‫תרגילים באקונומטריקה א'‬ ‫‪ .1‬לפניכם נתוני מדגם של ‪ 5‬משפחות‪.‬‬ ‫‪ – Yi‬הצריכה (באלפי ש"ח) של משפחה ‪.i‬‬ ‫‪ – X i‬ההכנסה (באלפי ש"ח) של משפחה ‪.i‬‬ ‫‪ Y X‬מס' סידורי‬ ‫‪0 8 01‬‬ ‫‪2 7 8‬‬ ‫‪3 9 00‬‬ ‫‪4 7 9‬‬ ‫‪5 9 02‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫ה‪.‬‬ ‫ו‪.‬‬ ‫ז‪.‬‬ ‫ח‪.‬‬ ‫ציירו דיאגרמת פיזור‪.‬‬ ‫חשבו את מקדם המתאם בין ההכנסה לצריכה‪.‬‬ ‫בדקו‪ ,‬ברמת מובהקות ‪ ,1.15‬את ההשערה שמקדם המתאם באוכלוסייה שווה אפס‪.‬‬ ‫אמדו את משוואת הישר ‪ Yˆ  ˆ  ˆX‬לפי שיטת הריבועים הפחותים‪.‬‬ ‫חשבו עבור כל משפחה שבמדגם את הצריכה הנאמדת )‪. (Y‬‬ ‫חשבו עבור כל משפחה את הסטייה (הטעות) באמידה ( ‪) uˆ t‬‬ ‫מהו סכום הסטיות (הטעויות) הנאמדות?‬ ‫חשבו את ‪ Y‬ואת ‪ . Y‬האם הם שווים זה לזה?‬ ‫‪ .2‬במדגם של ‪ 02‬סטודנטים נאספו נתונים של מספר שעות הלימוד לשבוע וממוצע ציונים‬ ‫של כל סטודנט‪ .‬הנתונים סוכמו בטבלה הבאה‪:‬‬ ‫משתנה‬ ‫שעות לימוד לשבוע‬ ‫ממוצע ציונים שנתי‬ ‫ממוצע‬ ‫‪28.75‬‬ ‫‪79.83‬‬ ‫סטית תקן‬ ‫‪4.71‬‬ ‫‪7.43‬‬ ‫מקדם מתאם‬ ‫‪0.7177‬‬ ‫א‪ .‬חשבו את המקדמים של קו הרגרסיה ‪Yˆt  ˆ  ˆX t‬‬ ‫כאשר ‪=X‬מספר שעות לימוד לשבוע ו‪=Y -‬ממוצע ציונים שנתי‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נתון שסכום ריבועי ההפרשים בין הערכים ‪ yI‬לבין הערכים המקבילים על קו הרגרסיה‬ ‫שווה ‪ .294.65‬חשבו אומדן ל ‪( σ2‬לשונות של ‪ Y‬עבור ערך כלשהו של ‪) X‬‬ ‫ג‪ .‬חשבו אומדן לסטית התקן של ˆ‪. ‬‬ ‫ד‪ .‬האם ניתן לטעון‪ ,‬על סמך התוצאות הללו‪ ,‬שלכל תוספת של שעה אחת לשעות הלימוד‬ ‫השבועיות עולה ממוצע ציוניו של הסטודנט ב ‪ 2‬נקודות? בדקו באמת מובהקות ‪5%‬‬ ‫ה‪ .‬בנו רווח סמך בבטחון ‪ 95%‬לשיפוע‪ .‬האם הרווח תומך במסקנה של סעיף ד?‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .3‬נתון המודל‬ ‫‪Yt  X t  ut‬‬ ‫א‪ .‬מהו אומד הריבועים הפחותים ל ‪?‬‬ ‫ב‪ .‬הראו שאומד זה לינארי וחסר הטיה לפרמטר ‪.‬‬ ‫ג‪ .‬השתמשו בנתוני שאלה ‪ .0‬מצאו אומדן ריבועים פחותים (‪ )OLS‬לנטיה השולית לצרוך‪,‬‬ ‫אם ידוע שהצריכה היא פרופורציונלית להכנסה ( ‪.) Yt  X t  ut‬‬ ‫‪Yt    X t  ut‬‬ ‫‪ .4‬נתון המודל‬ ‫‪YT  Y1‬‬ ‫‪X T  X1‬‬ ‫ונתון האומד של ‪‬‬ ‫~‬ ‫‪‬‬ ‫א‪ .‬מהי המשמעות הגיאומטרית של אומד זה?‬ ‫ב‪ .‬הראו שאומד זה הנו ליניארי וחסר הטיה לפרמטר ‪‬‬ ‫ג‪ .‬האם לדעתכם קיים אומד יעיל יותר ל‪ -‬‬ ‫‪ .5‬נתונות המשואות‪:‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪Yt    X t  ut‬‬ ‫‪Yt    X t  ut‬‬ ‫‪Y    X  u‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫‪Yt    X t‬‬ ‫‪Yt    X t  ut‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪t‬‬ ‫ה‪.‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪u‬‬ ‫ו‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪t‬‬ ‫ז‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪t‬‬ ‫ח‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪t‬‬ ‫ט‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ u x‬‬ ‫‪t 1‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪u x‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪t 1‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪ u‬‬ ‫‪t 1‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪t 1‬‬ ‫אילו משואות נכונות ואלו שגויות‪ ,‬נמקו‪.‬‬ ‫‪ .6‬נאמד המודל ‪ Y  X  u‬כאשר ‪ u‬מקיים את ההנחות הקלאסיות‪ .‬הוצע האומד הבא‪:‬‬ ‫‪~ Y‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪X‬‬ ‫א‪ .‬האומד חסר הטיה‬ ‫כן ‪ /‬לא‪ .‬הסבר‬ ‫ב‪ .‬האומד הוא היעיל ביותר‬ ‫כן ‪ /‬לא‪ .‬הסבר‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫~‬ ‫‪V ( ) ‬‬ ‫‪X2‬‬ ‫כן ‪ /‬לא‪ .‬הסבר‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .7‬לאמידת השיפוע ממודל הרגרסיה ‪ , Yi    X i  ui‬הוצע האומד הבא‪:‬‬ ‫)‪ X‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪(Y  Y )  ( X  X ) ( X‬‬ ‫) ‪( X  X‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫~‬ ‫‪i‬‬ ‫א‪ .‬הוכיחו שאומד זה הינו אומד מוטה ל ‪( .  