null

‫סמסטר חורף תשס"ח‬
‫פיסיקה תרמית – פתרון תרגיל ‪6‬‬
‫‪ .1‬א‪.‬‬
‫‪ .a‬הגדלת טמפרטורה איזנטרופית‪ ,‬שהיא כמובן דחיסה אדיאבטית )הגדלת האנרגיה של המערכת ללא העברת חום(‪.‬‬
‫‪ .d‬חימום איזותרמי‪ ,‬שהוא התפשטות איזותרמית‪.‬‬
‫‪ .c‬התפשטות אדיאבטית‪ .‬גם כאן אין מעבר חום‪.‬‬
‫‪ .b‬קירור איזותרמי‪ ,‬שהוא דחיסה איזותרמית‪.‬‬
‫ב‪ .‬זהו מנוע חום המבצע שני תהליכים איזותרמיים ושני תהליכים אדיאבטים ולכן זהו מנוע קרנו‪.‬‬
‫ג‪ .‬רק בתהליכים ‪ d‬ו ‪ b‬יש מעבר חום‪ .‬מאחר ושני תהליכים אלו הם איזותרמיים נקבל ‪ . Q = T ⋅ ∆S‬נותר כעת לחשב‬
‫את השינוי באנטרופיה מתוך נוסחאת סאקור טטרודה‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ V U 2 ‬‬
‫‪S = NK ln    + S 0‬‬
‫‪NN ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ונקבל ‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪V‬‬
‫‪ ∆S b = − NK ln 3‬וגם‬
‫‪ V2‬‬
‫‪V ‬‬
‫‪V ‬‬
‫‪ . ∆S d = NK ln 4 ‬וכמות החום המועברת ‪Qb = −TC NK ln 3 ‬‬
‫‪ V2 ‬‬
‫‪ V1 ‬‬
‫‪V3 V4‬‬
‫‪V ‬‬
‫=‬
‫וגם ‪ . Qd = TH NK ln 4 ‬במנוע קרנו על הנפחים לקיים‬
‫‪V2 V1‬‬
‫‪ V1 ‬‬
‫‪ η = Qd − Qb = 1 − TC‬כמצופה ממנוע קרנו‪.‬‬
‫בחישוב יעילות המנוע נקבל‬
‫‪Qd‬‬
‫‪TH‬‬
‫)בגלל התהליכים האדיאבטיים(‪.‬‬
‫‪.2‬פאראמגנט פשוט‪.‬‬
‫א‪.‬עבור מצב עם אנרגיה נתונה ‪ N↑-‬נתון‪ .‬כפליות המצב נתונה על ידי כל האפשרויות לבחור את ה‪ N↑-‬מתוך ‪,N‬‬
‫!‪N‬‬
‫!) ↑ ‪N ↑ !(N − N‬‬
‫= ) ↑ ‪. Ω(N , N‬‬
‫ומכאן על ידי שימוש בקירוב סטירלינג‬
‫!‪N‬‬
‫) ↑ ‪≈ N ln N − N ↑ ln N ↑ − (N − N ↑ )ln (N − N‬‬
‫!) ↑ ‪N ↑ !(N − N‬‬
‫‪ln Ω(N , N ↑ ) = ln‬‬
‫והאנטרופיה היא פשוט ‪ kB‬כפול תוצאה זו‪.‬‬
‫כעת נרשום ↓ ‪ (N − N ↑ ) = N‬ונפתח את הביטוי שהתקבל עבור הגבול ↑‪N↓<<N‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪N ‬‬
‫= ↓ ‪+ N ↓ )ln (N ↑ + N ↓ ) − N ↑ ln N ↑ − N ↓ ln N ↓ = (N ↑ + N ↓ )ln N ↑ 1 + ↓   − N ↑ ln N ↑ − N ↓ ln N‬‬
‫‪‬‬
‫‪N ↑  ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ eN‬‬
‫↑ ‪ + N ↓ ⇒ S ≈ k B N ↓ ln‬‬
‫‪‬‬
‫‪ N‬‬
‫‪‬‬
‫↓ ‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪N‬‬
‫‪N  ‬‬
‫‪N ‬‬
‫↑ ‪ + N ↑ 1 + ↓  ln1 + ↓  ≈ N ↓ ln‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪N‬‬
‫‪N ↑  ‬‬
‫‪N ↑ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫↓ ‪‬‬
‫↑‬
‫‪(N‬‬
‫‪N‬‬
‫↑ ‪N ↓ ln‬‬
‫↓‪ N‬‬
‫ נוכל לגזור בשרשרת‬1/T=(∂S/∂U)N-‫ מאחר ש‬. U = − N ↑ ε + N ↓ ε = (N − 2 N ↑ )ε ‫ האנרגיה נתונה על ידי‬.‫ב‬
.
 ∂S
1  ∂S 
=
 = 
T  ∂U  N  ∂N ↑
  ∂N ↑ 
N↑
 1  kB
 

