Document
חוברת מבחני מחצית י' "נוער מוכשר במתמטיקה" ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ מבחן מחצית י' -תשס"ז-מועד א' חומר עזר מותר בשימוש :מחשבון (לא גרפי ,ושאינו ניתן לתכנות) ,דפי נוסחאות מצורפים. משך המבחן :חלק א' -שעתיים. פרק :1שאלון .000 עליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות .1-2 .1א .נתונה הפונקציהf(x)= m2 x 2 - 2mx + 2 : ( - mפרמטר) .הוכח כי ) f(xאינה חותכת את ציר ה. x - ב .נתונה הפונקציה: 1 - 2m x 2 - m+ 2 x +1 - 2m = . g xעבור אילו ערכי ,mגרף m2 x 2 - 2mx + 2 הפונקציה ) g ( xנמצא כולו מתחת לציר ה? x - .2א - an .סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת ,אשר סכומה הוא . 5,212.7 סכומם של שני האיברים הראשונים בסדרה הוא 5,777והאיבר השישי בה ,קטן מ.7 - מצא את האיבר השלישי בסדרה. ב .מגדירים סדרה חדשה ע"י הנוסחה ( bn = an :סדרת anהיא הסדרה הנתונה בסעיף א'). חשב את היחס בין סכום הסדרה , bnלסכום הסדרה . an עליך לפתור שאלה אחת מתוך השאלות .3-4 .9 D נתון מעגל BD . Oקוטר ו AC -מיתר במעגל הנתון. נקודת מפגש BDו AC -היא הנקודה . M א .הוכחCM MA= OC +OM OA - OM : CM 5 ב .נתון כי : MA 2 COD COA , 6 ,סמ"ר O . SOAM A חשב את SABM M B - 93 - C חוברת מבחני מחצית י' "נוער מוכשר במתמטיקה" ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ .0יבואן מכוניות ערך סקר בקרב 2,777בעלי רכב 1,077 .מהנשאלים בסקר היו נשואים והשאר רווקים. 1,177מהנשאלים העדיפו מכונית משפחתית והשאר מכונית ספורטיבית .לתדהמת עורכי הסקר הסתבר כי לא קיים קשר סטטיסטי בין מצבו המשפחתי של הנשאל לבין העדפותיו בנושא סוג המכונית. א .בנה טבלת פרופורציה דו-ממדית המשקפת את הנתונים. סמן מאורעות בטבלה -A :קבוצת הנשאלים הנשואים. -Bקבוצת הנשאלים המעדיפים מכונית משפחתית. ב .חשב את השכיחויות הבאות והסבר אותן מילולית. .1 B .P A B .2 .N A ג .יבואן המכוניות ביקש כי יעשו סקר נוסף בין הרווקים בלבד ,לראות מי בסופו של דבר קנה מכונית לפי העדפותיו ומי לא קנה את המכונית שהעדיף. התבררו הנתונים הבאים 37% :רווקים קנו את המכונית המועדפת עליהם. היחס בין פרופורציית הרווקים המעדיפים מכונית משפחתית מתוך הרווקים שקנו המכונית המועדפת עליהם ,לבין פרופורציית הרווקים המעדיפים מכונית משפחתית מתוך הרווקים שלא קנו 10 את המכונית המועדפת עליהם הוא 9 מצא את פרופורציית הרווקים שקנו את המכונית המועדפת עליהם מתוך הרווקים שהעדיפו מכונית משפחתית. . פרק :2שאלון .000 D עליך לפתור שתי שאלות מתוך שאלות .0-0 .7 C בתיבה ' ABCDA ' B ' C ' D A ΑΑ' = w , ΑD = v , ΑΒ = u נתון : 8 , u =1 = v x = u +tv - 41 w הווקטור x .6 B יוצר זוויות שוות עם הווקטוריםוA w AC -B C D א. חשב את . t ב. הוכח כי אם AD ג. חשב את הזווית שבין הווקטור xלווקטור . AC xאז. v = w : x3 + 2x 2 - x +1 המשיק לפונקציה x +1 v A u B y = f xבנקודת החיתוך שלה עם ציר , yחותך את ציר ה x -בנקודה . B הישר BCאנך לציר ה x -וחותך את f xבנקודה . C חשב את השטח המוגבל ע"י f xוהישרים ABו. BC - C - 07 - x B A חוברת מבחני מחצית י' "נוער מוכשר במתמטיקה" ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ .5 המשוואות של שניים מגבהי משולש הן x + 3y = 16 :ו . y = x + 2 -אחד מקודקודי המשולש נמצא בנקודה )(5, 3 א. מצא את שני הקודקודים האחרים של המשולש. ב. הוכח כי אחד מהגבהים הנתונים הוא גם חוצה זווית. ג. חשב את גודל הזווית הנחצית. פרק :3שאלון .000 משך המבחן שעה ושלושת רבעי. עליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות 8-9. .2 הוכח באינדוקציה (או בכל בדרך אחרת) כי לכל nטבעי מתקיים: 1 5n 7 5n1 13 5n2 ... (1)n1 (6n 5)51 (1) n15n .3שלושה ספורטאים יצאו לדרך מאותו המקום ולאותו כיוון .הספורטאי הראשון הלך במהירות של 6 קמ"ש .רבע שעה אחריו ,יצא הספורטאי השני במהירות 2קמ"ש .חמש דקות מאוחר יותר יצא גם הספורטאי השלישי .הספורטאי השלישי השיג את הספורטאי השני ולאחר 17דקות נוספות (מרגע שחלף על פני הספורטאי השני) השיג גם את הראשון. מצא את מהירות הספורטאי השלישי. עליך לפתור שתי שאלות מתוך שאלות .10-12 B .17 במשולש שווה שוקיים ) BA BC ( ABCחסום מעגל . O זווית הבסיס של המשולש היא . k D Dהיא נקודת החיתוך בין המעגל ל. BO - R נסמן . BD k : O א .הבע את רדיוס המעגל באמצעות kו. - ב .הבע את ACבאמצעות kו. - ג .