פתרון לחוברת III
מרתון בקורס: מבוא לסטטיסטיקה ב' חוברת III סטודנטים יקרים, אנו גאים להציג בפניכם חוברת זו ,המהווה חלק קטן ממערך הולך וגדל של חומר עזר לסטודנטים באתר .Openbook מצאתם טעות? נא שלחו הודעה לכתובת המייל [email protected] בברכת הצלחה במבחנים ובכל התואר ! המרכז לקידום אקדמי .OpenBook המרכז לקידום אקדמי אינו אחראי לטיב הפתרונות המוצגים בחוברת ולטעויות במקרה שקיימות. כל הזכויות שמורות למרכז לקידום אקדמי Openbookבלבד. אין להפיץ ,למכור או להעתיק חלק או את כל החוברת. תאריך עדכון :יוני 2015 www.OpenBook.co.il | [email protected] 2 יחידה 14 מבחנים א -פרמטריים עסקנו עד פרק זה במבחנים על tו z-המבוססים על הנחות לגבי האוכלוסייה ממנה נדגמו הפריטים. משפחת המבחנים הא -פרמטרים נועדו לתת מענה למצבים בהם לא ניתן להניח הנחות על האוכלוסייה. רוב המבחנים הא -פרמטריים מבוססים דירוגים ,דירוג מספרים מתמקד במיקום כל ערך יחסית לערכים האחרים ולא בעוצמתו (הערך של המספר) .דירוגים מתייחסים אך ורק לתכונת הסדר של המספרים ,לכן דורשים סולם סדר לפחות. המבחנים הא-פרמטריים מחולקים ל: .1מבחנים לבדיקת השערות על משתנה מקרי אחד ( מבחן הבינום ,מבחן טיב ההתאמה ) .2מבחנים לבדיקת השערות על שני משתנים מקריים( 2מדגמים): א .בלתי תלויים ( מבחן וילקוקסון למדגמים בלתי תלויים ,מבחן פישר ) ב .תלויים – מזווגים ( מבחן הסימן ,מבחן וילקוקסון למדגמים מזווגים ,מבחן מקנמר). מדגם אחד התפלגות בינומית ומבחן הבינום אנו נשתמש במבחן זה כאשר המשתנה בינומי באוכלוסייה ,המדגם קטן ולא עומד בתנאי הקירוב לנורמלי ( .) np, nq 10לכן נשתמש בנוסחת הבינום. תנאים: ( )1מדגם אחד ( )2משתנה בינומי באוכלוסייה ( )3תנאי קירוב לנורמלי לא מתקיים np<10 , nq<10 חישוב: נחשב את אלפא מינימום p.v min P X k :כאשר kהתוצאה שהתקבלה במדגם ,ע"י טבלת ההסתברות הבינומית או נוסחת הבינום. נשים לב שבטבלה נתון ערך מצטבר ולכן נתוןP X k : באופן כללי: במצב שבו ההסתברות להצלחה בניסיון מסוים היא pוההסתברות לכישלון היא .q = 1-pהסיכוי n k nk להצליח kפעמים מתוך nניסיונות ב"ת שווה ל: p q k אלה הם ניסיונות :Bernoulliניסיונות ב"ת ,כאשר לכל ניסיון 2תוצאות אפשריות. אם נחשב פונקציית הסתברות של ( kמספר הצלחות מתוך nניסיונות) ,נקבל התפלגות בינומית. הכרעה: נדחה את H 0אם ( p.v או 2 www.OpenBook.co.il ( | [email protected] 3 שאלה 1 משווק ביצים טוען שרק 10%מהביצים שהוא משווק סדוקות .הקונים טוענים שאחוז הסדוקות גבוה יותר .נלקח מדגם של 15ביצים ונמצאו 5ביצים סדוקות .מהי מסקנתך ברמת מובהקות ?0.05 פתרון y ~ B 15,0.1 H 0 : p 0.1 y ~ B 15, p 0.1 H1 : p 0.1 הנחות n p 15 0.1 1.5 10 :ולכן לא נשתמש בקירוב הנורמלי לבינומי אלא במבחן הבינום. נבדוק מה ההסתברות לדחות את H0 על סמך תוצאות המבחן min P y 5 | H 0true 1 P y 4 1 0.9873 0.0127 החישוב התבסס על הטבלה של התפלגות בינומית מצטברת כאשר p=0.1, x=4,n=15 כלל ההכרעה אם minנדחה H 0 אחרת נקבל. עבור 0.05>0.0127 , 0.05אז נדחה , H 0כלומר אחוז הסדוקות גדול מ 10%-בר"מ .0.05 שאלה 2 בסקר קודם נמצא כי 40%מהציבור בישראל מרוצה מפעולות הממשלה .כדי לבדוק אם חלה ירידה בשביעות רצון של הציבור מפעולות הממשלה ,נדגמו 20נשאלים ונמצא כי 6מתוכם היו מרוצים .בחן את ההשערה בר"מ ?0.05 פתרון p 0.4 נתוניםn 20 : השערות: 0.05 H 0 : p 0.4 H1 : p 0.4 תנאים: ( )1מדגם אחד ( )2משתנה בינומי באוכלוסייה ( )3ת.ק.ל לא מתקיים: n p 0.4 20 8 n q 0.6 20 12 לכן מבחן הבינום חישוב ' : נתון x 0.6, n 20, p 0.4 :ולכן ' P x 6 0.2500 0.05 : חישוב באמצעות הטבלה של ההסתברות הבינומית המצטברת עבור pים שונים בעמוד 45בחוברת כאשר. x 0.6, n 20, p 0.4 : החלטה :קבלת H 0 מסקנ ה :לא ניתן לקבל את הטענה שחלה ירידה בשביעות רצון בר"מ 0.05 שאלה 3ממבחן כדי לבדוק אם מטבע מסוים הוא תקין מטילים אותו 8פעמים. www.OpenBook.co.il | [email protected] 4 אם הוא נופל על "ראש" 2,3,4,5או 6פעמים מחליטים שהמטבע תקין ,אחרת מזויף. א .מהי רמת המובהקות של המבחן? ב .אם האלטרנטיבה שההסתברות ל"ראש" במטבע זה היא ,0.4מהי עצמת המבחן? פתרון מדובר בבדיקת השערות על פרופורציה על סמך מדגם בגודל 8שלא מאפשר שימוש בקרוב הנורמלי כי np=4<10ולכן יש להשתמש בהתפלגות הבינומית .מבחן הבינום .השערות: H 0 : p 0.5, H1 : p 0.5 סעיף א נתון אזור הדחיה ויש לחשב את רמת המובהקות של המבחן שהוצע: בהנחת H0 X ~ Bin 8,0.5 :מספר הפעמים שהמטבע נפל על "ראש". אזור הדחייה הוא דחה את השערת האפס כאשר X 0,1, 7,8 :לכן: P X 0,1, 7,8 | p 0.5 P X 1 P X 7 P X 1 1 P X 6 0.035 1 0.965 0.07 החישוב התבצע מהטבלה בסוף הספר לבינומי. 1 P X 0,1, 7,8 | p 0.4 סעיף ב 8 8 8 8 0.40 0.68 0.41 0.67 0.47 0.61 0.48 0.60 0.1148 0 1 7 8 שאלה ( 4פתרון מלא ומוקלט באתר )www.openbook.co.il נתוני משרד הבריאות מראים כי 80%מהמעשנים שמנסים להיגמל מעישון חוזרים לעשן. מרכז לגמילה מעישון טוען שפיתח שיטת גמילה חדשה ולפיה אחוז החוזרים לעשן נמוך מ.80% - לצורך בדיקת הטענה נלקח מדגם מקרי של 15מעשנים שעברו את שיטת הגמילה החדשה. לאחר חצי שנה בדקו כמה מבין ה 15 -חזרו לעשן. הוחלט לקבל את טענת המרכז לגמילה אם מספר האנשים שחזרו לעשן הוא לכל היותר .8 .1מהי רמת המובהקות של המבחן המוצע? . 2מהי עצמת המבחן המוצע אם ההסתברות לחזור לעשן לאחר גמילה בשיטה החדשה היא ?0.5 פתרון 𝐻0 : 𝑝 = 0.8 𝐻1 : 𝑝 < 0.8 )𝑝 𝑋~𝐵𝑖𝑛(15,מספר המעשנים שחזרו לעשן 𝛼 = 𝑃𝑝=0.8 (𝑋 ≤ 8) = 0.0181 www.OpenBook.co.il | [email protected] 5 )2( סעיף 𝐻1 : 𝑝 = 0.5 1 − 𝛽 = 𝑃𝑝=0.5 (𝑋 ≤ 8) = 0.696 6 [email protected] | www.OpenBook.co.il מבחן חי בריבוע לטיב התאמה )Chi-square for goodness of fit (2 משתמשים במבחן זה כשמעוניינים לדעת אם משתנה מתפלג בצורה מסוימת. 