ThermalPhysics-Exam2010a-v1.0

‫פיזיקה תרמית‪:‬‬
‫פתרון מבחן מועד א' תש"ע‬
‫גרסה ‪ ,1.0‬יולי ‪2011‬‬
‫ברק שושני‬
‫‪[email protected] | http://baraksh.co.il/‬‬
‫חלק א'‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫לאטום פחמן נייטרלי יש מצב יסוד עם ניוון ‪ .9‬למצב המעורר הראשון ניוון ‪ 5‬ואנרגיה של ‪ 0.82 eV‬מעל‬
‫מצב היסוד‪ .‬במדידות ספקטרוסקופיות של כוכב מרוחק נמצא כי ‪ 10%‬מאטומי הפחמן הנייטרלי נמצאים‬
‫במצב המעורר‪ .‬מספר האטומים ברמות גבוהות יותר ניתן להזנחה‪ .‬מהי בערך טמפרטורת הכוכב‪ ,‬בהנחה‬
‫שהוא בשיווי משקל תרמי?‬
‫פתרון‬
‫תהי ‪ ε0‬האנרגיה במצב היסוד ו־‪ ε0 + ∆ε‬האנרגיה במצב המעורר הראשון )כאשר ‪ .(∆ε = 0.82 eV‬פונקציית החלוקה‬
‫היא‪:‬‬
‫‪Z (τ ) = 9 e−ε0 /τ +5 e−(ε0 +∆ε)/τ‬‬
‫לכן ההסתברות שאטום יהיה במצב המעורר היא‪:‬‬
‫‪5 e−(ε0 +∆ε)/τ‬‬
‫‪= 10% = 0.1‬‬
‫‪9 e−ε0 /τ +5 e−(ε0 +∆ε)/τ‬‬
‫= )‪P (ε0 + ∆ε‬‬
‫נצמצם את אנרגיית היסוד‪:‬‬
‫‪5 e−∆ε/τ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪= 0.1‬‬
‫=‬
‫‪9 + 5 e−∆ε/τ‬‬
‫‪9 e∆ε/τ +5‬‬
‫מכאן ‪ ,e∆ε/τ = 5‬ולכן‪:‬‬
‫‪∆ε‬‬
‫‪≈ 0.5 eV‬‬
‫‪log 5‬‬
‫=‪τ‬‬
‫נחלק בקבוע בולצמן כדי לקבל את הטמפרטורה במעלות קלווין‪:‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪≈ 5800 K‬‬
‫‪kB‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪T‬‬
‫‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫צפיפות אלקטרוני ההולכה בנחושת היא ‪ ,8.5 × 1028 m−3‬ומסת האלקטרון היא ‪.9.1 × 10−31 kg‬‬
‫א‪ .‬מהי הרמה המאוכלסת הגבוהה ביותר ב־‪?τ = 0‬‬
‫ב‪ .‬הנחושת מחוממת לטמפרטורה של ‪ .1160 K‬כמה אלקטרונים בממוצע נמצאים ברמה שהיא ‪ 0.1 eV‬מעל האנרגיה‬
‫שמצאתם בסעיף א'?‬
‫פתרון‬
‫הרמה המאוכלסת הגבוהה ביותר כאשר ‪ τ = 0‬נקבעת לפי אנרגיית פרמי‪:‬‬
‫‪2/3‬‬
‫‪~2‬‬
‫‪3π 2 n‬‬
‫‪≈ 7.05 eV‬‬
‫‪2m‬‬
‫= ‪εF‬‬
‫כאשר ‪ n‬היא הצפיפות ו־‪ m‬היא המסה‪ .‬מספר החלקיקים הממוצע בטמפרטורה ‪ (τ = 0.1 eV) T = 1160 K‬במצב בעל‬
‫אנרגיה ‪ ε − µ = 0.1 eV‬נקבע לפי התפלגות פרמי־דיראק‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪≈ 0.27‬‬
‫‪e +1‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‪+1‬‬
‫‪ε−µ‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪exp‬‬
‫= )‪f (ε‬‬
‫‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫נתונים שני לוחות אינסופיים המוחזקים בטמפרטורות שונות‪ .Tcold < Thot :‬בין שני הלוחות יש ריק‪.‬‬
‫מכניסים לוח שלישי דק מאוד המבודד מהסביבה‪ .‬פי כמה ירד או יעלה קצב פליטת החום נטו מהלוח החם‬
