חוברת המרתון בקורס סטטיסטיקה א` מפגש ראשון
ברוכים הבאים למרתון בקורס מבוא לסטטיסטיקה לתלמידי מדעי החברה של חברת OpenBookהעובדת בשיתוף פעולה מלא עם אגודת הסטודנטים של האוניברסיטה הפתוחה (סמסטר 2015א) המבחן מורכב מ 2-חלקים: חלק א :שאלה אחת חובה ( 25נקודות) .חמש טענות. צריך לציין כל טענה נכון/לא נכון ונמק תשובה( .תשובה ללא נימוק לא תתקבל!) 5 .נקודות לכל טענה. חלק ב :עליכם לענות על שלוש מבין ארבע השאלות .2-5 ( 75נקודות לחלק זה 25 .נקודות לכל תשובה נכונה ומלאה). בד"כ השאלות בנושאים הבאים: שאלה :2מיחידות ( 2-3מדדי מיקום מרכזי ,מדדי פיזור ומדדי מיקום יחסי)) שאלה :3מיחידות (6-7הסתברות והסתברות מותנית) שאלה :4יתכן שיהיו 2שאלות מיח' ( 4-5התפלגות נורמלית ומדדי קשר) שאלה :5יחידה (8משתנה מקרי) בסוף השאלון מצורפים דפי עזר וטבלת התפלגות נורמלית חומר עזר :מחשבון כיס מדעי. סטטיסטיקה א יחידה – 1מבוא לעולם הסטטיסטיקה יחידה – 2סולמות מדידה ומדדי מיקום מרכזי יחידה – 3מדדי פיזור ומדדי מיקום יחסי יחידה – 4התפלגות נורמלית יחידה – 5מדדי קשר יחידה – 6הגדרת ההסתברות יחידה – 7הסתברות מותנה יחידה – 8משתנה מקרי ברוכים הבאים למרתון טנגנס ! יש לנו 3מפגשים ,כל מפגש 4שעות .בתחילת כל מפגש נחזור בקצרה על החומר (נדרש לעבור על החומר לפני השיעור !!) ולאחר מכן נתרגל תרגילים מבחינות. תכנית מפגשים: מפגש ראשון בתאריך 26.1.2015 :בנושא(יחידות)4-5 ,2-3 : מפגש שני בתאריך 2.2.2015 :בנושא(יחידות) :המשך 6-8 , 5 מפגש שלישי בתאריך 5.2.2015 :בנושא(יחידות) :המשך 6-8ומבחני חזרה לאחר כל שיעור נפרסם פתרונות בדף הפייסבוק https://www.facebook.com/OpenBook.co [email protected] | www.OpenBook.co.il 1 יחידה 2 משתנה מה זה משתנה? זהו גודל היכול לקבל ערכים שונים ,לפי שמו – הוא משתנה בין מדגם תצפית לתצפית. אם אני רוצה לבדוק תכונה מסוימת ,התכונה הזאת היא תשתנה בין הנבדקים/התצפיות ולכן כל תכונה אותה אנו מודדים נקראת משתנה. איך נסמן משתנה? באות לועזית גדולה כמוX, Y, Z… : איזה סוגי משתנים יש? יש משתנה כמותי ומשתנה איכותי .מה ההבדל בין איכותי לכמותי? איכות וכמות! משתנה כמותי ערכיו כמותיים ,משתנה איכותי ערכיו הם קטגוריות (דעה פוליטית ,מצב סוציו-אקונומי) אנו נתעסק במשתנים כמותיים הבאים: משתנה בדיד משתנה שיכול לקבל מספר סופי של ערכים בין כל שני ערכים .לערכים ולסדר יש משמעות. הצגה גרפית – דיאגרמת מקלות. משתנה רציף בין כל שני ערכים של המשתנה קיים רצף של ערכים (אינסוף ערכים אפשריים). הצגה גרפית -היסטוגרמה קבוע – גודל שערכו יחיד( .כמו שטח של מעגל ) תצפית/ערך מה צפיתי? מהי תוצאת המדידה של המשתנה .