2‬רמז‪ :‬השוו אומד זה לאומד הריבועים‬ ‫הפחותים)‪.‬‬ ‫~‬ ‫ב‪ .‬חשבו את גודל ההטיה של האומד ‪ ‬מהפרמטר ‪.β‬‬ ‫ג‪ .‬הראו שהשונות של אומד זה שווה לשונות של אומד הריבועים הפחותים לשיפוע‪.‬‬ ‫ד‪ .‬האם ניתן להשוות יעילות אומד זה ליעילות אומד‪ OLS‬עפ"י משפט גאוס מרקוב?‬ ‫‪ .8‬לגבי כל טענה יש לציין האם היא נכונה‪ /‬לא נכונה‪ .‬הסבירו‪.‬‬ ‫א‪ .‬אומד ‪ OLS‬לשיפוע מדויק יותר ככל שערכי ה‪ X -‬קרובים יותר לממוצע ( ‪) X‬‬ ‫ב‪ .‬אומדים יעילים רק אם הטעויות ‪ ui‬מתפלגים נורמלית‬ ‫ג‪ .‬אם הטעויות האקראיות אינן מתפלגות נורמאלית אז לא ניתן לבצע מבחני ‪ F‬ו ‪t‬‬ ‫ד‪ .‬ככל ששונות של ‪ ui‬היא גבוהה יותר‪ ,‬אז הרווח סמך למקדמים יהיה רחב יותר‬ ‫ה‪ .‬ככל שהשונות של ה ‪-X‬ים גבוהה יותר‪ ,‬רווחי הסמך למקדמים יצטמצמו‬ ‫ו‪ .‬המשמעות שמובהקות התוצאה (‪ )p-value‬נמוכה ממת המובהקות ‪ α‬היא שמקדמי‬ ‫הרגרסיה שונים באופן מובהק מ‪.1-‬‬ ‫‪ .9‬הנתונים הבאים מייצגים תצרוכת פרטית ועודף יבוא בשנים ‪ 71-82‬במיליארדי שקל‪,‬‬ ‫במחירי ‪.0981‬‬ ‫שנה‬ ‫תצרוכת פרטית ‪X‬‬ ‫עודף יבוא ‪Y‬‬ ‫‪0971‬‬ ‫‪37.8‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0970‬‬ ‫‪39.9‬‬ ‫‪0.3‬‬ ‫‪0972‬‬ ‫‪43.9‬‬ ‫‪0.0‬‬ ‫‪0973‬‬ ‫‪47.5‬‬ ‫‪2.7‬‬ ‫‪0974‬‬ ‫‪50.0‬‬ ‫‪3.4‬‬ ‫‪0975‬‬ ‫‪50.3‬‬ ‫‪4.0‬‬ ‫‪0976‬‬ ‫‪53.5‬‬ ‫‪3.3‬‬ ‫‪0977‬‬ ‫‪55.7‬‬ ‫‪2.4‬‬ ‫‪0978‬‬ ‫‪59.8‬‬ ‫‪3.0‬‬ ‫‪0979‬‬ ‫‪60.0‬‬ ‫‪3.7‬‬ ‫‪0981‬‬ ‫‪62.1‬‬ ‫‪3.8‬‬ ‫‪0980‬‬ ‫‪68.6‬‬ ‫‪4.3‬‬ ‫‪0982‬‬ ‫‪73.3‬‬ ‫‪4.7‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫הניחו שהקשר בין עודף יבוא לתצרוכת פרטית מיוצג ע"י המודל‪:‬‬ ‫‪Yt      X t  u t‬‬ ‫השתמשו ב ‪ SPSS‬כדי לענות על השאלות הבאות‪:‬‬ ‫א‪ .‬חשבו את מקדם מתאם בין עודף יבוא לתצרוכת פרטית ‪ .‬בדוק מובהקות‬ ‫המתאם (רמ"ב ‪)5%‬‬ ‫ב‪ .‬חשבו את האומדנים ˆ‪ˆ , ‬‬ ‫ג‪ .‬בדקו את מובהקות השיפוע (בר"מ ‪)5%‬‬ ‫ד‪ .‬בדקו את מובהקות הרגרסיה (בר"מ ‪)5%‬‬ ‫ה‪ .‬השוו את הסטטיסטי לבדיקת מובהקות השיפוע לסטטיסטי לבדיקת מובהקות המתאם‬ ‫וגם לסטטיסטי לבדיקת מובהקות המודל‪ .‬מה ניתן לומר?‬ ‫ו‪ .‬השוו את מובהקות התוצאה ( ‪ ) p-value‬לבדיקת מובהקות השיפוע למובהקות‬ ‫התוצאה לבדיקת מובהקות המתאם ולמובהקות התוצאה לבדיקת מובהקות המודל‪.‬‬ ‫מה ניתן לומר?‬ ‫‪ .01‬נניח שהמודל הנכון הוא ‪ Yt    Xt  u t‬כאשר ההוצאה הכוללת על נסיעות בכל מדינה‬ ‫בארצות הברית תסומן כ – ‪ Yt‬וההכנסה של כל מדינה בארצות הברית תסומן כ – ‪ .Xt‬אם‬ ‫תייחס ל – )‪ District of Columbia (DC‬כאל מדינה נפרדת (בירת ארצות הברית קרויה בשם‬ ‫‪ Washington DC‬והיא ממוקמת במחוז הזה)‪ ,‬נקבל ‪ 51‬תצפיות‪ .‬שני המשתנים נמדדים במליוני‬ ‫דולרים‪ .‬בטבלה הבאה מפורטות חלק מהתוצאות שהתקבלו‪:‬‬ ‫‪Variables‬‬ ‫‪Coefficient Standard Error‬‬ ‫‪0.5355‬‬ ‫‪0.0033‬‬ ‫‪0.4981‬‬ ‫‪0.0556‬‬ ‫‪417.110‬‬ ‫‪2,841.330‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫ה‪.‬‬ ‫ו‪.‬‬ ‫‪Constant‬‬ ‫‪Income‬‬ ‫)‪Error Sum of Squares (ESS‬‬ ‫)‪Total Sum of Squares (TSS‬‬ ‫מהי המשמעות הכלכלית של האומדן למקדם של משתנה ההכנסה?‬ ‫האם האומדן נראה סביר?‬ ‫בחנו את ההשערה שלפיה החותך והשיפוע במודל מובהקים ברמת‬ ‫מובהקות של ‪.5%‬‬ ‫חשבו את הקריטריון לטיב ההתאמה בין המשתנים‪.‬‬ ‫בחנו את טיב ההתאמה ברמת מובהקות של ‪.1%‬‬ ‫בדקו את ההשערה שהחותך הנו ‪ ,0‬ברמת מובהקות ‪.5%‬‬ ‫בדקו את ההשערה שהשיפוע הנו ‪ ,1.0‬ברמת מובהקות ‪.01%‬‬ ‫‪ .00‬לפניכם נתונים על שכר‪ ,‬השכלה‪ ,‬ניסיון וגיל ( שימוש ב –‪.(SPSS‬‬ ‫א‪ .‬ציירו את גרף הפיזור של שכר כנגד השכלה‪.‬‬ ‫‪Wages= +EDUC+u‬‬ ‫ב‪ .‬אמדו את המקדמים של המודל‬ ‫ג‪ .‬ציירו את גרף השגיאות מול המשתנה ‪ .EDUC‬מה הנכם לומדים מגרף זה ?‬ ‫ד‪ .‬ערכו בדיקת השערות ברמת מובהקות של ‪ 5%‬לטיב המודל ולכל אחד מהמקדמים‪.‬‬ ‫ה‪ .‬בנו רווח סמך ברמת בטחון של ‪ 95%‬למקדמים‪.