‫ללוח הקר כתוצאה מהכנסת הלוח הדק ביניהם?‬
‫פתרון‬
‫האנרגיה ליחידת שטח הנפלטת ע"י כל לוח היא ‪ ,J = σB T 4‬כאשר ‪ σB‬הוא קבוע סטפן־בולצמן‪ .‬לפני הכנסת הלוח‬
‫האמצעי‪ ,‬קצב פליטת החום נטו מהלוח החם ללוח הקר הוא‪:‬‬
‫‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪J1 = σB Thot‬‬
‫‪− Tcold‬‬
‫תהי ‪ T‬טמפרטורת הלוח האמצעי‪ .‬הוא קולט ופולט קרינה בשני הכיוונים‪ ,‬ולכן‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪Thot‬‬
‫‪+ Tcold‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪T4‬‬
‫⇒=‬
‫‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2σB T 4 = σB Thot‬‬
‫‪+ Tcold‬‬
‫לפיכך אחרי הכנסת הלוח האמצעי‪ ,‬קצב פליטת החום מהלוח החם ללוח הקר יהיה‪:‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‬
‫‪4‬‬
‫‬
‫‪Thot − Tcold‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪J2 = σB Thot‬‬
‫‪− T 4 = σB‬‬
‫‪= J1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫כלומר‪ ,‬קצב פליטת החום מהלוח החם יקטן פי ‪.2‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫אילו מהמשפטים הבאים לא נכונים‪:‬‬
‫א‪ .‬מים ואדים נמצאים במיכל בטמפרטורה של ‪ 100 ◦ C‬בלחץ של ‪ .1 atm‬אם הטמפרטורה נשמרת קבועה ונפח המיכל‬
‫מוקטן מעט‪ ,‬הלחץ יגדל מעט‪.‬‬
‫ב‪ .‬אם שתי מערכות מבודדות נמצאות במגע תרמי ודיפוזיוני במהלך הגעה לשיווי משקל‪ ,‬החלקיקים ינועו מהפוטנציאל‬
‫הכימי הגבוה לנמוך‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪ .‬אם מקררים גז אידאלי )חסר אינטראקציה( לטמפרטורה אפס אזי האנרגיה יורדת לאפס‪.‬‬
‫ד‪ .‬נתונה מערכת מבודדת הנשמרת בטמפרטורה ולחץ קבועים‪ .‬המערכת תגיע לשיווי משקל כאשר אנרגיית גיבס‬
‫מינימלית‪.‬‬
‫ה‪ .‬גז אידאלי קלאסי מפר את החוק השלישי של התרמודינמיקה‪.‬‬
‫◦‬
‫ו‪ .‬נגד מחובר לסוללה חשמלית ומחמם מים מטמפרטורה התחלתית של ‪ .100 C‬האדים מפעילים מטען הטוען חזרה‬
‫את הסוללה וכך מתעבים חזרה למים החוזרים למיכל‪ .‬התהליך יכול להתבצע לאט כרצוננו וברכיבים אידאליים‬
‫)אין בזבוזי אנרגיה במערכת והיא כולה מבודדת לחלוטין מהסביבה(‪ .‬אין תכנון של המערכת בו היא יכולה להמשיך‬
‫ולפעול עד אין קץ‪.‬‬
‫פתרון‬
‫א‪ .‬לא נכון‪ :‬הטמפרטורה הקריטית של מים היא ‪ ,647.1 K‬לפיכך אנו נמצאים מתחת לטמפרטורה הקריטית‪ ,‬באזור‬
‫הדו־פאזתי בו הלחץ קבוע‪ ,‬אך הנפח עשוי להשתנות‪.‬‬
‫ב‪ .‬נכון‪ :‬זוהי הגדרת הפוטנציאל הכימי‪.‬‬
