצטברת של מחזורים
קצרים יותר.
בבדיקה אמפירית למחזוריות בסדרות כלכליות עיתיות נקבל ,בכל רגע נתון ,את ההשפעה המצטברת של
כל הגורמים יחדיו ,וההפרדה ביניהם סינתטית וכמעט בלתי אפשרית; היא ישימה רק לצורכי ניתוח
והבנה .מפאת מיעוט התצפיות האמפיריות העומדות לרשותנו כיום ,העדויות האמפיריות למבנה לא-
ליניארי בכלל ,ולמבנה כאוטי בפרט ,לפחות בחלק מהמרחב והזמן ,עדיין עמומות ובלתי משכנעות ,וגם
ההבחנה במחזוריות בסדרה עיתית קשה.
לשם אימות או הפרכה של קיום מכלול כלכלי המאפשר הדמיה של הכלכלה )מהסוגים המוצגים כאן(
נדרשות תקופות מדידה של כ 100-שנה לפחות ,וכאלה אין עדיין; כיום יש נתונים אמינים משנת 1960
ואילך )כ 34-תצפיות בלבד( .מסקנות המבחנים האמפיריים שנערכו עד כה לשם אישור )או הפרכה( של
התיאוריה הכלכלית הלא-ליניארית אינן ברורות ,ומותנות בהשערות הבסיס ובטכניקה האקונומטרית
שהמבחנים מתבססים עליה.
עם זאת ראוי לציין ,כי מציאותם של 'קורי-עכביש' ) (cobwebבשווקים מעידה על הימצאותו של מבנה
לא-ליניארי .ייחודו של מבנה כזה הוא שבשינוי פרמטרי ניתן לשנות את המשטר הדינמי שלו מיציבות
למחזוריות תקופתית ,ומזו -למחזוריות לא תקופתית )כאוס( .דוגמה לכך הוא שוק הדיור בישראל ]תמרי
.[1981
10מבוסס על הסקירות ,האנתולוגיות והפרסומים האלה:
;Barnett et al 1989; Baumol et al 1989; Brock et al 1988, 1991; Boldrin et al 1990; Rosser 1991
Mullineux et al 1992; Medio 1992; Mullineux et al 1993; Zarnowitz 1992; Holden 1986; Ruelle
1989; Casdagli et al 1992.
כלכלה דינמית /בן תמרי
14
.2תיאוריה
2.1מערכות ריבועיות וחוקי שימור
בטבע שורדות רק מערכות דינמיות שהן ריבועיות במשתנים המוחלטים וליניאריות בקצבן . 11בטווח
הארוך אנו נשארים במערכות ריבועיות שקצביהן ליניאריים .סטייה מהליניאריות הקצבית בטווח הקצר
מביאה את המערכת או לכאוס ,המסתיים בהתאיינותה/התאפסותה של המערכת )זאת בהתאם לגודל
הסטייה מהליניאריות הקצבית( או לחזרתה לליניאריות זו.
מערכת כלכלית דינמית היא מערכת סימטרית .קרי ,ריבועית במשתנים -תפוקה ,כסף ותמחיר ][P, M, Q
בהתאמה -וליניארית בקצביהם :צמיחה ,הדפסה ואינפלציה ] [p, m, qבהתאמה .אם המערכת אינה
סימטרית היא תיכחד .דינמיקה קצבית לא-ליניארית אפשרית במערכת סימטרית בטווח הקצר בלבד.
כשהחזקה של המשתנים גבוהה/קטנה מ ,2-המערכת מתאיינת/מתנוונת לאין סוף/לאפס .בזמני טלטלה
) (perturbationהמערכת מאבדת את הסימטריה שלה לתקופת מה עד לרגיעתה .במצבים כאלה עוסק
משפט ) .[Lauwerier in Holden 1986] KAMראה הנספח המתמטי (.למערכת דינמית משטר דינמי של:
יציבות )שיווי משקל ,נקודה שדרכה עובר ציר הסימטריה( ,משטר של מחזוריות תקופתית ומשטר של
מחזוריות לא תקופתית -כאוס )ציור -3ה עמוד .(89
בדרך כלל מערכות דינמיות נמצאות בטבע במשטר יציב ,והן נעות לאורך צירי הסימטריה .מרבית חיינו
אנו נמצאים בסביבה יציבה של שיווי משקל ,שבה המצב סימטרי . 12
כשמופעלים על המערכת כוחות מבחוץ ,היא עלולה לצאת משיווי משקל ,ולהגיע ,דרך שלבי מחזוריות
ומעין מחזוריות ,לסחרור בתהליך הסחרור החזקה של המשתנים עולה/יורדת לאינסוף/לאפס ,ולכן
המערכת מתאיינת/מתנוונת בהתאם לגודל החזקה )אם היא גדולה/קטנה מ .(2-חלק מהמערכות חוזרות
לאחר הסחרור באופן אסימפטוטי למצבן הסימטרי שלפני הסחרור .הדינמיקה של הסחרור ,הבלימה
וההתייצבות עדיין אינה ברורה די צורכה ,אך ניתן להבחין במבנה הפרקטלי-כאוטי שלה - ,שכן בבסיסה
נמצא מושך מוזר ,שלפחות באחד מממדיו קצב גידולו נמצא בסימן שלילי.
חשוב ללמוד את התהליך הדינמי של מערכת דינמית -דהיינו את השפעתם של שינויים בתנאי ההתחלה,
בפיגורים ובפרמטרים על המערכת - ,כדי לדעת להימנע ממצבי הסחרור שלה .לדוגמה ,במערכות הניתנות
לשליטתנו -בכלכלה :היפראינפלציה ובועות פיננסיות; בבריאות :התקפי לב ,פסיכוזה והיסטריה.
במערכות שאינן בשליטתנו -במטראולוגיה :טורנדו וטייפון; בגיאולוגיה :רעידות אדמה והרי געש.
מערכת כלכלית היא מערכת פיסיקלית מתומחרת :היא מייחסת )מנפקת( מספר )מחיר( לכל חילוף )עסקה(
מסה )סחורה ושירות -הנמדד( במסה )מטבע ושטר -המודד( בחלל ובזמן )השוק( .תפקיד הכלכלה הוא
למצוא באמצעות התמחיר את כללי ההתנהגות של החומר והאנרגיה במרחב ואת השינויים החלים בהם
בזמן ,כך שיהיו אופטימליים לצרכינו . 13
11מערכות ריבועיות ניתנות לתיאור גיאומטרי כחתכים של קונוס כפול ,שממנו ,כידוע ,ניתן לגזור את הגיאומטריה
האאוקלידית והלא-אאוקלידית כאחת.
12לנטייה לשמר את הסימטריה קוראים בתרבות האנושית מסורת.
13
התמחיר מאפשר לנו לנצל את התכונות של התנהגות החומר והאנרגיה ואת דרכי השתנותם במרחב ובזמן לצרכינו
Physics dealt with the behaviour of matter in space and its change in time [Heisenbergולתועלתנו.
1952 p. 11].
כלכלה דינמית /בן תמרי
15
הנמדד והמודד אותו -קשורים יחדיו .המודד הוא תת-קבוצה של הנמדד ,ולכן אין מודד נייטרלי .ניתן
לקבל מצב של מדידה נייטרלית כביכול ,כשהמודד והנמדד גדלים באותו שיעור ,וחלקו של המודד בנמדד
נשאר קבוע ,או ,לחלופין -כשהמודד זניח בגודלו ביחס לנמדד.
מערכת פיסיקלית היא מערכת משמרת . 14האם פעולת התמחיר מעבירה את תכונת השימור ממערכת
פיסיקלית למערכת כלכלית? -כן ,למיטב הבנתי .אם מערכת כלכלית היא מערכת משמרת במרחב קיינס
)המוגדר כמכפלה קרטזית של תפוקה וכסף ] ,([ Qt , M t : tאזי ניתן לנסח בה חוקים ,וניתן לאבחן בה דפוס
גרפי מסוים ).(pattern
עקרון השימור מנחה את המערכת בתגובותיה כמנגנון בקרה עצמי ,וזאת באמצעות שינויים מתאימים
במשתנים ובפרמטרים המרכיבים את המערכת כך שתתקיים תכונת השימור .לעיתים מכנים תכונת שימור
זו 'מערכת מתקנת שגיאות' ,או 'מנגנוני ייצוב אוטומטיים' .ה"יד הנעלמה" של אדם סמית ,שכביכול
מארגנת את עולמנו הכלכלי לטוב )ולרע( , 15אינה אלא ביטוי של רצון המערכת להשתמר.
בחיי יום יום מערכת כלכלית ,שאינה מתעוותת בגלל פיקוחים ,מצויה בסביבת המצב הסימטרי שלה
)כלואה בשרוול ,(torus, sleeveוהמבנה המתמטי נשמר בה )ציור -2א( .מרחקה מהמצב הסימטרי בתוך
השרוול פרופורציונלי לסטייה מהיחס האופטימלי שבין הכסף לתפוקה.
היחס האופטימלי שבין הכסף לתפוקה נמצא אי שם בין מינימום 1/3למכסימום :.2/3
GDP : 1 / 3 M 1 / GDP 2 / 3תמ"ג M1 ,אמצעי תשלום ,ובמונחי תעריך . 3 / 2 GDP / M 1 3
אם נכייל נכונה את מקורות ההדפסה של הכסף ביחס לתפוקה ,נתקרב במידה המרבית ליחס האידיאלי
הרצוי של הכלכלה , 16 M 1 / Q 1 / 3יחס זה של שליש ) (1/3מאופיין באינפלציה אפס ,והמערכת
תנוע על ציר הסימטריה ,שהוא אוסף נקודות שיווי המשקל לאורך זמן .מעל 2/3מתקיים הסחרור
האינפלציוני וההיפראינפלציוני.
בעלי חיים )כולל בני אדם( ,בהיותם משתמשים במסה ובאנרגיה במרחב ובזמן שהם מצויים בהם ,ניצבים
בפני בעיית שטיינר ) - [Fomenco 1990] (Steinerמציאת הנתיבים הקצרים ביותר בין הנקודות השונות,
הפרושות במרחב ובזמן ,והמספקות את המסה והאנרגיה הדרושות למחייתן )מזון ,כסות והגנה(.
אנו חיים במרחב עקום .בפיסיקה העיקום הוא תוצאה של פעולת כוח המשיכה )לפי ניוטון( או סוג
הגיאומטריה )לפי איינשטיין( .בכלכלה העיקום מתבטא בתפוקה )התועלת( השולית הפוחתת; אך דומה
שהן כוח המשיכה והן התפוקה )התועלת( השולית הפוחתת מקורם אחד -רצונו של הטבע )האל( להיות
'יעיל'; כיוון שאינו בזבזן ,שואף הטבע להיות יריעה מינימלית )יריעה יעילה( -כי הבזבן נכחד ,והחסכן
שורד.
בעולם החי )לא כולל בני אדם( המרחב שבו מתקיימת פעילות כלכלית של יחיד או קבוצה נקרא
'טריטוריה' .בקהילת בני אדם קוראים לו בצורה 'מעודנת' יותר ,שוק )במובנו הרחב( .יתרונו של השוק
14המאפיין מערכת משמרת ) (conservative systemהוא שקומבינציה מסוימת של איבריה נוטה להיות קבועה לאורך זמן .דוגמה:
במערכת אנרגטית סגורה ,ללא התערבות מבחוץ ,סכום האנרגיה הקינטית והפוטנציאלית קבוע .מערכות משמרות מסתדרות כך שהקבוע
) invariantאו ה'מלך' בלשוני( יהיה קבוע לאורך הזמן .על סמך אותו עקרון ניתן לומר כי סכום הסחר בפועל והסחר הפוטנציאלי קבוע.
15בדרך כלל טוב לחזקים ורע לחלשים כך שה"יד הנעלמה" משקפת למעשה אבולוציה כלכלית :החזק שורד ,והחלש כלה.
16יחס זה הוא ביטוי לחוק הזהב המבטיח מערכת הרמונית ,והוא מקרה פרטי של יחסים פיתגוראים.
כלכלה דינמית /בן תמרי
16
והסחר בו ,שהוא מאפשר חליפין והתמחות בין הפרטים ,ובאמצעותם -העלאת סך התפוקה )הפריון( של
הקהילה.
ציור -2א :השרוול הכלכלי )(torus
גובה
כסף
חתך פוקארא
מרחב קיינס
תפוקה
כלכלה דינמית /בן תמרי
17
ניקח לדוגמה שמורת 'גן-עדן' כלשהי ,המקבילה למושג שמורת טבע ,כמייצגת קהילה .כשם שהאדם ,ככוח
חיצוני לשמורת טבע ,מנווט אותה כך שמשק החי יהיה אופטימלי לצרכיו במגבלת הטבע הנתונה לו ,כך
הטבע )האל( מנווט אותנו ב'שמורה' הגזורה לפי צרכיו .שאלת הכוח המניע של המערכת האבולוציונית
תישאר לנצח ,ורק התשובה עליה תשתנה בהתאם לידע המדעי .אחרי הכול ,אנו אולי רוצים למרב תועלת
או רווח כבני דעת ,אך כשאר בעלי החיים עלינו לכלכל ) (to economizeאת השימוש באנרגיה ובמסה
אשר במרחב ובזמן כך שלפחות נישרד . 17
Minimal films happen to be widely spread in nature as most economical
surfaces forming the skeletons of some living organisms [Fomenko 1990 p. 61].
לצערנו אין לנו הדרך לדעת מה נחשב במערכת ביולוגית 'יעיל' ,ואת מה רוצה המערכת להשיג ,כלומר את
מי או מה אנו משרתים ,או ,בלשון הכלכלנים -את מה מייצג מושג ה'רווח' או ה'תועלת'.
התשובה לשאלה 'מה ממרבים ) (maximizeבכלכלה' כלולה בתשובה לשאלה 'איזה דפוס גיאומטרי
) (patternנוצר בתהליך הכלכלי במרחב קיינס ] .'[Qt,Mt:tכבגיאומטריה כן בכלכלה ניתן לפתח את
התבנית הגיאומטרית הכלכלית באמצעות גלגול המשיק )המגבלה( לקמור )הייצור( .המישור המשיק
בתהליך הכלכלי הוא המגבלה במונחי תקציב )גורמי הייצור במונחי עלות( ,והקמור הוא הישות הממורבת
)הממוכסמת בתפוקה ובכסף( )ציור -2ב(.
באקומטריה -יסודות הכלכלה ]תמרי [1991המשיק הוא הביטוי הגרפי למשוואה הכמותית - M = PQ -
והקמור הוא פונקציית ייצור היפרבולית . Z (Q 2 M 2 )1 2 :רכיבי הנמדד ) (Qמופיעים בסימן פלוס,
ורכיבי המודד ) (Mמופיעים בסימן מינוס . 18המודד והנמדד מהווים מערכת אנאליטית אחת .ישנן
אפשרויות שונות ליצירת דפוסים או תבניות גרפיות )יצירים גיאומטריים( במערכות דינמיות ] Morgan
.[1993 p.78; Hilbert and Cohn Vossen 1990 #30.
