‫סמסטר חורף תשס"ח‬ ‫פיסיקה תרמית – פתרון תרגיל ‪6‬‬ ‫‪ .1‬א‪.‬‬ ‫‪ .a‬הגדלת טמפרטורה איזנטרופית‪ ,‬שהיא כמובן דחיסה אדיאבטית )הגדלת האנרגיה של המערכת ללא העברת חום(‪.‬‬ ‫‪ .d‬חימום איזותרמי‪ ,‬שהוא התפשטות איזותרמית‪.‬‬ ‫‪ .c‬התפשטות אדיאבטית‪ .‬גם כאן אין מעבר חום‪.‬‬ ‫‪ .b‬קירור איזותרמי‪ ,‬שהוא דחיסה איזותרמית‪.‬‬ ‫ב‪ .‬זהו מנוע חום המבצע שני תהליכים איזותרמיים ושני תהליכים אדיאבטים ולכן זהו מנוע קרנו‪.‬‬ ‫ג‪ .‬רק בתהליכים ‪ d‬ו ‪ b‬יש מעבר חום‪ .‬מאחר ושני תהליכים אלו הם איזותרמיים נקבל ‪ . Q = T ⋅ ∆S‬נותר כעת לחשב‬ ‫את השינוי באנטרופיה מתוך נוסחאת סאקור טטרודה‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ V U 2 ‬‬ ‫‪S = NK ln    + S 0‬‬ ‫‪NN ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ונקבל ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪ ∆S b = − NK ln 3‬וגם‬ ‫‪ V2‬‬ ‫‪V ‬‬ ‫‪V ‬‬ ‫‪ . ∆S d = NK ln 4 ‬וכמות החום המועברת ‪Qb = −TC NK ln 3 ‬‬ ‫‪ V2 ‬‬ ‫‪ V1 ‬‬ ‫‪V3 V4‬‬ ‫‪V ‬‬ ‫=‬ ‫וגם ‪ . Qd = TH NK ln 4 ‬במנוע קרנו על הנפחים לקיים‬ ‫‪V2 V1‬‬ ‫‪ V1 ‬‬ ‫‪ η = Qd − Qb = 1 − TC‬כמצופה ממנוע קרנו‪.‬‬ ‫בחישוב יעילות המנוע נקבל‬ ‫‪Qd‬‬ ‫‪TH‬‬ ‫)בגלל התהליכים האדיאבטיים(‪.‬‬ ‫‪.2‬פאראמגנט פשוט‪.‬‬ ‫א‪.‬עבור מצב עם אנרגיה נתונה ‪ N↑-‬נתון‪ .‬כפליות המצב נתונה על ידי כל האפשרויות לבחור את ה‪ N↑-‬מתוך ‪,N‬‬ ‫!‪N‬‬ ‫!) ↑ ‪N ↑ !(N − N‬‬ ‫= ) ↑ ‪. Ω(N , N‬‬ ‫ומכאן על ידי שימוש בקירוב סטירלינג‬ ‫!‪N‬‬ ‫) ↑ ‪≈ N ln N − N ↑ ln N ↑ − (N − N ↑ )ln (N − N‬‬ ‫!) ↑ ‪N ↑ !(N − N‬‬ ‫‪ln Ω(N , N ↑ ) = ln‬‬ ‫והאנטרופיה היא פשוט ‪ kB‬כפול תוצאה זו‪.‬‬ ‫כעת נרשום ↓ ‪ (N − N ↑ ) = N‬ונפתח את הביטוי שהתקבל עבור הגבול ↑‪N↓<<N‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪N ‬‬ ‫= ↓ ‪+ N ↓ )ln (N ↑ + N ↓ ) − N ↑ ln N ↑ − N ↓ ln N ↓ = (N ↑ + N ↓ )ln N ↑ 1 + ↓   − N ↑ ln N ↑ − N ↓ ln N‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪N ↑  ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ eN‬‬ ‫↑ ‪ + N ↓ ⇒ S ≈ k B N ↓ ln‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ N‬‬ ‫‪‬‬ ‫↓ ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N  ‬‬ ‫‪N ‬‬ ‫↑ ‪ + N ↑ 1 + ↓  ln1 + ↓  ≈ N ↓ ln‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N ↑  ‬‬ ‫‪N ↑ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫↓ ‪‬‬ ‫↑‬ ‫‪(N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫↑ ‪N ↓ ln‬‬ ‫↓‪ N‬‬ ‫ נוכל לגזור בשרשרת‬1/T=(∂S/∂U)N-‫ מאחר ש‬. U = − N ↑ ε + N ↓ ε = (N − 2 N ↑ )ε ‫ האנרגיה נתונה על ידי‬.‫ב‬ .  ∂S 1  ∂S  =  =  T  ∂U  N  ∂N ↑   ∂N ↑  N↑  1  kB    [ ( ) ] = − − + − + − = ln 1 ln 1 ln k N N N B ↑ ↑  2ε  2ε (N − N )   ∂U    N ↑ N  ‫ את האנרגיה לפי‬N ↑ ‫כעת נציב במקום‬ U = (N − 2 N ↑ )ε ⇒ N ↑ = N U − 2 2ε ‫ולכן‬ k N 2 − U 2ε k B N − U ε N 2 − U 2ε 1 kB = = B ln = ln ln T 2ε ( N − ( N 2 − U 2ε )) 2ε N 2 + U 2ε 2ε N + U ε ‫כלומר‬   Nε − U 2ε 2ε  2ε   = U 1 + exp  ⇒ = exp ⇒ Nε1 − exp Nε + U k BT k T k T B  B      −ε ε  −ε ε   = U  exp  Nε exp − exp + exp k BT k BT  k BT k B T    :‫ומכאן‬  −ε ε  ε  exp  − exp 2 sinh k BT k BT  k BT ε U = Nε  = − Nε tanh = − Nε ε k BT  −ε ε  2 cosh  exp  + exp k BT k BT k BT   .‫ג‬ :‫נציב את הביטוי לאנטרופיה‬ S = k B ln Ω = k B [N ln N − N ↑ ln N ↑ − (N − N ↑ )ln (N − N ↑ )] :‫ ולכן‬,U ‫ כפונקציה של‬N↑ ‫מצאנו כבר את‬   N U   N U   N U   N U  S = k B N ln N −  −  ln −  −  +  ln +   2 2ε   2 2ε   2 2ε   2 2ε   ε  N U  N ε  N U  N  ;  +  = 1 + tanh   −  = 1 − tanh k B T   2 2ε  2  k B T   2 2ε  2  ‫הצבה לפי ההדרכה ונקבל‬    − ε k BT  e Ne − ε k BT ln S = k B N ln N − ε ε   2 cosh 2 cosh   k BT  k BT      ε k BT Ne ε k BT − e ln ε ε    2 cosh k T  2 cosh k T B B         ‫‪−x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ e−x‬‬ ‫‪e+x ‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪ ln N −‬‬ ‫‪(x − ln(2 cosh x) ) − e (− x − ln(2 cosh x) )‬‬ ‫‪= k B N ln N − ‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2 cosh x‬‬ ‫‪2 cosh x‬‬ ‫‪ 2 cosh x 2 cosh x ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)אחרי שהצבנו לשם פשטות ‪ .( x = ε / k B T‬האיברים התלויים ב‪ lnN-‬מצטמצמים‪ ,‬ואנו נשארים רק עם‬ ‫‪ e+x − e−x e+x + e−x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪S‬‬ ‫] ‪ln(2 cosh x) = k B [ln 2 cosh x − x tanh x‬‬ ‫‪= k B − x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪2 cosh x‬‬ ‫‪2 cosh x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫הגבול ‪ N↓<<N‬אומר מעט מאוד דיפולים בספין הפוך‪ ,‬כלומר טמפרטורה נמוכה מאוד‪ x→∞ :‬בביטויים שלהלן‪ .‬בגבול‬ ‫הזה ‪ tanh(x)→1‬ואילו ‪ .ln(2coshx)→x‬התוצאה הסופית היא‬ ‫‪S‬‬ ‫‪= k B [ln 2 cosh x − x tanh x] → k B [x − x ] = 0‬‬ ‫‪N‬‬ ‫ואכן‪ ,‬זו המגמה הנכונה – האנטרופיה צריכה לשאוף לאפס בטמפרטורה נמוכה‪.‬‬ ‫‪.3‬מוצק איינשטיין בגבול הקר‬ ‫א‪.‬‬ ‫בעזרת ההנחה שאין חלקיקים עם יותר ממנת אנרגיה אחת‪ ,‬בעצם צריך לבחור ‪ q‬חלקיקים מתוך ‪ N‬שיקבלו מנת אנרגיה‬ ‫אחת כל אחד‪ .‬כלומר‬ ‫!‪N‬‬ ‫!‪(N − q )!q‬‬ ‫= ) ‪Ω( N , q‬‬ ‫נשתמש בנוסחת סטרלינג כדי להתקדם‪:‬‬ ‫!‪N‬‬ ‫≈!‪= ln N !− ln(( N − q )!) − ln q‬‬ ‫!