‫ג‪ .‬לא נכון‪ :‬לא כתוב שהגז הוא גז אידאלי קלאסי‪ .‬אם הוא גז פרמיונים‪ ,‬למשל‪ ,‬אז בטמפרטורה אפס האנרגיה תהיה‬
‫אנרגיית פרמי‪.‬‬
‫ד‪ .‬נכון‪ :‬זה נובע ישירות מהגדרת אנרגיית גיבס‪.‬‬
‫ה‪ .‬נכון‪ :‬החוק השלישי של התרמודינמיקה קובע כי האנטרופיה של המערכת מתקרבת לערך קבוע כאשר הטמפרטורה‬
‫מתקרבת לאפס‪ .‬גז אידאלי מקיים את משוואת ‪:Sackur-Tetrode‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪nQ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪σ = N log‬‬
‫‪+‬‬
‫‪= N C + log τ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫כאשר ‪ C‬הוא קבוע‪ .‬מתקיים ∞‪ ,σ (0) → −‬לפיכך החוק השלישי מופר‪) .‬אף גז הוא לא באמת גז אידאלי‪ ,‬לכן‬
‫אין כאן בעיה‪(.‬‬
‫ו‪ .‬נכון‪ :‬לא יכול להיות תכנון של המערכת בו היא יכולה להמשיך ולפעול עד אין קץ‪ ,‬מכיוון שגם במצב אידאלי יעילות‬
‫‬
‫התהליך לא יכולה להיות גבוהה יותר מיעילות קרנו‪.‬‬
‫שאלה ‪5‬‬
‫לסידן פחמתי ‪ CaCO3‬שתי צורות גבישיות נפוצות‪ :‬קלציט וארגוניט‪ .‬נתונה טבלת נתונים בטמפרטורת‬
‫החדר ובלחץ אטמוספרי עבור שתי הפאזות של אנרגיית גיבס‪ ,‬נפח ואנטרופיה פר מול של חומר‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪G kJ mol−1‬‬
‫‪V cm3 mol−1‬‬
‫‪S J K−1 mol−1‬‬
‫קלציט‬
‫‪−1128.8‬‬
‫‪36.93‬‬
‫‪92.9‬‬
‫ארגוניט‬
‫‪−1127.8‬‬
‫‪34.14‬‬
‫‪88.7‬‬
‫מי היא הפאזה היציבה בתנאים אלה‪ ,‬ובאיזה לחץ בערך )בטמפרטורת החדר( הפאזה השנייה תהיה יציבה‬
‫יותר?‬
‫פתרון‬
‫הפאזה היציבה היא קלציט‪ ,‬מכיוון שאנרגיית גיבס שלה נמוכה יותר‪ .‬למציאת הלחץ בו ארגוניט תהיה יציבה יותר‪ ,‬נשים‬
‫לב כי אנרגיית גיבס מקיימת את הקשר‪:‬‬
‫‪dG = µ dN − σ dτ + V dp‬‬
‫בטמפרטורה קבועה ומספר חלקיקים קבוע נקבל ‪ .dG = V dp‬נבדוק מתי אנרגיות גיבס של שתי הפאזות משתוות‪:‬‬
‫‪GA − GC‬‬
‫‪= ∆p‬‬
‫‪VC − VA‬‬
‫⇒=‬
‫‪GC + VC ∆p = GA + VA ∆p‬‬
‫כאשר ‪ C‬מתייחס לקלציט ו־‪ A‬לארגוניט‪ .‬מכאן‪:‬‬
‫‪1 kJ mol−1‬‬
‫‪≈ 3537 atm‬‬
‫‪2.79 cm3 mol−1‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪∆p‬‬
‫‬
‫שאלה ‪6‬‬
‫גז חנקן דליל דו־אטומי נדחס לאט בטמפרטורה קבועה מנפח התחלתי של ‪ 0.3 m3‬לנפח סופי של ‪.0.1 m3‬‬
‫מספר מולקולות החנקן הוא ‪ .1024‬פי כמה השתנה מספר המצבים המיקרוסקופיים של הגז בתהליך?‬
‫פתרון‬
‫האנטרופיה היא הלוגריתם של מספר המצבים‪ ,σ ≡ log g ,‬ולכן ‪ .g = eσ‬ממשוואת ‪ ,Sackur-Tetrode‬האנטרופיה של גז‬
‫אידאלי היא‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪nQ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪σ = N log‬‬
‫‪+‬‬