הם הערכים שהמשתנה מקבל. התצפית של משתנה Xמסומנת ב , X i :כאשר -iאינדקס זיהוי התצפית. אם בדקתי nתצפיות ,אני מציגה אותן כך, X n : נסמןX i : n i 1 X 1 , X 2 , X 3 ,התצפיות לפי סדר הגעתן. סכום התצפיות מאינדקס i=1עד אינדקס .n נסמן ∑𝑛𝑖=1 𝑋𝑖 2 :סכום ריבועי התצפיות. אוכלוסייה לאיזה קהל אני פונה? את מי אני מעוניינת לחקור? אוסף של פריטים שמעוניינים לחקור/לבדוק. למשל :כל הסטודנטים הלומדים קורס 30111מבוא לסטטיסטיקה לתלמידי מדעי החברה –א. [email protected] | www.OpenBook.co.il 2 מדגם מכיוון שיש לאוניברסיטה הפתוחה הרבה סטודנטים ,יהיה קשה (כלכלית ופיזית) לפנות לכל אוכלוסיית הסטודנטים שלומדים לקורס סטטיסטיקה א' ולכן נקח מדגם המהווה תת קבוצה של האוכלוסייה שנבחרה ,ועל-פי הנתונים שלה יבוצע מחקר סטטיסטי במטרה להסיק מסקנות על האוכלוסייה. אז מה זה סטטיסטיקה? מדע העוסק באיסוף הנתונים ,הצגתם (סיכום) והסקת מסקנות מהם. איסוף הנתונים – זה דגימה( .לקחת מדגם מתוך אוכלוסייה) הצגת/סיכום הנתונים – תיאור הנתונים" .סטטיסטיקה תיאורית". הסקת מסקנות – "הסקה סטטיסטית". הכלי המחבר בין הסטטיסטיקה התיאורית וההסקה הסטטיסטית נקרא הסתברות. איך נארגן את הנתונים? איך נסדר אותם? תיאור וארגון של נתונים זה רישומם בטבלה ,חישוב ממוצעם ,סידורם לפי סדר עולה ,וכן הלאה. דוגמא :שאלתי אנשים האם הם בעד או נגד לוחמה באיראן .בעד– ,1נגד– .0 דוגמא :שאלתי אנשים מה המצב הסוציו-אקונומי. מצב סוציו-אקונומי: נמוך מאוד – 1 נמוך – 2 בינוני – 3 גבוה – 4 גבוה מאוד – 5 דוגמא :שאלתי אנשים מהי עמדתם הפוליטית .דמוקרטי – ,0רפובליקני – ,1אחר – 2 האם הכלים לתיאור הנתונים זהים בכל הדוגמאות? לא. ההבדל הוא בסוג מדידת הנתונים. איך נסדר את הנתונים? מנהלת חברת OpenBookמעוניינת לבדוק את התפלגות הציונים בקורס סטטיסטיקה א' באוניברסיטה הפתוחה בקרב הסטודנטים שלא למדו סטטיסטיקה בחברת טנגנס .היא קיבלה את הנתונים הבאים: 35,40,42,38,70,90,82,55,68,62,66,69,82,100,85,96,75,34,25,99,68,77,55,38,98,15,0,90,88,83 האם זוהי דרך נוחה לראות את הנתונים? לא איזה דרך אפשר לסדר את הנתונים בצורה נוחה? טבלה = התפלגות שכיחות התפלגות שכיחות היא אמצעי לקיבוץ נתונים והצגה נוחה יותר. שכיחות frequency- f מספר הפעמים שהופיע הערך של המשתנה .X מושגים הקשורים לטבלת שכיחויות )1גבולות המחלקה :לכל מחלקה יש גבול עליון וגבול תחתון. גבולות מדומים – הגבול העליון של המחלקה לא מתלכד עם הגבול התחתון של המחלקה שאחריה .