מכניקה סטטיסטית ־ תרגיל 2
מכניקה סטטיסטית ־ תרגיל 2 תאריך הגשה30/04/2015 : 1 תערובת גזים אידאליים בתרגיל זה אנו נחשב את האנטרופיה ומשוואות המצב של גז אידאלי המורכב משני סוגי חלקיקים בעלי מסות שונות .הגז מכיל N = N1 + N2חלקיקים ,מהם N1בעלי מסה m1ו־ N2בעלי מסה .m2הגז נמצא במיכל בנפח .Vנסמן ב־ q1 , ..., q3N1את המיקומים של החלקיקים מהסוג הראשון וב־ p1 , ..., p3N1את התנעים המתאימים .באותו אופן נסמן ב־ Q1 , ..., Q3N2את המיקומים של החלקיקים מהסוג השני וב־ P1 , ..., P3N2את התנעים המתאימים. .1כתבו את ההמילטוניאן של המערכת. .2נגדיר משתנים חדשים עבור החלקיקים מהסוג השני, .pi , P¯i m1 m 2 Pi q = .P¯iכתבו את ההמילטוניאן של המערכת באמצעות המשתנים .3חשבו בעזרת ההמילטוניאן בסעיף 2את מספר המצבים עם אנרגיה קטנה מ־ Eבעזרת dQj dPj 3N Y2 dqi dpi j=1 ˆ 3N Y1 H<E i=1 1 ! h3N1 +3N2 N1 !N2 = )Σ(E ¯ לב לשם כך עליכם לעבור לאינטגרציה במשתנים ,Piבהם האינטגרל ניתן לחישוב ע"י הנוסחה של נפח היפר־כדור .שימו ´ שהחלפת המשתנים באינטגרל צריכה להעשות ע"י הכפלה ביעקוביאן .לדוגמא :כאשר רוצים לחשב את האינטגרל )dxf (x ´ 1 ´ ´ y . dxf (x) = dy על ידי החלפת משתנה ל־ ,y = axיש להשתמש בכך ש־ dy = y 0 (x)dx = adxולכןdyf ay : a f a = a .4חשבו את האנטרופיה של המערכת.S(E, V, N1 , N2 ) , ∂S PT = ∂Vו־ .5השתמשו בזהויות התרמודינמיות E,N1 ,N2 V,N1 ,N2 ∂S ∂E = 1 T על מנת לקבל את משוואות המצב של המערכת. האם עקרון החלוקה השווה מתקיים? 2 תכונות פונקצית האנטרופיה מפונקצית האנטרופיה ניתן לחשב את התכונות התרמודינמיות של המערכת .צורתה תלויה בתכונות המערכת ובפרמטרים המאקרוסקופיים שעימם בחרנו לתאר את המערכת .על פונקצית האנטרופיה לקיים מספר תכונות בסיסיות: • האנטרופיה היא פונקציה אדיטיבית ,ולכן גם אקסטנסיבית.S(λE, λV, λN ) = λS(E, V, N ) : • האנטרופיה גזירה בכל מרחב הפרמטרים. • האנטרופיה היא פונקציה עולה של האנרגיה> 0 : V,N • האנטרופיה מתאפסת עבור המצב בו = 0 V,N ∂E ∂S ∂S . ∂E = .T מצאו מתוך 10הפונקציות ברשימה את ה־ 5שמתאימות לשמש כפונקצית אנטרופיה .עבור פונקציה מתאימה ,הראו שהיא מקיימת את התכונות הנדרשות .עבור פונקציה שאיננה מתאימה ,רשמו לפחות סיבה אחת מדוע לא. Eבהתאמה .הסימון של שורש או חזקה שברית מתייחס רק לשורש החיובי v0 ,θו־ Rהם פרמטרים חיוביים עם יחידות של V ,Tו־ T של הביטוי. )א( [N V E]1/3 1/3 R2 v0 θ =S 1 )ב( i2/3 NE V 1/3 h R θ2 =S i1/2 1/2 h RθV 2 R N E + )ג( 2 θ v0 2 3 )ד( S = Rv3θ NV E =S 0 1/5 3 R v0 θ 2 )ה( [N 2 V E 2 ]1/5 )ו( S = N R ln N 2EV Rθv0 )ז( V2 2N 2 v02 =S [N E]1/2 exp − 1/2 R θ =S 1/2 )ח( [N E]1/2 exp − NEV Rθv0 2 )ט( E = vR0 θ SV exp NSR S S E = Rθ )י( v0 N V 1 + N R exp − N R R θ 3 =S תרמודינמיקה של מערכת עם אנטרופיה ידועה 2 1/3 .S = vR0 θ נתונה מערכת המורכבת משתי תת־מערכות A ,ו־ ,Bשכל אחת מהן מתוארת ע"י פונקצית האנטרופיה[N V E]1/3 : שתי המערכות מופרדות ע"י מחיצה שאינה זזה )לא מעבירה נפח( ואינה מעבירה אנרגיה וחלקיקים .נפח המערכת Aהוא = VA ,9 × 10−6 m3ומספר החלקיקים בה הוא ) NA = 3 molמול היא יחידה למדידת כמות חלקיקים .מול חלקיקים הוא מספר אבוגדרו של חלקיקים( .נפח המערכת Bהוא ,VB = 4 × 10−6 m3ומספר החלקיקים בה הוא .NB = 2 molהאנרגית הכוללת של המערכת היא .80 Jכמו בשאלה הקודמת v0 ,θ ,ו־ Rהם קבועים חיוביים. א .ציירו את האנטרופיה הכוללת של המערכת כפונקציה של ) EEAאנרגית המערכת Aחלקי האנרגיה הכוללת(. ב .אם נאפשר למחיצה להעביר אנרגיה ,מה יהיו האנרגיות EAו־ EBשל תת המערכות? 2
© Copyright 2024