נתון כי , DO kהבע באמצעות kאת רדיוס המעגל החוסם A C את משולש , ABCניתן גם להסביר את התשובה באופן גיאומטרי. .11 הנקודה Cנמצאת על מעגל שמרכזו בנקודה A B והרדיוס שלו הוא . Rגודל זווית . BAD 300 ABניצב ל BC -ו AD -ניצב ל ( CD -ראה ציור ). מצא את השטח המקסימלי של המרובע א. ב. ABCDהנוצר באופן זה. מצא את השטח המינימלי של המרובע ABCDהנוצר באופן זה. - 01 - C 30 D R A חוברת מבחני מחצית י' "נוער מוכשר במתמטיקה" ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ .12 2x נתונה הפונקציה 2 3 2 x . f ( x) הנקודות Aו C -הן נקודות הקיצון של הפונקציה. (נסמן ב A -את נקודת הקיצון המקסימלית ,וב C -את נקודת הקיצון המינימלית) מהנקודה Aנעביר ישר המקביל לציר ה ,y -ומהנקודה Cנעביר ישר המקביל לציר ה. x - שני הישרים נחתכים בנקודה . B מצא את השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה והישרים ABו. BC - בהצלחה ! פתרונות סופיים למחצית י' – תשס"ז – מועד א' .1 .2 .9 .0 1 3 ב1.7 . א957 . א .הוכחה ב 2.0 .סמ"ר m 1 A א. A 0.55 0.165 0.385 B 0.45 0.135 0.315 B 0.3 0.7 .7 1 א. 4 .6 1 3ln1.5 12 .5 אB(10,12) C (5, 7) . .2 3. .17 הוכחה 17או 12קמ"ש .11 .12 t ב .הוכחה P( A B) 0.385 10 ג. ב. N ( A B) 1730 11 1 ג450 . 1 k cos א. 1 cos R ב .הוכחה ג53.130 . )2k (cos 1 ב. ) tan (1 cos AC 3R 2 R2 ב. א. 8 4 7.27 - 02 - ג2k . חוברת מבחני מחצית י' "נוער מוכשר במתמטיקה" ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ מבחן מחצית י' -תשס"ז-מועד ב' חומר עזר מותר בשימוש :מחשבון (לא גרפי ,ושאינו ניתן לתכנות) ,דפי נוסחאות מצורפים. משך המבחן :חלק א' -שעתיים. פרק :1שאלון .000 עליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות .1-2 m+2 1 x+ .1נתונה הפרבולה : m-4 m f(x) = mx 2 + א .עבור אילו ערכי mהפרבולה חיובית לכל ? x ב .עבור אילו ערכי mלפרבולה שתי נקודות חיתוך עם ציר xמימין לראשית הצירים ? .2סדרה מוגדרת על ידי כלל הנסיגה הבא . an+1 = an + 2n + 1 :מגדירים סדרה על ידי 2 n . bn = an + 2 - nנתון כי הסדרה bnהינה סדרה הנדסית שמנתה .2 א .מצא את הנוסחה לאיבר הכללי של הסדרה . an ב .מצא את הנוסחה לסכום nהאיברים הראשונים של הסדרה . bn ג .מצא את nעבורו שלושת האיברים הבאים מהווים סדרה הנדסית . b2 n , bn2 , a2n : עליך לפתור שאלה אחת מתוך השאלות .3-4 ABCD .9מקבילית .הנקודות F , Eו G -הן על צלעות המקבילית. הנקודה Oהיא מפגש הישרים BDו. EF - נתוןEF AD , GO AB : D הוכח :א. GC OF . בDOF . ג. OGC =S A F . OBG DOE S C - 09 - E O G B חוברת מבחני מחצית י' "נוער מוכשר במתמטיקה" ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ .0מומחה למתכות מזהה את החומר ממנו עשוי תכשיט ע"י התבוננות בלבד. א. הוצגו לפני המומחה 27טבעות 12 .טבעות עשויות זהב טהור ו 2-מזויפות .מתוך 12הטבעות שעשויות זהב טהור המומחה אמר על 17טבעות שהן שעשויות זהב טהור .מתוך 2טבעות מזויפות המומחה אמר על טבעת אחת שהיא עשויה זהב טהור. מהי הדיאגנוסטיות של קבוצת הטבעות שהמומחה אמר עליהן שהן עשויות זהב טהור ? ב. ידוע שההסתברות כי טבעת שנבחרה באקראי עשויה זהב טהור אם המומחה אמר שהיא כזו היא .62.7% מהי פרופורציית הטבעות העשויות זהב טהור? (שימו לב – דיאגנוסטיות קבוצת הטבעות שהמומחה אמר עליהן שהן עשויות זהב טהור ,נשמרת) פרק :2שאלון .000 עליך לפתור שתי שאלות מתוך שאלות .0-0 .7 C D נתונה קובייה . ABCDA B C D F הנקודות Eו F -הן בהתאמה אמצעי המקצועות BCו. B ' C ' - B הנקודה Nמקיימת EN = tEF נסמן. AA' = w , AD = v , AB = u : A C N א .הבע באמצעות w , v , uו t -את ' ACו. AN - D w E ב .הבע באמצעות tאת ' . cos NAC ג .חשב את ערך tעבורו ' NAC היא מינימלית. ד .חשב את ' NACהמינימלית. .6 נתונות הפונקציות: 2 , f x = a - e-x -2x v B (a 0) . g x = b + e האסימפטוטה האופקית של f xהיא . y 1 האסימפטוטה האופקית של g xהיא ציר ה.x- א .מצא את הפרמטרים aו. b - ב .מצא את נקודת הקיצון של . f x ג .מצא את נקודת החיתוך בין שני הגרפים ד .שרטט סקיצה של שני הגרפים באותה במערכת צירים. ה .חשב את השטח המוגבל על-ידי שני הגרפים של הפונקציות ועל-ידי ציר ה. y - - 00 - u A חוברת מבחני מחצית י' "נוער מוכשר במתמטיקה" ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ .5קודקודי הבסיס של טרפז שווה שוקיים , ( AB CD , AD BC ) ABCDנמצאים בנקודות A (6,10) :ו . B (14, 6) -הבסיס CDנמצא על ישר שהמשכו עובר דרך הנקודה ). (2,9 א .מצא את שני הקודקודים האחרים אם נתון ששטחו של הטרפז הוא .77 ב .מצא את משוואת המעגל החוסם את הטרפז. פרק :3שאלון .000 משך המבחן שעה ושלושת רבעי. עליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות .8-9 .2 הוכח באמצעות אינדוקציה מתמטית כי לכל nטבעי מתקיים: 2 n ... 3 2 1 n3 ... 33 23 13 .3המרחק בין אוניברסיטת בר-אילן לאוניברסיטת חיפה הוא 127ק"מ .בשעה 2בבוקר יוצא אברהם בהליכה מאוניברסיטת בר-אילן לכיוון אוניברסיטת חיפה .בשעה 17בבוקר יוצא בנימין בהליכה מאוניברסיטת חיפה לכיוון אוניברסיטת בר-אילן .בנימין הולך במהירות הגדולה ב 1-קמ"ש מזו של אברהם. באיזה שעה יפגשו שני הסטודנטים אם ידוע כי המפגש מתרחש בדיוק באמצע הדרך ? עליך לפתור שתי שאלות מתוך שאלות .10-12 .17 במשולש ABCסכום אורכי הצלעות ABו AC -הוא גודל קבוע . k צלע ABמשיקה למעגל Oשרדיוסו Rבנקודה . Aקודקוד Cנמצא על המעגל. AB מה צריך להיות היחס AC כדי ששטח המשולש ABCיהיה מקסימלי ? A R B O C - 07 - חוברת מבחני מחצית י' "נוער מוכשר במתמטיקה" ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ נתונה הפונקציה f x = 2cos x - sin 2x :בתחום . 