‬‬ ‫‪4‬‬ WAGES 1345 2435 1715 1461 1639 1345 1602 1144 1566 1496 1234 1345 1345 3389 1839 981 1345 1566 1187 1345 1345 2167 1402 2115 2218 3575 1972 1234 1926 2165 2365 1345 1839 2613 2533 1602 1839 2218 1529 1461 3307 3833 1839 1461 1433 2115 EDUC EXPER 6 2 4 18 6 4 6 4 9 3 5 8 7 6 4 3 6 23 4 15 4 9 6 3 5 14 9 16 4 20 4 5 9 10 5 4 6 1 7 10 9 2 4 17 11 2 4 15 8 11 11 1 4 1 4 2 5 9 6 15 6 12 9 5 4 14 5 14 11 3 8 5 9 18 7 1 4 10 1 10 9 22 11 3 4 14 6 5 9 3 6 15 AGE GENDER RACE 38 0 1 52 1 1 45 1 1 58 1 1 30 1 0 43 0 1 30 0 1 33 0 0 51 1 0 37 1 1 45 0 0 55 0 1 57 0 1 36 1 1 60 1 1 35 1 0 34 0 1 28 0 0 25 0 1 43 0 1 42 0 1 47 1 0 46 1 1 52 1 0 64 1 1 39 1 1 39 1 1 40 0 1 53 1 0 59 0 1 35 0 0 45 0 1 37 0 0 37 1 1 43 1 1 32 0 1 40 0 1 49 1 1 43 0 0 31 1 0 45 1 1 31 1 1 55 1 0 30 0 1 28 1 0 60 0 0 5 ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪58‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1839‬‬ ‫‪1288‬‬ ‫‪1288‬‬ ‫‪ .02‬נבדק הקשר בין הרווחים והמכירות עבור ‪ 27‬חברות בישראל בשנת ‪ .0995‬הוחלט‬ ‫לאמוד את המודל הבא‪:‬‬ ‫‪P ROFITS     * SALES  u‬‬ ‫כאשר‬ ‫‪ -PROFITS‬הרווח במיליון ‪.$‬‬ ‫‪ -SALES‬מכירות מיליארד ‪$‬‬ ‫חלק מהתוצאות בפלט‪:‬‬ ‫‪ANOVAb‬‬ ‫‪Sig.‬‬ ‫‪.000a‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪17.188‬‬ ‫‪df‬‬ ‫‪Mean Square‬‬ ‫‪2384660.288‬‬ ‫‪138739.885‬‬ ‫???‬ ‫???‬ ‫???‬ ‫‪Sum of‬‬ ‫‪Squares‬‬ ‫‪2384660‬‬ ‫???‬ ‫‪5853157‬‬ ‫‪Regression‬‬ ‫‪Residual‬‬ ‫‪Total‬‬ ‫‪Model‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a. Predictors: (Constant), SALES‬‬ ‫‪b. Dependent Variable: PROFITS‬‬ ‫‪Coefficientsa‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪.707‬‬ ‫‪4.146‬‬ ‫‪Standardized‬‬ ‫‪Coef f icients‬‬ ‫‪Beta‬‬ ‫‪.638‬‬ ‫‪Unstandardized‬‬ ‫‪Coef f icients‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪Std. Error‬‬ ‫‪83.575‬‬ ‫‪118.131‬‬ ‫??? ‪18.434‬‬ ‫)‪(Constant‬‬ ‫‪SALES‬‬ ‫‪Model‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a. Dependent Variable: PROFITS‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫ה‪.‬‬ ‫ו‪.‬‬ ‫ז‪.‬‬ ‫השלימו את התוצאות החסרות (מסומנות ב‪.)???-‬‬ ‫האם המודל מובהק? בדקו זאת בשתי דרכים‪ .‬האם ייתכן שכל דרך‬ ‫תתן תשובה שונה לגבי המובהקות? ( ‪.)   5%‬‬ ‫מהי רמת המובהקות הקטנה ביותר עבורה עדיין תידחה השערת‬ ‫האפס מסעיף ב'?‬ ‫בנו רווח סמך ברמת סמך של ‪ 95%‬עבור ‪.‬‬ ‫בדקו ברמת מובהקות ‪ 5%‬שההשפעה השולית של המכירות על‬ ‫הרווחים שווה ל‪.21 -‬‬ ‫חשבו אחוז השונות המוסברת‪.‬‬ ‫חשבו רווח סמך ברמת סמך ‪ 95%‬לתחזית הרווחים של חברה‬ ‫שהמכירות שלה הנה ‪( 05‬כשידוע שממוצע המכירות הינה ‪.)20‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ .03‬במחקר על הקשר בין זמן המושקע בלימודי סטטיסטיקה להישגים בקורס (במבחן)‪,‬‬ ‫נאספו נתונים במדגם של ‪ 05‬סטודנטים‪ .‬לכל סטודנט נרשמו שעות לימוד לשבוע )‪ (X‬וציון‬ ‫בבחינה )‪ .(Y‬להלן סיכום הנתונים‪:‬‬ ‫משתנה‬ ‫‪ X‬שעות לימוד (בשבוע)‬ ‫‪ Y‬ציון בבחינה‬ ‫ממוצע סטית תקן טווח ערכים‬ ‫‪0-7‬‬ ‫‪0.87‬‬ ‫‪4.09‬‬ ‫‪47-95‬‬ ‫‪06.87‬‬ ‫‪77.1‬‬ ‫מקדם המתאם בין ‪ X‬ל‪ Y-‬במדגם היה ‪ .r(X,Y) = 0.86‬בדיאגרמת הפיזור נצפה קשר קרוב‬ ‫ללינארי‪ .‬ענו על השאלות הבאות‪:‬‬ ‫א‪ .‬חשבו את ˆ‪ ‬ו ˆ‪‬‬ ‫ב‪ .‬חשבו אומד ל ‪ 2‬‬ ‫ג‪ .‬המרצה לסטטיסטיקה טוענת שבטווח של שעה אחת עד ‪ 7‬שעות (כפי שהיה במדגם)‪ ,‬כל‬ ‫השקעה של שעת לימוד נוספת לשבוע מעלה את הציון‪ ,‬בממוצע‪ ,‬ב‪ 8-‬נקודות‪ .‬האם הנתונים‬ ‫תומכים בקביעה זו? (השתמש ברמת מובהקות ‪). 1.15‬‬ ‫ד‪ .‬סטודנט חדש בקורס מתכוון להשקיע ‪ 5‬שעות לימוד בכל שבוע‪ .‬איזה ציון צפוי לו‪ ,‬על פי‬ ‫המודל? הוסיפו רווח סמך של ‪ 95%‬לתשובתך‪.‬‬ ‫ה‪ .‬הסטודנט מהסעיף הקודם מוטרד מפני שרווח הסמך לציון שלו הוא בעל טווח רחב מדי‬ ‫של אפשרויות‪ .‬חברו מציע לו להגיע לתחזית יותר מדויקת על ידי שימוש בנוסחה לרווח‬ ‫סמך לתוחלת של ‪ Y‬כאשר ‪ .X=5‬מה דעתך על הצעה זו?‬ ‫ו‪ .‬האם ניתן לחזות את הציון של סטודנט שלמד ‪ 05‬שעות ?