המשפט המתמטי המרכזי בספרי הקודם היה משפט הרטמן-גרובמן ]תמרי 1991ע' ,[45המאפשר לעבור
ממרחב היפרבולי למרחב ליניארי .בספר זה המשפט המתמטי המרכזי הוא משפט רוזנס )Jacob Rozanes
,(1922-1842המבטיח כי טרנספורמציות קרמונה ) (Cremonaהן הטרנספורמציות היחידות המשמרות
שטח במרחב דו-ממדי) .ראה הנספח המתמטי(.
17בלשון חז"ל" :מרבה נכסים מרבה דאגה" ,משמע 'מרבה תפוקה מרבה תשומה' :ככל שתמרב את עושרך ,תזדקק ליותר
תשומות כדי לשמרו ,ככל שתרבה תשומה -תישחק.
18כל פעילות כלכלית מתנהלת על פני כדור הארץ ,ולכן הגיאומטריה שלה יונקת מגיאומטריה פיסיקלית כדורית )או מהמקבילה
הדו-ממדית שלה -הגיאומטריה הפרויקטיבית ] .([Ryan 1986הוספת מודד בסימן ) (-למרחב כדורי הופכת אותו למרחב
היפרבולי )ובהתאמה את המרחב הפרויקטיבי ,שהוא כדור בדו--ממדי ,לדיסק קליין ,שהוא היפרבולה בדו-ממדי(.
כלכלה דינמית /בן תמרי
18
ציור -2ב :המרחב הכלכלי ומרחב קיינס
M
0
Q
כלכלה דינמית /בן תמרי
19
מאחר שמערכת מסה-אנרגיה המעוגנת בחלל-זמן היא מערכת משמרת ,אני סבור שפעולת התמחיר תעביר
את תכונת השימור מהמערכת הפיסיקלית )מסה/אנרגיה -בחלל/זמן( למערכת הכלכלית )תפוקה/כסף -
בחלל/זמן( .במלים אחרות :כלכלה היא ,לדידי ,פיסיקה מתומחרת . 19
לכן ,לפי דעתי ,המקור למלך ) (invariantבכלכלה חייב להיות פיסיקלי )פיסיקה במובן הרחב שלה ,הכולל
כימיה ,ביולוגיה וכיו"ב(; פירושו של דבר ,שיש למצוא דרך לבטא את חוקי הפיסיקה במונחים מוניטריים.
מאחר שאין לנו עדיין גודל קבוע ) (constantבכלכלה )המקביל למהירות האור בפיסיקה( ,אין לנו גם,
עדיין ,משוואה בכלכלה המקבילה למשוואה הפיסיקלית שבין מסה לאנרגיה .משוואה מסוג זה אמורה
20
לתאר את הקשר שבין תפוקה לכסף כחוק אוניברסלי .
כשהתמחיר לקוי ואינו מעביר את חוקי השימור במדויק ,נוצרות סטיות מתנאי הסימטריה ,ומשהו לקוי
בתפקודו של הכסף במערכת .במקרה זה נוצרות הפרעות ) ,(perturbationsוהכלכלה סוטה מהמצב
הסימטרי הממוצע ,שבו קצבי הגידול של התפוקה ושל הכסף שווים.
לשיטתי ,הזמן ) (tבכלכלה מיוצג ,בין השאר ,על ידי הכסף" :כסף הוא החוליה המקשרת בין ההווה
לעתיד" ,כותב קיינס ] .[Keynes 1936 p.293לדידנו אין חלל ללא מסה )תפוקה( ,ואין זמן ללא תהליך
)כסף( .מכאן השקילות בין המרחב הדו-ממדי בפיסיקה ) ] X ; [X,tחלל t ,זמן( לבין המרחב הדו-ממדי
בכלכלה )] Q ;[Q,Mתפוקה M ,כסף( .הכסף ממספר את התפוקה ואת מיקומה בחלל ובזמן באמצעות
התמחיר ,הנקבע במהלך העסקאות .התמחיר הוא הכמות הממוצעת של הכסף )המובאת לשוק לשם
החלפה( ליחידה ממוצעת אחת של תפוקה )שאף היא מובאת לשוק לשם החלפה( . 21
כדי שנקבל חוקי שימור במערכות היפרבוליות ,עליהן לקיים מבנה של חבורות סימטריות .חבורות אלה
מחייבות טרנספורמציות לורנץ )או אחרות( ,המבטיחות כי המשתנים )והקומבינציות שלהם( יגדלו באופן
אקספוננציאלי .גידול אקספוננציאלי הוא כידוע הפתרון האנאליטי למשוואות דיפרנציאליות ליניאריות.
19בין הראשונים שהסב את תשומת לבנו לכך היה גאורגסק-רוגן ] [Georgescue Roegen 1971אשר הדגיש את החוק
התרמודינמי השני )האנטרופיה( והזהירנו מהתעלמות מחוק זה .ובניסוח שלי לדבריו" :אינך עובר אותו נהר ,שורף אותה
אנרגיה ו'מבצע אותה עסקה' -פעמיים" .תהליכי טבע אינם הפיכים ]) .[Prigogine 1980ואם הם הפיכים -כבווידאו ,הרי
הנקלט נפלט ,והנפלט נקלט ,ולצד עולמנו חי לו עולם מקביל ,שאיננו מודעים לו; כחומר ואנטי-חומר ,זמן ואנטי-זמן(.
לפיכך ,שימוש בשפה מתמטית לתיאור תהליכים דינמיים בטבע חייב להצביע על כיוון הזרימה של התופעה ,מהעבר
אל העתיד ,כך שלא תתאפשר הפיכות סיבתית בשוויון ,כפי שמאפשר השוויון הנוכחי )=( .לדוגמה :סימן השוויון בין aל-
(a=b) bיהפוך לסימן נביעה סיבתית של bמ (a>=>b) a-כך ש b-ינבע סיבתית )לא לוגית (a => bמ ,a-וההפך אינו
נכון .החץ הכפול בא כדי להבחין בין הנביעה הסיבתית לנביעה הלוגית .בחץ הכפול אינך יכול לשוב לאחור .אין bגורר ,aאף כי
ניתן להקיש ממציאות bעתה על מציאותו של aבעבר ,בבחינת אין הנחל נסוג למעיינו ואין הילוד שב לרחמו.
20שים לב לשקילות שבין E C Mבפיסיקה לבין M PQבכלכלה .הן מהירות האור ) (Cוהן התמחיר ) (Pמשמשים
מקדמי טרנספורמציה לניכוי והתאמה של המערכת -ובשניהם המערכת היפרבולית ,כאשר בשניהם המודד )האור או הכסף(
2
מופיע בסימן מינוס ) .(-בפיסיקה מקדם התחלופה Cקבוע ) ,( C Cובכלכלה מקדם התחלופה Pמשתנה ) ( P P
עובדה המקשה על הבנת יציבותה )הסימטריה( של הכלכלה.
0
0
21יש להבחין בין תמחיר )כטמפרטורה( ,שהוא מושג של ממוצע -הכמות הממוצעת של הכסף ליחידה ממוצעת של תפוקה -לבין
המחירים )כחום( ,שהם כמות הכסף המסוימת המוחלפת בכמות תפוקה מסוימת בעסקה מסוימת.
כלכלה דינמית /בן תמרי
20
2.2המשוואות היסודיות וסימטריה כלכלית
על פי אקומטריה -יסודות הכלכלה ]תמרי ,[1991המערכת הכלכלית מעוצבת על ידי שתי משוואות-יסוד,
המקיימות יחדיו את חוק השימור ,אשר בו הדיטרמיננטה של מקדמי הגמישויות )היעקוביאן( שווה ל.1-
כאן אני מוסיף על שתי המשוואות היסודיות הללו משוואה שלישית ,שהיא משוואת התמחיר )רמת
המחירים הממוצעת( המתפקדת כמשוואת משוב ,שבאמצעותה המערכת מווסתת את עצמה למצב משמר.
)למעשה אנו אמורים לעבוד עם משוואת התעריך ,V ,שנמצא ביחס הפוך לתמחיר התיאורטי(.P ,
שלוש משוואות אלה יוצרות מחזוריות כלכלית ,שמקורה באשליית הכסף .אשליית הכסף )וההתפכחות
ממנה בעתות הדפסה מוגברת( מביאה לתנודתיות בתמחיר ולמחזוריות של ביקוש והיצע בשווקים .היחס
שבין הכסף לתפוקה נע כסינוסואיד בתוך גבולות מסוימים . 22
אבולוציה בחי וטכנולוגיה בכלכלה מקורם אחד – האנטרופיה ,דהיינו נטיית החומר )החי והדומם(
להתפורר .ההתגברות על האנטרופיה בחי היא באמצעות הולדת דור חדש ,ובכלכלה -באמצעות השקעות
חדשות .הולדה והשקעה עדיפות על שיפור הקיים .העדפה זו היא ביטוי למבחן הרלוונטיות :הקיים נהיה
בלתי רלוונטי למציאות ובלתי ניתן לשינוי לשם שיפורו )בגלל אי ההפיכות של תהליכי זקנה בחי
וההתיישנות בציוד -שהם סוגי אנטרופיה(.
ההתיישנות והאי-רלוונטיות של הקיים ביחס להשתנות המציאות היא בעוכריו :בגלל אי הפיכותם של
תהליכים בזמן ,חייב הקיים להתבטל )למות( .הולדה והשקעה מאפשרות הטמעה של ידע חדש ורלוונטי,
שנוצר לצורכי קיום בזמן הנוכחי ,ונצבר במהלך חיי הקיים .בחי אין אנו מבינים עדיין כיצד המידע הנצבר
מוטמע בגנים )באלגורתם האבולוציוני( כדי שיעבור לצאצאים ,ובדומם אנו מכנים זאת 'ידע אנושי',
המוטמע בהשקעות חדשות.
באבולוציה ,שהיא תהליך איטרטיבי כמעט אינסופי של אורגניזם וצאצאיו המרבים עצמם ,נוצרת מערכת
בעלת דמיון עצמי .לצמיחה של אורגניזם וצאצאיו יש כללים סימטריים .כל עוד המערכת היא בסביבת
שיווי המשקל אנו מבחינים בסימטריה .כאשר ,בכוחן של מסיבות ,המערכת מתרחקת משיווי משקל,
מתקבלים מבנים לא ליניאריים ,כאוטיים ופרקטליים ,ואז אנו מבחינים במבנה הסימטרי הממוצע רק
לאחר מספר רב של איטרציות ].[Field et al 1992
מערכת דינמית כלשהי ,ובמיוחד מערכת כלכלית ,מנסה לשמר את העבר באופן שהיום הוא ממוצע )מסוג
מסוים( של שלשום ואתמול ,המחר הוא ממוצע של אתמול והיום וכן הלאה -כגביעי גלידה המקננים זה
בזה .ההווה הוא הפריזמה המשקפת את העבר בעתיד ולהפך ,ועל ידי כך נוצרות הומולוגיות הרמוניות,
הניתנות לשחזור מתמטי ].[Ryan 1986 p. 134
לדידו של ניוטון חוק פיסיקלי הוא יחס בין המצב הנוכחי של העולם למצבו מיד לאחר
מכן; או ,במלים אחרות :חוקים פיסיקליים הם משוואות דיפרנציאליות ]הנרי
פונקארא ,בהסתמך על .[Kramer 1970 p. 204
סימטריה היא לימוד של מיפוי מרחב-מצב ] [state-spaceלתוך עצמו ,כך
שיציר גיאומטרי )עקום התמורה ,עקומות שוות-תפוקה או תועלת ,עקומות
22בבסיס המערכת נמצאת משוואה לוגיסטית של התמחיר ,V , P ' VP (1 P) :משמש כפרמטר פיקוח ,מוגדר
כיחס ההפוך לתמחיר התיאורטי ) .( V Q / M
כלכלה דינמית /בן תמרי
21
אדישות וכדומה -ב"ת( ,שהוא בדרך כלל קבוצה של תת-מרחב המוגדר על ידי
יחס שקילות ,נשאר ללא שינוי ].[Sato et al 1990 p. 1
מערכת סימטרית ניתנת להצגה כמערכת של מספרים מרוכבים .לשם הפשטות נעבוד במרחב העסקאות
שאותו אני מכנה מרחב קיינס ] .[Qt,Mt:tכשאנו עוסקים בסוגים שונים של פונקציות ייצור סימטריות,
המונח הכלכלי המקביל ,שטבע ,Satoהוא . 23 [Sato et al 1990 p.37] Holotheticity
באקומטריה -יסודות הכלכלה ]תמרי [1991נמצא קשר פונקציונלי בין כסף ) ,M1אמצעי תשלום( ,תפוקה
) ,GDPתמ"ג במחירים קבועים( ותמחיר ) ,CPIמדד המחירים לצרכן( .כמו כן נמצא ,כי מערכת כלכלית
המיוצגת כמרחב קיינס היא מערכת משמרת .מערכת משמרת שגדליה ריבועיים ושיעוריה ליניאריים היא
מערכת סימטרית.
כאן נראה ,כי הקשר הכמותי בין הצמיחה ) ,(qההדפסה ) (mוהאינפלציה ) (pהוא ליניארי ) .( p m q
פירושו של דבר שמערכת כלכלית המוצגת כמרחב קיינס היא מערכת משמרת וסימטרית )ראה להלן פרק
.3אמפיריקה( .השימור בא לידי ביטוי ביחידתיות של היעקוביאן ,המורכב מגמישויות הכסף והתפוקה זה
לזו 24ואילו הסימטריה מתבטאת בליניאריות של הקצבים.
הצמיחה ) (qוההדפסה )) ,(mובמקביל להן ההשקעה )(kוהילודה ) ,((lהן התזוזות ) (translationsשל
המערכת ,והאינפלציה )) ,(pובמקביל לה הפריון) (הוא הסיבוב שלה ) .(rotationבכך מתקיימת החבורה
הסימטרית .אם למרחב קיינס מבנה היפרבולי ,אזי סימטריות אלה הן התנועות של המערכת ] Ryan
.[1986 p. 177
2.3אקומטריה
יתרונה של הגישה האקומטרית ,המוצגת כאן ,בכלכלה הוא ביכולתה להתגבר על שלוש בעיות תיאורטיות
עקרוניות – מוניטריזציה ,אגרגציה והקצאה -שהגישה הקונבנציונלית אינה נותנת להן מענה .גישה זו גם
מאפשרת שימוש במיחשוב מודרני לצרכים תיאורטיים ואמפיריים גם יחד בכלכלה ,וזאת בגלל
הקרדינליות של הגדלים במרחב הנידון.
מוניטריזציה
הצגתה של הכלכלה במרחב קיינס ] [Qt,Mt:tמאפשרת לטפל בכלים מתמטיים ובכלים מיחשוביים בצד
התיאורטי ובצד האמפירי יחדיו ,כאשר את התפוקה ) (Qמייצגת סדרת התמ"ג ) ,(GDPאת הכסף )(M
מייצגת סדרת אמצעי התשלום ) (M1ואת התמחיר ) - (Pסדרת מדד המחירים לצרכן ).(CPI
23הגדרת הכפל והחילוק במספרים מרוכבים שונה מהגדרת הכפל והחילוק של מספרים ריאליים .תכונתם של מספרים
מרוכבים ,שהם הולכים בזוגות במקרה של מספרים מרוכבים רגילים )תפוקה וכסף( ,בשלשות במקרה של קווטרניונים )הון,
עבודה וכסף( ,או ברביעיות במקרה של מספרי .Calayבחמישיות ומעלה תכונות הכפל והחילוק לפי הגדרת המספרים
המרוכבים אינן נשמרות.