0 x : 2 .11 א. ב. ג. ד. ה. ו. .12 מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה. מצא את תחומי העלייה ותחומי הירידה של הפונקציה. מצא את נקודות הפיתול של הפונקציה. מצא את התחומים בהם הפונקציה קעורה כלפי מעלה והתחומים בהם קעורה כלפי מטה . שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. הגרפים של הפונקציות k 0 , f ( x) k 5 xו g ( x) x3 -נפגשים בראשית הצירים O ובנקודה . Aנסמן את השטח הכלוא בין הפונקציה ) f ( xובין הישר AOב , S1 -ואת השטח הכלוא בין הפונקציה ) g ( xוישר AOב( . S 2 -ראה שרטוט) א .חשב את יחס השטחים . S1 : S2 ב .מסובבים את השטח שכלוא בין הגרפים של ) f ( xושל ) g ( xסביב ציר ה . x -הבע באמצעות k את נפח גוף הסיבוב הנוצר בדרך זו. y A S1 S2 O x בהצלחה ! - 06 - חוברת מבחני מחצית י' "נוער מוכשר במתמטיקה" ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ פתרונות סופיים למחצית י' – תשס"ז – מועד ב' .1 .2 .9 .0 א0 m 2 m 10 . ב2 m 4 . בSbn 2n1 2 . אan n 2 . גn 2 . הוכחות 2 א. 3 6 1 ב. 5 .7 1 אAC ' u v w , AN u v tw . 2 .6 .5 אa 1 , b 0 . .2 .3 17. .11 ב(0, 0) min . אC (14,1) , D(2, 7) . 725 ב. 16 ב. 3 2t 15 12t 2 ג(ln 2, 0.25) . 5 ג. 6 ה1 ln 2 . ( x 7.75) 2 ( y 3.5) 2 הוכחה יפגשו ב27:77- 7.7 3 7 א (0, 2) ( , 0) ( , 0) .ב( , 0.414) min ( , 2.414) max . 8 8 2 4 3 7 ג .עליה x 8 8 7 3 ירידה x , 0 x 8 8 1 5 ד( ,1) ( ,1) . 8 8 5 1 1 5 ה .כלפי מעלה x כלפי מטה x , 0 x 8 8 8 8 .12 2 א. 3 5 7 בk . 14 - 05 - חוברת מבחני מחצית י' "נוער מוכשר במתמטיקה" ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ מבחן מחצית י'-תשס"ח-מועד א' חומר עזר מותר בשימוש :מחשבון (לא גרפי ושאינו ניתן לתכנות) ,דפי נוסחאות מצורפים. משך המבחן :חלק א' -שעתיים. נוסחאות בהסתברות הסתברות מותנית: )P( A B )P( B נוסחת בייס ליחסים : P( A / B) נוסחת בייס: )P( B / A) P( A )P( B R )P( A | B) P( B | A) P( A R R 1 )P( A | B) P( B | A) P( A P( A / B) P( A | B) פרק :1שאלון 000 אלגברה וסדרות :עליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות 1-2 .1נתונה המשוואה. m( x 2 -1) - x(2 x - 3) -1 0 : א .עבור אילו ערכי mיש למשוואה הנתונה שני שורשים ממשיים שונים? ב .מצא את פתרונות המשוואה והראה שאחד מהם אינו תלוי בערכו של . m ג .עבור אילו ערכי mפתרון המשוואה התלוי ב , m -גדול מהפתרון הקבוע שמצאת בסעיף ב'? .2מספרים סודרו במשולש בצורה הבאה: בשורה הראשונה נמצא איבר אחד ,בשנייה נמצאים שני איברים, בשלישית -שלושה וכו'. בשורה ה- n -ית n -איברים .השורות מהוות (החל מהשלישית) סדרות חשבוניות. 1 15 9 3 4 12 20 28 5 15 25 35 45 א .שים לב למבנה השורות (לאיבר הראשון ,להפרש הסדרה, למספר איבריה) וכתוב נוסחה לאיבר האחרון בשורה ה- n -ית. 6 18 30 42 54 66 ב .חשב את סכום האיברים בשורה ה- n -ית. גיאומטריה והסתברות :עליך לפתור שאלה אחת מתוך השאלות 3-0 .9משולש ABCחסום במעגל. חוצה הזווית BAC 6 2 A חותך את המעגל בנקודה D ואת הצלע BCבנקודה . Fמנקודה Dהורד אנך על הצלע BCהחותך אותה בנקודה . E נתון כיAC : AB 3:5 : E F B C - 02D חוברת מבחני מחצית י' "נוער מוכשר במתמטיקה" ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ א .הוכח כי. BC 8 EF : ב .נתון כי 17 :ס"מ 16 , AF ס"מ . AD חשב את אורך הצלע . FC ג .חשב את שטח משולש DFC (בתשובתך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית). שאלה בהסתברות קלאסית .0 בקונדיטוריית "עוגתי" 7.5מהעוגות מכילות קמח .אם בוחרים באקראי עוגה מבין העוגות המכילות קמח, 5 ההסתברות שהעוגה מכילה סוכר היא 7 כמו כן ,ידוע של 7.30 -מהעוגות בקונדיטוריה זו ישנה לפחות אחת משתי התכונות :מכילה קמח ,מכילה סוכר. . א .בוחרים עוגה באופן אקראי ,מה ההסתברות שהעוגה מכילה סוכר? ב .מבין העוגות המכילות סוכר בוחרים 7עוגות .מה ההסתברות שלפחות 0עוגות לא יכילו קמח? ג .ידוע כי אם בוחרים 7עוגות המכילות סוכר ,יש לפחות 0עוגות שאינן מכילות קמח. מה ההסתברות שכל העוגות אינן מכילות קמח? .7שאלה בהסתברות בחיי היום יום בסקר שנערך בקרב חיילים בדקו את הטענה שיש קשר בין שירות קרבי לבין סוג מקום מגורים: ערים לעומת מושבים וקיבוצים .בסקר התברר ש 07%-מבין הנבדקים הם מהמושבים והקיבוצים. כמו כן ,התברר שמבין החיילים מהמושבים והקיבוצים 57%משרתים בשירות קרבי ,ופרופורציית החיילים מהערים שאינם עושים שירות קרבי הוא . 7.02 נסמן: - Aקבוצת החיילים מהמושבים והקיבוצים. - Bקבוצת החיילים המשרתים בשירות קרבי. א .מהו אחוז החיילים המשרתים בשירות קרבי? ב .הוכח שיש קשר סטטיסטי בין שירות קרבי לבין מקום המגורים. ג .