𝑖𝑂 – ערך בטבלה הנצפית – 𝐸𝑖 ,מה אנו מצפים שיהיה - H 0יאמר מה המודל שאליו נכוון. אנו נתעסק רק עם מבחן דו צדדי – ולכן תמיד יהיה שוויון ב H 0ואי שוויון ב . H1 למעשה מבחן זה ,דומה למדד קרמר שנלמד בקורס מבוא לסטטיסטיקה א' ,המתבסס על ההבדל בין טבלה נצפית , Oiלטבלה צפויה של חוסר קשר . Ei בדיקה זו נעשית באמצעות 2 כאשר H 0תמיד יניח שלא קיים הבדל בין Oiל , Ei -כלומר שיש התאמה ,ו H1 -תמיד יניח שלא קיימת התאמה. השערות במבחן טיב התאמהH 0 : p1 p10 , p2 p20 , , pk pk0 : כלומר ההשערה היא תמיד דו צדדית כאשר בודקים באמצעות 2 ( kקטגוריות). H1 : other את הפער בין Oiל. Ei - (Oi Ei )2 Ei i 1 n חישוב הסטטיסטי: 2 אם הסטטיסטי הנ"ל קטן מהערך הקריטי אזי נאמר שהפער קטן ונקבל את . H 0 אם הסטטיסטי הנ"ל גדול מהערך הקריטי אזי נדחה את H 0ונאמר שלא קיימת התאמה למודל שהוצא ע"י החוקר. התפלגות סטטיסטי זה היא חי בריבוע עם k-1דרגות חופש ,כאשר kיוגדר כמספר התאים ,והוא יקרא ערך קריטי. ככל שההבדל בין הטבלה הצפויה לנצפית גבוהה יותר ,ניטה לדחות את השערת האפס ,לגבי צורת ההתפלגות המקורית. כלל ההכרעה יהיה :דחה את ,H0אם 2 מחושב > 2 קריטי. 2 2 k 1, דוגמא :בניסוי הוטלה קובייה 300פעמים ונספרו שכיחות התוצאות .התקבלה הטבלה הבאה: תוצאה 1 2 3 4 5 6 שכיחות 54 36 30 50 70 60 האם ניתן לומר שהקובייה הוגנת בדוק ר"מ 0.05 זהו מבין לטיב התאמה .נבדוק את השכיחות הצפויה תוצאה 2 1 4 3 קובייה הוגנת 1 6 שכיחות צפויה 𝑝∙𝑛= 𝐸 1 ∙ 300 = 50 6 50 שכיחות נצפת 54 36 30 𝑖𝐸 𝑂𝑖 − 4 -14 -20 6 5 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 50 50 50 50 50 70 60 0 20 10 המבחן בודק את ההפרשים – החלוקה הצפויה לבין החלוקה שהתקבלה .המבחן בודק האם חלוקה של התפלגות שהתקבלה בפועל תואמת איזה התפלגות תאורטית זה דומה פה לאחידה. www.OpenBook.co.il | [email protected] 7 2 6 1 2 0.05במדגם אז נדחה H 0 11.07 כלל ההכרעה :חד צדדי ימני .אם אחרת נקבל. חישוב סטטיסטי: 2 22.24 60 50 50 2 70 50 50 מכיוון ש 22.24>11.07נדחה H0 2 50 50 2 30 50 50 50 2 36 50 2 50 54 50 2 50 ברמת מובהקות 0.05 אופן החישוב א -נסח השערות :התפלגות מסוימת , Ho:אחרתH1: ב -בנה טבלת שכיחויות המכילה: .I -Oiשכיחות נצפית של ערך i .II Eiשכיחות צפויה תחת הנחת Hoשל ערך iכאשר Ei=np ג -חשב את סטטיסטי המבחן: (𝑂𝑖−𝐸𝑖)2 𝑖𝐸 𝜒 2 = ∑𝑘𝑖=1 ד -כלל ההכרעה :דחה Hoעבור ערכים מספיק גדולים של סטטיסטי המבחן. דחה את hoאם χ2מחושב < χ2קריטי 𝜒2 > 𝜒𝛼2 (𝑘 − 1) , שאלה 1ממבחן שתי קוביות הוטלו 180פעם .בכל הטלה נרשם ההפרש בין התוצאות בערכו המוחלט .לאחר מכן נרשמה התפלגות השכיחויות של הפרשים מוחלטים אלו .התקבלו הנתונים הבאים: 5סה"כ 4 3 2 1 0 הפרש מספר הטלות 180 5 15 32 55 45 28 א .האם התפלגות התוצאות הנתונה מתיישבת עם ההשערה ,שהקוביות הוגנות? בדוק ברמת מובהקות .0.05 ב .האם ניתן להגיע לאותה מסקנה גם עבור רמת מובהקות הנמוכה מ ?0.05-הסבר. פתרון 6 10 8 6 4 2 א. , p2 , p3 , p4 , p5 , p6 36 36 36 36 36 36 H 0 : p1 אחרת H1 : תוצאה 0 1 2 3 4 5 𝒊𝑶 28 45 55 32 15 5 𝒊𝒑 6/36 10/36 8/36 6/36 4/36 2/36 www.OpenBook.co.il | [email protected] 8 30 𝒊𝑬 40 50 30 (Oi Ei )2 2 10.14 0.05 (5) 11.070 Ei 20 10 6 2 i 1 לא דוחים את השערת האפס ברמת מובהקות , 0.05הקוביות הוגנות. ב .ברמת מובהקות קטנה מ 0.05 -אזור הדחיה קטן ולכן המסקנה לא תשתנה -השערת האפס לא תידחה . שאלה 2 מעונינים לבדוק האם גובה הוא משתנה מקרי המתפלג נורמלית עם תוחלת של 178וס"ת .4לשם כך נדגמו 1000אנשים והתקבלו התוצאות הבאות: גובה בס"מ מתחת 170 170-174 174-178 178-182 182-186 מעל 186 מספר נבדקים 25 138 315 385 102 35 בדוק את ההשערה בר"מ ?0.05 פתרון מעוניינים לבדוק על צורת התפלגות באוכלוסיה => מבחן 𝜒2לטיב התאמה. השערות: 𝐻0גובה הוא משתנה שמתפלג נורמלית עם תוחלת 178וס"ת 4 𝐻1אחרת נעתיק את הטבלה ונוסיף 2שורות 𝑖𝑂 𝑖𝑃 𝑁 ⋅ 𝑖𝑃 = 𝑖𝐸 מתחת 170 25 0.0228 22.8 Pi ו- Ei Pi N 170-174 174-178 178-182 182-186 מעל 186 N 138 0.1359 135.9 315 03413 341.3 38 0.3413 341.3 102 0.1359 135.9 35 0.0228 22.8 1000 1 1000 איך נמצא את ערכי 𝑖𝑃 ? הרי , X ~ N 178, 2 42נחשב כל שטח: 186 178 P X 186 P Z P Z 2 1 2 0.0228 4 186 178 P X 186 P X 186 P Z P Z 2 1 2 0.0228 4 186 178 182 178 P 182 X 186 P Z PZ P Z 2 P Z 1 4 4 2 1 0.9772 0.8413 0.1359 www.OpenBook.co.il | [email protected] 9 שרטוט חישוב סטטיסטי: 2 ... 22.93 11.070 החלטה :נדחה 315 341.3 341.3 2 138 135.9 135.9 2 25 22.8 2 22.5 H0 מסקנה :לא ניתן לקבל את הטענה שגובה מתפלג נורמלית עם תוחלת 178וס"ת בר"מ 0.05 סעיף משאלה 3ממבחן הטילו זוג קוביות משחק 72פעמים והתקבלו התוצאות הבאות: סכום התוצאות בכל הטלה 10-12 8-9 6-7 2-5 8 26 23 15 מספר ההטלות האם התוצאות מעידות על קו ביות הוגנות ברמת מובהקות ?0.05רשום מהו המבחן בו אתה משתמש. פתרון נשתמש במבחן טיב התאמה כדי לבדוק האם התוצאות שהתקבלו מתאימות להתפלגות עבור זוג קוביות הוגנות .ניזכר כי התפלגות של סכום התוצאות בהטלת שתי קוביות הוגנות היא: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 6 4 3 2 1 5 5 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 מכאן ניתן לבנות את טבלת התוצאות הצפויות המתאימה לטבלה המוצגת בשאלה: X p סכום התוצאות בכל הטלה 10-12 8-9 6-7 2-5 תוצאה נצפית ) 𝑖𝑂( 8 26 23 15 12 18 22 20 תוצאה צפויה ( 𝑖𝐸) www.OpenBook.co.il | [email protected] 10 (Oi Ei )2 2 6.18 0.05 כעת נחשב את ערך הסטטיסטי במדגם(3) 7.815 , Ei 2 i 1 2 . 0.05הערך שהתקבל במדגם קטן מהערך הקריטי לכן לא הערך הקריטי המתאים הוא (3) 7.815 נדחה את השערת האפס ,ונסיק כי הקוביות הוגנות בר"מ .0.05 שאלה 4 סדרת הגמר של ה NBA-מתנהלת בשיטה "הטוב מבין שבע" .כלומר ,מתקיימים משחקים עד אשר אחת מן הקבוצות מנצחת ב 4-משחקים .להלן נתונים על מספר המשחקים ששוחקו בסדרת הגמר במשך 50שנה. מספר המשחקים מספר השנים 9 4 11 5 8 6 22 7 בדוק את ההשערה כי משחק בסדרת הגמר הוא ניסוי ברנולי בלתי תלוי עם הסתברות שווה לניצחון של כל אחת מהקבוצות ,ברמת מובהקות .0.05 פתרון בשאלה זו נשתמש במבחן טיב התאמה כדי לבדוק את ההשערה המבוקשת. נחשב את ההסתברות לסדרת גמר בת 6,5,4או 7משחקים ,תחת ההנחה שתוצאת כל משחק אינה תלויה בתוצאות המשחקים האחרים וההסתברות לניצחון של כל אחת מהקבוצות היא .0.5 2 1 - בחירת הקבוצה שתזכה בסדרה 6 5 4 3 2 1 - , , בחירת המשחקים בהם תפסיד .