‬ ‫‪ .04‬מצורפת טבלת נתונים על מחירי דירות באלפי דולר )‪ (Price‬ושטח דירות )‪(SQFT‬‬ ‫‪SQFT PRICE‬‬ ‫‪1219 128.5‬‬ ‫‪1210 139.5‬‬ ‫‪1400 139.5‬‬ ‫‪1560 152.5‬‬ ‫‪1846‬‬ ‫‪153‬‬ ‫‪2400‬‬ ‫‪185‬‬ ‫‪1846‬‬ ‫‪209‬‬ ‫‪1846‬‬ ‫‪211‬‬ ‫‪2300‬‬ ‫‪214‬‬ ‫‪2230‬‬ ‫‪226‬‬ ‫‪2300‬‬ ‫‪250‬‬ ‫‪2180‬‬ ‫‪259‬‬ ‫‪2527 269.9‬‬ ‫‪1968‬‬ ‫‪298‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪14‬‬ ‫אמדו את הפרמטרים במודלים הבאים (בעזרת ‪:) SPSS‬‬ ‫‪1. PRICE= +SQFT+u‬‬ ‫‪2. PRICE=+Ln(SQFT)+u‬‬ ‫‪3.Ln(PRICE)= +SQFT+u‬‬ ‫‪4.Ln(PRICE)= +Ln(SQFT)+u‬‬ ‫א‪ .‬אמדו את ‪ 4‬המודלים והסבירו את משמעות ‪ ‬בכל אחד מהמודלים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬איזה מודלים ניתן להשוות וכיצד?‬ ‫ג‪ .‬מה התחזית למחיר דירה ששטחה ‪ 0411‬בכל אחד מהמודלים? מה הטעות בתחזית ?‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ .05‬על מנת לאמוד את תהליך גידול האוכלוסיה בישראל בשנים ‪ 0948-0991‬נאמדו‬ ‫המודלים‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪Ln Pop t  144.86  0.0077  Year R  0.84 )0‬‬ ‫‪Popt  212910  109.84  Year‬‬ ‫(‪R2  0.95 )2‬‬ ‫א‪ .‬הסבירו את ממשמעות האומדנים של ‪ β‬בשני המודלים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬חוו דעתכם על הטענה הבאה‪ R 2 " :‬של מודל (‪ )0‬נמוך מזה של‬ ‫מודל (‪ .)2‬לכן מודל (‪ )2‬מסביר טוב יותר את תהליך הגידול של‬ ‫האוכלוסייה"‪.‬‬ ‫‪ .61‬להלן נתונים על מחירים של מכוניות משומשות‪ ,‬מאותו דגם‪ ,‬בגילאים שונים‪:‬‬ ‫גיל‬ ‫מחיר‬ ‫‪1‬‬ ‫‪54.5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪31.5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪26.9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪14.7‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪13.1‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪13.9‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪12.4‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪12.2‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪11.5‬‬ ‫על פי דיאגרמה הפיזור הוחלט לתאר את הקשר בין גיל ומחיר באמצעות המודל הבא‪:‬‬ ‫‪Yi     ln X i  ui‬‬ ‫א‪ .‬אמדו את הפרמטרים של המודל‪.‬‬ ‫ב‪ .‬אמדו גם את המודל הליניארי ומצאו שתי דוגמאות בהן המודל שנבחר עדיף על‬ ‫המודל הליניארי‪.‬‬ ‫ג‪ .‬ציירו תרשים שאריות עבור שני המודלים‪ .‬מה לומדים מתרשים השאריות?‬ ‫ד‪ .‬האם ניתן להשוות בין שני המודלים בעזרת ‪ ?R2‬אם כן‪ ,‬האם המודל שבחר עדיף?‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ .07‬להלן נתונים על השקיית פרדסי תפוזים (מ"ק‪/‬דונם) )‪ (X‬ויבול (טון‪/‬דונם) )‪ (Y‬עבור‬ ‫מדגם של ‪ 07‬משקים‪:‬‬ ‫השקיה‬ ‫‪100‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪280‬‬ ‫‪350‬‬ ‫‪375‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪450‬‬ ‫‪550‬‬ ‫‪600‬‬ ‫‪620‬‬ ‫‪650‬‬ ‫‪700‬‬ ‫‪780‬‬ ‫‪820‬‬ ‫‪900‬‬ ‫‪950‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫יבול‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪2.1‬‬ ‫‪1.9‬‬ ‫‪3.3‬‬ ‫‪2.4‬‬ ‫‪3.5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3.5‬‬ ‫‪3.6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3.1‬‬ ‫‪4.5‬‬ ‫‪4.2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4.2‬‬ ‫‪5.5‬‬ ‫‪4.9‬‬ ‫שוקלים שני מודלים אפשריים עבור היבול כפונקציה של השקיה‪:‬‬ ‫א‪ .‬מודל ליניארי ‪Yi    X i  ui‬‬ ‫ב‪ .‬מודל לוגריתמי כפול ‪ln Yi     ln X i  ui‬‬ ‫א‪ .‬ציירו את הנתונים ואת עקומות הרגרסיה עבור המדגם‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצאו אומדנים עבור הפרמטרים של שני המודלים‪ ,‬וצרפו לכל אחד רווח סמך של ‪.95%‬‬ ‫ג‪ .‬חשבו את אומדן בשני המודלים לתוחלת היבול עבור ‪ x=100‬איזה אומדן נראה טוב‬ ‫יותר?‬ ‫ד‪ .‬השתמשו בתרשימים דיאגנוסטיים ובשיקול כלכלי כדי להחליט איזה מודל נראה להם‬ ‫עדיף‪.‬‬ ‫‪ .08‬משרד הרשם באחת האוניברסיטאות בארה"ב דגם ‪ 427‬סטודנטים וקיבל נתונים לגבי‬ ‫ממוצע הציונים של כל סטודנט בקולג' )‪ ,(COLGPA‬בבית הספר התיכון )‪,(HSGPA‬‬ ‫תוצאות המבחן הפסיכומטרי המילולי )‪ (VSAT‬והמתמטי )‪ .