אחרי פרסום הסקר עלתה הטענה ,כי הסיבה לקשר היא שיותר חיילים מהמושבים והקיבוצים שבסקר עברו בתיכון קורס הכנה קרבית. התבונן בטבלה שלפניך ,השלם את הנתונים ,ובדוק האם יש קשר סיבתי בין שירות קרבי לבין מקום המגורים. נמק! - 03 - חוברת מבחני מחצית י' "נוער מוכשר במתמטיקה" ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ עברו קורס מושבים ערים וקיבוצים 7.27 שירות קרבי 7.12 שירות שאינו קרבי לא עברו קורס מושבים ערים וקיבוצים 7.76 7.72 פרק :2שאלון 000 וקטורים ,פונ' מעריכיות ולוגריתמיות ואנליטית :עליך לפתור שתי שאלות מתוך שאלות 0-8 .6בפירמידה משולשת ( ABCDראה ציור) הנקודה Pנמצאת על הישר שעליו מונחת הצלע . BC נסמן. AB u , AC v , AD w : D BP t BC נתון: . BAD 120 , BAC CAD 60 .u v w C א .עבור איזה ערך של , tהזווית בין APל AD -שווה לזווית בין APל. AC - A ב .מהו מיקומה של הנקודה Pביחס לנקודות ? C , B ג .בהסתמך על ה t -שמצאת בסעיף א' ובהינתן כי שטח המשולש APDהוא , 27 B מצא את אורך . AD x .5 1 22 . ( a 1) y x נתונה הפונקציה : 2 a א .השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,הצירים והישר x log 2 aמסתובב סביב ציר ה. X - נסמן את נפח הגוף המתקבל בדרך זו ב. V1 - השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,הישר , x log 2 aוהישר , x log 2 3aמסתובב סביב ציר ה . X -נסמן את נפח הגוף המתקבל בדרך זו ב. V2 - מצא את aאם נתון כי V2 2 V1 1 3 x ב .פתור את המשוואה: 4 הערה :אין קשר בין הסעיפים. x log2 x - 77 - חוברת מבחני מחצית י' "נוער מוכשר במתמטיקה" ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ .2 שיעורי הנקודות Aו B -הם . B ( 2,0) , A(a,0) :הנקודה Oהיא ראשית הצירים. נתון שהמקום הגיאומטרי של כל הנקודות , Pשעבורן POהוא חוצה הזווית , APB הוא מעגל שמרכזו ). (3,0 מצא את aואת רדיוס המעגל. פרק :3שאלון 000 משך המבחן :שעה ושלושת רבעי. אינדוקציה ובעיית תנועה :עליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות 9-10 .3 א. הוכח באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי לכל nטבעי מתקיים: (2n 1) (2n 3) (2n 5) ... (4n 3) 3n 2 8n 4 ב .הסדרה a nמוגדרת לכל nטבעי לפי: an 40n 48 bn כאשר ). bn (2n 1) (2n 3) (2n 5) ... (4n 3 כמה איברים חיוביים יש בסדרה ? a nנמק. .17שני אנשים יצאו בו זמנית זה לקראת זה .האחד מ A -והשני מ . B -הם נפגשו במרחק 67מ' מB - והמשיכו בדרכם .הראשון הגיע ל , B -והשני הגיע ל . A -מיד עם הגיעם הסתובבו וחזרו לנקודת מוצאם. בדרכם חזרה נפגשו שנית במרחק 27מ' מ . A -חשב את המרחק מ A -ל B -אם ידוע כי מהירותם לא השתנתה במהלך הליכתם. טריגונומטריה ,דיפרנציאלי ואינטגרלי :עליך לפתור שתי שאלות מתוך שאלות 11-13 .11במשולש שווה שוקיים A ( PM PN ) PMNהיא נקודה על הגובה , PB 1 כך ש PB : 4 P D . PA הישר NAחותך את השוק PMבנקודה . D נתון כיDNB : DMN , A ו. BN a - א .חשב את היחס . tg : tg ב .הבע באמצעות , , aאת . DM N ג .חשב את היחס . PM : DM - 71 - B M חוברת מבחני מחצית י' "נוער מוכשר במתמטיקה" ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ .12 sin x נתונה הפונקציה cos2 x y בתחום 2 x 2 . א .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים ,נקודות הקיצון (אם ישנן) ואת האסימפטוטות האנכיות בתחום הנתון. ב .חשב את השטח המוגבל על ידי הפונקציה ,הצירים והישר 3 .19נתונה הפונקציה 3x b xx .x . (b 0) f ( x) מעבירים משיק לפונקציה בנקודה . x 9 א .הבע באמצעות ( bאם יש צורך) את האסימפטוטות המקבילות לצירים ואת משוואת המשיק. משיק זה חותך את האסימפטוטה האנכית לציר ה x -בנקודה שבה שיעור ה y -הוא . 14 ב .מצא את . b ג .מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. ד .הראה שהפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה. ה .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. בהצלחה!!! - 72 - חוברת מבחני מחצית י' "נוער מוכשר במתמטיקה" ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ פתרונות סופיים למחצית י' – תשס"ח – מועד א' 1 1 m 1 1,ג m 2 . .1א m , 2 .ב. 2 2m 2 .2אan 2n 2 n . בsn n 3 . .3א .הוכחה ב0 . ג10.90 . 0.35 ( .4קלאסית) א 0.04 .ב 0.041 .ג 0.06 . 0.041 ( .0יום יום) א 0.42 .ב .הוכחה ג. לא עברו קורס עברו קורס מושבים וקיבוצים ערים מושבים וקיבוצים ערים 0.20 0.00 0.00 0.00 שירות שאינו קרבי 0.02 0.18 0.08 0.3 שירות קרבי 0.25 25 0.27 27 0.05 0.38 0.13 P( B / A) P( B / A) מסקנה :יש קשר סיבתי ביניהם .0א t=2 .ב .מחוץ למשולש מהצד של cג12 . 5 .0א. 3 . a בx=4,2 . .8תשובהR=3 , a=-6 : .9א .הוכחה ב0 . 100 .10מ' .11א0.00 . 2a sin ב. ) sin( ג0/0 . .12א .חיתוך עם הצירים ) , (0,0אין נקודות קיצון .אסימפטוטות אנכיות הן הגבולות אך לא בתחום. ב1 . 4.5b 9 .13א , y 3, x b 2 .משיק: ( x 9) 2 )(3b 9 b3 ד .