הקבוצה הזוכה – במשחק האחרון היא חייבת לנצח. 2 P X 4 0.54 0.125 1 2 4 P X 5 0.55 0.25 1 1 2 5 P X 6 0.56 0.3125 1 2 2 6 P X 7 0.57 0.3125 1 3 לפי הסתברויות אלה נחשב את השכיחות הצפויה של מספר המשחקים ,המוצגת בטבלה הבאה: 7 6 5 4 מס' משחקים 22 8 11 𝑖𝑂 שכיחות נצפית 9 𝑖𝐸 שכיחות צפויה 15.625 15.625 12.5 6.25 נחשב את ערך חי-בריבוע: 2 7.712 22 15.625 15.625 www.OpenBook.co.il 2 8 15.625 15.625 2 11 12.5 12.5 | 2 9 6.25 2 6.25 [email protected] 11 2 . 0.05 רמת המובהקות המבוקשת היא .0.05מטבלה IIנקבל כי הערך הקריטי הוא (3) 7.815 ערך חי בריבוע שהתקבל קטן מהערך הקריטי ולכן לא נדחה את השערת האפס בר"מ ,0.05כלומר, כל משחק בסדרת הגמר הוא ניסוי ברנולי בלתי תלוי עם הסתברות שווה לניצחון של כל אחת מהקבוצות. שאלה 5 בבית חולים אספו את הנתונים הבאים על מספר הלידות בארבעה רבעונים עוקבים: רבעון: מס' לידות: ינואר-מרץ אפריל –יוני יולי-ספטמבר 110 67 53 אוקטובר-דצמבר 40 א. בחנו את ההשערה שיחס השכיחויות הוא 1:1:1:2בהתאמה ,בר"מ של ?0.05 ב. בחנו את ההשערה כי ברבעון הראשון מתקיימות 30%מהלידות ,כנגד האלטרנטיבה שאין זה כך ברמת מובהקות של ( ?0.01הסבר אם ניתן לבדוק זאת לפי מבחן סטטיסטי אחר). בשאלה בודקים את צורת התפלגות האוכלוסיה ולכן => 2לטיב התאמה השערות: : H oיחס השכיחויות הינו 1:1:1:2 : H1יחס השכיחויות אחר www.OpenBook.co.il | [email protected] 12 13 [email protected] | www.OpenBook.co.il 14 [email protected] | www.OpenBook.co.il שאלה 6ממבחן מרצה בקורס "מבוא למקרו" טוען כי הציונים של 500תלמידיו במבחן הסיום מתפלגים נורמלית עם תוחלת 70וסטיית תקן .5 הציונים שהתקבלו הם: שכיחות ציונים 1 40-55 67 56-65 344 66-75 85 76-85 3 86-100 בדוק את טענת המרצה ברמת מובהקות .0.05 שאלה ( 7פתרון מלא ומוקלט באתר )www.openbook.co.il רצו לבדוק האם סיכוי ללידת בן הוא 0.5 www.OpenBook.co.il | [email protected] 15 בקרב 300משפחות עם 2ילדים התקבלו התוצאות הבאות: שני בנים שתי בנות בן אחד ובת אחת 68 152 80 מספר משפחות האם ניתן להגיד ברמת מובהקות 0.01כי התוצאות מעידות על כך שהסיכוי ללידת בן הוא ? 0.5 נמק. פתרון מבחן טיב התאמה: ניסוח השערות :𝐻0 :הסיכוי ללידת בן הוא 0.5 :𝐻1הסיכוי ללידת בן איננו 0.5 (Oi Ei )2 התפלגות הדגימה :בהנחת ~ 2 (2) , H 0 E i 1 i 3 קביעת רמת המובהקות. 0.01 : קביעת אזורי דחייה וקבלה :קבל אם . 2 9.21דחה אם . 2 9.21 Oi Pi Ei n Pi www.OpenBook.co.il שני בנים בן אחד ובת אחת שתי בנות סה"כ 80 152 68 300 1 1 1 = ∙ 2 2 4 0.5 0.25 1 1 ∙ 300 4 = 75 150 75 300 | [email protected] 16 (Oi Ei ) 2 Ei 0.0267 (80 − 75)2 75 1 = 3 חישוב הסטטיסטי וההכרעה= 𝟏. 𝟎𝟏𝟑 < 𝟗. 𝟐𝟏: 0.6533 𝟐) 𝒊𝑬(𝑶𝒊 − 𝒊𝑬 𝟑 𝟏=𝒊∑ 2 1.013 𝟐 = 𝝌 נקבל את ,𝐻0כלומר ניתן לומר ברמת מובהקות 0.01שהסיכוי ללידת בן הוא 0.5 שאלה 8 עיתונאי פוליטי טוען כי בבחירות הבאות תהיה פרופורציית המצביעים למפלגות השונות כדלהלן0.4 : יצביעו עבור מפלגה 0.3 , Aיצביעו עבור מפלגה Bוכל השאר יתחלקו באופן שווה בין מפלגות Cו.D - כדי לבדוק את השערת העיתונאי נלקח מדגם של 200אנשים .כל משתתף במדגם נשאל על אופן הצבעתו והתקבלו התוצאות הבאות 85 :טענו כי יצביעו עבור מפלגה 50 ,Aטענו כי יצביעו עבור מפלגה 30 , Bעבור מפלגה Cוהשאר עבור מפלגה .D א .האם לאור התוצאות השערת העיתונאי מתקבלת ברמת מובהקות ? 0.05נמק. ב .עיתונאי אחר טוען כי שיעור ההצבעה עבור מפלגה Bיהיה שונה מ . 0.3 -האם לאור תוצאות המדגם ניתן לקבל את טענתו ברמת מובהקות ? 0.01 נמק בעזרת מבחן טיב התאמה. האם ניתן לבדוק את ההשערה בעזרת מבחן סטטיסטי אחר שלמדת ? פתרון א .מבחן טיב התאמה: קביעת ההשערות : H 0 :פרופורציית המצביעים למפלגות תהיה כפי שטוען העיתונאי : H1פרופורציית המצביעים למפלגות תהיה שונה מזו שטוען העיתונאי (Oi Ei )2 התפלגות הדגימה :בהנחת ~ 2 (3) , H 0 Ei i 1 4 קביעת רמת המובהקות. 0.05 : קביעת אזורי דחייה וקבלה :קבל אם . 2 7.815דחה אם . 2 7.815 מפלגה A B C D Oi 85 50 30 35 Pi 0.4 0.3 0.15 0.15 Ei n Pi 80 60 30 30 (Oi Ei ) 2 Ei 0.3125 1.667 0 0.833 (Oi Ei )2 חישוב הסטטיסטי וההכרעה 2.8125 7.815 : Ei i 1 4 www.OpenBook.co.il | 2 2.8125 . 2 [email protected] 17 נקבל את , H 0כלומר ניתן לומר ברמת מובהקות 0.05שפרופורציית המצביעים למפלגות תהיה כפי שטוען העיתונאי. ב .קביעת ההשערותH1 : p 0.3; H 0 : p 0.3 : קביעת רמת המובהקות. 0.01 : (Oi Ei )2 התפלגות הדגימה :בהנחת ~ 2 (1) , H 0 Ei i 1 2 קביעת רמת המובהקות. 0.05 : קביעת אזורי דחייה וקבלה :קבל אם . 2 6.635דחה אם . 2 6.635 מפלגה B מפלגה אחרת Oi 50 150 Pi 0.3 0.7 Ei n Pi 60 140 (Oi Ei )2 Ei 1.667 0.714 2 2.38 (Oi Ei )2 חישוב הסטטיסטי וההכרעה 2.38 6.635 : Ei i 1 4 . 2 נקבל את , H 0כלומר לא ניתן לומר ברמת מובהקות 0.01כי שיעור ההצבעה עבור מפלגה Bשונה מ. 0.3- ניתן לבדוק את ההשערה גם בעזרת מבחן ( Zמבחן דו צדדי)על פרופורציה אחת. שאלה 9 הועלה חשד שסביבון חדשני איננו הוגן .לבדיקת הטענה הסביבון הוטל 80פעם ונמצא כי 24פעם התקבלה התוצאה "נס" 8 ,פעם התוצאה "גדול" 30 ,פעם התוצאה "היה" ו 18 -פעם התוצאה "פה". פתרון מבחן טיב התאמה .הסביבון הוגן H0 :הסביבון אינו הוגן H1 : i 1, 2,3, 4 1 4 H 0 : pi אחרת H1 : תוצאה נס גדול היה פה Oi 24 8 30 18 pi 0.25 0.25 0.25 0.25 www.OpenBook.co.il | [email protected] 18 20 20 4 2 i 1 20 20 Ei (Oi Ei )2 2 13.2 0.05 (3) 7.815 Ei .לא ניתן לומר שהסביבון הוגן, 0.05 דוחים את השערת האפס ברמת מובהקות 19 [email protected] | www.OpenBook.co.il מבחנים א – פרמטריים לשני מדגמים שני מדגמים מזווגים = תלויים במדגמים תלויים אנו נחשב הפרש בין 2המדגמים. מדגמים תלויים – לפני/אחרי שימוש בתרופה וכו דיכוטומיים – טבלה .2*2תשובות כן/לא במבחן א – פרמטריים למדגמים תלויים מתעלמים מחישוב זוגות שלא חל שינוי – בהם ההפרש=.0 מבחן הסימן כאשר מדובר בשני מדגמים תלויים (מזווגים) אך לא ניתן לחשב הפרשים או שלא נתונים ההפרשים אלא רק מספר העליות או הירידות (או ללא שינוי) א .