‫מכניקה סטטיסטית ־ תרגיל ‪6‬‬ ‫תאריך הגשה ‪9.7.2015 :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫חלקיקים עם סטטיסטיקת ביניים‬ ‫בשאלה זו נדון בחלקיקים היפותטיים עם סטטיסטיקת ביניים‪ ,‬בין פרמיונים לבוזונים‪ .‬מטרת השאלה היא לחזור על הפיתוח של‬ ‫התפלגויות בוזה־איינשטיין ופרמי־דירק על מנת להבין פיתוח זה טוב יותר‪.‬‬ ‫נניח שקיימים חלקיקים עם התכונה הבאה‪ :‬כל מצב קוונטים יכול להיות מאוכלס לכל היותר על ידי ` חלקיקים )כזכור‪ ,‬עבור‬ ‫בוזונים ∞ = `‪ ,‬בעוד שעבור פרמיונים ‪.(` = 1‬‬ ‫‪ .1‬עקבו אחרי הפיתוח מן הכיתה של התפלגויות בוזה־איינשטיין ופרמי־דירק‪ ,‬וחשבו בדרך דומה את האכלוס הממוצע )‪ n(ε‬של‬ ‫`‪P‬‬ ‫‪`+1‬‬ ‫רמת אנרגיה ‪ ε‬בצבר הגרנד קנוני‪ .‬היעזרו בנוסחה לסכום של סדרה הנדסית‪:‬‬ ‫‪ . k=0 xk = 1−x‬ודאו כי עבור ‪` = 1‬‬ ‫‪1−x‬‬ ‫ו‪ ` = ∞-‬מתקבלות התוצאות הרצויות‪.‬‬ ‫‪ .2‬שרטטו באופן סכמטי את )‪ n(ε‬בטמפ' ‪ ,T = 0‬והסבירו בקצרה את התוצאה‪ .‬חשבו את אנרגיית פרמי עבור גז אידיאלי של‬ ‫‪2‬‬ ‫|‪ ( = |p‬מסוג זה‪ ,‬הנמצא בתיבה בנפח ‪) V‬בשלושה מימדים(‪ .‬כיצד משתנה‬ ‫‪ N‬חלקיקים לא יחסותיים )עם יחס דיספרסיה ‪2m‬‬ ‫אנרגיית פרמי כאשר ` גדל?‬ ‫‪2‬‬ ‫פרמיונים עם אנרגיה קינטית לא ריבועית‬ ‫‪2‬‬ ‫~(‪ .ε‬עתה נחקור גז פרמיונים שבו האנרגיה הקינטית‬ ‫|‪p) = |p‬‬ ‫בכיתה דנתם בגז פרמיונים אידאלי עם אנרגיה קינטית ריבועית בתנע‪2m :‬‬ ‫איננה ריבוע התנע‪ .‬מטרת השאלה היא לחזור על המתכון לפתרון בעיות בפיסיקה סטטיסטית קוונטית‪ ,‬ולתרגל כיצד מחשבים את‬ ‫צפיפות המצבים‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫~(‪,ε‬‬ ‫האנרגיה הקינטית של כל חלקיק ניתנת על ידי ‪p) = c|p|α‬‬ ‫‪.V‬‬ ‫=‬ ‫‪L‬‬ ‫בנפח‬ ‫בתיבה‬ ‫לנוע‬ ‫שחופשיים‬ ‫פרמיונים‬ ‫של‬ ‫אידאלי‬ ‫נתון גז‬ ‫‪P‬‬ ‫כאשר ‪ c‬ו־‪ α‬הם קבועים‪ .‬ההמילטוניאן של המערכת הוא אם כן ‪ .H = i c|pi |α‬דוגמאות לגז כזה‪ :‬בכיתה פתרנו גז לא יחסותי‬ ‫‪1‬‬ ‫עם ‪ α = 2‬ו־‬ ‫‪ ,c = 2m‬דוגמא אחרת היא גז אולטרה יחסותי‪ ,‬שמהירות החלקיקים בו קרובה למהירות האור‪ .‬במקרה זה ‪ α = 1‬ו־‪c‬‬ ‫היא מהירות האור‪ .‬אנו נפתור עבור ‪ α‬ו־‪ c‬כלליים‪.