(MSAT‬המודל הבא נאמד‬ ‫(לצורך הפשטות הושמט האינדקס ‪:)t‬‬ ‫‪COLGPA=1+2HSGPA+3VSAT+4MSAT+u‬‬ ‫אומדני הפרמטרים וסטיית התקן שלהם נתונים כדלקמן‪:‬‬ ‫‪Standard‬‬ ‫‪Error‬‬ ‫‪Test Statistic Significance‬‬ ‫‪Coefficient‬‬ ‫‪0.220‬‬ ‫‪0.423‬‬ ‫‪0.061‬‬ ‫‪0.398‬‬ ‫‪ˆ 1‬‬ ‫ˆ‪‬‬ ‫‪0.0002807‬‬ ‫‪0.0007375‬‬ ‫‪0.0002936‬‬ ‫‪0.001015‬‬ ‫‪ˆ 3‬‬ ‫ˆ‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫א‪ .‬הערך של ‪ R2‬שהתקבל (ללא התאמה לדרגות חופש )‪ )(unadjusted‬הוא ‪ .0.22‬בגלל‬ ‫שהערך נמוך קיים חשש שהמודל אינו מתאים‪ .‬בדקו את טיב ההתאמה של המודל‬ ‫(השתמש ברמת מובהקות של ‪.)1%‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ב‪ .‬בחנו את מובהקות כל אחד מהמקדמים ברמת מובהקות של ‪ ,1%‬כאשר ההשערה‬ ‫האלטרנטיבית היא שהמקדם חיובי‪ .‬האם ישנם מקדמים שאינם מובהקים? מלאו את‬ ‫המקומות החסרים בטבלה וציינו האם המקדמים מובהקים‪.‬‬ ‫ג‪ .‬נניח שסטודנט לקח קורס כדי לשפר את השגיו במבחני ‪ SAT‬וכתוצאה מהקורס‬ ‫הוא הגדיל את מספר הנקודות בחלק המתמטי והמילולי של ה – ‪ SAT‬ב – ‪011‬‬ ‫נקודות בכל אחד מהחלקים של המבחן‪ .‬בממוצע‪ ,‬מהו השיפור הצפוי בציון ה –‬ ‫‪?College GPA‬‬ ‫ד‪ .‬רשמו משתנים נוספים שלדעתכם היו צריכים להכלל במודל‪ .‬הסבירו מדוע לדעתכם‬ ‫המשתנים שציינתם צריכים להכלל במודל‪.‬‬ ‫‪ .09‬השתמשו בנתוני שאלה ‪ 00‬על שכר חודשי של עובד בחברה תעשייתית‪ ,‬מספר שנות‬ ‫השכלה (ללא יסודי)‪ ,‬שנות ניסיון‪ ,‬וגיל בשנים‪.‬‬ ‫א‪ .‬אמדו את משוואת המודל‪:‬‬ ‫‪WAGE=1+2EDUC+3EXPER+4AGE+u‬‬ ‫ב‪ .‬ערכו בדיקת השערה למודל כולו‪.‬‬ ‫ג‪ .‬ערכו בדיקת השערות לכל מקדם‪.‬‬ ‫ד‪ .‬חשבו תחזית לשכר לאדם שהשכלתו ‪ 02‬שנות לימוד‪ ,‬הוותק ‪ 5‬שנים והגיל ‪.31‬‬ ‫ה‪ .‬מהו השינוי שצפוי בשכר של יוסי כעבור שנתיים ‪,‬אם ידוע שהוא ממשיך לעבוד באותו‬ ‫מקום ואין שינוי בהשכלה שלו‪.‬‬ ‫ד‪ .‬יתכנו עוד ששה מודלים עם המשתנים המסבירים (לא כל המשתנים חייבים להיכלל)‪ .‬בחרו‬ ‫את המודל המועדף עליכם‪ .‬נמקו את תשובתכם‪.‬‬ ‫‪ .21‬בעזרת נתוני שאלה ‪ 00‬לגבי שכר חודשי של עובד בחברה תעשייתית‪ ,‬מספר שנות‬ ‫השכלה (ללא יסודי)‪ ,‬שנות ניסיון‪ ,‬וגיל בשנים‪.‬‬ ‫א‪ .‬אמדו את המודלים הבאים‪:‬‬ ‫‪WAGE=1+2EDUC+3EXPER+4AGE+u‬‬ ‫‪Ln(WAGE)=1+3EXPER +u‬‬ ‫‪Ln(WAGE)=1+2EDUC+3EXPER +β AGE5AGE2 +u‬‬ ‫ב‪ .‬ערכו בדיקת השערה למודל כולו‪.‬‬ ‫ג‪ .‬ערכו בדיקת השערות לכל מקדם‪.‬‬ ‫ד‪ .‬התתיחסו למודל השלישי‪ .‬האם תוכלו לתת נימוק כלכלי למודל? מהי המשמעות של‬ ‫המקדמים ‪?2 ,3‬‬ ‫‪ .20‬הטבלה הבאה מציגה אומדנים וסטטיסטיים שונים (סטיות תקן בסוגריים) המתייחסים‬ ‫לארבעה מודלים‪ .‬המשתנה התלוי הוא מחיר המכונית והמשתנים המסבירים הם תכונות‬ ‫(מאפיינים) שונים של כל מכונית‪ .‬נדגמו ‪ 82‬תצפיות‪ .‬להלן ניסוח מתמטי של המודל כאשר‬ ‫מכלילים את כל המשתנים המסבירים‪:‬‬ ‫‪PRICE=1+2WBASE+3LENGTH+4WIDTH+5HEIGHT+6WEIGHT+‬‬ ‫‪7CYL +8LITERS+9GASMPG+u‬‬ ‫‪ – PRICE‬המחיר הרשום של המכונית באלפי דולרים‪.‬‬ ‫‪  WBASE‬בסיס (רוחב) הגלגלים באינצ'ים‪.‬‬ ‫‪  LENGTH‬אורך המכונית באינצ'ים‪.‬‬ ‫‪  WIDTH‬רוחב המכונית באינצ'ים‪.‬‬ ‫‪  HEIGHT‬גובה המכונית באינצ'ים‪.‬‬ ‫‪  WEIGHT‬משקל המכונית באלפי פאונד‪.‬‬ ‫‪ CYL‬מספר הצילינדרים‪.‬‬ ‫‪ LITERS‬נפח מנוע בליטרים‪.‬‬ ‫‪  GASMPG‬אומדן מספר המיילים לגלון דלק‪.‬‬ ‫‪10‬‬ ‫להלן טבלת התוצאות‪:‬‬ ‫‪Variable‬‬ ‫‪Model A Model B Model C Model D‬‬ ‫‪CONSTANT‬‬ ‫‪58.866‬‬ ‫‪54.400‬‬ ‫‪65.476‬‬ ‫‪71.554‬‬ ‫)‪(27.33) (23.19‬‬ ‫)‪(20.1) (19.93‬‬ ‫‪WBASE‬‬ ‫‪0.036‬‬ ‫‪0.28‬‬ ‫‪LENGTH‬‬ ‫‪0.394 0.383‬‬ ‫‪0.391‬‬ ‫‪0.403‬‬ ‫)‪(0.14) (0.117) (0.117) (0.118‬‬ ‫‪WIDTH‬‬ ‫‪0.104‬‬ ‫)‪(0.24‬‬ ‫‪HEIGHT‬‬ ‫‪0.748 0.741‬‬ ‫‪0.703‬‬ ‫‪0.839‬‬ ‫)‪(0.46‬‬ ‫)‪(0.43‬‬ ‫)‪(0.43‬‬ ‫)‪(0.42‬‬ ‫‪WEIGHT‬‬ ‫‪2.184‬‬ ‫‪2.148‬‬ ‫‪1.926‬‬ ‫‪2.227‬‬ ‫)‪(0.47‬‬ ‫)‪(0.43‬‬ ‫)‪(0.36‬‬ ‫)‪(0.31‬‬ ‫‪CYL‬‬ ‫‪0.959‬‬ ‫‪1.046‬‬ ‫‪1.095‬‬ ‫)‪(1.31) (0.691‬‬ ‫)‪(0.69‬‬ ‫‪LITTERS‬‬ ‫‪0.264‬‬ ‫)‪(1.83‬‬ ‫‪GASMPG‬‬ ‫‪0.196‬‬ ‫‪0.194‬‬ ‫)‪(0.22‬‬ ‫)‪(0.20‬‬ ‫)‪ESS (SSE‬‬ ‫‪2303.75 2309.978 2337.952 2414.724‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪R (adjusted‬‬ ‫‪0.559‬‬ ‫‪0.576‬‬ ‫‪0.576‬‬ ‫‪0.568‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫כותב השאלה טוען שהסימן של מספר מקדמים "מוטעה" עבור מודל ‪.A‬‬ ‫עבור כל מקדם רגרסיה‪ ,‬ובהתעלם מהחותך‪ ,‬ציינו לאיזה סימן תצפו ומדוע‪.