בודקים בכמה מקרים יש עליה ( )+ירידה ( )-או ללא שינוי (.)0 ב .מתעלמים בחישוב מזוגות שלא חל בהם שינוי (לא נכללים בחישוב.) n ג .שיטת הבדיקה זהה לחלוטין למבחן הבינום כאשר תמיד תחת p=0.5 . השערות: לא קיים הבדל בין ( )+ל (H 0 )- H 0 : p() p() 0.5 נדחה את 𝐻0אם Pv שלבי מבחן הסימן א. ב. ג. ד. להבחין במקרה לנסח את ההשערות (מבחן שמאלי ,ימני ,דו צדדי) לבנות טבלת הסימנים לקבל את ההחלטה :דחה 𝐻0אם: .aחד צדדי𝑃 (𝑋 ≥ 𝑘) = 1 − P X k 1 P X k 1 : 𝛼 ≤ )𝑃(𝑋 ≤ 𝑘 − 1 .iמבחן ימני – kהוא מספר ה""+ .iiמבחן שמאלי – kהוא מספר ה""- .bדו-צדדי k( 2 ⋅ 𝑃(𝑋 ≤ 𝑘) ≤ 𝛼 :הנמוך מבין ה "-" -או ")"+ שאלה 1ממבחן פסיכולוג א' ביצע סקר ,שהקיף 14משפחות של חיילים ,ששבוע קודם לכן השתחררו משירות מילואים ממושך .הוא בדק את מידת ההבנה החינוכית של האב לבנו בהשוואה לזו של האם. התוצאות הראו ,שב 11 -משפחות עלתה ההבנה החינוכית של האם על זו של האב ,וב 3 -משפחות – ההפך .מה אפשר להסיק מתוצאות אלה ברמת מובהקות ?2.5% פתרון: מבחן הסימן . אין הבדל במידת ההבנה החינוכית בין האב לאם , 𝐻0 : יש הבדל במידת ההבנה החינוכית בין האב לאם𝐻1 : www.OpenBook.co.il | [email protected] 20 בהנחת השערת האפס 1 ) - X ~ B(14,מס' ה. + - 2 1 2 H0 : p , 1 2 H1 : p במדגם התקבלו )+( 11ולכן : 2 P( X 11) 2(1 P( X 10)) 2 0.029 0.058 0.025 או שנשתמש ב kהנמוך מבין ה2 ⋅ 𝑃(𝑋 ≤ 3) = 2 ∙ 0.029 = 0.058 > 0.025 – 2 לכן לא דוחים את השערת האפס ולא הוכח שיש הבדל במידת ההבנה החינוכית בין האב לאם ברמת מובהקות 0.025 שאלה ( 2פתרון מלא ומוקלט באתר )www.openbook.co.il חוקר במשרד התחבורה טוען כי נהגים ותיקים מבצעים פחות עבירות תנועה מנהגים חדשים .לצורך בדיקת הטענה נלקח מדגם מקרי של 16נהגים ,ונספרו מספר עבירות התנועה שלהם בשנה הראשונה לקבלת הרישיון וכעבור עשר שנים .התוצאות הראו כי אצל 11נהגים מספר העבירות בשנה העשירית היה קטן ממספר העבירות בשנה הראשונה ואילו אצל 5נהגים מספר העבירות בשנה העשירית היה גדול ממספר העבירות בשנה הראשונה לקבלת הרישיון .האם התוצאות מאששות את טענת החוקר ברמת מובהקות של 5% פתרון המדגמים הם תלויים ,משתנה שמי דיכוטומיים. נעשה יותר/פחות עבירות תנועה => מבחן הסימן! כי לא ניתן לחשב הפרש או לא נתון הפרש אלא רק מספר העליות או הירידות או ללא שינוי. נתון n=16 ( = )+נהגים וותיקים עושים פחות עבירות תנועה מחדשים ( – )-נהגים ותיקים עושים יותר עבירות תנועה מנהגים חדשים השערותH 0 : p() p() 0.5 : , כלל ההכרעה :קבלת 𝛼 ′ > 0.05 : 𝐻0 ,דחיית 𝛼 ′ ≤ 0.05 : 𝐻0 H1 p(+)>0.5 חישוב 𝜶′כאשר נתוןn=16,p=0.5, (+)=11,(-)=5 : 𝛼 ′ = 𝑝[(+) ≥ 11] = 1 − 𝑝[(+) ≤ 10] = 1 − 0.895 = 0.105 > 0.05 www.OpenBook.co.il | [email protected] 21 שאלה ( 3פתרון מלא ומוקלט באתר )www.openbook.co.il לבדיקת הטענה ,שהחדרה לשוק של נוזל כביסה חדש באמצעות חלוקת דוגמיות מעלה את מידת הצריכה במוצר ,נשאלו 50נבדקים על מידת השימוש במוצר לפני חלוקת הדוגמיות ,ושבוע לאחר השימוש בדוגמיות .התוצאות שהתקבלו היו: 21אנשים השתמשו במוצר לפני קבלת הדוגמית וגם לאחר החלוקה. 7אנשים השתמשו במוצר לפני קבלת הדוגמית אך לא השתמשו בו לאחר החלוקה. 14אנשים לא השתמשו במוצר לפני קבלת הדוגמית אך השתמשו בו לאחר החלוקה. ו 8 -אנשים לא השתמשו במוצר לפני קבלת הדוגמית וגם לא לאחר מכן מהי מסקנת המחקר ברמת מובהקות ?0.05נמק. פתרון שני מדגמים תלויים ,משתנים דיכוטומיים ,מבחן חד צדדי ,מבחן הסימן לחלוקת דוגמיות אין השפעה על עליית מידת הצריכה H0 : חלוקת הדוגמיות מעלה את מידת הצריכה H1 : לחלוקת דוגמיות אין השפעה על עליית מידת הצריכה H 0 : p 0.5 חלוקת הדוגמיות מעלה את מידת הצריכה H1 : p 0.5 n = 7 +14 = 21 ) X~Bin(21,pמספר האנשים שהשתמשו לפני אך לא השתמשו אחרי. לפני השתמשו www.OpenBook.co.il לא השתמשו | [email protected] 22 השתמשו 21 14 35 לא השתמשו 7 8 15 28 22 50 אחרי 𝑝(𝑋 ≤ 7 |𝐻0) = 0.095 > 0.05 לכן השערת האפס אינה נדחית לא ניתן לומר שחלוקת הדוגמיות מעלה את כמות הצריכה שאלה 4 15זוגות נשואים טופלו בשני סוגי טיפולים :טיפול פרטני לאחד מבני הזוג וטיפול קבוצתי לבן הזוג השני .פסיכולוגים נדרשו לבצע הערכות להצלחת הטיפול לכל אחד מבני הזוג בנפרד ולציין ב )+( -אם הטיפול הפרטני היה מוצלח יותר וב )-( -אם הטיפול הקבוצתי היה מוצלח יותר. לבדיקת טענת הפסיכולוגים ,שהטיפול הפרטני עדיף ,נקבע כי אם יהיו לפחות 11זוגות ,שבהם הטיפול הפרטני מוצלח יותר ,השערת האפס תידחה. א .מהי רמת המובהקות של המבחן המוצע ? ב .מהי עצמת המבחן אם ידוע כי טיפול פרטני יעיל יותר מטיפול קבוצתי ב 80% -מהמקרים. ג .אם נמצא כי רק אצל 3זוגות ,הטיפול הקבוצתי היה מוצלח יותר מהטיפול הפרטני ,מה ?תהיה מסקנתך ברמת מובהקות 0.05 פתרון א .מדובר במבחן הסימן ,שאזור הדחייה בו הוא – X( X 11מס' הזוגות שבהם הטיפול הפרטני מוצלח יותר) .תחת הנחת השערת האפס( p=0.5 ,הטיפולים שווי ערך) ולכן: P( X 11) 1 P( X 10 ) 1 0.941 0.059 ב .בהנחת ,)p=0.8 ( H 1עבור מדגם בגודל ( :15מסתכלים בטבלה בעמוד )49 1 P( X 11) 1 P( X 10 ) 1 0.1642 0.8358 www.OpenBook.co.il | [email protected] 23 ג .מבחן הסימן: הטיפול הפרטני אינו עדיף על הטיפול הקבוצתי , H 0 : הטיפול הפרטני עדיף על הטיפול הקבוצתי H1 : בהנחת השערת האפס ) - X~B(15,0.5מס' המינוסים . אם טענת H1נכונה ,נצפה למעט מינוסים. במדגם התקבלו 3מינוסים ולכן P( X 3) 0.018 0.05 : לכן דוחים את השערת האפס והוכח שהטיפול הפרטני עדיף על הטיפול הקבוצתי ברמת מובהקות .0.05 שאלה 5סעיף ממבחן חוקר במשרד התחבורה טוען ,שנהגים ותיקים מבצעים פחות עבירות תנועה מנהגים חדשים .