הוכחה - 79 - y ב. b=2 . גx 4,0 x 4 . חוברת מבחני מחצית י' "נוער מוכשר במתמטיקה" ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ מבחן מחצית י' -תשס"ח-מועד ב' חומר עזר מותר בשימוש :מחשבון (לא גרפי ,ושאינו ניתן לתכנות) ,דפי נוסחאות מצורפים. משך המבחן :חלק א' -שעתיים. נוסחאות בהסתברות : הסתברות מותנית: )P( A B )P( B נוסחת בייס ליחסים : P( A / B) נוסחת בייס: )P( B / A) P( A )P( B R )P( A | B) P( B | A) P( A R R 1 )P( A | B) P( B | A) P( A P( A / B) P( A | B) פרק :1שאלון .000 עליך לפתור שאלה אחת מתוך השאלות .1-2 x m2 1 .1נתונה המשוואה : m m . x א .פתור את המשוואה ( הבע את xבאמצעות ) m ב .עבור איזה ערך של mאין פתרון למשוואה? ג .עבור איזה ערך של mיש למשוואה אינסוף פתרונות? ד .עבור אילו ערכים של mיהיה פתרון המשוואה מספר שגדול מן המספר ההפכי לו? .2א .נתונה סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת anשסכומה .0יוצרים סדרה חדשה ע"י חיבור כל שני איברים סמוכים . (a1 a2 ) , (a2 a3 ) , (a3 a4 ) ... .1הוכח כי הסדרה החדשה היא סדרה הנדסית שסכומה מתכנס. .2מצא את האיבר הראשון והמנה של הסדרה החדשה אם נתון שסכומה הוא .9 ב .מגדירים סדרה חדשה ע"י הנוסחה( bn (1) an :הסדרה anהיא הסדרה המקורית הנתונה n מסעיף א') .מצא את ההפרש בין סכומי הסדרותS a - Sb : עליך לפתור שאלה אחת מתוך השאלות .3-0 B C .9 בטרפז ABCD AD BCהאלכסונים נחתכים בנקודה . O O הנקודה Eעל הבסיס . AD CO 1 נתון DC EO :ו - OA 3 . D - 70 - E A חוברת מבחני מחצית י' "נוער מוכשר במתמטיקה" ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ א. מצא את יחס השטחים ב. מצא את יחס השטחים S ΔABD ΔBCD ΔABD ΔAEO S S S הסתברות קלאסית .0במחצית מהדירות בבניין רב קומות ,גרות משפחות עם 9ילדים .ב 97% -מהדירות גרות משפחות עם 2 ילדים ובכל הדירות האחרות גרות משפחות עם ילד אחד. ל 67%-מהמשפחות עם 9ילדים יש מכונית. ל 27% -מהמשפחות עם 2ילדים יש מכונית. ל 07% -מהמשפחות עם ילד אחד יש מכונית. א .בוחרים באקראי משפחה .מה ההסתברות שלמשפחה יש מכונית? ב .בוחרים משפחה שיש לה מכונית ,מה ההסתברות שלמשפחה זו שני ילדים? ג .בוחרים משפחה שאין לה רכב ,מה ההסתברות שלמשפחה זו שני ילדים? הסתברות בחיי היום-יום .7לאחר מחקר ארוך ומעמיק על הרגלי התזונה של קופי השימפנזים ,סיכם החוקר המהולל את מחקרו בסיכום הבא: 57% .1מהשימפנזים מעדיפים פירות וירקות על פני בשר. .2הזכרים שהעדיפו פירות וירקות היוו 95.7%מכלל הקבוצה שנחקרה. .9פרופורצית הנקבות בקרב הקופים שהעדיפו בשר הייתה גדולה פי 2מפרופורצית המעדיפים בשר בקרב הנקבות. חבריו הטובים של החוקר הפנו אליך מספר שאלות (שלא היה נעים להם לשאול את החוקר המהולל) א .מה הייתה פרופורצית הנקבות בקבוצת הקופים? ב .מה הייתה פרופורצית מעדיפי הפירות והירקות בקרב הנקבות? ג .האם קיים קשר סטטיסטי בין מינו של הקוף לבין העדפתו בנושא המזון? מה משמעות הדבר? נמק. ד .בתשובה לשאלותיך הוסיף החוקר נתונים המתבססים על אוכלוסיית השימפנזים הצעירים בלבד : 23מהזכרים צעירים ורק 13מהנקבות צעירות .גם בקרב הצעירים 57% ,מעדיפים פירות וירקות. פרופורציית הזכרים הצעירים המעדיפים בשר שווה לזו של הנקבות הצעירות. החוקר טוען שלמרות הנתון האחרון ,כאשר הוא מזהה שקוף צעיר אוכל בשר ,קל לו יותר לנחש האם מדובר בזכר או בנקבה .הסבר על מה מבסס החוקר את הטענה שלו. ה .אתה מתבונן בקוף מבוגר שאוכל בשר ,מה ההסתברות שמדובר בנקבה? - 77 - חוברת מבחני מחצית י' "נוער מוכשר במתמטיקה" ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ פרק :2שאלון .000 C עליך לפתור שתי שאלות מתוך שאלות .0-8 .6 הנקודה Fהיא אמצע המקצוע . CC בתיבה ABCDA B C D הנקודה Eמקיימת tDD B A . DE נתוןa2 : a , AB 2a2 , AD נסמןu : v , AB w , AD D F a ( AAפרמטר) . AA E w א .הבע את AEו AF -באמצעות w , v , uו. t - ב .חשב את tעבורו EAF C מינימלית. B D u A .5נתונה פונקציה ) f (xשנגזרתה היא הפונקציה: x 3 3x 2 3x 15 . g ( x) x 1 g x ערך הפונקציה ) f (xבנקודת הפיתול שלה הוא .2 Y .1מצא את הפונקציה ). f (x .2בנקודה x 1מעבירים משיק לפונקציה ) . g (xמצא X X את השטח המוגבל בין הפונקציה ) , g ( xהמשיק וציר . y y .2הישר y 1.5 xחותך את המעגל x + y = 52 2 בנקודות Aו. B - 2 A אליפסה החסומה בתוך המעגל חותכת C את הישר בנקודות Cו( D -ראה ציור). 1 מצא את משוואת האליפסה אם נתון היחס: 2 CD AB x . D B - 76 - v חוברת מבחני מחצית י' "נוער מוכשר במתמטיקה" ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ פרק :3שאלון .000 משך המבחן שעה ושלושת רבעי. עליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות .9-10 .3 נתונה הסדרה ההנדסית הבאה. 2,4 ,8 ,16 ,32 ,...,a ,... : n א .הוכח ,באינדוקציה או בכל דרך אחרת ,כי הביטוי ב .