‪(N − q )!q‬‬ ‫= ] ‪≈ N ln N − N − [( N − q ) ln( N − q ) − ( N − q )] − [q ln q − q‬‬ ‫‪ln[Ω( N , q )] = ln‬‬ ‫‪q  ‬‬ ‫‪q ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪N ln N − (N − q ) ln( N − q ) − q ln q = N ln N − N 1 −  ln N 1 −   − q ln q‬‬ ‫‪ N    N ‬‬ ‫נשתמש בקירוב ש‪ ln(1+x)≈x-‬עבור ‪ x‬קטן מאוד מאחד )שהרי ‪ ,(q<<N‬ונקבל‬ ‫‪q  ‬‬ ‫‪q ‬‬ ‫‪q ‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪N ln N − N 1 −  ln N 1 −   − q ln q = N ln N − N 1 −  ln N −  − q ln q‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ N    N ‬‬ ‫‪ N ‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪ eN ‬‬ ‫‪q2‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪− q ln q = q ln N − q ln q + q = q ln + q = ln‬‬ ‫‪N ln N − N ln N + q ln N + q −‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪ q ‬‬ ‫בדרך הזנחנו את ‪ ,q2/N‬שהוא קטן באופן משמעותי מיתר האיברים‪ .‬אכן קיבלנו צורה דומה מאוד לזו של הקירוב החם‪.‬‬ ‫ב‪ .‬לפי ההגדרה )‪ , S = k B ln(Ω‬ולכן‪,‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪ N ‬‬ ‫‪ eN ‬‬ ‫‪ eN ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ = k B q ln‬‬ ‫‪ = k B  ln  + 1 .‬‬ ‫‪S q = k B ln‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪ q ‬‬ ‫‪ q ‬‬ ‫‪ q ‬‬ ‫חשוב לשים לב שגם האנטרופיה פר חלקיק וגם האנטרופיה פר מנת אנרגיה הם גדלים אינטנסיביים‪ ,‬ולכן עליהם להיות‬ ‫תלויים רק בגדלים אינטנסיביים אחרים‪ .‬זו אכן התוצאה כאן‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫צריך לגזור )‪ (∂S/∂U‬כאשר ‪ , U = qε‬ואז מקבלים‬ ‫‪U = Nεe −ε / k B T‬‬ ‫‪ .4‬אם נצמד שני גזים ונאפשר מעבר חום אזי הם יגיעו לשווי משקל כאשר הם ישוו טמפרטורה‪.‬‬ ‫בשווי משקל כל אחד מהגזים יקיים את הקשר בין נגזרת האנטרופיה והטמפרטורה‪ .‬עבור גז אידיאלי נקבל‬ ‫‪1 αNk‬‬ ‫=‬ ‫‪T‬‬ ‫‪U‬‬ ‫=‬ ‫‪V‬‬ ‫‪∂S‬‬ ‫‪∂U‬‬ ‫אינטגרציה תיתן ) ‪ . S = NK ln(U α ) + S 0 ( N , V‬אם נסתכל על ‪ s‬האנטרופיה לחלקיק ו‪u‬‬ ‫‪  U α ‬‬ ‫‪∂s‬‬ ‫‪1 αk‬‬ ‫‪V ‬‬ ‫האנרגיה לחלקיק נקבל‬ ‫ומכאן קל לקבל ‪. Ns = S = NK ln    + Ns 0  ‬‬ ‫= =‬ ‫‪ N  ‬‬ ‫∂‬ ‫‪N‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪γ −1‬‬ ‫מכך שבתהליך אדיאבטי המקיים ‪T = V T = const‬‬ ‫‪ V‬האנטרופיה לא משתנה נקבל כי לאורך אדיאבטה‬ ‫‪ . V = C ⋅ U − α‬נתייחס לאנטרופיה כפונקציה של ‪ U‬ו ‪ V‬ונקבל‬ ‫‪1‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪= NK‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪∂S‬‬ ‫‪V‬‬ ‫⇒‬ ‫‪∂V‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪1 ∂S‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪U ∂V‬‬ ‫‪= αNK‬‬ ‫‪adiabativ‬‬ ‫‪dV‬‬ ‫‪dU‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪∂S‬‬ ‫‪∂V‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪∂S‬‬ ‫‪∂U‬‬ ‫=‪=0‬‬ ‫‪adiabatic‬‬ ‫‪dS‬‬ ‫‪dU‬‬ ‫‪ V  U α ‬‬ ‫משיקולי אינטנסיביות )או לחילופין אם נחזור על החישוב פר חלקיק( נקבל ) ‪. S = NK ln    + S 0 ( N‬‬ ‫‪NN ‬‬