‫דף נוסחאות במכניקה סטטיסטית‬ ‫‪1‬‬ ‫צבר מיקרו־קאנוני‬ ‫• אנטרופיה של מערכת‬ ‫)‪, S(E) = kB ln Γ(E) ≈ kB ln Σ(E‬‬ ‫כאשר )‪ Γ(E‬הוא מספר המצבים באנרגיה ‪ E‬ו־)‪ Σ(E‬באנרגיה נמוכה מ־‪ .E‬ניתן לקשר בין שני הפונקציות הללו כך‪,‬‬ ‫)‪dΣ(E‬‬ ‫‪dE‬‬ ‫≡ )‪ω(E‬‬ ‫∆)‪, Γ(E) = ω(E‬‬ ‫כאשר ∆הוא פרמטר שמגדיר שכבת אנרגיה קטנה‪.‬‬ ‫• עבור גז אידאלי של ‪N‬חלקיקים עם מסה ‪ m‬בנפח ‪V‬מספר המצבים ניתן לחישוב כ־‬ ‫ˆ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪N !hN‬‬ ‫‪d3N pd3N q‬‬ ‫= ) ‪Σ(E, V, N‬‬ ‫‪H(q,p)≤E‬‬ ‫• מהחישוב נקבל את האנטרופיה של גז אידאלי‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+ N kB‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3/2 #‬‬ ‫‪4πmE‬‬ ‫‪3N h2‬‬ ‫‬ ‫"‬ ‫‪V‬‬ ‫‪S(E, V, N ) = N kB ln‬‬ ‫‪N‬‬ ‫• הנגזרות של האנטרופיה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪µ‬‬ ‫‪dE + dV − dN‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫= ‪dS‬‬ ‫• מהנגזרות ניתן להגדיר את השדות השונים במערכת )טמפ'‪ ,‬לחץ ופוט' כימי(‪:‬‬ ‫‬ ‫‪E,V‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪∂S‬‬ ‫‪∂V‬‬ ‫‬ ‫‪µ‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‬ ‫‪E,N‬‬ ‫‪∂S‬‬ ‫‪∂V‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪P‬‬ ‫=‬ ‫‪T‬‬ ‫‪V,N‬‬ ‫‪∂S‬‬ ‫‪∂E‬‬ ‫‬ ‫צבר קאנוני‬ ‫• פונקציות החלוקה הקאנונית‪:‬‬ ‫)‪e−βE(C‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= )‪Z(β‬‬ ‫‪C‬‬ ‫כאשר ‪ β = 1/kB T‬והסכום הוא על כל המצבים של המערכת‪ .‬ההסתברות לכל מצב היא‬ ‫)‪1 −βE(C‬‬ ‫‪e‬‬ ‫)‪Z(β‬‬ ‫= )‪P (C‬‬ ‫• אנרגיה חופשית‪:‬‬ ‫)‪F (β) = −kB T ln Z(β‬‬ ‫• אנרגיה ממוצעת בטמפרטורה נתונה‪:‬‬ ‫)‪1 −βE(C‬‬ ‫)‪∂ ln Z(β‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫)‪Z(β‬‬ ‫‪∂β‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪E(C‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪C‬‬ ‫¯‬ ‫)‪E(β‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪T‬‬ ‫• פונקצית החלוקה הקאנונית של גז אידאלי‪:‬‬ ‫‪NV‬‬ ‫‪λ3T‬‬ ‫כאשר ‪h2 /2πmkB T‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪3/2‬‬ ‫=‬ ‫‪2πmkB T‬‬ ‫‪h2‬‬ ‫‪3/2‬‬ ‫‬ ‫‪= NV‬‬ ‫‪2πm‬‬ ‫‪h2 β‬‬ ‫‬ ‫‪.F (T, V, N ) = N V‬‬ ‫≡ ‪ λT‬נקרא אורך הגל התרמי‪.‬‬ ‫• הנגזרות של האנרגיה החופשית‬ ‫‪dF = −SdT − P dV + µdN‬‬ ‫• מהנגזרות ניתן להגדיר את השדות השונים במערכת )טמפ'‪ ,‬לחץ ופוט' כימי(‪:‬‬ ‫‬ ‫‪T,V‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪∂F‬‬ ‫‪∂N‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪∂F‬‬ ‫‪∂V‬‬ ‫=‪µ‬‬ ‫‪T,N‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪P =−‬‬ ‫‪V,N‬‬ ‫‪∂F‬‬ ‫‪∂T‬‬ ‫‬ ‫‪S=−‬‬ ‫צבר גראנד־קאנוני‬ ‫• פונקציות החלוקה הגראנד־קאנונית‪:‬‬ ‫)‪z N (C) e−βE(C‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= )‪L(β, z‬‬ ‫‪C‬‬ ‫כאשר ‪z ,β = 1/kB T‬היא הפוגסיות שמוגדרת מתוך הפוטנציאל הכימי כ־ ‪ .z = eβµ‬ההסתברות לכל מצב היא‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪z N (C) e−βE(C‬‬ ‫)‪L(β, z‬‬ ‫= )‪P (C‬‬ ‫• לחץ בצבר הגרנד־קנוני‬ ‫)‪P V = kB T ln L(β, z‬‬ ‫• מספר חלקיקים ממוצע בטמפרטורה ופוטנציאל כימי נתונים‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪∂ ln L(β, z‬‬ ‫‪z N (C) e−βE(C) = z‬‬ ‫)‪L(β, z‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫)‪N (C‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪C‬‬ ‫• אנרגיה ממוצעת בטמפרטורה ופוטנציאל כימי נתונים‪:‬‬ ‫)‪∂ ln L(β, z‬‬ ‫¯‬ ‫)‪¯ (β, z‬‬ ‫‪E(β,‬‬ ‫‪z) = −‬‬ ‫‪+ µN‬‬ ‫‪∂β‬‬ ‫‪4‬‬ ‫גזים קוונטים‬ ‫• פונקצית החלוקה‪:‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫) ‪(1 + ze−β‬‬ ‫=‪Z‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫=‪Z‬‬ ‫‪Fermions :‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 − ze−β‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Bosons :‬‬ ‫= )‪¯ (β, z‬‬ ‫‪N‬‬ ‫• התפלגות פרמי־דיראק ובוזה איינשטיין )מספר חלקיקים ברמת אנרגיה בצבר גרנד קנוני(‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪z −1 eβ + 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n() = −1 β‬‬ ‫‪z e −1‬‬ ‫‪Fermions :‬‬ ‫= )(‪n‬‬ ‫‪Bosons :‬‬ ‫• צפיפות מצבי אנרגיה )מספר מצבים באנרגיה מסוימת של חלקיק חופשי עם מסה ‪ m‬בקופסא בגודל ‪ Ld‬ללא ספין(‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪L m‬‬ ‫= )(‪One dimension: g‬‬ ‫‪π~ 2‬‬ ‫‪mL2‬‬ ‫= )(‪Two dimensions: g‬‬ ‫‪2π~2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫√ ‪L (2π)3/2‬‬ ‫= )(‪Three dimensions: g‬‬ ‫‬ ‫‪4π 2 ~3‬‬ ‫• מספר חלקיקים ממוצע‪:‬‬ ‫ˆ‬ ‫= ‪¯ = z ∂ ln Z‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫)(‪dg()n‬‬ ‫• אנרגיה ממוצעת ‪:‬‬ ‫ˆ‬ ‫)(‪dg()n‬‬ ‫‪¯ = − ∂ ln Z + ln z N‬‬ ‫= ¯‬ ‫‪E‬‬ ‫‪∂β‬‬ ‫‪β‬‬ ‫• מציאת אנרגית פרמי‪:‬‬ ‫‪F‬‬ ‫ˆ‬ ‫=‪N‬‬ ‫)(‪dg‬‬ ‫‪0‬‬ ‫• תנאי לעיבוי בוזה איינשטיין ‪ :‬קיום ‪T 6= 0‬שעבורו מספר החלקיקים כאשר ‪ z = 1‬מתכנס‬ ‫∞ ˆ‬ ‫‪1‬‬ ‫¯‬ ‫=‪N‬‬ ‫‪dg() β‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫מעבר לטמפ' זו‪ ,‬אם מספר החלקיקים במערכת יהיה גדול ממספר זה‪ ,‬עודף החלקיקים יתרכז ברמת הייסוד‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫עזרים מתמטיים‬ ‫• נפח כדור ‪N‬־מימדי ברדיוס ‪:R‬‬ ‫‪π N/2‬‬ ‫‪π N/2 N‬‬ ‫≈ ‪RN‬‬ ‫‪R‬‬ ‫)‪Γ(N/2 + 1‬‬ ‫!)‪(N/2‬‬ ‫= )‪VN (R‬‬ ‫• קירוב סטירלינג‪:‬‬ ‫‪ln(N !) ≈ N ln N − N‬‬ ‫• אינטרגל גאוסיאני‪:‬‬ ‫‪ π 1/2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‬ ‫ˆ‬ ‫= ‪e−ax‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫• סדרה הנדסית‬ ‫‪1 − qN‬‬ ‫‪1−q‬‬ ‫‪q<1‬‬ ‫‪for‬‬ ‫‪a1 q n−1 = a1‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪1−q‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪a1 q n−1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=1‬‬