האם הביטוי 2 n 2 23 n 2 3 a n 3 1 8 ,הוא מספר שלם לכל nטבעי. n 2 n 2 3מתחלק ב 16 -ללא שארית? הסבר תשובתך. .17על שפת נהר הירקון ממוקמות שתי תחנות להשכרת סירות משוטים ,התחנה המזרחית והתחנה המערבית .זוג חברים שכר סירת משוטים בתחנה המזרחית וחתר לכיוון התחנה המערבית. שעה מאוחר יותר ,הבחין מנהל התחנה המזרחית ,ששכח לתת קבלה לזוג ,קפץ על סירת המנוע שלו ושט לכיוון הזוג .מנהל התחנה השיג את הזוג ,נתן להם את הקבלה וחזר חזרה לתחנה המזרחית. הוא הגיע לתחנה בדיוק ברגע שהזוג הגיע לתחנה המערבית. ידוע שמהירות סירת המנוע במים עומדים גדולה פי חמש ממהירות הזרם ,ומהירות החותרים בסירת המשוטים במים עומדים שווה למהירות הזרם. מצא את משך השיט של הזוג אם נתון שהירקון זורם ממזרח למערב. עליך לפתור שתי שאלות מתוך שאלות .10-12 .11 C ABהוא קוטר המעגל . Oאורך רדיוס המעגל הוא . R הנקודה Cנמצאת על המשך ABמהצד של ( Bראה ציור). B מנקודה Cיוצא משיק למעגל המשיק בנקודה . D נתון כי ACD D . R מעגל Mמשיק לישרים OD , AC :ו. CD - א. הבע את רדיוס המעגל Mבאמצעות Rו- ב. הבע את שטח המשולש OMDבאמצעות Rו- O . M . A - 75 - חוברת מבחני מחצית י' "נוער מוכשר במתמטיקה" ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ .12 .19 נתון מעגל שאורך הרדיוס שלו . Rבתוך המעגל משרטטים ריבוע וארבעה משולשים שווי שוקיים החופפים זה לזה. (בסיסי המשולשים מונחים על צלעות הריבוע) א. הבע באמצעות Rאת אורך צלע הריבוע בו סכום שטחי המשולשים מקסימלי. G ב. מצא את גודל הזווית BAH חקור את הפונקציה .1 .2 .9 .0 .7 x5 Ax3 A2 x x 5 כאשר השטח מסעיף א' מקסימלי. A H B F D C E A ( A 0 , y פרמטר ) ומצא: את תחום ההגדרה של הפונקציה. את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. את האסימפטוטות המקבילות לצירים. את נקודות הקיצון ואת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. שרטט את גרף הפונקציה. ( ניתן להביע את התשובות באמצעות) A - בהצלחה! - 72 - חוברת מבחני מחצית י' "נוער מוכשר במתמטיקה" ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ פתרונות סופיים למחצית י' – תשס"ח – מועד ב' .1א m 0,1;x m 1 .ב m 0 .ג m 1 .ד m 0 .או 2 m 1 2 .2א q 0.25 , a1 5 .ב. 3 10 16 3 ב. .3א. 9 1 3 12 ג. .4א 0.62 .ב. 19 31 .0א 0.5 .ב 0.75 .ג .לא ד .פרופורציית אוכלי הבשר בקרב הצעירים הזכרים גדולה פי 2 1 מפרופורציית אוכלי הבשר בקרב הנקבות הצעירות .ה. 6 .0א , AE V tW AF U V 0.5W .בt 0.5 . x3 f ( x) .0א x 2 x 16 ln x 1 5 16 ln 2 .1 . 3 0.000 .2 בx 2 , 3.584 x 4 . y2 x2 1 .8 9.75 .9ב .מתחלק .10שעתיים ורבע 52 ) R Tg (45 2 .11א. ) .12אR . 2 1 Tg (45 r ב. ) ) 2 2 R 2 Tg (45 2 2Tg (45 ב90 . .2 x 0, A , A .1 .13אין .4 Y 1 , X A , A .3אין קיצון (יש "חור" בנקודה החשודה כקיצון) .עליה . x a , 0 x a :ירידהx a , a x 0 : - 73 - חוברת מבחני מחצית י' "נוער מוכשר במתמטיקה" ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ מבחן מחצית י'-תשס"ט-מועד א' חומר עזר מותר בשימוש :מחשבון (לא גרפי ושאינו ניתן לתכנות) ,דפי נוסחאות מצורפים. משך המבחן :חלק א' (פרקים 1ו - )2-שעתיים. פרק :1שאלון 000 אלגברה וסדרות :עליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות 1-2 m-2 .1נתונה משפחה של פונקציות : 4 m ( . y = mx 2 - x -פרמטר) א .הוכח כי קיימת נקודה על ציר ה x -המשותפת לגרפים של כל הפונקציות במשפחה ורשום את שיעוריה. ב .עבור אילו ערכי mחותכים הגרפים את ציר ה x -בשתי נקודות שונות ,הנמצאות בקטע . 0,1 .2נתונה סדרה המוגדרת על ידי כלל הנסיגה a1 = 1 an+1 = c an +c - 1 ( cמס' קבוע). א .הוכח שהסדרה bnהמוגדרת על ידי bn = an+1 - anהיא סדרה הנדסית. ב .הבע באמצעות nו c -בלבד את . a n ג .נתון שסכום הסדרה bnהוא 1,062,880ושסכום שני האיברים האחרונים בסדרה גדול פי 59,049מסכום שני האיברים הראשונים . מצא כמה איברים בסדרה . bn .9גיאומטריה (שאלת חובה) שני מעגלים נחתכים בנקודות . C,D P א .הוכחAB EF : A D B E ב .הוכחPA EF AB PE : ג .נתון , AP a, AD b, ED c :וS - הבע את שטח משולש PEF ADB .S באמצעות a, b, cו. S - - 67 - C F חוברת מבחני מחצית י' "נוער מוכשר במתמטיקה" ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ פרק :2שאלון 000 וקטורים ,פונ' מעריכיות ולוגריתמיות מרוכבים ואנליטית :עליך לפתור שתי שאלות מתוך שאלות 4-0 'D 'C .0בתיבה ' ABCDA'B'C'Dנסמן, AD = v , AB = u : 'B X 'A . AA' = wנתון. v = w = 1 , u = 3 : א .הבע באמצעות v , uו w -את וקטור , AXכך שהנקודה X נמצאת על האלכסון ' , CDוהווקטור AXיוצר זוויות שוות D C עם הוקטורים ACו. AD - ב .חשב את הזווית השווה. B ג( .ללא קשר לסעיפים הקודמים) עבור אילו ערכים של הפרמטר mיש למשוואה 0 מצא את הפתרון במקרה זה. m2 3m 1 4x A 4 2 xפתרון יחיד? .7על המעגל x 2 + y 2 = R 2נסמן נקודה כלשהי . Aמהנקודה Aנעביר מקביל לציר . xעל המקביל נקצה מנקודה Aקטע באורך 2Rיחידות בכיוון החיובי של ציר xונקבל את הנקודה ). P(x, y א .