‬‬ ‫~‬ ‫‪ .1‬נדון תחילה בבעיה הקוונטית של חלקיק בודד‪ .‬הפונקציות העצמיות של אופרטור התנע הקוונטי ~‬ ‫∇~‪ p~ ≡ −i‬הן כידוע ‪.eik·~x‬‬ ‫הראו שאלו גם הפונקציות העצמיות של ההמילטוניאן של חלקיק בודד במקרה שלנו‪ ,‬ומצאו את ערכי האנרגיה המתאימים‪.‬‬ ‫הניחו לצורך פשטות תנאי שפה מחזוריים עבור פונקציית הגל )כלומר‪ ψ(0, y, z) = ψ(L, y, z) ,‬וכנ"ל בכיוון ‪ y‬ו‪.(z-‬‬ ‫‪ .2‬חשבו את צפיפות המצבים )‪ g(ε‬וכתבו את הביטוי האינטגרלי עבור מספר החלקיקים ‪ ,N‬האנרגיה הפנימית ‪ ,E‬והלחץ ‪P‬‬ ‫כפונקציה של הנפח‪ ,‬הפוטנציאל הכימי והטמפרטורה‪ .‬אין צורך לחשב את האינטגרלים‪.‬‬ ‫‪ .3‬בעזרת אינטגרציה בחלקים‪ ,‬הראו שמתקיים הקשר ‪ E = γP V‬כאשר ‪ γ‬הוא קבוע שתלוי רק ב‪ ,α-‬ומצאו את ‪.γ‬‬ ‫‪ .4‬בטמפרטורה אפס ניתן להעריך את האינטגרלים שקיבלתם בסעיף ב' אנליטית‪ .‬עבור ‪ T = 0‬מצאו את מספר החלקיקים‬ ‫) ‪ N (µ, V‬וממנו חשבו את אנרגיית פרמי ) ‪ .εF (N, V‬חשבו גם את האנרגיה הפנימית והלחץ בטמפרטורה אפס כפונקציה של‬ ‫‪.εF‬‬ ‫‪3‬‬ ‫גז בוזונים‪ :‬הגבול הקלאסי‬ ‫‪ .1‬מצאו את התיקון הקוונטי למשוואת המצב הקלאסית הקושרת את הלחץ והטמפרטורה של גז אידיאלי של ‪ N‬בוזונים בעלי‬ ‫מסה ‪ m 6= 0‬בתיבה בנפח ‪ V‬ובטמפ' ‪ .T‬חשבו את הביטוי עד סדר ראשון ב‪ ,nλ3T -‬כאשר ‪ n = N/V‬היא צפיפות החלקיקים‪.‬‬ ‫במילים אחרות‪ ,‬הראו ש‪-‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‬ ‫‪P V = N kB T 1 + a1 nλ3T + O (nλ3T )2‬‬ ‫וחשבו את המקדם ‪ .a1‬האם הלחץ של גז בוזונים שאיננו מנוון )כלומר‪ ,‬כאשר ‪ (nλ3T 1‬גדול או קטן מזה של גז קלאסי‬ ‫באותה טמפ' וצפיפות? השוו עם משוואת המצב של גז פרמיונים לא מנוון והסבירו באופן איכותי את ההבדל בין שתי התוצאות‪.‬‬ ‫‪ .2‬מצאו את התיקון הקוונטי למשוואת המצב הקלאסית עבור האנרגיה של הגז‪ .‬חשבו את הביטוי עד סדר ראשון ב‪ .nλ3T -‬במילים‬ ‫אחרות‪ ,‬הראו ש‪-‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫‪E = N kB T 1 + b1 nλ3T + O (nλ3T )2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫וחשבו את המקדם ‪ .b1‬חשבו גם את קיבול החום עד סדר ראשון‪ .‬האם קיבול החום גדול או קטן מזה של גז קלאסי?‬ ‫‪1‬‬