24כאשר לוקחים תמחיר ) (Pבמקום כסף )(M1ביחס לתפוקה ,מקבלים התפלגות דומה עם ממוצע קרוב ל ,1-אך סטיית
הממוצע מ 1-גבוהה יותר.
כלכלה דינמית /בן תמרי
22
אגרגציה
ניתן לערוך אגרגציה לכל מספר של פרטים המהווים את המערכת הכלכלית -החל בפרט הבודד ,המשך
במשפחה ,בפירמה ובענף ,וכלה במדינה או בגושי מדינות )כשוק האירופי( -ללא צורך בפרט מייצג 25או
בפונקציות תועלת )קרדינלית או אורדינלית( .מכאן גם שאין צורך במושגי העדפה ותועלת בתוך המערכת
לשם עיקומו של המרחב הכלכלי ,הדרוש כדי להשיג בה פתרון ,כי הקמירות הדרושה לפתרון נובעת
מההיפרבוליות של המרחב .המערכת היא אגרגטיבית או דיסאגרגטיבית לכל גודל .הכללים החלים על
הפרט חלים גם על הכלל .שאלת הרציפות או הבדידות של האגרגט ,והפרטים המרכיבים אותו ,היא משנית
לעניננו ].[Aumann 1964
הקצאה וחלוקה
ההקצאה ,שהיא תהליך של אופטימיזציה כלכלית דינמית ,ותהליך חלוקת העושר נפתרים סימולטנית
באותו מרחב .התפזרות התפוקה והכסף במרחב הכלכלי וחלוקת העושר בו בין הפרטים המפוזרים במרחב
היא סוג של אנטרופיה כלכלית .אני מכנה אותה אקרופיה ,והיא באה לידי ביטוי באמצעות המסחר,
המאזן את פיזור הכסף ,ובעקבותיו -את הפרשי המחירים בין המקומות.
בהעדר הפרשי מחירים אין עסקים .הפרשי היחס בין כסף לתפוקה ,המתבטאים במחירים שונים במקומות
הגיאוגרפיים השונים ,הם המאפשרים עסקאות ומסחר .מערכת כלכלית סגורה תגיע לשוויון במכסימום
אקרופיה ,ומנקודת מבטנו תתנוון והסחר בה יכלה.
חלוקת העושר בין הפרטים )ציור -2ג( ,שאנו מרבים לדבר בה ולמדדה ,באמצעות מדדי לורנץ וג'יני ,היא
מקרה פרטי של האקרופיה ותוצאותיה .השוויוניות בחלוקת העושר בין הפרטים במרחב קיינס ניתנת
למדידה באמצעות היחס בין מרחב החלוקה למרחב כולו .מרחב החלוקה כולל את המובא לשוק להחלפה
ואת שאינו מובא לשוק להחלפה )דהיינו ,השטח המנומר והשטח המפוספס יחדיו בציור -2ג(.
התפוקה והכסף המוחלפים בין הפרטים מהווים את השוק במובנו המצומצם ,ובו מתבצעות העסקאות
ונקבעים המחירים )השטח המפוספס( .התפוקה והכסף שאינם מובאים להחלפה מהווים את החסכונות
שהם 'גרעיני התאים' )השטח המנומר( .מקדמי גרשם מהווים ,במערכת האקומטרית ,את מה שעקומות
הביקוש וההצע מהווים במערכת הקונבנציונלית .היינו ,קביעת כמויות התפוקה והכסף המובאות לשוק
להחלפה וקביעת המחירים כתוצאה מכך בשוק .מקדם גרשם לתפוקה מושפע מהריבית ומקדם גרשם
לכסף מושפע משיעור האבטלה .ואילו הביקוש נגזר ממכסימום תועלת במיגבלת התקציב ,וההצע ניגזר
ממכסימום רווח במיגבלת הוצאות.
25הנחת 'הפרט המייצג' מחייבת להניח מראש קיום מערכת ארגודית שבה קיים ממוצע.
כלכלה דינמית /בן תמרי
23
ציור -2ג :העושר הלאומי וחלוקתו לפרטים במרחב קיינס
) Nאוכלוסיה j ,פרט( 0 j N ,
כסף,
מחולק לפי הבעלות
תפוקה
מחולקת לפי בעלות
התפוקה והכסף
המובאים
לשוק להחלפה
החסכון שאינו
מובא לשוק
להחלפה
כלכלה דינמית /בן תמרי
24
2.4המערכת האנאליטית
מערכת משמרת ניתנת להצגה כמערכת של מספרים מרוכבים במסגרת קרטזית .כמו כן ניתן להציגה
כמערכת של מספרים טריגונומטריים -במסגרת פולרית ,או ,לחלופין ,כמערכת של מספרים מעריכיים,
במסגרת כדורית; זאת לפי העניין המתבקש.
נגדיר תיק )עושר (W ,ליחידה כלכלית ,jבאמצעות מספר מרוכב ,שבו התפוקה Qמיוצגת בציר הממשי,
והכסף - Mבציר הדמיוני )ציור -2ג בעמוד .(49זאת כאשר האינדקס jמקיים את התנאי j) , 0 j N
= יחידה כלכלית = N , 26אוכלוסייה( .נציג את העושר )התיק( Wלפרט jבהצגה קרטזית ,בהצגה מעריכית
ובהצגה טריגונומטרית.
2.4.1הצגה קרטזית W Q iM
בהצגה קרטזית של מספרים מרוכבים נקבל:
i 1
2
W j Q j iM j
W Q iM
ובאגרגציה על Nהפרטים נקבל את העושר הכללי : 27
על ידי אינטגרציה של העושר Wבתקופה מסוימת נקבל את מצב המשק באיטרציה )בשנה( הבאה ' ,Wלאחר
מנה מסוימת של שינויים.
2
W ' Wdw 1 2 W C
1
(Q iM ) 2 C
2
1
(Q 2 M 2 ) iQM C
2
העושר Wהוא סוג של 'פוטנציאל' ) C . 28 (מייצג את מקדמי גרשם -המבטאים את התפוקה והכסף
שאינם מובאים לשוק להחלפה ,ובטווח הקצר ניתן לחשוב אותם לקבועים .במרחב העושר ניתן לטפל
בקלות רבה יחסית )נומרית וגרפית( ,באמצעות תוכנות מחשב המיועדות לפתרון של משוואות דינמיות
)רציפות או בדידות( .תוכנות כדוגמת FractintPhaserDMCמאפשרות להציג גרפית את
הפתרון כמסלול ) (trajectoryבמישור )ציור -2ה בעמוד (56ואת קבוצות ההפרדה של המישור ) seperatrix
- (setsכמפה טופוגרפית המחלקת את המישור לפי קוי גובה )ציור -2ד(.
ציור -2ד מביא כדוגמה ל'מפה טופוגרפית' את קבוצת מנדלברוט 29המחלקת את המישור המרוכב לפי
מהירות ההתכנסות .ההתכנסות במרחב המרוכב )מרחב קיינס( ממוינת על פי הפרמטר ,Cהניתן לשינוי
26כשמבחינים בין 'פרט סודר' ל'פרט מונה' .לפרט סודר jיש תיק כלשהו ,ולפרט מונה jיש תיק כללי ,המצטבר עד למניינו
באינדקס .לנוחות גרפית ניתן לסדר את התיקים לפי סדר עולה )או יורד( ,על פי גודל התפוקה או הכסף.
- N 27מספר התיקים ניתן להשאפה לאין סוף כדי לקבל רציפות .השאפה זו מביאה את היחידה הנספרת )'סוחר' אצל אומן או
'תיק' כמספר מרוכב אצלי( למצב שהיא קטנה מכדי להשפיע על הכלל) .מובן שבמערכת הנמצאת בתחום כאוטי כל שינוי זעיר,
ולו אצל פרט בודד ,יש לו השפעה בהתאם לחזקות ליאפונוב (.המערכת האקומטרית מוגדרת מלכתחילה לגבי הכלל ,ובעייתי
היא החלוקה ,בעוד שאצל אומן ואחרים המערכת מוגדרת לפרט יציג ,ובעייתם היא ההצרפה )אגרגציה( .אצל אומן הכסף הוא
פרט טכני המקל על המסחר ,ולכן ניטרלי לתהליך ,ואילו אצלי הכסף הוא הרכיב הזוגי לתפוקה בתיק ,ולכן אינו ניטרלי
].[Aumann 1964
28הפוטנציאל Zניתן להצגה כמורכב מהמפגש של פונקציית ה'הצע' ) S 1 2 (Q M ) :(Sעם פונקציית ה'ביקוש' )(D
2
iQM
2
, Dקרי.Z = S + D :
29מנדלברוט ) (Benoit Mendelbrotהיה הראשון שעשה שימוש ממוחשב בגרפיקה של מספרים מרוכבים ,ובכך גילה את הקבוצה
הקרויה על שמו )ציור -2ד(.
כלכלה דינמית /בן תמרי
25
עבור Wקבוע ,או על פי המשתנה ,Wהניתן לשינוי עבור Cקבוע .תכונת ההתכנסות או אי ההתכנסות לפי
מספר האיטרציות מאפשרת לשפע ולדרג ) ,(to graduateלמיין ולחלק את מרחב קיינס לאזורים בעלי
מצבים דינמייים שונים :אזורים המתכנסים לשיווי משקל ,אזורים מחזוריים ומעין-מחזוריים ואזורים
כאוטיים .תפקידה של ה'צביעה' במרחב קיינס כתפקיד קווי הגובה במפה טופוגרפית -לחלק את המרחב
לפי קבוצות שוות-מהירות ההתכנסות ].Wegner and Peterson 1991
ציור -2ד :קבוצת מנדלברוט )(Mendelbrot
2.4.2הצגה מעריכיתW Re pt , R (Q 2 M 2 )1 / 2 1
המבנה הפורמלי המקיים את תנאי חבורת הסימטריה בנוסח המעריכי הוא:
e qt 0 | 0
mt
0 e | 0
0 0 | e pt
ומתקיים חוק שימור התמחיר:
Qt Q0
M M
t 0
Pt P0
p mq
חוקי השימור התיאורטיים של רמזי וסמואלסון הם מקרה פרטי של חוק זה ,הידוע בניסוחו הפופולרי
'אינפלציה היא יותר כסף הרודף אחרי פחות סחורות'.
הפונקציה האקספוננציאלית בנקודה כלשהי במרחב קיינס )הדו-ממדי( ממפה מרחב זה לתוך המרחב
הכלכלי )התלת-ממדי(; זאת היא עושה על ידי העתקת הווקטור )` (B`Aבמרחב קיינס לאקודז )(AB
במרחב הכלכלי )ציור -2ב בעמוד ] (39תמרי 1991עמוד .[Morgan 1993 #9.1 p. 77 ,33
כלכלה דינמית /בן תמרי
26
2.4.3הצגה טריגונומטרית ])W R [cos( P) sin( P
מאחר שמצאנו כי מרחב קיינס ] [Qt,Mt:tהוא מרחב משמר ,נוכל להשתמש במשפט רוזנס
30
לאיתור
הטרנספורמציה המתאימה שתקיים את תכונת השימור .המשפט אומר כי במרחב דו-ממדי משמר רק
משוואות קרמונה ) (Cremonaתקיימנה את תכונת השימור ,אלו הן שתי המשוואות הראשונות במכלול
הכלכלי המוצג בהמשך .כתוצאה ממשפט רוזנס נשתמש במשוואות קרמונה כבסיס למכלול הכלכלי
שמאפשר לבצע הדמיה כלכלית . 31למשוואות קרמונה אלה נוסיף את משוואת התמחיר המתפקדת
כמשוואת משוב .התמחיר ) (Pמודד את כמות הכסף הממוצעת ) (Mליחידה ממוצעת של תפוקה )(Q
המובאות לשוק להחלפה )או לחלופין -התעריך ) (Vהמודד את כמות התפוקה הממוצעת ) (Qליחידה
ממוצעת של כסף ) (Mהמובאות לשוק להחלפה(.
המכלול המוצג כאן )הסימולטור( מאפשר לערוך הדמיה של הכלכלה במרחב קיינס .המערכת נעה מאתמול
להיום ומהיום למחר וכן הלאה ,בהתאם למספר כללי מעבר.המכלול מורכב למעשה משלושה מתנדים
) ,(oscillatoresהקשורים ביניהם )ציור -2ה(.
ההצגה בציור -2ה נותנת את המסלול הדינמי של המערכת ) (trajectoryבמרחב המוגדר ] Medio 1992
.[Kocak 1986,אחרי 30עד 100איטרציות המסלול נמשך לאטרקטור ) ,(attractorנהיה בלתי רלוונטי
לענייננו ,וניתן לקטעו )נקודה ' Bבציור -2ה(.
קשרי הגומלין שבין שלוש משוואות-היסוד ,המהוות מכלול של שלושה מתנדים ,יוצרים משחק ,שבו שתי
המשוואות הראשונות )משוואות קרמונה( נותנות את כמויות התפוקה והכסף ,והמשוואה השלישית
)משוואת המשוב( מחזירה תמחיר .המשוואות הראשונות מקבלות תמחיר ומחזירות כמויות תפוקה וכסף
וכן הלאה ,תהליך המקביל לתהליך השוק של ולרס ) .(tatonnementבאמצעות משוואות אלה
)המכלול הכלכלי( ביכולתנו להתוות את הדפוס הגרפי ) (patternלשוק ,ולאבחן את המבנה הגיאומטרי של
מערכת משמרת דו-ממדית במרחב קיינס )ציור -2ה(.
30משפט רוזנס )" (Jacob Rosanes 1842-1922כל הטרנספורמציות האלגבריות החד-חד-ערכיות של המישור חייבות להיות
טרנספורמציות קרמונה )) [Kline 1972 pp. 918-920] "(Cremonaראה הנספח המתמטי(.
31ניתן לבנות פונקציה לוגיסטית של התמחיר ) P ' VP (1 Pכאשר ,Vהמשמש כפרמטר פיקוח ,מוגדר כיחס ההפוך
לתמחיר התיאורטי ) Q / M
.( Vעל ידי Vניתן לפקח נומירית על המינון האופטימלי של כמות הכסף.
כלכלה דינמית /בן תמרי
27
ציור -2ה :הדמיה במרחב קיינס
M
'B
'A
Q
המכלול הכלכלי : 32
)Q ' (Q aM ) cos( P ) (bM ) sin( P
) M ' (Q cM ) sin( P ) (dM ) cos( P
1.
2.
3.
] P' BP [(1 U ) M /(1 I )Q
שתי המשוואות הראשונות הן משוואות קרמונה והמשוואה השלישית היא משוואת התמחיר.
= Qתפוקה )' Qתפוקה בתקופה הבאה(; = Mכסף; = Pתמחיר = t :זמן; a,b,c,d,הם פרמטרים
של גמישויות הכסף והתפוקה זה ביחס לזה; = Bשיעור ההצמדה; = Uשיעור האבטלה; = Iשיעור
הריבית; = פונקציה טריגונומטרית כלשהי ,המבטיחה תכונות של מרחב מינימלי.