יש רווח בין המחלקות – כמו בדוגמא שלנו. גבולות אמיתיים – הגבול העליון של המחלקה מתלכד עם הגבול התחתון של המחלקה שאחריה. [email protected] | www.OpenBook.co.il 3 מעבר מגבולות מדומים לאמיתיים נעשה ע"י חלוקת הרווח בין המחלקות לשניים; מחציתו האחת נוספת למחלקה התחתונה ומחציתו האחרת – לעליונה. )2רוחב המחלקה :מסומן ב ,i -מוגדר כהפרש בין הגבול העליון האמיתי לגבול התחתון האמיתי. אם ברצוננו לבנות טבלה של מחלקות שוות רוחב :נחליט על מס' המחלקות הרצוי ,נחשב את רוחב המחלקה לפי המספר הרצוי של המחלקות: )הנתון הנמוך ביותר( ) −הנתון הגבוה ביותר( ) מספר המחלקות הרצויות( =𝑖 )3אמצע מחלקה :ממוצע הגבולות ,העליון והתחתון ,של מחלקה הוא נקודת האמצע שלה. )4התפלגות שכיחויות מצטברות :מסומן ב) ,F(xמספר המקרים עד הגבול העליון של אותה מחלקה .או מספר המקרים עד וכולל אותו ערך אם יש ערך יחיד. )5התפלגות שכיחויות יחסיות/פרופורציות: )𝑥(𝑓 𝑛 השכיחות מחולקת בגודל המדגם. )𝑥(𝑓 )6צפיפות :מסומנת ב d(x) -מספר המקרים ברוחב של שוות רוחב. 𝑖 = )𝑥(𝑑 הצפיפות משמשת להשוואה בין מחלקות שאינן הצגה גרפית של התפלגות שכיחויות דיאגרמה מקלות משתנה בדיד ציר ה X -הוא ציר המשתנה ,וציר ה Y -הוא ציר השכיחות ) .f(xמעל ערכים שונים של Xמעלים אנכים/מקלות בגובה השכיחות של ערכים אלו .הגובה מייצג את השכיחות. השימוש בדיאגרמה נפוץ במקרים הבאים: א .כאשר נתונה התפלגות שכיחויות לא מקובצת ,כלומר ,כאשר כל מחלקה מורכבת מערך אחד בלבד. ב .כאשר נתונה התפלגות מקובצת ,ומייצגים את המחלקה ע"י נקודת האמצע שלה. היסטוגרמה היא תיאור גרפי למשתנה רציף. שבו מחלקה מיוצגת ע"י אורך של קטע ,ושכיחותה מיוצגת ע"י שטח של מלבן. השימוש בהיסטוגרמה נהוג במקרים שבהם התפלגות השכיחויות מקובצת במחלקות הנתונות בגבולות אמיתיים. בציר ה Xתמיד יהיה משתנה .המחלקה מיוצגת ע"י קטע בציר ה Xשקצותיהם הם הגבולות האמיתיים של המחלקה. בציר ה Yאם המחלקות לא שוות רוחב ) d(xואם המחלקות שוות רוחב אז )f(x השכיחות היא שטח המלבן מעל הקטע הנ"ל .שטח כל המלבנים שווה ל 100% נהוג לחבר את מרכזי הבסיסים העליונים של המלבנים בהיסטוגרמה .הקו שבור המתקבל נקרא מצולע(פוליגון) [email protected] | www.OpenBook.co.il 4 סוגי עקומות -צורות התפלגות עקומה סימטרית פעמונית (חד שיאית) רב התצפיות מרוכזות בסביבת המרכז של ערכי ,Xומעט מהן באזורי השוליים .פיזור התצפיות סימטרי לחלוטין משני עברי המרכז. עקומות אסימטריות בעקומות אסימטריות מרבית התצפיות מרוכזות בקטע מסוים; יש מעט תצפיות חריגת ,רובן לכיוון אחד של ההתפלגות. כאשר החריגה רובן כלפי ערכים גבוהים של ,Xזו עקומה אסימטרית חיובית(ימנית)M 0 Md x Mr . כאשר החריגות נוטות כלפי ערכים נמוכים של ,Xזו עקומה אסימטרית שלילית(שמאלית). M 0 Md x Mr עקומה אחידה הנתונים מתפלגים באופן שווה בין כל ערכי Xהאפשריים. [email protected] | www.OpenBook.co.il 5 עקומה U מרבית התצפיות באזורי השוליים של -Xגבוהים ונמוכים ,ומעט תצפיות במרכז .