לצורך בדיקת הטענה נלקח מדגם מקרי של 16נהגים ,ונספרו מספר עבירות התנועה שלהם בשנה הראשונה לקבלת הרישיון (שבה היו נהגים חדשים) וכעבור עשר שנים כשהיו כבר נהגים ותיקים. התוצאות הראו שאצל 12נהגים מספר העבירות בשנה העשירית היה קטן ממספר העבירות בשנה הראשונה ואילו אצל 4נהגים מספר העבירות בשנה העשירית היה גדול ממספר העבירות בשנה הראשונה לקבלת רישיון הנהיגה. )1מה המבחן בו תשתמש לבדיקת טענת החוקר? )2האם תקבל את טענת החוקר ברמת מובהקות ?0.05 סעיף 1 המדגמים הם תלויים ,משתנה שמי דיכוטומיים. נעשה יותר/פחות עבירות תנועה => מבחן הסימן! כי לא ניתן לחשב הפרש או לא נתון הפרש אלא רק מספר העליות או הירידות או ללא שינוי. סעיף 2 נתון n=16 ( = )+נהגים וותיקים עושים פחות עבירות תנועה מחדשים ( – )-נהגים ותיקים עושים יותר עבירות תנועה מנהגים חדשים נסתכל על ההפרש בין מספר עבירות התנועה של כל אחד מהנהגים כנהג צעיר לבין מספר העבירות כנהג ותיק .יהי Xמספר ההפרשים החיוביים ,לפי השערת האפס ).X~B(16,0.5 נחשב את ההסתברות לקבל תוצאה כמו זו שהתקבלה במדגם או קיצונית ממנה, P X 12 1 P X 11 1 0.962 0.038 הסתברות זו קטנה מרמת המובהקות , 0.05ולכן נדחה את השערת האפס ונסיק כי נהגים ותיקים מבצעים פחות עבירות תנועה מנהגים ותיקים. www.OpenBook.co.il | [email protected] 24 מבחן וילקוקסון למדגמים מזווגים תלויים זהו מבחן המקביל למבחן tלמדגמים תלויים. כאשר מדובר בשני מדגמים תלויים (מזווגים) ,ואין הנחת התפלגות נורמלית ,מדגם קטן ,וניתן לחשב הפרשים .במבחן הסימן -לא שמנו לב לגודל המוחלט של ההפרש כדי להתגבר על בעיה זו הציע וילקוקסון בשנת 1945את המבחן הזה .מתחשבים בגודל המוחלט של ההפרש ולא רק בכוונו .לצורך חישוב מבחן זה יש לערוך טבלת דירוגים. כאשר שני המשתנים תלויים ,המידע הוא nזוגות של תצפיות ,אין הנחת נורמליות ,מדרגים את הערך המוחלט של ההפרשים , 𝐷 = 𝑋2 − 𝑋1 .מתעלמים מזוגות שהפרשם אפס. אלגוריתם לחישוב מבחן וילקוקסון למזווגים .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 כמו במבחן tלמדגמים תלויים ,עבור כל נבדק /זוג מחשבים את ההפרש בין שתי התצפיות 𝑖𝑦 ( 𝑑𝑖 = 𝑥𝑖 −כאשר קיבלנו הפרש= 0הנבדקים בעלי d=0נזרקים מהניתוח ומתקנים את גודל ה nבה תאם למספר זוגות להם קיים הפרש בין שתי תצפיות. מדרגים את הערכים המוחלטים | 𝑖𝑑| ,צריך לנטרל אפס נדרג את הערך מוחלט מ(1-הנמוך) אם יש ערכים שווים הדרוג יהיה ממוצע הדרוגים נסמן בנפרד דרוגים שבמקור שליליים מדירוגים שבמקור חיוביים ע"י הוספת 2שורות נוספות wהמציין דירוגים שבמקור שליליים ,ו w שמציין דירוגים שבמקור חיוביים. סוכמים בנפרד את הדירוגים שמקורם בהפרש חיובי ,ובנפרד את הדירוגים שמקורם בהפרש שלילי. בוחרים את הקטן שמבין שני הסכומים ומגדירים אותו כ w -זהו הסטטיסטי של מבחן זה בודקים אם הסטטיסטי wקטן או שווה לערך הקריטי המופיע בטבלה המתאימה עבור נתונה ,ואז נדחה/נקבל את ( H 0אנו דוחים כאשר ערך הסטטיסטי קטן או שווה לערך הקריטי המופיע בטבלה) כלל ההכרעה :נסתכל על wהקטן במבחן .אם w cאז נדחה . H 0 – Cערך קריטי בטבלה בעמוד 51ערכים קריטיים של Wלמבחן וילקוקסון למדגמים מזווגים. הכרעה :דחה את H 0אם W cלפי הטבלה של חד /דו צדדי שאלה 1 הטבלה הבאה מציגה את מספר שעות השינה לאחר קבלת תרופה מסוימת ,ומספר שעות השינה לפני קבלתה ,של 9חולים שקיבלו תרופה מסויימת. מספר שעות השינה לפני קבלת התרופה 7 5 6.5 6.5 7 5 4.5 8 8 מספר שעות השינה אחרי קבלת התרופה 8 7 6 8 7 8 8.5 7 9 האם לתרופה השפעה חיובית על מספר שעות השינה ,כאשר לא ניתן להניח התפלגות נורמלית של שעות השינה ? נסח את ההשערות ,הסבר מהו המבחן המתאים ובדוק ברמת מובהקות .0.05 פתרון מבחן וילקוקסון למדגמים תלויים. לתרופה אין השפעה חיובית על מספר שעות השינה H 0 : לתרופה יש השפעה חיובית על מספר שעות השינה H1 : www.OpenBook.co.il | [email protected] 25 r r rd 3 3 1 7 6 6 2 5 7 1 -0.5 6.5 6 5 5 1.5 6.5 8 - - - 7 7 7 7 3 5 8 8 8 4 4.5 8.5 3 -1 8 7 3 1 8 9 3 3 w 4 di 8 1 - לפני קבלת התרופה אחרי קבלת התרופה w 32 הערך הקריטי מטבלה 5עמ' ( 102או עמ' 53בחוברת הקורס) עבור n=8ברמת מובהקות 0.05 הוא 4 > 6ולכן דוחים את השערת האפס .כלומר ניתן לומר שלתרופה יש השפעה חיובית על מספר שעות השינה. שאלה( 2פתרון מלא ומוקלט באתר )www.openbook.co.il במחקר מסוים נבדק יבול הקפה (מספר שקים בחודש) ב 7חוות קטנות לפני ואחרי שימוש בשיטת טיפול חדשנית נגד פטרייה מזיקה: חווה 1 2 3 4 5 6 7 לפני 5 6 7 8 4 3 6 אחרי 10 9 9 8 13 8 9 ידוע שהיבול אינו מתפלג נורמלית. בדוק את ההשערה שהתפלגות היבול לאחר הטיפול שונה מהתפלגות היבול לפני הטיפול ברמת מובהקות .0.05נמק מבחן וילקוקסון למדגמים תלויים: התפלגות יבול הקפה לפני הטיפול שווה להתפלגות יבול הקפה אחרי הטיפול H0: התפלגות יבול הקפה לפני הטיפול שונה מהתפלגות יבול הקפה אחרי הטיפול H1: נסמן: יבול הקפה אחרי הטיפול X2 : יבול הקפה לפני הטיפול X1 : D = X1 - X2 www.OpenBook.co.il | [email protected] 26 בדיקה= 21 = 21 + 0 : 6∙7 2 = )𝑛(𝑛+1 2 = 𝑤− + 𝑤+ הסטטיסטי הוא 𝑤+ : כלל הכרעה :הערך הקריטי עבור מבחן דו צדדי n=6בר"מ 0.05הוא .1 נדחה 𝐻0ברמת מובהקות 0.05אם 𝑊 ≤ 1 החלטה W=0<1 :ולכן דוחים את השערת האפס. כלומר ברמת מובהקות 0.05ניתן לומר התפלגות יבול הקפה לפני הטיפול שונה מהתפלגות יבול הקפה אחרי הטיפול www.OpenBook.co.il | [email protected] 27 מבחן מקנמר נשתמש במבחן זה כאשר :מדגמים תלויים מזווגים ,שמיים (בינומיים) ,דיכוטומיים (כן/לא) ותלויים, טבלה דו ממדית ( )2*2לנתונים שמיים ,מבחן דו צדדי .המבחן עושה שימוש בטיב התאמה עם 2 קטגוריות .אמרנו שאם אין השפעה – מה זה השפעה? הפרש = 0אז מתעלמים לכן אם לפני אין שינוי ואחרי אינן שינוי – נתעלם? ואם לפני יש שינוי ואחרי יש שינוי נתעלם? לכן נמחק את התוצאות הלא רלוונטיות. הסטטיסטי נקבע ע"י השכיחויות של התאים/מקרים ששינו את דעתם .B+Cמתחלק ל 2חלקים: .1כשההשערה דו צדדית ו B+C>20 -משתמשים בהתפלגות חי בריבוע עם דרגת חופש (B C)2 אחת .סטטיסטי המבחן ~ 21 BC 2 . נדחה את H0 אם 2 1 2 .2כשההשערה חד צדדית או B C 20משתמשים בהתפלגות בינומית .משתמשים במבחן הסימן .B+C=nדחה H 0אם p.v טבלת שכיחויות :2*2 ערך 1 ערך 1 ערך 2 יש שינוי אין שינוי אין שינוי סך הנבדקים בעלי ערך 2אחרי סך הנבדקים בעלי ערך 2 לפני (בעבר) = Nסך הנבדקים הכולל C סך הנבדקים בעלי ערך 1 לפני (בעבר) סך הנבדקים בעלי ערך 1אחרי B יש שינוי ערך 2 נסמן ב B-ו C-את 2התאים שחל בהם שינוי לאחר מכן בודקים באמצעות התפלגות 2 האם קיים פער בין Bל.C- שאלה 1ממבחן פסיכולוג ב' ביצע סקר ,שהקיף 65חיילי מילואים .