מכניקה סטטיסטית ־ תרגיל 2

‫מכניקה סטטיסטית ־ תרגיל ‪2‬‬
‫תאריך הגשה‪30/04/2015 :‬‬
‫‪1‬‬
‫תערובת גזים אידאליים‬
‫בתרגיל זה אנו נחשב את האנטרופיה ומשוואות המצב של גז אידאלי המורכב משני סוגי חלקיקים בעלי מסות שונות‪ .‬הגז מכיל‬
‫‪ N = N1 + N2‬חלקיקים‪ ,‬מהם ‪ N1‬בעלי מסה ‪ m1‬ו־ ‪ N2‬בעלי מסה ‪ .m2‬הגז נמצא במיכל בנפח ‪ .V‬נסמן ב־ ‪ q1 , ..., q3N1‬את‬
‫המיקומים של החלקיקים מהסוג הראשון וב־ ‪ p1 , ..., p3N1‬את התנעים המתאימים‪ .‬באותו אופן נסמן ב־ ‪ Q1 , ..., Q3N2‬את המיקומים‬
‫של החלקיקים מהסוג השני וב־ ‪ P1 , ..., P3N2‬את התנעים המתאימים‪.‬‬
‫‪ .1‬כתבו את ההמילטוניאן של המערכת‪.‬‬
‫‪ .2‬נגדיר משתנים חדשים עבור החלקיקים מהסוג השני‪,‬‬
‫‪.pi , P¯i‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪m 2 Pi‬‬
‫‪q‬‬
‫= ‪ .P¯i‬כתבו את ההמילטוניאן של המערכת באמצעות המשתנים‬
‫‪ .3‬חשבו בעזרת ההמילטוניאן בסעיף ‪ 2‬את מספר המצבים עם אנרגיה קטנה מ־‪ E‬בעזרת‬
‫‪dQj dPj‬‬
‫‪3N‬‬
‫‪Y2‬‬
‫‪dqi dpi‬‬
‫‪j=1‬‬
‫ˆ‬
‫‪3N‬‬
‫‪Y1‬‬
‫‪H<E i=1‬‬
‫‪1‬‬
‫! ‪h3N1 +3N2 N1 !N2‬‬
‫= )‪Σ(E‬‬
‫¯‬
‫לב‬
‫לשם כך עליכם לעבור לאינטגרציה במשתנים ‪ ,Pi‬בהם האינטגרל ניתן לחישוב ע"י הנוסחה של נפח היפר־כדור‪ .‬שימו ´‬
‫שהחלפת המשתנים באינטגרל צריכה להעשות ע"י הכפלה ביעקוביאן‪ .‬לדוגמא‪ :‬כאשר רוצים לחשב את האינטגרל )‪dxf (x‬‬
‫´‪ 1‬‬
‫‬
‫´‬
‫´‬
‫‪y‬‬
‫‪. dxf (x) = dy‬‬
‫על ידי החלפת משתנה ל־‪ ,y = ax‬יש להשתמש בכך ש־‪ dy = y 0 (x)dx = adx‬ולכן‪dyf ay :‬‬
‫‪a f a = a‬‬
‫‪ .4‬חשבו את האנטרופיה של המערכת‪.S(E, V, N1 , N2 ) ,‬‬
‫ ‬
‫‪∂S‬‬
‫‪ PT = ∂V‬ו־‬
‫‪ .5‬השתמשו בזהויות התרמודינמיות‬
‫‪E,N1 ,N2‬‬
‫‬
‫‪V,N1 ,N2‬‬
‫‪∂S‬‬
‫‪∂E‬‬
‫‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪T‬‬
‫על מנת לקבל את משוואות המצב של המערכת‪.‬‬
‫האם עקרון החלוקה השווה מתקיים?‬
‫‪2‬‬
‫תכונות פונקצית האנטרופיה‬
‫מפונקצית האנטרופיה ניתן לחשב את התכונות התרמודינמיות של המערכת‪ .‬צורתה תלויה בתכונות המערכת ובפרמטרים המאקרוסקופיים‬
‫שעימם בחרנו לתאר את המערכת‪ .‬על פונקצית האנטרופיה לקיים מספר תכונות בסיסיות‪:‬‬
‫• האנטרופיה היא פונקציה אדיטיבית‪ ,‬ולכן גם אקסטנסיבית‪.S(λE, λV, λN ) = λS(E, V, N ) :‬‬
‫• האנטרופיה גזירה בכל מרחב הפרמטרים‪.‬‬
‫• האנטרופיה היא פונקציה עולה של האנרגיה‪> 0 :‬‬
‫‪V,N‬‬
‫• האנטרופיה מתאפסת עבור המצב בו ‪= 0‬‬
‫‬
‫‪V,N‬‬
‫‪∂E‬‬
‫‪∂S‬‬
‫‬
‫ ‬
‫‪∂S‬‬