יש שני שכיחים X minו. X max - עקומה רב שכיחית רב הנתונים מרוכזים סביב ערכים אחדים של .Xבעקומה דו שכיחית מרוכזים הנתונים סביב שני ערכים בלבד ,ויש לה שתי דבשות [email protected] | www.OpenBook.co.il 6 מדדי מיקום מרכזי מדד -מספר מסכם כלשהו המחושב על סמך נתוני המדגם (התצפיות). מדד מיקום מרכזי -ערך שסביבו מרוכזות חלק ניכר מתצפיות המדגם. שכיח הערך המופיע בשכיחות הגבוהה ביותר. ברשימת תצפיות ,השכיח הוא הציון המופיע מספר רב ביותר של פעמים. בטבלת שכיחות שהמחלקות שוות רוחב ,נהוג לציין ת נק' האמצע של המחלקה השכיחה ביותר כשכיח ובהיסטוגרמה יהיה זה מרכז המלבן הגבוה ביותר. כשהמחלקות אינן שוות רוחב ,השכיח אינו בהכרח במחלקה השכיחה ביותר – .בצפופה ביותר. אמצע טווח זהו הממוצע בין התצפית הגדולה ביותר לקטנה ביותר: 𝑛𝑖𝑚𝑥𝑥𝑚𝑎𝑥 + 2 = 𝑅𝑀 במחלקה הערוכה לפי מחלקות זהו הממוצע בין הגבול העליון של המחלקה העליונה לגבול התחתון של המחלקה התחתונה. 𝑛𝑖𝑚𝑙𝑙𝑚𝑎𝑥 + 2 = 𝑅𝑀 חציון במשתנה בדיד או ברשימת תצפיות( ,ברשימת תצפיות עלינו לסדר את המשתנים בסדר עולה). אם מספר התצפיות( )nאי זוגי 𝑀𝑑 = 𝑋𝑛+1 2 אם מספר התצפיות( )nזוגי +1 𝑛𝑋𝑋𝑛+ 2 2 2 = 𝑑𝑀 𝑛 במשתנה רציף או בטבלת שכיחויות לפי מחלקות(𝐿1 − 𝐿0 ) + 𝐿0 : ) −𝐹(𝑋𝑚−1 ) 𝑚𝑋(𝑓 𝑀𝑑 = 2 -nמספר המקרים הכולל; -Xmהמחלקה בה נמצא החציון; -L1גבולה האמיתי העליון של ;Xm -L0גבולה האמיתי התחתון של ;Xm -Xm-1המחלקה הקודמת ל.Xm- ) F(Xm-1השכיחות המצטברת עד לגבול העליון של המחלקה .Xm-1 ) f(Xmשכיחות המחלקה Xm הדרך לחישוב חציון: .1קבע גבולות אמיתיים למחלקה .2חשב את n/2 .3בנה טור של שכיחות מצטברת .4מצא את ,Xmכלומר אתר את המחלקה שבה יימצא החציון (מרקר אותה!) [email protected] | www.OpenBook.co.il 7 𝑛 .5חשב את ) .2 − 𝐹 (𝑋𝑚−1זה מספר המקרים ב ,Xm-שאותם יש לצרף לכל המחלקות משמאל ל ,Xmשבהן יש ) F(Xm-1מקרים. .6חשב את היחס בין המקרים החסרים לכלל המקרים שב:Xm- .7כפול את המנה שקיבלת ברוחב של (𝐿1 − 𝐿0 ) :Xm 𝑛 )−𝐹(𝑋𝑚−1 2 ) 𝑚𝑋(𝑓 𝑛 )−𝐹(𝑋𝑚−1 2 ) 𝑚𝑋(𝑓 .8הוסף את התוצאה ,שקיבלת ,לגבול התחתון של Xm ממוצע כשנתונה רשימת ציונים ,מחושב הממוצע בדרך הבאה: כאשר נתונה טבלת שכיחויות: )𝑛𝑥(𝑓𝑛𝑥𝑥1𝑓(𝑥1)+⋯+ 𝑛 = 𝑛∑ 𝑖𝑋 𝑖=1 𝑛 = ̅𝑥 𝑛∑ )𝑖𝑥(𝑓𝑖𝑋 𝑖=1 𝑛 = ̅𝑥 תכונה מעניינת של הממוצע היא שסכום הסטיות מהממוצע הוא אפס∑𝑛𝑖=1(𝑋𝑖 − 𝑋̅) = 0 : הממוצע הוא אותו ערך ,שסכום הסטיות ממנו שווה לאפס. בבואנו לשאלה נבדוק: .1משתנה בדיד /רציף. .1.1משתנה רציף? .1.1.1האם גבולות מחלקה אמיתיים או מדומים? במידה ומדומים נשנה לגבולות אמיתיים. )f ( x .1.1.2רוחב מחלקה זהה? במידה ולא יש להוסיף 2עמודות :רוחב מחלקה i L1 L0וצפיפות i . L1 L0 X mid .1.1.3הוספת עמודה אמצע מחלקה 2 .1.2משתנה בדיד? .1.2.1הוספת שכיחות מצטברת )F(x .2מבקשים בשאלה למצוא ממוצע? נוסיף עמודה x f x d .3מבקשים בשאלה למצוא סטיית תקן או שונות? נוסיף עמודה x 2 f x חוק המספרים הגדולים תיאוריה מתמטית הבנויה על העובדה שתופעות כלכליות רבות מאוד הן בעלות התפלגות נורמלית ולכן ככל שאירוע מסוים חוזר על עצמו מספר רב יותר של פעמים (דהיינו ככל שהמדגם גדול יותר) ,כך הממוצע בפועל יהיה קרוב יותר לערך המיוחל .לשון אחר :למרות אי -הסדר הקיים במהלך האינדבידואלי של האירועים ,הסדרה כולה מראה סדירות מסוימת .חוק זה הוא הבסיס לביטוח .החוק מכונה גם "חוק ממוצעים" )(average lawאו "סדירות סטטיסטית" (statistical regularity). משפט הגבול המרכזי על פי משפט הגבול המרכזי (בניסוח רשלני) – ההתפלגות של ממוצע תצפיות מקריות ובלתי תלויות שואפת לגבול מרכזי – וגבול זה הוא ההתפלגות הפעמונית המפורסמת. משפט הגבול המרכזי הוא משפט יסודי בתורת ההסתברות ,העוסק בהתפלגות הגבולית של הממוצע המצטבר של סדרת משתנים מקריים .המשפט קובע שבתנאים מסוימים ,התפלגות הממוצע של סדרת משתנים מקריים מתקרבת להתפלגות נורמלית .מאחר שרבים מהערכים הנמדדים בטבע מורכבים למעשה מסכום מספר רב של אירועים אקראיים ,המשפט מסביר את הדומיננטיות של ההתפלגות הנורמלית .את המשפט הוכיח אלכסנדר ליאפונוב. [email protected] | www.OpenBook.co.il 8 השפעת טרנספורמציה על מדדים טרנספורמציה – חישוב שמעביר ערכים מסדרה אחת לסדרה אחרת. דוגמאות :מעבר מש"ח לדולר ,מעבר מציון לפני פקטור לציון אחרי פקטור ,מעבר ממכירות למשכורות. טרנספורמציה ליניארית :טרנספורמציה שיש לה את הנוסחה הכלליתX ' a b X : – Xהערכים בסדרה הישנה ' - Xהערכים בסדרה החדשה – aהאיבר החופשי – הקבוע – bהאיבר התלוי ב .X דוגמאות: ( )1סוכני מכירות מקבלים שכר בסיסי של ,₪ 4,000ועוד עמלה של ₪ 125לכל יחידה שהם מוכרים .מהי משוואת השכר? – Xמספר היחידות שהסוכן מכר. ' – Xהשכר החודשי X ' 4,000 125 X ( )2במבחן בסטטיסטיקה הוחלט לתת לכל הסטודנטים בונוס של 10נקודות .מה משוואת הציון לאחר הבונוס? – Xהציון לפני הבונוס ' – Xהציון לאחר הבונוס X ' 15 X ממוצע X ' a b X חציון Md X ' a b Md X אחוזון (מאון) X ' X % a b X C % טווח RX ' b RX סטיית תקן S X ' b S X שונות S 2 X ' b2 S 2 X [email protected] | www.OpenBook.co.il 9 שאלה 1 בהתחלת שנת הפעילות של מתנ"ס מסוים נערך סקר על מספר החוגים אליהם נרשמו ילדים בגילים . 