‬‬ ‫לאחר מכן בדקו האם הסימן שהתקבל הוא זה לו ציפיתם‪.‬‬ ‫בחנו את ההשערה המשותפת ברמת מובהקות ‪ 5%‬שלפיה המקדמים של‬ ‫המשתנים‪ WBASE, WIDTH, CYL, LITTER :‬ו ‪ GASMPG‬כולם שווים‬ ‫לאפס‪ .‬ציינו מהי השערת האפס וההשערה האלטרנטיבית‪ ,‬חשבו את‬ ‫הסטטיסטי של המבחן‪ ,‬ציינו מהי התפלגות הסטטיסטי המחושב תחת‬ ‫השערת האפס‪ ,‬וזהו את הקריטריון לדחיית ההשערה‪ .‬מהי מסקנתכם?‬ ‫איזה מארבעת המודלים הוא "הטוב ביותר"? הסבירו באיזה קריטריון‬ ‫השתמשתם כדי לבחור את המודל "הטוב ביותר"‪ .‬פרשו את התוצאות של‬ ‫המודל שבחרתם‪.‬‬ ‫בחנו את המובהקות של מודל ‪ A‬ברמת מובהקות של ‪ .1%‬ציינו מהי השערת‬ ‫האפס וההשערה האלטרנטיבית‪ ,‬חשבו את הסטטיסטי של המבחן‪ ,‬ציינו מהי‬ ‫התפלגותו ומהו כלל ההחלטה‪ .‬מהי מסקנתכם?‬ ‫‪ .22‬בטבלה הבאה ישנם נתונים אודות עוני במדינת קליפורניה‪ .‬המשתנים הנם‬ ‫‪ % -POVRATE‬משפחות שמתחת לקו העוני‬ ‫‪ % -URB‬אוכלוסייה עירונית‬ ‫‪ % -EDUC0‬האוכלוסייה מעל גיל ‪ 25‬בעלי ‪ 8‬שנות לימוד‬ ‫‪ % -EDUC2‬האוכלוסייה מעל גיל ‪ 25‬בעלי ‪ 02‬שנות לימוד‬ ‫‪ % -EDUC3‬האוכלוסייה מעל גיל ‪ 25‬בעלי השכלה אקדמית‬ ‫‪ % -UNEMP‬המובטלים‬ ‫‪ -MEDINC‬הכנסה חציונית באלפי דולרים‬ ‫‪11‬‬ :‫ אמדו את המודלים הבאים‬.‫א‬ POVRATE    1URB  2 FAMSIZE  3 EDUC1  4 EDUC2  5 EDUC3  6UNEMP  7 MEDINC  u 2 POVRATE    1URB  2 FAMSIZE  4 EDUC2  5 EDUC3  6UNEMP  7 MEDINC  u 1 3 POVRATE    1URB  4 EDUC2  5 EDUC3  6UNEMP  7 MEDINC  u 4 POVRATE    1URB  4 EDUC2  5 EDUC3  7 MEDINC  u ‫ ושסכום‬1.0 ‫ הוא‬URB MEDINC 22.863 07.24 08.165 06.310 07.919 07.842 26.503 05.900 21.082 08.399 06.65 08.479 06.659 08.366 08.78 06.064 03.522 07.563 20.035 07.327 29.720 05.833 07.695 06.563. 05.607 21.205 21.115 22.426 08.842 25.909 20.662 07.227 08.682 21.949 08.937 21.139 21.316 21.900 09.02 08.098 27.279 20.63 .‫ השוו ביניהם וקבעו מי מהם עדיף‬.‫ב‬ ‫ את ההשערה המשולבת שהמקדם של‬4 ‫ בדקו במודל‬.‫ג‬ .‫המקדמים של ההשכלה אפס‬ UNEMP EDUC3 EDUC2 EDUC0 FAMSIZE URB POVRATE 01.8 22.3 76 02 3.05 96.9 08.0 6.9 32.4 86.0 5.7 3.2 1 8.7 7.2 02.6 76.8 9.5 2.87 1 7.5 01.5 06.9 70.6 03.3 2.93 71.9 9.5 9.6 03.8 76.3 01.0 2.88 1 7.5 8.2 02.3 64.6 20.6 3.08 30.9 8.8 5.8 25.5 80.7 8.5 3.06 97 6.0 05.5 01 67.0 06.2 3.17 32.5 00.4 9.5 07.4 80.2 7.5 3 42.5 6.7 8.9 05.5 63.7 22.5 3.33 78.3 00.4 02.2 9.3 63 09.0 3.2 40.3 01.5 7.8 08 76.4 01.9 3.16 56.4 9.4 9.6 9.6 51.9 35.0 3.73 69.8 02.7 6 02.0 74.2 01.6 3.10 08.6 7.3 7.7 00.8 62.0 20.3 3.28 82 01.2 8.8 01.0 58.7 26.5 3.45 66.3 02.4 01.0 01.0 66.4 06.3 2.76 23.8 00.2 03.6 00.9 73.0 00.2 3.04 31.0 7.0 6 08.4 69.8 06.9 3.34 98.9 01.5 01.2 01.7 61.0 24.8 3.30 47.7 02.4 00.5 38.3 89.9 4.3 3 93.3 4.9 3.9 05.4 73.7 01.4 2.86 1 9.6 8.3 07.6 76.4 00.3 3.14 30.6 9.5 00 01.5 61.4 25.5 3.4 62.3 00.8 7.5 02.3 72.3 04 2.99 35.0 00.8 6.5 22.7 88.2 3.7 3.10 45.8 6.4 9.0 09.6 70 08.4 3.33 77.4 8.9 5.5 07.8 75.4 02 3.13 81.8 6 9.5 07.9 82 7.8 2.93 03 6.5 4.0 22.6 81.4 9.3 3.27 99.7 5.2 06.9 06.7 77.4 01.8 3.02 51.4 7 9 04.5 78.4 8.7 2.99 25.7 8.2 6.8 02.7 68.9 05.3 3.05 82.4 8.8 9 09.2 78 01.6 3.00 96 8.9 03.5 01.6 56.5 28.3 3.57 45.9 01.8 7.4 03.0 70 03.2 3.26 91.0 9.0 7 21.9 78 01.7 3.06 93.2 8.4 6.0 28.2 74 05.8 3.00 011 01.3 01.2 00.5 62.6 20.5 3.2 82.3 01.8 6.9 08.9 76.8 00.2 2.95 75.9 8 03.8 25.4 80.6 8.7 3.03 98.2 4.5 3.5 24.6 79.0 00 3.06 91.8 6.7 12 ‫‪5.3‬‬ ‫‪8.2‬‬ ‫‪8.8‬‬ ‫‪9.3‬‬ ‫‪9.6‬‬ ‫‪8.0‬‬ ‫‪7.0‬‬ ‫‪01‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪00‬‬ ‫‪9.0‬‬ ‫‪03.2‬‬ ‫‪9.2‬‬ ‫‪6.0‬‬ ‫‪9.0‬‬ ‫‪04.4‬‬ ‫‪97.7‬‬ ‫‪80.4‬‬ ‫‪54.8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪29.3‬‬ ‫‪94.2‬‬ ‫‪66‬‬ ‫‪81.9‬‬ ‫‪67‬‬ ‫‪36.6‬‬ ‫‪23.5‬‬ ‫‪62.4‬‬ ‫‪9.6‬‬ ‫‪94.6‬‬ ‫‪80.9‬‬ ‫‪70.4‬‬ ‫‪3.29‬‬ ‫‪3.17‬‬ ‫‪3.16‬‬ ‫‪2.9‬‬ ‫‪3.13‬‬ ‫‪3.25‬‬ ‫‪3.14‬‬ ‫‪3.24‬‬ ‫‪3.23‬‬ ‫‪3.16‬‬ ‫‪3.13‬‬ ‫‪3.4‬‬ ‫‪2.93‬‬ ‫‪3.42‬‬ ‫‪3.04‬‬ ‫‪3.22‬‬ ‫‪01.5‬‬ ‫‪02.7‬‬ ‫‪01‬‬ ‫‪01.8‬‬ ‫‪02.0‬‬ ‫‪01.6‬‬ ‫‪01.7‬‬ ‫‪20.8‬‬ ‫‪07.9‬‬ ‫‪03.9‬‬ ‫‪9.7‬‬ ‫‪28.7‬‬ ‫‪9.7‬‬ ‫‪03.3‬‬ ‫‪05.4‬‬ ‫‪08.8‬‬ ‫‪79.5‬‬ ‫‪77.8‬‬ ‫‪75.6‬‬ ‫‪78.0‬‬ ‫‪75.6‬‬ ‫‪76.8‬‬ ‫‪77.6‬‬ ‫‪62‬‬ ‫‪67.7‬‬ ‫‪69.5‬‬ ‫‪74.5‬‬ ‫‪55.8‬‬ ‫‪77.3‬‬ ‫‪75.9‬‬ ‫‪73.5‬‬ ‫‪63.8‬‬ ‫‪26.3‬‬ ‫‪23.4‬‬ ‫‪02.4‬‬ ‫‪07.9‬‬ ‫‪04‬‬ ‫‪03.7‬‬ ‫‪09.2‬‬ ‫‪00.7‬‬ ‫‪04.4‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪03.6‬‬ ‫‪01.0‬‬ ‫‪03.7‬‬ ‫‪08.0‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪9.3‬‬ ‫‪5.8‬‬ ‫‪4.5‬‬ ‫‪7.9‬‬ ‫‪00.9‬‬ ‫‪03.5‬‬ ‫‪8.7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪02.7‬‬ ‫‪03.4‬‬ ‫‪00.7‬‬ ‫‪07.6‬‬ ‫‪8.6‬‬ ‫‪02.5‬‬ ‫‪5.4‬‬ ‫‪9.3‬‬ ‫‪06.6‬‬ ‫‪26.662‬‬ ‫‪21.734‬‬ ‫‪07.124‬‬ ‫‪08.220‬‬ ‫‪06.686‬‬ ‫‪20.616‬‬ ‫‪20.269‬‬ ‫‪08.656‬‬ ‫‪08.545‬‬ ‫‪05.849‬‬ ‫‪06.00‬‬ ‫‪06.072‬‬ ‫‪06.917‬‬ ‫‪23.602‬‬ ‫‪21.495‬‬ ‫‪03.750‬‬ ‫‪ .23‬ע"י שימוש בנתונים רבעוניים של ארה"ב במשך ‪ 10‬שנים‪ ,‬כלומר ב – ‪ 40‬תצפיות‪,‬‬ ‫נאמדו פרמטרים של מודל לוגריתמי )‪ .(double-log‬נתקבלו התוצאות הבאות‪:‬‬ ‫‪MODEL A:‬‬ ‫)‪lnˆ ( NUMCARS )  39.772  2.157 ln( PRICE )  4.569 ln( INCOME‬‬ ‫)‪ 3.105 ln( POP)  0.160 ln( INTRATE )  0.000784 ln(UNEMP‬‬ ‫כאשר ‪ NUMCARS‬הוא מספר המכוניות שנמכרו‪ PRICE ,‬הוא אינדקס מחירים‪,‬‬ ‫‪ INCOME‬הוא ההכנסה לנפש‪ POP ,‬הוא האוכלוסיה הכוללת‪ INTRATE ,‬הוא שיעור‬ ‫ריבית הפריים‪ UNEMP ,‬הוא שיעור האבטלה‪.‬‬ ‫כדי לבחון את השערת האפס המשותפת שלפיה המקדמים עבור )‪ ln(UNEMP‬ו – )‪ln(POP‬‬ ‫שניהם יחד שווים לאפס‪ ,‬נאמדו הפרמטרים של המודל הבא (הערכים בסוגריים הם סטיות‬ ‫התקן של המקדמים)‪:‬‬ ‫‪MODEL B:‬‬ ‫) ‪lnˆ ( NUMCARS )  28.069  1.557 ln( PRICE )  4.807 ln( INCOME)  0.208 ln( INTRATE‬‬ ‫)‪(0.058‬‬ ‫)‪(0.23‬‬ ‫)‪(0.708‬‬ ‫)‪(5.544‬‬ ‫סכום ריבועי הסטיות עבור מודל ‪ A‬הוא ‪ 0.309293‬ועבור מודל ‪ B‬הוא ‪.0.311974‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫ה‪.‬‬ ‫ו‪.‬‬ ‫ז‪.‬‬ ‫חשבו את הערך המספרי של הסטטיסטי המתייחס להשערת האפס שצוינה‬ ‫לעיל‪.‬‬ ‫מהי התפלגות הסטטיסטי ומהם דרגות החופש?‬ ‫ציינו את הערך הקריטי עבור רמת מובהקות של ‪.10%‬‬ ‫בצעו את המבחן וציינו האם השערת האפס נדחית‪.‬‬ ‫האם מסקנתכם מהמבחן הסטטיסטי היא שמקדמי המשתנים שהושמטו הם‬ ‫מובהקים או לא מובהקים במשות (יחדיו)?‬ ‫נניח שברצוננו לבחון את ההשערה שלפיה כל אחת מהגמישויות שווה ל ‪1‬‬ ‫או שונה מ ‪ 1‬בהתעלם מהסימן של המקדם ובהתייחס למודל ‪ .B‬חשבו את‬ ‫הערכים המספריים של הסטטיסטיים לכל אחת מהגמישויות (הראו את‬ ‫חישוביכם)‪.‬‬ ‫מהי התפלגות הסטטיסטיים‪ ,‬כולל דרגות חופש?‬ ‫‪13‬‬ ‫ח‪ .‬ציינו את הערכים הקריטיים (או הטווח) עבור מבחן סטטיסטי ברמת‬ ‫מובהקות של ‪( .5%‬בסעיף ו מופיע כל המידע הנדרש כדי שתוכלו להחליט‬ ‫האם המבחן הסטטיסטי הוא עם זנב אחד או שני זנבות)‪.‬‬ ‫ט‪ .‬בצעו את המבחן ורשמו אם יש לדחות או לא לדחות את השערת האפס שכל‬ ‫אחת מהגמישויות הם מספרית ‪ .1‬הראו את חישוביכם‪.‬‬ ‫‪ .24‬כלכלנית עבודה רצתה לבדוק את השפעת מספר שנות הלימוד ונסיון על ההכנסה‪ .‬היא‬ ‫השתמשה בנתוני חתך )‪ (cross-section data‬וקבלה את התוצאות הבאות‪:‬‬ ‫(*)‬ ‫‪ln( Eˆ )  7.71  0.094S  0.023N  0.000325N 2‬‬ ‫)‪(0.000187‬‬ ‫)‪(0.005) (0.009‬‬ ‫‪T  60‬‬ ‫)‪(0.113‬‬ ‫‪R 2  0.337‬‬ ‫כאשר ‪ lnE‬הוא הלוגריתם הטבעי של ההכנסות‪ S ,‬הוא מספר שנות הלימוד ו – ‪ N‬הוא‬ ‫מספר שנות הניסיון‪ .‬הערכים בסוגריים הן סטיות התקן של המקדמים‪.‬‬ ‫א‪ .‬בדקו את ההשערה (ציינו מהי השערת האפס וההשערה האלטרנטיבית) שלפיה‬ ‫למספר שנות הלימוד אין השפעה על ההכנסה‪ .‬מהי מסקנתך?‬ ‫ב‪ .‬בדקו את ההשערה (ציינו מהי השערת האפס וההשערה האלטרנטיבית) שלפיה הן‬ ‫למספר שנות הלימוד והן למספר שנות ניסיון אין השפעה על ההכנסה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬תארו כיצד תבחנו את ההשערה שלפיה למספר שנות הניסיון אין השפעה על‬ ‫ההכנסה‪ .