[
(
)
]
=
−
−
+
−
+
−
=
ln
1
ln
1
ln
k
N
N
N
B
↑
↑
 2ε  2ε (N − N )
  ∂U 


N
↑
N 
‫ את האנרגיה לפי‬N ↑ ‫כעת נציב במקום‬
U = (N − 2 N ↑ )ε ⇒ N ↑ =
N U
−
2 2ε
‫ולכן‬
k
N 2 − U 2ε k B N − U ε
N 2 − U 2ε
1 kB
=
= B ln
=
ln
ln
T 2ε ( N − ( N 2 − U 2ε )) 2ε N 2 + U 2ε 2ε N + U ε
‫כלומר‬


Nε − U
2ε
2ε 
2ε 
 = U 1 + exp
 ⇒
= exp
⇒ Nε1 − exp
Nε + U
k BT
k
T
k
T
B 
B 




−ε
ε 
−ε
ε 
 = U  exp

Nε exp
− exp
+ exp
k BT
k BT 
k BT
k B T 


:‫ומכאן‬

−ε
ε 
ε
 exp

− exp
2 sinh
k BT
k BT 
k BT
ε
U = Nε 
= − Nε tanh
= − Nε
ε
k BT

−ε
ε 
2 cosh
 exp

+ exp
k BT
k BT
k BT 

.‫ג‬
:‫נציב את הביטוי לאנטרופיה‬
S = k B ln Ω = k B [N ln N − N ↑ ln N ↑ − (N − N ↑ )ln (N − N ↑ )]
:‫ ולכן‬,U ‫ כפונקציה של‬N↑ ‫מצאנו כבר את‬

 N U   N U   N U   N U 
S = k B N ln N −  −  ln −  −  +  ln + 
 2 2ε   2 2ε   2 2ε   2 2ε 