5-7התפלגות התוצאות מתוארת בדיאגרמת המקלות הבאה: א. ב. ג. מצא את השכיח ,החציון ואת הממוצע של התפלגות מספר החוגים אליו נרשם ילד בגיל .5-7 מצא את סטיית התקן ואת ממוצע הסטיות המוחלטות מהחציון של התפלגות מספר החוגים אליו נרשם ילד בגיל .5-7 כחודש לאחר תחילת הפעילות נבדקו שוב אותם 100ילדים .התברר כי שישה מהם ,שלא נרשמו לחוגים בהתחלה ,החליטו בסופו של דבר להירשם לחוג אחד. מה יקרה לכל אחד מהמדדים שחשבת בסעיפים א' וב' (יגדל/יקטן/לא ישתנה)? נמק. שאלה 2 [email protected] | www.OpenBook.co.il 10 3 שאלה 4 שאלה 11 www.OpenBook.co.il | [email protected] 5 שאלה 6 שאלה 12 www.OpenBook.co.il | [email protected] יחידה - 4התפלגות נורמלית התפלגות נורמלית היא התפלגות פעמונית וסימטרית שבקו האמצע נמצאים מדיי המרכז והם: x Md Mo MR השטח מתחת לעקומה שווה ל ,)100%( 1השטח משמאל לממוצע הוא ,0.5והשטח מימין לממוצע הוא 0.5 aX אנו נעבור תמיד מהצגת משתנה נורמלי כלשהו למשתנה נורמלי סטנדרטי ע"י תרגום aל:Z S Z ניתן להציג כל ערך של המשתנה Xהמתפלג נורמאלי במונחים של מספר סטיות התקן שהוא מרוחק מן הממוצע .שם אחר ציון סטנדרטי .ולהתפלגותו נקראת התפלגות נורמאלית סטנדרטית עם ממוצע שווה ל 0-וסטיית תקן שווה ל.1- xx Zx Sx את השטח משמאל לערך Zמסוים נסמן כך z : מה אנחנו צריכים לזכור? P Z Number Number P Z Number 1 Number Number 1 Number a Z b b a נתרגל קצת: לפי לוח ההתפלגות הנורמאלי יש לחשב: [email protected] 1.2 ?? 0.500 0.3 ?? 0.9750 2.8 ?? 0.1003 0.8 ?? 0.9904 | www.OpenBook.co.il 13 שאלה 1 גובה החיילים המתגייסים לצה"ל מפולג נורמלית עם ממוצע 175ס"מ וסטית תקן של 10ס"מ. א .חשב/י את אחוז החיילים שגובהם נמוך מ 2-מטר )0.9938( . ב .חשב/י את אחוז החיילים שגובהם גבוה מ 2-מטר )0.0062(. ג .חשב/י את אחוז החיילים שגובהם נמוך מ 1.65-מטר )0.1587(. ד .חשב/י את אחוז החיילים שגובהם בין 185ס"מ ל 195-ס"מ)0.1359(. ה .חשב/י את אחוז החיילים שגובהם בין 165ס"מ ל 185-ס"מ)0.6826(. ו .חשב/י את אחוז החיילים שגובהם נמוך 165ס"מ או גבוה מ 185-ס"מ )0.3174(. ז .במחזור גיוס מסוים התגייסו 10,000חיילים .חשב/י כמה מבין החיילים שהתגייסו במחזור גיוס זה , גובהם נמוך מ 175-ס"מ )5000( . ח .מצא/י את גובה החייל אשר 90%מהחיילים המתגייסים לצה"ל נמוכים ממנו )187.82(. ט .מצא/י את גובה החייל אשר 10%מהחיילים המתגייסים לצה"ל נמוכים ממנו )162.18(. י 3% .החיילים הגבוהים ביותר נשלחים לאימוני נבחרת כדורסל .מהו הגובה המינימלי של החיילים המתאמנים בכדורסל )193.81(. יא .