לכל ארץ מקדמי ,d ,c ,b ,aו I ,U ,B-האופייניים לה ,המשתנים במרוצת השנים ,וניתן
למצאם ולעבדם מנתוני הסטטיסטיקה הלאומית .את המקדמים d ,c ,b ,a,ניתן למצוא
אקונומטרית )ראה נספח סטטיסטי( ,ואת מקדמי ההצמדה ,האבטלה והריבית ניתן להוציא ישירות
מהספרות . 33
על המכלול חלים שני התנאים הבאים :תנאי השימור ) ;(1ותנאי המיצוי ).(2
1. ad bc 1
2. 0 B, U , I , 1
32המקדם bאמור להיות שלילי לפי משוואות קרמונה ,ואכן אנו מוצאים אמפירית כי סימנו של bשלילי )לוח -5ב עמוד .(109
U 33ו I-הם סוג של מקדמי גרשם ,שמשפיעים על כמויות הכסף והתפוקה המובאות לשוק להחלפה.
כלכלה דינמית /בן תמרי
28
2.5פונקציונל ,תנאי אופטימום וטרנספורמציה
34
הצגת מערכת כלכלית במבנה מטריציאלי מהסוג x' Axמאפשרת לנו לעבוד ברמה התיאורטית
והאמפירית בעת ובעונה אחת .בפועל המערכת הכלכלית מתמידה במהלכה ומשוטטת סביב ממוצע מסוים
של המשתנה הרלוונטי ,הכלוא במעיין שרוול או צמיג ) ,torusציור -2א בעמוד .(35
נשחזר את המבנה הכלכלי הדינמי המשוער של מערכת כלכלית על ידי הגדרת הפונקציונל:
W ' W (Q, M : t ) 1 / 2 W 2 C
התנאי להיות הפונקציונל ) (Wקבוע ובלתי תלוי ישירות בזמן ) (tהוא ,כי קיימת טרנספורמציה משמרת
שהיא גם סימטרית )ראה הנספח המתמטי :משפט אמי נטר( מסוג טרנספורמציות לורנץ:
Q' (Q, M , ) Q M
M ' (Q, M , ) M Q
כדי שהטרנספורמציה תקיים את תנאי השימור ) (|A|=1במשתנים הבלתי תלויים שלה – תפוקה )(Q
וכסף ) – (Mמשתנים אלו חייבים לגדול אקספוננציאלית .פירושו של דבר שהתנאים לאופטימום במערכת
הם כי קצב גידול הכסף )ההדפסה( ישווה לקצב גידול התפוקה )הצמיחה( והיוצא מכך כי קצב גידול
התמחיר )האינפלציה( יהייה אפס .ניכוי הגדלים הנומינליים ,במערכת כלכלית ,חייב להתבצע בהתאם
לתנאי חבורת לורנץ ,שהיא חבורה סימטרית אשר בה מתקיים . AA' I
שיטת הניכוי הנכונה לגדלים נומינליים לצורכי מחקר וחיזוי חייבת להיגזר מטרנספורמציית לורנץ ,אשר
בה הכסף תלוי בתפוקה ) ,( M ' M Qולא מטרנספורמציית גליליאו שבה הכסף אינו תלוי בתפוקה
)ומתקיים בה המצב .( M ' Mזאת לפחות לגבי הדרישה ל 'מרחק' ]) [d(x,yקבוע.
הנחת 'העדר אשליית הכסף' היא עמוד התווך של הדיון הכלכלי המקובל .עבודתם של הכלכלנים בגדלים
ריאליים )ניכוי הגדלים הנקובים במדדי המחירים( נותנת ביטוי להנחה זו .אך הנחה זו בטעות יסודה -המערכת
)והפרטים בתוכה( אכן מתפקדת תחת אשליית הכסף ,והדיון הכלכלי חייב להיות במונחים כספיים נקובים .ניכוי
הגדלים הנומינליים )לצורכי אבחנות מדעיות( צריך להתבצע באופן שונה ]תמרי 1991ע' .[23
על אף שהטרנספורמציה המתקיימת במציאות היא מטיפוס לורנץ )התפוקה והכסף משפיעים זו על זה
אהדדי( ,והכסף מאבד מערכו עם ריבויו העודף ,הרי בפועל הפרטים פועלים על סמך אשליית הכסף
)כבטרנספורמציות גליליאו( ואינם מודעים לירידת ערכו של הכסף .בעת ביצוע עסקאות אין הם יכולים
)במיוחד בשיעורי אינפלציה נמוכים( לערוך את ההתאמה הדרושה .הפרטים מתייחסים לכסף כאל יחידת
מידה אחידה לאורך הזמן . 35
בהיותם שוגים באשליית הכסף ,מתפקדים הפרטים ומבצעים עסקאות כאילו הטרנספורמציה היא
"גליליאית" .אשליית הכסף ,יחד עם גורמים אחרים ,היא הכוח המניע למחזוריות כלכלית :המחזוריות
נובעת מאשליה והתפכחות ,אשליה והתפכחות וכן הלאה .לכן ,ככל שהאינפלציה תקטן ,כן יקטן המנעד
)האמפליטודה( של המחזור הכלכלי ותקופתו תתארך.
[Logan 1977 pp.83-91 #5.3-5.4, Sato et al p. 150].
35שקול להנחת הזמן האבסולוטית במכניקה הניוטונית.
34
כלכלה דינמית /בן תמרי
29
הכסף מייצג ,בין השאר ,את הזמן ,ובאמצעותו הזמן מקבל משמעות כלכלית .התמחיר הוא ה'מהירות
36
הממוצעת' ) (speedשבה 'נוסעת' המערכת הכלכלית במושגי כסף .כדי לשמר את המרחב הכלכלי נעה
המערכת לפי חבורת לורנץ .הכסף הוא 'נייטרלי' אך ורק כשכמותו אופטימלית ,וכמותו היא אופטימלית
רק כשהתמחיר יציב ) ,(P=P0והאינפלציה היא אפס ) .(p=0זה קורה כאשר גידול הכסף הוא כגידול
התפוקה.
הקטע ] ' [ A' , Bבמרחב קיינס )ציורים -2ב ו-2-ה עמודים 39ו ,56-בהתאמה( נראה כקטע פרויקטיבי של
מסלול ממרחב היפרבולי .מהמשתנה הממורב נדרש לנוע באופן שיקיים מיזעור )יעילות( לכל הכיוונים.
37
מיזעור לכל הכיוונים הוא תכונה המתקיימת במרחבים מינימליים .למעשה נקבל מסלול הפותר בעיית
קיצון מסוימת )אופטימיזציה(.
תנאי הכרחי לאופטימום בפתרון מערכת כלכלית כי תישמר המשוואה הליניארית (p,m,q) p m q
הם קצבי השינוי של התפוקה ,הכסף והתמחיר ,בהתאמה( ,ותנאי מספיק לאופטימום הוא כי יתקיים p
,= 0או ,לחלופין במונחי תעריך) . p q m :ראה הנספח המתמטי (.השוק ,שהוא מרחב העסקאות,
מנסה למזער את כמות הכסף הנדרשת להחלפה ליחידת תפוקה אחת .פירושו של דבר שהשוק ,כמכפלה
קרטזית של תפוקה וכסף ,מתנהג כחתך דו-ממדי במרחב מינימלי )ציור -2ה עמוד .(56
נקח את הצמיחה ) (qוההדפסה ) (mכמייצגים את עקמומיות המרחב בכיוונים מנוגדים; אזי העקמומיות
הממוצעת המחושבת מהן ) ,(Hבמצב האופטימלי ,תהיה כסכומן ותשווה לאפס באופטימום
) . 38 ( H m q 0מרחבים בעלי עקמומיות ממוצעת אפס הם ,כידוע ,מרחבים מינימליים.
במצב כלכלי אופטימלי ההדפסה ) (mשווה לצמיחה ) ,(qוהאינפלציה ) (pשווה לאפס ,כך שמשקים לא
אינפלציוניים יושבים ,לפחות בתיאוריה ,על יריעה יעילה המהווה מרחב מינימלי.
מצבים אופטימליים במרחב קיינס ] [Qt , M t : tיוצרים מצב של שוק מינימלי; לכן יש לבדוק אמפירית
אם מערכת כלכלית מהווה מרחב מינימלי ,ואם כן -מאיזה סוג הוא .מבחן אמפירי לסוג המרחב
המינימלי המתאים ,מבין המרחבים האפשריים ,ילמד אותנו את המבנה הגיאומטרי הגלובלי של המערכת
הכלכלית . 39
36במובן זה ,כאשר הכסף נתפס כמדיום שבאמצעותו אנו תופסים זמן בכלכלה )כשם שהאור מודד זמן בפיסיקה( ,הרי אינפלציה
היא זיקנה :מושג הזמן הסובייקטיבי מואץ במערכות אינפלציוניות.
37מרחבים מינימליים ) :(Minimal Surfacesתכונתם היסודית של המרחבים המינימליים )במינוח כלכלי מרחבים יעילים(
היא כי העקמומיות הממוצעת שלהם ) (Hבכל נקודה שווה ל) .0-היעילות הכלכלית היא מקסימלית לכל כיוון ,כלומר ההקצאה
והחלוקה של גורמי ייצור בין התפוקות הן אופטימליות (.ידועים כ 6-סוגי מרחבים מינימליים ,ביניהם הHelicoid-
)המהווה את היריעה עליו יושבים מסלולי התנועה בציור -2א בעמוד ,(35וה) Catenoid-שממנו כנראה שאוב הקטע 'A' B
בציור -2ה בעמוד ,(56מרחבים אלה ניתנים לדפורמציה האחד לשני[Almgren 1966, Osserman 1986, Fomenko .
].1990, 1991, Morgan 1993.
38מכפלתן של הצמיחה וההדפסה ) (mqמהווה את העקמומיות הגאוסיאנית ) .(G=mq) (Gשכרגע ,לצערי ,איני רואה את
המשמעות הכלכלית שלה.
39גרף של פונקציה אנאליטית מרוכבת ) ( W2מהווה כידוע יריעה מינימלית ,שבה העקמומיות הממוצעת ) (Hשווה אפס )(H=0
2 3
והעקמומיות הגאוסיאנית ) (Gשונה מאפס ) ) | .[Morgan 1993 p.29] (G 8 (1 4 | W
כלכלה דינמית /בן תמרי
30
2.6מחזוריות כלכלית
מחזוריות כלכלית נבדקה אמפירית מסוף המאה ה 19-ואילך .ההבחנות הראשונות מיוחסות למרקס
לקונדרטייף ולאחרים.
הדיון במחזוריות מתחיל מתיאוריות היסטוריות שהן בעיקרן אנדוגניות ,דטרמיניסטיות ,רב-סיבתיות ותיאוריות ,ומגיע
לתיאוריות בנות זמננו ,שהן בעיקרן אקסוגניות ,סטוכסטיות ,חד-סיבתיות או מוגבלות לטיפוסים מעטים של זעזועים
המבוססים על מודלים פורמליים קטנים ].[Zarnowitz 1992 p. 1
מחזוריות כלכלית מקורה ,בין השאר ,בהשתנות היחס ,בגבולות מסוימים ,בין כסף לתפוקה .מחזוריות זו
ותופעת אשליית הכסף תלויות הדדית .היחס בין כסף לתפוקה וההבחנה בהשתנות היחס הזה באמצעות
התמחיר יוצר דפוס מחזורי של אשליה והתפכחות .התוצאה היא ,כי תאוצת התמחיר נעה בין מינימום
למקסימום כמטוטלת )ציור -2ו( .מחזוריות זו ,המצויה בשווקים השונים ,באה לידי ביטוי במבנה לולייני
הכלול במבנה השרוול )) (torusציור -2א בעמוד ] (35תמרי ,1991ציור 3בעמוד .[47
לוח -2א :טיפוסי מחזורים
סוגי המחזור
מספר השנים*
הסיבה
קצר )(Kitchins
3-4
אי התאמה בין המחאי הרצוי למצוי ובין הריבית לתשואה
בינוני )(Juglars
9-12
חידושים טכנולוגים והשפעת המחזור הקצר
ארוך )(Kondratieff
27-36
גודש ,הבשלת המצאות ,אשליית הכסף והשפעת המחזור הקצר והבינוני
ענק ) (
81-108
אובדן הזיכרון של המערכת ,והשפעות מחזוריות קודמות
שים לב שאורכו של כל מחזור הוא פי שלושה מאורך קודמו.
כלכלה דינמית /בן תמרי
31
ציור -2ו :היתרות הריאליות ) ,(M/Pישראל .1960-1993
אמצעי תשלום ראליים
מנוכים במדד המחירים לצרכן
–
1993 - 1960
1
0
9
8
7
6
5
4
3
2
1
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
כלכלה דינמית /בן תמרי
32
.3אמפיריקה
3.1כאוס בכלכלה וממצאים אמפיריים לגביו
ידוע כי סדרות עיתיות הנוצרות על ידי תהליכים לא-ליניאריים מופיעות כסדרות אקראיות
באוטוקורלציה ,בניתוחן הספקטרי ובגרפיקה שלהן .לפיכך שיטות הבדיקה האמפיריות לכאוס מנסות
לאבחן אי מקריות בסדרות .ישנן מספר שיטות לאבחון אי-ליניאריות בסדרות עיתיות ובמנגנונים החבויים
מאחוריהם.
כלכלנים מנסים לאבחן אי-ליניאריות ומבנים כאוטיים בסדרות עתיות כלכליות בעיקר באמצעות מבחני
פיגורים למיניהם או מציאת הממד של הסדרה .אי-ליניאריות היא תנאי הכרחי אבל לא מספיק לכאוס.
לדוגמה :הימצאותו של מבנה קורי עכביש ) (cobwebבשווקים מזהה מצב של אי-ליניאריות ושוטטות בין
)או סביב( הפתרונות של המערכת .שינוי פרמטרי במערכת לא-לינארית יכול להביא לכאוס ,שפירושו
מחזוריות לא-תקופתית .המבחן המצוי לאיתור אי-ליניאריות הוא מבחן Brock, ) BDS
,(Dechert,Scheinkmanהמבוסס על ממד הקורלציה ועל פיתוח סטטיסטי מיוחד עבורו . 40
למבנים לא-ליניאריים אפיונים מיוחדים :רגישות לתנאי התחלה; לפיגורים ולשינויים בפרמטרים; מבנה
פרקטלי; נקודות קריטיות בפרמטרים שבהן מתקיימת תופעת הגודש ) ;(swarmשינויים במבנה הדינמי
של המערכת מיציבות דרך מחזוריות ומעין-מחזוריות ועד למצב הקיצוני של כאוס וחוזר חלילה.
ישנם מספר מושגים אנאליטיים ,שבאמצעותם ניתן לנתח סדרות כלכליות עיתיות -חזקות ליאפונוב ,ממד
המרחב ,ממד פרקטלי ,ממוצע )ארגודי( וניתוח ספקטרי.