הוא בדק את מידת ההבנה החינוכית שלהם לפני שירות המילואים ולאחריו ,וקיבל את התוצאות האלה: מה אפשר להסיק מתוצאות אלה בר"מ ?2.5% פתרון למילואים אין השפעה על מידת ההבנה החינוכית H0 : למילואים יש השפעה על מידת ההבנה החינוכית H1 : (10 30)2 2 10 0.025 5.024 10 30 2 לכן דוחים את , H 0הוכח כי למילואים יש השפעה על מידת ההבנה החינוכית בר"מ 0.025 www.OpenBook.co.il | [email protected] 28 שאלה 2 לפני עימות רדיופוני שבא לקבוע מי מבין שני מועמדים פופולרי יותר בקרב בני הנוער ,נדרשו 300 בני נוער להכריע בין שניהם .לאחר העימות נשאלו אותם בני נוער בשנית .להלן התוצאות: לפני מועמד 1 מועמד 2 אחרי מועמד1 102 23 מועמד 2 18 157 האם שדרן רדיו יכול לקבוע ברמת מובהקות של 5%שקיים הבדל בין שני המועמדים במספר הקולות שסחפו לטובתם? www.OpenBook.co.il | [email protected] 29 שאלה 3 חברה מייצרת אבקת כביסה רוצה לבדוק אם פרסום באמצעות חלוקת דוגמיות משפיע על קניית מוצרים בקרב הלקוחות .לשם כך נדגמו מקרית 50אנשים שנשאלו אם הם משתמשים באבקת כביסה מסוימת לפני ואחרי החלוקה .נמצא כי 21מתוכם השתמשו באבקת הכביסה בעבר ,כש15 - מתוך ה 21 -המשיכו להשתמש גם לאחר חלוקת הדוגמיות ,ובנוסף הצטרפו 19משתמשים חדשים באבקה לאחר חלוקת הדוגמיות. א. בדוק בר"מ 0.01את ההשפעה שיש לשיטת פרסום זו על השימוש במוצר. ב. בדוק בר"מ 0.01אם שיטת הפרסום מעלה את השימוש במוצר. www.OpenBook.co.il | [email protected] 30 31 [email protected] | www.OpenBook.co.il שאלה 4 חוקר ביקש לבדוק האם מצב משפחתי משפיע על עבירות תנועה .הוא דגם מקרית 80אנשים רווקים /ות העומדים להינשא בשנה הקרובה ומצא כי 30מתוכם ביצעו עבירות תנועה בשנה האחרונה .כעבור שנה ,כאשר היו כבר נשואים ,הוא גילה כי מתוך ה 7 ,30-המשיכו לבצע עבירות, וכמו כן נוספו 9עבריינים נוספים ( שבעבר לא ביצעו עבירות תנועה ) .בדוק את הטענה ברמת מובהקות 0.01ונמק בחירתך במבחן הסטטיסטי המתאים. פתרון שאלה 4 כיוו ן שמדובר בטבלה דו מימדית ,בה ישנו משתנה שמי ,ומדובר במדגמים תלויים ( לפני ואחרי ) והמבחן דו צדדי אז המבחן המבוקש הוא מבחן מקנמר. רווק -לפני עבריין לא עבריין 16 9 7 נשוי עבריין 64 41 אחרי לא עבריין 23 80 50 30 ניסוח השערות :מצב משפחתי לא משפיע על עבירות תנועה H 0 : למצב המשפחתי השפעה על עבירות התנועה H1 : שלב ~ (1) : 1 2 לכן B 9 : B C 2 BC C 23 בדוגמה זו יש להתייחס רק למספר האנשים שחל אצלם שינוי. שלב שני :כלל הכרעה :דחה H 0עבור כל 2 מחושב הגדול מ ( 6.635המתאים לר"מ .) 0.01 2 9 23 2 B C 196 שלב שלישי :חישוב 2מחושב 6.125 6.635 : BC 9 23 32 המסקנה :קבל H 0ולא ניתן לומר שלמצב המשפחתי השפעה על עבירות תנועה. ולכן שאלה 5 כדי לבדוק אם להורמון מסוים יש השפעה כלשהי על יכולת החשיבה ,נבחרו 50אנשים באופן מקרי ונערכה להם בחינה .לאחר מכן קבלו כל הנחקרים את ההורמון ונערך להם מבחן נוסף .התוצאות שהתקבלו הראו כי מתוך 36האנשים שעברו את בהצלחה את המבחן הראשון 20 ,עברו גם את ה שני בהצלחה .כמו כן מחצית האנשים שנכשלו במבחן הראשון נכשלו גם בשני. האם ניתן לומר ,בר"מ 0.025שלהורמון יש השפעה כלשהי על יכולת החשיבה? הסבר ונמק. פתרון שאלה 5 מבחן מקנמר: נכשלו B = 16 7 23 עברו מבחן / Iמבחן II 20 עברו C=7 נכשלו 27 סה"כ השערות :להורמון אין השפעה על יכולת החשיבה H 0 : סה"כ 36 14 50 להורמון יש השפעה על יכולת החשיבה H1 : ( B C )2 הנחות~ 2 (1) : BC B C 23 20 רמת מובהקות ואזורי דחייה וקבלה :רמת מובהקות ,0.025מבחן דו צדדי. 0.025 (1) 5.024 , 2 דחה H 0אם . 5.024 www.OpenBook.co.il 2 | [email protected] 32 ( B C )2 (16 7) 2 81 חישוב הסטטיסטי 3.521 5.024 : BC 16 7 23 2 החלטה :לכן מקבלים את השערת האפס ,הוכח כי להורמון אין השפעה על יכולת החשיבה בר"מ .0.05 שני מדגמים בלתי תלויים מבחן וילקוקסון לשני מדגמים בלתי תלויים מבחן זה מקביל למבחן tלמדגמים ב"ת .המשתנים סידוריים או מנה ולא ניתן להניח נורמליות או שוויון שונויות. הבסיס התיאורטי למבחן :נניח שיש לנו שני מדגמים (ערכי xוערכי )yהלקוחים משתי התפלגויות. :H0אין הבדל :H1יש הבדל שלבים בחישוב סטטיסטי המבחן: )1מדרגים את כל הערכים בסדר עולה מהנמוך לגבוה ללא הבחנה לקבוצה אליה שייכים (n=n1+n2 מס' הנבדקים הוא סכום מספר הנבדקים בשתי הקבוצות). )2מסכמים את הדירוגים של כל קבוצה בנפרד ,הסכום של הקבוצה הקטנה יסומן W Aואילו של הקבוצה הגדולה ( W Bמספיק לחשב רק את .)W Aאם ,n1=n2לא משנה איזה קבוצה בוחרים. )3ההתפלגות של W Aתחת )p(x>y)=1/2( H0ניתנת לחישוב עבור n1ו n2-נתונים. שוב מישהו עשה את העבודה בשבילנו וריכז את הערכים הקריטיים בטבלה. הטבלת מציגה את הערכים הקריטיים של W Aעבור -ות נבחרות ובהתאם לגודלם של n1ו.n2- ע"מ לדחות את H0הסטטיסטי W Aצריך להיות קטן או שווה ל( W L-הערך הקריטי בזנב התחתון) או לחלופין גדול או שווה ל( W U-הערך הקריטי בזנב העליון). )n1 (n1 1 2 הסטטיסטי Uמחושב: )n2 (n2 1 U 2 W2 2 U1 W1 )U=min(U1,U2 עקרונות :לשם קביעת כלל הכרעה משתמשים ב 2-מצבים: .1כאשר n1 , n2 8משתמשים בטבלה 3הנותנת מינימלית. במבחן חד צדדי דחה את H 0כאשר Pv P U u - במבחן דו צדדי דחה את H 0כאשר P U u -או 2P U u 2 .2כאשר n1או n 2 גדולים מ 8-משתמשים בטבלה 4הנותנת ערך קריטי .דחה את H 0 כאשר u uc שאלה 1ממבחן מרכז הוראה שבקורס שלו קיימת הנחיה דרך הלוויין ("אופק") החליט לבדוק האם יש הבדל בין הנחיה זו והנחיה רגילה בכיתה .לצורך כך הוא בחר 20סטודנטים 10 ,מהם למדו ב"אופק" ו10- בהנחיה רגילה .ציוניהם בסוף הקורס נתונים בטבלה הבאה: (לא ניתן להניח התפלגות נורמלית של הציונים) www.OpenBook.co.il | [email protected] 33 10 9 8 7 6 5 4 3 2 מספר תלמיד בקבוצתו 1 89 81 53 49 48 37 25 18 6 35 "אופק" 93 98 100 91 75 61 64 9 57 34 רגילה בדוק את השערת המרכז ברמת מובהקות ,0.02 א .בהנחה כי אלו 10זוגות של סטודנטים שהותאמו לפי ביצועיהם בקורסים קודמים. ב .