‬ציינו מהי השערת האפס וההשערה האלטרנטיבית; תארו מהם הרגרסיות‬ ‫הנוספות שעליך להריץ‪ ,‬אם בכלל; כתבו את הנוסחה לסטטיסטי המבחן; ציינו מהי‬ ‫התפלגות הסטטיסטי‪ ,‬מספר דרגות החופש והקריטריון לדחייה של השערת האפס‪.‬‬ ‫ד‪ .‬בדקו האם קיים קשר ריבועי בין הכנסה למספר שנות הניסיון‬ ‫‪( .25‬שאלה ממבחן)‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫מוצר נחות ‪-‬מוצר שהביקוש אליו יורד ככל שהכנסתו של הצרכן‬ ‫הולכת וגדלה כמו למשל‪ :‬לחם אחיד‪ ,‬תחבורה ציבורית וכו '‬ ‫מוצר נייטרלי ‪-‬הוא מוצר שבו שינוי בהכנסת הצרכן לא יביא‬ ‫לשינוי בביקוש לו‪ .‬לצרכן יהיו דפוסי צריכה של המוצר‪ ,‬שאינם‬ ‫תלויים בעושרו או עוניו היחסיים‬ ‫מוצר נורמלי ‪-‬מוצר צריכה רגיל (שהביקוש אליו עולה‬ ‫ככל שההכנסה של הצרכן גדלה)‬ ‫מוצר תחליפי ‪-‬מוצר שיכול להחליף מוצר מסוים בשוק‪.‬‬ ‫כשגדלה התצרוכת למוצר כלשהו ‪ -‬הביקוש למוצר‬ ‫התחליפי קטן‪.‬‬ ‫במחקר על הביקוש לבשר עוף נאספו במשך ‪ 23‬רבעונים נתונים על המשתנים הבאים‬ ‫‪-Q‬כמות העופות שנמכרו (הביקוש לבשר עוף)‬ ‫‪– P1‬מחיר של ק"ג עוף‬ ‫‪ -P2‬מחיר של ק"ג הודו‬ ‫‪-P3‬מחיר של ק"ג בקר‬ ‫‪ -Inc‬הכנסה‬ ‫נאמד המודל הבא‪:‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪Q    1 P1   2 P2   3 P3   4inc  u‬‬ ‫מודל ‪0‬‬ ‫‪Model Summary‬‬ ‫‪Mode‬‬ ‫‪Adjusted R Std. Error of‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪R Square‬‬ ‫‪Square‬‬ ‫‪the Estimate‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.971‬‬ ‫‪.943‬‬ ‫‪.930‬‬ ‫‪1.95320‬‬ ‫‪a. Predictors: (Constant), inc, price chicken, price cock,‬‬ ‫‪price beef‬‬ ‫‪Coefficientsa‬‬ ‫‪Unstandardized‬‬ ‫‪Standardized‬‬ ‫‪Coefficients‬‬ ‫‪Coefficients‬‬ ‫‪Beta‬‬ ‫‪Sig.‬‬ ‫‪.000‬‬ ‫‪.001‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪10.015‬‬ ‫‪-3.753‬‬ ‫‪-.922‬‬ ‫‪.006‬‬ ‫‪.190‬‬ ‫‪.319‬‬ ‫‪3.114‬‬ ‫‪1.363‬‬ ‫‪1.024‬‬ ‫‪.948‬‬ ‫‪.485‬‬ ‫‪.420‬‬ ‫‪Model‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(Constant‬‬ ‫‪P1‬‬ ‫‪Std. Error‬‬ ‫‪3.718‬‬ ‫‪.163‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪37.232‬‬ ‫‪-.611‬‬ ‫‪.064‬‬ ‫‪.051‬‬ ‫‪.005‬‬ ‫‪P2‬‬ ‫‪.198‬‬ ‫‪P3‬‬ ‫‪.070‬‬ ‫‪inc‬‬ ‫‪.005‬‬ ‫‪a. Dependent Variable: Q chicken‬‬ ‫לאחר מכן נאמדו עוד ‪ 3‬מודלים (הנתונים בסוגריים הם סטיות התקן של האומדים) ‪:‬‬ ‫מודל ‪2‬‬ ‫‪Q  34.5 0.22 P1  0.015 inc , R 2  0.911‬‬ ‫)‪( 0.1‬‬ ‫)‪( 0.002‬‬ ‫) ‪( 3.8‬‬ ‫מודל ‪3‬‬ ‫‪Q  33.95 0.469 P1  0.01( P2  P3)  0.004inc , R  0.932‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪( 0.005‬‬ ‫)‪( 0.048‬‬ ‫)‪( 0.15‬‬ ‫) ‪( 3.5‬‬ ‫מודל ‪4‬‬ ‫‪ln Q  2.033 0.37 ln P1 0.452 ln inc , R 2  0.98‬‬ ‫)‪( 0.025‬‬ ‫)‪( 0.063‬‬ ‫)‪( 0.116‬‬ ‫התייחסו למודל ‪0‬‬ ‫א‪ .‬חשבו את סטטיסטי המבחן לבדיקת מובהקות הרגרסיה‪ .‬מהי התפלגות הסטטיסטי?‬ ‫מהי המסקנה ברמת מובהקות ‪?5%‬‬ ‫ב‪ .‬בדקו ברמת מובהקות ‪, 5%‬האם בשר בקר הוא מוצר תחליפי לבשר עוף ( עלייה‬ ‫במחיר של בשר בקר מעלה את הביקוש לבשר עוף )‬ ‫ג‪ .‬בדקו ברמת מובהקות ‪, 5%‬האם בשר הודו הוא מוצר תחליפי לבשר עוף‬ ‫ד‪ .‬בדקו ברמת מובהקות ‪ 5%‬האם בשר עוף הנו מוצר נייטרלי‪//‬נורמלי‪/‬נחות‬ ‫‪15‬‬ ‫ה‪ .‬בדקו ברמת מובהקות ‪ 5%‬את ההשערה שההשפעה השולית של מחיר בשר הודו‬ ‫שווה להשפעה השולית של מחיר בשר בקר‬ ‫ו‪ .‬בדקו ברמת מובהקות ‪ 5%‬את ההשערה שמחיר הודו ומחיר בשר במשותף אינם‬ ‫תורמים להסבר ביקוש לעופות‬ ‫ז‪ .‬התייחסו למודל ‪ .3‬לבדיקת ההשערה ‪ , H 0 :  P1   inc  0‬מהו המודל המוגבל ?‬ ‫‪P1‬‬ ‫‪.a‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪inc‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪P1‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪    ln‬‬ ‫‪ u .b‬‬ ‫‪inc‬‬ ‫‪inc‬‬ ‫‪ln Q     (ln P1  ln inc )  u .c‬‬ ‫‪ln Q     ln‬‬ ‫ח‪ .‬התייחסו למודל ‪ .4‬בדקו את הטענה שגמישות הביקוש ביחס למחיר העופות קטנה‬ ‫מ‪0 -‬‬ ‫‪16‬‬