חזקות ליאפונוב :חזקות אלה משמשות לבדיקת רגישותה של המערכת לתנאי התחלה ,ובאמצעותן ניתן
למדוד את מידת השוטטות ) (wanderingשל המסלולים בתוך התחום שבו כלואה התופעה .חזקות
ליאפונוב ) (iהם קצבי השינוי של הצירים במרוצת הזמן ,או התפתחות המרחק שבין שני מסלולים
לאורך הזמן . 41
בהתרחבות )צמיחה( חזקות ליאפונוב חיוביות ,ובהתכווצות )דעיכה( הן שליליות .במערכות ארגודיות
חזקות ליאפונוב הן קצבי השינוי הממוצעים של המשתנים הדינמיים )סדרות עיתיות( .מערכת שבה לפחות
אחת מחזקות ליאפונוב שלילית היא מערכת כאוטית בעלת מושך מוזר.
40במבחן BDSמתאימים את המודל הליניארי הטוב ביותר לנתונים ,ומשתמשים בסטטיסטי מסוים כדי לבדוק את השערת
האפס – 'אם השאריות הנאמדות הן אסימפטוטיות להתפלגות נורמלית )שלה תכונות של אי-תלות ,התפלגות אחידה
ונורמלית('.למבחן BDSכוח רב יותר מאשר לשיטות ניתוח אחרות של סדרות עיתיות קונבנציונליות ,משום שבניתוח ספקטרי
או בניתוח שונות עצמית קשה להבחין בין סדרות אקראיות לסדרות כאוטיות ].[Brock et al 1991
41בכדור nממדי עם רדיוס של )) p(0בזמן ,(t=0הכדור נהיה לאליפסואיד כשהמערכת מתפתחת .חזקת ליאפונוב )(i
לממד iניתנת להגדרה במונחי אורך הציר הראשי piשל האליפסואיד:
i lim t (1 / t ) log 2 ( Pi (t ) / Pi (0)), i 1,..., n
כלכלה דינמית /בן תמרי
33
ממד המרחב :למשתנה אקראי ממד אינסופי במרחב הזמן שבו הוא שוכן .המרחב המשכן מוצג כמערכת
בעלת ממד אינסופי מהסוג ] [ X t , X t iכאשר ) ,( i 1,..., nוהסדרה תמלא את כל החלל הניתן לה . 42
למושך מוזר ) (strange attractorיש ממד פרקטלי סופי ,הנובע מדעיכתו של ממד אחד או יותר ,לכן ממדו
של תת-המרחב המשוכן נמוך יותר .לכן השאלה 'אם הממד הפרקטלי של המרחב המשובץ ,לאחר
ההתנוונות ,נמוך יותר מהממד של המרחב המשבץ' ,משמשת מבחן אמפירי לסדרות סטטיסטיות
כאוטיות.
המבחן מבצע בדיקת ממד בסדרה המקורית ובסדרה המוטרפת שלה )אובדן הסדר הזמני( .אם הממד של
הסדרה המוטרפת גדל ,הסדרה המקורית הייתה סדרה פרקטלית במקורה .אם לסדרה העיתית מבנה
כאוטי לפני הטריפה ,אזי טריפת הסדר הזמני שלה תהרוס את המבנה הפרקטלי ,והיא תהפוך לסדרה
אקראית .לכן סדרות מוטרפות-סדר שהיו כאוטיות לפני הטריפה ,ממדן לאחר הטריפה יהיה גבוה יותר
מאשר ממדן לפניה.
הממד הפרקטלי )או היפוכו חזקת הרסט (Hמציין את השינניות של סדרה סטטיסטית .אם השינניות
פרקטלית ,אזי יש במרחב תחום מסוים ומוגדר שבו תעבור הסדרה; אם השינניות אקראית ,תמלא הסדרה
את כל המרחב .קיום חזקת הרסט ) (Hהגבוהה מ 0.5-במדד הקורלציה בין התצפיותC 2 ( 2 H 1) 1 :
מעיד על סדרה פרקטלית )בסדרה אקראית .(H=0.5באמצעות חזקות הרסט ניתן לנפות סדרות עיתיות
מגמתיות מסדרות עיתיות אקראיות .המוטו של המבנה הפרקטלי הוא" :ככל שקטן המודד כן גדל
הנמדד"; לדוגמה :שימוש בסרגל למדידת אורך חופים או עננים ,שימוש בכסף נקוב למדידת תפוקה
כלכלית נקובה ].[Peters 1991 pp. 58,64
ממוצע :הוכחה אמפירית חייבת להתבסס על משפט הממוצע של Birkhoffו ,Khinchin-השייך למכלול
חוקי המספרים הגדולים .המשפט אומר כי נוכחותו של מודד אינווריאנטי במערכת מאפשרת לקחת בה
ממוצעים לאורך הזמן .התכונה הארגודית קשורה לתכונה שלפיה ממוצע המשתנה במערכת על פני זמן
שווה לממוצע המרחב ].[Medio 1992 p. 72
ניתוח ספקטרי :ניתוח של סדרה עיתית בתחום התדירויות במקום בתחום הזמן .זאת על ידי הצגתה
כטורי פוריי ,ושימוש במרחב הפאזה )גודל והטיה( לאבחון רכיבי המחזוריות )תדר ומנעד( .בסדרות
מחזוריות יש קשר בין שתי ההצגות ].[Medio 1992 p. 101
נערכו מספר בדיקות כדי לאמת או להפריך את התיאוריות של האי-ליניאריות והכאוס בכלכלה.
לדוגמה ,הכלכלנים Brockו (1986) Sayers-בדקו סדרות עיתיות מקרו-כלכליות אמריקניות שונות
באמצעות מבחן השארית ,כדי למצוא אם יש בהן דטרמיניזם כאוטי .התוצאות אינן תומכות בהימצאותו
של כאוס בעל ממדים נמוכים.
42לכן סדרה אקראית דו-ממדית ] [ X t , X t 1תמלא את המרחב הדו-ממדי כאשר t 1,..., במרווח ] [1 ,0וממדה יהיה
,2ואילו ממד הסדרה הפרקטלית התואם לה יהיה בין 1ל .2-סדרה אקראית תלת-ממדית
] [ X t , X t 1 , X t 2תמלא את
המרחב התלת-ממדי כאשר t 1,..., במירווח ] [0,1וממדה יהיה ,3ואילו ממד הסדרה הפרקטלית התואם לה יהיה בין 2
ל .3-וכך הלאה עד אינסוף .סדרה אקראית אין סופית ] [ X t , X t 1 ,..., X t תמלא את המרחב האינסוף ממדי כאשר
t 1,..., במירווח ] [1 ,0וממדה יהיה אינסופי ,ואילו ממד הסדרה הפרקטלית התואם לה יהיה נמוך מאינסוף .תכונת
הממד הפרקטלי ,שהוא נמוך מהממד האקראי שהוא שוכן בו ,משמשת אבן בוחן לבדיקת כאוטיות ואי-ליניאריות של מערכות.
כלכלה דינמית /בן תמרי
34
לעומתם בדקו Scheinkmanו ,(1986) LeBaron -נתוני מדד שבועיים של מחירי מניות בבורסה של ניו
יורק ,באמצעות טריפת הסדרות )ערבוב הסדר העיתי של כל סדרה( ,שהעלתה את הממדיות של הסדרות.
הם מצאו כי הסדרות שנבדקו משובצות במרחב 6ממדי ,ממצא המעיד על הימצאות כאוס בשוקי מניות.
הכלכלנים Barnettו (1988) Chen-בדקו נתונים מוניטריים מיצרפיים ,ומצאו עדות לממד קורלציה נמוך
בסביבות 1.3עד 1.5בסדרות מוניטריות מיצרפיות ] Brock et al 1991 p. 28, Mullineux and Peng
.[1993 p. 71
פיטרס ) (Petersהפעיל פרוצדורה של ניתוח טווח מתוקנן ) (R/Sוחזקות ליאפונוב על מחירי מניות ומדד
,Standard & Poorsכדי לאבחן אם הן מאופיינות בסדרות אקראיות או פרקטליות; הוא מצא כי חזקת
הרסט Hנעה בין חצי לאחת ) ,(0.5<H<1דבר המעיד כי הסדרות הנבדקות הן בעלות מבנה פרקטלי ,וכי
חזקות ליאפונוב חיוביות .מכאן שהאתמול משפיע על היום ,המשפיע על המחר ,והשוק "זוכר" את המגמה
].[Peters 1991 ch. 8
3.2ממצאים אמפיריים בכלכלה דינמית
מאחר שלפי תפיסתי קיימים מצבים של אי-ליניאריות קצבית בטווחי זמן קצרים בלבד ,סוגי המבחנים
המקובלים לאי-ליניאריות אינם מתאימים לצרכינו.
כדי לקבל אומדנים אמינים ,בשיטות המקובלות ,שהן תלויות דגימה ,לממד ולמבנה של סדרה לא-
ליניארית דרושה סדרה עיתית הנפרשת על כמאה שנה לפחות ,ומכילה כ 7-מחזורים כלכליים בינוניים
ויותר . 43סדרות מעין אלו אינן עומדות כיום לרשותנו ,ולפיכך אני משתמש במבחנים אחרים ,שהם בחזקת
'טיפה המעידה על טעמו של הים' .אינני בודק סדרה בודדת כ'תוצר' או 'כסף' בפני עצמה ,אלא אם הקשר
בין הסדרות כפי שאני מציגן בפרק התיאורטי מתקיים.
ערכתי שלושה מבחנים אמפיריים לשם אישור )או הפרכה( של טענתי בדבר הסימטריה הקצבית
44
)הממוצעת( של המרחב הכלכלי ,שבאה לידי ביטוי בחוק שימור התמחיר .הראשון הוא מבחן הסימטריה
לקצבי השינוי של התפוקה ,הכסף והתמחיר :הצמיחה ,ההדפסה והאינפלציה ) ;( p m qהשני -מבחן
התאמה גרפית בין מסלול ההדמיה של המכלול הכלכלי למסלול הנוצר מנתונים אמפיריים של המשק
השוויצי; השלישי -ניתוח רב-משתני ) (Multivariate Analysisשל שיעורי השינוי של התפוקה ,הכסף
והתמחיר )הצמיחה ,ההדפסה והאינפלציה( במדגם של כ 45-ארצות מ 1960 -עד .1993
הראשון מעיד שאכן בממוצע לאורך זמן מתקיים חוק השימור ,דהיינו שמערכת כלכלית היא מערכת
סימטרית .השני מעיד כי הסימולטור שנבנה על פי תפיסת האקומטריה אכן מהווה קו מגמה כללי למערכת
אמפירית כשוויץ )לפחות בקטע ' A' Bציור -2ה בעמוד ,(56ובשלישי ניווכח כי מטריצת הטרנספורמציה
שנמצאה בניתוח רב-משתני היא מטריצה סימטרית.
43כדי לגלות את ה'סימטריה הממוצעת' החבויה בסדרה עיתית שמייצגת תופעה ,נדרש מספר עצום של איטרציות מחד גיסא,
וזיהוי נכון של הסדרה שהיא מייצגת מאידך .אי מציאת מבנה אנאליטי במדגמים קטנים עדיין אינה מלמדת על אי-דטרמינזים.
הופעה כביכול אקראית של סדרה יכולה לנבוע מדגימה של הסדרה בקטע של המרחב שהוא מצוי בו במשטר כאוטי ] Field et al
.[1992 p. 27
44סימטריה מרחבית מעידה על עקמומיות גאוסיאנית ) (Gקבועה של המרחב ,כלומר שעיקום בצד אחד של המרחב בא על
חשבון צד אחר שלו )בז'רגון כלכלי "אין ארוחה חינם"( .מרחב סימטרי הוא מרחב איזומטרי המשמר מרחקים .תנועותיו
כוללות תזוזה ,סיבוב ,גזירה ורפלקציה ,והוא מקיים מבנה של יציר גיאומטרי ,במקרה של מרחב יעיל מתקיים סוג כלשהוא של
מרחב מינימלי.
כלכלה דינמית /בן תמרי
35
3.2.1מבחן הסימטריה
אם מערכת כלכלית מתנהגת לפי התיאוריה המוצגת לעיל ,אזי ההתאמה הקצבית -הסימטריה -חייבת
להתקיים בזמן .זה חוק התמחיר ) p m qהתעריך .( v q m 45
לשם מבחנו האמפירי של חוק זה נתבונן בממוצעים הרב-שנתיים של שיעורי השינוי בכל אחת ממדינות
המדגם )לוח -3א( .נחשב את משתנה הסטייה של האינפלציה בפועל ) (pמהאינפלציה התיאורטית )*,(p
ונפלג את משתנה הסטייה ) .(devההתפלגות של משתנה הסטייה ) (devמגלה כי מרבית המקרים נמצאים
סביב לממוצע ) ,(0.1וההתפלגות מוטה ימינה ,כלומר שונה מהנורמלית )ציור -3א( .אחד מהסממנים
למבנה פרקטלי ,בניגוד למבנה אקראי ,הוא שלהתפלגות המשתנה שמתפלג פרקטלית יש זנב הפונה ימינה
)אופייני להתפלגות Levyואחרות(; אי-סימטריה בהתפלגות מלמדת על הטיה של הסדרה העיתית בכיוון
מסוים .במקרה שלפנינו התפלגות משתנה הסטייה ) (dev=p*-pאכן נוטה ימינה וממוצע הסטייה הוא
0.1נקודות האחוז )סטייה יחסית של כ 1.8%-בלבד(.