הוכח כי המקום הגיאומטרי של כל הנקודות ) P(x, yהמתקבלות בדרך זו הוא מעגל .רשום את שיעורי מרכז המעגל ואת רדיוסו. ב .המקום הגיאומטרי של מרכזי כל המעגלים המשיקים למעגל שקיבלת בסעיף א' ולישר x = -tהוא פרבולה קנונית .הבע את tואת משוואת הפרבולה באמצעות . R .6נתונה המשוואה z ( . z 20 = 1 :מספר מרוכב) א .הוכח שפתרונות המשוואה מהווים סדרה הנדסית. ב .הוכח כי סכום ריבועי שורשי המשוואה הוא . 0 ג .הארגומנט של אחד מפתרונות המשוואה מקיים . 20 o < θ < 40 o : פתרון זה במישור של גאוס הינו קודקוד הראש של משולש שווה שוקיים החסום בתוך מעגל שמרכזו בראשית הצירים שזווית הראש שלו היא . 120 o מצא את שני הקודקודים האחרים. - 61 - חוברת מבחני מחצית י' "נוער מוכשר במתמטיקה" ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ מבחן מחצית י'-תשס"ט-מועד א' פרק :3שאלון 000 משך המבחן :חלק ב -שעה ושלושת רבעי. אינדוקציה ובעיית תנועה :עליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות 0-8 .5נתונה המכפלה: 3 3 3 (1- )(1- )(1- )... 5 8 11 א .בהנחה שהחוקיות נשמרת ,מצא את תוצאת המכפלה עבור nאיברים והוכח תשובתך באינדוקציה עבור n 2 ב .חשב: 6 6 6 6 )(2 )(2 ) (2). 14 17 20 56 (2 - .2המרחק בין אשקלון לבאר שבע הוא 45ק"מ .שני רוכבי אופניים ,בני ואבי ,יצאו באותו זמן ,בני יצא מבאר שבע לאשקלון ואבי מאשקלון לבאר שבע .הם נפגשו כעבור שעה ו 40 -דקות. למחרת ,בני ואבי יצאו שוב מבאר שבע ואשקלון בהתאמה ,אך אבי איחר בצאתו ,כך שפגישתם אירעה במרחק 15ק"מ מאשקלון ,ולאחריה המשיך כל אחד לדרכו ,כך שבני הקדים להגיע לאשקלון. הפרש הזמנים שבהם הגיעו ליעדיהם לאחר הפגישה היה גדול ב 45 -דק' מהפרש הזמנים של היציאה. מהירותם לא השתנתה במשך שני הימים. א .מצא את מהירויותיהם של הרוכבים ב .כמה זמן נסע ביום השני כל אחד מהרוכבים עד פגישתם? טריגונומטריה ,דיפרנציאלי ואינטגרלי :עליך לפתור שתי שאלות מתוך שאלות 9-11 .3 Dהיא נקודה על הצלע ACבמשולש . ABCנתוןCBD= 2 ABD : רדיוס המעגל החוסם את המשולש BCD . DC 3 AD , שווה לרדיוס המעגל החוסם את המשולש . ABD א .חשב את זוויות המשולש . ABC ב .נסמן . AD a :נתון כי רדיוס המעגל החוסם את משולש ABC גדול ב 2 -מרדיוס המעגל החסום במשולש . BCD .1הבע את רדיוס המעגל החסום במשולש BCD באמצעות . a .2חשב את aואת אורכי צלעות המשולש (. ABCבתשובתך השאר שתי ספרות אחרי הנקודה). .17נתונות הפונקציות. (0 < a < 2) , g(x)= x(x 2 - a)4 , f(x)= 16 x : Y השטח המוגבל בין שתי הפונקציות מסתובב סביב ציר ה. X - נסמן את נפח הגוף המתקבל בצורה זו ב. V1 - השטח המוגבל בין הפונקציה ) g(xלציר ה( X -בין נקודות החיתוך שלה X עם הציר) מסתובב סביב ציר ה. X - - 62 - חוברת מבחני מחצית י' "נוער מוכשר במתמטיקה" ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ נסמן את נפח הגוף המתקבל בצורה זו ב. V2 - 5 נתון . V1 +V2 = 355 π :מצא את . a 9 .11נתונה הפונקציה ax 2 - b x2 =) a,b ( f(xפרמטרים). 1 נתון כי הישר המחבר בין הנקודה ) (- 5 ,שעל הפונקציה לבין נקודה על הפונקציה שבה 5 , x = 5מקביל למשיק לפונקציה בנקודה . x = 8 א. מצא את ערכי . a,b מצא את: ב. .1תחום ההגדרה של הפונקציה .2נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן .9את האסימפטוטות המקבילות לצירים. ג. שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ד .נתונה הפונקציה . g(x)= x f(x) :איזו סקיצה מבין הסקיצות הבאות מתארת את גרף פונקציה ) ? g(xנמק בחירתך! ()1 () 9 ()2 - 69 - חוברת מבחני מחצית י' "נוער מוכשר במתמטיקה" ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ פתרונות סופיים למחצית י' – תשס"ט – מועד א' .1א ( 0.5,0 ) .ב1 . 2;m 1 .2א .הוכחה ב1 . 2c n 2 3 m anג12 . b c )2 .3א .הוכחה ב .הוכחה ג. ab 2 .4אw . 3 1 u 3 v s( a 1 AXב 41.410 .ג. 2 .0א ( 2R,0 ) .רדיוס Rב3R . R or t x 1,4 m y2 8X , t .0א .הוכחה ב .הוכחה גcis36,cis96,cis336 . 4 2 ב. .0א. 7 3n 2 6436 .8א .מאשקלון 12קמ"ש ומבאר שבע 15קמ"ש ב .מאשקלון 1.25שעות ומבאר שבע שעתיים .9א 45,45,90 .ב4.292 . 6.07, AB BC 2.222, AC a 1 .17 .11א4 . 0 .9 1,b yג. aב2 .1 xאו x Y 1 8 , )max,( 2,0 )min,( 2,0 )min .2 2 4 ד3 . X - 60 - 1 (( 8 , )max, 4 חוברת מבחני מחצית י' "נוער מוכשר במתמטיקה" ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ מבחן מחצית י'-תשס"ט-מועד ב' חומר עזר מותר בשימוש :מחשבון (לא גרפי ושאינו ניתן לתכנות) ,דפי נוסחאות מצורפים. משך המבחן :חלק א' (פרקים 1ו - )2-שעתיים. פרק :1שאלון 000 אלגברה וסדרות :עליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות 1-2 .1נתונה המשוואה (k - 1)x2 - (k 2 - 2k +2)x+k - 1= 0 א .עבור אלו ערכים של פרמטר kיהיו למשוואה שני שורשים הקטנים או שווים ל? 1 - ב .נתון כי למשוואה הנ''ל יש שורש יחיד .מצא אותו. .2א .