ε  N U  N
ε 
N U  N
 ;  +  = 1 + tanh

 −  = 1 − tanh
k B T   2 2ε  2 
k B T 
 2 2ε  2 
‫הצבה לפי ההדרכה ונקבל‬



− ε k BT

e
Ne − ε k BT
ln
S = k B N ln N −
ε
ε


2 cosh
2 cosh


k BT 
k BT





ε k BT
Ne ε k BT
− e
ln
ε
ε


 2 cosh k T  2 cosh k T
B
B








‫‪−x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ e−x‬‬
‫‪e+x ‬‬
‫‪ex‬‬
‫‪ ln N −‬‬
‫‪(x − ln(2 cosh x) ) − e (− x − ln(2 cosh x) )‬‬
‫‪= k B N ln N − ‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2 cosh x‬‬
‫‪2 cosh x‬‬
‫‪ 2 cosh x 2 cosh x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫)אחרי שהצבנו לשם פשטות ‪ .( x = ε / k B T‬האיברים התלויים ב‪ lnN-‬מצטמצמים‪ ,‬ואנו נשארים רק עם‬
‫‪ e+x − e−x e+x + e−x‬‬
‫‪‬‬
‫‪S‬‬
‫] ‪ln(2 cosh x) = k B [ln 2 cosh x − x tanh x‬‬
‫‪= k B − x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪N‬‬
‫‪2 cosh x‬‬
‫‪2 cosh x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫הגבול ‪ N↓<<N‬אומר מעט מאוד דיפולים בספין הפוך‪ ,‬כלומר טמפרטורה נמוכה מאוד‪ x→∞ :‬בביטויים שלהלן‪ .‬בגבול‬
‫הזה ‪ tanh(x)→1‬ואילו ‪ .ln(2coshx)→x‬התוצאה הסופית היא‬
‫‪S‬‬
‫‪= k B [ln 2 cosh x − x tanh x] → k B [x − x ] = 0‬‬
‫‪N‬‬
‫ואכן‪ ,‬זו המגמה הנכונה – האנטרופיה צריכה לשאוף לאפס בטמפרטורה נמוכה‪.‬‬
‫‪.3‬מוצק איינשטיין בגבול הקר‬
‫א‪.‬‬
‫בעזרת ההנחה שאין חלקיקים עם יותר ממנת אנרגיה אחת‪ ,‬בעצם צריך לבחור ‪ q‬חלקיקים מתוך ‪ N‬שיקבלו מנת אנרגיה‬
‫אחת כל אחד‪ .‬כלומר‬
‫!‪N‬‬
‫!‪(N − q )!q‬‬
‫= ) ‪Ω( N , q‬‬
‫נשתמש בנוסחת סטרלינג כדי להתקדם‪:‬‬
‫!‪N‬‬
‫≈!‪= ln N !− ln(( N − q )!) − ln q‬‬
‫!‪(N − q )!q‬‬
‫= ] ‪≈ N ln N − N − [( N − q ) ln( N − q ) − ( N − q )] − [q ln q − q‬‬
‫‪ln[Ω( N , q )] = ln‬‬
‫‪q  ‬‬
‫‪q ‬‬
‫‪‬‬
‫‪N ln N − (N − q ) ln( N − q ) − q ln q = N ln N − N 1 −  ln N 1 −   − q ln q‬‬
‫‪ N    N ‬‬
‫נשתמש בקירוב ש‪ ln(1+x)≈x-‬עבור ‪ x‬קטן מאוד מאחד )שהרי ‪ ,(q<<N‬ונקבל‬
‫‪q  ‬‬
‫‪q ‬‬
‫‪q ‬‬
‫‪q‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪N ln N − N 1 −  ln N 1 −   − q ln q = N ln N − N 1 −  ln N −  − q ln q‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ N    N ‬‬
‫‪ N ‬‬
‫‪q‬‬
‫‪ eN ‬‬
‫‪q2‬‬
‫‪N‬‬
‫‪‬‬
‫‪− q ln q = q ln N − q ln q + q = q ln + q = ln‬‬
‫‪N ln N − N ln N + q ln N + q −‬‬
‫‪N‬‬
‫‪q‬‬
‫‪ q ‬‬
‫בדרך הזנחנו את ‪ ,q2/N‬שהוא קטן באופן משמעותי מיתר האיברים‪ .‬אכן קיבלנו צורה דומה מאוד לזו של הקירוב החם‪.‬‬
‫ב‪ .‬לפי ההגדרה )‪ , S = k B ln(Ω‬ולכן‪,‬‬
‫‪q‬‬
‫‪ N ‬‬
‫‪ eN ‬‬
‫‪ eN ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ = k B q ln‬‬
‫‪ = k B  ln  + 1 .‬‬
‫‪S q = k B ln‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪ q ‬‬
‫‪ q ‬‬
‫‪ q ‬‬
‫חשוב לשים לב שגם האנטרופיה פר חלקיק וגם האנטרופיה פר מנת אנרגיה הם גדלים אינטנסיביים‪ ,‬ולכן עליהם להיות‬
‫תלויים רק בגדלים אינטנסיביים אחרים‪ .‬זו אכן התוצאה כאן‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫צריך לגזור )‪ (∂S/∂U‬כאשר ‪ , U = qε‬ואז מקבלים‬
‫‪U = Nεe −ε / k B T‬‬
‫‪ .4‬אם נצמד שני גזים ונאפשר מעבר חום אזי הם יגיעו לשווי משקל כאשר הם ישוו טמפרטורה‪.‬‬
‫בשווי משקל כל אחד מהגזים יקיים את הקשר בין נגזרת האנטרופיה והטמפרטורה‪ .‬עבור גז אידיאלי נקבל‬
‫‪1 αNk‬‬
‫=‬
‫‪T‬‬
‫‪U‬‬
‫=‬
‫‪V‬‬
‫‪∂S‬‬
‫‪∂U‬‬
‫אינטגרציה תיתן ) ‪ . S = NK ln(U α ) + S 0 ( N , V‬אם נסתכל על ‪ s‬האנטרופיה לחלקיק ו‪u‬‬
‫‪  U α ‬‬
‫‪∂s‬‬
‫‪1 αk‬‬
‫‪V ‬‬
‫האנרגיה לחלקיק נקבל‬
‫ומכאן קל לקבל ‪. Ns = S = NK ln    + Ns 0  ‬‬
‫= =‬
‫‪ N  ‬‬
‫∂‬
‫‪N‬‬
‫‪u‬‬
‫‪T‬‬
‫‪u‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪V‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪α‬‬
‫‪γ −1‬‬
‫מכך שבתהליך אדיאבטי המקיים ‪T = V T = const‬‬
‫‪ V‬האנטרופיה לא משתנה נקבל כי לאורך אדיאבטה‬
‫‪ . V = C ⋅ U − α‬נתייחס לאנטרופיה כפונקציה של ‪ U‬ו ‪ V‬ונקבל‬
‫‪1‬‬
‫‪V‬‬
‫‪= NK‬‬
‫‪U‬‬
‫‪∂S‬‬
‫‪V‬‬
‫⇒‬
‫‪∂V‬‬
‫‪U‬‬
‫‪α‬‬
‫‪U‬‬
‫‪1 ∂S‬‬
‫‪−‬‬
‫‪U ∂V‬‬
‫‪= αNK‬‬
‫‪adiabativ‬‬
‫‪dV‬‬
‫‪dU‬‬
‫‪U‬‬
‫‪∂S‬‬
‫‪∂V‬‬
‫‪+‬‬
‫‪V‬‬
‫‪∂S‬‬
‫‪∂U‬‬
‫=‪=0‬‬
‫‪adiabatic‬‬
‫‪dS‬‬
‫‪dU‬‬
‫‪ V  U α ‬‬
‫משיקולי אינטנסיביות )או לחילופין אם נחזור על החישוב פר חלקיק( נקבל ) ‪. S = NK ln    + S 0 ( N‬‬
‫‪NN ‬‬