‫) ‪= N (C + log V‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫כאשר ‪ C‬קבוע‪ .‬לפיכך מספר המצבים הוא‪:‬‬
‫‪g = eN C V N‬‬
‫‪24‬‬
‫אם נקטין את הנפח פי ‪ ,3‬מספר המצבים יקטן פי ) ‪.3N = 3(10‬‬
‫‬
‫חלק ב'‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫מוליך־על בשדה מגנטי‬
‫כאשר מוליך־על )מסוג ראשון( נמצא תחת השפעת שדה מגנטי חיצוני‪ ,‬השדה המגנטי נדחה מן החומר‬
‫מוליך־העל עד שהשדה מגיע לערך קריטי הנקרא גם השדה הקריטי ) ‪ .Hc (τ‬עבור ‪ H > Hc‬החומר הופך‬
‫למתכת רגילה )מצב נורמלי( ועבור ‪ H < Hc‬החומר במצב מוליך־על‪.‬‬
‫נתון כי צורת קו הדו־קיום )השדה הקריטי( המפריד את הפאזה הנורמלית והפאזה מוליכת־העל של חומר‬
‫מסוים היא פרבולה‪ ,‬והיא ניתנת כפונקציה של הטמפרטורה על־ידי‪:‬‬
‫! ‪ 2‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪Hc (τ ) = H0 1 −‬‬
‫‪τc‬‬
‫א‪ .‬קבלו משוואה אנלוגית למשוואת קלאוזיוס־קלפיירון עבור קו הדו־קיום‪.‬‬
‫ב‪ .‬השתמשו בעובדה שבתוך מוליך־העל השדה ‪ B = 0‬ובקשר ‪ B = H + 4πm‬כדי לחשב את החום הכמוס ליחידת‬
‫נפח במעבר בין המצב מוליך־העל למצב הנורמלי כפונקציה של ‪.τ‬‬
‫‬
‫‪ CH = τ ∂σ‬כדי למצוא את הקפיצה בקיבול החום הסגולי ליחידת נפח כאשר חוצים את קו‬
‫ג‪ .‬השתמשו בקשר ‪∂τ H‬‬
‫הדו־קיום בשדה קבוע‪.‬‬
‫פתרון סעיף א'‬
‫כדי לפתח את משוואת קלאוזיוס־קלפיירון‪ ,‬נתחיל מהיחס )יחס גיבס־דוהם(‪:‬‬
‫‪dµ = −s dτ + v dp‬‬
‫המתקיים עבור כל אחת מהפאזות בנפרד‪ ,‬כאשר ‪ µ‬הוא הפוטנציאל הכימי‪ s ≡ σ/N ,‬היא האנטרופיה למולקולה‪τ ,‬‬
‫היא הטמפרטורה‪ v ≡ V /N ,‬הוא הנפח למולקולה‪ p ,‬הוא הלחץ ו־ ‪ N‬הוא מספר המולקולות‪ .‬על קו הדו־קיום מתקיים‬
‫‪ ,dµ1 = dµ2‬לכן‪:‬‬
‫‪−s1 dτ + v1 dp = −s2 dτ + v2 dp‬‬
‫מכאן‪:‬‬
‫‪(v1 − v2 ) dp = (s1 − s2 ) dτ‬‬
‫‪4‬‬
‫ולפיכך‪:‬‬
‫‪dp‬‬
‫‪∆s‬‬
‫=‬
‫‪dτ‬‬
‫‪∆v‬‬
‫נחליף את הלחץ ‪ p‬בשדה המגנטי ‪ H‬ואת הנפח ‪ v‬במגנטיזציה ‪ ,−m‬ונקבל‪:‬‬
‫‪dH‬‬
‫‪∆s‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪dτ‬‬
‫‪∆m‬‬
‫‬
‫פתרון סעיף ב'‬
‫החום הכמוס מוגדר כך‪:‬‬
‫‪L ≡ τ ∆s‬‬
‫לפי המשוואה מסעיף א'‪:‬‬
‫‪dH‬‬
‫‪dτ‬‬
‫‪L = −τ ∆m‬‬
‫‪dH‬‬
‫‪dτ‬‬
‫⇒=‬
‫‪∆s = −∆m‬‬
‫נתון כי‪:‬‬
‫! ‪2‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪τc‬‬
‫‬
‫‪1−‬‬
‫‪Hc (τ ) = H0‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫‪dH‬‬
‫‪2τ‬‬
‫‪= −H0 2‬‬
‫‪dτ‬‬
‫‪τc‬‬
‫בנוסף‪ ,‬במצב מוליך־העל מתקיים‪:‬‬
‫‪H‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪m=−‬‬
‫‪B = H + 4πm = 0‬‬
‫⇒=‬