ציור -3א :התפלגות הסטייה של 45מדינות 1960 ,עד 1993
15
מספר ארצות
10
5
אחוז הסטייה
2.91
1.775
0.64
Dev=p*-p
-0.495
-1.63
0
-2.765
-3.9
45אנו צריכים להתרגל לעבוד עם המשתנה )(Vהוא היחס ההפוך של התמחיר ) (Pאשר מבטא את ערך הכסף:
. V 1 / P Q / Mאישור לטענתי יהיה אם נמצא שהכסף מופיע במערכת האמפירית בסימן מינוס ) ) ( -ראה סימנו של
המקדם ,bהמבטא את רגישות התפוקה ביחס לכסף בלוח -5ב בעמוד .(109
כלכלה דינמית /בן תמרי
36
לוח -3א:
הצמיחה ,ההדפסה ,האינפלציה והסטייה של האינפלציה בפועל משיעורה התיאורטי1993 - 1960 ,
האינפלציה
הסטייה
הצמיחה
ההדפסה
האינפלציה
q
m
p
התיאורטית
P*=m-q
dev=p*-p
אוסטרליה
3.7
9.5
6.4
5.8
-0.6
אוסטריה
3.3
7.2
4.4
3.9
-0.5
בלגיה
3.2
5.6
4.8
2.4
-2.4
קנדה
3.9
9.4
5.3
5.5
0.2
הארץ
קולומביה
4.5
24.2
19.2
19.7
0.5
קוסטה-ריקה
4.8
18.5
13.8
13.8
-0.0
קפריסין
5.7
11.6
4.7
5.9
1.2
דנמרק
2.7
10.6
6.7
7.9
1.2
הרפ' הדומיניקנית
4.1
16.0
12.6
11.8
-0.8
אקוודור
4.7
24.4
19.7
19.7
0.0
אל-סלוודור
3.1
11.7
10.3
8.6
-1.7
פינלנד
3.1
11.8
7.2
8.8
1.6
צרפת
3.4
9.1
6.3
5.7
-0.6
גרמניה
2.9
8.5
3.5
5.6
2.1
גאנה
2.5
28.1
27.7
25.6
-2.1
יוון
4.3
16.8
12.0
12.6
0.6
גווטמאלה
4.0
12.4
9.0
8.4
-0.6
הונדורס
4.1
12.2
7.0
8.1
1.1
הודו
4.2
12.4
7.9
8.3
0.4
אינדונזיה
5.9
39.0
34.7
33.1
-1.6
אירלנד
4.3
9.5
8.1
5.2
-2.9
ישראל
5.8
44.0
39.1
38.2
-0.9
איטליה
3.7
14.0
8.7
10.3
1.6
יפן
5.9
11.4
5.2
5.5
0.3
קוריאה
8.7
23.8
11.6
15.2
3.6
מכסיקו
4.6
31.5
24.5
26.9
2.4
מרוקו
4.3
12.0
6.0
7.6
1.6
מיינמאר
2.9
11.3
10.0
8.4
-1.6
נפאל
3.2
15.8
8.7
12.6
3.9
הולנד
3.4
8.1
4.5
4.7
0.2
ניו-זלנד
2.3
11.2
8.2
8.8
0.6
ניגריה
4.3
19.2
15.4
14.9
-0.5
נורבגיה
3.7
12.2
6.4
8.5
2.1
פיליפינים
3.9
14.1
11.4
10.2
-1.2
פורטוגל
4.4
14.3
12.6
9.9
-2.7
סינגפור
8.4
10.8
3.4
2.4
-1.0
דרום-אפריקה
3.2
13.5
9.5
10.3
0.8
כלכלה דינמית /בן תמרי
37
14.4
9.7
10.2
0.5
ספרד
4.2
8.2
8.6
0.4
6.8
6.8
0.0
סרי-לנקה
4.0
12.6
שבדיה
2.5
9.3
שוויץ
2.5
5.2
3.9
2.8
-1.2
תורכיה
5.1
33.5
29.0
28.4
-0.6
אנגליה
2.2
11.7
7.6
9.4
1.8
ארה"ב
3.0
6.6
4.9
3.7
-1.2
ונצואלה
3.8
15.5
12.5
11.7
-0.8
ממוצע
4.0
15.2
11.1
11.2
0.1
המקור :עיבודים עצמיים מנתוני ].[IFSY 1993
3.2.2
מבחן התאמה גרפית
לצורך אישור אמפירי למערכת התיאורטית נציג את המסלול הגרפי של המשק השוויצי במרחב קיינס
)משנת 1960עד שנת (1993ואת המסלול הגרפי התואם לו הנובע מהרצת ההדמיה הכלכלית )בפרמטרים
של שווייץ( במרחב זה )מתצפית 1עד תצפית ,(34קרי מנקודה ' Aועד לנקודה ') Bציור -2ה בעמוד .(56
המיתאם בין המיתר האמפירי המתקבל למשק השוויצי למיתר התיאורטי המתקבל מההדמיה )לוחות -3
ב ו-3-ג( מוצג בציור -3ב בעמוד .81מסלול ההדמיה הולבש על המסלול הגרפי האמפירי של שוויץ בצורה
מנרמלת .קטע ההדמיה מתאים לקטע ' A' Bשבציור -2ה בעמוד .56מהציור מובחן כי המסלול השוויצי
מחפש את מהלכו כנהר את אפיקו.
כלכלה דינמית /בן תמרי
38
לוח -3ב :מדד התפוקה ,הכסף והתמחיר -שווייץ 1960 ,עד 1993
השנה
1960
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
התצפית
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
מקור :עיבוד עצמי מנתוני .IFSY
QSWS
1.0000
1.0840
1.1380
1.1945
1.2561
1.2946
1.3253
MSWS
1.0000
1.1520
1.2805
1.3741
1.4635
1.5202
1.5774
PSWS
1.0000
1.0192
1.0632
1.0997
1.1337
1.1724
1.2284
1.3653
1.4160
1.4953
1.5903
1.6581
1.7159
1.7702
1.7909
1.6710
1.6567
1.6959
1.7059
1.7474
1.8238
1.8502
1.8330
1.8516
1.8845
1.9537
2.0101
2.0508
2.1101
2.1915
2.2422
2.2415
2.2401
2.2272
1.6943
1.9047
2.1268
2.3600
2.7767
2.9275
2.9036
2.8071
2.9287
3.2706
3.2981
4.0731
3.9977
3.9936
3.7867
3.7867
4.1578
4.4313
4.3209
4.4150
5.0251
5.1432
5.0058
4.9269
4.8445
5.0397
5.3326
1.2777
1.3086
1.3412
1.3897
1.4811
1.5797
1.7181
1.8858
2.0120
2.0465
2.0730
2.0947
2.1713
2.2585
2.4050
2.5412
2.6164
2.6928
2.7855
2.8064
2.8471
2.9000
2.9916
3.1535
3.3370
3.4720
3.5887
כלכלה דינמית /בן תמרי
39
לוח -3ג :מדד התפוקה ,הכסף והתמחיר -הדמיה ,תצפיות 1עד 34
השנה
1960
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
התצפית
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
QSIM
1.0000
1.0067
1.0133
1.0200
1.0266
1.0332
1.0399
1.0465
1.0531
1.0597
1.0663
1.0729
1.0794
1.0860
1.0925
1.0990
1.1055
1.1120
1.1184
1.1248
1.1312
1.1375
1.1438
1.1501
1.1563
1.1625
1.1687
1.1748
1.1808
1.1869
1.1928
1.1987
1.2046
1.2104
המקור :נתוני המכלול )הסימולטור( של ציור -2ה בעמוד .56
MSIM
1.0000
1.0197
1.0398
1.0602
1.0809
1.1021
1.1236
1.1455
1.1678
1.1905
1.2136
1.2371
1.2610
1.2854
1.3102
1.3354
1.3611
1.3872
1.4138
1.4408
1.4684
1.4964
1.5249
1.5539
1.5835
1.6135
1.6441
1.6751
1.7068
1.7389
1.7717
1.8049
1.8388
1.8732
PSIM
1.0000
1.0105
1.0212
1.0321
1.0434
1.0549
1.0666
1.0787
1.0910
1.1037
1.1166
1.1298
1.1434
1.1572
1.1713
1.1858
1.2006
1.2157
1.2311
1.2469
1.2630
1.2794
1.2962
1.3133
1.3308
1.3486
1.3668
1.3853
1.4042
1.4235
1.4431
1.4631
1.4834
1.5042
כלכלה דינמית /בן תמרי
40
ציור -3ב :המסלול הגרפי למשק השוויצי וההדמייה במרחב קיינס
הכסף
M
'B
1993
שוויץ
1960
התפוקה
'A
Q
3.2.3ניתוח רב-משתני
ניקח את שיעורי הגידול הממוצעים הרב-שנתיים של התפוקה ,הכסף והתמחיר ,קרי ,הצמיחה ,ההדפסה
והאינפלציה ב 45-המדינות שבמדגם אשר עליהן יש בידינו מיגוון נתונים אמין לתקופה מ 1960-עד 1993
)לוח -3א בעמוד .(75הארצות משמשות כתצפיות ניסוי במשתנים צמיחה ,הדפסה ואינפלציה )p, m, q
בהתאמה( .אנו מחפשים קשרים ליניאריים בין הקצבים הללו באמצעות ניתוח רב-משתני ] Green and
.[Carroll 1976
המסקנה העיקרית העולה מהניתוח הרב-משתני היא ,כי מטריצת הגורמים הבלתי תלויים ) (Aהיא
סימטרית ,ומתקיים תנאי הסימטריה ) A' A 1במונחים של מספרים מרוכבים המטריצה
הרמיטיאנית(.
הקשר האקונומטרי בין האינפלציה ) ,(pהצמיחה ) (qוההדפסה )(m
p 0.3 1.0 m 1.1 q
)(33.1) (5.8
)(t.s.
המיתאם המתואם :R*=0.95מבחן :DW = 2.05מבחן .:F-stat.=592 F
כלכלה דינמית /בן תמרי
41
ציור -3ג :משטח התגובה של האינפלציה לצמיחה והדפסה
45מדינות 1960עד 1993
אינפלציה
צמיחה
הדפסה
ככל שתרבינה השנים )התצפיות( ,תתכנסנה המטריצות המובאות בהמשך ל'חוקים' )לממוצעים( יציבים,
שמהם ניתן יהיה לגזור חוקים נוספים בכלכלה.
המטריצות התואמות:
השונות Covariance
p m q
p 66 67 3
m 67 72 5
q
3 5 2
המיתאם Correlation
p m
q
p
1 0.97 0.27
m 0.97 1 0.43
q 0.27 0.43 1
בן תמרי/ כלכלה דינמית
42
קוסינוסים מכוונים
Direction Cosinus
(degrees)
p m q
p 0 14 74
m 14 0 64
q 74 64 0
מטריצת המעבר
Transformation Matr.
0.998 0.070
Tb
0.998
0.070
המטריצה האלכסונית
Diagonalized Matr.
72.0 0
D
0 1.47
הפתרון
Eeigen Structure Matr.
1 72.0
2 1.47
0.35 4.95
C ( x) 1 I
4.95 70.2
||p||= 54.5; ||m||= 56.8; ||q||= 9.0
:הגדלים התואמים
כלכלה דינמית /בן תמרי
43
ציור -3ד :הקוסינוסים המכוונים
אינפלציה
שים לב לזוית של 18עבור הגובה ,כידוע:
) ' / 2 sin(18 0
יחס הזהב ) 1.618 ( Phi
' 0.618 ...
ו '-הם ,כידוע ,השורשים של המשוואה הריבועית הבאה )שהמשוואה הלוגיסטית היא סוג שלה(:
x2 x 1 0
3.3ניסוי בדיעבד
כל מדינה )מ 45-המדינות במדגם( יכולה להיחשב כתצפית בניסוי בדיעבד ,אשר לו ערך משתנה אחר
בסקלה של המשתנה שבפיקוח .דוגמה למשתנה בפיקוח :ההדפסה ) mאו משתנה אחר( .המיסדר שנוצר
הוא כניסוי מעבדה בדיעבד של מערכת כלכלית .ניסוי שבו מעלים ,כביכול ,אט אט את ערך המשתנה
שבפיקוח )בפועל הערכים של 'משתנה הבקרה' קופצים לא אחיד אלא לפי ערכי המשתנה בדיעבד של
המדינות בסדר שמתקבל( ,ומתבוננים בתוצאה הנרשמת בציר הגובה במשתנים האחרים .בתחילת הציר
יירשמו מדינות בעלות שיעורי שינוי נמוכים במשתנה שנבחר ,ובסופו מדינות בעלות שיעורים גבוהים .שאר
המשתנים של המערכת מתמיינים לפי הסדר שמכתיבים שיעורי השינוי של המשתנה שנבחר כממיין את
המרחב.
בציורים -3ו-3 ,ז )עמוד (90מסודרות כל המדינות לפי סדר עולה של קצב הצמיחה ) (qוהדפסה ),(m
מהקצב הנמוך לקצב הגבוה ,כאילו המשתנה המסדר הוא 'פרמטר ניסוי' בדיעבד ,ושאר המשתנים
מתמיינים לפי סדרו של זה .כל מדינה נחשבת כתצפית .כך מאבחנים את זרימת המערכת לפי שינויי
הפרמטר שנבחר כפרמטר הניסוי .הניסוי מגלה מבנה לוגיסטי בעל גודש ) 46לוח -3ד(.
46יש להבחין בין טריפת סדרה עיתית של מדינה מסוימת ,שבה מאבדים את המבנה הפרקטלי של הסדרה ,לבין שינוי הסדר
הכרונולוגי של המדינות כאן בהתאם לפרמטר המיון ) ,(sortingשים לב שהסדר הפרמטרי והסדר הכרונולוגי שונים.
כלכלה דינמית /בן תמרי
44
לוח -3ד :הצמיחה ,ההדפסה והאינפלציה ומשטר דינמי
מבוסס על מדגם של 45מדינות 1960 ,עד 1993
המשתנה
המשטר היציב
הצמיחה q
ההדפסה m
האינפלציה p
2-4
1-10
8-10
איבוד יציבות
המשטר הכאוטי
המשטר התקופתי
אחוזים
] Commentא"ת :[1עמוד 44:
ההדפסה פועלת כסם-מרץ ) – (steroidתחילה
מועילה ולאחר מכן מזיקה .מילטון פרידמן השווה
זאת לשתיית אלכוהול ,אך סבורני כי המטפורה של
סם מרץ מיטיבה לתאר את תופעת הגודש יותר
מאשר אלכוהול אשר לו דינמיקה אחרת.
4.1-4.6
11-15
11-15
+ 5.7
+ 41
+ 41
4.6-5.7
16-40
16-40
לוח -3ד מעיד כי הגדלה )או כיווץ( של ההדפסה ,כפי שנהוג בישראל ובמדינות אחרות )בסביבות שיעורי
הדפסה של 10%ומעלה בממוצע רב שנתי( ,מכניס את המערכת הכלכלית למשטר דינמי לא יציב המאופיין
במחזוריות תקופתית ולא תקופתית )כאוס( ומביא לאבדן השליטה בה.
במדיניות הכלכלית )במיוחד המוניטרית( מתבקשת ,לכן ,מתינות ,זהירות ומינון במשורה עקב בעיות של
פיגורים ,התאמה פרמטרית וקשיים בזיהוי המשטר הדינמי בו מצויה המערכת )ציור -3ה( .לפיכך שיטת
טפטוף הכסף )כטפטפות מים או אינפוזיה( למערכת הכלכלית היא השיטה האופטימלית לגידול מוניטרי.
ציור -3ה :משטר דינמי למערכת כלכלית-מוניטרית
Q
X (t) = M
P
כאוטיות
מחזוריות
מחזוריות
יציבות
t
יציבות
<6
< 40
< 40
<4< q
10 < m <6
10 < p 40
<
40
<0<q
4
< 0< m
10
<0< p
10
*
X
צמיחה
הדפסה
אינפלציה
מערכות דינמיות מצויות רוב הזמן במשטר דינמי יציב ,היינו ,הפרמטרים של המערכת הם בגודלם
האופטימלי ,והיחסים בין הגדלים האנדוגניים נמצאים בהרמוניה .לעיתים חלים בפרמטרים שינויים
אקסוגניים כ'כתמי שמש' ,או אנדוגניים כ'הדפסת כסף' .כתוצאה משינויים אלה עוברת המערכת ממשטר
דינמי אחד למשנהו; מיציבות למחזוריות תקופתית ,ומזו למחזוריות לא-תקופתית ,דהיינו לכאוס .בעוד
שאת המעבר מיציבות לכאוס אנו מתחילים להבין ,הרי המעבר מכאוס חזרה ליציבות הוא עדיין בגדר
תעלומה )שבולמי מערבולות כזנבות לציפורים ומסלקות לבנקים נוטלים בה חלק(.