‫‪. ∂E‬‬
‫= ‪.T‬‬
‫מצאו מתוך ‪ 10‬הפונקציות ברשימה את ה־‪ 5‬שמתאימות לשמש כפונקצית אנטרופיה‪ .‬עבור פונקציה מתאימה‪ ,‬הראו שהיא מקיימת‬
‫את התכונות הנדרשות‪ .‬עבור פונקציה שאיננה מתאימה‪ ,‬רשמו לפחות סיבה אחת מדוע לא‪.‬‬
‫‪ E‬בהתאמה‪ .‬הסימון של שורש או חזקה שברית מתייחס רק לשורש החיובי‬
‫‪ v0 ,θ‬ו־‪ R‬הם פרמטרים חיוביים עם יחידות של ‪ V ,T‬ו־ ‪T‬‬
‫של הביטוי‪.‬‬
‫ ‬
‫)א( ‪[N V E]1/3‬‬
‫‪1/3‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪v0 θ‬‬
‫=‪S‬‬
‫‪1‬‬
‫)ב(‬
‫‪i2/3‬‬
‫‪NE‬‬
‫‪V‬‬
‫‪1/3 h‬‬
‫‪R‬‬
‫‪θ2‬‬
‫‬
‫=‪S‬‬
‫‪i1/2‬‬
‫‪ 1/2 h‬‬
‫‪RθV 2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪N‬‬
‫‪E‬‬
‫‪+‬‬
‫)ג(‬
‫‪2‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪v0‬‬
‫‪ 2 3‬‬
‫)ד( ‪S = Rv3θ NV E‬‬
‫=‪S‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1/5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪R‬‬
‫‪v0 θ 2‬‬
‫‬
‫)ה( ‪[N 2 V E 2 ]1/5‬‬
‫‬
‫‬
‫)ו(‬
‫‪S = N R ln N 2EV‬‬
‫‪Rθv0‬‬
‫)ז(‬
‫‬
‫‪V2‬‬
‫‪2N 2 v02‬‬
‫=‪S‬‬
‫‬
‫‪[N E]1/2 exp −‬‬
‫‪ 1/2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪θ‬‬
‫=‪S‬‬
‫‪ 1/2‬‬
‫‬
‫‬
‫)ח(‬
‫‪[N E]1/2 exp − NEV‬‬
‫‪Rθv0‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‬
‫‬
‫)ט( ‪E = vR0 θ SV exp NSR‬‬
‫ ‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪S‬‬
‫‪S‬‬
‫‪E = Rθ‬‬
‫)י(‬
‫‪v0 N V 1 + N R exp − N R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪3‬‬
‫=‪S‬‬
‫תרמודינמיקה של מערכת עם אנטרופיה ידועה‬
‫‪ 2 1/3‬‬
‫‪.S = vR0 θ‬‬
‫נתונה מערכת המורכבת משתי תת־מערכות‪ A ,‬ו־‪ ,B‬שכל אחת מהן מתוארת ע"י פונקצית האנטרופיה‪[N V E]1/3 :‬‬
‫שתי המערכות מופרדות ע"י מחיצה שאינה זזה )לא מעבירה נפח( ואינה מעבירה אנרגיה וחלקיקים‪ .‬נפח המערכת ‪ A‬הוא = ‪VA‬‬
‫‪ ,9 × 10−6 m3‬ומספר החלקיקים בה הוא ‪) NA = 3 mol‬מול היא יחידה למדידת כמות חלקיקים‪ .‬מול חלקיקים הוא מספר אבוגדרו‬
‫של חלקיקים(‪ .‬נפח המערכת ‪ B‬הוא ‪ ,VB = 4 × 10−6 m3‬ומספר החלקיקים בה הוא ‪ .NB = 2 mol‬האנרגית הכוללת של המערכת‬
‫היא ‪ .80 J‬כמו בשאלה הקודמת‪ v0 ,θ ,‬ו־‪ R‬הם קבועים חיוביים‪.‬‬
‫א‪ .‬ציירו את האנטרופיה הכוללת של המערכת כפונקציה של ‪) EEA‬אנרגית המערכת ‪ A‬חלקי האנרגיה הכוללת(‪.‬‬
‫ב‪ .‬אם נאפשר למחיצה להעביר אנרגיה‪ ,‬מה יהיו האנרגיות ‪ EA‬ו־ ‪ EB‬של תת המערכות?‬
‫‪2‬‬