‫ובמצב הנורמלי מתקיים‪:‬‬
‫⇒=‬
‫‪m=0‬‬
‫‪B = H + 4πm = H‬‬
‫לפיכך‪:‬‬
‫! ‪2‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪τc‬‬
‫‬
‫‪1−‬‬
‫‪H‬‬
‫‪H0‬‬
‫= ‪∆m‬‬
‫=‬
‫‪4π‬‬
‫‪4π‬‬
‫ובסה"כ נקבל‪:‬‬
‫! ‪4‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪τc‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‪−‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪τc‬‬
‫‪5‬‬
‫‬
‫‪H2‬‬
‫‪L= 0‬‬
‫‪2π‬‬
‫‬
‫פתרון סעיף ג'‬
‫מתוך הקשר‬
‫‪∂σ‬‬
‫‪∂τ H‬‬
‫‬
‫‪ CH = τ‬נקבל‪:‬‬
‫‪∂∆σ‬‬
‫ ‪∂τ‬‬
‫‪∂ L‬‬
‫‪=τ‬‬
‫‪∂τ τ‬‬
‫‪∆CH = τ‬‬
‫‪∂L‬‬
‫‪∂τ τ‬‬
‫‪−L‬‬
‫‪τ2‬‬
‫‪∂L L‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫‪∂τ τ‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪4τ 3‬‬
‫‪H02 τ‬‬
‫‪τ3‬‬
‫‪2τ‬‬
‫‪H‬‬
‫‪−‬‬
‫‪−‬‬
‫‪−‬‬
‫‪= 0‬‬
‫‪2π τc2‬‬
‫‪τc4‬‬
‫‪2π τc2‬‬
‫‪τc4‬‬
‫‬
‫‬
‫‪3τ 3‬‬
‫‪H02 τ‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫‪2π τc2‬‬
‫‪τc4‬‬
‫‪=τ‬‬
‫‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫שדה חיצוני‬
‫מוצק שבו אטומים בעלי ספין ‪) 1/2‬חסרי אינטראקציה הדדית( נמצא בשדה מגנטי ‪ .B = 3 T‬המומנט‬
‫המגנטי הוא ‪.µ = 9.3 × 10−23 J T−1‬‬
‫א‪ .‬מהי הטמפרטורה אשר מתחתיה יותר מ־‪ 75%‬ספין מקביל לשדה?‬
‫ב‪ .‬קליטה של קרינה אלקטרומגנטית יכולה לעורר מעבר בין שתי רמות האנרגיה אם תדירות הקרינה היא ‪f = 2µB/h‬‬
‫כאשר ‪ h‬קבוע פלאנק‪ .‬נניח כי המוצק בשיווי משקל תרמי וכן ‪ ,µB τ‬והוא מוקרן בקרינה כזו‪ .‬מהי התלות‬
‫בטמפרטורה של ההספק הנקלט במוצק?‬
‫פתרון סעיף א'‬
‫אטום יכול להיות בעל אנרגיה ‪ ,−µB‬אם הספין שלו מקביל לשדה‪ ,‬או ‪ ,µB‬אם הספין שלו מנוגד לשדה‪ .‬לפיכך פונקציית‬
‫החלוקה היא‪:‬‬
‫‪Z = e−µB/τ + eµB/τ‬‬
‫הסיכוי של אטום להיות עם ספין מקביל לשדה יהיה‪ ,‬אם כן‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪eµB/τ‬‬
‫= ‪= 75%‬‬
‫‪4‬‬
‫‪+ eµB/τ‬‬
‫‪e−µB/τ‬‬
‫= )‪P (−µB‬‬
‫לפיכך‪:‬‬
‫‪2µB‬‬
‫‪= 5.08 × 10−22 J‬‬
‫‪log 3‬‬
‫=‪τ‬‬
‫⇒=‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪e−2µB/τ‬‬
‫נחלק בקבוע בולצמן כדי למצוא את הטמפרטורה‪:‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪= 36.8 K‬‬
‫‪kB‬‬
‫‪6‬‬
‫= ‪T‬‬
‫‬
‫פתרון סעיף ב'‬
‫באמצעות קליטת פוטון בעל אנרגיה ‪ ,2µB‬האטום יכול לעבור מרמת אנרגיה ‪) −µB‬ספין מקביל לשדה( לרמת אנרגיה‬
‫‪ .µB‬הסיכוי שזה יקרה הוא‪ ,‬כפי שראינו‪:‬‬
‫‪eµB/τ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= −2µB/τ‬‬
‫‪−µB/τ‬‬
‫‪µB/τ‬‬