בהנחה כי הסטודנטים נבחרו וחולקו באופן מקרי לשתי קבוצות בכל סעיף ציין את המבחן בו בחרת להשתמש ונמק בחירה זו. סעיף א נשתמש במבחן וילקוקסון למדגמים מזווגים ,כי הסטודנטים חולקו לשתי קבוצות המותאמות לפי ביצועיהם בקורסים קודמים ולכן הם תלויים. ההפרשים בין הציונים ודירוגם נתונים בטבלה הבאה: 89 81 53 49 48 37 25 18 6 35 "אופק" 93 98 100 91 75 61 64 9 57 34 רגילה 9 -51 1 הפרש -4 -17 -47 -42 -27 -24 -39 3 דרגות 1 + 𝑤+ = 4 2 4 9 8 6 5 7 10 דרגות - 𝑤− = 51 הערך הקריטי עבור מבחן דו-צדדי ברמת מובהקות 0.02עם ,n=10לפי טבלה ערכים קריטיים של W למבחן וילקוקסון למדגמים מזווגים ,הוא .5 𝑤+ = 4לכן נדחה את השערת האפס ונסיק כי יש הבדל בין שתי צורות הנחיה. סעיף ב בסעיף זה לא בוצעה התאמה בין הסטודנטים בשתי הקבוצות ,לכן נשתמש במבחן וילקוקסון למדגמים ב"ת. בטבלה הבאה רשומים הציונים לפי גודלם ודרגותיהם: "אופק" רגילה דרגות "אופק" דרגות רגילה 18 6 25 9 1 53 34 3 2 35 37 48 49 4 81 57 6 7 8 5 9 61 64 75 15 10 11 12 13 89 91 14 93 98 100 16 17 18 19 20 𝑤1 = 79 𝑤2 = 131 נחשב את ערך הסטטיסטי .u n1 n1 1 10 11 79 24 2 2 u1 w1 n2 n2 1 10 11 131 76 2 2 u2 w2 u min u1 , u2 24 הערך הקריטי עבור n1 n2 10ו 0.02 -דו צדדי הוא .19 הערך שהתקבל גדול מהערך הקריטי לכן בר"מ 0.02לא נדחה את השערת האפס ונסיק כי אין הבדל בין שתי צורות ההנחיה. www.OpenBook.co.il | [email protected] 34 שאלה 2ממבחן פתרון שאלה ( 3פתרון מלא ומוקלט באתר )www.openbook.co.il במחקר על משך הזמן של ביצוע חישובים מתמטיים בעקבות אכילת ממתקים ,הנבדקים חולקו אקראית לשתי קבוצות )קבוצה אחת קיבלה ממתקים והקבוצה השנייה לא קיבלה( לכל אחד מהמשתתפים נמדד משך הזמן של פתרון שאלות מתמטיות .התוצאות מוצגות להלן: www.OpenBook.co.il | [email protected] 35 ללא ממתקים 2.7 5.1 2.51 6.23 4.1 7.8 עם ממתקים 2.52 5.3 3.5 2.9 4.45 2.3 3.7 בדוק ברמת מובהקות , 0.05האם לאכילת ממתקים יש השפעה כלשהי על משך זמן הביצוע של חישובים מתמטיים ,כאשר לא ניתן להניח שמשך הזמן מתפלג נורמלית? נמק. פתרון מבחן וילקוקסון למדגמים בלתי תלויים: : 𝐻0לאכילת ממתקים אין השפעה כלשהי על משך זמן הביצוע של חישובים מתמטיים : 𝐻1לאכילת ממתקים יש השפעה כלשהי על משך זמן הביצוע של חישובים מתמטיים במבחן דו צדדי דחה את השערת האפס אם 2P U u )𝑛1 (𝑛1 + 1 7∙8 = 56 − = 28 2 2 )𝑛2 (𝑛2 + 1 6∙7 𝑈2 = 𝑊2 − = 35 − = 14 2 2 𝑈1 = 𝑊1 − 𝑈 = 𝑀𝑖𝑛 (14,28) = 14 בטבלה עבור 𝑛1 = 6, 𝑛2 = 7 2𝑃 (𝑈 ≤ 14) = 2 ∙ 0.183 = 0.366 > 0.05 www.OpenBook.co.il | [email protected] 36 שאלה ( 4פתרון מלא ומוקלט באתר )www.openbook.co.il בשתי חנויות של רשת גדולה נרשמו המכירות של מעילי רוח (להלן )Xבמשך מס' ימים יום 1 2 3 4 5 6 7 8 חנות א 80 78 60 90 64 58 76 84 חנות ב 62 66 60 76 68 56 54 א .בדוק את ההשערה ששונות Xבחנות א' שונה משונות Xבחנות ב' ברמת מובהקות ,0.1בהנחה ש X-מתפלג נורמלית .נמק. ב .בדוק את ההשערה שהתפלגות Xבחנות א' שונה מהתפלגות Xבחנות ב' ברמת מובהקות ,0.05כאשר אי אפשר להניח ש X-מתפלג נורמלית. נסמן: - 𝑋1מכירות של מעיל רוח בחנות א' - 𝑋2מכירות של מעיל רוח בחנות ב' מבחן להשוואת שתי שונויות: קביעת ההשערות: =1 𝜎12 𝜎22 𝐻0 : ;≠1 𝜎12 𝜎22 𝐻1 : הנחות: ) 𝑋1 ~𝑁(𝜇1 , 𝜎12 ; ) 𝑋2 ~𝑁(𝜇2 , 𝜎22 כאשר 𝑋1ו 𝑋2 -ב"ת בהנחה ש 𝐻0נכונה~𝐹(7,6) : 2 ̂𝑆 1 2 ̂𝑆 2 רמת מובהקות ואזור דחייה, www.OpenBook.co.il | [email protected] 37 𝛼 = 0.1 , 𝑛1 = 8 , 𝑛2 = 7 דחה 𝐻0אם𝐹 > 𝑓𝛼 = 𝑓0.05 (7,6) = 4.21 : 2 1 או = 3.87 = 0.258 1 𝑓 = )𝐹 < 𝑓0.95 (7,6 )0.05 (6,7 חישוב סטטיסטי וכלל הכרעה: חנות א' ∑8𝑖=1 𝑥𝑖 = 590 ∑8𝑖=1 𝑥𝑖2 = 44,476 = 137.642 חנות ב' ∑7𝑖=1 𝑥𝑖 = 442 𝑥̅ = 73.75 44,476 − 8 ∙ 73.752 8−1 ∑7𝑖=1 𝑥𝑖2 = 28,252 = 57.269 𝑥̅ = 63.142 28,252 − 7 ∙ 63.1422 7−1 137.642 = 2.403 < 4.21 57.269 2 = 𝑆̂1 2 = 𝑆̂2 = 𝐹 < 0.258 לכן נקבל את , 𝐻0כלומר ניתן לומר בר"מ 0.1שאין הבדל בין השונויות. סעיף ב' מבחן וילקוקסון למדגמים בלתי תלויים: : 𝐻0התפלגות Xבחנות א שווה להתפלגות Xבחנות ב : 𝐻1התפלגות Xבחנות א שונה מהתפלגות Xבחנות ב www.OpenBook.co.il | [email protected] 38 )𝑛1 (𝑛1 + 1 8∙9 = 79 − = 43 2 2 𝑈1 = 𝑊1 − )𝑛2 (𝑛2 + 1 7∙8 = 41 − = 13 2 2 𝑈2 = 𝑊2 − 𝑈 = 𝑀𝑖𝑛 (13,43) = 13 בטבלה עבור 𝑛1 = 7, 𝑛2 = 8 2𝑃(𝑈 ≤ 13) = 2 ∙ 0.047 = 0.094 > 0.05 החלטה :לא דוחים את השערת האפס ,לאור התוצאות בר"מ ,0.05לא ניתן לומר שהתפלגות Xבחנות א' שונה מהתפלגות Xבחנות ב' www.OpenBook.co.il | [email protected] 39 מבחן פישר שני משתנים ב"ת ,שמיים (בינומיים) ודיכוטומיים( 2*2בעד ונגד) .מחליף את מבחן Zלהפרש בין פרופורציות. מבחן שנכנס לשימוש כאשר המדגמים בלתי תלויים ,והמשתנה בינומי ב 2-האוכלוסיות n pˆ1 , n qˆ1 10 המדגמים קטנים ולא עומדים בתנאי הקירוב לנורמלי(לפחות 1מהם): n pˆ 2 , n qˆ2 10 הסטטיסטי נקבע ע"י השכיחות Aשנצפה שערכה צריך להיות נמוך מבין התאים בכישלון ( Aהוא התא בו אמור להיות שיפור אך אין) ,נחשב את רמת המובהקות המינימלית ' שהיא ההסתברות לקבל את תוצאתה המדגם ב A-או קיצונית לה(קטנה יותר) . Pv P A a נדחה H 0אם Pv או אם 2 ( p.v זהה למבחן הבינום והסימן) טבלת שכיחויות :2*2 הצלחה כישלון קבוצה 1 סך הנבדקים בקבוצה ה1- סך הנבדקים בקבוצה ה2- קבוצה 2 סך ההצלחות www.OpenBook.co.il סך הכישלונות | = Nסך הנבדקים בשתי הקבוצות [email protected] 40 שאלה 1 רוצים לבדוק האם הנחיה מוגברת מעלה את הסיכוי להצליח בבחינה בקורס סטטיסטיקה ב' .לשם כך נבחרו 6תלמידים שלמדו בהנחיה מוגברת ומתוכם 5עברו את הבחינה .כמו כן 5 ,תלמידים שלא עברו הנחיה מוגברת נבחרו ,כשמתוכם 3עברו את הבחינה .בחן את ההשערה שהנחיה מוגברת משפרת את הסיכוי להצליח בבחינה בר"מ .0.05 פתרון מבחן פישר תנאים: ( )1מדובר במדגמים בלתי תלויים ( )2טבלה דו מימדית משתנה בינומי (עבר או לא עבר) ( )3תק"ל לא מתקיים nq, np 10 אחרת , H 0 :הנחיה מוגברת מעלה את הסיכוי להצליח בבחינה H1 : כלל ההכרעה :קבלת H 0כאשר p.v ' 0.05 נדחה H 0כאשר p.v ' 0.05 קב' 1עם הנחיה קב' 2ללא הנחיה סה"כ כישלון A=1 C=2 3 הצלחה B=5 D=3 8 6 5 11 3 8 3 8 1 5 0 6 ' P A 1 0.42 0.05 11 6 נקבל את השערת האפס ,הנחיה מוגברת לא משפרת את הסיכוי להצליח בבחינה בר"מ 0.05 www.OpenBook.co.il | [email protected] 41 שאלה 2 לבדיקת יעילותו של מסיר כתמים חדש ,השתמשו בו להסרת כתמים קשים מ 10 -חולצות .