כלכלה דינמית /בן תמרי
45
ציור -3ו :ההדפסה והאינפלציה ביחס לצמיחה
45מדינות1960-1993 ,
50
40
30
20
10
0
5.9
8.7
8.4
5.1
5.8
5.6
5.9
4.7
4.8
4.5
4.6
4.3
4.4
4.3
4.3
4.2
4.3
4.1
4.2
4.0
4.1
הצמיחה
3.9
4.0
p
3.8
3.9
3.7
3.7
3.4
3.7
3.3
3.4
3.2
3.2
3.1
3.2
3.0
3.0
2.9
2.9
2.5
2.7
2.5
2.5
2.2
2.3
m
ציור -3ז :הצמיחה והאינפלציה ביחס להדפסה
45מדינות1960-1993 ,
50
40
30
20
10
0
33.5
44.0
38.9
28.1
31.5
24.2
24.4
19.2
23.8
16.8
18.5
15.8
16.0
14.4
15.5
14.1
14.3
13.5
14.0
12.4
12.6
12.2
12.4
12.0
12.2
11.7
11.8
11.5
11.7
11.3
11.4
10.8
11.2
9.5
10.7
9.3
9.5
9.1
9.3
8.1
8.5
6.6
7.2
5.2
5.6
ההדפסה M
p
q
3.4המרחב הכלכלי כיריעה
נקח ,באמצעות תוכנות בעלות גרפיקה תלת-ממדית ,את התמחיר ) (Ptכמשתנה גובה למרחב קיינס הדו-
ממדי ] 1960 ,[Qt,Mt:tעד ,1993ונבנה את היריעה המתאימה למדינה מסוימת ,במקרה הנוכחי ישראל
ושווייץ ,וכן להדמיה .הדפוס הגרפי ) (patternהמתקבל מהנתונים הסטטיסטיים של ישראל ושווייץ צריך
להידמות לתבנית הגרפית המתקבלת מההדמיה .מהגרפים ניתן להבחין במבנה הטופולוגי של המרחב
הכלכלי ) ) . P f (Q, Mציורים -3ח-3 ,ט ו-3 -י(.
כלכלה דינמית /בן תמרי
46
ציור -3ח :התמחיר Pכפונקציית גובה לתפוקה Qוכסף M
ישראל 1960-1993
1960-93
ישראל
P
Q
M
ציור -3ט :התמחיר Pכפונקציית גובה לתפוקה Qוכסף M
שוויץ 1960-1993
1960-93
Q
P
שוויץ
M
כלכלה דינמית /בן תמרי
47
ציור -3י :התמחיר Pכפונקציית גובה לתפוקה Qוכסף M
הדמייה
P
Q
הגרפים בוצעו בתוכנת .Graftool, ver. 3.3
M
כלכלה דינמית /בן תמרי
48
.4סיכום
הצגה אנאליטית
מערכת כלכלית ניתנת להצגה אנאליטית במספרים מרוכבים )במערכת קרטזית( במספרים מערכיים
)במערכת כדורית( או במספרים טריגונומטריים )במערכת פולרית( ,הכול לפי העניין והנוחות .במערכת
כזאת המוניטריזציה ,האגרגציה והחלוקה נפתרות יחדיו באותו מרחב .יכולת הצגת המערכת במספרים
מרוכבים ,מערכיים או טריגונומטריים נובעת מתכונת השימור שלה.
סימטריה
מערכת כלכלית ,שהיא משמרת בגדליה ולינארית בקצביה ,היא מערכת סימטרית .כמערכת פיסיקלית
נוטה המערכת הכלכלית להתכנס בטווח הארוך למבנים גיאומטריים .במרוצת הזמן המערכת הכלכלית
)באבולוציה שלה( משוטטת במעין שרוול ,או צמיג ) (torusסביב צירי הסימטריה -שהם מרכזי השרוול -
כמים הזורמים בצינור או כנהר באפיקו.
אנטרופיה כלכלית -אקרופיה
מערכת כלכלית -כמערכת פיסיקלית -נוטה לפזר את הכסף בשווה )באמצעות המסחר( בין כל המקומות
בטווח הארוך ,כך שהמחירים ישתוו .במערכות סגורות היכולת לעשות עסקים הולכת ופוחתת .האקרופיה
מדד השוויון העסקי -נוטה לעלות )כאנטרופיה -מדד השוויון האנרגטי -הנוטה לעלות( .האקרופיה היאמודד ל'יכולת המערכת לעשות עסקים' .מערכת כלכלית סגורה תלך ותתנוון במרוצת הזמן בגלל נטייתה
להשוות במחירים בכל המקומות )האקרופיה( .הפרשי המחירים של המוצרים בין המקומות השונים הם
היוצרים את המסחר ,ההתמחות והחליפין.
הדמייה ומחזוריות
ניתן לבצע הדמיה למערכת כלכלית בטווח הקצר והארוך כאחד באמצעות משוואות-היסוד .משוואות אלה
מאפשרות ללמוד את המשטר הדינמי )יציבות ,מחזוריות וכאוס( של המערכת על פי שינויי הפרמטרים
שלה .מחזוריות כלכלית יכולה לנבוע ממקור אקסוגני כ'כתמי-שמש' ,המשפיעים על הריתמוס של הטבע
)שינוי פרמטרי( ,או ,לחלופין -ממקור אנדוגני כאשליית הכסף ,ואיבוד היחסים ההרמוניים בין המשתנים
האנדוגניים המביא לשינוי במשטר הדינמי.
מדיניות כלכלית
הכלל שלפיו יש לפעול לאופטימום כלכלי במדיניות המוניטרית הוא 'קצב גידול הכסף ישווה לקצב גידול
התפוקה' .כלל זה יבטיח תמחיר יציב ואינפלציה אפס .את תוספת הכסף הדרושה יש לטפטף כבטפטפת או
כבאינפוזיה .שיטה זו גם תבטיח בקרה יעילה לעת שינויי תפוקה קיצוניים.
כלכלה דינמית /בן תמרי
49
5.1נספח מתמטי
] Commentא"ת :[2עמוד 50:
בכלכלה מכנים קשרים סימטריים הנשארים ללא
שינוי קשרים הולותטיים ) Holothetic
.[Sato et al 1990 p. 37] (functions
5.1.1משפט אמי נטר )(Amalie Emmy Noether 1882-1935
חשיבות המשפט הוא באפשרו לבנות כמויות )סקלרים( קבועים ,שהם חוקי שימור ,לאורך נתיב הקיצון
שבו מתקיימים תנאי אוילר לגרנג' .
b
יהי הפוקציונל , J ( x) L[ x(t ), x (t ), t ]dt :אזי קיימות טרנספורמציות המקיימות את הכלל
a
הסימטרי . A' A 1אם אינטגרל הפעולה של בעיה מסוימת הוא אינווריאנט תחת טרנספורמציה r
פרמטרית ,אזי יש rכמויות לאורך הקיצון )אקסטרימום( .כמויות אלו הן חוקי השימור של המערכת,
שלאורכם אנו נעים ) . J ( x' ) J ( xערכי הפונקציונל לפני הטרנספורמציה ואחריה שווים.
אם נזעזע את המערכת סביב הפתרון באמצעות שינוי באחד הפרמטרים ,נוכל למצוא את השינוי הנגרם לה
באמצעות פיתוח טיילור .משפט אמי נטר מבטיח כי J ( x) :יהיה אינווריאנט באופן מוחלט אם
) , J ( x' ) J ( x) 0 (eו J ( x) -הוא אינווריאנט מסתעף אם ) Sato ] J ( x' ) J ( x) 0(e) e(d ( ) / dt
.[et al 1990 ch. 1
] Commentא"ת :[3עמוד 50:
במעבר ממערכות דינמיות רציפות למערכות
דינמיות בדידות דרושים מספר שינויים ,והעיקרי
שבהם הוא הכנסת גורם "מתקן" ,המעצב באופן
שונה את חוקי השימור הסטנדרטיים.
גישה הפוכה למשפט נטר היא גישת הלמהולץ ) .(Helmholtzבגישת נטר מחפשים משוואות תנועה
)קצבים( לפונקציונל ידוע ומסוים .בגישת הלמהולץ מחפשים פונקציונל למשוואות תנועה )קצבים( ידועות
ונתונות למפרע ].[Sato et al 1990 ch. 5
5.1.2
משוואות קרמונה )(Luigi Cremona 1830-1903
כל הטרנספורמציות האלגבריות החד-חד-ערכיות של המישור חייבות להיות טרנספורמציות
קרמונה ).[Kline 1972 pp. 918-920] (Cremona
ב 1854-הציג קרמונה את הטרנספורמציות הבירציונליות הכלליות של המישור השלם לתוך עצמו .מקס
נטר )אביה של אמי נטר( ויעקב רוזנס הוכיחו ,כל אחד בנפרד ,כי טרנספורמציות קרמונה במישור ניתנות
לבנייה מסדרה של טרנספורמציות לינאריות וריבועיות .כל הטרנספורמציות האלגבריות החד-חד-ערכיות
של המישור חייבות להיות טרנספורמציות קרמונה ].[Kline 1972 p.933
משוואות קרמונה )מפה ריבועית דו-ממדית משמרת שטח(
2
) x1 ' x1 cos(a) ( x 2 x1 ) sin(a
2
)x 2 ' x1 sin(a ) ( x 2 x1 ) cos(a
משוואות קרמונה הן כמודל למפות פונקארא של מערכת דיפרנציאלית המילטוניאנית בעלת ארבעה
ממדים .מפות אלה הן בעלות דינמיקה מורכבת ,המזכירה מערכות המילטוניאניות לא אינטגרביליות
)שבהן עוסק משפט .(KAMהמפה כוללת שני סוגי נקודות שבת :אליפטיות והיפרבוליות ,ומסלולים
תקופתיים המפרידים ביניהם .למפות קרמונה מבנה פרקטלי )ציור -5א בעמוד Kocak 1986 p. ] (103
.[189
המכלול הכלכלי בעמוד 56בשתי משוואותיו הראשונות הוא ווריאנט של משוואות קרמונה המוצגות לעיל,
ועליהן ,תוך כדי התאמתן לצורכי הכלכלה ,הוספתי את המשוואה השלישית ,שהיא משוואת התמחיר
המתפקדת כמשוואת משוב.
כלכלה דינמית /בן תמרי
50
5.1.3משפט KAM
משפט (Kolmogorov, Arnold, Moser) KAMעוסק בהפרעות ) (perturbationסביב נקודות שבת
של מערכות דינמיות משמרות )המשמרות שטח גרפי בחתכי פונקארא( מהסוג:
) x ' f ( x, y
) y ' g ( x, y
המשפט קובע את מצבם של המסלולים האינווריאנטים במערכות משמרות )כמעט אינטגרביליות(.
המסלולים מצטיירים כאשר מספרי הסיבוב )שהם זוויות ההטיה במרחבים דו-ממדיים ,ובאינטרפטציה
כלכלית השינוי בתמחיר( אינם רציונליים די הצורך ,אולם סוטים רק במקצת מנקודות השבת.
)באינטרפטציה כלכלית :זעזועים סביב נקודות שיווי המשקל בשוק ,שבהן מתקיים תמחיר יציב
) * ) (. p 0, P * f ( Pציור -5א(.
התוצאה היא פקעת ,המורכבת משכבות שכבות )כמרמלדה( המופרדות במעגלים .בין המעגלים )או
האליפסות( ,שהם טבעות אינווריאנטיות ,מתקיימות שכבות של מילוי סטוכסטי – אזורים כאוטיים
מנומרים הנמצאים בין הטבעות ומחוץ לטבעת הגדולה ביותר .האזור הכאוטי בנוי משילוב של נקודות
שבת מרכזיות ) ,(centerשסביבן מעגלים ונקודות אוכף ).(saddle points
ציור -5א :מפת (Birkhoff Map) KAM
כלכלה דינמית /בן תמרי
51
כשההמילטוניאן אינטגרטיבי ,יש לנו תנועה סדירה של המסלולים ) (trajectoriesבמשטח.
כשההמילטוניאן כמעט אינטגרבילי ,תנועת המסלולים אינה סדירה .כשהוא סמוך מאוד לאינטגרביליות
מתקיים משפט .KAM
המסלול בתוך האזור הכאוטי )התחום בין שתי טבעות אינווריאנטיות המקיימות ערך סקלרי קבוע( מוגבל
לתחומו ,ואינו יכול לחצות את הטבעות המקיפות אותו לא כלפי פנים ולא כלפי חוץ .כך נוצרים אזורים
סטוכסטיים ואזורים לא-סטוכסטיים כשכבות עוגה .דבר זה אומר כי מפת KAMמורכבת למעשה מאוסף
של טבעות ואיים .כל אי הוא מיקרוקוסמוס של המפה כולה ,ויש לו דמיון עצמי האופייני למבנה פרקטלי.
[Arrowsmith and Place 1990 p. 319, Lauwerier in Holden 1986, Greene 1979,
Cvitanovic 1989 p. 33].
גם שווקים כלכליים מקומיים מקיימים מבנה פרקטלי ,שבו שוק בודד )למוצר או לאזור( הוא מיני שוק
)גומחה( בתוך שוק גדול ממנו .בכלכלה בא משפט KAMלידי ביטוי כשהמערכת מגיעה הרחק מהיחס של
1/3בין הכסף והתפוקה .מקורו של יחס זה בחתך הזהב החבוי כאן .במונחים כלכליים – היחס בין כסף
) (Mלתפוקה ) (Qהוא 1/3באופטימום ,מעבר ל 2/3-מתחילה ההיפראינפלציה.
5.1.4
העושר ומשוואות התנועה
העושר:
([Q(t )] 2 [ M (t )] 2 ) dt
t1
Max W
t0
M PQ
s.t.
משוואות התנועה של אוילר-לגרנג':
] L Q M [ PQ M
2
בהנתן הלגרנג'יאן הבא:
2
אזי משוואות התנועה של אוילר-לגרנג' הן:
והתנאים לאופטימום הם:
p 0, q m
5.1.5ניכוי המערכת
נגדיר את 'המרחק' הכלכלי:
2
' d ( x' , y ' ) Q' M
2
Q
Q
t
L
L
( )0
Q t Q
M
M
t
L L
)0
(
M t M
כלכלה דינמית /בן תמרי
52
טרנספורמציות לורנץ )וגלילאו(
Lorenz Tr. Q' Q M
M ' M Q
Galileo Tr. Q' Q M
M ' M
הניכוי המתבקש מטרנספורמציות לורנץ ,שהן טרנספורמציות ללא אשליית הכסף ,מורכב מסיבוב )(R
ותזוזה ): (T
d ( x, y ) R T
4MQ
1 2
T
,
) ' d ( x' , y
2
1
R
הניכוי הנכון מורכב מסיבוב ) (Rותזוזה ) .(rotation and translation) (Tכיום אנו מבצעים בעת ניכוי
מחירים רק את הסיבוב )ניכוי במדד המחירים( ,ויש להוסיף על כך גם את התזוזה ) .(Tסיבוב ותזוזה
מהווים טרנספורמציה סימטרית של תפוקה וכסף במרחב קייס והם מבטיחים את קיום תכונת השימור
של מרחב זה.