נתון מספר תלת ספרתי ,כך שספרותיו הן איברים של סדרה הנדסית. אם נחסיר מהמספר הנתון , 792אזי נקבל מספר שרשום באותן הספרות רק בסדר הפוך. אם מספרת המאות של המספר שרשום בסדר הפוך נחסיר 4וכל שאר הספרות נשאיר כמו שהן, אזי נקבל מספר שספרותיו יוצרות סדרה חשבונית .מצא את המספר הנתון. ב .נתבונן בסדרה הנדסית אינסופית שאיבריה הראשונים הם הספרות של המספר שמצאת בסעיף א' בהנחה שהחוקיות נמשכת ,הוכח שהסדרה מתכנסת ומצא את סכומה. ( ספרת המאות היא האיבר הראשון ,ספרת העשרות האיבר השני וכן הלאה) .9גיאומטריה (שאלת חובה) ABהוא קוטר במעגל שמרכזו Oורדיוסו C . Rהיא נקודה כלשהי על המעגל. A1 המשיק בנקודה Cחותך את המשיקים למעגל בנקודות Aו B -בנקודות A1 ו B1 -בהתאמה. C AOB (א) הוכח כי = 90° 1 1 B1 (ב) הוכח כי AA1 BB1 = R2 B (ג) חשב את שטח הטרפז ABB1 A1 כאשר נתון כי BOC = 60° ו. R= 1 - - 67 - O A חוברת מבחני מחצית י' "נוער מוכשר במתמטיקה" ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ פרק :2שאלון 000 וקטורים ,פונ' מעריכיות ולוגריתמיות מרוכבים ואנליטית :עליך לפתור שתי שאלות מתוך שאלות 4-0 .4נתון טטראדר . ABCDנסמן . AC = u , BC = v , CD = w D נתון כי . w v , w u – Fנקודה על מקצוע ADהמקיימת . FD = t AD 3 8 F 1 2 נקודה Gמקיימת . BG = BC + BA א .הבע את FGבאמצעות . t,u ,v ,w C ב .נתון בנוסף כי . ACB 600 , u = 8 , v = 4 , w = 1 מצא את האורך של DGושל . AB ג .נתון בנוסף לסעיפים הקודמים כי 450 B 120 , DFG G . FDG A חשב את הערך של . t .7מעגל שמרכזו ברביע הראשון ,משיק לציר ה - xבנקודה ) (3,0ומשיק לישר . 3x - 4y +36 = 0 (א) מצא את משוואת המעגל (ב) המעגל הנ''ל חסום במשולש שווה שוקיים .בסיס המשולש שווה השוקיים מונח על ציר הx - ואחת משוקיו מונחת על הישר . 3x - 4y + 36 = 0מצא את משוואת הישר עליו מונחת השוק השנייה של המשולש. .6נתונה המשוואה : 1 log4 a x + log4 a = 0 2 - 2 log a - 1 x 4 א .עבור אילו ערכים של aיהיו שורשי המשוואה מספרים מרוכבים ? ב .נסמן את שורשי המשוואה המרוכבים המתקבלים עבור a = 16ב z1 -ו . z 2 -הראה כי לכל מספר טבעי k מתקיים . Z18k + Z28k = 2 בהצלחה! - 66 - חוברת מבחני מחצית י' "נוער מוכשר במתמטיקה" ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ מבחן מחצית י'-תשס"ט-מועד ב' פרק :3שאלון 000 משך המבחן :חלק ב -שעה ושלושת רבעי. אינדוקציה ובעיית תנועה :עליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות 0-8 .5 א .הוכח באינדוקציה כי לכל מספר שלם n 0ולכל מספר ממשי 1 1 nx x )n xמתקיים: .(1 ב( .ללא קשר לסעיף א') b1 = 4 הסדרה bnמוגדרת על ידי נוסחת הנסיגה: bn+1 = 3bn - 2 . מצא נוסחא ל bn -באמצעות nבלבד והוכח אותה. .2הולך רגל ראשון יצא מעיר Aלעיר . Bבאותו הזמן יצא הולך רגל שני מעיר Bלעיר . Aכאשר הולך הרגל הראשון עבר מחצית הדרך ,לשני נותרו ללכת 24ק''מ ,וכאשר הולך הרגל השני עבר את מחצית הדרך ,להולך הראשון נשארו ללכת 15ק''מ. כמה קילומטרים יישארו להולך הרגל השני כאשר ההולך הראשון יסיים את המסלול ? טריגונומטריה ,דיפרנציאלי ואינטגרלי :עליך לפתור שתי שאלות מתוך שאלות 9-11 .3נתון מעוין ABCDשצלעו b וזוויתו החדה שקודקודה Aהיא K . מנקודה Kשעל המשך הצלע ADהעבירו ישר KBהחותך את צלע DC b2 בנקודה , Lכך ששטח הטרפז ABLDשווה ל- 2 א .הבע את אורך הקטע AK . ו. - באמצעות b L C D ב .מה התנאי ל -כך שיהיה פתרון לבעיה ? ג .הבע את אורך הקטע BD באמצעות b ד .הבע את יחס שטחי המשולשים ABD ו. - וBDK - - 65 - באמצעות b ו. - B A חוברת מבחני מחצית י' "נוער מוכשר במתמטיקה" ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ -x + 4 x - 10 , ( .17שייך ל )775-נתונות הפונקציות =)f(x ln x 2 - 3x + 2 x+2 3 )1בנקודה aשיפוע המשיק לגרף הפונקציה ) f(xשווה 8 38 b )2מקיימת את המשוואה b 33 =). g(x . -חשב את aבהנחה כי 4 .a ln a+4 = e x e x - 1 dx .חשב את . b ln a-1 )9מצא את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ) , g(xציר ה x -והישרים . x = b , x = a רמז :פירוק לשברים חלקיים. ( .11שייך ל )775-א .חשב את שטחו המקסימלי של מלבן שצלעותיו מקבילות לצירים ואלכסונו , OP 5 כאשר Pהיא נקודה על גרף הפונקציה x + 3-7x 2 y = 343x eברביע הראשון O ( ,ראשית הצירים). ב .כמה נקודות פיתול יש לפונקציה המתארת את שטח המלבן? בהצלחה! - 62 - חוברת מבחני מחצית י' "נוער מוכשר במתמטיקה" ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ פתרונות סופיים למחצית י' – תשס"ט – מועד ב' .1א1 . 0,k ב. k 1 1 x 0 k x 2 k .2א 931 .ב13.5 . 4 3 .3א .הוכחה ב .הוכחה ג. 3 3 )u 8 1 .4אv . 8 1 )w .0א25 . ( y 5 )2 .0א8 . aב .הוכחה (t FG (t 1 ( x 3 )2ב. 2 .0א .הוכחה ב1 3n . ב48 . 13 3 x 4 bn 8 .8ק"מ .9א. b sin 2 sin 1 ב. 2 6 ג. 2 2b sinד. 2 sin 1 1 sin 0.457 .9 11 .2 6 .1 .17 .11א 32 .ב3 . - 63 - 11.75 , AB y DG ג0.5 . t
© Copyright 2024