חשב/י הטווח הבין רבעוני של גובה החיילים )13.48(. שאלה 2 ידוע כי התפלגות הציונים בבחינת גמר בקורס מסוים באוניברסיטה הפתוחה היא נורמלית. א .בסמסטר א בשנה מסוימת קיבלו 50%מהסטודנטים ציון הגבוה מ 72.5 -ו 6% -קיבלו ציון גבוה מ .91.16 -מה היה הציון הממוצע ומה הייתה סטית התקן של הציונים בסמסטר זה ? ב .בסמסטר א ידוע כי התלמידים שציונם מעל 96קיבלו ציון "מעולה" .כמו כן ידוע כי באותו סמסטר 18תלמידים קיבלו ציון מעולה .מצא מה היה מספר הנבחנים באותו סמסטר. ג .בסמסטר ב היה הציון הממוצע 70וסטית התקן .10סטודנטים שציונם בין 76-85קיבלו את הציון טוב .מהו אחוז הסטודנטים בסמסטר זה שקיבלו "טוב" בבחינת הגמר ? ד .מהו הציון בסמסטר ב השקול ( טוב באותה מידה ) לציון 67בסמסטר א ? שאלה 3 חברת "האבוב" מתכוונת לשווק סוג חדש של צמיגים רדיאליים .מבדיקות החברה התברר שממוצע אורך החיים של צמיגים אלו הוא 38,000ק"מ עם סטיית תקן 3,000ק"מ. בהנחה שאורך חיי הצמיג מתפלג נורמלית ובדיקות החברה נכונות מצא : א .מהו אחוז הצמיגים שניתן לצפות שיחזיקו מעמד יותר מ 38,000 -ק"מ ? ב .מהו אחוז הצמיגים שניתן לצפות שיחזיקו מעמד לכל היותר 35,000ק"מ ? ג .חברת "האבוב" יצאה במסע פרסום והודיע שתפצה בצמיג חדש ,כל בעל מכונית שהצמיג שקנה החזיק מעמד פחות מ K -ק"מ .החברה קבעה את הערך Kכך שלא תצטרך לפצות יותר מאשר 10%מרוכשי הצמיגים .מהו הערך K שנקבע ? ד .הסבר ,ללא חישוב מחדש ,כיצד ולאיזה כוון ( אם בכלל ) היו משתנות תשובותיך לסעיפים א ,ב ,ו -ג לו סטיית התקן היתה 5,000ק"מ ? שאלה 4 מפעל לפיצוחים אורז את תוצרתו בשקיות שהמשקל הרשום עליהן 200גרם .עם זאת ,בגלל תהליך האריזה האוטומטי המשקל המדויק בכל שקית מתפלג נורמלית עם ממוצע 200גרם וסטיית תקן 8גרם. א .מהו אחוז השקיות שמשקלן מתחת ל 190-גרם ? ב .מהו הרבעון התחתון של משקל השקיות ? שאלה 5 התפלגות הציונים בקורסים בכלכלה היא בקירוב נורמלית. [email protected] | www.OpenBook.co.il 14 לבחינה במבוא לכלכלה במועד א' ניגשו 500סטודנטים ,הציון הממוצע בבחינה היה 70וסטיית התקן .12 א .אם ציון "מספיק" מוגדר כציון בתחום ,55-64מהו מספר הסטודנטים במועד זה ,שקיבלו "מספיק" בבחינה במבוא לכלכלה? ב. 2%מהסטודנטים שציוניהם הטובים ביותר יקבלו ציון "מצוין" מהו הציון המינימלי לקבלת "מצוין" בבחינה במבוא לכלכלה ? ג. לבחינה במקרו כלכלה במועד א' ניגשו 400סטודנטים. 50%מהסטודנטים שנבחנו בבחינה קיבלו ציון גבוה מ 74ו 2.5% -מהסטודנטים קיבלו ציון גבוה מ . 