5.2נספח סטטיסטי
לוח -5א :נתוני ארה"ב כדוגמה 1960 ,עד 1993
התפוקה
הכסף
התמחיר
במיליארדי דולרים
במיליארדי דולרים
1985=100
QUSA
MUSA
PUSA
1960
2,217.0
147.1
22.6
1961
2,274.8
152.1
22.9
1962
2,411.8
154.4
23.1
1963
2,511.7
160.9
23.4
1964
2,653.0
168.1
23.7
1965
2,800.4
176.2
24.1
1966
2,968.9
180.4
24.9
1967
3,045.9
194.0
25.5
1968
3,171.2
209.6
26.6
1969
3,257.4
216.6
28.1
1970
3,256.0
225.9
29.7
1971
3,357.0
240.7
31.0
1972
3,517.8
262.2
32.0
1973
3,700.6
277.3
34.0
השנה
מחירי 1990
כלכלה דינמית /בן תמרי
53
1974
3,677.4
286.9
37.8
1975
3,647.5
302.0
41.2
1976
3,827.7
318.7
43.6
1977
4,000.3
345.7
46.5
1978
4,193.0
375.2
49.9
1979
4,298.7
408.2
55.6
1980
4,275.6
432.2
63.1
1981
4,351.1
460.3
69.6
1982
4,257.3
494.2
73.9
1983
4,423.0
540.3
76.2
1984
4,696.8
585.0
79.5
1985
4,845.5
655.0
82.4
1986
4,986.7
776.1
83.9
1987
5,140.1
786.2
87.0
1988
5,342.3
820.1
90.5
1989
5,477.6
830.9
94.9
1990
5,522.2
870.5
100.0
1991
5,458.3
935.7
104.2
1992
5,645.4
1,065.8
107.4
1993
5,814.9
1,230.3
110.6
3.0
6.6
4.6
שיעור הגידול הממוצע
אחוזים
המקור.IFSY 1994 :
] Commentא"ת :[4עמוד 54:
מקדמי המיתאם והסטטסיסטי tהם על גבול
המובהקות; הניתוח כאן בא כדי ליצור השוואה בין
מדינות על אותה מתודה .עם זאת ,ככל שמתרבות
התצפיות כן משתפרים הסטטיסטיים ,דבר הנצפה
כשאני מתקדם במניין השנים )ההתחלה
באקומטריה – יסודות הכלכלה ]תמרי [1991
עבור השנים 1960עד ,1987היייתה פחות
מובהקת בסטטיסטיים מאשר כאן בכלכלה דינמית
לשנים 1960עד .1993
רגרסיות לגבי ארה"ב )ללא חותך(
Q' 1.0143 Q 0.0151 M
a
b
M ' 0.0136 Q 1.030 M
c
d
הצב את תוצאות הרגרסיה עבור כל מדינה בסימולטור שבעמוד 56וכן בלוח -5ב שבהמשך) ,ראה התפלגות
היעקוביאן שבציור -5ב בעמוד .(112את שיעורי הגידול הממוצעים לתקופה 1960עד 1993לכל מדינה הצב
בלוח -3א שבעמוד .75
כלכלה דינמית /בן תמרי
54
לוח -5ב :מקדמים אקומטריים והיעקוביאן ad-bc=J
45מדינות 1960 ,עד 1993
המדינה
b
a
אוסטרליה
1.0489
-0.0246
c
-0.0357
d
1.0307
ad-bc=J
1.0802
אוסטריה
1.0218
-0.0263
0.0313
0.9672
0.9892
בלגיה
1.0319
-0.0370
0.0449
0.9497
0.9817
קנדה
1.0183
-0.0218
0.0305
0.9716
0.9900
קולומביה
1.0073
-0.0052
0.0170
1.0128
1.0203
קוסטה-ריקה
1.0076
-0.0059
0.0062
1.0109
1.0186
קפריסין
1.0091
-0.0022
0.0247
0.9854
0.9944
דנמרק
1.0126
-0.0134
0.0245
0.9862
0.9990
הר' הדומיניקנית
1.0062
-0.0039
-0.0166
1.0515
1.0579
אקוודור
1.0077
-0.0058
0.0131
1.0329
1.0409
אל-סלוודור
1.0136
-0.0166
-0.0062
1.0262
1.0401
פינלנד
1.0501
-0.0285
0.0420
0.9857
1.0362
צרפת
1.0206
-0.0224
0.0395
0.9605
0.9811
גרמניה
1.0158
-0.0173
0.0131
0.9968
1.0128
גאנה
1.0030
0.0017
0.0298
1.0272
1.0302
יוון
1.0161
-0.0195
0.0173
1.0005
1.0170
גווטאמלה
1.0120
-0.0131
-0.0078
1.0317
1.0440
הונדורס
1.0108
-0.0097
0.0056
1.0111
1.0220
הודו
1.0024
-0.0044
0.0058
1.0143
1.0166
אינדונזיה
1.0056
-0.0000
-0.0000
0.8001
0.8046
אירלנד
1.0065
-0.0031
0.0196
0.9855
0.9920
ישראל
1.0057
-0.0037
0.0295
1.0222
1.0282
איטליה
1.0135
-0.0128
0.0356
0.9747
0.9884
יפן
1.0142
-0.0321
0.0274
0.9369
0.9511
קוריאה
1.0114
-0.0059
0.0403
0.9676
0.9789
מכסיקו
1.0266
-0.0068
0.0009
1.0441
1.0510
מרוקו
1.0375
-0.0143
0.0682
0.9779
1.0157
מיינמאר
0.9977
0.0064
-0.0121
1.0287
1.0265
נפאל
0.9971
0.0084
0.0123
1.0017
0.9987
הולנד
1.0200
-0.0221
0.0314
0.9721
0.9923
ניו-זלנד
1.0124
-0.0145
-0.0153
1.0353
1.0479
ניגריה
1.0111
-0.0115
0.0057
1.0138
1.0252
נורבגיה
1.0131
-0.0119
0.0073
1.0196
1.0330
פיליפינים
1.0117
-0.0152
0.0193
1.0026
1.0147
פורטוגל
1.0139
-0.0134
0.0036
1.0182
1.0324
סינגפור
1.0377
-0.0362
0.0176
0.9911
1.0291
דרום אפריקה
1.0155
-0.0181
0.0018
1.0121
1.0278
ספרד
1.0189
-0.0203
0.0278
0.9800
0.9991
סרי-לנקה
1.0083
-0.0073
-0.0082
1.0253
1.0338
שבדיה
1.0190
-0.0204
0.0385
0.9663
0.9854
כלכלה דינמית /בן תמרי
55
שוויץ
1.0301
-0.0360
0.0740
0.9095
0.9395
תורכיה
1.0062
-0.0042
0.0049
1.0406
1.0471
אנגליה
1.0054
-0.0033
0.0054
1.0243
1.0299
ארה"ב
1.0143
-0.0151
-0.0136
1.0300
1.0446
ונצואלה
1.0099
-0.0110
0.0131
1.0147
1.0249
ממוצע
1.0147
-0.0132
0.0159
0.9966
1.0114
המקור :עיבודים עצמיים מנתוני .IFSY 1993
ציור -5ב :התפלגות היעקוביאן )(J=|A|=ad-bc
ציר – Xהיעקוביאן
ציר – Yמספר ארצות
30
25
20
15
10
5
0
.091
.041
.99 0
.94 0
.89 0
.84 0
.79 0
56
בן תמרי/ כלכלה דינמית
מקורות5.3
ספרים ומאמרים
. ספריית פועלים,"דויד- חותם שלמה ומגן, "חתך הזהב,1990 ,מיכאל קוסטא
108 "מחזוריות ומחירים בענף הדיור" רבעון לכלכלה,1981 ,אפרים תמרי
. ישראל, הוצאת אקומטריה," "יסודות הכלכלה, 1991 ,בן תמרי
Almgren, F.J., (1966) "Plateau's Problem", Benjamin Inc.
Arrowsmith, D.K., and Place, C.M., (1990) "An introduction to Dynamical Systems",
Cambridge University Press.
Aumann, R.J., (1964) "Markets with a continuum of traders "Econometrica Vol. 32, No. 1-2.
Barnett, W.A., Geweke, J. and Shell, K., (1989)"Economic Complexity: Chaos, Sunspots,
Bubbles, and Nonlinearity", Cambridge University Press.
Baumol, W.J. and Benhabib, J., (1989) "Chaos: Significance ,Mechanism, and Economic
Applications", The Journal of Economic Perspectives, A.E.A.
Bell, E.T., (1946) "The Magic of Numbers", Dover 1974, N.Y..
Boldrin, M. and Woodford, M., (1990) "Equilibrium Models Displaying Endogenous
Fluctuations and Chaos, A Survey" Journal of Monetary Economics 25, Elsevier Science
Publishers B.V. North-Holland.
Boyer, C.B. Revised by Merzbach, U.C., (1991 2ed) "A History of Mathemathics", John Wiley
and Sons.
Brock, W.A. and Sayers, C.L., (1988) "Is The Business Cycle Characterized by Deterministic
Chaos?", Journal of Monetary Economics, 22, 71-90 North-Holland.
Brock, W.A., Hsieh, D.A. and Lebaron, B., (1991) "Nonlinear Dynamics, Chaos, and
Instability: Statistical Theory and Economic Evidence", The M.I.T. Press.
Capra, F., (1976) "The Tao of Physics", Bantam Book.
Casdagli, M., Jardins, D., Eubank, S., Farmer, D., Gibson ,J. and Theiler, J., (1992)
"Nonlinear Modeling of Chaotic Time Series: Theory and Applications", in Kim, J.H. and
Stringer, J., "Applied Chaos", John Wiley & Sons Inc.
Cvitanovic, P., editor, (1989, 2ed.) "Universality in Chaos", Adam Hilger.
Day, R.H., (1982) "Irregular Growth Cycles", American Economic Review, 72. 406-414.
do Carmo, M.P., (1976) "Differential Geometry of Curves and Surfaces", Prentice-Hall.
Field, M. and Golubitsky, M., (1992) "Symmetry in Chaos ,"Oxford University Press.
Fomenko, A.T., (1990) "The Plateau Problem", Gordon and Breach Science Publishers.
Fomenko, A.T. and Tuzhilin, A.A., (1991) "Elements of the Geometry and Topology of Minimal
Surfaces in Three-Dimensional Space", American Mathematical Society.
Franklin, J., (Apr. 1983) "Mathematical Methods of Economics", The American Mathematical
Monthly. vol. 90 no. 4.
Friedrichs, K.O., (1965) "From Pythagoras to Einstien", The Mathematical Association of
America.
Georgescue-Roegen, N., (1971) "The Entropy Law and the Economic Process", Cambridge,
Mass., Harvard University Press.
Goodwin, R.M., (1990) "Chaotic Economic Dynamics ,"Clarendon Press, Oxford.
Green, P.E. and Carroll, J.D., (1976) "Mathematical Tools For Applied Multivariant Analysis",
Academic Press, N.Y.
57
בן תמרי/ כלכלה דינמית
Greene, J.M., (June 1979) "A Method for Determining a Stochastic Transition", J. Math. Phys.
20(6). American Institute of Physics.
Heisenberg, W., (1952) "Philosophic Problems of Quantum Physics", Reprint 1979 Ox Bow
Press.
Hilbert, D. and Cohn-Vossen, H., (1990) "Geometry and the Imagination", Chelsea, N.Y..
Hildenbrandt, S. and Tromba, A., (1985) "Mathematics and Optimal Form", Scientific
American Library, N.Y..
Hogben, L., (1960) "Mathematics in the Making", Macdonald ,London.
Holden, A.V., editor, (1986) "Chaos", Princeton University Press.
I.F.S.Y., (1993), "International Financial Statistic Yearbook "I.M.F.
Keynes, J.M., (1936) "The General Theory of Employment ,Interest and Money", London,
Macmillan.
Kline, M., (1972), "Mathematical Thought from Ancient to Modern Times", Oxford University
Press.
Kocak, H., (1986) (include software, Phaser" )Differential and Difference Equations through
Computer Experiments", Springer-Verlag.
Kramer, E.E., (1970) "The Nature and Growth of Modern Mathematics", Princton University
Press.
Lanczos, C., (1970) "Space Through the Ages: The Evolution of Geometrical Ideas from
Pythagoras to Hilbert and Einstein", Academic Press.
Logan, D., (1977) "Invariant Variational Principles ,"Academic Press.
Medio, A. in Collaboration with Gallo, G., (1992) (include software, DMC),Chaotic Dynamics,
Theory and Applications to Economics", Cambridge University Press.
Morgan, F., (1993) "Riemannian Geometry: A Beginner's guide", Jones and Bartlett
Publishers, Boston, London.
Mullineux, A.W. and Dickinson, D.G., (1992) "Equilibrium Business Cycles: Theory and
Evidence", Journal of Economic Surveys Vol. 6, No. 4. Basil Blackwell Ltd.
Mullineux, A.W. and Peng, W., (1993) "Nonlinear Business Cycle Modelling", Journal of
Economic Surveys Vol. 7, No. 1. Basil Blackwell Ltd.
Osserman, R., (1986) "A Survey of Minimal Surfaces ,"Dover.
Peters, E., (1991) "Chaos and Order in the Capital Markets ,"Wiley and Sons, inc.
Prigogine, I., (1980) "From Being to Becomming", Freeman and Company, San Francisco.
Puu, T., (1991) "Nonlinear Economic Dynamics", 2ed .Springer-Verlag.
Rosser, J.B., (1991) "From Catastrophe to Chaos: A General Theory of Economic
Discontinuities", Kluwer Academic Publishers.
Rossler, O.E., (1992) "The Future of Chaos", in Applied Chaos. Ed. Kim, J.H. and Stringer, J.
John Wiley & Sons, Inc.
Ruelle, P., (1989) "Chaotic Evolution and Strange attractores ,"Cambridge University Press.
Ryan, P.J., (1986) "Euclidean and Non-Euclidean Geometry ,"Cambridge University Press.
Sato, R. and Ramachandran, R.V., editors, (1990)" Conservation Laws and Symmetry:
Applications to Economics and Finance", Kluer Academic Publishers.
Shubnikov, A.V. and Koptsik, V.A., (1974) "Symmetry in Science and Art", Plenum Press, N.Y.
Snapper, E. and Troyer, J.R., (1971) "Metric Affine Geometry", Dover.
Stewart, I. and Golubitsky, M., (1992) "Fearful Symmetry: Is God a Geometer?", Blackwell.
Theocharis, R.D., (1961) "Early Developments in Mathematical Economics", London,
MacMillan & Co Ltd.
בן תמרי/ כלכלה דינמית
58
Wegner, T. and Peterson, M., (1991) (include software ,Fractint.®" )Fractal Creations", Waite
Group Press.
Walras, L., (1954), "Elements of Pure Economics", Trans .Jaffe Allen and Unwin, London.
Weyl, H., (1952) "Symmetry", Princton, New Jersey.
Zarnowitz, V., (1992) "Business Cycles; Theory, History ,Indicators and Forecasting", The
University of Chicago Press.
תוכנות
DMC®, (1992) "Dynamic Model Cruncher", Medio, A. in Collaboration with Gallo, G. "Chaotic
Dynamics, Theory and Applications to Economics", Cambridge University Press.
Fractint®, (1991), Wegner and Peterson, "Fractal Creations ,"Waite Group Press.
Graftool®, (1990) ver 3.3, "Graphical Analysis System", 3-D V.C.
Phaser®, Kocak, H. (1986) "Differential and Difference Equations through Computer
Experiments", Springer-Verlag.
MicroTSP®, ver.7. (1990) "QMS Quantitative Micro Software", Irvine, California.
www.bentamari.com/ecometry
© Copyright 2024