את התוצאות השוו מול מסיר כתמים ישן ,בו השתמשו להסרת כתמים מ 15 -חולצות אחרות .התוצאות הראו שב 2 -חולצות שטופלו במסיר הכתמים החדש וב 7 -חולצות שטופלו במסיר הכתמים הישן, נותרו הכתמים .האם ניתן לומר שמסיר הכתמים החדש יעיל יותר מהישן בר"מ ?0.05 פתרון מבחן פישר תנאים: ( )1מדובר במדגמים בלתי תלויים ( )2טבלה דו מימדית משתנה בינומי (הכתם הוסר או לא) ( )3תק"ל לא מתקיים n1 10, n2 5, np 10 אחרת , H 0 :מסיר חדש יעיל יותר מהישן H1 : כלל ההכרעה :קבלת H 0כאשר p.v ' 0.05 נדחה H 0כאשר p.v ' 0.05 מסיר חדש מסיר ישן סה"כ כתם הוסר B=8 D=8 16 כתם נשאר A=2 C=7 9 10 15 25 9 16 9 16 9 16 2 8 1 9 0 10 463,320 102,960 8, 008 574, 288 ' P A 2 0.1757 0.05 3, 268, 760 3, 268, 760 25 10 לכן לא ניתן להסיק שהמסיר החדש יעיל יותר מהמסיר הישן בר"מ 0.05 www.OpenBook.co.il | [email protected] 42 שאלה 3ממבחן (פתרון מלא ומוקלט באתר )www.openbook.co.il כדי לבדוק אם חיסון חדש לכלבים מסייע בהפחתת ההדבקות במחלה מסוימת ,נערך ניסוי שבו 10 כלבים קיבלו חיסון ו 8-לא קיבלו חיסון .מבין הכלבים שחוסנו כלב אחד נדבק במחלה ,ומבין הכלבים שלא חוסנו 5נדבקו במחלה .מהו המבחן הסטטיסטי המתאים ביותר לבדיקת השערת המחקר ,נסח את ההשערות והסק מסקנה ברמת מובהקות .0.05 פתרון שני מדגמים בלתי תלויים ,משתנים דיכוטומיים ,מבחן פישר. H0 H1 :החיסון החדש לא מסייע בהפחתת ההדבקות במחלה :החיסון החדש מסייע בהפחתת ההדבקות במחלה לא נדבקו נדבקו סה"כ 10 A=1 קיבלו חיסון B=9 8 לא קיבלו C=5 D=3 18 6 12 סה"כ אם החיסון מסייע בהפחתת ההדבקות במחלה ,אז נצפה שבקרב אלו שקיבלו חיסון ידבקו פחות ,לכן – A=1מספר הכלבים שקיבלו חיסון ונדבקו במחלה. רמת מובהקות ואזורי דחייה וקבלה , 0.05 :דחה H 0אם P A 1 0.05 חישוב הסטטיסטי :טבלה עבור :A=0 לא נדבקו נדבקו סה"כ 10 A=0 קיבלו חיסון B=10 8 לא קיבלו C=6 D=2 18 6 12 סה"כ 6 12 6 12 0 10 1 9 P A 1 P A 0 P A 1 0.0317 0.05 18 10 החלטה :לכן דוחים את השערת האפס ,וניתן לומר שהחיסון מסייע בהפחתת ההדבקות במחלה ברמת מובהקות 0.05 שאלה 4 טיפול רפואי מסוים נוסה על קבוצה של 7מתוך 12חולים ,שנבחרו לניסוי .מתוך אלו שקיבלו טיפול 5 הבריאו לאחר שנה ,ואילו מתוך אלו שלא קיבלו טיפול הבריאו רק שניים. א .בדוק את ההשערה ,שלטיפול אין כל השפעה ,לעומת ההשערה האלטרנטיבית ,שהטיפול משפר ברמת מובהקות של .0.1 שלב : 1אם לא מקבלים טבלה דיכוטומית ( ) 2*2יש לבנות טבלה לפי נתוני השאלה. לא הבריאו הבריאו סה"כ קיבלו טיפול B =5 A =2 A+B = 7 לא קיבלו טיפול D =2 C=3 C+D = 5 סה"כ B+D = 7 A+C = 5 12 www.OpenBook.co.il | [email protected] 43 דרך הבנייה A :יהיה תמיד מספר הניסויים שעברו את התהליך והוא לא שיפר ( כאן מדובר בטיפול רפואי ) .ככל ש Aיהיה יותר קטן ,ההסתברות לדחות את השערת האפס תגדל ,שכן ככל ש Aקטן יותר ,המשמעות היא שהיו מעט מקרים שעברו טיפול מסוים ולא הושפעו ממנו. הטבלה תהיה תמיד בצורה זו : B A D C שלב שני :ניסוח ההשערות : הטיפול לא משפיע H0 : לטיפול יש השפעה חיובית H 1 : A C B D הנוסחה מבוססת על ההתפלגות ההיפר גיאומטרית והנה A B : N A B שלב שלישי :הצבה בנוסחה .יש לחשב את ההסתברות לקבל ערך A=2או קטן ממנו. 5 7 5 7 5 7 0 7 1 6 2 5 1 35 210 P( A 2) P( A 0) P( A 1) P( A 2) 0.31 792 12 7 והסתברות זו גדולה מ 0.05ולכן לא נדחה את השערת האפס ,והטיפול הרפואי אינו משפיע. שאלה 5 לבדיקת יעילותו של טיפול למניעת אבנית ,ניתן טיפול ל 10-קומקומים שנבחרו באופן מקרי מיצרנים שונים ,ו 15-קומקומים אחרים ,שגם הם נבחרו אקראית ,שימשו כקבוצת ביקורת .בכל קומקום הרתיחו מים 10פעמים .התוצאות הראו ,שב 2-קומקומים מבין הקומקומים שעברו את הטיפול ,ו ב 7קומקומים שלא עברו את הטיפול ,נוצרה אבנית.א .נסח את ההשערות וחשב את ההסתברות לקבל תוצאה כפי שנתקבלה או קיצונית ממנה תחת השערת האפס. ב .האם ,לאור התוצאות ,ניתן לומר שהטיפול יעיל ,ברמת מובהקות ? 0.05 פתרון שאלה 5 א .מבחן פישר .תנאים: ( )1מדובר במדגמים בלתי תלויים ( )2טבלה דו מימדית משתנה בינומי (האבנית הוסרה או לא) ( )3תק"ל לא מתקיים n1 10, n2 5, np 10 הטיפול אינו מונע אבנית , H 0 :הטיפול יעיל H1 : כלל ההכרעה :קבלת H 0כאשר p.v ' 0.05 נדחה H 0כאשר p.v ' 0.05 עם טיפול www.OpenBook.co.il ללא אבנית B=8 עם אבנית A=2 | 10 [email protected] 44 ללא טיפול סה"כ D=8 16 15 25 C=7 9 9 16 9 16 9 16 2 8 1 9 0 10 463,320 102,960 8, 008 574, 288 ' P A 2 0.1757 0.05 3, 268, 760 3, 268, 760 25 10 לכן לא ניתן להסיק שהמסיר החדש יעיל יותר מהמסיר הישן בר"מ 0.05 שאלה 6 כדי לבדוק אם תרגול נוסף משפר את הצלחת הסטודנטים בקורס "מבוא לסטטיסטיקה" נבחר מדגם מקרי של סטודנטים המשתתפים בקורס ובו נמצא כי : 8סטודנטים השתתפו בתרגול ועברו את הבחינה 2סטודנטים השתתפו בתרגול ונכשלו בבחינה 2סטודנטים לא השתתפו בתרגול ועברו את הבחינה 3סטודנטים לא השתתפו בתרגול ונכשלו בבחינה א .נסח את ההשערות וחשב את ההסתברות לקבל תוצאה כפי שנתקבלה או קיצונית ממנה תחת השערת האפס. ב .האם ,לאור התוצאות ,ניתן לומר שתרגול נוסף משפר את הצלחת הסטודנטים בקורס ,ברמת מובהקות ? 0.05 ב .התוצאה גדולה מ 0.05ולכן לא ניתן לד חות את השערת האפס ולא ניתן לומר שהטיפול יעיל. פתרון שאלה 6 א .מבחן פישר תרגול נוסף אינו משפר את הצלחות הסטודנטים , H 0 :תרגול נוסף משפר את ההצלחה H1 : 8 A=2 2 3 5 10 5 10 5 10 2 8 1 9 0 10 P( A 2) 0.167 15 10 5 10 5 10 5 10 2 8 1 9 0 10 ב P( A 2) 0.167 0.05 .לכן לא דוחים את השערת 15 10 האפס ,לא ניתן לומר ברמת מובהקות 0.05שהתרגול הנוסף משפר . www.OpenBook.co.il | [email protected] 45 46 [email protected] | www.OpenBook.co.il
© Copyright 2024