93.6 מה היה הציון הממוצע ומה הייתה סטיית התקן בבחינה במקרו כלכלה? ד. לבחינה בתורת המחירים במועד א' ניגשו 100סטודנטים ,הציון הממוצע היה 68וסטית תקן .8חשב: .)1את הציון הממוצע של כל הנבחנים בבחינות בכלכלה. .)2את סטית התקן של הציונים בבחינות בכלכלה. שאלה 6 משקלם של עכברי מעבדה לבנים מתפלג נורמלית. ידוע כי מתחת למשקל 171.15גרם נמצאים 99.2%מהעכברים ומעל למשקל 152.55נמצאים 12.1%מהעכברים. א. מהם הממוצע והשונות של משקל עכברי המעבדה ? ב. מהו אחוז העכברים שמשקלם בין 105גרם לבין 150גרם ? ג. מהו משקל עכבר שרק 10%מעכברי המעבדה שוקלים יותר ממנו ? ד. מהו טווח הבינרבעוני של משקל עכברי המעבדה? שאלה 7 מילוי קרטון חלב של 1ליטר נעשה בעזרת מכונה אוטומטית .ניתן לכוון את המכונה כדי שתיתן כמות ממוצעת נתונה של חלב .כמות המילוי מתפלגת בקירוב נורמלית עם סטיית התקן של 0.01ליטר. א. מהי פרופרציית הקרטונים שבהם פחות מ 0.97 -ליטר חלב ,אם המכונה כוונה למילוי ממוצע של 1ליטר ? ב. מהי פרופרציית הקרטונים שבהם יותר מ 1 -ליטר חלב ,אם המכונה כוונה למילוי ממוצע של 1.02ליטר ? ג. לאיזה מילוי ממוצע חייב היצרן לכוון את המכונה ,אם על פי התקן ,אחוז הקרטונים שבהם פחות מ1 - ליטר חלב אינו יכול לעלות על . 1.5% ד. המכונה כוונה לממוצע התקני ,שמצאת בסעיף ג' ,מהו אחוז הקרטונים שכמות החלב בהם אינה סוטה מהממוצע ביותר מסטיית תקן אחת ? טענות נכון /לא נכון טענה 1 אם להתפלגות סימטרית נוסיף שני נתונים אחד כערך התצפית הגבוהה ביותר -בהתפלגות ואחד כערך התצפית הנמוכה ביותר ,אזי שונות הסדרה לא תשתנה טענה 2 בשנה מסוימת היה השכר הממוצע במפעל כלשהו . ₪ 8,500שנה לאחר מכן קיבל כל עובד העלאה של .₪ 250כעבור שנה נוספת כל המשכורות) כולל העלאה הקודמת (הועלו ב .15% -לכן השכר הממוצע הנוכחי הוא 10,062.5₪ טענה 3 בסדרה המונה 6תצפיות ,נרשמו לגבי 5מהן הסטיות מממוצע הסדרה 2.5 , 1.4, -0.8, 1.6, -2.2 :לכן שונות הסדרה היא 4.5 [email protected] | www.OpenBook.co.il 15 טענה 4 לסדרה סטטיסטית בת 100תצפיות ממוצע 80וחציון . 70לסדרה זו הוסיפו עוד שתי תצפיות . 100 ,60 :כתוצאה מכך ,הממוצע וגם החציון של הסדרה בת 102התצפיות אינם משתנים. טענה 5 דני הוא נהג "אגד" הנוסע בממוצע 200ק"מ ביום עם סטיית תקן 40ק"מ .רותי אשתו היא פקידה המדפיסה בממוצע 60עמודים ביום עם סטיית תקן של 6עמודים .ביום מסוים נסע דני 300ק"מ ורותי הדפיסה 45עמודים .לכן באותו יום ההספק היחסי שלהם היה זהה. טענה 6 סדרת נתונים סטטיסטיים מונה 50תצפיות .נתון כי סדרת הנתונים סימטרית סביב הממוצע .חציון הסדרה128 - ושונות הסדרה – . 225בשלב מאוחר יותר נוספו שתי תצפיות נוספות לסדרה 143 :ו 113 -לכן החציון ,הממוצע והשונות של 52התצפיות לא ישתנו. [email protected] | www.OpenBook.co.il 16
© Copyright 2024