‫‪e‬‬
‫‪+e‬‬
‫‪e‬‬
‫‪+1‬‬
‫= )‪P (−µB‬‬
‫אם ‪ µB τ‬אז ‪ µB/τ → 0‬ולכן נוכל לרשום‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪µB‬‬
‫≈ )‪P (−µB‬‬
‫=‬
‫≈‬
‫‪1+‬‬
‫‪(1 − 2µB/τ ) + 1‬‬
‫‪2 1 − µB/τ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪τ‬‬
‫ההספק הנקלט במוצק תלוי בהסתברות לעירור‪ ,‬ולכן התלות בטמפרטורה תהיה ‪.1/τ‬‬
‫‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫חלקיקים אחרים‬
‫נתונים ‪ N‬חלקיקים שלכל אחד מהם ‪ 3‬מצבי אנרגיה אפשריים‪ .0, ε, 2ε :‬למערכת נפח קבוע ‪ V‬והיא‬
‫מצומדת לאמבט חום בטמפרטורה ‪ .τ‬אין אינטראקציה בין החלקיקים‪ ,‬והסטטיסטיקה הרלוונטית היא‬
‫סטטיסטיקת בולצמן‪.‬‬
‫א‪ .‬כתבו את פונקציית החלוקה עבור חלקיק יחיד‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהי האנרגיה הממוצעת שלו?‬
‫ג‪ .‬בגבול ‪ ,τ ε‬מהי ההסתברות שהרמה המעוררת העליונה מאוכלסת ומהי האנרגיה הממוצעת?‬
‫ד‪ .‬באיזו טמפרטורה יש במצב היסוד פי ‪ 1.1‬חלקיקים מברמה העליונה?‬
‫ה‪ .‬מצאו את קיבול החום הסגולי‪ .‬נתחו תשובותיכם בגבול ‪ τ ε‬ו־‪ .τ ε‬שרטטו באופן סכמטי את קיבול החום‬
‫כפונקציה של ‪.τ‬‬
‫פתרון סעיף א'‬
‫הפונקציה היא‪:‬‬
‫‪Z = 1 + e−ε/τ + e−2ε/τ‬‬
‫‬
‫פתרון סעיף ב'‬
‫האנרגיה הממוצעת היא‪:‬‬
‫‪ε e−ε/τ +2ε e−2ε/τ‬‬
‫‪1 + e−ε/τ + e−2ε/τ‬‬
‫=‪U‬‬
‫‬
‫פתרון סעיף ג'‬
‫כאשר ‪ τ ε‬ההבדל בין שלוש רמות האנרגיה זניח‪ ,‬לכן כל רמה תהיה מאוכלסת במספר שווה של חלקיקים‪ .‬לפיכך‬
‫‬
‫‪ P (2ε) = 1/3‬ו־‪.U = ε‬‬
‫‪7‬‬
'‫פתרון סעיף ד‬
:‫ההסתברות למצוא חלקיק במצב היסוד היא‬
1
Z
P (0) =
:‫וברמה העליונה‬
−2ε/τ
P (2ε) =
e
Z
:‫ ונקבל‬1.1 ‫נדרוש שהיחס יהיה‬
1.1 =
P (0)
1
= −2ε/τ
P (2ε)
e
=⇒
τ=
2ε
log 1.1
'‫פתרון סעיף ה‬
:‫קיבול החום בנפח קבוע הוא‬
∂U
∂τ V
∂
ε e−ε/τ +2ε e−2ε/τ
=
N
∂τ
1 + e−ε/τ + e−2ε/τ
ε e−βε +2ε e−2βε
1
2 ∂
= −β
N
β≡
τ
∂β
1 + e−βε + e−2βε
2 −βε
−ε e
−4ε2 e−2βε 1 + e−βε + e−2βε − ε e−βε +2ε e−2βε −ε e−βε −2ε e−2βε
2
= −β N
2
(1 + e−βε + e−2βε )
e−βε +4 e−2βε + e−3βε
= β 2 ε2 N
2
(1 + e−βε + e−2βε )
CV ≡
=
N ε2 e−ε/τ +4 e−2ε/τ + e−3ε/τ
2
τ2
1 + e−ε/τ + e−2ε/τ
:‫והוא נראה כך‬
CV ê N
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
2
4
6
8
10
eêt
:1 ‫ ולכן האקספוננטים הם בקירוב‬ε/τ → 0 ‫ נקבל‬τ ε ‫בגבול‬
CV →
N ε2 1 + 4 + 1
2N ε2
=
τ 2 (1 + 1 + 1)2
3τ 2
:‫ ולכן האקספוננטים מתאפסים בקירוב‬ε/τ → ∞ ‫ נקבל‬τ ε ‫בגבול‬
CV =
N ε2 e−ε/τ 1 + 4 e−ε/τ + e−2ε/τ
N ε2 e−ε/τ
2 →
2
τ
τ2
1 + e−ε/τ + e−2ε/τ
8